＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part93＊＊＊
1 ：大学への名無しさん：
数学の問題に関する質問をどうぞ。参考書・勉強の仕方等は各専用スレッドで。
質問をする際の注意
★★★必ず最後まで読んでください★★★
・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
マルチポストとは→http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html
マルチポストの指摘はURLつきで。
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・回答者はいろいろな方法を用いるので、必要ならどの方法で解くか、自分がどこまで
履修済みか書く。（例：ベクトルで解く方法を知りたい、数IAの範囲で、など）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
(例1)1/2aは(1/2)あるいは1/(2a)ともとれるので誤解されないように( )を使って書く。
(例2)数列の場合も、anよりもa(n)、a[n]、a_nなどと表す方が添え字がわかりやすい。
・下のリンクの数学記号の書き方をよく読んで、他の人が読んでも問題がわかるように書く。
慣習的でない記号、用語を使うときはそれの説明も書く。
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor問○を教えてください」だけ書くような
質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。
・どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・携帯からの質問はそちらの都合ですので、回答者に配慮を求めないでください。
数学記号の書き方
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
前スレ
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part92＊＊＊
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1257166558/
質問をする際の注意
★★★必ず最後まで読んでください★★★
・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
マルチポストとは→http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html
マルチポストの指摘はURLつきで。
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・回答者はいろいろな方法を用いるので、必要ならどの方法で解くか、自分がどこまで
履修済みか書く。（例：ベクトルで解く方法を知りたい、数IAの範囲で、など）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
(例1)1/2aは(1/2)あるいは1/(2a)ともとれるので誤解されないように( )を使って書く。
(例2)数列の場合も、anよりもa(n)、a[n]、a_nなどと表す方が添え字がわかりやすい。
・下のリンクの数学記号の書き方をよく読んで、他の人が読んでも問題がわかるように書く。
慣習的でない記号、用語を使うときはそれの説明も書く。
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor問○を教えてください」だけ書くような
質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。
・どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・携帯からの質問はそちらの都合ですので、回答者に配慮を求めないでください。
数学記号の書き方
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前スレ
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part92＊＊＊
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1257166558/
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いちょつ
前スレの1000ありがとう
(;´∩｀)
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y=x/(1+√3x)のグラフって1/√3を漸近線とする直角双曲線って
微分とかなしで一目でわかるらしいんですけど
どうしたらわかるのですか?
微分とかなしで一目でわかるらしいんですけど
どうしたらわかるのですか?
自己解決しました。
6 ：大学への名無しさん：2009/12/18(金) 00:11:12 ID:AhODUqLBO
http://imepita.jp/20091218/003570
http://imepita.jp/20091218/003740
解答に至る過程がわかりません。軌跡を使うのかなと思うのですが…
どなたかお願いします。
http://imepita.jp/20091218/003740
解答に至る過程がわかりません。軌跡を使うのかなと思うのですが…
どなたかお願いします。
7 ：大学への名無しさん：2009/12/18(金) 00:17:44 ID:Zl/9tR7u0
見りゃわかるだろ、といいたいが・・・
地道にやってみよう
まずx=cos2θ, y=1+sin2θとおく
このxとyの関係が知りたいんだが
(cos□)^2+(sin□)^2=1だったから
これを使ってθを消去できそうだな
地道にやってみよう
まずx=cos2θ, y=1+sin2θとおく
このxとyの関係が知りたいんだが
(cos□)^2+(sin□)^2=1だったから
これを使ってθを消去できそうだな
>>6
円だというヒントがある。
円なら(x-a)^2+(x-b)^2=r^2の形のはず。
で、三角関数には(sinθ)^2+(cosθ)^2=1という関係式がある。
その問題ではx=cos2θ、y=1+2sin2θなんだから、ここから、
((sin2θ)^2+(cos2θ)^2=1を作れば、x、ｙの式が作れる。
円だというヒントがある。
円なら(x-a)^2+(x-b)^2=r^2の形のはず。
で、三角関数には(sinθ)^2+(cosθ)^2=1という関係式がある。
その問題ではx=cos2θ、y=1+2sin2θなんだから、ここから、
((sin2θ)^2+(cos2θ)^2=1を作れば、x、ｙの式が作れる。
9 ：大学への名無しさん：2009/12/18(金) 00:48:17 ID:AhODUqLBO
10 ：大学への名無しさん：2009/12/18(金) 06:25:16 ID:FbKsO0940
このスレに質問する方へ：
まずは書店に赴き、参考書で自分で調べましょう。
その作業は、大学でレポートや論文を書く際に大いに役立ちます。
書店参考サイト：
http://libletmarket.web.fc2.com/
http://changi.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1245876308/651
http://tlz.doooda.com/f/?tako
まずは書店に赴き、参考書で自分で調べましょう。
その作業は、大学でレポートや論文を書く際に大いに役立ちます。
書店参考サイト：
http://libletmarket.web.fc2.com/
http://changi.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1245876308/651
http://tlz.doooda.com/f/?tako
11 ：大学への名無しさん：2009/12/18(金) 19:04:38 ID:XLyEkfh+0
今話題の【法政大学キャリアデザイン学部】について
http://manabi.benesse.ne.jp/daigaku/school/3311/gakubu/39/index.html
↑ベネッセ情報
http://www.hosei.ac.jp/careerdesign/shokai/cd.html
↑法政大学情報
http://shingakunet.com/net/gakubugakka/top/SC000528/00000000000141129
↑リクルート情報
http://benesse.jp/berd/center/open/dai/between/2004/11/01toku_15.html
↑設置当時の情報
http://www.career-design.org/
↑日本キャリアデザイン学会
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AD%E3%83%A3%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%87%E3%82%B6%E3%82%A4%E3%83%B3
↑Wikipedia『キャリアデザイン』より
キャリアデザインに興味がない人でも法政大学キャリアデザイン学部で学ぶのは主に経営学、教育学、文化・コミュニティ学なので問題ナシ。
就職に不安がある人の為にアドバイザーもいたり、今の社会状況からしたらかなりお得。
入試もそんなに難しくなく、しっかりと対策すれば受かる。
以上の事から中途半端に専門的な学部に行こうとしている人には法政のキャリアデザインがお勧め。
滑り止めで受けようとする人にもかなりお手頃。
http://manabi.benesse.ne.jp/daigaku/school/3311/gakubu/39/index.html
↑ベネッセ情報
http://www.hosei.ac.jp/careerdesign/shokai/cd.html
↑法政大学情報
http://shingakunet.com/net/gakubugakka/top/SC000528/00000000000141129
↑リクルート情報
http://benesse.jp/berd/center/open/dai/between/2004/11/01toku_15.html
↑設置当時の情報
http://www.career-design.org/
↑日本キャリアデザイン学会
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AD%E3%83%A3%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%87%E3%82%B6%E3%82%A4%E3%83%B3
↑Wikipedia『キャリアデザイン』より
キャリアデザインに興味がない人でも法政大学キャリアデザイン学部で学ぶのは主に経営学、教育学、文化・コミュニティ学なので問題ナシ。
就職に不安がある人の為にアドバイザーもいたり、今の社会状況からしたらかなりお得。
入試もそんなに難しくなく、しっかりと対策すれば受かる。
以上の事から中途半端に専門的な学部に行こうとしている人には法政のキャリアデザインがお勧め。
滑り止めで受けようとする人にもかなりお手頃。
遅くなったけど、前スレ997ありがとうございました！
13 ：大学への名無しさん：2009/12/18(金) 21:55:04 ID:H9Rcz6UG0
良スレage
y＝log_{2}(2/x)の時
K＝(1/2)^y＋2^y+log_{2}3を
K＝x/ア＋イ/xに変形したいんだがやり方がわからない…
誰か頼む
K＝(1/2)^y＋2^y+log_{2}3を
K＝x/ア＋イ/xに変形したいんだがやり方がわからない…
誰か頼む
15 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 13:33:26 ID:PTXyOlaR0
三角形ABCのAB,BC,CAをk:1-kに内分する点を
それぞれP,Q,Rとし、三角形PQRのRQ,PR,QPをk:1-kに内分する点を
それぞれS,T,Uとするとき三角形ABCと三角形STUは相似らしいのですけど
どうやって相似であると示されますか?
(三角形PQRは正三角形となる場合を考えます。
このとき三角形ABCも正三角形になることを示すというのがこの問題で要求されてることです。)
それぞれP,Q,Rとし、三角形PQRのRQ,PR,QPをk:1-kに内分する点を
それぞれS,T,Uとするとき三角形ABCと三角形STUは相似らしいのですけど
どうやって相似であると示されますか?
(三角形PQRは正三角形となる場合を考えます。
このとき三角形ABCも正三角形になることを示すというのがこの問題で要求されてることです。)
>>15
全然計算してないけど、k:1-kという比の置き方からするとベクトルっぽい。
全然計算してないけど、k:1-kという比の置き方からするとベクトルっぽい。
17 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 14:05:48 ID:PTXyOlaR0
ベクトルでは計算に2k-1/3k^2-3k+1～とか出てきて結構汚くなるのですが
確かにそれで解けるんですよ。AB↑とAC↑の長さが等しいことと
内積をとったときに1/2になればいいので。
ただ幾何的に三角形ABCと三角形STUと相似であることを見抜き
三角形PQRが正三角形⇒三角形STUが正三角形であることから
正三角形と相似な三角形は正三角形以外ありえない
という解答を、模範解答は提示しています。
ただ幾何的に三角形ABCと三角形STUと相似であることが
まったく説明がされていなく、自分の力では理由がわからないので
質問させていただきました
確かにそれで解けるんですよ。AB↑とAC↑の長さが等しいことと
内積をとったときに1/2になればいいので。
ただ幾何的に三角形ABCと三角形STUと相似であることを見抜き
三角形PQRが正三角形⇒三角形STUが正三角形であることから
正三角形と相似な三角形は正三角形以外ありえない
という解答を、模範解答は提示しています。
ただ幾何的に三角形ABCと三角形STUと相似であることが
まったく説明がされていなく、自分の力では理由がわからないので
質問させていただきました
18 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 14:34:38 ID:gfvOfuqC0
まあベクトルでやる問題だろうな
一応図形的？にやってみるとこんな感じか
Aを通りBCに平行な直線lを引く
lとQP,QRの交点をそれぞれV,Wとすると
QU=kQP=k(1-k)QV
QT=(1-k)QR=k(1-k)QW
よってUT平行（なぜか記号が出ない）VW平行BC
一応図形的？にやってみるとこんな感じか
Aを通りBCに平行な直線lを引く
lとQP,QRの交点をそれぞれV,Wとすると
QU=kQP=k(1-k)QV
QT=(1-k)QR=k(1-k)QW
よってUT平行（なぜか記号が出ない）VW平行BC
20 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 15:06:57 ID:PTXyOlaR0
>>18-19
ありがとうございます。拝見させていただきます
ありがとうございます。拝見させていただきます
21 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 16:47:13 ID:HagZbN/I0
あまりにも難しすぎて自殺願望抱いた問題晒します。
a,b実数でa^2+b^2>0
変数θが
asinθ+bcosθ≧0①
acosθ-bsinθ≧0②の二つを同時に満たす範囲にあるときsinθの最大値を
求めよ。
①②変形して
sin(θ+α)≧0
cos(θ+α)≧0まではいったわ、そしてこっから円をかいてαで場合分け。
αは当然aに対応するから、
最初a>0 b≧0または、a=0,b>0のときで場合わけした、つまり0≦α≦π/2
このとき、明らかにθは０からπ/2-αの範囲だから、sinθの最大値は
sin(π/2-α)のときだ。
次ですよ。a<0 b≧0のとき。これが恐ろしくて自殺したくなる。
このときπ/2≦α≦πで、①②を同時に満たすなら、第一象限にくるまで
を調整するんですよ、このとき270°の境目でπ/2≦α≦πの値に入れても
一通りに最大値が決まらず、この２７０°のせいで、最大値がsinαになったり
cosαになったりする。あぁしにたい。しかも場合分けしたとしても。αの
境目に対するaの値、bの値が出てこない。
もう自殺したい気分です。どうか助けてください
a,b実数でa^2+b^2>0
変数θが
asinθ+bcosθ≧0①
acosθ-bsinθ≧0②の二つを同時に満たす範囲にあるときsinθの最大値を
求めよ。
①②変形して
sin(θ+α)≧0
cos(θ+α)≧0まではいったわ、そしてこっから円をかいてαで場合分け。
αは当然aに対応するから、
最初a>0 b≧0または、a=0,b>0のときで場合わけした、つまり0≦α≦π/2
このとき、明らかにθは０からπ/2-αの範囲だから、sinθの最大値は
sin(π/2-α)のときだ。
次ですよ。a<0 b≧0のとき。これが恐ろしくて自殺したくなる。
このときπ/2≦α≦πで、①②を同時に満たすなら、第一象限にくるまで
を調整するんですよ、このとき270°の境目でπ/2≦α≦πの値に入れても
一通りに最大値が決まらず、この２７０°のせいで、最大値がsinαになったり
cosαになったりする。あぁしにたい。しかも場合分けしたとしても。αの
境目に対するaの値、bの値が出てこない。
もう自殺したい気分です。どうか助けてください
22 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 16:51:37 ID:n6oM17zo0
①黄チャ→1対1→新スタ演習
②青or赤チャ→新スタ演習
どちらがいいでしょうか？
②青or赤チャ→新スタ演習
どちらがいいでしょうか？
24 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 18:09:40 ID:gfvOfuqC0
>>21
ちょっと勉強すれば良い事、死ぬなんて10年早い
(sinθ,cosθ)とベクトル(a,b), (-b,a)の内積の話だと思えば見通しが良いが
>>21を尊重しよう。
cosα=a/√(a^2+b^2), sinα=b/√(a^2+b^2)
となってればαは何でも良いが、とりあえず0≦α<2πとしておく。
sin(θ+α)≧0
cos(θ+α)≧0
であることと、目的がsinθの最大値を求める事だから、0≦θ+α≦π/2としてよい
すなわち-α≦θ≦π/2-α
この形から、もしsinθ=1にできればこれが最大値、
そうできないときは区間の端でsinθが最大になることがわかる。
sinθ=1となる場合を考える
0≦θ+α≦π/2と0≦α<2πから-2π<θ≦-(3/2)πだから
sinθ=1となるのはθ=-(3/2)πの時に限る。こうなりうるαは
-α≦-(3/2)π≦π/2-α, 0≦α<2πを解けば(3/2)π≦α<2π
0≦α<(3/2)πのときはθ=-α, π/2-αを調べれば良かった
sin(-α)=-sinα=-b/√(a^2+b^2)
sin(π/2-α)=cosα=a/√(a^2+b^2)
だから、aと-bの大小関係を考えればおｋ
ちょっと勉強すれば良い事、死ぬなんて10年早い
(sinθ,cosθ)とベクトル(a,b), (-b,a)の内積の話だと思えば見通しが良いが
>>21を尊重しよう。
cosα=a/√(a^2+b^2), sinα=b/√(a^2+b^2)
となってればαは何でも良いが、とりあえず0≦α<2πとしておく。
sin(θ+α)≧0
cos(θ+α)≧0
であることと、目的がsinθの最大値を求める事だから、0≦θ+α≦π/2としてよい
すなわち-α≦θ≦π/2-α
この形から、もしsinθ=1にできればこれが最大値、
そうできないときは区間の端でsinθが最大になることがわかる。
sinθ=1となる場合を考える
0≦θ+α≦π/2と0≦α<2πから-2π<θ≦-(3/2)πだから
sinθ=1となるのはθ=-(3/2)πの時に限る。こうなりうるαは
-α≦-(3/2)π≦π/2-α, 0≦α<2πを解けば(3/2)π≦α<2π
0≦α<(3/2)πのときはθ=-α, π/2-αを調べれば良かった
sin(-α)=-sinα=-b/√(a^2+b^2)
sin(π/2-α)=cosα=a/√(a^2+b^2)
だから、aと-bの大小関係を考えればおｋ
25 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 18:17:36 ID:HagZbN/I0
26 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 18:19:50 ID:gfvOfuqC0
一般角から復讐する事をオススメします
問題のレベルが明らかに合ってない
これは国立2次で出してもパニックになって解けないほうが多いと思う
問題のレベルが明らかに合ってない
これは国立2次で出してもパニックになって解けないほうが多いと思う
27 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 18:29:35 ID:PTXyOlaR0
>>18
すいません、色々考えてみたんですが
>kQP=k(1-k)QV
この式変形がわかりません
同様に
>(1-k)QR=k(1-k)QW
この変形もわかりません
QP~=(1-k)Qv,QR=kQWということはどうやっていえるのですか?
>>19
>点Uと点Sの高さが等しくなる（それぞれの高さと点Aの高さの比が等しい）
すいません、わかりません・・・
点Uと点Sの高さとはいったいなんですか? 線分USの長さのことですか?
すいません、色々考えてみたんですが
>kQP=k(1-k)QV
この式変形がわかりません
同様に
>(1-k)QR=k(1-k)QW
この変形もわかりません
QP~=(1-k)Qv,QR=kQWということはどうやっていえるのですか?
>>19
>点Uと点Sの高さが等しくなる（それぞれの高さと点Aの高さの比が等しい）
すいません、わかりません・・・
点Uと点Sの高さとはいったいなんですか? 線分USの長さのことですか?
28 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 18:40:32 ID:HagZbN/I0
29 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 18:51:30 ID:gfvOfuqC0
>>27
AVとBCが平行だから△AVP∽△BQP
∴VP:QP=AP:PB=k:(1-k)
∴QP:QV=QP:(QP+VP)=(1-k):(1-k+k)=(1-k):1
∴QP=(1-k)QV
>>28
感覚的に掴むならベクトルで考えるほうがよいかも
角を不等式で処理する場合は一般角のままではやりにくいから
破綻しない程度に角に制限を加えるのは普通の手法
角をなるべく表に出さないなら
sinθ=(1/√(a^2+b^2))(asin(θ+α)-bcos(θ+α))
=(1/√(a^2+b^2))(au-bv)
(u^2+v^2=1, u,v≧0)
と書いてみるのもあり
AVとBCが平行だから△AVP∽△BQP
∴VP:QP=AP:PB=k:(1-k)
∴QP:QV=QP:(QP+VP)=(1-k):(1-k+k)=(1-k):1
∴QP=(1-k)QV
>>28
感覚的に掴むならベクトルで考えるほうがよいかも
角を不等式で処理する場合は一般角のままではやりにくいから
破綻しない程度に角に制限を加えるのは普通の手法
角をなるべく表に出さないなら
sinθ=(1/√(a^2+b^2))(asin(θ+α)-bcos(θ+α))
=(1/√(a^2+b^2))(au-bv)
(u^2+v^2=1, u,v≧0)
と書いてみるのもあり
30 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 18:52:54 ID:HagZbN/I0
下世話な質問かもしれませんが、本当に厭らしい意味じゃないんですが
この問題、東大レベルですよね？ほかの問題とか今の時期になるとある
程度まじでできるんですよ。
この問題、東大レベルですよね？ほかの問題とか今の時期になるとある
程度まじでできるんですよ。
31 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 18:56:18 ID:gfvOfuqC0
発想は得に必要無いが嫌らしいという意味では東大的かもな
自分（東大）には簡単だから何ともいえん
自分（東大）には簡単だから何ともいえん
32 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 18:59:58 ID:HagZbN/I0
>>31
東大生なんですか？その言葉聞いて安心した自分が恥ずかしいですわ・・・
情けない。
とりあえず>>24の意味が少し分り始めました。
αで場合分けするよりも、端点からαを場合分けすればいいんですね。
ベクトルでもといてみます。
東大生なんですか？その言葉聞いて安心した自分が恥ずかしいですわ・・・
情けない。
とりあえず>>24の意味が少し分り始めました。
αで場合分けするよりも、端点からαを場合分けすればいいんですね。
ベクトルでもといてみます。
33 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 19:01:10 ID:gfvOfuqC0
頑張れ、粘り強く考える事も本番では大事だからな
34 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 19:03:16 ID:PTXyOlaR0
>>29
中学の幾何やりなおしてきます・・・
△AVP∽△BQPがわからない・・・
このCBに平行な直線Lを引いて
QP,QRを伸ばして交点とったのは
△AVP∽△BQPの相似が最初から見えていたからですか?
中学の幾何やりなおしてきます・・・
△AVP∽△BQPがわからない・・・
このCBに平行な直線Lを引いて
QP,QRを伸ばして交点とったのは
△AVP∽△BQPの相似が最初から見えていたからですか?
35 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 19:10:14 ID:gfvOfuqC0
なんだろ、定石だからかな
メネラウスの定理の証明とか読んで見たことあるかな
幾何は教科書に載ってる定理は証明もちゃんと読むことが大事
どっちの証明がのってるかわかんないけど
平行線を引く
垂線を下ろす
ってのがあって（これも本当は統一できるが）
それぞれ同じアイデアを>>18,19で使ってる
メネラウスの定理の証明とか読んで見たことあるかな
幾何は教科書に載ってる定理は証明もちゃんと読むことが大事
どっちの証明がのってるかわかんないけど
平行線を引く
垂線を下ろす
ってのがあって（これも本当は統一できるが）
それぞれ同じアイデアを>>18,19で使ってる
36 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 19:14:32 ID:PTXyOlaR0
幾何は中2の1.2学期に中学と高校でならう全定理を紹介されてそれを丸覚えして
問題を解く授業を受けたっきりであとはすっと関数や確率のほうに入っていったので
証明とかは全然みたことないです。。使えるほうが断然大事だし
どうせ高校になれば幾何なんか使わないと言われてたので・・・
>なんだろ、定石だからかな
定石なんですか。。これはちょっとやばいかもしれないです・・・
問題を解く授業を受けたっきりであとはすっと関数や確率のほうに入っていったので
証明とかは全然みたことないです。。使えるほうが断然大事だし
どうせ高校になれば幾何なんか使わないと言われてたので・・・
>なんだろ、定石だからかな
定石なんですか。。これはちょっとやばいかもしれないです・・・
37 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 19:15:50 ID:gfvOfuqC0
自分のは文字の対応が間違ってるかもしれないし、多分>>19のほうがわかりやすいと思うから
そっちが良いんじゃないかな、それぞれの点から実際にBCに垂線を下ろして眺めてみて下さい
そっちが良いんじゃないかな、それぞれの点から実際にBCに垂線を下ろして眺めてみて下さい
38 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 19:20:51 ID:gfvOfuqC0
深刻にならなくても入試では平面幾何ってあまり出ないんじゃないの？
自分の志望校についてちゃんと調べてみたら良いと思う
使えるほうが断然大事
その通りだけど、書いてある事を読み取る力も大切
自分の志望校についてちゃんと調べてみたら良いと思う
使えるほうが断然大事
その通りだけど、書いてある事を読み取る力も大切
39 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 19:21:41 ID:PTXyOlaR0
40 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 20:08:49 ID:PTXyOlaR0
>>18の件、ようやく理解できました。ありがとうございました
>>19さんのほうの、
UからBCに下ろした垂線の長さ=SからBCに下ろした垂線の長さ
がどうして成立するのかまだよくわかりませんが、この調子で考えたいと思います
>>19さんのほうの、
UからBCに下ろした垂線の長さ=SからBCに下ろした垂線の長さ
がどうして成立するのかまだよくわかりませんが、この調子で考えたいと思います
41 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 21:44:44 ID:D1LLXVM60
f(x)=x^2+ax+b(-1≦x≦1)の絶対値の最大値をg(a,b)とすると,g(a,b)≧1/2であることを示せ.
という問題の解答が
f(x)の最大値(最小値)の絶対値を最小に出来るのはx=0のときである。(xの定義域の中心なので)よってf(x)=x^2+b
次に、g(x)＜1/2にするには、f(x)の頂点のy座標が-1/2から1/2の間になくてはならない。よって-1/2＜b＜1/2である。しかしここで、y=x^2のグラフは,x=1(x=-1)のとき必ずその値に１が足される。つまり、-1/2＜b＜1/2の範囲では最大値が必ず1/2以上になってしまう。
したがって、g(x)＜1/2はあり得ない。
∴g(x)≧1/2となり、これにより題意は満たされた
というものなのですが，1行目の意味がよくわからないので，解説をお願いしたいです．
という問題の解答が
f(x)の最大値(最小値)の絶対値を最小に出来るのはx=0のときである。(xの定義域の中心なので)よってf(x)=x^2+b
次に、g(x)＜1/2にするには、f(x)の頂点のy座標が-1/2から1/2の間になくてはならない。よって-1/2＜b＜1/2である。しかしここで、y=x^2のグラフは,x=1(x=-1)のとき必ずその値に１が足される。つまり、-1/2＜b＜1/2の範囲では最大値が必ず1/2以上になってしまう。
したがって、g(x)＜1/2はあり得ない。
∴g(x)≧1/2となり、これにより題意は満たされた
というものなのですが，1行目の意味がよくわからないので，解説をお願いしたいです．
43 ：21：2009/12/19(土) 22:52:01 ID:Ya8Tw95B0
ちょっとまってくれ。
ベクトルで考えたって、結局,（a,ｂ）としてその角度で考えるんだろ？
結局sin cosで考えるのと一緒なんじゃないんですか？
あとa,b同時に0でないことを、不等号であらわすのが非常にややこしいので
(a,b)が第一象限のときとかいう、場合分けはダメなのですか？
ベクトルで考えたって、結局,（a,ｂ）としてその角度で考えるんだろ？
結局sin cosで考えるのと一緒なんじゃないんですか？
あとa,b同時に0でないことを、不等号であらわすのが非常にややこしいので
(a,b)が第一象限のときとかいう、場合分けはダメなのですか？
>>40
以下、BCへの垂線の長さについて。
Pからの垂線はAからの垂線の(1-k)倍で（PBがABの(1-k)倍だから）、
Uからの垂線はPからの垂線のk倍なので、
Uからの垂線はAからの垂線の(1-k)倍のk倍だからk(1-k)倍。
Sからの垂線はk倍の(1-k)倍だからやっぱりk(1-k)倍。
従って等しい。
以下、BCへの垂線の長さについて。
Pからの垂線はAからの垂線の(1-k)倍で（PBがABの(1-k)倍だから）、
Uからの垂線はPからの垂線のk倍なので、
Uからの垂線はAからの垂線の(1-k)倍のk倍だからk(1-k)倍。
Sからの垂線はk倍の(1-k)倍だからやっぱりk(1-k)倍。
従って等しい。
45 ：大学への名無しさん：2009/12/19(土) 23:15:40 ID:gfvOfuqC0
>>43
(a,b)そのものじゃなく、ベクトル(a,b)の向きだけが問題。
a,bが同時に0でないというのは、(a,b)が0ベクトルじゃない、
つまり向きが定まるって事。
ベクトルでやるなら、内積≧0というのはどう言う事かを考えれば
(sinθ,cosθ)が(a,b),(-b,a)の間を向いてるということがわかるから
(a,b)を回してみれば3つの場合があるのはすぐわかる
図を書いて考えてみて ヒント：(a,b)と(-b,a)は垂直
(a,b)そのものじゃなく、ベクトル(a,b)の向きだけが問題。
a,bが同時に0でないというのは、(a,b)が0ベクトルじゃない、
つまり向きが定まるって事。
ベクトルでやるなら、内積≧0というのはどう言う事かを考えれば
(sinθ,cosθ)が(a,b),(-b,a)の間を向いてるということがわかるから
(a,b)を回してみれば3つの場合があるのはすぐわかる
図を書いて考えてみて ヒント：(a,b)と(-b,a)は垂直
>>41
-1≦x≦1は定義域の幅が2である
y=x^2+で定義域の幅が2のとき
y=x^2の値域の幅が最小になるのは-1≦x≦1の範囲で値域の幅を数えたときであり
そのときの値域の幅の最小値は1
(もし少しずれて-2≦x≦0のときは値域の幅が1より大きくなる)
y=x^2+axで定義域の幅が2のとき
y=g(x)の値域の幅が最小になるのは,軸がx=0で
そのとき-1≦x≦1の範囲で値域の幅を数えたとき
y=f(x)=x^2+ax+bで定義域の幅が2のとき
値域の幅が最小になるのは,軸がx=0で
そのとき-1≦x≦1の範囲で値域の幅を数えたときでその最小値は1
このとき最大値-最小値=1をみたしながら最大値と最小値は変動していく
y=x^2+ax+bの最大値と最小値をどんどん小さくしていくと、絶対値をつけたときに値がでかくなって折り返される
結局、bをうまくとって、y=x^2+ax+bの最大値1/2,最小値-1/2のときに絶対値をつければ
このときに最大値が最小、ここから少しでもずれると最小値の絶対値が増えるので不可
って感じなんじゃないですかね。。。多分
-1≦x≦1は定義域の幅が2である
y=x^2+で定義域の幅が2のとき
y=x^2の値域の幅が最小になるのは-1≦x≦1の範囲で値域の幅を数えたときであり
そのときの値域の幅の最小値は1
(もし少しずれて-2≦x≦0のときは値域の幅が1より大きくなる)
y=x^2+axで定義域の幅が2のとき
y=g(x)の値域の幅が最小になるのは,軸がx=0で
そのとき-1≦x≦1の範囲で値域の幅を数えたとき
y=f(x)=x^2+ax+bで定義域の幅が2のとき
値域の幅が最小になるのは,軸がx=0で
そのとき-1≦x≦1の範囲で値域の幅を数えたときでその最小値は1
このとき最大値-最小値=1をみたしながら最大値と最小値は変動していく
y=x^2+ax+bの最大値と最小値をどんどん小さくしていくと、絶対値をつけたときに値がでかくなって折り返される
結局、bをうまくとって、y=x^2+ax+bの最大値1/2,最小値-1/2のときに絶対値をつければ
このときに最大値が最小、ここから少しでもずれると最小値の絶対値が増えるので不可
って感じなんじゃないですかね。。。多分
48 ：大学への名無しさん：2009/12/20(日) 00:07:27 ID:5PbcQnSM0
①黄チャ→1対1→新スタ演習
②青or赤チャ→新スタ演習
どちらがいいでしょうか？
②青or赤チャ→新スタ演習
どちらがいいでしょうか？
49 ：大学への名無しさん：2009/12/20(日) 02:23:24 ID:n4p6wihcO
xy平面上の半円x^2+y^2=1（ただしy≧0）
およびx軸に接する円の中心の軌跡の方程式は
x<□,□<xのときy=(□/□)x^2-□/□
という問題で、□に当て嵌まるものがわからず･･･
というか問題の意味がよくわからないのですが
誰か解説お願いします
およびx軸に接する円の中心の軌跡の方程式は
x<□,□<xのときy=(□/□)x^2-□/□
という問題で、□に当て嵌まるものがわからず･･･
というか問題の意味がよくわからないのですが
誰か解説お願いします
相加相乗の使い時が全くわかりません…。
いつ使えばいいんですか?
いつ使えばいいんですか?
>>52
半円とx軸の両方に接するような円をたくさん描いたときに
その中心がどのような放物線(実際放物線になるかはわかりませんが)を描くか という問題です。
x軸に接する円の方程式は
(x-X)^2+(y-Y)^2=Y^2 と置けます(半径=中心のy座標)
半円は中心(0,0),半径1なので、
中心間の距離＝円の半径 + 半円の半径 となれば半円と円が接することから
X^2+Y^2 = (Y+1)^2
整理すると
Y=(1/2)X^2 - 1/2
あとはY>0からXの範囲を出せばいいと思いますが、
問題の通り解釈するならば、半円に内接する場合も考えなければいけません。
内接する場合は答えなくていいようなので割愛しますが、
内接の場合も 中心間の距離と半径の関係を用いれば求められると思います。
半円とx軸の両方に接するような円をたくさん描いたときに
その中心がどのような放物線(実際放物線になるかはわかりませんが)を描くか という問題です。
x軸に接する円の方程式は
(x-X)^2+(y-Y)^2=Y^2 と置けます(半径=中心のy座標)
半円は中心(0,0),半径1なので、
中心間の距離＝円の半径 + 半円の半径 となれば半円と円が接することから
X^2+Y^2 = (Y+1)^2
整理すると
Y=(1/2)X^2 - 1/2
あとはY>0からXの範囲を出せばいいと思いますが、
問題の通り解釈するならば、半円に内接する場合も考えなければいけません。
内接する場合は答えなくていいようなので割愛しますが、
内接の場合も 中心間の距離と半径の関係を用いれば求められると思います。
２円の共通接線を求める方法は、公式もしくはパターンがありますか？
あれば求め方も教えて下さい。
よろしくお願いします。
あれば求め方も教えて下さい。
よろしくお願いします。
この計算ができません・・・誰か途中の計算過程を解りやすくかいて貰えないでしょうか？
http://imepita.jp/20091221/352930
ちなみに左のΣは上が2n下がa=1
右のΣは上が3n下がa=2n+1です。見にくくてすみません。
http://imepita.jp/20091221/352930
ちなみに左のΣは上が2n下がa=1
右のΣは上が3n下がa=2n+1です。見にくくてすみません。
2番目のΣは
(1/2)(初項＋末項)×項数
を使う
これ以上の説明が必要なら基本問題から復讐してください
(1/2)(初項＋末項)×項数
を使う
これ以上の説明が必要なら基本問題から復讐してください
58 ：大学への名無しさん：2009/12/21(月) 11:48:16 ID:rpjJ4USg0
AB=３ OA＝１ AOB＝９０°の直角三角形OABを０回りに回転させたとき、Aの移動した点をA' Bの移動した点をB'、A'B'とOBの交点をCと置くとき。
A'がAB上にあるとき、sinAOA'とsinA'OBを求め、OCの長さを求めよ。
なぜか意味が分からず解けないでいます。
誰か解説お願いします。
A'がAB上にあるとき、sinAOA'とsinA'OBを求め、OCの長さを求めよ。
なぜか意味が分からず解けないでいます。
誰か解説お願いします。
>>58
どの部分がわからんの？
どの部分がわからんの？
>>58 OC=18√2/23
主旨からずれた質問かも知れませんが、
空間図形を空間図形と認識できません。
実線も点線も、全部平面に見えてしまって頭が混乱します。
参考書売買スレッド Part8
http://changi.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1245876308/651
http://tlz.doooda.com/f/?tako
http://libletmarket.web.fc2.com/
空間図形を空間図形と認識できません。
実線も点線も、全部平面に見えてしまって頭が混乱します。
参考書売買スレッド Part8
http://changi.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1245876308/651
http://tlz.doooda.com/f/?tako
http://libletmarket.web.fc2.com/
質問させてください
http://up3.viploader.net/bg/src/vlbg003527.jpg
という問題で（2）の解説で
http://viploader.net/bg/src/vlbg003528.jpg
a[n]=の式がどうしたがって出てくるのかがわかりません
よろしくお願いします
http://up3.viploader.net/bg/src/vlbg003527.jpg
という問題で（2）の解説で
http://viploader.net/bg/src/vlbg003528.jpg
a[n]=の式がどうしたがって出てくるのかがわかりません
よろしくお願いします
等差数列の和じゃないので?
