★東大入試作問者になったつもりのスレ★

理系で数学が得意な高校生が３０〜４５分で解ける問題を
考えてうぷするスレです。

底面の円の半径がｒ、高さがｈの円柱を考える。
この円柱表面上に任意に４点をとり、それらを頂点とする四面体を
つくるとき、この四面体の体積の最大値と最小値を求めよ。

tanθ＝aのときのsinθの値を求めよ

むずかしー！わ、わからん。。。

女を地球上で任意に動かすとき
そのオマムコの直径の最大値はいくらか。

>>5
直径５ｃｍ

【証明】
地球上の女の子は全て俺の為に存在している。（公理）…�@
俺のチムポは直径５ｃｍである…�A

�@�Aより俺が気持ち良くなる為に俺のチムポにピッタリ、フィット
しなければならないのでマムコの直径の最大値は５ｃｍ。
それ以上はガバガバで意味が無くなる。

チムポ→ティムポ　-10点

こういうときこそセックスの定理を使え

東大理１ヤ理２ニ受かった人、多いんですか？

>>2
表面の定義にもよるけど、いくらでも体積の小さい四面体つくれませんか？

ピンポイント攻撃で
三平方の定理を下図を持ちいて証明せよ

図
(余弦定理が使えないような図を用意しておく)

こんな感じの東大やりそう

>>10
そうだね。
「最小値は存在しない」が解だね。
最大値はいくつになった？
場合わけいりそう？

>>11
２年くらい前、「加法定理を証明せよ」って問題がでたよね。東大。

∫x^n dx =1/(n+1) ･x^(n+1) + C
となることを証明せよ。

>>12
最大値は計算してないけど、第一感の方針としては、やっぱ場合分けがいるかな。
まず三点をとって、それが切り取る円柱の切り口は楕円か台形。
それぞれの場合で、四つ目の点がどこにあるかは対称性ですぐわかる。
それで、体積の公式出して、比べるっていうのが普通かな。
もっと初等幾何的なやりかたもあるんだろうけど。

幾何的にできるよ。誰がつくったのか、すごい良問＞２

>>2
最大値２ｒ＾２ｈ／３。

わーかった！！そーか。
円柱に四面体を挿入すると思って、幅はπｒ＾2以下、って考えるのか。

(√3/4)r^2h と思われ。つまり・・・

>>15
東大の過去問で球に内接する四面体の体積の最大値を求めるのがあったので
それを真似てつくったんだけど、そんなに誉めていただいて光栄です。

>>17
＞幅はπｒ＾2以下
これどういう意味。

>>20
口で説明しにくいんだけど、「底辺×高さ÷３」てやるかわりに、
面積がいちばん大きい切り口できって、縦方向に円柱の高さを使って
計算するという・・・
というか、１６の答え見て思いついたけど、あれ自体
ミスってるからね・・・

このスレから来年の東大入試問題の的中がでたらすごいな…

f(x)＝sin(x)/x (x≠0)
f(x)＝1 (x＝0)
のとき
F(t)＝∫{0→π} |f(x)−t| dx を最小にするtの値を求めよ。

（１）曲線 y^2＝x^3 に点(2,1)から接線を何本引くことができるか
（２）曲線 y＝(2|x|＋1)/|x＋1| に点Ｐ(a,b)からちょうど２本の接線が
　　　引けるとき、点(a,b)の存在範囲を求めよ。

>>3
そんな簡単なの高校の中間テストでも出ないだろ（ｗ

だれか整数問題を出題してください。。。

【問題】（数列と極限）
a[1]=√2, a[n]=√(2+a[n-1])
b[n]=2^(n+1)*√(2-a[n])
とする．このとき，
（１）n→∞でa[n]が収束することを示し，その極限値を求めよ．
（２）n→∞でb[n]が収束することを示し，その極限値を求めよ．

>>24
（１）３本
（２）
グラフが２ｃｈには書けないのでどう表現したらいいかわからんが
x ≦ (-2-sqrt(10))/3 のとき x＋1 < y < 2−3/(x＋1)
(-2-sqrt(10))/3 < x < −1 のとき x＋1 < y ≦ 3＋sqrt(10)
x ＝ −1 のとき x＋1 < y < 4
−1 < x ≦ 0 のとき x＋1 < y < −3x＋1
x > 0 のとき 2−1/(x＋1) < y < x＋1
の範囲を図示して斜線を引いた部分

a ≦ (-2-sqrt(10))/3 のとき a＋1 < b < 2−3/(a＋1)
(-2-sqrt(10))/3 < a < −1 のとき a＋1 < b ≦ 3＋sqrt(10)
a ＝ −1 のとき a＋1 < b < 4
−1 < a ≦ 0 のとき a＋1 < b < −3a＋1
a > 0 のとき 2−1/(a＋1) < b < a＋1

こう書きゃよかったかな。

ごめん、私のは勘違い。>>16 が正解です。
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=999689496&ls=50#520

>>27
わかんないです。ヒントください。

ふむふむ……
中々いい問題もあるな……
来年、使わせてもらおうかな……

>>31
（１）は単調で有界であることから。
（２）は
２＋（ｘ＾２＋１／ｘ＾２）＝（ｘ＋１／ｘ）＾２
か
１＋ｃｏｓ（２ｘ）＝２ｃｏｓ＾２（ｘ）
を使う。

>>27　ａnは単調増加で２に収束、ｂnはａｎで表して、０に収束する
ことが容易に分かる。

>>27
(2)は発散してしまった…もう一度やってみます
>>23
f(x)が単調減少だから、y=tが[0,π/2]で２等分されるときが最小
t=f(π/2)
ではだめなのかなー？

問題
a,b,cを負でない実数、kを奇数とする。
a+b+c=a^2+b^2+c^2=kが成り立つときのa,b,c,kの組を全て求めよ。

>>33これって、京大理系後期数学９７が元ネタでしょ？

>>36
僕に聞かれても分かりません。

>>37
ってことは自力で解いたの？　a_n が解ける事に気付かなかったよ・・・

>>35 (a,b,c,k)=(1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,0,1,1),(1,1,1,3)

>>27あーわかった。
すごいなーこの問題。33と38を読んで分かりました。
まあ38さんの言うとおりにa_nが解けるなら、これしかない！って感じですね。
ヒントないときついやこれ。33さんスゴイ！

ちょっと似た感じなんですけど…
問題
cos(π/4)*cos(π/8)*cos(π/(2^4))..*cos(π/(2^n))のn→+∞を求めよ。

39正解です。
座標空間で解けば容易です。平面と球の交点の問題ですから。
実はベクトルで考えると式だけでいけて、おもしろいんですけどね。
普通は座標空間でやりますよね。

>40
正方形の面積／外接円の面積=２／π　に近づく。

>>23

g(x)＝sin(x)/x (x≠0) とおくと
g'(x)＝{ x cos(x)−sin(x) }/x^2

ここで d{ x cos(x)−sin(x) }/dx＝−x sin(x) ≦ 0 (∵ 0＜x≦π) であり（単調減少）
lim_[x→+0]{ x cos(x)−sin(x) }＝0 であるから 0＜x≦π のとき g'(x)＜0 であるから
0≦x≦π において g(x) は単調減少である。

また、lim_[x→+0]{ sin(x)/x }＝1 , g(π)＝0 であるから y＝f(x) のグラフは
点Ａ(0,1) と点Ｂ(π,0) を単調減少の曲線で結ぶものとなる。

ここで、F(t) は 0≦x≦π において、曲線 y＝f(x) と直線 y＝t にはさまれた部分の面積
であるから、以下の場合分けをして考える。

�@）0≦t≦1 のとき F(t)＝∫[0,a]{f(x)−t}dx＋∫[a,π]{t−f(x)}dx ……�@
　（但し a は sin(a)/a＝t を満たす値で、グラフから明らかなように a は t の関数で、
　　a ＝ f^(-1)(t) （逆関数）である。）
　�@式より
　F(t)＝∫[0,a]f(x)dx−t∫[0,a]dx＋t∫[a,π]dx−∫[a,π]f(x)dx
　上式の両辺を t について微分すると
　F'(t)＝f(a)(da/dt)−{∫[0,a]dx＋t(da/dt)}＋{∫[a,π]dx−t(da/dt)}＋f(a)(da/dt)
　 　　＝2{f(a)−t}(da/dt)＋π−2a
　さらに t＝sin(a)/a＝f(a) であるから
　F'(t)＝π−2a
　F'(t)＝0 のとき a＝π/2 つまり t＝2/π

　y＝f(x) (0＜x≦π) のグラフは単調減少で、0≦t≦1 のとき、t が増加すると a は減少、
　すなわち t が増加するとき π−2a は単調に増加する。

　増減表をかくと
　t 　 　|　0| … |2/π | … |1　|
F'(t) |　 | − | 0 　| ＋ | 　|
　F(t) 　|　 | ＼ |極小 | ／ | 　|

　よって t＝2/π のとき最小

�A）t≧1 のとき F(t)＝∫[0,π]{t−f(x)}dx であるから
　　F'(t)＝d{t(π−0)−∫[0,π]f(x)dx}/dt＝π＞0
　　より F(t) は単調増加。

�B）t≦0 のとき F(t)＝∫[0,π]{f(x)−t}dx であるから
　　F'(t)＝d{∫[0,π]f(x)dx−t(π−0)}＝−π＜0
　　より F(t) は単調減少。

�@）�A）�B）より、求める t の値は 2/π

ふーん。

27の解答教えてください

>45 >>33が a[n] を解くためのヒントになってるよ。
＃自力で解きたい人は見ないようにね。

【略解】
a[n]とb[n]がそれぞれcosとsinの半角公式の形とそれぞれ関連があることに
気づけば，a[n]とb[n]の一般項は，
a[1]=2*cos(π/4)
a[n]=2*cos(π/2^(n+1))
b[n]=2^(n+2)*sin(π/2^(n+2))=sin(π/2^(n+2))/(1/2^(n+2))
とわかる．よって，
lim[n→∞]a[n]=2
lim[n→∞]b[n]=lim[n→∞]sin(π/2^(n+2))/(1/2^(n+2))=π

【解説】
a[n]とb[n]をそれぞれそのまま書き下すと
a[n]=√(2+√(2+√(2+・・・)))
（根号内の2の個数はn個）
b[n]=2^(n+1)*√(2-√(2+√(2+・・・)))
（根号内の最初だけ−で残りは＋，根号内の2の個数はn+1個）
となっている．a[n]の極限はlim[n→∞]a[n]=x とおいて
x^2=2+xよりx=2としても解ける．
また，b[n]の極限は半径1の円に内接する正m角形の面積をS[m]とすると，
S[m]=(m/2)*sin(2π/m)より，b[n]=S[2^(n+3)]となっている．
よってlim[n→∞]b[n]=π．これは円周率を求めるVieteの公式と同値．

（１）は簡単だが，（２）は途中に>>40のような誘導がないとちょいきついか？
ちなみに>>40の一般項は両辺にsin(π/(2^n))を掛けて倍角公式を順々に使って
最後にsin(π/(2^n))で割ればいい．

>>42 正解です。幾何的にやってますね。
三角関数をひたすらいじる別解もあります。

>>35に書いた>>23の解法
43と意味は同じなのですが…
f(x)は単調減少関数である。
y=tをtの値をdtずつ大きくして少しずつ上げていく。
[0,π]でのy=tでf(x)より上にあるものを正線分、下にあるものを負線分と名付け
面積の増加量はdt{(正線分の長さ)-(負線分の長さ)}
面積減少は(正線分の長さ)=(負線分の長さ)まで満たされる。
よってt=f(π/2)のとき最小(終)
>>35で[0,π/2]は間違ってて、正しくは[0,π]です。
表現も悪いですね。
[0,π]においてy=tがf(x)で２等分されるときが最小
の方が分かりやすいです。無茶苦茶でしたごめんなさい。

>>45
27はa_n=cos(π/2^(n+1))と表せますよね、33の２つめの式を使えば
でも、１つめの式の使い方が分かりません。>>33

>>47　すごい分かり易い解説ですよね。
僕の三角関数をひたすらいじる別解ってのも解説されてますし
僕もビエタの公式はちょっと興味あって…もしよかったら
http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Library/8616/math/
の半円の重心ってとこ見てみてください。

27の素晴らしい問題には及ばないかもしれないけど…
問題
a_i>0(i=1...n)(n>1)、a_1+a_2+a_3+...+a_n=ｋを満たす数列で
A＝(a_1*a_2)+(a_2*a_3)+(a_3*a_4)+...+(a_(n-1)*a_n)+(a_n*a_1)
B＝A-(a_n*a_1)とする。
AやBの最大値をkで表せ。ただし定数はｋだけで、
nは2以上の適当な値をとらせてよいものとする。つまりｎも変化する。

>>25
僕とけないんですけど

半径aの円柱の上に質量mの質点が置いてある。時刻0で、質点が初速度vで滑り始めた。
（１）円筒と質量の間に摩擦が無いとき質点が円筒から離れる位置を求めよ。
（２）動摩擦係数がμの場合、質点が円筒から離れる位置を求めよ。

aを定数とする。
xy平面上の曲線 y = (x+a)/(x^2+1) は、3つの変曲点をもち、
かつそれらは一直線上にあることを示せ。

ae

>>51
どういう形をした円柱がどういう向きにあって
どこに質点があるのか分からない。

>54
そういうときは勝手に定義しながら話をすすめる。
で、配点は、
計算の成否が(1)10点、(2)10点、そして定義の仕方と語り口が80点

複素数を成分に持つ２×２行列の全体をMとおく．Mの元は
X =
(x y)
(z w)
などと書くことにする．
M上の複素数値関数で，成分の（複素数係数の）多項式に
なってるものの全体をP[M]と書く．
I:={f∈P[M] | X,S∈M, Sが正則ならばf(SXS^(-1))=f(X)},
t(X):=x+w, d(X):=xw-yz
とおく．以下の(1),(2)を示せ．
(1)t,d∈I．
(2)Iの元はt,dの複素数係数の多項式で書けるものに限る．

>56
正則は大学レベルでは？

>>57
正則学園は高等学校です。

放物線 y=x^2 をCとおく。
次の条件を満たす正数aのとり得る値の範囲を求めよ。

（条件）一辺の長さがaである正三角形で、三頂点がC上にあるものが存在する。

>59 a≧2√3

> 56
背景のはっきりした、格調の高い問題
（そういうものは東大ではあまりでないみたいだが）。
この通りの表記でなくても、
これを背景にした大学入試問題はたまにある。

今まで自分が解いたことがある問題で、一番難しいと感じた問題とその解法・解答を書きなさい。

モロ、無修正画像サイト発見！

http://www.sex-jp.net/dh/01/
http://www.sex-jp.net/dh/02/
http://www.sex-jp.net/dh/03/
http://www.sex-jp.net/dh/04/

age

2以上の整数n に対してつねに
　a(n+1) + a(n-1) ≧ 2a(n)
を満たす数列{a(n)}がある。
いま、正の整数nに対して、
　a(1),･･･,a(n) の相加平均をA(n)
と表すとき、2以上の整数n に対して
　A(n+1) + A(n-1) ≧ 2A(n)
が成り立つことを示せ。

>>65
A(n+1) + A(n-1) ≧ 2A(n)
をn(n-1)(n+1)倍して数学的帰納法とかってだめ？
そりゃあ証明できるけど、意図してる解答と違うんだろね？
あとは…重心でやるかなあ。
重心でも、関数が下に凸ってのでいけるみたいだけど…

>>49解いてみてね。>>52はあきらめ気味…

一応重心を使った解答
a(n+1) + a(n-1) ≧ 2a(n)は
a(n+1) - a(n) ≧ a(n) - a(n-1)だから、
n→a(n)をn→f(n)のような関数のようにみると、
下に凸な関数。※
a(n)には(n,a(n))
A(n)には( (n+1)/2 , A(n) )が対応している。
ここで適当に回転させ縮小させた座標系をとって
A(n-1)を(0,0)、a(n)を(1,0)、a(n+1)を(a,b)に移す
このとき当然a>1、b≧0 (∵※)
A(n)は(c,0)に移っている。(∵A(n-1)とa(n)のy座標は0)
するとA(n+1)はy座標が0以上の点に移っていて、
A(n-1)とA(n+1)の中点もy座標が0以上の点に移っている。
よって( A(n+1) + A(n-1) )/2≧ A(n)

座標っぽく説明すると回転とかさせてこうなるけど、
図で書けば一目でわかるよ。

>>52
f(x)=(x+a)/(x^2+1) とおくと、
　f''(x)=(2/(x^2+1)^3)(x^3+3ax^2-3x-a) となる。
g(x)=x^3+3ax^2-3x-a とおくと、
g'(x)=3(x^2+2ax-1) であり、g'(0)<0 であることから、
方程式g'(x)=0 は正・負の2解t,u(t<0<u)をもつ。
ここでg(x)をg'(x)/3で割ることにより
　g(x)=(x+a)g'(x)/3 -2(a^2+1)x
であり、すると
　g(t)=-2(a^2+1)t >0 , g(u)=-2(a^2+1)u <0
となるので、g(x)は異なる3実解をもち、その前後で符号を変えることがわかる。
よってf(x)が3つの変曲点をもつことが示された。
（つづく）

>>52 (>>68 のつづき)

変曲点を与えるxの値（つまりg(x)=0の解）のうち任意のひとつをpとおく。
ここで、
　f(p)=mp+n を満たす、pの選び方によらない定数m,nが
　存在する……（＊）
ことが示せれば、変曲点(p,f(p))は直線y=mx+n 上にあるといえる。
そこで以下（＊）を示す。

f(p)=mp+n ⇔ p+a = (p^2+1)(mp+n)
　⇔mp^3 +np^2 +(m-n)p +n-a = 0・・・�@
なので、�@を満たすm,nが取れればよいが、いま
　「n=3am かつ m-n=-3m かつ n-a=-am」
すなわち「m=1/4 , n=3a/4」とおくと、
　mp^3 +np^2 +(m-n)p +n-a = (1/4)g(p) =0
となって�@が成り立つ。よって題意は示された。
（つまり変曲点は直線y=(1/4)x+3a/4 上にある。）

>>13
がわかんないんだけど誰か教えて−−−！
n＝1や2なんかのときは余裕なんだけど…
数学的帰納法を使って証明しようとしてもダメなんです。
どうか教えてください！

>>70
∫x^n dx =　∫x･ｘ^(n-1)dx= x ･(x^n)/n - ∫(x^n)/n dx
∫x^n dxでまとめて

(1+1/n)∫x^n dx=(x^(n+1))/n +C

で与式になる

確率分布のスゲェ難しい問題作ってよ。

>>72
xy平面上を毎秒1の速さで運動する点Pがある。
点Pが原点から運動を始めるものとして，運動を始めて10秒後の
点Pと原点の距離の2乗をLとする。Lの期待値を求めよ。

【問題】（数列と極限）
a[1]＝a
a[n]＝3/2-|a[n-1]-3/2| (n≧2)
とする．このとき，
（１）a＝1/2のときa[n]が発散することを示せ．
（２）0≦a≦1/3のときa[n]が収束することを示せ．
（３）1/3＜a＜2/3のときa[n]が収束するためのaの条件を求めよ．

>>74
全部、min{a,3-a}に収束しない？

>>75

しません

f=x^2+1 (xは整数）　とする。
このとき、ｆは３で割れないことを証明せよ。

>>77
それは易しすぎだよ。

>>77
これは高校生でも一瞬でわかるだろう。

>>77
中学生でも分かりそうな問題を・・・

77　が3次式になったときの素数の分類方法がわかりません・・・

>>81
素数の分類方法ってなんのことかわかりません・・・

おっと、すいません・・・
出てくる素数、出てこない素数、のようにわけるときにどーすればいいのか・・・

>>83
素数関係ないんだけど…

>83
よくわからんから　77の場合で説明せよ

以前、大阪大学で高校生のための数学講座を開いてて、そこの教授が
素数に分解してどーたらこーたらとやってましたよ・・・
群論の入門だとかなんとか言ってて・・・

>>83
ｘ＾3＋１＝素数という意味なら
ｘ＾3＋１＝（ｘ＋１）（ｘ＾2−ｘ＋１）だから素数にならない。
素因数を問題にするなら、３次の相互法則か。

いずれにせよ、意味がよくわからんです>>87

>>87
x=1のときに限り，素数ですが。

>>89
うっかりしちゃったＹＯ！

f=x^2+1

ｘ＝１のときｆ＝２
　　２のときｆ＝５
　　３のときｆ＝１０＝２・５
　　４のときｆ＝１７
　　５のときｆ＝２６＝２・１３
　　６のときｆ＝３７
　　７のときｆ＝５０＝２・５＾２
　　８のときｆ＝６５＝５・１３
　　９のときｆ＝８２＝２・４１
　１０のときｆ＝１０１

と続けていったときに、現れる素数、現れない素数はｆの
判別式の絶対値の剰余類でわかるとかいてあるんですけど、
3次式の場合はどうなるんでしょうか？ということです・・・
すいません。説明不足しまくりで・・・

>>88
>>87は>>86の間違い。板汚してゴメン・・・

あ、3次式は因数分解できないやつなら何でもいいんです・・・

>>91
言ってることがよく分からないんだけど
ｆの判別式というのは何のこと？

岩波講座現代数学への入門「数論入門1,2」に書いてあるような話でしょ？
大学入試での出題例はあるんだろうか．

>>77
a[1]＝a
a[n]＝3/2-|a[n-1]-3/2| (n≧2)

a_n=3/2-a_(n-1)+3/2=3-a_(n-1)　(a_(n-1)≧3/2)
a_n=3/2+a_(n-1)-3/2=a_(n-1)　(a_(n-1)≦3/2)
a≦3/2もしくは3-a≦3/2なので…全部、min{a,3-a}に収束
としたんだけど、どこが違ってるんでしょうか？
マジで分からないです。誰か教えてー

x^2+1　の判別式のことです。
0^2-4・1・1=-4

>>96
すまそ。問題を間違えた。下のでやってみそ。

【問題】
a[1]＝a
a[n]＝3/2-(3/2)*|a[n-1]-1| (n≧2)
とする．このとき，
（１）a＝1/2のときa[n]が発散することを示せ．
（２）0≦a≦1/3のときa[n]が収束することを示せ．
（３）1/3＜a＜2/3のときa[n]が収束するためのaの条件を求めよ．

>>98
すまそ。またまた問題を間違えた。
こんどこそだいじょうぶだと思います。
ただしちょいむずいかもです。

【問題】
a[1]＝a
a[n]＝3/2-|3a[n-1]-3/2| (n≧2)
とする．このとき，
（１）a＝1/2のときa[n]が発散することを示せ．
（２）0≦a≦1/3のときa[n]が収束することを示せ．
（３）1/3＜a＜2/3のときa[n]が収束するためのaの条件を求めよ．

ここは、量子計算の超殿堂！！！

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=sci&key=999032378

>>99

わかんないよー

>>99
y=3/2-|3x-3/2|とy=xの交点付近のかたむきの絶対値が１より大きいから
収束できないんじゃないですか？

>>102
あまい。
xが1/2の前後で違う形になるのでそんな単純じゃはず。
まぁ、いろいろな初項でためしてみそ。

>>99これ例えばa=1/6とかで発散しないですかな？

>>104
示して味噌

>>105
a=1/6ならa[2]=1/2なんじゃないの？？あとはなし崩し的に。(1)は簡単だから。
って、いうか漏れは何か問題を読み違えてるのか？

>>106
がびーーん。また間違えた。またまたすまそ。
なかなか問題を作るのはむずいな。
こんどはどうでしょう。

【問題】
a[1]＝a
a[n]＝3/2-|3a[n-1]-3/2| (n≧2)
とする．このとき，
（１）a＝1/2のときa[n]が発散することを示せ．
（２）a＝3/4のときa[n]が収束することを示せ．
（３）1/3＜a＜2/3のときa[n]が発散することを示せ．
（４）0≦a≦1のときa[n]が収束するためのaの条件を求めよ．

異なるn個(n≧3)の実数x_1, x_2,･･･,x_n がある。
ここから無作為に異なる2個を選び、
そのうち小さい方をX、大きい方をYとする。
このとき、
　E(XY) > E(x)E(Y)
が成り立つことを示せ。

>>107
もういいよ
おまえ　クビ

>>109
まぁ、ギブアップじゃしかたねーな。
たぶんむずいから解けんよ。

まさか自分がこんな立場になるなんて、
数学は栄光そのもの。まんざい。

(1)a[2]=3/2、a[3]=-3/2。ここでa[n]<0の時a[n+1]=3a[n]より発散。
(2)a[n]=3/4ならa[n+1]=3/4だからずっと3/4で３／４に収束
(3)1/3<a<2/3なら1<a[2]≦3/2、-3/2≦a[3]<0、a[n]<0の時a[n+1]=3a[n]より発散。
(4)議論長ったらしくうざったいんで結論のみ。
a=0,1、3/4か
　　1/3≧a≧0または2/3≦a≦1を満たし分子が整数で分母が３の階乗のもの
だよ。

>>112
あ、もちろん107なので。

>>112
a=1/4m（ｍは任意の自然数）
を忘れとった。まだあるかのう。

>>114
スマソ。
a=1/4m（ｍは任意の正の整数）
です。

>>115
鬱だシノウ・・全然違うこと書いてた・・・
書こうとしてたのは
a=1/(4*3^m)（ｍは０以上の任意の整数）
です。こんどこそあってる。

異なる3つの自然数a,b,cがあり，どの2数の積も他の1つの数で割ったあまりが
1である。a<b<cとして，組(a,b,c)をすべて求めよ。

A[0]={0,3/4}として
A[n]={A[n-1]/3 , 1-A[n-1]/3}という
式で生成されるAの全体
が答え？
これからどう進むのか分からないから
ここでやめてみました。

とりあえず>>112の表現は
３の累乗だって表現だったとしても
5/27とかがダメだと思う

開催期間：2001年4月20日（金）〜10月末日
最近、TVをつけると決まって耳にする言葉「マイライン」。「
マイラインはウチで決まり！」「当社なら通話料半額」などなど、こ
のところ、TVやCMで洪水のように流れてくるこの言葉、通話料が安く
なりそうってことだけはわかるのだけれど、理解度はイマイチ。そこで

、今一度、マイラインって何なのか

>>112-116
不正解

>>118
正解

（４）の答は>>118が与えた集合（Cantorの３進集合）が答え。
この問題はカオスの最も簡単な例を題材にしたものでした。
Cantorの３進集合は、非可算濃度でありながら測度が０となっています。

>>120
それって３／４から始まるほうは入れないんじゃないの。

>>120
その通り。まじスマソ。「東大入試・・」スレだけに具体的な答えだそうと思ってシッパイした。
とても良い問題。東大入試には出ないけどね。

>>121
　入れるべきです。3/4にも収束するからね。

ちょっと皆さんにお聞きしたいんだけど、数学の問題に物理の単位（ｃｍやらｋｇやら）
を入れた問題を出題するのってどう思います?東大入試にそういう問題ありました?
これってきちんとした議論を聞いてみたいんだよね。

>>122
そうじゃなくてカントールの三進集合に３／４から始まるほうは
入らないんじゃないかといっているんです。

x,y,zが複素数のとき、次の不等式が成立することを証明し、
等号の成立する場合を求めよ。

|x+y|+|y+z|+|z+x|≦|x|+|y|+|z|+|x+y+z|

0≦p≦π(pは定数)とする。
このとき
｛(q.θ)|q≦1, pq＋θ-p≧0, (2π-p)q-θ＋p≧0}と表される
図形の面積を求めよ

>>126
π

>>127
2π/3になった。。
どうやって答え出した?

