代数学総合スレッド

代数の話題が多いからスレを立てようという話になって、問題スレから分離独立しました。
代数に関する話題全般のスレッドです。

有限な非可換体って存在しないのでしょうか？

スピノルって何ですか？

>>3
僕も知りたい
深谷先生が授業でちょろっと言ってたけどよく分からなかった

数学専攻じゃないんでよく知らないのです。
ネタじゃないので教えてください。

群・環・体をそれぞれ簡単に言うと何でしょうか？
まずはイメージから入りたいと思います。

実数から実線形空間，実線形空間から実計量線形空間が作れるように，
群・環・体はこの順に拡張になっています．

群・環・体の例をあげるとそれぞれは
掛け算を考えない整数・整数・有理数に相当します．
これらは可能な演算が拡張されていると考えることができます．
掛け算を考えない整数・整数・有理数では
それぞれ，加減算，乗算と加減算，加減乗除を考えることができます．

代数は整数の因数分解などの具体的と考えている数の集合の特徴を抽出して，
抽象的な対象として再構成し，普遍的な定理を得ようとする学問といえます．

句読点は，と．がいいよね．結構数学版にはこのタイプがいる．

>>2
有限体は可換だよー。

ファンデルヴェルデン（ファン・デル・ヴェルデンだっけ？）の現代代数学
（ぎんばやし訳）って，たくさんいろんなことが書いてて良いんだけど，
でも，もうちょっと現代的な本で学びたくならない？
ファンデルヴェルデンのように，たくさん書いてないけど，しょうかぼうの
堀田良之著の代数入門だったかな，あの本良かったな。
皆さんはどういう本が良かったですか

Serge Lang "Algebra"

べき零群って何に使うの？学ぶ必要性を全然感じないんだけど

>>3 >>4 ０の平方根．

>>8　しょうかぼうの代数入門だって大概古いよー．何がいいだろ？現代数学の基礎の「環と体」あたりはベタかな．
>>10　そのうち使うんじゃない？

>群・環・体をそれぞれ簡単に言うと何でしょうか？

どうでも良いけど名前の由来が気になりません？
ちなみに体はドイツ語の訳だそうです。
ｆｉｅｌｄで､「野」でもいいのにね。ベクトル解析や物理の「ｆｉｅｌｄ」は「場」だから混同しないと思うけど。

>>7
>有限体は可換だよー。

ありがとうございます。自力で証明してみようと思います。難しいようでしたら止めてください。あきらめて参考文献見ますので

遅まきながら、読ませていただきました。
お答えいただいたみなさま、どうもありがとうございました。

私も頑張って勉強します。

>>12
入門的でいいなら、しょうかぼうの代数概論　森田康夫著が
コンパクトにまとまっていていいよ。

おお、新しげなスレ。
さくらスレでも質問したのですが、お答えをいただけなくて・・・。
1.MとNがKのガロア拡大ならば、合成体MNもKのガロア拡大。
2.MはKのガロア拡大、NはKの有限次拡大。（但し、K＝L∩M）このとき
[MN:K]=[M：K][N:K]
どなたかよろしくおねがいします。

本見たら書いてあると思うんだけど…ダメ？

>>17
じゃぁ，その命題に関して分かってることをいってみてください．
定義とか

>>16
＞コンパクト
とかいうと，
ほんとは分かってんだけど，「ﾊｧ？コンパクト？」
とかいって絡み付いてくるのがいるので注意！
（今の俺か？）

>>14
挫折したら、永尾先生の教科書読むよろし。

ところでこのスレ、定着すると良いですね。
いや、変てこなスレの方が、何やら妙な勢いがあったり
するもんだから‥‥‥(^^;

>>21
>挫折したら、永尾先生の教科書読むよろし。

既に挫折しそうな予感が。岩波でしたっけ？


ところでこのスレ、定着すると良いですね。
いや、変てこなスレの方が、何やら妙な勢いがあったり
するもんだから‥‥‥(^^;

>>22
挫折すんなよ。ﾄﾞｷｭｿが。

ところでこのスレ、定着すると良いですね。
いや、変てこなスレの方が、何やら妙な勢いがあったり
するもんだから‥‥‥(^^;

＞挫折すんなよ。ﾄﾞｷｭｿが。

明日もう一度考えてみて出来なければ、本を見ます。

しょうかぼうの代数概論　森田康夫著
がいい本だとは、とても思えない。

理由を述べよ。

25じゃないけどいま研究室の机のうえにあるよ。
あっさりしすぎ。数学科の人とか、すでに代数学を学んだ人が
知識を整理するために読む本なのではないかと思う。工学部の
俺には、一つ一つの問いや（FIve-lemmaとか）、定義が
well-definedかどうかとか確かめるのに時間がかかってしまう。

同じ出版社の佐武線型代数学は、一度勉強してから読んでみたら
俺でも意外にすんなり読めました。わかりにくいところは
堀田良之「代数入門・群と加群」でカバーしつつ。

＞永尾先生の教科書

朝倉書店の代数学は初心者にはお勧めできません。途中できっと挫折します。
初心者にはPrentice Hallから出ているArtinのAlgebraをお勧めします。

>堀田良之「代数入門・群と加群」

線形代数しか知らない状態でこの本を読んだけど、
環や加群の基礎が分かりやすく学べて非常にためになった。
(5章「ワイル代数とその加群」はパスしたが)
この本を読み終えたあと環の基本事項をもっと知りたいと思い
書店の数学書コーナーで環論の本を探していると、
それっぽいタイトルの永田「可換環論」が目についたので早速購入した。
泣いた。

あまりの素晴らしさに感動して泣いた…んだと思う。多分。

ほう

なんかイゴゴチいいね，ここ

アルティン環(任意のイデアルの降鎖列は有限で停止する)ならば
ネーター環(任意のイデアルの昇鎖列は有限で停止する)
の証明がわかりません。

わからないページは
岩波、堀田、環と体１、60ページ１〜4行目のところです。
または共立、松村、可換環論、20ページ下から5行目です。
割ったのが有限次元ベクトル空間になるところと
そこからネーターが出るところがわかりません。

>>27
同感。既に知っている人には読めるが、初めての人には読めない。
始めはまあまあだが、途中で議論にギャップがある。
これを読んで分からなくても、あなたが悪いのではない(ウチの学生に読ませてわかった)。

岩波基礎数学　　「環と加群」　山崎　
が良かった。あと最近のでは共立の　「環と体の理論」。
シュプリンガーの「代数学とはなにか」が今面白いので読み始めたとこ。

今，Serge Langの現代の解析学（確か原書題はReal Analysisだったと思う。）は
今読んでて，そのモダンなとこがすごくイイんだけど，（それでももう古い部類
なのかな？）>>9さんのいう"Algebra"はどうですか。

33です。教えてもらえないのでさくらたんのほうに期待します。

ところで、Qの代数閉体の濃度は可算だったっけ？
だれかわかる？

可算に決まってるだろ。
工夫して考えれ

>>33

可算です。Qの代数閉体＝複素数の中の整数係数多項式の解となるもの全体
整数係数多項式は可算個だから

>>29
堀田良之「代数入門・群と加群」
この本で挫折した漏れは逝って良しですか？

代数の本は例が豊富であって欲しい

>>40

O.K.です。
「Qの代数閉体＝複素数の中の整数係数多項式の解となるもの全体」
は少し考えこんだが、代数拡大の概念をもちだせば、
「整数係数多項式の解となるもの全体」が体となること、および、
整数係数多項式の解となるものを係数とする方程式の解も有限次拡大でかける、
ということでいいんだよね。

>>43
代数的閉体の存在証明をツォルンのレンマを使って作るやり方があいまいだったので、微妙な問題を避けるためにあらかじめ代数学の基本定理が成り立っている複素数体を持ってきて、代数的整数だけを選び取るとしたまでですので、深い意味はないので気にしないでください。

Ｋ係数の多項式が常にＫ係数の１次式の積に分解できる最小の拡大体をＦとすれば、
Ｆは代数的閉体

Ｆ[ｘ]∋ｆ（ｘ）＝ｂ0＋ｂ1ｘ＋・・・＋ｂｎｘ＾ｎ
Ｋ⊂Ｋ（ｂ0,ｂ1,,,,ｂｎ）＝Ｌ⊂Ｆ
Ｋへのｂ0,ｂ1,,,,ｂｎの付加は代数拡大
Ｌを拡大してｆ（ｘ）が１次式の積に分解できるようにする。
このＬの拡大体をＭとする。
ＫからＬへの拡大は代数的元を有限個付加するから有限次拡大
ＬからＭへの拡大は代数的元を有限個付加するから有限次拡大

よって、ＫからＭへの拡大も有限次拡大、だから代数的拡大
よってＭ⊂Ｆ

永田・吉田「代数学」はどう？

>>41
私もその本で挫折しました。
といっても、私は電子工学科生ですが（ｗ

>>41
の本はいい本やと思うよ．
数学の道をとるなら絶対挫折したらあかんところやけど、
数学系でないなら、もっと簡単な本からステップアップしてったら
いいんちゃう？

薄くて話題が豊富な本はやはりキツイと思う。

その通り。買ってから気付く(死

>>48
行間自分で埋めなあかんからね．
でも埋めれると力が付くのは間違いない．
でも力がないと埋めれない。。。微妙だ（笑）

表現論の参考書（初学者向けの奴）でお薦めなのはありますか？

Artin環でない半単純環の例ってどんなん？

佐武の「代数学への誘い」ってどうよ

非可換な有限体が存在しない証明は自力で出来ませんでした。参考文献を探してみます

疑問、非可換体で標数が０以外のものがあるのか？
そもそも４元数体から派生する体以外の非可換体ってあるのか？

>>54
確か、Basic Number Theory の最初の方に載ってた気がする．

>>54
そのような体の存在は実は類体論とも関わる
深い部分がある．

超初心者。。。の質問。。。
体って可換じゃないの？？
定義忘れた。。

>>57

「動物」に人間を含めたり含めなかったりするようなもので、文脈で違うと思う。

０以外は逆元を持つのを「体」、可換なら｢可換体」と定義したものの、実際に扱うのはほとんど「可換体」だから、体＝可換体となって、一般的な体は｢斜体」、非可換なのは｢非可換体」になったということでしょうか？

>>58
可換環で０以外の元が全て可逆元なら「体」で、
非可換環で０以外の元が全て可逆元なら「斜体」
って認識してたんだけど…。
だから体っていったら絶対可換だと思ってたんだけど
まさか違ったのか？
一応代数専門だったのに代数さっぱりわからん。

定義は人によっても状況によっても異なるよ．
今のは文脈で可換とは限らない体を表わしていることは
明白だ．

英語ではどうなんだ
斜体ってdivision algebraだっけ？

＞英語ではどうなんだ
＞斜体ってdivision algebraだっけ？

ｓｋｅｗ　ｆｉｅｌｄ

定義は０以外が逆元を持つ整域だから、可換、非可換を含めた一般的な概念。

アルティンだかの本で斜体係数の連立一次方程式に関してちょこっとかいてあるな。可換体の行列にみなれてたから、最初はなんでこんなややこしいことするのかと不思議だったが、行列のランクや行列式って、体が可換であることを前提にした概念だから使えないんだよね。

>>59
　おまえ何やってんだよー？！ちゃんと勉強してたんか？
まさか・・・・代数やってて"jordan標準形"知らないなんて言い出さないよなー。
・・・っていいたいけど。まっ、同期ということでちょっと親近感持ってます（＾＾;;）。

　・・・で、卒業後どうすんのよ（＾＾）？俺、院逝くけどさぁ。　

直積群の単数群は単数群の直積になりますか？

×直積群の単数群
○直積環の単数群

直積環の単位元は各因子の単位元を並べたものだから、
その単数群は各因子の単数群の直積

あっそうか。くだらない質問でｽﾏｿ

俺集合と位相の講義取らなくて代数入門取ったけどマジで意味判らん。
良く単位落さなかったと思う。
友達はあんなのやらなくても理解できるとかほざいてたが・・・

環と体１です。わからない所を質問しあえると早くおわると思うのですが。
どなたかいませんか。

>>70
内容書いてYO

問題：有理関数f,g∈C(x)が f^n + g^n = 1（n≧3）
を満たすのはf,gともに定数であるときに限る．

種数とか使わないで初等的に証明できるらしいんだけど
誰か知ってますか？

ｎが３以上のとき、複素多項式 f,g,h について f,g が互いに素で f^n+g^n=h^n
ならば f,g は定数であることを示せばよい。 w を１の原始ｎ乗根とすると

(f+g)(f+gw)・・・(f+gw^(n-1))=h^n。

ここで f,g が互いに素としているから左辺の各因数は二つずつ互いに素。
よって各kについて f+gw^k=(h_k)^n と書ける。 ここで
　
　 f+g=(h_0)^n, f+gw=(h_1)^n, f+gw^2=(h_2)^n

から f,g を消去すれば

(c_0)(h_0)^n+(c_1)(h_1)^n = (h_2)^n （c_0,c_1 はゼロでない定数）

の形の関係式が得られる。 f,g の少なくとも一方が定数でなければ h_0,h_1
の少なくとも一方は定数でなく、しかも次数は f,g の次数より下がる。
定数倍は h_0,h_1 の中に繰り込めるから、あとは「無限降下法」で行くと思う。

訂正
移行して f^n-g^n=h^n に直す。
後は対応してプラスをマイナスにしていけば同じ。。。
たとえば (f+g)(f+gw)・・・(f+gw^(n-1))=h^n は
(f-g)(f-gw)・・・(f-gw^(n-1))=h^n に直すなど。

>>69
友達の言うとおりだと思うが。
それにしても代数だけは好きになれん。

>>75整数論の入門書を読んでみ。何故かは読めば分かる。

位相は必要ないが、集合は少し必要かな？って感じ

位相と代数って、アプローチが全く違うって感じ。
代数だとＱは整数環の商体と定義するから、｢距離」概念がない。
２／３は、「３を掛けると２になる元」という意味で、それは「６を掛けると４になる元」とイコールにはなるが、
�納ｋ＝１〜∞］６*（１／１０）＾ｋと一致するかどうか知ったこっちゃない、って感じ。
√２は「２乗したら２になる元」という意味だから、Ｑに√２を付加した代数拡大を考えた時、√２を−√２に置き換えても何の不都合もない。
１．４と１．５の間にあるかどうかなんて、関係ない、
といった感じです。
だから代数的に実数を作ることは出来ないし、代数学の基本定理は名前とは裏腹に代数的に証明できない。

アホな書き込みするなよ（ﾜﾗ
有害だぞ。

そだなー

僕も代数は好きで解析はあんま好きとちゃうけど、
>>78
はあかんやろ．
代数でも位相は余裕で使うし、というか分けてる時点で、あんまよく
ないと思うし．

代数でもざりすき位相ってやつでてくるよ。
知り合いは代数ゼミだけど位相群てやつ勉強してて
位相やら解析やら普通に使うって言ってた。
おいらは代数を少し知ってるだけ。
他はほとんどできない。。。
が、来年度から院、どうなるんだろ

>>64
もち、就職です（ｗ
はぁ、数学って難しいなぁ…。

>>81
>>78は代数と位相を分けてるというか、両者は独立の概念だと言ってるだけでしょ?
別にそう変なことは言ってないじゃん。
Qは純粋に代数的な対象だからこそ、いろいろ異なる位相を入れて
考察することができるわけで。

スレの上の方にも出てたけど、
http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/038795385X/
この本どうなんでしょうか？高校の時数学好きだった文系なんだけど、
大学でやるような代数の基礎を一通り学べるのかな？

俺も代数に興味はあるんだが未だ好きになれない。
整数論の最初の方読めば解るって言うけど初等整数論ぐらいしか理解できんし。
もっぱら今は複素解析と解析学�Uを攻めてるが結構道が狭まってくるような気がする。
ま、3年でも代数入門取れるし（取るかどうかは怪しい）良いか。

読みたい人いませんか？あと少しで５章まできました。
わからないところを質問しあって進めませんか。

岩波講座現代数学の基礎
環と体１ 可換環論
堀田良之 著
のことです。

>読みたい人いませんか？あと少しで５章まできました。
>わからないところを質問しあって進めませんか。

今、違う本読んでるけど、こう言う具合にここで自主ゼミ見たいの出来ないかとふと夢想した。
社会に出ると数学の話が出来る人など皆無に等しいから、ネットやるまでは、分からなくても一人で悩むしかなかった。

>>84
＞Qは純粋に代数的な対象だからこそ、いろいろ異なる位相を入れて
＞考察することができるわけで。

詳しくは知らんがＰ進体なんかがその例だと思う

私も環と体１、読みたいです。
試験が終わったら読もうと思って買ってあるのですが。

>>84
そういう解釈なら理解できないこともないけど、
代数は数学の一分野（なんかそれも表現がおかしいが）だが、位相はその
道具みたいなイメージしかない．
位相のみの研究してる人とかいるんですか？

いるよ

>>88
1回読んだし、分からないところを言ってくれれば考えますよ．
（後半は怪しいねんけど、僕も勉強になるしね）

>>90
Qの付値による距離づけは、素数の分と、普通の絶対値の分とがある．

>>92
＞位相のみの研究してる人とかいるんですか？

「ジェネ・トポ」＝ジェネラル・トポロジーて言ってたけど、そういう専門分野はあると思うが。

優劣の問題じゃないんだが、私の印象として、整数論や解析・幾何、などに対して、代数・位相・測度論などは「道具」というか、前者を抽象化したイメージがあるが。
集合論など基礎論はまた別個という感じ。

>>95
そういう分野があるんですね。。。それは知らんかった．

新妻・木村の「群・環・体」ってどうですか？？

>>97
聞いた事ないけど、それを一まとめにしてるってのは、浅く広く、って
言う本なんかな？

95はアホっぽいな･･

100!

>>91
付き合うよ

Ｂ：Ａ上有限生成代数（ｆ：Ａ→Ｂが与えられているとする）
このときψ：ＳｐｅｃＢ→ＳｐｅｃＡ（ ｑ→ｆ＾-1（ｑ） ）のファイバーは有限
（⇔任意のｐ∈ＳｐｅｃＡに対しψ＾-1（ｐ）は有限集合）

証明の一番最初のψ＾-1（ｐ）≡Ｓｐｅｃ（ｋ（ｐ）＊Ｂ）がわかりません。
（ただしｋ（ｐ）は整域Ａ／ｐの商体とし
ｋ（ｐ）＊ＢはＡ加群としてのテンソル積に自然な積を定めた環）

ここからは自分で考えたことです。
Ｂからｋ（ｐ）＊Ｂへの写像πを （ ｘ→１＊ｘ ）としてこれから決まる
写像Ｓｐｅｃ（ｋ（ｐ）＊Ｂ）→ＳｐｅｃＢをτとする。τ単射がいえるので
τ：Ｓｐｅｃ（ｋ（ｐ）＊Ｂ）→ψ＾-1（ｐ）⊂ＳｐｅｃＢが全射をいえば終わり。
ｑ∈ψ＾-1（ｐ）に対し、Ｑ∈Ｓｐｅｃ（ｋ（ｐ）＊Ｂ）を｛１＊ｘ｜ｘ∈ｑ｝から
生成されるイデアルとするとτ（Ｑ）＝ｑ になる？これは全射を表す。
τ（Ｑ）⊃ｑは自明で逆がうまくいえません。
あと多分、後では有限生成の仮定なしにこの同型を使っているので有限生成はいらないと思います。

証明の書いてあるほんがありました。
松村英之著 可換環論 （共立出版）Ｐ５７です。
全単射よりつよく位相同型になります。

>>73-74
ありがとうございました．
速っ！

>>102
それは代数幾何のスキームのproductと関係ある事．
環と体1はそうでもないけど、松村英之著の可換環論は
代数幾何を目標に書いてる感が強いと思う．
（比較的ね）

その調子で頑張れ〜〜

位数１２の群を全て求めよっていう問題なんですがどうやればいいんですか？

シロー２群、シロー３群をうまく使う。
可換なのが２個、非可換なのが３個ある。

>>107
シローの定理書いてあるサイトないですか？？
いま手元にノートも教科書もないし頭の中にも入ってないものですみません。。

Ｇは有限群とし、｜Ｇ｜＝ｐｍｓ （ただし、（ｐ，ｓ）＝１　ｐは素数）） と
する。そのとき、次が成立する。まとめてシローの定理と呼ぶ。

　［１］　Ｇは｜Ｈ｜＝ｐｍとなる部分群Ｈを必ず１つは持つ。
　　　　　この部分群をＧのｐシロー部分群という。
　［２］　しかも、与えたｐに対するｐシロー部分群はすべて共役。
　［３］　さらに、ｐシロー部分群の個数は、ｋ≧０として１＋ｋｐと
　　　　　表示できて、さらにこれは｜Ｇ｜の約数になる。


これかな？？

ｐｍってのはｐ＾ｍってこと。

>>110
そうやね（109じゃないけど）

位数１２の群をもとめるにははシローの定理を使うの？？

位数12のモノイドを全て求めよっていう問題なんですがどうやれば
・・・2chには荷が重そうなのでやっぱりいいです。

君、ボランティアって言葉知ってる？もう来なくていいよ。

いや、まじでわからないす・・

本屋で可換環論の本の序文を読むと，たいていホモロジー代数的（って言い方だっ
たかな？）アプローチは割愛したとか書いてるんですけど，そっち方面の事よく書
いてある本（または文献）で良い本知っている人いましたら教えていただけません
でしょうか。

>>114
同感。113は質問してるのか煽ってるのか…

>>85
君にはまだ早すぎます。
その前に他の本で学ぶべきことが沢山あります。

Cartan-Eillenberg 「Homological algebra」>>116

>>119
ありがとうございます。

B.L.van der Waerden［Algebra］、独学中です。

Exercises 6.17
If f(x) is irreducible in the field Ｋ,then in a normal extension field all prime factors ofｆ(x) are of the same degree,and are conjugate with respect to Ｋ.

