1=0.9999999999999999999999999999・・・

どうしてイコールなの？
わかんなぁ〜い！

またかよ。

今井が最終決着をつけたぞ。それを探せ。

1=Lim[k→infinity]Σ[n=1.n→k]n9/10^n

今後性懲りも無く
これと類似のスレを立てた方は
きりきり引き立てて
市中引き回しの上
磔打ち首獄門晒し首
にさせて戴きますので
お間違いなきよう
ご注意お願い致します。

統一スレッドを作ろう。

私は理解したよ。

>>1
そうなるように，実数が定義されている．□

>>7すごいね〜

さすが、ちゆちゃんよりも２歳もお姉さんね〜。

14 ：あいたん15さい ：01/11/03 20:23 ID:???
>>24またぁ？その画像ならここ！もうEVAは勘弁してNE
http://granavenida.com/evangeliondef/hentai/reihentai/imagepages/image20.htm
15 ：あいたん15さい ：01/11/03 20:26 ID:???
>>28-29その画像ならここ!男の子ってこんなのでﾊｧﾊｧしてるの？
http://www.ero-oukoku.com/anime/gazouz/manga39/002-01.jpg

ぷ

え？

>>1
＝には３種類意味があります。
この場合は極限的な意味の＝です。
１＋１＝２の＝とは意味が異なります。

は？

>>14
　じゃ２／４＝１／２なのはどんな意味のイコールなの？

age

>>14
＞＝には３種類意味があります。
もう一種類はなーに？

>この場合は極限的な意味の＝です。

意味不明。

はぁ・・・

>>14
a＝∽の時のイコールはどんな意味のイコールなの？

(´-`).。oO（ろくに勉強してるわけでもねーのに、「おしえて」か・・・。）

>>1
> どうしてイコールなの？
形式的にこう書く決まりになってるからです.

>>8
> そうなるように，実数が定義されている.
私は逆だと思います．そうなることを用いて，実数の連続性の
性質を説明するのです．

>>14
> ＝には３種類意味があります。
ありません．

>>21
> a＝∽の時のイコールはどんな意味のイコールなの？
質問が「式a=∞の意味は？」だとしたら，
「aは任意の数よりも大きいと規約する」という意味があります．

>>22
> (´-`).。oO（ろくに勉強してるわけでもねーのに、「おしえて」か・・・。）
まぁべつにいいんじゃない？見てて面白いし．

それをイコールじゃないと考える分野もたくさんアル。

>>23
＞> そうなるように，実数が定義されている.
＞私は逆だと思います．そうなることを用いて，実数の連続性の
＞性質を説明するのです．
もう少し詳しく教えれ

>>8です．
どちらを先に置いても，矛盾しないモデルとなるはずです．
ですから，「逆」というのもおかしいと思います．（等価なんですから）
そういう意味では，「そうなるように・・・」というの表現もおかしいですね．
しかし，数学の体系は，人間が解かりやすい公理系を基にして，展開されるのが一般的で，
今更，1=0.9999999999999999999を出発点にするのは，間違いではないと思いますが，非効率的だと思いますが，どうでしょうか？

このスレ，気持ちが悪いので，別の機会に別の場所で．

>>23
あなたは私の質問に答えられてません。

なんでおんなじ題名のスレが？

ちがうよ。
別のひとつのスレは、. と,の違いを論じるスレで、
さらに別のスレは有限小数になっている

>>24
　いや，等号になるかどうか，考えるものでもないとおもわれ．
今のところ数学ではこう形式的に書こう，としてるんじゃないかなぁ．
そうでない分野っておれは知らないなぁ．0.999...の概念がない体系
ならあるけれど．

>>25　>>26
　記号「1=0.999...」とは何を示すか，の説明は極限の概念，即ち
ε-δ論法を用いなければならないと思うな．
　また，実数の連続性の説明にはε-δ論法は必要で，ε-δ論法には実数
の連続の性質は必要ないと思うのさ．
　で，等価でない，と思ったのよ．ε-δ論法とフィルタは等価なのかな？
難しい．誰か教えてくれ．
　この話題って，ε-δ論法スレッドと非常に関係があるので，そこでお話
を続けたら面白いかも．

>>27
そうですか．残念です．では，今度は，こう答えて見ます．

等号とは，線二本からなる記号である．

あ，もしかしたら，a≡∞と書かなきゃいけないかなぁ．

＞a≡∞
なんだそれは

>形式的にこう書く決まりになってるからです.

何か勘違いしてないか?
{0.9,0.99,0.999,...}という数列の極限を「0.999...」あるいは
「lim(1-10^(-n))」という文字列で表すところだけをとれば
「形式的にこう書く決まりになってる」でいいが、
1=0.999...自体は全く普通の等式だろ。

>>23，>>30の元ネタ

http://ebi.2ch.net/test/read.cgi/rikei/1004711548/l50

＞連続の性質は必要ないと思うのさ．

いなかものですか？

>>31
そうか，やっぱおかしかったか．

>>32
全く普通の等式ってなんですか．
そして，
「1=lim(1-10^(-n))」
がすでに形式的な書き方だと思います．

>>34
はい．

>>35
「lim(1-10^(-n))」自体が一つの実数を表しているということを
理解してるか? limはイコールとセットになってる記号じゃないぞ。

>>35
例えば、正項級数�蚤_nが発散するとき、�蚤_n=∞と書く。
こういうのが普通に数学でいう「形式的」な書き方。

それに対して、数列a_nが収束するとき、lima_nとは極限値という「数」を表す。
それが、例えば１に等しいときlima_n=1と書く。
これはlima_nという「数」が１という「数」に等しいという意味で、ごく普通の等式の使い方。

教えて下さい。
・0^0よりも、
・1+1=2よりも、
・- x - = + よりも、
1=0.999...ネタの方がずっとしつこい理由って、
一体何なんでしょうか？？？

>>38
やっぱ、電波は「無限」とか「極限」とかに特に惹かれるのだろう

>>37
×ごく普通の等式の使い方。
○ごく普通の等号の使い方。

>>39
いつかは届きたいと思って、竿を持って振り回す。

>>41
もう少し詳しく説明してくれ(^^;

>>36
実数の完備性のこと？
「必ずある極限を持つ」なら分かるが，それと，式1=lim(1-10^(-n))の
様に，1と等号で結ばれるかどうか，は関係ないだろ．

>>37
> 例えば１に等しいとき
ここが問題です．１に本当に等しいのか，と誰しもが考えるでしょう．
私の理解は，「形式的に1に等しいとすることによる困難を明確に示す
ことが出来ない．そして，形式的に等しいとするかどうかはε-δ論法で
決める」って感じです．
この理解が間違ってる，若しくは変態的なほどに独特なものだ，いや，
普通みんなもそう考えてる，などの意見求む．

>>38
ゴメンなさい．
きっとみんなの意見が合わないからでしょう．

　┌─────────┐
　│ 基地外警報！！！ 　|
　│ 　　基地外警報！！ ｜
　└―――──――――┘
　　　　　　ヽ(´ー｀)ﾉ
　　 　 　　　 (　 へ)
　 　 　 　 　　く

　 　　　　　 　 　 　 　 　 　　 |＼
┌──────────┘- ＼
│　 気の触れた方が　 　 　 　 　 ＼
│　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 ／
└──────────┐- ／
　　　 　 ヽ(´ー｀).ﾉ　　　　 　 |／
　 　 　　 　(　 へ)
　 　 　 　　く
　　　　　　　　　　　　 　 　 　- = ≡三　　　　　　 　 　 　 　 　 　　 |＼
　　　　　　　　　　　　 　 - = ≡三　　┌──────────┘- ＼
　　　　 　 　 　 　 　 ＿ = ≡三　　　 │　　　　　　　　　　　　　 　 　　 　 ＼
　　　　 　 　 　 　 　 ￣ = ≡三　　　 │ 　 　 いらっしゃいます　　 　 　 ／
　　　　　　　　　　　　 　 - = ≡三　　└──────────┐- ／
　　　　　 　 (´ー｀) 　 　 　 　- = ≡三　　　 　　 　 　 　 　 　 　 　 |／
　　　　　　( ヽ ヽ)
　 　 　 　／　　>

>>43
>実数の完備性のこと？

はぁ?
この式自体は有理数体に実数体からの相対位相を入れたものでも
成立してるから完備性とは何らかかわりないし、
実数に限らず一般の位相空間でも点列x_nの極限として一つの点が定まれば
その点を「lim(x_n)」という記号で表すけど?

二行目以降は何言ってんだか分からん。俺へのレスなのか?

>1と等号で結ばれるかどうか

この部分は「2=6/3」や「9=3^2」と同様、普通の等式だろうが。
キミはそれをlimとセットにして形式的な書式扱いしている。

37氏へも混乱したレスをつけてるようだが、
なんで等式の中の「=」に妙な意味付けをするのか理解不能だ。

>>43
私は数学における「形式的」という言葉の通常の使い方を解説しただけです。
あなたが独自の用法で「形式的」という言葉を使うのなら、
その場合の「形式的」の意味をまず明確にしてください。
例えば、「形式的に1に等しい」とはどういう意味ですか？
こういう言い方は数学では普通はしません。

ちなみに、「lim(1-10^(-n))」が１に本当に等しいのか、ということについては、
36さんの挙げておられる「2=6/3」や「9=3^2」と同様に、私にとっては自明なことに思われますので、
あえてコメントすることはありません。

別スレにも書いたけど
マジレスわかりやすい説明

１÷３＝0.3333・・・・ですよね？
１を３つに割ったのが0.3333・・・なのだから
その逆に、３つに割った１を３倍してあげると１になるはず
ここまでは分かりますよね？　では実際にやって見ましょう♪

１＝１÷３×３＝（0.333・・・）×３＝0.999・・・

つまり１＝0.999・・・・　となるのです

かなり文系的な答え方をすると
１を３で割った数に３をかけると１になるはず。
実際やってみると答えは0.999・・・という数になる
上の文章が間違っているという点が無い以上、１＝0.999・・・は正しい

もうやめたほうが･･･

>>48
もうチョッと！オレ，しつこいかも．

>>45
数列{0, 0.9, 0.99, ... , 1-10^(-n) , ...}
が必ず極限を持つ，という実数の完備性について言ってたのだと
思ったんです．

>>46
数列{0, 0.9, 0.99, ... , 1-10^(-n) , ...} の極限が１で
あることを，lim(1-10^(-10))=1，すなわち0.999... = 1 と表すことは，形式
的な書き方と呼べないでしょうか？日本語間違ってます？

1=0.999... と表す決まりになっているのは，それで良いとして，
あなたにとって，0.9999...が本当に１に等しいことは2=6/3と同様に自明なので
すね．私は自明とは思えません．これは話が合わないわけです．

「この太陽系の中にある地球の数は6/6です．」
まぁ，馬鹿らしい文章だけど，正しいでしょう．しかし，

「この太陽系の中にある地球の数は0.999...です．」
これも正しいことは自明ですか？
個数と実数は違うと言いますか？
ただ上げ足を取ってるだけの馬鹿らしい発言だと言いますか？

>>47
1=0.999... が正しいことを示すのに
1/3=0.333... が正しいことを使ってるんですけど．．．．

ああ、すまんすまん。　1/3＝0.333・・・って
小学校数学の常識と思ってたよ。　今は違うのかな？
それじゃ、こういう証明はダメ？　あくまでわかりやすさを追及します

Ｘ＝0.999・・・　と置く
１０Ｘ＝9.999・・・　となり
下から上を引くと　９Ｘ＝９　よってＸ＝１

頭で、どうして１＝0.999・・・　かを理解するだけなら
これがベストかと思われ　難しい言葉も記号も出てないからね

>>47
オレは
（0.333・・・）×３＝0.999・・・
のほうについて問いたい

2=6/3　これは有理数の等式だから、小学生でも納得出来る
1=0.999...　　これは実数の等式だから、「実数とは何か」を知らないと理解できない

自然数→整数→有理数
と数を拡張していくのはやさしい。しかし、

有理数→実数
の拡張には、本質的に上のとは違う難しさがある。

>>50
>>51さんの言うように，今度は1=0.999...が正しいことを示すのに
(0.999...)X10 = 9.999　が正しいことを使ってます．残念でした．
ってどっかで誰かがそんな発言してた．

あ，9.999に点打つの忘れてた．

1/3=0.333･･･
とするのは良いと思いますが、
(1/3)*3=(0.333･･･)*3　で
1=0.999･･･　とするのは無理があると思います。
0.333･･･というのは計算中であり無限時間計算しても終わりません。
この計算中のものに*3するとゆうこと事態に無理があると思います。
よって
1=(0.333･･･)*3　のような表記にして、
右辺は無限時間計算しても答数値がでないと思います。
（ここでの0.333･･･は1/3の計算中のもので、
　0.999･･･は固有の数値として扱いました。）
このスレがうざいと思ってる人、申し訳ありませんが
書き込みさせてもらいました。
で、実際のところ結論は出たんですか？教えてほしいです。

要は現在は1=0.9999･･･が成り立つように
実数が定義されている訳だ。

今度は1≠0.99999･･･が成り立つように
実数(と演算体系)を定義(構成)できるか？
を問題に使用ではないか

＞56
これは数学の世界でそう定義されているということですか？
それともこの2CHだけでのことですか？
数学の専門でないんで教えて君ですみません。

＞0.333･･･というのは計算中であり無限時間計算しても終わりません。

「計算」とは何か、が明確でない

>>57
数学の世界では、実数体Rは次の連続の公理を満たす順序体として定義されている。

連続の公理：「Rの空でない部分集合Aが上に有界ならばAは上限をもつ」

この連続の公理からlim10^(-ｎ)=0が導かれる。
従って0.999･･･=lim(1-10^(-ｎ))=1.

>今度は1≠0.99999･･･が成り立つように
>実数(と演算体系)を定義(構成)できるか？
>を問題に使用ではないか

そういう代数系を作るのは勝手だけど(というか現にいくらでも作れる)
それを「実数」という名で呼ぶのはやめてね。
実数体というのは有理数体の完備化として得られる「特定の」代数系
なのだから。

＞59
ありがとう。
内容はよく勉強しないと分かりませんが、
ある定義がされた上で1=0.999･･･と言えば問題ないのですね。
ただ単に1=0.999･･･は正しいか？と問題提起するから、
いろんな回答がでてくるんですね。

1=0.999...　とは，

任意の正の数εに対し，1/εより大きい自然数nがあり，
1-0.999..(9がn個続く) < ε
即ち，数列{0, 0.9, 0.99, ...}の極限が１であることを表すと
思います．

この説明が分かりやすいかどうかは別として，正しいと思います
(nのとり方間違えたか？まぁいいや．眠いし．まぁこんな感じ
でしょう）．
この説明の中で，実数の連続性の概念はつかってません．

>>56
上の方で，その意見対する批判を書いたんすけど．．．．．

>>59
え，なんでlim10^(-ｎ)=0が導かれちゃったの？
暇だったら教えてくれ．しかも，その連続性の公理って，チョッ
とちがくない？！途中から始まってるって言うか，最後まで書い
てないって言うか．．．．
Dedekindの連続性の公理のことを言ってるんじゃないの？

０．９９９・・・＝Ａとすると
０．９９９・・・＜１ならば、数直線上「二点」になります。
─────────Ａ───────１──────
ならば当然、平均「Ｃ」が（Ａ＋１）／２で取れることになります。
─────────Ａ───Ｃ───１──────
しかし、０．９９９・・・と１は、構造上「間の数」が作れません。
（０．９９９だったら、０．９９９＜０．９９９５＜１でいいけど）

よって、０．９９９・・・＝１と考えざるを得ないことが分かりました。

>>62
お前、連続の公理ってDedekindのやつしか知らないの？

>>62
＞1/εより大きい自然数nがあり，

？

>>53
>上の方で，その意見対する批判を書いたんすけど．．．．．

>途中から始まってるって言うか，最後まで書いてないって言うか．．．．

本中華か？最後まで書いてくれ．

ttp://www.eternal.rest.org.uk/58cy/med/babies/hea-hqz2/mb_h00.jpg

>55
> (1/3)*3=(0.333･･･)*3　で
> 1=0.999･･･　とするのは無理があると思います。
> 0.333･･･というのは計算中であり無限時間計算しても終わりません。

時間で考えるというよりも、
分数に対するある計算（ここでは、与えられた数字の集まりから、ある手順によって新しく数字の集まりをつくるという意味で）によって、
(1/3)*3=1
が導かれて、
無限小数に対する別の計算で
(0.333･･･)*3= 0.999・・・
を導きだしたからといって、
上の２つが同じ値であることを示したことにはならないってこと。
その、２種類の計算の結果が同じ値であることを証明する必要がある。

何度もひつこく書いてすまん．暇な奴だと思って，勘弁してく
れ．

>>63
1=0.999... を説明するのに，0.999...と1は，構造上「間の
数」が作れないことを使うの？これが自明だ！というのならば
もう何も議論の余地はないけど，間の数がないことを説明する
のに，ε-δ論法や極限の概念で説明される実数の連続の性質を
使わなければならないんじゃない？

>>64
他のものを使うと結果が変わるの？

>>65
＞1/εより大きい自然数nがあり
ハテナってどういうこと？
この文章は意味をなさないってこと？
もうチョッと教えてくれ．

>>66
え，俺間違ってる？
って思って調べなおしてみたよ．書式は物によって違うだろう
けど，岩波数学辞典あたりを見とけば良いんじゃないの？って
思ったよ．この本って良くないのかな？
それともいちいち小さいことを突っ込むなって言うお叱りかな？
だとしたらスマヌ．
若しくは本当に書き写せってこと？まさかねぇ．

>途中から始まってるって言うか，最後まで書いてないって言うか．．．．

意味わかってて，喋ってんのか？
お前の鼻くそ入れると，こんなのが出てくる機械でも持ってんのか？

>>69
＞他のものを使うと結果が変わるの？
馬鹿のくせになんで素直に「知らない」って言えないのかなあ

>>62
＞任意の正の数εに対し，1/εより大きい自然数nがあり，
＞1-0.999..(9がn個続く) < ε
＞即ち，数列{0, 0.9, 0.99, ...}の極限が１であることを表すと
＞思います．
＞・・・
＞この説明の中で，実数の連続性の概念はつかってません．

>>69
＞1=0.999... を説明するのに，0.999...と1は，構造上「間の
＞数」が作れないことを使うの？これが自明だ！というのならば
＞もう何も議論の余地はないけど，間の数がないことを説明する
＞のに，ε-δ論法や極限の概念で説明される実数の連続の性質を
＞使わなければならないんじゃない？

完全に矛盾しています。
自分の書いていることすら理解していない模様。

だって，本に書いてあったんだもん．

僕も本にかいてあるのみたことある。それに、せんせいがそういってたもん。

キムタクが，工藤静香と別れるんだって．

＞任意の正の数εに対し，1/εより大きい自然数nがあり，
＞1-0.999..(9がn個続く) < ε
ぶぁか。なんで1/εより大きい必要があるんだよ？

1/ε＜10^N　となるようにNをとればn≧Nのとき
1-0.999・・・（n個）≦1/10^N＜ε
となるわけ。

例えばε=0.1ならばN＝２でよい。
N＞1/ε＝10である必要は無い。

>>78
眼科逝ったいいよ。

>>78
微妙にレスが食い違ってたんだな。ｽﾏｿ

>>76
>>78
１−０．９９９．．．（９がｎ個続く）＜εならばｎは１／εより大きいじゃなくて
ｎは１／εより大きいならば１−０．９９９．．．（９がｎ個続く）＜εだよ。

>>81
ぶぁか。ｎ＞1/εである必要は無いって言ってるんだよ！

>>69
>>63は「実数の性質」ではなくて「１０進法の性質」を使っているからでしょ

>>82
どこにも必要だなんて書いてない。

↑言い訳苦しいヨ（ｗ

↑あんたもうざいね

↑糞レスであげる奴ｳｻﾞｲ

>>75　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
マジ？！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

>>75
ほんとに友達の友達が言ってたのか？

ふむふむ。　なかなか証明っていうのもややこしいですねぇ(^^;
とりあえず1/3＝0.333・・・の証明からやってみましょうか。

ここで仮に、1/3＝0.333・・・でないとします。
実際に１÷３を計算してみると、0.3333・・・と限りなく１余り位を下げて３で割るという
動作が、10進法で計算している限り続く事が分かる。　つまり無理数である。

1/3＝0.333・・・　でないとすると、必ず0.333・・・n（n＝自然数）
という数字になり、有理数となってしまう。
1/3が無理数なのは自明なので、1/3＝0.333・・・　ではない　という仮定は間違っている。
よって、1/3＝0.333・・・　である。
これで1/3＝0.333・・・　の証明はおしまい。

次に数学の定理で
（ｘ1＋ｘ2＋・・・）ｎ（n＝整数）　＝　ｎｘ1＋ｎｘ2＋・・・・
という風に、カッコ内が計算途中でも積の分配法則で掛け算可能である事が分かる
つまり、（0.333・・・）＝（0.3+0.03+0.003＋・・・）なのだから
（0.333・・・）×３＝（0.3×3＋0.03×3＋0.03×3＋・・・）＝（0.9＋0.09＋0.009＋・・・）
が可能という事が分かる。
つまり、（0.333・・・）×３＝0.999・・・と記入する事は、数学的に正しい