>>128
（０，ｐ），（１，０），（１，２π）を頂点とする三角形だから。

α、β、γはどの2つも互いに素な自然数で
�@αβ＋βγ＋γαは平方数
�Aα＋β＋γ=t^nを満たす素数tと自然数nが存在する

このときαを偶数としてαを4で割った余りが2であることを示し
β-γを8でわった余りが4であることを示せ
次に上の条件を満たすものとして
(α、β、γ)=(14.3.47) (t=2. n=6)が上げられるが
n≦5となるものは存在するか否か。存在するならその例を示せ

指針:まずα、β、γの中に偶数が1つあることをしめす

>>130
大学への数学

>>118
>A[0]={0,3/4}として

A[0]=[0,1]　だね

>128
多分問題文の「極座標で」が抜けてるんだろうね。極座標なら 2π/3 になりました。

>>132
A[0]に0が含まれてれば、A[1]に1が含まれるから、
A[0]に1を入れる必要はないです。
A[0]に入るのって、y=xとの交点ですんで

>>126
極座標のなかなかいい問題だよね。

表現が悪かったかなと思い訂正
【問題】
a[i]>0(i=1...n)(n>1)、a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n]=ｋを満たす数列で
A＝a[1]*a[2] + a[2]*a[3] + a[3]*a[4] +...+ a[n-1]*a[n] + a[n]*a[1]
B＝A- a[n]*a[1]とする。
AやBの最大値をkで表せ。ただし定数はｋだけで、
nはAやBが最大になるように2以上の適当な値をとらせてよいものとする。

>>125
一般のｎ次元ベクトルでもＯＫね。

A・Bの2人があるゲームを繰り返し行う。
各回のゲームにおいて、A・Bの勝つ確率はそれぞれ一定であり、かつ
　0＜（Bの勝つ確率）＜（Aの勝つ確率）＜1
である。また引き分けはないものとする。
いま、AがBよりも先にn勝する確率をP(n)とおくとき、
　P(n)＜P(n+1)
が任意の自然数に対して成り立つことを示せ。

座標平面上の点Ｐ(x,y)が
x=cos(3θ)-cos(θ)
y=sin(3θ)-sin(θ)
となるとき、Ｐの存在する範囲を
示せ。

>>138
θのとり得る値の範囲は？

>>138
つーか、Pの軌跡は曲線になるから
「Pの存在する“範囲”」ってのは
よくないんじゃねえか？

>>140
何故よくないの。

>>140
こういうときは
「Pの“軌跡”を図示せよ」
などと書くのがふつうだろ。

>>71
帰納法じゃなく演繹的に導く方法無いですか？
積分の定義（区分求積法）なんかつかって。

a,b は正の整数で、
b^2+ba+1 が a^2+ab+1 で割り切れるとき、
a=b であることを示せ。

>>144
ｃ＝ａ＾２＋ａｂ＋１
ｄ＝ｂ＾２＋ａｂ＋１
とする。
０＜ｃ，０＜ｄでｄはｃの倍数なので
ｃ≦ｄとなるのでａ≦ｂ。
ｂｃ−ａｄ＝ｂ−ａ
０≦ｂｃ−ａｄ＜ｂ＜ｃ
となりｂｃ−ａｄはｃの倍数なのでｂｃ−ａｄ＝０。
よってａ＝ｂとなる。

>>137
これほんとに成り立つの？

>>146
成り立ちますよ。

>>145
うまい証明やね。

来年のはもう作ったから再来年参考にしよう。

すいません
θ∈Rです。140番さんご指摘あり
がとうございます。

>>137
Ａの勝率をs、Ｂの勝率をtとする。
先にどちらかがn勝する場合を考える。
Ａがn勝r敗する確率をＰ(n,r)、Ｂがn勝r敗する確率をＱ(n,r)とする(n>r)
どちらかのn勝r敗を経て、どちらかがn+1勝を先に行なう確率を
Ａがn+1勝する確率をＰ'(n,r)、Ｂがn+1勝する確率をＱ'(n,r)とする
このときＰ(n,r)：Ｑ(n,r)＝s^(n-r):t^(n-r)
Ｐ'(n,r)=Ｐ(n,r)*s(1 + t + t^2 +...+ t^(n-r) )+Ｑ(n,r)*s^(n-r+1)
Ｑ'(n,r)=Ｑ(n,r)*t(1 + s + s^2 +...+ s^(n-r) )+Ｐ(n,r)*t^(n-r+1)
よってＰ'(n,r)：Ｑ'(n,r)＝s^(n-r+1)*(1 + t + t^2 +...+ t^(n-r) + t^(n-r))：t^(n-r+1)*(1 + s + s^2 +...+ s^(n-r) + s^(n-r))
あとはＰ'/Ｐ≧Ｑ'/Ｑを示したいが、これは
s*(1 + t + t^2 +...+ t^(n-r) + t^(n-r))≧t*(1 + s + s^2 +...+ s^(n-r) + s^(n-r))をn,rによらず示せばよい
s*( (1 - t^(n-r+1) )/(1-t) + t^(n-r) )≧t*( (1 - s^(n-r+1) )/(1-s) + s^(n-r) )を示せばよく
s+t=1の変形による
1- t^(n-r+1) + s*t^(n-r) ≧1- s^(n-r+1) + t*s^(n-r)は当然示せて逆にたどればよい(終)

確率論ってのは、本質的には意味が無い。
だいたい、”正しいサイコロ”ってものは存在しない。
飽く迄、現実の極端な理想化にすぎない。
正しいサイコロの存在を仮定しても、それを全く同じ条件で
振る事など、絶対に出来ない。振る人間の条件の他、気温、
気圧、湿度、その他多数の、環境条件を複数回に渡って同一に
設定する事が現実的に不可能だからだ。　確率論は、現実の現象
を、ランダムな現象と言う、極端に理想化されたモデルを対象に
した学問だ。　物理的な要素も持っているので、純粋な数学とも
呼べない。

>152
名前通り･･･本当にアホだ･･･
確率論で何やってるのかわかっていなさそう･･･

>>137
Ａの勝つ確率をａ，Ｂの勝つ確率をｂとすると
　Ｐ（ｎ＋１）−Ｐ（ｎ）
＝Ｐ（ｎ＋１）−（ａ＾２＋２ａｂ＋ｂ＾２）Ｐ（ｎ）
＝（２ｎ−１　ｎ）（ａ＾ｎ）（ｂ＾ｎ）（ａ−ｂ）
＞０
なのでＰ（ｎ）＜Ｐ（ｎ＋１）。

これはやさしめかな？

【問題】（幾何）
三角錐OABCにおいてOC⊥△OABならば，
△ABCの面積の２乗は，他の３面の面積の２乗の和に等しいことを示せ．

http://www.himawari.sakura.ne.jp/%7Eloveseat/Adu/index00.html

>>154
>Ａの勝つ確率をａ，Ｂの勝つ確率をｂとすると
>　Ｐ（ｎ＋１）−Ｐ（ｎ）
>＝Ｐ（ｎ＋１）−（ａ＾２＋２ａｂ＋ｂ＾２）Ｐ（ｎ）
>＝（２ｎ−１　ｎ）（ａ＾ｎ）（ｂ＾ｎ）（ａ−ｂ）

これよくわからん。

>>155 確かにやさしいけど、エレガントな解答は？
(A-C)x(B-C)=AxB-AxC-CxB （外積）あたりかな？

>>155

これ、△OABが直角三角形（∠O＝90°）でないと
成り立たないんじゃ。

【問題】
{a/((a^2+8ac)^(1/2))}+{b/((b^2+8ca)^(1/2))}+{c/((c^2+8ab)^(1/2))} = 1
が成り立つ時、a,b,cはそれぞれ任意の正の実数であることを証明せよ。

>>160

ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ?

a/((a^2+8bc)^(1/2))}+{b/((b^2+8ca)^(1/2))}+{c/((c^2+8ab)^(1/2))} = 1
だった・・(汗；

1.関数の微分の定義をいえ
2.1の定義に基づいて y=sinx を微分せよ。

y=arctanxを微分してください。
即れすもとむ。

dy/dx=1/(dx/dy)=1/(dtany/dy)=1/(1/(cosy)^2)=1/(1+(tany)^2)=1/(1+x^2)

>>162
それでも、
　ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ?

私はこのスレの2です。
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=1000696108&ls=50

お願いです。誰か教えてください。（泣

じゃ、その逆。
【問題】
任意の正の実数a,b,cに対し
a/((a^2+8bc)^(1/2))}+{b/((b^2+8ca)^(1/2))}+{c/((c^2+8ab)^(1/2))} = 1
を示せ。

>168 a=b=1, c=2 としてみて。成り立たないでしょ？

IMOか。
凡人を無視した模範解はおいといて、凸不等式だな

nを正の整数とする。
n^2+3 と 2n+1 の最大公約数を求めよ。

>>171
n=13k-7 (k自然数) のとき 13 他は 1

>>168
=は>=だな

2002! と 1001^2002 の大小を調べよ。

(2n)!=(2n･1)(2n-1･2)…(n+1・n-1)
(n+k)(n-k)＞n^2
これより
(2n)!>(n^2)^n=n^2n ｎ=1001　でOK
随分甘い不等式だこと。。。

>>175
間違いだらけ。

(2n)!=(2n･1)((2n-1)･2)…((n+1)・(n-1))
(n+k+1)(n-k)＞(n+k)(n-k)＞n^2
これより
(2n)!>(n^2)^n=n^2n ｎ=1001

でよかろう。だらけってほどでもないと思われ。
　

f(x)はxの3次関数であり、かつ
　f(0)>0,f'(0)<0,f''(0)>0,f'''(0)<0
を満たしている。
このとき、xの3次方程式 f(x)=0 は
負の解を持たないことを示せ。

>>177
＞(2n)!=(2n･1)((2n-1)･2)…((n+1)・(n-1))

最後は（ｎ＋１）ｎの間違い。

＞(n+k+1)(n-k)＞(n+k)(n-k)＞n^2

（ｎ＋ｋ）（ｎ−ｋ）≦ｎ＾２の間違い。

＞これより
＞(2n)!>(n^2)^n=n^2n ｎ=1001

ｎが３以上の整数のとき
２ｎ・１＜ｎ＾２で（ｎ＋１）ｎ＞ｎ＾２なので
単純に掛け合わせただけでは（２ｎ）！とｎ＾（２ｎ）は比較できない。

ｎが３以上の整数のとき（２ｎ）！＜ｎ＾（２ｎ）なので
結論も間違い。

よって間違いだらけ。

空間内に、ねじれの位置にある2直線 L_1 , L_2 がある。
いま、動点 P,Q がそれぞれ直線L_1,L_2上を、
速さ1で一定の方向に進んでいる。
このとき、
ある定直線で、線分PQの垂直2等分面につねに含まれるものが
存在することを示せ。

ｆ(x)を連続な周期関数とする。
"どんなf、どんな定数aをとってもf(x+a)=f(x)となるｘが存在する"は正しいか？
正しければ証明をそうでなければ反例を

一応オリジナル問題。自分では難易度は分からんが
たぶん東大受験した頃には出来なかったかも。

>>181
中間値の定理の話ですか？

>>178
f(x)=-ax^3+bx^2-cx+d (a,b,c,d>0)
f'(x)=-3ax^2+2bx-c
f'(x)=0は２解を正にもつか解をもたない。
いずれにせよx<0で傾き0はない。
よってx<0でf(x)は単調
f(0)>0,f'(0)<0より負の解はない。

>>180
ＰＱの中点は垂直2等分面につねに含まれる
よってＰＱの中点の軌跡が直線になることを示せばよい
xyz座標でＬ_1をax+by=0,z=0 Ｌ_2をy=0,z=2cでとる。
Ｑがx=0のとき、Ｐもx=y=0ならばＰＱの中点の軌跡は
ax+by=0とy=0の成す角の二等分線をz=c上においてそれである。
Ｑがx=0のときＰの位置ベクトルをpとすると
中点の軌跡は
ax+by=0とy=0の成す角の二等分線をz=c上においてp移動したもの
となりこれもまた直線である。

>>181
f(x)=f(x+c)がいかなるxについても成り立つようなcがある。
そのcに対しa=0,cは題意を十分に満たすので0<a<cで考えてよい。
(aがこの範囲になくてもcの定数倍を加えればこの範囲におさまるから)
g(x)=(f(x+a)-f(x))/aで定義し、もちろん連続関数である。
g(x)は正負の値のどちらかだけをとることはない。
(もしとるなら、f(x)が定数関数でない単調関数になってしまい、周期関数に矛盾)
よってg(x)=0が存在する。このときf(x+a)=f(x)

>>182
>g(x)=(f(x+a)-f(x))/aで定義し、もちろん連続関数である。
g(x)は正負の値のどちらかだけをとることはない。
(もしとるなら、f(x)が定数関数でない単調関数になってしまい、周期関数に矛盾)

この3行目は自明なことなのかな？
俺には自明でないんだが(^^;;

上のは>>183のまちがい

うん。やっぱり、ｇ(x)が正負のどちらかだけをとる→f(x)が定数関数でない単調関数
はいえないね。いまは、aを固定して考えてるわけだし

a,bを整数とする。
(a + 1/2)^n + (b + 1/2)^n の値が整数となるような自然数nは
有限個しかないことを証明せよ。

>>183
>>184
>>178 は
ｘ＜０のとき−ａｘ＾３＋ｂｘ＾２−ｃｘ＋ｄ＞０なので
負の解を持たないとすればいい。
>>181 は
ｆが最小となる時のｘに対して０≦ｆ（ｘ＋ａ）−ｆ（ｘ）
ｆが最大となる時のｘに対してｆ（ｘ＋ａ）−ｆ（ｘ）≦０
なのでｆ（ｘ＋ａ）−ｆ（ｘ）＝０となるｘが存在するとすればいい。

184の言う通り！間違いですねあれは。
188の解答すごくきれいよーん。すごおい！

>>183
> >>180
>ＰＱの中点は垂直2等分面につねに含まれる
>よってＰＱの中点の軌跡が直線になることを示せばよい

PQの中点は垂直2等分面につねに含まれるが、
だからといって
　「PQの中点の軌跡」である直線が垂直2等分面に含まれる
とはいえないでしょう。

>>190
PQの中点の軌跡に長さがあるからいいんじゃない？
よくないのかな？
それとも長さがあるってことを書けってこと？

>>191
ﾖｺﾚｽｽﾏｿ。
いやいやちがうよ。たとえば２直線がy=0,z=0のばあいと
x=0,z=1で動点がP(t)=(t,0,0)、Q(t)=(0,1-t,2)のときとか
だめだね。中点の軌跡はx+y=1、z=1だけどこれはかならずしも
垂直２等分面にふくまれない。たとえばt=1/2のとき
垂直２等分面-(x-1/4)+(y-1/4)+4(z-1)=0にふくまれないよ。
(面の法線ベクトル(-1,1,4)と直線の方向ベクトル(-1,1,0)が垂直でない
のであきらか。)だから中点の軌跡は直線だけどでもそれは
もとめるものではない。

理解したなり。
勘違いも甚だしいなり。
てか183はここに書きこむ人としてクビかなこりゃ。
じぇんじぇんだーめやーん。

ようするに、
「PQの中点の軌跡」である直線は、つねに
　垂直2等分面に“突き刺さってる”
だけであり、>>180 の問題の要求である
“含まれる直線”とは別物
ということやね。

>>192
中点の軌跡はx+y=1/2,z=1に訂正。でも分かってもらえたみたいなのでどうでもいいけど。

>>180
xyz空間において、L_1をx軸とし、L_2を
　点(0,0,k)を通りベクトル(cosθ,sinθ,0)に平行な直線
として一般性を失わない。(ただしk≠0、0<θ<π)
また時刻を表すパラメータをtとして
　P（p+t,0,0)　,　Q(tcosθ,tsinθ,k)
とおいて一般性を失わない。（pは定数）

このときPQの垂直2等分面の方程式は
　(t(cosθ-1)-p){2x-t(cosθ+1)-p}
　+ tsinθ(2y -tsinθ)
　+ k(2z - k) = 0
と書ける。これをtについて整理すると
　{2(cosθ-1)x +(2sinθ)y +2p}t
　-{2px - 2kz -p^2 + k^2} = 0　･･･(☆)
となる。
ここで
　2(cosθ-1)x +(2sinθ)y +2p＝0　･･･�@
　2px - 2kz -p^2 + k^2＝0　･･･�A
はそれぞれ平面を表す(∵0<θ<π、k≠0）。しかもこれらは平行でない。
二平面�@�Aの交線をLとおけば、L上の点(x,y,z)はtによらず
(☆)を満たす。つまりLはtによらずPQの垂直2等分面に含まれる。

>>188
ｆがｘ＝ａで最大値か最小値をとる連続関数なら
［ａ−ｂ，ａ］か［ａ，ａ−ｂ］に
ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｂ）となるｘがある。

あげ

【問題】
集合A,Bを
　A=｛[(√2)n] | nは正の整数}
　B= {[(2＋√2)n] | ｎは正の整数}
と定める。（ここで[x]はxを超えない最大の整数をあらわす。）
このとき、任意の正の整数は、A,Bのいずれか一方のみに
属することを示せ。

(√2)n ＝n＋αn とおく。すると(2＋√2)n＝3n＋αnとなる。
自然数 m,nに対し m＋αm＝3n＋αn と仮定すると α＝(3n-m)/(m-n).
αは無理数だから矛盾。

>>200

これ、>>199 の証明のつもり？

>>201
そうですが、何か間違えました？ m＝n の場合がまずいとか？

>>202
Ａ＝｛１，２，　　４，５，　　７，８，９，　　　１１，１２，　　　１４，１５，１６，．．．｝
Ｂ＝｛　　　　３，　　　　６，　　　　　　１０，　　　　　　１３，　　　　　　　　　１７，．．．｝

>>203 なるほど A∪B＝Ｎ+ って書けるわけか。アイデアは頂いたぞ。

>>204
A∩B＝φもね。
一般に１／α＋１／β＝１なる無理数α，β（＞０）について
　A=｛[nα] | nは正の整数}
　B= {[nβ] |ｎは正の整数}
とすると成り立ちます。（逆も）（Beattyの定理）
一松信の本にはビノグラードフの定理とありました。
ビノグラードフの「整数論入門」にものってます。

>>202
>>>201
>そうですが、何か間違えました？

ﾜﾗﾀ
お前だいじょうぶか？

>>199
任意の非負整数Nに対して、次の�@�Aが示せばよい。
　(ア) 区間(N,N+1)に、A,Bの少なくとも一方の元が属する。
　(イ) 区間(N,N+1)に、A,Bの両方の元が属することはない。

(ア)の証明：区間(N,N+1)に、A,Bどちらの元も属さないとすると、
　(√2)m < N < N+1 < (√2)(m+1)　･･･�@
　(2+√2)n < N < N+1 < (2+√2)(n+1)　･･･�A
を満たす整数m,nが存在することになるが、
ここで�@×(2+√2) と �A×√2 を辺々加えると、
　(2+2√2)(m+n) < (2+2√2)N < (2+2√2)(N+1) < (2+2√2)(m+n+2)
∴　m+n < N < N+1 < m+n+2
となって矛盾である。よって(ア)が成り立つ。

(イ)の証明：区間(N,N+1)に、A,Bの両方の元が属するとすると、
　N < (√2)m < N+1　･･･�B
　N < (2+√2)n < N+1　･･･�C
を満たす整数m,nが存在することになるが、
ここで�B×(2+√2) と �C×√2 を辺々加えると、
　(2+2√2)N < (2+2√2)(m+n) < (2+2√2)(N+1)
∴　N < m+n < N+1
となって矛盾。よって(イ)が成り立つ。

【問題】

xyz空間において、
　円板x^2+y^2≦1,z=0を底面とし(0,0,√3)を頂点とする円すい
をＣとおく。
Ｃの側面のうち、円柱
　(x-1)^2+y^2≦1
の内部にある部分の面積を求めよ。

>>206
緻密かどうかを忘れていたってことね。これは簡単だが。

「緻密」じゃなくて、「埋まっているか」
疲れてるのかな。止めよ。

>208
とりあえず方針だけ．
円錐の展開図を考え、それと円柱が交わる曲線を極座標で考えて積分．
めんどそうなので後はパス

>>210
√５≠√６だけど［√５］＝［√６］だよ。

>>208

曲面積って高校の範囲外じゃ？

age

まぁ難しいことばっか考えてないで息抜きしようよ。
１＋２＝０
３＋８＝２
７＋９＝１
６＋８＝３
１０＋９＝２
８＋９＝３
ほれ、これ考えてみ。

ちょっと軽めだけどこんなのどお？

【問題】
2q＝p+rを満たす異なる正の実数p,q,rに対して、
　q^(2q)＜(p^p)(r^r)
が成り立つことを示せ。

>>215
０＝１
１＝０
２＝０
３＝０
４＝１
５＝０
６＝１
７＝０
８＝２
９＝１

まるのことなりね

>>215
左辺：[素因数分解したときの素因数の個数,減じる１]を加えた数、イコール右辺

>>216
対数とってy=xlogxのグラフ書いて下に凸でオケ？

ところで本番で大小問題ではグラフで明らか、ってしたらダメだと聞いたけど。
式で解かないといけないといけないとか。
うそ？問題による？

>>220
問題に夜だろう。

ですよね。グラフじゃないと出来ないモンもありますわな。

>>222
どんな問題？

2000年度第四問なんかは
式だけの議論ではタイヘンだろう。

有名問題ですが
(a+1)^n-a^(n+1)=1 の自然数解

>>215
アンタの思ってた正解を教えて！

215は「息抜き」と書いてるから、丸（わっか）の数だと思う。

次の条件を満たす点(x,y)の領域を図示せよ。
|x+y|+|x-y|≧2
x^2+y^2≦9

それは。。。おもろいの？？

X=x+y; Y=x-y とおく。
X^2 = x^2 + y^2 + 2xy
Y^2 = x^2 + y^2 - 2xy
ゆえに 4xy = X^2 - Y^2

|x+y|+|x-y|＝|X|+|Y|≧2;
x^2 + y^2 ＝ (x+y)^2 -2xy = X^2 + (Y^2 - X^2)/2 ＝ (X^2)/2 + (Y^2)/2.

問題
簡単過ぎるけど・・・頭の体操に
どんな有理数のいくらでも近くに無理数が存在する事を示せ。

>231
すれ違います。

232と同感！
知ってりゃ楽勝、知らなきゃやる気でない

>>232
すれ違いじゃない。
>>233
知識で解くものじゃない。

図示問題じゃ掲示板に答え書けねえだろ。もうチョイ配慮しろよ。

f(x)= 1 (xが有理数のとき）
0（xが無理数のとき）

この関数は連続か、また連続な区間が存在するなら
その区間で連続なことを示せ

>>236

解析学の試験じゃあるまいし、
こういう問題が東大入試に出るとは思えぬ。

>>231
実数の連続性とか有理数の稠密性に関係ありそうな問題だけど。
初見。以下のような答えでいいの？

nを自然数とし,以下√2/nが無理数であること，
有理数と無理数の和が無理数であることは証明せずに用いる。
有理数rについて，a_n=r+√2/nを考える。
このとき，a_n→r (n→∞)だから，rについて題意が成立する(*)。
(*)の部分のきちんとした証明には，極限について大学教養レベルの知識
(というか，数列の極限が収束するということの定義)が必要になりますが。

>>236
どう読むのか分からん。また連続ってのはまたは連続の間違いか？
『この関数は連続であるか，またはある区間でこの関数が連続であるなら
この関数はその区間で連続であることを示せ』？？？
後半は自明だろ。

有名問題ですが，誘導付きにしてみました。これなら文科の問題としても
使えるか？理科には易しすぎ？解いたことのない人は解いてみて。
誘導も含めて講評して。

nを2以上の自然数とする。
(1) 2^k≦n<2^(k+1)となる自然数kを考える。1,2,・・・，nの中に2^kの倍数は何個あるか。
(2) 1,2,・・・,nの最小公倍数をSとする。S,S/2,S/3,・・・,S/n の中に奇数は何個あるか。
(3) 1+1/2+1/3+・・・+1/n は整数とならないことを示せ。

>>240
(1) 2^(k+1)＝2*2^k なので、2^k以上2^(k+1)未満の整数のなかで
　2^kの倍数は2^k自身しかない。
　2^k未満の自然数のなかに2^kの倍数はないので、
　よって答は1個。
(2) (1)のkをもちいると、Ｓは、
　　Ｓ＝(2^k)*(奇素数の積)
　とあらわされる。よって、1≦m≦nを満たす自然数mに対して、
　　Ｓ/m が奇数 ⇔ m が2^kの倍数
　となるが、(1)の結果からこのようなmは1つだけ。
　∴答は1個。
(3) 与式の分母をＳで通分すると、分子は
　Ｓ+Ｓ/2+Ｓ/3+･･･+Ｓ/n であり、(2)からこれは奇数となる。
　一方Ｓは偶数なので、ＳはＳ+Ｓ/2+Ｓ/3+･･･+Ｓ/n の約数ではない。
　ゆえに与式は整数にはならない。（証終）

>>241
こちらが想定したとおりの解法です。全部◎
解いてみた感想を聞かせて。

一辺がｍの正ｎ角形の面積をもとめよ。

>>238こちらが想定したとおりの解法です
結構難しく考えすぎる人がいるのではないかと期待してました

最後のところは、どんなに小さなε取ってもｎを十分大きくすればｒ＜a_n＜ｒ＋εになるから
位の解答で良いのではないかと思います
ｎをεの関数で評価できればなおよい

あと、背理法で、あるε(有理数としておく）にたいして区間[ｒ−ε、ｒ＋ε]に無理数が存在しないと仮定して
その区間を２εづつずらしていくことで、実数全体が有理数になるから矛盾、
というのもおもしろいとｵﾓﾀ

>>239
「または」ではなく「また」でしょ。

>>187

(a+1/2)^n+(b+1/2)^n={(2a+1)^n+(2b+1)^n}/2^n

nが偶数のとき、n=2k

(2a+1)^2=4*a(a+1)+1、(2b+1)^2=4*b(b+1)+1だから、

(2a+1)^n+(2b+1)^n≡{4*a(a+1)+1}^k+{4*b(b+1)+1}^k≡1+1≡2 (mod 4)

だから、分子は4では割り切れない。

よって、n=2のときのみ、(a+1/2)^n+(b+1/2)^nは整数。

nが奇数のとき、

(2a+1)^n+(2b+1)^n=(2a+2b+2)*[(2a+1)^(n-1)-{(2a+1)^(n-2)}*(2b+1)+･･･+(2b+1)^(n-1)]

(2a+1)^(n-1)-{(2a+1)^(n-2)}*(2b+1)+･･･+(2b+1)^(n-1)≡1-1+･･･+1≡1 (mod 2)

だから、(2a+1)^(n-1)-{(2a+1)^(n-2)}*(2b+1)+･･･+(2b+1)^(n-1)は奇数。

よって、(2a+1)^n+(2b+1)^nが2^nで割り切れる ⇔ 2^nで2a+2b+2で割り切れる

よって、(a+1/2)^n+(b+1/2)^nが整数となるnは有限個である。

いずれにしても、、(a+1/2)^n+(b+1/2)^nが整数となるnは有限個である。

証明終

このスレの今までの問題で東大入試として一番良問なのはどれ？

>>187
>>246
＞よって、n=2のときのみ、(a+1/2)^n+(b+1/2)^nは整数。
ｎ＝２のときも整数じゃない。

（ａ＋１／２）＋（ｂ＋１／２）＝０のとき
ｎが奇数なら（ａ＋１／２）＾ｎ＋（ｂ＋１／２）＾ｎ＝０。

>>248

＞よって、n=2のときのみ、(a+1/2)^n+(b+1/2)^nは整数。
ｎ＝２のときも整数じゃない。

そうだ、スマソ

（ａ＋１／２）＋（ｂ＋１／２）＝０のとき
ｎが奇数なら（ａ＋１／２）＾ｎ＋（ｂ＋１／２）＾ｎ＝０。

でも、これは揚げ足取りでは？

もう少しさあ，精密につくろうよ。なんちゃって
出題：
サイクロイド x=θ-sinθ，y=1-cosθ の0≦θ≦2π の部分をCとする。
Cの前兆に等しい長さの伸び縮みしない糸を曲線全体に貼り付け，
原点Oに重なる糸の端点をAとする。点Aから糸をたるませないではがしていく。
このとき，
(1) 糸がCから離れる点をPとする。Pがθ=tに対応する点のとき，APの長さを求めよ。
(2) 直線APがx軸の正方向となす角αをtを用いて表せ。
(3) 糸をすべてはがし終わるまでに糸が通過する部分の面積を求めよ。

>>250
東工大くさい

次の条件を満たす点(x,y)の領域を図示せよ。
(|x|-y)^2+4*(|x|+y)^2≦4

>>252

問題自身はつまらんが
答はかわいいね（はぁと）

超遅レスですまんが、
>>59 の問題、答は「a≧2√3」になりそうなのは
わかるんだけど、
答案はどんなカンジになるんでしょうか？
わかる人教えて。

>>254
A:(p, p^2), B:(q, q^2), C:(r, r^2)とおく(p＜q＜r)。
AB＝BC＝CA＝a より、....