これを証明せよって問題なんだけど、
are conjugate with respect to Ｋ.
とあるけど、ｇ(x),ｈ(x)：Ｋの正規拡大体の多項式　が共役というのは
Ｋの正規拡大体の自己同型写像σが存在して、それはＫの元に対しては恒等写像で、
ｇ(x)の各係数にσを作用させると、ｈ(x)になる、

という理解でよろしいんでしょうか？

113は僕の書き込みではないです。
112をどなたか教えてくれませんか？

位数１２の群はシロー２部分群とシロー３部分群の半直積になってる。
そこで位数３の群と位数４の群の半直積を全部しらべる。

>位数１２の群はシロー２部分群とシロー３部分群の半直積になってる。

そりゃーそれが分かればすぐなんだけど。
2-Sylow群or3-Sylow群がnormalだってことはそう簡単に出る?

有限斜体は可換体、

今日図書館に逝って代数関係の本を見たけど、それらしいのは見つかりませんでした。
自力での証明も無理です。

誰か証明、か、それが載ってるサイト、教えてください。

73の証明あってるんか？

>>124
>2-Sylow群or3-Sylow群がnormalだってことはそう簡単に出る?

シローの定理使えば簡単

3-Sylow群が4個あれば位数3の元が8個あることになり
残りは 12−8＝4 で4個。
よってこのとき2-Sylow群は1個しかないので正規部分群。

>>125
たとえば藤崎源二郎「体とGalois理論」第2章第8節に、ヴィットによる証明が
のってます。
問題の斜体の乗法群において群論の類方程式（共役類の元の個数を合計する等式）
を考え、可換体でないと仮定して円分多項式を用いて矛盾を出す、というもの。

>>129
どうもありがとうございます。
予備知識が必要見たいですね。自力で証明するなとというのは無謀でした。

位数12の群は可換２つ、非可換３つだよね
位数16の群ってどれくらいあるの？

>堀田良之「環と体１ 可換環論」岩波講座　現代数学の基礎

結局何人参加するんでしょうか？
適当なＨＮで意思表明してもらえると確認しやすいんですが。

確認次第、そろそろ順番に始めましょう。

Q(√3)ってどう考えても体ですよね？
この類数を求めよ、って問題があったのですが、
類数ってなんのことか教えてくれませんか？

>>131
ぜんぶで14個あるらしい。こんどはSylowの定理は使えない。どおすんだろね。

可換環RのWitt vectorの群 W(R) って何?
数行で説明することが難しければ定義の載ってる文献とか教えて。
(独学中なので、できればネット上か書店で入手可能な文献を)

そういえば「知の創造(3)」とかいう本にコンピュータで
位数1000までの群は何個あるか調べるとかいうのが書いてあったんだけど、
位数512＝2^8と768＝2^7*3だけはまだわからないとか。
すごい数になるらしよ。よく知らないんだけどね。

>>136
位数５１２の群１０４９４２１３個。
位数７６８の群１０９０２３５個。

>>133
分数イデアルのなす群を単項イデアルで割ったものが、イデアル類群．
その位数が類数．

もしくは、
(Ka^*)1をイデール類群のノルム1の部分群としたときの、（Ka^*)1/K^*の位数．

>>138
あ、Okの分数イデアルってことね（dedekind環　　K=Q(√3)）

139
ほんと無知で申し訳ないですけど分数イデアルって何ですか？
なんとなく指数みたいなもんだ、というのはわかるのですが。
実は代数ほんの少しかじったぐらいの知識しかないです。

>>140
分数イデアルの定義はいろいろあるけど、Rを整域として
Rの分数イデアルI⇔あるRの元cがあり、cI⊂R

例えばZの分数イデアルは、（Zは単項イデアル）なので、aZ (a∈Q)

dedekind domailは素イデアル分解ができるような整域
（つまり任意のイデアルI はI＝p1^a1*p2^a2*…*pn^an と一意的に表せる）
（ここで、ai≧0のものが「イデアル」でai<0も許すのが「分数イデアル」
　という結果になる）

この分数イデアルのなす集合（から(0)を除くもの）をFI(R)とする．
このとき、FI(R)はp1等からなる自由加群となる事がする分かる．
また、単項イデアル(a)は常にFI(R)の元を定義する（a∈Q)
このイデアルの集合も群になる、これをPI(R)とする．

イデアル類群は、FI(R)/PI(R)でこの位数が類数．

やけど、それだけで求めるのは大変．
ミンコフスキーの定理（やっけ？）、
or ゼータ関数の利用が類数求めるだけなら、便利．

>>132

本を読むんですか?
工学部２年です。宣しくおねがいします。
あした、借りてきます。

>>132
じゃぁ、こんなHNで．

位数が２２の群を求めよって問題なんですが。。。
テストの回答を書くようにわかりやすくレスしてくれたらうれしいのですが。。

>>144
それは11-Sylow群が正規部分群だから、氏ぬほど易しい。

>>145
11-Sylow群が正規部分群
というのはわかりますが
そのあとがわからないです。。

これでいいの？？
添削お願いします。

Gを位数２２の群とする。
シローの定理から
シロー２−部分郡Hの個数は１個または５個
シロー１１−部分郡ｋの個数は１個

シロー２−部分郡Hの個数が１個
シロー１１−部分郡Kの個数が１個の場合

H∩KはHの部分群だから
H∩Kの位数はHの位数（＝２）を割り切りかつ
H∩KはKの部分群だから
H∩Kの位数はHの位数（＝１１）を割り切る
従ってH∩K＝｛e｝

またHKはGの部分群であり
HはHKの部分群　HKの位数は２で割り切れ
KhaHKの部分群　HKの位数は１１で割り切れるから
HKの位数は２２
従ってG=HK

よってG＝H×K＝Z（２）×Z（１１）＝Z（２２）

シロー２−部分郡Hの個数が５個
シロー１１−部分郡Kの個数が１個の場合

H、Kは巡回群よりH＝＜ｘ＞、K＝＜ｙ＞とかける。
（ｘ＾２＝e、ｙ＾１１＝e）
ＫはGの正規部分群だから
ｘｙｘ＾（−１）＝ｙ＾ｉ　（ｉ＝０，１・・・１０） とかける。

ｙ＝ｘ＾２ｙｘ＾（−２）＝ｙ＾（i＾２）
だからi＾２−１は１１で割り切れる
i＝１、１０

i＝１の時はさっきの議論と同じで位数２２の巡回群
i＝１０時はｘｙ＝ｙ＾（１０）ｘ
このときは
G＝＜ｘ、ｙ＞
ｘ＾２＝e、ｙ＾１１＝e
ｘｙ＝ｙ＾（１０）ｘ

本を読んでいたら
「｛ｐ、ｐ、ｐ、ｐ｝型の可換群」ってことばが出てきたんですが
どういう意味でしょうか？？

>>149
Z/p×Z/p×Z/p×Z/p って事ちゃうかな？

ブルバキだったら位相より代数と。

>>144
>>147は要らないでしょ。11-Sylow群をSとして、>>148のように
SへのG/Sの作用だけ考えれば良いわけだから、2-Sylow群の個数で
場合分けする必要はない。
ついでに言うと、2-Sylow群の個数を「1個or5個」としているのは間違い。
Sylowの定理により2-Sylow群の個数は22の約数である奇数だ。(つまり1個or11個)

素人ですいませんがログ２０ってなんですか？

マルチポストで申し訳ないのですが、
この問題をといていただけませんか？
http://proxy.ymdb.yahoo.co.jp/users/ccadfb2d/bc/s.doc?bcYqis8AXb7KOc1e
回答はビットマップなどでお願いできれば・・・と思います。
よろしくお願いします。

直リンじゃダメなようなので、再度・・・
ttp://proxy.ymdb.yahoo.co.jp/users/ccadfb2d/bc/s.doc?bcYqis8AXb7KOc1e
よろしくお願いします。

言葉使いは丁寧ですがそれでは期待する答えは返ってこないでしょうね

>>156さん
僕のことでしょうか？
かなりわがまま設定ですもんね・・・
自分で解いてみます、申し訳ありませんでした。

>>157
＞かなりわがまま設定ですもんね・・・

ピントの外れ方が素敵。悪いのはそこじゃねえだろ。

>>152
あ、シロー２−部分群の個数は１個または１１個でした。。。
添削有難うございます。

＞SへのG/Sの作用だけ考えれば良いわけだから、2-Sylow群の個数で
場合分けする必要はない。

どうもおいらにはよくわからないです。。。くわしく教えてください。

>>155
ちょっとTeXの練習に解いてみました。どうぞ。
http://www5d.biglobe.ne.jp/~pomath/foryou.html

>>160
TeXはいいんだけどどうやってgifに落としたの？

>>161
TeX2HTML つかったんじゃない？

http://tohoho.wakusei.ne.jp/lng/199905/99050091.htm
postscriptデータをGIFやJPGに変換するには？

>>159
群の作用とか半直積とかまだ習ってないなら、その引用部は無視していいです。

方針としては>>148でOK。
2-Sylow群<x>、11-Sylow群<y>とするとG=<x,y>。
xyx^(-1)がyの何乗になるかを求めるところがポイントで、
計算の結果xyx^(-1)= y or y^(-1) となり、
G=<x,y> 及びrelation x^2=y^11=1, xyx^(-1)= y or y^(-1)により
Gが定まるわけだが、(正確にはこれらの関係式で位数22の群が定まることを
示す必要あり) この過程で「2-Sylow群の個数は1個or11個」という情報は
全く使ってないでしょ?
だから147+148のように2-Sylow群の個数で場合分けする必要はないということ。

>>164
＞正確にはこれらの関係式で位数22の群が定まることを示す必要あり
Gを位数２２の群として考えてるからいらないと思ったけど必要ですか？

>>165
>>148で
「Gが位数22の群」⇒「G=<x,y>,x^2=y^11=1, xyx^(-1)= y or y^(-1)」
は示されているけど、逆向きの矢印は示されていない。

>>166
逆の矢印はなぜ示さないといけないの？
何度も何度も質問ごめんなさい。

質問スレに同様のこと書いたけど反応がないのでこちらに。

整数係数多項式を有理数上で因数分解した時、出てくる因数も整数係数となるのでしょうか？

>>168
なります。
同じやりかたでUID上の多項式環がUIDになることを
ガウスが証明しました。

>>167
なぜ、って・・・?
質問の意味がよくわからないが、「位数が22」ということから帰結される条件を
いくつか並べただけでは位数が22の群を定めたことにならないだろう?
一般に必要条件だけでは十分条件にならない。

「Gを位数が119の群とする。Gの7-Sylow群、17-Sylow群はそれぞれひとつしかない
　ことを示し、　それをH、Kと置いたとき、（HとKの直積）とGが、群として同型に
　なることを示せ。」

前半は簡単ですぐ分かるのですが、後半が分かりません。
|h|と|K|が素数だからそれぞれ巡回群になる、という事を言ったあと
どうすればいいか分かりません。教えて下さい。よろしくお願い致します。

>>169
ありがとうございます。
証明は、独りで考えて思いつくようなものでしょうか？難しいでしょうか？

>>172
すべての係数のgcdが1になるような整数係数の多項式を
原始多項式ということにします。
１）有理数係数の多項式は有理数と原始多項式の積に
　　一意的に表される。
２）原始多項式どうしの積は原始多項式である。

１）は明らかですが２）はちょっとした演習問題ですね。
この２つを使えば，有理数係数で因数分解したものを
整数係数の因数分解になおせます。

>>171
この問題みたことあるぞ。
ＨとＫが可換である事をしめして、写像ｆを決める。
ｆ：Ｈ×Ｋ→ｈｋ
この写像は、同型です。

>>173
ありがとうございます。ちょっとやってみました。

２）
ｆ（ｘ）＝Ａ0＋Ａ1ｘ＋・・・・＋Ａnｘ＾ｎ
ｇ（ｘ）＝Ｂ0＋Ｂ1ｘ＋・・・・＋Ｂｍｘ＾ｍ

Ｐ：素数　　ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）：原始多項式　とする。
あるＡｉとＢｊはＰで割りきれない。
そういったものの添え字が最大のものをそれぞれ、Ａｓ、Ｂｔとおく
��(i+j=s+t)Ａi*Ｂj≡Ａｓ*Ｂｔ（≡０ではない）（mod Ｐ）
よって、��(i+j=s+t)Ａi*ＢjはＰで割りきれない。

つまりどんな素数に対しても、割りきれない　ｆ（ｘ）*ｇ（ｘ）の係数が存在するので
つまり、ｆ（ｘ）*ｇ（ｘ）の係数の最大公約数は１

>>175
なかなかいい。
背理法の形にしてない所がキレイだね

お助けください。
Kを体、Fをその部分体、Kの自己同型写像全体をAut(K)とする。
Aut(K)の部分群Gについて、φ(K,G)をGの固定体とする。このとき
F=φ(K,Aut(K/F))⇒Aut(K/F)のある部分群GについてF=φ(K,G)である。
自明なことなのでしょうが、私にはピンときません。お願いします。

>>176
ありがとうございます。実は結構証明するのにごたごたして、最初はエレガントに
行かなかった
はじめは、ｆ（ｘ）*ｇ（ｘ）について、ｆ（ｘ）を固定して、ｇ（ｘ）をｍ次以下
の多項式とすると、これはｍ＋１次ベクトルからｍ＋ｎ＋1次ベクトルへの線型写像
だから、対応する行列（＝Ａ0、Ａ1・・・・Ａnを縦に並べ一個ずつ下げた形になる。名前があるのかもしれない）を使って証明した。

次に整数係数多項式が２つの有理数多項式の積に表されていたとする。
２つの多項式をλｆ（ｘ）、μｇ（ｘ）とする。λ、μは有理数。ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）
は原始多項式とする。

λμ*ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）は、λμが有理数で＞２）原始多項式どうしの積は原始多項式である。
よりｆ（ｘ）ｇ（ｘ）が原始多項式。
有理数*原始多項式という表し方は正負を度外視すれば一意的で、特にもとの多項
式が整数係数の場合、係数の最大公約数が頭に出てくる。
よって、λμは整数。
つまり、整数係数多項式が有理数係数多項式の積に表されていた場合、適当な有理
数をそれらの有理数係数多項式に掛けて、整数係数多項式の積に出来る。
特に因数分解でもいえる。

これで良いのかな？それほど自明でもなかったな。

>>169
UID?
UFD?

線形代数学の問題で固有値ベクトルの問題がわかりません。
どなたか教えていただけたらありがたいです！！
よろしくお願いします。

実対称行列の異なる固有値λ、μに対応する固有値ベクトルｕ､ｖは直交することを証明せよ。

|3 1 -1 |
｜1 3 1 | を対角化する直交行列Ｐを求めよ。
｜-1 1 3 |

(λ-μ)uv=uMv-uMv=0 よって uv=0
対角化は、、、とりあえず固有ベクトル求めてﾐｿ。

よくみたらさくらｽﾚじゃなかった。ｽﾏｿ
>>181 「わからない問題はここに書いてね」に逝け。

ﾅﾝﾄﾞﾓｽﾏｿ。 >>181 じゃなくて >>180

>>179
そうですね。ついつい間違える

>>181-183

ありがとうございます。
スレ違いでごめｎ

>堀田良之「環と体１ 可換環論」岩波講座　現代数学の基礎

これから読み始めるんですが、今から参加して良いですか？

堀田先生といえば、
むかし "annihilator" を「あにひれーたー」と
言ってたのを思い出すな。

このまえスキームの圏と環の圏が１；１に対応することを知って
感動した。代数幾何もおもしろそうですね。

>>170
よく考えたらそうですね、わかりました。ありがとう。

解析数論の一分野の「一様分布論」を用いて準乱数を作ると、
ある程度の滑らかな関数の高次多重積分がモンテカルロ法よりも
速く収束するという話を聞いたのですが、その辺の話を教えてください。

数の幾何学とかあまりやっている人のいなさそうな
分野の話知りたい。

私は解析系の人間ですが、いまいち代数の面白さが実感できません。
皆さんは代数のどういうところを面白いと感じるのでしょう。
ここで語ってくださいな。

>>188
スキームの圏でなくアフィンスキームの圏では。

>>187　「アニヒレーター」じゃなくて「アナイアレーター」？

この人バカ

>>195　えっ、どうして？

矢印厨にご注意あれ

>>192
> 私は解析系の人間ですが、いまいち代数の面白さが実感できません。
> 皆さんは代数のどういうところを面白いと感じるのでしょう。
> ここで語ってくださいな。

代数的方法は対象や推論や相互関係をパターン化して整理してるので気持が良い。
代数的に定式化できれば問題が一般的でなおかつ易しくなったといえることが多い。

代数解析ってのもあるぜよ

KをQ上ガロア拡大体として
Gal(K/Q)の部分群Hに対して
K^HをHの固定体としたときに
[K^H:Q]=|Gal(K/Q):H|でした？？

代数的に解けないと意味がない！！

>>200そのはずだね

>>200の証明ってどーやってするんですか？？

>>203
どーやってもなにも、どんなガロア理論の教科書にも出てくる基本定理じゃないか？

＞｢アニヒレーター」じゃなくて「アナイアレーター」？
そうですよ。どちらのアも口を殆ど開けないアです。

>>195ボクちゃん発音記号って知ってるかな〜？

>>203
体の拡大次数の乗法性と，
部分群の位数と指数の積が群の指数に等しいことから
かな
あえていえば

体の代数拡大について質問があります。以下、Ｋ、Ｌ、Ｍなどを体、（Ｋ：Ｌ）＝ＬをＫ上ベクトル空間とみなした場合の次元とする

ア）Ｋ⊂Ｌ　、（Ｋ：Ｌ）＝有限、　の場合、Ｌの適当な元αを一つＫに付加すれば、Ｌを得られるでしょうか？

イ）Ｋ⊂Ｌ⊂Ｍ　ならば　（Ｋ：Ｍ）＝（Ｋ：Ｌ）*（Ｌ：Ｍ）が成り立ちますが
逆に、Ｋ⊂Ｍ、ｄが（Ｋ：Ｍ）の約数なら、（Ｋ：Ｌ）＝ｄ　Ｋ⊂Ｌ⊂Ｍ　となる中間体Ｌはかならず存在するのでしょうか？

ウ）Ｋ⊂Ｍ　α∈Ｍ　で、　１、α、α＾2、α＾3、、、α＾（ｎ-1）がＫ上ベクトル空間としてのＬの基底だとする。
ｄ｜ｎとする。１、α＾ｄ、α＾2ｄ、、、α＾（ｎ-ｄ）のＫの元を係数とする線型和全体は、体となるか？（その場合Ｋのｎ／ｄ次拡大体となる）


以上、ア）イ）ウ）、関係あるのかもしれませんが独立した問題ですので、単独でも良いから分かる方教えてください。今日ずっと考えてて分かりませんでした。

>>207

ア）イ）が成り立つなら、ウ）が成り立つことは分かるのですが。

＞ア）イ）が成り立つなら、ウ）が成り立つことは分かるのですが。

これは早とちりでした。撤回します

>>207
>（Ｋ：Ｌ）＝ＬをＫ上ベクトル空間とみなした場合の次元とする
ふつうこれは(K:L)でなく(L:K)と書かないか?