これでもだめかな？　数学者じゃないから、これ以上は何とも言いようが・・・

ごめん　0.333・・・ｎ（1＜＝ｎ＜＝９　の自然数）

>>70
> 意味わかってて，喋ってんのか？
>>71
> 馬鹿のくせになんで素直に「知らない」って言えないの
> かなあ
1=0.999... と何の関係があるの？でも一応反応しとくね．
沢山公理を知っていて，そして根本命題，基本前提である
公理の意味が分かるのですか．凄いですね....　馬鹿な私
には無理です．

>>72
> 完全に矛盾しています。
どこがどのように？

>>76 >>78 >>83
77, 81, 84が言うように，
1 - 0.999...(9がn個続く) < εを満たすのに必要なnの条件，
即ち最小のn0(n>=n0)を見つけて何を言うつもりですか？確か
に必要ではないけど1/ε以上で十分です．
それとも，あなたの言う必要とは，最小のn0を見つけることじ
ゃないの？そうだとしたら何なの？

(´-`).。oO（舌と頭と羞恥心がちょっとだけ足りないんだろうな…）

最近、ドキュソの間では慇懃無礼なのが流行なのか？

>>90
有理数ってなによ

ごめん。なんで君あたまわるいの。
数学者じゃないからって言い訳のつもり？
（冗談抜きで）小学生以下のレベルっぽいね。

>>96
別に普通のレベルだろ。
君の頭は2chに洗脳されすぎ。（ｗ

>>97
知ったかぶりするから叩かれる。

ところで、等比級数で示すってのは？
でた？

>凄いですね....　馬鹿な私には無理です．

今時，小学生でもこんなこと言わねえだろ．
ぶら下がって，健康になってくれ．

>>92
＞1 - 0.999...(9がn個続く) < εを満たすのに必要なnの条件，
＞即ち最小のn0(n>=n0)を見つけて何を言うつもりですか？確か
＞に必要ではないけど1/ε以上で十分です．
ぶぁか。
「任意の正の数εに対し，自然数nがあり，1-0.999..(9がn個続く) < ε」
でいいって言ってんだよ。

確かに1/ε以上で十分ではあるけど、
1 - 0.999...(9がn個続く) < εを満たすのに十分なnの条件
を見つけて何を言うつもりですか？

>>92
>馬鹿な私には無理です．
馬鹿なあなたには数学の理解も日本語の理解も困難なようですね

任意の正の数εに対し自然数n0があり
n>=n0に対し1-0.999..(9がn個続く) < ε

だろ？

>90
>ここで仮に、1/3＝0.333・・・でないとします。
>実際に１÷３を計算してみると、0.3333・・・と限りなく１余り位を下げて３で割るという
>動作が、10進法で計算している限り続く事が分かる。　つまり無理数である。

>1/3＝0.333・・・　でないとすると、必ず0.333・・・n（n＝自然数）
>という数字になり、有理数となってしまう。
>1/3が無理数なのは自明なので、1/3＝0.333・・・　ではない　という仮定は間違っている。
>よって、1/3＝0.333・・・　である。
>これで1/3＝0.333・・・　の証明はおしまい。

無理数とは何か理解しているか？
10進では１/3では無理数数で３進では有理数かい。。
何進数をつかおうと、ある数が無理数か有理数かは変わらないぞ。

>>103
{0, 0.9, 0.99, ...}は単調増加だから
＞任意の正の数εに対し，自然数nがあり，1-0.999..(9がn個続く) < ε
でよい

>>103 >>105
7゜

無限級数使って
An=0.9*( 0.1^n)
S=1
と示すのはだめなの？

全部読んでないけど、デルタ−イプシロン論法で決着つく単純な話
やと思うんやけど。しょうもない。

>>107,108
誰に向かって言ってんのさ？
数学やってる人間に向かって言うことでもないし、
数学知らない厨房に言ってんだとしたら、気は確かか？

下らんことでageんなよ。スレの趣旨を考えろ！(って何だっけ？)

＞スレの趣旨
「１＝０．９９９・・・」をネタにいかに面白い話ができるか？

sadsfssad

x=0.999・・・　とする
10x=9.999・・・
両辺をひいて
9x=9
x=1
よって　1=0.999・・・
じゃないの？中学校の教科書に載っている程度
漏れは文系バカ（一応数学受験）なのでみんなのレベルにはついていけないが
全然違ったらゴメン

>>112
50でガイシュツ。１００ちょっとのスレくらい読み直してきてね！

266 ：ﾌﾍﾌﾍﾌﾍ ◆XYN2P2Tw ：01/11/17 22:29 ID:s8GHwlpq
＞�Ax=0.9999…とおく。
＞両辺を10倍して10x=9.99999…
＞辺々をひくと9x=9 x=1

ちがうよ。これも�@と同じような数的意味を忘れたミスを犯しています。
x=0.9999…の両辺を１０倍すれば、１０x＝9.9999・・・0　となるんだよ。
そして辺々をひくと、９x＝9.000・・・1　となるんだよ。


267 ：ﾌﾍﾌﾍﾌﾍ ◆XYN2P2Tw ：01/11/17 22:32 ID:s8GHwlpq
間違いを犯した人へ。

あんね、数字や数式っつうのは、数的意味を持っていて、それを数字や数式で表現しているものです。
数字や数式が、必要な全ての数的情報を表現しているとは限りません。
つまり、数字や文字の表現には限界があるから、数値化されていない数的意味さえも注意して扱う必要があるんだよ。

こいつの騙ってるのは、数学なのか？（半角板で見つけた。（藁

>>109
＞スレの趣旨
匿名掲示板であることを最大限利用してお手軽に優越感を感じるスレです。
ここでｺｿｰﾘ基本的な戦術をお教えしましょう。
1.とりあえず批判する。
　　「1はバカ」とか「それは違う」「あんた何もわかってない」などの
　　基本タームを組み合わせてやるだけです。相手が自分よりバカそうだったら
　　徹底的に批判してやりましょう。「日本語を勉強しろ」とかのメタな
　　部分でバカにするのも有効です。
　　難しいこと考えずに極めてお手軽に優越感が感じられます。
2.余計なことは書かない。
　　ついついsnobの性で余計なことを書いてしまいますが、よほど自信がない限り
　　やめておいたほうが無難です。余計なことを書くと、相手に批判をさせる
　　材料を与えかねないからです。自分への批判レスを見るとせっかくの優越感が
　　ズタズタにされかねません。論破するのも気分がいいですが、たいていは
　　こじれてしまうのでやめましょう。
3.わかっているふりをする。
　　自分への批判を避けるためにも、わかっていると周りに思わせる書き込みを
　　しておいたほうがいいかもしれません。名無しやステハンなら、わざわざ
　　こんなことをする必要はありませんが。
4.相手のわからなさそうなことを書く。
　　相手をけん制する意味で、こういう書き込みは有効です。また、優越感を
　　感じることもできてよいでしょう。ただし、2.のとおりあまり調子に乗らないように。
5.複数人の書き込みに見せかける。
　　擬似的に味方を増やす安直ながら意外と効果のある方法です。ただし、
　　文体をある程度バラバラにしないとダメです。
6.常に名無しで書き逃げだけする。
　　自分の書き込んだレス番号を名前にすることがありますが、やめたほうが良いでしょう。
　　書き込みを繰り返すうちに批判されやすくなります。矛盾が生じる可能性もあります。
7.質問には答えない。
　　書き逃げが基本なので、質問には当然答えません。また、質問は誘導尋問と
　　疑うべきです。どうしても反応したかったら「そんなこともわからないのかバカ」
　　とでも答えて、後は無視です。

半角板で議論になってるのでage

この問題解けないヤツは小学校からやり直せ！
http://okazu.bbspink.com/test/read.cgi/ascii/1005832539/

浜崎あゆみ妊娠したらしいよ

ごめん書くとこ間違えた

01/10/09 03:06
(423/404)
01/10/21 14:00
(450/350)
01/11/17 05:25
(408/350）
と。

ミスった…
01/10/19 03:33
(480/350)
01/11/07 15:13
（469/351）
01/11/10 03:10
（365/350）
か

>>120
なにそれ？

>>119-120が何なのか気になって不眠症あげ

>>121は121の間違いです。すまない。

僕の毎朝の日課は、一冊の大学ノートを開くことから始まる。
中学のときの数学のノート。小学生のときは使えなかった大学ノート。
開くページも眺める文字も２０年たった今も同じ。
初恋だったけど片思いのＫちゃんが書き込んでくれた一行。

０．９９９９９９・・・・

Ｋちゃんは僕のノートにこう書き込んで、
「この９はいつまでもどんなときもずーっと増え続けるんだよ」
そう教えてくれた。
その日から毎朝、大学ノートを開いてはＫちゃんのことを思いだしていた。
僕が寝ている間に９はどこまで増えたのかな・・・。
でもある時から、僕はＫちゃんへの思いよりも
ある疑問から毎朝ノートを開くようになった。
いつもどんなときも、９は増え続けて居るんだ。
じゃあいつか、このノートの文字が１を超えてしまうんじゃないか。
いつかの朝に、ノートを開けたとき、ノートの文字が
１．００００００・・・・
に変わってしまう日が来るんじゃないか？！

今朝もノートを開けてみる。いつもと同じ文字が並ぶ。
ほっと胸をなで下ろす。
でも、いつか、ノートの文字が１を超えたとき、
僕はＫちゃんのことを忘れられるのかも知れない。

なかなかいいね
なかせるはなしだね
あさひしんぶんのにちようばんに
れんさいでもできそだね

>>124
良くできているとｵﾓﾀ。

…ところで>>120まだ？

より詳しく

01/09/03 15:21
(439/316)
01/09/24 04:51
(376/360)
01/10/19 03:33
(480/350)
01/11/07 15:13
(469/351)
01/11/10 03:10
(365/350)

>>126
日常

>>127
なおわかんねえよう（´Д｀;）

>>128
この様子だと今月末っぽい。
その時が訪れた後、ちゃんと説明するよ。

０．９９９９９９・・・・・＝１だと違和感ないんだけど
１＝０．９９９９９・・・・だと何となく違和感があるな

893

何故「８９３.」を全角で入力すると弾かれるんだろう…

全角→半角だった。

>>133
ほんと？

893

かけるじゃねーか…。

いや、最後の「.」が肝心。
132の名前を投稿欄にコピペして書き込んでみ。

おお、ほんとだ。
ｗin530(半角)と一緒か。
でもこうすると書ける(WinIE5/N6)。

win­530
893­.

win­530
893­.

お、書けた。
­­­­­­­­­­­­。

「＆ｓｈｙ；」って何だろ…

>131-141
1=0.9999･･･　はyahooで今一番の注目の話題なんだからネ

>>141
ソフトハイフン。

長い英単語を記述する際に、
「画面幅が足りなかったら
　ここにハイフンを挿入して折り返してもいい」という意味。
画面幅が十分なときは何もないかのように表示される。

# 古いブラウザは対応していないので「?」とかが表示されちゃうんだな。

応用するとこんな荒技も可能だが、流行らすなよ(ﾜﾗ

半信半疑

独歩さんだって１にならないて言っているじゃないか！！

>>147 おめぇ真の正拳突きの仕方しらねぇな…

観音。

132­.

132-.

132

132.

win­530

月末になったけど…？

おーい！　>>119さ〜ん！！

01/09/03 15:21　←この時刻の
(数学板全スレ数/このスレの位置)
とかかともおもったけど、普通左右逆だし、なんなの〜！！
そのうちageちゃうぞ！！

>>156
この板のスレッド圧縮が起こった時刻、
圧縮前のスレッド数、圧縮後のスレッド数を並べているものと思われ。

通常数学板のスレッド数が450を超えると350スレッドまで減らされる

>>157
そーだったんかー！！
やっと枕を高くして眠られます。有難う！！

そろそろ，晒しageる．

はやくあげろよ

　 　　　　　 　 　 　|＼
┌──────────┘- ＼
│　 気の触れた方が　 　 　 ＼
│　　　　　　　　　　　 　 ／
└──────────┐- ／
　　　 　 ヽ(´ー｀).ﾉ|／
　 　 　　 　(　 へ)
　 　 　 　　く
　　　　　　　　　　　　 　 　 　- = ≡三　　　　　　 　 　 　|＼
　　　　　　　　　　　　 　 - = ≡三　　┌──────────┘- ＼
　　　　 　 　 　 　 　 ＿ = ≡三　　　 │　　　　　　　　　　　 　 ＼
　　　　 　 　 　 　 　 ￣ = ≡三　　　 │ 　 　 いらっしゃいます　 ／
　　　　　　　　　　　　 　 - = ≡三　　└──────────┐- ／
　　　　　 　 (´ー｀) 　 　 　 　- = ≡三　　　 　　 　 　 　|／
　　　　　　( ヽ ヽ)
　 　 　 　／　　>

もし０．９９９・・・・・が１より小さいならば、
０．９９９・・・と１との間に、ある実数がとれるはずだが
０．９９９・・・は９が無限に続くので、いつかは
その実数を越えるので矛盾する。
・・・・・・・・
俺は中高時代こんなふうに理解していた。
今でもだけど。

あの、すみませんがまだ中学生なんで難しい話が分からないんですけど1=0.9999999999999999999999999999・・・
ていう表記の仕方が問題あるんじゃないですか。
例えるならば、100ｇのものを天秤で計るのに100ｇの分銅を使わずに10ｇの分銅を
9個乗せることからはじめるようなものじゃないんですか？
そういえば何年か前に東大卒の数学者兼大道芸人の人にもらった本に大学で厳密なことを勉強できるということが書いていたんですけど
詳しく研究した人いませんか？あっ！でもそれじゃぁ僕には多分理解できない。しまった！

昔限りなく透明に近いブルーって本があった。あれはほとんど透明だが決して透明ではない、って意味でしょ（ブルーと透明は違うから）。０．９９９９９９９９９．．．．ってのも何か限りなく１に近くて１ではない数って感じがするけどな。．．

＞限りなく透明に近いブルー

懐かしいスレに懐かしいレスがついたな．
また繰り返すのか？

>>163
>東大卒の数学者兼大道芸人の人

だれだ？

>>166
あれだろ、だれだっけ、
ピーターフランクル。

つーか、ここ粘着DQNと遊ぶスレ。

1≒0.99999999999999999999999999
だろうがバカヤロウ！

「１／無限」というのが急に思い付いたんですけどどうなんでしょう？

>>170
自分がそれでいいと思うのならそれでいいんじゃねぇの

１／無限ゆらぎ

なつかしage

0≒0.000000000000000000000000・・・・・

っていうのは正しいのだろうか？
これは、1≒0.999999999999999999999・・・・・
から導かれるのだろうか？

気になる木になるキーッ！！

別スレでもかいたけど、

0.99999999…＝0.9+0.09+0.009+…
これは初項a＝0.9，公比r＝0.1の無限級数の和だから
0.99999999…＝0.9/(1-0.1)＝1

これは0≦r＜１のときに成り立つ公式であって
0.000…＝0+0.0+0.000＋…
はこれは初項a＝0公比r＝0.1の無限級数の和だから
0.000…＝a/(1-r)＝0
かなと。

たとえば1.3333…だと
1.333…＝1+0.3＋0.03＋0.003＋0.0003＋…
　　　＝1+0.3/(1-0.1)
＝4/3

>>175

0.33333333…は？
0.55555555…は？
0.77777777…は？

というふうにきりがないのは、なんとなくだけどすっきりしないので、
一つだけ基準みたいなものを作って、それで全部解決？できないかなと…

今気づいたけど、さらに、
＞0.99999999…＝0.9+0.09+0.009+…
だと、やっぱり最後に「+… 」がついちゃうよね。
これもまたすっきりしない。

Σ、使えばいいだろ。

せつめいしてYO！

1=0.999999999999・・・・・・・・・・だったら
累乗しまくったらいつかは
1=0になるんじゃないん？

はいはい。そうそう。

いつごろなるんだろ？

最初の掛け算をするのに１秒、２回目の掛け算をするのに、１／２秒、・・・
ｎ回目の掛け算をするのに１／ｎ秒で実行すれば、２秒後には作業は終わるね。
０になれば良いね〜(藁

意味わからん

>>184
> ｎ回目の掛け算をするのに１／ｎ秒で実行すれば、２秒後には作業は終わるね。
それはよく言ってる人いるね。可算無限回の作業を有限の時間で終わらせる、
ってやつですよ>>185。

高校の頃、テストで数学的帰納法の問題がどうしても解けなくて、
「今無限に確かめてみたがあってた。証明終わり。」
って書いて当然のようにペケもらったことあったなあ。

1秒､1/2秒､1/4秒､1/8秒とｎ回目の掛け算を実行するのに
1/2^n秒でやんなきゃいけないような気がする…

できるわけねえだろ。そんなこと

んじゃ1=0にはどうあがいてもならないね

これが証明か？今井みたいだな

今井舐めんな

ちゃんとした説明してくれ。

>>187
その通りだ・・・新年から間違ってしまった。鬱打子嚢。

>>192
1+1/2+1/4+･･･+1/2^n+･･･

はn→∞の極限で２に収束する。

だから、ある作業を最初は１秒で、二回目は１／２秒で、ｎ回目は１／２＾ｎ
秒で実行すれば、２秒後にはアレフ０回の作業が終了しているってこと。

だからどうした

半年振りぐらいに数学板来たけど、
この板だけ時間が止まってるみたいでなんかうれしいよ。

物理、生物、化学に比べて地味だしねぇ

1=0.99999999999999999
が等しいのは当然、それに納得がいかないのは理性

1/3=0.333333333333333
は誰でもすぐに納得するのにどうして

1=0.99999999999999999
を認めないのか

それは理性

>197
いけねえ
…を忘れちまった

もおちょっとでツッコミいれるところだった

174＝177＝178＝180＝183＝185＝192

>>177の線で、誰かまとめてくださいな。わけわからな過ぎる。

1-3＝-2

てすと
>>174>>177>>178>>180>>183>>185>>192

f(1)=0.9
f(2)=0.99
f(3)=0.999
...