252訂正。少しだけ面白くなる。

次の条件を満たす点(x,y)の領域を図示せよ。
5*(x^2+y^2)+6*|x|*y≦4

>>255
そのつづきは？

>>256
5*(x^2+y^2)-6*|x|*y≦4
の方がxy平面での見栄えがよいのでは？
まあどっちでもよいのだけど。

>>257 ごめん、頂点を中心とした60度回転の解き方の方がカッコ良かったかも。

【問題】
　a(1)=a(2)=1,
　a(n+2) = a(n+1)+a(n)　(n=1,2,3,･･･)
をみたす数列｛a(n)}を考える。
(1)任意の自然数m,nに対して、
　a(m+n) = a(m+1)a(n) + a(n)a(n-1)
　が成り立つことを示せ。
(2)任意の自然数m,nに対して、
　a(mn)はa(n)の倍数であることを示せ。
(3)a(n)が素数ならば、nは素数であるかまたはn=4である
　ことを示せ。

すまぬ。>>260 (1)では
「a(0)=0」と考えてくらさい。

>>260 フィボナッチ数列じゃん。行列使って解く方法も知ってるよ。

>>262
知っててどうする・・・

いまさらながら１１７について

答えは（２,３,５)のみ。証明はメンドイので省略。

「なし」ってヤツ。
こいつまともに問題解いてる所
見たことないな。
お化けスレでもそうだが
つまらん茶々いれてるだけ。
荒らしか？

>>265 ヒントのつもり。

問題です。

連続する１０個の自然数を重複させずに２組以上のいくつかの組に分けます。それ
ぞれの組に属する要素の積がすべて等しくなる事は有り得ない事を示してください。
例えば、１〜１０までの自然数を
　　　　　(１,２,５,７)，(３,４,６)，(８,９)
の３組に分けると、要素の積はそれぞれ
　　　　　１×２×５×７＝７０
　　　　　３×４×６=７２
　　　　　８×９=７２
となり、確かに３つすべてが等しいということは無い。

これは簡単？それとも難しい？

{{2,3}, {6}, ...} じゃダメか？

＞例えば、１〜１０までの自然数を
＞　　　　　(１,２,５,７)，(３,４,６)，(８,９)
＞の３組に分けると、

１０はどーした？

２重帰納法。
連続するn個の自然数の場合、m個のグループが等しくならないことを P(n, m) と表そう。
ただし n≧m≧2。証明すべき命題は ∀m,n: [n≧m≧2⇒P(n,m)]. ここで P(3,1) は明らか。

>266
＞ヒントのつもり。

他人から見ると荒らしにしか見えないってことだよ

君もしゃべり方がちょっと変わっているね。
サゲられたので憤ってるのかと思った。

>>258
確かにそうだね。上下が逆だった。というわけで決定版は、

次の条件を満たす点(x,y)の領域を図示せよ。
5*(x^2+y^2)-6*|x|*y≦4

>>229 >>230 >>235
>>228の答はこれだ。
http://www1.u-netsurf.ne.jp/~sirakawa/J010.files/KaneiAm.jpg

>>247
東大理系前期は６問あるから
問１　>>2
問２　>>27
問３　>>
問４　>>
問５　>>
問６　>>

って感じかな？
確率の問題がないので後はわからないけど…

MJ4どうですか。

10個の自然数の中には７の倍数は必ずあり、そして３つは入らないので
３組には分けられないような気がする。

それとnから2nの間に必ず素数があるって定理使えば

あるｎが与えられた時にnより小さく一番おっきい素数pとって、
連続するｎ個の自然数の中にpの倍数が１個か２個しかないように出来るような気がする。
そうすると…Zzzz後は任せた

複素数の問題(少し易しめかも)
複素数平面上に3点A(α)，B(β)，C(γ)をとる。3つの正三角形�僊PB，�傳QC，
�僂RAを�僊BCの外側に作る。
�僊PB，�傳QC，�僂RAの重心をそれぞれG，H，Iとする。
(1) Gを表す複素数を求めよ。
(2) �僭HIはいかなる形をしているか。

訂正
複素数平面上に3点A(α)，B(β)，C(γ)を，�僊BCが鋭角三角形となるようにとる。
3つの正三角形�僊PB，�傳QC， �僂RAを�僊BCの外側に作る。
�僊PB，�傳QC，�僂RAの重心をそれぞれG，H，I，外接円をC_1，
C_2，C_3 とする。
(1) Gを表す複素数を求めよ。
(2) �僭HIはいかなる形をしているか。
(3) �僊BCの内部の点でC_1，C_2，C_3の
すべてが通るものが存在することを示せ。

半径Ｒの球をある机の上に置く。
机からｈ＞１の高さにあるある一点をＰとして球の真上とはならない所に取る。

この時、Ｐを光源として光を球にあてた時、
机にできる影の面積とｈの積が最大値及び最小値が存在するならどのような場合か。
Ｒとｈの関係式で示せ。

ｈは定数、球は転がらないとし、影はすべて輪郭がはっきり見えて計測できるものとせよ

>>279
何故ｈを掛けるの。

>>279
ｅｘｐ（Ｒ＋ｈ）＝０。

>>282
ヲイヲイ･･･０になるパラメーターあるんかい・・・

>>281
面積ではなく円錐ぽい図形の体積にしたいんじゃないの？

>>284
ｈが定数なのに何故。

>>285
定数じゃないでしょ？

>286
>280をミロ

>>279 の問題が言いたいのは，こういうことでは？
［ただし，文字まみれにならないよう，球の半径を1に改題］

xyz空間において，xy平面にz≧0の側から原点に接する半径1の球Aがある。
また，点P(a,0,h)を考える。ただし，h>2とする。
Pを通りAに接するすべての直線で作られる曲面とxy平面で囲まれる，P
を頂点としxy平面を底面とする楕円錐の体積をV(a,h)とする。
aがa≧0を満たしながら変化するときV(a,h)の最小値を求めよ。
［しかし，結局は底面の楕円の面積の最大･最小問題だし，最小になるのは
明らかに a=0のとき，a→∞で底面積→∞ だからなあ。よくわからん。］

底面が1辺の長さが2の正方形ABCDで，高さが6の正資格錐O-ABCDがある。
OBを2:1に内分する点をL，OCの中点をMとし，3点A，L，Mを通る平面πと
ODの交点をNとする。
(1) ON：NDを求めよ。
(2) Oとπの距離を求めよ。
ただし，平面πとその平面に属さない点Oの距離とは，πに属するすべての点A
に対して決まる線分OAの長さの最小値を指すものとする。

>>289
1行目，間違えた。
資格錐→四角錐

>>289
>底面が1辺の長さが2の正方形ABCDで，高さが6の正資格錐O-ABCDがある。

「がががが」改善きぼん

1辺の長さ2の正方形ABCDを底面とする高さ6の正四面体O-ABCDがある。
「ののの」がいまいちだな。だめだこりゃ。

>>289 のままだと不十分なところもあったので，あわせて改善。
1辺の長さが2の正方形ABCDを底面とする，高さが6の正四角錐O-ABCDがある。
ただし，OA=OB=OC=ODであるとする。
OBを2:1に内分する点をL，OCの中点をMとし，3点A，L，Mを通る平面πと
ODの交点をNとする。
(1) ON：NDを求めよ。
(2) Oとπの距離を求めよ。
ただし，平面πとその平面に属さない点Oの距離とは，πに属するすべての点A
に対して決まる線分OAの長さの最小値を指すものとする。

>>292
以下、V(〜)は「立体〜の体積」を表す。
(1) ON：ND=x：(1-x) とおく。
　　V(O-ALN)=1*(2/3)*x*V(O-ABD) ･･･(i)
　　V(O-MLN)=(1/2)*(2/3)*x*V(O-CBD) ･･･(ii)
　　V(O-LAM)=(2/3)*1*(1/2)*V(O-BAC) ･･･(iii)
　　V(O-NAM)=x*1*(1/2)*V(O-DAC) ･･･(iv)
　であり、また(i)+(ii)＝(iii)+(iv)（=V(O-ALMN)）で、さらに
　V(O-ABD)=V(O-CBD)=V(O-BAC)=V(O-DAC)（=4) なので、
　　1*(2/3)*x + (1/2)*(2/3)*x = (2/3)*1*(1/2) + x*1*(1/2)
　が成り立つ。これを解いてx=2/3が得られる。よって、
　ON：ND = 2:3 。

(2) (1)の結果から、四角形ALMN は面OACに関して対象な「凧形」である。
　よって求める距離は、「OからAMに下ろした垂線の長さ」にほかならない。
　ところで△OACは一辺が2√2の正三角形なので、AM⊥OM である。
　よって、(求める距離)=OM=√2 である。

ありゃ？まちごうた。
>>293 (1)の最後：
　「ON：ND = 2:3」は「ON：ND = 2:1」に訂正。

そっかー。意外につまらない問題になるんだね。
もう少し改題して，こんなのどお？
1辺の長さが2の正方形ABCDを底面とする，高さが6の正四角錐O-ABCDがある。
ただし，OA=OB=OC=ODであるとする。
OBを4:1に内分する点をL，OCの中点をMとし，3点A，L，Mを通る平面πと
ODの交点をNとする。
(1) ON：NDを求めよ。
(2) Oとπの距離を求めよ。
ただし，平面πとその平面に属さない点Oの距離とは，πに属するすべての点A
に対して決まる線分OAの長さの最小値を指すものとする。

age

【問題】
△ABCは直角三角形であり、かつ
周の長さと内接円の半径の和がｋに等しい（kは正の定数）。
△ABCの内接円の半径をrとするとき、ｒのとり得る値の範囲を求めよ。

>>267
269のご指摘の通り。

ｎ回続けて表が出るまでコインを投げつづけるとき、
コインを投げる回数の期待値を求めよ。

>>276
３組以上に分けれないのはそれで結構です。
あとは２組に分けれないことを頑張って示してください。
当たり前ですが、素数に注目してください。

>>295
(1) >>292 と同じやり方で、
　ON:ND=4:3 。
(2) O(0,0,6),A(√2,0,0),B(0,√2,0),C(-√2,0,0),D(0,-√2,0)とおく。
　すると、L(0,4√2/5,6/5),M(-√2/2,0,3)となるので
　　ベクトルAL=(-√2,4√2/5,6/5)
　　ベクトルAM=(-3√2/2,0,3)
で、これらはベクトル(2,1,√2)と垂直である。よってπの方程式は
　　2x+y+(√2)(z-2)=0
　となり、これとO(0,0,6)の距離は
　　|4√2|/√(4+1+2) = (4√14)/7

>>276はすでに２組にも分けられないこと言ってるよ
７のことに言及してるじゃん

>302
７を３組以上に分配できない、としか言ってないにょ

そうだね。ごめんちゃい

>>297

△ABCの１つの角を 2θ( 0<θ<π/4 )とおくと、三つの辺の長さはそれぞれ、
r(1+ 1/tanθ),
r{1+ tan(π/4-θ)},
r(1/tanθ + 1/tan(π/4-θ)}.

よって、k=2r{1 + 1/tanθ + 1/tan(π/4-θ)}.

1/tanθ + 1/tan(π/4-θ)
= {sinθ*cos(π/4-θ)+cosθ*sin(π/4-θ)}/{sinθ*sin(π/4-θ)}
= sin(π/4)/[{cos(π/4-2θ)-cos(π/4)}/2]
= 2/{√2 cos(π/4-2θ) - 1} ≧ 2/(√2 -1) [θ=π/8].

したがって、0＜r≦k/[2{1+2/(√2 -1)}]=(3-2√2)k/2.

×) r{1+ tan(π/4-θ)},
○) r{1+ 1/tan(π/4-θ)},

>>299
幾何分布。答えは2。
東大なら絶対に，『ただし，n2^(-n)→0 (n→∞)を用いてよい』って書くだろう。

>>307
答えはｎ以上になるので２ではない。

>>305
計算ミスがあるようです。

>よって、k=2r{1 + 1/tanθ + 1/tan(π/4-θ)}.
これは、k=r{3 + 2/tanθ + 2/tan(π/4-θ)} の間違いでしょう。

あと,続く1/tanθ + 1/tan(π/4-θ) の計算も最後にミスあり。

ごめん。題意を取り違えた。
『n回続けて表が出るまで』の回数の期待値ってことね。
でもこれって，『期待値の極限が収束することを用いてよい』
としないと，求めるのが非常に困難と思われますが？
たとえば，易しく『3回続けて』と改題したとしても，
解答は
『k回目までに3回続けて表が出なかったらその時点でやめることにする。
このとき投げる回数の期待値をE(k)とする。p=1/2と書くとき，
E(k+3)=p^3*3+p^2(1-p)*{3+E(k)}+p(1-p)*{2+E(k+1)}+(1-p)*{1+E(k)}
であるから，E(k)が収束することを仮定してその極限をEとすると，
E=(1+p+p^2)/p^3=14回』
となる。これをさらに一般のnにしたら・・・入試問題としては無理があるだろ。

がぎぐぐっ、まちがえた！
k=r{3 + 2/tanθ + 2/tan(π/4-θ)} じゃん.

>>309
うん、恥ずかしいでそ。やっぱ、紙の上でやんないとだめっすね…(欝

>>299

終了の条件を加えて改題を提案して答案だします。
「コイン１枚を繰り返し投げ、n-1回続けて表が出、n回目に裏が出た
時点で終了する。投げた回数nの期待値Eを求めよ。」

E = ��(i=1;∞){i/2^i}
= ��(i=1;∞)��(j=i;∞){1/2^j}
　= ��(i=1;∞)��(j=1;∞){1/2^(i+j-1)}
= ��(i=1;∞){1/2^(i-1)}
= 2

あ、答えでてた。

>>313
それは裏が一回続いて出たら終了ということ。

>>313
問題の意味がワカラン

【問題】
実数xに対して、xを超えない最大の整数を[x]と表す。
Nを自然数の定数として、自然数全体を定義域とする関数
　f(n)＝n＋[N/n]
を考える。
f(n)の最小値は[√(4N+1)]で与えられることを示せ。

nを正の整数とし、n個のボールを3つの箱に分けて入れる問題を考える。
ただし一個のボールも入らない箱があっても良いものとする。
次に述べる4つの場合についてそれぞれ相異なる入れ方の総数を求めたい。

(1) 1からnまで異なる番号のついたn個のボールを、
区別された3つの箱に入れる場合、その入れ方は全部で何通りあるか。

(2) 互いに区別のつかないn個のボールを、区別された3つの箱に
いれる場合、その入れ方は全部で何通りあるか。

(3) 1から まで異なる番号のついたn個のボールを、区別のつか
ない3つの箱に入れる場合その入れ方は全部で何通りあるか。

(4) nが6の倍数6mであるとき、 個互いに区別のつかないボールを
区別のつかない3つの箱に入れる場合その入れ方は全部で何通りあるか。


っていう過去問が結構面白かった。

>>292 は高校入試として使えそうだな。

>>318
96 理�T後期ね。(3)(4)が頭を使うね。
01 慶應・理工の最後の問題が少し似てる。

>>310
そうですか。無理がありますか。
僕としては、ｋ回目に投げ終える確率をｐ(ｋ)として、
ｋ＝１〜ｍまでｋ･ｐ(ｋ)を足して、ｍ＝∞のときにそれが収束することを示し、
その極限値を求めよという問題のつもりだったんですが。
たしかに、収束することまで示させるのは無理があるかもしれないけど、
得られた式を適当に評価することも大事だし、そのほうが面白いと思ったんで。

>>321
まず，p(k)がどんな式になるか。あなたの考えを聞かせてよ。
俺的には，それを立てるだけで東大の入試問題とはいえ十分すぎる
ものになると思うんだけど。

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井口先生関係・2ch過去ログ

井口和基博士って？
http://piza.2ch.net/log/sci/kako/961/961993833.html

国際的な物理学者が無職？
http://cheese.2ch.net/sci/kako/990/990342220.html

シュレッダー処分
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/sci/999158820/i

病気deathか。

>>322
具体的に求めるわけではありません。
漸化式で式変形を行い評価しようということです。具体的には、
ｐ(k)をｋ回目に終わる確率とし、ｑ(ｋ)をｋ回目までに終わらない確率とする。
但し、ｑ(０)＝１とします。すると、
　ｓｕｍ{ｋ＝１〜ｍ}ｋ・ｐ(ｋ)
＝ｓｕｍ{ｋ＝１〜ｍ}ｋ･(ｑ(ｋ−１)−ｑ(ｋ))
＝ｓｕｍ{ｋ＝１〜ｍ−１}ｑ(ｋ)−ｍ・ｑ(ｍ)　　　・・・（ａ）
となります。求める期待値はｍ＝∞のときの極限値です。
詳しくは書きませんが、ｍが十分大きいときｑ(ｍ)は指数関数的に減少するので
ｍ・ｑ(ｍ)はｍ＝∞のとき０に収束します。
あとは、ｑ(ｋ)のｋ＝１〜∞にわたる和の極値を求めれば終了です。
また分散も求めることができるはずです。
分散に関してはまだ確認してないので断言はできませんが。
　　　　　　　　　

一辺70cmの正方形の板に向けて
50発の散弾を撃ちこむとき、
少なくとも1組の散弾（2個の散弾）
の距離は15cm以内になることを証明せよ。
但し、50発の散弾は全て板に命中する
ものとする。

>>327
正方形の板を10cm×10cmの小正方形49個に分割して
鳩の巣原理をもちいる。
ちょっと簡単すぎ。

>>327
数学というよりクイズだな。
おもしろいけど。

>>310
『k回目までに3回続けて表が出なかったらその時点でやめることにする。
このとき投げる回数の期待値をE(k)とする。p=1/2と書くとき，
E(k+3)=p^3*3+p^2(1-p)*{3+E(k)}+p(1-p)*{2+E(k+1)}+(1-p)*{1+E(k)}
であるから，E(k)が収束することを仮定してその極限をEとすると，
E=(1+p+p^2)/p^3=14回』

の意味を詳しく教えてください。
特に『E(k+3)=p^3*3+p^2(1-p)*{3+E(k)}+p(1-p)*{2+E(k+1)}+(1-p)*{1+E(k)}
』
の漸化式はどの様な考えでたてるのでしょうか？
期待値の分割とかいうやつですか？

>>326
(ａ)式が間違っておりました。正しくはｋ＝０〜ｍ−１です。
したがって、下から３行目はｋ＝０〜∞です。

>>317
とりあえず無難な解答を。

ｇ(ｘ)=ｘ＋Ｎ/ｘとおくと、ｇ'(ｘ)＝1−ｎ／ｘ＾２より
ｇ(ｘ)はｘ≧Ｎ＾(1／2)のとき単調増加、ｘ≦Ｎ＾(1／2)のとき単調減少となる。
したがって、Ｎ＝ａ＾2＋ｂ(但しａ自然数,ｂは０≦ｂ≦２ａを満たす整数、
すなわちａ＾２≦Ｎ＜(ａ＋１)＾２を満たす)とおくと、
ｎ＝ａまたはｎ＝ａ＋１のどちらかでｆ(ｎ)は最小値をとる。
なおｆ(ａ)＝２ａ＋[ｂ／ａ],ｆ(ａ＋１)＝２ａ＋[(ｂ＋１)／(ａ＋１)]である。
(�@)ａ＞ｂのとき、ｂ／ａ＜(ｂ＋１)／(ａ＋１)より
minｆ(ｎ)＝ｆ(ａ)＝２ａである。また、
(２ａ)＾２＜４ｎ＋１
　　　　　＝４ａ＾２＋４ｂ＋１
　　　　　＜４ａ＾２＋４ａ＋１
　　　　　＝(２ａ＋１)＾２
より、２ａ＝[(４ｎ＋１)＾(１／２)]となる。
(�A)ａ≦ｂのとき、(ｂ＋１)／(ａ＋１)＜ａ／ｂより
minｆ(n)＝ｆ(ａ＋１)＝２ａ＋１である。また、
(２ａ＋１)＾２＝４ａ＾２＋４ａ＋１
　　　　　　　≦４Ｎ＋１
　　　　　　　＝４ａ＾２＋４ｂ＋１
　　　　　　　＜４ａ＾２＋８ａ＋４
　　　　　　　＝(２ａ＋２)＾２
より、２ａ＋１＝[(４ｎ＋１)＾(１／２)]となる。
(�@),(�A)より、minｆ(ｎ)＝[(４n＋１)＾(１／２)]を得る。

微分を使ってしまったのが悔やまれる。

>>332
>とりあえず無難な解答を。
無難でない解答も見たいな･･･

>>333
無いです。
無難な解答と書いたのは、解答に発想がほとんど無いということです。
個人的には微分を使わない解答を教えてほしい。

nを自然数の定数とする。また、
　0≦i≦j≦4n
を満たす整数i,jに対して
　f(i,j)＝�培(k-i)(k-j)|　（和はkについて0〜4nでとる）
とおく。
　f(i,j)の最小値を与えるi,jの値を決定せよ。

>>335をちょい考えてみたが
f(i,j)=�納0,i-1](k^2-(i+j)k+ij)-　�納i,j-1](k^2-(i+j)k+ij) +　�納j,4n](k^2-(i+j)k+ij)
=�納0,4n](k^2-(i+j)k+ij)-　2�納i,j-1](k^2-(i+j)k+ij)
=1/6*4n(4n+1)(8n+1)-1/2(i+j)4n(4n+1)+(4n+1)ij
- 2{1/6(j-1)j(2j-1)-1/6(i-1)i(2i-1)}+(i+j-1)(j-i)(i+j)-2ij(j-i)
=1/6*4n(4n+1)(8n+1) +1/3*j^3 -1/3*i^3 +(-2n(4n+1)-1/3)*j +(-2n(4n+1)+1/3)*i
+(4n+1)ij -ij^2 +i^2j
=1/6*4n(4n+1)(8n+1) +1/3*(j-i)(j^2 -2ij +i^2 -1) +(4n+1)(j -2n)(i-2n) -4n^2(4n+1)
=定数 +1/3*(j-i)(j-i+1)(j-i-1) +(4n+1)(j-2n)(i-2n)
を考えるのか？？うまくいかな〜い。ギブ〜

>>335は
4n^3+3n^2 を求めてそれが最小値であることを示す方向で考えたが
あっという間に45分過ぎて時間切れヽ（；´д｀）ﾉ
しかも面倒臭くて途中で一部計算を放棄。ぎぶあっぷ

方針：二次関数の平行移動で考える

・j-iが偶数のとき
(i+j)/2=2nまで平行移動するほうがｆを小さくできる。
　0.1.2付近や4n-1.4n付近を見るとわかる
i=nのときはその中でも最適である。
　上下に平行移動したときの値変化１が+か-かを見るとちょうどいいことがわかる

・j-iが奇数のとき
(i+j)/2=2n+1まで平行移動するほうがｆを小さくできる。
　同様の理由
その中の最適は(i,j)＝(n,3n+1),(n-1,3n)である。
　同様の理由

(n,3n)と(n,3n+1)の比較は
二つの差をとったもので
(1+2+...+n)+(1+2+...+2n)>(2n+1)+(2n+2)+...+3n
(i,j)=(n,3n)で最小である。

>>277,278 いわゆる「ナポレオンの定理」
A,B,Cが反時計周りに位置しているとし、G(δ),H(ε),I(ζ)とおく。
簡便のため cosθ+i*sinθ=<θ> で表す。
また、複素数 z の共役複素数を #z で表す。

(1) δ= (α-β)<30>+β={α(√3+1)/2+β(√3-i)/2}/√3
(2) δ= (α<30>+β<-30>)/√3, 同様に、ε=(β<30>+γ<-30>)/√3.
便宜的に△ABCの重心を原点0に平行移動したものとして、α+β+γ=0 と考えると、
(実際には α',β',…)

δ<120>
=<120>(α<30>+β<-30>)/√3)
=(α<150>)+β<90>)/√3
=(-γ<150>-β<150>+β<90>)/√3
={γ<-30>+β(√3-i)/2+iβ)/√3
={γ<-30>+β<30>}/√3 =ε. 同様に、ε<120>=ζ.

このことは、△GHIが、△ABCの重心を中心とする円に
内接する正三角形であることを示している。

(3) GIに関してAと対称な点をK(κ)、GHに関してBと対称な点を
L(λ)とおくと、K,Lはそれぞれ、C_1とC_3、C_1とC_2の交点である。
便宜的にGを原点0に平行移動したものとして考えると、
κ=ζ*#(α/ζ), λ=ε*#(β/ε).