ア) L/KがseparableならL=K(α)と書けることは大抵の教科書に載っている。
separableでない場合は知らん。

イ) 存在するとは言えない。例えばM/KがGal(M/K)=A_4(4次交代群)なる
Galois拡大であれば(M:K)=|A_4|=12だが、A_4は位数6の部分群を持たないので
(M:L)=6なる中間体は存在しない。

ウ) イ)が不成立なのでこれも不成立。大抵の場合その線形和は部分環にしかならない。

>>210

どうもありがとうございます。ゆっくり考えてみます

>>（Ｋ：Ｌ）＝ＬをＫ上ベクトル空間とみなした場合の次元とする
>ふつうこれは(K:L)でなく(L:K)と書かないか?

始めて気がついた。確かにその通りだ。ずっと勘違いしてた。大きい方が左側に来るというのは、違和感があるが。
「log底ＫのＬ」　ってのはどうかな？

>>198
なーるほど。
確かに、代数の強みというかセールスポイントは
相互関係の形式化とパターン化ですね。
個人的には、解析学の収束証明や式の評価の部分が面白いと思ってるので、
そういう観点からすれば代数の面白さがあんまり実感できないわけですな。
直感的印象ですが、代数では議論の舞台構成に力を置いていて、
解析では舞台の上での行為に力を置いているような気がします。

>>199
代数解析はちゃんと勉強したことないからよく知らんのだけど、
方程式の（とその方程式が表している現象）の実体的な部分が
代数系の中に隠されてしまうような気がするので、そういうアプローチは
あんまり好きじゃないです。
（そもそもその点が代数解析のウリなのでしょうけど）

>>201
代数的に解けないと意味がない、というのも分かりますが、
解析的には、例えば微分方程式の解の性質がパラメータに関して
滑らかかどうかとかも重要な興味の対象です。
代数的に解けない問題に対し、いかにしてアプローチするかというのも
面白いところだと思うし。

他の皆さんの代数や解析に対する考えはいかがですか？

エロ動画

Mn(C)はC上ベクトル空間であり、Q上ベクトル空間。
A∈Mn(C)の列ベクトルたちがQ上一次独立ならAは逆行列をもつ、といえるんですか？？
んぅ、ベクトル空間がわからなくなってきたぁ。

>>214
A∈M_2(C) の列ベクトルが(1,0)(i,0)の場合でも考えてみれ。

>>215
(1,0)(i,0)はQ上一次独立だけどC上一次独立でない。。。

今見た教科書に
A∈Mn(C)が正則である⇔Aの列ベクトルが一次独立って書いてあったんだけど
Q上一次独立,C上一次独立どちらなんでしょうか？

>>216
そだよ？だから、
＞A∈Mn(C)の列ベクトルたちがQ上一次独立ならAは逆行列をもつ、といえるんですか？？
はNoだと言ってるんだけど。

>>217
せっかく>>215で書いたのに無視ですかい。よーし、パパ拗ねちゃうぞー。

#大体、そこでなんでQがいきなり出てくるのか小一時（略）
#Rは仲間外れかよ（違）

>>219
すいません。見落としてました。
行列
(1,0)
(i,0)
は逆行列をもちませんね。

Mn(C)をQ上ベクトル空間としてみたとき
A∈Mn(C)が正則であることと同値な条件てある？？

代数はキレイにこじんまりまとめすぎ
解析は細かくやりすぎ
よって幾何がいいや（ｗ

幾何はイメージに頼りすぎ
よって集合論の泥沼がいいや（ｗ

HartshorneのAlgebraic Geometryの2章にunit idealってあるんですけど何のことですか?
索引にも無いし代数の本を見ても見つからないです。

深遠な概念のように聞こえるね。
もしも１の生成するイデアルのことだったりしたら、怒るよね。

>>224
単元を含むイデアルらしいです。つまり>>225で正解。

怒れ！ 225 。

質問がｸｿ

（1）←何かべつのものに見えますが、何か？

すれ違いかもしれないけど、
モンテカルロ法、準モンテカルロ法について述べているサイトを教えて。
それとこれらは代数学と少しは関係あるんですか？？

あ、それとubasic使ったことあるひといますか？？

>230
俺も準モンテカルロ法知りたい。
やっている人ってどのぐらいいるの？
東大・伏見先生一派、IBM関係者etc.

そうそうモンテカルロ法だったら松本眞先生作の
メルセンヌ・ツイスターがＫＯ大数理ホームページにあった。
準モンテカルロ法は、解析数論の中の一様分布論と
関係あるらしいけど、よく知らないので誰か教えてちょ。

ｎ次元ユークリッド空間の部分集合
｛（ｘ１、ｘ２、……、ｘｎ）｜０＜＝ｘi＜１、i＝１、２、……、ｎ｝の体積は１？？
代数の講義で出てきたけどわからなかった。。。どなたか教えてください。。

定義やんか
それとも、境界を含んでないから体積はこぼれ落ちてしまうはずだという
例の疑問？

>>235
詳しく教えてください、お願いします。

>>235
境界を含んでないから体積はこぼれ落ちてしまうはずだという
例の疑問？ではないです。

>>234
問題の集合をVとすると体積は
∫[0,1]...∫[0,1]dx1...dxn=1
となるのでは？

VとするととかいっといてV使ってなかった・・・
体積は∫_V1dxだから、ということです。

∫…∫_V (1)dx1…dxn
=∫[0,1]...∫[0,1](1)dx1...dxn
=1
てこと

質問スレよりもこっちのほうがよさそうなので。


与えられた数の平方根を計算するときに、
a_n+1 = ( a_n + m / a_n ) /2
a_0 = 1 ( でも何でもよい )
この数列の極限は、√m に収束する。

これを有限体に適用することを考えてみた。
F_p（ = Z/pZ）を考える。
m を整数とし、(m/p)=1 （平方剰余）とする。
# i.e. x に関する合同式
# x^2 ≡ m (mod p)
# が整数解を持つこと。

このとき、mod p での m の平方根を求めたい。
a_n+1 ≡ ( a_n + m / a_n ) / 2 (mod p)
と漸化式を与えれば、この数列の極限は、
mod p での m の平方根に収束するか？

有限体だから、平方根に収束しなければ途中で循環する。
そのときは新しい値からはじめる。
これを繰り返せばいつかは平方根が計算できるけれど、
素朴に計算したほうが速ければ意味がない。

平方根に収束することを証明する。
または、
素朴な計算より計算量が少ないことを証明する。
どっちでもいいから何かアイデアないもんでしょうか？

ガウスの綴り全然違う。。。

Qの完備化として実数体とp進体は親戚のようなもの。
実数体で成り立つ下記のNewton法の定理は

　漸化式 x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)で数列{x_n}を作る。
　x_0がf(x)の根αに十分近ければ数列{x_n}はαに収束する

p進体でもほとんどそのまま成り立ちます。(「x_0がf(x)の根に近ければ」は
Henselのlemmaで「f(x_0)≡0 mod pならば……」という部分に相当)

こういう解析的な定理をp進体でなく有限体に適用しようとするのは
とりあえずセンス悪いような。
「Z/pZ内でf(x_0)=0となる元x_0をみつける」というのは、
Z_pに置きかえると「f(x_0)≡0 mod pとなるZ_pの元x_0を見つける」、
すなわち「Newton法の初期値x_0を決める」段階に相当するでしょうか。
Newton法の漸化式はNewton法の初期値を決めることには使えない
というのは常識ですね。

>>243
ありがとうございます。

今は、1,2,…,(p-1)/2 をそれぞれ二乗して調べていたのですが、
もうちょっとましな方法はないかというのが動機でした。

任意の体に対して、その代数的閉包が存在することの証明は難しすぎ。
こいつのおかげで勉強が一週間近くストップした。。

指導教官曰く「停滞している時間は無駄ではないんだ。」

無駄ではないと思いたい。
でもやっぱり無駄な気がしてしまう私は才能なしですか。

俺なんて一ヵ月近く勉強してないよ。

停滞してるのと勉強してないのとは
ちょっと違うんではないかい？

ちょっとじゃなくて全然違うよ。

>>245
その質問をしたものです。澄みません。

>任意の体に対して、その代数的閉包が存在することの証明

これで一週間停滞するのは無駄に近いかもしれない。
代数的閉包の存在証明は読み飛ばすのが正解。

>> 252
疑問に思わないやつの存在は無駄。

代数的閉包の存在証明ってそんなに難しかったっけ？
Zornの補題を機械的に適用して終わり、ってな感じじゃなかったか？

有理数体QにQ上代数的数でないものを添加した体の
Q上の次数は有限でないのですか？？

Michael ArtinのAlgebraっていう本どうですか。

>>255
π,π^2,π^3,… がQ上一次従属になるというのなら
有限拡大でしょう。

>>255
そういうことは、人に聞かずに本に書いてある「有限次元」
の定義をじっくり読んで考えてみよう。
1を聞いて10を知る努力をしたら？

数学についてほとんど何もわかりません。どなたか教えてください。
（１）整数の集合Jを７を法として分類した剰余類C0、C1、C2、C3、C4、C5、C6において次の問に答えなさい。
�@それぞれの剰余類を合同式を用いて表せ。
�A剰余類の和及び積の表を作れ
�B剰余類の集合｛C0、C1、C2、C3、C4、C5、C6｝は積に関して群をなすことを証明せよ

何かアドバイスおねがいします。
また、代数学の基本がわかるような本があれば教えてください

何がわからないのかがわからない

C2×C5＝C10＝C３（ｍｏｄ７）のようなことをC0、C6ですべて計算すればいいのでわ？

>>259さん
それぞれの言葉について定義を知っているのか教えてください。
７を法とする、剰余類、合同式、群、、、

259です。
質問が漠然としていました。すみません。
「７を法とする」がわかりません。
言葉の意味もわからない通信大学生です。
何か、言葉の意味がわかるようなお勧めの本は無いでしょうか？（教科書だけではさっぱり・・・）
このままだとあっというまに1年が終わってしまいそうです。

>>263
「７を法とする」
っていうのは ７で割ったあまりを考えるってこと。
つまり、詳しく知りたければ整数論の本をよめってことだ

>>263
ここに偉い人がいるので参考にしてみては？＜本
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1015741116/62/

なんと悲惨な…この哀れな>>263に誰か愛の手を！

>>２５９
「群・環・体」ていう共立出版からでている本にそのような問題の解答がたくさんでてるよ

みなさま、ありがとうございます。助かりました。
また自分のレベルの低さを認識しました。
高校数学に戻りながら頑張ります。

そこまで何も知らないのに、自分の質問の内容が代数学の範疇
である、ということは分かったんだ？
実は、結構センス良いのでは？？　頑張ってね。

>>258
考えてみたらわかりました。
数学ってひとに聞く前に自分の頭で考えることが大切だということもわかりました。

質問したとたんに閃いたりするんだよね。＞２７０

>271
そういうのってありますね。

標数pの剰余体が非完全だと何が本質的に問題になるんですか？
例えばB_dRが、非完全のときにはややこしい定義をしなくてはならないのは
なんでなんでしょうか？

体の分離拡大の定義がテンソル積使って書いてあるんだけど。。。。
とっかかりすらつかめないのでヒント下さい。
永田の「可換体論」に出てました

参考資料.....
http://www.applehouse-jp.com/project/index.html

>>259
>>256と一緒に
＞Michael ArtinのAlgebraっていう本どうですか。
この本読めば？わかりやすいよ.
ちょっと重いけど（藁

代数学、整数論（解析的、代数的）ってどんなことを研究してるんですか？？
大学１年程度のひとにわかるように教えてくれませんか？？

代数学
群、環、体といった基本的な概念を勉強します。
最終目標はガロア理論とする場合が多いです。

代数的整数論
代数的整数と呼ばれる１変数多項式の根となる数の研究です。
普通の整数は区別するため、有理整数と呼びます。

解析的整数論
解析的手法を用いた主に素数にかかわる研究です。

代数学とはあんまり関係ありませんが、
修士論文って発見的なもの（教科書にのってる補題レベル？）をみな書くんですか？？
このままいったらそんなの書ける気がしない大学４年生（院進学希望）です。
読んでる本の内容をまとめただけってことはないですよね？

人による。
そのまま研究論文クラスになって、他の人がいっぱい勉強するような修論もあれば、
総合報告もある。

>>279 大学にもよるね

>>279
とりあえず今お前が座っている椅子を両手で持ち上げるんだ。
それくらい出来るよな？

そのまま椅子を持った両手を上まで一気に伸ばす。
そして「せいやーっ！！」と叫びながら前に思いっきり振り下ろせ。

ちょうど今お前が見てるこの書き込みめがけて振り下ろせ。
そうすればお前に希望が訪れる。

線形代数って完成されていてこれ以上発展しない、って本当ですか？！！

>>283
単なる区切りだから・・・

符号理論や組合せ論とも関連してて重要な有限体や標数が正の体上の
線形代数はまだまだ未開拓ですよ。

>>284-285
ぬおお、授業の最初の概説で>>283のような事を聞いたのですが。
よく分からないけど面白そう！頑張るぞうおおお！！！

どんな分野も見方を変えればおもしろく復活したりするのよんねん。
だいたい「専門家」の言ってることはアテにならないとおもってマチガイないわん。

だいたい「専門家」っていうのは身動きできないヤツラを指す。（ワラ

2^(2^n)+1
2^p+1が素数かどうかを考えるようになった理由を教えてください。

>>289
nは自然数、pは素数とします。

age

>>289
いやいや、ｐが２でないなら明らかにそれ合成数だろ・・ｗ

2^(2^n)+1は？？

計算の基本に、交換則・結合則・分配則ってありますが
これって証明してつかう法則ですか？

3・（5+8）＝3・5+3・8になるね〜
　　ほ〜ら成り立つでしょう。

とか、具体例をあげての説明ならよく聞きますが
一般化した説明ってないんですか？
本気で疑問です。工房でもわかるような説明ってないでしょうか？

整数ならばこれらが成り立つことは簡単に証明できる。
しかし、これらの性質が成り立たない代数系はいくらでもあるので、
自明でなければ当然、証明を要する。

工房なら、交換法則が成立しない例くらい知ってるはずだ

誤：整数
正：自然数

>>294
足し算、掛け算を帰納的に定義すると証明可能だ。
これは代数学というよりも基礎論に属するような気がしないでもないが。

>>295 >>298
証明を知りたいです。
それが工房に理解できないなら、だいたいの説明を。
だいたいの説明の方が僕にはいいかな。。。

>>296
行列っすか。
あれは証明見せられましたから納得です。
中学のころは交換則・結合則・分配則ってなんで成り立つの？
なんて考えもしなっかたですから。。。
今になってそれが疑問に思えてきたのです。

＞整数ならばこれらが成り立つことは簡単に証明できる。

ならば証明を書いてあげなされ。それが優しさというものじゃ。

ｽﾏｿ
age忘れてた。

＞整数ならばこれらが成り立つことは簡単に証明できる。
だから、整数じゃなくて自然数だって。整数の分配則は証明できないよ。

ある本を読んでみました。大体、こんなふうに書いてあります。
思い出しながらで書いているので原文には忠実でないです。。。


〜〜ここまでが、整数についての和の分配則、結合則が成り立つことの説明〜〜

これで整数についてa+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)が成り立つことがわかった。
次に、私たちは整数についての積の計算をできるようにしたい。
整数の積の計算はどのようにすればいいだろうか。
私たちは整数の積の計算でも交換則ab=ba・結合則(ab)c=a(bc)
・分配則a(b+c)=ab+acが成り立つようにしたい。

いま分配則a(b+c)=ab+acが成り立つとすると、
a=0,b=1c=-1として、
　　　　　　　　左辺＝0・｛1+（-1）｝＝0・0＝0
　　　　　　　　右辺＝0・1+0・（-1）＝0・（-1）
　　　　　　　　　　　　　ゆえに0・（-1）＝0とならなければいけない　　　←Ａ

a=1,b=1c=-1として、
　　　　　　　　左辺＝1・｛1+（-1）｝＝1・0＝0
　　　　　　　　右辺＝1・1+1・（-1）＝1+1・（-1）
　　　　　　　　　　　　　ゆえに1・（-1）＝-1とならなければいけない　　
　　　　　　　　　　　　　また、交換則も仮定しているから、（-1）・1＝-1が成立　　　　←Ｂ

a=-1,b=1c=-1として、
　　　　　　　　左辺＝（-1）｛1+（-1）｝＝（-1）・0＝0　　　　　　　　　←Ａより
　　　　　　　　右辺＝（-1）・1+（-1）・（-1）＝（-1）+（-1）・（-1）　　←Ｂより
　　　　　　　　　　　　　ゆえに（-1）・（-1）＝1とならなければいけない

このようにしてa,b,cにいろいろな整数を入れてみると、
　　　　　　　（正の数）・（正の数）＝（正の数）
　　　　　　　（正の数）・（負の数）＝（負の数）　　　　　　　　　　　←★（この四つ）
　　　　　　　（負の数）・（正の数）＝（負の数）
　　　　　　　（負の数）・（負の数）＝（正の数）
　　　　　　　　　　　　　　　　　とならなければいけないことがわかる。


こんな感じです。。。

これを読むと、交換則・結合則・分配則を証明するんじゃなく、
交換則・結合則・分配則が成り立つように★を決めていますよね？
「★に従って計算すれば交換則・結合則・分配則が成り立つよ」というのが
交換則・結合則・分配則の成り立つ理由なんでしょうか？

長長文、ほんとにすまんです。。

この説明読むと、「★に従って計算すれば交換則・結合則・分配則が成り立つよ」
と言ってるらしいんですね。
でも、←Ｂってある所の部分で、
＞a=1,b=1c=-1として、
＞　　　　　　　左辺＝1・｛1+（-1）｝＝1・0＝0
＞　　　　　　　右辺＝1・1+1・（-1）＝1+1・（-1）
＞　　　　　　　　　　　　ゆえに1・（-1）＝-1とならなければいけない　　
＞　　　　　　　　　　　　また、交換則も仮定しているから、（-1）・1＝-1が成立　　　　←Ｂ

ってやつは、「交換則を成り立たせるためには
　　　　　　　　　　　　　（-1）・1＝1
　　　　　　　　　　　　　1・（-1）＝1　　　としなければならない」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ってことでしょうか。
なんかそれって変では？と思うんですが。。。


読んだ本はhttp://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/0/0067710.htmlです。

>>303
>これを読むと、交換則・結合則・分配則を証明するんじゃなく、
>交換則・結合則・分配則が成り立つように★を決めていますよね？

だから、整数では分配則は証明できないんだって。
なぜなら、負数同士の掛け算を自然に定義できないから。
だから、分配則が成り立つように負数同士の掛け算を定義する。

なんだかよく分からないことになってきました。
みんなもよく分からないことを書いてスレを盛り上げよう！

>>306
なんとなく、スミマセン。。。

>>305
ふむふむ。と言うことはですね、
整数（さらには実数）についての交換・結合・分配則は
整数（さらには実数）自身の定義から成り立つわけではなく、
（正の数）・（正の数）＝（正の数）
（正の数）・（負の数）＝（負の数）
（負の数）・（正の数）＝（負の数）
（負の数）・（負の数）＝（正の数）
と定義することによって、成り立つようにされている。。。。と
このような認識で正しいのでしょうか？

だとしたら、中学の時よく言われる、

貸し出しを正とし、借金を負で表すとするよ。
100円の借金が100あることを考えると（-100）・100は-10000となるよね。
100円の借金が相手に逆に100あることを考えると
（-100）・（-100）は10000になるでしょう。
ほら、（負の数）・（負の数）＝（正の数）になるね

なんてのは、
（正の数）・（正の数）＝（正の数）
（正の数）・（負の数）＝（負の数）
（負の数）・（正の数）＝（負の数）
（負の数）・（負の数）＝（正の数）
の定義によってうまく表されることを言って、
この定義が便利なことを納得してもらうために
使う便法ってことでしょうか？

age

>>294-308
すごすぎる・・・・・・。
これが天才というものなのか・・・・？
俺みたいな凡人は一次直線上や2次平面上の点
をイメージすることによってしか
実数の演算を理解することができない。

>この定義が便利なことを納得してもらうために
>使う便法ってことでしょうか？
ピンポンピンポン。

Aを複素成分のN*N行列、ｘをN次元数ベクトル空間のある要素、
０をN次元数ベクトル空間のゼロベクトルとしたときに
Ax＝０が自明でない解を持つ⇔det(A)=０
というのがわかりません。