なる実数列{f(n)}に対して f の自然延長を g とおく．
（注：g の定義域は N^* であって，N 上では g＝f．）
正の整数 k をひとつ取り，固定する．n を変数とすると

［f(k)＜f(n) かつ f(n)＜1］⇔［n∈N かつ k＜n］
だから超実数の公理より
［g(k)＜g(n) かつ g(n)＜1］⇔［n∈N^* かつ k＜n］

よって任意の「正の無限大超整数」u に対して
（u∈N^* かつ k＜u だから）g(k)＜g(u) かつ g(u)＜1
つまり 0＜1-g(u)＜10^(-k) が成り立つ．これが任意の
正の整数 k についていえるので，1-g(u) は正の無限小超実数．
これが任意の「正の無限大超整数」u に対していえるので
実数列{f(n)}は収束し，極限値は 1 である．従って
0.999...＝1 が成り立つ．

とゆうわけでロビンソンの超準解析で考えても 0.999...＝1 となる．

意味な死あげ

π＝３

え？もっと簡単なんじゃ？

1って1.0000000000000...でしょ？だから1.000000...-0.00000...
って書いてもよいわけだ。
...ってのは無限個続くってことだよ。
0.9999999999...ってさ1.00000....-0.0000000000...無限個のゼロが続くが....1
って書いてもよいわけだ。
1.000...-0.000...
1.000...-0.000...1
...は無限個あるんだったよね？
どっちも無限個あるんだから、どこまでいっても同じ数字をあらわしているよね？

って１０年前、どこかの大学生のにぃやんがいってました。

信じられないかもしれないけど、
0.000...（無限個）...1
と
0.000...（無限個）...01
が同じに見えない人もいる。

超準解析では0.999...と1.000...を別のものとして扱うとの「うわさ」。
有理数Qを拡張して実数R定義しようとしたときに、当時の関係者が
とりあえず0.999...を1.000と同じものとして扱おうと決めたため。
実数を収束しかつ各項が発散しない級数の和するような流れがあったためで、
そういう論法を説明するのに1=1.000...というだけではインパクトがなかったためともおもわれる。

>>208
そういう誤解しやすいかき方は止めてくれ

しやすい→されやすい。ね

　1/3=0.33333…　の、両辺を3倍すると

　1=0.99999…　　よって題意は示された。

↑またおかしなのが来ちゃった。

>>211　何でじゃーヽ(`Д´)ノ

これからは
１＋１＝２
ではなく
0.99999･･･＋0.99999･･･＝２
という表記が正しくなりました。

つまんね

まさか，たけしがこのネタタックルで話したから上がってきたのか？
実は，俺もうずうずしてたんだよね．

0.9999999999999999999999999999・・・・・・・・・・≠1
しかしlim[x→1]x=1
0.999999999999999999999・・・・・・・・・は限りなく1に近づくが決して1ではない．

0.999999999999999999999・・・・・・・・・は，このまま9をどこまでも延長していくと，
それが近づく数を表すので，1と等しいと定義しても矛盾しない．だから，俺がこれを1と決めた．
（保証期限１年．壊れたらもってこい．修理してやる）

もう誰も食い付かなくなったね

　

2002/02/22　22:22　222get

>>222
なかなかやるね！

>>222
222get組の中で一番あんたのレスが222らしい

>>222
20年後が楽しみだ．

つか，最近静かだな．俺が望んでたことだが，なってみるとさびしい．
俺もすっかりネタ職人になって，マジレスのできない体になってしまった．

＞１８１
そろそろ変なこと書いたのに気がついたかな？

>>226
それ，どこに向かって言ってんの？
誰が１８１だと思ってんのかが解からん．>>225？
妄想ネタ？

それにしても，寿命なげーな，このスレ．

このスレが >>222 のために用意されていたとしか思えない。

１／３＝０．３３３３３３３・・・
０．３３３３３・・・＊３＝０．９９９９９９９・・・

>>222＝神

>>221=>>222なのがあわれです。

>>227
＞１８１に対して言ってるんですが，何か？
今はもう読んでなければ読んでないだけの話。

0.99999999999…………
が1じゃなかったら
9がどっかで打ち止めになっちまうだろうが
わかったか

>>233
レベルの低い知識でしゃべんな。ズレてんだよ。おまえ。

みんな！>>234は何かレベルの高い崇高な議論を目指しているらしいぞ！

>>235
おまえの答えを述べろ

>>235
お前みたいな次元のやつはいらねーんだよ

はあ？何でこんな事議論しなきゃいけねぇんだよ。
お前らまだ飽きないのか？

>>238
しったかバカが

>>239
藁た

こんな問題最初から答えなんてねーんだよ。
答えに自信のあるしったかバカはかいてみ。
うぬぼれを正してやるよ

>>241
それが答えじゃん。君の中では。
実は自分が一番自惚れているという罠（ｗ

「答えが無い」ってのが答えという問題は数学では山ほどあるよな

>>242
いいから自分の考えをかけよ。

>>241は神

>>244
その前にお前が書けよ。
さっきから気になってんだけど（ｗ

>>244>>246の考えはともに
「少しでも人の意見の粗を探して突っつきたい」じゃないの？

書いていいの？

もしくは「ほんの些細な事で優越感を得たい」とか

これはヤフーに結論が出てしまった。

>>246
とりあえず、明らかに>>241はそうだな。

>>246
(wとかつけんな気持ち悪い

>>252
結局そういうのに落ち着いちゃうのね。。

「答えが無い」ってのは

「0.999…の定義自体がはっきりしないから0.999…という数がどんな数なのか分からない。
　だから「1=0.999…」であるのか「1≠0.999…」なのか答えようが無い。」
って事？
それとも
「"="の関係の定義が分からないから（以下略）」
って事？

ちゃんと書いてきたやつをバカにはしねーよ。

>>255はジャッジ

ちょっと煽ったら喰いついてきやがって。やっぱこのスレもバカの巣窟だな（終）

>>257
煽ってたのか？気付かんかった。てっきり真性かと。

行き詰まると煽りってことにして逃げる奴ってなんかなぁ・・・

もし0.999…が「実数」の数列0.9、0.99、0.999、…の収束する値を指しているのだとすれば、
そりゃ0.999…=1となるわけだけど、定義次第では「0.999…≠1」となる。

例えば0.999…が実数体Rの超冪R^*において[α(i)]で定義される（ただしα(i)=1-10^(-i)）
有限超実数であり「=」が超冪R^*上において
「全てのi∈Nにおいて実数上でα(i)=β(i)である」時のみ[α(i)]=[β(i)]となって成り立つ
同値関係であるのなら、
そりゃ1=[β(i)]（ただしβ(i)=1）であるわけだから[α(i)]≠[β(i)]となる、
つまり「1≠0.999…」となるわな。

>>234
知ったかバカ氏んどけ。
難しい言葉づかいをすれば本質に近づけるとか
勘違いしてる腐れ厨房が。

だいたい「レベルの低い知識」なんて表現自体が
数学をやるのに向いてないよな・・・まアホに言っても分からんか。
アホは自覚がねえからな。

0.99、0.999999、0.999999999999 と有限で終わるものは何を表すかが定義されているが、0.99999999999999999・・・ど、どこまでも続く数は何を
表すかが定義されていますか？　そういわれる方は、その定義に従えば簡単に答えが出るでしょう。

その前に、0.99999999999999999・・・がはたして「数」であるのかないのかも問題ですね。

数学の知識にレベルを付けられるとしたらどんなにいい事か。

そしたらレベルの高い知識同士をくっつけていれば必ず何かしら発見が見つかるだろう。
まさに天国。ただ概念を覚えるだけ、作業の天国。…有り得ないけど

>>263
そんなこと言ってると今井みたいな蛆虫になりかねないですねぇ

0.99999999999999999・・・を数として認めるか否か？　認めるとするならば、何を表す
のに使うのかを定めてかからなくてはなりません。これでないと数学にはなりません。

>>263=>>266=今井

２６７さんは今井数学をご存知ですねぇ。今井のこの意見が原因かど
うかは分かりませんが、ヤフーではこの種のトピは消えました。

なんか、いい加減哀れだわ。今井叩くのもうやめよ。。。

>>263>>266
＞0.999…が「実数」の数列0.9、0.99、0.999、…の収束する値
じゃダメ？

＞0.999…が「実数」の数列0.9、0.99、0.999、…の収束する値
じゃダメ？

いいですね。収束する値を0.999…で表す。ところで収束する値は１ですから、0.999…＝１となります。
これは至極単純明快です。お分かりにならない人はおいでないでしょう。

>>270
それだと今井が困る、というだけの話。
今井は数年前から同じ事を繰り返してる。

こんなのに真面目に付き合う必要は無いよ。

何か今井に正しい答えを出してもらいたくない人がお出でのようです。

ヤフーではこの種のトピは消えました。２ちゃんでも卒業しましょう。

ものすごい勢いで，盛り上がってたんだな！

>>271
珍しく，それらしいこと言ってるな．
厳密じゃないけど，まちがってねぇな（ｗ
どうした？キャラ違うんじゃない？
オカシクなったか？（つまり，正常になったか？）

>>232
＞１８１に対して言ってるんですが，何か？
１／４付のレスに突然，
＞そろそろ変なこと書いたのに気がついたかな？
なんて言うから，漏れが誤爆されてるのかと思った．

＞ものすごい勢いで，盛り上がってたんだな！

ガイドライン板からのお客様が上げてくれたおかげ。

やふーの答えのアドレスきぼん

http://www.adultcross.com/deedrich/01/
http://www.adultcross.com/deedrich/02/
http://www.adultcross.com/deedrich/03/
http://www.adultcross.com/deedrich/04/
http://www.adultcross.com/deedrich/05/
http://www.adultcross.com/deedrich/06/
http://www.adultcross.com/deedrich/07/
http://www.adultcross.com/deedrich/08/
http://www.adultcross.com/deedrich/09/

「0.999999‥‥‥=1」ではないと思う人へ質問。
次の式変形を考えた場合、どの部分に不都合があると感じるのでしょう？
やっぱり１行目と２行目のイコール？（２行目以降は普通にあってますよね）

0.999999‥‥‥
= 0.9 + 0.09 + 0.009 + ‥‥
= ��(9/10^k)
これは初項9/10、公比1/10の等比数列の総和だから、
= (1/10)/{1-(9/10)}
= 1

＞これは初項9/10、公比1/10の等比数列の総和だから、
ここ、公式使うな

ひとが自然と思わないもののひとつだね。

>>278
そこの女子高生は数学と無縁ではないかと。

だからさぁ、
無限に同じ部分があるんだから同じ数だろ？

１÷１を筆算で計算すれば1=0.999・・・ということはすぐにわかるよ。
一の位の数を０にしてわり算をやっていくのがポイントだ。

おまえら実は何も分かってないんだってことに気付いたか。
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　

つーかさ、実数の公理が分からないor疑うっていう前提じゃ説明不可能かと。

＞284
不正な計算方法だから不正な結果が出ただけ。

１＝０.９９９・・・を○と言わなきゃイジメラレルから
こんな出鱈目な説明で煙に巻こうとする。
必死で言い訳を考える自民党みたいだな。

287は１＝０.９９９・・・を理解している人？してない人？

>>287
別に不正ではないだろ。
っていうか、そもそも数学に「不正」などというものはないし、
筆算にしろ教わった通りに計算しなくちゃいけないなんて法律があったとしても
それは数学的に間違っていないこととは関係ない。
よって、「不正」を拠り所にして>>284を否定するならば、まず矛盾が
おきることを示す必要がある。。。
が、例えば
3/2＝0 + 15*0.1
と、言うように計算してもよいのだからまず矛盾はないと思われ。

289の反発もヘンだな。
春かな。

春だな

0.99999999…
じゃなくて
　lim　x
x→1-0
と書けばいいのに。。。と思った。

負け惜しみ？
昔からこういう事を言う人が居るけど、
証明されたことなんかないね。
要するに、だまされてるんだよ。
人は、意外な話を聞くと、根拠なしに本当だと思い込んでしまうという
クセがあるからね。

>>293
興奮するなよ。何番に言ってるのか全然わかんない。

0.99999・・・・・×10を9.999999999・・・・・にしていいのは、
実数の稠密となんの関係もないんじゃないの？
無限列をシフトしてるだけじゃん。
10x-x=9x=9⇔x=1の中で実数の性質が必要のようにはおもえんが。

１未満のいかなる数より大きい１を超えない数。

ｱﾝﾀﾗこれだけ議論しても結論だせねえの？
そんなんでﾌｨｰﾙｽﾞ賞とるつもり？ﾌﾟﾌﾟﾌﾟ

>>297はこんだけ色んな結論出てるのに納得出来ないのか？
そんなんで煽っているつもりかい？

「色んな結論」はマズイだろ・・・

色んな説明だな。ｽﾏﾇ。

そしてそれぞれの説明において結論は全部同値、これでいい？

＞298-300
たとえば、このスレで、どれがまともな説明だと思う？
>>219 か？ >>229 か？ >>284 か？

>>301
284は1=0.9+0.99+…0.99(9がいくつか)9+a(a>0)と出来て
そしてaを幾らでも小さく出来るって言ってるんだろ？
合ってはいるけど「1=0.999…」の説明としては不十分。

229はもっと不十分

219は数列0.9,0.99,0.999…がコーシー列である事を言っていて、
さらにそれに収束値が存在しても矛盾が無いって言っている、でいいか？
まぁこれも不十分だけど。

でも全部合ってはいる。

というわけで「まともな説明」が「推論に間違いが無い説明」だと3つとも「まともな説明」だな。

十分な説明はない。
結論はこれでいいかな。

十分な説明もないのに「合っている」という
電波な文章は、見なかったことにしてあげます。

>>304
どの点において不十分なのか言って見れ。教えてやる

＞305
悪いけど、不十分だと言ったのは302なんで、
彼に聞いてくれないかな。

>>306
あんたはここに何しに来た？
「1=0.999…」の証明が知りたいんだったら
分からない、疑問に思う事を言ってみてくれ。

そしてそんな事はどーだって良くて、
ただ「このスレッドに十分な説明はない。」って思うのだったら、
そう思ったままこのスレを後にすればいいだけの事だよ。

ここの住民に聞いたいんだけど、

１＋１＝２

の証明出来る？もちろん完全なね。

(1) Q5
　　　Q |- ∀x∀y[x+S(y) = S(x+y)]
(2) 1, UI
　　　Q |- S(0)+S(0) = S(S(0)+0)
(3) Q4
　　　Q |- ∀x[x+0 = x]
(4) 3, UI
　　　Q |- S(0)+0 = S(0)
(5) =fn.
　　　Q |- ∀x∀y[x = y → S(x) = S(y)]
(6) 5, UI
　　　Q |- S(0)+0 = S(0) → S(S(0)+0) = S(S(0))
(7) 4, 6, MP
　　　Q |- S(S(0)+0) = S(S(0))
(8) 2, 7, ∧I
　　　Q |- S(0)+S(0) = S(S(0)+0) ∧ S(S(0)+0) = S(S(0))
(9) =tranS.
　　　Q |- ∀x∀y∀z[x = y ∧ y = z → x = z]
(10) 9, UI
　　　Q |- S(0)+S(0) = S(S(0)+0) ∧ S(S(0)+0) = S(S(0)) → S(0)+S(0) = S(S(0))
(11) 8, 10, MP
　　　Q |- S(0)+S(0) = S(S(0))

>>309は推論に飛躍がなくていいね。

Qとか　そのたもろもろの記号の説明がないから
証明にならないな

完全な証明求む、とは書いてあったが
低脳にも読める証明求む、とは書いてなかったのだった

S(0)+S(0)=S(S(0))

が　1+!=2と同じであることを証明してくれよ

1+0=1 の証明もおしえてほしいな　(藁藁)

「ペアノの公理」で検索せい

>>313
1をS(0)、2をS(S(0))と表記してるから。

つぅかいい加減スレ違いの話題止めろ。
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1004597379/
1+1=2関係の話題はここでしてくれ。

あまり細かいことを気にしすぎると、気が狂ってしまうんでないかい?

四捨五入

>317
そうですね。
これからの数学は”四捨五入”ですね。
どうもありがとうございます。

四拾五入だよね、やっぱり。

四捨五入って、ｵｲ(;´Д`)…

>>308
転載したのでそちらのスレでどうぞ。

１＋１＝２である事を証明してみろ！
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1004597379/364-365

１／３×３

ゴノレゴ禁止

0.9999999...って９が無限に続くんでしょ？
って事は1-0.9999999=0.000000....で0が無限に続くんだよね？
で、普通に0ってものを考えると0.0000...で無限に続くよね？
じゃあ上の式の右辺は0でしょ？

ひとこと。
1-0.999999...=0.00000...001
ではありません。
1-0.9999....999←ここで止め=0.0000...001
ですので勘違いなきよう。

325に論駁かけようとする際はこの点ご一考を。

＞326
ハァ？

x=0.99･･･

100ｘ=99.99・・・
100ｘ−ｘ＝99.99・・・-0.99・・・
99ｘ＝99
ｘ＝1

>>328
ばーか

>>329
ｵﾏｴｶﾞﾊﾞｶ

>>329
もっと言えやｺﾞﾗｧ!!

>>328
ばーか

>>332
律儀だなアンタ・・・

馬と鹿ばっか。

�d

白痴

右辺=0.9999...
　　=9*0.1111...
　　=9*(1/9)
　　=1
よって左辺＝右辺で命題は証明された。

>>337
合格！

0.9999...
=9*0.1111...
を証明しろ
0.1111...
=(1/9)
を証明しろ

＞339
そんなことも分からなくてここに来てるのか？

>>339
0.9999...は無限小数点数です。
0.1111...も同様に無限小数点数です。
命題の条件より0.9999...は小数点以下9が無限に続くものである。
0.1111...は小数点以下無限に1が無限に続く数とする。
そうすると「小数点以下無限桁」目はそれぞれ9,1となり、
ゆえに0.9999...は0.1111....で割り切れる。
したがって0.9999....=0.1111...*9は自明である。

0.1111....=(1/9)について、
0.1111...はさっき定めた通り無限小数点数である。
なお1/9は計算の性質上0.1111...と無限小数点数を取る。
ゆえに左辺＝右辺となり成り立つ。
なおこれはほぼ自明であって、証明する必要は無いものと思われる。

したがって以上より、
1=0.9999....
は成り立つ。

すいませんなんかおかしいところあるはずです指摘してもらえれば幸いです

・・・なんでネタスレにマジレスしてんの俺・・・暇すぎ・・・

>>341
すべてがおかしい。生きてる価値なし！

逝ってきます

冷静に言って、３３９は
・桁が無限にある場合でも、普通に掛け算できるのか？
・1/9が0.1111・・・なのか？
が疑問なんだから、341は、疑問に対して何一つ答えてはいない。
341はそもそも何が問題なのかを全く理解していない、
というより、はじめから理解しようとなどしていない、といったところか。

>322＆ＡＬＬ
俺の言いたい事が分かっていないみたいだね。

じゃあ存分に書きな。

0.999･･･=lim[n→infinity](1-10^(-n))
A=0.999･･･とおくと
1-A=lim[n→infinity](1-(1-10^(-n)))=lim[n→infinity]10^(-n)
N=log10(ε)とすると、
N>nである任意のnに対し
10^(-n)<10^(-N)=10^(-log10(ε))=ε
QED

>>348
不等号の向きが違う。

訂正
×N>n
○N<n

>346
存分に書くも何もいえる事はひとつだけ。
>1の完全な証明は不可能。

まあ、俺の言うことが間違っていることをがんばって証明してくれよ。
あと、俺を完全に論破あしたからってそれが完全な証明にはならないよ。
俺だって完全じゃないからね。

お前が完全じゃないのはよくわかってるってば

>352
他に言うことは？
君は完全なのかい？

じゃあまず「完全な証明」の定義を教えてくれ。
それと「1＋1＝2」という文の構成要素の定義を教えてくれ。

>354
まあ、おれも完全じゃないから完全にはいえないけどな。
とりあえず俺が思うに、誰もが納得できる証明だな。
世界中の人すべてが納得できるな。
一人として納得できない人がいないってことだな。

まあ、厳密には「世界中」じゃいけないんだろうけどな。

あと、「1＋1＝2」についてだけど、さっきもいたように俺は完全じゃないからわからない。

>354
だいたい、人に聞くなら、自分から定義して見せるべきだろう。

>356-357
勝手に人の名前を騙るな！

>357
何か逆になってるな。
あと、やっぱり君は俺の言いたいことを分かっていないみたいだね…。

君って誰だよ

>358
オマエモナー
とりあえず、トリップつけた方がいいかな？

つうか「1」を自然数ととるか真理値ととるかで
1＋1の答も違うとかさ、さんざんｶﾞｲｼｭﾂなんだからよ、
それ固定しないで「1＋1＝2」を証明しろとか
不毛なこと言うな。

>362
君も分かってないね…。

低脳にもわかってもらえないと完全な証明にならないので
完全な証明はありません、そうですか残念、で済ませましょうや

>364
とりあえず、じゃあ君の言う「低脳」の定義は？

お前

スレ違いだし他所でやれ。
つうかむしろ哲学板でも逝け。

>367
そうだな。悪かったな。
でも、このスレは俺の言った理由で永遠に答えは出ないと思うよ。

じゃあ、俺は明日早いので寝る。
お休み。

ｽﾏｿ
しかもageちまった

「●」の数を１、「●●」の数を２、
「＋」の記号を「左右にあるものをあわせる」、
「＝」の記号を「左右にあるものは等しい」
と定義して導かれた定理が「１＋１＝２」だろ。
だから、もし「●●」の数を３にしてたら「１＋１＝３」になってる。
わかるか？
最初の定義を認めれば「１＋１＝２」は当然なんだよ。

寄せられた情報によりますと、東真一郎の両親は「西田」と偽名を使い、岐阜県各務原市に潜伏しているとの説もあります。



民国８９年（西暦２０００年）１１月になって、また別の情報が寄せられました。

大分県潜伏説があります。ご近所では話題となっているとのことですが、大分在住でご存じの方、情報提供をお願いします。



どうも情報が錯綜しているようです。

福井県潜伏説、香川県潜伏説の情報もいただきました。

正確なところをご存じの方、メールをください。



香川県潜伏説が有力のようです。詳細をご存じの方、メールください。



民国９０年（西暦２００１年）正月早々の情報によりますと東一家は、香川県綾歌郡飯山町（あやうたぐんはんざんちょう）に潜伏しているようです。まだ断定はできませんが、寄せられたさまざまな情報を見比べてみると、どうもこの情報が有力に思われます。

>>368
君は自分が絶対納得しないように問題を作ってる訳だから
そもそも答えがあるはずがない。
何かを理解しようとする努力すら怠っている奴が理解出来るわけがない。

ここは数学板だから、自分はまず「1=0.999…」という文が
どのような意味か分かっている奴と、どのような意味なのか理解しようとする奴にこのスレに居て欲しくて、
それ以外の何も理解しようとせずにただスレッドの方向を捻じ曲げるような奴は
出て行って欲しいのだが、その主張は間違っているかい？

ちなみに
＞君は自分が絶対納得しないように問題を作ってる
というのは
「『1+1=2』の文がどのような意味なのか分からない、そして考えようとしない俺に
　『1+1=2』だという事を認識させろ」
と解釈させて貰ったが誤解であったのなら謝ろう

「と解釈させて貰った」→「という意味で使った」
の方がいいか。スマン

>>372
お前自身がスレ捻じ曲げてんじゃねーか。308と一緒に哲学板に帰ってろｳﾞｫｹ

374 ：文系学部生 ：02/03/18 11:38
>>364

↓こんな感じですか？
5と9が解らなかったので教えて下さい．

以下，公理系Qにおいて証明する．

1
公理Q5により，任意の自然数x，yについて，
(xと(yの次の自然数)との和)と((xとyとの和)の次の自然数)とは等しい．

2
1，全称特例化により，
((0の次の自然数)と(0の次の自然数)との和)と(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)とは等しい．