ここで、α/β=<120>, ζ/ε=<60>より、
κ/λ
=<60>*#(<120>/<60>)
=<60>(<-120>/<-60>)
=<-60>/<-60>=1
であるから、κとλは一致し、C_1とC_2とC_3は一点で交わる。

＃初等幾何で解く方が何倍も簡単だよ〜。
って、交点が内部にあることがまだだった。

交点をKとするとき、∠AKB=∠BKC=∠CKA=120であることから、
△ABCの各角が120未満ならOKなのは初等幾何、でいい？

連続する１０個の自然数の中には５の倍数がちょうど２個ずつあるので３組以上
に分けると少なくとも１組は積が５の倍数となり少なくとも１組は積が５の倍数
にならないので積が等しくなるように３組以上に分けることはできない。
あとは２組に分けることができないことを示す。
連続する１０個の自然数の中には１１の倍数が０個もしくは１個含まれる。１１
の倍数が１個含まれる場合、２組に分けると一方は１１の倍数になりもう一方は
１１の倍数にならないので積が等しくなるように２組に分けることはできない。
１１の倍数が含まれない場合、１０個の自然数は１１で割ると１〜１０余る自然
数なので、それらすべての積を１１で割ると１０余る。積が等しくなるように２
組に分けることが出来るならば１０個全ての積が平方数であるが、しかし、平方
数を１０で割った余りは１，３，４，５，９のどれかなので、この場合平方数に
なっておらずよって積が等しくなるように２組に分けることは出来ない。
以上より題意は示された。

a

>>330の解説、誰かお願いします・・・

以下のように理解できると思います。


以下の４つの場合を考えます。ｋ回目までのコインの出方の集合をＳ(ｋ)とする。
(１)最初が裏のとき
その確率は１／２で、その後はＳ(ｋ＋２)に従う。したがって、
２回目からｋ＋３回目までにコインを投げる回数の条件付き期待値は
Ｅ(ｋ＋２)であり、よって、最初が裏である場合のＥ(ｋ＋３)への寄与分は
　　　　　{１＋Ｅ(ｋ＋２)}×(１／２)
である。
(２)最初の２回が表裏の順番であるとき
その確率は１／４で、その後はＳ(ｋ＋１)に従う。したがって、
３回目からｋ＋３回目までにコインを投げる回数の条件付き期待値は
Ｅ(ｋ＋１)であり、最初の２回が表裏の順番である場合のＥ(ｋ＋３)への寄与分は
　　　　　{２＋Ｅ(ｋ＋１)}×(１／４)
である。
(３)最初の３回が表表裏の順番であるとき
その確率は１／８で、その後はＳ(ｋ)に従う。したがって、
４回目からｋ＋３回目までにコインを投げる回数の条件付き期待値はＥ(ｋ)であり、
よって、最初の３回が表表裏の順番である場合のＥ(ｋ＋３)への寄与分は、
　　　　　{３＋Ｅ(ｋ)}×(１／８)
である。　　　　
(４)最初の３回が全て表のとき
そこで終了であり、
その確率は１／８でコインを投げる回数の条件付き期待値は３／８である。

以上(１)〜(４)より
　　　　　Ｅ(ｋ＋３)＝３／８＋{１＋Ｅ(ｋ＋２)}／２＋{２＋Ｅ(ｋ＋１)}／４
　　　　　　　　　　　＋{３＋Ｅ(ｋ)}／８
を得る。


ちょっと分かりにくいかもしれませんがこういうことだと思います。
書いてある式が微妙に違いますがこちらが正しいと思います。
何か不備があれば指摘してください。

>>344
ありがとうございます。
この問題以外でも使えそうな考え方ですね。。。

344の訂正です。
(４)の条件付き期待値は３で、Ｅ(ｋ＋３)への寄与分が３／８です。

ここからは私の考察です。

漸化式を整理すると、
Ｅ(ｋ＋３)＝７／４＋Ｅ(ｋ＋２)／２＋Ｅ(ｋ＋１)／４＋Ｅ(ｋ)／８
となる。定義よりｉ≧ｊのとき明らかにＥ(ｉ)≧Ｅ(ｊ)
よって、ｋ≧３のとき
Ｅ(ｋ)≦７／４＋(７／８)Ｅ(ｋ)
⇔Ｅ(ｋ)／８≦７／４
⇔Ｅ(ｋ)≦１４
を得る。よって、数列{Ｅ(ｋ)}は上に有界でかつ単調増加数列なので、
ｋ＝無限大のとき極限値を持つ。よって、Ｅ(ｋ)は収束することがわかる。

この考えを用いれば一般のｎに拡張することも簡単だった。
326でやったようなめんどくさいことはしなくてすむし、
十分大学入試でも使えると思う。
出題した自分が一番勉強したかもしれない。

一般のｎへの拡張をおしえてください・・・

>>299 は来年か再来年の東大入試に使われるな。

310 を書いたものです。久しぶりに見たらこんなことになっていて。
晴れのちぐぅさん。すみません。
本来私が返答しないといけないところを返答していただいた上に
ミスまで直してくださいまして，ありがとうございます。
しかし，私はむしろ>>326 の解法に脱帽しました。私の負けです。

意表を突いて、、、

三角形の各頂点から対辺に垂線を下すと一点で交わることを示せ

なんてのはどう？
９９年の三角関数の加法定理と同程度の問題だと思うけど。

>>350
今年の名古屋市立大・経済，芸術工で同趣旨の問題が
(複素数平面の問題として)出題されています。良問ですね。
さらに意表をついて，
『�僊BCにおいて，AB=AC⇔∠ABC=∠ACBを証明せよ。』
とか。あっ，これは平面幾何になっちゃうから範囲外か？

>>350
ベクトルの内積、複素数平面、純粋に平面幾何の手法で解ける。
ノーヒントならベクトルでやるかな。

p, q, r を互いに素な自然数とするとき、
�@ p, 2p, 3p, …… ,(q−1)p のそれぞれを q で割った余りが全て異なることを証明せよ。
�A r^(p−1)を p で割った余りは必ず１になることを証明せよ。

>>353
フェルマーの小定理は京都が何度か出している(ノーヒントのこともあった)
ので，いまさら東大が出すとは思えないのですが。

>>353
３＾（４−１）を４で割ると３余るので証明できない。
あと丸数字は使うな。

私もこんな問題を一問。

「ｎ人の人が１つずつプレゼントを持っている。
このプレゼントを一回集めた後、全員に一個ずつ配る。
このとき全員が他人のプレゼントを貰う確率をp[n]とする。

lim[n→∞]p[n]を求めよ。」

>>355
ネタ？
３＾（４−１）を４で割ると１余るので

>357
>ネタ？
>３＾（４−１）を４で割ると１余るので

3^(4-1)=3^3=27=4*6+3
あっネタを書こうと思ってるの？

>>356
まあまあの手応え。でもEXPのマクローニン展開を知らないとできないのでは？
答：EXP（-1）

解：
全員が他人のプレゼントを貰う場合の数をq[n]として漸化式
q[n]=(n-1){q[n-1]+q[n-2]}、q[3]=2、q[2]=1を得る。
ｎ!などで割ってp[n]の漸化式にすると
p[n]=(n-1)/ｎ･{p[n-1]}+1/ｎ･{p[n-2]}、p[3]=1/3、p[2]=1/2を得る。
これを解くと、p[n]=Σ(-1)^ｎ/(ｎ!)となる。
よって、ｎ→∞のときEXP(x)のマクローニン展開にx=-1を代入することで
EXP(-1)を得る。

マクローニン展開を知ってれば東大理系にしては普通くらいの問題かな。
確率の漸化式も比較的普通に出せるだろう。
マクローニン展開なしでやる方法はあるのだろうか。

それにしても確率で約４０％近くになるのか、、、
意外に大きいな。

マクローニン？
ネタ？

なんで丸数字つかっちゃだめなの？

スマソ
マクローリンだよ。

>>362
たぶん、ウィンドウズ以外じゃ文字化けするから。

>362
使ってもいいよ
読めない奴が一部いるけど
読めない機械使ってる方が悪い

>>357
計算間違いしたの？

わ〜い！わ〜い！
丸数字いぱ〜い使っちゃお！
�@�A�B�C�D�E�F�G�H�I�J�K�L�M�N�O�P�Q�R�S

>>367
計算間違いしたの？

>>347
一般のｎへの拡張を考えます。


終了の条件を加えたときのｍ回目までにコインを投げる回数の期待値をＥ(ｍ)、
ｍ回目までのコインの出方の集合をＳ(ｍ)とする。ｋ(１≦ｋ≦ｎ)回目に初めて
裏が出たとき、その確率は１／２＾ｋであり、(ｋ＋１)回目からｍ回目までのコ
インの出方はＳ(ｍ−ｋ)に従う(但し、ｍ≧ｎ＋１)ので、ｋ回目にはじめて裏が
出た場合のｍ回目までにコインを投げる回数の条件付き期待値はｋ＋Ｅ(ｍ−ｋ)
であり、Ｅ(ｍ)への寄与分は{ｋ＋Ｅ(ｍ−ｋ)}／２＾ｋである。
また、ｎ回目まで全て表が出たときはそこで終了であり、その確率は１／(２＾ｎ)
であるのでＥ(ｍ)への寄与分はｎ／(２＾ｎ)である。これらから、

Ｅ(ｍ)＝ｓｕｍ(ｋ＝１〜ｎ)[{ｋ＋Ｅ(ｍ−ｋ)}／２＾ｋ]＋ｎ／２＾ｎ
　　　＝(ｎ／２＾ｎ)＋ｓｕｍ(ｋ＝１〜ｎ)(ｋ／２＾ｋ)
　　　　　　　＋ｓｕｍ(ｋ＝１〜ｎ){Ｅ(ｍ−ｋ)／２＾ｋ}

という漸化式を得る。

Ｔ＝ｓｕｍ(ｋ＝１〜ｎ)(ｋ／２＾ｋ)

とすると、

Ｔ＝２Ｔ−Ｔ
　＝ｓｕｍ(ｋ＝０〜ｎ−１){(ｋ＋１)／２＾ｋ}
　　−ｓｕｍ(ｋ＝１〜ｎ)(ｋ／２＾ｋ)
　＝ｓｕｍ(ｋ＝１〜ｎ−１)(１／２＾ｋ)＋１−ｎ／２＾ｎ
　＝{(１−１／２＾(ｎ−１)}＋１−ｎ／２＾ｎ
　＝２−１／２＾(ｎ−１)−ｎ／２＾ｎ

となる。よって、

Ｅ(ｍ)＝２−１／２＾(ｎ−１)＋ｓｕｍ(ｋ＝１〜ｎ){Ｅ(ｍ−ｋ)／２＾ｋ}

を得る。定義より明らかにｉ≧ｊのときＥ(ｉ)≧Ｅ(ｊ)なので、

Ｅ(ｍ)≦２−１／２＾(ｎ−１)＋ｓｕｍ(ｋ＝１〜ｎ){Ｅ(ｍ)／２＾ｋ}
　　　＝２−１／２＾(ｎ−１)＋(１−１／２＾ｎ)Ｅ(ｍ)
　⇔
Ｅ(ｍ)／２＾ｎ≦２−１／２＾(ｎ−１)　　　　　∴Ｅ(ｍ)≦２＾(ｎ＋１)−２

である。Ｅ(ｍ)は単調増加かつ上に有界なのでｍ＝無限大のとき極値を持つ。
ｍ＝∞のときの極値をＥ(∞)とおくと、

Ｅ(∞)＝２−１／２＾(ｎ−１)＋ｓｕｍ(ｋ＝１〜ｎ){Ｅ(∞)／２＾ｋ}
　　　＝２−１／２＾(ｎ−１)＋(１−１／２＾ｎ)Ｅ(∞)
∴Ｅ(∞)／２＾ｎ＝２−１／２＾(ｎ−１)
∴Ｅ(∞)＝２＾(ｎ＋１)−２

よって、求める期待値は２＾(ｎ＋１)−２である。

　　　　　

a,bを実数、f(x) ＝ x^2 ＋ a x＋ c とする。
このとき y＝|f(x)| の−1≦x≦1 での最大値を max|f(x)|と書くとき、
『 max|f(x)|≧1/2 が常に成り立ち、かつ等号が成立するのは
f(x)＝f_0(x)＝ x^2−1/2 のときのみ』・・・(※）
であることを証明せよ。
必要ならば『任意の３点を通る直線は存在しない』・・・（※※）
を用いてよい。

>>359
すばらしい。そんな感じ。もうちと感覚的にやっても
多少のやり方の減点を覚悟すれば高校レベルでも出来ます。
1/eっていう答えの美しさに感動した。

こんなのもどーかな。

「n^n^n=n^(n^n)　、n^n^n^n=n^{n^(n^n)}･･･というように上の方から順番に計算していくものとする。

a[1]=√2
a[2]=√2^√2
a[3]=√2^√2^√2
a[n]=√2^√2^√2････√2(←n個√2がある。）

とすると、lim[n→∞]a[n]　を求めよ」

>>370
f(-1)-f(0)=1-a ・・・（あ）
f(1)-f(0)=1+a　・・・（い）
で、（あ）（い）のうち少なくとも一方は1以上なので、
-1≦x≦1におけるf(x)の値域の幅は1以上である。
よってmax|f(x)|≧1/2 がいえる。

とくに「max|f(x)|＝1/2 」となるためには、上の議論から
「a＝0」が必要で、このときf(x)=x^2+c となり、
これが「max|f(x)|＝1/2 」を満たすには
　f(1)≦1/2　かつ　f(0)≧−1/2
が成り立てばよい。よってc＝1/2 。

誘導に乗れなくてスマソ。
ちなみに
『任意の３点を通る直線は存在しない』・・・（※※）
ってゆう表現はヘンじゃないか？

>>372
×よってc＝1/2
○よってc＝−1/2

>>370
その問題は大学入試で激しくガイシュツ。
東大では90年に3次バージョンを出している。いまさら出すとは思えないが･･･

>>371
答は２だ。

恐らく一般形としては、b>1として
a[n]=（b^1/b）^（b^1/b）^（b^1/b）^･･･（b^1/b）(←n個b^1/bがある。）
となるだろう。
このときの極限値はb。
証明はわからない。

わかりにくいかもしれないので念のため。

a[n]=（2^1/2）^（2^1/2）^（2^1/2）^･･･（2^1/2）(←n個2^1/2がある。）

√2のときは↑ね。
どうやってやるんだろう？答の予測はあっさりできたのに。

よって逝し

>370
チェビシェフの多項式やろ？
筑波かどっかでも出てたし、結構頻出．
有理解とか整数係数多項式の問題にもなった気がする

>>378
その問題おしえて

眠れずに考えた。>>375はちょっと訂正が必要だ。
極限値はe（自然対数）を境に変わる。

{a[n]}^2=2^a[n‐1]よりa[n]/a[n‐1]=2log{a[n]}/{a[n]log2}。
ここで、関数y=logx/xを考える。
0<x<1で0未満、x=1で0、x>1で0より大、x=eで極大値1/e。
これを考慮して、a[n]>1などから、n→∞のとき、a[n]/a[n‐1]はある有限の値をとる。
その有限値は1としてよい（かなりあやしい）。
すると、a[n]の極限値は2又は4。
a[1]=√2であるので、極限値は2（初項がeより大きければ4）。

厳密な証明は誰か教えてほしい。
一般形のときの極限値も初項がeより大か小かで２通り。eのときはeのみ。

＞（初項がeより大きければ4）
間違い。

>>381
正解を教えてくれよ。
初項が4より大きければ、4だな、たぶん。

>>379
以下のような問題があります。
(１)最高次の係数が２＾(ｎ−１)であるｎ次の多項式ｆ(ｘ)で、|ｘ|≦１
　　を満たす全ての実数ｘに対して、|ｆ(ｘ)|≦１を満たすものが唯一つ
　　存在することを証明してください。但し、ｎは自然数とします。
(２)cos(２π／ｎ）が有理数となるような自然数ｎを全て求めてください。
(３)sin(２π／ｎ）が有理数となるような自然数ｎを全て求めくてださい。

tanについても誰か考えて下さい。てか、教えて。

ａ，ｂを実数とする。
ｘについての２次方程式
（ａ＋ｉ）ｘ＾２＋（２ｂ＋（２ａ＋１）ｉ）ｘ＋（ｂ＋２ｂｉ）＝０
が実数解を持つための条件を求めよ。

すべての自然数はいくつかの整数の２乗の和もしくは差で表されることを示せ。

例）
29=2×2+5×5
56=1×1‐3×3+8×8

３角形ＡＢＣの内接円をＯとする。円Ｏと３辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢとの接点を
Ｐ，Ｑ，Ｒとする。線分ＡＱ，ＡＲ，円Ｏに同時に接する円と円Ｏとの接点をＬ，
線分ＢＲ，ＢＰ，円Ｏに同時に接する円と円Ｏとの接点をＭ，線分ＣＰ，ＣＱ，円Ｏ
に同時に接する円と円Ｏとの接点をＮとする。このときＰＬ，ＱＭ，ＲＮは一点で
交わることを証明せよ。(７円の定理のvariety)

>>385
１＝１×１。
２＝１×１＋１×１。
３＝１×１＋１×１＋１×１。
４＝１×１＋１×１＋１×１＋１×１。
５＝１×１＋１×１＋１×１＋１×１＋１×１。

>>385は「絶対値の異なる」整数という趣旨だと思われ。

>>385 (>>388の解釈で)
n≧1で
2n+1=(n+1)^2-n^2
2n+2=(n+2)^2-(n+1)^2-1^2
これで3以上は解決。
1=1^1
2=4^2-3^2-2^2-1^2
これで全部解決。

>>371
371を少しだけ拡張して以下のような問題を考えます。

問題　Ａを実数とする。また、Ａ(１)＝Ａとして数列{Ａ(ｎ)}を
　　　　　　　　Ａ(ｎ＋１)＝２＾{Ａ(ｎ)／２}　(ｎ≧１)
　　　で定義する。ｎ＝∞のときのＡ(ｎ)が収束するならばその極限値を求め、
　　　発散するならば発散することを証明せよ。

解答　Ｆ(ｘ)＝２＾(ｘ／２)，Ｇ(ｘ)＝２＾(ｘ／２)−ｘとする。
　　　このとき、
　　　　　　Ａ(ｎ＋１)＝Ｆ(Ａ(ｎ))
　　　　　　Ａ(ｎ＋１)−Ａ(ｎ)＝Ｇ(Ａ(ｎ))
　　　であり、ｘ≦２のときＦ(ｘ)≦２、２＜ｘ＜４のときＦ(ｘ)＞２，
　　　Ｆ(４)＝４，ｘ＞４のときＦ(ｘ)＞４である。また、
　　　　　　Ｇ'(ｘ)＝{(log２)／２}・{２＾(x／２)}−１
　　　より、α＝２log(２／log２)(ここでlog２＜１およびlog２＞１／２より
　　　２＜α＜４である)とすると、Ｇ(x)はｘ≦αで単調減少、ｘ≧αで単調増加
　　　である。これとＧ(２)＝Ｇ(４)＝０より、ｘ≦２でＧ(ｘ)≧０，２＜ｘ＜４
　　　でＧ(ｘ)＜０，ｘ＝４でＧ(ｘ)＝０，ｘ＞４でＧ(ｘ)＞０である。以上より
　　　　　「Ａ(ｎ)≦２のとき２≧Ａ(ｎ＋１)≧Ａ(ｎ)，２＜Ａ(ｎ)＜４のとき
　　　　　　２＜Ａ(ｎ＋１)＜Ａ(ｎ)＜４，Ａ(ｎ)＝４のときＡ(ｎ＋１)＝４，
　　　　　　Ａ(ｎ)＞４のときＡ(ｎ＋１)＞Ａ(ｎ)＞４」・・・(ａ)
　　　であり、さらにＧ(２)＝Ｇ(４)＝０より
　　　　　「{Ａ(ｎ)}が極限値を持つ場合それは２か４」・・・(ｂ)
　　　である。
　　　(１)Ａ≦２のとき
　　　Ａ(１)≦２なので(ａ)より帰納的に
　　　　　　Ａ(１)≦Ａ(２)≦・・・≦Ａ(ｎ)≦・・・≦２
　　　であり、数列{Ａ(ｎ)}は単調増加かつ上に有界なので極限値を持つ。
　　　Ａ(ｎ)≦２および(ｂ)より極限値は２である。
　　　(２)２＜Ａ＜４のとき
　　　２＜Ａ(１)＜４なので(ａ)より帰納的に
　　　　　　２＜・・・＜Ａ(ｎ)＜・・・＜Ａ(２)＜Ａ(１)＜４
　　　であり、数列{Ａ(ｎ)}は単調減少かつ下に有界なので極限値を持つ。
　　　２＜Ａ(ｎ)＜Ａ＜４および(ｂ)より極限値は２である。
　　　(３)Ａ＝４のとき
　　　Ａ(１)＝４なので(ａ)より帰納的にＡ(ｎ)＝４であり、極限値も４である。
　　　(４)Ａ＞４のとき
　　　Ａ(１)＞４なので(ａ)より帰納的にＡ(ｎ)＞４である。また、
　　　　　　Ｆ''(ｘ)＝{(log２／２)＾２}・{２＾(x／２)}＞０
　　　なので、
　　　　　「Ｆ(x)は下に凸な関数」・・・(ｃ)
　　　である。点(４，４)におけるＹ＝Ｆ(ｘ)の接線の方程式をＹ＝Ｈ(ｘ)とする
　　　と、(ｃ)より
　　　　　　Ｆ(ｘ)≧Ｈ(ｘ)
　　　　　　　　 ＝(２log２)・ｘ＋４−８log２
　　　なので、Ａ＝４＋β(βは０より大きい実数定数)とおくと
　　　　　　Ａ(n＋１)−Ａ(ｎ)≧(２log２−１)Ａ(ｎ)＋４−８log２
　　　　　　　　　　　　　　＝(２log２−１)･β
　　　となる（ここで、２log２−１＞０である)。よって、
　　　　　　Ａ(ｎ)＞Ａ(１)＋(ｎ−１)･(２log２−１)･β
　　　であり、ｎ＝∞のときＡ(ｎ)は＋∞に発散する。
　　　以上(１)，(２)，(３)，(４)より
　　　　「Ａ＜４のとき{Ａ(ｎ)}は収束し極限値は２
　　　　　Ａ＝４のとき{Ａ(ｎ)}は収束し極限値は４
　　　　　Ａ＞４のとき{Ａ(ｎ)}は発散する」
　　　ことが分かる。　
　　
これで終了。

>>390
細かいことですがいくつか訂正を書きます。
１つ目の訂正
「問題　Ａを実数とする。」ではなく「問題　Ａを実数の定数とする。」
２つ目の訂正
「さらにＧ(２)＝Ｇ(４)＝０より
　　「{Ａ(ｎ)}が極限値を持つ場合それは２か４」・・・(ｂ)
　である。」
ではなく
「さらにこれまでの議論からG(ｘ)＝０の解はｘ＝２，４のみなので
　　「{Ａ(ｎ)}が極限値を持つ場合それは２か４」・・・(ｂ)
　である。」
３つ目の訂正
「(４)Ａ＞４のとき
　　　Ａ(１)＞４なので(ａ)より帰納的にＡ(ｎ)＞４である。」
ではなく、
「(４)Ａ＞４のとき
　　　Ａ(１)＝Ａ＞４なので(ａ)より帰納的にＡ(ｎ)≧Ａ＞４である。」
４つ目の訂正
「Ａ(n＋１)−Ａ(ｎ)≧(２log２−１)Ａ(ｎ)＋４−８log２
　　　　　　　　　＝(２log２−１)･β
となる（ここで、２log２−１＞０である)。よって、
　　　　　　Ａ(ｎ)＞Ａ(１)＋(ｎ−１)･(２log２−１)･β
　　　であり、ｎ＝∞のときＡ(ｎ)は＋∞に発散する。」
ではなく
「Ａ(n＋１)−Ａ(ｎ)≧(２log２−１)Ａ(ｎ)＋４−８log２
　　　　　　　　　≧(２log２−１)Ａ＋４−８log２
　　　　　　　　　＝(２log２−１)(４＋β)＋４−８log２
＝(２log２−１)･β」
となる（ここで、２log２−１＞０である）。よって、
　　　　　　Ａ(ｎ)≧Ａ(１)＋(ｎ−１)･(２log２−１)･β
　　　であり、ｎ＝∞のときＡ(ｎ)は＋∞に発散する。」
以上です。

>>375-376,>>380-382,>>390-391
おぉう、わしがここ来る度に下がっててきづかんかった。まじスマソ。


その通りです。当初の発問者の意図とはかけ離れた問題に発展していってビクーリですが、もちろん、原題の答えは２です。

あの問題だけを証明するならこんな証明が出来ます。
a(1)=√2　<　2
a(k)<√2の時、
a(k+1)=√2^a(k)<　√2^2=2
これより帰納的にa(n)は全ての自然数に於いて2未満である。
また、y=√2^xのグラフはy=xのグラフとx=2,4の２点で交わることを考えると、
1<x<2のとき、√2^x>xである。つまり、
a(n+1)>a(n)は任意の自然数nに於いて成り立つ。
以上より、lim[n→∞]a(n)=2

ここで、こんな発展系があります。是非、お考え下さい。

「n^n^n=n^(n^n)　、n^n^n^n=n^{n^(n^n)}･･･というように上の方から順番に計算していくものとする。

k>1とするとき、数列a(n)を以下のように定義する。
a(1)=k
a(2)=k^k
a(3)=k^k^k
a(n)=k^k^k････k(←n個kがある。）

とすると、lim[n→∞]a(n)　が収束するためのkの条件を求めよ。」

>>392
k=<e^(1/e)

>>393
お、おぅっ、速レス・・そうなのです。なかなか面白い答えに学生時代感動した覚えがあります。eのe乗根だからねー。

ちなみに、
y=x^(1/x)、つまりxのx乗根の極大値もeのe乗根。eって不思議と思ったのー。

age

kを3以上の定数とする。
実数a,b,cが
　a+b+c=k , a≧1,b≧1,c≧1
を満たすとき、
(a/b) + (b/c) + (c/a) のとり得る値の範囲を求めよ.

>>392
極限値が２より小さく１より大きいこと、そして、単調増加数列であること
はわかった。
しかし、それだけで極限値が２であると言いきれるのか？
1.9くらいで止まらず２が極限であると言うには不十分ではないか？

>>397
ａ（ｎ）は単調で有界なのでｓ＝ｌｉｍ（ａ（ｎ））は存在する。
ａ（ｎ＋１）＝（√２）＾ａ（ｎ）でｎ−＞∞として
ｓ＝（√２）＾ｓでｓ≦２となる。
これを満たすのはｓ＝２だけなのでｌｉｍ（ａ（ｎ））＝２。

次の条件を満たす点(x,y)の領域を図示せよ。
x^4+(xy)^2+xy*|x|/2≧x^2/2 または x^2+y^2≦|y|
x^2+y^2≦1

♥

次の条件を満たす有理数係数3次方程式の例を挙げ、
確かに条件を満たしていることを証明せよ。

条件：どの解αに対しても、他の解βを
β=aα^2+bα+c（a,b,cは有理数）という形に表すことができない。

（参考：たとえば3次方程式 x^3+x^2-2x-1=0 は、
1つの解をαとすれば α^2-2 も解になる。）

>>399
手元の紙にならともかく
どうやってここに図示したらいいですか？
教えてください。

{a_n}、{b_n}をそれぞれ等差数列とする。
{a_n}の項を勝手に並べかえて数列{c_n}を
{b_n}の項を勝手に並べかえて数列{d_n}を
作る。このとき和
c_1×d_1＋c_2×d_2＋ ・・・・・ ＋c_n×d_n
を最大、最小にするときの条件を求めよ。
（もう既にどこかで出題されてたかも知れないけど・・・・・・）

>403
等差じゃなくてもいいのでは？

>>403
ａ≦ｂ，ｃ≦ｄならａｄ＋ｂｃ≦ａｃ＋ｂｄ。

>>401
ｘ＾３−２＝０。
３つの解をｐ，ｑ，ｒとする。（ｐ∈Ｒ）
ａｐ＾２＋ｂｐ＋ｃ（ａ∈Ｑ，ｂ∈Ｑ，ｃ∈Ｑ）は実数なので
ｑ，ｒをａｐ＾２＋ｂｐ＋ｃという形に表すことはできない。
Ｉｍ（ａｑ＾２＋ｂｑ＋ｃ）＝（−ａｐ＋ｂ）Ｉｍ（ｑ）
なのでｐ＝ａｑ＾２＋ｂｑ＋ｃとなるためには
ａ＝０，ｂ＝０でなくてはならないがｐは無理数なので
ｐ＝ａｑ＾２＋ｂｑ＋ｃとはならない。
ｐ＝−ｑ−ｒなのでｒ＝ａｑ＾２＋ｂｑ＋ｃとはならない。

>>402
>>399は趣向作。これが題意だ。
http://www.est.co.jp/fe/kamon/list/img/item/tomoe/tomoe05.gif
図でなくて言葉で答えてもらってもいい。
ちなみに>>400は>>273の答だ。>>253も。

ん？>>405

どうかしたか？　>>408

ad+bcてなに？>>405

>>410
ａ×ｄ＋ｂ×ｃ。

項4つじゃないよ

カップ麺のふたを開けるときの軌跡の体積を求めてね。
なおカップ麺のふたは直径１５ｃｍの円としてつまみの部分は無視してＯＫ。

>カップ麺のふたを開けるときの軌跡
ふたの通過する領域、というほうがよいと思われ。
ちなみにこれ、代ゼミ（or河合？）の東大模試であったような。

>>413
０。

＞４１３
代ゼミ東大の過去問からパクっただろう？
もっと面白いの出してやる。
問題　平面α上に半径が１の円がある。その円周上に定点Ｐと、Ｐとは異なる
　　　点Ｑをとり､線分ＰＱを直径とする半円をαに垂直になるように立てる。
　　　点Ｐを固定してＱを自由に動かすとき､この半円が通過する部分の
　　　体積を求めよ。

実は､ていうか当たり前なんだけど通過する立体は半径が１の半球になる。
ここではそのことを用いないで解いてってことね。
　　

>>403

>>405が正解だって
まあ、もう少し丁寧に書いてあげなよ。

>>404の言うとおり等差にする意味はないっしょ。
で等差とは限んないとして、

まあc_nが小さい順てことで固定する（していいのは分かるよねん）
（もちろん理解しやすいようにこうしてみただけ）
そしたら
あとは>>405の主張の通りに理解できるよん
つまり
最大はd_nがc_nの大小と全く同じ大小で対応をした状態に行き着く
（405の交換を使うとね）
まあ小さい順に並んだってことね。
同じく最小は、大小の順が逆であると。

ということでいいんだよね？>>405

平面上の異なる4つの点A,B,C,D で、次の条件：
（★）4点のうちどの3点も一直線上になく、かつ
　　これらのうちの2点間の距離の最大値は1である
を満たすものを考え、
これら4点を周または内部に含む最小の円の半径をｒとする。

A〜Dを、(★)の条件を満たすようにして変えるとき、
ｒの取り得る値の範囲を求めよ。

1/2≦r≦√3/3

a+b=2のとき、2^a+16^bの最小値を求めよ。（ただしa>0,b>0）

この問題の意味は
「当たり前と思えることをかっちり論証する」
と言う意味なんじゃ？京大向けか？ﾋｮﾄｼﾃ
だから、答だけ書いてみてもしょうがない。
それで>>403は「ん？」と思ったんじゃないの？
それに下手にやると例えば、{a_n}、{b_n}がどちらも正数列のとき
最大値を与える論証を適用して実は逆に最小値を与えてたりして。。。
そりゃ俺ﾀﾞｰ鬱。

>>420
問題変。最小値＝なし

>>422
そうか？
2^a+16^(2-a)=(2^a)/4+(2^a)/4+(2^a)/4+(2^a)/4+256*2^(-4a)
≧5
(∵相加相乗平均の不等式)
等号成立は(2^a)/4=1つまり，a=2(b=0)のとき

>>422
そうか！b=0 は不適なのか。

>>423
だから問題変なんじゃん。よく読んでみ。たぶん出題者は相当なＤＱＮと思われ（藁

あ、422は俺
>>423
しかしそのやり方を知ってるとは……ｗ

通りすがりの者ｻﾝ
>>418 の解答きぼーん

>>421
>この問題の意味は
>「当たり前と思えることをかっちり論証する」
>と言う意味なんじゃ？京大向けか？ﾋｮﾄｼﾃ

1987年の東大で類題が出とるよ。

>>427
解答書くのは好きじゃないんだが……ｗ
図がないから、勝手に想像してくれ。
最小値が1/2になるのは明らか。
で、まず距離が１の二点を取り、それぞれを中心とする半径１の円を描く。
その共通部分に、それを含む円の半径が一番大きくなるように三点目を取る。２ヶ所ある。
そして三点目を中心とする半径１の円を描く。
その共通部分（ルーローの三角形）のどこに四点目以降をとってもあとはそれらを含む円の半径同じ。
で、このときの半径が
で、このときの√3/3 （これは自分で図を書いてやってみて）