それと実数成分のN*N行列A＝（a(i,j)）は
a(i,i) > 0 (i=1、…、N)
a(i,j) < 0 (i≠j)
Σ(i=1〜N)a(i,j) > 0 (j=1、…、N)
を満たしている。このときdet(A)≠0である。

この二つがどうしても分かりません。教えてください。

>実数成分のN*N行列A＝（a(i,j)）は
>a(i,i) > 0 (i=1、…、N)
>a(i,j) < 0 (i≠j)
>Σ(i=1〜N)a(i,j) > 0 (j=1、…、N)
>を満たしている。このときdet(A)≠0である。

０でないx=(x(1),...,x(N))∈R^Nに対して
|x1|,...,|xN|の最大値を|xj|とおくと
Σ(i=1〜N)x(i)a(i,j)≠0だからxA≠０。
xの方程式xA＝０の解がx=０だけだからdet(A)≠0。

記号が混乱しとる、、、

>|x1|,...,|xN|の最大値を|xj|とおくと

|x(1)|,...,|x(N)|の最大値を|x(j)|とおくと

代数学の環・体の所での質問なんですが、
M(C)の部分集合Hがあり(Cは複素数）、その部分集合Hが2行2列の行列なんです。
行列の表記が出来ないので、成分で言いますと、
(1,1)成分＝α　(1,2)成分＝β
(2,1)成分＝−β（βの共役複素数）(2,2)成分＝α（αの共役複素数）
という行列です。（α、βはそれぞれ複素数）
それで問題は、この行列の和および積に関して斜体（非可換体）である。
Hは可換体でない。このことを示せ。なんですけど、
どのような方針で示せばいいのでしょうか？
教えて下さい。

それともう一つあるのですが、
R（環）、F(部分体）で、
1（Rの単位元）＝1（Fの単位元）であることをどう示せばいいのでしょうか？
感覚的にわかっていても、どう示せばよいのかわからなくて・・・。
教えて下さい。

>>316
「単位元を持つ環には単位元は一意に存在する」
という命題は証明できる？できたら続きを教えてあげる。

>317
その証明も教えて下さい。すみません。

>>316
> F(部分体）
とあるけどこれは
F(Rの部分体）
と書くべきでしょう。こういう一見細かいところにも気を配らないと
大学の数学なんてあっという間にわからなくなるから注意してね。

>>313
>>Σ(i=1〜N)x(i)a(i,j)≠0
はなぜですか？

>>318
環における単位元の定義から明らか。教科書嫁。
……で終わらせたらかわいそうだな。

[証明]
1a,1bを環Rの任意の単位元
αをRの0でない任意の元とする。
1a≠1bと仮定すると
両辺にαをかけて
1a・α≠1b・α --(1)
単位元の定義より
1a・α＝α --(2)
1b・α＝α --(3)
(1),(2),(3)よりα≠αとなり矛盾。
故に1a=1b
(QED)

名前欄間違えた。鬱。

>環における単位元の定義から明らか。教科書嫁。
……で終わらせたらかわいそうだな。
証明、ありがとうございます。

おい！
【ＣＭ】だｺﾞﾙｧ!!
いつもは、話し合い、煽り合い、なじり合いしている俺たちだが、
ちょっくら、団結する時が来たようだ。

…え？
トーナメントだよ、トーナメント。
知ってるだろ？
数学板住人として、やっぱり予選ぐらい通過しておきたいと思わないか？
だってよぉ、俺たちは天才だぜ？
なんだ漢だ言って、算数・数学もできねぇ厨房に「ヲタ」扱いされて
狭い板の中で、縮こまってる場合じゃねーんだよ。

俺たちの頭の良さと、数学板の存在意義を賭けて、
4月30日のＡＭ0時〜PM23時の間に投票しようぜ。

な〜に、簡単なこった、投票板に行って、書き込みするだけだ。
めんどくさい事はない。

詳しくはココ↓でな。じゃ、待ってるぜ。
『２ｃｈ全板人気トーナメント』
http://natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1019912361/


*************************

>>316
単位元を持つ環 R において部分集合 F が部分環であるということの定義だけど、
F が R の単位元を含んでいることを（普通は）仮定する。
この仮定をはずすと「Rの単位元＝Fの単位元」は言えなくなる。
たとえば　R＝F＋F（直和）において F+{0} を「部分環」の中に入れてしまうと
その単位元は (1,0) であり、それは R の単位元 (1,1) に一致しない。

>>315-316
マルチポストの教えて君のままでは、力は伸びないYO!

>>320
|Σ(i=1〜N)x(i)a(i,j)|
≧|x(j)a(j,j)| - |Σ(i≠j) x(i)a(i,j)|
≧|x(j)a(j,j)| - Σ(i≠j) |x(i)||a(i,j)|
≧|x(j)a(j,j)| - Σ(i≠j) |x(j)||a(i,j)|
＝|x(j)|a(j,j) - Σ(i≠j) |x(j)|{-a(i,j)}
＝|x(j)|Σ(i=1〜N)a(i,j)
＞0

>>327
この問題って簡単だった？おいらは手も足もでなかった。

質問です。

代数拡大の定義は
「拡大L/KがあってLがKの代数拡大であるとは、
　任意のα∈LがあるK係数多項式の根になっている事である」
ですよね。
これとは逆に、全てのK係数多項式の根を含む体Lは何拡大と言うのでしょうか。　　

>>329
Kの代数的閉包

の拡大体

>>330LがKの代数的閉方である、の定義は
「�@L/Kが代数的拡大�ALが代数的閉体」
の２つをみたすことで、Lが代数的閉体である、の定義は
「Lの代数的拡大はL自身」（同値な定義はもっとありますが
ですよね。言い換えると、Kの代数的閉方がLであるという事は
「L/Kは代数的拡大であり、Lを含む代数的拡大はLしかない」
と言う事になりますよね。
これでLは任意のK係数多項式の根を含む事になるのでしょうか（←疑問
「K係数多項式の根はKの代数的拡大に含まれるはずだが、
　Lよりも大きい代数的拡大は無いので、Lに必ず含まれる」
と言う解釈でいいのでしょうか？よく分からないのですが・・・

>>332
その解釈でいいよ。

ありがとうございます。実はもうひとつ気にかかってるのですが
「K係数多項式の根はKの代数的拡大に含まれるはず」
という部分が疑問です。はず、というのは私の直感なので・・・
もし、代数的拡大L/KでK係数多項式のある根がLに入ってなかったとしても
その根を含むようなLよりも大きな拡大を勝手に作ってやるって事なんですかね。
で、どんどん大きくしていった時に最終的に行き付く所が代数的閉方である、と・・・

>「K係数多項式の根はKの代数的拡大に含まれるはず」
ここはむしろ
「任意のK係数多項式ｆに対して、Kの代数拡大Lで、
　ｆの根を含むものが存在する」
というべきかな。

するとその存在する、と言うのは何によって保証されているのでしょうか？
今のところ334で書いた勝手に作っていく方法しか思い浮かばないんですが。

>>336
その方法でいいよ。

４年生です。
友達にデデキントの判別定理、単数定理くらいはしらないといけないって言われたんですけど。
おいらはまぁまぁまじめに勉強してる方だと思うけどその友達はいいすぎでしょうか？
代数専門にしてたら、そこまでは４年生で勉強しないとだめ？院にいくつもりです。
セミナーのほかに自分で読んでる本てある？院生になったらそれが普通なの？

>セミナーのほかに自分で読んでる本てある？
自主ゼミとかやってるのが普通だと思うが。

>デデキントの判別定理
講義で習ったよ。

>>339
俺は４回生だけどゼミしかしてない。。。
自主ゼミやるのが普通？

>セミナーのほかに自分で読んでる本てある？院生になったらそれが普通なの？
もしかして、授業の講義内容以外の勉強はやってこなかったの？
それとも、ネタですか？

>>342
ネタではないですよ。講義以外の勉強してないのですが・・・。

＞講義以外の勉強してない

それでじゅうぶん。

なぜじゅうぶんかというと（藁）集中講義とかも入れると
大学生のうちにそうとうな知識量になりますから。

ああ．．．授業チャント聴いておけばヨカッタ。。。

他のスレで質問したけど答えてもらえなかったので再度質問。
「Kroneckerの青春の夢」って何ですか?

あげ。

>>347
虚二次体の類体の構成。

代数、特に数論を就職してからも使う職業って大学教員ある？

院で勉強してたことは就職して役立つことってありますか？

結局、考え方が役に立つ、論理思考ができるようになる。ですか？

>>349
ありがとう。
体を勉強していくと出てくるんですかね。

>代数、特に数論を就職してからも使う職業って大学教員ある？
意味不明

大学教員以外に、だろうな。

>>350
暗号屋にでもなればいかが？ｗ

>>350,>>353
実はゼータがらみでエレクトロニクス方面でも
数論屋が必要とされているらしいＹＯ！
以外と知られてないのかな？

>>354
超伝導屋の話ですかな？

>>353
職業としては暗号屋はSEかPGとしてしか採用されませんよね？
暗号ってどんな企業で研究されてるの？
暗号システムっていってもRSA公開暗号鍵システム以外に
たくさん暗号システムはあって数論を利用してんの？
一方向性関数、一方向性落とし戸関数は代数分野から
見つけられるかどうかもわからんし解析、幾何分野から
みつけられるかもしれん。と思う。

あげ。

>>356
そんなことないよ。NTTやNECの研究所勤めでしょ。
富士通なんかもガロア数体とかの研究してるらしいし。

ガロアもうかばれるじゃろうて。

整数論勉強するのに良い本ってあります?
東大出版のはわけわからん。

>>360
整数論っていっても千差万別なんで
アナタは死刑。

数学勉強するのに良い本ってあります？

初等整数論か代数的整数論か解析的整数論か・・・

>>362
ヴェイユの初等整数論

環論についての本で初心者でもわかりやすく書いてある本とかあったら
教えていただけないでしょうか？

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4535601224/qid=1022831512/sr=1-2/ref=sr_1_0_2/250-9863644-6254669

こんなのでとる。
パラパラっと読んだが入門者向けに詳しく書かれていてイイ感じ。
多分高校生でも読めるんじゃないだろうか。>>362さん、読んでみれば？

「読んでみれば？」じゃなくて「読んでみては？」の間違い。

グラフ理論って代数とはあんまり関係ないんですか？
そもそも数学とは関係なし？

>>368
代数と大いに関係があるみたいダヨ。
http://coolee.tripod.co.jp/graphtheory.html

>>369
まだ内容を見てないけど
教えてくれて有難う。

あげ

あげ

>>360
まだ大学1,2回生なら「初学者のための整数論」でもいいと思うけど、
3回生ぐらいになったらそれぐらい頑張って読んだ方がいいのでは？
なんてったって、ちゃんと類体論の証明やってる本ですら
「Basic(!) Number Theory（Weil)」やからねぇ。

群論の入門書でおすすめの本はありますか？

>374
ttp://shopping.yahoo.co.jp/shop?d=jb&id=04986612

代数概論はやめとき

sage

わし代数概論すきやけどな。

悪い点は命題、定理の証明で論理が
飛躍するところがあったりする点かな。
だから代数苦手な人にはあまりお勧めできないと思います。

特に大きい定理とかで、説明飛ばされると、
そういう定理に限って、普通思いつかないような
証明方法使うからね。

良い点は、順序だててうまくまとめられてる点だと思うよ。
群、環、加群、体って学び終わったところからはじめられる。

章末の問題も、院試を参考にしてるらしいからいいと思うよ。

とりあえず、わたしが言いたいことは、お勧めだよってこと（汗

とりあえず代数概論は入門書ではないわな。やめとき。

群論の入門書が欲しい君にはこれ。
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/034061045X/249-6592313-5936346

>>376 同感。森田はサイテイ。

何の本かと思っていたら、消火防のヤツか・・・

Atiyah-Macdonald: "Commutative Algebra"

代数屋ならこれは必読だろうな。

Introduction to Commutative Algebra

可換代数って簡単にいって何なの？

可換群とか可換環とか可換体とかの研究

つーか一発変換できたらすごい

果敢群　果敢間　加歓待

・・・俺のPC　なかなか良い感じ（ヮ　

可換群　可換環　課歓待・・・

可換、群、環、体は辞書登録

可換群、可換環、課歓待
課歓待は辞書登録していない

松村の「可換環論」は名著。

可換群ではなくてＲ−加群　>>上

ホモロジー代数は別の本で補完せよ。

アティヤ・マクドナルドの
Introduction to Commutative Algebra
は確かにいい本だよね。
4年のゼミで使ってました。

>>391
この本の紹介で例がたくさんのっていると書いてあったのですけど、
そうなのですか？
Atiyahはどんな風にテキストを書くのか一度見てみたい。

騙されたと思って読め。

微分積分学より重要（笑）

アティヤ・マクドナルドは初心者には厳しいだろ。

就職活動で代数学んで社会に役立つことある？って聞かれたのですが
なにに役立つと答えればよかったのでしょうか？
携帯電話のメール送信で使われる暗号化って答えちゃったんですけど・・・。

【面接担当者心理の例】

・こやつは数学バカで、一般常識に欠けるのか？

・わが社の業務に使える知識を持ちあわせているのか？

・適当に質問してみよう・・・

アーベル多様体の話なんかやっちゃダメだよ(^_^)
好きな本とか購読新聞はポイントだと思う。

ポイントは髪型と靴

面接担当者が一番知りたいのは、アーベル多様体についてのあなたの知識です。
アーベル多様体を、その偏極やモジュライを、思う存分に語るべきです。

まじで院で勉強してることを面接でしゃべったらダメ。
確率論で金融の面接ならまだしも。

>>399
ダメだったの？

やっぱ数ヲタって思われちゃ宇野かな？

>>395
>就職活動で代数学んで社会に役立つことある？って聞かれたのですが

EXCEL使えますと言う(^_^)
「ヲタは知識だけで実行力ゼロ」という認識多いｙｏ！
ネットが身近になった今、頷ける。

>>402
それだと数学が堂役立つか答えになってないって言われそうだよ・・・。

加減乗除はお金の計算に役立ちます（w

どんな会社の面接かで、話は違ってくるよ。

グラフ理論と代数学の共通部分ってなにがありますか？

ギリシャ文字とドイツ語の書き方がのってるサイト教えて。
印刷した字だけみても書き方がよくわかりません。

http://www.aurnh.de/suetterlin.htm

無限体ってなんですか？

>>412
有限体じゃない体です。

体の元の個数が有限個→有限体
体の元の個数が無限個→無限体

無限集合ってなんですか？

>>414
要素の個数だったのか、分かったよ。サンクス。
有限整域は体でしたね♪

>>415
有限集合じゃない集合です。

>>415
要素の個数が有限でない集合です。
集合Aが無限集合
⇔
｛１，２，３・・・ｎ｝とAの間に全単射は存在しない。

>>415=>>417

PolyLogってなんですか？

>>416
有限整域ってなんですか？

元が有限個の環で、且つ整域な環

>>420
Poly な Log です。

全単射ってなんですか？

>>422
＞且つ整域な環
ﾌﾟｯ

全で単な射のことです。

>>424
全かつ単な射です。

>>426
きゃー！すげー。ｹｺｰﾝ!

（X、ｄ）を距離空間とするときに
A⊂XがopenかつclosedならA=φまたはXであることを
示してください、お願いします。

>>429
>お願いします。
いやだ！

>>429は問題自体正しいのか？

正しくない。

>>429
連結成分が２つの距離空間を考えると
あなたは初歩以前のパ〜であることが判ります。

おやすみ

４匹釣れたｙｏ

釣ってどうする

この、得た否認め

質問です。

MとNを同種の代数とする。このとき次が成り立つ。
「MからNへの単射準同型 f が存在し、同時にNからMへの
単射準同型 g が存在するならば、MとNは同型である。」

これはどうやって示したらいいのでしょう。
一般の代数系だと面倒なら、群でいいです。

>436
反例があるような気がする

Ｍを4次巡回群 Ｚ/4 の無限個の直和とし、その元で第一成分が０または２の
もの全体がつくる部分群をＮとする。
単射準同型ｆ、ｇはすぐ作れるけどＭとＮは同型じゃない。
（Ｍの元で２倍して０のものは他の元の２倍だが、Ｎはこの性質を持たない。）

>>436
院生？

>>436
>MとNを同種の代数とする。
って何？
isogenusなabelian variety?

>>438
> 単射準同型ｆ、ｇはすぐ作れるけどＭとＮは同型じゃない。

田Ｚ/4 から田Ｚ/2 へのmono.
これの作り方きぼんぬ

1個よこにずらせばそれいらんのでないの？

若蘭余 > 1個よこにずらせばそれいらんのでないの？

(a,b,c,...)→(0,a,b,...)

Z/4Z x Z/4Z x Z/4Z x ... -> Z/2Z x Z/4Z x Z/4Z x ...

( a , b , c , ...) -> ( 0 , a , b , ....)

Ｍ := 田Ｚ/4
　 i>0

Ｎ := Ｚ/2 田 Ｍ

あ、この意味でしたか・・・失礼しました。
確かに>>436の反例になっています。

i>0 <- ｺﾞﾐ
>>444-445
もう分かりましたので、どうも

Z/4Zの可算無限直和 → Z/2Z＋(Z/4Zの可算無限直和)

「pが8n+1型の素数の時、x^4≡-1　(mod p)を満たすxは重複せずに4つある」
これって、どのように示せばよいのでしょうか？

>>449
mod p で -1 が四乗剰余となる
<=>
p ≡ 1 (mod 8)
じゃなかったかな？

初等的に解けるかも知れんのでちょっと例を挙げてみます.

p = 17.
x = ±2, ±8

p = 41.
x = ±3, ±27

p = 73.
x = ±10, ±51

>>449
整数を素数pを法として分類した環Rは体になるけど、大切なのは乗法群
R−{0｝が巡回群になること。
p=8n+1 のときは、乗法群は位数8nの巡回群になり、その元xが4乗して
−1というのは、元xの位数が8ということと同値になる。
あとは巡回群の基本事項を思い出せば簡単だと思う。

>>449
素人考えなので間違ってるかもしれないけど。

4乗して-1になるので8乗すれば1。従って8乗根を調べれば良い。

体の乗法群は巡回的で位数は p。乗法群の生成元を g、p=8k とする。
1の8乗根は 1,g^k,g^2k,g^3k,・・・,g^7k の8つ。これらの元は4乗すると
いずれも8の2乗根なので、1 or -1になる。4乗して-1ということは
gのベキが8と互いに素であると言うことなので、g^k,g^3k,g^5k,g^7kの
4つが x^4≡-1　(mod p)を満たす元である。これらが互いに異なるのは
g が生成元であることから明らか。

かぶった。>>451の方が簡潔だし。鬱だ氏脳・・・。

謝々です。

「｛ a＋πb |a,bは有理数｝（"π"は見にくいケド円周率デス）
が体になることを示せ」とゆー問題をある本で見たが、
これは例えばπ^2がこの集合の元でない（その証明といわれるとツライが）
ので乗法について閉じてないので体ではナイですよね？

>>455
確かに自然な乗法・加法を定義するのなら体にはならないね。
…って体になるような乗法が思い浮かばないけど

Q(√3)＝｛ a＋√3b |a,bは有理数｝　からの類推（というか何も考えずに）で、
Q(π)＝｛ a＋πb |a,bは有理数｝　と勘違いしたのだろうか？そんなわけねーよな

π=3なら話は違う(w

>>458
はぁ？
πは約３と教えるが
π＝３とは教えないんだよ。
２ちゃんの曖昧な情報を自分の都合の言いように引き出すな。
ぼけ。

>>459
Yes, You would be a good choice as a wanker of the fucking 2ch...
You take risks, but you calculate them first. You are not afraid to
be alone with yourself. You are cautious enough and clever enough to
be still confused. Because you neglected your medical needs, and most
important thing, you seem actually to enjoy the illusion.

