楽しい演習---線形代数編

152 ：１３２人目の素数さん：02/09/20 23:48

In[8]:=
H[n_] := Table[Table[1/(i + j - 1), {i, n}], {j, n}]
In[9]:=
Table[Det[H[n]], {n, 10}]
Out[9]=
{1, 1/12, 1/2160, 1/6048000, 1/266716800000, 1/186313420339200000,
1/2067909047925770649600000, 1/365356847125734485878112256000000,
1/1028781784378569697887052962909388800000000,
1/46206893947914691316295628839036278726983680000000000}

153 ：１３２人目の素数さん：02/09/21 00:49

禿しく外出

154 ：１３２人目の素数さん：02/09/21 20:46

>>147

a_ij＝1/(i+j-1)＝∫[0,1]t^(i+j-2)dt

Σ[i=1～n, j=1～n] a_ij x_i x_j
＝Σ[i=1～n, j=1～n] ∫[0,1](x_i t^(i-1))(x_j t^(j-1))dt
＝∫(Σ[i=1～n]x_i t^(i-1))^2 dt

155 ：１３２人目の素数さん：02/09/21 23:31

>>154
わかったけど・・・
積分とか使わないでできないんだろうか？

156 ：１３２人目の素数さん：02/09/22 02:03

微積の話に線形代数を使う問題：

f(x)>0, g(x)>0 とする。
(log f(x))''>0
(log g(x))''>0
のとき
(log(f(x)+g(x)))''>0
を示せ。

157 ：１３２人目の素数さん：02/09/27 17:56

>>156
(log f(x))''＝(f(x)f''(x)-f'(x)^2)/f'(x)^2＞0
(log g(x))''＝(g(x)g''(x)-g'(x)^2)/g'(x)^2＞0
より対称行列
A=((f(x),f'(x))(f'(x),f''(x))
B=((g(x),g'(x))(g'(x),g''(x))
は正定値。従って A+B も正定値。
∴
(log(f(x)+g(x))''＝
((f(x)+g(x))(f''(x)+g''(x))-(f'(x)+g'(x))^2)/(f'(x)+g'(x))^2＞0

158 ：ポアンカレ：02/10/11 16:30

サイエンス社の数学演習書って、
●●演習　数学演習ライブラリ　っていうのと、
演習　●●
っていうのがありますよね。
関数論演習　数学演習ライブラリ
演習・関数論
みたいに。見かけまったく同じように見えるのですが、どちらがハイレベルですか？

159 ：１３２人目の素数さん：02/10/21 23:58

>>147
正定値だけじゃなくって、Det[a_{ij}] じたいが
線形代数の演習問題によくあるから、探すとよい。

160 ：１３２人目の素数さん：02/10/22 11:41

>>159
帰納法でできるのかな？
Detの数値は>>152にあるけど・・・

161 ：１３２人目の素数さん：02/10/22 16:52

>>159
わからん。
しってるならなんかヒントください。

162 ：１３２人目の素数さん：02/10/23 18:32

>>159,160
藤原松三郎「行列及ビ行列式」に n=3 の場合の計算法と
一般の場合の公式がある。

163 ：１３２人目の素数さん：02/10/28 21:14

Σ1/k
は収束ですか？発散ですか？

164 ：１３２人目の素数さん：02/10/29 17:54

>>163 発散だよ。

165 ：１３２人目の素数さん：02/10/29 18:12

>>164
和を取る範囲もわからないのに言い切ったあなたは神ですか？

166 ：164：02/10/29 18:23

>>165
常識で判断すればいいんだよ。
会話では普通。

167 ：１３２人目の素数さん：02/10/29 18:28

>>166
昨日からのマルチに、
マジレスしてはいけません。

168 ：１３２人目の素数さん：02/10/29 19:56

>>166
数学にそういうファジーなやり方を持ち込む奴は数学に向いてないよ。

169 ：１３２人目の素数さん：02/10/29 20:40

>>168
「ファジー」じゃないよ。
特定しなければデフォルトで通じるんだよ。

170 ：１３２人目の素数さん：02/10/29 20:51

安易なカテゴリ分けは荒れの元。

171 ：１３２人目の素数さん：02/10/29 21:15

>>163への対応の仕方（配点10点）

・∑の範囲を問いただす→5点
・∑の範囲を推測して回答する→1点
・スルー→10点

172 ：１３２人目の素数さん：02/10/29 21:17

・今井数学で解いてあげる→100点

173 ：１３２人目の素数さん：02/10/30 17:36

Σ1/p
の発散を証明せよ。

174 ：１３２人目の素数さん：02/10/30 19:39

175 ：１３２人目の素数さん：02/10/30 21:15

>>173
こっちはちょっとむずい。
オイラー積使うのと，
無限積の発散収束と級数の発散収束の関連づけ。

でもここ線形代数のスレだろ。
スレ違い。

176 ：１３２人目の素数さん：02/11/04 20:02

>>147 >>159
できたよ。
ずっと考えてたけど昨日ふと思いついた。
数値で確かめたからきっと合ってると思う。

A_n＝(a_ij), a_ij=1/(i+j-1), i,j=1,…,n　とする。
このとき
det A_n＝1/Π[k=1 to n-1](2項係数(2k,k))^2×(2k+1)
となる。

177 ：176訂正：02/11/04 20:11

det A_n＝1/(Π[k=1 to n-1](2項係数(2k,k))^2×(2k+1))

178 ：159：02/11/04 20:57

>>177
そういう書き方もあるか。俺が知っている表示は

det A_n = (Π[k=1 to n-1] k!)^4 ÷ Π[k=1 to 2n-1] k!
　　　　= (Π[k=1 to n-1] k!)^3 ÷ Π[k=n to 2n-1] k!

だ。もちろん答えは同じ。

類題で、B_n＝(b_ij), b_ij=1/(i+j+r-2) i,j=1,…,n-r+1 も
似た det になる。r は n より小さいとする。

179 ：１３２人目の素数さん：02/11/06 16:26

>>176
数値で確かめたらあってる・・・けど
なぜそうなるのかわからん。
なんかヒントください。

180 ：１３２人目の素数さん：02/11/06 19:53

>>179
ヒントは>>154だな。
あと「直交多項式」がキーワード。

181 ：１３２人目の素数さん：02/11/06 20:09

>>180
知ってるやつにしか分からん渋いキーワードだな。

182 ：159：02/11/06 23:12

>>181
「ヒルベルト行列」という言葉が>>16 でｶﾞｲｼｭﾂだが、
ヒルベルトの原論文では、その渋いキーワードを使って証明。

他に、もう一つ有名な解法がある。ヒントは過去ログ参照。

183 ：１３２人目の素数さん：02/11/17 13:52

>>173 Σ1/pの発散を証明せよ。
コーシー列じゃないことを言えばいいじゃん。

184 ：１３２人目の素数さん：02/11/17 18:29

>>183
やってみな