3
公理Q4により，任意の自然数xについて，(xと0との和)とxとは等しい．

4
3，全称特例化により，((0の次の自然数)と0との和)と(0の次の自然数)とは等しい．

5
=fn.?
任意の自然数x，yについて，xとyとが等しいならば，(xの次の自然数)と(yの次の自然数)とは等しい．

6
5，全称特例化により，((0の次の自然数)と0との和)と(0の次の自然数)とが等しいならば，
(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)と((0の次の自然数)の次の自然数)とは等しい．

7
4，6，肯定式により，
(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)と((0の次の自然数)の次の自然数)とは等しい．

8
2，7，連言の論理記号の導入により，
((0の次の自然数)と(0の次の自然数)との和)と(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)とは等しく，
かつ，(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)と((0の次の自然数)の次の自然数)とは等しい．

9
=trans.?
任意の自然数x，y，zについて，xとyとが等しく，かつyとzとが等しければ，xとzとは等しい．

10
9，全称特例化により，
((0の次の自然数)と(0の次の自然数)との和)と(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)とが等しく，
かつ，(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)と((0の次の自然数)の次の自然数)とが等しいならば，
((0の次の自然数)と(0の次の自然数)との和)と((0の次の自然数)の次の自然数)とは等しい．

11
8，10，肯定式により，((0の次の自然数)と(0の次の自然数)との和)と((0の次の自然数)の次の自然数)とは等しい．

>>376の>>364はこのスレの>>364じゃぁない。

しかし問題はな
(xと(yの次の自然数)との和)と((xとyとの和)の次の自然数)とは等しい．
というのはどうやって証明するのだろうか

>>378
それが足し算の定義だ。それを満たさない関数は足し算といわない。
つうかちゃんとそっちのスレ逝けってば。

定義ということは　証明はできないということか　

このスレではこれ以上は無視るよ。俺も。

何かまともなレスを貰ったからちょっとレスを返す。

>372
＞何かを理解しようとする努力すら怠っている奴が理解出来るわけがない。
別に理解をしようとする努力を怠っているわけではない。
このスレを見て、そう思ったのだ。
確かに、このスレにはなかなかの証明がいくつかあると思う。
しかし、その中のどの答えも万人受けしているわけではないと言うことだ。

＞「『1+1=2』の文がどのような意味なのか分からない、そして考えようとしない俺に
＞　『1+1=2』だという事を認識させろ」
＞と解釈させて貰ったが誤解であったのなら謝ろう
それは違う…というか、違うと思いたい。
しかし、実際はそうなのかもしれない。
たた、そのことについて今まで俺自身もいろいろと考えてみた。
しかし、やっぱり納得できる答えは見つからなかった。
例えば、>370について「●と●を合わせた物が●●に等しくなる」が、完全には理解できない。
納得してしまえばこれまでなのだが…

同様に考えてまた例えば>348についてだけど、
まず、0.999･･･=lim[n→infinity](1-10^(-n)) が納得出来ない。
そういうふうに、定義で出来るんだと言われればそれまでなのだが
定義の幅をそこまで広げてはいけないという人はたくさんいるだろう。
それと、この極限の証明は１＋１＝２より難しいのではないのだろうか？
つまり１＋１＝２の証明が『完全に』』出来無いような人には、
1＝0.99999…の証明を『完全に』することは出来ないのではないのだろうか。
要するに、「１＋１＝２」の完全証明が出来ないのだから、「1＝0.99999…」の証明は
押して知るべきではないだろうか？

とりあえず、俺が言いたいのはそれだけ。

あと、ひとつ聞きたいんぽだけど、このスレでは「1＝0.999999…」の
『完全な』証明を目指しているのだと思う。
飽きが来ないのならばそこまで到達することは無くとも、
そｔれを目指してみるのもいいだろう。
何か見つかるかもしれない。
とりあえず、俺はここでＲＯＭに戻らせてもらう。
もっともなにか言いたくなったらまた書き込むかも知れないが。

>375
数学⊂哲学という考え方もあるとだけ言っておこう。

>>370
なるほど、初めて「１＋１＝２」が本当の意味で納得できた気がする
「1＝0.999999…」はどうなるの？

自分の文章にカッコつけるためだけに「完全」という用語を無頓着に用いるキミは
＞数学⊂哲学という考え方
における「哲学」を何一つ理解していないと思われ。

＞あと、俺を完全に論破あしたからってそれが完全な証明にはならないよ。
＞俺だって完全じゃないからね。

＞＞じゃあまず「完全な証明」の定義を教えてくれ。
＞＞それと「1＋1＝2」という文の構成要素の定義を教えてくれ。
＞まあ、おれも完全じゃないから完全にはいえないけどな

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1004597379/
えらい違いだ…

>>383
ROMに戻ると言ってるけど、直ぐ戻ってきそうだから言っとく。
まずは自分で何らかの結論出してから戻って来い。
せめて問題文においてそれぞれの単語が何を意味しているかぐらいは自分で考えとけ。

期待通りすぐに戻ってみる。

>385
哲学なんて知らないよ。俺哲学者じゃないし。
だって、誰かさんが哲学板に帰れとか言うから…。
あと「数学⊂哲学」は誰かに聞いた話だけど、確かフランスかどっかじゃないかな？
よく分からないけど。

>387
期待通り戻ってきたよ。
あと、結論は俺なりに出したつもりだけどな。
まあ、俺は完全じゃないんでそっちがわかってくれるとは思わないけどね。

じゃあ、明日も早いからお休み。

＞俺は完全じゃないんで
「俺は頭が悪い／物事を論ずるための基礎知識がない」にこういう表現方法があったとは
知らなかった。こんどセミナーのいいわけに使ってみよう。ありがとう！>>308

「完全」って言葉が普通数学では「内部で矛盾が起きるような事が無い」って
いう意味で使われてるのに、308は「誰にでも理解できる」って意味で使ったのも
308に賛同者がいなかった理由の一つだろうな

今帰ってきた。

>389
どういたしまして。

>390
別に賛同者をもとめるために、ここにきているわけではないけどな。
言いたいことを言っているだけだ。ここ2ｃｈだしな。

それとも何、俺に


$A_n =0.99999…999（n個）=1-10^n $　とする。

ここで　$B_n =1-A_n =10^n $　と置くと

$\lim_{n\to \infty } B_n =0 $　だから

$\lim_{n\to \infty } A_n =\lim_{n\to \infty } 1-B_n =1$　となる。


とか言って欲しいわけ？
でも、こんなのじゃ全然だめだよな、やっぱり。
まあ、数学科の人間だったら記号の意味ぐらいわかるだろう。

ＲＯＭに戻るといってそっこー帰ってきた人間に
まともな人間はいなかった。
それで十分だろ。

>392
自分でまともな人間だとは思ってないから大丈夫だよ。
それに戻ってくるかもしれないっていったじゃん。

結局
1=0.9･･･
てのは近似ってことでいい？

>>394
近似じゃなくてふつーに等しいんでしょ。

>395
それを証明するスレだよ。

>>396
高校の教科書で納得してたんだけど、ダメなの？

>397
納得できればそれでいいんじゃないの？
こんなこと極めたって何の役にもたたないよ。

284を書いたものです。>>302では不十分といわれてしまってますね。
ではもう一つの説明を。
1>0.999999…と仮定します。
このときこの二つの数の間には必ず数が存在します。
たとえば足して２で割ればその中間の数が求められます。
しかしそのような数が存在しないことは明らかでしょう。矛盾しますね。
これは1>0.999999…と仮定したためです。
もちろん1<0.999999…でもないので1=0.999999…となります。

＞ 1> 0.999999…と仮定します。
＞ このときこの二つの数の間には必ず数が存在します。
存在すんの？
1と0.999999…の間に数が存在しないってことが前提じゃないの？
その上で、1=0.999999…なのか1> 0.999999…なのかでしょ？

>>400ばーか

仮定しますぅ

>399
Ａ＜Ｂ　のとき　Ａ＜Ｃ＜Ｂ　となるＣが存在するのは何で？
（Ａ＋Ｂ）／２　は何で必ず存在するの？
それと、なんでそのような数が存在しないのは明らかなの？

>>399
>足して２で割ればその中間の数が求められます

０．８８８・・・・　と　０．９９９・・・・　の中間の値を求めてください。

>>404
(0.888…+0.999…)/2
=(1.888…)/2
=0.944…

デデキントの実数の切断

０．デデデキント
０．デデデデキント
０．デデデデデキント

　　　・
　　　・
　　　・

０．デデデデデデデデデデデ・・・・・・・・・・


これが，デデキントの実数の切断の意味です．

１／３　＝　０．３３３・・・　　といってるけど、
割り切れないで無限に続くんだから、
＝（イコール）　じゃないんじゃないかなぁ。

ところで、これらを理解するにはどの程度
の知識があればいいんかな？

＞割り切れないで無限に続くんだから、
＞＝（イコール）　じゃないんじゃないかなぁ。

騙されたと思って，＝（イコール）になるまで続けてみそ！いつか１になるから．

[訂正]
いつか１になる×
いつか１／３になる○

>>408
>>＝（イコール）じゃないんじゃないかなぁ。

引っかかるのはこの気分的なものなんですよね。
論点をここに絞ったらどうでしょう？
同じものに、
1/9=0.111…
2/9=0.222…
3/9=0.333…
4/9=0.444…
5/9=0.555…
6/9=0.666…
7/9=0.777…
8/9=0.888…
9/9=0.999…

実際の計算で、
どういうやり方をしても、どんな局面でも、
整合性があれば問題ない、
というやり方では気が晴れない？
通常、等しいことを確かめるときは、
そのような方法を取っていると思うが。

そもそも、少数で表そうとするからおかしくなる。

1/3=0.3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333...
1/3×3=1
つまり
0.33333333333333333333333....×3
=0.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999...
=1
(証明おわり）

0.33333333333333333333333....×3
=0.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999...
を証明しろってば

何回同じことを繰り返すんだ？

999.999........回

999.999........回=1000回

1より小さくて1に一番近い数はいくつ？

1+z

1-(1/∽)

>>419
1-ｚだろ？（ｗ

0.9999… > 1-(1/∽)でいいですか？

>>420
相似かよ！

>>420=>>422の予感。
相似記号で無限∞表す奴ってそんなにいないだろう。

420じゃないけどそのままコピペしました。

>>425
了解しますた。

無限とは幻であった。

そ、そんな馬鹿な…！
俺の永遠が…俺の永遠がぁ…！！！！

１＝０．俺の永遠が…俺の永遠が…俺の永遠が…俺の永遠が…俺の永遠が…俺の永遠が…俺の永遠が…俺の永遠が…俺の永遠が…俺の永遠が…

結局、結論を“固守する事”自体が目的化してしまっていて、
“結論”そのものの正誤は問題外なんだね。

しかも、正しくない結論に達する道程の違うものに対して、
「それは間違っている」だの「証明として不十分」だの
挙げ句の果てには「証明できない」。

つまるところ、「宗教なんだから、つっこんじゃダメ」ですか？
数学的な話を期待した方がかわいそうですね。

>>430
冷や水爺

なつかしいなあ。俺はこれで数学の、或る種のいかがわしさを学んだ。

>430
極限、分断、分数。
一応、「数学的な」証明はもうかなり出ているのだが、
それが万人受けしていいないことが、問題なのだろう？

それと、ひとつ突っ込んでおくけど、
>1は実数空間上とはいっていないし、
さらには10進法とも、言っていない。

身内同士で批判しあっていることを揶揄したんですけどね。
「証明は出た」と言う人は君も含めて幾人かいるけど、
「それは不十分だ」と批判されてる。
数学的な話は、不十分だといっている人を論破してからですね。

スマン、308に反応した私も同罪ですね。
ＲＯＭに戻ります。

なんか荒らし扱いだな、俺（藁

まあ、いいや。
でも、煽ってばっかりじゃ結果が出るどころか前にも進まないよ。

とりあえず、しばらくこの名前を使うのを止めるか…。
というか、すでに名無しで書いているんだけどね。

＞煽ってばっかりじゃ結果が出るどころか前にも進まないよ。

自分は棚上げか？

>437
煽って「ばっかり」じゃないつもりだが、何か?

煽った自覚はあるんだね（ｗ

>439
そりゃそうだ。君もそうだろう？

前に進むも何も
前提の定義次第じゃんこんなの。

一般的にどうとかじゃなくて
そもそも0.9999999999999999999999999999・・・ って何なの

>441
小数点以下９が永久に続く少数だろ？

先生あのね、

「1」って何？
「9」って何？
「=」って何？
「・・・」って何？

「永久」ってなあに？

無限ループ。

>442
　lim　０．９９９…９９９　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
n→∞　　　 　 　 　　↑　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　ｎ番目

と言うことだな、各章はもてないが。

>443-444
俺が前に言ったことはそういうことだよ。

>443
辞書引けと言って見る

ループの周期が短くなってるな

>447
そのうち、任意のεより小さくなるんじゃない。

>448
いや、１以下にはならんだろ。

１にするには、自分でループしないといけない。

>>446
で、どうせ「辞書に書いてあることを証明してください」という煽りが入るんだろ

無限に小さい俺から見れば0=1じゃないけど
無限に大きいおまえらからみれば0=1に見えるんだよな
不思議なもんだな

ところで、理解している方たちは、１＝０．９９９・・・を
いつ知りましたか？そのときすんなりと理解しましたか？
なにも疑問が浮かばなかったのですか？
もし良ければ、１＝０．９９９・・を知ってから、理解するま
での過程（頭で考えたり感じたこと）をお知らせください。

いままで、実数の性質についてなにも考えることなく使っていたんだなぁ、
と実感した。
関数の列の収束という概念を知って、また同じようなことを思った。

>>453
中学のとき。
そのときは中学数学における厳密性の範囲では疑問の余地はないなと感じた。
差が任意の正数よりも小さくなることを否定すると
差がある正数よりも大きくなる、つまり差があるということだから
そうでないということは差がないということなんだなぁと。

>>453
消防のとき。当たり前だと思った。

＞数学的な話は、不十分だといっている人を論破してからですね。
不十分だといっている人に、自分が使っている規則について
厳密に考えたらどうなるのか、自分自身が0.9999…の意味を
きちんと理解していると言えるのか、を教える必要があるってこと？
個人的には、そういう人であっても、自分なりの対象の「定義」から導かれる
それの性質について、自分自身であれこれ考えられる人ならば、数学に向いてる
と思う。自分でもよくわかってないくせに、あいまいな概念をあいまいなまま
ふりかざしている（だから結局、下手な文学的比喩や、視覚的な直感の範囲内でしか
ない「俺流極限解釈」に頼らないと議論できないでいる）連中でも、
単純に、丹念に、先人の努力の跡をたどっていけば、きっと理解できると思う。
甘過ぎ？

(ﾟдﾟ)ｱﾏｰ

(TдT)ｳｳ

「論破」っていうのもなかなか凄味のある言葉だな・・・（藁

論破＝電波

論破ールーム

ウーパー論破ー

メ論破ン

質問者に「1=0.9999999999999999999999999999・・・ 」の
定義を明らかにしてもらい、1か2へ。

1.質問者が定義を持っている場合。
その上で、＝か否か意味を持たないか等決まるだろう。
京に一つくらいは、新しい理論が生まれるかもしれない。

2.質問者が定義を持っていない場合。
通常の実数論での解釈においてはこの等式が成立する事を言う。
その上で、質問者が「通常の実数論（に持ち込む事）」に不満を感ずるならば、
彼に納得のいく定義をしてもらい、1へ。

>>464(ﾟдﾟ)ｳﾏｰ

今度は無限大についての説明をしたいと思います。
0.999999…を次のように有限個数番目の9で区切ります。
0.999999…|999999…
このとき|の右側にある9の個数とこの数全体が持つ9の個数とは等しくなります。
これは無限大が数ではない、言い換えれば数えられないものであるためです。
そもそも0.999999…を0の後に9がずっと続く数と認識することが1=0.999999…
の理解を妨げているといえるでしょう。

はーい，いーこでちゅねー．べろべ論破〜．

>>467
>9の個数とは等しくなります。
>数えられない

数えられないのに、 個数が等しい？
へぇ〜、ほぉ〜、ふ〜ん。

>>467
言いたい事がよく分からんな。

>>467
yahooトピにありがちなネタだな．

きのう「1より小さくて1に一番近い数はいくつ？」って聞いた者ですけど
1-zという答えが返ってきたんだけど
lim[z→infinity](1-z)ってことかな？
どうなんでしょう？

>>472
z案のネタだから無視してよい

>>472
間違えた
z=10^(-n)
lim[n→infinity](1-10^(-n))

>>473
ネタですか･･･
で、ほんとはどうなんでしょう？

ない。

通常の実数ならないけど
超準解析なんかならあるんじゃない。

またループしてるよ。
超準解析も過去ログに出てるから読んでみな。

ループについて語るスレだからいいんでは？

>479
開き直ってるな（Ｗ

この類のスレッドで超準解析の話題を検索する時のコツとして、
「^*」「超冪」とかで検索するってのがあるよ。覚えといてくれ

>>467
「無限大」は無限に大きいという意味だから、
２より小さい0.999999…に対して使うには不適切。
「無限個」とすべきだろう。
要するに「無限個」−「有限個」＝「無限個」ってことね。

春だなぁ。

0.999999…を次のように区切ります。
0.999999…(無限個)…9|999999…

482はすごーく真剣にこのスレを読んだんだろうなあ（嘲

∞−１＜∞
これは言える？関係なくてスマソ

∞−１＝∞
です。分かりやすい説明はモナ先生のとこへ

>>486
x→∞のとき
e^x-1→∞-1、x^3→∞
でも(e^x-1)/(x^3)→∞

発散する速度によるのよ。あと∞は数字じゃないのよ。

┗（゜∀゜）┓

「無限個」って何回も言ってると，業界用語みたいだ．

　今，俺が言いたいのは，それだけ．

>>488
アレフ０は数字なの？

可能無限と事実無限の話ですね？

やめれ>492

無限小

数の大きさ比較について考えてみる。
数学的な厳密さとか考えるのはだるいので、
高校までに習う知識を利用して段階的に説明してみます。

（メダーイ）
ａ≧ｂ　とする。　
この条件の上で、
もし、ａ＞ｃ　を満たすすべてのｃが、　ｂ＞ｃ　を満たすならば、
ａ＝ｂ　である。

理由はこう。　もし、ａ＞ｂ　だったとします。
ａ＞（ａ＋ｂ）／２　　なので、
ｃ＝（ａ＋ｂ）／２　　と置きます。　すると、ｂ＜ｃ　となり矛盾。
したがって、ａ＞ｂ　では在りません。　すなわち、ａ≦ｂ
最初に、ａ≧ｂ　と条件を置いて、　かつ　ａ≦ｂ　も満たすわけですから
ａ＝ｂ　なわけです。

１と0.9999･･･　を考えた時、普通に考えると(これも厳密さを欠く所ですが)、
１＜0.9999･･･　なんて思う人はほとんどいませんね。
ということで、少なくとも、１≧0.9999･･･
です。　

ここで
>>495
のメダーイを利用します。

ａ＝１，ｂ＝0.9999･･･　を代入します。
で、１＞ｃ　を満たすすべてのｃが、　0.9999･･･＞ｃ　を満たすかどうかを考えます。
１より小さい数を何でもいいから思い浮かべて見ましょう。
それは、0.9999･･･より大きい数になりそうですか？
なりそうもないですね。　ということは、
１＞ｃ　を満たすすべてのｃが、　0.9999･･･＞ｃ　を満たす
ということです。
したがって、メダーイより、１＝0.9999･･･

とは言ったものの、なんか狐が化かしたみたいな説明ですね
結局納得逝きそうなものにならなかった。。。
鬱だ。

＞１より小さい数を何でもいいから思い浮かべて見ましょう。
＞それは、0.9999･･･より大きい数になりそうですか？
＞なりそうもないですね。　ということは、

0.9999･･･がどういう定義なのか説明してないとただの予想にすぎない。

c＝b＝0.9999･･･　としたらどうなる？

499.9999999・・・げっと

>>496
>それは、0.9999･･･より大きい数になりそうですか？
>なりそうもないですね。　ということは、
>１＞ｃ　を満たすすべてのｃが、　0.9999･･･＞ｃ　を満たす
>ということです。

納得逝きそうもなにも、間違っています。

ほんとに
１＝0.999999999999999999999999998999999999.....
なんですか？

>>502
ちがいます！

＞502
見たら分かるでしょう。
もちろん違います。

>>504
もちろん違います！
ここで
「実数の連続性」
というマジックを使えば、
１＝0.999999999999999999999999998999999999.....
に見えるだけなのです。

ふーん、じゃあ違うってことで決定だね。

>>502
0.99999999999999999999999999998
0.0000000000000000000000000000099999999.....
= 0.99999999999999999999999999999
で、いいよね。ちゃうの？

＋が抜けてた。ｽﾏｿ

>>507-508
関西ではそれでも結構です

現在の段階で、
>>502の途中の８を見逃してるマヌケは
いないよな？

>>510
506あたりが臭いぞ？

書いた本人が見逃してたりしない？

たとえ、502の書きそこ間違いだとしても、
勘違いしていた事実は消えないよ？

>>513
いいから落ち着け。

書きそこ損じ

無意味に話しを難しくしてません？
3分の1を3倍したら1だけど、3分の1を小数で表した
0.333333...を3倍しても1にならないで0.999999...
にﾅﾁｬｳから1=0.999999ってことでひょ？
>>1にはこんなもんでオゲーイ

>>516
1は煽りだよ

アルキメデス的転換！

0.999999999999・・＋0.99999999999・・＝1.999999999・・
ところが、1＋0.9999999999・・＝1.99999999・・
故に、0.99999999999999・・＝1

なんだ、簡単に証明できるじゃん。
今までなにやってたの？
スレのレベルが良くわかった。

>>518
小数点以下の計算を安易にしているところは、
1＝1/3×3＝0.333･･････×3＝0.9999･･････
とレベル的に何も変わらん。

アルキメデス的転換＝０件
コペルニクス的転換＝約４００件
コペルニクス的転回＝約１４００件

あ

ばかばかりね
0.99....+0.99....=1.99.....
だって
それを証明してみろ

カテキョの子に、
「0.9の後ろに9いっぱい書いたら1になるの？」
って聞かれた。

どうしよう。

>>523
犯せ

1/3=0.333..........