はい、あなたはいまいましい2chの手淫者としてよい選択でしょう...危険を冒します。
しかし、それらを最初に計算します。あなたは、あなた自身と孤独なことをためらいません。
十分に用心深く、まだ混乱するために十分に利口です。医学のニーズおよび最も重要なも
のを怠ったので、幻覚を楽しむように現実に見えます。

>>456　「とても易しい問題」ト前置きしてあったので、
　　　　普通の実数の＋＊だと思うです。
>>458　妹が通ってる、ある大学の手作り教科書のレポート問題デス。
>>457　あるいは「これは体だ」と言い放つ学生を戒める意図？

>>429,>>436の流れじゃないか。
誤った命題を証明してくれって。

age

みんな何処大？
旧帝大、早計上智理科大、以外のひといる？？

Ｘ^3+Ｙ^3=Ｚ^3　を満たす正の整数Ｘ、Ｙ、Ｚが存在しない事を示してください。

>>466
それに対する真に驚嘆すべき証明を思いついたが、このスレに書くには余白が狭すぎます。

>466
存在するじゃん
＃釣り？

>>467
>>466程度なら大して余白は要らない。Q(√(-3))の類数が1なので
左辺を分解して素因子云々とやって解ける。

>>468
あふぉが釣れますた

>>469
院生ですか？

>>469
その方法なら、
Q(√(-3))の類数が1
の証明が主題だな。他の部分は簡単なんだから。

>>472
ほかの部分がわからない・・・

類数１はわかる。

>>473
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 -xy + y^2).

x^2 -xy + y^2 = (x - 1/2y)^2 + 3/4 y^2
= (x - (1 - sqrt(-3) )/2 y)(x - (1 + sqrt(-3) )/2 y).

うーむ。1995年以降、古典的なKummerの解法に触れない人が増えたのだろうか。
確かにFrey curveを構成してmodularityがどうこう、という方向でいくならば
必要ないといえば必要ないのだが。

C : 複素数体で C係数の有理関数体をC(X)で表すとすると、
[C(X): C(X^2+X)] って幾らになります？
というか、どうやって計算すればいいのですか？

次数２の有限次拡大。

計算の必要はないと思う。

C(X)の元は（X^2＋X）＊ｆ（X）＋ｃ＊X　（ｆ（X）∈C(X)、ｃ∈C）と一意的に
かけるから

False.

>>478
絶望的。
次数2の有限次拡大という意味を理解してないし、命題自体も間違っている。

>>478が間違ってるのはわかるけど
回答を思いつかない・・・

C(X)＝｛ｆ（X）/ｇ（X)｜ｆ（X）、ｇ（X）∈C[X]｝
C(X^2+X)＝｛ｆ（X^2＋X）/ｇ（X^2＋X）｜ｆ（X）、ｇ（X）∈C[X]｝で・・・

ｇ（X）≠０

y=x^2+xとして[C(x):C(y)]を求めたいわけだから、
まずxのC(y)上の最小多項式を探すことから始めて、以下略。

最小多項式の次数が拡大次数

ｘ＾2+x-y

ｎ以下の負でない整数の中から、次の条件を満たすような２００２個の数が選べた。このときｎの最小値を求めよ。
　　　　(＊)どの３個を選んでも等比数列を成さない。

あげ

a≠b≠c≠aとする．
(1) P^(-1)(u_1 u_2 u_3)P=(v_1 v_2 v_3) となるようなできるだけ簡単な正則行列Pをひとつ挙げよ．
　ただし
　　u_1=t(a 0 0), u_2=t(0 b 0), u_3=t(0 0 c)
　　v_1=t(b 0 0), v_2=t(0 c 0), v_3=t(0 0 a)（t：転置）
　とする．

(2) Q^(-1)(u_1 u_2 u_3)Q=(w_1 w_2 w_3) となるような正則行列Qは存在しないことを示せ．
　ただし
　　u_1=t(a 0 0), u_2=t(0 b 0), u_3=t(0 0 c)
　　w_1=t(0 0 a), w_2=t(0 b 0), w_3=t(c 0 0)（t：転置）
　とする．

これどうなんでしょう？

(1)置換行列
(2)固有値

>>491
どういうことでしょう？

Q^(-1)(u_1 u_2 u_3)Q=(w_1 w_2 w_3) となるような正則行列Qが存在したとすると
　　u_1=t(a 0 0), u_2=t(0 b 0), u_3=t(0 0 c) の固有多項式と
　　w_1=t(0 0 a), w_2=t(0 b 0), w_3=t(c 0 0)（t：転置） の固有多項式は
一致する。
しかし実際に計算すると一致しない。

基本p群 C(p)×C(p)×…×C(p)（n個の直積）の自己同型群の一般的な求め方ってある？
一応、pとnが与えられたら、虱潰しにすべての写像を調べて求めることはできるんだけど、
pやnが大きくなったらお手上げだし。
基本p群は有限体F_p上のvector空間と見なせるから、この辺から何か言えそうなんだけど。

あ、pは素数で、C(p)は位数pの巡回群、つまりZ/pZのつもりで書いてます。

>>493
大変申し訳ない．なんで固有多項式が一致するんですか？

|xE-Q^(-1)AQ|
=|Q^(-1)||xE-A||Q|
=|xE-A|

G=C(p)×C(p)×…×C(p) : n-copies

⇒Aut(G)=C(p-1)×C(p-1)×…×C(p-1) : n-copies

>>497
超ダウト。

つーか、C(2)×C(2)の自己同型群がC(1)×C(1)なわけねえだろ。

S_nが作用する(^^;

G=<a>x<b>x<c>･･･ : n-copies of C(p) と書く。(a, b, c, ...は生成元)

任意のf∈Aut(G)は

Gの元 (a, 1, 1, ...), (1, b, 1, ...), (1, 1, c, ...)... のimageで決まる。

-> Aut(G) = S_n x C(p-1) x C(p-1) x … x C(p-1)

だから、C(2)×C(2)の自己同型群がS_2×C(1)×C(1)なわけねえだろ。

C(2)×C(2)の自己同型は、生成元をa,bとすると、
恒等、a,b交換、「a→a, b→ab」、「a→ab，b→b」の４つある。
Aut(C(2)×C(2))＝C(2)×C(2)。

S_2×C(1)×C(1)はC(2)と同型。

レスくれた人ありがとう。
申し訳ないんですが、結果は知ってるんですよ。
Aut(C(p)×C(p)×…×C(p)（n個の直積）) ＝ GL(n,p) だそうです。
どうやって導くのかが(虱潰しでしか)判らない。

C(q)=F_q（有限体の加法群）と見れば、G=(F_q)^n の生成元は

(1, 0, 0, ...), (0, 1, 0, ...), (0, 0, 1, ...), ...

φ∈Aut(G)にたいして、これら生成元の像を並べれば、自然にM(φ)∈GL(n, q)が得られて
群準同型M:Aut(G)-->GL(n,q)は全単射。どうしてかといえば、
φ,Ψ∈Aut(G)でM(φ)=M(Ψ)ならば生成元の像が一致しているのだからφ=Ψ。
逆にA∈GL(n,q)を与えた時に、

(1, 0, 0, ...) |--> (1, 0, 0, ...)A
(0, 1, 0, ...) |--> (0, 1, 0, ...)A
(0, 0, 1, ...) |--> (0, 0, 1, ...)A　　以下同様・・・

この作用で加法は保たれるから、φ(A)∈Aut(G)が定義されます。

qじゃなくてp

>>505
詳説ありがとうございます。モヤモヤが晴れました！

505の具体的な対応関係で、ようやく正則行列と線形写像の関係を思い出すことができました。
こいつらの対応をそのまま線形群の話に持ってきてるということですよね。なるほど！
というか、線形代数の知識を使いこなせてないですね、私。…反省。

あーはー，成程．

Q^(-1)AQ=B
となるようなQ（：正則）が存在すると仮定する．
その時，AとQ^(-1)AQ（＝B）の固有多項式が一致する．
（∵|xE-B|=|xE-Q^(-1)AQ|=|Q^(-1)||xE-A||Q|=|xE-A|）
しかし，実際固有多項式を計算すると一致しない（矛盾）．
よって，条件を満たす正則行列Qは存在しない．

ということでいいんですね？
Q：正則の時，|xE-Q^(-1)AQ|=|xE-A|が成り立つのは分かってましたが，
|xE-B|=|xE-Q^(-1)AQ|ってのが分かってませんでした．B=Q^(-1)AQなのに．
いやぁ，ダメダメですね．答えてくださった方ありがとうございました．

訂正：私は493じゃなくて490/492/495です．

a≠b≠c≠aとする．
(1) P^(-1)(u_1 u_2 u_3)P=(v_1 v_2 v_3) となるようなできるだけ簡単な正則行列Pをひとつ挙げよ．
　ただし
　　u_1=t(a 0 0), u_2=t(0 b 0), u_3=t(0 0 c)
　　v_1=t(b 0 0), v_2=t(0 c 0), v_3=t(0 0 a)（t：転置）
　とする．


これの答えは，P=
　　0 1 0
　　0 0 1
　　1 0 0
なんですけど，これ勘じゃなくて説明できませんか？

>>510
Ｐをかけ成分を比較。

>>510
答がちがう。

P^(-1)(u_1 u_2 u_3)P=(v_1 v_2 v_3)
両辺に左からPをかけると，
(u_1 u_2 u_3)P=P(v_1 v_2 v_3)
P=(p_1 p_2 p_3)とおくと，
(a*p_1 b*p_2 c*p_3)=(b*p_1 c*p_2 a*p_3)
よって，
a*p_1=b*p_1, b*p_2=c*p_2, c*p_3=a*p_3
つまり，
(a-b)p_1=0, (b-c)p_2=0, (c-a)*p_3=0
これらを満たすp_1, p_2, p_3は・・・
零ベクトル？
あれ？何か間違えましたか？

失礼しました．P^(-1)=
　　0 1 0
　　0 0 1
　　1 0 0
です．つまり，P=
　　0 0 1
　　1 0 0
　　0 1 0
ですね．

>>513
積の計算が間違っている。

P^(-1)(u_1 u_2 u_3)P=(v_1 v_2 v_3)
両辺に左からPをかけると，
(u_1 u_2 u_3)P=P(v_1 v_2 v_3)
P=(p_1 p_2 p_3)とおくと，
((a b c)*p_1 (a b c)*p_2 (a b c)*p_3)=(b*p_1 c*p_2 a*p_3)　←訂正
よって，
(a b c)*p_1=b*p_1, (a b c)*p_2=c*p_2, (a b c)*p_3=a*p_3
以上より，
p_1=t(0 1 0), p_2=t(0 0 1), p_3=t(1 0 0)
従って，条件を満たすPは，P=(p_1 p_2 p_3)である．

ですね？

>>516
＞((a b c)*p_1 (a b c)*p_2 (a b c)*p_3)=(b*p_1 c*p_2 a*p_3)　←訂正
？

ええっと・・・．
516の
((a b c)*p_1 (a b c)*p_2 (a b c)*p_3)=(b*p_1 c*p_2 a*p_3)　←訂正
ってのは，513の
(a*p_1 b*p_2 c*p_3)=(b*p_1 c*p_2 a*p_3)
の文を訂正しました．って意味です．
つまり，
誤：(a*p_1 b*p_2 c*p_3)=(b*p_1 c*p_2 a*p_3)　（513の5行目）
　　　　　　　　　↓
正：((a b c)*p_1 (a b c)*p_2 (a b c)*p_3)=(b*p_1 c*p_2 a*p_3)　（516の5行目）
って意味です．

（ａ　ｂ　ｃ）＊ｔ（ｐ　ｑ　ｒ）＝ｔ（ａｐ　ｂｑ　ｃｒ）という演算をはじめてみた。

>>519
そんな計算どこかでしましたか？

やっぱ線形代数知識の忘却が禿しいみたい。鬱…。
Aut(C(p)×C(p)×…×C(p))＝GL(n,p) は理解できたけれど、
「そのうちで位数がpの元はどれとどれとどれと…だ？」とか考えるとお手上げになってしまいます。
いやもちろん、ひとつひとつ位数を調べればなんとかなるんですけども。
もっとこう一発で分からないかなぁ。行列の基本変形とか関係あったりします？

この辺が群論の立場で解説してある代数の本とか、ないかなぁ？
（だいたい「線形代数の議論で…」とか書いてあって、具体的に書いてない。）

>>521
死ね

はあ、そう言われましても。

　寺田・原田「群論」とかは？ダメかな？

今、１回なのですが、関西・駿台の三森先生に習った任意の条件の扱い方
に困ってます。
「ａｂ≧1なる任意のａ，ｂに対して、常にａ＾2+ｂ＾2≧ａ+ｂが成立することを
示せ」
この問題で、「ａｂ≧1なる任意のａ，ｂに対して、常にａ＾2+ｂ＾2≧ａ+ｂ」
を条件と考えたのか、図形の包合関係で扱ってます。
上のは、命題なのではないのですか？
普通に考えれば、命題ということになりそうなので、
出来れば、三森先生に習っていた人にお願いします。
何か意味するものがあるのかもしれません。
ずっと悩んできましたが、分かりません。
よろしくお願いします。

習っていないのでこたえる資格なし。

限定したような表記をしてすみません。
どなたでも結構です。
先生に習った人のほうが、よく分かるかな？と思っただけです。

>>525
スレ違いじゃボケ。

すれ違いなのだが、一応。

座標上で二つの集合
A={(a,b)|ab≧1}
B={(a,b)|(a-1/2)^2+(b-1/2)^2≧(1/√2)^2}
を考える。

題意を示すには、
「Aに含まれる任意の点(a,b)が、a^2+b^2≧a+bを満たすことを示せばよい。」

すなわち、
「Aに含まれる任意の点(a,b)が、Bに含まれればよい。」

これを具体的に示すには、
「XY座標軸上でAがBに包まれることを確かめればよい。」

がんがれ受験生（？）

>>524
岩波の「現代数学の基礎」シリーズのやつですか？
早速ざっと眺めてみた感じでは、確かに線形群とかの説明が丁寧そうですね。
原田さんは個人的に好きな群論研究者ですし。ちょっと読んでみます。
情報ありがとうございました。

予想：
任意の群Gに対し、ある自然数ｎが存在して、Aut^n(G)={1}。
ただし、Aut^n(G):=Aut(Aut^(n-1) (G))，Aut^0(G)=G。

反例：
S_3 を3次対称群とすると、
Aut(S_3)=S_3

予想：
任意の非可解群Gに対し、ある自然数ｎが存在して、Aut^n(G)={1}。
ただし、Aut^n(G):=Aut(Aut^(n-1) (G))，Aut^0(G)=G。

循環しない無限Aut列(?)ってあるの？

大学二年なんですけど、代数やっててあんまりAut出てきません。
Autを集中的に扱う分野はどこらへんでしょうか？

確かにAutって、定義と基本的な性質以外では、あまり出てこないね。
いろいろな群のAut(と、その求め方)をまとめた本みたいなのってないのかな。

>>533
どれくらいの群で確認したの？

些細なことだけど、Aut(G)ではなくて、
Out(G) = Aut(G)/Inn(G)
を意図されているのではないでしょうか？　
実際、C(G)={e}の場合は、
　　　　　Inn(G) = G
となって、すべての n に対しAut^n(G)
は　G と同型な部分群を含むことになって
しまいますから。

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クラインの四元群は群論のどの分野で、どのような位置を占めていますか。
群論について少しだけ勉強を始めましたが、ほとんど素人です。
よろしくお願いします。

正直、位置を占めているというよりは、群のある例に過ぎないよ。
その群がなにか重大な仕事にかかわるって言うことはない、
ただ、正規列とかででてくることは多いね。

有り難うございます。
正四面体の対称変換（と言ってよいのか）の例しか見たことがないのですが、
他に具体的な例はありますか。

四元群はｎ元群（勝手に付けました）を考えたとき、
特殊な群なのかと考えてました。
これについて簡単でよいですからコメントいただけますか。

正規列もまだ分かりません。やはり知識の限界を感じます。

> 四元群はｎ元群（勝手に付けました）を考えたとき、
> 特殊な群なのかと考えてました。
> これについて簡単でよいですからコメントいただけますか。
無理矢理でよければ、たとえば、

巡回群でない最小の群がクラインの四元群。

>四元群はｎ元群（勝手に付けました）を考えたとき、
というか、クラインの四元群ってのは一種の固有名詞。
「五元群」とか「三十七元群」とかって言い方は普通しないと思う。

おお、知りたかったことに一歩、近づきました。
4つの元からなる群は位数4の巡回群である場合と、
クラインの四元群である場合があるのですね。

しばらく勉強したら、また質問に来ます。有り難うございました。

新妻・木村って人の書いた「群・環・体」って本はどうよ？
おれてきに、結構わかりやすいと思うんだけど。

>>548
昨日買ったばっかだ。結構丁寧に書いてあるよね。
演習書の方も買いたいくらい。

なんか最近しょうもない数学書増えてるよね。
そんなに儲かるとは思わないけど。
数学書書いて仕事してるふりでもしたいのかな？
一般的に論文書くよりも数学書くほうが有名になれたりするし。

上のほうにあったヤシで
>>476
拡大C(X^2+X)/C(X)に関して質問してるのあったけど
X^2+XってC上カヤクじゃないのか。
つまり拡大次数１では？
ねぼけてるかもしれんので、sage.

ねぼけていて二つの体C(X^2+X)、C(X)の包含関係すら把握できてない人がいるのでsage

C(X^2+X)って体？それさえわからんのでsage

>>553
どうわからないのか書いてみてください。アドバイスできるかも知れません。
アドバイスできないかも知れないのでsage

>>551
C(X)/C(X^2+X)

484 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：02/07/23 23:36
y=x^2+xとして[C(x):C(y)]を求めたいわけだから、
まずxのC(y)上の最小多項式を探すことから始めて、以下略。


485 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：02/07/23 23:53
最小多項式の次数が拡大次数


486 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：02/07/24 01:40
ｘ＾2+x-y

終了してるのでsage

>>555 はもしかして >>486 が最小多項式だと思っているとか?
あとsageっていいながら、、

> >>555 はもしかして >>486 が最小多項式だと思っているとか?

俺(≠555)も>>486 が最小多項式だと思うが、>>556はどう思ってるの?

俺も>>556がどういう考えをしてるのか知りたい。

きっと>556はｘ＾2+x-y=0と計算しちゃった馬鹿なんであろ（ｗ

細かいが、x^2+x-y なら 0 だね。
x はもう使われているので、最小多項式を書くなら x とは別の文字を使うべきだ

ってことか? >>556

C(X^2+X)のX^2+Xをいってるのかな>>556は。
わけわからんから、俺は放置。

C上超越でC(X)のproperなCを含む部分体ってあるん？
C(X)/C(X^2+X)は意味ある？

>551では寝ぼけていたようだが、
>476が言いたかったのは
C(X,Y) Y=x^2+xという体で
C(X,Y)/C(X)の拡大次数が知りたかったのかもしれない。
それでも拡大次数は１だけど。
それでも憶測だからsage.