初項（n+1）末項１で
n/2(a+l）の式に当てはめてるってことですか？
nの部分が(n/3)+1となる理由がわからないです･･･
n/2(a+l）の式に当てはめてるってことですか？
nの部分が(n/3)+1となる理由がわからないです･･･
項数がz=0からz=n/3までの1+n/3項あり
初項がn+1,末項が1の等差数列になっているように思うのです
初項がn+1,末項が1の等差数列になっているように思うのです
>>65
ものすごくわかりやすい解説ありがとうございました！
ものすごくわかりやすい解説ありがとうございました！
2次不等式において解の公式で2つの解を求めた後の、
文字との大小関係が分かりません。判断の仕方を教えてください。
例えば
2a^2-8a+4<0 から 2±√2 を求めたあと、
2-√2<a<2+√2 なのか
a<2-√2, 2+√2<a なのか 分かりません。
文字との大小関係が分かりません。判断の仕方を教えてください。
例えば
2a^2-8a+4<0 から 2±√2 を求めたあと、
2-√2<a<2+√2 なのか
a<2-√2, 2+√2<a なのか 分かりません。
>>67
因数分解した形を考える。
掛け合わせたものが負になるのは、どちらかが正でどちらかが負。
掛け合わせたものが正になるのは、両方負か両方正。
あるいは、グラフで考える。こっちの方が簡単か？
その問題で言えば、y=2a^2-8a+4は下に凸のグラフ。
y<0になるのはy=0の解、つまり、x軸との交点の間。
因数分解した形を考える。
掛け合わせたものが負になるのは、どちらかが正でどちらかが負。
掛け合わせたものが正になるのは、両方負か両方正。
あるいは、グラフで考える。こっちの方が簡単か？
その問題で言えば、y=2a^2-8a+4は下に凸のグラフ。
y<0になるのはy=0の解、つまり、x軸との交点の間。
http://imepita.jp/20091221/813000
この下の問題なのですが
http://imepita.jp/20091221/814200
どうしてこのような式になるのかわかりません、分数のほうです
あと1:5に内分するってのはどこからきたのでしょうか？
どなたかご教授下さい
この下の問題なのですが
http://imepita.jp/20091221/814200
どうしてこのような式になるのかわかりません、分数のほうです
あと1:5に内分するってのはどこからきたのでしょうか？
どなたかご教授下さい
>どうしてこのような式になるのかわかりません、分数のほうです
「係数の和が1」の形を無理やりつくっています
5a↑+b↑=6{(5a↑/6)+(b↑/6)}
>あと1:5に内分する
分点の公式を逆に読んでいます
線分ABを1:5に内分する点をXとしたときそのベクトルは
OX↑=(5OA↑/6)+(OB↑/6)
逆に
{(5OA↑/6)+(OB↑/6)}が与えられれば
線分ABを1:5に内分する点を表していると考えます
「係数の和が1」の形を無理やりつくっています
5a↑+b↑=6{(5a↑/6)+(b↑/6)}
>あと1:5に内分する
分点の公式を逆に読んでいます
線分ABを1:5に内分する点をXとしたときそのベクトルは
OX↑=(5OA↑/6)+(OB↑/6)
逆に
{(5OA↑/6)+(OB↑/6)}が与えられれば
線分ABを1:5に内分する点を表していると考えます
首が折れるだろうが
>>69
解説に書いてあるように見えるけど。
線分ABをx：yに内分する点は、OA↑+x/(x+y)AB↑。
ただ、これだと計算しづらいので、例えば3：2なら3/5：2/5として、x+y=1となるようにする。
そのように上の式を書き換えると、
線分ABをk：1-kに内分する点はOA↑+kAB↑となる。
AB↑=OB↑-OA↑だから、
OA↑+kAB↑=OA↑+k(OB↑-OA↑)=(1-k)OA↑+kOB↑。
上の
> 3：2なら3/5：2/5として、x+y=1となるようにする。
この部分をやっているのが、その解答例にある分数の変形。
例えば、5a↑+b↑の部分は6*((5/6)a↑+(1/6)b↑)と変形している。最初の6はつじつま合わせるためのもの。
(5/6)a↑+(1/6)b↑はABを1/6：5/6=1：5に内分する点を表す。
解説に書いてあるように見えるけど。
線分ABをx：yに内分する点は、OA↑+x/(x+y)AB↑。
ただ、これだと計算しづらいので、例えば3：2なら3/5：2/5として、x+y=1となるようにする。
そのように上の式を書き換えると、
線分ABをk：1-kに内分する点はOA↑+kAB↑となる。
AB↑=OB↑-OA↑だから、
OA↑+kAB↑=OA↑+k(OB↑-OA↑)=(1-k)OA↑+kOB↑。
上の
> 3：2なら3/5：2/5として、x+y=1となるようにする。
この部分をやっているのが、その解答例にある分数の変形。
例えば、5a↑+b↑の部分は6*((5/6)a↑+(1/6)b↑)と変形している。最初の6はつじつま合わせるためのもの。
(5/6)a↑+(1/6)b↑はABを1/6：5/6=1：5に内分する点を表す。
74 ：大学への名無しさん：2009/12/22(火) 10:58:35 ID:XzEpDSdpO
赤、黄、青のカードが３枚ずつあって、それぞれに１、２、３の数字がひとつずつ書いてあります。
この９枚のカードの中から２枚を無作為に取り出したとき、２枚の色か数字が同じならその２枚を除外します。
この試行を繰り返したとき、除外できずに残るカードの枚数の期待値はいくらになりますか？
この９枚のカードの中から２枚を無作為に取り出したとき、２枚の色か数字が同じならその２枚を除外します。
この試行を繰り返したとき、除外できずに残るカードの枚数の期待値はいくらになりますか？
>>74
繰り返す→無限回、消せなくなるまで繰り返すと考えると、
６枚までは確実に消せて結果的には６枚か８枚消えるから、一枚か三枚残ることしかありえない。
Ⅰ、残るのが１枚のとき
残ったのが赤１、赤２、赤３、黄・・・青・・・
で９通り
Ⅱ、残るのが３枚のとき
一つを固定すると（例として赤１）青と黄の番号の組み合わせは
（青、黄）＝（２、３）（３、２）の二通りが考えれる
赤では２と３もあり赤１の時と同じようになるので２×３＝６
青か黄で仮に固定した際も同じ結果の６通りが出る
Ⅰ、Ⅱから全体の場合の数は９＋６＝１５なので
求める期待値は（１×９+３×６）/１５＝９/５（答）
繰り返す→無限回、消せなくなるまで繰り返すと考えると、
６枚までは確実に消せて結果的には６枚か８枚消えるから、一枚か三枚残ることしかありえない。
Ⅰ、残るのが１枚のとき
残ったのが赤１、赤２、赤３、黄・・・青・・・
で９通り
Ⅱ、残るのが３枚のとき
一つを固定すると（例として赤１）青と黄の番号の組み合わせは
（青、黄）＝（２、３）（３、２）の二通りが考えれる
赤では２と３もあり赤１の時と同じようになるので２×３＝６
青か黄で仮に固定した際も同じ結果の６通りが出る
Ⅰ、Ⅱから全体の場合の数は９＋６＝１５なので
求める期待値は（１×９+３×６）/１５＝９/５（答）
>>76
確かに赤１の時で一枚だけ余る時、黄と青で１１、２２、３３の３通りと赤が２３の両方の可能性があるから４通り
３枚余るのは赤黄青で１２３、１３２の２通りだから確率で考えると明らかに違うな・・・
これは自分のが間違ってる、申し訳ないけれども>>75はスルーしてくれるとありがたいです
確かに赤１の時で一枚だけ余る時、黄と青で１１、２２、３３の３通りと赤が２３の両方の可能性があるから４通り
３枚余るのは赤黄青で１２３、１３２の２通りだから確率で考えると明らかに違うな・・・
これは自分のが間違ってる、申し訳ないけれども>>75はスルーしてくれるとありがたいです
ちょっと間違えていた。63/55になった。全く自信なし。
79 ：大学への名無しさん：2009/12/23(水) 14:16:14 ID:lKpEeOtLO
かなり初歩的な質問なんですが
0≦X≦1、-1≦y＜1の時、X-Y≧-1と書いてあるんですが何故ですか？m(_ _)m
0≦X≦1、-1≦y＜1の時、X-Y≧-1と書いてあるんですが何故ですか？m(_ _)m
>>79
X-Yを最も大きくしようと思ったら、Xを最も大きく、Yを最も小さくすればいい。
X-Yをもっとも小さくしようと思ったら、その逆。
だから、-1≦X-Y≦2。
-1≦Y≦1だよね？ -1≦Y＜1だと、X-Yは-1にはなれないよ。
X-Yを最も大きくしようと思ったら、Xを最も大きく、Yを最も小さくすればいい。
X-Yをもっとも小さくしようと思ったら、その逆。
だから、-1≦X-Y≦2。
-1≦Y≦1だよね？ -1≦Y＜1だと、X-Yは-1にはなれないよ。
82 ：大学への名無しさん：2009/12/23(水) 17:31:43 ID:YXJy/kjc0
xyz空間内の領域｜ｘ｜≦１の範囲に立体Sがある。
z=0でのSの切り口は、x^2+y^2=1の円となり、x=k(|k|≦1)での切り口は、頂点の一つが(k、0、2)である正方形の周上および内部である。
この時、Sの体積を求めよ。
この問題なんですが、どんな立体になるのか予想もつきません。
どういう考え方で解けばいいのか教えてください。
z=0でのSの切り口は、x^2+y^2=1の円となり、x=k(|k|≦1)での切り口は、頂点の一つが(k、0、2)である正方形の周上および内部である。
この時、Sの体積を求めよ。
この問題なんですが、どんな立体になるのか予想もつきません。
どういう考え方で解けばいいのか教えてください。
>>82
積分しろってことじゃないのか？
積分しろってことじゃないのか？
84 ：大学への名無しさん：2009/12/23(水) 17:36:09 ID:YXJy/kjc0
>>83
積分の立式が分からないのです。
積分の立式が分からないのです。
85 ：大学への名無しさん：2009/12/23(水) 17:45:14 ID:xVwrcjj8O
86 ：大学への名無しさん：2009/12/23(水) 18:05:39 ID:YXJy/kjc0
>>85
すいません、空間図形すごく苦手でその解説でもよくわかりません。
すいません、空間図形すごく苦手でその解説でもよくわかりません。
87 ：大学への名無しさん：2009/12/23(水) 18:15:01 ID:xVwrcjj8O
円を垂直な平面で切るとその切り口は２つの点になるってこと(端なら１つだけど)
88 ：大学への名無しさん：2009/12/23(水) 18:24:40 ID:YXJy/kjc0
>>87
すいません、円じゃなくて円板です
すいません、円じゃなくて円板です
89 ：大学への名無しさん：2009/12/23(水) 18:32:35 ID:b0jxRqOKO
式だけじゃ立体図形が直感的に把握できないから、平面に還元して(しかも積分するなら、断面だけ分かればいい)るのに、この質問者は…。
90 ：大学への名無しさん：2009/12/23(水) 18:36:08 ID:xVwrcjj8O
じゃあ２点を結んだ線分L(k)になる
→これは断面である正方形の一部
今正方形の頂点の１つがわかってて、
しかもそれはL(k)の垂直二等分線上にあるから…
って感じで考えればできる
→これは断面である正方形の一部
今正方形の頂点の１つがわかってて、
しかもそれはL(k)の垂直二等分線上にあるから…
って感じで考えればできる
92 ：大学への名無しさん：2009/12/24(木) 02:30:51 ID:MYmsZqHjO
lim(n→∞)1／nΣ(1≦k≦n)cos(sin1／k)＝1
どなたか証明お願いします。
どなたか証明お願いします。
93 ：大学への名無しさん：2009/12/24(木) 03:13:19 ID:MR/IFCOiO
どなたかお願いします。河合の数１のマーク模試の問題で、
絶対値を含む方程式についてです。
問))
1/√5(x+3)+3＝|x|
で、解を求める問題なんですが、
解答では
1/√5(x+3)+3＝±x
となって解を求めていました。(ちなみに答えは-3と9/2+3√5/2です)
自分は、|x|^2＝x^2という性質を利用して両辺を2乗して解こうとしたのですが、答えが合いません。このやり方ではだめなんですか？どこが間違えてるのでしょうか？
絶対値を含む方程式についてです。
問))
1/√5(x+3)+3＝|x|
で、解を求める問題なんですが、
解答では
1/√5(x+3)+3＝±x
となって解を求めていました。(ちなみに答えは-3と9/2+3√5/2です)
自分は、|x|^2＝x^2という性質を利用して両辺を2乗して解こうとしたのですが、答えが合いません。このやり方ではだめなんですか？どこが間違えてるのでしょうか？
a≧0、b≧0のとき a=b ⇔ a^2=b^2
95 ：大学への名無しさん：2009/12/24(木) 04:52:13 ID:rxYRbcZ9O
>>93の左辺はもしかして直線なの？
96 ：大学への名無しさん：2009/12/24(木) 05:07:04 ID:MR/IFCOiO
直線ってどういう意味ですか？
98 ：大学への名無しさん：2009/12/24(木) 06:38:06 ID:MR/IFCOiO
申し訳ないですが数学が究極に苦手なんで、
十分性とかいわれてもわかりません。
自分の考え方(両辺を2乗する)はなぜだめなんでしょうか？
超苦手人にもわかるような説明してもらえると非常にありがたいです。
十分性とかいわれてもわかりません。
自分の考え方(両辺を2乗する)はなぜだめなんでしょうか？
超苦手人にもわかるような説明してもらえると非常にありがたいです。
100 ：大学への名無しさん：2009/12/24(木) 11:00:35 ID:rxYRbcZ9O
>>96
>>95の話だけど まぁ答えに-3があるから 左辺は1/√5(X+3)(曲線)ではなく、もしかして(X+3)/√5(直線)なのか？ と聞いた
つまりはその表記で間違いないのかを聞きたいわけなんだけど
>>95の話だけど まぁ答えに-3があるから 左辺は1/√5(X+3)(曲線)ではなく、もしかして(X+3)/√5(直線)なのか？ と聞いた
つまりはその表記で間違いないのかを聞きたいわけなんだけど
101 ：大学への名無しさん：2009/12/24(木) 11:31:43 ID:rxYRbcZ9O
すまん、面倒だから計算しなかったんだけど 待つのも面倒だから計算した
結論から言えばそれは普通に二乗していい方程式だけど 出来ればその回答のように答えられるようになっておけ
で、二乗して計算したけどその答えと同じになったから単に>>93の計算ミスなのか計算力無いのか
方程式の両辺に√5をかけて、左辺をX+3aとおいて(a=1+√5)、あとは二乗して二次方程式の解の公式を使って計算できなくなるまで式を整理してからaを代入すればたぶん計算ミスしないからやってみ
蛇足だけど
>>99
|X|=2 両辺二乗して
X^2=4 これを解いて
X=±2
今回の場合は何もおかしくないぞ
結論から言えばそれは普通に二乗していい方程式だけど 出来ればその回答のように答えられるようになっておけ
で、二乗して計算したけどその答えと同じになったから単に>>93の計算ミスなのか計算力無いのか
方程式の両辺に√5をかけて、左辺をX+3aとおいて(a=1+√5)、あとは二乗して二次方程式の解の公式を使って計算できなくなるまで式を整理してからaを代入すればたぶん計算ミスしないからやってみ
蛇足だけど
>>99
|X|=2 両辺二乗して
X^2=4 これを解いて
X=±2
今回の場合は何もおかしくないぞ
>>101
おかしくなるのは左辺だって。
おかしくなるのは左辺だって。
必要条件は絶対値のほうじゃなくて
1/√5(x+3)+3 ≧ 0
1/√5(x+3)+3 ≧ 0
絶対値のほうだけみればxに正負とかの条件はない
105 ：大学への名無しさん：2009/12/24(木) 13:19:00 ID:SXJDqSXv0
すべての実数xにたいして,cos(x+a)+sin(x+b)+√2cosxが一定となるようなa.bをもとめよ
ただし0a<2π,0<b<2πとする
(答え:(a.b)=(3π/4,7π/4),(5π/4,5π/4))
この問題の解き方を教えてください
とりあえず次のように考えました
cos(x+a)+sin(x+b)+√2cosx=k・・・(1) とおきxで微分して-1倍すると
sin(x+a)-cos(x+b)+√2sinx=0・・・(2) さらにxで微分すると
cos(x+a)+sin(x+b)+√2cosx=0・・・(3)
よってk=0になる このとき
A(cos(x+a), sin(x+a)), B(sin(x+b), -cos(x+b)), C(√2cosx, √2sinx)
とおくと⊿ABCの重心は原点と一致する
というところまで考えられましたがここからどのように答えを出していいか困ってます
おねがいします
ただし0a<2π,0<b<2πとする
(答え:(a.b)=(3π/4,7π/4),(5π/4,5π/4))
この問題の解き方を教えてください
とりあえず次のように考えました
cos(x+a)+sin(x+b)+√2cosx=k・・・(1) とおきxで微分して-1倍すると
sin(x+a)-cos(x+b)+√2sinx=0・・・(2) さらにxで微分すると
cos(x+a)+sin(x+b)+√2cosx=0・・・(3)
よってk=0になる このとき
A(cos(x+a), sin(x+a)), B(sin(x+b), -cos(x+b)), C(√2cosx, √2sinx)
とおくと⊿ABCの重心は原点と一致する
というところまで考えられましたがここからどのように答えを出していいか困ってます
おねがいします
>>105
加法低利でばらしてコスxとｻｲﾝxでそれぞれくくる
加法低利でばらしてコスxとｻｲﾝxでそれぞれくくる
107 ：大学への名無しさん：2009/12/24(木) 13:41:56 ID:SXJDqSXv0
>>106
それはちょっと計算一辺倒な帰来がするので最終手段としています。。。
同様に必要性で絞っていく解法も見栄えが悪いため取りたくありません。
よろしければ>>105の方針から上手に工夫して導く方法を教えていただけないでしょうか?
それはちょっと計算一辺倒な帰来がするので最終手段としています。。。
同様に必要性で絞っていく解法も見栄えが悪いため取りたくありません。
よろしければ>>105の方針から上手に工夫して導く方法を教えていただけないでしょうか?
(b~m-a~m)/(b-a)=Σb~(m-1-k)・a~k (k=0～m-1)
これどうやったら導出できるか教えて下さい
プラチカの43番の一行目です
これどうやったら導出できるか教えて下さい
プラチカの43番の一行目です
>>108
よく確認してないけど、右辺に(b-a)/(b-a)を掛けるとどうなる？
よく確認してないけど、右辺に(b-a)/(b-a)を掛けるとどうなる？
>>108
~じゃなくて^を使ってね。Shift押さずに~のキーを押してみて。
~じゃなくて^を使ってね。Shift押さずに~のキーを押してみて。
113 ：大学への名無しさん：2009/12/24(木) 15:34:36 ID:KKKdSgKYO
積分で面積がマイナスになることってあるんですか？それっておかしくないですか？
114 ：大学への名無しさん：2009/12/24(木) 16:01:10 ID:Fo8ZQpQ8O
積分≠面積
面積…マイナスにならない
積分…マイナスになるかもね
それ聞くのは演習が足りない証拠だよ
面積…マイナスにならない
積分…マイナスになるかもね
それ聞くのは演習が足りない証拠だよ
115 ：大学への名無しさん：2009/12/24(木) 16:28:56 ID:KKKdSgKYO
イコールじゃないんですか
ありがとうございました
ありがとうございました
116 ：大学への名無しさん：2009/12/24(木) 17:05:11 ID:SXJDqSXv0
>>112
それはわかりますが・・・その後はいったいどうしたら・・・
それはわかりますが・・・その後はいったいどうしたら・・・
和積？
118 ：大学への名無しさん：2009/12/24(木) 19:01:22 ID:q7Cfu8Vu0
整数問題です
３辺の長さが自然数である三角形の各辺の長さをa,b,cとおく。a≦b≦cとし、
nを自然数の定数とするとき、c=nであるような三角形は何個あるか。
３辺の長さが自然数である三角形の各辺の長さをa,b,cとおく。a≦b≦cとし、
nを自然数の定数とするとき、c=nであるような三角形は何個あるか。
>>118
出題されても。
出題されても。
二項定理が何故成り立つかいまいちわかりません。簡単な説明お願いしますm(_ _)m
>>121ありがとうございます。
んーいまいちわからないんですが…
んーいまいちわからないんですが…
>>122
(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2
1つ目の(a+b)からa、2つ目の(a+b)からaを持ってくるとa^2が出来る。
1つ目の(a+b)からa、2つ目の(a+b)からbを持ってくるとabが出来る。
・
・
・
abというのはaを1個、bを1個持ってくれば出来るから、abという同類項の個数は、
aを持ってくる(a+b)を1個選ぶ選び方に等しい。つまり2C1。
bは残りの(a+b)全てから持ってくるので、あえて言うなら1C1。
n乗で考えた場合、
a^p*b^(n-p)という同類項は、ｎ個の(a+b)からp個選んでaを持ってきて、
残りのn-p個の(a+b)からbを持ってくることで出来るから、その個数は、
nCp*(n-p)C(n-p)=nCp。
(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2
1つ目の(a+b)からa、2つ目の(a+b)からaを持ってくるとa^2が出来る。
1つ目の(a+b)からa、2つ目の(a+b)からbを持ってくるとabが出来る。
・
・
・
abというのはaを1個、bを1個持ってくれば出来るから、abという同類項の個数は、
aを持ってくる(a+b)を1個選ぶ選び方に等しい。つまり2C1。
bは残りの(a+b)全てから持ってくるので、あえて言うなら1C1。
n乗で考えた場合、
a^p*b^(n-p)という同類項は、ｎ個の(a+b)からp個選んでaを持ってきて、
残りのn-p個の(a+b)からbを持ってくることで出来るから、その個数は、
nCp*(n-p)C(n-p)=nCp。
>>117
それなら最初から和積かな？
それなら最初から和積かな？
125 ：大学への名無しさん：2009/12/25(金) 07:02:21 ID:GiAqVfLfO
>>93です。
レスくれたみなさんありがとう。
>>101の置き換えるやり方がいまいちわからなかったので、もう一度、自分がやった二乗するやりかたでやり直してみましたが、解がひとつ(-3)しかでませんでした･･･
以下が自分の途中式です。間違いを指摘してもらえれば幸いです
問))
1/√5(x+3)+3＝|x|
の解を求めよ。
式) 両辺2乗して
(x+3)^2/5+9=x^2
左辺を展開して
x^2+6x+9+45/5=x^2
両辺に5かけて
x^2+6x+9+45=5x^2
移項して
4x^2-6x-54=0
2で割って
2x^2-3x-27=0
たすきがけして
(2x-9)(x+3)=0
x=-3,9/2とでました。
レスくれたみなさんありがとう。
>>101の置き換えるやり方がいまいちわからなかったので、もう一度、自分がやった二乗するやりかたでやり直してみましたが、解がひとつ(-3)しかでませんでした･･･
以下が自分の途中式です。間違いを指摘してもらえれば幸いです
問))
1/√5(x+3)+3＝|x|
の解を求めよ。
式) 両辺2乗して
(x+3)^2/5+9=x^2
左辺を展開して
x^2+6x+9+45/5=x^2
両辺に5かけて
x^2+6x+9+45=5x^2
移項して
4x^2-6x-54=0
2で割って
2x^2-3x-27=0
たすきがけして
(2x-9)(x+3)=0
x=-3,9/2とでました。
>>125
＞式) 両辺2乗して
＞(x+3)^2/5+9=x^2
これおかしくないか？
2*3*(1/√5)*(x+3)
が抜けてるような気がするが？
元の式は
(1/√5)*(x+3)+3=|x|
だよね？
＞式) 両辺2乗して
＞(x+3)^2/5+9=x^2
これおかしくないか？
2*3*(1/√5)*(x+3)
が抜けてるような気がするが？
元の式は
(1/√5)*(x+3)+3=|x|
だよね？
>>125
それは単なる計算間違いだが、指摘されていることを無視しているぞ。
-2=2は成り立たないが、両辺を二乗すると4=4となって成り立つ。
両辺を二乗した等式を成り立たせるxでも、元の式を成り立たせるとは限らない。
成り立つとすると、f(x)=|x|という等式でも、-f(x)=|x|という等式でも同じ解を持つことになってしまう。
二乗した等式から得られる解が元の等式の解でもある場合もあり得るが、それはたまたまそうであるだけ。
それは単なる計算間違いだが、指摘されていることを無視しているぞ。
-2=2は成り立たないが、両辺を二乗すると4=4となって成り立つ。
両辺を二乗した等式を成り立たせるxでも、元の式を成り立たせるとは限らない。
成り立つとすると、f(x)=|x|という等式でも、-f(x)=|x|という等式でも同じ解を持つことになってしまう。
二乗した等式から得られる解が元の等式の解でもある場合もあり得るが、それはたまたまそうであるだけ。
黄チャ（Ⅲ+C）エクササイズA‐150
「原点Ｏを中心とする半径1の円周Cがxy平面にある。この平面上の点P（≠Ｏ）からx軸に下ろした垂線とx軸の交点をQ、直線ＯPとCとの交点のうち、Pに近い方の点をRとする。
（1）点Pの極座標を（r,θ）として、線分PQ、PRの長さを、それぞれr、θを用いて表せ。
（2）2線分PQ、PRの長さが等しくなる点Pの奇跡Dの極方程式を求めよ。
（3）直交座標に関するDの方程式を求めよ。」
（1）はPQ=ⅠrsinθⅠ（θ≠nπ,nは整数）PR=ⅠⅠrⅠ‐1Ⅰなんですが、“θ≠nπ”がわかりません。
これが、（2）の答えr=1／（1±sinθ） （θ≠nπ）にも効いてくるんですが、θは、θ≠π／2+nπになるんじゃないかなと思ったり、（3）の答えy=±（1／2）（x^2‐1）（x≠±1）のxの範囲は違うんじゃないかと思ったりしてしまいます。
「原点Ｏを中心とする半径1の円周Cがxy平面にある。この平面上の点P（≠Ｏ）からx軸に下ろした垂線とx軸の交点をQ、直線ＯPとCとの交点のうち、Pに近い方の点をRとする。
（1）点Pの極座標を（r,θ）として、線分PQ、PRの長さを、それぞれr、θを用いて表せ。
（2）2線分PQ、PRの長さが等しくなる点Pの奇跡Dの極方程式を求めよ。
（3）直交座標に関するDの方程式を求めよ。」
（1）はPQ=ⅠrsinθⅠ（θ≠nπ,nは整数）PR=ⅠⅠrⅠ‐1Ⅰなんですが、“θ≠nπ”がわかりません。
これが、（2）の答えr=1／（1±sinθ） （θ≠nπ）にも効いてくるんですが、θは、θ≠π／2+nπになるんじゃないかなと思ったり、（3）の答えy=±（1／2）（x^2‐1）（x≠±1）のxの範囲は違うんじゃないかと思ったりしてしまいます。
129 ：大学への名無しさん：2009/12/25(金) 10:23:42 ID:9fEhxSPO0
詳しく計算してないけど、それ以前に
>PQ=ⅠrsinθⅠ（θ≠nπ,nは整数）PR=ⅠⅠrⅠ‐1
この式は何? Iってどこから出てきた文字なの?
PQ=|rsinθ|, PR=|1-r| かと思ったけど
>θ≠nπ”がわかりません。
θがここの角度にあると垂線がそもそも下ろせないのでは
>PQ=ⅠrsinθⅠ（θ≠nπ,nは整数）PR=ⅠⅠrⅠ‐1
この式は何? Iってどこから出てきた文字なの?
PQ=|rsinθ|, PR=|1-r| かと思ったけど
>θ≠nπ”がわかりません。
θがここの角度にあると垂線がそもそも下ろせないのでは
PR=ⅠⅠrⅠ‐1Ⅰの“Ⅰ”は絶対値として使いました。
θ＝nπだと垂線が下ろせないから、点ということで考えるのはダメでしょうか？
θ＝nπだと垂線が下ろせないから、点ということで考えるのはダメでしょうか？
PR=ⅠⅠrⅠ‐1Ⅰは解答でもそうなってます。
（2）で分母が0になるnがなぜ除外されてないのかがわかりません。
（2）で分母が0になるnがなぜ除外されてないのかがわかりません。
>>128
問題が不備なのではないかと思う。
θ≠nπなら、極座標（r,θ）はx軸上の点を表せないことになるが、
問題文では原点しか除いていない。
問題文からは、原点以外のx軸上の点も含むと読め、
その場合、垂線の長さは0と考えよと言っているように読める。
つまり、nπを除く必要がないのではないかと思う。
問題が不備なのではないかと思う。
θ≠nπなら、極座標（r,θ）はx軸上の点を表せないことになるが、
問題文では原点しか除いていない。
問題文からは、原点以外のx軸上の点も含むと読め、
その場合、垂線の長さは0と考えよと言っているように読める。
つまり、nπを除く必要がないのではないかと思う。
133 ：大学への名無しさん：2009/12/25(金) 11:12:23 ID:9fEhxSPO0
通常極座標では、r≧0で考えるんだけど
その回答はrを実数として考えてるからPR=||r|-1|にしてるんだね
θ≠nπで考えてるのは、さっきも書いたとおりQの存在条件で
そのことを意識してnπ≠0として解答してるんだとおもうけど
(ただしθ=nπのとき点Pと点Qが重なりPQ=0とする)
とでも添えておけば除外しなくても問題ないと思うよ。
r=1／（1±sinθ）でθ≠π／2+nπにしないのは
θ=π／2+nπのときを特別に考えれば、r=1/2になるけど
r=1/1+sinθにθ=π/2をいれればでてくるし
同様にr=1/(1-sinθ)にθ=3π/2をいれればr=1/2がててくるので
結局まとめてr=1／（1±sinθ）としてるんだと。
その回答はrを実数として考えてるからPR=||r|-1|にしてるんだね
θ≠nπで考えてるのは、さっきも書いたとおりQの存在条件で
そのことを意識してnπ≠0として解答してるんだとおもうけど
(ただしθ=nπのとき点Pと点Qが重なりPQ=0とする)
とでも添えておけば除外しなくても問題ないと思うよ。
r=1／（1±sinθ）でθ≠π／2+nπにしないのは
θ=π／2+nπのときを特別に考えれば、r=1/2になるけど
r=1/1+sinθにθ=π/2をいれればでてくるし
同様にr=1/(1-sinθ)にθ=3π/2をいれればr=1/2がててくるので
結局まとめてr=1／（1±sinθ）としてるんだと。
>>132
僕もP≠Ｏが気になってました。
僕のは平成18年10月発行の第11刷ですが、今のはどうなんでしょうね。
>>133
チャートには、極方程式ではr＜Oのときも考えると注がついています。
その上で、（r,θ）と（‐r,θ+π）は同じ点としています。
受験本番でr＞0のみで考えたら楽だし大分速く終わると思いますが、その場合、r＜0の場合も考えた受験生と採点時に差がでる気がして、どうしてもr＜Oの場合も考えてしまいます。
他の参考書ではr＞0になってるんですか？
僕もP≠Ｏが気になってました。
僕のは平成18年10月発行の第11刷ですが、今のはどうなんでしょうね。
>>133
チャートには、極方程式ではr＜Oのときも考えると注がついています。
その上で、（r,θ）と（‐r,θ+π）は同じ点としています。
受験本番でr＞0のみで考えたら楽だし大分速く終わると思いますが、その場合、r＜0の場合も考えた受験生と採点時に差がでる気がして、どうしてもr＜Oの場合も考えてしまいます。
他の参考書ではr＞0になってるんですか？
「r≧0になってるんですか？」
ですね。 「 = 」が抜けてました。
ですね。 「 = 」が抜けてました。
136 ：大学への名無しさん：2009/12/25(金) 11:47:45 ID:9fEhxSPO0
>他の参考書ではr＞0になってるんですか？
うん。普通はr≧0で考えるね。
ただでさえ(r.θ)=(r.θ+2nπ)で、不定性があるのにr<0を考えると
（r,θ）=（‐r,θ+π）だから同一点を表す表現が多くなりすぎてうざいし。
無論r<0を考えたほうが問題によっては都合がいい場合もあるけど。
この問題でrを任意の実数とする意味はあまり無いと思う
うん。普通はr≧0で考えるね。
ただでさえ(r.θ)=(r.θ+2nπ)で、不定性があるのにr<0を考えると
（r,θ）=（‐r,θ+π）だから同一点を表す表現が多くなりすぎてうざいし。
無論r<0を考えたほうが問題によっては都合がいい場合もあるけど。
この問題でrを任意の実数とする意味はあまり無いと思う
r≧0かr＜Oも含むかは、問題によって判断したほうがよさそうですね。
ありがとうございました。
ありがとうございました。
138 ：大学への名無しさん：2009/12/25(金) 14:00:53 ID:9XeyUkjMO
直線x=1に関する対称移動を表す1次変換を教えてください
2点の移動から考えると、点の取り方によって行列が変わってしまいます
2点の移動から考えると、点の取り方によって行列が変わってしまいます
>>138
原点を通らない直線についての対称移動は行列では書けない
原点を通らない直線についての対称移動は行列では書けない
141 ：大学への名無しさん：2009/12/25(金) 18:45:50 ID:ZAQtQ1S+0
数Ｂです。
各項が実数で公比がｒの等比数列{bn}がある。b1×b2×b3=27であるときのb2の値を求めよ。
初項をaとおいてb1×b2×b3=27に代入してやってみたのですがこたえがじっすうになりません。
各項が実数で公比がｒの等比数列{bn}がある。b1×b2×b3=27であるときのb2の値を求めよ。
初項をaとおいてb1×b2×b3=27に代入してやってみたのですがこたえがじっすうになりません。
(b2/r)*(b2)*(rb2)=27
⇔(b2)^3=27
でこれ解けば普通に実数になるのでは?
⇔(b2)^3=27
でこれ解けば普通に実数になるのでは?
>>141
実際にやってみた計算を書いてみて。
実際にやってみた計算を書いてみて。
>>91 規制で亀になったが多分正解？
１.まず、３×３の桝目に石を置く
２.ランダムに2個選んで、縦または横に同じ列
（数学ではよく列と行という言い方をする）なら取り去る
という事を繰り返す
って事と同じだよね
取り去るときは一度に2個取るから残るのは奇数個
また4個以上ならまだ取り去れる余地があるから
最後まで残るのは1個か3個
3個残るには各行と列に1個づつになるしかない
例えばはじめに縦に取り去ったら次も縦に、しかもずれた形で
取らないといけない等と考えていくと
2回目を上手く取る確率が4/11、このときさらに3回目を
上手く取る条件付確率が1/5で、
結局3個残る確率は4/11・1/5=4/55
よって求める期待値は1+(3-1)・4/55=63/55
１.まず、３×３の桝目に石を置く
２.ランダムに2個選んで、縦または横に同じ列
（数学ではよく列と行という言い方をする）なら取り去る
という事を繰り返す
って事と同じだよね
取り去るときは一度に2個取るから残るのは奇数個
また4個以上ならまだ取り去れる余地があるから
最後まで残るのは1個か3個
3個残るには各行と列に1個づつになるしかない
例えばはじめに縦に取り去ったら次も縦に、しかもずれた形で
取らないといけない等と考えていくと
2回目を上手く取る確率が4/11、このときさらに3回目を
上手く取る条件付確率が1/5で、
結局3個残る確率は4/11・1/5=4/55
よって求める期待値は1+(3-1)・4/55=63/55
>>144
マス目で考えるところ（単に考えやすいからってだけだけど）までも同じだった。
マス目で考えるところ（単に考えやすいからってだけだけど）までも同じだった。
ご質問させていただきます。赤チャートⅠ+A 72ページ 練習80（４） についてです。
【問題本文】
次の方程式を満たす整数x, yの組を全て求めよ。
1/x + 1/y = 1/2 , x>0, y>0
【問題本文終わり】
方程式の整数解に関するchartとして、
①不等式に持ち込め ②( )( )=整数 を導く
とありまして、当問に対する模範解答は、②を使用したものでした。
与式の両辺に 2xy をかけて因数分解に導きます。
答えは
（x, y）=(3, 6), (4, 4), (6, 3)
私は①を利用し解こうと考えまして、以下のような式展開を行いました。
【式展開】
x, y は整数なので、
x≧1, y≧1
よって、
1/y ≦ 1 ―― [１]
また、与式より
1/y = 1/2 - 1/x ―― [２]
[１], [２]より
1/2 - 1/x ≦ 1
- 1/x ≦1/2
x ≦ -2
条件 x>0 より、x>0, x≦-2を満たす x はない。
よって解なし。
【式展開終わり】
このように、答えが模範解答と異なりました。どこにｹｱﾚｽﾐｽが御座いますでしょうか。
もしくは、この問いには、①は利用できないのでしょうか。ご教授願います。
【問題本文】
次の方程式を満たす整数x, yの組を全て求めよ。
1/x + 1/y = 1/2 , x>0, y>0
【問題本文終わり】
方程式の整数解に関するchartとして、
①不等式に持ち込め ②( )( )=整数 を導く
とありまして、当問に対する模範解答は、②を使用したものでした。
与式の両辺に 2xy をかけて因数分解に導きます。
答えは
（x, y）=(3, 6), (4, 4), (6, 3)
私は①を利用し解こうと考えまして、以下のような式展開を行いました。
【式展開】
x, y は整数なので、
x≧1, y≧1
よって、
1/y ≦ 1 ―― [１]
また、与式より
1/y = 1/2 - 1/x ―― [２]
[１], [２]より
1/2 - 1/x ≦ 1
- 1/x ≦1/2
x ≦ -2
条件 x>0 より、x>0, x≦-2を満たす x はない。
よって解なし。
【式展開終わり】
このように、答えが模範解答と異なりました。どこにｹｱﾚｽﾐｽが御座いますでしょうか。
もしくは、この問いには、①は利用できないのでしょうか。ご教授願います。
逆数をとった場合、不等号は反転するのではないでしょうか。
>>151
xに具体的な数代入してみ
xに具体的な数代入してみ
155 ：大学への名無しさん：2009/12/26(土) 14:52:27 ID:tlSbBIK7O
>>126
おっしゃるとおり、
もとの式は
(1/√5)*(x+3)+3＝|x|
です
>2*3*1√5*(x+3)が抜けてる
この式はどのようにだしたんですか？計算まちがえにつきあってもらって申し訳ないですが、自分ではどうしても間違いを見いだせません。
おっしゃるとおり、
もとの式は
(1/√5)*(x+3)+3＝|x|
です
>2*3*1√5*(x+3)が抜けてる
この式はどのようにだしたんですか？計算まちがえにつきあってもらって申し訳ないですが、自分ではどうしても間違いを見いだせません。
>>155
(a+b)^2を展開してみて。
(a+b)^2を展開してみて。
157 ：大学への名無しさん：2009/12/26(土) 18:36:20 ID:wmY8adbV0
159 ：大学への名無しさん：2009/12/26(土) 19:19:04 ID:eDNZU2yLO
y=x＾2/(x-1)
条件がx>1
教えてください。
条件がx>1
教えてください。
160 ：大学への名無しさん：2009/12/26(土) 19:23:42 ID:TBBf5JsmO
>>159 どうしたというか
161 ：大学への名無しさん：2009/12/26(土) 19:30:30 ID:eDNZU2yLO
162 ：大学への名無しさん：2009/12/26(土) 19:32:21 ID:eDNZU2yLO
f(x)=x^2/(x-1)とおくとf'(x)=(((x^2)')(x-1)-(x^2)((x-1)'))/((x-1)^2)
増減表をかけばx=2で最小になるのがわかる
増減表をかけばx=2で最小になるのがわかる
164 ：大学への名無しさん：2009/12/26(土) 20:39:45 ID:eDNZU2yLO
165 ：大学への名無しさん：2009/12/26(土) 20:42:17 ID:eDNZU2yLO
166 ：大学への名無しさん：2009/12/26(土) 20:54:01 ID:TBBf5JsmO
x^2/(x-1)は2点(x,x^2)、(1,0)を結ぶ直線の傾き
図からこの最小値はy=x^2の接線のうち(1、0)を通るものの傾き(y=0ではない方)
重解条件(接線をy=lとして)
x^2-l=(x-1)^2
図からこの最小値はy=x^2の接線のうち(1、0)を通るものの傾き(y=0ではない方)
重解条件(接線をy=lとして)
x^2-l=(x-1)^2
167 ：大学への名無しさん：2009/12/26(土) 20:57:22 ID:TBBf5JsmO
あっ重解条件ミスった
x^2-l=(x-a)^2にx=1から
1-0=(1-a)^2
a=2(0は不適)
あとはlのxの係数出して4
x^2-l=(x-a)^2にx=1から
1-0=(1-a)^2
a=2(0は不適)
あとはlのxの係数出して4
スレ違いな質問かもしれないが
数学ってどれだけ生まれつき苦手な人でも
勉強すればできるようになるのかな。
自分は勉強しても伸びなさそうですごく怖いんだ。
数学ってどれだけ生まれつき苦手な人でも
勉強すればできるようになるのかな。
自分は勉強しても伸びなさそうですごく怖いんだ。
169 ：大学への名無しさん：2009/12/26(土) 21:04:22 ID:Q9rTmQ4W0
【問】
桜塚さんがコインを投げるゲームをし、表か裏かを順に記録する。表が４回出るか、または裏が２回出た時点でゲーム終了とするとき、３回でゲームが終了する確率を求めなさい。
これ答えが２/１５らしいんですけど。。
なりますか？
桜塚さんがコインを投げるゲームをし、表か裏かを順に記録する。表が４回出るか、または裏が２回出た時点でゲーム終了とするとき、３回でゲームが終了する確率を求めなさい。
これ答えが２/１５らしいんですけど。。
なりますか？
裏と表が出る確率が等確率でなければ
なりうるんじゃないですか?
なりうるんじゃないですか?
