１＋１＝２である事を証明してみろ！

やってみれ

その前に２の定義を書いてくれ。

その証明をここに書こうと思ったら、それだけで1000いくと思われる。
どうしても知りたかったら自分で調べましょう。
自分もお話としてしか知らないからそれ以上のことは言えないが。

証明の正しい書き方はもう忘れた。細部はつつかないように。
（与式）１＋１＝２の左辺を計算して
２＝２・・�@
�@の右辺を左辺に移行して
２−２＝０
左辺をまとめて
０＝０
∴与式は真

>>1
これって定義じゃないのか？

>>4
１＋１＝２である事を使って１＋１＝２である事を証明したわけか？

１＋１＝２の左辺を計算して ２＝２
・・・左辺計算すなー！！

>>4
ﾜﾗﾀ
なんだよ「細部はつつかないように」って

ていうか、細部じゃないから（ｗ

誰か早く証明しろって１０００までいっていいよできないだけか
>>6
この場合はいいんじゃないの？最後の式が不能にならなきゃ与式は成立って考えていいんじゃねーの？

最後の式が不能も何も、最初っからバリバリ全能じゃないすか

やっぱ違ったのかなー
結局どうやって証明するの？
２ちゃんには証明できる人いないねはぁぁぁぁーーーったくつかえね
書ききれないんだったら正式な書式は放棄して
概念の最初の方だけかいつまんで書いてよ

ていうか、１＋１＝２となるのが実数ってもんでしょ
むしろ定義ですな。

1＋1＝2を証明したいということは1＋1＝2が何故そうなるのか分かってないのであってつまりそれは数学が成り立つ条件を満たしてないため数学的な要素を用いられる「証明」は出来ないと勝手に妄想してみる

>>10
もし1+1=2が間違った命題だとしても0=0は導けるはず。
間違った命題からは任意の命題が導かれるから。

>>4の証明使えば1+1=3も証明できそうだなおい。

よしやってみろ

>>16
それ以前に>>4は証明ではない。

与式）１＋１＝３の左辺を計算して
３＝３・・�@
�@の右辺を左辺に移行して
３−３＝０
左辺をまとめて
０＝０
∴与式は真

>>17
2を3に書き換えるだけだ

与式）１＋１＝４の左辺を計算して
４＝４・・�@
�@の右辺を左辺に移行して
４−４＝０
左辺をまとめて
０＝０
∴与式は真

>>13
自然数を加群として考えればそれで十分かと。
定義であることは>>5で指摘済み。
あれ？証明する必要ないじゃんかYO!!

与式）１＋１＝今井の左辺を計算して
今井＝今井・・�@
�@の右辺を左辺に移行して
今井−今井＝０
左辺をまとめて
０＝０

平和になりました

１＋１＝３の左辺を計算したら
２＝３・・�@
になるんじゃないの？

>>18
ごたくはいいからおまえが証明しろって

だって、１＋１＝３が出てるんだもん♪

>>18
こういう場合は背理法を使う。
って、使うほどのことではないけど。
１＋１≠２
と仮定して矛盾を導けばよい。アホクサー。

与式）>>4＝ｳﾞｧｶ　の左辺を計算して
ｳﾞｧｶ＝ｳﾞｧｶ・・�@
�@の右辺を左辺に移行して
ｳﾞｧｶ−ｳﾞｧｶ＝０
左辺をまとめて
０＝０
∴与式は真

急激に減速しそうなスレだな（ｗ

じゃあ>>1に対する模範解答は
「公理であるから」
それとも
「定義であるから」
がいいのか？
それとも専門的には異常に難しい論理を駆使して証明するべきなんですか？
誰かキッチリ説明できませんか？できないだろうなあ

>>26実際にやってみてから言うべき

帰謬法で次のように証明する。
１＋１＝２ が正しくなかったと仮定する。
Ω＝{x|not x∈x} と置くと、Ω∈Ω ⇔ not Ω∈Ω となるので矛盾。
ゆえに仮定は誤りであり、１＋１＝２ は正しい。

ハイリハイリフレ背理法ぅー。
大きく慣れよぉー。

1+1=2は認めないが1+1の計算は2になるなんて言われると気力が失せる。

ところで、名無しに「２ちゃんはクズばっか」の自作自演が混ざってないか?

なんかなぜかあついやつがいるぞ>>27理由教えてごらん

>>29
ペアノの公理とかの話になる。そもそも足し算って何よ？
という話と同じようなものだから、自然数の構成法まで話を
さかのぼらなければならなくなる。

>>33
それは今のところマジでないです。

だから定義だろっちゅーの！！
下準備はいろいろ必要だけど「２」の定義が「１＋１」でしょ。
出で菌との「数について」でも読めばわかるよ。
ペアのノ小売を勉強してもよし。

>>32
たまにはこういうレスも心が和む。

大学の数学の教授に聞いたら
キチッとした書式で大長文で証明を提出してくれるのかな？
分かる人いるかなぁ

このページをみろ。

http://www.imai.gr.jp/users/imai/japanese/shizensu/no001.html

ブックマークつけたよ

>>40
いきなり自然数Ｎが出てきてていいのか？

>>31証明になってない。ネタだったらすまん。

１＋１＝田

なんでここだけテンション高いの？

もしや
なぜ>>4が藁われてるのか未だにわからないのか？

また倒れたか、いつになったらここには勇者が現れるんだ
知ったかぶって指摘しっぱなしの人多いけど果敢に攻める人少ないよね
っていうか２ちゃんの人多分誰も証明できないみたいだね？

仮に
１＋１≠２
とする。両辺から１を引く。
サ変＝１＋１−１＝１
ウ変＝２−１＝１
したがって、
１≠１
これは明らかに矛盾している。
よって、
１＋１＝２
でなくてはならない。

>>46
証明してから笑いなアホ

>>43
じゃあこんなのどう？
１＋１＝２ が正しくなかったと仮定する。
「この命題は偽である」という命題をＰと置くと、Ｐが真 ⇔ Ｐが偽 となって矛盾する。
ゆえに仮定は誤りであり、１＋１＝２ は正しい。

そろそろ飯のしたくしようぜ。あとは今夜の９時以降だ。

まだやるのか？

やめてください

一度、「ここが変だよ日本人」で取り上げてもらいたいね。　　　

もらいたくないｙｏ！

>>50を整理すると
「（1+1＝2である）は偽」という命題をPと置いてるわけで、そこからは
「Ｐが真 ⇔ Ｐが偽」 は導かれない。

逆にもしPの指す「この命題」がP自身のことを言っているのだったら、
それは1+1とは関係なく真でも偽でもない命題。

>>56
マジレスするな、ｺﾞﾙｧ！

>>48で終わり。
３桁乗せるなよ、こんなスレ。

だめなの？

お・わ・り！！

>>58
１＋１＝２が証明されてないので２−１＝１にはなりません

り・わ・お♥

だからペアノの公理から自然数を構築して、
加減法を定義してやらなくちゃ終わらないだろ。
そもそも、１＋１＝２の「１」とか「２」とか「＋」とか「＝」の
説明からはじめにゃならんじゃないのかよ。
>>1はちゃんとお膳立てせい！！

>>1は厨房なのでそんなことさえ知りませんでしたとさ。

おっ・わっ・るぃっ・♪

いやん！

加法（ひいては減法も）が定義されてる時点で、
等式の性質は既知でいいのでは？

↑↑↑
>>61に

>>1はこのスレを立てたことが間違っていることに気づいたようです。

>>66
等式の性質（a=b⇔a-c=b-c）としただけでは2-1＝1はいえません。
2-1＝1はその等式の性質と1+1＝2を併せて導かれるものなので。

３１，５０支持あげ

数学板の住人には難しすぎて分かりません（大藁

「１」、「＋」、「＝」の定義ってなんだよ？

２の定義から
２＝１＋１
等式の性質から
１＋１＝２

>>73
以上、証明終わり。

だろ！！

>>69
減法は定義されてるのか？

>>73って、証明じゃなくて定義だと思うのだが。

だからペアノの公理勉強しろYO!!

>>74
ん、書くの忘れてた。

>>76
２＝１＋１は定義、そこから １＋１＝２ を導くには証明が必要なの。

>>78
「Ａ＝Ｂ」⇔「Ｂ＝Ａ」
って、証明することなんですか？

等式の性質より明らか。
証明終わり。

２の定義が１＋１と言いたいのか？

２つ以上つかったらそれは証明なんだよ

>>79
まず、定義の「＝」と、値が等しいという意味の「＝」は、
文字は同じだけど意味は別。

値が等しいという意味での「＝」について、
「Ａ＝Ｂ」⇔「Ｂ＝Ａ」
は証明が必要。

では、「値が等しい」と言うことの定義をしてよ。

>>73は数学科じゃないよね。マジで。

またもや同じ議論の繰り返しか。
ま、議論してる人は違う人なのかもしれないけど。

>>73
> まず、定義の「＝」と、値が等しいという意味の「＝」は、
> 文字は同じだけど意味は別。

そんな話、聞いたこと無いぞ。
定義の意味をこめて「＝」を使うことはあっても、
「A=B」と書いた瞬間「B=A」は自明。

>>73は新手の荒らしかもしれない。
荒らしは無視するのが一番。

いや、あらしじゃないけど、少し自身なくなってきた。

A=B の定義は「A≦BかつB≦A」ってことじゃないの？

誰か>>73を救ってやってくれ。

集合論からやり直したほうがいいんじゃないか？

>>89
君の言う定義がその通りだとして
なぜA=BとB=Aが同値でないことになるんだ？
「A≦BかつB≦A」は「B≦AかつA≦B」と同じだと思うぞ。

>>73を日本語で書くと
２を１＋１と定義しよう。そのとき１＋１は２である。
と言ってるもんだと思うが。

演算子「=」の定義

A=Aは必ず成り立つ
A=BならB=A
A=BならCA=CB
A=BかつB=CならA=C

これを満たすものを「=」と呼ぶ

これでスッキリしたんじゃないのか？<73

>92
同値でないとは言ってないよ。
９２さんが書いてるような証明っていうか、ひとこと説明が必要になると思ってるんです。

ペアノの公理って、これから検索して見てみるけど、
数値の等号と、大小関係って、どっちが先なの？

>>94
それは同値関係の定義。＝の定義ではない。

＝の公理はそれ以外に
「P(x)かつ x=y ならば P(y) 」
が必要。ここで P は任意の述語。

>>96
ペアノの公理を知らないと言うことは、、、おやすみ。

>>97
中学、高校程度の教科書には>>94程度の記述しかないんじゃないのかなぁ。
>>73はその辺も認識していなかったということで、、、おやすみなさい。

>>96
> 数値の等号と、大小関係って、どっちが先なの？

集合論みっちり勉強しなさい。ペアノの公理はそのあと！！

>>97
「任意の述語」って「命題」のことですか？

あ、なるほど、数値じゃなくても集合の元が等しいっていう概念があるよね。
どうも、おさわがせしました。

>>101
ｘに定数を代入するか，
∃x や ∀xをつければ命題になる。

>>97
これが正解。ただし等号の公理というのは
(1) 等号導入規則：x=x
(2) 等号消去規則：P(x),x=y → P(y)
の二つ。これから x=y → y=x を導くには、z=x という命題を P(z) と
書くと、まず (1) により P(x) が導かれ、これと x=y と (2) から
P(y) すなわち y=x が導かれて証明終

