◆ わからない問題はここに書いてね ２７ ◆

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1個のサイコロを5回投げるとき、5回目に3回目の1の目が出る確率を求めよ。

>>298
いいか、1の目は3回きっかり出るんだ。
で、1回目と2回目に1が出るのは、サイコロを4回振った時までで、
最後にサイコロを振った時にまた1の目が出るんだ。

>>298
「１個のサイコロを５回投げたとき、５回目の出目が１で、
かつそれまでに１が出た回数がちょうど３回である確率」
だと思われ。

　　　　　　　　　　　　！かぶり注意報！

回答者はお手数ですが投稿の前にリロードをお願いします。

>>299
1）両辺を2で割ってみよう。√3/2はcosで表してみよう。
2)y=sin2x,y=cosxのグラフを書いてみよう。

2cos^2(θ+90)-√3cos(θ+180)+1=0 (0≦θ＜360）

cos(θ+90+90)=-sin(90+θ)
sin(θ+90)=ｔ
2(1-t^2)+√3t+1=0
2t^2-√3t-3=0
ｔ＝(√3±3√3)/4＝√3、-√3/2
sin(θ+90)=-√3/2
θ＝120、240

スマソ　間違えた

1個のサイコロを5回投げるとき、3回目の1の目が、5回目に出る確率を求めよ。

本当にスマソ
こっちの場合どうなるんですか？

sin2θ＞cosθ　（0<θ＜360）
2sinθcosθ＞cosθ
cosθ(sinθ-1/2)>0
30<θ<90、150<θ<270

>>297
ありがとうございます。

(dx(t)/dt)^2 + (d(y(t))/dt)^2 = 1
y(t) = (x(t))^2

２つ目の式をdx(t)で微分して、
dy(t) = 2x(t)dx(t)
これを１つ目の式に代入、
(dx(t)/dt)^2 + (2x(t)dx(t)/dt)^2 = 1

ですよね？
度々すみませんが、この式のtでの積分はどうやるのでしょうか？

>>308
？全く同じですが

訂正
sin(θ+90)=-√3/2
θ＝150、210

>>310
(dx/dt)^2･(1+2x)=1

>>308
1／36

>>299
（１）　cos＾2（θ＋９０°）＝（−sinθ）＾2＝１−cos＾2θ
　　　　cos（θ＋180°）＝−cosθ
これで全部cosに直せるからcosθをｔ　と置けば２次式に変わる
（２）sin２θ＝２sinθcosθ　（２倍角の公式）を使う。因数分解（cosθでくくれる）

４ax^3＋３bx^2＋２cx＝a＋b＋c　　これが０と１の間に少なくとも一つの
実数解をもつことを証明してください

>>316
a,b,cの条件は？
とりあえずf(x)=左辺-右辺、でf(0)f(1)<0を証明すりゃいいと思うが。

>>313
すみません、ちょっと分かりませんでした。

(dx(t)/dt)^2 + (2x(t)dx(t)/dt)^2 = 1
↑これを変形した式ですか？
やり方もキボンです。

>>306-307-309-315さん
有難うございました。できました。
いやー公式は覚えていたんですけど、そこからの発展が分かりませんでした。
でも今回の演習でやったから次から使っていきたいです。

>>316
a,b,cには何にも条件が付いてないわけ？

>>320　
ないので困ってます

ならa,b,cが無理数だったり、虚数だったりして、与式は成立しない、っと。

>>316
実数位は仮定する

f(x)=ax^4+bx^3+cx^2-(a+b+c)x とおくと
f(0)=f(1)=0
よって f'(c)=0 となる c が0と1の間に少なくとも1つ存在する

c はまじかったね

｜sin（ｘ＋ｈ)−sinｘ≦｜ｈ｜　
｜cos（ｘ＋ｈ)−cosｘ＋ｈsinｘ｜≦ｈ~2　　　（ｘ、ｈはともに実数
これを証明してください

また助言よろしくお願いします。
x=sinθ+cosθ+1、y=sin2θである時のyをxの関数で表し、ｘの変域を求めよ。
この問題なのですが関数で表す所までは行きました。
x^2=sin^2+cos^2+2sinθcosθ+2sinθ+2cosθ+1
　 =2sinθcosθ+2sinθ+2cosθ+2
ここでy=2sinθcosθだから
　 =y+2x
y=X^2+2x
ここまではできました。（あってるでしょうか？）
この後のxの変域を求めるという作業がいまいち分かりません。
よろしくお願いします。