>>159
分母のx^2＝x^2-１+１
＝（x-1）（ｘ+1）＋１となるので（x-1）（ｘ+1）と１で分けると
y=x＾2/(x-1)＝１/(x-1)＋（x-1）（ｘ+1）/(x-1)
＝１/(x-1)＋ｘ＋１
＝１/(x-1)＋（ｘ－1）＋２
（相加平均）≧（相乗平均）より
１/(x-1)＋（ｘ－1）
分母のx^2＝x^2-１+１
＝（x-1）（ｘ+1）＋１となるので（x-1）（ｘ+1）と１で分けると
y=x＾2/(x-1)＝１/(x-1)＋（x-1）（ｘ+1）/(x-1)
＝１/(x-1)＋ｘ＋１
＝１/(x-1)＋（ｘ－1）＋２
（相加平均）≧（相乗平均）より
１/(x-1)＋（ｘ－1）
途中送信すまんかった。
>>159
１/(x-1)＋（ｘ－1）≧２√［１/(x-1)＋（ｘ－1）]
＝２
等号が成り立つのは１/(x-1)＝（ｘ－1）、ｘ＞１から
ｘ＝２
元の式から最小値は４になる。
蛇足かもしれないけど、
ｘ＞（０以上）のような奇妙な不等号、
「最小値だけを求める問題」の問題は相加平均と相乗平均の関係を真っ先に疑っても良いと思う
>>159
１/(x-1)＋（ｘ－1）≧２√［１/(x-1)＋（ｘ－1）]
＝２
等号が成り立つのは１/(x-1)＝（ｘ－1）、ｘ＞１から
ｘ＝２
元の式から最小値は４になる。
蛇足かもしれないけど、
ｘ＞（０以上）のような奇妙な不等号、
「最小値だけを求める問題」の問題は相加平均と相乗平均の関係を真っ先に疑っても良いと思う
訂正・・・度々すいません
［１/(x-1)＋（ｘ－1）]→［１/(x-1)×（ｘ－1）]＝［(x-1)＾（－１）×（ｘ－1）］
［１/(x-1)＋（ｘ－1）]→［１/(x-1)×（ｘ－1）]＝［(x-1)＾（－１）×（ｘ－1）］
174 ：大学への名無しさん：2009/12/26(土) 22:22:57 ID:mBD8QXmF0
>>174
じゃあ、ならない。
じゃあ、ならない。
176 ：大学への名無しさん：2009/12/27(日) 01:45:25 ID:Y0kriykWO
2,3,4,5,6から作った三桁の数がその残りで割り切れるのは何通りですか？
やり方も教えてもらえると助かります
やり方も教えてもらえると助かります
177 ：大学への名無しさん：2009/12/27(日) 01:49:25 ID:Y0kriykWO
補足
残りってのは二桁です
残りってのは二桁です
1972年の京大過去問（PDF注意）
http://www.watana.be/ku/pdf/1972s_5.pdf
解答の以下の下りに疑問を抱いた。
OP の移動する図形は、半径1 内角u の扇形を、x 方向にa 倍、y 方向にb 倍したものに等しい。
したがって、
S = abu
S = (1/2)abu
とならないのは何故なのか分からないので誰かボスケテ…。
http://www.watana.be/ku/pdf/1972s_5.pdf
解答の以下の下りに疑問を抱いた。
OP の移動する図形は、半径1 内角u の扇形を、x 方向にa 倍、y 方向にb 倍したものに等しい。
したがって、
S = abu
S = (1/2)abu
とならないのは何故なのか分からないので誰かボスケテ…。
179 ：大学への名無しさん：2009/12/27(日) 04:06:10 ID:SSV+I/xWO
180 ：大学への名無しさん：2009/12/27(日) 08:04:09 ID:sUjftJfY0
>>178
S=(1/2)abuです
S=(1/2)abuです
181 ：大学への名無しさん：2009/12/27(日) 08:06:49 ID:sUjftJfY0
>>176
しらみつぶししかないんじゃないでしょうか
しらみつぶししかないんじゃないでしょうか
182 ：大学への名無しさん：2009/12/27(日) 08:13:33 ID:sUjftJfY0
>>169
3回で裏表裏か表裏裏の場合なので2/2^3=1/4
3回で裏表裏か表裏裏の場合なので2/2^3=1/4
183 ：大学への名無しさん：2009/12/27(日) 08:34:16 ID:sUjftJfY0
>>157
解があるならDがBE上にあるときを考えて
角をBに移し
z=(41+71)/2=56
中央の錯角がa°とすると
z+(180-41-a)/2+(180-71-a)/2+180+a=360
z=56
解があるならDがBE上にあるときを考えて
角をBに移し
z=(41+71)/2=56
中央の錯角がa°とすると
z+(180-41-a)/2+(180-71-a)/2+180+a=360
z=56
184 ：大学への名無しさん：2009/12/27(日) 11:29:11 ID:va7zyb//O
>>178
ケプラーの法則の問題か。
ケプラーの法則の問題か。
6で割り切れる100以下の自然数について質問があります。
本には6 12 18……と書いてあったんですが、3や9も6で割り切れる100以下の自然数ではありませんか？
考えてるうちにこんがらがってしまいました…どなたか教えて下さい。
本には6 12 18……と書いてあったんですが、3や9も6で割り切れる100以下の自然数ではありませんか？
考えてるうちにこんがらがってしまいました…どなたか教えて下さい。
9÷6は1.5で割り切れるんじゃないでしょうか。
３を６で割ると「０余り３」となる
９なら１余り３の要領で
割り切るとき、整数でないといけません（１、２、３・・・）
言い換えれば少数でると駄目
９なら１余り３の要領で
割り切るとき、整数でないといけません（１、２、３・・・）
言い換えれば少数でると駄目
そういうことでしたか…集合の問題をやってるうちにど忘れしてしまいました。
ありがとうございました。
それからもう一つ質問なんですが、
6の倍数は2の倍数かつ3の倍数なんでしょう？
本には2×3は6だから…と書いてあるんですが、いまいちよくわかりません。
ありがとうございました。
それからもう一つ質問なんですが、
6の倍数は2の倍数かつ3の倍数なんでしょう？
本には2×3は6だから…と書いてあるんですが、いまいちよくわかりません。
>>190
素因数分解まで戻れ。
素因数分解まで戻れ。
e^(2x+y) = a とするとき
？ = a
の？をlogをつかって表したいのだけれど解る人いる？
？ = a
の？をlogをつかって表したいのだけれど解る人いる？
log(e^(e^(2x+y)))
>>193
指数使わないでってのは無理？
指数使わないでってのは無理？
1+1/√2+1/√3+…+1/√n>2(√(n+1)-1)
を数学的帰納法を用いて証明しなさい
どなたかお願いします
を数学的帰納法を用いて証明しなさい
どなたかお願いします
>>194
何がしたいのかわからん
>>195
n=kのとき成り立つと仮定すると
1+1/√2+1/√3+…+1/√k-2(√(k+1)-1)>0
次に
1+1/√2+1/√3+…+1/√(k+1)-2(√(k+2)-1)>0を示す
帰納法の仮定より
（左辺）>0+1/√(k+1)+2(√(k+1)-√(k+2))
=1/√(k+1)+2*(-1)/(√(k+1)+√(k+2))（分子の有理化）
>1/√(k+1))-2*1/(√(k+1)+√(k+1))（√(k+1)<√(k+2)で、分数で引き算だから）
=0
略
何がしたいのかわからん
>>195
n=kのとき成り立つと仮定すると
1+1/√2+1/√3+…+1/√k-2(√(k+1)-1)>0
次に
1+1/√2+1/√3+…+1/√(k+1)-2(√(k+2)-1)>0を示す
帰納法の仮定より
（左辺）>0+1/√(k+1)+2(√(k+1)-√(k+2))
=1/√(k+1)+2*(-1)/(√(k+1)+√(k+2))（分子の有理化）
>1/√(k+1))-2*1/(√(k+1)+√(k+1))（√(k+1)<√(k+2)で、分数で引き算だから）
=0
略
>>195
理系なら積分による評価
理系なら積分による評価
>>198
0点
0点
>>198が正しい。帰納段階で証明が必要となる1/√(n+1)＞2(√(n+2)-√(n+1))は積分で評価可能。
連投すまん、勘違いしてた
与不等式をいきなり積分で示すんじゃなくて1/√(n+1)＞2(√(n+2)-√(n+1))だけを積分で示すのか
それなら減点はされないだろうけど、何のためにわざわざ帰納法でって指定したのか･･･
与不等式も同様に示せちゃうから、なんか遠回りな解答じゃないかと思う
与不等式をいきなり積分で示すんじゃなくて1/√(n+1)＞2(√(n+2)-√(n+1))だけを積分で示すのか
それなら減点はされないだろうけど、何のためにわざわざ帰納法でって指定したのか･･･
与不等式も同様に示せちゃうから、なんか遠回りな解答じゃないかと思う
204 ：大学への名無しさん：2009/12/28(月) 12:40:43 ID:FG1EtG3wO
>>203
あんたあほじゃないの？
あんたあほじゃないの？
任意の自然数kについて√(k+1)+√k＞2√kが成立。
変形して1/√k＞2(√(k+1)-√k)。
k=1,2,...,nとして辺々足しあわせてΣ[k=1,n]1/√k＞2(√(n+1)-1)を得る。
上のような書き方ができるから、>>203の価値観なら>>196も遠回りとなるはず・・・と言われて反論できるのか？
＞何のためにわざわざ帰納法でって指定したのか･･･
それ出題者からのヒント。
変形して1/√k＞2(√(k+1)-√k)。
k=1,2,...,nとして辺々足しあわせてΣ[k=1,n]1/√k＞2(√(n+1)-1)を得る。
上のような書き方ができるから、>>203の価値観なら>>196も遠回りとなるはず・・・と言われて反論できるのか？
＞何のためにわざわざ帰納法でって指定したのか･･･
それ出題者からのヒント。
どうでもいい
>>205
その方法はその方法でいいだろと思う
Σ[k=1,n]1/√k＞2(√(n+1)-1)を示せという問題ならそれこそどんな解答の方法だろうとどうでもいいんだろうが、帰納法でって書いてあるなら･･･と思った
だがその記述がただ単に出題者からのヒントにすぎないなら帰納法でやる意味もないし、理系なら積分で評価が正しいだろうな
その方法はその方法でいいだろと思う
Σ[k=1,n]1/√k＞2(√(n+1)-1)を示せという問題ならそれこそどんな解答の方法だろうとどうでもいいんだろうが、帰納法でって書いてあるなら･･･と思った
だがその記述がただ単に出題者からのヒントにすぎないなら帰納法でやる意味もないし、理系なら積分で評価が正しいだろうな
209 ：大学への名無しさん：2009/12/28(月) 14:41:55 ID:eMit0uCpO
ｍ、ｎを自然数とする。
ｍｎを3で割った余りが2であるとき、ｍ＋ｎは3の倍数であることを示せ。
整数問題ですが、どのように入っていくのかもわかりません。
合同式を使うのでしょうか？
よろしくお願いします。
ｍｎを3で割った余りが2であるとき、ｍ＋ｎは3の倍数であることを示せ。
整数問題ですが、どのように入っていくのかもわかりません。
合同式を使うのでしょうか？
よろしくお願いします。
m=3a+p,n=3b+q(p,qは1または2)（p,qのどちらかが0ならmnは３の倍数となり余り０）
とおける
このとき、(p,q)=(1,1),(1,2),(2,2)の時を考えれば十分
i)(p,q)=(1,1)
のとき、mn=（具体的に計算）で、３で割ると＊余る
ii)略
iii)略
以上から
合同式使ってももちろん解ける
とおける
このとき、(p,q)=(1,1),(1,2),(2,2)の時を考えれば十分
i)(p,q)=(1,1)
のとき、mn=（具体的に計算）で、３で割ると＊余る
ii)略
iii)略
以上から
合同式使ってももちろん解ける
tanxの積分の仕方を教えて下さい
tanx=sinx/cosx=-(cosx)'/cosx
213 ：大学への名無しさん：2009/12/28(月) 15:13:02 ID:lR3qv+8wO
214 ：大学への名無しさん：2009/12/28(月) 15:18:00 ID:eMit0uCpO
>>210
わかりました！
ありがとうございます。
ちなみに合同式を使うやり方としては
mn≡2 （mod3）
として…その次はどのように処理していけばいいのでしょうか？
何度もすいません。
整数がどうも苦手で…
わかりました！
ありがとうございます。
ちなみに合同式を使うやり方としては
mn≡2 （mod3）
として…その次はどのように処理していけばいいのでしょうか？
何度もすいません。
整数がどうも苦手で…
216 ：大学への名無しさん：2009/12/28(月) 15:35:35 ID:eMit0uCpO
>>208
>>205は>>196と全く同等の式変形(√(k+1)+√k＞2√k ⇒ 1/√k＞2(√(k+1)-√k))を使って、君の言う「いきなり証明」をしたもの。
「積分評価を使っていきなり証明できるのだから、積分評価を使って帰納法で証明するのは遠回り」という価値観ならば、
「式変形を使えばいきなり証明できるのだから、式変形を使って帰納法で証明するのは遠回り」と感じないのは何故？というのが俺の疑問。
> 単に出題者からのヒントにすぎないなら帰納法でやる意味もない
補足すると、「数学的帰納法で示せ」と言われてるのに「いきなり証明」をしたら減点される可能性はあるよ。
ヒントというのは、端的に「示せ」と言われただけでは手も足も出ない人でも、
「数学的帰納法で示せ」と言われれば
「n=kのときに成立すると仮定してn=k+1のときにも成立することを示せばいいんだな」と気付き方針が立つかもしれず、
その分だけ難易度は下がるという意味。
> 理系なら積分で評価が正しいだろうな
積分評価と式変形のどちらを選んでも論理的に整合した数学的帰納法の証明を作成できる以上
この問題において両者の間に優劣をつけようという発想は間違いだと思う。
>>205は>>196と全く同等の式変形(√(k+1)+√k＞2√k ⇒ 1/√k＞2(√(k+1)-√k))を使って、君の言う「いきなり証明」をしたもの。
「積分評価を使っていきなり証明できるのだから、積分評価を使って帰納法で証明するのは遠回り」という価値観ならば、
「式変形を使えばいきなり証明できるのだから、式変形を使って帰納法で証明するのは遠回り」と感じないのは何故？というのが俺の疑問。
> 単に出題者からのヒントにすぎないなら帰納法でやる意味もない
補足すると、「数学的帰納法で示せ」と言われてるのに「いきなり証明」をしたら減点される可能性はあるよ。
ヒントというのは、端的に「示せ」と言われただけでは手も足も出ない人でも、
「数学的帰納法で示せ」と言われれば
「n=kのときに成立すると仮定してn=k+1のときにも成立することを示せばいいんだな」と気付き方針が立つかもしれず、
その分だけ難易度は下がるという意味。
> 理系なら積分で評価が正しいだろうな
積分評価と式変形のどちらを選んでも論理的に整合した数学的帰納法の証明を作成できる以上
この問題において両者の間に優劣をつけようという発想は間違いだと思う。
青チャートを見る限り、数学Ａの平面図形の問題は殆ど入試には出ていないみたいですが、
やはりあまり重要でないということでしょうか？
やはりあまり重要でないということでしょうか？
>>219
ごめんなさい。以後テンプレ確認を忘れないようにします
ごめんなさい。以後テンプレ確認を忘れないようにします
221 ：大学への名無しさん：2009/12/29(火) 16:31:26 ID:mmoTbCzP0
kを正の実数とし、
x^2+y^2<k^2で表される点(x.y)全体の集合をA
y≧(x^2)/2-2kで表される(x.y)全体の集合をBとするとき
A⊂Bとなるkの値の範囲を求めよ
と言う問題を教えてください
AがBに接しているときが限界のkの値の範囲でまずそれを求めると
1)(0.-2k)でA.Bが接するとき→それ無理
2)2点でA.Bが接するとき
接点をT(t.(t^2)/2-2k)とおくと
|OT↑|=kかつOT↑//点TでのBの法線ベクトル
⇔t^2+{(t^2)/2-2k}-2=k^2 かつ (t^3)/2-t^2-(2k-1)t+4k=0
までは出せましたがここからどうしていいかわからなくなりました
よろしくお願いします
x^2+y^2<k^2で表される点(x.y)全体の集合をA
y≧(x^2)/2-2kで表される(x.y)全体の集合をBとするとき
A⊂Bとなるkの値の範囲を求めよ
と言う問題を教えてください
AがBに接しているときが限界のkの値の範囲でまずそれを求めると
1)(0.-2k)でA.Bが接するとき→それ無理
2)2点でA.Bが接するとき
接点をT(t.(t^2)/2-2k)とおくと
|OT↑|=kかつOT↑//点TでのBの法線ベクトル
⇔t^2+{(t^2)/2-2k}-2=k^2 かつ (t^3)/2-t^2-(2k-1)t+4k=0
までは出せましたがここからどうしていいかわからなくなりました
よろしくお願いします
集合が接する・・・？
C_k:x^2+y^2=k^2
D_k:y=(x^2)/2-2k
対称性からx≧0の範囲で考える.
とするとA⊂Bとなるためにはk≧0である必要がある.（k=0の時は明らかに成り立つのでk>0の時を考える）
かつその時C_kとD_kが共有点をもたない、または１点のみ持てば十分である.（k>0なのでx=0上の点を共有点の一つとして持つことはない）
D_kをx^2＝の形にしてC_kに代入して判別式≦0でおわり
C_k:x^2+y^2=k^2
D_k:y=(x^2)/2-2k
対称性からx≧0の範囲で考える.
とするとA⊂Bとなるためにはk≧0である必要がある.（k=0の時は明らかに成り立つのでk>0の時を考える）
かつその時C_kとD_kが共有点をもたない、または１点のみ持てば十分である.（k>0なのでx=0上の点を共有点の一つとして持つことはない）
D_kをx^2＝の形にしてC_kに代入して判別式≦0でおわり
223 ：大学への名無しさん：2009/12/30(水) 14:51:03 ID:a8o6NErS0
正五角形ABCDEにおいて、a↑=AB↑、b↑=AE↑とする。
k=cos108(=正五角形の内角)とおけばAC↑をa↑b↑およびkを用いて表せ。
四角形ABCDに着目してA,BからECに垂線AH,BIを引けばEH=IC=ABcos72、AB=HI
よってAC↑=AE↑+EH↑+HI↑+IC↑となりますが、
EH↑(=IC↑)はどのように求めればいいのでしょうか？
ABcos72を使えばいいということは分かるのですが･･･
宜しくお願いします
k=cos108(=正五角形の内角)とおけばAC↑をa↑b↑およびkを用いて表せ。
四角形ABCDに着目してA,BからECに垂線AH,BIを引けばEH=IC=ABcos72、AB=HI
よってAC↑=AE↑+EH↑+HI↑+IC↑となりますが、
EH↑(=IC↑)はどのように求めればいいのでしょうか？
ABcos72を使えばいいということは分かるのですが･･･
宜しくお願いします
ABcos(72°)=-ABcos(108°)
三角関数の基本的性質
三角関数の基本的性質
三角関数計算の基礎
http://www.crossroad.jp/mathnavi/kousiki/sankakukansuu/keisan-no-kiso.html
> cos( 180°－x )=－cosx
http://www.crossroad.jp/mathnavi/kousiki/sankakukansuu/keisan-no-kiso.html
> cos( 180°－x )=－cosx
226 ：大学への名無しさん：2009/12/30(水) 23:00:44 ID:dUjIrMrG0
整数問題です
手も足も出ません…
３辺の長さが自然数である三角形の各辺の長さをa,b,cとおく。a≦b≦cとし、
nを自然数の定数とするとき、c=nであるような三角形は何個あるか。
手も足も出ません…
３辺の長さが自然数である三角形の各辺の長さをa,b,cとおく。a≦b≦cとし、
nを自然数の定数とするとき、c=nであるような三角形は何個あるか。
229 ：大学への名無しさん：2009/12/31(木) 07:30:20 ID:1P5uG7rr0
【東大】東京大学 理科総合スレPart39【理系】
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1259993587/l50
に貼られていた、センター数学追試の過去問です。
このスレッドに解法は書かれていません。
a[n] は等差数列、b[n] は等比数列、 a[5]=b[2] a[17]=b[3] のとき
a[m]=b[n] となるような m(n) をもとめ、
c[n]=m(n) としたときに d[n]=p c[n]^2 +c[n+2] の
階差数列が等比数列になるような定数 p をもとめ、
そのときの Σ[k=1,n] d[k] を計算せよ。
自分で解いてみたのですが、a[5]=b[2] a[17]=b[3]から
連立方程式を導くまでが精一杯です。
スレッド内でも指摘されていましたが、m(n)の意味もわかりません。
m[n]のタイプミスだと思うのですが……。よろしくお願いします。
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1259993587/l50
に貼られていた、センター数学追試の過去問です。
このスレッドに解法は書かれていません。
a[n] は等差数列、b[n] は等比数列、 a[5]=b[2] a[17]=b[3] のとき
a[m]=b[n] となるような m(n) をもとめ、
c[n]=m(n) としたときに d[n]=p c[n]^2 +c[n+2] の
階差数列が等比数列になるような定数 p をもとめ、
そのときの Σ[k=1,n] d[k] を計算せよ。
自分で解いてみたのですが、a[5]=b[2] a[17]=b[3]から
連立方程式を導くまでが精一杯です。
スレッド内でも指摘されていましたが、m(n)の意味もわかりません。
m[n]のタイプミスだと思うのですが……。よろしくお願いします。
>>229
何を堂々とマルチしてんだ？
何を堂々とマルチしてんだ？
231 ：大学への名無しさん：2009/12/31(木) 11:12:55 ID:7Bqfv+cL0
>>229
問題書いて
問題書いて
>>230
・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
マルチポストとは→http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html
マルチポストの指摘はURLつきで。
マルチと言うなら>>227みたいにマルチ先を示せ
まさかhttp://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1259993587/940とか言わないだろうな？
・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
マルチポストとは→http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html
マルチポストの指摘はURLつきで。
マルチと言うなら>>227みたいにマルチ先を示せ
まさかhttp://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1259993587/940とか言わないだろうな？
233 ：大学への名無しさん：2009/12/31(木) 13:55:00 ID:vMdqpwF40
半径2の円Ｃ1は点(8/5、6/5)で円Ｃ2：ｘ^2+ｙ^2-8ｘ-6ｙ+16＝0に外接しているときの円Ｃ1の方程式をもとめよ。
お願いします。
お願いします。
234 ：大学への名無しさん：2009/12/31(木) 14:42:26 ID:iDuqo3CH0
外接 中心間の距離＝半径の和
2円の中心と点(8/5、6/5)
について内分や外聞で考えれば良い
2円の中心と点(8/5、6/5)
について内分や外聞で考えれば良い
235 ：大学への名無しさん：2009/12/31(木) 18:11:26 ID:1P5uG7rr0
237 ：大学への名無しさん：2009/12/31(木) 21:32:30 ID:XrDSn0ZE0
普段は対称性を活かせ活かせと教わると思うのですが
逆に対称性を崩したほうがいい場合ってどういうものがありますか?
自分が経験した限り、整数問題で、対称式になっていて
不等式で絞込むときに自力で大小設定をつけて求める問題なんかと
2001年度の京都大学のベクトルにおける存在証明くらいなんですけど
どういうときに対称性を崩して解くべきなのかがいまいちわかりません。
逆に対称性を崩したほうがいい場合ってどういうものがありますか?
自分が経験した限り、整数問題で、対称式になっていて
不等式で絞込むときに自力で大小設定をつけて求める問題なんかと
2001年度の京都大学のベクトルにおける存在証明くらいなんですけど
どういうときに対称性を崩して解くべきなのかがいまいちわかりません。
238 ：大学への名無しさん：2009/12/31(木) 21:34:29 ID:7Bqfv+cL0
処方は無いのではないでしょうか
239 ：大学への名無しさん：2010/01/02(土) 01:59:21 ID:bEjRiNJb0
>>234
内分、外分の考え方がわからないのですが、
点(8/5、6/5) が中心間の距離をどのようにな内分するかを考えれば良いのでしょうか？
もう少し詳しく教えていただけたらありがたいです。
ここの単元苦手なものでして・・・。
内分、外分の考え方がわからないのですが、
点(8/5、6/5) が中心間の距離をどのようにな内分するかを考えれば良いのでしょうか？
もう少し詳しく教えていただけたらありがたいです。
ここの単元苦手なものでして・・・。
241 ：大学への名無しさん：2010/01/02(土) 23:51:54 ID:bEjRiNJb0
243 ：大学への名無しさん：2010/01/03(日) 01:26:51 ID:AH/YZTV70
244 ：大学への名無しさん：2010/01/04(月) 17:04:07 ID:tyLKbgHY0
f(x)=ax(1-x)がある。aを正の定数とする。
(1)f(x)=xを満たす正の数xが存在するときのaの値の範囲を
求めよ。
(2)f{(f(x)}=xを満たす正の数xがちょうど一個存在するような
aの値の範囲を求めよ。
(1)はたぶんだけどa>1ですよね？
(2)がわかりません。代入して計算するんでしょうか？
答えは0<a<4だと思うんですが違いますか？
(1)f(x)=xを満たす正の数xが存在するときのaの値の範囲を
求めよ。
(2)f{(f(x)}=xを満たす正の数xがちょうど一個存在するような
aの値の範囲を求めよ。
(1)はたぶんだけどa>1ですよね？
(2)がわかりません。代入して計算するんでしょうか？
答えは0<a<4だと思うんですが違いますか？
どうなったら0<a<4になったからですか？
a^2x(1-x){1-ax(1-x)}=xとしたんですよ
x{a^2(1-x)(1-ax(1-x))-1}=0
よって
a=1/ax(1-x)(1-ax(1-x))として
0<x<1と1>xにわけた。
とりあえず(1)も(2)も成り立つと仮定したらと
xの範囲からaを求めると思うのですが書き方難しいです。
教えてください
a^2x(1-x){1-ax(1-x)}=xとしたんですよ
x{a^2(1-x)(1-ax(1-x))-1}=0
よって
a=1/ax(1-x)(1-ax(1-x))として
0<x<1と1>xにわけた。
とりあえず(1)も(2)も成り立つと仮定したらと
xの範囲からaを求めると思うのですが書き方難しいです。
教えてください
247 ：大学への名無しさん：2010/01/04(月) 23:16:52 ID:l5zposVq0
(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)(1.6),(2,3)(2,4)(2.5)(2.6)
(3.4),(3.5),(3.6),(4.5),(4.6),(5.6)の15個の格子点から6個の格子点を選ぶとき
x座標がkまたはy座標がkのものが2個(k=1.2.3.4.5.6)
となるときの組み合わせの数を求めたいのですがどうしたらいいですか?
(3.4),(3.5),(3.6),(4.5),(4.6),(5.6)の15個の格子点から6個の格子点を選ぶとき
x座標がkまたはy座標がkのものが2個(k=1.2.3.4.5.6)
となるときの組み合わせの数を求めたいのですがどうしたらいいですか?
248 ：大学への名無しさん：2010/01/04(月) 23:31:14 ID:7W//Hurp0
実際に点を並べてみると
x座標がkまたはy座標がkのものはどのk(k=1.2.3.4.5.6)
に対しても5個あるから5C2×10C4じゃダメなの？
x座標がkまたはy座標がkのものはどのk(k=1.2.3.4.5.6)
に対しても5個あるから5C2×10C4じゃダメなの？
249 ：大学への名無しさん：2010/01/04(月) 23:46:29 ID:l5zposVq0
そんなに多くは無いみたいです。
最初自分が130個と出したんですけど
数えすぎているといわれました。。
最初自分が130個と出したんですけど
数えすぎているといわれました。。
250 ：大学への名無しさん：2010/01/05(火) 00:22:35 ID:Lm0zYO6Z0
＞x座標がkまたはy座標がkのものが2個(k=1.2.3.4.5.6)
そうか、これはすべてのkに対して2個ずつ、と解釈すべきなんだな
上手く説明できないけど６角形のすべての
頂点を他の２頂点と結ぶ問題と同じ？
ループがいくつになるかで分類する。
ループは最低3個の頂点からなるから
3個と3個か、6個全部に限る
3個3個の場合、2組に分けてしまえば結び方は1通りしかないから6C3/2通り
6個の場合は数珠順列で(6-1)!/2通り
合計70通りかな？
そうか、これはすべてのkに対して2個ずつ、と解釈すべきなんだな
上手く説明できないけど６角形のすべての
頂点を他の２頂点と結ぶ問題と同じ？
ループがいくつになるかで分類する。
ループは最低3個の頂点からなるから
3個と3個か、6個全部に限る
3個3個の場合、2組に分けてしまえば結び方は1通りしかないから6C3/2通り
6個の場合は数珠順列で(6-1)!/2通り
合計70通りかな？
251 ：大学への名無しさん：2010/01/05(火) 00:37:49 ID:jsUMSt+l0
>６角形のすべての頂点を他の２頂点と結ぶ問題
これはかなり的を射た対応付けですね。。
数珠順列に帰着させられるところか良くわからないので
ちょっとこの方針で考えてみます
これはかなり的を射た対応付けですね。。
数珠順列に帰着させられるところか良くわからないので
ちょっとこの方針で考えてみます
252 ：大学への名無しさん：2010/01/05(火) 01:14:52 ID:jsUMSt+l0
しかし、6角形の頂点を選ぶ問題を連想できるのってすごいと思うんですけど
こういうことを思いつくのになにか秘訣とかあるんですか?
格子の最短経路に対応させるとか
仕切りと棒を並べるとかって奴なら
結構よくある話なので連想できると思うんですが。
こういうことを思いつくのになにか秘訣とかあるんですか?
格子の最短経路に対応させるとか
仕切りと棒を並べるとかって奴なら
結構よくある話なので連想できると思うんですが。
253 ：大学への名無しさん：2010/01/05(火) 01:41:10 ID:Lm0zYO6Z0
(x=k or y=k)っていう5点からなる図形をAkとする。
(k=1,2,...,6に応じてA1,A2,...,A6)
見辛いからそれぞれのkについて線で結んでおくと、
こいつらが丁度１回ずつ交わってることがわかる。
だから交点(i,j)がAiとAjの組を表していて、
しかもi<jに限定されてるから、これは順列じゃなくて
組み合わせだなと、6C2=15だし・・・
単に6点でもいいけど、イメージしやすく6角形と考えただけ
こんな感じ？
(k=1,2,...,6に応じてA1,A2,...,A6)
見辛いからそれぞれのkについて線で結んでおくと、
こいつらが丁度１回ずつ交わってることがわかる。
だから交点(i,j)がAiとAjの組を表していて、
しかもi<jに限定されてるから、これは順列じゃなくて
組み合わせだなと、6C2=15だし・・・
単に6点でもいいけど、イメージしやすく6角形と考えただけ
こんな感じ？
254 ：大学への名無しさん：2010/01/05(火) 10:28:01 ID:3fK1R0Z/0
f(x)=ax(1-x)がある。aを正の定数とする。
(1)f(x)=xを満たす正の数xが存在するときのaの値の範囲を
求めよ。
(2)f{(f(x)}=xを満たす正の数xがちょうど一個存在するような
aの値の範囲を求めよ。
やっぱり場合分けしたら
0<a<4になるんですが、答えはなんですか？
(1)f(x)=xを満たす正の数xが存在するときのaの値の範囲を
求めよ。
(2)f{(f(x)}=xを満たす正の数xがちょうど一個存在するような
aの値の範囲を求めよ。
やっぱり場合分けしたら
0<a<4になるんですが、答えはなんですか？
256 ：大学への名無しさん：2010/01/06(水) 15:51:26 ID:1jmLEzVz0
初心者丸出しの質問スマソ
数学１Aのときに気をつけてることってある？？
たとえば俺は図形のときは90°が出てきたら60°とか30°を探したり
内接円なら半径になるなど
数学１Aのときに気をつけてることってある？？
たとえば俺は図形のときは90°が出てきたら60°とか30°を探したり
内接円なら半径になるなど
センター形式の問題です
Ａのカードが２枚、Ｂのカードが２枚、Ｃのカードが１枚、Ｄのカードが一枚の全部で６枚のカードがある
[1] ６枚のカードを横一列に並べる
(1) 並べ方は全部で（ ）通りある。・・・
[2] ６枚のカードをよく混ぜて横一列に並べるとき、２枚のカードの間にあるカードの枚数をＸとする。
(1) X=1である確率は（ )である。
[2]の(1)について、上の(1)は同じ標識のＡ、Ｂを区別せず数えるため重複順列にして計算しました。
ただ、下の問題は確率なので同じ文字を区別せずやればいいと考えたんですけど
解答の方は分母が[1](1)の１８０通りを用いていて
分子の方も (4!/2!)*4という風にＢを区別せず計算しています。
確率の原則は区別しない、という風に思っていたので今回の回答を見て疑問に思いました
この場合なぜ重複順列を用いて計算しているのかご教授お願いします。
Ａのカードが２枚、Ｂのカードが２枚、Ｃのカードが１枚、Ｄのカードが一枚の全部で６枚のカードがある
[1] ６枚のカードを横一列に並べる
(1) 並べ方は全部で（ ）通りある。・・・
[2] ６枚のカードをよく混ぜて横一列に並べるとき、２枚のカードの間にあるカードの枚数をＸとする。
(1) X=1である確率は（ )である。
[2]の(1)について、上の(1)は同じ標識のＡ、Ｂを区別せず数えるため重複順列にして計算しました。
ただ、下の問題は確率なので同じ文字を区別せずやればいいと考えたんですけど
解答の方は分母が[1](1)の１８０通りを用いていて
分子の方も (4!/2!)*4という風にＢを区別せず計算しています。
確率の原則は区別しない、という風に思っていたので今回の回答を見て疑問に思いました
この場合なぜ重複順列を用いて計算しているのかご教授お願いします。
∠C=90度である直角三角形ABCの∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとすると
BD=3cm CD=2cmとなった、線分ADの長さを求めなさい。
この問題の解き方がわかりません。お願いします。
BD=3cm CD=2cmとなった、線分ADの長さを求めなさい。
この問題の解き方がわかりません。お願いします。
すいません自己解決しました
x^3+4x^2+x-6=0とx^3-1=の解き方がわかりません。高２の範囲です。よろしくお願いします
>>260
因数定理
因数定理
263 ：大学への名無しさん：2010/01/07(木) 04:58:20 ID:rjeDaKNG0
二次関数
y=ax^2+bx+cがある
これは二点（－１，２）（４，２）を通る
b,cをaで示せという問題で
私はy=２を通る時、解が－１，４という事から
２＝a(x+1)(x-4) という式を立て
見比べて、b=ー3a c=ー4aー2
と解いたんですが
答えはb=ー3a c=ー4a＋２
とあります。 何故こうなるか教えて下さい。
y=ax^2+bx+cがある
これは二点（－１，２）（４，２）を通る
b,cをaで示せという問題で
私はy=２を通る時、解が－１，４という事から
２＝a(x+1)(x-4) という式を立て
見比べて、b=ー3a c=ー4aー2
と解いたんですが
答えはb=ー3a c=ー4a＋２
とあります。 何故こうなるか教えて下さい。
264 ：大学への名無しさん：2010/01/07(木) 05:08:43 ID:vtC+Ain90
>>263
y=a(x+1)(x-4)は(-1,0),(4,0)を通る二次関数
今回は(-1,2),(4,2)を通るから、これをy方向に+2平行移動したものになる
だから、関数の式はy=a(x+1)(x-4)+2
これと見比べて、b=-3a、c=-4a+2
y=a(x+1)(x-4)は(-1,0),(4,0)を通る二次関数
今回は(-1,2),(4,2)を通るから、これをy方向に+2平行移動したものになる
だから、関数の式はy=a(x+1)(x-4)+2
これと見比べて、b=-3a、c=-4a+2
>y方向に+2平行移動
スマートな解説ありがとうございました！
２＝a(x+1)(x-4)とする場合
よく考えてみたら、各々のxを代入して
連立で解くことになりますね・・よく考えてみたら
連立は計算ミスするから避けて知恵を絞ったのに
間違えてたら元も子もないですね（汗
スマートな解説ありがとうございました！
２＝a(x+1)(x-4)とする場合
よく考えてみたら、各々のxを代入して
連立で解くことになりますね・・よく考えてみたら
連立は計算ミスするから避けて知恵を絞ったのに
間違えてたら元も子もないですね（汗
266 ：大学への名無しさん：2010/01/07(木) 05:38:30 ID:WOHhg5750
連立というか、x=-1,4を代入すると右辺が0になって矛盾する
式の置き方が悪かったのだと思う
でも普通の人はx=-1,4をax^2+bx+cにそのまま代入するだろうから、考え方はすごくいいと思う
二次関数くらいならそのまま代入でもいいけど、次数が増えると面倒になるし
式の置き方が悪かったのだと思う
でも普通の人はx=-1,4をax^2+bx+cにそのまま代入するだろうから、考え方はすごくいいと思う
二次関数くらいならそのまま代入でもいいけど、次数が増えると面倒になるし
ttp://d.hatena.ne.jp/gould2007/20070829
この問題でa/cosθ^2+b/sinθ^2の最小値を出すときに
直接この式に相加平均相乗平均の不等式を使って
ab/sinθ^2cosθ^2が最小値となり等号が成り立つのは
a/cosθ^2=b/sinθ^2の時、すなわちcosθ^2=a/a+b sinθ^2=b/a+bを代入すると
最小値が2(a+b)になってしまいます
何か根本的な間違いがあるのでしょうか？
計算ミスも内容なので悩んでいます。
本番ではtanθに置き換えることが出来なそうで直接やったらどうなるかが気になっています。
この問題でa/cosθ^2+b/sinθ^2の最小値を出すときに
直接この式に相加平均相乗平均の不等式を使って
ab/sinθ^2cosθ^2が最小値となり等号が成り立つのは
a/cosθ^2=b/sinθ^2の時、すなわちcosθ^2=a/a+b sinθ^2=b/a+bを代入すると
最小値が2(a+b)になってしまいます
何か根本的な間違いがあるのでしょうか？
計算ミスも内容なので悩んでいます。
本番ではtanθに置き換えることが出来なそうで直接やったらどうなるかが気になっています。
>>267
計算を具体的に書いてくれんと。
計算を具体的に書いてくれんと。
a/cosθ^2=b/sinθ^2よりasinθ^2=bcosθ^2
sinθ^2=1-cosθ^2を代入して
a(1-cosθ^2)=bcosθ^2
(a+b)cosθ^2=a
cosθ^2=a/a+b
先ほどの式に代入して
sinθ^2=1-a/a+b=b/a+b
となるのですがどうなのでしょうか
sinθ^2=1-cosθ^2を代入して
a(1-cosθ^2)=bcosθ^2
(a+b)cosθ^2=a
cosθ^2=a/a+b
先ほどの式に代入して
sinθ^2=1-a/a+b=b/a+b
となるのですがどうなのでしょうか
ちょっと例えがわかりにくかったので。
例えば、a≧1の時、a+3≧2√(3a)は成立するし、a=3のとき等号が成立するけど、
そのときa+3の値は6で、明らかに最小値ではない。
例えば、a≧1の時、a+3≧2√(3a)は成立するし、a=3のとき等号が成立するけど、
そのときa+3の値は6で、明らかに最小値ではない。
△ABCで∠Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとし 三点C A Dを通る円が辺ABと交わる点
をEとする。CD=2 BD=4 AE=5 BE=3 AC=4である。
点Bからこの円に引いた接線の接点をとすると BT=2√6。
点Aから直線BCに垂線AHを下ろすとAHはいくつか。
どのような方法を使えば解くことができるでしょうか？
をEとする。CD=2 BD=4 AE=5 BE=3 AC=4である。
点Bからこの円に引いた接線の接点をとすると BT=2√6。
点Aから直線BCに垂線AHを下ろすとAHはいくつか。
どのような方法を使えば解くことができるでしょうか？
√15になったけど、さすがにこれは違うのかな
>>274 ありがとうございます。答えは√15みたいです。
どのような方法で解くのでしょうか？
どのような方法で解くのでしょうか？
方べきの定理か角の二等分線の定理よりAB=8だから
三角形ABCの辺BDをxとしてAHを三平方の定理で2通りに表すだけ
三角形ABCの辺BDをxとしてAHを三平方の定理で2通りに表すだけ
>>276
ありがとうございました！ 解くことができました。
ありがとうございました！ 解くことができました。
278 ：244：2010/01/07(木) 16:40:14 ID:rzja3oLP0
質問とりさげます
279 ：大学への名無しさん：2010/01/07(木) 19:18:27 ID:NZIfKWSM0
>>262
それだとＡ、Ｂを区別しずに考えている、ということになりませんか？
２つのＡと２つのＢを区別して考えれば（例えばＡをA、a ＢをB,b)
Ａ*aB*b a*Ab*B A*ab*B a*AB*b という風に始めの「A*AB*B」というブロックも４つに分割できると思うのです
確かに解答もそのようにA,Bを区別しないことを前提としていますが
今まで「確率はすべてのものを区別して考える」と言う風に教わってきたのでこの解答は不思議に思えました
それだとＡ、Ｂを区別しずに考えている、ということになりませんか？
２つのＡと２つのＢを区別して考えれば（例えばＡをA、a ＢをB,b)
Ａ*aB*b a*Ab*B A*ab*B a*AB*b という風に始めの「A*AB*B」というブロックも４つに分割できると思うのです
確かに解答もそのようにA,Bを区別しないことを前提としていますが
今まで「確率はすべてのものを区別して考える」と言う風に教わってきたのでこの解答は不思議に思えました
281 ：大学への名無しさん：2010/01/07(木) 19:38:53 ID:NZIfKWSM0
あー・・・すみません
２枚の"Ａ"のカードです
見直しが足りませんでした、精進します。。。
２枚の"Ａ"のカードです
見直しが足りませんでした、精進します。。。
>>279
どの組み合わせも同じ確率で出るなら、組み合わせで計算してもかまわない。
白玉2個、赤玉2個から2個を取り出すとき2個とも赤玉である確率っていうのを組み合わせでやっちゃダメだけど、
その問題では全部取り出して並べるので、区別した並べ方と区別しない並べ方を比べると、
どの並べ方も必ず同じ数だけダブっているので、組み合わせで確率を計算してもかまわない。
実際に確率を計算する式を立ててみれば、2!が約分されて同じ式になることが確認出来るはず。
どの組み合わせも同じ確率で出るなら、組み合わせで計算してもかまわない。
白玉2個、赤玉2個から2個を取り出すとき2個とも赤玉である確率っていうのを組み合わせでやっちゃダメだけど、
その問題では全部取り出して並べるので、区別した並べ方と区別しない並べ方を比べると、
どの並べ方も必ず同じ数だけダブっているので、組み合わせで確率を計算してもかまわない。
実際に確率を計算する式を立ててみれば、2!が約分されて同じ式になることが確認出来るはず。
よく確認せずに書き込んでしまって、文章をつなげすぎてておかしな日本語になってるけど、勘弁して。
284 ：大学への名無しさん：2010/01/07(木) 20:09:24 ID:dcvJhaAR0
若干被ってるけど・・・
このタイプの確率の問題のやりかたは
全体を同様に確からしい事象に分けて、（OKなものの個数）/(全体の個数）と考える
ってだけ。同様に確からしくなってさえいれば都合の良い様に分ければいい。
但し、分母と分子は同じ分け方で数えないと行けない、当たり前だけど。
その解答では[1]をそのまま使おうとしてるようだから、
分子も同じ分け方で、つまりA,A,B,B,C,Dの並べ方で考えないといけないというだけ。
[1]に拘らなければ、もっと簡単に、6個所のうち2枚のAが何処に来るかだけ考えれば
4/6C2でOKだね
このタイプの確率の問題のやりかたは
全体を同様に確からしい事象に分けて、（OKなものの個数）/(全体の個数）と考える
ってだけ。同様に確からしくなってさえいれば都合の良い様に分ければいい。
但し、分母と分子は同じ分け方で数えないと行けない、当たり前だけど。
その解答では[1]をそのまま使おうとしてるようだから、
分子も同じ分け方で、つまりA,A,B,B,C,Dの並べ方で考えないといけないというだけ。