1+1=2である体系が構成できる、あるいは公理系を
定義できるというのは分かる。
(1や2は(0<)1<2<3<4<5<･･･の全順序を持つ集合の要素)

では、そうでない(同値や全順序を破壊しない)体系を
定義できるのか？というのが知りたい。
さらに(例えば上記が無理だとして)同値や全順序が成り立たない時に
何かしらの体系があり得るのかという事が知りたい。

誰か教えてちょ

そうか掛け算の群はそうだな。
するとやっぱり>>1よ、定義だ！

>>104を読んだだけで1+1=2を導くことの難しさを知った。
数学って奥が深い･･･漏れってｳﾞｧｶ？

>>107
奥が深いとわかっただけでも、い○いよりは賢いと思うよ。

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4794964544/qid=1004632572/sr=1-1/ref=sr_1_0_1/249-9062840-6235557

この本の１１夜あたりで証明してるけどさっぱりです。
分かる方がいましたら解説お願いします。

彌永昌吉「数の体系、上・下」
これを読んでみそ。

　　　　 △--△　 　／￣￣￣￣￣￣
　　　　（ ・∀・ ）　＜　ゲト〜
　　　 /つ111つ　　＼＿＿＿＿＿＿
　 〜人 　Ｙ
　　 し'（＿）

age 　　　

証明　 １＋１＝ｆ(１，１)＝φ(１)＝２

工夫と努力しだいで
１たす１が３にも４にもなるんだ。
１たす１は２にしかならない
と思い込んでる人間は
結局それだけで終わるんだ。

足りぬ足りぬは工夫が足りぬ。

数学的帰納法を使うと聞いたが

>>114
名物教師か？

>>114のようなセリフに
「それは1+1という演算で表すべきでないものが3や4になっただけ」
と冷静に突っ込んで熱血野郎の説教に水を差してしまうのが真の理系的センス。

「他人の話を茶化すな！」と言われておしまい

70 名前：Nanashi_et_al. 投稿日：01/11/02 11:00
俺は基礎論専攻だったけど、>>32のリンク先で、
「１＋１＝２は要請だから証明出来ない」なんて言っているのはおかしい。
数学者ではあっても、基礎論を知らない人だと思う。


各自然数の定義は、超大雑把だが、以下の様な感じ。
（「序数」という言葉は便宜的に使っただけなので、あまり深く追求しないで）

0の存在は公理で認める
1の定義⇒0の次の序数
2の定義⇒1の次の序数
3の定義⇒2の次の序数
・・・・・
というのが定義。「2とは1+1の和の事である」なんて公理・要請は見た事が無い。

次に＋の定義（帰納的定義）
　�@x＋0＝x
　�Ax＋yが定義されている時、「x+(yの次の序数）」＝「(x+y)の次の序数」と定義する。

・1+1の値を求めてみる
　�@1+0=1
　�A1+0が定義されているので（1+0=1）、
　　1+1＝1+(0の次の序数）=(1+0)の次の序数=1の次の序数=2

この＋の定義の仕方で、通常の１＋１＝２の他、
１＋１＝１になったり０になったり３になったりもする。


↑において
1+1を1の次の次の序数、つまり3にできる+の定義が分からん

>>117
> 「それは1+1という演算で表すべきでないものが3や4になっただけ」
> と冷静に突っ込んで

先生ッ！　117君は極めて常識的なことを言ってます！！

a(a+a)=2となる実数aがあるとする
a(a+a)=a^2+a^2=2(a^2)=2
a^2=1
a=+1,-1

a=+1の時
1(1+1)=2
{1(1+1)}/1=2/1
1+1=2
証明終了・・・どこらへんがダメですか？

*)a=-1の時
-1{-1+(-1)}=2
[-1{-1+(-1)}]/(-1)=2/(-1)
-1+(-1)=-2
1+1=2

自分にレス
>>119
結局1+1=3であると同時に1+1=2というオチだった。少ししょんぼり

ヲレ、専門的なことはわからんが、
基本的なたし算の証明に、引き算、かけ算、割り算を使うのは気持ち悪い。
121みたいな証明だったら、
2/2=1とか(-1)^2=1ってのが、1+1=2以前に証明されてなきゃいけないわけだろ？

>>123
なぜ？

>>123
ごめん。>>119のこと言ってるのかと思った。

>>121
> a^2+a^2=2(a^2)

おいおい、ここで破綻してないか？？？

>>126(・ε・）ﾌﾟｰ

ｯﾌﾟｶﾌﾟｰ

まだやってるのか。。。

130=129+1

公理で，0と1が，いわゆる零元，いわゆる単位元として定義されて，
2から9までの記号が，加法によって「定義」されているだけの話で，
最初の質問（挑発？）の命題（Pとする）は，もし，証明を与えるとするなら，
(P->P) <-> T □
で，よいのでは？

>>131
それは代数の話では？
基本的に>>119でOKだと思う。

まあ、1+1＝2であることの証明は証明というよりも
むしろそのように自然数を構成できるということだね。
だから、「実は1+1＝2だと矛盾が生じる」というようなことが言えない
という事を示したという意味での証明だと思う。

134=133+1

135=134+1=133+2

a = b　　　　　　　　　両辺にaを掛けて、
a^2 = ab　　　　　　　両辺からb^2を引いて、
a^2-b^2 = ab - b^2　　ゆえに、
(a+b)(a-b) = b(a-b)　両辺を(a-b)で除して、
a+b = b　　　　　　　　a=bゆえに、
2a=a　　　　　　　　　両辺をaで除して、
2=1
ちゃんちゃん

>>136
勿論＞136自身はわかってやってるんだろうけど、
これを凄いと思って周りに言いふらす奴が出ないためにも
一応間違い指摘
両辺を(a-b)で割るとき、実はa-b=0だからこれで割っては駄目。
理由は
1×0＝2×0の両辺を0で割ると1＝2になるがこれ（0で割ること）を
認めれば全ての数が等しいといえる。

>>137
中学のとき中学の教師にこれを出題。
しばらく悩んでいました。

面白い。今度、友達に出してみよう。

中学のとき熟で習ったよ。

俺も中学のとき熱で習った。

俺は釜飯だったとき習で熟ったよ．

俺はまだぼうふらだった頃�Rで習った。

俺は田中真紀子だったとき一〇句で習った

昔のギャグっぽい。　　　　　　　　　　　　

2=1　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 両辺にオレをかけて
2*オレ=オレ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 両辺に(オレ-今井)を足して
オレ+今井=今井　　　　　　　　　　　　　　　　　両辺に(オレ-今井)を掛けて
(オレ)^2-(今井)^2=オレ*今井-（今井）^2　 　 ゆえに
(オレ)^2=オレ*今井　　　　　　　　　　　　　　　両辺を割って
オレ=今井

よって2=1だとオレが困る事が証明された。

>>146
何故困るかがまだ示されていません。20点。

+＝

>>147

今井は「オレ=今井」ということを正しくするためにオレと合体しようと目論む。
するとオレは夜道を歩くたびに後ろから掘られないよう気をつけなきゃいけない。

オレは男と合体する趣味なんてない。男に追い回されるのも嫌だ。
だから困る。

>>1
２の定義を述べればそれで終わり。

>>148
゜Д゜

誰か算術公理から証明してくれることをｷﾎﾞﾝﾇ、と

152の誰かです．
そういわれても・・・・

>148
1+1=11
と言いたいのか？

２進法でもそうはならん。

1(2)+1(2)=10(2)だからな。

確か三角関数で解けた。
cosA+cosA
として、ｘ方向のみ見ると…

↑また電波か？

>>157
そりゃ迂回してるだけだ。今井みたいなことやめれ

１＋a＝２

a=２−１

a=1

ーーーーーーーーーーーーー終了ーーーーーーーーーーーーー

Principia Mathematica でも読んでろ。

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0521626064/ref=sr_aps_d_1_1/250-8604051-5240253

眠い。　　 　　　　　　　　　　　　

1進法ができあがりました。

・10進法
0
・1進法
0

・10進法
1
・1進法
0
0

・10進法
-1
・1進法
　-0
　 0

・10進法
3.14
・1進法
0.00
000
0 0
0 0
　0

先生！　10進法の10と0.01は、1進法でどうなりますか？

>>164
・10
0
00

・0.01
0.00
　 0

163の意味はわからんが、見た目で推測すると
10っていうのは、0を11個たてに並べるべきじゃないのか？

そろそろ正解を。。。

証明っていうか、定義じゃないの？

と言う事で、このスレは終了。
2度とあげんな。

０×１＾ｎ＝０
したがって１進法では０しか表現できません。

>>170
n進数のmをm(n)と表現すると、

　　0(10) = 0(1)
　　1(10) = 00(1)
　　2(10) = 000(1)