まずこの式をどうとらえるかが問題。
右辺の........をどこかで止めたら等式は成り立たない。1/3＞0.333..........3だ。
右辺を、増えつづける動きのあるものだと思えればしめたもの。

か？

>>525
1/3は数列0.3,0.33,0.333,...の極限値、
でいいんちゃいますか。
動きのあるものって言い方すげえあいまいですやん。

ｺﾞﾒｿｷﾓｲｶﾝｻｲﾍﾞﾝ

極限、極限値の話が通じる相手ばかりなら500ものレスを要しないと思われ。
疑いが晴れない人にぼんやりと"足し続けないとダメ"なことが伝わればそれで十分かと。

1=0.9999999999999999999999999999･･････
は表記の問題ではなく証明するべきことのように
思えます。
右辺の0.9999999999999999999999999999･･････
という表現は
∞
Σ　　　（9*10^(-k))
ｋ＝１

が存在することを主張しており、
式全体はその値が１であることを
意味しています。

>>529
その式の意味がﾜｶﾗﾝ中高生か、
それで納得しない高校大学の人か、
全部理解していながら、ﾜｶﾗﾝ人らをおちょくってる人が
混在しとります。

0.9999999999999999999999999999・・・ ≠ 1
0.9999999999999999999999999999・・・ → 1

限りなく１に近づく。

0.9999999999999999999999999999・・・9 ≠ 1
0.9999999999999999999999999999・・・　＝ 1

極限値はその値に近づくということであって
その値になるということではない。
たとえば、f(x)=(x~2-1)/(x-1) とした場合、
x=1 とするのは意味を為さないが、
x→1とするのはf(x)→2 という値に近づくことが言える。
ことほどかように、その値に近づくというのと、その値になる
というのとは意味が異なるのである。

ことほどかように＝約９０件
ことほどさように＝約１５００件

学生の頃、循環小数を分数に直す方法で 0.9999999… を分数にしたら１になった
ので、教授に質問に逝ったら「0.9+0.09+0.009+ … 」の計算をしろ」と一蹴された。その時は納得したけど、ここの色んなレスを読んでみてまた疑問になってしまった。

そんなもんだ。

任意に選んだ数εに対し以下略

>>537
もう、いいかげんいいよなこの話
ほんとに。

ぷるんぷるんループ

数列a_n=1-10^(-n)は
番号nがいっくら大きくてもそれが有限の値である限り、
a_n≠1

>538
そうなんです
きちんとやろうとすると
高校までの極限の説明(「どんどん
近付いて...」みたいな感覚的なlim
の説明)ではだめ(540の指摘のように)。
ε-N論法やら、実数の連続性についての
理論やらを展開しなければなりません。
530の言う通り中高生に説明するのは
かなり大変です。

つまり0.9999999999999999999999999……って無限に続くなら
無限に１に近いということっしょ？

>>542
近いんじゃないよ。＞１にあるように、「＝」なんです。そこが
不思議がられる所以ですわ。

仮説１：X=0.999… と置く。
両辺を10倍すると、10X=9.999… となって後者から前者を引くと 9X=9
よって、X=1 となるから0.999…=1





この説明が崩壊したら、1=0.999… を支持する人は減るだろうね。
仮説１を直接否定するのは困難だけど、
10倍して差をとるという手法が「証明」には使えない、
というのを示すのは可能だったりする。

ヒント：仮説「１」ということは、仮説２が存在する



前置きはこのぐらいにしておいて、決定的なことを１つ。
シンプルであるが故にこれは強いぞ。

0.999… は９で割り切れる。１は９で割り切れない。
故に１と0.999… は異なる。

ここからスタートすれば、
1/3=0.333… が正しくないこともわかるよ。

>>544
0.9999....を9で割り切るには
無限時間を要する、だから不可能と言えるんじゃない？

ｶﾝｻｲﾍﾞﾝはｷﾓｲらしいので止め。

＞0.999… は９で割り切れる。１は９で割り切れない。

0.111...これを割り切れたというのか？そうであればどちらも割り切れる。

0.333…（10）＝0.1（３）
0.666…（10）＝0.2（３）

両辺足して0.999…（10）＝１（３）＝１（10）

というのは既出かのぉ。

>>544
おちょっくっただけか？
>>547
「両辺」足してってのがダメらしい。

＞「両辺」足してってのがダメらしい。

そうなんだ。けど困るよね。俺の中で
0.333…てのは1/3をひたすら追求していくとこに
0.666…てのは2/3をひたすら追求していくとこに
意味があり、本質だと思ってるんだけどな。それに引き換え0.999…は、
それ自体の説明がしにくいよ。

1 と 0.999999999...... が等しくないとすると、
この2つの数の間には "何か" (実数) があって、
その "何か" は 0.999999999... よりも大きいはずだ。

>550
待ってくれ。1>0.999999999.....は自明でいいのか？

>>550
その「何か」と「0.999999999......」は同時に確定しないのです。

割り切れる0.111…と割り切れない0.111…の
違いって何？

>>545
では、言い方を変えましょう。
0.111…の９倍は0.999… である。
故に0.999… を９で割ると0.111… となる。
順次処理をするから無限に時間がかかるのであって、
並列処理をすればよいだけのこと。
そもそも演算時間なんて算出する側の都合であって
0.999… とは直接関係ないと思います。


>>553
割り算には「商」と「余り」があるのです。
でも皆さん「余り」の存在を忘れてるんです。
割り切れるか、割り切れないかは
余りが０であるか、０でないかで分かります。

0.999… は９で割ると「商」は0.111…、「余り」は０
１を９で割ると「商」は0.111…、
　　　　　　　「余り」は永遠に０に近づくが０にはならない

仮に「余り」が０になったと仮定すると、その時点で割るものがなくなり
そこで打ち止め。
しかしそれでは「商」は有限小数となってしまい事実に反します。
別の言い方をすれば、
「商」0.111…が無限小数であるためには「余り」≠０が
必要条件になるということです。


余りＲを考慮して数式を作れば、
1/3≠0.333… も説明できます。
（中略）
1/3=0.333… +R (R→0、R>0、R≠0)　です。

仮説２：X=0.999… +R (R→0、R>0、R≠0)と置く。
両辺を10倍して差をとるとこれもまたX=1となります。
ポイントは 10R=R だということです。
（極限値を使わなくても 10R=R は説明できますが割愛します）
これにより、差をとると式からＲが消滅することに注目しましょう。

つまり
仮説１≠仮説２でありながら、どちらも X=1 という結果となり
仮説１＝仮説２というとんでもない結末になるため、
10倍して差をとる手法が「証明」には使えないことが示されるのです。

ｘ＝０．９９９９９９９・・・
とおくと
１０ｘ＝９．９９９９９９
１０ｘ−ｘ＝９
よって
９ｘ＝９
ｘ＝１

>>ALL
ていうか、当たり前すぎるじゃん。

「順次処理をするから無限に時間がかかるのであって、
並列処理をすればよいだけのこと。 」
と
「0.999… は９で割ると「商」は0.111…、「余り」は０
１を９で割ると「商」は0.111…、
　　　　　　　「余り」は永遠に０に近づくが０にはならない 」
を見ると激しくいい加減な議論をしているように見えるが。

>>554のことね

もういいって言ったじゃんか

>>554
「y=(1/x)^2をx軸周りに回転させてできる立体の[1 +∞]
の部分のような形をした容器に水を注ぐ。水はどれだけ入るか？
ただし、水分子の大きさは無視。」
という問いに対し、あなたは何て答えるよ。

「０．９９９９９９９９９９９９９…の問題が解決してからにして！」

って答える．

>>561
ホントにそうなら申し訳ない。

今，９を５０億個つないで１になるか試してるんだけど，ダメみたい．
この問題は，いつ解決するか分からないけど，待っててね．

>>563
このフォントの大きさで9を地球から100億光年離れた天体まで並べて
書いても１にはならん。
1=0.999...の9はたとえ宇宙の果てまで行ってもまだ先が見えないぐらい並んで
いる。この9の先にはいかなる手段をもってしても到達不可能。それが
無限ってこと。

もういいよ。

>>564
アドバイスありがとう！フォントを小さくしてみる．

554は例え煽りだったとしても気持ち悪い
割り算の定義をあそこまで無視できるなんて…胸糞悪いわ

>>565
どういたしまして。

>>566
>>554って煽りかよ。くそったれな

あのさ、感覚的なことで、ふと気づいたからいうけど、
A「0.333…」、B「0.666…」、C「0.999…」ってあったら、Cを
AやBと同等に論じるのはできないんじゃないかと思う。
0.999…なんて、数字遊びでしか出てこない概念なんじゃないの？
だから計算途中でA、Bは出てくることがあってもCはでてこないんじゃ
ないの？（電卓はその性質上出てきちゃうけど。）

＞569
電卓の話をしてるんだよ。

>>570
そうだったんかい・・・

>>568
別に煽りだと言ってる訳じゃないよ。
どちらにしろあんな書き込み出来る時点で気持ち悪いってだけ

>>555
ｘ＝０．９９９９９９９・・・
とおくと
１０ｘ＝９．９９９９９９・・・
１０ｘ−ｘ＝９
よって
９ｘ＝９
ｘ＝１

引き算のところがあやしい。
ちゃんと９になることが言えることを数学的に証明してくれ。
｢・・・｣としてるところがいい加減過ぎると思う。

>>572
そうか了解…。

アルキメデスは亀に追いつけないんだＹＯ！

ＹＯ！

ＹＯ！

もういいって何回言わせるんだYO!

>>544 と >>554 は私です。
総じて不評のようですな。

>>560
0.999… の話とどう関係してるんだろう？
よくわからないけど、水分子の大きさは無視ということで
点（０次元：体積０）として扱えと解釈しました。
というわけで、
体積０の点ならば無限に存在しても総体積は０のままなので
容器（３次元：体積≠０）の形、大きさなどに関係なく
無限に存在しうると判断いたします。


>>566
＞割り算の定義をあそこまで無視できるなんて…胸糞悪いわ

なんかえらい言われようだけど、そこまで言うのなら
割り算の定義とやらを書いてくれないと
こちらも反論や修正のしようがありません。

その代わりというのもなんですが
0.999… を９で割った時の「商」と「余り」、
１を９で割った時の「商」と「余り」はそれぞれどうなるのか
あなたの見解を是非ともお聞かせください。

これは0.999… が１であるか否かを決定づける重要なことですから
拒否しないでくださいよ。
割り算の定義を理解しているあなたにとっては簡単な問いですよね。

>>579
まず、あなたの発言を煽りと早合点してしまったことをお詫びします。

いや、水分子の大きさ無視ってのは回転体をx軸正の方向にずっと追って
行くと先がだんだん細くなるから、水分子の大きさを考えるとあるところで
つまってしまうじゃないか、と思われることを回避したかったから付け加えた
ことです。あなたに問いたかったのは、有限体積だけど底のない容器に水を加
えたとき水はどれくらい入るのかということです。

操作の時間は0.999...を9で割ることとは関係ないとおっしゃるあなたは
この問題をどうとらえるのか、それが聞きたかったのです。

…駄文やなぁ。

別人だけど。
（０．９９９…）÷９＝０．１１１…
これを「割り切れた」ことにするなら
任意の数が０でない任意の数で割り切れる。

電波としてはなかなか面白いね。

余りをaとすると
1/9=0.111…+a
1=0.111…×9+9a
1=0.999…+9a
なんか変な感じがする。

電波職人賞賛age

>職人様
はあ?
どこがどう電波なわけ?
だったらおかしいところを具体的に指摘してくださいYO!
…こんな姿勢でおながいします(w

もういいって言ったけど面白くなってきたYO！

yahooのニオイがする（ｗ

>>579
まず「0.999…」は「数列0.9,0.99,0.999…に極限値が存在した時のその極限値」と定義させて。
問題をあやふやにすると今井やｍｎのような方々が来ちゃうから。

次に自分には0.999…を9で割った余りなんて定義出来ないよ。
0.999…を9で割るってのなら
「有理数の数列0.9,0.99,0.999…に極限値αが存在したとして、
その時に極限値がα/9になるような数列」として
「有理数の数列0.1,0.11,0.111…」が9倍すると「有理数の数列0.9,0.99,0.999…」となるから
0.111…を挙げることが出来るよ。

次に1を9で割った場合、有理数1/9になる。
んで↑の「有理数の数列0.9,0.99,0.999…」の極限値は1、
「有理数の数列0.1,0.11,0.111…」の極限値は1/9となるから
0.111…=1/9　0.999…=1となるってのが自分の結論。

割り算の定義は逆数を掛けると定義して、
掛け算の定義は自然数上で定義した後、一般の整数、有理数、そして実数と拡大していく
って感じでいい？

さて、今度は貴方が「商」と「余り」ともし私のと違うのなら「0.999…」の定義を言ってくれない？

なんか久々に数学板に面白い奴が来たからお礼にマジレスさせてもらった。
本人の思考回路考えると気持ち悪くなっちゃうが、まぁそれくらいは我慢

587は偽者くさいが面白ければ真贋問わず

566のような電波が出てくると
春だなぁと
季節感じる。

字余り

>>587
上から２項目の文の日本語が俺にはようわからん…ｽﾏｿ。
0.111...を挙げることができるって、結局どうゆうこと？

悪気はないんよ。

【ｶﾆﾊﾞｰﾙ】春の電波祭り【ﾌｪｽﾃｨﾊﾞｰﾙ】

カニバる＝人肉(ﾟдﾟ)ｳﾏｰ

つーか、厨が一人まぎれこんでるな。

つーか、厨が一人まぎれこんでるな。

>>594
俺か？

>>596
いや、>>595だ。

私ですか……？やっぱり？

∀任意

599.999999999999999999999999999999999999999999…ｹﾞﾄ

しまった…自分が電波になってしまったよ
>>591
済まない。
「挙げる」ってのは日本語的におかしいね。

もし有理数の数列0.9,0.99…と、0.1,0.11…共に極限値が存在するとしたら
有理数の数列0.1,0.11…のそれぞれの項を9倍したら数列0.9,0.99…になるから
「0.999…/9=0.111…」となる。

じゃ駄目？
ちなみに「a.bcd…」は「数列a,a.b,a.bc,a.bcd…に極限値が存在した時のその極限値」
とさせてもらうけど駄目かい？

そして「極限値が存在した時の」という仮定は実数の連続性により保障されるって事で

>>601
a_n=k*b_nかつa_n,b_nそれぞれa,bに収束するとき、
a=k*bってことやね。これはε-δで証明できたからOKやと思う。
よって(0.999...)=9*(0.111...)と言える。…そうやね。

ちなみに、のとこもいいんじゃない？
πだって、数列3,3.1,3.14,3.141,3.1415,...の極限値として定義できんことも
ないやろうし（一般項はと聞かれると困るが）。

>>602
実数の連続性…
単調増加な数列a_nで、すべての番号nについてa_n<Mのときa_nはM以下の
実数に収束すると。

というわけで、>>587の補足になったかな？

πは無理。

>>604
そうなん？ｺﾞﾒｿ。俺工学系やからなぁ。
あ〜もう寝よ。

>>605
604はネタorデムパ。騙されぬように。。。

そういやπも実数定義しなくても定義次第では一般項求められるか。スマン

…いや、実数は定義しなきゃいかんか。

ようは普通に一般項求められるってこった。

一般項は
a_n=(πの小数第n位)
とすればよい。

ネタ？

ネタスレですが何か？

> a_n=k*b_nかつa_n,b_nそれぞれa,bに収束するとき、
> a=k*bってことやね。

これインチキあるね

kがなにかの極限値として定義されていたら
すなわち
9も　数列　8.9, 8.99, 8.999,・・・・
として定義して証明してよ

まだやってたんだ。

>>611
>>610をネタだと思ったのなら、かなりヤヴァイかと。

このスレじたいネタなんだが...
ネタだと思えないなら、かなりヤヴァイかと。

>>614
あんたが問題も理解せずに騒いでいたのは、つい最近の事じゃないか
この手の話題は1,2年前からずっと続いてるんだよ
あんたのような人が絶えないからずっと続いてるんだよ

>>615
このスレがネタだとしても610が数学的に正しいのかどうか
分からないんだったらちゃんと考えてみた方がいい

>>617
>>308は問題を数学的にはそれなりに理解しているが
最近哲学をかじって「完全な証明はない」という主張を
ひけらかしたいがためにスレを荒らしたという可能性。

>>613

a_n,b_nそれぞれ実数a,bに収束するとき、
任意の正の数ε_1,ε_2に対しそれぞれ番号N_1,N_2が決まり、
n>N_1なるすべてのnについて、a-ε_1<a_n<a+ε_1…�@
n>N_2なるすべてのnについて、b-ε_2<b_n<b+ε_2…�A
ここでa_n=k*b_nを�@に代入すると、
a/k-ε_1/k<b_n<a/k+ε_1…�B
これより数列b_nはa/kに収束すると言える。
�A�Bより、b=a/k。（n>max[N_1,N_2]ととっておいたおうが
わかりやすいかも）

…これじゃイカンの？あんま深いこと考えてなかったんやけど。

訂正…。
kは正やないとイカンね。
あと、6行目は
a/k-ε_1/k<b_n<a/k+ε_1/k
ｺﾞﾒｿ

駄目

>>622
ありゃ

ただ自分は何も考えずに一行ほど煽りを入れるだけで面白いように釣れてしまうという仕組み

＞624
激しく同意。

>617
確かにこの名前で書き込んだのはつい最近だよ（藁
それと、このようなはずっと続いているんだよ。
２ｃｈができる遥かに昔からね。
でも、答えなんで出て来やしないんだよ。


と煽ってみる。

今日はいきなり盛り上がってな．
前半戦参加した人には，今の状況理解できてると思うけど，
新しく来た人（特に数学専門の人）には，「何やっとんだ，お前ら」と思うだろうね．（ｗ

>>626
ｵﾏｴﾀﾞｹﾃﾞﾓ(･∀･)ｶｴﾚ

>628
ﾄﾞｺﾆ?