>C上超越でC(X)のproperなCを含む部分体
日本語ひどかった。
「C(X)のproperな部分体で、Cを含み、C上超越なもの」

>「C(X)のproperな部分体で、Cを含み、C上超越なもの」

いくらでもある。f∈C[X],deg(f)>1ならC(f)はC上超越でC(X)のproperな部分体。
例えばC(X)/C(X^2)がnon-trivialな拡大であることを言うためには
XがC(X^2)の元(＝X^2の有理式)として書けないことを示せばよいが、
これは易しい練習問題だろう。

大漁に釣れた（ｗ

>>565
アイタタタタタ

565 ：556 ：02/08/29 13:06
大漁に釣れた（ｗ
^^^^^^

>>564
ああ、そうか。
あたしが読んでいるような狭い世界の文献では、
C(X)の2次拡大っていやあ
C(X,Y)　:Y~2=f(X), fじゅうこんなし
見たいな表現しかしらなかった。
反省せねば、>476は変なこといってたわけじゃあないのね、すまぬ。
しかしC(X^2)/C(X)みたいな表現ってどこぞに載ってるのですか？

あと、自分で全然分かってなかったのは、有利関数体のなかには
それと同型なproperな部分体が沢山あるんですね、
数体の有理数体と全然ちがうや。
でも射P^1(C)->P^1(C)からinduceされる体拡大を考えれば自然か。

とにかく、自分的には、いままでの思い込みとか壊してくれて、
ありがとう！！！

↑またまちがてた。
C(X)/C(X^2)でした。

C(X)/Cの部分体に関してはLurothの定理というのがある。
部分体はC(f),f∈C(X)という形のものに限られるという定理。

570さん
>C(X)/Cの部分体に関してはLurothの定理というのがある。
うっ、代数幾何の勉強したとき、はじめのころ出ますた。
わたしは、C(X)-Cからの元をCに添加して部分体が構成できる、という
結果を表面的にしかしらなかた。
全然、身についてねえや。

どうもありがとう。

オススメサイト！！

↓↓
http://www.bea.hi-ho.ne.jp/paisen/

リーマン・ロッホの定理

不定方程式 4/n=1/a+1/b+1/c が、任意の自然数 n>1について、自然数解を持つ
ということは未解決だがなにか？

圧縮技術は全単射♪

本当に全単射かな？。
任意のランダムファイルを解凍できる？

そこまで言わなくても JPEG とか単射じゃないよ

>>577
mp3,jpgは不可逆だね
zip lzhは全単射

>>578
全射なのか？単射は当然として。

正規環、正則、付値環などを分かりやすく勉強できる本ってない？
永田の可換環論は俺には少々難解で読み進めるのに凄い時間がかかっちゃう。

S.Iitaka Algebraic Geometry
の 2 章の前半はどう?
代数幾何のために勉強するならとりあえずこれぐらいで
素早く勉強したらいいかも

松村の可換環論。
だめなら、アチヤー・マクドナルドとかはもっとやさしい。演習多いしね。

>S.Iitaka Algebraic Geometry
これは岩波の基礎数学と同じものですか？

それの内容をあとに書き直して出したものみたいです。
日本語のは結構いらないことが書いてあっていいけど
英語のほうが数学の本としてはすこし丁寧ですね

数学なんて中１から高３までの６年間、
毎日休まずにシコシコ勉強できるやつなら誰でもできるようになるんだよ。
本当に才能必要なのは現代文。
これはいくら努力してもできないやつはできない。
現代文偏差値７０の奴＞数学偏差値７０のやつ、これ常識。



http://tmp.2ch.net/joke/index.html#1

代数幾何って最近勢いないような気がする
超弦関連は盛り上がってるようだけど。
数論幾何なんか最近流行じゃないかな

代数幾何ってカッコイイよね
だって代数幾何
なんてったって代数幾何
数学の2つの柱　代数と幾何
それの融合っぽい名前代数幾何
ある意味最強な代数幾何
いい所をとってくっつけた代数幾何
難しさも融合的で超むずい代数幾何
最高にカッコイイ代数幾何

それはGrothendieckの仕事の質に限界が見えたから。

>>579
全射かどうかなんて終域次第。
データ全体にしたら、無圧縮を含めるかどうかで分かれるけど、
終域を変換後のデータ全体にすりゃね

教科書にはさらっと流してあったんだけど、この命題って自明なの？

「体の拡大Ｌ⊃Ｋについて、中間体Ｍ⊃Ｋは代数拡大とする。
　Ｓ＝｛a_1，ａ_2，・・・a_n｝⊂Ｌが、Ｋ上代数的に独立ならＳは
　　　　　　　　　　　　Ｍ上代数的に独立でもある。」

a _1にM上の最小多項式pがあればMの中で最小多項式の係数(有限個)
で生成される部分体Nを取りAut N / Kの元でpを動かして掛け合わせて
K上の代数多項式でa _1を根に持つものが出来るので以下帰納法

>>592
やっぱりそうやってやるんですか。
あまり自明に思えなかったんでちょっと聞いてみたっす
thx。。

正二十面体の頂点に12個の異なる記号を割り当てるには、何通りの場合がありますか。
円順列の3次元バージョンということになるでしょうが、思考停止してしまいました。
群の考えを活用したら、答えを導けるかと思いまして。
初学者レベルなので、よろしくお願いします。

12!/60

その60の求め方が分かりません。
12（頂点の数）*5（ひとつの頂点を囲む面の数）ですか？

>>596
595ではないが。

頂点を一つ固定で1/12
その頂点の周りの回転を同一視して1/5

なので 12!/60 で合ってると思う。というわけで、初等的には
解けたので群を使ったエレガントな解答をどなたかプリーズ。

>>597
エレガントかどうかは別として、
60ってのは十二面体群の位数だな。

群を活用ってのは60で割るって事。
でもって60は597の様に出すのが宜しいかと。

>>597-599
有り難うございます。もっとヒントをください。

>>598
正十二面体と正二十面体は双対なので、
二十面体群の位数も同じく60ということになりますか？

>>600
ですね！

教えてください
「Aは3次実対称行列として、det(A)=18であり、
2を固有値として持ち、2に属する固有ベクトルに（1,1,1）^t　∈R^3
を持つとする。このようなAが、唯一存在するときtr(A)を求めよ。」

>>602
2+3+3=8 と 2+(-3)+(-3)=-4 が答え。

固有値三つのうち一つが既に分かっているので、
残りの二つも、trが決まれば定まる。

固有値を 2,α,β とする。
α≠β ならば、 αに対応する固有ベクトルと βに対応する固有ベクトルを
決めるごとに、Aが定まる。

α=β ならば、固有値α=βに対する(二次元の)固有空間は
(1,1,1)に直交するので一意に決まってしまう。
だから、Aも一意に決まってしまう。

６０４

>>602-603
そういう問題はこっちでね。
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1014209237/l50

１

代数幾何の和書でもっとも分かりやすいのって
どれ？射影幾何とかが主な奴。

>>607
上野健爾「代数幾何入門」（岩波書店）が良いんじゃない？

>>608
あれ、定理証明という体裁じゃないからいまいち気が進まないんだけど。
共立から出てる奴の「代数幾何入門」って分かりやすいの？

>>607
簡単かはともかく「射影空間の幾何学」 / 川又雄二郎著. -- 朝倉書店
なんていうのがあるよ。

>>609
代数の知識がある程度あるならすんなり読めるんじゃないかと。

質問スレで聞いたんだけど，誰も答えてくれなかったんで
こっちに来てみました。

Z/５Zを係数とする以下の多項式を既約多項式に因数分解せよ．
　　1，x^4-１　　2，x^3+ｘ+1

1は代表元[0][1][2][3][4]の演算表を作って
巡回群と位数からｆ(1)＝ｆ(2)＝ｆ(3)＝ｆ(4)＝0で
(x-[1])(x-[2])(x-[3])(x-[4])と解いてみたんだけど｡
ここまであってます？

でっ，同じように2もやろうとしたんですけど，
和の演算表からx^3+xが[4]のときf(x)=0ですよね｡
でも，x^3+x=[4]を満たす代表元が無くて悩んでます｡
ひょっとして因数分解できないのが答えか，とか思ったりもしたんですが
まだ今ひとつ理解が足りないようなので
代数学得意な方教えてください，お願いします｡

x^3+x+1 は Z/5Z 上既約やね。

>>612
分解できるとしたら「一次×二次」か「一次×一次×一次」で、どちらにせよ一次式を含む。
一次式で割れると言うことは、（1）であなたがやったように、ある数を代入したらゼロになる。

Kを体、char(K)をKの標数としたときに
1, #K < ∞　かつ　char(K) = 0　なる体
2, #K = ∞ かつ　char(K) > 0　なる体
ってどういう例がありますか？

>>615
標数が０の体はZと同型な部分環をもつから、無限体。
2の例はいっぱいあるよ。有限体 Z/pZ (p:prime) 上の有理函数体とか。

>>615
１　あるわけない。
２　Fp を適当に超越拡大すりゃどんなんでも。

>>614
Z/5Z の場合は、５が素数だからそういう議論ができるけど、
素数でないnについての Z/nZ ではその議論は使えない。
ということを補足しておくのが親切と思われ。

>>613，614，618
どうもありがとうございました。
やり方はあってたんですね，
x^3+ｘ+1のままが答えって言うのは変かなって思ったもんで

やってて思ったんですが，たとえば3次式から1次式でわれたとして
(x-a)f(x)って形で分解できますよね(f(x)は2次式)
そのときの２次式ってどうやって出してくるんですか？
1の問題は4次式で4個の因数だったんで問題なかったんですが･･･。

>>614
素数じゃないときはどういう風に考えればいいんでしょうか？
Z/6Zを係数として，x^3+ｘ　の因数分解を全て挙げよ
って問題あったんですが，素数と同じように考えて
[0]，[3]でf(x)=0っていうのまでは分かるんですが
そこからどう分解したらいいか分かんなくなって。

たびたびすいませんが，お願いします。

すいません。
>>614→618でした。

>>616-617
あー、そうか。ありがとう。

>>619
とりあえずx^3+x=x(x^2+1) とするのでは?

>>619
＞やってて思ったんですが，たとえば3次式から1次式でわれたとして
＞(x-a)f(x)って形で分解できますよね(f(x)は2次式)
＞そのときの２次式ってどうやって出してくるんですか？

普通に多項式の除算を実行すれば良いかと。

（３ｘ＋１）＾２（３ｘ＋２）（２ｘ＋３）（４ｘ＾２＋１）。

>>619
多項式の割り算については、>>623の言う通り。普通の多項式と同じように割り算する。
もちろん係数のかけ算や引き算のときの計算はZ/6Zの規則でやる。
Z/6Z上での数の割り算はできるよね。乗積表をつくってるみたいだし。

>Z/6Zを係数として，x^3+ｘ　の因数分解を全て挙げよ
この問題の「因数分解」の定義には、>>624のような分解も含まれるのかな？
そうすると「分解できるとしたら必ず１次式で割れる」てことも言えないわけで、
私もどうやって全部挙げるのか知りたいです。

>>619 >>625
零因子を持つ環上の多項式環はUFDでないから、因数分解という行為が意味を持ちません。

例: x(x+5)=(x+2)(x+3) in Z/6Z[x]

>>626
だから>>619の問題は「すべて」となってるんでないの？

>>619,625,626
多項式環Z/6Z[x]のイデアルを全て求めよ、と言い換えれるのがよいかと。

あ、x^3+xを含むイデアルだ。

大事件！！DJクラブ板にて、

麻薬常習者がfusianasanに引っかかる！！

これは逮捕に発展するかも！

祭りの予感！！

DJクラブ板（xxxxバキバキな奴集まれxxxx）より

↓
http://music.2ch.net/test/read.cgi/dj/1031033092/

Z/6Z[x]=F_2[x]×F_3[X]はPIだな。
素元は(f,1)or(1,g)（f,gはF_2[X],F_3[X]の素元or0）。
(x^3+x)=(x(x+1)^2)×(x(x^2+1))
x^3+x=(x,1)(x+1,1)^2(1,x)(1,x^2+1)=(3x+4)(3x+1)^2(4x+3)(4x^2+1)

そもそもZ/6Z[X]での因数分解って素元分解のこと？
だとしたら>>626の例は
x=(3x+2)(2x+3)
x+5=(3x-1)(2x+1)
x+2=(3x+2)(2x+1)
x+3=(3x-1)(2x+3)
が素元分解なのでダメだと思うが・・・

>>624>>631が正解？

すみませんが、おしえてください。

有限個の元からなる可換環はねーター環でしょうか？

>>633
すべてのイデアルが有限生成なのでネーター環です。。

>>633
あたりまえだろ。ネーター環の定義しってるのか？

>>633
なんかﾈﾀっぽ。
定義からほとんどあきらかだろ・・。

どうせボケるなら「有限体はネターですか？」くらいの事は
言って欲しかった。

>>633
貴方自身がネタです

>>634
どうしてすべてのイデアルが有限生成といえるのですか？

>>639
逝ってよし。

>>639
任意のイデアルが有限個の元で生成されるからです。

有限生成でないとすると
君の考えている環は有限個の元からなる環でなくなる。

群環、最高です。

環群、最低です。

群って何？

群環マーチ

ueno先生の”代数幾何入門”ぱらぱら見たんだけど、なんか割愛が多かったなあ・・・
みんな代数幾何どの本で体得したの？

割愛じゃなくて書く気がないんだろう。

>>648
ハンドルが半角なのが気になる･･･

よく気づきましたね。

正直、線代の話ばかりで、群論やら環論の話がなくて寂しい。
有限単純群の分類定理の証明をより平易に改良する計画、今どうなってるの？
この辺のことをまとめた啓蒙書とか比較的安価な専門書とかないかなあ。

有限単純群の分類って
ほんとに完了しているのかナ・・・

それなら今井塾の複ベクトルを学んだらいかがですか？そうすれば秋空のように
澄み切った証明が完成するかもしれませんよ。今井はインチキ数学者なんぞに
負けませんよ。http://imai48.hoops.ne.jp/start.html

有限単純群の分類は80年代に完了しています。

現在の目標は、その分類証明の簡略化と、
Feit-Thompsonの定理の証明の簡略化でしょう。

誰か詳しい人いないのかな？

鈴木さんの寄与するところも多かったんしょ？

有限群論で今ホットなテーマとか有名な未解決問題とかある？
それとももう完全に枯れた分野？

例えばガロアの逆問題。有限群論固有ではないけど。
可解群に対しては成立することは知られてはいます。

任意の群に対してそれがガロア群となる体は存在するか。

>>657
それはどちらかというと、群論と言うより数論の問題でしょう。

>>654
>有限単純群の分類は80年代に完了しています。
いや、だからそれは「ほんとに」完成しているのか？
全証明を合わせると数万ページになるらしいが、
1人で読みきったヤシはいるのか？
実はどこかの証明に深刻なギャップがあったりしないのかな・・・

>>660
しつこいなおまえ。
そんな気になるなら自分で読めよ。
他人に頼るなｳﾞｫｹ。

>他人に頼るなｳﾞｫｹ。

おまえにだけは頼らないから
安心しろボケ。

高橋礼司：複素解析，基礎数学８，東京大学出版会
第６章　楕円関数　セクション３．代数関数xxxxのリーマン面

この本って楕円曲線について書かれた分かり易い本らしいんだけど、一体、何時
の基礎数学か分かりますか？
この前、割と数学書なんかもたくさん取り扱っている古本屋に行ったら無かった
のだけど、大学の図書館にもなかったし・・・。

別にこれと同じでなくても良いから、線形代数と微積分とごくごく初歩的な環論
の知識だけで、楕円曲線について学べる良い本あったら紹介してください。
よろしくお願いします。

>>663
普通に売ってるよ。

>>663-664
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/search-handle-form/249-9144781-3312319

>>664

どうもありがとう！
古本じゃなくて、今書店に売ってる本って言うことですね。
それじゃー、少し大き目の本屋さんに行ってみます。

>>665

ありがとう、でも・・・
これは、ネットで本が買えると言う事ですか？
使い方が良く分からないです。

>>666
楕円曲線について知りたいなら、下の本の方が断然わかりやすいしおもしろい！

　楕円曲線入門　シルバーマン著　足立・・・訳　シュプリンｶﾞー出版

>>660
その辺のことを素人的にざっと把握したいなら、
「数理科学」1996年7月号の鈴木さんの記事を読むと良いかも。
実際に大きなギャップが見つかったけれどそれも解決されたことや、
今後もしギャップが見つかったとしても分類定理自体の否定に繋がるほど
深刻なものではないだろうことが解説されています。
最後に「(有限単純群の分類が)信用できなければ，納得がゆくまで考えて」
欲しいとも書いてあります。

>>668
あ、知ってる。
「群論の再生」だかって特集記事のうちの１つだよね。
>>656とかの疑問への回答としてもイイ素材かもね。

>>667

どうもありがとう！
y^2=(x-a)(x-b)(x-c)
がC×Cのなかでトーラスって言う事が特に知りたいんだけど、ぺー関数での説明
する方法じゃなく、もっと直接的に理解したいんだよね。
で「楕円曲線入門」って言う本は、線形代数と微積と極々初歩的な環論の知識が
あったら、そういう理解に達せられます？

>>670
直感的には、以下の通り。

y^2=(x-a)(x-b)(x-c) を、yについての方程式だと考えると、
x = a,b,c,∞ 以外の点では、相異なる解が二つ存在する。

x に対応する C∪{∞} (位相的にはS^2と同相) 上で、
点aと点bを、点cと点∞をpathで結ぶ。(path同士は互いに交わらないように。)

pathにナイフで切れ目を入れる。(位相的には円柱と同相になる)
同じモノをもう一枚用意し、切れ目同士で張り合わせる。
(一枚目のpath[a,b]の上側と、二枚目のpath[a,b]の下側、という風に張り合わせる)

できあがったモノはトーラスであり、y^2=(x-a)(x-b)(x-c)の解空間でもある。

>>670
直感的には、以下の通り。

「これ、トーラスじゃん」

>>670
トーラスと同相であることを直感的に理解するのはすごく難しい。
(私は院で代数幾何を専攻しているが、未だに”直感的”には理解できない）
楕円曲線から周期性を取り出すには、どう考えても、関数論に頼らないといけない
気さえする。そういう理由で、トーラスになることを”直感的”に理解したいというなら
前にあげた本はオススメできない。でも、あなたの予備知識があれば十分に読みこなせる
本だから、ぜひ一読を薦めたい。本当におもしろい本だから！

>>673
先生！
一読を薦めたい本はこれですか？
「　楕円曲線入門　シルバーマン著　足立・・・訳　シュプリンｶﾞー出版 」

そうです。

>>671
それは>>670の説明にはなってないだろ・・。

>>676
なってるだろ？何が不満なんだ？

y^2=(x-a)(x-b)(x-c) の定める代数多様体をVとして、
V→C^{∞} を第一成分への射影とすれば、これは二点からなる
ファイバーを持つ特異ファイブレーション。(点a,b,c,∞が特異点)
あとは、点a,b,c,∞を一周するパスが、それぞれliftを持たないことを
示せば>>670の証明終わり。

最後の部分を示してないので、>>671は証明としては不十分だが、
説明にはなってるんじゃネーノ？

ムキになるなよ。

>>678
ムキになるだろ。

>>671さんへ
断っておきたいんですけど、６６４＝６６７＝６７３以外私は関与しておりません。
６７５も関係ありません。戻ってきたら大変なことになっていましたので・・・。

>>671
どうもありがとう！
直感的には理解で来た様な気がして、なんとなく幸せです。
ここ2ヶ月ぐらいずーっと頭について離れなかったけど、本を読むにも、おそらく
マンフォードやハーツフォンの本を読むしかないのかもと思って、まだまだ予備
知識が足りないと思って諦めかけていました。
結果自体きれいな結果で聞いた時は感激したのだけど・・・。

しかし
>>677
を読むとまだまだ専門的な事はわからないのだな・・・と感じてしまいました。

>>673
ありがとうございます。
私でも読めるなら是非読んでみます。
ぺー関数については詳しくないのですが、とにかくその関数で
y^2=(x-a)(x-b)(x-c)とC/Z[１の原始3乗根」が対応がついて後者がトーラスな
ので前者もトーラスと言う説明には一応納得しています。その事について書いた
本ですか？分かり易い本ならぺー関数についても理解できるかも知れないので、
読んでみたいです。
それとも、もっと他の内容でしょうか？

ゼミのテキストで次のような文章がありました。

ξ＝e^(2πi/p) (pは素数)とする。
LameはZ[ξ]が(任意のpに対して)素元分解整域であると勘違いし、
フェルマーの定理を証明したと発表した。

x^p+y^p=z^p(pは奇素数)がxyz≠0なる整数解をもつとすると
x^p+y^p=Π[j=1〜p](x+(ξ^j)y)=z^p
と二通りの分解の仕方があるのでZ[ξ]での一意分解性に矛盾。

これはx+(ξ^j)yの形の元と任意の有理整数がZ[ξ]において素元である
ということでしょうか？またそうだとしたらそれは簡単に示せることで
しょうか？わかる方がいたらよろしくお願いします。

　ト　ー　マ　ス　　＞　お前ら馬鹿だな〜
ﾊﾟｰｼｰ・ｺﾞｰﾄﾞﾝ・ﾍﾝﾘｰ＞　オマエモナ〜

よく考えたらZ[ξ]で素元でない有理整数ありますね。
どうも失礼しました・・・。

Q（sin(17π/86)）を含む最小のQ上ガロア拡大体をKとする。
このときGal（K/Q）（KのQ上ガロア群）を求めてください。

>>685
マルチポストうぜー

「マルチポスト」てなんですか？
郵便ポストがいっぱい並んでるの？

>>687
つまんね。

それはいいけど実際「マルチポスト」て何なの？
multipostで辞書引いても載ってないし
http://dic.lycos.co.jp/pej/list.html?query=multipost&dic.submit.pej=%89p%98a&encoding=shift-jis

同じ質問を複数(multi)のスレやメーリングリストに投げる(post)こと

NGじゃねえのか？

クロスポストとマルチポストがあって、NGではマルチポストがNG。

結局>>685がわからんからマルチポストっていうんだろ。
まぁ俺もわからんが。

>>693
マルチポストは内容関係なく叩かれて当然だろ。

>>694
同意、うざいな。
しかし>>693はむずいぞ。方針すらわからん

>>695


「同意、うざいな。
しかし>>685はむずいぞ。方針すらわからん」

の間違いだな

Gal(Q(exp(i * 17π/86))/Q)を考えれば、そんなに難しくないと思うけど

教えてください。

pを奇素数とし、特殊線形群SL_2(Z/pZ)について
群の準同型写像f:SL_2(Z/pZ)　→　Z/2Z（位数2の巡回群）
がある。　
このとき、
　　　　　　　
　　　　　　　　　　　Im(f)=｛0｝　　
　　
を示せ。