０（１０）＝１（１０）？
０１（１０）＝２（１０）？

間違えた。
００（１０）＝１（１０）？
０１（１０）＝２（１０）？

重症だ。鬱だ光る。

>>167
正解かどうかわからんが、もう>>119 でいいんじゃないのか？
150や168みたいに、定義だって言うやつはきちんと定義を述べてみろ。
単に四則計算でごまかしてるヤツは問題外だな。

1進法の話は出直してこい、っていうか別スレたててやれ。

> 150や168みたいに、定義だって言うやつはきちんと定義を述べてみろ。

そこまで示しているんだから、あとは自分で調べればいいんじゃない？
このスレ使って厳密に述べるのは労力の無駄。
みんな多かれ少なかれ数学に興味があるんだったらさ、
少しは自分でも行動してみなよ。

>>175
じゃ、四則演算を定義してくれ。

「定義」の定義って何？（藁

>>179広辞苑引け！！！

ここを見ろ。証明が出ているぞ。

http://bbs7.otd.co.jp/706817/bbs_plain

>>180
「エログロ」でいうところの「グロ」のほうだな。

>>181
今丼系だって事をちゃんと書いてくれよ。引っかかっちゃたじゃないか。

>>179
自分に厳しいのね

「証明できた」ことを証明するにはどうすればいいんだ？

>>184
見直して矛盾がないかどうかを調べる。

というか証明を証明するって意味不明なんだけど。
証明はそれ自体が証明なんだからなんでまた証明する必要があんの？

まさか
「人間のいう事は常に間違っているかもしれない」
という前提から
ピタゴラスの定理と今井の定理は結局大して変わらないんじゃないか
なんていいたいんじゃないだろうな。

最低限[0,1,2]を元とした有限体上であればいけるかな・・・
それ以下の条件で証明できるのあるかな？
[1,2]の有限体じゃああまりにも自明で意味なさそうだし

>>186
パラドックスに関係あるんだろうな、きっと。
基礎論の話だよね。

ゲーデルの完全性定理ってのは、正に
証明できたなら、それは正しい
って事を言いたかったんじゃなかった？
詳しくないけど。

>>177
＋の定義（帰納的定義）
　�@x＋0＝x
　�Ax＋yが定義されている時、「x+(yの次の序数）」＝「(x+y)の次の序数」と定義する。

他にご要望は？

証明が正しいと言う事を、自動で判断できか？ってことでしょ。

多数決にするかどうかを多数決で決めよう（藁

>>191
障害者ですか？

ったく〜。
証明が正しいと言う事を、自動で判断できるか？ってことでしょ。

って言いたかったに相違ない。

スレ違いなんですけど、すいません。

ひとつの四角形があったとします。
横幅を1.5倍にすると、なぜ、面積も1.5倍になるんですか？
横も縦も1.5倍にならないと、
面積も1.5倍にならないんじゃないのと感覚的に思ってしまいます。

すごく、分かりやすい言葉でお願いします。
ほんと、アホですいません。

□を横だけ３倍にすると

□□□

こうなる。面積がどうなるかは□の数を数えればよい。
元の面積の３倍だ。

縦も横も３倍にすると

□□□
□□□
□□□

こうなる。面積は□の９倍。

1.5倍ずつにすればどうなるかも以上の例から類推してくれ。

ってことは、1．5倍すると面積は9倍の半分、4．5倍になるのですね。
ありがとうございました。

>>189
そして、ゲーデルの「不」完全性定理ってのは、
証明できないなら、そのことは証明できない
って事を言っている（笑）

>>198 違うぞ

>>198
1.5×1.5＝2.25倍。

>184
証明というのは、何かある「数学的事実」を人間にわかるように説明することと考えられるんじゃないのか？
証明されようとされまいと数学的事実は変わらない、と・・・
つまり、証明とは、たかだか人間の言葉による説明であって、
結局、読み聞きしたやつが理解して納得するかどうかじゃないのかな

>>197
教えてくれて、ありがとう。
質問がアホすぎて、罵倒されるかと思っちゃった。

つまり、今までの面積に対して、
1.5：1の割合で増えるからなんですね。
縦が１な限り、横幅の変動分しか増えないと。

あー、すっきりした。

(解)

自明。証明不要
依って

---終了---//

小学生の間では定説です。

なんだ、誰も証明できないのか。

おれは理解してるがあまりにもメンドクサイよ。
あの証明。

１＋１＝２の証明を聞く奴は本当に知的興味から聞いているのか
小一時間問い詰めたい。数学板住人を煽りたいだけちゃうんか。

１、２，３，４，５、・・・という順番は誰が決めたの？
別の国では１，３，２，５，４，７，６、・・・とかで
１＋１＝３になることはない？

１＋１＝１０（２進法）

http://mentai.2ch.net/test/read.cgi/china/998503136/93

>>209
何言ってんの？
「数字先にありき」ということ？

1+1=1.111111111111111111111111・・・（２進法）

本当に>>119を読んでいるのか小一時間問い詰めたい。
前のレスすらも見れない障害者ちゃうんか。

>210
ウィルス警報！！！！！！！！！！！
この先に無数にリンクが張ってあって、最終的にHappy99ウィルス！！！！！！

調子に乗って開くな！！！！！！！！！！！！！！！！

証明する意味がない

よって

■■■■■■■■■■■■■■　終了　■■■■■■■■■■■■■■

自分に理解できないから終了だってさ

証明する意味がない

よって

■■■■■■■■■■■■■■　終了　■■■■■■■■■■■■■■

210
→NHK中国語会話の田村好恵ちゃんかわいい！
→☆Wセミナー森講師★SUPER基礎講座WORLD★Part3
→■■■質問スレッド＠化学板３■■■
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http://music.2ch.net/test/read.cgi/jr/994988000/264

>>119は定義としてなかなか良いと思うけど疑問が。
０，１，２，３までは定義されているからいいとして次に・・・のところは
４の定義だろうと予測されるけどここで０，１，２，３，４，・・・と順序が
決まっているということを使ってる。自然数が定義出来ていないのに順序が
判ってるのはおかしくない？なぜ０が初めで次が１で次が２で次が３で次が４なの？
この順序は自然数の定義の前に決めておくということ？

なぜも何も

>>219
お前が望むなら、
　０，１，２，３，厨，房，逝，っ，て，よ，し，・・・
というふうに定義してもいいが？

>決まっているということを使ってる。自然数が定義出来ていないのに順序が
>判ってるのはおかしくない？なぜ０が初めで次が１で次が２で次が３で次が４なの？
>この順序は自然数の定義の前に決めておくということ？
119あたりの話は
なぜも何も
1. 0　は　自然数
2. x が　自然数のとき　succ(x) も　自然数
みたいに自然数を定義してるだけの話

そうきめたあとは
めんどくさいから　succ(0) を１という　シンボルで表記する
succ(succ(0))を　２というシンボルで表記する
succ(succ(succ(0))) を　３と表記する
　　　　　　　　　succ(succ(succ(succ(0)))) を　４と表記する
みたいな発想
天下り的に 1,2,3,4 の順序がきまってるわけではなく
記号をそうわりあてたということ。

まだやってんのかよ、このスレ。

>>221 >>222
それなら０，１，厨，房，逝，っ，て，よ，し，・・・ も可だと思うけど。
そうすると１＋１＝厨となるので１＋１＝２が証明できないけど。

２が定義されていないのだから当たり前だ

自然数の定義が違えば、
1+1=2になるとは限らない。

信じろとしか言えん、
もう宗教の領域の話なので
証明は難しいのではないでしょうか。

>>227
馬鹿はすっこんでろ

#include　<stdio.h>
int　main(void)
{
　printf( "1+1=%d\n", 1+1);
　return(0);
}

これをコンパイル、リンクして実行してみてください。
本当の答えが表示されるはずです。
なお、コピペではコンパイルエラー等が出る可能性がありますので、
各自でエラーを取ってから実行してください。
なお、このプログラムをコンパイル、リンク、及び実行する事で
何か事故や不具合等が発生しても、いっさい責任は負いませんので
ご了承ください。

>>244 の側に立って、>>222を読めば、
「succ(succ(0))を　２というシンボルで表記する
つまり、2はそう定義されてるから、1+1=2 である。」
と言えなくもないし、これが限界っていう人もいるだろう。

このスレでは、「1+1=2」を見て、「succ(0)+succ(0)=succ(succ(0))ことだよ」
といってるわけだから、1とか2なんかの記号の意味は問題じゃないの。

228≫バカにも解るように証明してみてくれ、

＞バカにも解るように
そりゃ無理だろ（藁

無理かそうかありがとう。

１＋１＝ドキュソ
１＋１＋１＝逝ってよし
１＋１＋１＋１＝厨房
１＋１＋１＋１＋１＝電波
１＋１＋１＋１＋１＋１＝キティ
先生何点ですか。

100点です

>>229の結果です。

1+1=2

いじょ。

#include　<stdio.h>
int　main(void)
{
　printf( "1+1=%d\n", 1*1);
　return(0);
}

1+1=1
いじょ。
mainの型voidじゃだめ？

0,1,2,3,4,5…206,207,208,厨房,210,…と表記したいのだが駄目か？

>>237
厳密には間違ってますね。1+1を計算してませんから>>1の要求仕様を
満たしていません。なお、main()は戻り値intを持たせるのが一般的です。
終了状態を返せませんので。

コンパイルした実行可能プログラムが
1+1=2 を出力したとして
そのアウトプットだけでは
内部で　 1+1 を計算したのか 1*2 を計算したのか
　　　　　単に文字列 1+1=2 を生成したのか判別不能

>>234 ということは、

ドキュソ + 逝ってよし ＝ 電波

なのか・・・

class A {
public static main(String[] args) {
int a = 1;
for (int i = 0; i < 1; i++) {
a = a + 1;
}
System.out.println("1 + 1 = " + i);
}
}

これでも良いか？

>>242
とりあえず，コンパイルエラーが出ます．

>>242
いきなり閉じかっこと開きかっこの数が違うよ。

class A {
　　public static void main(String[] args) {
　　　　int a = 1;
　　　　for (int i = 0; i < 1; i++) {
　　　　a = a + 1;
　　　　}
　　　　System.out.println("1 + 1 = " + a);
　　}
}