今井塾

579です。ご回答ありがとうございます。

>>587、>>601
要するに0.999… を９で割ると「商」は0.111…、「余り」は定義できないとおっしゃるのですね。

＞割り算の定義は逆数を掛けると定義して、
＞掛け算の定義は自然数上で定義した後、一般の整数、有理数、そして実数と拡大していく
＞って感じでいい？

反例を１つ
Aで割る＝1/Aを掛けるという定義ですので
1/Bで割る＝Bを掛けるという定義も成り立ちますね。
ではB=0ならばどうなるでしょう？
０を掛けることはできますが、1/B=1/0 で割るのは分母が０で成立しません。

また、整数Ａを整数Ｂで割った時の商をＱ、余りをＲとすると
A=B*Q+Rより、A/B=Q+R/B
つまり、整数Ａに整数Ｂの逆数1/Bを掛けたA/Bの式にもしっかり「余り」R/Bが存在してます。

ということで、逆数をかけても「余り」の存在は無視できませんよ。
定義できないなんていうのは改める必要があるのではないでしょうか。


＞次に1を9で割った場合、有理数1/9になる。
＞んで↑の「有理数の数列0.9,0.99,0.999…」の極限値は1、
＞「有理数の数列0.1,0.11,0.111…」の極限値は1/9となるから

「有理数の数列0.9,0.99,0.999…」の極限値は1　　という部分、
数式で表現すると私には、「0.999… =1」（0.999… の極限値は１）
と言っているように見えます。
つまり「0.999… =1」という理由により「0.999… =1」は正しい、
てな感じの説明を受けているようで納得できません。

それにどうやら極限値の定義も私とは違うようです。
私の考えでは、「その値に限りなく近づいていくが決してその値になることはない」です。
＞「有理数の数列0.9,0.99,0.999…」の極限値は1
　　という部分は
この考え方では、「0.999… ≠1」（0.999… は１に近づくがの１にはならない）
ていうことになりますよね。

>>631
整数の場合はいいとして、
一般の数の場合は「余り」と「商」をどう定義してるの？

>>631
＞それにどうやら極限値の定義も私とは違うようです。
＞私の考えでは、「その値に限りなく近づいていくが決してその値になることはない」です。
大いに笑わせてもらいました藁

a_n=(sin(nπ))/n
偶数項は0
極限値も0

>>634

・・・・・・

神降臨（ｗ

彼の自然数は0.5きざみなんだろう（ｗ

ﾊｹﾞﾜﾗ

>>631
俺の問いには解答をよこさんのやな。
別にかまわんけど。

＞639
だって、誰にも相手にされ
いや別に。

「有理数の数列0.9,0.99,0.999,…」
の極値として　0.999… を定義し　その極限値が1であるから
云々というのは

0.999… を1と定義するというのと
まったく同じですね
あほらしい

「有理数の数列0.9,0.99,0.999,…」の極値が存在するとは限らない

>>640
いやホンマに。ていうか、聞かれたほうは
答えるんがフツーやろ。もういいけど(w
今回は釣られっぱなし。

聞かれても答えないのがフツーだったりする（ｗ

答えるかどうかは、聞かれたほうが決めること。
「答えるのが普通」という感覚ってすごいよね。

>>645
君みたいなのを書き逃げ君といいます。

中澤裕子
大槻ケンヂ
松村邦洋

誤爆鬱

＞646
泣くなって。

ここはネタスレなんだから、気楽にいけよ。
そんなに必死になる必要はないんだよ。

１ｍ先にウンコがあり、１ｍ進むとウンコに触ってしまいます。
このような状況でアナタはどちらを選択しますか？

　Ａ．１ｍ進む
　Ｂ．０．９９９９．．．ｍ進む

Ａは触ってるけどＢは触ってない。よって俺はＢを選ぶ！

１から0.9999999999999999999999999999・・・を引けばいい
0.0000000000000000・・・つまり０になる
引き算して０になるなら、元の数は等しいということだろう
だから1=0.9999999999999999999999999999・・・

単純だが、これで十分証明になっている

>>649
お前、、、見事に釣られてんじゃん！
ワラタからいいけど。

>>650
分子レベルで考えればどっちもふれていない
というか化学反応とか核反応でも起こさない限り
ふれることはない。

＞650
「触っている」の定義があいまい

650>>
触るのが悪いとは限らない
個人の感覚によって結論が変わるのでは
数学とはいえない

>>650
ウンコは幅があるから、
例としてあまり適切じゃないな。

650の時、ウンコに触れないようにするどんな距離よりも0.99…mは長い。
その状況で0.99…m進むのと1m進んでウンコに触ってしまうのが違うとすれば
果たして0.99…m進んだ人間はウンコとどのような関係になるのだろうか

まぁ現実の物質てのは、連続ではないからね

空間は連続に見えますが、そうでもない？

空間とは？

>>660
うんこのことだよ．

>>657
人間はウンコの創造主。

ウンコまでの距離が０メートルなら，何の問題もない！
それは，接触面積０を意味するからだ！

証明)

a=0.9999999999999999999999999999……………のとき

　　　　10a　　9.999999999999999999999999999……………
　　　　　a　　　0.999999999999999999999999999……………
　　　−)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
9a 9

∴ａ=1

よって0.999999999999999999999999999…………＝1である　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　//

>>664
お前、わざとだろ？

>>665
いや…
ずれちまったもんはしょうがない　9a 9

これのことじゃない？

>>666
ではなくて、その回答はもううんざりするほど出てて、何回も話題がループしてんのよ。
とりあえず、このスレを最初から読む事を激しく勧める。。。
つーか、本当にわざとじゃないのか？

>>664
厨学生ならこれでよい。

>>667
そういうことか
ホントにわざとじゃないです
今日始めてきたから知らなかったんです
初めから…一応読んどきます

ホントだ…
いっぱいかいてますね

上にウンコとか書いてたからついマジレスしたくなってしまった…
ご勘弁を

ちなみに上のでも不十分でしたね
これは9が無限に続く数列のときのみでした
一応sageで

　　... 1/1000 + 1/100 + 1/10 + 1/1 = 1/1 + 1/100 + 1/1000 ...

　

わからん人は永遠にわからん

0.9999999999999999999999999999・・・の定義によって
結論が変わる

>>674
わからん人１人目

>>675
250〜300辺りに「0.99…≠1」となる例があったぞ

>>676
２人目かい？

まだやってんだ（ﾌﾟ

またきたんだ（ﾌﾟ

勝者679

　1/9＝0.111111...
　2/9＝0.222222...
　3/9＝0.333333...
　4/9＝0.444444...
　5/9＝0.555555...
　6/9＝0.666666...
　7/9＝0.777777...
　8/9＝0.888888...
　9/9＝1.000000...

　本当の答えは、私にもわからない。

>>674>>677

>>260の例はどう説明するの？

674じゃなくて675だった(;´Д`)　　　　

1/9＝0.111111...
　2/9＝0.222222...
　3/9＝0.333333...
　4/9＝0.444444...
　5/9＝0.555556...
　6/9＝0.666667...
　7/9＝0.777778...
　8/9＝0.888889...
　9/9＝1.000000...

　本当の答えは、私にもわからない。

みんないくつかの誤りを犯しているね。
�@１に書いてる数が、実数であると思いこんでいる。
�A極限という概念を無条件に存在するものとしている。
�B見慣れた四則演算で、１に書いてある式が扱えると思いこんでいる。

要するに、いつ、１が実数体の話ですって言ったのかってことだよ。
先入観を取り去ろう。

　681　は　最近の電卓。
　684　は　（パソコンのソフトの)電卓。

　本当の答えは、私にもわからない。

　(123456789　+　987654321)/9 - 1 = 123456789

　本当の答えは、私にもわからない。

0＝-0.000000000000000000000000
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1017552971/

このスレ立てたｳﾞｧｶは671ですか？
「本当の答えは、私にもわからない。」ってのはここの308の
「俺は不完全だから分からない」ってのと同じくらい恥さらしな台詞だから今すぐ止めなさい

>>685
さんざんｶﾞｲｼｭﾂ。
先入観捨てるのはいいがまず過去ログ嫁。

>>682
>>260のはa_n = 1-(0.1)^nにおいて
nが有限のときのことしか言えてない。
任意の番号nについてa_n<1であることと
n→∞のときa_n = 1であることを混同してる。

というより、俺の頭では
>>260は理解できん。
よって俺の負け。

>>802

　正解です。

>>690
ｶｴﾚ!

>>688

　誤解です。ゆるしてください。

そういえばさ、「俺は不完全だから分からない」は対偶取れるよね。

「俺はその問題が分かるから完全だ」で合ってる、のか？

http://cheese.2ch.net/math/kako/1004/10047/1004755291.html

>>696
「俺は完全ではないから必ずしもあるaが分かるとはいえない」：

（「ある人間＝俺　」）または（「ある人間が完全」でない）
⇒（「ある人間は任意のaが必ず分かる」でない）
　　　↓　対偶
「ある人間は任意のaが必ず分かる」
⇒「ある人間≠俺」かつ「ある人間は完全」

つまり、
「あらゆることが分かる人間がいるならば、それは俺でなくて、完全な人間だ。」

>>695
完全体ですが、何か？

699.999・・・get

700.000000000000…1get?

>>701
それは違うだろ（藁

http://game.2ch.net/test/read.cgi/hobby/998132015/849-850

849 名前：ふ 投稿日：02/03/30 (土) 15:36

これが解けなかったら小学生低学年並！とメールが届いたのですが分かりません。
問題を書きます。

タカくんはそろそろ結婚適齢期。いい人はいないかとお見合いパーティーに参加しました。
そこでタカくんは6番の名札を付けたミキさんという女性と意気投合し、
2ショットに持ち込む事ができました。
2人の会話がはずむなか、タカくんがミキさんに「お仕事は何を？」と聞くと、
ミキさんは「2.999999999･･･です」っと言いました。
さて、ミキさんの職業は何でしょう？

分かる方、お願いします。


850 名前：名無しさん＠お腹いっぱい。 投稿日：02/03/30 (土) 15:53

わかった！

保母さんだろう！

2.99999999・・・・・・→　ほぼ３　ってことで・・・。

1=1/3×３=0.33333・・・・・×３=0.99999999999999999999・・・
よって両方とも触れている。

>>704
お前、ぜ〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜ったい！わざとだろ。

631です。原稿作成に紆余曲折しましたが完成したのでまた戻ってきました。
名前もとりあえず「俊平」としました。もちろん仮名です。

まずは1/3の「商」を除算回数１回、２回・・・と順次増加していき、
それぞれの「商」と「余り」を並べて表示してみると数列が作成できます。
1/3：商0 余り1
1/3：商0.3 余り0.1
1/3：商0.33 余り0.01
1/3：商0.333 余り0.001
　〔中略〕
1/3：商0.333… 余り0.000…01（=r と置く）

次に10/3の「商」の算出桁数を同様に並べて表示してみると、
10/3：商3 余り1　　　（1/3の場合の余りと同じ値：1）
10/3：商3.3 余り0.1　　（1/3の場合の余りと同じ値：0.1）
10/3：商3.33 余り0.01 　（1/3の場合の余りと同じ値：0.01）
10/3：商3.333 余り0.001　（1/3の場合の余りと同じ値：0.001）
　〔中略〕
10/3：商3.333… 余り0.000…01（1/3の場合の余りと同じ値：ｒ であることに要注目!!!）

1/3 での余りの数列と10/3 の余りの数列は同じ物であることに注目してください。
商の数列同士も、整数部分が０か３かの違いだけで小数部分は同じです。

ここで、余りの右端の「１」には変化がなく（０にはならないということ）
小数点と右端「１」との間に「０」が１つづつ増えていく、という法則性が見て取れます。
つまり０に限りなく近づくものの、右端に１があるため永遠に０にはならないと推察できるでしょう。

ここで、Y=1/r という式を考えれば
・(r→+0、r>0、r≠0)
・(r→-0、r<0、r≠0)
・(r＝0)
の３つのケースで Yの結果がそれぞれ異なります。
このことからも極限値０と数値０は別物だと言えます。つまり余りｒは(r→0、r>0、r≠0)です。

では話を戻して、余りを考慮して等式を作成すると、それぞれ以下の通りになります。
1=0 *3+1
1=0.3 *3+0.1
1=0.33 *3+0.01
1=0.333*3+0.001
　〔中略〕
1=0.333…*3+r=0.999…+r (r→0、r>0、r≠0) ・・・(1)

10=3 *3+1
10=3.3 *3+0.1
10=3.33 *3+0.01
10=3.333*3+0.001
　〔中略〕
10=3.333…*3+r=9.999…+r (r→0、r>0、r≠0) ・・・(2)

(1)式より、0.999… ≠1 であることが分かります。
ついでながら(2)式は(1)式の10倍なので X=1 とおくと、(1)式と(2)はそれぞれこうなります。
X=0.999…+r (r→0、r>0、r≠0) ・・・(3)
10X=9.999…+r (r→0、r>0、r≠0) ・・・(4)
よって、(4)式から(3)式を差し引くと 9X=9 となり、
X=1が得られます。（X=1 と置いたので当たり前ですが）
ここからも、(1)式と(2)式は正しいことが推察されます。

履歴です。 >>482 >>544 >>554 >>579 >>631 >>706
自分の中で 「0.999…」問題もこの証明により決着がつきました。
これが最後の予定です。

次のような数列を定義する。
A_n=1-10^(-n)、（ｎは自然数）
よって
A_1=0.9
A_2=0.99
A_3=0.999
　・
　・
A_n[n→∞]=0.999…

即ち、A_n[n→∞]＜１ が証明されれば、0.999…＜１≠１が証明されることになる。
ここで、証明すべき不等式は A_n=1-10^(-n)＜１ であるが、これを変形すると
-10^(-n)＜０ となり、10^(-n)＞０ という不等式が得られる。
即ち、A_n=1-10^(-n)＜１ を証明するには 10^(-n)＞０ を証明すればよい。
そこで、B_n=10^(-n)、（ｎは自然数）と置き、
数学的帰納法を用いて B_n[n→∞]＞０ を証明する。
尚、この数列：B_n の極限値は０である。

n=1の時：B_1=10^(-1)=0.1>0 であり不等式が成立する

n=k+1の時：B_(k+1)=10^(-(k+1))=10^(-k-1)=10^(-K)*10^(-1)である。
ここで、n=kの時の B_k=10^(-k)>0 が成り立つとすると、10^(-1)>0 より
B_(k+1)=10^(-K)*10^(-1) >0 も成立する。

よって、数学的帰納法により B_n[n→∞]>0 が証明された。

考えて見れば、数列B_n は正の数に毎回0.1を掛けていくのですから、
積は毎回正の数（＞０）になるのは当然ですね。
いつかは０になるはずもありません。０を掛けなければ０にならないのですから。
故に「極限値０とは、いつかは０になるのではなく、限りなく０に近づくが０になることは決してない」
これも証明されました。
極限値の定義もこれで変わるでしょう。

結　論
数学的帰納法により B_n[n→∞]=10^(-n)[n→∞]>0 が証明された。
A_n=1-10^(-n)=1-B_nより、A_n[n→∞]<1 も証明された。
故に、 A_n[n→∞]=0.999… ＜１ である。
よって 0.999… ≠１ であると証明された。

付　録
ここで、X=0.999… と置くと、X=0.999… <1 より
9X<9
よって、9X+X<9+0.999… 即ち 10X<9.999… が示される。

従って、X=0.999… と置き、10X=9.999… より 9X=9 であるから X=1で 0.999… =1
という証明はまちがいであることが分かる。
それは、10X≠9.999… だからである。

>>706-707
とりあえずお前は苦労の結晶をここに残したんだ。
そういう時はageてみんなに見てもらえ。そうすればお前のカキコ達も喜ぶ

本当に
lim[n→∞] 1-10^(-n) = 0.999999.......
って定義していいの？
全部実数の中で考えていいの？

俊平さん、あんた

>そこで、B_n=10^(-n)、（ｎは自然数）と置き、
>数学的帰納法を用いて B_n[n→∞]＞０ を証明する。
>尚、この数列：B_n の極限値は０である。
>
>n=1の時：B_1=10^(-1)=0.1>0 であり不等式が成立する
>
>n=k+1の時：B_(k+1)=10^(-(k+1))=10^(-k-1)=10^(-K)*10^(-1)である。
>ここで、n=kの時の B_k=10^(-k)>0 が成り立つとすると、10^(-1)>0 より
>B_(k+1)=10^(-K)*10^(-1) >0 も成立する。
って所で
「極限値０とは、いつかは０になるのではなく、限りなく０に近づくが０になることは決してない」
って前提を入れてるぞ。

んで
「極限値０とは、いつかは０になるのではなく、限りなく０に近づくが０になることは決してない」
という結論が導かれるってどういうことだ。ｵｲ

とりあえずこの部分をどうにかしない限りは全部破綻するぞお前の苦労の結晶。

>>708の定理でいくと>>708のウンコはところどころで途切れているの？
いくら>>708のウンコに近づいても>>708のウンコには接触しなくてすむの？
いくら>>708が速い速度で近づいてきても>>710は追いつかれずにすむの？

>>711
そいつは止まっていて、なおかつウンコにさらに近い所に止まる事が出来なくて、
でもウンコに触れていないという状態が起こせる。

>>707
いいかげんネタはやめろって。

電波職人降臨age

>>710
＞尚、この数列：B_n の極限値は０である。
この部分は前提条件ではなく、証明すべき対象の１つとして挙げています。

つまり、
1) B_n[n→∞]＝極限値０
2) B_n[n→∞]＞０を数学的帰納法を用いて証明

よって「極限値０＞０」
という論理構造になってるはずなんですが・・・

>>713 読まずにスクロールしたでしょ？

ネタじゃなくてマジなのか。芯でくれ。

>>707
＞故に「極限値０とは、いつかは０になるのではなく、限りなく０に近づくが０になることは決してない」
＞これも証明されました。
＞極限値の定義もこれで変わるでしょう。

ﾊﾗｲﾀｲww

1/3=0.33333333333・・・
両辺３倍して
1=0.9999999999・・・

ってか、おっぱい。

>>715
＞よって、数学的帰納法により B_n[n→∞]>0 が証明された。
数学的帰納法により示されたのは全てのB_nが0より大きい事だけ。
ここでB_n[n→∞]に関しては何も分かってない事に注意。
もちろんB_n[n→∞]＝極限値0もB_n[n→∞]＞0ってのも証明されちゃいない

そこで「極限値0とは〜決してない」って結論を導くには
「極限値0とは〜決してない」って前提でもいれなきゃいけないようにしか思えん
まさに>>641のような状態。もうちょっと説明してくれれば私の誤解も解けるかもな

さらに「B_n[n→∞]」と「極限値」って表現がどう違うのかと、
「極限値0」って一体なんなのか、ちゃんとした数なのか、大小関係とか定義出来んのか、
というのも説明してくれればもっと私の誤解が解ける可能性があるかもな

まだやってるＹＯ！

ｸｿｽﾚ

良スレ

>>719
＞数学的帰納法により示されたのは全てのB_nが0より大きい事だけ。
＞ここでB_n[n→∞]に関しては何も分かってない事に注意。
＞もちろんB_n[n→∞]＝極限値0もB_n[n→∞]＞0ってのも証明されちゃいない

証明すべき不等式 A_n=1-10^(-n)＜１ を変形して得た不等式 10^(-n)＞０は
このままでは数列であると判断できません。だから B_n=10^(-n) と置いただけのことです。
ですから数列B_n自体は数列A_nの一部であって特に意味はありませんし不要です。

全てのｎ(nは自然数)で B_n>0 なら、B_n[n→∞]>0 は自明の理だと思いますが、
「証明されちゃいない」とおっしゃる根拠が分かりません。

B_n[n→∞]＝極限値0 とは、B_n[n→∞]の値を極限値0と表現する という意味です。
記載不備なので補足しますが、
この時点での極限値０の定義は以下のＡ説なのかＢ説なのか定まっていません。
　Ａ説：いつかは０になる（0.999…＝１派）
　Ｂ説：０に近づくが０には決してならない。（0.999…≠１派）
私が証明したいのはＢ説ですが、Ａ説・Ｂ説の記載がないので前提条件と解釈されたのだと思います。
この時点ではどちらが正しいか証明されていないので断言できません。

その後の展開で、B_n[n→∞]=0 が証明されればＡ説（極限値０＝０説）が正しく、
B_n[n→∞]>0 が証明されればＢ説（極限値０＞０説）が正しいと結論づけることが可能となります。
そこで私は数学的帰納法を用いて B_n[n→∞]>0 を証明し、
極限値０の定義はＡ説ではなくＢ説 であると断言したのです。
　＞そこで「極限値0とは〜決してない」って結論を導くには
　＞「極限値0とは〜決してない」って前提でもいれなきゃいけないようにしか思えん
というわけで、「極限値０の新しい定義：Ａ説ではなくＢ説が正しい」という結論を導くには、
対象となる「極限値０の古い定義：Ａ説orＢ説」を先に記述する必要があったのです。
しかし、Ａ説・Ｂ説の存在を明記しなかったのはまずかったですね。


＞さらに「B_n[n→∞]」と「極限値」って表現がどう違うのかと、
＞「極限値0」って一体なんなのか、ちゃんとした数なのか、大小関係とか定義出来んのか、

私は0.999…≠１派なので、
ｎ→∞の時のB_nの値は限りなく０に近づくという推測に基づき極限値０と表現しました。
でも、B_n[n→∞]は極限値0 とするより、
B_n[n→∞]の極限値は0 とすべきだったのかもしれません。
とりあえず極限値０とは、例えば 0<X<1 でのXの最小値ということでご理解ください。
とはいえ、「最小値」という用語は使いましたが、極限値０は数値とは言えないでしょう。
仮説モデルですが、B_n(nは自然数)の値をB_1から順に数直線上に示してやると、
０に向かって移動していく点（動点）のように捉えられます。
対して数値とは数直線上の静止した点（静点）です。
極限値が同じで移動方向も同じ動点どうしなら、
大小関係は移動速度（収束速度）で決まると思われます。
これは仮説なので深くは追求しないで下さい。（背景思想ということで）

このスレに疑問を持ち込む者どもよ。

せめて問題文においてそれぞれの単語が何を意味しているかぐらいは自分で考えとけ。

自分はこのスレッドを最後に読んだのは1:40ぐらいで、
書き込んだのは1:56であって、決して723が書き込まれてる事は知らなかったんだ。
だから724が甘すぎな意見である事を許してくれ>>all

>>723
＞これは仮説なので深くは追求しないで下さい。（背景思想ということで）
それは駄目だよ。君がそれを深く追求するべきなんだよ。本来は。
B_n[n→∞]が何を意味してんのか分かってる？
普通はB_n[n→∞]って表記こそ極限値を指してるからね。
B_1,B_2…だけじゃなくB_n[n→∞]だって、君の言う「数直線上の静止した点」だよ。
だから「1=0.999…」となる。

B_n[n→∞]を「０に向かって移動していく点」とか考えてるから君の脳内で「0.999…<1」となる。
前提がみんなと違うのから、当然結論も違ってしまう。
まずはその事を理解して、そして自分が絶対だと思うその姿勢を正してみよう。