[1]に拘らなければ、もっと簡単に、6個所のうち2枚のAが何処に来るかだけ考えれば
4/6C2でOKだね
285 ：大学への名無しさん：2010/01/07(木) 20:15:30 ID:NZIfKWSM0
えーっと多分分かりました
例えば>>282さんが出してくれた白球２個、赤球２個という４個の玉から二個の玉を取り出す場合
赤球、白球両方が一つずつ取り出される事象と同色の玉が二つ取り出される事象と言うのは
後者の方がおこる確率が２倍で同様に確からしくない
けれども今回の場合は、組み合わせで考えても
各々"すべて"の事象はカードをそれぞれ区別して考えた場合の2!2!倍（=A,Bのそれぞれの順列分)の確率で起こるので同様に確からしい
日本語おかしかったらすみません
例えば>>282さんが出してくれた白球２個、赤球２個という４個の玉から二個の玉を取り出す場合
赤球、白球両方が一つずつ取り出される事象と同色の玉が二つ取り出される事象と言うのは
後者の方がおこる確率が２倍で同様に確からしくない
けれども今回の場合は、組み合わせで考えても
各々"すべて"の事象はカードをそれぞれ区別して考えた場合の2!2!倍（=A,Bのそれぞれの順列分)の確率で起こるので同様に確からしい
日本語おかしかったらすみません
286 ：大学への名無しさん：2010/01/07(木) 20:41:38 ID:NZIfKWSM0
287 ：大学への名無しさん：2010/01/10(日) 22:03:50 ID:0FzkfCqL0
確率で…
赤球３個と白球４個が入ってる袋がある。
そのうち３個の赤球にはそれぞれ１，２，３の数字が一つずつ書かれている。
この袋から６個の球を取り出して横一列に並べる
っていう設定の問題があったんですが…
この場合、赤球はもちろん区別して考えるけど、
答え見たら白球まで区別してるんですよ。
なんで白球には番号書いてないのに区別できるんですか？
赤球３個と白球４個が入ってる袋がある。
そのうち３個の赤球にはそれぞれ１，２，３の数字が一つずつ書かれている。
この袋から６個の球を取り出して横一列に並べる
っていう設定の問題があったんですが…
この場合、赤球はもちろん区別して考えるけど、
答え見たら白球まで区別してるんですよ。
なんで白球には番号書いてないのに区別できるんですか？
>>287
問題が全て書いてないから、具体的には回答のしようがないが、
確率を計算する場合には、区別して考えないとおかしなことになる。
例えば、赤玉が1個、白玉が99個入っている袋から1個を取り出す場合を考えると、
白玉に番号がついていようがいまいが赤玉を引く確率は1/100。
番号がついていないと1/2になったりはしない。
区別というのは、目で見てわかるかどうかではない。
白玉に傷でもあって、その傷を知っている人と、知らずに全部同じに見える人がいたとすると、
見る人によって確率が変わってしまうなどというおかしなことが起きるはずはない。
あるいは、途中から傷に気づいて見分けがつくようになったとたんに出方が変わるわけがない。
問題が全て書いてないから、具体的には回答のしようがないが、
確率を計算する場合には、区別して考えないとおかしなことになる。
例えば、赤玉が1個、白玉が99個入っている袋から1個を取り出す場合を考えると、
白玉に番号がついていようがいまいが赤玉を引く確率は1/100。
番号がついていないと1/2になったりはしない。
区別というのは、目で見てわかるかどうかではない。
白玉に傷でもあって、その傷を知っている人と、知らずに全部同じに見える人がいたとすると、
見る人によって確率が変わってしまうなどというおかしなことが起きるはずはない。
あるいは、途中から傷に気づいて見分けがつくようになったとたんに出方が変わるわけがない。
>>287
番号が書いてあるか書いてないかで確率が変わるとでも言うんか？
番号が書いてあるか書いてないかで確率が変わるとでも言うんか？
確率でも、組み合わせで計算しても良い場合もある。
いずれの組み合わせも同じ確率で起きる場合や、
組み合わせによって確率が違ってもそれを勘案して計算することが出来る場合など。
後者は区別して考えてるのと同じようなことだけど。
いずれの組み合わせも同じ確率で起きる場合や、
組み合わせによって確率が違ってもそれを勘案して計算することが出来る場合など。
後者は区別して考えてるのと同じようなことだけど。
ちょっと文章がおかしかった。
× 全部同じに見える人がいたとすると、
○ 全部同じに見える人がいたとしても、
× 全部同じに見える人がいたとすると、
○ 全部同じに見える人がいたとしても、
292 ：大学への名無しさん：2010/01/10(日) 22:20:25 ID:0FzkfCqL0
293 ：大学への名無しさん：2010/01/10(日) 22:23:33 ID:0FzkfCqL0
じゃあどういう場合に区別して、どういう場合に区別しないのか
っていうのが分からんくなってくるorz
やべーどないしよ。
っていうのが分からんくなってくるorz
やべーどないしよ。
294 ：大学への名無しさん：2010/01/10(日) 22:30:31 ID:fG7Lqtzz0
こいつアホやナ。
「確率ではすべてのものを区別して解く」
最初のうちはそう"覚えて"問題といておけばいいよ。
ある程度慣れてきたら、同様に確からしいことを保証してるのならば
分子と分母を同じ基準で考えて、区別の有無を調整しても良い
ってことに自然と気がつくから。
仮に気がつかなかったとしてもなんら問題無い。
現に大数の一部の執筆者(雲氏とか)は区別はずして考えられる問題であっても
一貫してすべてを区別して解くべきだと指導されるし。
最初のうちはそう"覚えて"問題といておけばいいよ。
ある程度慣れてきたら、同様に確からしいことを保証してるのならば
分子と分母を同じ基準で考えて、区別の有無を調整しても良い
ってことに自然と気がつくから。
仮に気がつかなかったとしてもなんら問題無い。
現に大数の一部の執筆者(雲氏とか)は区別はずして考えられる問題であっても
一貫してすべてを区別して解くべきだと指導されるし。
297 ：大学への名無しさん：2010/01/11(月) 00:01:08 ID:S6/LClF50
任意の実数ｘ、ｙに対して
ｚ＝５ｘ2－４ｘｙ＋ｙ2－１０ｘ＋６ｘ＋５
の最小値を、次の解答をつづけて求めなさい。
また、別の方法があればそれを簡潔に答えなさい。
（解答）ｙについて整理すると
ｙ2－２（２ｘ－３）2－（５ｘ2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０ -----①
これを満たすｙの実数値が存在するから、①の判別式をＤとすると
Ｄ
―――＝（２ｘ－３）2－（５ｘ2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０
４
という設定の問題があるのですが、手が止まってしまいました。
心優しい方、お手数ですが解答おねがいします。
ちなみに半角の2は二乗を表しています。
ｚ＝５ｘ2－４ｘｙ＋ｙ2－１０ｘ＋６ｘ＋５
の最小値を、次の解答をつづけて求めなさい。
また、別の方法があればそれを簡潔に答えなさい。
（解答）ｙについて整理すると
ｙ2－２（２ｘ－３）2－（５ｘ2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０ -----①
これを満たすｙの実数値が存在するから、①の判別式をＤとすると
Ｄ
―――＝（２ｘ－３）2－（５ｘ2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０
４
という設定の問題があるのですが、手が止まってしまいました。
心優しい方、お手数ですが解答おねがいします。
ちなみに半角の2は二乗を表しています。
299 ：大学への名無しさん：2010/01/11(月) 00:14:44 ID:Dkd63Hdf0
>>298
ご指摘ありがとうございます。
書き直しました。
任意の実数ｘ、ｙに対して
ｚ＝５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５
の最小値を、次の解答をつづけて求めなさい。
また、別の方法があればそれを簡潔に答えなさい。
（解答）ｙについて整理すると
ｙ^2－２（２ｘ－３）^2－（５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０ -----①
これを満たすｙの実数値が存在するから、①の判別式をＤとすると
Ｄ／４＝（２ｘ－３）^2－（５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０
解答よろしくお願いします。
ご指摘ありがとうございます。
書き直しました。
任意の実数ｘ、ｙに対して
ｚ＝５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５
の最小値を、次の解答をつづけて求めなさい。
また、別の方法があればそれを簡潔に答えなさい。
（解答）ｙについて整理すると
ｙ^2－２（２ｘ－３）^2－（５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０ -----①
これを満たすｙの実数値が存在するから、①の判別式をＤとすると
Ｄ／４＝（２ｘ－３）^2－（５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０
解答よろしくお願いします。
>ｙ^2－２（２ｘ－３）^2－（５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０
この時点でもうおかしい。
x^2の項が-13x^2になってるし。
元の式はz=５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５なのに。
この時点でもうおかしい。
x^2の項が-13x^2になってるし。
元の式はz=５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５なのに。
301 ：大学への名無しさん：2010/01/11(月) 00:30:00 ID:Dkd63Hdf0
たびたび申し訳ありません。
問題を写し間違えてしまいました。
書き込みは初めてなので慣れていなくて。
本当に申し訳ありません。
任意の実数ｘ、ｙに対して
ｚ＝５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５
の最小値を、次の解答をつづけて求めなさい。
また、別の方法があればそれを簡潔に答えなさい。
（解答）ｙについて整理すると
ｙ^2－２（２ｘ－３）ｙ+５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ＝０ -----①
これを満たすｙの実数値が存在するから、①の判別式をＤとすると
Ｄ／４＝（２ｘ－３）^2－（５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０
解答よろしくお願いします。
問題を写し間違えてしまいました。
書き込みは初めてなので慣れていなくて。
本当に申し訳ありません。
任意の実数ｘ、ｙに対して
ｚ＝５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５
の最小値を、次の解答をつづけて求めなさい。
また、別の方法があればそれを簡潔に答えなさい。
（解答）ｙについて整理すると
ｙ^2－２（２ｘ－３）ｙ+５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ＝０ -----①
これを満たすｙの実数値が存在するから、①の判別式をＤとすると
Ｄ／４＝（２ｘ－３）^2－（５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０
解答よろしくお願いします。
>>299
数式は半角で書いてくれ。
数式は半角で書いてくれ。
>>301
>ｙ^2－２（２ｘ－３）ｙ+５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ＝０
そうすると更に+6yがどこから来たのか謎
元の式はｚ＝５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５で6xはあるけど6yなんてどこにもない
５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５
=(y-2x)^2+x^2-4x+5
=(y-2x)^2+(x-2)^2+1
とかけて、x.yは任意の実数なので
z=５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５≧(x-2)^2+1≧1
等号はy=2xかつx=2⇔x=2,y=4のとき
つまり最小値は1
>ｙ^2－２（２ｘ－３）ｙ+５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ＝０
そうすると更に+6yがどこから来たのか謎
元の式はｚ＝５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５で6xはあるけど6yなんてどこにもない
５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５
=(y-2x)^2+x^2-4x+5
=(y-2x)^2+(x-2)^2+1
とかけて、x.yは任意の実数なので
z=５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５≧(x-2)^2+1≧1
等号はy=2xかつx=2⇔x=2,y=4のとき
つまり最小値は1
305 ：大学への名無しさん：2010/01/11(月) 01:10:07 ID:Dkd63Hdf0
みなさんご指摘ありがとうござます。
またも写し間違いでした。
ご指摘を受けて自分でも再挑戦をしてみましたが、すっかり忘れてしまっていて何からやればいいかもわからず、この状態のままでした。
任意の実数ｘ、ｙに対して
z＝5x^2－4xy＋y^2－10x＋6y＋5
の最小値を、次の解答をつづけて求めなさい。
また、別の方法があればそれを簡潔に答えなさい。
（解答）ｙについて整理すると
y^2－2（2x-3）y+5x^2-10x＋5-z＝0 -----①
これを満たすｙの実数値が存在するから、①の判別式をＤとすると
Ｄ/4＝（2x-3）^2－（5ｘ^2－10ｘ＋5-z）＝0
本当に何度もすみません。
今度は何度も式の確認をしたので、間違いはありません。
またも写し間違いでした。
ご指摘を受けて自分でも再挑戦をしてみましたが、すっかり忘れてしまっていて何からやればいいかもわからず、この状態のままでした。
任意の実数ｘ、ｙに対して
z＝5x^2－4xy＋y^2－10x＋6y＋5
の最小値を、次の解答をつづけて求めなさい。
また、別の方法があればそれを簡潔に答えなさい。
（解答）ｙについて整理すると
y^2－2（2x-3）y+5x^2-10x＋5-z＝0 -----①
これを満たすｙの実数値が存在するから、①の判別式をＤとすると
Ｄ/4＝（2x-3）^2－（5ｘ^2－10ｘ＋5-z）＝0
本当に何度もすみません。
今度は何度も式の確認をしたので、間違いはありません。
分数の表記はともかく全角は別にいいだろ
5x^2－4xy＋y^2－10x＋6y＋5
={y+(3-2x)}^2+5x^2-10x+5-(3-2x)^2
={y+(3-2x)}^2+x^2+2x-4
={y+(3-2x)}^2+(x+1)^2-5
で、x.yは実数全体を動くから
z=5x^2－4xy＋y^2－10x＋6y＋5≧(x+1)^2-5≧-5
(等号はx=-1, y=-5)
>>305の誘導のつけ方はよくわからない。
値域を出しておいて、最小値を求めさせたいということなのかな?
={y+(3-2x)}^2+5x^2-10x+5-(3-2x)^2
={y+(3-2x)}^2+x^2+2x-4
={y+(3-2x)}^2+(x+1)^2-5
で、x.yは実数全体を動くから
z=5x^2－4xy＋y^2－10x＋6y＋5≧(x+1)^2-5≧-5
(等号はx=-1, y=-5)
>>305の誘導のつけ方はよくわからない。
値域を出しておいて、最小値を求めさせたいということなのかな?
309 ：大学への名無しさん：2010/01/11(月) 05:15:20 ID:Dkd63Hdf0
そうやって出すんですね!!
ようやくわかりました!
本当にありがとうございました！
ようやくわかりました!
本当にありがとうございました！
310 ：大学への名無しさん：2010/01/11(月) 17:07:02 ID:Zkls5+Ti0
>>305
x, yの実数としての存在条件を考えて、
yの2次方程式とみて判別式が0以上、これで得られた式を満たす実数xが
存在するので、xの2次方程式とみて判別しきが0以上。
得られたzの条件ではx, yは実数なので、その範囲の限りzは自由に動く。
これでzの最小値、最大値も分かる。某雑誌で逆手流と名づけられてる手法。
x, yの実数としての存在条件を考えて、
yの2次方程式とみて判別式が0以上、これで得られた式を満たす実数xが
存在するので、xの2次方程式とみて判別しきが0以上。
得られたzの条件ではx, yは実数なので、その範囲の限りzは自由に動く。
これでzの最小値、最大値も分かる。某雑誌で逆手流と名づけられてる手法。
311 ：大学への名無しさん：2010/01/12(火) 00:04:29 ID:+nFb5lZV0
一辺の長さaの正方形に,一辺の長さがb,cの2つの正方形が重ならないように入っている.
このとき,a≧b+cが成り立つことを示せ.
という問題がわかりません。
色々やってみても、向きやらなんやらで詰まります…orz
誰かアドバイス下さい。。
このとき,a≧b+cが成り立つことを示せ.
という問題がわかりません。
色々やってみても、向きやらなんやらで詰まります…orz
誰かアドバイス下さい。。
313 ：大学への名無しさん：2010/01/13(水) 01:56:05 ID:MfDtesOt0
箱の中に、赤、青、白の3色のカードが4枚ずつ入っている。
各色のカードには、それぞれ1から4までの番号が一つずつ書いてある。
この12枚の中から3枚を一度に取り出す。
3枚のカードに、白のカードまたは番号が1のカードが含まれる取り出し方は何通りか？
（答えは200通り）
この問題を、以下のように解いてみたのですが、答えがありません。
どこがいけないでしょうか？
3枚のカードに白のカードが含まれる取り出し方は164通り。
3枚のカードに1のカードが含まれる取り出し方は136通り。
3枚のカードの中に白の1カードが含まれる取り出し方は55通り。
よって、164＋136－55＝245通り。
よろしくお願いします。
各色のカードには、それぞれ1から4までの番号が一つずつ書いてある。
この12枚の中から3枚を一度に取り出す。
3枚のカードに、白のカードまたは番号が1のカードが含まれる取り出し方は何通りか？
（答えは200通り）
この問題を、以下のように解いてみたのですが、答えがありません。
どこがいけないでしょうか？
3枚のカードに白のカードが含まれる取り出し方は164通り。
3枚のカードに1のカードが含まれる取り出し方は136通り。
3枚のカードの中に白の1カードが含まれる取り出し方は55通り。
よって、164＋136－55＝245通り。
よろしくお願いします。
白2白3青1と引いたとき
3枚のカードの中に白が含まれているので164通りの1つであり
1のカードが含まれているから136通りの1つだけど
55通りの要素ではないので除外されてない。
3枚のカードの中に白が含まれているので164通りの1つであり
1のカードが含まれているから136通りの1つだけど
55通りの要素ではないので除外されてない。
315 ：大学への名無しさん：2010/01/13(水) 08:23:07 ID:6w7bpOcG0
傾向と対策82ページ
０≦θ＜πとする。不等式sin2θ－√3cos2θ＜√３において
２sin(2θ－π/3）＜√3 であるから
０≦θ＜πのとき
－π/3≦ 2θ－π/3 ＜5π/3 であるから（以下略）
がわかりません
なぜ－π/3≦ 2θ－π/3 ＜5π/3になるのですか？
０≦θ＜πとする。不等式sin2θ－√3cos2θ＜√３において
２sin(2θ－π/3）＜√3 であるから
０≦θ＜πのとき
－π/3≦ 2θ－π/3 ＜5π/3 であるから（以下略）
がわかりません
なぜ－π/3≦ 2θ－π/3 ＜5π/3になるのですか？
0≦θ<π⇔0≦2θ<2π
⇔0-π/3≦2θ-π/3<2π-π/3
⇔-π/3≦2θ-π<5π/3
⇔0-π/3≦2θ-π/3<2π-π/3
⇔-π/3≦2θ-π<5π/3
317 ：大学への名無しさん：2010/01/13(水) 23:52:49 ID:DHye9KKk0
確率の問題なんですがわからないのでご指導ください
初めに数直線上の0の位置に駒を置く。そして二個の区別できるさいころを同時に振り、
出た目の合計がkのとき右へk移動する。6に到着あるいは通過したとき終了するとする。
このとき2回目で終了する確率を求めよ。
よろしくお願いいたします。
初めに数直線上の0の位置に駒を置く。そして二個の区別できるさいころを同時に振り、
出た目の合計がkのとき右へk移動する。6に到着あるいは通過したとき終了するとする。
このとき2回目で終了する確率を求めよ。
よろしくお願いいたします。
319 ：大学への名無しさん：2010/01/14(木) 01:02:40 ID:KbNGfXSb0
aを定数とし、xの2次関数
y=2x^-4(a+1)x+10a+1 ………①
のグラフをGとする。
グラフGの頂点の座標をaを用いて表すと
(a+[ア]，[イウ]a^+[エ]a-[オ])
である。
ア、イウ、エ、オを答えよ。
また、グラフGがx軸と接するのはa=どんなときか。
解答（出来れば解き方も）教えてください。
よろしくお願いします。
y=2x^-4(a+1)x+10a+1 ………①
のグラフをGとする。
グラフGの頂点の座標をaを用いて表すと
(a+[ア]，[イウ]a^+[エ]a-[オ])
である。
ア、イウ、エ、オを答えよ。
また、グラフGがx軸と接するのはa=どんなときか。
解答（出来れば解き方も）教えてください。
よろしくお願いします。
>>319
二次の係数が2で頂点が(p,q)の二次関数の方程式は？
二次の係数が2で頂点が(p,q)の二次関数の方程式は？
321 ：大学への名無しさん：2010/01/14(木) 01:17:14 ID:KbNGfXSb0
y=a(x-p)^2+q？
数学ほんと分かんないです…
数学ほんと分かんないです…
322 ：大学への名無しさん：2010/01/14(木) 08:46:30 ID:s7RfVCwK0
>>318
この問題は解答がなかったもので自分の答えが合っているのか自信がなくて・・・
２回目に終了しない場合の数は一回目に(1,1)のとき二回目に(1,1),(1,2),(2,1)
あるいは一回目に(1,2)のとき二回目に(1,1)同様に一回目に(2,1)のとき二回目に(1,1)
の5通りなので1-5/6^4で1291/1296となるそうなんですがこれでよいのでしょうか？
あまりにも確率が1に近いので実際にさいころを振ることを考えると違うような気がするんですが。
この問題は解答がなかったもので自分の答えが合っているのか自信がなくて・・・
２回目に終了しない場合の数は一回目に(1,1)のとき二回目に(1,1),(1,2),(2,1)
あるいは一回目に(1,2)のとき二回目に(1,1)同様に一回目に(2,1)のとき二回目に(1,1)
の5通りなので1-5/6^4で1291/1296となるそうなんですがこれでよいのでしょうか？
あまりにも確率が1に近いので実際にさいころを振ることを考えると違うような気がするんですが。
>>322
二回目に終了ってのは、一回目には終了せずに二回目に終了じゃないのか？
それだと、一回目で終了してしまう場合を含んでしまってると思う。
一回目で終了してしまった場合を、二回目で終了とは言わないだろう。
1にかなり近くていいと思うが、なぜ違うと思うんだ？
二回目に終了ってのは、一回目には終了せずに二回目に終了じゃないのか？
それだと、一回目で終了してしまう場合を含んでしまってると思う。
一回目で終了してしまった場合を、二回目で終了とは言わないだろう。
1にかなり近くていいと思うが、なぜ違うと思うんだ？
324 ：大学への名無しさん：2010/01/14(木) 10:03:18 ID:s7RfVCwK0
>>323
修正しました(三回目に終了数場合も考えますよね？)
1回目に終了する場合は二つのさいころの目の合計が6,7,8,9,10,11,12となるときの
場合の数は5,6,5,4,3,2,1で合計26通り。2回目に終了しない場合の5通り。
そして3回目に終わる場合は一回目(1,1),二回目(1,1)のとき三回目はすべて、一回目に(2,1),二回目に(1,1)のとき三回目はすべて。
同様に考えると三回目に終わる場合は5通り考えられる。
よって求める確率は1-(26/6^2+5/6^4+5/6^4)=175/648
これでいいですかね？確率は1からは離れていますが・・・
修正しました(三回目に終了数場合も考えますよね？)
1回目に終了する場合は二つのさいころの目の合計が6,7,8,9,10,11,12となるときの
場合の数は5,6,5,4,3,2,1で合計26通り。2回目に終了しない場合の5通り。
そして3回目に終わる場合は一回目(1,1),二回目(1,1)のとき三回目はすべて、一回目に(2,1),二回目に(1,1)のとき三回目はすべて。
同様に考えると三回目に終わる場合は5通り考えられる。
よって求める確率は1-(26/6^2+5/6^4+5/6^4)=175/648
これでいいですかね？確率は1からは離れていますが・・・
326 ：大学への名無しさん：2010/01/14(木) 10:26:12 ID:s7RfVCwK0
>>319,321が、どのくらい数学ができんのかが分からん。
教科書を見ても、問題集の類題を見ても分からなかったとして説明する。
式の右に書いたのは考え方。
y=2x^-4(a+1)x+10a+1
=2{x^2-2(a+1)x}+10a+1 ←まず、２行下①の形を作るために、
=2[{x-(a+1)}^2-(a+1)^2]+10a+1 ←こうする。
=2{x-(a+1)}^2-2(a+1)^2-2+10a+1 ←①
=2{x-(a+1)}^2-2(a^2+2a+1)+10a+1 ←かっこを外していく
=2{x-(a+1)}^2-2a^2-4a-2+10a+1
=2{x-(a+1)}^2-2a^2+6a-1 ←②
よって、頂点座標は(a+1, -2a^2+6a-1)
後半は次のレス。
②の形というのは、教科書に載っている
y=k(x-p)^2+q
のこと。y=a(x-p)^2+qかも。どっちでもいいけど。
p,qは、グラフの頂点（放物線のとがったところ）のx座標とy座標を表している。
なんでかが分からなかったら、教科書を見るか、またここで質問する。
k,p,qに適当な数、全部2とかを入れて、xに0から5位までの数を入れてy座標を求めて線でつないでみて、グラフを描いてみると分かるかも。
他の問題を解くためにも、y=○x^2+△x+□の形のグラフは絶対に描けないといけない。
①のかっこを外すとできるから、まずは①を目指す
②までの途中に①がある。
教科書を見ても、問題集の類題を見ても分からなかったとして説明する。
式の右に書いたのは考え方。
y=2x^-4(a+1)x+10a+1
=2{x^2-2(a+1)x}+10a+1 ←まず、２行下①の形を作るために、
=2[{x-(a+1)}^2-(a+1)^2]+10a+1 ←こうする。
=2{x-(a+1)}^2-2(a+1)^2-2+10a+1 ←①
=2{x-(a+1)}^2-2(a^2+2a+1)+10a+1 ←かっこを外していく
=2{x-(a+1)}^2-2a^2-4a-2+10a+1
=2{x-(a+1)}^2-2a^2+6a-1 ←②
よって、頂点座標は(a+1, -2a^2+6a-1)
後半は次のレス。
②の形というのは、教科書に載っている
y=k(x-p)^2+q
のこと。y=a(x-p)^2+qかも。どっちでもいいけど。
p,qは、グラフの頂点（放物線のとがったところ）のx座標とy座標を表している。
なんでかが分からなかったら、教科書を見るか、またここで質問する。
k,p,qに適当な数、全部2とかを入れて、xに0から5位までの数を入れてy座標を求めて線でつないでみて、グラフを描いてみると分かるかも。
他の問題を解くためにも、y=○x^2+△x+□の形のグラフは絶対に描けないといけない。
①のかっこを外すとできるから、まずは①を目指す
②までの途中に①がある。
解答を続けるが、上の答えが合っている前提で解く。
頂点のy座標が0の時、グラフGはx軸と接するので
-2a^2+6a-1=0
解の公式に使うと、
a=[-6±√{6^2-4(-2)・1)}]/{2・(-2)}
=(3±√7)/2
グラフGがx軸に接するということは、グラフの、この場合一番低い頂点（とがった所）の位置の座標が0であればよい。
なので、-2a^2+6a-1=0
これが成立するようなaを求めるために、解の公式を使う。
解の公式が分からなかったら自分で調べる。
頂点のy座標が0の時、グラフGはx軸と接するので
-2a^2+6a-1=0
解の公式に使うと、
a=[-6±√{6^2-4(-2)・1)}]/{2・(-2)}
=(3±√7)/2
グラフGがx軸に接するということは、グラフの、この場合一番低い頂点（とがった所）の位置の座標が0であればよい。
なので、-2a^2+6a-1=0
これが成立するようなaを求めるために、解の公式を使う。
解の公式が分からなかったら自分で調べる。
a,bを実数とするとき,xの関数 f(x)=x^4+ax^2-2(a+2)x+b がただ１つの極致をもち
かつ、その極致が正であるためのa,bを求めよ
という問題なのですが解説ではf(x)を微分して2(x-1)(2x^2+2x+a+2)になって
g(x)=(2x^2+2x+a+2)とおくと
f(x)がただ１つの極致を持つ＝g(x)の符号が変化しない、または、g(1)=0
とあるのですが、どうしてこの条件になるのかが分かりません。
１つの極値をもつということは、ただ一度符号変化するってことですよね？
どうしてg(x)の符号が変化しない、またはg(1)=0でこの条件を満たすのかよくわかりません。
どなたかお願いします。
かつ、その極致が正であるためのa,bを求めよ
という問題なのですが解説ではf(x)を微分して2(x-1)(2x^2+2x+a+2)になって
g(x)=(2x^2+2x+a+2)とおくと
f(x)がただ１つの極致を持つ＝g(x)の符号が変化しない、または、g(1)=0
とあるのですが、どうしてこの条件になるのかが分かりません。
１つの極値をもつということは、ただ一度符号変化するってことですよね？
どうしてg(x)の符号が変化しない、またはg(1)=0でこの条件を満たすのかよくわかりません。
どなたかお願いします。
>>329
f'(x)=2(x-1)(2x^2+2x+a+2)
1)g(x)=2x^2+2x+a+2が符号変化をしないとき
(x-1)の項がx=1の近傍で符号変化をただ1度だけする
2)g(1)=0のとき
このときg(x)=2(x-1)(x-α)とかけるので
f'(x)=2{(x-1)^2}(x-α)となり、(x-1)^2 ≧ 0よりこの部分は符号の変化がなく
x=α近傍でただ1度だけ符号変化をする
f'(x)=2(x-1)(2x^2+2x+a+2)
1)g(x)=2x^2+2x+a+2が符号変化をしないとき
(x-1)の項がx=1の近傍で符号変化をただ1度だけする
2)g(1)=0のとき
このときg(x)=2(x-1)(x-α)とかけるので
f'(x)=2{(x-1)^2}(x-α)となり、(x-1)^2 ≧ 0よりこの部分は符号の変化がなく
x=α近傍でただ1度だけ符号変化をする
331 ：大学への名無しさん：2010/01/16(土) 01:34:20 ID:PyN/lJv80
>>229について、赤本が手に入らないので、
ネットを使って探してみたのですが、やはりよくわかりません。
もう一度質問させてください。
a[n] は等差数列、b[n] は等比数列、 a[5]=b[2] a[17]=b[3] のとき
a[m]=b[n] となるような m(n) をもとめ、
c[n]=m(n) としたときに d[n]=p c[n]^2 +c[n+2] の
階差数列が等比数列になるような定数 p をもとめ、
そのときの Σ[k=1,n] d[k] を計算せよ。
a[5]=b[2] a[17]=b[3]から連立方程式を出せるのですが、
そこからm(n)を出せません。よろしくお願いします。
ネットを使って探してみたのですが、やはりよくわかりません。
もう一度質問させてください。
a[n] は等差数列、b[n] は等比数列、 a[5]=b[2] a[17]=b[3] のとき
a[m]=b[n] となるような m(n) をもとめ、
c[n]=m(n) としたときに d[n]=p c[n]^2 +c[n+2] の
階差数列が等比数列になるような定数 p をもとめ、
そのときの Σ[k=1,n] d[k] を計算せよ。
a[5]=b[2] a[17]=b[3]から連立方程式を出せるのですが、
そこからm(n)を出せません。よろしくお願いします。
>>330
解説ありがとうございます。おかげで理解できました
失礼ながら続けて質問させていただきます。
xの関数y=x^4-4(a-1)x^3+2(a^2-1)x^2 が極大値をもつような実数aの範囲を求めよ
という問題なのですが、x^2-3(a-1)x+(a^2-1)=0
が０でない異なる実数解を持つ条件を求めればよい
と書いてあるのですか、どうして異なる実数解を求めたら極大値を持つaの範囲が求められるのでしょうか？
どなたかお願いします。
解説ありがとうございます。おかげで理解できました
失礼ながら続けて質問させていただきます。
xの関数y=x^4-4(a-1)x^3+2(a^2-1)x^2 が極大値をもつような実数aの範囲を求めよ
という問題なのですが、x^2-3(a-1)x+(a^2-1)=0
が０でない異なる実数解を持つ条件を求めればよい
と書いてあるのですか、どうして異なる実数解を求めたら極大値を持つaの範囲が求められるのでしょうか？
どなたかお願いします。
>>332
y=x^4-4(a-1)x^3+2(a^2-1)x^2=f(x)とおく。
・f'(x)は連続関数
・f'(x)=0の相異なる実数解は高々3個
・f(x)がx=αで極大であるというのは、十分に小さい数dについてf'(α-d)＞0、f'(α+d)＜0となるという意味。
・f(x)は連続関数で、lim[x→±∞] f'(x)=±∞(複合同順)
以上4点と中間値の定理より、
f(x)が極大値αを持つためには
十分小さいdについてf'(x)=0が
区間(-∞,α-d)に少なくとも一つ、
区間(α-d,α+d)に少なくとも一つ、
区間(α+d,∞)に少なくとも一つの実数解を持つことが必要十分。
このこととf'(x)が3次関数ゆえにf'(x)=0の実数解が高々3個であることより、
f(x)が極大値αを持つためにはf'(x)=0が3個の相異なる実数解を持つことが必要十分。
このこととf'(x)=4x(x^2-3(a-1)x+(a^2-1))より、
f(x)が極大値αを持つためにはx^2-3(a-1)x+(a^2-1)=0が0でない相異なる実数解を持つことが必要十分。
----
なお、「x^2-3(a-1)x+(a^2-1)=0が0でない相異なる実数解を持つことが必要十分」である理由を限られた試験時間内で試験答案に記述したいなら
「3次関数f'(x)のグラフより、f(x)が極大値αを持つためにはf'(x)=0が3個の相異なる実数解を持つことが必要十分だから」程度で十分と思う。
y=x^4-4(a-1)x^3+2(a^2-1)x^2=f(x)とおく。
・f'(x)は連続関数
・f'(x)=0の相異なる実数解は高々3個
・f(x)がx=αで極大であるというのは、十分に小さい数dについてf'(α-d)＞0、f'(α+d)＜0となるという意味。
・f(x)は連続関数で、lim[x→±∞] f'(x)=±∞(複合同順)
以上4点と中間値の定理より、
f(x)が極大値αを持つためには
十分小さいdについてf'(x)=0が
区間(-∞,α-d)に少なくとも一つ、
区間(α-d,α+d)に少なくとも一つ、
区間(α+d,∞)に少なくとも一つの実数解を持つことが必要十分。
このこととf'(x)が3次関数ゆえにf'(x)=0の実数解が高々3個であることより、
f(x)が極大値αを持つためにはf'(x)=0が3個の相異なる実数解を持つことが必要十分。
このこととf'(x)=4x(x^2-3(a-1)x+(a^2-1))より、
f(x)が極大値αを持つためにはx^2-3(a-1)x+(a^2-1)=0が0でない相異なる実数解を持つことが必要十分。
----
なお、「x^2-3(a-1)x+(a^2-1)=0が0でない相異なる実数解を持つことが必要十分」である理由を限られた試験時間内で試験答案に記述したいなら
「3次関数f'(x)のグラフより、f(x)が極大値αを持つためにはf'(x)=0が3個の相異なる実数解を持つことが必要十分だから」程度で十分と思う。
すまんちょと教えてくれ
カナダにおいて電気エネルギーの消費量は液体エネルギー消費量のちょうど60％にあたる。カナダの液体エネルギーの消費量はどれだけか？（必要なときは、最後に十万ｔの位を四捨五入すること）
各数値 単位 百万ｔ
固形エネ 25
液体エネ ？
ガス 80
電力エネ ？
合計 237
こういう問題なんだが
俺はまず
237-（25+80）＝132 ［百万ｔ］
と考え 次に電気：液体＝0.6：1 だし132-（132*0.6）で簡単やんけとか思ったんだが間違ってたんだ
一応解説見ると
電気エネの消費量は、液体エネ消費量のちょうど60％にあたるのですから、液体エネルギー消費量を100としたとき、電気エネ消費量は60とということです。
合計すると、160％。これが132なのです
と書いてあって ここまでは理解できたんだが、次に
ということは、132を160で割って100をかけたものが、液体エネ消費量です
とあるんだ そして
132*100/160＝132*5/8＝82.5
数値を見るとそれっぽい数字だし間違ってないだろうけど
理解できないごみな俺にだれか教えてくれ
カナダにおいて電気エネルギーの消費量は液体エネルギー消費量のちょうど60％にあたる。カナダの液体エネルギーの消費量はどれだけか？（必要なときは、最後に十万ｔの位を四捨五入すること）
各数値 単位 百万ｔ
固形エネ 25
液体エネ ？
ガス 80
電力エネ ？
合計 237
こういう問題なんだが
俺はまず
237-（25+80）＝132 ［百万ｔ］
と考え 次に電気：液体＝0.6：1 だし132-（132*0.6）で簡単やんけとか思ったんだが間違ってたんだ
一応解説見ると
電気エネの消費量は、液体エネ消費量のちょうど60％にあたるのですから、液体エネルギー消費量を100としたとき、電気エネ消費量は60とということです。
合計すると、160％。これが132なのです
と書いてあって ここまでは理解できたんだが、次に
ということは、132を160で割って100をかけたものが、液体エネ消費量です
とあるんだ そして
132*100/160＝132*5/8＝82.5
数値を見るとそれっぽい数字だし間違ってないだろうけど
理解できないごみな俺にだれか教えてくれ
質問させてください。
【問題】
1から5の数字の書かれた玉を3つの袋に分ける組み合わせは何通りあるか。
ただし、1つの袋には0～5個の玉が入り、袋の区別はつけないものとする。
まず袋をA,B,Cとわけると、その組み合わせは「3組 ^ 5個 通り」
袋を区別しないのだからその組み合わせを「3!」で割る
3^5 / 3! = 243 / 6 = 割り切れない
と混乱してしまいます。
どなたかご教示ください。
【問題】
1から5の数字の書かれた玉を3つの袋に分ける組み合わせは何通りあるか。
ただし、1つの袋には0～5個の玉が入り、袋の区別はつけないものとする。
まず袋をA,B,Cとわけると、その組み合わせは「3組 ^ 5個 通り」
袋を区別しないのだからその組み合わせを「3!」で割る
3^5 / 3! = 243 / 6 = 割り切れない
と混乱してしまいます。
どなたかご教示ください。
>>339
1つの袋だけに入っている場合は6通りあるのか？
1つの袋だけに入っている場合は6通りあるのか？
>>339
>袋を区別しないのだからその組み合わせを「3!」で割る
(x.y.z):(x:袋Aに入った玉, y:袋Bに入った玉, z:袋Cに入った玉)と書くとして
(12,34,5),(12.5.34),(5.34,12),(5,12,34),(34,12,5),(34,5,12)→区別をはずすと1通り
(φ,φ,12345),(φ,12345,φ),(12345,φ,φ)→区別をはずすと1通り
以下略
という具合に0個の袋が2つある場合等は3通りだったものが区別をはずすと1通りになるので
機械的に3!で割れば解決するというものではない。
>袋を区別しないのだからその組み合わせを「3!」で割る
(x.y.z):(x:袋Aに入った玉, y:袋Bに入った玉, z:袋Cに入った玉)と書くとして
(12,34,5),(12.5.34),(5.34,12),(5,12,34),(34,12,5),(34,5,12)→区別をはずすと1通り
(φ,φ,12345),(φ,12345,φ),(12345,φ,φ)→区別をはずすと1通り
以下略
という具合に0個の袋が2つある場合等は3通りだったものが区別をはずすと1通りになるので
機械的に3!で割れば解決するというものではない。
>>339
例えば、全部同じ袋に入っているのはAに全部、Bに全部、Cに全部の3通りしかない。
例えば、全部同じ袋に入っているのはAに全部、Bに全部、Cに全部の3通りしかない。
自然数に０は含まれるの？
http://www.geocities.co.jp/milano/1115/juken/kumiwake.html
ここの(11)を頼りに考えたところ
3つの袋に入れる数で場合分けする。
5個，0個，0個に分ける --> 5_C_5 = 1
4個，1個，0個に分ける --> 5_C_4 * 1 = 5
3個，2個，0個に分ける --> 5_C_3 * 1 = 10
3個，1個，1個に分ける --> 5_C_3 * 2_C_1 * 1 / 2! = 10 * 2 / 2 = 10
2個，2個，1個に分ける --> 5_C_2 * 3_C_2 * 1 / 2! = 10 * 3 / 2 = 15
1 + 5 + 10 + 10 + 15 = 41通り
となりましたが、これで問題ないのでしょうか？
ここの(11)を頼りに考えたところ
3つの袋に入れる数で場合分けする。
5個，0個，0個に分ける --> 5_C_5 = 1
4個，1個，0個に分ける --> 5_C_4 * 1 = 5
3個，2個，0個に分ける --> 5_C_3 * 1 = 10
3個，1個，1個に分ける --> 5_C_3 * 2_C_1 * 1 / 2! = 10 * 2 / 2 = 10
2個，2個，1個に分ける --> 5_C_2 * 3_C_2 * 1 / 2! = 10 * 3 / 2 = 15
1 + 5 + 10 + 10 + 15 = 41通り
となりましたが、これで問題ないのでしょうか？
>>345
おお、同じになった。
袋を区別した場合の入れ方は3^5通り。
このうち、全部同じ袋に入っている場合以外は、袋を区別しないと3!=6通りずつ同じ入れ方がある。
全部同じ袋に入っている場合だけは、3通り。
なので、((3^5)+3)/6=41通り。
おお、同じになった。
袋を区別した場合の入れ方は3^5通り。
このうち、全部同じ袋に入っている場合以外は、袋を区別しないと3!=6通りずつ同じ入れ方がある。
全部同じ袋に入っている場合だけは、3通り。
なので、((3^5)+3)/6=41通り。
349 ：大学への名無しさん：2010/01/17(日) 22:35:27 ID:rsZpwuZnO
>>333
そうですよね。
問題が間違っていると思いますから、
お金ができたら赤本を買って確かめます。
>>344
だから「正の整数」なんて
ややこしい言い方をしていたんですか。
感動しました。
世界史では「ゼロの発見」自体が大きな出来事ですから、
ゼロは自然数ではないと思っていました。
そうですよね。
問題が間違っていると思いますから、
お金ができたら赤本を買って確かめます。
>>344
だから「正の整数」なんて
ややこしい言い方をしていたんですか。
感動しました。
世界史では「ゼロの発見」自体が大きな出来事ですから、
ゼロは自然数ではないと思っていました。
350 ：大学への名無しさん：2010/01/19(火) 15:32:41 ID:ad9cYf3Q0
無限級数 Σ[n=1.∞]{(1/2)^n}sin(πn/3) の値を求めよ
という問題で解答が
a[n]={(1/2)^n}sin(πn/3)として
Σ[n=1.∞]a[n]
=(a[1]+a[7]+a[13]+・・・a[∞])+(a[2]+a[8]+・・・a[∞])+(a[3]+a[9]+・・・a[∞])
+(a[4]+a[10]+・・・)+(a[5]+a[13]+・・・)+(a[6]+a[12]+・・・・)
=(a[1]+a[2]+a[4]+a[5])/{1-(1/2)^6}
={(√3/4)+(√3/8)-(√3/32)-(√3/64)}×(64/63)
=√3/3
となってるんですけど、
>=(a[1]+a[7]+a[13]+・・・a[∞])+(a[2]+a[8]+・・・a[∞])+(a[3]+a[9]+・・・a[∞])
>+(a[4]+a[10]+・・・)+(a[5]+a[13]+・・・)+(a[6]+a[12]+・・・・)
>=(a[1]+a[2]+a[4]+a[5])/{1-(1/2)^6}
の部分がよくわかりません。
無限級数のΣも普通のΣと同様に和を分配して計算できるのですか?