間違いだらけだった。
修正版。

>>244
括弧の数は問題なかったと思われ。
と言うかそれ以前の問題ﾀﾞﾀﾖ。（鬱

>1
ｶﾞｲｼｭﾂです。

>>242
Version１．１
（コンストラクタの追加）
（意味のない分岐の追加）

class A {
　　A() {
　　　　System.out.println("1 + 1 の演算を開始します。");
　　}

　　public static void main(String[] args) {
　　　　A a = new A();
　　　　if　(Math.random()　<　0.5)　{
　　　　　　a.plus(1);
　　　　}
　　　　else　{
　　　　　　A.plus(1);
　　　　}
　　}

　　static void plus(int b) {
　　　　int a = 1;
　　　　for (int i = 0; i < b; i++) {
　　　　　　a = a + 1;
　　　　}
　　　　System.out.println("1 + 1 = " + a);
　　}
}

な、なんだ？

誰かPascalで解いてみてよ。

終了．

FORTRANでもいいから。

COBOLでも出来るんじゃない？

plus(x,0,x)<-.
plus(x,succ(y),succ(z))<-plus(x,y,z).
とホーン節集合を定義して
plus(succ(0),succ(0),*z).を問い合わせろ！

*z = succ(succ(0))と印字するはず

機械が証明してくれたぞ

完

なんでコンピュータを正しいとおもうのかなあ。答えは>>234>>235にあるのに

>>302が正解

うーーんとっ・・・・・いいですか？
ここにりんごが1こありますね＾＾
隣の籠からもう１個もってくるとふたつになりましたね〜〜＾＾
わかりましたか？（にこっ）

>>256
押したけど「１＋１＝２である事を証明してみろ！ 」が正解なの？

＞＞257
んとね、ふたつってなーに☆

1+1=2 を証明しろといってる人は
1+0 =1 は証明なしで受け入れているのかい。

そだそだ

>>119は分かりやすいなぁ。次からのコピペ用に。
--------
要請A；0は存在する。
要請B；1は0の次の数である。
要請C；2は1の次の数である。
定義D；x+0=x
定義E；x+yが定義されている時、「x+(yの次の数）」＝「(x+y)の次の数」

1+1=2の証明；
(α)
1+0=1　　　　　　　　　（Aより）
(β)
与式左辺
=1+1
="(1+0)の次の数"　　（"1+0"が定義されてるので）
="1の次の数" 　　　　（αより）
=2　　　　　　　　　　　　（Cより）

∴1+1=2

>>260
それは人によるだろう。
逆に、1+1=2が定義だ、自明だっていう人は、
119の説明をどう思ってるんだ？

+1の意味をどう捉えているのか？だな。
塩山なのか？謝蔵なのか？

>>264
塩山と捉えているんじゃないかなぁ？
「x+1」を「xの次の数」とするなら、
＞要請C；2は1の次の数である。
は当たり前だなぁ。

証明するしないかは、もうどっちでもいいけど、
何を前提に話をしているのかくらいは、数学板
なら、ちゃんと書いておこうぜ！

全体がさぱーりわからん>>1
どこまで既知で、どこから未知？

>>263
結局1+1=2になるように自然数と、+を定義するんだろうから
定義と言っても同じだな、っていう感じだろう。
どっちが先かと言ったら、1+1=2が先なんだから。

そうかなあ・・・

例えば「１、２、たくさん」しか数えられない人々がいるらしい。
あるいは、カラスは６か７くらいまでなら区別がつくとか。
もし計算で「ひとつづつ増やす」方法で暗黙に定義しているのならば、
そういう数えられる数の限界があるのはなぜだろう。

それは単に頭の良し悪しだと思われ。

カラスは並の哺乳類よりはるかに
カシコイと推察されているが，
飼育してその知能についての
精密な実験をすることが
まだ難しいらしい。

並の哺乳類＝人間？

漠然と
”1+1=2 ”を　証明しろ　という設問では

どこまでが公理や定義や周知既知の定理として使えるか
不明瞭だ。

きいてる側はそれがわかってるのかな。

　

119の言い分は「次の」という言葉を用いている時点で破綻しているのでは？

>119の言い分は「次の」という言葉を用いている時点で破綻しているのでは？

ペアノの体系だって 最初の元 とサクセサをもってくる操作で構成
されてるが、
（ていうか　119もペアノが基本になってると思われ)
ペアノが破綻しているとでも？

１＋１＝２を証明せよ

�@左辺に０をかける
（１＋１）×０＝０

�A右辺に０をかける
２×０＝０

�@、�Aより
左辺＝右辺

∴１＋１＝２

ウンポチンチン

>>275
おもしろくない

１はどこへいったんだ？

結局１はスレ立て逃げか？
次は何をたてるんだ？
１．　　　０の０乗
２．　　　−　かける　−　が＋　の証明
３．　　　0.999999......=1
４． ０／０
５． ０！はなぜ１

どれだ？

なぜ掛け算の順序が入れ替えられるのですか？
1×2と2×1は別物だと思うのですが？

数学について詳しい人に説明求めます、
あなたたちにはその義務があるはずです。

次回の予想。

πの10進表記って本当に無限に続くの？

と予想しておく

超簡単な質問なんだけど、例えば、「２の５０乗」とかの、簡単な
解き方（方程式？）って有りますか？

最近のヒットでいえばこれかもね

>>280
＞1×2と2×1は別物だと思うのですが？
別物だと思うのであれば、
１×２は何？　２×１は何か？を質問した人には
答える義務があるはずです。

>>283
痛いぞ、オイ

>>284
なぜ？

>>283
そもそも何が言いたいのか良く分からんけど、
文章がちょっと…。

そんな返し方したらよけい荒れるな、きっと。

>>286
そもそも>>280で
＞なぜ掛け算の順序が入れ替えられるのですか？
とあるわけだよ。だったら、

>>280が考える１×２の値は何か？
>>280が考える２×１の値は何か？

をちゃんと言っておく必要はあるだろ？

もっとも、スレ違いと言われたら、その通りなんだが。

>>287
文節の切り方を間違えて、意味が分からなかった。
それだけ。

>>119は厨房には宇宙語に聞こえるのでは？
可付番集合や機能的定義の概念も含めて
厨房用に乱暴な翻訳をしてみた（ごまかし放題）。
厨房向けに０は自然数に含めないことにした。

【自然数というものを取り決めよう】
自然数とは人がものを数えるときに使う数のことですから，
どんな自然数にもその次に来る自然数があります。
そしてものを数えるときはじめに使う数は１ですから，
１は自然数に違いありません。
ところで１の次の自然数は２番めの自然数になりますが，
この数は「２番め」の“２”と約束しましょう。
同じように２の次の自然数は３番めの自然数なので，
“３”と約束します。
この様にするとどんな大きな自然数でも
順番に取り決めることができるのです。
従って自然数の並びは
　　１，２，３，・・・
という具合になります。
ａ番目の自然数の値はａだということです。

【足し算の計算方法を取り決めよう】
ａ＋ｂの値を決める方法を取り決めましょう。
ａ＋ｂの値は
　　ａの次の次の次の・・・
と，ａ番目から順番に自然数を調べて行って，
ｂ個先の自然数の値であると取り決めます。
つまり「次の」をｂ回行って得られる自然数のことです。

【１＋１を調べよう】
足し算の取り決めから
１＋１の値は「１の次の自然数」となります。
１の次の自然数は２ですから１＋１の値は２となります。

最初に断わっておくが序数と基数はどちらが先かなんて
アフォな事を聞くなよ。

「１＋１という概念だけからは
２という概念は出てこないと思います。
１＋１から２という概念を引き出すのは人間の
アプリオリな能力です。」
「互いに直行する直線は３本しかひけないのも同じです。」

数学の本質を数学で証明するということは
要するにトートロジーに陥るだけです。
数学ですべてを語れると思っている人、
そういうドグマを主張する人はときたま見かけるけど
３流です。
本当に考えてる人は、数学、哲学、宗教、芸術に安易な線引きを
しません。

もちろんこのスレッドが、あくまで数学に徹する中で
「１＋１＝２」と戯れるという趣旨なら私は
無粋なことをしたのだと思うけれど。

>>283
が痛いのは
>>280が
本気でこういう質問をしているわけでなく
１のようなヤツが次にあげるスレの予想を書いてることを
読み取れていないこと。

>>294
が痛いのは
283のようなすでに裏に回ったレスに
今更のように批評をつけて話を蒸し返していること。

良スレです
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1006039443/l50

>>296
ふざけないで下さい。
荒らしてるのはあなたですか？

>>296
ﾜﾗﾀ

>>296
なにが書いてあるの？
読むの面倒くさい。

ｎ+ｎ＝2ｎ
よって1+1＝2

1ch+1ch≠2ch

>>1は満足しているのか？

1+1は大きな1　(ﾜﾗ

もうあげんな。

11/26 の「笑っていい増毛」のクイズで、Z/12Z の話が
出ていたね。

定義と命題の違いが分からん奴にクズ呼ばわりされる筋合いはねぇな（アハ

下記掲示板に証明があるぞ。

http://bbs7.otd.co.jp/706817/bbs_plain

１＋１＝ｆ(１，１)＝φ(１)＝２

なんと素晴らしき証明！！！！！

今までこのスレッドに書き込まれたいかなる証明もこれの足元にも及ばない事でしょう。
実に不可…げふんげふん、ファンタスティックな証明ですね今井様

>>308
なんかよく分からんけど、
ペアノの公理と+の定義を使ってるだけじゃないの、それ？

>>309
それすらも使ってない。
どうせ1+1=2が既に仮定されてるに違いない。今井数学だから

今井数学＝今井のオナニー

＞＞３１０
同意。
ｆ(１，１)＝φ(１)の部分の証明が鍵ですな。

>>119が好き。

x+0=x　を納得してくれ。
x+(yの次の数)=(x+y)の次の数　を納得してくれ。
1は0の次の数　を納得してくれ。
2は1の次の数　を納得してくれ。

1+1を求めてみると
1+0=1
1+1=1+(0の次の数)=(1+0)の次の数=1の次の数=2

気分転換age

0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0
0-0=0, 0-1=1, 1-0=1, 1-1=0
0*0=0, 0*1=0, 1*0=0, 1*1=1
0/1=0, 1/1=1