次に君の、移動速度とか言う言葉を使った説明は穴だらけだ。
実際には「0.999…<1」となるように定義も出来るが、君はそこまで行くには程遠い。
一番大切な部分があやふやなままじゃ君の主張は全部崩れてしまうよ。
そしてそこを厳密にするには、ε-δ論法・実数の性質とかをちゃんと勉強して
穴を埋めれるような知識を持つ事が必要だと思う。

君には2chのこのスレッドで意地を張っていないで、数学の勉強をしてきて欲しい。
それが君の主張を正しい物へとする一番の近道だと思うけど、如何だろうか？

>>723
>Ａ説：いつかは０になる（0.999…＝１派）
>Ｂ説：０に近づくが０には決してならない。（0.999…≠１派）

この時点でまるっきり可笑しい。
第一、「いつかは0になる」なんてことがないことくらいは誰でも分かる。

1の右辺にかかれてる数が、lim(1-10^(-n))であるということは全く自明ではないね。
誰か証明書いたの？

>>728
それは証明すべき事ではなくて単なる解釈でしょ。
「○○を証明する」の○○はまず人によって解釈が違わない事が条件のうちの一つだよ。
その事が分かってないと308と化すよ

少なくとも>>728は証明というものを大幅に勘違いしていることが証明されました。

＞７２９
１は実数体において、と限定していないのだから、
0.9999…………なる数がlim(1-10^(-n))と等しいとは、必ずしも言えない。

>>731
あっそ。

>>731
何を君は証明して欲しいの？
とりあえず728は日本語がおかしい、731は合ってる。事実>>260に1≠0.999…の例を書いておいた。
それが分かったらさっさと帰りなさい

「任意の代数系において0.99999……………にはlim(1-10^(-n))以外の解釈が存在しないこと」

この命題。

たぶん偽だと思うが。

あ

>>734
偽。終了。

>>734
あほくさ。

つーか、頼むから誰か俺の書いた>>260に突っ込んでくれヽ(`Д´)ノ
「合ってる」とも「合ってない。ここ違うぞ」とも言われないまま一ヵ月過ぎて寂しいんだよ！

>>738
じゃあ、突っ込む。
同値関係をそのように定義したってことは
N を法とする R の超冪を考えている訳だけど、そもそも
N はフィルターにすらなってない（∵ A ∩ (N-A) = 空）から、
超冪になってない。

>>739
ありがと。せっかく超冪を使ってるのに同値関係の定義が「全てのi∈N」じゃおかしいか。
それじゃ「{i∈I ; α(I)=β(I)}がフィルターの元になってる」でいい？
あとフィルターも具体的に構成しなきゃ証明とは言えないか？

全然駄目じゃん(;´Д`)

{i∈I ; α(I)=β(I)} → {i∈I ; α(i)=β(i)} に訂正

>>740
実際には超フィルター（極大フィルター）でないと、定義がいびつになるね。
超フィルター F の条件 a ∈ F か a^c ∈ F が成り立つというのがないと、
例えば a(i) = b(i) となる i の集合 I ⊂ N が I ∈ F となっているとき
[a(i)] = [b(i)] と定義したとき、超フィルターでないと、
I ∈ F かつ I^c ∈ F とかまたはその反対とかが起こっておかしくなる。
学部1年のときにやったきりだからあんまり覚えて無いけど。

なんか日本語が変だ。

>I ∈ F かつ I^c ∈ F とかまたはその反対とかが起こっておかしくなる。
これ間違い。俺もいかれてきた(;´Д`)
正しくは
I not∈ F かつ I^c not∈ F とかまたはその反対とかが起こっておかしくなる

しまった。訂正し間違えた。
「I not∈ F かつ I^c not∈ F とかが起こっておかしくなる 。」
恥ずかしい。。

こんなのはどお？
http://www.media-0.com/www/smile/book.html

>>742-744
まぁ超フィルターは存在するって事は確かって事でどうかお許しを

>>747
ただし、選択公理を認めないと存在証明ができないという罠。
煽りとかあげ足とりでいってるんじゃないよ。念のため。

>>748
「選択公理使うから駄目」とこのスレッドでは言われない…はず。
3月中旬くらいまではやたらと選択公理に対して敏感に反応する奴がいたが今はなりを潜めているようだし…

>>749
いや、こういうことは予め手を打っておかないと（ｗ
如何にも「君達しらないの〜？」みたいに得意になって出てくる奴がいそうだし。
例えば>>731とか。
超準解析は完全に独学だったから、今日は超準解析の雑談ができて楽しかったよ。
ありがとね。

結局だれもわからないとｗ
昔の数学者の仕業だな
ちゃんと当てはまるような公式にしろYO

実数では、という前提をちゃんとスレタイトルに書かないのが悪いんじゃないか？
実数っていうのはそもそもどういう要請で登場したのかは議論とは関係がないのか？？？
１変数で至る所微分可能な数を定義したら、どんな公理系を採用しても0.999...=1になるという方向の議論では駄目なのか？
というか、この「...」っていうでたらめな後置演算子の初出はどこなんだ？

>>752
>１変数で至る所微分可能な数

これって何？教えてちょうだい。

>>752
＞１変数で至る所微分可能な数を定義したら、どんな公理系を採用しても0.999...=1になるという方向の議論
ぜひその議論の内容をお聞かせください

仮に、0.999... < 1 だとしたら、
0.999... < c < 1 を満たす実数 c が存在する。

またループがはじまったか（ｗ

>>755
ﾈﾀでしょ？

>>756
俺が今まさにしようとしたレスだ．

>>756
>>755のどこがおかしいので?

>>755は間違ってはないが、>>755が馬鹿であることは確かだな。

1000までやる気？

とりあえず、0.99999…の定義をちゃんとしたら？（ﾌﾟ

>>761
おまえがやれよ。できないだろうけど藁。

>>726
＞B_1,B_2…だけじゃなくB_n[n→∞]だって、君の言う「数直線上の静止した点」だよ。
＞だから「1=0.999…」となる。
静止した点とするにはｎ＝「数値」のように、ｎと「数値」をイコールで結んでください。
イコールで数値と結んだ瞬間にｎ→∞ではなくなります。
仮説モデルにケチをつけるのは構いませんが、
だからといって「君の主張は全部崩れてしまうよ」という展開に持っていくのは
やめて欲しいです。
とりあえず、707から余計な装飾（数列B_nとか極限値０等）を排除した改訂版を
次の私のレスで出します。多分にまだまだ甘いという指摘をくらうでしょうが、
装飾部分であれこれ言われて本体却下扱いにされるよりはマシでしょう。

「0.999… =１」とお考えの方々へ
少なくとも、今までまかり通ってきた「10倍して差をとり X=1=0.999… を導く」証明よりは
勝っているので、今度は私の主張（改訂版）がまかり通るようになるだけですよ。
（否定されない限りは正しいものとして扱われるが、正しいとは限らない）
それでも「0.999… =１」と主張するなら、新たな証明を作成すると共に、
「私の主張（改訂版）」自体の間違いを明確に指摘することも必要になるでしょう。
疑問符をつけるだけなら「間違いの指摘」即ち否定ではありませんので念のため。

《数列と極限値を用いた0.999…≠１の証明》
0.999… を数列A_n=1-10^(-n) における A_n[n→∞] と定義する。但し、nは自然数である。
この定義を数式で表すと、A_n[n→∞]=1-10^(-n)[n→∞]=0.999… である。
ここで、A_n[n→∞]=1-10^(-n)<1 という不等式を証明すれば、A_n[n→∞]=0.999… <1 が証明される。
そこで数学的帰納法を用いてこの不等式を証明する。
A_n=1-10^(-n) であるので、
n=1の時：A_1=1-10^(-1)=0.9 であるから A_1<1 は正しい。
n=kで、A_k=1-10^(-k)<1 が成り立つと仮定した時、
n=k+1で、A_(k+1)=1-10^(-(k+1))<1 が成り立つか確認する。
確認すべき不等式は A_(k+1)=1-10^(-(k+1))<1 であるからこれを変形すると、
1-10^(-(k+1))<1
1-10^(-k-1)<1
-10^(-k-1)<0
10^(-k-1)>0
10^(-k)*10^(-1)>0　　　・・・(1)

ここで、n=kの時に A_k=1-10^(-k)<1 が成り立つと仮定したので、これを変形すると、
1-10^(-k)<1
-10^(-k)<0
10^(-k)>0　　・・・(2)
また、10^(-1)=0.1>0　　・・・(3)
よって(2)と(3)より(1)の不等式は正しいことが分かり、A_(k+1)=1-10^(-(k+1))<1 が成立する。

故に数学的帰納法により、全てのｎにおいて A_n=1-10^(-n)<1 が成り立つことが確認される。
従って、0.999… =A_n[n→∞]=1-10^(-n)[n→∞]、及び A_n[n→∞]<1 により
0.999… <1 であることが分かる。よって0.999…≠1 は証明された。

付記：X=0.999… と置くと、X=0.999… <1 より、9X<9 となるから、9X+X<9.999… である。
即ち、10X<9.999… なので、10X≠9.999… が導かれる。
よって従来の「10X＝9.999… を用いてX=1=0.999… を導いた証明」はまちがいである。

>>763
君のだと0.999･･･は数じゃなくなるよね？
だって、静止していないんだから、少なくとも数直線上の１点ではない。
すると、それに大小関係云々いっちゃうのは拙いよ。
というか、その論法だと殆どの数列の極限が存在しないことになる。
具体的には
3　2　1　1　1　1　・・・・
みたいに途中から同じ値だけしかとらない数列の極限しか存在しないことになる。
これだと、極限なんて概念いらなくなっちゃうよね？
君を擁護するとすれば、数学から極限の概念を消し去るとかしなきゃならなくなる。
あと、君流では n→∞とは何を指して言っているの？

あと、なるべく速くレスしてちょうだい。
そうしないと、飽きちゃうから。

>>764
既出かもしれないが・・・
この数学的帰納法の用い方は根本的に間違ってるぞ、

しかし、おれも君の証明が間違いだとは思っているが、しかし、
1=0.9999…
を無条件に受け入れることには抵抗を感じる。

多分、人によっては上記の式が成立しない場合を具体的にあげることができるんだろうな
オレにしてみたら0.9999…の定義をいじくることぐらいしか思いつかないけどね。

ちなみに、君の証明がどうして間違いかというと、

任意に大きい自然数に対して
A_n < 1
が成立することと、
A_n(n→∞) < 1
が成立することは同値ではない。
無条件にこれを同じものとして扱うことはできない。
これを同じものとして扱いたければ、その理由を述べること。
ちなみに、通常の数学では駄目であるとされている。

>>764
まだかいな。
>>767の帰納法の問題はやりようによっては回避できる。
でも君ので決定的に拙いのは
0.999・・・を極限として定義しておきながら動くとしている点なんだよ。

>>768
マジ？
オレの言った問題ってやりようによって回避できることもあるの？
知りたいので教えて。

ていうか、今過去スレ見たけど
ゴメン、無茶苦茶理解超えてる。　スゲェよ >>737

ていうことで勉強し直してくる。

>>763
＞少なくとも、今までまかり通ってきた「10倍して差をとり X=1=0.999… を導く」証明よりは
＞勝っているので、今度は私の主張（改訂版）がまかり通るようになるだけですよ。

馬鹿だねえ。。。

>>770
頑張って。

>>770
あなたが今まで言ったことを理解するための
参考書か何かを提示してくれたら、本当にうれしいのですが、それはお願いできるでしょうか

>>773
間違えた、自分を指名してどうするんだよ・・・
>>773は
737さんに対する質問です。

知らぬ言葉ばかり出てきた、超べき（って読むの？）とか・・・・
何の言葉なのでしょ

>>774
日本語ならこれ。
[1]超積と超準解析　斎藤正彦（絶版）　東京図書
[2]無限小解析と物理学　竹内外史　遊星社
[3]超準解析と物理学　中村徹　日本評論社
[4]超準的手法にもとづく確率解析入門　釜江哲郎　朝倉書店
[5]無限小解析の基礎　キースラー　斎藤正彦/訳　東京図書

特にお勧めなのは[1][3]で、[5]はちょっと趣旨が違っている。
特に[1]を読むのには大した予備知識は必要ない。

>>775
ありがとうございます。

っていうか、この話が物理とつながってるんだ・・・
驚きと同時に感心してしまった。

思いっきり専門と違うけど興味あるからがんばります。

>>776
要はさ、例えば無限大とか無限小なんて概念はみんな心のどっかで
使っちゃってる訳だよね？いわばそれをε-δ論法によって手段を形式化
することによってごまかしていたりするわけ。
でも、数学っていうのはイメージの表現だから、
「ありそうだな。つーか、あるだろ。」と思ったものは数学的に表現してやれば
いいということ。

>>777
しかし、自分の考えでは
『数学っていうのはイメージの表現』というところは同意できるのですが
そのためには十分な訓練が必要だと思っています。

だから、多分今日これ以上無限大、無限小についてのつっこんだ話を考えたところで
すぐに分からないのではないかと思っています。

ということで、訓練ですね・・・・
時間かかりそう・・・

頑張って。
絵描きが模写とかして表現力を磨くようなものだと思ってる。

ところで、>>764は寝たんだろうな。

今年大学入るのだけど、授業内容紹介の「超準解析」のところで
「1=0.999…や、1/∞=0で本当にいいのだろうか。　では、∞×0は？」
の部分見てすぐさま2ch思い浮かべた自分は重度の2ちゃんねらーだなと思った。

そして最後の「普通でない1年生は歓迎です。」って部分で
ゴノレゴの「素人にはお薦めできない」って台詞が流れた自分はますます重度であることを知った。

誰か0.99999…の定義を教えて。

9/9　だよ

>>780
１年でやる超準解析は>>775の文献[5]の流儀だろうね。
[5]はそれように書かれたものだから。

　... 1/1000 + 1/100 + 1/10 + 1/1 = 1/1 + 1/100 + 1/1000 ...

　1/1 = ( 1/1 - 1/10 ) + ( 1/10 - 1/100) + ( 1/100 - 1/1000 ) + 1/1000 ...

【コピペ１周年】４月７日同時多発オーダーIN吉野家【祭り】
(1)馴れ合い禁止。（一人で来る事。同伴禁止：いても知らぬ顔）
(2)「大盛りねぎだくギョク」を頼むこと。（並盛りねぎだくｷﾞｮｸも可）
(3)各会場ごとに指定時間厳守で現地集合。
(4)食ったら即帰る。
注）吉野家は家に帰るまでが吉野家です。

本スレ
http://ex.2ch.net/test/read.cgi/entrance/1017935504/l50
スレよりぬき等
http://www2.mnx.jp/carvancle/yoshigyu/
お祭り板
http://live.2ch.net/test/read.cgi/festival/1014549688/l50

＞１変数で至る所微分可能な数を定義したら、どんな公理系を採用しても0.999...=1になるという方向の議論では駄目なのか？

１変数で微分可能な関数の定義域が実数全体である場合に、その実数を定義するのにどのような公理系を採用しても
0.999...=1になるのでは？？？といいたかっただけ。当たり前でしょ。興奮して文章がおかしくなった。大変スマソ

本業に忙殺されて久々の復帰です。質問されてた方、亀レスで申し訳ない。
本業に差し支えるので、このスレを見ることも敢えて封印しておりました。

>>765 >>768
764については他の私のレスとは切り離してください。763と764を分離したのはそのためです。
764（単体）をどう受け止めるかは、見た人の判断にまかせます。（反論はしますが）
尚、繰り返し言うけど「動く点」というのは、0.999…≠１の結論を導いた後に、
じゃあ0.999… って何？ってことで勝手に創造／想像したものなので、
これを理由に764を否定するのはやめていただきたい。
実際、764には「動く点」なんてどこにも書いてないです。

>>767
＞任意に大きい自然数に対してA_n < 1が成立することと、A_n(n→∞) < 1が成立することは同値ではない。
「任意」という時点で、例えば「定数ａ」とかに置き換えられる代物なわけでしょ？
ｎ＝ａであっても、ｎ→∞ではないよね。私も同値ではないと思うよ。
「ｎ→∞」が何を指してるか聞かれたけど、わざわざ自分で限定する必要はないと思うので答えません。
これまでの経験上、764を否定する材料にされることは目に見えてるし・・・
とりあえず自由に判断して下さい。
言えるのは、0.999… =A_n[n→∞] と定義したということだけです。
そして、A_n[n→∞]<1 でありさえすれば目的（0.999…≠１の証明）は果たされます。
つまり、A_n < 1 である必要はないです。

ｎは自然数／ｎに上限はない、即ちｎは有限大ではない／ｎは無限大になりうる
／数列A_nにおいて数学的帰納法により全てのｎで「<1」が成り立つ
／数列A_nにおいてｎ→∞でも「<1」が成り立つ
／A_n[n→∞]<1 は正しい
よって、A_n[n→∞]=0.999… <1
こんなとこかな。

俊平は人格批判等のちょっとした煽りは無視しているという点においてだけ救いがある。
他は無いけど。

nは自然数←これは合ってる。
nに上限はない←これも合ってる。
nは有限大ではない←nのとりえる集合が有限集合にならない、って意味なら合ってる。
nは無限大になりうる←これが駄目。「nは自然数」って最初に言ったのと矛盾。
自然数って事は有限の数って事です。無限の数とかいう物は自然数の中にはない。

数列A_nにおいて数学的帰納法により全てのｎで「<1」が成り立つ←これも合ってる。
数列A_nにおいてｎ→∞でも「<1」が成り立つ←上の理由により違う。

俊平さん、まずは私が言ったことについて考えてみるこった。

>>789
＞自然数って事は有限の数って事です。無限の数とかいう物は自然数の中にはない。
さよか。じゃ、ｎは正の整数としたらどうか？
いや、その前に「上限はないのに有限の数」というのがよくわかりません。
有限の数なら最大値が存在し、それが即ち上限となるはずですが・・・
このままでは、それって0.999…＝１とするために作られた逃げ道のようにも見えます。
案外、0.999…＝１を前提に作られてる理論やルールってあるんじゃないですか？（素人考え）
何にしても「上限はないのに有限の数」って矛盾してないかい？
ご都合主義と言われないためにも、もう少し説明をしてください。（ｎは正の整数という場合も含めて）


ところで・・・
0.999…≠１の場合なら、
1/3(=0.333… +r/3 [r/3>0,r/3→0])を３倍しても0.999…≠１は成り立ち、
X=0.999… と置いて Xを10倍して差をとっても 0.999…≠１は成り立ちます。
つまり、0.999…＝１を証明する「手法」は今のところ存在しません。
誰か数列 A_n=1-10^(-n) を用いて0.999…＝１を証明してみませんか。
0.999…＝１が正しいのなら、数列や極限を用いて「も」証明できるでしょ？
相手を否定するだけじゃ論争としてはフェアじゃないよね。

俺も含め、みんな「無限」という概念を認識する時、どこかで思考を止めているんじゃないだろうか。
例えば、0.33333・・・・という無理数を捉える時、真に3が無限に続く状態を認識出来ているのではなく、
0.33333・・・・・・・・3333」というように、それが無限に到達する前に途中で思考を切って認識している気がする。
そうじゃないとそれを認識出来ないから。

人間の脳は無限に思考を続けることが出来ないから、真に「無限」を認識することも出来ないってことだろうか。

>>790へ
証明を希望するとのことだから、証明を書くことにする。
まずは数列の収束についての定義から書くことにする。

定義：数列 A(n) がn→∞の時 αに収束するとは
任意の正数εに対し、ある自然数 M が存在し、M＜nならば
｜A(n) - α｜＜ ε
となること。

この定義は、約束事なのでここまでは分かると思う。
次に証明

数列：A(n)=1-10^(-n)　を考え、n→∞とした時の極限値が1であることを証明する。

｜A(n) - 1｜
を考える。
｜A(n) - 1｜＝｜10^(-n)｜
である。

ここで任意の正の数εに対して、十分大きな自然数Mが存在し、M＜nならば
｜10^(-n)｜＜ε
であることは納得できると思う。

ということなので、数列の収束の定義に従い
n→∞の時
A(n)→1
である。

が証明された。

>>790
> いや、その前に「上限はないのに有限の数」というのがよくわかりません。
> 有限の数なら最大値が存在し、それが即ち上限となるはずですが・・・

nを自然数の元とすると、任意に大きな数をとることができるが、ある数であ
ると限定した瞬間にそれはどんなに大きくても有限の数・・・ということにな
ります。

自然数は有限の数の集合だけど、その集合の最大値は存在しない・・・のです。
集合自体の性質と、その元の性質を混同してはいけません。

正の整数は自然数から0を除いたものですから、上の議論はそのまま成り立ち
ます。

> このままでは、それって0.999…＝１とするために作られた逃げ道のようにも見えます。
> 案外、0.999…＝１を前提に作られてる理論やルールってあるんじゃないですか？（素人考え）
> 何にしても「上限はないのに有限の数」って矛盾してないかい？
> ご都合主義と言われないためにも、もう少し説明をしてください。（ｎは正の整数という場合も含めて）