>>429
その方法だと最初に選んだ２点が円周上に乗ってない場合を考えていない。

>>428
そんな大昔の出題なんかﾁﾗﾈｰﾓﾝ

>>431
ワシが受験した年なんだが、
そうかもう「大昔」なのか・・・

>>432
ｺﾞﾒﾝﾅｻｲ（-＿-）

>>430
意味がわからん。
最初に選んだ２点が円周上に乗ってない場合を教えてくれ。

だいたいそんな議論がどっから出てくんの？
間違ってたら言ってくれ。

>>430
言いたいことはわかった。なるほどね。
しかし、結局ルーローの三角形になることは問題ないかな。正確にはｎかもしれんが。
最初の二点が頂点とは限らんとしても。

図ではなく文章中心で書くと以下のようになります。
円周上および円の内部に与えられたｎ(≧３)点を含むような半径最小の円を書く。
このとき、その円は、
『次の３つの条件のうち少なくとも一個を必ず満たす。
　(１)円の直径の両端となるように２点が存在する。
　(２)円周上に３個の点が存在し、円周上の３点を頂点とする三角形は鋭角三角形もしくは直角三角形である。
(３)円周上に４個以上の点が存在し、うまく円周上の３点を選ぶとその３点を頂点とする三角形は鋭角三角形もしくは直角三角形になる。』・・・(Ａ)
という命題を満たすことを示す。
もし(Ａ)が成立しないとすると、以下の５つの場合のいずれかである。
　(ａ)円周上に点が存在しない
　(ｂ)円周上に１点しか存在しない
　(ｃ)円周上の２点が円の直径の両端になっていない
　(ｄ)円周上の3点を頂点とする三角形が鈍角三角形である。
　(ｅ)長さ1の2点のうちの一方を1つの端点とする円の直径とを境とする円内の2つの領域のどちらか一方に残りの点全てが存在する。
(ａ)のとき、中心を変えずに半径を小さくしていけば(ｂ)〜(ｅ)or(Ａ)の状態になる。
(ｂ)のとき、中心と円周上の点を結ぶ線分上に新たな中心がくるように半径を小さくしていくと(ｃ)〜(ｅ)or(Ａ)の状態になる。
(ｃ)のとき、円周上の２点を結ぶ線分の垂直二等分線上に新たな中心がくるように半径を小さくしていくと、(ｄ)or(ｅ)or(Ａ)の状態になる。
(ｄ)のとき、円周上の３点を頂点とする三角形のもっとも長い辺の垂直二分線上に新たな中心がくるように半径を小さくしていくと、(ｅ)or(Ａ)の状態になる。
(ｅ)のとき、長さ１の2点を直径の両端とする円をかくと、ｎこの点全てが円に含まれ円の半径も元の円の半径より小さくなる。
したがって、(ａ)〜(ｅ)の状況は半径最小の円であるという条件に反する。
以上より(Ａ)が成立することが分かる。

(１)のとき、円の半径は１／２であり、これ以上小さくすることは出来ない。
(２)または(３)のとき、長さ１の辺は３辺の中で最長なのでその対頂角はも
　っとも大きく、また鋭角三角形または直角三角形なので、長さ１の辺の
　対頂角は60°以上90°以下である。よって、外接円の半径をRとおくと、
　Ｒがｎ個の点全て含む円の半径の最小値であり、
　余弦定理(？どっちが余弦か忘れた)より、
　　　１／２sin90°≦R≦1／２sin60°
　　　１／２≦R≦３＾(−1／2)
　であり、これ以上円の半径を小さくすることは出来ない。
以上より求める円の半径をｒとおくと、
１／２≦ｒ≦３＾(−1／2)
であることが分かる。

以上です。かなり長いです。但し、(Ａ)の証明をもっと簡略化できれば多少短くなるかも。

問題です。

ｎを自然数とします。
(１)任意の実数θに対して以下の等式を満たす整数係数ｎ次多項式F(x)および
　整数係数(２ｎ−１)多項式Ｇ(x)が存在することを示せ。
　　　　　Ｆ(cosθ)＝cosｎθ
　　　　　Ｇ(sinθ)＝sinｎθ
(２)整数係数ｎ次多項式Ｈ(ｘ)＝Ａ(０)＋Ａ(１)ｘ＋・・・＋Ａ(ｎ)ｘ＾ｎ
　(但し、Ａ(０)，Ａ(１)，・・・，Ａ(ｎ)は整数)に対して、
　Ｈ(ｘ)＝０の有理数解は全て、(|Ａ(０)|の約数)／(|Ａ(ｎ)|の約数)の形で
　表されることを示せ。
(３)cos(２π／ｎ)が有理数となるようなｎを全て求めよ。
(４)sin(２π／ｎ)が有理数となるようなｎを全て求めよ。

友人にいきなり(３)を出されて２日ほど徹夜で考えました。
チェビシェフの多項式の使い方になかなか気づかなかった苦い思い出が。

問題です。

（１）平面に、ｎ本（ｎ＝0,1,2,…）の直線をそれぞれが他のどの直線とも平行でなく、
　 かつ３本以上の直線が１点で交わらないように引くと、平面は (n^2＋n＋2)/2 個の領域に分割される。
　 『その各領域を２色用いて塗り分けるとき、辺（交点は除く）を共有するそれぞれ全ての領域は同色に
　 ならないように塗り分けることが可能』…(★)
　 であることを証明せよ。

（２）2n角形（nは２以上の整数）を考えその各頂点に、時計回りに１,２,３,…,２ｎ−１,２ｎと番号をつける。
　 さらにｎ本の道（曲線）をこの多角形内部で、各頂点と他のある頂点が一対一に対応し、３本以上が１点で交わらないように
　 結ぶ。（どの頂点がどの頂点と結ばれるかは自由であり、各道は他の道と何度交わってもよい）
　 このとき、
　 （�T）まず入り口を１,２,３,…,２ｎ−１,２ｎの頂点の中から一つ決める
　 （�U）その入り口から歩き初めて十字路と出会うたびに直進せず、右か左に曲がる
　 （�V）（�U）を繰り返す
　 （�W）出口（�T〜�Vの結果、たどりついた頂点）に到着する
　 という散歩をする。
　 以下、
　 『上述の条件を満たす範囲ならば道の作り方によらず、入り口が偶数のときは出口は必ず奇数になり、入り口が奇数のときは
　 出口は必ず偶数になる』…(★★)
　 ことを証明せよ。

こんなに立て続けに出していいのかなぁと思いつつ、問題です。

n 2πk
Σ cos──── ＝-1/2
k=1　　2n+1

を証明しなさい。

本当は誘導問題作ったけど略します。そのかわりの
ヒントなんですが、正2n+1角形を描いて考えます。

ｎ
Σ cos(2πk/2n+1)＝-1/2です。
k=1
あと、ｎはｎ≧１を満たす任意の自然数です。

＞あと、ｎはｎ≧１を満たす任意の自然数です。

外人さんですか？

>>442
warata

やろうとしてることはあまり変わりませんが誘導をもう少し分かりやすくします。

ｎを自然数とする。
(１)整数係数ｎ次多項式(但し、Ａ(ｎ)≠０，Ａ(０)≠０とする）
　Ｆ(x)＝Ａ(ｎ)・ｘ＾ｎ＋Ａ(ｎ−１)・ｘ＾(ｎ−１)＋・・・＋Ａ(０)
　に対して、Ｆ(ｘ)＝０の解ｘ＝ａは|ａ|＝(|Ａ(０)|の約数)／(|Ａ(ｎ)|の約数)
　の形で表されることを示せ。
(２)任意の実数θに対して、以下の等式を満たす整数係数ｎ次多項式Ｇ(ｘ)と
　整数係数(２ｎ−１)次多項式Ｈ(ｘ)が存在することを示せ。
　Ｇ(cosθ)＝cos(ｎθ)
　Ｈ(sinθ)＝sin{(２ｎ−１)θ}
(３)Ｇ(ｘ)，Ｈ(ｘ)のｍ次(但しｍは自然数)の項の絶対値は２＾(ｍ−１)の
　倍数であることを示せ。
(４)cos(２π／n)が有理数となるようなｎを全て求めよ。
(５)sin(２π／n)が有理数となるようなｎを全て求めよ。

誘導しすぎか？まあ、これでも大学入試ならゲロ難だろうけど。

>>444の訂正です。

(３)Ｇ(ｘ)，Ｈ(ｘ)のｍ次の項(但しｍは自然数)の係数の絶対値は２＾(ｍ−1)
　の倍数であることを示せ。

に訂正します。

>>439の(２)に関する質問です。
道は自分自身と交わってもいいのですか。
自分自身と交わると題意を満たさなくなるので多分駄目なんでしょうけど。

>>446
自分自身と交わるのはダメなのでは？
（１）を使うと（２）は簡単に証明できた

>>441
Σ(k=0→n-1)cos(2kπ/n)=0……(*)
より、
Σ(k=0→2n)cos{2πk/(2n+1)}=0
また、
cos(2kπ/2n+1)=cos{2kπ(2n+1-k)/(2n+1)}
cos0=1
より、
Σ(k=0→n)cos{2πk/(2n+1)}=(0-1)/2=-1/2

(*)については、
Z^n=1
の解をZk=cos(2πk/n)+isin(2πk/n)とおくと、
解と係数の関係により
Σ(k=0→n-1)Zk=0
から求まる。

訂正（鬱
Σ(k=0→n-1)cos(2kπ/n)=0……(*)
より、
Σ(k=0→2n)cos{2πk/(2n+1)}=0
また、
cos(2kπ/2n+1)=cos{2kπ(2n+1-k)/(2n+1)}
cos0=1
より、
Σ(k=1→n)cos{2πk/(2n+1)}=(0-1)/2=-1/2

(*)については、
Z^n=1
の解をZk=cos(2πk/n)+isin(2πk/n)とおくと、
解と係数の関係により
Σ(k=0→n-1)Zk=0
から求まる。

439も440もあっさり解決してしまったみたいですね。
両方とも結構面白かったんですけど。
唯、439は入試向きじゃないですよね。
どっちかって言うと数オリ的。
最初は(１)を使わないで(２)を証明しようとしたが上手くいかなかった。
誰かいいアイデアありませんか？

441です。まさか複素数が出てくるとは思ってもみませんでした。さすがです。
模範解答ですが、
(-1/2,0)(1/2,0)を頂点に持つ、一辺の長さが１の正2n+1角形を考えたとき、
(1/2,0)の座標をP1と置いてその右隣の頂点を順にP2,P3,P4…と置く。
この正2n+1角形の外角の大きさをθと置き、Pnのｘ座標をXnと置くと、
図を描いてみると分かりますが、
X1=1/2
X2=1/2+cosθ
X3=1/2+cosθ+cos2θ
X4=1/2+cosθ+cos2θ+cos3θ
・
・
Xn=1/2+cosθ+cos2θ+cos3θ+…+cos(n-1)θ
Xn+1=1/2+cosθ+cos2θ+cos3θ+…+cos(n-1)θ+cosnθ
また、図よりXn+1=0なので、
cosθ+cos2θ+cos3θ+…+cosnθ=-1/2となります。
よって、Σ(k=1→n)coskθ=-1/2　…※

また、θは外角の公式（正n角形の外角の大きさは360度/n）より、
θ=2π/2n+1より、これを※式に代入すると
Σ(k=1→n)cos(2πk/2n+1)=-1/2（証明終わり）
誘導問題がないので長くなってしまいましたが、どちらにしろ
直感的でエレガントではないですね。449の方がすっきりしてる
と思います。

>>439
問題出したなら解答も書いてください。
気になって寝れません。
図とかいりそうだから、どっかの画像アップローダー使ってでも…

パクれそうなの何題かあるな。

439は図いらないっす。
まあ（１）はできますよね。
新たに引く線の片側の色を反転させればいいですからね。
そしたら（２）ですが、
例えばある頂点を出て行ってすぐに右が黒、左が白に塗られていたとしますよね。
そしたら、曲がってもその関係は維持されるわけだ。
ってこと。
だいぶ省略して書いたから分からなかったら書いてください。

でもホント439おもしろい。

[問題]
ax^2+bx+c=0
のときxの解の式を答えよ。

何％ぐらい正解するだろうか・・・

あぁ、それ筑波の後期で出てたで．
同じ状況で不等式もあった．
a,b,cは当然実数で．

>>455
�@）a≠0のとき　x＝{−b±√(b^2−4ac)}/(2a)
�A）a＝0且つb＝0のとき　xは全ての実数
�B）a＝0且つb≠0のとき　x＝−c/b

>>454
この誘導に乗れば、考え方はすぐに分かるけど、
実際答案書くとなったら一苦労だよね。
どこまで「自明」って使っていいのかで悩みそう。。。

>>457
455ではないが、�A）が間違い

>>459
どうなるの？教えて？

分かった。
�A−1）a＝0且つb＝0且つc＝0のとき　xは全ての実数
�A−2）a＝0且つb＝0且つc≠0のとき　矛盾。よってxは存在しない。

こう？

>>453
あなたが東亜大の作問者ならこんなとこからパクらないでね。
誰も解けないから…。
『東亜大学入試作問者になったつもりのスレ』を別につくって下さい。

一段落したみたいなので(何が？)問題です。

任意の実数ｘに対して

　　　(cosｘ)＾ｎ＋(sinｘ)＾ｍ＝(sinｘ)＾ｎ＋(cosｘ)＾ｍ

が成立し、かつｍ＜ｎを満たす自然数の組(ｍ，ｎ)をすべて求めよ。

>>461
まちがい

あるの？

>455
abcが複素数の時でも実数の時と同じ答え？

>>465
あります。

>>463
>(cosｘ)＾ｎ＋(sinｘ)＾ｍ＝(sinｘ)＾ｎ＋(cosｘ)＾ｍ

n>m
(cosx)^n-(sinx)^n=(cosx)^m-(sinx)^m・・・(#)

x=(-π/4)のとき(#)が成立するには
m，nがともに偶数であることが必要。
よってm=2M，n=2Nとおきなおせる。

(#)　⇔　(cosx)^(2N)-(sinx)^(2N)=(cosx)^(2M)-(sinx)^(2M)
　　　⇔　(cos^2x)^N--(sin^2x)^N=(cos^2x)^M--(sin^2x)^M
　　　⇔　(1-y)^N-y^N=(1-y)^M-y^M・・・(##)
　　　　　　，0 <= y = (sinx)^2 <= 1

(##)がyによらず恒等式となるには
両辺の次数と二項展開による係数を考えて（中略）
2>N-Mが必要。∴N=M+1
またN=M+1のとき（中略）
2>Mが必要。∴M=1
以上より(M，N)=(1，2)，(m，n)=(2，4)が必要。

さて(m，n)=(4，2)のとき
(#)　⇔　(cosx)^4-(sinx)^4=(cosx)^2-(sinx)^2
これは右辺に(cosx)^2+(sinx)^2=1をかければ明らかに成立。

微分してπ／４を代入する。

468で正解です。
僕は微分してやりましたが468の方がすっきりしてて分かりやすいですね。

>>468
>>470
こっちの方がそこはかとなくエレガントだよね。

（ｃｏｓ（ｘ））＾ｎ＋（ｓｉｎ（ｘ））＾ｍ＝（ｓｉｎ（ｘ））＾ｎ＋（ｃｏｓ（ｘ））＾ｍ
ｘで微分して
　−ｎ（ｃｏｓ（ｘ））＾（ｎ−１）・ｓｉｎ（ｘ）＋ｍ（ｓｉｎ（ｘ））＾（ｍ−１）・ｃｏｓ（ｘ）
＝ｎ（ｓｉｎ（ｘ））＾（ｎ−１）・ｃｏｓ（ｘ）−ｍ（ｃｏｓ（ｘ））＾（ｍ−１）・ｓｉｎ（ｘ）
ｘにπ／４を代入して
−ｎ／２＾（ｎ／２）＋ｍ／２＾（ｍ／２）＝ｎ／２＾（ｎ／２）−ｍ／２＾（ｍ／２）
ｍ／２＾（ｍ／２）＝ｎ／２＾（ｎ／２）
２＾（（ｎ−ｍ）／２）＝ｎ／ｍ
ｎ／ｍは有理数なのでｋ＝（ｎ−ｍ）／２は正の整数。
ｎ＝２＾ｋ・ｍ＝ｍ＋２ｋ
ｍ＝２ｋ／（２＾ｋ−１）
３≦ｋのとき０＜２ｋ／（２＾ｋ−１）＜１
ｋ＝２のとき２ｋ／（２＾ｋ−１）＝４／３
なのでｋ＝１。
ｍ＝２，ｎ＝４
このとき
　（ｃｏｓ（ｘ））＾４＋（ｓｉｎ（ｘ））＾２
＝（ｃｏｓ（ｘ））＾４−（ｃｏｓ（ｘ））＾２＋１
＝（ｓｉｎ（ｘ））＾４＋（ｃｏｓ（ｘ））＾２

Ｒ−＞Ｒの関数ｆで任意のｘ，ｙに対して
ｆ（ｘ）ｆ（ｙ）≦ｆ（ｘ＋ｙ）
１＋ｘ≦ｆ（ｘ）
を満たすときｆを求めよ。

問題です。

Ｆ(ｘ)＝ｘ＾２＋７とする。３以上の任意の自然数ｎに対して、Ｆ(Ａ(ｎ))が
２＾ｎの倍数でありかつ２＾(ｎ＋１)の倍数でないような自然数Ａ(ｎ)が存在
することを示せ。

京大の過去問であったね．
誘導がついてたから簡単やったけど、誘導なしはきついよな

誰もやってくれなくておいちゃん寂しいので問題改正。

(１)cos(ａｘ)が有理数となるような２以下の正の有理数ａを全て求めよ。
(２)sin(ｂｘ)が有理数となるような２以下の正の有理数ｂを全て求めよ。
但し、以下の３つの事実(Ａ)，(Ｂ)，(Ｃ)を用いても良い。
ｎを自然数とするとき、
(Ａ)整数係数ｎ次多項式(但し、Ａ(ｎ)≠０，Ａ(０)≠０とする）
　Ｆ(x)＝Ａ(ｎ)・ｘ＾ｎ＋Ａ(ｎ−１)・ｘ＾(ｎ−１)＋・・・＋Ａ(０)
　に対して、Ｆ(ｘ)＝０の解ｘ＝ａは|ａ|＝(|Ａ(０)|の約数)／(|Ａ(ｎ)|の約数)
　の形で表される。
(Ｂ)任意の実数θに対して、以下の等式を満たす整数係数ｎ次多項式Ｇ(ｘ)と
　整数係数(２ｎ−１)次多項式Ｈ(ｘ)が存在する。
　Ｇ(cosθ)＝cos(ｎθ)
　Ｈ(sinθ)＝sin{(２ｎ−１)θ}
(Ｃ)Ｇ(ｘ)，Ｈ(ｘ)のｍ次(但しｍは自然数)の項の絶対値は２＾(ｍ−１)の
　倍数である。

>>475
ていうか、自分が受けた年の問題です。それを少し変えただけ。
ちなみにこの年僕は見事に落ちた。

>>476
ｃｏｓ（ａπ）とｓｉｎ（ｂπ）なんじゃないの。

>>478
ご指摘の通り。

こんなんどーかのー。東大受験者説明出来ないと思われる。

同一平面上にない任意の４点に対し、４点全てと距離の等しい平面はいくつあるか。
理由付で答えよ。

みたいなカンジなの。

>>480
７。

>>481
そう、それ。それを答えるのが東大受験者できなくていつぞやの加法定理みたいでいいかんじかな、と。

>>482
いつぞやの加法定理より数段難しいと思われます。
『7個であることを示せ』でも少し厳しいかも。

東大としてはちょっと簡単すぎるかもしれませんが
（難しくもできるのですが）、
第1問目(または文系第1問目)としてはおもしろいかなぁ、
ということで1つ書いておきます。
（本番では数学とかに弱い人で分からないもそこそこいると思いますが）

直径√2の円をxy平面上に任意に描くとき、
その中に入る格子点の数の期待値を求めよ。

あっと言う間に終わってしまうのが難点ですが(^^;;

理系で数学が得意な人が30分という1の条件を忘れていました(^^;;
東大受験者の理系で数学が得意な人なら
あっと言う間に解けてしまいますね。

前のレスであった「東亜大学入試作問者になったつもりのスレ」というのはどこにあるのでしょうか？

>>480
マニュアル型方法になれた受験生なら出来るのでは？
4つの頂点の座標決めてそれと平面との距離を公式に当てはめてやっていけば
ひたすらチャートやっている方なら30分以内に終わると思う。

自分はそんなん絶対やりたくないけど。
4C1+4C2=7で終わるのを何故そんなやり方するのか分からん。

>4C1+4C2=7

７＝２＾３−１。

>>487
間違い。

>>488-490
(;´Д`)教えておくれ…

>>491
何を。

>>492
480のやり方…ﾜｶﾗﾝ(;´Д`)

>>493
平面によって分けられる２つの領域にそれぞれ何個の点が含まれるかによって
場合分けすればよい(と思う、多分)。

>>487
>4C2

(4C2)/2もしくは3C1

は、しまった…(;´Д`)

>>491
>>494-495さんとおりです。まあ、つまるところ、イメージしやすくするとこんなかんじかのー。
同一平面上にない４点の点と点結ぶと三角錐になる。
で、その三角錘をどう切るかなんだけど、その３角錐を切った後のにそれぞれに含まれる点の数は
１個−３個
か
２個−２個
しかない。１個−３個の場合、4C1=4通り。
２個−２個の場合、4C2/2=3通り。これを足す。ってこと。

＞２個−２個

３Ｃ１＝まず１点を選びそれとセットになる点の選び方と見てもよい

>>498
そうだね。そして、そうするなら、始めから>>489で考えられるよね。

>>489-499
なるほど、そりゃ、簡潔で、イイ！目から鱗ですのぅ。

500ｹﾞﾄｰ

有界な数列X_nがn→∞で0に収束する時、
lim(n→∞)�納1≦k≦n]X_kも0に収束することを証明せよ。

（√１−√０）＋（√２−√１）＋（√３−√２）＋．．．は発散。

東大って韓国の東大門のことだと思ったニダ

>>501
きみ狂牛病か？

>>501
nで割ってください。

だから嫌なんだ…パソコンで打ち込むのは間違えまくる…鬱だ氏のう…

後期向け。今年の京大の問題と、去年の東大後期の問題を参考に作った。
ちなみにExp(x)ってのはeのx乗のことね。

正整数nを与え、
0≦x≦2πにおいてy=0とy=Exp(-x*x)*sin(nx)で囲まれる領域をCnとする。
Cnをy軸のまわりに回転させて出来る回転体の体積をWnとするとき、
lim(n→∞)Wnを求めよ

aを実数、nを正の整数とするとき、
{[(a−1)/2]}^2＋(3−a)[(a−1)/2]＋{(n^2−2n−1)/(2n＋1)}a＋1＞0
を満たすaの範囲をnを使って求めてください。
尚、[x]はxを超えない最大の整数を意味します。

>>476

補題を二つほど。

補題１
cosθが有理数ならば、任意の整数nに対して、cos(n*θ)は有理数である。
n＞0のとき
事実(B)よりcos(n*θ)はcosθの整式で書ける事より明らか。
n＜0のとき
cos(n*θ)=cos((-n)*θ)
よって、事実（B)より明らか。
n=0のとき、cos(n*θ)=1となるから、このときもcos(n*θ)は有理数。
証明終

補題２
n/mを既約分数とする。cos((n/m)*π)が有理数ならば、cos(π/m)も有理数である。

証明

nとmは互いに素だから、n*u+m*v=1を満たす整数uとvが存在する。
cos((n/m)*π)が有理数のとき、補題１より
cos[{(n*u)/m}*π]も有理数より
cos[{(n*u)/m}*π]=cos[{(1-m*v)/m}*π]=cos{π/m-π*v}=±cos(π/m)より
cos(π/m)も有理数である。

証明終

さて解答だ

cos{(n/m)π}が有理数ならば、補題２によって、cos(π/n)は有理数。

はG[cos{(1/m)π}]=±1となることより、

事実(A)と(C)よりcos(π/m)=(1/2^r)となる。

m>3と仮定すると、1＞cos(π/m)＞1/2、よって、1＞1/2^r＞1/2

となって不合理

よって、m=3,2,1

逆に、m≦3のとき、任意の整数nに対して、cos{(n/m)π}は有理数。

実数の定数θに対して
f(n)=sinθ・sin2θ・sin3θ・･･･・sinｎθ　（ｎ＝1,2,3,・・・）
とおく。このとき
lim_[n→∞]f(n)＝0　であることを示せ。

東大の過去問がCD-ROMになって出るらしいね

>>511
詣でてるよ。

結局
｜有界な数列X_nがn→∞で0に収束する時、
｜lim(n→∞)n^(-1)*�納1≦k≦n]X_kも0に収束することを証明せよ。
はどうやって証明するん？

だれか、>>484の問題の答えを教えてください。

＞５１０　両辺にｌｏｇをとり､ｙ＝ｌｏｇ（ｓｉｎθ）のグラフで区分求積法を用いて
　　　　　ハサミウチから（右辺）→１となる。

ってなカンジの方針でよいか？

>>515
>両辺にｌｏｇをとり､ｙ＝ｌｏｇ（ｓｉｎθ）のグラフで区分求積法を用いて

よくわからん。

ｙ＝ｌｏｇ（ｓｉｎθx）

の間違いでした。

>>515
駄目。

第1問
lim［n→∞］∫［0,π/2］√n・(sinθ)^n dθ　を求めよ。

>>519
解けん。
lim√n･｛(n-１)/n｝･｛(n-2)/(n-1)｝・・・・・1/2「orπ/2」=
ここからどうする？

>>510
(ｉ）sinkθ=1or-1となるある自然数ｋが存在するとき
　　sin2kθ=0。よって、lim_[n→∞]f(n)＝0
(ii)sinkθ=1or-1となるｋが存在しないとき
　　-1＜sinθ or sin2θ or sin3θ or ・･･・or sinｎθ＜1
　　よりlim_[n→∞]f(n)＝0

>>484
面積がそのまま答えになるとか？
当方ﾍﾀﾚなもんでわかりません

>>521
だめ。0<r<1なる実数をとりa(n)=r^(r^n)とすると
a(1)×・・・×a(n)=r^{(1-r^n)/(1-r)}→r^{1/(1-r)}≠0。
つまり一般項が-1<a(n)<1だからといって
a(1)×・・・×a(n)→0 (n→∞)とは一般にはいえない。

>>513
有界な数列X_nがn→∞で0に収束する時、
lim(n→∞)n^(-1)*�納1≦k≦n]X_kも0に収束することを証明せよ。

「有界な」っていうのがなんか変だ。収束する数列はみんな有界でしょ。
もしかしたら「単調」の間違いじゃないか、と思うんですが。
この定理は単調に限らず成り立つはずですが、単調の場合、高校数学の範囲
で証明できるはずです。一度見たことがある。

>>510
がー！もう分からん!当たり前なことが説明できん!
ぎぶぎヴ！

>>520
ヒント：隣接項の積

>>514　面積考えてπ/2？
>>510　cosθ・cos2θ・cos3θ・･･･・cosｎθだとcosｎθがチェビシェフの多項式
だからcosθの1次からｎ次の式だから,元の式はn次からn(n+1)/2次の式となって
-1＜cosθ＜1よりn→∞のとき０に収束
同様にしてf(n)はsinθとcosθのn次からn(n+1)/2次の式だから
sinθとcosθの大きい方におさえられてn→∞のとき０に収束
じゃだめ？　