という問題で解答が
a[n]={(1/2)^n}sin(πn/3)として
Σ[n=1.∞]a[n]
=(a[1]+a[7]+a[13]+・・・a[∞])+(a[2]+a[8]+・・・a[∞])+(a[3]+a[9]+・・・a[∞])
+(a[4]+a[10]+・・・)+(a[5]+a[13]+・・・)+(a[6]+a[12]+・・・・)
=(a[1]+a[2]+a[4]+a[5])/{1-(1/2)^6}
={(√3/4)+(√3/8)-(√3/32)-(√3/64)}×(64/63)
=√3/3
となってるんですけど、
>=(a[1]+a[7]+a[13]+・・・a[∞])+(a[2]+a[8]+・・・a[∞])+(a[3]+a[9]+・・・a[∞])
>+(a[4]+a[10]+・・・)+(a[5]+a[13]+・・・)+(a[6]+a[12]+・・・・)
>=(a[1]+a[2]+a[4]+a[5])/{1-(1/2)^6}
の部分がよくわかりません。
無限級数のΣも普通のΣと同様に和を分配して計算できるのですか?
>>350
精密に表現するならば以下のようになる。
「Σ[n=1,∞]p[n]=P、Σ[n=1,∞]q[n]=Q(P,Q:定数)となる任意の数列{p[n]},{q[n]}について
Σ[n=1,∞](p[n]+q[n])=P+Qが成立する」・・・(*)
という定理と
Σ[n=1,∞]a[6n-i]=a[i]/(1-(1/2)^6) (i=1,2,3,4,5)より
Σ[n=1,∞](a[6n-5]+a[6n-4]+a[6n-3]+a[6n-2]+a[6n-1]+a[6n])
=(a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6])/(1-(1/2)^6)
が成立する。
> 無限級数のΣも普通のΣと同様に和を分配して計算できるのですか?
この問題のように、「収束する」級数に分割できるなら、
分割された級数の値をすべて足し合わせたものが、もとの級数の値になることは
(*)の定理により保証される。
精密に表現するならば以下のようになる。
「Σ[n=1,∞]p[n]=P、Σ[n=1,∞]q[n]=Q(P,Q:定数)となる任意の数列{p[n]},{q[n]}について
Σ[n=1,∞](p[n]+q[n])=P+Qが成立する」・・・(*)
という定理と
Σ[n=1,∞]a[6n-i]=a[i]/(1-(1/2)^6) (i=1,2,3,4,5)より
Σ[n=1,∞](a[6n-5]+a[6n-4]+a[6n-3]+a[6n-2]+a[6n-1]+a[6n])
=(a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6])/(1-(1/2)^6)
が成立する。
> 無限級数のΣも普通のΣと同様に和を分配して計算できるのですか?
この問題のように、「収束する」級数に分割できるなら、
分割された級数の値をすべて足し合わせたものが、もとの級数の値になることは
(*)の定理により保証される。
352 ：大学への名無しさん：2010/01/19(火) 22:35:12 ID:ad9cYf3Q0
>>351
ありがとうございます。そういう定理があったのですね。存じ上げておりませんでした
この定理というのは高校の範囲で証明することは可能でしょうか?
また、質問なのですが、この問題
a[n+3]=-{1/(2^3)}*a[n]なので
Σ[n=1.∞]a[n]
=Σ[m=1.∞](a[3m]+a[3m+1]+a[3m+2])
=(a[1]+a[2]+a[3])/(1-(1/2)^3)
と計算しても答えはバッチリあうのですが
このように解いてもかまいませんか?
それとも(a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6])/(1-(1/2)^6)
と模範解答のようにやらないとどこかで不備があったりしますでしょうか?
ありがとうございます。そういう定理があったのですね。存じ上げておりませんでした
この定理というのは高校の範囲で証明することは可能でしょうか?
また、質問なのですが、この問題
a[n+3]=-{1/(2^3)}*a[n]なので
Σ[n=1.∞]a[n]
=Σ[m=1.∞](a[3m]+a[3m+1]+a[3m+2])
=(a[1]+a[2]+a[3])/(1-(1/2)^3)
と計算しても答えはバッチリあうのですが
このように解いてもかまいませんか?
それとも(a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6])/(1-(1/2)^6)
と模範解答のようにやらないとどこかで不備があったりしますでしょうか?
353 ：大学への名無しさん：2010/01/20(水) 18:46:59 ID:DVG7+tP/0
逆手流にいて質問させてください
平面上の2点A(-1.2),B(3.5)と円C:(x-1)^2+(y+1)^2=1があり
点Pは円C上の動点とする。このとき⊿PABの重心の軌跡を求めよ
という問題で自分はこう解きました
G(x.y), P(cosθ+1.sinθ-1) (0≦θ≦2π)とおくと
x=(-1+3+cosθ+1)/3・・・(1)
y=(2+5+sinθ-1)/3・・・(2)
求める軌跡とは、
「(1).(2)を満たすθが0≦θ≦2πに存在する」・・・(*)
ような(x.y)の集合であり、
(*)⇔9(x-1)^2+9(y-2)^2=1
解答は
G(X,Y)とおくと、OP↑=(3X-2, 3Y-7)とかけてこれがC上にあることより
(x-1)^2+(y-2)^2=1/9
と書いてあります。自分の解答はPの変数θをGの座標X.Yについて解いて消去している「逆手流」だと思うのですが、
解答のやり方もPの座標をGの座標X.Yで表して、PがC上に存在していることを
訴えているので逆手流なのでしょうか?
平面上の2点A(-1.2),B(3.5)と円C:(x-1)^2+(y+1)^2=1があり
点Pは円C上の動点とする。このとき⊿PABの重心の軌跡を求めよ
という問題で自分はこう解きました
G(x.y), P(cosθ+1.sinθ-1) (0≦θ≦2π)とおくと
x=(-1+3+cosθ+1)/3・・・(1)
y=(2+5+sinθ-1)/3・・・(2)
求める軌跡とは、
「(1).(2)を満たすθが0≦θ≦2πに存在する」・・・(*)
ような(x.y)の集合であり、
(*)⇔9(x-1)^2+9(y-2)^2=1
解答は
G(X,Y)とおくと、OP↑=(3X-2, 3Y-7)とかけてこれがC上にあることより
(x-1)^2+(y-2)^2=1/9
と書いてあります。自分の解答はPの変数θをGの座標X.Yについて解いて消去している「逆手流」だと思うのですが、
解答のやり方もPの座標をGの座標X.Yで表して、PがC上に存在していることを
訴えているので逆手流なのでしょうか?
>>353
そうだとは思うけど、その模範解は酷くダサいと思う。
ベクトル使って書いてなければ数II範囲で解いたのだとも思えるけれど、
ベクトル既習なら下に書くような考え方がスマートじゃなかろうか。
ただ、ほとんど数Cにはみ出てるという批判はありうるけど。
x=1+(1/3)cosθ
y=2+(1/3)sinθ
d↑=(1,2)、q↑=(cosθ,sinθ)
とすればOP↑=p↑=d↑+(1/3)q↑
で、これはD(d↑)を中心とする半径1/3の円。
（q↑の軌跡は単位円、これを原点中心に1/3に縮小した上で、
さらにd↑だけ平行移動したのがp↑の描く軌跡)
きれいな形で書けるから、それを解釈してしまえば、別にθを消去する必要は
ないわけ。また、この考え方だと、たとえば元の点がCの全体を動かなくても
簡単に対応できるってのも利点かと。
そうだとは思うけど、その模範解は酷くダサいと思う。
ベクトル使って書いてなければ数II範囲で解いたのだとも思えるけれど、
ベクトル既習なら下に書くような考え方がスマートじゃなかろうか。
ただ、ほとんど数Cにはみ出てるという批判はありうるけど。
x=1+(1/3)cosθ
y=2+(1/3)sinθ
d↑=(1,2)、q↑=(cosθ,sinθ)
とすればOP↑=p↑=d↑+(1/3)q↑
で、これはD(d↑)を中心とする半径1/3の円。
（q↑の軌跡は単位円、これを原点中心に1/3に縮小した上で、
さらにd↑だけ平行移動したのがp↑の描く軌跡)
きれいな形で書けるから、それを解釈してしまえば、別にθを消去する必要は
ないわけ。また、この考え方だと、たとえば元の点がCの全体を動かなくても
簡単に対応できるってのも利点かと。
>>351
訂正
[n=1,∞]a[6n-i]=a[i]/(1-(1/2)^6) (i=1,2,3,4,5)より
↓
Σ[n=1,∞]a[6(n-1)+i]=a[i]/(1-(1/2)^6) (i=1,2,3,4,5,6)より
>>352
> この定理というのは高校の範囲で証明することは可能でしょうか?
{p[n]},{q[n]}を任意の数列、S[n]=Σ[k=1,n](p[k]+q[k])、T[n]=Σ[k=1,n]p[k]、U[n]=Σ[k=1,n]q[k]とおく。
ただしlim[n→∞]T[n]=P、lim[n→∞]U[n]=Q(P,Q:定数)となるとする。
このとき
「Σ[n=1,∞]p[n]はlim[n→∞]T[n]を指す」(定義A)
「任意の正整数nについてS[n]=T[n]+U[n]が成立する」(定理B)
「lim[n→∞]p[n]、lim[n→∞]q[n]が収束するならlim[n→∞](p[n]+q[n])=(lim[n→∞]p[n])+(lim[n→∞]q[n])が成立する」(定理C)
以上より
Σ[n=1,∞](p[n]+q[n])
=lim[n→∞]S[n] (←定義A)
=lim[n→∞](T[n]+U[n]) (←定理B)
=(lim[n→∞]T[n])+(lim[n→∞]U[n]) (←定理C)
=(Σ[n=1,∞]p[n])+(Σ[n=1,∞]q[n]) (←定義A)
=P+Q
となる。証明終わり。
定理Bの高校範囲での証明は容易。
定理Cは高校範囲では証明無しに使える公式に位置づけられる。範囲外ならε-N論法で極限を定義した上で証明できる。
> このように解いてもかまいませんか?
a[n+6]={1/(2^6)}*a[n]のかわりにa[n+3]=-{1/(2^3)}*a[n]を使っても
問題なく模範解答と同様のロジックで答案を作成できる。
訂正
[n=1,∞]a[6n-i]=a[i]/(1-(1/2)^6) (i=1,2,3,4,5)より
↓
Σ[n=1,∞]a[6(n-1)+i]=a[i]/(1-(1/2)^6) (i=1,2,3,4,5,6)より
>>352
> この定理というのは高校の範囲で証明することは可能でしょうか?
{p[n]},{q[n]}を任意の数列、S[n]=Σ[k=1,n](p[k]+q[k])、T[n]=Σ[k=1,n]p[k]、U[n]=Σ[k=1,n]q[k]とおく。
ただしlim[n→∞]T[n]=P、lim[n→∞]U[n]=Q(P,Q:定数)となるとする。
このとき
「Σ[n=1,∞]p[n]はlim[n→∞]T[n]を指す」(定義A)
「任意の正整数nについてS[n]=T[n]+U[n]が成立する」(定理B)
「lim[n→∞]p[n]、lim[n→∞]q[n]が収束するならlim[n→∞](p[n]+q[n])=(lim[n→∞]p[n])+(lim[n→∞]q[n])が成立する」(定理C)
以上より
Σ[n=1,∞](p[n]+q[n])
=lim[n→∞]S[n] (←定義A)
=lim[n→∞](T[n]+U[n]) (←定理B)
=(lim[n→∞]T[n])+(lim[n→∞]U[n]) (←定理C)
=(Σ[n=1,∞]p[n])+(Σ[n=1,∞]q[n]) (←定義A)
=P+Q
となる。証明終わり。
定理Bの高校範囲での証明は容易。
定理Cは高校範囲では証明無しに使える公式に位置づけられる。範囲外ならε-N論法で極限を定義した上で証明できる。
> このように解いてもかまいませんか?
a[n+6]={1/(2^6)}*a[n]のかわりにa[n+3]=-{1/(2^3)}*a[n]を使っても
問題なく模範解答と同様のロジックで答案を作成できる。
1枚のカードには1つの文字が書いてあるK，A，N，K，Y，O，J，O，H，Oという10枚のカードが有る。
AとOが隣り合わない並べ方はなん通りあるか
という問題なのですが、どのように解けばよいのでしょうか。
AとOが隣り合わない並べ方はなん通りあるか
という問題なのですが、どのように解けばよいのでしょうか。
>>356
A,O以外のカードをBとあらわし、Oが挿入されうる場所をoとあらわすと
Aの左にBが1つも存在しない場合
ABoBoBoBoBoBo
と表せ、このときoから重複を許して3つ選ぶ場合の数はH[6,3]。
Aの左にBがi個(i=1,2,3,4,5,6)存在するときのoから重複を許して3つ選ぶ場合の数も同様にH[6,3]。
したがって、AとOが隣り合わないような、A1枚,O3枚,B6枚の並べ方の場合の数は
7*H[6,3]=7*C[10,3]=7*((10*9*8)/(3*2*1))=840[通り]。
そのそれぞれについて、Bの位置にK2枚、N,Y,J,H各1枚を入れるとき、Bの入れ方の場合の数は(6!/2!)=360[通り]。
以上から求める場合の数は840*360=302400[通り]。
A,O以外のカードをBとあらわし、Oが挿入されうる場所をoとあらわすと
Aの左にBが1つも存在しない場合
ABoBoBoBoBoBo
と表せ、このときoから重複を許して3つ選ぶ場合の数はH[6,3]。
Aの左にBがi個(i=1,2,3,4,5,6)存在するときのoから重複を許して3つ選ぶ場合の数も同様にH[6,3]。
したがって、AとOが隣り合わないような、A1枚,O3枚,B6枚の並べ方の場合の数は
7*H[6,3]=7*C[10,3]=7*((10*9*8)/(3*2*1))=840[通り]。
そのそれぞれについて、Bの位置にK2枚、N,Y,J,H各1枚を入れるとき、Bの入れ方の場合の数は(6!/2!)=360[通り]。
以上から求める場合の数は840*360=302400[通り]。
>>357
訂正。みっともないミスをした。
重複組み合わせはH[n,m]=C[n+m-1,m]だから
7*H[6,3]=7*C[10,3]=7*((10*9*8)/(3*2*1))=840[通り]。
↓
7*H[6,3]=7*C[8,3]=7*((8*7*6)/(3*2*1))=392[通り]。
以上から求める場合の数は840*360=302400[通り]。
↓
以上から求める場合の数は392*360=141120[通り]。
訂正。みっともないミスをした。
重複組み合わせはH[n,m]=C[n+m-1,m]だから
7*H[6,3]=7*C[10,3]=7*((10*9*8)/(3*2*1))=840[通り]。
↓
7*H[6,3]=7*C[8,3]=7*((8*7*6)/(3*2*1))=392[通り]。
以上から求める場合の数は840*360=302400[通り]。
↓
以上から求める場合の数は392*360=141120[通り]。
A,B,Cの3人にランダムで数字の書かれたカードを一枚ずつ配る。
カードの数字がA＞Bの確率は1/2、 A＞Cの確率も1/2
したがってAが3人で一番大きい数字の確率は1/4
しかし対等性を考えると1/3になる、というパラドックスを解いてください！
カードの数字がA＞Bの確率は1/2、 A＞Cの確率も1/2
したがってAが3人で一番大きい数字の確率は1/4
しかし対等性を考えると1/3になる、というパラドックスを解いてください！
x[ax^2+bx+(b-a)]
=x(x+1)[ax+(b-a)]
=x(x+1)[a(x+2)-2a+(b-a)]
計算としてはx、x+1、x+2を強引にどんどん括りだしているんですが、
どのように括りだしたのかがわかりません。
括りだし方を教えていただけませんか？
=x(x+1)[ax+(b-a)]
=x(x+1)[a(x+2)-2a+(b-a)]
計算としてはx、x+1、x+2を強引にどんどん括りだしているんですが、
どのように括りだしたのかがわかりません。
括りだし方を教えていただけませんか？
x[ax^2+bx+(b-a)]
=x(x+1)[ax+(b-a)]
=x(x+1)[a(x+2)-2a+(b-a)]
=ax(x+1)(x+2)+(b-3a)x(x+1)
一つ式が抜けてました、すみません。
計算としてはx、x+1、x+2をどんどん括りだしているんですが、
どのように括りだしたのかがわかりません。
括りだし方を教えていただけませんか？
=x(x+1)[ax+(b-a)]
=x(x+1)[a(x+2)-2a+(b-a)]
=ax(x+1)(x+2)+(b-3a)x(x+1)
一つ式が抜けてました、すみません。
計算としてはx、x+1、x+2をどんどん括りだしているんですが、
どのように括りだしたのかがわかりません。
括りだし方を教えていただけませんか？
x[ax^2+bx+(b-a)]
=x[a(x^2-1)+b(x+1)]
=x[a(x+1)(x-1)+b(x+1)]
=x(x+1)[a(x-1)+b]
=x(x+1)[ax+(b-a)]
=x(x+1)[a(x+2)-2a+(b-a)]
=x(x+1)[a(x+2)+(b-3a)]
=ax(x+1)(x+2)+(b-3a)x(x+1)
=x[a(x^2-1)+b(x+1)]
=x[a(x+1)(x-1)+b(x+1)]
=x(x+1)[a(x-1)+b]
=x(x+1)[ax+(b-a)]
=x(x+1)[a(x+2)-2a+(b-a)]
=x(x+1)[a(x+2)+(b-3a)]
=ax(x+1)(x+2)+(b-3a)x(x+1)
>>363
式変形の流れはわかりました。ありがとうございました。
ただこういう括りだすのってどれも問題自体が自然に何かでまとめたら
「お、簡単に括りだせるな」っていう風な作りになってるんですか？
それとも、無理やり括りださなきゃいけないようなときってあるんですか？
式変形の流れはわかりました。ありがとうございました。
ただこういう括りだすのってどれも問題自体が自然に何かでまとめたら
「お、簡単に括りだせるな」っていう風な作りになってるんですか？
それとも、無理やり括りださなきゃいけないようなときってあるんですか？
たとえば
nが整数ならn^3+5nは6の倍数
を示す方法の1つとしてn^3+5n=(n-1)n(n+1)+6nと変形して
三つの連続する整数の積は6の倍数である事を使うとか
これのはじめの方を読んでみると面白いかも（ニュートン補間）
http://www2.cc.niigata-u.ac.jp/~takeuchi/tbasic/Intro2Basic/NewtonIP.html
nが整数ならn^3+5nは6の倍数
を示す方法の1つとしてn^3+5n=(n-1)n(n+1)+6nと変形して
三つの連続する整数の積は6の倍数である事を使うとか
これのはじめの方を読んでみると面白いかも（ニュートン補間）
http://www2.cc.niigata-u.ac.jp/~takeuchi/tbasic/Intro2Basic/NewtonIP.html
>>364
x(x+1)[ax+(b-a)]
までは、ごく普通の因数分解で、「最低次数の文字で整理」という
これまたごく普通の定跡を使ったものとして解釈できる
（xとaとbをどれも「文字」という次元で見れば、2次まであるxではなく
1次までの文字であるaやbで整理したほうが取っ掛かりがつかめる）
そのあと(x+2)を因数として括りだす部分については、逆にこの式だけからは
全く出てこないしやる必要もないはず。元の問題があるならサボらずそれを
提示すべきで、それがないと
>無理やり括りださなきゃいけないようなとき
になってるかどうかの判断はできないよ。
x(x+1)[ax+(b-a)]
までは、ごく普通の因数分解で、「最低次数の文字で整理」という
これまたごく普通の定跡を使ったものとして解釈できる
（xとaとbをどれも「文字」という次元で見れば、2次まであるxではなく
1次までの文字であるaやbで整理したほうが取っ掛かりがつかめる）
そのあと(x+2)を因数として括りだす部分については、逆にこの式だけからは
全く出てこないしやる必要もないはず。元の問題があるならサボらずそれを
提示すべきで、それがないと
>無理やり括りださなきゃいけないようなとき
になってるかどうかの判断はできないよ。
Σ_[k=1,n]{(1/2)^k*(2k-1)}
を一応解いたんですが、解答と違ってしまったので解き方をお願いします。
を一応解いたんですが、解答と違ってしまったので解き方をお願いします。
368 ：大学への名無しさん：2010/01/24(日) 10:07:31 ID:orf53XB40
>>367
まずお前がかけ
まずお前がかけ
04年の阪大文系の第2問ですが。
ttp://www1.axfc.net/uploader/Img/so/71038
(1)の解き方が分かりません。
とりあえず、以下が自分の答案です。
C_1 : x^2+(y-a_1)^2=a_1^2 ⇔ x^2+y^2-2a_1y=0 である。
このとき、C_1とy=x^2が原点のみで接すれば良い。
ここで、C_1からx^2を消去すると、 y^2-(2a_1-1)y=0 ―① となる。
①の判別式をDとすると、D=0が必要条件である。
D=(2a_1-1)^2=0 ⇔ a_1=1/2
逆に、a_1はただ一つに定まるのでこれは十分性を満たす。
ゆえに a_1=1/2 である。
という風になったんですが、疑問なのが、たとえば、r=1/4のときはどういう状況なのか、ということです。
「接する」ということは、「重解をもつ」ということと同値ですよね？
r=1/4のときも、グラフの概形を見る限りでは原点で接しているはずなんですが、y=0,-1/2となって重解をもちません。
このとき、具体的に、放物線と円はどのような関係にあるのでしょうか。
また、正しいa_1の導き方について教えていただければ幸いです。
ttp://www1.axfc.net/uploader/Img/so/71038
(1)の解き方が分かりません。
とりあえず、以下が自分の答案です。
C_1 : x^2+(y-a_1)^2=a_1^2 ⇔ x^2+y^2-2a_1y=0 である。
このとき、C_1とy=x^2が原点のみで接すれば良い。
ここで、C_1からx^2を消去すると、 y^2-(2a_1-1)y=0 ―① となる。
①の判別式をDとすると、D=0が必要条件である。
D=(2a_1-1)^2=0 ⇔ a_1=1/2
逆に、a_1はただ一つに定まるのでこれは十分性を満たす。
ゆえに a_1=1/2 である。
という風になったんですが、疑問なのが、たとえば、r=1/4のときはどういう状況なのか、ということです。
「接する」ということは、「重解をもつ」ということと同値ですよね？
r=1/4のときも、グラフの概形を見る限りでは原点で接しているはずなんですが、y=0,-1/2となって重解をもちません。
このとき、具体的に、放物線と円はどのような関係にあるのでしょうか。
また、正しいa_1の導き方について教えていただければ幸いです。
>>369
ブラウザに見ちゃダメって言われるので見られない。
ブラウザに見ちゃダメって言われるので見られない。
接するというのは「同じ点で共通の接線を持つ」ということ。
y軸上に中心があり原点を通るなら原点でx軸に接するのだから、
つねにy=x^2とは接する事になる。
だからx^2+(y-a)^2=a^2がD内にある条件を出して、
そうなるaの最大値をa1とすればよい。
y=x^2上の点P(x,y)とA(0,a)の距離を考えて、
AP^2=x^2+(y-a)^2=y+(y-a)^2>=a^2
すなわちy(y-(2a-1))>=0がすべてのy>=0について成り立てばよい。
したがって2a-1<=0で、a1=1/2
y軸上に中心があり原点を通るなら原点でx軸に接するのだから、
つねにy=x^2とは接する事になる。
だからx^2+(y-a)^2=a^2がD内にある条件を出して、
そうなるaの最大値をa1とすればよい。
y=x^2上の点P(x,y)とA(0,a)の距離を考えて、
AP^2=x^2+(y-a)^2=y+(y-a)^2>=a^2
すなわちy(y-(2a-1))>=0がすべてのy>=0について成り立てばよい。
したがって2a-1<=0で、a1=1/2
372 ：大学への名無しさん：2010/01/24(日) 16:33:25 ID:V4B9dF7tP
＞x^2+(y-a)^2=a^2がD内にある条件
a>0でかつ、というのも書いとかないとだな
a>0でかつ、というのも書いとかないとだな
374 ：大学への名無しさん：2010/01/25(月) 01:54:15 ID:Xk37Bw0x0
左辺から右辺への式変形なんですが
2t/(1+t)(t^2+1)=-1/(1+t) + (t+1)/(t^2+1)
の導き方が分かりません。
通常ならば
右辺は分母だけ書いて、分子にA、B等置きますが、今回はその方法では解けませんでした。
2t/(1+t)(t^2+1)=-1/(1+t) + (t+1)/(t^2+1)
の導き方が分かりません。
通常ならば
右辺は分母だけ書いて、分子にA、B等置きますが、今回はその方法では解けませんでした。
常識のある人なら
2t/(1+t)(1+t^2)=A/(1+t)+B/(1+t^2)+Ct/(1+t^2)
とおく。
2t/(1+t)(1+t^2)=A/(1+t)+B/(1+t^2)+Ct/(1+t^2)
とおく。
>>374
f(x)/g(x)を部分分数分解するとき
1.多項式に分解
2.g(x)の因数に(x-a)^mが存在しているとき
a[1]/(x-a) + a[2]/(x-a)^2 +・・・+ a[m]/(x-a)^m と書ける
3.g(x)の因数に(x^2+px+q)^mが存在しているとき
(A[1]x+B[1])/(x^2+px+q) +(A[2]x+B[2])/(x^2+px+q)^2 +・・・+(A[m]x+B[m])/(x^2+px+q)^m と書ける
これらにしたがって、
2t/{(1+t)(t^2+1)}
=a[1]/(1+t) + (A[1]t+B[1])/(t^2+1)
=a[1]/(1+t) +A[1]t/(t^2+1) +B[1]/(t^2+1)
a[1]～B[1]を求めると君の言ったとおり
-1/(1+t) + (t+1)/(t^2+1)になるはず。
>通常ならば右辺は分母だけ書いて、分子にA、B等置きますが
(7t-6)/(t-2)(t-3) とかを部分分数分解するときはそれでいい。
これは上記の2の事実にしたがって分解してる。
今回は分母に(1+t^2)がでてるから3つ目のことまで考える必要がある。
f(x)/g(x)を部分分数分解するとき
1.多項式に分解
2.g(x)の因数に(x-a)^mが存在しているとき
a[1]/(x-a) + a[2]/(x-a)^2 +・・・+ a[m]/(x-a)^m と書ける
3.g(x)の因数に(x^2+px+q)^mが存在しているとき
(A[1]x+B[1])/(x^2+px+q) +(A[2]x+B[2])/(x^2+px+q)^2 +・・・+(A[m]x+B[m])/(x^2+px+q)^m と書ける
これらにしたがって、
2t/{(1+t)(t^2+1)}
=a[1]/(1+t) + (A[1]t+B[1])/(t^2+1)
=a[1]/(1+t) +A[1]t/(t^2+1) +B[1]/(t^2+1)
a[1]～B[1]を求めると君の言ったとおり
-1/(1+t) + (t+1)/(t^2+1)になるはず。
>通常ならば右辺は分母だけ書いて、分子にA、B等置きますが
(7t-6)/(t-2)(t-3) とかを部分分数分解するときはそれでいい。
これは上記の2の事実にしたがって分解してる。
今回は分母に(1+t^2)がでてるから3つ目のことまで考える必要がある。
次の微分方程式を定数変化法で解きなさい。
①ｄｙ/ｄｘ -2/x y = 2x-3
②ｄｙ/ｄｘ + y/x = 3x+2
③ｄｙ/ｄｘ + y/x = 1/x^2
④ｄｙ/ｄｘ + 2y/x = x-2
の回答、解説お願いします。よろしくお願いします。
①ｄｙ/ｄｘ -2/x y = 2x-3
②ｄｙ/ｄｘ + y/x = 3x+2
③ｄｙ/ｄｘ + y/x = 1/x^2
④ｄｙ/ｄｘ + 2y/x = x-2
の回答、解説お願いします。よろしくお願いします。
378 ：１３２人目の素数さん：2010/01/25(月) 15:41:17 ID:UNad8GCB0
sin(θ－30°)＋sin(θ＋60°)教えてください！
382 ：大学への名無しさん：2010/01/25(月) 17:55:32 ID:0AaE/pbT0
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org592913.jpg
こういう図形の場合、二つの三角形の青い線は同じ長さになりますか？
y=10-xとy=10-1/2xのグラフを足すなどの一次関数同士の足し算はどの範囲でしょうか？
こういう図形の場合、二つの三角形の青い線は同じ長さになりますか？
y=10-xとy=10-1/2xのグラフを足すなどの一次関数同士の足し算はどの範囲でしょうか？
>>382
相似の比
相似の比
１対１の数Ⅱ P８５
放物線ｙ＝ｘ^2 の２本の接線ｇ、ｈが点（a,ｂ）で交わるとする。
接線ｇ、ｈは直交するためのあa、bの条件を求めよ
という問題なんですが
接線ｇ、ｈの接点をそれぞれ（ｓ、ｓ＾2） (t、t^2)として
ｇ´（ｓ）ｈ´（ｔ）＝－１
これを計算して、ｓｔ＝－１／４・・・①
それぞれの接点での接線を求めて
ｇ：ｙ＝２ｓ（ｘ－ｓ）＋ｓ＾2
ｈ：ｙ＝２t（ｘ－ｔ）＋ｔ＾2
↓
２直線とも（a、ｂ）を通るので
ｂ＝２ｓ（a－ｓ）＋ｓ＾2・・・②
ｂ＝２t（a－ｔ）＋ｔ＾2・・・③
①②③より
a＝（ｓ＋ｔ）／２
ｂ＝ｓｔ＝－１／４
解説は、この
ｂ＝－１／４ だけが答えとして書かれているんですが
aの条件については触れなくていいんでしょうか？
放物線ｙ＝ｘ^2 の２本の接線ｇ、ｈが点（a,ｂ）で交わるとする。
接線ｇ、ｈは直交するためのあa、bの条件を求めよ
という問題なんですが
接線ｇ、ｈの接点をそれぞれ（ｓ、ｓ＾2） (t、t^2)として
ｇ´（ｓ）ｈ´（ｔ）＝－１
これを計算して、ｓｔ＝－１／４・・・①
それぞれの接点での接線を求めて
ｇ：ｙ＝２ｓ（ｘ－ｓ）＋ｓ＾2
ｈ：ｙ＝２t（ｘ－ｔ）＋ｔ＾2
↓
２直線とも（a、ｂ）を通るので
ｂ＝２ｓ（a－ｓ）＋ｓ＾2・・・②
ｂ＝２t（a－ｔ）＋ｔ＾2・・・③
①②③より
a＝（ｓ＋ｔ）／２
ｂ＝ｓｔ＝－１／４
解説は、この
ｂ＝－１／４ だけが答えとして書かれているんですが
aの条件については触れなくていいんでしょうか？
続き
自分で解いたのですが、
ｓｔ＝－１／４
ｓ＋ｔ＝２a
より、ｓ、ｔは ｘ＾2－２ax－（１／４）＝０ の２つの解である
よって判別式＞０より
４a＋√（１６a^2＋４）
―――――――― ＞０
４
４a＋√（１６a^2＋４）＞０
a>0のときは常に成立
a<0のとき
４a＋a√（１６＋４／a^2）＞０
４＋√（１６＋４／a^2）＜０
となり、a<0はありえない
よって a>0
これってどこを間違えているのでしょうか？
お願いします
自分で解いたのですが、
ｓｔ＝－１／４
ｓ＋ｔ＝２a
より、ｓ、ｔは ｘ＾2－２ax－（１／４）＝０ の２つの解である
よって判別式＞０より
４a＋√（１６a^2＋４）
―――――――― ＞０
４
４a＋√（１６a^2＋４）＞０
a>0のときは常に成立
a<0のとき
４a＋a√（１６＋４／a^2）＞０
４＋√（１６＋４／a^2）＜０
となり、a<0はありえない
よって a>0
これってどこを間違えているのでしょうか？
お願いします
「aは任意」って解答に書いてない？
>>385
a<0のとき
４a＋a√（１６＋４／a^2）＞０
ここ
正しくは
４a＋|a|√（１６＋４／a^2）＞０
a>0のとき
４a+a√（１６＋４／a^2）＞０
a<0のとき
４a-a√（１６＋４／a^2）＞０
どちらにしても成立
a<0のとき
４a＋a√（１６＋４／a^2）＞０
ここ
正しくは
４a＋|a|√（１６＋４／a^2）＞０
a>0のとき
４a+a√（１６＋４／a^2）＞０
a<0のとき
４a-a√（１６＋４／a^2）＞０
どちらにしても成立
あとわざわざaの条件をしらべなくても、s．tはｓｔ＝－１／４を満たす任意の実数だから、aは全ての実数だよ
f(t)=∫[1,0]|x^2-tx|dxとするとき、f(t)の最小値と最小値を与えるtの値を求めよ。
解答では、t<=0、0<t<1、t>=1の場合分けがされてるんですが、何故その場合分けになるかわかりません。教えてほしいです。
解答では、t<=0、0<t<1、t>=1の場合分けがされてるんですが、何故その場合分けになるかわかりません。教えてほしいです。
>>389
絶対値の中はx(x-t)。
x(x-t)の符号を考えるにはxの符号とx-tの符号を考えることになる。
xが0から1の範囲でxの符号を考えると0または正。
xが0から1の範囲でx-tの符号を考えると、その場合分けが必要になる。
絶対値の中はx(x-t)。
x(x-t)の符号を考えるにはxの符号とx-tの符号を考えることになる。
xが0から1の範囲でxの符号を考えると0または正。
xが0から1の範囲でx-tの符号を考えると、その場合分けが必要になる。
√の絶対値いつも忘れる・・・
いつも √（ab）^2＝ab にしてしまう
気をつけます
いつも √（ab）^2＝ab にしてしまう
気をつけます
>>
aについて全然言及しないってのはおかしいよなあ。
ｙ＝－ｘ^2＋２ａｘ （０≦ｘ≦２）のとき、ａの範囲によって場合わけをして、
値域をもとめよ。
答え
ａ＜０のとき ４ａ－４≦ｙ≦０
０≦ａ＜１のとき ４ａ－４≦ｙ≦ａ^2
１≦ａ≦２のとき ０≦ｙ≦ａ^2
ａ＞２のとき ０≦ｙ≦４ａ－４
合ってますか？
値域をもとめよ。
答え
ａ＜０のとき ４ａ－４≦ｙ≦０
０≦ａ＜１のとき ４ａ－４≦ｙ≦ａ^2
１≦ａ≦２のとき ０≦ｙ≦ａ^2
ａ＞２のとき ０≦ｙ≦４ａ－４
合ってますか？
397 ：大学への名無しさん：2010/01/30(土) 14:11:00 ID:GkE3bjgR0
2曲線がx=t接するとき
f(t)=g(t)かつf'(t)=g'(t)
っていう関係があると思うですけど
y=|x|ってx=0で微分不可能なので
y=|x|とy=-x^2はx=0で接しているとはいえないのですか?
f(t)=g(t)かつf'(t)=g'(t)
っていう関係があると思うですけど
y=|x|ってx=0で微分不可能なので
y=|x|とy=-x^2はx=0で接しているとはいえないのですか?
398 ：大学への名無しさん：2010/01/30(土) 17:00:30 ID:gZLE6clw0
>>311
これって難問の類ですか？
これって難問の類ですか？
399 ：大学への名無しさん：2010/01/30(土) 18:32:34 ID:XPeeUDUTO
f(x)=-1/4x^2+ax-a とおく。
二次関数y=f(x)の最大値Mは、aを用いて(1)。
このMが最小になるのはa=(2)のときで最小値はM=(3)である。
f(x)＞1が成り立つような実数xが存在するのは、a＜(4)および、a＞(5)のときである。
(1)はy=a(x-p)^2+qの基本形に直してa^2-aでよろしいでしょうか？
a^2-aであってるなら(2)はa^2-aを基本形に直して1/4でよろしいでしょうか？
この問題の(1)～(5)の解き方お願いします。
二次関数y=f(x)の最大値Mは、aを用いて(1)。
このMが最小になるのはa=(2)のときで最小値はM=(3)である。
f(x)＞1が成り立つような実数xが存在するのは、a＜(4)および、a＞(5)のときである。
(1)はy=a(x-p)^2+qの基本形に直してa^2-aでよろしいでしょうか？
a^2-aであってるなら(2)はa^2-aを基本形に直して1/4でよろしいでしょうか？
この問題の(1)～(5)の解き方お願いします。
(1)yes
(2)それたぶん計算みすってるからチェック
(3)上が分かればおのずと
(4),(5)逆に「どんなxに対してもf(x)≦1が成り立つようなaの範囲」とすれば...
(2)それたぶん計算みすってるからチェック
(3)上が分かればおのずと
(4),(5)逆に「どんなxに対してもf(x)≦1が成り立つようなaの範囲」とすれば...
402 ：大学への名無しさん：2010/01/30(土) 23:30:06 ID:XPeeUDUTO
>>400
レスありがとうございます。
(2)、(3)はa^2-aを基本形(a-1/2)^2-1/4に直して
(2)=1/2、(3)=-1/4になりました。
(4)、(5)は説明を頂きましたがわかりませんでした。すみません。
足りない頭で考えたのですが
判別式からa^2-a-1を出して、それを解いて1/2×1±√5
aの範囲はa＜1/2×1-√5 , 1/2×1±√5＜a
と考えたのですが間違いなら解説お願いしたいです。
レスありがとうございます。
(2)、(3)はa^2-aを基本形(a-1/2)^2-1/4に直して
(2)=1/2、(3)=-1/4になりました。
(4)、(5)は説明を頂きましたがわかりませんでした。すみません。
足りない頭で考えたのですが
判別式からa^2-a-1を出して、それを解いて1/2×1±√5
aの範囲はa＜1/2×1-√5 , 1/2×1±√5＜a
と考えたのですが間違いなら解説お願いしたいです。
1/(z(z+2) について特異点 z=0 を中心とするローラン展開をせよという問題なんですが、
特異点が z=0 なので 1/(z(z+2) = (1/z)(1/(z+2)) と考え、分母が z+2 の方の項を
どうにか変形して展開しようとしているのですが、どうにもうまく行きません。
なにかうまい方法があるのでしょうか？
お願いします。
特異点が z=0 なので 1/(z(z+2) = (1/z)(1/(z+2)) と考え、分母が z+2 の方の項を
どうにか変形して展開しようとしているのですが、どうにもうまく行きません。
なにかうまい方法があるのでしょうか？
お願いします。
404 ：大学への名無しさん：2010/01/31(日) 01:06:41 ID:Nxlf+/RS0
2/(z+2)=1/(1+z/2)=1-z/2+(z/2)^2-...