>>698
ヒント：単位元

700ゲト

>>699
単位元････ヒント少なすぎる。。
この問題有名なの？

700じゃないけど。

>>698 は証明できたが >>699のヒントの意味がわからん…

生成元が単位元にうつることを示せ、とでも言いたかった？
漏れもわからん…

準同型写像は単位元を単位元に写すということが言いたかったんじゃないのか？

fが1に見えた、というオチとか？

生成系を使わずにとけるの？？

ｎが奇数の時、
ｘ＾２＋ｙ＾２＝ｚ^nなるｘ、ｙ、ｚは存在しないことを示してください

ｘ、ｙ、ｚは整数です。

(x,z)=1

この手の問題を書く奴にはどうして問題の条件を
間違える奴が多いのだろう。

>>709
条件間違えてる？
まさか、きみ、フェルマーの定理だと思ってる？

馬鹿が来たのでさらしあげておこう。

ｎが３以上の奇数の時、
ｘ＾２＋ｙ＾２＝ｚ^n
(x,z)=1
となる整数ｘ、ｙ、ｚは存在しないことを示してください

>>712
x=1 y=0 z=1
が反例。 条件をちゃんと書いてくれ。

>>710晒し上げ

>>713
xyz=0だな

>>715
だから、何。

ｎが３以上の奇数の時、
ｘ＾２＋ｙ＾２＝ｚ^n
(x,z)=1
xyz≠0
となる整数ｘ、ｙ、ｚは存在しないことを示してください

>>709
この手の問題ってどんな問題のことをさしてるの？

>>718
必死だな（　´,_ゝ`） ﾌﾟｯ

>>717
(x,z)=1ってなんだ？

>>720
今井の複ベクトルとしての等号です

>>720
10^2+5^2=5^3

>>721
ﾜﾗｰﾀ

>>720
(a,b) で aとbの最大公約数を表す。

２＾２＋１１＾２＝５＾３。

ｎが３以上の奇数の時、

ｘ＾２＋ｙ＾２＝ｚ^n
(x,z)=1
xyz≠0
ｚ:odd
nの任意の素因数qに対してxはqで割り切れ　xはq^2で割り切れない

となる整数ｘ、ｙ、ｚは存在しないことを示してください

>>726
マルチの上に条件を小出しにするんじゃねーボケ。>>725にはなんの礼もなしか。
ちなみにオレはもう一つのスレで725と完全にかぶっちまったじゃねーか。

>>725
サンクス

>>726
そうすると一段と難しいな
条件はちゃんと書け

今年の建部賞受賞者きぼん

>>726
z-3が4で割り切れる場合は即終了だな。
z-1が4で割り切れる場合・・・

有限体上の射影空間のQ_l係数のエタールコホモロジーの計算の仕方
教えてくれ。度忘れしちった。てへ。

ミスった。
代数閉体上の射影空間だった。

>>732
>度忘れしちった。てへ。
一週間前から勉強中に31Abel。

代数閉体上の射影空間のブラウアー群、もしくはその関数体の
ブラウアー群ってどうなってるの？
教えてたもれ

保守

閑古鳥が鳴いてるね。
暇だから群の同型類分類でもしていきますか。
位数１：Ｃ(1)

位数2：C(2)
位数3：C(3)
位数4：C(4), C(2)×C(2)
位数5：C(5)
位数6：C(6), C(2)×C(3), S_3

C(6)とC(2)×C(3)は同型ですね〜。

位数7：C(7)
位数8：C(8), C(4)×C(2),C(2)×C(2)×C(2),D(4),Q
位数9：C(9), C(3)×C(3)
位数10：C(10),D(5)
位数11：C(11)
位数12：C(12),C(6)×C(2),A(4),T,D(6)

TってQ(3)のことですか？

>>740
そうだ同型だった。ｽﾏｿ。

sarashi age

位数13：C(13)
位数14：C(14), D(7)
位数15：C(15)

群論初心者からの質問です。

群の種類で U であらわされるのはどういうタイプですか？（名前、定義について）
たとえば、
U(Z_7) = {1,2,3,4,5,6}
U(Z_8) = {1,3,5,7}
という感じなのですが。

本を読んでいたらいきなりでてきたので。

私も知りたいです。
U(Z_5) = {1,2,3,4}
U(Z_12) = {1,5,7,11}
等になりますよね。

>>745
書名などを教えて下さい。興味があります。

質問をsageてちゃ、だめですよね。

>>746
「演習　群・環・体入門」・新妻弘　の４３ページです。
その少し前にS_3 や D_3,D_4 などが名前と定義つきで紹介されていたのに対して、
U のものは特に説明なしに使われていたので。

位数13：C(13)
位数14:C(14) ,D(7)

群の種類っつーより、なんつーか。
一般に、Z_nは普通の加法+で群になっているが、普通の乗法*では群になってない。
例えば Z_12 における元2には*に関する逆元が存在しない。
（2に何を掛けてもmod.12では1にならない。）
で、Z_nの元で、*についての逆元が存在する元全体を U(Z_n) と書く。
U(Z_n)は必ず(*で)群になる。

まあそこそこ一般的な記法だけれど、断りなしで書いていいほどではないと思う。
どこか最初の方とか離れたところにしれっと書いてあるんじゃない？

>>745
ありがとう。

彼に、なりかわりまして、
>>749
有り難うございました。
あと関連部分を勉強するために、名前を知りたいのですが。
「U」は頭文字なんでしょうかね。

unit

>>749
詳しい解説ｻﾝｸｽｺ｡
群論をいろいろやっていけば自然に出くわす表現ということですかね。
もっと勉強しないと、、、

群論というよりは、環論で出てくることが多いよ。
一般に、環Rに対して、「乗法に関して逆元をもつ元(=「単元(unit)」)」全体をU(R)と書く。
で、U(R)はRの乗法について、群をなすことがすぐにわかる。
>>745とかのは、Rとして特にZ_nを持ってきた例なわけね。
Z_nは、群だけでなく環の例としてもよく出てくる。

因みに、U(R)=R-{0_R} (0_RはRの零元) となる環Rが体。

>>750
U(R)は「Rの単数群」とよぶことが多いね。
Uは>>751も書いてるけど、unitの頭文字かな？

U(R)という表記ははじめて見たよ。Rの右肩に×をつけるのが普通じゃない?

>>755
私はRの方に×をつける派

>>755
U(R)は「代数概論(裳華房・数学選書９)」「代数の世界(朝倉書店・すうがくぶっくす13)」などに
見られる表記ですわ。俺はU(R)派かな。>>755の表記やR*も使うけど。
学部時代は上記の２冊で代数を勉強したんで、メジャーだと思ってた。(汗)

m分体のガロア群はU(Z/mZ)と同型になるんだよね

厨房な質問ですが、岩波講座現代数学の基礎　代数幾何１（上野）
のp83でなぜＯ_x(Ｘ_f)＝Ｒ_f　になるかわかりません。
引用しますと、

「Ｘ＝SpecＲ　の開集合Ｕについて
Ｏ_x（Ｕ）:＝｛　｛s_p｝∈Π［p∈Ｕ］Ｒ_p 　｜　Ｕの開被覆｛Ｘ_f_β｝_(β∈Ｂ)とs_β∈Ｒ_f_β、
β∈Ｂをうまくとりｐ∈Ｘ_f_βのときｓ_βが定める点ｐでの芽(germ)がs_pと一致するようにできる　｝
とおいたとき、Ｏ_x(Ｘ_f)＝Ｒ_fとなる。

（ただし、pはＲの素イデアルであらわし、Ｘ_f＝Ｄ(f)とかく）




　　　　　　　　　　　　　　　

＞７６０
補題２−１６そのものなんだけど・・。

>>761
ｳﾞｧｶだからわかんないや。
Ｏx(X_f)の元は直積で｛s_p｝の形してるのになんで
R_fの元が対応するのかがわかんないよ。
補題2.15と2.16は理解してんだけど・・・

中心化群と正規化群の違いって何ですか？

>>763
全く違うと思うが。
正規部分群と中心の違いは理解している？

>>763
注意深く、それらの定義を読み直してください。
どこに違いがありましたか？
そこから自ずと分かるはずです

>>762
君は数学を止めたほうがよい。

>>766
どんな些細なことでも、疑問を持つ事は
大切なことだ！

>>766
ずいぶんと手厳しいお言葉をどうも。

疑問をもつことは大切なことですが、
質問者としては最低の態度です。

ＤＱＮ大なもので理解は鈍いですが
態度が悪いと言われるなら自省し改めます。。。。

>>764
正規部分群のところをよく勉強しておきます。

何もこんな鄙びたスレでやさぐれずとも。
マターリいこうや。

「君は数学を止めたほうがよい。」って台詞、なんかダサい。
デブヲタAAが叫んでるのが頭に浮かぶ…って2chに毒されすぎだな。

こんな感じ？


　　　　　　　 　　　彡川川川三三三ﾐ〜
　　　　　　　　　　　川｜川＼　　／｜〜
　　　　　　　　　　‖｜‖　◎---◎｜〜
　　　　　　　　　　川川‖　　　　3　　ヽ〜　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　川川　　　∴）〆（∴）〜 ＜　君は数学を止めたほうがよい。
　　　　　　　　　　川川　　　　　　〜　/〜　｜　
　ビシッ　　　　　川川‖　　　　〜　/‖〜 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　　　　川川川川　 　(⌒)川‖〜
　　　　　　　 ／/::::::::|-､ ,-/::::::ﾉ ~.ﾚ-r┐
　　　　　　 /　/:::::::::::|　　/:::::ノ__　|　.|　ﾄ､
　　　　　　 | /:::::::::::::::|　〈￣ 　　｀-Lλ_ﾚ′
　　　　　　 ﾚ::::::::::::::::::|/:::￣｀ー‐---‐
′

うむ、悪いが自分のイメージにぴったし。

自分の→自分の頭の中に浮かんだ　、ね。

附値論について書かれている良書を教えてください。

岩澤さんの代数関数論あたり

(´Д`) (´Д`) (´Д`) (´Д`) (´Д`) (´Д`) (´Д`) (´Д`) (´Д`)
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>>777
岩澤が厳しかったら、森田整数論５章(３０ページくらい)。

>>777
ごく初歩的なことだけでしたら、
E.Artin: Introduction to Algebraic Geometry
（New York Unv. かどっかの大学から出てた講義録。
数学教室の図書室にあるかもしれません。）
を薦めます。

>>781
その本には、valuation, valuation ring, place
の同値性ぐらいしか載っていないのでは？
同著の“Algebraic Numbers and Algebraic Functions"の方が
詳しく書かれています。

>>>777
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/3540629114/qid=1038109674/sr=1-1/ref=sr_1_16_1/250-5542970-8798630
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/3540653996/qid=1038109730/sr=1-1/ref=sr_1_0_1/250-5542970-8798630
上記の書籍などどうでしょうか？

附値について書かれた良書を教えてくださった方、ありがとうございました。
明日図書館で探して見ます。

質問なんですが
vを体ｋの附値とするとき
１．ｖがアルキメデス的であること
（勝手なｘ、ｙ∈ｋについてｖ（ｘ＋ｙ）≦max｛ｖ（ｘ）、ｖ（ｙ）｝が成り立たない）
２．勝手なｘ、ｙ∈ｋ、ｘ≠０についてｖ（ｙ）＜ｖ（ｎｘ）となる自然数ｎがとれること
が同値である事を示してください。
２ならば１は言えたのですが、逆が分かりません。
良ければ方針を教えてください。

>>784
背理法で示せます。

整数論やり始めてるんですが
楕円曲線とかしっかりやりたい考えてるんですけどあれって代数幾何の知識を
始めからみっちりやっていくには層とかｱﾌｨﾝｽｷｰﾑとか
結構道が長くて大変と思います。
DQNな質問で恐縮ですが数論専攻されてる方は
楕円曲線やる際にやっぱり厳密に代数幾何の準備立ての知識も勉強されてるんでしょうか？

>>786
ちなみに、 楕円曲線をやる以前はどんなことを勉強していたのですか？

エタール空間＝層空間でしょうか？

>>787
ちょろっと代数的整数論をかじった程度です。

>>785
できた。ありがと。

>786
>DQNな質問で恐縮ですが数論専攻されてる方は
>楕円曲線やる際にやっぱり厳密に代数幾何の準備立ての知識も勉強されてるんでしょうか？
準備立ての知識が層とかスキームとかコホモロジーを指すのなら…

･自分で必要と思う→そうですね
･要るかもしれないなぁ、どうかなぁ？→テキトーに気合を入れて慣れるべし
･要らないかもしれないなぁ、どうかなぁ？→暇を見つけてやった方がいいかも？
･( ﾟДﾟ)ﾊｧ?(1)→可換代数（含周辺）の知識くらいは押さえておこう
･( ﾟДﾟ)ﾊｧ?(2)→確かに、他にやっておくべきことはあるのかもしれません
･( ﾟДﾟ)ﾊｧ?(3)→漏れに教えて
･(ﾟ�听)ｲﾗﾈ →がんがれ！

>>786
Silverman The Arithmetic of Elliptic Curves Springer-Verlag　は、
多くの人が推薦する楕円曲線論の入門的本格書。
始めの５０ページにその後に必要となる代数幾何の知識がまとめられていて、
数論の初歩（類数、ディリクレの単数定理、局所体の定義）さえ知っていれば
読み通せるように書かれています。

>>792
>入門的本格書
本格的入門書？

シルバーマソは日本語訳が出てますな。

＞シルバーマソは日本語訳が出てますな。

それは>>792が紹介している本ではない罠。
漏れもThe Arithmetic of Elliptic Curves に一票。
これはもの凄くイイ(・∀・)！！本だ。

翻訳がでてるのはこっちでした。

Rational Points on Elliptic Curves (Undergraduate Texts in Mathematics)
by Joseph H. Silverman, J. Tate
Hardcover: 281 pages ; Dimensions (in inches): 0.75 x 9.52 x 6.25
Publisher: Springer Verlag; ISBN: 0387978259; (August 1992)

=================================================
こちらがお薦めの一冊(だそうです)

http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0387962034/
The Arithmetic of Elliptic Curves (Graduate Texts in Mathematics, 106)
by Joseph H. Silverman

Hardcover: 400 pages
Publisher: Springer Verlag; ISBN: 0387962034; (January 1986)

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0387943285/qid=1038487804/sr=1-17/ref=sr_1_2_17/249-0174834-0341963
Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves (Graduate Texts in Mathematics, Vol 151)
この本の邦訳がSpringer,Tokyo から出版予定みたいです。（まともな訳なら良いのですが･･･）

>>792
なるほど。やっぱりこれが良いみたいですね！是非参考にしてみます。
ところで、硲文雄さんの執筆されてる代数幾何も楕円曲線のことが書いてあったんですが、
あれってどうなのでしょうか？

＞楕円曲線とかしっかりやりたい考えてるんですけど（>>786)

＞ところで、硲文雄さんの執筆されてる代数幾何も楕円曲線のことが書いてあったんですが（>>797）

お前、話が変わっているじゃないか！！以下マジレス。
ほとんどの代数幾何の本には楕円曲線のことがちょろっと書かれている。
硲文雄もそういう感じ。したがって、>>796に偽りが無いのなら俺もしるばーまんを強く薦める。

訂正
７９６⇒７８６

＞まともな訳なら良いのですが･･･

鈴木治朗だろ・・。dqnな訳にきまっている・・。

>>800
そうですか。多少高くても原書を買ったほうが
損はない、ということですね。

　ところで、GTMのHusemollerの楕円曲線の本はどうなんですか？

＞ところで、GTMのHusemollerの楕円曲線の本はどうなんですか？

The Arithmetic of Elliptic Curves と出版年がかぶって痛いことになった本か？
俺は読んだことはないが、読んだ香具師によると、シルバーマンよりはるかに
読みにくいらしい。話題も限られているし。やっぱりシルバーマンを２つ読むのが
最強なんだろう。

オレもきこっと。アーベル多様体勉強すんはなにがいいですか？
まんふぉーどの本がよく紹介されてるけど。
あとラングランズ−タネルの定理の証明ののってる教科書
(論文じゃなくって、あとからあとから別の文献ひかされるようなやつじゃないの)
ってなにかあります？

http://www.jmilne.org/math/
↑にあるやつは代数幾何を多少知っていれば読める(入門としてはかなりいい）。
まんふぉーどは俺には難しすぎる・・。

＞ラングランズ−タネルの定理
知らん・・、スマソ。

>>804
ここにあったCourse NotesのなかのAbelian Varietiesのとこにある
dviとかpsのことですか？

＞代数幾何を多少知っていれば読める

多少とはどれ位のことを指しますか？？

多少というより多々が正しいかも

>>804
そう。
>>806
上野代数幾何１，２，３or程度で十分。
Course NotesのなかのAbelian Varieties楽に読める。
まんふぉーどは、はーつほーんの比じゃないくらい難しい。

訂正
上野代数幾何１，２，３or程度で十分⇒上野代数幾何１，２，３orはーつほーん程度で十分

>>808
それには上野先生の本では存在するとだけしかかいてなかったアルバネーゼ
多様体とかピカール多様体の話(の存在証明)ものってます？

>>810
載ってない(多様体の解説はけっこう書いてある）。
そんなに高度なことが必要なの？
それならまんふぉーどに挑戦してみたら？
俺は１章で沈没したけど(ｗ

>>811
いや、必要ってわけでもないんですけど。上野先生のほんにヤコビ多様体
の話がちょこちょこっとのっててはーつほーんにもちょこちょこっとのってて
より一般にピカール多様体ってのがあるってゆうのもちょこちょこっと
のっててなんか蛇のなまごろし状態なんす。最近楕円曲線論でＦＬＴが
解決したのしないのでアーベル多様体論おおはやりだからちょっと勉強して
みっかとおもっとるんですが。やっぱ本とりよせるのはちょっと冒険。
とりよせてくだらないとばかばかしいし。やっぱ本屋で手にとってえらびたい。
はやく日本語でアーベル多様体の本でてこないかな？最近楕円曲線の本は
やまのようにでてくんのに。

>>812
とりあえず、milneの講義ノートでも読んで見ろ。
学校でプリントすればタダだしな。

＞学校でプリントすればタダだしな。

税金の無駄使いしるな！！
自分の家のプリンタでしる！！

マンフォード嫁る香具師は神

>>803
>ラングランズ−タネルの定理の証明ののってる教科書

教科書ではないが、“Modular Forms and Fermat's Last Theorem”
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0387946098/qid=1038630213/sr=1-14/ref=sr_1_0_14/250-7157201-4837854
に載っている、S.Gelbartの論説に書いてあります。

>>812
肥田晴三師の本を読まれたら？
http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/052177036X/qid=1038632343/sr=8-2/ref=sr_8_2/102-2091401-3928103?v=glance&s=books&n=507846
http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/9810243375/qid=1038632343/sr=8-1/ref=sr_8_1/102-2091401-3928103?v=glance&s=books&n=507846

R-module について学んでいるのですが、 Morita context の定義がわかりません。
使ってる本に少しだけ出てきたんで、自分で調べてみようと思ったんですが、
図書館にある本では調べられなかったもので…

どうか無能な私に Morita context の定義を教えてください。

Hahn-Banach定理によると，disjointな２つの凸集合で，いずれかが
internal pointを持てば超平面で分離されるとのことですが，どっちも
internal pointを持たない場合は分離出来ない例があるのでしょうか？
どうしても例が思いつきません．誰かそんな例を教えて下さい．

>>816
その本はもってます。よみましたけど結局ばかばかあとからあとから
論文をひかされるのでめんどくさくなってあきらめたんです。
とくにもでぅらーりふてぃんぐなんたらかんたらを理解すんのが大変。
証明ご存知ならあれに載ってるよりもうすこしくわしく解説していただけませんか？

>>817
あれ？これもしかして>>812でかいたアーベル多様体のはなしじゃなくて
がろあ表現論の教科書ですか？ということはもしかしてラングランズ
タネルの定理の証明がのってる教科書ってことですか？期待あげ

>>821
"Geometric Modular Forms and Elliptic Curves"の終わりのほうに
ラングランズ-タネルの定理は載っていますが、証明は省略されています。
タネルの原論本は未読なので、なんともコメントできませんが…
Wiles のFLTの論文を読む準備としては、肥田氏の教科書は申し分ない本でしょう。