>>527
だめ。fn(x)=3+x^nとするとfn(x)はn次式、-1＜cosθ＜1なるθを
とってもf1(cosθ)・・・fn(cosθ)→∞。

>>520
>>526
違う。

>>520は
lim√n･｛(n-１)/n｝･｛(n-3)/(n-2)｝・・・・・1/2「orπ/2」=
か。
で、どうすんだ？

>>528　　cosθ・cos2θ・cos3θ・･･･・cosｎθがだめなのはわかったけど
sinθ・sin2θ・sin3θ・･･･・sinｎθ　の場合はsinｋθが奇関数なので
定数項がないからsinθとcosθの1次以上n次以下の式でｆ(n)はn次以上,n(n+1)/2次
以下の項のみになるのでfn(x)=3+x^nは反例にならないのでは？

ｆ(n)はn次以上,n(n+1)/2次以下の項のみになるのが正しければ
結局　a*ｎ*ｒ＾ｎ（0＜ｒ＜１）の形の式におさえられてｆ(n)→0

ｇ（ｎ，ｘ）＝３＾ｎ・ｘ＾ｎとすると
　ｌｉｍ＿｛ｎ∈Ｚ，ｎ−＞∞｝ｇ（ｎ，１／２）
＝ｌｉｍ＿｛ｎ∈Ｚ，ｎ−＞∞｝（３／２）＾ｎ
＝∞。

>>510
(θ/π)にいくらでも近い有理数（列）を取れるので・・・

>>509
『事実(A)と(C)よりcos(π/m)=(1/2^r)となる。』の部分が違います。

>>510
解くだけでいいならこんな解答がある。但しあまりに非エレガント。

まず以下の補題を示す。
補題：『任意の無理数αに対して、
　　　ｍ／ｎ＋１／６ｎ＜α＜ｍ／ｎ＋５／６ｎ
　　　を満たす自然数ｍが存在しない』(『・・・』が条件)ような
　　　自然数ｎが無数に存在する。
補題の証明
　　　背理法で示す。条件を満たす自然数ｎが有限個であると仮定する。
　　　このときｎ≧Ｎを満たす任意の自然数ｎに対して条件を満たさないような
　　　自然数Ｎが存在する。このとき、
　　　α＝(６Ｍ＋β)／６Ｎ(但し、Ｍは自然数、βは１＜β＜５を満たす無理数)
　　　と書ける。
　　　�@１＜β＜２のとき、
　　　　ｋβ＜５＜(ｋ＋１)β＜７を満たす自然数ｋが存在するので、
　　　　ｎ＝(ｋ＋１)Ｎのときに条件を満たし、仮定と矛盾。
　　　�A２＜β＜７／３のとき６＜３β＜７となり、
　　　　ｎ＝３Ｎのときに条件を満たし、仮定と矛盾。
　　　�B７／３＜β＜２．６のとき１１＜３５／３＜５β＜１３となり
　　　　ｎ＝５Ｎのときに条件を満たし、仮定と矛盾。
　　　以下めんどくさいので省略。補題の証明終了。
θ＝２ａπとおく。
(１)ａが有理数のとき、ａ＝ｐ／ｑ(ｐ，ｑは整数でｑ≠０)とかけるので
ｓｉｎ(２ｑａπ)＝ｓｉｎ(２ｐπ)＝０。よってｎ≧ｑのときｆ(ｎ)＝０。
当然ｌｉｍ（ｎ→∞)ｆ(ｎ)＝０。
(２)ａが無理数のとき、補題より、
ｂ／ｃ＋１／６ｃ＜ａ＜ｂ／ｃ＋５／６ｃ
を満たす自然数ｂが存在しないような自然数ｃ
即ち、
ｂ／ｃ−１／６ｃ＜ａ＜ｂ／ｃ＋１／６ｃ
を満たす自然数ｂが存在する自然数ｃが無数に存在する。
そのようなｃのうちｃ≦ｎを満たすｃの個数をｇ(ｎ)とおくと、
ｌｉｍ(ｎ→∞)ｇ(ｎ)＝∞。
一方ｎ＝ｃのとき、(２ｂ−１／３)π＜２ｃａπ＜(２ｂ＋１／３)πなので、
｜ｓｉｎ(２ｃａπ)｜≦１／２である。
以上より、
ｌｉｍ(ｎ→∞)｜ｆ(ｎ)｜≦ｌｉｍ(ｎ→∞)２＾{−ｇ(ｎ)}
　　　　　　　　　　　　＝０　　　　　　(∵ｌｉｍ(ｎ→∞)ｆ(ｎ)＝∞)
よって、ｌｉｍ(ｎ→∞)ｆ(ｎ)＝０。




　　　　　　　

>>536
補題の括弧のつけかたが間違っている。

ホンとに>>484の答えは面積になるのか？
解説キボーン。

>>538
4つの頂点を点(1/2,1/2),(-1/2,1/2),(-1/2,-1/2),(1/2,-1/2)とする
正方形の内部を領域Aとし、点(0,0)を中心とする半径(√2/2)の円の内部を
領域Bとする。

中心が領域Aにあるような半径(√2/2)の円を描くとき、
1) 中心が領域Bの内部にあれば、円内にある格子点は1個。
2) 中心が領域A-Bの内部にあれば、円内にある格子点は0個。

したがって、円の中心が領域Aにあるときの(条件付き)期待値は、
1*{(領域Bの面積)/(領域Aの面積)}+0*{(領域A-Bの面積)/(領域Aの面積)}
=領域Bの面積
これは平面全体での期待値に等しい(のはいいよね…)。

＃半径がもっと大きかったら、他の格子点を中心とする円が
＃領域Aと重なるので、その重複した面積を考える。

>>539 自己フォロー
＞＃領域Aと重なるので、その重複した面積を考える。
と、やっぱり円の面積に等しくなることがわかる。

>>510

○−1<cosθ<1 のとき：
一般に
　　2|sinkθsin(k+1)θ|
　＝|cosθ−cos(2k+1)θ|
　≦|cosθ|＋|cos(2k+1)θ|
　≦|cosθ|＋1
が成り立つので、これより
　|f(n)|≦{(|cosθ|＋1)/2 }^N
がいえる（N はｎ以下の最大の偶数）。
1/2≦(|cosθ|＋1)/2 ＜1 により
n→∞のときこの右辺は0に収束するのでOK。

○cosθ＝±1のとき：
このときは恒等的にf(n)＝0なのでOK。

よって題意は示された。

極座標の問題ない？

正六角形の頂点に亀がいて、それぞれ隣の亀に向かって
進んでいきます。このとき頂点から隣の頂点までの距離は最初１ｋｍあり、
同時刻における六匹の亀の速さは全て等しいものとします。六匹の亀は
中心で一緒になることになりますが、出発してから一緒になるまでの間に
一匹の亀はどれだけ進むことになるでしょう。
※図を書いていけばわかることですが、６匹の亀によって形作られる六角
形は回転しながらだんだん小さくなっていき、亀はらせん状（渦巻き状）　　　　　
に進むことになります。


極座標使えば解ける問題です

>>539 大ボケかましちゃったよ。
半径が(√2/2)だと、既に重なった状態だねえ。
>>539 で、すんなり行けるのは半径が1/2以下のとき。ごめんね。

>>541 (自己レス。誤り訂正します。）

誤
>　|f(n)|≦{(|cosθ|＋1)/2 }^N
>がいえる（N はｎ以下の最大の偶数）。

正
　|f(n)|≦{(|cosθ|＋1)/2 }^(N/2)
がいえる（N はｎ未満の最大の偶数）。

>>509
再解答するわ

補題１
cosθが有理数ならば、任意の整数nに対して、cos(n*θ)は有理数である。
n＞0のとき
事実(B)よりcos(n*θ)はcosθの整式で書ける事より明らか。
n＜0のとき
cos(n*θ)=cos((-n)*θ)
よって、事実（B)より明らか。
n=0のとき、cos(n*θ)=1となるから、このときもcos(n*θ)は有理数。
証明終

補題２
n/mを既約分数とする。cos((n/m)*π)が有理数ならば、cos(π/m)も有理数である。

証明

nとmは互いに素だから、n*u+m*v=1を満たす整数uとvが存在する。
cos((n/m)*π)が有理数のとき、補題１より
cos[{(n*u)/m}*π]も有理数より
cos[{(n*u)/m}*π]=cos[{(1-m*v)/m}*π]=cos{π/m-π*v}=±cos(π/m)より
cos(π/m)も有理数である。

証明終

さて解答だ

cos{(n/m)π}が有理数ならば、補題２によって、cos(π/m)は有理数。
mが奇数のとき、事実（B)より、cos(mx)=G(cosx)が成立するので、
x=π/2を代入すると、G(0)=0となるので、G(x)の定数項は0であることが分かる。
G[cos{(1/m)π}]=±1となることより、
事実(A)と(C)よりcos(π/m)=(1/2^r)となる。

m>3と仮定すると、1＞cos(π/m)＞1/2、よって、1＞1/2^r＞1/2
となって不合理
m=3のときはcos(π/3)=1/2、m=1のときは、cos(π)=-1は有理数。
よって、mが3より大きい奇数のとき、cos(π/m)は無理数である。･･･★

mが4の倍数のとき、cos(π/m)が有理数と仮定すると、
事実（B)より、cos(π/4)が有理数となるが、cos(π/4)=1/√2は無理数なので不合理

mが4で割って2あまる数のとき
m=2*(2*k+1)と書ける。
2*k+1>3のとき、cos(π/m)が有理数と仮定すると、
事実（B)より、cos(π/(2*k+1))が有理数となるが、これは★の事実に反する。
2*k+1=3のとき、cos(π/6)=√3/2 これは無理数
2*k+1=1のとき、cos(π/2)=0

これらを総合すると、m=1、2、3のときのみ、cos(π/m)は有理数となる。
逆に、m=1、2、3のとき、cos{(n/m)π}は有理数であることは容易に分かる。
証明終わり

ついでに、b、cが有理数のとき、sin(bπ)、tan(cπ)が有理数になる
十分条件なのだが、

cos(2*b*π)=1-2*{sin(b*π)}＾2

cos(2*c*π)=[1-{tan(c*π)}＾2]/[1+{tan(c*π)}＾2]

この通り、cos(2*b*π)、cos(2*c*π)ともに有理数になる。

>>546より、cos(a*π)が有理数となるようなaは分かるわけだから、

そこから、条件を満たす、b、cは求まるだろう。

>>543
わかりましぇん

＞結局
＞｜有界な数列X_nがn→∞で0に収束する時、
＞｜lim(n→∞)n^(-1)*�納1≦k≦n]X_kも0に収束することを証明せよ。
＞はどうやって証明するん？

lim(n→∞)n^(-1)*�納1≦k≦n]X_k=mとおく
そしたら、lim(n→∞)�納1≦k≦n]X_k=lim(n→∞)n*m
このときlim(n→∞)�納1≦k≦n+1]X_k=lim(n→∞)(n+1)*m
もいえて、引き算して、
lim(n→∞)X_(n+1)=m
よって仮定よりm=0が言える。

って間違ってるや…

ダメだね。やっぱε使いましょう。

問題！！！！！！！！

今ここに直径ｒの円がある。
この円周上に任意の点を３つとりそれらをそれぞれA,B,Cと定める。
△ABCが鋭角三角形になる確率を求めよ。

文章が悪くてスマン。国語は苦手なんじゃ。

rは関係無いな。
それよりも君、人が悪いね。

>>551
数学板を狂わす問題十選の一つが
それを少し変えた形。召喚されるたびに大いなる災いが訪れる

長尾健太郎以外わからないだろうよ

確率の定義が書いてないけど
↓こういう意味？

I＝{(x,y,z)∈R^3 | 0≦x＜2π, 0≦y＜2π, 0≦z＜2π}
とおく．平面上の3点
(cos(x),sin(x)),
(cos(y),sin(y)),
(cos(z),sin(z))
が鋭角三角形の頂点になるような(x,y,z)（∈I）の全体の体積を求めよ．

>>543
だれかこれ教えてくださいな

答えは２だとおもうんだけど，漏れのやり方だと図がないと説明できん．スマソ

>>557
そんなもんすか？

>>551
1/2だと思います。
一つ点はとれて、それを(1,0)にして
二つ目の点をx軸より上にとる。
そしたら３点目がx軸より上か下かで1/2

>>541 >>545
なるへそ。
意外にアッサリ片付くんだな。

>>551
お前は本当に自分が東大生である事を主張したいのかと問いたい。
純粋に問題を出したいと思っているのかと問いたい。問い詰めたい。
小一時間じゃ全然足りない。お前が土下座して地面に額擦り付け血が出るまで謝って
その後改心して社会に一生奉仕するようになるまで問い詰めたい。
お前、煽りたいだけちゃうんかと。
確率の定義書かないからどのようにでもとれる問題出して荒らしたいだけちゃうんかと。
長尾健太郎なんて名前出して東大生ぶりたいだけちゃうんかと。

久々に来てみたら、考えてくれている人がいてくれたみたいで嬉しいです。
ちなみに、ここの問題、たぶん東大入試に出したら、そのほとんどが
難しすぎて問題にならないだろうね。後期ならともかく。
で、易しくしたのですが。そもそもは立体の格子点で、直径√2の球としていたのですが、
ちょっと計算が面倒になりますね。
平面の場合はほとんど計算なしで終わります。

僕の解答です。
円の中心を考える。
このとき(0,0)(1,0)(0,1)(1,1)の正方形の内部のみで考えればよい。
さて、たとえば格子点(0,0)が円の内部に入るとするとき、
逆にその円の中心は(0,0)を中心とする直径√2の円内にはいっている。
そこで、今(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)を中心とする半径√2/2の4つの円を描くと、
求める期待値は、円が重なる部分の面積をA、重ならない部分の面積をBとして、
(任意の点は必ずどれかの円の内部に入ります。
また、3つ以上の円が重ならないようになっています。図示してみると分かります)
2A+Bとなる。
さて、ここで円が重なる部分は正方形の内部に4つ、重ならない部分も4つ有り、
それらは合同なので、それぞれ面積をa,bとすると、1/4の円の面積が
2a+bなので、2a+b=π/8となる。
よって、2A+B=4(2a+b)=π/2が答。

ちなみに543は遙か昔の数セミに出されていた問題だね。

ちなみにイメージとしては、1991の理系の格子点の問題でした
格子点を中心とする円を描くイメージが一緒でしょ(^^;;

って、何か勘違いしてたりして、、、

>562
グレイ等！

>>557
六角形いっぱい書いて近似していく方法？

>>554

佐々木伸でしょう。

問題

正の整数pを定める．
また，nを任意の正の整数とする．
数n!に約数としてあらわれるpの個数を表す公式を導け．

>>567
a,b,c,...は整数で次を満たす。
ap<n<(a+1)p
bp^2<n<(b+1)p^2
cp^3<n<(c+1)p^3
　・・・
∴f(n)=a+b+c+...

>>568

正解は
�納k=1,∞][n/p^k]です。
※シグマの下がk=1，上が∞，シグマの右がガンマ記号で、中が分数のn/p^k

例題

ここに正直者と嘘つきがいる。
「はい−いいえ」で答えられる質問に対しては、
正直者は常に正直に、嘘つきは必ず嘘をつく。
外見からでは判断がつかないこの二人に対して、
ただひとつの質問で正直者か嘘つきかを判定する
質問を作れ。

ex.A,あなたは鴨ですか？

問題1
同様に、ふたりの人を考え、一方をA、残りをBとする。
Aに対して「はい−いいえ」で答えられる質問をして、
Bが正直者か嘘つきかを判定できる質問を作れ。

>>567
約数としてあらわれるｐって何。

>>569
ガンマ記号ってなんやねん。

>>571
567の解説

数n!をつくるためにかけるすべての数を書き上げる方法を用いる。
つまり、1,2,3,,,nとする。この一列の数のうちp^kで割りきれる
どの数の上にもk個の点を縦に並べて打つ。数n!における因数pの
個数が点の個数に等しいのは明らかだから、点の個数を数える。

何個の数がpで割りきれるか数えるのは最下段の点の個数を数える
ことである。何個の個数がp^2で割りきれるのか数えるなら
「第２段」の点の個数を数える。こうするとどの数もp^kでは割り
きれない（p^k＞n）。即ち全ての段を使った、というkに行き着く。

したがってn!に現れる因数pの個数は1からnまでの数でpで割り
きれる数の個数、1からnまでの数でp^2で割りきれる数の個数、
などを足しあげた値である。さて、ある数kに対して1からnまでの
数のうちいくつがp^kで割りきれるか。数mをm*p^kがn以下である
最大数とすると、1*p^k,2*p^k,....,m*p^kがp^kで割りきれる数。

以下答えまで省略。

>>572
ガウス記号の誤り

>>573
約数としてあらわれるｐが何かを聞いているんです。
ｎ！＝ｐ＾ｋ・ｍとあらわしたときのｋの最大値をあらわすのなら
ｐ＝４，ｎ＝６のときｎ！＝ｐ＾２・４５なので５６９は間違い。

a

>>574
訂正
約数としてあらわれるｐの個数というのが
ｎ！＝ｐ＾ｋ・ｍとあらわしたときのｋの最大値をあらわすのなら
ｐ＝４，ｎ＝６のときｎ！＝ｐ＾２・４５なので５６９は間違い。

>>576
問題ではpは固定されていると解釈する。
[n/p^k]はm･p^kがn以下である最大の整数mであることにより、
569の式が成り立つと思えば良い。

すべてのkに対して[n/p^k]は0だから、∞までたしあげることが可能。

>>577
ｐ＝４，ｎ＝６のときの約数としてあらわれるｐの個数は何。

567のいうのが
「n!はpで最大何回割り切れるか」
ということならば、
574の指摘は正しいね。
p=12、n=4ならば、569のシグマの式は明らかに0だけど、
4!は12で割り切れるからね。

pが素数なら569でいいと思うけど。

ｐが素数で無いときはどうやれば？
ｐの約数の条件がないと無理かな？

>>570
あなたは「あなたは嘘つきですかあ？」という質問に対し何と答えるのですか？

はいなら嘘つき
いいえなら正直者

マジで本番で出そうな問題希望。

853 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：01/12/18 03:45
板違いorスレ違いかも知れませんが、質問させてください。

１辺１の立方体のブロックを重ねて３×３×３にします。
８つの頂点の座標は(0 0 0),(3 0 0),(0 3 0),(0 0 3),(3 3 0),(3 0 3),(0 3 3),(3 3 3) です。
これにいくつかの直線をひいてすべてのブロックを通過するためには最低何本の直線が必要でしょう。
また、この直線のブロック内部を通過する距離が最短のときそれぞれの直線の式、および距離の合計値を求めなさい。

もし適当なスレがあれば誘導お願いします。 　　

駿台の東大後期実践模試。

1/2≦x_i≦2（i=1,2,…n）のとき
P=(�肺_i)(��1/x_i)の最小値と最大値を求めよ

他２問はネット上でやるには適さない問題なので無視

正八面体の各面を異なる４色を用いて２面ずつ塗り分ける場合の数を求めよ。
但し、正八面対は自由に回転移動できるものとする。

60

>>585
１１４。

>>586->>587
どっちがあってるの？

>>585
むずい…
重複して数えてしまいそう…

>>588
漏れ１１４に一票。
回転を無視すれば配色の総数は8!/(2!2!2!2!)=2520。
各配色にたいしその不変群の位数をかんがえる。不変群は
自明かもしくは非自明でもたかだか位数２。
８面体群(＝６面体群)には位数２の群が９個ありそれぞれを不変群とするような
配色が4!=24個づつある。よって位数２の不変群をもつ配色は216。
よって2520-216=2304個の配色は不変群が自明。よって配色の軌道集合の個数は
2304/24+216/12=96+18=114。

60って答えた人です。
てきとうにしかやってないから…ごめんなさい間違ってるかも。
やり直してみます。

>>585
群の軌道分解を使うと簡単やけどね

分かりません．答えを教えて下さい．

>>592
それをつかわないと解けないの？
高校生には無理？

点Oを中心とする半径１の円に内接する正ｎ角形Ａ1、Ａ2･･･Ａn
（頂点の番号は左回りにつける）をＤで表す。
Ｄを点Ｏの周りに角２θ回転した図形をＤ20とし、
この回転によってＤの頂点ＡkはそれぞれＤ20の頂点Ｂkに移るものとする。
θが０゜<=θ<=180゜/ｎの範囲にあるとき、次の問いに答えよ

（1）辺Ａ1Ａ2と辺Ｂ1Ｂｎの交点をＣとするとき、
　　 ∠Ａ1ＯＣ＝θを証明し、ＯＣの長さ

（2）ＤとＤ20が重なる部分の面積Ｓ(θ）と、Ｓ（θ）が最小になるθの値　

>>594
いや、正八面体やから、全然高校範囲でできると思うよ．
（もっと一般化するとさすがに高校範囲では場合分けができない）

>>595
正方形でやったことあるわ．
そんな難しくはならんよね？
（計算しないやつ。。。）

>>596
正方形のやつの応用ですね。
やり方によっては複雑になるかも･･･

>>595
S(θ)=ncos(π/n)｛2sin(π/n)−(sinθ)/((cos((π/n)-θ)−sin((π/n)-θ)/(cosθ)｝
最小　θ=π/(2n)

このスレッドの出版を検討してるんですけど、
著作権の問題って大丈夫ですかね？

>>599
もの凄い勢いで駄目

　e<π
を証明せよ。ただしｅは自然対数の底で、πは円周率である。

>>601
それは経験値でしょうよ

>>602
そこを理論的に証明させようYO!

π>3　∵円に内接する正六角形の周長は円周より小
ｅ<3　∵e=1+1+1/2!+1/3!+･･･<1+1+1/2+1/2^2+･･･=3
∴e<π
こういう問題は好きですけど、東大受験者にはやさしすぎるでしょうね。

>>604
あんま関係ないけど
e^π　と　π^e を比較する問題が誘導つきで出てたなぁ
というわけで、誘導なしで、どうでしょ、この問題．
誘導知ってる人はあんまり書かんといてな

>604
それ昔、誘導付きで東北大に出たね。

>605
有名すぎる。

中学入試によくある時計の問題だけど、
こんな風にすれば大学入試レベルになると思う。

問題
深夜0:00〜正午0:00までの１２時間で、
短針の位置と長針の位置が入れ替わるような
二つの異なる時刻の組み合わせは何通りあるか？

>>605
2001^2002と2002^2001の大小の比較の類のやつね。
>>599は冗談なんだろうけど、もし本気なら著作権とかは問題ないっしょ。
それともここに書きこんだ人の名前を全員調べ上げますか？
無理だよ。だから著作権とか問題ないんじゃない？

>>608
冗談と思うならマジレスしなさんな。

ごめん、むしろ>>600に向けてみたいな感じで

>>608
>それともここに書きこんだ人の名前を全員調べ上げますか？
>無理だよ。だから著作権とか問題ないんじゃない？

問題なんです。無理だから、駄目なの。

>611
仮にだよ、何処かがパクってここの問題が一言一句同じで本に
掲載されたとする。そしたら２ｃｈ数学掲示板はその出版社を
訴えることができるんですか？

>>612
たぶんね、何の問題もないよ。
ただ、引用先は明示したほうがいいのかもしれないけど。
先日、出版された「2ちゃん攻略マカジソ」とかも、
なんの許可もとってないでしょ？

二次 三次 ｎ次パクリ

>613

　ほ　ん　き　な　わ　け　な　い　よ　ね　？

.

時計の問題………

正午からt時間後の短針から長針までの角度（時計回りに進んだ角度）をf(t)とする。（0≦f(t)＜2π）
f(t)≦πである確率を求めよ。
24時後までにf(t)=θとなる回数を求めよ。

時計の問題・・・

長針と短針がアナログ時計の６０個の文字盤の目盛り上にあって、
かつ１目盛り違いになっている時刻を求めよ

（１）
ａが実数のとき
ｘの方程式ｘ＋ａ＝０の
根の実部が全て０以下であるための条件は
０≦ａであることを示せ。
（２）
ａ，ｂが実数のとき
ｘの方程式ｘ＾２＋ａｘ＋ｂ＝０の
根の実部が全て０以下であるための条件は
０≦ａ，０≦ｂであることを示せ。
（３）
ａ，ｂ，ｃが実数のとき
ｘの方程式ｘ＾３＋ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ＝０の
根の実部が全て０以下であるための条件は
０≦ａ，０≦ｂ，０≦ｃ，ｃ≦ａｂであることを示せ。

このスレッドの問題全てがオリジナルだと思ってるんですか？

少しでもアレンジしたら全く別の問題

問題がオリジナルかどうかと著作権は別問題。

自分は無断転載禁止と言われているどっかの塾の
問題を少しもアレンジせずに書いた者です。私捕まっちゃうから出版勘弁してーな。

1/2と22回

インターネットで人はどう変わるのか

とりあえず今だ答えの出てない問題の作者は
答え教えてくれ…(;´Д`)

おぅ、漢字ミス

625のは、普通にそう思うYO
問題だしたら答えのせ

あの、東大を今年受験する方、他にいませんか？

みなさんネット断ちしちゃってるの…まだネットやってる自分ヤバい？

>628
毎年何人かは、君みたいなのいるって高校の先生言ってたよ。
まあ、君が受かるかどうかは別だけどな…。
東大に入る奴ってのは
・小学校も中学校も高校もずーっと勉強してきた
・なんかだらーっと過ごしてたら東大に入れそうなので入ってみるか
ってのだそーな。
まあ、灯台行くぞって気負って無いのなら、他の大学にしてもいいし
あんまり気にする必要も無いかと


# と、無責任なこといってみる…

>628
俺もセンター悪かったら受ける。センターまともに取れれば京大理学部受ける。
俺の周りはみんな遊び続けてるぞ。でも俺以外は受かりそう。
みんな>629の後者のタイプだな。入っても留年タイプ。

>>617
２時１２分と９時４８分

>631

どうやった？

>>617
短針が０時からｎ目盛りのとき長針はｎ±１目盛りなので
１２ｎ≡ｎ±１（ｍｏｄ．６０）。
１１ｎ≡±１（ｍｏｄ．６０）。
１２１ｎ≡±１１（ｍｏｄ．６０）。
ｎ≡±１１（ｍｏｄ．６０）。

a[0]＝ｅ、b[0]＝π、
a[n]＝a[n-1]^b[n-1]
b[n]＝b[n-1]^a[n-1]
として数列{a[n]}と{b[n]}を定める。

（１）a[0]とb[0]の大小を比べよ。
（２）n≧1に対して、a[n]とb[n]の大小を比べよ。

>>634
答えたらa[n]とb[n]の極限値教えてくれる？

7^(7^(7^(7^(7^(7^7))))) の下二桁を答えよ。
こういうIQテストのような変な問題こそ
数学的才能の測定に向いていると思うわけだが。

訂正です。（１）は、
（１）a[1]とb[1]の大小を比べよ。
でした。
>>635
a[n]、b[n]ともに∞に発散です。多分。

>>634
ａ（ｎ）＜ｂ（ｎ）（０≦ｎ）
>>636
４３。

ひきあげ

↓この画像で矛盾している点を指摘せよ（東大理科後期）
http://www.geocities.co.jp/SiliconValley-Bay/4700/image01.gif

>>640
もう遅い

久々に問題を出題。

ｘ，ｙ，ｚは正の実数、ｎは自然数とする。
このとき、以下の不等式が成立することを示せ。

　　　ｘ＾ｎ／（ｙ＋２ｚ）＋ｙ＾ｎ／（ｚ＋２ｘ）＋ｚ＾ｎ／（ｘ＋２ｙ）
　　　≧（ｘｙｚ）＾｛（ｎ−１）／３｝

これはどうでしょう？難しくないが骨は折れると思う

a[1]=4,a[2]=2,a[n+2]=sqrt(a[n+1])/(a[n])^(1/4)
の漸化式について
（1） 一般項a[n]を求めよ．
（2） a[1]*a[2]*…*a[n]=Πa[k] （←Πの下端はk=1、上端はn）
とおくとき、Πa[n]の値を求めよ （←Πの下端はn=1、上端は∞）

（注）（2）は一般項の無限級数の積を求める問題

a=43.54のとき、xを求めなさい。

>>643
b(n)=log_2{a(n)}
4b(n+2)=2b(n+1)-b(n)，b(1)=2，b(2)=1

特性方程式4t^2=2t-1の2解をα，βとして漸化式を解けば
b(n)=2(β^n-α^n)/(β-α)
a(n)=2^{2(β^n-α^n)/(β-α)}

|α|=|β|=1/2よりα^n→0，β^n→0　(n→∞)
Σb(n)=(2/(β-α))*{(β(1-β^n)/(1-β))-(α(1-α^n)/(1-α))}
　　　　→(2/(β-α))*{(β/(1-β))-(α/(1-α))}(=γとする)　(n→∞)