1+1=卅

１＋１＝猪熊　柔

今更ながらですが、でもコレ友達から聞いた話では東大か京大の過去問にあったとかなかったとか。。。
なんか背理法を使うらしいのですが。詳しいことは分かりませんケド。

高木貞治「数の概念」を読んだら。
めんどくさい議論がいっぱい書いてある。

ひとつ。
ふたつ。
たくさん。

1個のおにぎりと1個のおにぎりをあわせると2個のおにぎりになる。

>>320
物理板住人？

1+0=1+0+0より
1+0=1
よって
1+1>1
ともに整数より
1+1>=2
ここで
1+1=3と仮定すると
3-1=1
よって
2-1<1
ところで、
1-1=0
よって
0<2-1<1
1,2ともに整数より(2-1)も整数
よって矛盾する
1+1>=4の場合も同様
故に
1+1=2

１＋１が１になる宇宙、１＋１が０になる宇宙などもあるのですよ。
また、１進法表現だと通常の自然数の加算においては１＋１＝１１と
かかれます。

そもそも定義を問うてどうする。（ﾜﾗﾀ
２＝１＋１　これは定義。
３＝２＋１、４＝３＋１、５＝４＋１
これらは自然数の定義（名付け方）だろーがー！

1は0の序数というのが定義で、1+1=2というのは定義じゃないよ？

ここに､１つの粘土があります｡粘土箱からもう１つの粘土を取り出して､
くっつけると１つの粘土になります｡

70 名前：Nanashi_et_al. 投稿日：01/11/02 11:00
俺は基礎論専攻だったけど、>>32のリンク先で、
「１＋１＝２は要請だから証明出来ない」なんて言っているのはおかしい。
数学者ではあっても、基礎論を知らない人だと思う。


各自然数の定義は、超大雑把だが、以下の様な感じ。
（「序数」という言葉は便宜的に使っただけなので、あまり深く追求しないで）

0の存在は公理で認める
1の定義⇒0の次の序数
2の定義⇒1の次の序数
3の定義⇒2の次の序数
・・・・・
というのが定義。「2とは1+1の和の事である」なんて公理・要請は見た事が無い。

次に＋の定義（帰納的定義）
　�@x＋0＝x
　�Ax＋yが定義されている時、「x+(yの次の序数）」＝「(x+y)の次の序数」と定義する。

・1+1の値を求めてみる
　�@1+0=1
　�A1+0が定義されているので（1+0=1）、
　　1+1＝1+(0の次の序数）=(1+0)の次の序数=1の次の序数=2

この＋の定義の仕方で、通常の１＋１＝２の他、
１＋１＝１になったり０になったり３になったりもする。

ここに､１つの数があります｡数の集まりからもう１つの数を取り出して､
たすと１つの数になります。

2進法：1＋1=10　じゃねえかぁ。
何が1＋1=2だ,ｺﾙｧ？「1+1=2（mod p,p>2）」なんだよぉ．オイｺﾙｧ，ｳﾞｧｶどもがぁ．

>>1-29，ミンナ逝ってよーーしだ，ﾊｧﾝ？

しっつもーん。
1+1が2で無いとすると
私が学校で学んできた算数は
根底から覆るのでしょうか。
その場合誰に責任とってもらえばいいんですか。

私のとこでは、藁１束と藁１束を足したら、藁１束になります。
だから、必ずしも　１＋１＝２　ではありません。

>>331
文科大臣か総理大臣にとってもらえば。
切腹なんかで。

>>331
いまあなたの目の前で動作中のその無意味に高性能なパソコンの中で
まさにそのような算数の世界が繰り広げられていますが、なにか？

１＋１＝２が間違っていたとしても
算数は算数で残ります。
アインシュタイン力学後のニュートン力学が残っているように。
絶対に正しいと言えることなんてありません。

>>328
序数とは、そもそも１足した数のことではないのか？
そもそも序数をどう説明する？

>>336
｢次の序数｣といってる時点で１足した数の
ことを言ってるんだよね。
１というのは、自然数のインクリメント単位
だから。

そもそも１とは何か？

{φ}

ここは哲板か？

>>340
基礎論の初歩も学んだことが無い奴が、鬼の首をとったかのように
激しくガイシュツな疑問（彼らにとっては指摘）を晒すスレです。

１＋１＝２　は自明。

336=337 ジサクジエン？

正確な定義は知らないが、序数というのは単に「次の数」という意味じゃないのか。
1, a, ・・・という順序つけられた数の集合があるとき、aは1の次の序数という、
みたいな感じじゃだめか？

>>328のソースのリンクが知りたいのだが、、、

２を１＋１と定義する。
３を２＋１と定義する。
４を３＋１と定義する。
５を４＋１と定義する。
．．．

ａ＋（ｂ＋１）を（ａ＋ｂ）＋１と定義する。

このとき定義から１＋１＝２。

序数が次の数だからといって、
その間隔がすべてに等しく1だということは誰も保証してくれませんよ

>>346
そもそも自然数とは何か？

>>347
広辞苑第４版によれば、
｢１から始まり、１に次々と１を加えて得られる数
の総称。０を自然数に加えることもある。｣
とある。
よって２＝１＋１は定義なのである。

この場合の自然数は
{1,2,3,4,...}
ていう半順序集合を指してるだけだよ？

＞348
それだと、
1, 1+1, (1+1)+1, ((1+1)+1)+1, ・・・
という数たちを自然数と定義してるだけで、 ２＝１＋１とは言えないな。

>>350
２の定義が１+１でないとすれば、２の定義は？

情報系では、
1 + 1 = 0という、不思議な計算もある(w

例えば、XORだと、こうなるのだ。

ゆえに、どんな系を考えているかによると思える

>>352
どんな系を考えるかにもよる、っていうのは同意だけど、
排他的論理和の記号は、普通、○の中に＋、では…
＋はただの論理和。

>>353
ふにゃ〜
XORは、一番分かりやすい例かと思って出した
ガウスのなんたらって、0、１の系だと、
1+1=0になるよ
詳しくはノートひっくり返さんと分からん

下記掲示板にきてください。

http://bbs7.otd.co.jp/706817/bbs_plain

222の書き方を使わせてもらうと
succ(0)+succ(0)=succ(succ(0))となるかどうかって命題じゃないと
証明は必要じゃないね

結局だれも説明できんのね｡

>>357さんに聞きたいのですがアナタは幾つほど前のレスまで見れますか？

>>354
ＸＯＲを ＋ で表現するのは間違い。
＋は ＯＲ。

塾でそんなこと質問されたら・・・
「逝ってヨシ」
って答えるけど

1という概念、２という概念、＋という操作、＝の意味
をどう考えるかによってまちまちなのではないかな

φ＝空集合
｛φ｝＝０
｛０、φ｝＝１　以下順延で、

１＋１＝｛０、φ｝∪｛０、｝・・・

忘れたよ。

1+1=∞
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1013951542/
1 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：02/02/17 22:12
１つの粘土と１つの粘土をたすと＝１つです。
粘土は１つになる
じゃあ１＋１＝？

2 名前：1+1 投稿日：02/02/17 22:18
(1+1)get

3 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：02/02/17 22:24
1つの粘土をちぎればいくつにでもなります。 よって1＝∞

4 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：02/02/17 22:26
>>3 　分子レベルまで考えたら無理

6 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：02/02/17 22:30
１つの粘土と１つの粘土、これらを仮に粘土Aと粘土Bとする。
粘土A、Bの質量をm1、m2とすれば、これらを足すと質量m1+m2の粘土が出来る。
m1=m2=1とすればm1+m2=1+1=2である。 よって１＋１＝２。

7 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：02/02/17 22:58
>>6 （　 ´,_ゝ`）ﾌﾟｯ

1=0.9999999999999999999999999999・・・
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1004837995/308-312


308 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/03/14(木) 20:30
ここの住民に聞きたいんだけど、

１＋１＝２

の証明出来る？もちろん完全なね。


309 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/03/14(木) 21:11
(1) Q5
　　　Q |- ∀x∀y[x+S(y) = S(x+y)]
(2) 1, UI
　　　Q |- S(0)+S(0) = S(S(0)+0)
(3) Q4
　　　Q |- ∀x[x+0 = x]
(4) 3, UI
　　　Q |- S(0)+0 = S(0)
(5) =fn.
　　　Q |- ∀x∀y[x = y → S(x) = S(y)]
(6) 5, UI
　　　Q |- S(0)+0 = S(0) → S(S(0)+0) = S(S(0))
(7) 4, 6, MP
　　　Q |- S(S(0)+0) = S(S(0))
(8) 2, 7, ∧I
　　　Q |- S(0)+S(0) = S(S(0)+0) ∧ S(S(0)+0) = S(S(0))
(9) =trans.
　　　Q |- ∀x∀y∀z[x = y ∧ y = z → x = z]
(10) 9, UI
　　　Q |- S(0)+S(0) = S(S(0)+0) ∧ S(S(0)+0) = S(S(0)) → S(0)+S(0) = S(S(0))
(11) 8, 10, MP
　　　Q |- S(0)+S(0) = S(S(0))


310 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/03/14(木) 22:11
>>309は推論に飛躍がなくていいね。


311 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/03/16(土) 07:13
Qとか　そのたもろもろの記号の説明がないから
証明にならないな


312 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/03/16(土) 09:15
完全な証明求む、とは書いてあったが
低脳にも読める証明求む、とは書いてなかったのだった

1=0.9999999999999999999999999999・・・
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1004837995/313-316


313 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/03/16(土) 11:26
S(0)+S(0)=S(S(0))

が　1+1=2と同じであることを証明してくれよ


314 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/03/16(土) 11:30
1+0=1 の証明もおしえてほしいな　(藁藁)


315 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/03/16(土) 11:35
「ペアノの公理」で検索せい