訂正です。
y=x^2-2x

質問した奴は回答者にお礼くらいしろよ

お前ら、この問題の答えを教えてく下さい！！
子犬を５匹、子猫を３匹３人の友人に譲ろうと思う。子犬は必ず１人１匹以上
引き取ってもらわなければならない。組み合わせは何通りあるか？

>>329
文体を統一しろっ

>>329
3匹の子犬をあらかじめ3人に割り振っとく…3通り
　
2匹の子犬、3匹の子猫を適当に割り振る…3^5通り
　
∴246通り

>330
『お前ら、』＋丁寧型
は2ちゃんねるでは頻出の構文です。

以下は 2典
http://freezone.kakiko.com/jiten/index.html
からの引用。

｜お前ら！〜ください【おまえら〜ください】
｜「お前ら！普段聞いている音楽を教えてください」など、
｜最初のほうで煽っておきながら丁寧に頼むスレッドタイトル。
｜主にネタスレや雑談スレとなる。バリエーションとして、
｜「おい！お前ら」や「てめえら」などもある。

スレ違いにつきsage

だぶっちゃうぞ
わざとならいいが

>>329
8_H_3

>>326
三角関数の合成を知っていれば一発なのだけれど　ｘ＝√２sin（α＋π/4）＋１
１−√２＜＝ｘ＜＝１＋√２

それを使わないとなると
（ｘ−１）＾２＝１＋ｙ
ｙ＝sin２θ　だからｙの範囲が　−１＜＝ｙ＜＝１
だから　０＜＝１＋ｙ＜＝２
０＜＝（ｘ−１）＾2＜＝２
−√２＜＝ｘ−１＜＝√２

>>335
どうもありがとうございました。
合成苦手なので時間かかりましたがシタのほうでといちゃいました。

みなさんがいるから挫折せずに算数が勉強できます。ありがとう。

a(1)=3
a(2)=4
a(n+2)=a(n+1)^2+a(n)
(n=1.2.3.....)
によって定め
S(n)=Σ（k=1⇒n)a(k)
とおく。

このとき、S(n)が7で割り切れるようなnを求めよ。

おしえて！！

>>338
n=2

んなアホな。

>>339
ワラタ

>>340
339は確かに間違ってはいない。

で答えは？
ココの板の人なら解けるでしょ？

>>338
どこまで考えたの？

パッと見て

1,a(n)の一般項求める
b(n)=log a(n) とでも置き換えれば通常の３項間漸化式になる

2,S(n)を求める
多分 a(n)が求まったら計算できるだろう

ここまで出来たら解けそうかなって方針が思いついたんだけど。

まあ、上手くいってもスマートな解答ではなくなるが

さっき大学受験板でだされたんだけどまったくわかんない。
紙に書き直しただけです。
スマソ

>>338
ヒント
数列 A(n) を 7で割った余りは
3, 4, 5, 1, 6, 2, 3, 4, 5, 1, 6, 2, 3, 4, 5, 1, 6, 2, 3, 4, 5, 1

てなぐあいに、同じものをずっと繰り返す。このことの証明は非常に簡単なので
後は自分でやれ。

>>334
ゴメン。ウソばっかだわ。
logとっても駄目ですやん。
ホントゴメン。

mod使えば証明も秒殺だろ

>>347
ああっ、書き間違えた
>>334でなくて>>344です。
マジでゴメン。逝ってきます。

modって何？

>>350
合同式

次の数列の一般項を求めよ。

２，２√２、４、４√２・・・・

で、あたしはa_n=2＊√2^n-1だと思うのですが、
答えは、a_n=2^n+1/2なんですけど、どうやってそれを導いたのですか？

それと、ｘ、ｘ＾３、ｘ＾５はなんで、

場合わけするのですか？

ｎ！の一般項はどうやってもとめるの？

>>353
n！

>>352
同じ。√2=2^(1/2)だから計算してみ。

>>352
検算しろよ。どう見てもa_n=2^n+1/2じゃないだろ。問題読み間違えてないか？
　
＞それと、ｘ、ｘ＾３、ｘ＾５はなんで、場合わけするのですか？
ﾊｧ？意味不明。
　
>>353
一般項がn!だろ。