Πa(n)=2^{Σb(n)}→2^γ　(n→∞)

よくあるパターンかも。計算略。

では僕も久々に出題。って簡単かもしれない。
何せ数学が好きな普通の（いわゆる有名進学校志望でない）中学3年生に
小ネタとして出したものだから。っていうかたぶん有名問題だろうが。

nを2以上の自然数、aを自然数とする。
[m]でmを四捨五入した値を表すものとするとき、
[a/n]+[2a/n]+[3a/n]+...+[(n-1)a/n]
= a/n + 2a/n + 3a/n +...+ (n-1)a/n
が成立するための条件を求めよ。

ここにきている人には簡単だと思うけど、
実際には四捨五入などというのを見ただけで逃げる人も結構いるかな、と。
あーでも本物の東大入試のようないい整数問題はなかなかつくれない、、、

うっかりしていましたが、もちろん
[m]はmの小数第1位を四捨五入した数
です(^^;;

ひきあげっ！

ＡＧＥ！！

>>646
a/nをmk/nkと書き換える。（n,mは互いに素ね）
よって
[a/n]+[2a/n]+[3a/n]+...+[(n-1)a/n]
= a/n + 2a/n + 3a/n +...+ (n-1)a/n
は
([mk/nk] - mk/nk)+([2mk/nk] - 2mk/nk)+...+([(kn-1)mk/nk] - (kn-1)mk/nk)=0
と書き換えられる。

また、([an*mk/nk] - an*mk/nk)という形はam-am=0となり、
([(an+b)*mk/nk] - (an+b)*mk/nk)は([bm/n] - bm/n + am - am)=([bm/n] - bm/n)となるので
最初の等式は
( [m/n]-m/n + [2m/n]-2m/n +....+ [(n-1)m/n]-(n-1)m/n )+( [m/n]-m/n... )=0と
[m/n]-m/n + [2m/n]-2m/n +....+ [(n-1)m/n]-(n-1)m/nを複数回足した形になる。

だから
[m/n]-m/n + [2m/n]-2m/n +...+ [(n-1)m/n]-(n-1)m/n=0 となるような
m,nの条件を求めればいい。
[(n-1)m/n]-(n-1)m/n +...+ [2m/n]-2m/n + [m/n]-m/n=0 でもあるのでこの2つを足して
��( [cm/n]-cm/n + [(n-c)m/n]-(n-c)m/n )=0 を得る。

cm/n + (n-c)m/n = m よりcm/nと(n-c)m/nの少数部分を足すと1。
よってcm/nと(n-c)m/nは、
・片方の小数部分が1/2より小さく、もう片方は大きい
・両方とも小数部分が1/2
となる。（両方とも小数部分が0になる事は無い。m,nは互いに素だから。）

前者の場合
[cm/n]-cm/n + [(n-c)m/n]-(n-c)m/n=0
後者の場合
[cm/n]-cm/n + [(n-c)m/n]-(n-c)m/n=1
よってcm/nの小数部分が1/2になるような事が無ければよく、
それはnが奇数の時である。

ということでa,nの条件はnをa,nの最大公約数で割った数が奇数の時。

このまま解きっぱなしっつぅのもつまらないので自分も問題出します。

数列a1,a2,a3…があり、任意の自然数 i,j(i<j) に対し 0<ai<aj、
つまり0<a1<a2<a3…とした時、
(�納1≦k≦n-1]ak^2) / an^2 が収束したとする。

この時(�納1≦k≦n-1]ak) /anも収束する事を証明せよ。

はっきり言って分からん。
いぷちろん-でるちゃ　は使ったらダメよね。

別に東大はそういう事気にしないと思いますから
使いたいのなら御自由にどうぞ

>>652
ak^2というのは(ak)^2のことよね？a(k^2)のことじゃなくて。

>>655
分かりにくかったかも。という事で書き直します。

正の増加数列a[1],a[2],…（0<a[1]<a[2]<…）があり、
（�納1≦k≦n-1]a[k]^2）/（a[n]^2）がn→∞で収束したとする。

この時、（�納1≦k≦n-1]a[k]）/a[n]もn→∞で収束する事を証明せよ。

こんなのはどう？

●m+3とm^2+2が同時に立法数となるような自然数ｍをすべて求めよ。

自分はこういう整数問題苦手だけど…

>>657
ｍ＋３＝ａ＾３（ａは整数）とおく。
　ｍ＾２＋２
＝（ａ＾３−３）＾２＋２
＝ａ＾６−６ａ＾３＋１１
≠（ａ＾２）＾３。

ａ＾６−６ａ＾３＋１１≦（ａ＾２−１）＾３のとき
３ａ＾４−６ａ＾３−３ａ＾２＋１２≦０
ａ＾４−２ａ＾３−ａ＾２＋４≦０
（ａ−２）（ａ＾３−ａ−２）≦０
ａ＝２

（ａ＾２＋１）＾３≦ａ＾６−６ａ＾３＋１１のとき
３ａ＾４＋６ａ＾３＋３ａ＾２−１０≦０
（ａ＾２＋ａ）＾２≦１０／３
ａ＝−１，０

ａ＝−１，０，２のとき
ｍ＝−４，−３，５
ｍ＋３＝−１，０，８
ｍ＾２＋２＝１８，１１，２７
なのでｍ＝５。

>>618
(1)
x+a=0⇔x=-a
よって根の実部が0以下であるための条件は
-a≦0⇔a≧0・・・答

(2)
x^2+ax+b=0・・・ア
(�@)アが実数解を持つとき
a^2-4b≧0
このとき2解がともに0以下である条件は2解の和=-a≦0かつ2解の積b≧0
よってa^2-4b≧0かつa≧0かつb≧0・・・イ
(�A)アが実数解を持たないとき
a^2-4b＜0
このとき根の実部は-a/2
よって根の実部が0以下である条件は-a/2≦0⇔a≧0
よってa^2-4b＜0かつa≧0・・・ウ
求める条件は「イまたはウ」であるから,a≧0,b≧0・・・答

(3)
f(x)=x^3+ax^2+bx+cとおくと
f'(x)=3x^2+2ax+b
f'(x)=0の判別式をDとする。

(�@)D≦0⇔a^2-3b≦0のとき
任意のxに対してf'(x)≧0
したがって3次方程式f(x)=0は1つの実数解rをもち,その解が0以下であるためにはf(0)≧0⇔c≧0
このとき,残りの2解はp±qiとおけて（p,q,rはいずれも実数でq≠0）解と係数の関係より
2p+r=-a
(p^2+q^2)r=-c
(p^2+q^2)+r(p±ri)=b
この3式から8p^3+8ap^2+(2a^2+2b)p+ab-c=0・・・ア
アはpに関する3次方程式であり,3解いずれも0以下になる条件は,解と係数の関係から
-a≦0,(a^2+b)/4≧0,(c-ab)/8≦0・・・イ
よってa^2-3b≦0かつイより,
a^2-3b≦0かつc≧0かつa≧0かつc≦ab・・・ウ

(�A)D＞0⇔a^2-3b＞0のとき
3次方程式f(x)=0が3つの実数解をもつときは解と係数の関係を考えて
-a≦0,b≧0,-c≦0
よってa^2-3b＞0かつa≧0かつb≧0かつc≧0・・・エ
3次方程式f(x)=0が1つの実数解と2つの虚数解をもつときは(�@)のときと同様にして,
a^2-3b＞0かつc≧0かつa≧0かつc≦ab・・・オ

求める条件は「ウまたはエまたはオ」であるので
a≧0、b≧0、c≧0、c≦ab・・・答

>>618訂正
誤：(p^2+q^2)+r(p±ri)=b　　⇒正：(p^2+q^2)+2pr=b

>>652
一応証明できたんだけど、かなりめんどくさい方法を取ってしまった。
添え字，分数がたくさん出てきてとてもここに書けるような解答じゃないので、
誰かもっとシンプルな解答を見つけてくれ〜。

>>642

x^n/(y+2z)+y^n/(z+2x)+z^n/(x+2y)≧(xyz)^｛(n-1)/3｝・・・ア
x,y,z＞0・・・イ

x^n/(y+2z),y^n/(z+2x),z^n/(x+2y)はイより正の実数であることから,
相加相乗平均の公式より，
x^n/(y+2z)+y^n/(z+2x)+z^n/(x+2y)≧｛(xyz)^(n/3)｝*〔3*｛(y+2z)(z+2x)(x+2y)｝^(-1/3)〕

またアの右辺＝｛(xyz)^(n/3)｝*｛(xyz)^(-1/3)｝であるから，
3*｛(y+2z)(z+2x)(x+2y)｝^(-1/3)≧(xyz)^(-1/3)
すなわち，
(y+2z)(z+2x)(x+2y)≧27xyz・・・ウ
x,y,z＞0・・・エ
が成り立つことを証明すればよい。
ウの左辺‐右辺=f(x,y,z)とおくと，
f(x,y,z)=2(x^2*y+y^2*z+z^2*x)+4(x*y^2+y*z^2+z*x^2)-18xyz
エよりx^2*y,y^2*z,z^2*x,x*y^2,y*z^2,z*x^2は正の実数であるので相加相乗平均の公式より
f(x,y,z)=2*3*(x^3*y*3*z^3)^(1/3)+4*3*(x^3*y*3*z^3)^(1/3)-18xyz=0
(等号はx=y=zのときに限り成立）
また,x=y=zのとき,x^n/(y+2z)=y^n/(z+2x)=z^n/(x+2y)となるので十分。

よって題意は示された。

>>662訂正
f(x,y,z)≧2*3*(x^3*y*3*z^3)^(1/3)+4*3*(x^3*y*3*z^3)^(1/3)-18xyz=0

3*｛(y+2z)(z+2x)(x+2y)｝^(-1/3)≧(xyz)^(-1/3)
すなわち，
(y+2z)(z+2x)(x+2y)≧27xyz・・・ウ
のとこが違います。ウの符号は≧じゃなくて≦でないとおかしい。

あ、そうでした。すいません￥
じゃあ全然違いますね･･
618と642さんの問題はどこかで見た記憶あり。
なんかの難問題系の数1の本にあった気がする。
ちょっと確認してみます。記憶違いかもしれないですが・・

!
このスレのタイトル見てびっくり！
質問スレと勘違い！すいません・・。
まだ僕はこのレベルには到底達してない＋東大は受けない（＝受けれない）ので
退散します。

定規とコンパスだけで5角形を描いて下さい

http://www.geocities.co.jp/Technopolis/2061/child/sei5/
17角形と257角形もできるそうです

正二十面体の体積とかを求めなさい。

<<669
三角錐×20で簡単に解ける

>>669
「とか」って何だ？「とか」って。
他に何求めさせたいかはっきり言っておくれ…

>>661
652の問題、自分の解法だと60行程度使ってしまったのだが、
それより短いのなら書いてくれんか？

>>672
俺は数列Ｂｎ〜Ｆｎまで作って証明したよ。もう少しシンプルな解法を研究中です。

ここで問題かいてるやつってすごいあほ。
理３以外数学なんて関東しなくてもいいってわけ。
部分点でちまちまやってりゃ、うかるというもの。
理一、二になんて文�Tからすれば糞。
糞の代名詞が投降大だな。

＞６６６
安心しな藁
ここにカキコしてんのはみんな糞レベルだから藁
理一や理二なんて文一から見れば糞。
東大の青本でオナニーしてるだけっしょ

(現役)にﾜﾗﾀ

＞６７６
うっせー
おまえ氏ね
文一でも前期現役合格＞＞後期現役＞＞＞浪人
だからね

>>674
東大文一とか理三とかでプライドと実力が年ごとに乖離していき、
おかしくなる人がでるけど、君も気をつけたほうがいいよ。

文脈から判断して、「東大（の数学の）入試作問者」と読めよ。

＞３
これは余裕。
TANθ＝a
単位円をかいてsinθ＝a／√（ａａ＋１）

>>674
そんな序列をつけることでプライドを保っていたら、どんどん内容のない人になってしまうよ。

＞６４２
Ｎ＝１のとき、題意はなりたつ。
Ｎ＝Ｋ（Ｋは1以上）で成り立つとするとＮ＝Ｋ＋１でも成立する。
数学的帰納法で、証明された。

本番じゃ関東は０であとぜんぶごちゃごちゃしってることかいた。
英語と世界史で逃げるが勝ちだね

数学板なんだから数学の話をしてよ。
それに受験テクニックか学歴の話がしたいのなら学歴版があるよ。

数学なら解いているだろ。答案ちゃんと見ろ。
＞１３
両辺を積分すると左辺＝ｘ^Ｎ�@
右辺＝ｘ^Ｎ�A
となる。
Ｃを微分すると0
以上から、式は成り立つ。

＞３５
この問題へん。ａ、ｂは実数。
ａ＝ｂ＝Ｃ＝√３
だってＯＫじゃん。
出題ミスしてんな！！！

>>682
部分点狙いが悪いとは言わないが、その解答じゃ０点。

>>685
あなたの脳内では3√3=9なんですか？

ﾌﾟ

＞６８６
あとはごちゃごちゃ計算してるふりしときゃ点くれんだよ
さすがにそのままじゃまずいから、「いかにも計算した」ふりを
しとく。それだけで受かったぞ。

＞６８７
まあ、勝てば官軍っていうからこの場合３√３＝９でもいいの藁

おいおい、君の人生の頂点が大学入学時という訳じゃないんだろ？

君狂牛病か？＞文�T１年

ﾌﾟ

ﾌﾟって書いてる人は一発で受験板の馬鹿だと分かるからいやだなぁ

test

なんか新しい機能でも出来たかと思ったが違うか。

694=695=696=697≠693ですので。一応

>>693,695
僕のトリップが・・なんで？？

>>698
落ち着け。◆じゃなくて●だ。

また久々に来てみたら見事に650,651の方が解かれていましたね。

なんでこんな問題を作ったのか、というと、
もともとは251にあるとおり、
「四捨五入でなぜ0.5が繰り上がりなのか」
ということです。
出題した和に関しては、普通はそのまま計算するのではなく、
有名な1から100までの和の計算と同様、
1/n + (n-1)/1 = 1, 2/n + (n-2)/2 = 1
というように足していくと全て整数になります。
つまり、小数部分はたすと1となるのです。
とすると、片方は切り上げ、片方は切り捨て、となるはずで、
四捨五入しても和としてはかわらない、はずなのですが、
0.5があると共に切り上げとなって破綻する、ということです。
（ただし、約分して分母が奇数になる場合はもう一議論必要になります）

僕は数学専攻の者ではなく、アルバイトで数学の苦手な子を教えたり
する機会があるのですが、四捨五入という誰でも知っている題材でも
こんな計算をさせたりすると、興味を持ってくれるので嬉しいです。
こういう話、っておもしろいと思いませんか？

僕はいろいろやっていますが、数学は数学でおもしろいし、
法律は法律でおもしろいと思いますよ。
その人が数学が得意であっても不得意であっても、
ちなみに、実はこの問題も92年か91年くらいに出題された格子点の問題が
イメージとしてありました。

650のこたえおせーて

えーと、明日東大前期なので、このスレにお世話になった気持ちも込めてage

きっと誰かが問題をupしてくれんだろーなー。

正の増加数列a[1],a[2],…（0<a[1]<a[2]<…）があり、
（�納1≦k≦n-1]a[k]^2）/（a[n]^2）がn→∞で収束したとする。

この時、（�納1≦k≦n−1]a[k]）/a[n]もn→∞で収束する事を証明せよ。

((解答))　Σ[ｋ＝1〜ｎ−1](ａ[ｋ]/ａ[ｎ])＾2＝ｂ(ｎ),ｂ(∞)＝Ｂ,
Σ[ｋ＝１〜ｎ−1](ａ[ｋ]/ａ[ｎ])＝ｃ(ｎ),
ｃ(∞)＝Ｃ(存在するかはまだわからない),ａ(ｎ)/ａ(ｎ＋1)＝ｄ(ｎ)とする。
問題の条件より、ｄ(ｎ),Ｂ≧0である。
{ｂ(ｎ)}が収束することから、任意の正の実数εに対して
　　　ε＞｜ｂ(ｎ)−Ｂ｜　　　但し、ｎ≧Ｎ(ε)
となるような自然数Ｎ(ε)が存在する(以下、Ｎと書く)。ｎ≧Ｎのとき、
　　　2ε＞|ｂ(ｎ＋１)−ｂ(ｎ)|
　　　　　＝(計算省略)
　　　　　＝|(ｄ(ｎ)＾2){1＋ｂ(ｎ)}−ｂ(ｎ)|
∴1−(1＋2ε)/(ｂ(ｎ)＋1)＜ｄ(ｎ)＜1−(1−2ε)/(ｂ(ｎ)＋1)
∴1−(1＋2ε)/(Ｂ−ε＋1)＜ｄ(ｎ)＜1−(1−2ε)/(Ｂ＋ε＋1)
上式より、ε＜1/2のとき、
　　　0≦ｄ(ｎ)＾2＜β(ε)＾2＜1・・・�@
が成立する。特にε＜min{1/2,Ｂ/3}のとき、
　　　0≦α(ε)＾2＜ｄ(ｎ)＾2＜β(ε)＾2＜1・・・�A
も成立する。ここで、正の実数α(ε),β(ε)(以下、α,βと書く)は、
　　　α＝{1−(1＋2ε)/(ｂ(ｎ)＋1)}＾0.5　(ε＜min{1/2,Ｂ/3}のとき)
　　　β＝{1−(1−2ε)/(Ｂ＋ε＋1)}＾0.5　(ε＜1/2のとき)
とする。
(�@)Ｂ＝0のとき、�@が使えてｎ≧Ｎのとき
　　　0≦ｄ(ｎ)＜β＜1
が成立。よって、
　　　Ｃ＝lim(ｎ→∞){Σ[k＝1〜ｎ−1](ａ(ｋ)／ａ(ｎ))
　　　　＝lim(ｎ→∞){Σ[k＝1〜Ｎ](ａ(ｋ)／ａ(ｎ))＋Σ[ｋ＝Ｎ＋1〜ｎ](ａ(ｋ)／ａ(ｎ))}
　　　　≦lim(ｎ→∞){Ｎ(β＾(ｎ−Ｎ))＋Σ(ｋ＝1〜ｎ−Ｎ−1)β＾ｋ}
　　　　＝β/(1−β)
即ち
　　　0≦Ｃ≦β/(1−β)　　　
となる。また、
　　　lim(ε→＋0){β/(1−β)}＝0
よって、はさみうちの原理より
　　　Ｃ=0
を得る。
(�A)Ｂ≠0のとき、�Aが使えて
　　　0＜α＜ｄ(ｎ)＜β＜1
が成立。よって、(�@)と同様にして
　　　α/(1−α)≦Ｃ≦β/(1−β)
となる。また、
　　　lim(ε→＋0){α/(1−α)}＝lim(ε→＋0){β/(1−β)}＝B＋{B(B＋1)}＾0.5
よって、はさみうちの原理よりＣ= B＋{B(B＋1)}＾0.5
以上(�@),(�A)より、数列{ｃ(ｎ)}は B＋{B(B＋1)}＾0.5に収束する。



一応解答を書いたが、結構突込みどころ満載の解法なのであまり当てにしない方がいいかも。
もう一つ完璧(だと思ってる)解法もあるのだが、あまりに煩雑なためとてもこんなところには書けません。

このスレでまだ誰も解いてない問題ってどれだけあるの？

シャッフルの問題なんて有名すぎてここに載せるのをためらってたのに、
実際の入試に出てた。ちぇっ、ちゃんと載せてりゃどっかの予備校みたいに
問題的中とかって意味のないことを書けたのに。残念。

これの解き方教えてください。。
（１）X＋y＝√2、Xy＝√３のとき、X（２乗）＋y（２乗）の値を求めよ。
（２）a＋b＝３＋√３、a-b＝√３のとき、abの値を求めよ。

http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/tokyo/zenki/index.html

>>707
激しくスレ違い
ローカルルール読んだか

>>708の今年の東大入試といてみて度肝抜かれた！
なんだ？東大の入試ってこんなに簡単だったか？
特に�@〜�D番。まだ�Bは許せる！
しかし�@�A�C�Dは超簡単ではないか！
俺はこの４問で一時間もかからんかった。
東大レベルの受験者なら満点続出の出題ではないか？
数学得意なヤツは差がつかなくてかわいそう。

>>710
禿胴。
特に第1問は、一瞬目を疑った。
これじゃセンターレベル。

しかも６は数学オリンピックの本選を簡単にしたやつやもんね。
てかもう答えやん。
一浪なら２年生のときに受けたやついるはず。

あー、そんなに受験生のレベル落ちたのかなー

数オリは3n枚だっけ。

>>711
あの一番はその辺のアホ私大に出しても解ける奴多いだろう…

今年の出題者は何を考えていたのかと小一時間問い詰めたい。

>>711
誘導のついてないセンターの方が難しいだろう

>>710
一日かけてもまだ問1すら解けてませんが、何か？

>>717
何回（年）生？

しかしこれねー，実は案外解けなかったりする人多いと思うよ．
１科目ぼろぼろでも他でカバーすれば受かるしね．

２年前の阪大のテストで（すれ違い？），簡単に言うと
（０，０）〜（３，３）の１６個の格子点からランダムに３つ選んで三角形を作る．
この面積が９／２になる確率を求めよ．
ただし，三角形ができない場合は面積０とする，

これ，受かった奴らに聞いても結構解けてない．正直びびった．
まぁ英語とかで点数稼いでいるんだろうけど．
ちなみに理系．

>>718
5回生

さあ！来年の入試こそは６題全問的中させるぞ！
皆さん頑張ってガンガン作問しましょう！

今年って東大も京大も簡単でつまらん。あとは京大後期に期待するしか。

ゆとり教育向け入試→合否ラインアップ→ちょっとのミスで不合格

>>722
東大後期は？

>>724
東大後期は計算がめんどくさい場合が多い。
面白い問題もあって楽しませてくれるけど、それ以上に嫌いな計算をさせられる。

642誰も解いてくれないよ〜。つまんないかな〜。
いや、きっと難しすぎて誰も解けていないだけだ。そう信じたい。
ｘｙｚ＝1としても一般性が失われないのは当然なので
(もちろん2〜3行の証明は必要だが)、ｘｙｚ＝1として解いてください。

このスレの674以降読んでびっくり。
最近は東大生の学力低下が叫ばれるが、ここまで低下しているとは。

阪大のほうがむずかった・・・東大京大は何してたんだか

今年の東大の問題はこのスレに負けてると言ってもいいだろう。
つーか作問者は痴呆で頭逝っちゃったのかな？

>>729
あの�Bの「それが１０以下であることを証明せよ」も
ある程度近似とかした上で評価しなければならないのかと思いきや
外側の球の体積調べただけでできた。
バカらしい問題だった。

>>730
大体具体的に体積求められんのにわざわざ10以下だって証明させる
所が理解出来ない。

今年は東大になんかあったの？
そこら辺の事情知ってる人いない？

何か質問ある？

>>731
ゆとり教育「π=3」へのアンチテーゼだったりして

問題文にπに関する注釈が無いから実はπの評価が主題（ｗ
3.16だと10で押えられない。3.15なら大丈夫

arctan(1/m)=(1/m)-1/(3m^3)+(1/5m^5)-…

arctan(1/5)<1/5-1/(3*5^3)+1/(5*5^5)
-arctan(1/239)<-(1/239)+1/(3*239^3)

Pi=4*(4arctan(1/5)-arctan(1/239))
<4*(4*((1/5)-1/(3*5^3)+1/(5*5^5))-(1/239)+1/(3*239^3))
=670143059704/213311234375（ｗ
<3.1417
<3.15

V=19Pi/6
<3.15*19/6
<9.975
<10

＞７１０
数学で差がつかない最高の入試だったね。半分くらいは点を取れそうだな。
ま、英語と国語で差がついたね。極端に難しくしとくか、極端に簡単にしとけば
差なんてでないからね。東大側もそれ狙ったんでしょ。
もっと簡単でいいと思うな。その代わり英語をもっとハイレベルにする。そのほうが
日本の将来のためだよ。青ちゃーとレベルで十分。数学＝計算ドリルだからね。
東大は良い方向に向い始めたと思う。

＞７２７
てめえもいちいちうっせーんだよ。同じ学校には変わらないだろ。

＞６４２
解いてあんじゃん。おまえ東大に逝けなかった糞？
n＝１で題意は成立。
n＝ｋ（ｋ＞＝２）でなりたつと仮定したらn＝ｋ＋１でも成立した。
数学的帰納法で成り立つことがわかる。
こんな感じであとは、代入した式の左辺−右辺を計算して
最後に「＞0」ってくっつければOK。
こんな問題、採点がうざいだけだから、出さないだろ。公務員なんて楽したい奴がなんだから、
考えてみれば当たり前だろーが。
簡単な問題出しとけば、世間も文句いわないし、採点者も楽。
10より小さい？理科の方の問題だね？
文科の3は計算が速い奴の勝ち。
理科の3はπ＝3,14ということを知っている奴がかち。（ほんとの馬鹿はπ＝3.14とか
知らなそうだからね）

東大の問題をつくってみた。
１．ｙ＝ｘ＾2＋aｘ＋ｂ
ｙ＝−ｘ＾２＋ｃｘ＋ｄ
が異なる2点で交わるとき、a,b,c,dはどうなる？

２．πと3.14はどっちが大きいか？

３．ｙ＝ａｘ＾３＋ｂｘ＾２＋ｃｘ＋ｄが
（０，０）、（１，１）をとおって
ｆ’（１）＝２、ｆ’（２）＝３のとき
∫（ｘ＝０から１まで）ｙｄｘを計算せよ。

ちょっと３は力作。こんなかんじのができればＯＫ．

今年の受験生は中学受験の頃に散々九九の3.14の段を覚えさせられた世代かと思います…
π≒3.14ってのは忘れたくても忘れられないでしょう…

π≒3.1415・・・を知ってるのは当然として、
π＜60/19=3.157・・・を示すにはどうすればいい？って話ですね。

＞７３７
何それ？π＝3.14だろ？
細かい数字なんて気にすんなよ。
中学受験の3.14の九九は覚えたぜ。ま、πになるから関係ないけどね。

>>738
あなたにとってはきっと難しい話だから首突っ込まない方がいいですよ

3番の体積は19π/6になるので
π＜3.16を使う　→　19π/6＜3.16*19/6＝10+(2/300)　→　失敗
π＜3.15を使う　→　19π/6＜3.15*19/6＝9.975＜10　→　成功
π＜3.14を使う　→　ﾊｧ?

>731
今年に始まったことじゃないよ
新課程なんてどーせバカしかいないんだから
こんな問題で十分だろってこと

πの近似値には十進数で桁を打ち切るよりいい書き方はないのか！！！

e^π^e とπ^e^πの大小を比較せよ

>>742
顔に見える。以上。

>>743
数学やる資格なし。

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りさんうけて３・４出来なかったんですけど俺は落ちますか?