316 名前：自治厨ですが(･∀･)ﾅﾆｶ？ 投稿日：2002/03/16(土) 11:41
>>313
1をS(0)、2をS(S(0))と表記してるから。

つぅかいい加減スレ違いの話題止めろ。
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1004597379/
1+1=2関係の話題はここでしてくれ。

お疲れ様

とまあここまで考えられてるのだが、結局>>3が正しいと思うのは漏れだけだろうか・。

�Tと�Tをくっつけたら�Uになるだろ？
よって終了。

１と１をくっつけたら１１になるだろ？

クハハハハ

「１」に関する定義の問題じゃない？

人間はある日、数を数えるために、
「ひとつ」「ふたつ」「みっつ」・・・という「言葉」を使うようになりました。

このとき人間は、
　「ひとつ」と「ひとつ」が集まったものを「ふたつ」
　「ひとつ」と「ひとつ」と「ひとつ」が集まったものを「みっつ」
・・・
と言っていました。

また、
　「ひとつ」と「ひとつ」を集めたものは、「ひとつ」と「ひとつ」が集まったものに等しく、すなわちそれは「ふたつ」に等しい。
　「ひとつ」と「ひとつ」と「ひとつ」を集めたものは、「ひとつ」と「ひとつ」と「ひとつ」が集まったものに等しく、すなわちそれは「みっつ」に等しい。
　・・・

時を経て人間は、数や量を分かりやすく表記するために、
「1」「2」「3」・・・などの「記号」を使うようになりました。

このとき人間は、
　「ひとつ」⇔「1」
　「ふたつ」⇔「2」
　「みっつ」⇔「3」
　・・・
と定義しました。

ここで、
　「1+1」を「ひとつ と ひとつ を 集めた もの」と定義すれば、「1+1」は「ふたつ」に等しく、すなわちそれは「2」に等しい。
　「1+1+1」を「ひとつ と ひとつ と ひとつ を 集めた もの」と定義すれば、「1+1+1」は「みっつ」に等しく、すなわちそれは「3」に等しい。
　・・・

ちゃんちゃん。

＞ちゃんちゃん。
この部分が何故かほのぼのする。

>>364

↓こんな感じですか？
5と9が解らなかったので教えて下さい．

以下，公理系Qにおいて証明する．

1
公理Q5により，任意の自然数x，yについて，
(xと(yの次の自然数)との和)と((xとyとの和)の次の自然数)とは等しい．

2
1，全称特例化により，
((0の次の自然数)と(0の次の自然数)との和)と(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)とは等しい．

3
公理Q4により，任意の自然数xについて，(xと0との和)とxとは等しい．

4
3，全称特例化により，((0の次の自然数)と0との和)と(0の次の自然数)とは等しい．

5
=fn.?
任意の自然数x，yについて，xとyとが等しいならば，(xの次の自然数)と(yの次の自然数)とは等しい．

6
5，全称特例化により，((0の次の自然数)と0との和)と(0の次の自然数)とが等しいならば，
(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)と((0の次の自然数)の次の自然数)とは等しい．

7
4，6，肯定式により，
(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)と((0の次の自然数)の次の自然数)とは等しい．

8
2，7，連言の論理記号の導入により，
((0の次の自然数)と(0の次の自然数)との和)と(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)とは等しく，
かつ，(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)と((0の次の自然数)の次の自然数)とは等しい．

9
=trans.?
任意の自然数x，y，zについて，xとyとが等しく，かつyとzとが等しければ，xとzとは等しい．

10
9，全称特例化により，
((0の次の自然数)と(0の次の自然数)との和)と(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)とが等しく，
かつ，(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)と((0の次の自然数)の次の自然数)とが等しいならば，
((0の次の自然数)と(0の次の自然数)との和)と((0の次の自然数)の次の自然数)とは等しい．

11
8，10，肯定式により，((0の次の自然数)と(0の次の自然数)との和)と((0の次の自然数)の次の自然数)とは等しい．

>>374
その通りです. 5と9も読めてるじゃないですか.

Qはロビンソン算術と呼ばれる公理系.
公理Q4, Q5は2変数関数+の定義.
=trans., =fn.は2変数述語=の定義の一部 (あるいは, =を定義する公理から
導かれる定理. =trans.を特に推移律と呼ぶことがあります).

> S(0)+S(0) = S(S(0))
> ((0の次の自然数)と(0の次の自然数)との和)と((0の次の自然数)の次の自然数)とは等しい

S(x)にあたる日本語として「xの次の自然数」という言葉を使いたくなります
が, その「次」という概念の定義に「x+1」は必ずしも含まれません.
任意の集合Aに対するA∪{A}という操作によって自然数を
　0 := φ (空集合)
　1 := 0∪{0} = {0}
　2 := 1∪{1} = {0, 1}
　3 := 2∪{2} = {0, 1, 2}
と定義し, 1変数関数Sを
　任意の自然数Aについて, A∪{A}をS(A)と表す
と定義します. ここからただちに
　1 = S(0)
　2 = S(S(0))
　3 = S(S(S(0)))
が導かれますが, 「x+1」はまだ登場しません. これに+の定義
　(Q4) ∀x[x+0 = x]
　(Q5) ∀x∀y[x+S(y) = S(x+y)]
を加えてはじめて
　x+1 = S(x)
が (任意の自然数xについて, 特にS(0)について) 証明されます.

S(x)はあくまでS(x)であって「xの○○」にあたるような日本語は無いって事かな

>>119や>>222で既にまとめてありましたが,
>>273のような疑問も出ているので念のために補足しました.

>>377
その通りですね. 普段から使っている算術をわざわざ証明するために
いろいろな概念を基本にまで分解するので, 日常使っている日本語の
言葉使いが邪魔になることが (例えば推論の飛躍の原因になるとか)
あるのかもしれません. もちろん, 日常の言葉使いがおおよそ正しくなる
ように定義や公理を導入するのですが.

>>375-379ありがとうございました！

1+1=2 が定義ではないとする。
1+1=2 を証明する。・・・・・・・�@
�@が正しい事を証明する。・・�A
�Aが正しい事を証明する。・・�B
�Bが正しい事を証明する。・・�C
�Cが正し.....一生やってろ。

１＋１＝１なのだ。

コップ満タンに水を入れるのだ。それを二つ用意するのだ。
一つの水をもう一つのコップに入れても、コップの中に入っているのは一つ分なのだ。

人間＋リンゴだと、人間がリンゴを食べるから１なのだ。

……そんな回答が、小さい頃に読んだ赤塚不二夫のナゾナゾ冊子にあったな。

１の問題は
（整数）＋１＝（整数）の次の数
１＋１＝２
１＜２＜３＜４＜５＜・・・・
何故これが正しいか説明せよ、っていってるようなもの

１＋１はどうして２になるの？
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/986656055/l50
ここへ行ってね

>>384
「序数には一意性がある」という事を公理として導入しているだけでは？？？

カント純粋理性批判

難しいからagre

>>384
大小関係まで分かるの？ペアノの公理から

　

>>345
a＝(a-1)+1
こんな公式…定義か？定理？
んんん？

これは、数学の問題ではなく言葉の問題では？

１＋１≠２
１＋１＝１

１＋１≠２
１＋１＝０

1-1=0の時
1=1
2=1+1 or 1×2

2=1+1 ⇒ 1+1=2 は真、逆もまた真なり。

加入してよかった携帯・ＰＨＳのキャリアは？
順位 項目名 満足度 得票率
1位 ????? 88.8% 20.9%
2位 ??? 83.5% 29.4%
3位 ???? 64.8% 3.8%
4位 ????? 60.0% 13.0%
5位 ???? 53.4% 3.0%
6位 ???? 42.8% 26.8%
http://www.nandemo-best10.com/ltvsumm.cgi?ranking=f_keitai-phs-career

やっぱり2ちゃんねらーはみんな馬鹿だな。

ここで問題なのは2の定義じゃなくて+の定義だろ。
なんで2をそう定義したからとかそんなアホな解答しかできないいだ？

１に１足したものを２というと幼稚園で教わったもの・・・

>>400
両方大事だと思うけど。
君の価値感の中でのアホじゃない解答ってのは3,40レスぐらい前見れば
載ってるからわざわざ煽って正しいレスを貰おうとしなくたっていいよ。

>400
まぁまぁ落ち着きなさい。
ここはネタスレ

>>403
ネタスレじゃないよー

ある袋を用意してボールを１個入れておく。
んで別の新しいボールを１個袋の中に入れる。
そしたら袋の中のボールが２つになっている。

これが１+１＝２の証明です。たぶん小学校ときはこんな感じで習った。

>>404
それは算数だ

違った
>>407ね

今の時代、小一じゃ1個のミカンと1個のミカンで2個のミカンに成る事に
ほんの少しでも疑問を持つ奴なんておそらくいないだろう。
幼稚園児でもいないかもしれない。
さらに幼い、まだ何の知識も植え付けられていない状態の子供なら
この事に釈然としない物を抱いてくれるはず。

だからってその状態に対して「1+1=2なの！」と知識を植え付ける以外の方法は思い浮かばないから
自分にとってはどうしようもないんだけどね。

1+1=2 は事実であり、証明する必要は無い。

これって、確か数字が数を意味する事から証明しないといけないんじゃなかったっけ？

例えば、３は単純に３なんじゃなくて、３を定義するためには「３性」を定義しないといけなくて・・・
例えば、グラスが３つある・３回くしゃみをした・三角の角は３つ・・みたいな３性を持ってる集合を
ひとまとめににして、集合を要素とする、この集合を「３」である。・・・みたいな。

俺は文型で高校から数学やってない上に本で読んだだけなんで、コレは関係ないのかも知れないけど、とに
かくまずは数を概念化するとこういう事らしい。

>>413
いわゆる数学基礎論者が言うところの全ては集合論から始まるって奴だ。

1+1=2 を証明する。

　　ペアノの公理に基づく自然数の加法の定義
　　　[1]a+1 を a'とする。( a がどんな自然数であっても、 a に 1 を加えたものは a の後者 a' に等しい。)　
　　　[2]a+b' を (a+b)'とする。
　
　上の定義[1]より、 1+1=1' ・・・・�@
　また、 １ の後者は 2 である。
　よって、1'=2 ・・・・�A