スレチ
1/[x^2(x-1)] の部分分数分解で
1/[x^2(x-1)] = (ax+b)/x^2 + c/(x-1) = a/x + b/x^2 + c/(x-1)
としますが、
1/[x^2(x-1)] = a/x^2 + b/(x-1)
とするのは、どうして誤りなのでしょうか。
1/[x^2(x-1)] = (ax+b)/x^2 + c/(x-1) = a/x + b/x^2 + c/(x-1)
としますが、
1/[x^2(x-1)] = a/x^2 + b/(x-1)
とするのは、どうして誤りなのでしょうか。
>>402
たぶん書き間違ってるだけだろうからそれであってる
(1±√5)/2
>>406
ふつう、A/B=C+D/Bとなるとき、CはAをBで割った時の商、Dは余りになる
今、Bは二次式だから、余りは一次式
もちろん一次の係数が０になることもあるが、必ず０になるとは限らないから下のようにしてはだめ
俺は、
1/(x^2(x-1))=1/x(x-1)-1/x^2=(1/(x-1)-1/x)-1/x^2
とするのがいいと思う
中央で分子には絶対に定数しかこないから
好みか？
たぶん書き間違ってるだけだろうからそれであってる
(1±√5)/2
>>406
ふつう、A/B=C+D/Bとなるとき、CはAをBで割った時の商、Dは余りになる
今、Bは二次式だから、余りは一次式
もちろん一次の係数が０になることもあるが、必ず０になるとは限らないから下のようにしてはだめ
俺は、
1/(x^2(x-1))=1/x(x-1)-1/x^2=(1/(x-1)-1/x)-1/x^2
とするのがいいと思う
中央で分子には絶対に定数しかこないから
好みか？
408 ：402：2010/01/31(日) 13:53:51 ID:v4LpYgJhO
409 ：大学への名無しさん：2010/01/31(日) 14:55:25 ID:tZdjPNv9O
これの(2)誰か教えてください
http://imepita.jp/20100131/535030
http://imepita.jp/20100131/535030
k√(n-k+1)じゃないの?
>>407
㌧です
㌧です
logXの積分(底=e)は記述で部分積分飛ばして結果(XlogX-X)を書いても大丈夫でしょうか？
良いと思う
心配なら、結果を微分したらlogxに戻ることを書いておけば問題ない
心配なら、結果を微分したらlogxに戻ることを書いておけば問題ない
>>413
ありがとうございました！
ありがとうございました！
415 ：大学への名無しさん：2010/01/31(日) 18:58:37 ID:dorJOHx90
放物線y^2=4x上の異なる2点P(x1,y1),Q(x2,y2)における接線の交点をRとし、線分PQの中点をMとする。
直線RMはx軸に平行であることを示せ。
Rの座標を出す必要があると思うのですがわかりません
よろしくお願いします
直線RMはx軸に平行であることを示せ。
Rの座標を出す必要があると思うのですがわかりません
よろしくお願いします
普通にやるなら、xとyが逆になってるだけだと思って接線を求めれば解ける
417 ：大学への名無しさん：2010/01/31(日) 19:15:22 ID:dorJOHx90
数Cにのっていた問題です。
答案に書くべき答えをすべて書いていただけませんか？
お願いします
答案に書くべき答えをすべて書いていただけませんか？
お願いします
418 ：大学への名無しさん：2010/01/31(日) 19:20:58 ID:Nxlf+/RS0
お断りします
419 ：大学への名無しさん：2010/01/31(日) 23:10:04 ID:/JRb3zWzO
お願いします
r>0、r∈Ｒとする。xyz空間において次の式を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ
x~2＋y~2≦r~2
y~2＋z~2≧r~2
z~2＋x~2≦r~2
r>0、r∈Ｒとする。xyz空間において次の式を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ
x~2＋y~2≦r~2
y~2＋z~2≧r~2
z~2＋x~2≦r~2
05年の東大の過去問みてみるといい
>>421
この質問すぐあとにVIPにスレ立てられてたよ
この質問すぐあとにVIPにスレ立てられてたよ
ハチの巣穴は六角形で出来ています
同じ多角形を持って平面を埋め尽くすとき、多角形の面積が同じなら、辺の和がもっとも小さく済むのは正六角形です（少ない材料で巣穴を作れる）
証明せよ
同じ多角形を持って平面を埋め尽くすとき、多角形の面積が同じなら、辺の和がもっとも小さく済むのは正六角形です（少ない材料で巣穴を作れる）
証明せよ
埋め尽くすの意味がイマイチハッキリしないが3,4,6角形の三択だよね
あとはシラミつぶしで良いよ
あとはシラミつぶしで良いよ
425 ：大学への名無しさん：2010/02/01(月) 14:13:03 ID:VJ/dlXwh0
X軸上を運動する質量ｍの質点Pがある。時刻ｔにおけるPのｘ座標をｘとするとき、次の
微分方程式が成り立つという。ただし、ｋは正の定数とする。
m(d^2x/dt^2)=-kx
t=0のとき、x=0,dx/dt=vo(定数）として、xをtの式であらわせ。
よろしくお願いします。
微分方程式が成り立つという。ただし、ｋは正の定数とする。
m(d^2x/dt^2)=-kx
t=0のとき、x=0,dx/dt=vo(定数）として、xをtの式であらわせ。
よろしくお願いします。
>>423
一個だけなら辺の長さの合計を同じにした場合は、隙間なく組み合わせることができる多角形のなかで正六角形が１番大きいがくっついて隣接する辺を考えるとわかめ・・・
一個だけなら辺の長さの合計を同じにした場合は、隙間なく組み合わせることができる多角形のなかで正六角形が１番大きいがくっついて隣接する辺を考えるとわかめ・・・
初歩的かもしれませんがお願いしますm__m
x>0のとき x+1>1だから
(x+1)^(1/(x+2))>1
となるのはどうしてですか？
x>0のとき x+1>1だから
(x+1)^(1/(x+2))>1
となるのはどうしてですか？
1=(x+1)^0
x+1の指数が0より大きいから
(x+1)^(1/(x+2))>1
ってことですかね？連投すいません
x+1の指数が0より大きいから
(x+1)^(1/(x+2))>1
ってことですかね？連投すいません
そういうことです
どうも！
どういたしまして！！
いいってことよ
434 ：大学への名無しさん：2010/02/02(火) 21:16:31 ID:bFZ/fwnU0
教科書レベルで申し訳ないのですが、数Ⅲの置換積分で、
∫√(a^2-x^2)dx を x=a*sinθ
と置換する問題です。
ふと、学校の先生が「不定積分だと難しい」と言っていたのを
思い出したんですが、積分区間が出てこないだけで、
dx=a*cosθdθ
と積分変数を変えて、普通に出来るように思えます。
なにか、勘違いしているんでしょうか？
∫√(a^2-x^2)dx を x=a*sinθ
と置換する問題です。
ふと、学校の先生が「不定積分だと難しい」と言っていたのを
思い出したんですが、積分区間が出てこないだけで、
dx=a*cosθdθ
と積分変数を変えて、普通に出来るように思えます。
なにか、勘違いしているんでしょうか？
435 ：大学への名無しさん：2010/02/02(火) 21:21:40 ID:bFZ/fwnU0
スミマセン、自己レスです。
もしかして、θの式で不定積分が出てきた後、
θに代入するxの式が作れないということ？？？
そんな気がしてきました。
ご意見いただけたら助かります。
もしかして、θの式で不定積分が出てきた後、
θに代入するxの式が作れないということ？？？
そんな気がしてきました。
ご意見いただけたら助かります。
最後にxに戻すのにが三角関数の逆関数がいるって事じゃないですか？
微分方程式を解けという問題です。
(1)y''+ｘ＾２+２ｘ=0
(2)y''+ｙ=0
この二つなんですがさっぱりわからないです。
よろしくお願いします。
(1)y''+ｘ＾２+２ｘ=0
(2)y''+ｙ=0
この二つなんですがさっぱりわからないです。
よろしくお願いします。
438 ：434：2010/02/02(火) 21:46:21 ID:bFZ/fwnU0
円をかたどる曲線を直線にすると、外側の延ばされた線の長さは
短くなるか、長くなるか？
短くなるか、長くなるか？
任意の3つの実数を四捨五入して整数にした上で和を取るのと、和を取ってから四捨五入して整数にする場合で数値が異なる確率は
なんですか。
答えなしでノーヒントなので考えにくいです。
なんですか。
答えなしでノーヒントなので考えにくいです。
>>440
[0,1)の一様分布から3つ取ったとすれば1/3じゃないでしょうか
[0,1)の一様分布から3つ取ったとすれば1/3じゃないでしょうか
同じ結果でました。ありがとうございます
443 ：大学への名無しさん：2010/02/03(水) 01:10:10 ID:q8qITR/O0
細かい成分は省くきますが
二次正方行列A,BについてA^2=Oが成り立つとき
逆行列を持つ二次正方行列Pが存在して
B=P^(-1)APとなることを示せ
みたいな問題で
Pに具体的に適当な成分を入れて
｢P=～とすると逆行列を持ちこのとき確かに与等式を満たすので題意は示された。｣
と書いたところ
｢十分性のみで必要性が示されていない。｣
と減点されたのですが
Pには逆行列を持つ二次正方行列という条件しか無いので
逆行列を持つように適当な成分でおいてそのようなPが存在することは自明じゃないのでしょうか？
一応、解答は等式を同値変形してPの必要十分条件を求めておりそれは理解できます
二次正方行列A,BについてA^2=Oが成り立つとき
逆行列を持つ二次正方行列Pが存在して
B=P^(-1)APとなることを示せ
みたいな問題で
Pに具体的に適当な成分を入れて
｢P=～とすると逆行列を持ちこのとき確かに与等式を満たすので題意は示された。｣
と書いたところ
｢十分性のみで必要性が示されていない。｣
と減点されたのですが
Pには逆行列を持つ二次正方行列という条件しか無いので
逆行列を持つように適当な成分でおいてそのようなPが存在することは自明じゃないのでしょうか？
一応、解答は等式を同値変形してPの必要十分条件を求めておりそれは理解できます
君の解答や問題や模範解答がはしょられてるからいまいちわからんが
>Pには逆行列を持つ二次正方行列という条件しか無いので
逆行列を持つように適当な成分でおいてそのようなPが存在することは自明じゃないのでしょうか
必要性というのはそういう意味じゃなく、
君が具体的に示した行列以外に条件を満たす行列が無いということを示せってことじゃないの
問題文をどれだけはしょってるのかわからんが、
その問題文だけだと、Ｐが存在するということさえ示せばいいって意味にもとれるけど
まぁ数学は普通必要十分条件だしな
>Pには逆行列を持つ二次正方行列という条件しか無いので
逆行列を持つように適当な成分でおいてそのようなPが存在することは自明じゃないのでしょうか
必要性というのはそういう意味じゃなく、
君が具体的に示した行列以外に条件を満たす行列が無いということを示せってことじゃないの
問題文をどれだけはしょってるのかわからんが、
その問題文だけだと、Ｐが存在するということさえ示せばいいって意味にもとれるけど
まぁ数学は普通必要十分条件だしな
問題で省いたのは
A=a1
bc
a,b,cは実数
B=01
00
だけです
読みにくくてすみません
>その問題文だけだと、Ｐが存在するということさえ示せばいいって意味にもとれるけど
そう思いました
A=a1
bc
a,b,cは実数
B=01
00
だけです
読みにくくてすみません
>その問題文だけだと、Ｐが存在するということさえ示せばいいって意味にもとれるけど
そう思いました
それ超絶重要な情報だぜ
じゃないとAが任意なのかBが任意なのか分からないからな
じゃないとAが任意なのかBが任意なのか分からないからな
論理学的に
「A^2=Oを満たす」⇔「B=P^(-1)APとなる、ある正則行列Pが存在する」
を証明すればいいんだけど
→の証明：A^2=Oからb=-a^2、c=-a。このときP=(1 1; -a 1-a)というPが存在してB=P^(-1)APとなるからOK
←の証明：B=P^(-1)APからA=PBP^(-1)。A^2=PB^2P^(-1)=O(∵B^2=O)よってA^2=O
→の証明で使えることは「A^2=O」だけ、逆に←で使えるのは「B=P^(-1)APとなるPが存在する」ということだけ
443は←しか答えになってないね。Pがはじめから存在するって決め付けちゃだめ
「A^2=Oを満たす」⇔「B=P^(-1)APとなる、ある正則行列Pが存在する」
を証明すればいいんだけど
→の証明：A^2=Oからb=-a^2、c=-a。このときP=(1 1; -a 1-a)というPが存在してB=P^(-1)APとなるからOK
←の証明：B=P^(-1)APからA=PBP^(-1)。A^2=PB^2P^(-1)=O(∵B^2=O)よってA^2=O
→の証明で使えることは「A^2=O」だけ、逆に←で使えるのは「B=P^(-1)APとなるPが存在する」ということだけ
443は←しか答えになってないね。Pがはじめから存在するって決め付けちゃだめ
443の問題文なら→だけでいいんでは？
成分を具体的に与えてるんだから存在してるのは当たり前
むしろ突っ込むとすれば正則性をちゃんと言っているかだろう
成分を具体的に与えてるんだから存在してるのは当たり前
むしろ突っ込むとすれば正則性をちゃんと言っているかだろう
存在証明なんだから具体例挙げればいいだけだろ
>>447
素直に読むと
「A^2=Oを満たす」→「B=P^(-1)APとなる、ある正則行列Pが存在する」
と読める
>443は←しか答えになってないね。Pがはじめから存在するって決め付けちゃだめ
そうか？むしろ443のは
A^2=Oからb=-a^2、c=-a。このときP=(1 1; -a 1-a)というPが存在してB=P^(-1)APとなるからOK
こっちだと思うけど
まぁ採点基準が必要性の証明を求めてるなら、必要十分で解くべきだったって話だが
素直に読むと
「A^2=Oを満たす」→「B=P^(-1)APとなる、ある正則行列Pが存在する」
と読める
>443は←しか答えになってないね。Pがはじめから存在するって決め付けちゃだめ
そうか？むしろ443のは
A^2=Oからb=-a^2、c=-a。このときP=(1 1; -a 1-a)というPが存在してB=P^(-1)APとなるからOK
こっちだと思うけど
まぁ採点基準が必要性の証明を求めてるなら、必要十分で解くべきだったって話だが
x>0 y>0 x+y=1 xyの最大値1/4（これは問題の途中で求めた）の時に
(1/x)+(4/y) の最小値を求めろという問題なのですが
相加相乗平均の式を使って
(1/x)+(4/y) ≧ 2√(4/xy)
という様にして、xyの最大値が 1/4 なので、
それを代入して右辺の値が８だから、最小値８とならないのは何故でしょうか。
(1/x)+(4/y) の最小値を求めろという問題なのですが
相加相乗平均の式を使って
(1/x)+(4/y) ≧ 2√(4/xy)
という様にして、xyの最大値が 1/4 なので、
それを代入して右辺の値が８だから、最小値８とならないのは何故でしょうか。
(1/x)+(4/y) ≧2√(4/xy)
の等号成立条件と
1/xy≧4
の等号成立条件が一致してないんでは。
の等号成立条件と
1/xy≧4
の等号成立条件が一致してないんでは。
「ｘｙ平面上で３点すべてが有理点である正三角形は存在しないことを証明せよ（√３が無理数だということは証明せずに用いてもよい）」
という問題で、２点を（０，０）、（ａ，０）と置くと、残りの１点は（ａ／２，±√３ａ／２）になるって方針で解答してもおｋですか？
解答例には、１次変換を用いたものと、座標を（Ｘ１，Ｙ１）（Ｘ２，Ｙ２）（Ｘ３，Ｙ３）として背理法で解くものの２つしかありませんでした
という問題で、２点を（０，０）、（ａ，０）と置くと、残りの１点は（ａ／２，±√３ａ／２）になるって方針で解答してもおｋですか？
解答例には、１次変換を用いたものと、座標を（Ｘ１，Ｙ１）（Ｘ２，Ｙ２）（Ｘ３，Ｙ３）として背理法で解くものの２つしかありませんでした
>>453
どうして、x軸に平行な辺を持たない場合についてはどのような方針で？
どうして、x軸に平行な辺を持たない場合についてはどのような方針で？
455 ：大学への名無しさん：2010/02/03(水) 19:22:31 ID:5sydjApO0
すいません。多項式P（ｘ）を（ｘ－１）×（ｘ＋２）で割ると余りが３ｘ－１
である。P（ｘ）を（ｘ－１）および（ｘ＋２）で割ったときの余りを求めよ。
という問題の解き方を教えて下さい。答えは、２、－７です。
である。P（ｘ）を（ｘ－１）および（ｘ＋２）で割ったときの余りを求めよ。
という問題の解き方を教えて下さい。答えは、２、－７です。
>>455
>多項式P（ｘ）を（ｘ－１）×（ｘ＋２）で割ると余りが３ｘ－１である。
商をQ(x)としてP(x) が何に等しくなるか書いてみよ。
>P（ｘ）を…（ｘ＋２）で割ったときの余り
剰余の定理は習ってるね? 上の結果にそれを適用。
>多項式P（ｘ）を（ｘ－１）×（ｘ＋２）で割ると余りが３ｘ－１である。
商をQ(x)としてP(x) が何に等しくなるか書いてみよ。
>P（ｘ）を…（ｘ＋２）で割ったときの余り
剰余の定理は習ってるね? 上の結果にそれを適用。
>>454
２点がｘ軸に重なるように、ｘ・ｙ軸を設定したんですがマズいですかね？
２点がｘ軸に重なるように、ｘ・ｙ軸を設定したんですがマズいですかね？
459 ：大学への名無しさん：2010/02/03(水) 20:59:38 ID:lXe53pzw0
455 ：大学への名無しさん：2010/02/03(水) 19:22:31 ID:5sydjApO0
＞＞すいません。多項式P（ｘ）を（ｘ－１）×（ｘ＋２）で割ると余りが３ｘ－１
である。P（ｘ）を（ｘ－１）および（ｘ＋２）で割ったときの余りを求めよ。
という問題の解き方を教えて下さい。答えは、２、－７です。
４５５ですが、P(x)＝（ｘ－１）×（ｘ＋２）×Q＋（３ｘ＋１）
となり、題意よりｘ＝１、－２となり、それぞれ代入するということで
よろしいのでしょうか？
＞＞すいません。多項式P（ｘ）を（ｘ－１）×（ｘ＋２）で割ると余りが３ｘ－１
である。P（ｘ）を（ｘ－１）および（ｘ＋２）で割ったときの余りを求めよ。
という問題の解き方を教えて下さい。答えは、２、－７です。
４５５ですが、P(x)＝（ｘ－１）×（ｘ＋２）×Q＋（３ｘ＋１）
となり、題意よりｘ＝１、－２となり、それぞれ代入するということで
よろしいのでしょうか？
>>459
> P(x)＝（ｘ－１）×（ｘ＋２）×Q＋（３ｘ-１）
Qと書くと単なる定数のように見えてよろしくない。商もまたxの式なのだから
Q(x)と書くべき。だが、考え方はそれでおけ。元の問題や答えからすると
最後の()の中身は上に直したように3ｘ-1だね。
>題意よりｘ＝１、－２となり、それぞれ代入するということで
これも前半が数学の答案の表現として意味を成してないけど、やることはそれでいい。
剰余の定理よりP(x)をx-1で割った時のあまりはP(1)として求めることができ、
上の形で書いたP(x)にx=1を代入すると
P(1)=(1-1)(1+2)Q(1) + 3*1-1 = 0 + 3*1-1 =2
Q(1)がどんな数であろうと、1-1=0が掛かってる部分で、前半部分が0になっちゃうのがミソ。
> P(x)＝（ｘ－１）×（ｘ＋２）×Q＋（３ｘ-１）
Qと書くと単なる定数のように見えてよろしくない。商もまたxの式なのだから
Q(x)と書くべき。だが、考え方はそれでおけ。元の問題や答えからすると
最後の()の中身は上に直したように3ｘ-1だね。
>題意よりｘ＝１、－２となり、それぞれ代入するということで
これも前半が数学の答案の表現として意味を成してないけど、やることはそれでいい。
剰余の定理よりP(x)をx-1で割った時のあまりはP(1)として求めることができ、
上の形で書いたP(x)にx=1を代入すると
P(1)=(1-1)(1+2)Q(1) + 3*1-1 = 0 + 3*1-1 =2
Q(1)がどんな数であろうと、1-1=0が掛かってる部分で、前半部分が0になっちゃうのがミソ。
nは自然数である
2^n＋1が15では割り切れないこと数学的帰納法で証明せよ
がわかりません
2^n＋1が15では割り切れないこと数学的帰納法で証明せよ
がわかりません
a[n+4]≡a[n](mod15)を示して
a[1],a[2],a[3],a[4]が15で割り切れなければ
以下帰納的にa[n]は15で割り切れない
ってのが自然なような。
a[1],a[2],a[3],a[4]が15で割り切れなければ
以下帰納的にa[n]は15で割り切れない
ってのが自然なような。
y=-x について対称移動する変換についての証明の仕方について質問です
この変換 で （ｘ、ｙ）→ （ｘ’、ｙ’）として、 ｘ＝cosθ ｙ＝sinθ
とすると ｘ’＝cos（-θ-90度）=-sinθ=-ｙ ｙ’=（-θ-90度）=-cosθ=-ｘ
と考えたのですが、これでいいのでしょうか 他に方法があったら教えてください。
この変換 で （ｘ、ｙ）→ （ｘ’、ｙ’）として、 ｘ＝cosθ ｙ＝sinθ
とすると ｘ’＝cos（-θ-90度）=-sinθ=-ｙ ｙ’=（-θ-90度）=-cosθ=-ｘ
と考えたのですが、これでいいのでしょうか 他に方法があったら教えてください。
465 ：大学への名無しさん：2010/02/04(木) 00:14:42 ID:Emp8tpGX0
x^log{10}(x^2)=(10x)^1/3
xを求めよ。
がまったくわかりません。
めんどくさいと思いますが教えてください。
xを求めよ。
がまったくわかりません。
めんどくさいと思いますが教えてください。
x>0とする
両辺の常用対数を取って整理するとlog{10}(x)が幾つかあるから
log{10}(x)=tとでも置いて整理してみたらどうか
tの2次方程式ができるだろう
両辺の常用対数を取って整理するとlog{10}(x)が幾つかあるから
log{10}(x)=tとでも置いて整理してみたらどうか
tの2次方程式ができるだろう
467 ：大学への名無しさん：2010/02/04(木) 02:22:55 ID:sh4ZAWai0
>>463
mod3として
nが奇数のとき 2^n+1≡-1+1≡0 偶数のとき 2^n+1≡2
mod5として
2^nは2,4,3,1を繰り返す。2^n+1≡0となるこのnは偶数
よって2^n+1を3でも5でも割切るnは存在しない。
mod3として
nが奇数のとき 2^n+1≡-1+1≡0 偶数のとき 2^n+1≡2
mod5として
2^nは2,4,3,1を繰り返す。2^n+1≡0となるこのnは偶数
よって2^n+1を3でも5でも割切るnは存在しない。
468 ：大学への名無しさん：2010/02/04(木) 02:32:06 ID:sh4ZAWai0
>>464
何を証明するのだろうか。以下原点を通る直線による対称移動の表示行列の得方
その1
r(cosα, sinα)を変換するとr(cosβ,sinβ)になるとする
(α+β)/2=γ(γはy=-xがx軸となす角度で3π/4。ここでは一般化する。)
r(cosβ,sinβ)=r(cos(2γ-α), sin(2γ-β))
加法定理で展開してr(cosα sinβ)をくり出せば目的の表示行列を得る
その2
また、傾きmの場合、座標平面上の任意の点はs,tをパラメータとして
OX↑=s(1,m)+t(m,-1)と表せる。y=mxについて対称移動すると
OX'↑=s(1,m)-t(m,-1)に移る。s,tを消去すれば目的の行列を得る。
何を証明するのだろうか。以下原点を通る直線による対称移動の表示行列の得方
その1
r(cosα, sinα)を変換するとr(cosβ,sinβ)になるとする
(α+β)/2=γ(γはy=-xがx軸となす角度で3π/4。ここでは一般化する。)
r(cosβ,sinβ)=r(cos(2γ-α), sin(2γ-β))
加法定理で展開してr(cosα sinβ)をくり出せば目的の表示行列を得る
その2
また、傾きmの場合、座標平面上の任意の点はs,tをパラメータとして
OX↑=s(1,m)+t(m,-1)と表せる。y=mxについて対称移動すると
OX'↑=s(1,m)-t(m,-1)に移る。s,tを消去すれば目的の行列を得る。
>>466 ありがとうございます。解決しました。
高１ですが
L1:(x,y,z)=(1,1,0)+s(1,1,-1)
L2:(x,y,z)=(-1,1,-2)+t(0,-2,1)
がある
(1)L2 上の点A(-1,1,-2)からL1へおろした垂線の足Ｈの座標を求めよ
(2)L1 L2 上にそれぞれ点P,Qをとるとき、線分ＰＱの長さの最小値を求めよ
これを解説してくれませんか
L1:(x,y,z)=(1,1,0)+s(1,1,-1)
L2:(x,y,z)=(-1,1,-2)+t(0,-2,1)
がある
(1)L2 上の点A(-1,1,-2)からL1へおろした垂線の足Ｈの座標を求めよ
(2)L1 L2 上にそれぞれ点P,Qをとるとき、線分ＰＱの長さの最小値を求めよ
これを解説してくれませんか
472 ：大学への名無しさん：2010/02/04(木) 23:32:56 ID:g6+EK+gm0
あげ
ttp://gyazo.com/616d74931d7534115d87c77f08a6a5bd.png
この問題なのですが、
3を右辺に移行した後対数を取って整理すると
(3x+1)-2x+x=1となり、
x=0しか答えが出ません
答えを見ると-1、0、1なのですが、どこが間違っていますか？
この問題なのですが、
3を右辺に移行した後対数を取って整理すると
(3x+1)-2x+x=1となり、
x=0しか答えが出ません
答えを見ると-1、0、1なのですが、どこが間違っていますか？
1≦x≦22,1≦y≦log_{2}(x)を満たす整数(x,y)はいくつ存在するか。
手のつけようがないので解説お願いします。
手のつけようがないので解説お願いします。
パっと見で答えるから他にいいやり方あるかもしれんが、logが整数になるようなＸで区切ればいいんじゃね
Ｘ＝１のとき不適
Ｘ＝２、３のときＹ＝１
Ｘ＝４～７のときＹ＝１、２
Ｘ＝８～１５のときＹ＝１～３
Ｘ＝１６～２２のときＹ＝１～４
あとはこの組み合わせを数えたら出る
Ｘ＝１のとき不適
Ｘ＝２、３のときＹ＝１
Ｘ＝４～７のときＹ＝１、２
Ｘ＝８～１５のときＹ＝１～３
Ｘ＝１６～２２のときＹ＝１～４
あとはこの組み合わせを数えたら出る
477 ：大学への名無しさん：2010/02/06(土) 06:04:50 ID:D1cTsilc0
>>475
集合 {(x,y)|x, y∈Z, 1≦x≦22, 2^y≦x, 1≦y}の元の数
yを固定するとxは2^y, 2^y+1, ..., 22 (2^y≦22) の23-2^y通り
yは1から4までの整数をとる。答えはΣ(23-2^y)でyを1から4まで動かす。
92-30=62が答え。
たいていはxかyを固定して数え上げ、それを足し合わせる。
集合 {(x,y)|x, y∈Z, 1≦x≦22, 2^y≦x, 1≦y}の元の数
yを固定するとxは2^y, 2^y+1, ..., 22 (2^y≦22) の23-2^y通り
yは1から4までの整数をとる。答えはΣ(23-2^y)でyを1から4まで動かす。
92-30=62が答え。
たいていはxかyを固定して数え上げ、それを足し合わせる。
478 ：大学への名無しさん：2010/02/06(土) 06:08:31 ID:D1cTsilc0
>>471
(1)Hはまずsで成分表示。そしてAH↑はL_1の方向ベクトル(1,1,-1)に垂直。
これでsは決定する。
(2)PQ↑がそれぞれの直線の方向ベクトルに垂直になるときPQは最小となる。
s,tでそのまま計算し、垂直条件から内積が0になるようにs,tを見つければいい。
(1)Hはまずsで成分表示。そしてAH↑はL_1の方向ベクトル(1,1,-1)に垂直。
これでsは決定する。
(2)PQ↑がそれぞれの直線の方向ベクトルに垂直になるときPQは最小となる。
s,tでそのまま計算し、垂直条件から内積が0になるようにs,tを見つければいい。
赤ﾁｬｰﾄ Ⅰ＋Aの p.127 練習148について
この理解の仕方があっているかどうかについて質問させていただきます。
■問題■
すべての実数x, yに対して、
x^2+4xy+4y^2+10x+ay+b > 0
が常に成り立つために定数a, bの満たすべき条件を求めよ
■解答■
与式をxについて整理すると
x^2+2(2y+5)x+4y^2+ay+b > 0 ― ①
①について
D/4 = (2y+5)^2-(4y^2+ay+b)
= (20-a)y+25-b
すべての実数x, yについて、①が常に成り立つための条件は
D < 0
すなわち
(20-a)y+25-b < 0 ― ④
がすべての実数yについて成り立つことである。 ― ②
よって
20-a = 0 かつ 25-b < 0 ― ③
したがって、
a = 20 、 b > 25
■質問■
②か③への移行について伺います。
②が即ち③となることについて、
「yが残ると最終的にyの不等式ができるため、すべての実数yについて成り立たない。
よってyの係数を =0 にし、yの項が消えたところで残りの25-bが < 0 となるようにする」
という考え方で問題なく合っているでしょうか。
ご教授お願いいたします。
この理解の仕方があっているかどうかについて質問させていただきます。
■問題■
すべての実数x, yに対して、
x^2+4xy+4y^2+10x+ay+b > 0
が常に成り立つために定数a, bの満たすべき条件を求めよ
■解答■
与式をxについて整理すると
x^2+2(2y+5)x+4y^2+ay+b > 0 ― ①
①について
D/4 = (2y+5)^2-(4y^2+ay+b)
= (20-a)y+25-b
すべての実数x, yについて、①が常に成り立つための条件は
D < 0
すなわち
(20-a)y+25-b < 0 ― ④
がすべての実数yについて成り立つことである。 ― ②
よって
20-a = 0 かつ 25-b < 0 ― ③
したがって、
a = 20 、 b > 25
■質問■
②か③への移行について伺います。
②が即ち③となることについて、
「yが残ると最終的にyの不等式ができるため、すべての実数yについて成り立たない。
よってyの係数を =0 にし、yの項が消えたところで残りの25-bが < 0 となるようにする」
という考え方で問題なく合っているでしょうか。
ご教授お願いいたします。
>>479
×最終的にyの不等式ができるため、
○最終的にｙの「1次」不等式ができるため
別にｙという文字に関しての不等式であっても、全ての実数ｙに関して
成り立つものは作れるわけで。y^2+1>0みたいに。
> (20-a)y+25-b < 0 ― ④
> がすべての実数yについて成り立つことである。
1次関数z=(20-a)y+(25-b) がどんな実数yについても、
y軸に触れたりその上に行ったりしないんだったら、
傾き0でz切片が負、って場合しかないわなぁ。そういうこと。
(傾き0の定数関数は、中高では慣習的に「1次関数」の内に入れているはず)
×最終的にyの不等式ができるため、
○最終的にｙの「1次」不等式ができるため
別にｙという文字に関しての不等式であっても、全ての実数ｙに関して
成り立つものは作れるわけで。y^2+1>0みたいに。
> (20-a)y+25-b < 0 ― ④
> がすべての実数yについて成り立つことである。
1次関数z=(20-a)y+(25-b) がどんな実数yについても、
y軸に触れたりその上に行ったりしないんだったら、
傾き0でz切片が負、って場合しかないわなぁ。そういうこと。
(傾き0の定数関数は、中高では慣習的に「1次関数」の内に入れているはず)
>>479
そう考えてもいいし、左辺をyの1次関数だと考えてもいいよ。
それがいつでも正なのはグラフの傾きが0のときだけ。
ちなみに元々の問題も、左辺をまずxの2次関数とみて平方完成。
で、残った部分をyの2次関数とみて平方完成、でもできるよ。
そう考えてもいいし、左辺をyの1次関数だと考えてもいいよ。
それがいつでも正なのはグラフの傾きが0のときだけ。
ちなみに元々の問題も、左辺をまずxの2次関数とみて平方完成。
で、残った部分をyの2次関数とみて平方完成、でもできるよ。
>>480
>>481
ありがとうございます。理解することができました。
>>481
与式をx, yそれぞれについて平方完成しようと試みましたが、
yの２次の項が相殺され、yについての平方完成ができなくなりました。
これはこの問題を例にとるのが悪かったでしょうか。
あと、独学者がその特有の危うさの回避の為に出来ることが、
こちらでの質問以外に何かございますでしょうか。
>>481
ありがとうございます。理解することができました。
>>481
与式をx, yそれぞれについて平方完成しようと試みましたが、
yの２次の項が相殺され、yについての平方完成ができなくなりました。
これはこの問題を例にとるのが悪かったでしょうか。
あと、独学者がその特有の危うさの回避の為に出来ることが、
こちらでの質問以外に何かございますでしょうか。
>>474
log(ab)=log(a)+log(b)ですよね？それで計算したのですが・・
log(ab)=log(a)+log(b)ですよね？それで計算したのですが・・
484 ：大学への名無しさん：2010/02/06(土) 16:43:11 ID:pgg959CX0
放物線 y=5/8x^2 と点Ａ（０,２）を中心とする縁が異なる２点で接するとき
この円と放物線で囲まれる部分の面積を求めよ
だたし、円と放物線が共有点Ｐで接するとは、その点で同じ接線をもつということである
という問題なのですが。疑問点を一つずつ書いていきます
放物線上の点Ｐ（ｔ, 5/8t^2）における接線ｌの傾きは5/4tであり
ＡＰ⊥ｌ＝－１となっているのですが、どうしてー１になるのかよくわかりません。計算式が全然・・・
その後に、いきなり5/8x（βーα）^3/6+1/2（βーα）・4/5-1/3π（8/5）^2
など面積公式が出てきてさっぱりわかりません・・・どんなプロセスというか・・・そこにある本質？なぜ面積公式が出てきて、どことどこを引いているのかなど
解説に全く書かれてないのでちょっと行き詰ってます。
どなたか解説をしてくれないでしょうか？お願いします。
この円と放物線で囲まれる部分の面積を求めよ
だたし、円と放物線が共有点Ｐで接するとは、その点で同じ接線をもつということである
という問題なのですが。疑問点を一つずつ書いていきます
放物線上の点Ｐ（ｔ, 5/8t^2）における接線ｌの傾きは5/4tであり
ＡＰ⊥ｌ＝－１となっているのですが、どうしてー１になるのかよくわかりません。計算式が全然・・・
その後に、いきなり5/8x（βーα）^3/6+1/2（βーα）・4/5-1/3π（8/5）^2
など面積公式が出てきてさっぱりわかりません・・・どんなプロセスというか・・・そこにある本質？なぜ面積公式が出てきて、どことどこを引いているのかなど
解説に全く書かれてないのでちょっと行き詰ってます。
どなたか解説をしてくれないでしょうか？お願いします。
485 ：大学への名無しさん：2010/02/06(土) 16:44:01 ID:0qYm6wxB0
数Ⅲの関数のグラフの第二次導関数についての質問です
y=f(x)において f''(x)がプラス、マイナスになるのを調べるのって
f''(x)=0になる解をみつけてから、どうやってしらべるのでしょうか
ヨロシクお願いします。
y=f(x)において f''(x)がプラス、マイナスになるのを調べるのって
f''(x)=0になる解をみつけてから、どうやってしらべるのでしょうか
ヨロシクお願いします。
486 ：大学への名無しさん：2010/02/06(土) 16:59:28 ID:D1cTsilc0
>>484
>ＡＰ⊥ｌ＝－１
中学の内容だった気がするけど
直線L1とL2が垂直をなしているとき、
(L1とL2の傾きの積)=-1が成立する。
>5/8x（βーα）^3/6+1/2（βーα）・4/5-1/3π（8/5）^2
β-αが頻出する形から見ると、(円の下側の方程式-x^2)を積分してるのかな?
表記の仕方が微妙なせいでよくわからない。
α、βが何なのかもかいてないし
5/8x（βーα）^3/6のxとか^3/6とか何表してるのかよくわからないし。
自分は台形からくりぬいて計算した結果
(48√3/25) -(64π/75)になった。
>ＡＰ⊥ｌ＝－１
中学の内容だった気がするけど
直線L1とL2が垂直をなしているとき、
(L1とL2の傾きの積)=-1が成立する。
>5/8x（βーα）^3/6+1/2（βーα）・4/5-1/3π（8/5）^2
β-αが頻出する形から見ると、(円の下側の方程式-x^2)を積分してるのかな?