>>740
それでも去年・一昨年に比べてさらに難易度落ちてる。
差つけられる問題も無いし現役から言わせてもらえば「ふざけるな」と言いたいよ…

まぁ英語が簡単だったからいいけど……

去年大学に入ってきた奴等の学力の低さの方にこそ
「ふざけるな」と言いたい
今年はあがってるってことも無いだろうしってところ
もちろん行政も悪いので本人達には言わないが

今回の問題だと慶応の方が難しいんじゃないの？
東工大の問題まだどの予備校も答え出してないからこのスレで解答速報だそうよ
思ったんだけど、今年は東大、東工大、慶応ともに空間図形の陰影の問題だしてるよ

>>740
数学の（比較的）できない理II受験者には妥当な問題かと。

鬼のように難しかった94年度とは大違い

>>751

別に94年が特段難しいわけではないと思うが？

８８年が東大史上最難関だったんだろ
あくまでも問題がね。

今年の東大の入試問題で数学がさらに易しくなって
物理が難しくなったのは東大が物理屋を求めてるんじゃないかと言ってみる。

…受験数学と数学が違う事を無視してます。ハイ

>>749
東工大の問１、解きました。授業中何してんだろう・・。文字化けしたらすいません。。
1.
f(a)=∫[0,π/4]|sinx-acosx|dx
f(x)=sinx,g(x)=acosxとおく。
1）a＞0のとき
y=f(x),y=g(x)の0＜x＜π/2における交点のx座標をαとおく。（sinα=acosαかつ0＜α＜π/2）

ア）0＜α≦π/4のとき
0＜tanα≦1⇔0＜a≦1
このとき,
f(a)=∫[0,α](acosx-sinx)dx+∫[α,π/4](sinx-acosx)dx=2(asinα+cosα)-1-1/√2-a/√2
=2√(a^2+1)-a/√2-(1+1/√2)

イ）α＞π/4のとき
tanα＞1⇔a＞1
f(a)=∫[0,π/4](acosx-sinx)dx=a/√2+(1/√2-1)

2)a＜0のとき
f(a)=∫[0,π/4](sinx-acosx)dx=-a/√2+(1-1/√2)

3)a=0のときf(0)=1-1/√2

まとめると
a≦0のときf(a)=-a/√2+(1-1/√2)
0≦a≦1のときf(a)=2√(a^2+1)-a/√2-(1+1/√2)
1≦aのときf(a)=a/√2+(1/√2-1)

0≦a≦1において
f'(a)=｛2√2a-√(a^2+1)｝/｛√2*√(a^2+1)｝
0≦a＜1/√7でf'(a)＜0,1/√7＜a≦1のとき,f'(a)＞0

よってa=1/√7のとき最小値(√14-√2-2)/2・・・答

東工大問4　けっこう適当。
（１）
y＝1/xのグラフを書き,面積を比較すると,
∫[1,n+1]1/xdx＜1+1/2+…+1/n
1/2+…+1/n＜∫[1,n]1/xdx
∴∫[1,n+1]1/xdx＜1+1/2+…+1/n＜∫[1,n]1/xdx-1
⇔log(n+1)＜1+2+2+…+1/n＜logn-1

よって｛log(n+1)｝/logn＜(1+2+2+…+1/n)/logn＜1-1/logn
n→∞のとき｛log(n+1)｝/logn→n/(n+1)→1/(1+1/n)→1
1-1/logn→1
であるからはさみうつの定理で求める極限は1・・・答

(2)
y=x(x-1)(x-2)…(x-n)
logy=logx+log(x-1)+…+log(x-n)
y'/y=1/x+1/(x-1)+･･･+1/(x-n)
より
y'=｛1/x+1/(x-1)+･･･+1/(x-n)｝*x(x-1)(x-2)…(x-n)=0を満たすxはxnであり,グラフを書いてみると
0＜xn＜1がわかるから（てゆうか、わかって）
1/xn+1/(xn-1)+･･･+1/(xn-n)=0⇔1/xn=1/(1-xn)+1/(2-xn)+…+1/(n-xn)・・・答

1/xn=1/(1-xn)+1/(2-xn)+…+1/(n-xn)＞1+1/2+…+1/n＞∫[1,n+1]1/xdx=log(n+1)≧2
よって0＜xn≦1/2・・・答

(3)
またはさみうちの定理かな？
1/(xn*logn)=(1/logn)｛1/(1-xn)+1/(2-xn)+…+1/(n-xn)｝＞｛log(n+1)｝/(logn)
よってxn*logn＜(logn)/｛log(n+1)｝
また十分に大きいnに対しては1＜xn*logn（∵0＜xn≦1/2）
∴よって1＜xn*logn＜(logn)/｛log(n+1)｝
はさみうちの定理で求める極限は1・・・答

東工大の問題はなんか,むずかしいというか,,僕には合わない・・
あと、２と３、だれかお願いします。。

代ゼミでいろんなところの大学入試数学みたけど,
東大と東京医科歯科大、千葉大は僕の性にあっていて,
東工大はなんとかぎりぎりで、
京大は性にあわないというか,すごい苦手だと思いました・・。

>757
くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.141592653
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1014191253/223

２はここ↑

>758
３はｚ軸中心に回転しても三角形と光源とｘｙ平面の位置関係はかわらんので
BとCがｘｚ平面に関して対称になるように置けば、（つまりｙ座標を±(1/2)にして）
陰もｘ軸に関して対称な三角形であるので
BとLを通る直線をパラメータ表示で書き下しｘｙ平面との交点を見ればよい。
三角形の面積も、Bのｘ座標とｙ座標の積となり簡単に求まる。

のんびりやっても１０分ってところでは？

>>760
なるほど・・。
問2は接線が,x軸に垂直になる場合と,そうでないとき（傾き＝m）
にわけて,判別式＝０から,mに関する2次方程式が得られ,
このmの方程式の2解の積＝−1とD＞0より
a^2＋b^2＝25が得られました。（最初のケースも包括される）

3が一番難しい気がします・・。
>>760さん、すごい・・。

>>735
一応、解答を。
１．
2x^2+(a-c)x+b-d=0
の判別式＞0より
(a-c)^2-8(b-d)＞0・・・答

２．
π＞3.14・・・答

３．
f(0)=d=0
f(1)=a+b+c+d=1
f'(1)=3a+2b+c=2
f'(2)=12a+4b+c=3
からa=-1/5,b=7/5,c=-1/5,d=0
∴∫[0,1]f(x)dx=a/4+b/3+c/2+d=19/60・・・答

>>742
e^π,π^eの比較はまずはじめに行うと、、、
f(x)=log(e^x)-log(x^e)として,f(π)の正負を調べてみる。
f(x)=x-elogx
f'(x)=1-e/x=(x-e)/x
よって0＜x＜eでy'＜0,e＜xでy'＞0
また,f(1)=1,f(e)=0であるから,e＜πよりf(π)＞0
∴e^π＞π^e

e^(π^e)とπ^(e^π)の比較をするが,先ほどの結果よりe^π＞π^e＞0であり,π＞e＞0であるから,
π^(e^π)＞e^(π^e)・・・答

やけくそで代ゼミにある新潟大も解いてみよう・・。
１．
(1)Q(t,(1/2)t^2)とおくと,接線はy＝tx-(1/2)t^2
ただしt≠a
Pにおける接線はy=ax-(1/2)a^2
at=-1,a≠0よりt=-1/a　∴Q(-1/a,1/(2a^2))・・・答
Ｌの方程式は(a-1)(a^2+1)x-2a^2*y+a(a^2-a+1)=0・・・答

(2)
a＞0より-1/a＜a
∴S(a)=∫[-1/a,a](-1/2)(x+1/a)(x-a)dx=(1/12)(a+1/a)^3・・・答

(3)a＞0なので相加相乗平均の公式で
a+1/a≧2√1=2（等号はa=1に限り成立）
よってa=1のとき,最小値S(1)=2/3・・・答

２．
(1)
A^2+A+E=0・・・ア
αA+βE=0・・・イ
α≠0であると仮定すると、A=-(β/α)E=tE　とおける。（t=-β/αなる実数）
よってアに代入して
(t^2+t+1)E=0⇔｛(t+1/2)^2+3/4｝E=0
であるからE=0となり矛盾。
よってα=0で,イよりβ=0
題意は示された。

(2)
(xA+yE)^3=E
⇔x^3*A^3+3xy^2*A+3x^2y*A^2+(y^2-1)E=0
A^2=-A-Eより
3xy(y-x)+(x^3-3x^2*y+y^3-1)E=0
(1)の結果から
xy(y-x)=0
(x^3-3x^2*y+y^3-1)=0
∴(x,y)=(0,-1),(1,0),(-1,-1)・・・答

３．f(x)=x^2+(k-1)x+3k-2
(1)判別式＜0⇔(k-1)^2-4(3k-2)＜0⇔k^2-14k+9＜0⇔7-2√10＜k＜7+2√10・・・答

(2)u+vi,u-viを解にもつことから,解と係数の関係より
2u=1-k
u^2+v^2=3k-2
7-2√10＜k＜7+2√10
∴(u+3)^2+v^2=10かつ-3-√10＜u＜-3+√10・・・答

(3)省略・・

新潟大の続き・・問5と問6の(2)は省略・・。

４．
(1)
（赤,白）＝（1,2）,（3,0）のパターンがあり、
P(1)=(4C1*6C2+4C3)/10C3=8/15・・・答

(2)
P(n+1)=P(n)*(n+1回目で赤玉が偶数個でる確率)+｛1-P(n)｝*(n+1回目で赤玉が奇数個でる確率)
n+1回目で赤玉が偶数個でる確率=1-8/15=7/15
だから
P(n+1)=(7/15)P(n)+｛1-P(n)｝*(8/15)
P(n+1)=(-1/15)P(n)+8/15・・・答

(3)
P(n+1)-1/2=(-1/15)｛P(n)-1/2)｝
よってP(n)-1/2は初項1/30,公比-1/15の等比数列なので
P(n)=(1/30)(-1/15)^(n-1)+1/2・・・答

６．
(1)
PA=√｛(rcosθ-√2)^2+r^2*sin^2θ｝,PB=√｛(rcosθ+√2)^2+r^2*sin^2θ｝
より
｛(rcosθ-√2)^2+r^2*sin^2θ｝*｛(rcosθ+√2)^2+r^2*sin^2θ｝=4
(r^2+2)^2-8r^2cos^2θ=4
r^2(r^2+4-8cos^2θ)=0
r≠0よりr^2=8cos^2θ-4
cos^2θ=(1+cos2θ)/2であるからr^2=4cos2θ・・・答

(2)
△PAB=(1/2)2√2*rsinθ=√2rsinθ=√2sinθ*2√cos2θ=2√2sinθ√cos2θ=f(θ)
あとはこの計算・・

６．
(2)
sinθ=tとおくと,
面積は2√2sinθ√cos2θ=2√2*√(t-2t^3)
よってg(t)=t-2t^3として,g'(t)=1-6t^2
0＜t＜1/√2であるから,t=1/√6のとき面積は最大。このときr=(2√6)/3
∴P((2√5)/3,2/3)のとき△PAB=(2√2)/3・・・答

新潟大の問題は、けっこう解きやすかったかんじ。（素直系？）
５はやらなかったけど；；ああいうﾀｲﾌﾟは嫌いで・。
計算ミスしてると思うけど,新潟大医、けっこう好きかもしれない。。

京都大のは,取りつきにくい。。才能ない人は無理だとわかった。
（他の科目で補うしかない・・？）

>>763
正解です。本質はe^π＞π^eにあります

京大後期予想問題作ってみました。

x_1,x_2,・・・,x_n は正の実数として
x_1+x_2+・・・x_n=1　を満たしている。
このとき

x_1/√(x_1+x_2)　＋　x_2/√(x_2+x_3) ＋・・・
+x_(n-1)/√(x_(n-1)+x_n)　＋　x_n/√(x_n+x_1) 　≦√(2n)/2
が成立することを示せ。　

↑訂正：n≧3の条件を付け加えてください。

またまた訂正です
ｎ≧3として、
x_1,x_2,・・・,x_n は正の実数として
x_1+x_2+・・・x_n=1　を満たしている。
このとき

x_1/√(x_1+x_2)　＋　x_2/√(x_2+x_3) ＋・・・
+x_(n-1)/√(x_(n-1)+x_n)　＋　x_n/√(x_n+x_1)
の取りうる値の範囲を求めよ。

千葉大。疲れたから今日は3まで。。。
１．
(1)
f(x)=x^2-kx+3k
D=k(k-12)より,
k＜0,12＜kのとき実数解2個
k=0,12のとき実数解1個
0＜k＜12のとき実数解なし
・・・答

(2)
f(x)=(x-k/2)^2+3k-(1/4)k^2
∴3k-(1/4)k^2≧1⇔6-√34≦k≦6+√34
であるからk=11・・・答

２．
(1)
a(n)=1+(1/2)(n-1)=(1/2)(n+1)
であるからPnQn=(n+1)/(2cosθ)・・・答

(2)
Sn=a(n)^2=(n^2+2n+1)/(2cosθ)^2
よりΣ[k=1,n]Sn=｛1/(2cosθ)^2｝｛(1/6)n(n+1)(2n+1)+n(n+1)+n｝
=n(2n^2+9n+13)/(24cos^2θ)・・・答

(3)
Σ[k=1,5]Sk=50⇔cos^2θ=1/2
θ＜π/2なので,cosθ=1/√2
∴θ=π/4・・・答え

３．
(1)
C3の円の半径をr3とおくと,
1/√1+1/√1=1/√r3⇔r3=1/4
よって(1,1/4)・・・答

(2)
C4の円の半径をr4とおくと,
1/√1+1/√(1/4)=1/√r4⇔r4=1/9
またx座標をxとおくと,
x^2=(10/9)^2-(8/9)^2よりx=6/9
∴(6/9,1/9)・・・答

千葉大・・
４．
(1)
全部で並べ方は9C3*3!=9*8*7通り。
500以上のものは百の桁が5,6,7,8,9のもので8C2*2!*5=8*7*5通り
よって(8*7*5)/(9*8*7)=5/9・・・答

(2)
百の桁が5のとき7*4=28
　　　　6のとき7*3=21
　　　　7のとき7*4=28
　　　　8のとき7*3=21
　　　　9のとき7*4=28
∴(28*3+21*2)/(9*8*7)=1/4・・・答

５．はあとまわし。。疲れて頭がまわらない・・[ワラ

６．
f(t)=∫[0,1]|x(x-t)|dt=∫[0,t]-x(x-t)dx+∫[t,1]x(x-t)dx=(1/3)t^3-(1/2)t+1/3
f'(t)=t^2-1/2より0≦t＜1/√2でf'(t)＜0,1/√2＜t≦1でf'(t)＞0
f(0)=1/3,f(1/√2)=(2-√2)/6,f(1)=1/6
よってt=0のとき最大値1/3,t=1/√2のとき最小値(2-√2)/6・・・答

７．
(1)
AB↑=b,AC↑=c,AD↑=dとおくと
b+d+2(b-c+d-c)=0⇔(b+d)/2=(2/3)c
よってBDの中点Mは線分AC上にあり,AM:MC=2:1であることもわかる。
題意は示された。

(2)
ACとBDの中点をMとするとBM=MD=a,AM=2b,MC=b,∠A=θとおく。
またAC⊥BDであるから,AB=AD=√(a^2+4b^2),CB=CD=√(a^2+b^2)
∠ADB=90-θ/2であり,∠D=180-θより∠CDB=θ/2
よって∠D＝90であり∠B＝180-90=90である。
△ABCに三平方の定理を使ってa^2=2b^2・・・ア
またAC=3bは円の直径であるから3b=2⇔b=2/3
よってアよりa=(2√2)/3
∴AB=AD=(2√6)/3,BC=CD=(2√3)/3・・・答

>>773
千葉大やってるあなたは何大学？

>>774
>>773はこの板ではちょっと有名なリア厨

マジで中学生なの?

>>776
頑張ってるだろ。感心感心。

あ、777ゲトー

[1]
(1)
f'(x)＝{1＋x−a*x*log(x)}/{x*(1＋x)^(a＋1)}
より、x ＞ 0 のとき、f(x)はxについて微分可能であるから、
『y＝f(x)のグラフは x ＞ 0 において連続である』…�@
ことがわかる。
このとき、
f'(exp(1/a))＝1/[exp(1/a)*{1＋exp(1/a)}^(a＋1)] ＞ 0 …�A

また、aは正の整数であるから 2/a ≧ 2 が成立し、これと exp(1) ＞ 1 より
exp(2/a) ≧ exp(2) ＞ 1
∴　1−exp(2/a) ＜ 0
が示されるので、
f'(exp(2/a))＝{1−exp(2/a)}/[exp(2/a)*{1＋exp(2/a)}^(a＋1)] ＜ 0 …�B

�@�A�Bより題意は示された。　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　[証明終]

(2)
f'(x)の分母、x*(1＋x)^(a＋1)は常に正であることは自明であるので、
分子の 1＋x−a*x*log(x)（≡g(x),x＞0)についてその正負（f'(x)の符合に一致）を評価する。
g'(x)＝1−a−a*log(x)
より、g'(x)＝0 が成立するのは x＝exp((1/a)−1) のときであり、
x＜exp((1/a)−1)のとき g'(x)＞0 （単調増加）であり、
x＞exp((1/a)−1)のときg'(x)＜0 （単調減少）となるから、
これと、lim{x→+0}g(x)＝1 と 0＜exp((1/a)−1)≦1≦exp(1/a)＜exp(2/a) 、
さらに、(1)の結果を考慮すると
g(x)のグラフは右図�T（割愛）のようになる。
よって、
f(x)のグラフは右図�U（割愛）のようになるので題意は示された。　 　[証明終]

>>771
x_(n+1)=x_1として求める値を�肺_i/√(x_i + x_i+1)と表記する。
�肺_i/√(x_i + x_i+1) > �肺_i/√(�肺_j) = √(�肺_i)/√(�肺_j) = 1
限りなく1に近づける事はx_i+1=p*x_i(p>1)となるようにしてp→∞に近づければ分かる。
最大値は面倒だから未定乗数法でパス

東大が難関だからといって問題が難問である必要はどこにもない。

>>780
上限がこの問題の本質です。

千葉大続き・・
９．行列を,X=(a,b,c,d)のように書きます。。
(1)
xE-Aが逆行列をもたないので,(x-4)(x+1)+6=0⇔x=-2,5
よってα=5,β=-2であるから,PQを計算しると
PQ＝(0,0,0,0)（零行列）・・・答

(2)
P=(1/7)(6,3,2,1)
Q=(1/7)(1,-3,-2,6)
P+Q=Eだから,(P+Q)^n=E^n=E
またPQ=0だから(P+Q)^n=P^n+Q^n=E⇔P^n=E-Q^n
∴P^n=(1-(1/7)^n,-(-3/7)^n,-(-2/7)^n,1-(6/7)^n)・・・答

(3)
A^n=(5^n)P+｛(-2)^n｝Q・・・アを証明。
n=1のとき
アの左辺=(4,3,2,-1),アの右辺=5P-2Q=(5/7)(6,3,2,1)-(2/7)(1,-3,-2,6)=(4,3,2,-1)で成立。
n=k（k≧2）でアが成立すると仮定すると,
A^(k+1)=A〔(5^k)P+｛(-2)^k｝Q〕
またA=5P-2Qであるから（∵n=1のときアは成立）
A^(k+1)=(5P-2Q)〔(5^k)P+｛(-2)^k｝Q〕=｛5^(k+1)｝P+｛(-2)^(k+1)｝Q　（∵PQ=0,QP=0）
となりn=k+1においてもアは成立する。
数学的帰納法より題意は示された。

１０．
(1)
log[2]3が有理数であるならば,
log[2]3=q/p　（p,qは整数でp≠0）とおくことができるので,
2^(q/p)=3
∴2^q=3^p・・アとなるが,
アの左辺=偶数,アの右辺=奇数となり矛盾する。
よって題意は示された。
(2)
この証明はむずかしい。解いたことないﾀｲﾌﾟだから,わかりませんでした・・。

１１．
(1)
I(x)=∫[0,x]sintsin(nt)dt （x≧0）
I'(x)=sinxsin(nx)
n=2のとき,I'(x)=2cosx(sinx)^2であるからx=π/2+2mπ（m=0,1,2,…）のとき最大値
∫[0,π/2]sintsin2tdt=∫[0,π/2]｛2cost-2*(1/4)(cos3t+3cost｝dt=2/3・・・答

(2)これは適当・・
n=2m+1(m=1,2,3,…)のとき
I'(x)=sinxsin(2m+1)x
よりx=π/｛2(2m+1)｝+2kπ（k=0,1,2,・・・）のとき最大値をとる。m=0（n=3）のとき
最大値=∫[0,π/6]sintsin(3t)dt=(√3)/16≠3/(3^2-1)
したがって,証明すべき対偶が示されたので,題意は示された。

>東大が難関だからといって問題が難問である必要はどこにもない。

これ、真実ですね・・・。簡単な問題を取りこぼさないことのほうが,
難しいと思うし。

>>783
>P^n=E-Q^n
>∴P^n=(1-(1/7)^n,-(-3/7)^n,-(-2/7)^n,1-(6/7)^n)・・・答

X=(p,q,r,s)　⇒　X^n=(p^n,q^n,r^n,s^n)
なんじゃそりゃ(´Д`;)

[2]
(1)
Ｐ(a,√(a^2＋4))とすると、点Ｐを通り傾き−1の直線の方程式（直線lとする）は
y＝−(x−a)＋√(a^2＋4)
となる。この直線が点(2t,0)を通るから
0＝−(2t−a)＋√(a^2＋4)
∴a＝(t^2−1)/t
よってＰ( (t^2−1)/t , (t^2＋1)/t )

(2)
y＝√(x^2＋4)　(x＞0)のグラフより、直線lが点(0,2)を通るとき
tは最小値1をとることがわかる。

(3)
Ｓ＝∫{0→a}√(x^2＋4)dx −(1/2)*a*√(a^2＋4)
第一項の積分はz＝x＋√(x^2＋4)と置換して計算する事により
Ｓ＝2*log(t)

なんでこのスレで
千葉大や筑波の問題を解いてんだろう？

>>779筑波大の１を解いてもらえたから2から解いてみる・・。

２．
(1)
P(p,√(p^2+4))とおきQ(2t,0)とおくとPQの傾きが-1になる。また図からp≠2t,t＞0となるので,
[√(p^2+4)]/(p-2t)=-1
p=(t^2-1)/t
よって,P（(t^2-1)/t,(t^2+1)/t)・・・答

(2)
P(0,2)のとき2tは最小値2をとり,このときtも最小になる。∴t=1・・・答

(3)
S=∫[0,p]√(x^2+4)dx-｛p√(p^2+4)｝/2=∫[0,(t^2-1)/t]√(x^2+4)dx-(t^4-1)(2t^2)
ここでf(t)=[0,(t^2-1)/t]√(x^2+4)dxとおくと
f'(t)=√｛(t^2-1)^2/t^2+4｝｛(t^2-1)/t｝'=(t^4+2t^2+1)/t^3=t+2(1/t)+1/t^3
よってf(t)=(1/2)t^2+2logt-1/(2t^2)+C
f(1)=0よりC=0
よってS=2logt・・・答

３．
∫f(t)=F(t)とおくと
g(x)=F(x)-F(0) （0＜x＜1）
g(x)=F(x)-F(x-1) （1≦x）

(1)
x≠1のときg'(x)=f(x)・・・答

(2)
0＜x＜1のとき
g'(x)=f(x)=2πcos2πx
∴g(x)=sin2πx+C
1≦xのとき
g'(x)=2πcos2πx-2πcos2π(x-1)
∴g(x)=sin2πx-sin2πx=0
x=1においてg(x)は連続なので,C=0
よって
g(x)=sin2πx（0＜x＜1）
g(x)=0（1≦x）
・・・答

(3)
0＜x＜1のとき
g'(x)=f(x)=2πcos2πx+1
1≦xのとき
f(x)=f(x-1)よりf(x)=C
x=1で連続なので,C=2π+1
よって
f(x)=2πcos2πx+1（0＜x＜1）
f(x)=2π+1（1≦x）
・・・答

筑波大のつづき・・・
４.
(1)
ケーリーハミルトンの定理より
A^2=(a+d)A-(ad-bc)E
また条件よりA^2=Eであるから
(a+d)A=(ad-bc+1)E
a+d≠0であるからA=kEとおける。（k=(ad-bc+1)/(a+d)）
A^2=k^2*E=Eよりk=±1
よってA=EまたはA=−E・・・答

(2)
A^2+E=(a^2+bc+1,2ab,2ac,a^2+bc+1)
よって
det(A^2+E)=(bc)^2+(2-2a^2)bc+a^4+2a^2+1=(bc+1-a^2)^2+4a^2＞0（∵a≠0）
よりA^2+Eは逆行列を持つ。・・・答

(3)
ケーリーハミルトンの定理より
A^2=2aA+(bc-a^2)E
よって
A^4=4a(a^2+bc)A+(bc-a^2)(bc-3a^2)Eだから,
4a(a^2+bc)A=｛1-(bc-a^2)(bc+3a^2)｝E・・・ア
a^2+bc=0が成り立つとすると,アの左辺=0,右辺=(1+4a^4)Eとなり1+4a^4＞0であることから,矛盾。
よってa^2+bc≠0であり,a≠0であるから,アからA=kE（kは実数）とおけてA^4=Eより
k^4*E＝E　よってk^4=1よりk=±1
∴A=EまたはA=-E・・・答

>>785
その問題、まちがえたけど、訂正しなかった・・。
P^2を計算したらPになったので、
P^2=PからP^n＝Pとなりました・・。すいません。勘違いです・・・

>>787
なんとなく・・。代ゼミで答出てないので、解いてみたりして・。
あと、筑波大については附属が落ちたので、やってみようと思ったり・・。
千葉大のはけっこうまちがえたみたい・・
新潟はけっこうあってたから,新潟のほうが良いかな…。京都大は
いまでもわからないところがある・・・

>>790
代ゼミで出てなくても他な予備校で出てんだろ

[3]
(1)
0＜x＜1 のとき
g(x)＝∫{0→x}f(t)dt であるから両辺をｘについて微分して
g'(x)＝f(x) …�@

同様に
x≧1 のとき
g'(x)＝f(x)−f(x−1) …�A

(2)
0＜x＜1 のとき
g(x)＝∫{0→x}2πcos(2πt)dt
　 ＝sin(2πx)

x≧1 のとき
g(x)＝∫{x−1→x}2πcos(2πt)dt
　 ＝0 （∵cos(2πx)は周期１の周期関数なので明らか）

(3)
0＜x＜1 のとき
g(x)＝sin(2πx)＋x
両辺をｘについて微分すると
g'(x)＝2πcos(2πx)＋1
これと�@より
f(x)＝2πcos(2πx)＋1 …�B

x≧1 のとき
g(x)＝1
両辺をについて微分すると
g'(x)＝0
これと�Aより
f(x)＝f(x−1) …�C
ここで�Bは周期１の周期関数であり、�Cの条件を確かに満たしている。

よって　f(x)＝2πcos(2πx)＋1 　(x≧0)

東大のスレで悪いんですが,京都大（理系）の問2についてなんですが,
この問題はなんで解答のようにひらめく？んでしょうか・・。
１，４，５は普通の（それでも難しいけど）問題なのに、どうしても問2と問6がわからなくて解答見ました。やってみた感想。。

東大→やりやすい問題が入っていてそこを足がかりにしてなんとか。（計算が面倒で方針がすぐ立つもの）
京都大→方針が立ちにくい問題が多い。一番の苦手。
東工大→計算系の問題が多かったけど,空間図形ができなかった。けっこう好き。
東京医科歯科大→ここが一番好き。解きやすくて素直系。
新潟大医→解きやすくて素直系。ここも好き。
千葉大→問題の量がすごく多くて大変。おまけにちょくちょく間違えた。ちょっと苦手。
筑波大→全部やってないけど,,あまり好きでない感じ。１が一番難しいのはなぜ・・。
慶応大（理工）→とりかかれそうで,実は解けないのが多くて苦手。
早稲田大（理工）→ここもけっこう好き。やりやすい。
好きな順序で
東京医科歯科大、新潟大医、早稲田大、東大、東工大、筑波大、千葉大、京都大、慶応大

>>793
千葉大全部やったのか？
文系、理系で別問題だし選択問題もある。
今年の東大、東工大は易しすぎ。

てーかわけわからん問題ほどやった方がいいよ。
一瞬で解法パターンがわかる問題なら
君にとって解くだけ時間の無駄。

>>793
これはむしろ定型問題だと思うが・・・
鋭角三角形⇔最大辺aに対しb^2+c^2>a^2
ここではb^2+c^2-a^2=a^2+b^2+c^2-2a^2
>8-2a^2=2(a^2-4)>0

>>794
アドバイスありがとうございます。
京都大と慶応大全部と、あと千葉大のいっぱい間違えたところ、
とかをやってみます。今,英語の問題と解答をプリントしたので,ホチキスで止めて本にして
読んでみようと思います。
どうも,難しい問題＝避ける傾向あり。理系的勉強は,なんとなくストレスになるから,
本当は向いてないと思います。。

京大（理系）数学の２番が一番簡単と思ったのは漏れだけか？

>>779の
また、aは正の整数であるから 2/a ≧ 2 が成立し、これと exp(1) ＞ 1 より
exp(2/a) ≧ exp(2) ＞ 1
∴　1−exp(2/a) ＜ 0

のところを

また、aは正の整数であるから 2/a ＞ 0 が成立し、これと exp(1) ＞ 1 より
exp(2/a) ＞ exp(0) ＝ 1
∴　1−exp(2/a) ＜ 0

に訂正してください。

>>793
(１）は,a^2+b^2＞c^2,b^2+c^2＞a^2,c^2+a^2＞b^2で鋭角三角形と
証明できたんですが,（２）は全く気づきませんでした・。
OAとかのベクトル式書いて、ストップしました。9以下はわかったけど
OA+OB+OC＝0というのが、どういう三角形になるかわからなかったです。