随分高レベルなスレになりましたね。
近づきにくくなった。

自己解決。
先生が今日配ったコピーに載ってました。

>>823
いっしょに高レベルな会話しようよ。
で、セミナーどうよ？

>>820
この本はもうお読みになりましたか？
http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/pdf/book-ps.pdf

>>826
おお、これは御大手ずからの教科書ですね。ダウンロードしました。ぱっと見
なんかりふてぃんぐなんたらとかの解説もあるようですね。
１７２ページか。ちょっと大変だけどよんでみますね。
>>824
結局なんだったの？なんか気になるんだけど。

スレ違いだったらすみません。
少数の分数(有理数)表示について質問です。
プログラミングの英語の本で

for any three consecutive fractions in the simplest terms(e.g., A/B, C/D, E/F),
the middle one(C/D), called the mediant, is equal to the ratio (A+E)/(B+F).
とあったのですが、今ひとつよくわかりません。

たとえば、有理数で表したい数が π, √2　だった場合、
A/B, C/D, E/F はそれぞれ何になるのでしょうか？

>>828
上は James Farey が証明したそうです。

>>828-829
Farey数列のなかの連続する３数(A/B, C/D, E/F),(すべて既約)をとるとき
C/D=(A+E)/(B+F)となる。
って意味じゃない？なんでかはしらんけど実験的にはそうなるね。

>>830
「ファレー数列」で検索したら Farey 数列の構成方法が書いてありました。
サンクス。

だけど、「Farey 数列」で探しても、必要なものが見つからなくてちょっと鬱だった。

age

n^2+1が素数となるnは有限個ですか？

未解決

>>834
どうも、ありがとう。

age
なぜにさげ進行？

とりあえず
からあげ。
この中に彼女いる香具師いる？俺はいないが。

おれもageてみる。
とりあえずひまつぶしにだれか>>830の問題といてみん？
自分でやんのはめんどくさいんだけど気になる。

>>838
明日暇だから解いてみる。

いま登場。

元旦age

>>830の問題証明のってる本みつけた。

それらの中から有限個の式を選べば必ずC上で解があるけど、
全部の式を満たすような解は存在しない、そんな連立方程式はある？

>>843
話を代数方程式にかぎればなさそう。

>>843
例えばf_k(x,y)=|x+y|-k-||x+y|-k|とか。
有限個の連立方程式
f_1(x,y)=0,f_2(x,y)=0,...,f_n(x,y)=0
は必ず解(x,y)∈C×Cを持つが、式を無限個にすると解を持たない。

>>844-845
絶対値等を使えば反例が出来るわけですね。ありがとうございました。
代数方程式のみに限った場合、全部の式を満たすような解が存在する事は証明できるのでしょうか？

>>846
できるよ。Hilbertの零点定理というのを使う。その定理によれば
n変数連立代数方程式
Fi(x1･･･xn)=0
(FiはC係数の多項式)が複素数解を持つ
⇔Fi全体で生成されるC[x1･･･xn]のイデアルが真の(properな)イデアル
ということが成立する。もしFi全体で解がないとするとFiのうち有限個で
生成されるイデアルでC[x1･･･xn]全体になってしまうのでそれは有限個で
解がないようになってることを意味する。大学はいったら３回生ぐらいで勉強するし
代数幾何ってかいてある本の零点定理ってとこさがせばのってる。

>>847
あの、
＞⇔Fi全体で生成されるC[x1･･･xn]のイデアルが真の(properな)イデアル
の部分、C[x1･･･xn]の中の変数の数が有限個でない場合もその定理は成り立つのでしょうか？

843,846で意図していたのは、それぞれの式に現れる変数の数は有限個であるが
全ての式を見てみると有限個とは限らない、という場合を指していまして
それだと847の定理をそのまま使っても解の存在が言えないような気がしたのですけど…

>>848
いえるよ。つまり
定理
C(x1･･･xn)の任意の集合S(無限集合でもよい)について
あるα1･･･αn∈CがあってすべてのSの元Fiについて Fi(α1･･･αn)=0
⇔Sの元で生成されるイデアルが真のイデアルである。
が成立する。→はもしそんなα1･･･αnがあれば(x1-α1,･･･,xn-αn)で生成される
イデアルにSの元で生成されるイデアルはふくまれてしまうので真のイデアルになる。
←はもしSの元で生成されるイデアルが真のイデアルであるとするとそれを含む
極大イデアルmをとるときm=(x1-α1,･･･,xn-αnで生成されるイデアル)となる
α1･･･αnがとれる。(これが零点定理)このときα1･･･αnはすべてのFi(x)=0の
共通解となってる。
ちなみにこの定理から代数方程式の理論の問題を可換環論の問題に翻訳する
ことに成功して代数幾何がうまれたわけだ。その一番初歩の応用だな。

>>848
ああ、ごめん変数の数が無限か。それじゃだめだ。それなら代数方程式でも
反例あるだろな。

>>848
ふたたび訂正。代数方程式にかぎれば無限変数でも先の定理は成立するね。
いま証明してみた。でもそんな問題のってる教科書とかしらんので自分の
証明ただしいか自信はないけど成立するみたいだね。

>>851
それは元の零点定理の証明と大して変わらない物でしょうか？
それとも何か特別な命題を必要としますか？

>>852
零点定理＋Zornの補題だけ。零点定理が理解できてるならすぐできるよ。

>>852
すまヌ。証明まちがってた。反例もみつけた。
-反例-
XをC上のCでない体とする。Xを無限集合とみなしてC[X]をXで生成される
無限生成多項式環とする。C代数の射φ:C[X]→Xをφ(P)=P (P∈X)
でさだめられるC代数の射としその核をmとする。
このときmの有限部分集合Fi∈m⊂C[X]を多項式とみなしたときこれらが
生成するイデアルは真なので零点定理より共通解をもつがもし全体の共通零点
αがあるとするとψ:C[X]→Cをαを代入する写像とするとこの核はmを含むので
mに一致する。よってψはφを通過するのでCがX代数となる。これはX≠Cに反する。
というわけで反例があった。ごめん。

しゅ

　 　 　　 　 　 ∩ 　∧＿∧
　　 　∧＿∧. |.|　（ ´∀｀ ）　←捕手
　　　（　´∀｀）○ （.＾|(こ)つ）
　　　（　　 へ､○　「｜三｜）
　　　 ○个､＿）| （＿） （__ノ |￣￣￣￣|
　　　|（＿_）　　 |　　／＼　　| 　 　　 　 |
　　　|＿＿＿＿| 　 |__＿| 　 |＿＿＿＿|
　 ／　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼

保守を兼ねて今さら
>>2
Basic Number Theory (A.Weil)
の最初の定理

（＾＾）

代数の法則について説明せよ。
って問題が予告されたんですけどどなたか教えてもらえません？

>>859
もうちょっと詳しく書いてくれないと・・・。
それに、それって代数学？

大数だったりして。んな分けないか。

>>861
それは「たいすう」では？

数学って難しいなぁ・・・。
改めてｵﾓﾀ。
辛い。

>>859
代数の基本定理のことでは？

「零でない多項式 f(x) ∈ C(x) は、複素数解をもつ。」


外したか？

解と根は区別すべきでは？

解と根の違いを教えて下さい。

MXなどで集めた動画をみんなでココにUPしよう！
http://www6.ocn.ne.jp/~endou/ten.html

ほんとにすいません。大数でした。この法則を母集団と標本平均を
交えて説明せよってことでした。

>>868
大数の法則なら完全にスレ違い。質問スレか確率関係のスレに行け。

>>854
亀レスですいません。必要な概念を理解するのに時間がかかってしまいました。

変数の添え字が自然数だけでなくXの元も考えた多項式を集めたのがC[X]、
多項式の中の変数x_jをjで置き換えた時に0となるような多項式(x_i*x_(-i) -1とか)を
集めたのがm、という理解で宜しいのでしょうか？

そうするとψの核nがmと一致するのはどうしてですか？
n⊇mとなるのは分かったけどn⊆mとなるのが導けませんでした。

>>870
mは体への全射準同型のkernelなのでもともと極大イデアルなのでn⊇m,n≠C[X]
がいえればn=mとなる。

>>871
やっと全部分かりました。ありがとうございました。

可換環RのRでないイデアルがすべて素イデアルならばRは体であることを示してください。

可換環RのRでないイデアルがすべて極大イデアルならばR/Iは体であることを示してください。

なら言える

（・∀・）ニヤニヤ

あるいは


可換環RのRでないイデアルが０だけならばRは体であることを示してください。

Zのイデアルは全て素イデアルだがZは体じゃないだろ。

mを極大idealとする。もしmとm^2がことなれば
m^2も素idealである。しかしその根基が異なるので
素idealでない。従ってm=m^2.中山からm=0.
従って体。

>>877
例えば、６Z　は素イデアルではないよ！！

>>877

>>878
どの問題を証明してんだ？

単元でないx≠0をとる。Rx^2は素イデアル。よってこれはxを含む。
つまりx=ax^2となるaがある。これよりx(1-ax)=0。
{0}も素イデアルなのでRは整域。x≠0なので1=ax、よってxは逆元aを持つ。
これは矛盾。ゆえにx≠0はつねに逆元をもつ。

わざわざ背理法にしなくてもいいじゃん

882が背理法なのけ？？

単元でないx≠0があると仮定する

age

あ、そうか。ありがとう>>885

>>879
あ、あべしっ！！

保守

また中山の補題か！

Ｃ[t] はＣの部分環と同型。

ま、あたりまえだけど。

　体Ｋの元を成分とするｎ次正方行列の部分集合が、和と積とスカラー倍
に関して閉じていて、更に可換で、単位行列を含むとすると、一つの元の
Ｋ上多項式で部分集合全体を表現できるでしょうか？

　記号で書くと、Ｎを部分集合として
Ａ，Ｂ∈Ｎ　ｋ∈Ｋ　の時
ＡＢ　Ａ＋Ｂ　ｋＡ　などはＮの元で、ＡＢ＝ＢＡ。単位行列もＮの元。

ならば、∃Ａ∈Ｎ；Ｎ＝{ｆ(Ａ)：ｆ(Ｘ)∈Ｋ［Ｘ］}　
となるでしょうか？

>>892
例えば、Kは実数体でN=
1 0
0 1
の整数倍ならＡを
Ｎが {ｆ(Ａ)：ｆ(Ｘ)∈Ｋ［Ｘ］} に含まれる
ように取ることはできますが、
等しくはできないのでは？

↑Nがスカラー倍について閉じてないじゃん

>>894
ん？

・・・、

ほんまやー！
失礼。
よく読んでからカキコするようにします

じゃあ、こんなんどう？

K=F_4 （Z/2Z の 2次拡大体)で、
全体が 4 次正方行列で、
N はその中の対角行列全体としたとき、
全ての行列 A は高々３乗すると対角成分に
0 か 1 が並ぶ行列になるから、
4 次の部分ベクトル空間である N を
それらの一時結合で書くことはできない。

>>896
結局正しいようだけど理由がよくわかんなくてヽ( ・∀・)ﾉｳﾝｺｰ

この例だと、
・そんなAがあったとして、対角成分に0があればヽ( ・∀・)ﾉｳﾝｺｰ
・すると、行列の次数 = 4 > #F_4 - {0} = 3 から、でぃりくれの原理により生成元の対角成分
　で等しいものかあるので下のようにおく：
　A = diag(a_1, ..., a_n), a_i = a_j (i ! = j)
・でも、これで生成したものは(i, i) 成分 != (j, j)成分 となるものを含んでいないからヽ( ・∀・)ﾉｳﾝｺｰ

例が2次行列とF_2でない理由も謎でヽ( ・∀・)ﾉｳﾝｺｰ

「すぐわかる代数」（石村）
ってどうですか？

>>897
二次行列−＞三次行列。

F3=z/3z上の多項式環F3[x]において次の問に答えよ。
(1) x^2-x-1は既約であることを示せ。
(2) x^4-x^3+x^2+x+1を既約多項式の積に分解せよ。

>>896
Ｋ＝｛０，１，ａ，ｂ｝。
Ａ＝［０，１，ａ，ｂ］。
Ａ＾０＝［１，１，１，１］。
Ａ＾１＝［０，１，ａ，ｂ］。
Ａ＾２＝［０，１，ｂ，ａ］。
Ａ＾３＝［０，１，１，１］。

>>897
そういえば K=F_2 で３次行列でも反例は作れそうでんな。

>>901
あってるけど、何？　(；・∀・)

>>900
(1) Eisenstein の既約判定かしらみつぶし
(2) =(x+1)(x+2)(x^2+2x+2)

>>892
全然嘘でしょ。
一変数多項式環の商にならない有限次可換代数なんていくらでもあるけど、
それらも正則表現すれば、ある行列環の部分代数として実現されるからね。

ほしゅ

［ｐ，ｑ，ｒ，ｓ］
＝ｐＡ＾０＋（ｑ＋ｂｒ＋ａｓ）Ａ＾１
＋（ｑ＋ａｒ＋ｂｓ）Ａ＾２＋（ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ）Ａ＾３。

類数が有限でないDedekind整域の例を教えて下さい。
自分で考えても思い付かないし
幾つかの辞典や参考書をみても載ってなかったので。
お願いします。

http://bbs.1oku.com/bbs/bbs.phtml?id=kkgogo
★もうすぐ春ですよ★

age

>>906
京大生？
自分もその問題で悩んでます。

>>906
Dedekind環における類数の定義は何？

>>909
そうです。
やっぱ難しいんだなあ。

>>910
この場合は全商体の類数だと思います。

∪_[m∈N]Z[ζ_m]

でできんとかんのるいすう＝いであるるいぐんのいすう
でできんとかんのいであるぜんたいはぐんのこうぞうをもつから

>>906,910
R. Fossum, The divisor class group of a Krull domain
の14章Every abelian group is an ideal class groupをどうぞ。

Kを環Aの商体とします。
z=GCD(x,y)　⇔　(z)=sup{(z')|z'∈K}

↑って僕の本に書いてあるんですけどこれ間違ってますよね？

右辺にx,y無いじゃん。
前後の脈絡も無いのに「間違い」とは言えぬが。

>>916
そうなんですよ。そこなんですよ。
この本やめよーかな。

ほんとに質問する気があるなら、前後を正確に記しなさい。
何かの引用なら、その文献が何か書きなさい。
数学は「僕の本」に書いてあるものだけじゃないんだからね。

>>918
朝倉書店の『代数の世界』です。(ISBN 4254114737)
問題の点はP.73です。

もう少しよく読んでみます。ありがとうございました。

>>915
あなたちゃんと読んでないでしょ。
「と定義します。」と書いてますが？
どこも間違ってはいませぬが？

どちらかというと「代数の世界」はわかりやすい参考書ですね。
これがこなせないようだと、この先（略

>>920
いや、定義の仕方が変じゃないか？と思ったんですよ。
これだとGCD(x,y)がxとyに依存してないじゃないですか。

俺はその本持ってないし、読んだことないのでよくわからんけど、
雰囲気では最大公約数の定義をしているっぽい。とすると、
sup{(x),(y)}ってことかな？

↑
supは単項ｲﾃﾞｱﾙ全体を順序集合とみなしたときの上限ね。

>>923
どういうふうに順序をいれるの？

>>924
横レススマ。
包含関係やろが

>>925
そだね・・・

>>922
ありがとうございました。
どうやらそのようです。

第５版のわりには誤植多すぎ(大爆笑)

誤植が多いのはどの数学書でも同じだがな。
「代数の世界」は自分で考える力があれば修正できる誤植がほとんどだから、
数学書としてはかなりマトモな部類。

>>928
まともでない本てたとえばどんなのがあるかな？

某先生曰く、昔N田先生に可○環論のまちがいと思われる個所について質問をしに
いったら、誰がこんないいかげんな本を書いたのだと大いに憤慨されたそうな・・・

訂正：可○環論→「可○環論」

まともなのはいわゆる「名著」とされている本や、大学のセミナーで使用される本くらいだね。
あとはだいたい致命的な誤植が大量にある。

そういう本には多くの人は触れないし、触れたとしてもちょこっと何かを調べる程度で
あんまり精読されないことがほとんど。
あまり精読されないから誤植も指摘されずいつまで経っても直らない。プチ悪循環。

あやや-Grothendieck-Riemann-Rochの定理

初等関数を複素数値の定数関数、四則演算、e^xの組み合わせで出来る関数とした時、
f(x)=∫[t:0→x]exp(t^2)dtが初等関数で表せない事を証明するにはどうしたら良いのでしょうか？

この問いにはごく一部の人しか回答できないだろう。
私もこれには回答できない。
大学の教授でもERF関数、一般の楕円関数、一般の楕円積分、ガンマ関数などが初等関数でないことは暗黙のうちに認めている。
だから、証明しようと思わないなら、証明しなくても数学できるし、
証明しようと思ったらすごく苦労するだろう。

何ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝしてんの？

>>934
多分ありふれた「難しさ」だと推測する。
一般論の特殊な応用に過ぎないので、殊更に教科書には書かれない、
といった類の。

>>936
その一般論とは何を指しているのでしょうか？

Riemann面

///////////////////////////////////////////
http://f8.aaacafe.ne.jp/~testest/dcount/index.php
///////////////////////////////////////////
これをいたるところに貼り付けよう。２ちゃんねらが何人クリックしたか分かるよ！
あなたも、みんなも気になる？

>>936
一つの関数がある種の関数の組み合わせで書けるかどうかの判定というのは
基本的に相当しんどい問題だと思うけどな。
高次方程式の可解性(ある代数関数が四則演算と巾根の組み合わせで表されるか)
という代数関数の枠に収まる問題でもかなり大変だったのに、
そこにexpのような超越関数まで混ざるとなると一体どのように考察を進めていけば
良いものか。

R=C[X]（1変数多項式環）として、
成分がすべてRの元であるようなn×n行列A(X)を考える。A(X):R^n→R^n
このとき、dim R^n/ImA(X) = deg (detA(X))を証明するにはどんな写像を考えればいいのでしょうか？

単因子論

>942
写像φを考えると、φはC[X]^nからどこへの写像になるか分かりませんか？
φ:C[X]^n→？

いま頑張っている人の数↓
http://f8.aaacafe.ne.jp/~testest/dcount/index.php

>>941
堀田良之著「代数入門−群と加群−」を参照されたし。

>945
ありがとうございます。
答えを出せるようがんばってみます。

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http://kgy999.net/bbs/

類数が１６の代数体は存在しない。

>>948
？？？

類数が７の代数体も存在しない。何故か？

2次体Q(√-71)の類数は7で、Q(√-399)の類数は16です。
ディリクレの類数公式でちゃんと確かめましたよー、
ただしQ(√-71)の方だけ。1時間かかった。
Q(√-399)はたぶん手計算では無理だけど。

>>951
サンクス

つーか、任意の有限アーベル群が虚二次体の類群として実現されると
予想されていたと思うが。

虚二次体なのは何故ですか？

FFTのライブラリを探してますが、
どのライブラリにも入力データが２の階乗という制限があって困ってます。

FFTの仕様と関係ありますか？

>>955
それ、代数の話題か?

２の階乗は２だな。

２のべきだろ
FFTってのはそういうもんなんだよ

え”、そうなの？>>958
じゃ、ダミーデータをプラスするしかない？

ファナイルファンタージタクスティク？

↑明らかに狙った誤字

>>959
間引くという道もある
間引くものを探すコストがバカにならないならダミー追加が吉

交換子群は英語ではなんと言うのですか?

ｃｏｍｍｕｔａｔｏｒ　ｇｒｏｕｐ。

thanx!>>962
そうしまふ。
ダミーを正しく追加したら制度は落ちないから、大丈夫ってことでしか。

>>964
ありがとうございます。
もう一つ質問です。

交換子群を commutator group と呼ぶのは分かったのですが、僕の本では交換子群を
D(G) という記号で表記されています。
そうすると、 D は何の略になるのですか?

derived subgroup

>>967
ということは D(G) というのは他の書籍でも交換子群を指すのに使われる一般性を持った記号というよりは、
たんに、一時的に交換子群のことを記号として D(G) と置いているだけということでしょうか?

http://mathworld.wolfram.com/CommutatorSubgroup.html
The commutator subgroup (also called a derived group)

日本語だとドーライグンともいいますな。

>>969
アホ学生に親切な説明、ありがとうございます。

代数学総合スレッド Part2
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/

新スレを立てました。
適当に移動してください。

半群の分類が出来ぬ

まぁいっか

このレスを見たものは半群の分類について考えてみるべし

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。