表記の仕方が微妙なせいでよくわからない。
α、βが何なのかもかいてないし
5/8x（βーα）^3/6のxとか^3/6とか何表してるのかよくわからないし。
自分は台形からくりぬいて計算した結果
(48√3/25) -(64π/75)になった。
>>486
やっぱそうなんですか。回答ありがとうございます。
やっぱそうなんですか。回答ありがとうございます。
490 ：大学への名無しさん：2010/02/06(土) 17:13:58 ID:D1cTsilc0
>>484
5/4tは5/(4t)に見える。^3/6は^(1/2)に見える。表記がずさん。
直交する直線の傾きの積は-1
(t,5tt/8)を通り傾き4/5tの直線が(0,2)を通るとしてtを得る。
2接点をB,Cとして、直線BCと放物線の囲む面積を1/6公式で求め、
三角形ABCの面積と足し、扇形ABCの面積を引けば答えを得る。
5/4tは5/(4t)に見える。^3/6は^(1/2)に見える。表記がずさん。
直交する直線の傾きの積は-1
(t,5tt/8)を通り傾き4/5tの直線が(0,2)を通るとしてtを得る。
2接点をB,Cとして、直線BCと放物線の囲む面積を1/6公式で求め、
三角形ABCの面積と足し、扇形ABCの面積を引けば答えを得る。
>5/4tは5/(4t)に見える。
5/(4t) って書きたかったら 5/(4t) って書くだろうに
ま、わからんでもないが
>^3/6は^(1/2)に見える。
これはありえない
まず指数を計算して、次に除法を計算するってルールからして
（βーα）^3/6
は一通りにしか解釈できない、ただのいちゃもん
^(1/2)を表現したいのなら、^(1/2) としか表現できない
5/(4t) って書きたかったら 5/(4t) って書くだろうに
ま、わからんでもないが
>^3/6は^(1/2)に見える。
これはありえない
まず指数を計算して、次に除法を計算するってルールからして
（βーα）^3/6
は一通りにしか解釈できない、ただのいちゃもん
^(1/2)を表現したいのなら、^(1/2) としか表現できない
円と直線の共有点を出すには、連立方程式にして出すしか方法はないのでしょうか？
>>492
値が特別のときなら図形的に見当が付くことだってあるし、
xとyの連立方程式ではない形で解ける場合だってある(ただしそれには
数II三角関数とか数C行列とかが要る)が、
どんな場合(値)でも使えて計算コストが平均して低いのは、連立方程式から
1文字消去して2次方程式に持ち込む方法じゃないかなぁ。
値が特別のときなら図形的に見当が付くことだってあるし、
xとyの連立方程式ではない形で解ける場合だってある(ただしそれには
数II三角関数とか数C行列とかが要る)が、
どんな場合(値)でも使えて計算コストが平均して低いのは、連立方程式から
1文字消去して2次方程式に持ち込む方法じゃないかなぁ。
>>482
> yの２次の項が相殺され、yについての平方完成ができなくなりました。
ほんとだね、元の式をよく見てなかった、ごめん。
あの時点で的確な質問をしてる時点で、独学社特有の危うさをクリアして
いると思うけど……？
> yの２次の項が相殺され、yについての平方完成ができなくなりました。
ほんとだね、元の式をよく見てなかった、ごめん。
あの時点で的確な質問をしてる時点で、独学社特有の危うさをクリアして
いると思うけど……？
495 ：大学への名無しさん：2010/02/06(土) 21:35:14 ID:D1cTsilc0
>>491
エスパーはしかるべくしてするものではない。
ab/cとあればabが分子、a/bcとあればaが分子。
a/bcとあって(a/b)cと解釈するのは感覚がゆがんでる
指数の方は、そうかもな。読み手にあまりに不親切な式だから
疑いやすくなってたのかもしれない。
エスパーはしかるべくしてするものではない。
ab/cとあればabが分子、a/bcとあればaが分子。
a/bcとあって(a/b)cと解釈するのは感覚がゆがんでる
指数の方は、そうかもな。読み手にあまりに不親切な式だから
疑いやすくなってたのかもしれない。
496 ：大学への名無しさん：2010/02/06(土) 21:36:11 ID:D1cTsilc0
google電卓に聞いたら俺が間違ってるっぽいんだけど
>>494
ご返答ありがとうございます。
特有の危うさというのは例えば今回のご質問でも
書き込むまでは、質問の必要などない些細な疑問だと思っておりました。
しかしいざ教えていただくと、>>480 のように
自分では気付けていなかった事があるとわかりました。
このように、自分自身では質問する必要が無いと思っていることでも、
本当は気付き切れていないことがまだたくさんあるのではないかと
心配になりました。
その度にこのｽﾚをお借りするのも一つですが、
枝葉末節の質問をその度に書き込むのも少し憚られるかと思いまして。
ご返答ありがとうございます。
特有の危うさというのは例えば今回のご質問でも
書き込むまでは、質問の必要などない些細な疑問だと思っておりました。
しかしいざ教えていただくと、>>480 のように
自分では気付けていなかった事があるとわかりました。
このように、自分自身では質問する必要が無いと思っていることでも、
本当は気付き切れていないことがまだたくさんあるのではないかと
心配になりました。
その度にこのｽﾚをお借りするのも一つですが、
枝葉末節の質問をその度に書き込むのも少し憚られるかと思いまして。
A=1/n
ｎ
B=∑(k/n)^5
k=1
lim (A*B)
n→∞
＝(1,0)∫x^5 dx
になるのは何故ですか？
ｎ
B=∑(k/n)^5
k=1
lim (A*B)
n→∞
＝(1,0)∫x^5 dx
になるのは何故ですか？
>>493
ふむふむ、有難うございました
ふむふむ、有難うございました
500 ：大学への名無しさん：2010/02/07(日) 00:48:44 ID:0iSzmoT60
>>498
ただの区分求積法じゃん どこがわからないの？
ただの区分求積法じゃん どこがわからないの？
>>500
ありがとうございました ；_；
ありがとうございました ；_；
502 ：大学への名無しさん：2010/02/07(日) 01:47:51 ID:0iSzmoT60
区分求積法なんて、∑の前にn→∞がついてる時ちょっと気をつけるだけでいいんだから泣くなよ
503 ：大学への名無しさん：2010/02/07(日) 01:54:41 ID:jICYqWJa0
座標平面上にP(3,4) Q(12,5)をとる
原点Oから2点P,Qを通る直線に下ろした垂線をOHとするとき
点Hの座標は(a,b)である。a,bを求めよ。
この問題について、点と直線の距離の公式でOHの長さ(33/√82)を出した後
Hの座標の求め方がわかりません。OHの長さを出すこと自体が間違っていますか？
ご教示お願いします。
原点Oから2点P,Qを通る直線に下ろした垂線をOHとするとき
点Hの座標は(a,b)である。a,bを求めよ。
この問題について、点と直線の距離の公式でOHの長さ(33/√82)を出した後
Hの座標の求め方がわかりません。OHの長さを出すこと自体が間違っていますか？
ご教示お願いします。
506 ：大学への名無しさん：2010/02/07(日) 02:05:43 ID:jICYqWJa0
>>505
ありがとうございました。その方法で良いみたいです
ありがとうございました。その方法で良いみたいです
質問です
ｒ=cos3θ（山葉線）で ｒ=f(θ）としてf(-θ）=f(θ） f(π/3-θ）=-f(θ）
f(2π/3-θ）=f(θ）となることはわかりました．
ところが、この曲線が3直線 θ=0 （これはわかります。）
θ=π/3、θ=2π/3 に関して対称であることが、見えてきません。
教えてください。
ｒ=cos3θ（山葉線）で ｒ=f(θ）としてf(-θ）=f(θ） f(π/3-θ）=-f(θ）
f(2π/3-θ）=f(θ）となることはわかりました．
ところが、この曲線が3直線 θ=0 （これはわかります。）
θ=π/3、θ=2π/3 に関して対称であることが、見えてきません。
教えてください。
f(π/3 + θ)=f(π/3 - θ)
を計算してみたらいいんじゃないのかな
cos(3θ+3π)=-cos3θ
cos(-3θ+3π)=-cos3θ
だからθ=π/3で対称
を計算してみたらいいんじゃないのかな
cos(3θ+3π)=-cos3θ
cos(-3θ+3π)=-cos3θ
だからθ=π/3で対称
すいません、自己解決しました。
f(π/3+θ）=-f(-θ）=-f(θ）= f(π/3-θ）
f(2π/3+θ）=f(-θ）=f(θ）= f(2π/3-θ）
と考えればいいのですね。
f(π/3+θ）=-f(-θ）=-f(θ）= f(π/3-θ）
f(2π/3+θ）=f(-θ）=f(θ）= f(2π/3-θ）
と考えればいいのですね。
質問させてもらいます。
99＾100 と 100＾99 の大小比較って f(x)=logx/x とおいて微分で考える以外の方法で
できますか？出来れば1A2Bまでの範囲でお願いします。
99＾100 と 100＾99 の大小比較って f(x)=logx/x とおいて微分で考える以外の方法で
できますか？出来れば1A2Bまでの範囲でお願いします。
100{(99/100)^100}
=100{(1 - 1/100)^100}と1との大小関係を二項定理を用いて示すとか。
=100{(1 - 1/100)^100}と1との大小関係を二項定理を用いて示すとか。
lim_[h→0] (f(a+2h)-f(a))/h
これを計算する時に、分母と分子に2をかけるのはわかるのですが、
そのあとに、2lim_[h→0] (f(a+2h)-f(a))/2hとなっています。
何故、limの前に2を置いたのだから、分母の2も消えるのではないのでしょうか？
これを計算する時に、分母と分子に2をかけるのはわかるのですが、
そのあとに、2lim_[h→0] (f(a+2h)-f(a))/2hとなっています。
何故、limの前に2を置いたのだから、分母の2も消えるのではないのでしょうか？
>何故、limの前に2を置いたのだから、分母の2も消える
落ち着いてもう一度考え見てたら？
元の式: lim (f(a+2h)-f(a))/h
これに、2/2=1を乗じて
lim 2(f(a+2h)-f(a))/(2h)
=2lim(f(a+2h)-f(a))/(2h)
ということだけど。
落ち着いてもう一度考え見てたら？
元の式: lim (f(a+2h)-f(a))/h
これに、2/2=1を乗じて
lim 2(f(a+2h)-f(a))/(2h)
=2lim(f(a+2h)-f(a))/(2h)
ということだけど。
516 ：大学への名無しさん：2010/02/08(月) 14:10:46 ID:CwnxZ8aq0
【教科書の記述】
「通る一点と傾きが与えられた場合」
点Ａ（x1,y1）を通り、傾きがmの方程式を求めてみよう。
切片をn とすると、その直線の方程式は y=mx+n ①
と表される。これが点Ａを通ることから y1=m(x1)+n ②
②を用いて①からnを消去すると、y-y1=m(x-x1)③
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
【質問】
③の式を求める意味と、x,yが何を表してるのかが理解できません。
通る１点（x1,y1）と傾き m が与えられたならば、
y=mx+n に代入するだけで n は求められるのに、
なぜこんな式を求める必要があるのですか？
そもそもx-x1とy-y1は何を表してるのですか？
x1とy1は通る１点の座標ですが、xとyは何なのでしょう？
引いていると言うことは、両者の距離を表してるのかと思いましたが、
それならば絶対値記号は付けなくてもいいのですか？
正直、分からないところが分からない状態なので、
理解してる人から見れば質問自体が的外れかもしれませんが、
なんとかよろしくお願いします。
「通る一点と傾きが与えられた場合」
点Ａ（x1,y1）を通り、傾きがmの方程式を求めてみよう。
切片をn とすると、その直線の方程式は y=mx+n ①
と表される。これが点Ａを通ることから y1=m(x1)+n ②
②を用いて①からnを消去すると、y-y1=m(x-x1)③
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
【質問】
③の式を求める意味と、x,yが何を表してるのかが理解できません。
通る１点（x1,y1）と傾き m が与えられたならば、
y=mx+n に代入するだけで n は求められるのに、
なぜこんな式を求める必要があるのですか？
そもそもx-x1とy-y1は何を表してるのですか？
x1とy1は通る１点の座標ですが、xとyは何なのでしょう？
引いていると言うことは、両者の距離を表してるのかと思いましたが、
それならば絶対値記号は付けなくてもいいのですか？
正直、分からないところが分からない状態なので、
理解してる人から見れば質問自体が的外れかもしれませんが、
なんとかよろしくお願いします。
>>516
そこだけ見てると教科書の記述も何をさせたいのかいまいち良くわからない
もう少し一般的に説明するとこんな感じ
xy平面上の図形Cの方程式とは
点(x.y)がその図形C上に存在しているための必要十分条件のこと
(≡点(x.y)がC上にのっかっているときに、「常に」満たしている関係式のこと)
傾きmでA(x[1],y[1])を通る直線の方程式Lを考える。
L上の、点A以外の任意の点(x.y)と点Aに着目し
y座標の差とx座標の差の商をとると常にその値はmになることから
(y-y[1])/(x-x[1])=m⇔y-y[1]=m(x-x[1])・・・・(*)
(*)を直線Lのxy平面上での方程式という
>x1とy1は通る１点の座標ですが、xとyは何なのでしょう？
上記の説明に出てきたとおりx.yとはA点以外の点で
なおかつ直線上にある任意の1点のこと。
そこだけ見てると教科書の記述も何をさせたいのかいまいち良くわからない
もう少し一般的に説明するとこんな感じ
xy平面上の図形Cの方程式とは
点(x.y)がその図形C上に存在しているための必要十分条件のこと
(≡点(x.y)がC上にのっかっているときに、「常に」満たしている関係式のこと)
傾きmでA(x[1],y[1])を通る直線の方程式Lを考える。
L上の、点A以外の任意の点(x.y)と点Aに着目し
y座標の差とx座標の差の商をとると常にその値はmになることから
(y-y[1])/(x-x[1])=m⇔y-y[1]=m(x-x[1])・・・・(*)
(*)を直線Lのxy平面上での方程式という
>x1とy1は通る１点の座標ですが、xとyは何なのでしょう？
上記の説明に出てきたとおりx.yとはA点以外の点で
なおかつ直線上にある任意の1点のこと。
lim{x→∞} -x/e^x （eは自然対数の底）
がなぜ0になるのかわかりません
詳しく教えてください
がなぜ0になるのかわかりません
詳しく教えてください
e^x>Σ(k=0.n) (x^k)/(k!) (x:正の実数, n:自然数)
を示して、この不等式からハサミうちすると
x^p/e^x →0 (x→∞) (p:正の実数)がいえる。
を示して、この不等式からハサミうちすると
x^p/e^x →0 (x→∞) (p:正の実数)がいえる。
>>515
limの前に2をもっていったら全体にかかることになるんじゃないんですか？
limの前に2をもっていったら全体にかかることになるんじゃないんですか？
>>520
>limの前に2をもっていったら全体にかかる
全体にはかからない。分子だけ
君の理屈をそのままΣで当てはめると
Σ(k=1.n)1/2
=Σ(k=1.n)2/4
=Σ(k=1.n)2(1/2)
=2Σ(k=1.n)1/2
ってことになるよ。
>limの前に2をもっていったら全体にかかる
全体にはかからない。分子だけ
君の理屈をそのままΣで当てはめると
Σ(k=1.n)1/2
=Σ(k=1.n)2/4
=Σ(k=1.n)2(1/2)
=2Σ(k=1.n)1/2
ってことになるよ。
あ…そういえばそうですね。。
8/2=2(4/2)ですもんね…。
すいませんありがとうございました！
8/2=2(4/2)ですもんね…。
すいませんありがとうございました！
523 ：大学への名無しさん：2010/02/08(月) 19:06:00 ID:CwnxZ8aq0
>>517
詳しい説明ありがとうございました。
（教科書にもこういう説明が欲しい・・・）
完璧に理解できたかは分かりませんが、
とりあえず、絶対値記号を付けないのは、
Ｌ上のＡ以外の任意の点（x,y）と点Ａとの大小関係が、
x>x1かつy>y1 の場合と、
x<x1かつy<y1 の二通り以外ありえないため、
（x-x1）（y-y1）としておけば、
仮にx1>xかつy1>yで、引く方の数が大きくなってしまっても、
割り算すれば－÷－＝プラスになるので、
絶対値記号は不要なのかな、と考えています。
x,yに関しては、最初はxy平面の全ての点を代表してるんだと勘違いしてましが、
L上のＡ以外の任意の点だったと分かれば、ある程度分かるようになりました。
詳しい説明ありがとうございました。
（教科書にもこういう説明が欲しい・・・）
完璧に理解できたかは分かりませんが、
とりあえず、絶対値記号を付けないのは、
Ｌ上のＡ以外の任意の点（x,y）と点Ａとの大小関係が、
x>x1かつy>y1 の場合と、
x<x1かつy<y1 の二通り以外ありえないため、
（x-x1）（y-y1）としておけば、
仮にx1>xかつy1>yで、引く方の数が大きくなってしまっても、
割り算すれば－÷－＝プラスになるので、
絶対値記号は不要なのかな、と考えています。
x,yに関しては、最初はxy平面の全ての点を代表してるんだと勘違いしてましが、
L上のＡ以外の任意の点だったと分かれば、ある程度分かるようになりました。
>>523 混乱するようだったら無視&忘れて。
X=x-x1、Y=y-y1 という新しい変数を考える。
座標平面でのy=0、x=0はそれぞれx軸、y軸を表すが、
Y=0、X=0はそれぞれ、もとの座標でいえば
「y座標がy1でありx軸と平行な直線」「x座標がx1でありy座標と平行な直線」を表す。
これらの交点は点A(x1,y1)である(ぜひ図を書いて確認されたし)
さて、Aを通って傾きがmの方程式は Y=mXと表せるから、
X,Yを元の文字に置き戻せば y-y1=m(x-x1)
x-x1,y-y1は、こう考えると「(x1,y1)が新しい座標原点になるように平行移動した
新しい座標系での横軸、縦軸の座標の値」を意味することになるし、
図形の方程式として束縛されれば「考えている直線の上の」そういう座標の点、ということになる。
X=x-x1、Y=y-y1 という新しい変数を考える。
座標平面でのy=0、x=0はそれぞれx軸、y軸を表すが、
Y=0、X=0はそれぞれ、もとの座標でいえば
「y座標がy1でありx軸と平行な直線」「x座標がx1でありy座標と平行な直線」を表す。
これらの交点は点A(x1,y1)である(ぜひ図を書いて確認されたし)
さて、Aを通って傾きがmの方程式は Y=mXと表せるから、
X,Yを元の文字に置き戻せば y-y1=m(x-x1)
x-x1,y-y1は、こう考えると「(x1,y1)が新しい座標原点になるように平行移動した
新しい座標系での横軸、縦軸の座標の値」を意味することになるし、
図形の方程式として束縛されれば「考えている直線の上の」そういう座標の点、ということになる。
低レベルな質問ですみません
ベクトルa、b、cについて、a＋b＋c＝0かつa・b＝b・c＝c・a＝-2
であるとき、aとbのなす角は(マークシートで3桁)°である(アルファベットには上に→がついてます)
という問題があるのですが解法がわかりません
そして、この問題の解説や答えもなく困っております。ご教示お願いします
ベクトルa、b、cについて、a＋b＋c＝0かつa・b＝b・c＝c・a＝-2
であるとき、aとbのなす角は(マークシートで3桁)°である(アルファベットには上に→がついてます)
という問題があるのですが解法がわかりません
そして、この問題の解説や答えもなく困っております。ご教示お願いします
526 ：大学への名無しさん：2010/02/08(月) 21:38:47 ID:rslmpjv/0
全然解けなくて困っています。
面倒だと思いますが解説お願いします。
一辺の長さが2の正四面体OABCがある。
辺ABを2:1に内分する点をD、線分CDの中点をEとする。
点Eから辺OCに垂線を引き、その交点をHとすると
OH↓=ア/イOC↓となる。
さらに直線OEと平面ABHとの交点をPとすると
OP↓=ウ/エOA↓+オ/カOB↓+キ/クOC↓
アイウエオカキクの値を求める問題です。
よろしくお願いします。
面倒だと思いますが解説お願いします。
一辺の長さが2の正四面体OABCがある。
辺ABを2:1に内分する点をD、線分CDの中点をEとする。
点Eから辺OCに垂線を引き、その交点をHとすると
OH↓=ア/イOC↓となる。
さらに直線OEと平面ABHとの交点をPとすると
OP↓=ウ/エOA↓+オ/カOB↓+キ/クOC↓
アイウエオカキクの値を求める問題です。
よろしくお願いします。
a+b=-c
a+c=-c
の両辺の長さの2乗を考えてみるとaの長さが分かる
a+c=-c
の両辺の長さの2乗を考えてみるとaの長さが分かる
>>526
前半はOE↑をOA↑, OB↑, OC↑で表す、OH↑=tOC↑とおく、EH↑を求める、
EH↑･OC↑=0からtを求める、で解決。
後半はOE↑をOA↑, OB↑, OC↑で表したものを前半の結果を使って変形し、
OA↑, OB↑, OH↑で表し、それらの係数の和が1、で解決。
前半はOE↑をOA↑, OB↑, OC↑で表す、OH↑=tOC↑とおく、EH↑を求める、
EH↑･OC↑=0からtを求める、で解決。
後半はOE↑をOA↑, OB↑, OC↑で表したものを前半の結果を使って変形し、
OA↑, OB↑, OH↑で表し、それらの係数の和が1、で解決。
>>525
a+b=-c
a+c=-b
すまん
>>526
OA↑をaと書く等する
OE↑=(a+2b+3c)/6
OEとOE↑・OC↑を計算すれば∠EOCがわかるから
直角三角形OEHを考えればOHがわかるはず
後半はむしろ基本問題
手早くやる方法もあるが、まずは教科書通りにやったらどうだろう
a+b=-c
a+c=-b
すまん
>>526
OA↑をaと書く等する
OE↑=(a+2b+3c)/6
OEとOE↑・OC↑を計算すれば∠EOCがわかるから
直角三角形OEHを考えればOHがわかるはず
後半はむしろ基本問題
手早くやる方法もあるが、まずは教科書通りにやったらどうだろう
531 ：大学への名無しさん：2010/02/08(月) 22:06:05 ID:rslmpjv/0
>>530
いや、正射影じゃなくて、正射影ベクトルを使えばいいんじゃないか？
OH↑＝{(OC↑･OE↑)/|OC↑|^2}OC↑={(OC↑･OE↑)/4}OC↑
{(OC↑･OE↑)/4}のところがア/イだな。
って、オレらが相談しててもしょうがないんだがｗ
いや、正射影じゃなくて、正射影ベクトルを使えばいいんじゃないか？
OH↑＝{(OC↑･OE↑)/|OC↑|^2}OC↑={(OC↑･OE↑)/4}OC↑
{(OC↑･OE↑)/4}のところがア/イだな。
って、オレらが相談しててもしょうがないんだがｗ
すべての自然数nに対して
1. a[n]>a[n+1]
2. a[n]>0
の2つの条件が成立してるとき
lim_[n→∞]a[n]は0に収束しますか？
1. a[n]>a[n+1]
2. a[n]>0
の2つの条件が成立してるとき
lim_[n→∞]a[n]は0に収束しますか？
a(n) = 1/n + α (α>0)
だといくらでも作れるね
だといくらでも作れるね
538 ：大学への名無しさん：2010/02/09(火) 10:52:37 ID:Bm+KcGKr0
変曲点を調べるのってどういう場合？
「グラフを書け」って時は必ず調べる？
それとも微分した式がもう一回微分できそうだったら必ずもう一回微分して変曲点調べる？
変曲点わからなくてもグラフ書ける場合も調べないと減点？
「グラフを書け」って時は必ず調べる？
それとも微分した式がもう一回微分できそうだったら必ずもう一回微分して変曲点調べる？
変曲点わからなくてもグラフ書ける場合も調べないと減点？
２次導関数を使うのは、複雑な関数の極大値や極小値を求める時とか、jensenの不等式関連の問題とか、媒介変数絡みの問題とか。
変曲点を求めてグラフを書けといった但し書きがある親切な大学もあるけど、東北大みたいなシビアな大学だと分からんな。
東北大はHC定理ですら証明無しだと減点らしいし。
変曲点を求めてグラフを書けといった但し書きがある親切な大学もあるけど、東北大みたいなシビアな大学だと分からんな。
東北大はHC定理ですら証明無しだと減点らしいし。
東北大の某大先生は特別だとして、普通はグラフの概形をかけとだけ言われた時は増減、極値だけで十分。
黄チャートⅢCの７９（P、１２１）
０≦ｘ≦２πのとき、ｙ＝ｘ－(√２)sinｘのグラフを書け
なんだけど、これはどうなる？
ｘ＝０、π、２πが変曲点になるんだけど、無視してざざっと書いていいのだろうか？
それとも端もふにゃってさせるべき？
ちょっと頼む
０≦ｘ≦２πのとき、ｙ＝ｘ－(√２)sinｘのグラフを書け
なんだけど、これはどうなる？
ｘ＝０、π、２πが変曲点になるんだけど、無視してざざっと書いていいのだろうか？
それとも端もふにゃってさせるべき？
ちょっと頼む
544 ：大学への名無しさん：2010/02/09(火) 13:43:06 ID:9foX4mIH0
>>543
うん・・・形は大体あってるんだけどさ
グラフを書けって問題だけど詳しく書き込まなくてもいいの？
πが変曲点だからπのあたりで少しふにゃって書かないと駄目だって考えてるんだけど
解答にはｘ＝πのときのｙの値とか書いてあるし
なんなのこれもうちょっと厳格な決まりとかないの
うん・・・形は大体あってるんだけどさ
グラフを書けって問題だけど詳しく書き込まなくてもいいの？
πが変曲点だからπのあたりで少しふにゃって書かないと駄目だって考えてるんだけど
解答にはｘ＝πのときのｙの値とか書いてあるし
なんなのこれもうちょっと厳格な決まりとかないの
心配なら全部書いとけ
547 ：大学への名無しさん：2010/02/09(火) 17:27:29 ID:9foX4mIH0
548 ：大学への名無しさん：2010/02/09(火) 18:09:14 ID:9F5EgWzM0
代数学の公理を大胆に羅列してくれ。
549 ：大学への名無しさん：2010/02/09(火) 23:16:38 ID:Eul8107a0
バームクーヘン積分を使えるところがあったらガシガシ使っていきたいと
思ってるんだけど、バームクーヘン積分を使う前置きをどうしたらいいか
悩ましいところだ
例えば「バームクーヘン積分より～」では減点されそうだ
しかし何も書かずにいきなり使ってしまうのは、どういう計算を
しているのか採点者が混乱してしまうからまずい
トンペイ大ではバームクーヘンは地雷だろうが、それ以外の大学では
使っても良さそうな気がするのだが・・・
思ってるんだけど、バームクーヘン積分を使う前置きをどうしたらいいか
悩ましいところだ
例えば「バームクーヘン積分より～」では減点されそうだ
しかし何も書かずにいきなり使ってしまうのは、どういう計算を
しているのか採点者が混乱してしまうからまずい
トンペイ大ではバームクーヘンは地雷だろうが、それ以外の大学では
使っても良さそうな気がするのだが・・・
550 ：大学への名無しさん：2010/02/10(水) 00:29:27 ID:8VUWlC5O0
参考になるか知らないがいつもこのように書いてる。
立体を図のように微小幅の円筒に分割する。
円筒は半径2πx, 高さf(x), 微小幅dxで、この円筒の体積dV=2πxf(x)dx
求める体積はこの微小体積の和であるからV=∫[a,b]dV=∫[a,b]2πxf(x)dx
立体を図のように微小幅の円筒に分割する。
円筒は半径2πx, 高さf(x), 微小幅dxで、この円筒の体積dV=2πxf(x)dx
求める体積はこの微小体積の和であるからV=∫[a,b]dV=∫[a,b]2πxf(x)dx
551 ：大学への名無しさん：2010/02/10(水) 01:13:51 ID:8VUWlC5O0
半径じゃなくて円周だった
実数kは0≦k≦2πを満たす。曲線y=√(｜x-k｜)*sin(x/2) (0≦x≦2π)とx軸とで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積をV(k)とする。
問1 V(k)を求めよ
問2 V(k)の最小値を求めよ
お願いします。
問1 V(k)を求めよ
問2 V(k)の最小値を求めよ
お願いします。
>>552
積分区間を[0, k]と[k, 2π]に分ければふつうに求まるぞ。
積分区間を[0, k]と[k, 2π]に分ければふつうに求まるぞ。
上にあった問題
100の99乗
99の100乗
の大小比較をせよ
どうやってやるのでしょうか…？
100の99乗
99の100乗
の大小比較をせよ
どうやってやるのでしょうか…？
>>554
2数の大小は、それぞれ1/9900乗にした100＾（1/100）と99＾(1/99)の大小と一致。
さらに自然対数を取って、(log100)/100と(log99)/99の大小と一致。
ということで関数f(x)=(logx)/xの挙動を調べて一件落着。
誘導をつければ教科書の章末クラス(実際に載せてる教科書もある)の典型問題だけど、
自力で一から思いつくのは確かに厳しい、つか自分には無理。
評価しやすいように、同じ値を一方に寄せるには→1/9900乗にすればいい
x^(1/x)の導関数がわかりゃいいけど面倒
→どうせ対数微分法が要りそうだし、だったらlog取った状態で評価
てな考え方だなぁと事後的に思いつくので精一杯かなあｌ。
2数の大小は、それぞれ1/9900乗にした100＾（1/100）と99＾(1/99)の大小と一致。
さらに自然対数を取って、(log100)/100と(log99)/99の大小と一致。
ということで関数f(x)=(logx)/xの挙動を調べて一件落着。
誘導をつければ教科書の章末クラス(実際に載せてる教科書もある)の典型問題だけど、
自力で一から思いつくのは確かに厳しい、つか自分には無理。
評価しやすいように、同じ値を一方に寄せるには→1/9900乗にすればいい
x^(1/x)の導関数がわかりゃいいけど面倒
→どうせ対数微分法が要りそうだし、だったらlog取った状態で評価
てな考え方だなぁと事後的に思いつくので精一杯かなあｌ。
log2=0.3010とlog3=0.4771の値が与えられてることが前提になってしまうけど、
直接常用対数をとっても比較できる。
log(100^99)は198と値が求められて、log99の処理は、
99=3^2*11＞3＾2*10.8=3＾5*2^2*0.1で、log2＞0.3、log3＞0.477から
log99＞1.985なので、log(99^100)＞198.5＞log(100^99)
直接常用対数をとっても比較できる。
log(100^99)は198と値が求められて、log99の処理は、
99=3^2*11＞3＾2*10.8=3＾5*2^2*0.1で、log2＞0.3、log3＞0.477から
log99＞1.985なので、log(99^100)＞198.5＞log(100^99)
化学でphの計算に慣れてるやつはlog2とlog3は覚えてるかもな
なんで数Ⅰでうけられるのに数ⅠAで受ける人がいるんですか？
559 ：大学への名無しさん：2010/02/10(水) 16:30:48 ID:+K3BdusA0
上の大きい数の大小比較の問題
自然対数(底がe)を取ると
log(100^99)=99log100
log(99^100)=100log99
ここで、f(x)=logx/x(x>0)について f'(x)={(1/x)・x-logx}/x^2=(1-logx)/x^2
0<x<eでf'(x)>0 x=eでf'(x)=0 x>eでf'(x)<0 (x=eで極大値をとる)
よって、x>eにおいてf(x)は減少関数であるから
log99/99<log100/100（☆） 両辺に9900をかけて分母を払うと
100log99<99log100が得られる。
ゆえに、log(100^99)>log(99^100)
底eは1より大きいから、100^99>99^100
両方の数を1/9900乗にすることに気づくのはなかなか難しいので、(☆)を先に示してから
逆算するような方法で解いてみました。
>>557
京大模試の電離平衡の問題で、10^log(a)=aを用いる問題は面白いですよね。
自然対数(底がe)を取ると
log(100^99)=99log100
log(99^100)=100log99
ここで、f(x)=logx/x(x>0)について f'(x)={(1/x)・x-logx}/x^2=(1-logx)/x^2
0<x<eでf'(x)>0 x=eでf'(x)=0 x>eでf'(x)<0 (x=eで極大値をとる)
よって、x>eにおいてf(x)は減少関数であるから
log99/99<log100/100（☆） 両辺に9900をかけて分母を払うと
100log99<99log100が得られる。
ゆえに、log(100^99)>log(99^100)
底eは1より大きいから、100^99>99^100
両方の数を1/9900乗にすることに気づくのはなかなか難しいので、(☆)を先に示してから
逆算するような方法で解いてみました。
>>557
京大模試の電離平衡の問題で、10^log(a)=aを用いる問題は面白いですよね。
その手の問題って
3^π と π^3 とか e^π と π^e とかでよくでる典型問題じゃない?
くくりは応用問題によくなってるけど
3^π と π^3 とか e^π と π^e とかでよくでる典型問題じゃない?
くくりは応用問題によくなってるけど
562 ：大学への名無しさん：2010/02/10(水) 21:07:51 ID:DttLkMcr0
>>556
Excellent!
Excellent!
563 ：大学への名無しさん：2010/02/10(水) 22:24:20 ID:u+t7BEs80
文転組なんですけど、１Ａ２Ｂが出題範囲の文系の大学の記述で３Ｃの範囲で習ったこと(f(x)・g(x)=f´(x)・g(x)+f(x)・g´(x)とか、ｎ→∞とか）を使って解答してはいけませんか？
不安なら２Ｂで解けばいいけど、問題ないと思う
565 ：大学への名無しさん：2010/02/10(水) 23:09:50 ID:+K3BdusA0
>>563
高校生で習う範囲なので間違いなくセーフ。
数2の積分計算で使われる
【∫(x+a)^n=(1/n+1)(x+a)^(n+1)+C(Cは積分定数)】も、
厳密には数3の知識が無いと示せないものですから。
ただパップスギュルダンの定理、ロピタルの定理、外積は避けたほうが良いみたい。
(大学によっては、高校範囲外の定理を使うと減点の対象になるとか)
高校生で習う範囲なので間違いなくセーフ。
数2の積分計算で使われる
【∫(x+a)^n=(1/n+1)(x+a)^(n+1)+C(Cは積分定数)】も、
厳密には数3の知識が無いと示せないものですから。
ただパップスギュルダンの定理、ロピタルの定理、外積は避けたほうが良いみたい。
(大学によっては、高校範囲外の定理を使うと減点の対象になるとか)
566 ：大学への名無しさん：2010/02/10(水) 23:15:10 ID:IVDKCe0G0
受験生が受験範囲を気にするのもなんか変な気もするがｗ
受験生に数学力を問いたいのか、高校課程内という制限付きのパズルの問題として
出したいのかどっちなんだろうね
後者なんだろうけど
いっそのことパズルをしたいなら算数範囲内だけで灘の問題解かせる方が
頭使ってよさそうだけど
受験生に数学力を問いたいのか、高校課程内という制限付きのパズルの問題として
出したいのかどっちなんだろうね
後者なんだろうけど
いっそのことパズルをしたいなら算数範囲内だけで灘の問題解かせる方が
頭使ってよさそうだけど
567 ：549：2010/02/10(水) 23:30:26 ID:CFUAYZPo0
568 ：大学への名無しさん：2010/02/11(木) 14:39:54 ID:xo4vjIG3O
y"+25y=0…①
(1)①の微分方程式に代入して、y1=cos5x y2=sin5x がそれぞれ①の特殊解であることを示せ
(2)任意定数をC1とC2として、①の一般解yを書け
(3)初期条件、x=0で、y=0、y'=30 を満たす①の解を求めよ
まず(1)は、これはy1とy2をそれぞれ2回微分して当てはめて0になればいいんですよね？
(2)以降がよくわかりません…
(1)①の微分方程式に代入して、y1=cos5x y2=sin5x がそれぞれ①の特殊解であることを示せ
(2)任意定数をC1とC2として、①の一般解yを書け
(3)初期条件、x=0で、y=0、y'=30 を満たす①の解を求めよ
まず(1)は、これはy1とy2をそれぞれ2回微分して当てはめて0になればいいんですよね？
(2)以降がよくわかりません…
>>568大雑把な話だが(もっとも受験板で微分方程式の話は本来板違いで、
厳密な理論構成はできないから大雑把にしかなりようがないが)
(1)はそれでいい
2階の微分方程式だから一般解は任意定数ふたつを含むはず。
一方、解の線形性から(元の解複数をそれぞれ実数倍して加算したものもまた解、
これは微分演算がそういう性質があるから)
(C_1)cos5x + (C_2)sin5xもまた解になるはずで、これが①の一般解
じゃあ
>x=0で、y=0、y'=30 を満たす
という条件に合うようにC_1、C_2を決めるとどうなるか、ってのが③
厳密な理論構成はできないから大雑把にしかなりようがないが)
(1)はそれでいい
2階の微分方程式だから一般解は任意定数ふたつを含むはず。
一方、解の線形性から(元の解複数をそれぞれ実数倍して加算したものもまた解、
これは微分演算がそういう性質があるから)
(C_1)cos5x + (C_2)sin5xもまた解になるはずで、これが①の一般解
じゃあ
>x=0で、y=0、y'=30 を満たす
という条件に合うようにC_1、C_2を決めるとどうなるか、ってのが③
570 ：大学への名無しさん：2010/02/11(木) 15:19:54 ID:xo4vjIG3O
>>570
>(2)は、計算をして解くのではなくその性質をまず覚えてなきゃならないってことですか?
ぶっちゃけその通り。計算、というか論証しようとしだしたら、多分完全に大学数学の話になるんで。
(3)については自分の計算を信じれ。
>(2)は、計算をして解くのではなくその性質をまず覚えてなきゃならないってことですか?
ぶっちゃけその通り。計算、というか論証しようとしだしたら、多分完全に大学数学の話になるんで。
(3)については自分の計算を信じれ。
p,qを実数の定数とする。
2x^2+3xy+py^2-7x+qy+3=0が(1,1)を通る2つの直線を表すとき、p,qと二直線の方程式を求めるとき、
係数比較をする解き方が参考書に載っていたのですが
そのとき、なぜ「2直線がともに(1,1）を通るから {（2(x-1)+a(x-1)}{（x-1)+b(y-1）}=0」とおけるのでしょうか？
教えてください。
2x^2+3xy+py^2-7x+qy+3=0が(1,1)を通る2つの直線を表すとき、p,qと二直線の方程式を求めるとき、
係数比較をする解き方が参考書に載っていたのですが
そのとき、なぜ「2直線がともに(1,1）を通るから {（2(x-1)+a(x-1)}{（x-1)+b(y-1）}=0」とおけるのでしょうか？
教えてください。
573 ：大学への名無しさん：2010/02/11(木) 16:47:04 ID:eo1L/OidO
このスレは馬鹿ばっかりだな。以下列挙。
（レスアン省略）
二階線型は線型変換（行列）で一階に直せる。
従って数ⅢＣの範囲で説明できる。大学数学がこなれてない馬鹿。
上のバウムクーヘンの説明は間違い。
自分の描いた図についてのみ当てはまる、典型的なタコ解答。馬鹿。
三次関数の極値に関する説明は根本的に誤り。
関数について理解していない、数学を知らない馬鹿。
馬鹿な説明に感謝する質問者も馬鹿なので、
澱んだ非数学的空間が形成されている。
（レスアン省略）
二階線型は線型変換（行列）で一階に直せる。
従って数ⅢＣの範囲で説明できる。大学数学がこなれてない馬鹿。
上のバウムクーヘンの説明は間違い。
自分の描いた図についてのみ当てはまる、典型的なタコ解答。馬鹿。
三次関数の極値に関する説明は根本的に誤り。
関数について理解していない、数学を知らない馬鹿。
馬鹿な説明に感謝する質問者も馬鹿なので、
澱んだ非数学的空間が形成されている。
>>572
・一般に(1,1)を通る直線の方程式は、…=0の形でどう書ける?
・AB=0 ⇔ A=0 または B=0 であったことを思い出そう
・左辺の形を見ると、x＾2の係数が2だから、左辺がうまくx,yの1次式の積として
因数分解できたとしたら、それらのxの係数は2と1であるとしてよい
(-2と-1だったら、積にするのだから両方-1倍すれば2と1に直せる)
・これも一般に、2直線をいっぺんに表す方程式ってのは、…=0の形でどう書ける?
(図形の方程式ってのは左辺のx,yに特定の値を入れたときに成り立つような式で、
その式が表す図形というのは、その式を成り立たせるような(x,y)の組を座標として持つ
点の集まりであったはず)
以上に自分で納得いく答えが見つけられれば理由は分かるだろうし、
どれかが納得いかない/分からないならその点を改めて質問して。
・一般に(1,1)を通る直線の方程式は、…=0の形でどう書ける?
・AB=0 ⇔ A=0 または B=0 であったことを思い出そう
・左辺の形を見ると、x＾2の係数が2だから、左辺がうまくx,yの1次式の積として
因数分解できたとしたら、それらのxの係数は2と1であるとしてよい
(-2と-1だったら、積にするのだから両方-1倍すれば2と1に直せる)
・これも一般に、2直線をいっぺんに表す方程式ってのは、…=0の形でどう書ける?
(図形の方程式ってのは左辺のx,yに特定の値を入れたときに成り立つような式で、
その式が表す図形というのは、その式を成り立たせるような(x,y)の組を座標として持つ
点の集まりであったはず)
以上に自分で納得いく答えが見つけられれば理由は分かるだろうし、
どれかが納得いかない/分からないならその点を改めて質問して。
一般に(p,q) という点を通る直線の方程式は
a(x-p)+b(y-q)=0
これがxとyに関しての1次式だからax+by+c=0の形、つまり直線の方程式の形に
なってることは納得できるね? そしてこの式が(x,y)=(p,q)で成立するのも明らかでしょ?
従ってこれは「(p,q)という座標で成立する」「直線の方程式」。
また、一般に2本の直線 ax+by+c=0とdx+ey+f=0 を同時に表す式は(ax+by+c)(dx+ey+f)=0 ※
AB=0⇔A=0またはB=0なのだから、※を満たす座標というのは
ax+by+c=0またはdx+ey+f=0の少なくともどちらか一方を成立させるし、それ以外にはない。
従ってそうした座標を持つ点をすべて集めた図形は、ax+by+c=0またはdx+ey+f=0の
少なくともどちらか一方に乗っている点を全て集めたものになり、それはこれら2直線。
a(x-p)+b(y-q)=0
これがxとyに関しての1次式だからax+by+c=0の形、つまり直線の方程式の形に
なってることは納得できるね? そしてこの式が(x,y)=(p,q)で成立するのも明らかでしょ?