失礼。
356は、
○　a_n=2^n+1/2
×　a_n=2^(n+1/2)
のことかな。

2^n+1/2 は 2^{(n+1)/2} という意味らしい

n^1/2=？

？になにが入るの？

>>359
n^1/2

>>359
n^(1/2)
(n^1)/2
どっちよ。

ｎの1/2乗です。解説も含めて教えて」。

学校で、１＋１ｈａ２にならないことを二年でやるといわれたのですが
ほんと？

>>362
?=√n

>>363
うそ

a^1/n=n^√aとあるのですが。

↑これがなぜ成り立つの＿？

>>366
成り立たない

えっと、n^√aっていうのは、nの方根ってことです。

>>368
両方とも n 乗すれば a と等しい。
また、普通は a > 0 を仮定しているからこの表記は一意的である。
よって a^(1/n) = n^√a である。
というか、括弧使おうよ。

＞３６６
定義でしょ。
a^2=a^(4/2)=(2^√a)^4=(a^(1/2))^4
のような計算規則は、無矛盾であり便利なので、
指数法則の拡張として定義する。

別の定義でも無矛盾であれば良いですが、誰にも通じない記法や、
メリットがない記法はやめた方が良いでしょう。
最低限、既存の記号を別の定義に勝手に変えちゃダメ。

さっきから表記が変な奴がいるが、そういうのは無視しない？
春厨にも限度ってもんがあるし。

I(n) =∫[π/2,0]{sin(x)^n}dx　が
I(n) = (n-1){I(n-2)-I(n)}　ただしn≧2
を満たすことを、部分積分を用いて証明せよ。
ただし、sin(x)^0≡1とする。

って問題です。お願いします。

>>372
[sin(x)]^n = [sin(x)]*[sin(x)]^(n-1)

∫（sinｘ）＾ｎｄｘ＝∫（-cosｘ）’（sinｘ）＾（n-1）ｄｘ
＝[-cosｘ（sinｘ）＾（n-1）]＋∫（cosｘ）（n-1）（sinｘ）＾(n-2)cosｘｄｘ
＝∫（n-1）（cosｘ）＾2（sinｘ）＾(n-2）ｄｘ
後は（cosｘ）＾2＝１−（sinｘ）＾2を使えばよい。
積分区間を書くのは面倒なので省略した

ありがとうございます!!
解決しました。

あの、またお願いします。
(1)u'+u=0,u(0)=1を満たす関数u(x)を求めよ。
で、u=exp(-x)と考えたんですが、

(2)(1)のu(x)を使ってy=uzとし、
y'+y=x^2を、zを未知関数とする微分方程式に直せ。
さらに一般解を求め、yを求めよ。
がわかりません。

よろしくお願いします。対数の問題です。
次の不等式をとけ
log_{9}(log_2{x}-1)≦1/2
対数PCで表記するの初めてなので表し方間違っていたらすみません。
これなんですが真数条件を使って
2<xって所まではいけたのですがその次が分かりません。
よろしくお願いします。