これはあなたが集合論を理解していないからです。

説明をして下さいと言われても、あなたが納得する説明をしようとすると、まさ
しく大学初年度の数学の授業をしなければならなくなるので、それは勘弁して
ほしいです。

もしかして、自然数が無限個あることと無限大の自然数があるってことを混同してる
奴って多いのかもね。この板でもそういう奴何度か見かけたし。
はっきり言わせて貰うと、そういう奴って相当頭悪いと思う。
>>790=俊平
君は>>763で極限値が静止していることを否定してるよ。
あと、各自然数についてその大きさが有限じゃないならば、
有限じゃない自然数を具体的に示すか、その存在を証明してみせてよ。

ところで>>764にある帰納法って、時と場合によっては大学生でも間違うときがあったりもする。
実際、集合の可算和を極限としてとらえちゃったりすると間違った帰納法に陥り易い。

訂正：
各自然数についてその大きさが有限じゃないならば、
→
「各自然数についてその大きさが有限」が成り立たないならば

>>794
相当頭悪いとは言うが・・・
実際に色々考えてみるとそうでもないことが分かる。もちろん俊平を指示するわけではないのだが、
無限の概念が数学の世界できっちりと理解されるようになったのって最近でしょ。

恐らくあんただって、小学生の頃から数十年訓練を積んでいって初めて理解できるようになった数学の世界だってあるはずだ
無限についての話を完全に理解することがいかに難しいかは数学板のコテハン：ばか野郎にでも聞いてくれ。

だから、オレは俊平が無限の話を全く理解しないことも特に頭が悪いとか、理解が悪いとかそんなことは全く思わない。






















だからといって、737が間違ってるとか、俊平が正しいとか言うつもりは全くない。

>>796
ていうか、そのそも>>794の最初と最後で言ってることが矛盾気味なのに気付きますた。

俊平が頭が悪いことは疑いようがないと思うが

俊平ってスレ前方でボロクソに叩かれた奴だろ？

７９９．９９９９９９９９９９･……＝８００

今、全部読んできたところなんだけどもしかして俊平って
俺と同じ数学やり始めのリアル工房じゃないの？
それとも本業＝受験勉強のこと?????
それと[n→∞]1-10^(-n)→1と1=0.999.....("無限"に続く)
は別物じゃないの？左は高々有限回だから。

>>801
＞左は高々有限回だから
意味がワカラン。

もめネタふってくんなくていいから，
「0.999.....」で，なんか笑わせてよ．

書いた私も意味不明になってきました。
でもやっぱり決定的に違う気がします。

>>804
思うところをそのままに書いてくれ。
工房に詳しい記述は要求しないが、数を書けば誰かが分かってくれるかもしれないぞ。

完全に勘違いしていました。
左の問題の俊平さんの証明ではnが実数の範囲内であるとして、
そのとき1-10^(-n)は1に限りなく近い実数であることを言っていて
1=0.999...では999...が無限に続くことを意味するのだから
別のことを意味しているのでは無いかなと考えてしまったのです。
危うく今井さんのようになるところでした。
/*数学板に来てまで煽り専用の人格&&タメ口は止めなければ*/

>>801はおそらく
Σ[n;1→∞](9/10)^n
と、
Σ[n∈N](9/10)^n
の違いのことを言ってるんだと思う。後者が0.999・・・にあたる感覚。
（これに関しては事情により余り詳しいことは言いたくない。スマソ。）

・・・って、フォローが台無し（ｗ

すいません。
俊平さんの証明が1=0.999...の証明になっていると思えなかったので。

じゃあ死ねよ

>>810,807,808
とりあえず、そのまま「死ね」はタブーだから「氏ね」って使うんですよ。
別に極限に定義があるから俊平さんの証明に意味があるものだとは
思えなかっただけなんですけどね。
勘違いしていましたと言っても死ねですか、、、、、

>>811
お〜い、>>810は俺じゃないぞ。
それに俊平は 1 ≠ 0.999・・・ だと主張してるんだよ。

>>812
勘違いして本当に、すいません。
これ以上やると傷口を広げるだけなので宿題をやりながら
ROMに徹します。

いちいちageんな．
宿題しなくていいから，ROMに徹しなくていいから死ね．
やば！また，タイプミスしちった．

ねえねえ、0.99999…の定義しようよ。
それによって変わってくるでしょ？

>801
＃AをAの要素の個数とする。、
例えば、＃｛1,2,3,4,5,6,7,8,9,0｝＝10

とするとNを自然数の集合とすると

　　　　　＃N=∞

じゃない？

それに、加算個も非加算個も集合論以外では、無限個と同じ意味でしょ？


もうひとつ、この問題自体、考える空間（または集合を）提示していないし。

×加算個
○可算個

>>814
おや？おまえ臭いぞ2ch初心者だな？
タイプミス→IMEの誤変換
もうねバカかとアフォかと。

>807
Σ[n∈N](9/10)^n

ではなく

Σ　[n∈N](9/10^n ）

では？

そうだとしても、＞816が理由でその２つは同地じゃないかな？
深く突っ込まれてもこまるけど。

なんか、タイプミスばっかだな、ｽﾏｿ

>>819
タイプミスでした（ｗ
ちなみに、
加えていく順序を考えると、一般にはΣ[n;1→∞](9/10^n)が収束するからといって
Σ[n∈N](9/10^n)が収束するとは定義できないね。まあ、本題とはずれてるけど。

>それに、加算個も非加算個も集合論以外では、無限個と同じ意味でしょ？

これに関しては違うとだけ言っておく。

>これに関しては違うとだけ言っておく。
可算個って有限個も含むんだね。

それじゃあ、無限可算個と、無限個は同じ意味でしょう？
もちろん、集合論以外でね。

>>822
違う。理由はmailアドレス晒せば教えてあげる(dviファイル添付の形)。
知りたければなんかフリーの奴とってきてちょうだい。

>>823
お願い

>>824
やだ。

つか、824=816なのか？

>823
yorosiku

またやっちまった。
よろしくお願い。

>826＝737
違いますよ。

>>828
スマソ。sageもいれるの？アドレス。

>830
入らないよ。
sageのあとからよろしく。

>>831
了解。ちょっと待っててね。

>>831
送ったつもりだけど。届いたかな？

>833
まだみたいだよ。

>>834
もう一度送ってみるわ。

>835
受け取りました。

>>836
よかった。

>837
メールは届いたんだんだけど、添付ファイルがついてないような…。

スマソ。もう一度送りました。

>839
受け取りました。
でも、フォントがうちと違う…。
これから、ゆっくりと設定させてもらいますわ。
感想はメールで送ります。

了解。フォント関係はよく分からんのですが。

>>792
そうそう、私、本に書いてあることが全て正しいとは信じないタチでして、
だから納得できない「0.999…＝１」に噛みついてます。
本に書いてあるとか決まり事だからとかいう理由では納得しません。（使えるなら利用しますけど）
ま、それは置いといて・・・

＞数列：A(n)=1-10^(-n)　を考え、n→∞とした時の極限値が1であることを証明する。
極限値は私も１だと思いますよ。
もっともその極限値の定義は「収束の目標値ではあるがその値に行き着くことはない」ですけどね。

あなたも無意識のうちにそれを感じているのではないですか？
だってほら、
＞n→∞の時A(n)→1である
A(n)と1が「＝」で結ばれておらず「→」で結ばれてますよ。


>>793
＞これはあなたが集合論を理解していないからです。
当たり！初耳かな、多分。
ならばここでｎを実数としましょ。「n→∞ならば(n-1)→∞もまた成り立つ」よね。
そこでｎの小数部を切り捨てましょう。
例えばそれを(n-k)と表せば、kはnの小数部でk<=1。
（0.999…=1派を尊重して＝も付けときました／ていうより余計な突っ込み未然に防止）
要するに、「n→∞ならば(n-k)→∞もまた成り立つ」。
ここで(n-k)は正の整数である。
結論：正の整数は無限大になりうる。
整数だって小数部が０の実数でしょ。違うの？

>>842
定義を認めないなら、新しくて自然な定義を作って見せて。
あと、
>A(n)と1が「＝」で結ばれておらず「→」で結ばれてますよ。
なんてこと言ってるのに
>「n→∞ならば(n-k)→∞もまた成り立つ」
から
>結論：正の整数は無限大になりうる。
を導くのは流石に拙いよ。

0.999999…　を　0.99999…999（n個）　を　n→∞　に飛ばしたときの極限値と定義できないかな？
まあ、定義じゃまずいなら、定理ぐらいでどうかな？
　

＞定義じゃまずいなら、定理ぐらいでどうかな？
それはもっとまずいからネタってことでどうかな？

>>842
> ＞これはあなたが集合論を理解していないからです。
> 当たり！初耳かな、多分。

これは、集合論を理解していないというのは当たりだが、その指摘は初めて受
けた・・・ということでしょうか？

> 整数だって小数部が０の実数でしょ。違うの？

違いません。まぁ、実数の小数表記で有限小数(整数含む)は二通り考えられて、
ある桁以降は全て０・・・という方を取れば、ですが。

ただ、たとえ実数でも元を固定したら、それは有限の値しか取らないのは自然
数と変わりませんので、

> 要するに、「n→∞ならば(n-k)→∞もまた成り立つ」。
> ここで(n-k)は正の整数である。
> 結論：正の整数は無限大になりうる。

の結論部分は誤りです・・・

ってか、>>842ってネタですよね？マジじゃないですよね？頼むからネタだと
言って下さい。>>842をマジに議論するより、ネタニマジレスカコワルイの方
がアレフ０倍マシですから。

>845
じゃあどうするの？

普通のコーシー列とかによる実数の定義を使えばよろし
それが嫌ならどうぞ超冪構成して下され

>>842

>>＞n→∞の時A(n)→1である
>>A(n)と1が「＝」で結ばれておらず「→」で結ばれてますよ。

ほう。そこを攻めてきたか。
A(n)→1　(n→∞)
であることは確かだろうな。しかし、

lim[n→∞]A(n)=1
も確かなんだよな。

それから、収束の定義については問題ないだろうから使ったんだけど、
『定義』に疑問を感じるのなら、相当強い理由を挙げないと誰も納得しないと思うよ。
別に定義を否定したっていいけどさ、何が気に入らないのかを説明してくれないと
これじゃ唯自分が理解できないから嫌だってだだこねてると思われても仕方がないと思う。

オレはお前がそんなに頭の悪い奴じゃないと思うから、多分理由は考えているとは思うけど
考えているのなら、定義が気に入らない理由を書いてくれよな。

ということでお願い。

>849
実数空間にも∞そのものは不含まれないんじゃないの？

>849じゃなくて>842だった。

昔ね。実無限VS可能無限ってスレで「実数の個数と自然数の個数は同じだ！」
って騒いでた人がいたんだよ。

彼も∞というのを平気で使っていて至るところで論理が破綻してたね…
そして結局逃げちゃった。わざわざコテハンまで使って忙しい中頑張ってたのにね。

俊平さんは彼以上には、頑張ってね。

>>222

あちゃ、ここもあっちのスレと同じようにお開きになっちゃったみたいだね。

無責任な煽り
0.999999999…：1と同値な無理数

デデキントの切断(Ａ|Ａ')を考える。
∀a∈Ａ,a'∈Ａ'(a＜1≦a')
このとき、ある無理数αが、
∀a∈Ａ,a'∈Ａ'(a＜α＜a')
を満たせば、１と同値な無理数になる。
(切断が同じなので、同値性は保証される。)
αが0.9999…かどうかは知らんけど。

>>855
それは、0.9999･･･⊂１（＊）ということをいってるにすぎないんだって。
数字が集合の名前になっていて、しかもαというのが＊に示したの包含関係の定義された集合のどれかなのか、
そのどれかに含まれる部分集合の名前なのか特定されない。

漏れは厨房のころｾﾝｺｰにＡ＝０．９９９９…と置き、１０Ａ＝９．９９９…
とすれば９Ａ＝９よってＡ＝１で納得していたのだが…

>>857
だから激しくガイシュツだって・・・・。
ある意味それも正しいんだろうけどさ。

>>858
ふんにゃこちゃぁにゃいよ

慣性の法則などと同じように理解しとけ

[0.999999…]＝０
[1]＝１

[ ]はガウス記号。

>>861
馬鹿。

まだやってんのかよ

「まだやってんのかよ」という書き込みはこれで何回目だ？

今井並みのしぶとさを持つ話題をしているこのスレに幸あれ

このスレもパート２やるか？まだちょっと早いけど

>>865
http://natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1017552971/l50
現在ある重複スレ
馬鹿が馬鹿なりに個性を出したせいで、とても移行できる状態ではない
スレになってしまっている。
両辺から1引いてるし、この馬鹿。

でも，”本スレ”があると，重複スレがたったときに削除依頼も出しやすい．
しかし，なんでこのスレが残ったんだろ？あとの２つはどうなったんだろ？（あぽーん？）

たまには，ageさせろや．ｺﾞﾙｧ！

俊平さんに質問なんですが、
あなたは虚数の連続をどのように定義しているのでしょうか？

訂正：
虚数→複素数
(複素数zがz=z0において連続というところ)

ところで、メーテルはどうした？

　すみません、間違えました。

　1/9＝0.111111....1
　2/9＝0.222222....2
　3/9＝0.333333....3
　4/9＝0.444444....4
　5/9＝0.555555....5
　6/9＝0.666666....6
　7/9＝0.777777....7
　8/9＝0.888888....8
　9/9＝1


　1/9＝0.111111....1
　2/9＝0.222222....2
　3/9＝0.333333....3
　4/9＝0.444444....4
　5/9＝0.555555....6
　6/9＝0.666666....7
　7/9＝0.777777....8
　8/9＝0.888888....9
　9/9＝1

　訂正して、お詫びします。m(_ _)m

a[n] = 0.99*9 (9がn個でnは自然数)
と数列a[n]を定めます．　するとnが∞の時にはa[∞]=1ですね．
ここで、a[∞]は、0.9999*　と数学上表現することもあります．
ですから、

　1 = 0.99999*

となります．　
分かりましたか？　a[∞]=1　になることは直感的に明らかと思います．
厳密に証明するためにはε-δ論法が必要ですが、数学専攻
でない限り必要ないでしょう．

0.99999999999999999...と1の間にまだ実数が見つかってないから等しいって聞いたんだけど、どう？

>>874
『まだ』ってどういうこと？

0.999999… = 0.99999…9 余り1 = 1

無限という概念がよくわからない、現実世界に無限というのはあるのですか?

この世界の広さは無限だろうか？

あのー、既出だったら申し訳ないんですが、厳密には
lim(1-10^(-n))＝0.999999…
として良いのですか？
「lim」ってnをある値に限りなく近づけたときに、中の式全体の値が
「どういう値に近づくか」っていうのを表す記号ですよね？
全体が近づくのはこの場合１であって0.9999999…に近づいているわけじゃないような
気がするのですが。
「…」の意味がわからなくなってきました。

0.999...=lim(n→∞)(9/10+9/100+...+9/10^n)が定義
だから lim(1-10^(-n))＝0.999999…は
lim(1-10^(-n))=lim(9/10+9/100+...+9/10^n)ってこと。
a[n]→a, b[n]→aならlim(a[n])=lim(b[n])と書いてなんの問題もない。

>>877

∞ は自然数や実数の集合には含まれません．
∞ は，自然数を使うと，「任意の自然数より大きい数」と定義されます．
ですから，∞ が自然数とすると論理的に矛盾します．

無限大という概念は，論理を用いて人工的に作った数なので分かりづらいと
思いますが，集合や位相の勉強をすればより自然に理解できるようになると
思います．

無限遠点はガウス平面上にない。
よって∞は複素数ではない。
よって複素数の部分集合の実数でない。（ｗ

>>882
キチガイですね。
複素数なんて本当は存在しません。
あと、ガウス平面とか無限遠点って何を言っているんですか？

x=0.999999999999....と置く。
x*10=(0.9999999999.......)*10=9.9999999999999.....
これを9.9999999999999......0と最後に０が付くというやつはDQN。上式は正しい。

9x=10x-x=9.9999999999....-0.99999999....=9

∴X=1

無限とかリミットとか関係なし!!
ちなみに1/3=0.33333333.....から両辺を3倍するというのは証明としては誤り。

>>883
「文系」を名乗ることで許してもらうハラなのか？(藁

それを言うと、負の数やゼロも存在しないのだが。
「文系」にとって（広い意味で取ってもらってかまわない)
「実在する数」って何のこと?わかる範囲で挙げてちょ。

>ちなみに1/3=0.33333333.....から両辺を3倍するというのは証明としては誤り。
ばか。
lim(a[n])=aならば
b*a=b*lim(a[n])=lim(b*a[n])が成り立つ。
>x*10=(0.9999999999.......)*10=9.9999999999999.....
これも、上の性質があるからいえること。

>>886
はじめてここ来たんだがレベルの低さに驚いた。
２ｃｈでは数学＝円周率なんだね。
君みたいなまとも君が釣れただけ書き込み無駄じゃなかったよ。

じゃ

>>887
>はじめてここ来たんだがレベルの低さに驚いた。
ネタスレにくそカキコしてるきみのレベルの低さにはもっと驚かされるよ。
空気がよめない奴は逝ってよし。

>>885
すいません。
あまりに暇だったんで>>882-883で自作自演してました。

>>882
＞無限遠点
リーマン地方にある点のことです。

>>883
自然数など実数もb=0の複素数だぞ、そんなのも知らんのか？

>>891
それはわかるんです。
ただ、複素関数の微分というのがどうしてもイメージしづらくて・・・・。

誰か教えて。

>>>888
心外だなぁ。
100までさらっと読んで有効な証明が書いてないから書いたまで。
２ｃｈて、意外とこういう基本的なことに答えられないくせに
えらぶってる奴多すぎ。

じゃあ、あんたは証明できたの?
マジレスできない奴の集団だから、
「ネタにマジレスカコワルーイ」の価値観が浸透してるとしか思えん。
レベル低いといわれて牙むき出してるんだ、帰属意識だけは強いんでしょ?

一応断っておく。
>>ちなみに1/3=0.33333333.....から両辺を3倍するというのは証明としては誤り。
ばかとか言われたけど、間違ってるつもりねーぞ。
1/3=0.33333333.....を先に証明しないと意味ないだろ。
>>884の手法使えば1/3=0.33333333.....も証明できる。

>>894
分かりやすく教えてください。

この件で長々とスレが続いているんですねぇ。岩波のジュニア新書だったかを
みると、結局、極限として一致する、というような説明だったと思います。

まだやってるＹＯ！

>>884
＞x=0.999999999999....と置く。
＞x*10=(0.9999999999.......)*10=9.9999999999999.....
＞これを9.9999999999999......0と最後に０が付くというやつはDQN。上式は正しい。
＞
＞9x=10x-x=9.9999999999....-0.99999999....=9
＞
＞∴X=1

馬鹿。

ふつうのイプシロンデルタ論法を認めるならば等しくなるが、
認めず超準解析の立場をとるなら等しくない、で終了。

掃いても掃いても>>884みたいなバカが出てくる限りこの話題は続きます

なぜ>>884が間違っているのですか?
学校で習いましたが。。。

9.99999...-0.999999999...=9?
ほんと？

>>884
＞x*10=(0.9999999999.......)*10=9.9999999999999.....
＞これを9.9999999999999......0と最後に０が付くというやつはDQN。上式は正しい。
だからそれを証明しろよ。馬鹿クン。

>>902
うふん

まだまだ続くゾ

>>899
これも良くある「しったか」。
超準解析を知らない奴。

>>894
>100までさらっと読んで有効な証明が書いてないから書いたまで。

見てみたけど
>>4
に書いてあったけど？

ヤフーでは完全な答えが出ているよ。集まる人間の質が違うね。

>集まる人間の質が違うね。
とんでもばっか。

↑
「集まる人間の質」が違うんじゃなくて「板の質」が違う
ここは、笑いを取ることも重要なファクター
質云々なら fj.sci.math だろう

＞集まる人間の質が違うね。

それは「今井が来るか来ないか」それだけの違いよ。

908はいまい

早く複素関数の微分を教えてくれませんか？

>>884=>>901

ﾜﾗﾀ

＞早く複素関数の微分を教えてくれませんか？

複素関数の微分を知りたかったらＣＤ−ＲＯＭを買ってください。
そこにほんの入門のところだけですが、扱ってあります。

>>906
おまえよりは知ってるよ。

>>1
10を３進数に変換すると
10=101(3)　…Ａ

同様に
3=10(3)　…Ｂ

Ａ、Ｂより
　10/3
= 101/10(3)
= 10.1(3)　…Ｃ

これを１０進数で計算すると、
10/3=0.3333…　…Ｄ

Ｃ、Ｄより
10.1(3)=0.3333…

両辺に３をかけると
101(3)=0.9999…

左辺を10進数に再変換
1=0.9999…

∴1=0.9999…

間違えました。逝ってきます。

「訂正」
1を３進数に変換すると
1=1(3)　…Ａ

同様に
3=10(3)　…Ｂ

Ａ、Ｂより
　1/3
= 1/10(3)
= 0.1(3)　…Ｃ

これを１０進数で計算すると、
1/3=0.3333…　…Ｄ

Ｃ、Ｄより
0.1(3)=0.3333…

両辺に３をかけると
1(3)=0.9999…

左辺を10進数に再変換
1=0.9999…

∴1=0.9999…