　�@,�Aより、1+1=2 である。

なるものはなる！

1+1=2*1
よって2
ダメかぁ…面白くない。

証明っていうか始めっから定義されてるもんじゃないの？
円周率をπで表すみたいな。

>>119 が解りやすかったYo-
でも、>>122 の

＞結局1+1=3であると同時に1+1=2というオチだった。

がよーわからん。

十の定義（帰納的定義）を
　�@ x十0＝x
　�A x十y が定義されている時、
「x十(yの次の序数)」=「(x十y)の次の次の序数」と定義する。

とすれば、

　　x十y = x+2*y

なる（交換律も結合律もみたさない）２項演算「十」が導入できて、
1十1= 3 となることまではわかったんだが…
（亀ﾚｽ ｽﾏｿ）

数学の先達に尋ねる。
数学って理学なの？文学なの？どっちなの？

ところで>>400よ、もうレスは読んだのか?
>>119、>>190、他いろいろあるぞ。

>>421

>>119 や >>415 を見れば、
「自然数＝序数、すなわち、「次のもの」が明確に定義されたもの。
であり、その中に加法 + は自然に定義できる」
ということのようだが。

じゃ、「りんごが１コ、２コ、、、、、１００コ」
というときの「個数」という概念はどう成立しているのかね？

ついでに、乗法の定義は見つからんが、これって、「個数」の概念を
抜きにして成立しうるのか？

「個数」という概念がどんな物か、
特に>>119>>190>>364だけじゃ足らない部分を説明してくれれば答えられるかもね。
あと、掛け算を帰納的に定義する際にその「個数」の概念とやらを使わなきゃいけないかも教えてくれ。

*の定義
・x*0=0
・x*(yの次の序数)=x+x*y

>>119 って結局、
(0からx番目の物)＋(0からy番目の物)＝(0からx番目の物)のy後ろの物
と定義するわけだろ。
これと
ｘ(個)＋ｙ(個) ＝ ｘとｙをあわせた個数
の間にギャップを感じるのよ。

＞　*の定義
についてはThanx. 定義自身は問題なさそうだな。

＋に比べると、「(0からx番目の物) の (0からy番目の物) 倍」
というもに実感が伴わないんだよ。
（りんごが）「ｘ個入った袋が y 個ある」とは、
直接は結びついていないだろ。

ギャップを埋めるために1+1=2を証明してるんじゃないのか？
あと「x*(yの次の序数)=x+x*y」ってのは直感を結構表してると思うけど。

>>425
＞ギャップを埋めるために1+1=2を証明してるんじゃないのか？
そうなの？
それに、1+1=2　って「証明するもの」なのか？
119 では 0 からはじめているから、帰納的な手順が少し必要で
｢証明｣したような気分になれるが。
415 ように 1 から始めれば、

[1] 1+1 = 1' と定義する。
[2] 1' を 「2」と書く。(あるいは、 2 =1' と定義する)

で定義そのものだと思うが？

415は
＞[1]a+1 を a'とする。( a がどんな自然数であっても、 a に 1 を加えたものは a の後者 a' に等しい。)
の部分、もしペアノの公理系使うんだったら、ここに証明いるけどね。
「1+1=2と定義する」も「それぞれの記号が何を意味しているか」を定義しなきゃいけないから
そうやって戻っていくと結局は「1+1=2」、もしくは「1+1≠2」をが導かれる事になるよ。

「証明」したような気分になれると言うけど、
「1+1=2」を証明するのも「x^(n+2)+y^(n+2)=z^(n+2)を満たす自然数x,y,z,nは存在しない」も
定義と公理から命題を導いてるのには変わらなくて、証明した気分になれるかどうかなんて
単なる主観だよ。

　

・x*0=0
・x*(yの次の序数)=x+x*y
ってのは*の定義なんだから直感を表してるとかいってもしょうがない

一
た
す
一
は
一
一

じゃここで我等が>>1に聞こうじゃないか
1+1　はいったい何になるって言うんだ

ん？

なんだ…　そんなことも決められないのか
しかたのない>>1だな

なあ！おい！みんな！
し　か　た　の　な　い　>>1　だ　な　!

じゃあ　私が決めてやろう
1+1=2 だ！

に？　「に」じゃない「アヒル」だよ　あ　ひ　る
みりゃわかるだろう　なぁ！みんな！

はぁー…　しかたのない>>1 だな

はい　右手の人差し指立てて…
はい　左手も…

右手を左手にぶつけて
ぶつかる瞬間に右手を「グー」　左手を「チョキ」だ

覚えたな　それじゃ　いくぞ

ワン！ツー！　どーん！


ほら２になった　( ´∀｀)ﾔﾚﾊﾞﾃﾞｷﾙｼﾞｬﾅｲｶ　>>1

ごめん長すぎた　>>431

ｵﾅﾆｰを１回しました。
でも、まだ元気があったので、もう１回しました。
どう考えてもｵﾅﾆｰした回数は２回だろｺﾞﾙｧ！
１＋１＝２は当たり前だろｺﾞﾙｧ！

別に１+１＝２じゃなくてもいいんじゃん？
どーせ記号だろ。

ローカルルールに「1＋1＝2を証明しろ」と言う趣旨のスレは立てちゃいけないって付け加えるべきだよね。

雇われ公理が期待通りの結果を出してるだけ。
＞1+1=2 は事実であり、証明する必要は無い。
てのはある意味真実。

>>435
数学の本質を知らない人が好んだり、スレ立てたりするんだよね。こういう話題。
負の数と負の数をかけるとどうして正になるか、とか。
大して面白くもないし、くだらないからやめて欲しい。数学を学んでいる人なら、
「なぜそうなるか」や「なぜこうでなくてはならないか」というのは考えれば自然と分かってくるるはず。
こういうスレを立てるのは「考える」ということをしていない証拠。

×分かってくるるはず。
○分かってくるはず。　

>>436
1+1=2 なんておそろしく抽象的なものを「事実」と呼ぶのは抵抗あるんだけどね。

>>439
＞「事実」と呼ぶのは抵抗あるんだけどね。
1+1=2 や 3+5=8 と言うように、２つの自然数を「加える」ことは小学生でも知っている。
そして、これらは誤りではなく、実用的見地からは少しもこれに対して疑いや危惧の念を抱く必要はない。
よって、これらを「事実」と呼んでも良いのではないかと私は思うのだが。

事実とは何かの定義が必要だな

数学やってる人って、すぐ定義って言いたがるよね。おれもだけど。

鉄屑が紛れ込まないようにとの配慮だよ。

１．自然数の体系
　まず、自然数とは何かと突き詰めていくと、次の公理を満たすものであることが分かる。
　集合N、その中の一つの元0（今は便宜上集合Nにゼロを含めて考える。そうしたところで「１＋１＝２」の証明には何ら差し支えない）、および写像 s：N→N の組 (N,0,s) が次の公理を満たすとき、Nの元を自然数と呼ぶ：
(P1) s：N→Nは単射である。
(P2) 0はs(N)に含まれない。つまり任意のn∈Nに対してs(n)≠0
(P3) S⊂Nで、0∈Sかつs(S)⊂S（すなわちn∈Sである任意のnに対してs(n)∈S）ならば、S=Nである。

　これを「Peanoの公理」という。これから先の話はこれを前提として話を進める。
　新しい用語として、n∈Nに対してs(n)はその「後継者」、写像sは「後継者写像」と呼ぶことにする。
２．帰納的定義の原理
　以下に述べる定理が、これからの全てのキーとなる。この証明のよりどころは上記Peanoの公理のみである。

【定理１】Xをひとつの集合とし、Xの一つの元xと写像t：X→Xとが与えられたとする。その時次の性質（１）（２）を持つような写像f：N→Xがただ一つ存在する：
（１） f(0)=x
（２） 全てのn∈Nに対して f(s(n))=t(f(n))

（証明）本来これが全てのよりどころなので、証明すべきであろうが、あまりにも長く難解なので、証明はfiubengaさんの言うとおり本に譲りましょう。

　この定理から特に、Peanoの公理の完全性、すなわち公理を満たすべき体系は一意的であることも示される。

３．自然数の加法
　定理１を用いると、自然数の体系に加法を定義することが出来る。

つづく

【定理２】mを与えられた自然数とするとき、
(A1) f_m(0)=m
(A2) f_m○s=s○f_m
を満たす写像f_m：N→Nが一意に存在する。

（証明）定理１においてX,x,tをN,m,sとして適用すればよい。（終）

　任意のm,n∈Nに対してf_m(n)をm,nの「和」とよび、「m+n」と書く（この時点では我々のなかの「当たり前」、例えばm+n=n+mのような法則が成り立つかどうかはまだ未知である。それをこれから確認していく）。条件(A1)(A2)によって
�@　　m+0=m
�A　　m+s(n)=s(m+n)
である。またNの恒等写像も明らかに(A1)(A2)を満たすから、全てのnに対して
�B　　0+n=n
である。さらに少々面倒な計算の後
�C　　s(m)+n=s(m+n)
も導ける。これら�@から�Cによって、我々の「当たり前」すなわち「交換律」m+n=n+m、「結合律」(l+m)+n=l+(m+n)という、自然数に於けるもっとも基本的な法則を導くことが出来る。すなわち

【定理３】自然数の加法は交換律、結合律を満たす。

（証明）上記�@から�Cによるが、少々長くなるので割愛。

つづく

４．「１＋１＝２」の証明
　上記のような予備知識を経て、我々はやっと本題にたどり着くことが出来る。まずその前に「１＋１＝２」の何を示したいのかを考えておく。それは、
　　（＊）『「１」の後継者が集合Nのなかに存在する』
ということである。「２」という記号はあくまで「記号」であって、重要なのはその「２」という「記号」によって表される数が、きちんとPeanoの公理に基づき、集合Nのなかに存在するかどうかである。

　さて、s(0)、つまり「0の後継者」を「１」という記号で表せば、�@�Aによって
�D　　s(n)=n+1
である。すなわち『後継者写像sは、“「１」を「加える」写像”n→n+1 に他ならない』のである。