>>376
自分でどこまで考えたの・・・
悩むところがあるようには見えないんだけど・・・・

今すぐ質問するわけではないのですが、質問点を紙に書いてスキャンしたのを
アップローダーでアップしたのも応じてくれますか？

>>379
多分その方がわかりやすいので良いと思う。

とりあえず、やってみて回答者がやりやすければ誰も文句は言わない。

>>380
ありがとうございます！安心して勉学に励めます。

>>377
log_{9}(log_{2}x-1)≦1/2

右辺もlog_{9}を使って表す。
底が9>1であることに注意して、log_{9}をはずす。

答 2＜x≦16

>>382
なるほど盲点でした。logが２重についてても外せるんですねぇ。
有難うございました。

1/x+1/y+1/z=4/5
が解けない。

実数解はない？
アフォでごめんなさい。

>384
自然数解を求めたいのでは？
実数解なら、いくらでもあるでしょ。

では自然数解はなんなんでしょう？

整数解なら、
(1/2) + (1/2) + (1/(-5))
なんだがなー。

(1/2) + (1/4) + (1/20)
かな？

>386
{x,y,z}={2,5,10} または {2,4,20} (順不同)

方針は、 x≦y≦z を仮定して、
4/5 = 1/x+1/y+1/z ≦ 3/x
なので、x=2 または 3 。
以下同様。

答えてくれた人にはお礼くらい言いましょう

質問です。（質問を紙に書いてアップローダーでアップしました）

内容は数学Aの相加平均相乗平均です
よろしくお願いしますm(__)m
http://www.42ch.net/PictureGeneral/img-box/img20020404152625.jpg

>>389
僕バカなのでよくわかりません。
もう少し詳しく説明していただけたら嬉しいです。

>>391
お前みたいに懸命な努力をする奴は例え馬鹿野郎でも俺は大好きだ。
で、解答。
１．どのようなパターンのときか？
　相加、相乗平均を使うのは、A+1/Aみたいに、ある数Aと同じ数Aが分母にくるような分数を足す時。
　分子はどうでもいい。分母に同じ数が来るような場合。
２．相加相乗平均というのは、今回の問題の場合だと、
　(√ab-√(1/ab))^2≧0・・・(※)
　というのが根底にある。これを展開すると、ab-2+1/(ab)≧0より、
　ab+1/(ab)≧2になるよな。
　で、等号が成り立つのは、(※)で等号が成り立つときだから、
　√ab=√(1/ab)の時だね。両辺2乗すると、ab=1/(ab)になる。
　で、a>0 b>0だから、(ab)^2=1より、ab=1の時って風になる。
　
こんなんでいいかな。

4/5=1/x+1/y+1/z≦3/xここがよくわかりません。

>391

> 相加平均 ≧ 相乗平均
> はどのようなときに利用するか？
(1) X+Y ≧ K の形の不等式で、 XとYを掛け算すると式が簡単になるとき。
(2) XY ≦ K の形の不等式で、 XとYを足し算すると式が簡単になるとき。

> 『等号は ab=1/(ab) と a>0, b>0 から、 ab=1 のときに成り立つ』
> の意味が分からない。

ab>0 の仮定の下に、
ab+1/(ab) ≧ 2√(ab/ab)
の等号が成立する条件が
ab=1/(ab)
であることはOKですか?

で、ab=1/(ab) を 通分すると、 (ab)^2=1.
この二次方程式の解は ab=±1 です。
で、仮定が ab>0 なので、結局求めるべき 等号成立条件は
ab=1 となります。

(模範)回答の『a>0, b>0 から、』の部分は、『ab>0から、』
と書いた方が分かりやすいですが、ともかく同じ意味です。

>394
　　　　　　　　 1/x＝1/x
x≦y なので 1/x≧1/y
x≦z なので 1/x≧1/z
辺々足して 3/x ≧ 1/x+1/y+1/z

>>393
ありがとうございます。よく読ませていただいてその上でわからなかったら
また来させていただきます。のろいので、何回も読まないと理解できないのです（苦笑）

アップしたのは一旦はずします。

>>395

ありがとうございます。読ませていただきます。m(__)m

次の証明がわかりません。
3以上の自然数nに対して、次の式を満たすX,Y,Z(整数)は存在しないことを示せ。
(Xのn乗)+(Yのn乗)=(Zのn乗)←n乗が表現できませんでした。すいまそん。

>>399
フェルマーの大定理だね。
ワイルズっていう数学者(数学板のロゴの人物)が証明を提出したから、
原著論文にあたるしか無いんじゃないの？