　ここまでくれば「１＋１＝２」を示すことが出来る。
　s(1)、つまり「１の後継者」を「２」という記号で表せば�Dより
　　s(1)=1+1
　∴ 2=1+1 （証明終）

　以上が証明のアウトラインです。ここまで見てみれば、「１」や「２」という「記号」は全く本質的ではなく、結局（＊）や�Dが一番重要なのである。

ネタスレにここまで乗るとは予想外の電波だな

>>447
444〜446では無いが、どうせお前には上の証明は理解できないだろ

ご苦労さん。読んでないよ

数の悪魔に書いてある

>>444
>自然数とは何かと突き詰めていくと、次の公理を満たすものであることが分かる。
他の公理だってありえる。
Peanoの公理はよくできたやつだから｢採用され｣ているんだよ。
｢事実｣を証明できるって理由でね。

自然数という言葉自体があやふやなもんだからこのように444と436の間で食い違いが起こる。

　！！こんな良い掲示板があったなんて！！！

　自分が小一の時にこの掲示板があって、見ることが出来たな
ら、（理解できなかったろうが）あんなに悔しい思いをしなく
て済んだのにーのにーのにー・・・（フェードアウト）
　あー、なんか思い出したら腹が立ってきた。(`_')怒

　はっ、・・・失礼しました。
　疑問に思う人がいっぱいいる事がわかって、なんかうれしい
です。

　以上です。

p.s.
　つまらん内容でごめんチ。

454

ム板にいってタームリライティングシステムの専門家も呼んで来い

一＋一＝田

一＋一＝田
　　　　　　難しい

１＋１＝２ の証明は下記を見てください。

http://imai48.hoops.ne.jp/japanese/shizensu/no001.html

Principia Mathematica でも読めよ。

結論
＝＝＝＝＝＝＝＝終了＝＝＝＝＝＝＝＝

このスレってまだあったんだな。

２−１＝１

よって１＋１＝２である。

定義。終了。

何を公理としてたたてるのかな？>>1は？

うわぁ

２４もと？

俺の高校の数学の先生は静岡大学の数学科だったんだけど
一番最初のレポートが1+1=2を証明しろだった
って言ってた

皆静岡大学数学科を探せ！

ちなみにレポート枚数は2桁だったらしい

>>275
１＋１＝３を証明せよ

�@左辺に０をかける
（１＋１）×０＝０

�A右辺に０をかける
３×０＝０

�@、�Aより
左辺＝右辺

∴１＋１＝３

このスレは 119, 221, 222, 230 などで、
一応の解決はみているんですよね(全部じゃないかもしれませんが）。
あとは余韻を楽しんでいるのでしょうか？

うさぎさんがリンゴをひとつもっています。
かめさんがリンゴをひとつもってきました。
リンゴのかずはあわせて２つです。

１−１＝３である事を証明してみろ！

>>472

１−１＝３を証明せよ

�@左辺に０をかける
（１−１）×０＝０

�A右辺に０をかける
３×０＝０

�@、�Aより
左辺＝右辺

∴１−１＝３

あーあ

２を１＋１と定義する。
３を２＋１と定義する。
４を３＋１と定義する。
５を４＋１と定義する。
．．．

ａ＋（ｂ＋１）を（ａ＋ｂ）＋１と定義する。

このとき定義から１＋１＝２。

手書きで書いた計算をしてくれるJava Applet
http://www.cim.pe.u-tokyo.ac.jp/~mitani/JJAVA/Moji/index.html

>>475
計算機能がたいしたこと無いし、文字認識としてもいまいちだから、あまり実用性がないな。

２次方程式くらい解けるようにしてもらわないと。

１＋１＝　は、田

である。同様に、

１−１＝　は、日

である。

これを、英語に翻訳すると、

Ｓｕｎ

である。これを日本人が発音すると、

さん

である。日本語では、数字の３も同じように、

さん

と発音する。ゆえに、

１−１＝３

が成り立つ。これが求めるべきものであった。

証明おわり。

>>473
それでは、どんな計算でも証明できるのでは・・・・？

できますけど、何か？

一本のえんぴつがあります。
それにもう一本えんぴつを持ってきました。
ぜんぶ数えてみましょう。
いち、に・・・ぜんぶで二本でした。

よって1+1=2である。

証明終了

>>480
良くできますた。

ココに2つ粘土があります。
この二つの粘土をあわせたら幾つになるか？

重さは確かに増えるが、あわさった時点でできるのは少し大きめな粘土。
よって１+１＝２って問題が漏れの小学校で話題になった。

基礎論には全然興味がない
厳密性は時代の関数だから
そんなこと心配する必要はない

by アティヤー

>>483
「あてぃやー」って叫んでしまうくらいの発言だな

そんなん　ワテはイヤ。

１進法の２　→　　１１
２進法の２　→　　１０
３進法以降の２　→　２

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　終了　＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

何故１進法に１という数字が出てくる？

二進法は０と１の二種類が使えるから二進法
一進法は１だけが使えるから一進法

じゃないの？

>>488
じゃあ一進法で100を表すには1を100個並べると？

ローマ数字は何進法？

>>489
そうなんじゃ…

>>483
学部生のころ偉い先生が来るってんで講演を聴きにいった。
当時、英語がじぇんじぇん聞き取れなかった。

かごのなかに、みかんが１つありました。
さらに、りんごを１つ、かごのなかにいれました。
かごのなかのくだものは、あわせて２つです。
これは、まぎれもない「じじつ」なのです。

─おしまい─

くだもの型にアップキャストしやがった。

所詮トートロジーでしょ、1＋1＝2って。

トートロジーって、馬鹿が好む単語だな

見ちゃいや〜ん。　きつぅぅ

http://www.dream-express-web.com/space-trust.htm

だー

>>495
トートロジーなら1＋1＝1＋1

1 + n = 2n(n=1) の証明

　n = 1の場合
左辺 = 1 + 1 = 2
右辺 = 2 * 1 = 2
∴成立する
　∴1 + 1 = 2

↑こんなもんで良いか？１よ。

>>500
よくわからんのだが・・・
なぜ左辺が2？

>>500
突っ込みどころが多すぎて笑える。
ネタか？

>>492
いつ？

どこで知ったかももう憶えていないんですが
たしか１+１＝２にする方法があったんですよ
どなたか知りませんか？

>>503
ないしょ。

>>504
どうせ循環論法だから気にするな。

0 + 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + ..... + n + n = n(n + 1)
を証明する。
�@) n = 0の場合
左辺 : 0 + 0 = 0
右辺 : 0 * (0 + 1) = 0
∴成立

�A)n = K の場合
0 + 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + ..... + K + K = K(K + 1)
が成立すると仮定する。

両辺にK + 1 + K + 1 を加えると
左辺 : 0 + 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + ..... + K + K + K + 1 + K + 1

右辺 : K(K + 1) + K + 1 + K + 1 = K(K + 1) + 2(K + 1)
= (K + 1)(K + 2)

∴n = K + 1の時も成立する。
∴n = 1の時も成立。
数学的帰納法により証明(q.e.d)

こんなもんでいかが？

n + n = 2n janaino????????

>>507
おちは？？？

０の次に１、１の次に２を、０と１の間隔と等間隔のところに定義したから。

証明できる性質のものでないと聞いたことがありますが･･･。
なんでかは忘れましたが。

証明に必要な土台が無いのでしょう。基本的過ぎて。
後ろ盾が無いとか。一番後ろだからとか。

>>508
Kの位数が2の場合を考慮していないので減点１０

>>513
Kは自然数なのでは？
それに位数2でも式自体は成り立つ。

>>511-512

>>119>>190>>221-222>>230>>364>>374>>375-379
>>415>>419>>422-429>>444-446辺り参照

「1+1=0」であっても「2≠0」を示さなければ「1+1=2」を否定した事にはならない

１×２＝２×１

自然数の乗算での可換関係を証明してくれ！

というクレクレ君でそ（ｗ

> 元物理屋

「元」ってところに敗北感が漂っててよろしい。

ま、そんなところ（ｗ
理論物性（場の量子化）のバチェラーだったが、横道に反れちまったい

age

「１」って何ですか？
「＋」って何ですか？
「＝」って何ですか？
「２」って何ですか？
これが定義されていないと議論できま千円。

「１」って何ですか？ 壱、単位元
「＋」って何ですか？ 、
「＝」って何ですか？ 等号
「２」って何ですか？ 弐、
これが定義されていないと議論できま千円くれ。

一＋一＝二

10 名前：１３２人目の素数さん ：02/10/30 22:22
自然数の定義を知ってる奴は結構いるけど、実際に構成してみろというと、できない奴が多い　ｗ

11 名前：１３２人目の素数さん ：02/10/30 22:23
自然数の定義って少しも触れた事が無いな〜

どうしたの？

＼
＼＼
――１＋１＝２である事
／／
／
う〜ん・・・下手

まもなくこのスレ一周年！

1+1=a とおく
2=a
a-2=0
(a-2)^2=0^2
(a-2)^2=0
a=2

>>522
「玉川百科大事典１ -数学-」にそれらの定義全部書いてあったよ。　・・・ってどうでもいいか。

(=ﾟωﾟ)ﾉ一周年記念sage

実はこのスレ立てたの俺だと言ってみるテスト

>>532
だからどうしたと言ってみるテスト

http://myhome.hanafos.com/~bestiz/jpop/sonin.wm

axiom

背理法つかえ。

１＋１＝２についての説明を見たい人は
>>119>>190>>221-222>>230>>364>>374>>375-379
>>415>>419>>422-429>>444-446辺り参照

ふが。

ミカンが一つあります。これを1とします。
もう一つ同じミカンがあります。ミカンがいくつあるかというと、
2個ですね。
+というのは「足す」と言う意味です。
よって1+1＝２
なのです。

0.999・・・ ＋ 0.999・・・ ＝ 2

と　い　う　こ　と　で　す　。

ミカンが一つあります。これを0とします。
もう一つ同じミカンがあります。ミカンがいくつあるかというと、
2個ですね。
+というのは「足す」と言う意味です。
よって0+0＝２
なのです。