従ってこれは「(p,q)という座標で成立する」「直線の方程式」。
また、一般に2本の直線 ax+by+c=0とdx+ey+f=0 を同時に表す式は(ax+by+c)(dx+ey+f)=0 ※
AB=0⇔A=0またはB=0なのだから、※を満たす座標というのは
ax+by+c=0またはdx+ey+f=0の少なくともどちらか一方を成立させるし、それ以外にはない。
従ってそうした座標を持つ点をすべて集めた図形は、ax+by+c=0またはdx+ey+f=0の
少なくともどちらか一方に乗っている点を全て集めたものになり、それはこれら2直線。
↑ちょっと書き直し
従ってこれは「(p,q)という座標で成立する式を持つ」、
つまり「点(p,q)を通る」「直線の方程式」。
従ってこれは「(p,q)という座標で成立する式を持つ」、
つまり「点(p,q)を通る」「直線の方程式」。
578 ：大学への名無しさん：2010/02/11(木) 17:12:50 ID:eo1L/OidO
またまた嘘説明だ。
こんな説明で理解できる訳がない。
騙されるか、納得しないで引き下がるだけだ。
二次曲線の分類の問題を、行列を使わないで
因数分解で説明しようとすればご都合主義に陥るだけ。
同値じゃないものを同値と言い張る馬鹿。
高次元の同値性について全くの無知。
上の方にある二次形式の正値性の問題も
かなり無理な解法。
シグナチャー無視。せめてラグランジュくらい使え。
この辺は十分受験数学の範囲内だ。
こんな説明で理解できる訳がない。
騙されるか、納得しないで引き下がるだけだ。
二次曲線の分類の問題を、行列を使わないで
因数分解で説明しようとすればご都合主義に陥るだけ。
同値じゃないものを同値と言い張る馬鹿。
高次元の同値性について全くの無知。
上の方にある二次形式の正値性の問題も
かなり無理な解法。
シグナチャー無視。せめてラグランジュくらい使え。
この辺は十分受験数学の範囲内だ。
よく分かりました。
ありがとうございました！
ありがとうございました！
AB＝O(B≠O)のとき
Aは逆行列を持たないというのは十分条件ですか？
Aは逆行列を持たないというのは十分条件ですか？
581 ：大学への名無しさん：2010/02/11(木) 17:39:02 ID:8ACNYHQg0
B≠Oのとき
Aは逆行列を持たないということは
AB＝Oであることの十分条件であるかどうかと聞いてるの？
Aは逆行列を持たないということは
AB＝Oであることの十分条件であるかどうかと聞いてるの？
>>581
そうです、表現が稚拙ですいませんでした
そうです、表現が稚拙ですいませんでした
583 ：大学への名無しさん：2010/02/11(木) 22:31:46 ID:He4pwIJ30
つかってもいいと思うけど、範囲外だから減点されるかも
「aをq、bをqでわったときの余りが一致する」とか「a-bをqで割ったときの余りが0である」ことをこうあらわす、って定義するほうが無難かも
使う公式も一行くらいで証明できるものばかりだから、使ったあとに (∵ … ) とかすればいい
「aをq、bをqでわったときの余りが一致する」とか「a-bをqで割ったときの余りが0である」ことをこうあらわす、って定義するほうが無難かも
使う公式も一行くらいで証明できるものばかりだから、使ったあとに (∵ … ) とかすればいい
>>580
＞B≠Oのとき
＞Aは逆行列を持たないということは
＞AB＝Oであることの十分条件であるか
という意味だったら、十分条件ではない。反例はいくらでも作れるだろ。逆に、
AB=O⇒Aは逆行列をもたない、は真。
聞いたんだったら答えてやれよｗ>>581
＞B≠Oのとき
＞Aは逆行列を持たないということは
＞AB＝Oであることの十分条件であるか
という意味だったら、十分条件ではない。反例はいくらでも作れるだろ。逆に、
AB=O⇒Aは逆行列をもたない、は真。
聞いたんだったら答えてやれよｗ>>581
2+3x^(2/3)=x^2 の答えは x=±2√2ですが
値を代入していく以外のスマートな解き方ってないものでしょうか・・・
値を代入していく以外のスマートな解き方ってないものでしょうか・・・
>>586
x^(2/3)=tとおけばx^2は？
x^(2/3)=tとおけばx^2は？
>>587
なるほど～ ためになります
なるほど～ ためになります
大昔の細野数学やってるんですが
「x^2+x+1=0の一つの解をωとおくとき、他の解はω^2であることを示せ。」
の解答が、
ωとω^2を解にもつ二次方程式は、x^2-(ω^2+ω)x+ω^3=0 ・・・① である。
さらに、ω^3=1 、 ω^2+ω=-１ より、
①⇒x^2-(-1)x+1=0
⇒x^2+x+1=0
よって、x^2+x+1=0の解はωとω^2である。（q.e.d.）
なんですが、ω^3=1 、 ω^2+ω=-１ のあたりが証明するべき結論を途中で
使っている気がして気持ち悪いのですが、これでも証明となるのでしょうか？
「x^2+x+1=0の一つの解をωとおくとき、他の解はω^2であることを示せ。」
の解答が、
ωとω^2を解にもつ二次方程式は、x^2-(ω^2+ω)x+ω^3=0 ・・・① である。
さらに、ω^3=1 、 ω^2+ω=-１ より、
①⇒x^2-(-1)x+1=0
⇒x^2+x+1=0
よって、x^2+x+1=0の解はωとω^2である。（q.e.d.）
なんですが、ω^3=1 、 ω^2+ω=-１ のあたりが証明するべき結論を途中で
使っている気がして気持ち悪いのですが、これでも証明となるのでしょうか？
>>589
x^2の係数を1なら1に固定すれば、2解ともが同じ2次方程式は1つしかない。
だから、ωとω^2を解にもつ2次方程式がx^2+x+1=0であることを示せたら
題意を示せたことになる。
ただし細野の解答で、ω^3=1などが使われているのは、ωが題意の2次方程
式の解だからω^2+ω+1=0……＊、だからω^2+ω=-1、＊の両辺にω-1を
かけて、ω^3-1=0 ⇔ ω^3=1って理屈だぞ。
x^2の係数を1なら1に固定すれば、2解ともが同じ2次方程式は1つしかない。
だから、ωとω^2を解にもつ2次方程式がx^2+x+1=0であることを示せたら
題意を示せたことになる。
ただし細野の解答で、ω^3=1などが使われているのは、ωが題意の2次方程
式の解だからω^2+ω+1=0……＊、だからω^2+ω=-1、＊の両辺にω-1を
かけて、ω^3-1=0 ⇔ ω^3=1って理屈だぞ。
>>590
ありがとうございます！！！
＞＊の両辺にω-1をかけて、ω^3-1=0 ⇔ ω^3=1って理屈だぞ。
ここがウロコでした。この問題だとωの定義などには触れてなかったので、
文字として処理してたのですが、ωの背景しっかり把握しとかないと自分は解けないですね・・・
でも、なんとなく学習の方針がわかった気がしました。しょっぱなのページでつまずいてたんで
自信なくしてました。ありがとうございました！
ありがとうございます！！！
＞＊の両辺にω-1をかけて、ω^3-1=0 ⇔ ω^3=1って理屈だぞ。
ここがウロコでした。この問題だとωの定義などには触れてなかったので、
文字として処理してたのですが、ωの背景しっかり把握しとかないと自分は解けないですね・・・
でも、なんとなく学習の方針がわかった気がしました。しょっぱなのページでつまずいてたんで
自信なくしてました。ありがとうございました！
>>586
むしろ、値の代入でその問題を解く方法を聞きたい。
むしろ、値の代入でその問題を解く方法を聞きたい。
>>591
いや、むしろ二次方程式の二解を求めて
両方とも二乗してみるほうが素直じゃないか？
複合同順で計算できるだろうし、全然難しく無いだろ。
解説を見て、背景知識として1の立方根の性質を知っておけばいい。
いや、むしろ二次方程式の二解を求めて
両方とも二乗してみるほうが素直じゃないか？
複合同順で計算できるだろうし、全然難しく無いだろ。
解説を見て、背景知識として1の立方根の性質を知っておけばいい。
595 ：大学への名無しさん：2010/02/15(月) 16:33:55 ID:tAgXxpVw0
青チャートの数学2の三角不等式がよくわかりません…
周期など考えるのは分かるのですが、練習214(2)のtの範囲を求めた後の、sint<−1/2を解いたら−π/3≦t＜−π/6、が出てくるのかわかりません。
もう一つの7π/6＜t＜5π/3は分かるのですが
周期など考えるのは分かるのですが、練習214(2)のtの範囲を求めた後の、sint<−1/2を解いたら−π/3≦t＜−π/6、が出てくるのかわかりません。
もう一つの7π/6＜t＜5π/3は分かるのですが
596 ：大学への名無しさん：2010/02/15(月) 16:36:11 ID:tAgXxpVw0
かきわすれというか誰かよろしくお願いします。
こんな簡単な問題の質問ですみません…
こんな簡単な問題の質問ですみません…
質問スレで質問するとき全般に言えることなんだけど
自分の持ってる参考書のページをあげられても
回答者がその本を手元に置いているとは限らないんで
躓いた問題とわからない部分の模範解答を書きだしてくれないことには・・・
自分の持ってる参考書のページをあげられても
回答者がその本を手元に置いているとは限らないんで
躓いた問題とわからない部分の模範解答を書きだしてくれないことには・・・
598 ：大学への名無しさん：2010/02/15(月) 16:52:33 ID:tAgXxpVw0
問題はsin(θ−π/3)＜−1/2を(0≦θ＜2π)を解くというものです。
失礼しました…
失礼しました…
599 ：大学への名無しさん：2010/02/15(月) 16:59:29 ID:tAgXxpVw0
わからないのは式のカッコ内をtとおいて、その後tの範囲を求めて、tとおいた式を解いた時答えが−π/3≦t＜−π/6、7π/6＜t＜5π/3になるのですが、何故−π/3≦t＜−π/6がでてくるのがわかりません。
t=θ-π/3とおくと、-π/3≦t<5π/3
単位円でsint<-1/2のときを考えると
・
・
・
-5π/6<t<-π/6
7π/6<t<11π/6
・
・
・
今、tの範囲は
-π/3≦t<5π/3⇔-2π/6≦t<10π/6 なので
-2π/6≦t<-π/6, 7π/6<t<10π/6
単位円でsint<-1/2のときを考えると
・
・
・
-5π/6<t<-π/6
7π/6<t<11π/6
・
・
・
今、tの範囲は
-π/3≦t<5π/3⇔-2π/6≦t<10π/6 なので
-2π/6≦t<-π/6, 7π/6<t<10π/6
601 ：大学への名無しさん：2010/02/15(月) 17:11:45 ID:tAgXxpVw0
>範囲を考えずに解くから-のほうも考慮する
どういうこと？
どういうこと？
603 ：大学への名無しさん：2010/02/15(月) 17:22:57 ID:tAgXxpVw0
言わんとしていることが良くわからないが・・・
置き換えのあるなしが問題なのではなく
0≦θ<2πの範囲を変域として与えられることが多いので
θ≦0の部分は考えてないだけ。
あるいは、θに制限が無いから、一番考えやすい0≦θ<2πの範囲で考えて
2nπ足して一般的に書くという話。
θの変域が-π≦θ≦πだったら、置き換えなどしなくても
θ≦0を考えなければ仕方がない。
cosθ>-1/2をとけ (-5π≦θ≦-3π)
とかだったらθ≦0の部分を考えざるを得ない
もっとも、θ+5π=tとおいて、0≦t≦2πで考えれば別だけど。
置き換えのあるなしが問題なのではなく
0≦θ<2πの範囲を変域として与えられることが多いので
θ≦0の部分は考えてないだけ。
あるいは、θに制限が無いから、一番考えやすい0≦θ<2πの範囲で考えて
2nπ足して一般的に書くという話。
θの変域が-π≦θ≦πだったら、置き換えなどしなくても
θ≦0を考えなければ仕方がない。
cosθ>-1/2をとけ (-5π≦θ≦-3π)
とかだったらθ≦0の部分を考えざるを得ない
もっとも、θ+5π=tとおいて、0≦t≦2πで考えれば別だけど。
605 ：大学への名無しさん：2010/02/15(月) 17:38:33 ID:tAgXxpVw0
>>604
置き換えのない不等式で先入観植え付けられたといいたかっただけです…すみません…
置き換えのない不等式で先入観植え付けられたといいたかっただけです…すみません…
606 ：翔：2010/02/15(月) 22:31:06 ID:mVrX7oi/0
答えは解るのですが、解き方が分からないのでお願いします。
りんご、なし、かき、みかんの４種類の果物が店頭にたくさんある。
10個の果物を買うとき、何通りの買い方があるか。ただし、全種類、
必ず１つは買うものとする。
お願いします。
りんご、なし、かき、みかんの４種類の果物が店頭にたくさんある。
10個の果物を買うとき、何通りの買い方があるか。ただし、全種類、
必ず１つは買うものとする。
お願いします。
重複組み合わせ
608 ：大学への名無しさん：2010/02/15(月) 23:34:03 ID:SS62OvvnO
不等式(1/8)＜4^x＜8*2
の解き方をお願いしますm(__)m
の解き方をお願いしますm(__)m
609 ：大学への名無しさん：2010/02/16(火) 00:28:41 ID:Cl3uDrJCO
2の整数倍て
ああ整数乗な。
>>610
ありがとうございます。
(1/8)＜4^x
2^-3＜2^2x
x＞-3/2…①
2^2x＜2^-3*2^x
ここからわからないです｡
答えは-3/2＜x＜3です｡
それと対数関数を使わない方法ありますか？
ありがとうございます。
(1/8)＜4^x
2^-3＜2^2x
x＞-3/2…①
2^2x＜2^-3*2^x
ここからわからないです｡
答えは-3/2＜x＜3です｡
それと対数関数を使わない方法ありますか？
614 ：大学への名無しさん：2010/02/16(火) 00:59:34 ID:2aH77K11O
>>613
不等式左側は①を導けば良し。
こんどは4^x＜8*2を解けば自明でしょ。
つうかx<2だろ？暗算で分かるじゃん。４の２乗＝１６＝８ｘ２
対数を使わないとなると
y=4^x
と
y=1/8
y=16
のグラフを図示して交点のx座標から答は導き出せるけど逆に面倒だ。
不等式左側は①を導けば良し。
こんどは4^x＜8*2を解けば自明でしょ。
つうかx<2だろ？暗算で分かるじゃん。４の２乗＝１６＝８ｘ２
対数を使わないとなると
y=4^x
と
y=1/8
y=16
のグラフを図示して交点のx座標から答は導き出せるけど逆に面倒だ。
616 ：翔：2010/02/16(火) 01:18:10 ID:dompvHWC0
>>609
せっかくコメントしてもらったのですが、答えは84通りなので
9C4ではないと思います。
ちなみに答えは84通りです。
僕の考えではまず４種類の果物を１個ずつ買い、残りの６個を
どうやって買うかを考えています。
この考え自体が間違いなのでしょうか？
せっかくコメントしてもらったのですが、答えは84通りなので
9C4ではないと思います。
ちなみに答えは84通りです。
僕の考えではまず４種類の果物を１個ずつ買い、残りの６個を
どうやって買うかを考えています。
この考え自体が間違いなのでしょうか？
617 ：大学への名無しさん：2010/02/16(火) 01:21:47 ID:2aH77K11O
すみません問題抜けてましたm(__)m
不等式(1/8)＜4^x＜8*2ではなくて
不等式(1/8)＜4^x＜8*2^xです｡
>>615
ありがとうございますm(__)m
対数を使った方が速いなら
対数を使った解き方でお願いします｡
対数関数の範囲を用いらずにの理由は
対数関数未履修の指数関数の範囲だったからです｡
不等式(1/8)＜4^x＜8*2ではなくて
不等式(1/8)＜4^x＜8*2^xです｡
>>615
ありがとうございますm(__)m
対数を使った方が速いなら
対数を使った解き方でお願いします｡
対数関数の範囲を用いらずにの理由は
対数関数未履修の指数関数の範囲だったからです｡
>>616
考え方としてはＯＫ。数式でも表現できるが面倒なので省略。
まず４つの果物を取っておいて、４種類の異なる果物の中から重複を許して６個選ぶ組み合わせ。
すなわち4H6=9C3=84
>>617
眠いから指針だけ。
2^x＝tと置く。すると4^x=(2^x)^2=t^2
これを不等式に組み込む。
tの値域が求められたらt=2^xのtにその値を代入して対数でxについての値域を求める。
その問題は2の整数乗とかになってるから、対数の知識が無くてもたぶん解けるけど問題によっては対数を使わないと解けないよ。
無理数になったりるすから。
考え方としてはＯＫ。数式でも表現できるが面倒なので省略。
まず４つの果物を取っておいて、４種類の異なる果物の中から重複を許して６個選ぶ組み合わせ。
すなわち4H6=9C3=84
>>617
眠いから指針だけ。
2^x＝tと置く。すると4^x=(2^x)^2=t^2
これを不等式に組み込む。
tの値域が求められたらt=2^xのtにその値を代入して対数でxについての値域を求める。
その問題は2の整数乗とかになってるから、対数の知識が無くてもたぶん解けるけど問題によっては対数を使わないと解けないよ。
無理数になったりるすから。
619 ：大学への名無しさん：2010/02/16(火) 01:46:18 ID:TYyYVQi+0
>>617
この程度なら対数も指数も変わらないよ。
2^p<2^q(p<q)なので
1/8<4^x⇔2^(-3)<2^(2x)⇔-3/2<x
4^x<8*2^x⇔2^2x<2^(3+x)⇔2x<3+x⇔x<3
この程度なら対数も指数も変わらないよ。
2^p<2^q(p<q)なので
1/8<4^x⇔2^(-3)<2^(2x)⇔-3/2<x
4^x<8*2^x⇔2^2x<2^(3+x)⇔2x<3+x⇔x<3
620 ：大学への名無しさん：2010/02/16(火) 01:50:12 ID:TYyYVQi+0
>>618
夜中にわざわざありがとうございますm(__)m
2^x=tのとこで解決しました！
指数関数の節末問題レベルなので
ここは対数を使わなくて
大丈夫と思います
無理数になる場合もあるというので
応用きくように演習していきます｡
因みに次の問題に
2^x=tとおいて
○○をtを用いて表せという問題がありました｡
>>619
夜中にわざわざありがとうございますm(__)m
教科書の指数関数の節末問題レベルです｡
参考にします｡
夜中にわざわざありがとうございますm(__)m
2^x=tのとこで解決しました！
指数関数の節末問題レベルなので
ここは対数を使わなくて
大丈夫と思います
無理数になる場合もあるというので
応用きくように演習していきます｡
因みに次の問題に
2^x=tとおいて
○○をtを用いて表せという問題がありました｡
>>619
夜中にわざわざありがとうございますm(__)m
教科書の指数関数の節末問題レベルです｡
参考にします｡
622 ：大学への名無しさん：2010/02/16(火) 12:56:58 ID:FZAWivZO0
虚数を高校段階で教える意味ってなんなの？
理論的なことはサッパリわからず、ただひたすら定義を覚えるだけで背景が見えてこない。
数学の一番楽しくない勉強法だ。
理論的なことはサッパリわからず、ただひたすら定義を覚えるだけで背景が見えてこない。
数学の一番楽しくない勉強法だ。
623 ：大学への名無しさん：2010/02/16(火) 14:00:54 ID:Cl3uDrJCO
>>616
その考え方でもいいよ。
その場合は、6個の○と3個の｜を並べる並べ方になる。
>>609さんの考え方だと9ヶ所の隙間から3ヶ所選んで｜を入れる。
結局どっちにしても9C3=84になる。
>>607の言葉でググれ。
その考え方でもいいよ。
その場合は、6個の○と3個の｜を並べる並べ方になる。
>>609さんの考え方だと9ヶ所の隙間から3ヶ所選んで｜を入れる。
結局どっちにしても9C3=84になる。
>>607の言葉でググれ。
虚数ってそもそも何のために「存在することにしてる」んですかね？
それが存在すると何かが説明できるんですか？
それが存在すると何かが説明できるんですか？
627 ：大学への名無しさん：2010/02/16(火) 19:54:53 ID:4d8ziPb7O
大学受験で、ｙ軸についての回転体を求めるときに、
「求める面積は、(バームクーヘン積分を使った式)に一致する。よって～」
のように記述して、バームクーヘン積分を使っても減点されますか？
「求める面積は、(バームクーヘン積分を使った式)に一致する。よって～」
のように記述して、バームクーヘン積分を使っても減点されますか？
628 ：大学への名無しさん：2010/02/16(火) 19:56:06 ID:4d8ziPb7O
↑
×面積
○体積
回転体の体積を求める場合です
×面積
○体積
回転体の体積を求める場合です
赤茶B p159より
自然数ｎに対して、a(n), b(n)を (2+√3）＾n=a(n)+b(n)√3により定める。
とあったときに指針を
一般にa,b,c,dが有理数のとき a+b√3=c+d√3 ⇔ a=cかつb=d
と立てて解答に入っているのですが、a(n), b(n)が有理数であるというのはどこで判明するのでしょうか？
それとも定義として数列は有理数のみを扱っているのでしょうか？教えてください
自然数ｎに対して、a(n), b(n)を (2+√3）＾n=a(n)+b(n)√3により定める。
とあったときに指針を
一般にa,b,c,dが有理数のとき a+b√3=c+d√3 ⇔ a=cかつb=d
と立てて解答に入っているのですが、a(n), b(n)が有理数であるというのはどこで判明するのでしょうか？
それとも定義として数列は有理数のみを扱っているのでしょうか？教えてください
630 ：629：2010/02/16(火) 21:26:26 ID:/Gfv+j0C0
すいませんageるの忘れてました
∫[0,π] √(1+x^2) dx のような積分区間にπ/2が入ってるときはどうすればいいんでしょうか？
632 ：大学への名無しさん：2010/02/16(火) 23:01:34 ID:kcLXyWXr0
633 ：大学への名無しさん：2010/02/16(火) 23:16:34 ID:WyG5lXri0
(2xy)dx+dy=0・・・(*)
1,(*)の微分方程式が完全形でないことを示せ
2,(*)の微分方程式の積分因子をλ(x)として、(*)×λ(x)の微分方程式が完全形であるための必要十分条件より、λ(x)が満たす微分方程式を導け。
3, 2で求めたλ(x)の微分方程式を積分してその特殊解λ(x)＝e^(x^2)を求めよ。
4,積分因子λ(x)＝e^(x^2)を用いて、微分方程式(*)の一般解を求めよ。
1の解き方はわかります。2以降の回答の仕方がよくわかりません。
4は積分因子を微分方程式(*)にかけて完全形にして計算すればいいんですか？
２，３は何をどう回答すればいいのか全くわかりません。
よろしくお願いします。
1,(*)の微分方程式が完全形でないことを示せ
2,(*)の微分方程式の積分因子をλ(x)として、(*)×λ(x)の微分方程式が完全形であるための必要十分条件より、λ(x)が満たす微分方程式を導け。
3, 2で求めたλ(x)の微分方程式を積分してその特殊解λ(x)＝e^(x^2)を求めよ。
4,積分因子λ(x)＝e^(x^2)を用いて、微分方程式(*)の一般解を求めよ。
1の解き方はわかります。2以降の回答の仕方がよくわかりません。
4は積分因子を微分方程式(*)にかけて完全形にして計算すればいいんですか？
２，３は何をどう回答すればいいのか全くわかりません。
よろしくお願いします。
>>632
やっぱりそうですよね。
どう問題文も読み返してもこれだけでa(n)，b(n)が有理数だとは思えなかったのでどうなんだろうと思ってました。
ってことは多分問題の出し方が悪いんでしょうね。
納得です。ありがとうございました。
やっぱりそうですよね。
どう問題文も読み返してもこれだけでa(n)，b(n)が有理数だとは思えなかったのでどうなんだろうと思ってました。
ってことは多分問題の出し方が悪いんでしょうね。
納得です。ありがとうございました。
すみません、教えてください。
ttp://imasen.net/unitary-hermitian-words.htm
上のURLのページの一番下にある、「回転行列 n乗=角度がn倍 の証明」なんですが、
○○の定理とか名前ついてないんでしょうか？
証明内で、θ回転させる回転行列の２乗などの場合に、
2θの回転行列になることをスムーズに説明したいのですが・・・。
ド・モアブルとかじゃだめですよね？なんという定理になるのでしょう。
なにとぞご教授くださいませ。
ttp://imasen.net/unitary-hermitian-words.htm
上のURLのページの一番下にある、「回転行列 n乗=角度がn倍 の証明」なんですが、
○○の定理とか名前ついてないんでしょうか？
証明内で、θ回転させる回転行列の２乗などの場合に、
2θの回転行列になることをスムーズに説明したいのですが・・・。
ド・モアブルとかじゃだめですよね？なんという定理になるのでしょう。
なにとぞご教授くださいませ。
行列（とベクトル)の積の結合法則で説明できるんで、名前なんかない。
一般にA,Bが(1次変換を表す)行列、v↑がベクトル(が表す点)であれば
(AB)v↑=A（Bv↑)は認めるでしょ? (積が定義されるような次数であるとして。)
では、Rがθの回転を表す行列、v↑が動かされる点であるときも
(R^2)v↑= R(Rv↑)
左辺はR^2の演算を先に行ってそれにv↑を掛けることになるが、その結果は
RにRv↑の結果を掛けるのと同じ、
これはv↑をθだけ回転した点であるRv↑をさらにθだけ回転することになるから、
結局(R^2)ｖ↑はv↑を2θだけ回転した点になる。これはR^2が2θを回転する
変換を表す行列であることを示す。
一般にA,Bが(1次変換を表す)行列、v↑がベクトル(が表す点)であれば
(AB)v↑=A（Bv↑)は認めるでしょ? (積が定義されるような次数であるとして。)
では、Rがθの回転を表す行列、v↑が動かされる点であるときも
(R^2)v↑= R(Rv↑)
左辺はR^2の演算を先に行ってそれにv↑を掛けることになるが、その結果は
RにRv↑の結果を掛けるのと同じ、
これはv↑をθだけ回転した点であるRv↑をさらにθだけ回転することになるから、
結局(R^2)ｖ↑はv↑を2θだけ回転した点になる。これはR^2が2θを回転する
変換を表す行列であることを示す。
>>636さま
すばやいレスに感謝いたします。
特に名前は無いんですねー。確かにやってることは単純ですし・・・。
丁寧に説明するしかないですね＾＾；
結合法則で説明するのは盲点でした。ありがとうございました。
すばやいレスに感謝いたします。
特に名前は無いんですねー。確かにやってることは単純ですし・・・。
丁寧に説明するしかないですね＾＾；
結合法則で説明するのは盲点でした。ありがとうございました。
638 ：大学への名無しさん：2010/02/17(水) 13:59:54 ID:y1bOePas0
僕は数ⅡBⅢCを未履修なんですが、理転したいのでⅢCもやろうと思います。
そこで質問なんですが、ⅢCを０から旧帝大レベルまで持って行くのに最速でもどの位期間がかかるものなんですか？
理系の先輩は、「ⅡBを理解できたら、ⅢCはそんなに時間かからないよ」的な事を言ってたんですが・・・
そこで質問なんですが、ⅢCを０から旧帝大レベルまで持って行くのに最速でもどの位期間がかかるものなんですか？
理系の先輩は、「ⅡBを理解できたら、ⅢCはそんなに時間かからないよ」的な事を言ってたんですが・・・
>>638
全く０からだと人によるだろうけれど毎日3時間以上やってれば1年はかからないんじゃないかな。
普通に旧帝理系行く人は１日１～２時間数学の授業があるとして、ⅡB開始から入試まで、だいたい600時間、それと自学で300時間以上の時間をかけて
って感じでやるだろうからね。
まぁ、本人次第で増えたり減ったりじゃないかな。
全く０からだと人によるだろうけれど毎日3時間以上やってれば1年はかからないんじゃないかな。
普通に旧帝理系行く人は１日１～２時間数学の授業があるとして、ⅡB開始から入試まで、だいたい600時間、それと自学で300時間以上の時間をかけて
って感じでやるだろうからね。
まぁ、本人次第で増えたり減ったりじゃないかな。
そんくらいかもね
俺は一日５時間で５ヶ月とちょっとだった。
ただ、１０月からセンターの勉強して３Cやらなくなってたら１月のセンター後にはほとんど
忘れてた。そこから一日６時間づつやって思い出したら、急激に伸びた（気がした）。
一回忘れて・・・ってのが必要な気がする。
俺は一日５時間で５ヶ月とちょっとだった。
ただ、１０月からセンターの勉強して３Cやらなくなってたら１月のセンター後にはほとんど
忘れてた。そこから一日６時間づつやって思い出したら、急激に伸びた（気がした）。
一回忘れて・・・ってのが必要な気がする。
全く０からそれだけで入試レベルまでいくんかいな。すごいな。
＞一回忘れて・・・
ああ、よくわかる。俺はそれを「超回復」って言ってる。
＞一回忘れて・・・
ああ、よくわかる。俺はそれを「超回復」って言ってる。
新課程版青茶3C P182 基本例題109(4)についてです。
部分分数分解をして、(∫(1/(1-t)+1/(1+t))dt)/2 = (log(abs((1+t)/(1-t))))/2+C (C:積分定数)とあるのですが、どうしたらこのような変形ができるのか分かりません。
どなたかご教授願います。
部分分数分解をして、(∫(1/(1-t)+1/(1+t))dt)/2 = (log(abs((1+t)/(1-t))))/2+C (C:積分定数)とあるのですが、どうしたらこのような変形ができるのか分かりません。
どなたかご教授願います。
>>642 それが分からないのは1/xの積分や置換積分がしっかりつかめてないってこと。
分母の2はあとでくっつけりゃいいので、要するに
∫(1/(1-t))dt と ∫(1/(1+t))dｔ が計算できりゃいい(or計算できなきゃならない)わけでしょ?
それぞれ何になる?
分からなければ1-t=u、1+t=vとしてそれぞれ置換して積分してから置き戻してみなされ。
分母の2はあとでくっつけりゃいいので、要するに
∫(1/(1-t))dt と ∫(1/(1+t))dｔ が計算できりゃいい(or計算できなきゃならない)わけでしょ?
それぞれ何になる?
分からなければ1-t=u、1+t=vとしてそれぞれ置換して積分してから置き戻してみなされ。
{log(ax+b)}' =(ax+b)'/(ax+b)より
∫{(ax+b)'/(ax+b)}dx=log|ax+b|+c
を使っているのでは?
∫(1/(1-t))dt=-log|1-t|
∫(1/(1+t))dt=log|1+t|
logの引き算は中身の割り算
∫{(ax+b)'/(ax+b)}dx=log|ax+b|+c
を使っているのでは?
∫(1/(1-t))dt=-log|1-t|
∫(1/(1+t))dt=log|1+t|
logの引き算は中身の割り算
因数分解の問題で、最後の解答なんですが…
（b－c）（a－b）（a－c）＝－（a－b）（b－c）（c－a）
とあるんですが、どうして－を先頭に付けると（a－c）だけが都合良く（c－a）に変わるんですか？他の（）の中は何で変わらないんですか？
多分、かなり初歩的な事なんでしょうけど調べても理由が見つからないんです。どなたか教えてください。
（b－c）（a－b）（a－c）＝－（a－b）（b－c）（c－a）
とあるんですが、どうして－を先頭に付けると（a－c）だけが都合良く（c－a）に変わるんですか？他の（）の中は何で変わらないんですか？
多分、かなり初歩的な事なんでしょうけど調べても理由が見つからないんです。どなたか教えてください。
>>646
-(c-a)=a-cだから。
-(c-a)=a-cだから。
>>647
ありがとうございます！
という事はもしもう一つ他の（）の中の符号を変えたいと思った場合は、
先頭にマイナスが二つ付く事になる＝符号をいじっていない最初の式の符号と同じということですよね？
【同じ意味で、符号を変えたい（）の数だけ先頭にマイナスを付ければ良いわけですよね？】
ありがとうございます！
という事はもしもう一つ他の（）の中の符号を変えたいと思った場合は、
先頭にマイナスが二つ付く事になる＝符号をいじっていない最初の式の符号と同じということですよね？
【同じ意味で、符号を変えたい（）の数だけ先頭にマイナスを付ければ良いわけですよね？】
>>648
そうだよ。
そうだよ。
>>649
本当、本当ににありがとうございます！
本当、本当ににありがとうございます！
651 ：大学への名無しさん：2010/02/18(木) 21:31:20 ID:g0Zgeph50
(1-sinθ/θ)^(2/3)
の増減の調べ方を教えてください。θは0以上2π以下です。
の増減の調べ方を教えてください。θは0以上2π以下です。
f(θ)={(θ-sinθ)/θ}^(2/3)
f'(θ)=(2/3){(θ-sinθ)/θ}^(-1/3)
0≦θより、符号変化部分はθ-sinθの部分なので
y=θとy=sinθのグラフの上下を考えればいいが
y=sinθのθ=0での接線が・・・・(ry
f'(θ)=(2/3){(θ-sinθ)/θ}^(-1/3)
0≦θより、符号変化部分はθ-sinθの部分なので
y=θとy=sinθのグラフの上下を考えればいいが
y=sinθのθ=0での接線が・・・・(ry
とかいてて、まちがえた。
合成関数微分だから中も微分しないといかんな
ごめんね。
合成関数微分だから中も微分しないといかんな
ごめんね。
>>651
定義域においてt=(1-sinθ)/θは正または0
y=t^(2/3) (t≧0) を考えるとｔは単調増加
ってことはt=(1-sinθ)/θ とf(θ)の増減は一致するからｔの増減だけ調べればおけ
dt/dθの増減を、これ(の分子)をもう一度微分した関数で調べれば答えは出ると思われ。
θ=π/2を境に減少から増加に転じる、と出た。
定義域においてt=(1-sinθ)/θは正または0
y=t^(2/3) (t≧0) を考えるとｔは単調増加
ってことはt=(1-sinθ)/θ とf(θ)の増減は一致するからｔの増減だけ調べればおけ
dt/dθの増減を、これ(の分子)をもう一度微分した関数で調べれば答えは出ると思われ。
θ=π/2を境に減少から増加に転じる、と出た。
655 ：大学への名無しさん：2010/02/18(木) 22:49:12 ID:g0Zgeph50
>>655
あ、あなたは悪くない。最初から (1-sinθ/θ)^(2/3) と書いてたのだから。
>>652だけ見て誤読したこっちが悪い。ただ、定義域にθ=0が入るのは
おかしくない? θ→0の極限値は存在するけど、0で本当に割る形の
式を作っちゃおかしいでしょう。これは誤読したときにも言えることだが。
で、方針は同じで、1-sinθ/θ = tと置けばｔは常に正だから、t＾(2/3)の
増減とｔの増減は一致。あと、一応θ→0でｔ→0(極限を考えれば)。
0<θ≦2πにおいて
dt/dθ = (1/θ)^2{-θcosθ+sinθ}、この分子が0<θ≦2πで常に非負であることが
言えればおけ。分子は定義域で常に正だから、
s=-θcosθ+sinθの増減を調べて、0≦θ≦2πで負にならないことを確かめれば
(こっちは0に=をつけてもいい)dt/dθが0<θ≦2πで非負であることが言えて、
結局単調増加であることが分かる。
あ、あなたは悪くない。最初から (1-sinθ/θ)^(2/3) と書いてたのだから。
>>652だけ見て誤読したこっちが悪い。ただ、定義域にθ=0が入るのは
おかしくない? θ→0の極限値は存在するけど、0で本当に割る形の
式を作っちゃおかしいでしょう。これは誤読したときにも言えることだが。
で、方針は同じで、1-sinθ/θ = tと置けばｔは常に正だから、t＾(2/3)の
増減とｔの増減は一致。あと、一応θ→0でｔ→0(極限を考えれば)。
0<θ≦2πにおいて
dt/dθ = (1/θ)^2{-θcosθ+sinθ}、この分子が0<θ≦2πで常に非負であることが
言えればおけ。分子は定義域で常に正だから、
s=-θcosθ+sinθの増減を調べて、0≦θ≦2πで負にならないことを確かめれば
(こっちは0に=をつけてもいい)dt/dθが0<θ≦2πで非負であることが言えて、
結局単調増加であることが分かる。
658 ：大学への名無しさん：2010/02/18(木) 23:47:17 ID:dK1A2GoN0
x,yを実数とする。
x=0であることはx^2+y^2=0であるための「 」
この答えが、解答では
「必要条件であるが十分条件でない」
となっているのですが納得できないのです。
x^2+y^2=0のときx=0,y=0より必要条件となることはわかります。
ですが、x=0のとき、x^2+y^2=0にx=0を代入するとy^2=0であるから、
y=0で成り立ちますよね？何故十分条件とならないのでしょうか？
解答には"x=0,y=1のときに成り立たないので"と書いてありましたが、
0^2+1^2=0は成り立たないのでおかしくないですか？
日本語おかしくて申し訳ありません。是非ご教示頂ければと思います。
x=0であることはx^2+y^2=0であるための「 」
この答えが、解答では
「必要条件であるが十分条件でない」
となっているのですが納得できないのです。
x^2+y^2=0のときx=0,y=0より必要条件となることはわかります。
ですが、x=0のとき、x^2+y^2=0にx=0を代入するとy^2=0であるから、
y=0で成り立ちますよね？何故十分条件とならないのでしょうか？
解答には"x=0,y=1のときに成り立たないので"と書いてありましたが、
0^2+1^2=0は成り立たないのでおかしくないですか？
日本語おかしくて申し訳ありません。是非ご教示頂ければと思います。
>>658
x=0のとき「絶対に」x^2+y^2=0が成り立って初めて十分条件になるんじゃないか
つまり反例が１個でもあればダメっていうこと。
だからその解答であってるとおもう。
わかりにくかったらすいません
おやすみ
x=0のとき「絶対に」x^2+y^2=0が成り立って初めて十分条件になるんじゃないか
つまり反例が１個でもあればダメっていうこと。
だからその解答であってるとおもう。
わかりにくかったらすいません
おやすみ
>>658
成り立たないから十分条件じゃないんじゃん。
成り立たないから十分条件じゃないんじゃん。
661 ：名無し募集中。。。：2010/02/18(木) 23:57:32 ID:gAaWSm/mO
>>658
x^2+y^2=0ってことはx､yが共に実数ってことからx=0って分かる
x=0
なら
x^2+y^2=0
が成り立つか
つまりxが0のときyに何を代入しようとも
x^2+y^2=0が
成り立つかどうかってことだよね
その答えにもある通りy=1代入すれば
当たり前だけど不成立だよね？
必要条件十分条件をちょっと勘違いしてる感じがありそうですね(´・ω・｀)
解説に書いてあることは正しいですよ
x^2+y^2=0ってことはx､yが共に実数ってことからx=0って分かる
x=0
なら
x^2+y^2=0
が成り立つか
つまりxが0のときyに何を代入しようとも
x^2+y^2=0が
成り立つかどうかってことだよね
その答えにもある通りy=1代入すれば
当たり前だけど不成立だよね？
必要条件十分条件をちょっと勘違いしてる感じがありそうですね(´・ω・｀)
解説に書いてあることは正しいですよ
663 ：大学への名無しさん：2010/02/19(金) 00:04:26 ID:Hf7E4LqX0
>>657
y=(1-sinx/x)^2/3, z=1-sinx/xとするとy=z^2/3
dy/dx=(dy/dz)(dz/dx)とでもすると計算し易かろう。
計算省略。dy/dxの正負はsinx-xcosxに一致。
この式の正負を考える。x=pi/2,3pi/2を代入して1,-1に
なることから分かる通り、常に正というわけではない。
sinx-xcosx=cosx(tanx-x)で、pi<a<3pi/2, tana-a=0
となるx=aが存在し(y=tanx, y=xのグラフから)cosxの正負にも
気をつけると、dy/dx>0(0<x<a),dy/dx<0(a<x<2pi)
ちなみにグラフではy=tanxはx=0で接線y=xをもつことに留意。
y=(1-sinx/x)^2/3, z=1-sinx/xとするとy=z^2/3
dy/dx=(dy/dz)(dz/dx)とでもすると計算し易かろう。
計算省略。dy/dxの正負はsinx-xcosxに一致。
この式の正負を考える。x=pi/2,3pi/2を代入して1,-1に
なることから分かる通り、常に正というわけではない。
sinx-xcosx=cosx(tanx-x)で、pi<a<3pi/2, tana-a=0
となるx=aが存在し(y=tanx, y=xのグラフから)cosxの正負にも
気をつけると、dy/dx>0(0<x<a),dy/dx<0(a<x<2pi)
ちなみにグラフではy=tanxはx=0で接線y=xをもつことに留意。
665 ：大学への名無しさん：2010/02/19(金) 02:52:54 ID:UNtLaPdd0
数IIIですがe^log2=2になるみたいですがなぜでしょうか？
666 ：大学への名無しさん：2010/02/19(金) 04:20:48 ID:QCRvYqalO
>>666
分かりました。ありがとう
分かりました。ありがとう
668 ：大学への名無しさん：2010/02/19(金) 12:41:16 ID:OmIiVioQ0
ある個数のお菓子を７個ずつ袋に入れていくと、３個余ってしまった。
８個ずつ袋に入れていくと、４個余ってしまった。
では、これを１４個ずつ袋に入れていくと何個余ることになるか。
答えは１０個になりますが、解説を教えてもらえませんか？
８個ずつ袋に入れていくと、４個余ってしまった。
では、これを１４個ずつ袋に入れていくと何個余ることになるか。
答えは１０個になりますが、解説を教えてもらえませんか？
>>688
お菓子の個数は7の倍数にも8の倍数にも4足りない数
(もう4個あれば余りと合わせて、7個ずつでも8個ずつでも、ちょうどもう1袋作れる)
すなわち 56の倍数-4 の形の数。
56の倍数は自動的に14の倍数だから、個数は14の倍数に4足りない。
ってことは14で割ったとき余りは10。
お菓子の個数は7の倍数にも8の倍数にも4足りない数
(もう4個あれば余りと合わせて、7個ずつでも8個ずつでも、ちょうどもう1袋作れる)
すなわち 56の倍数-4 の形の数。
56の倍数は自動的に14の倍数だから、個数は14の倍数に4足りない。
ってことは14で割ったとき余りは10。
670 ：大学への名無しさん：2010/02/19(金) 22:42:27 ID:OmIiVioQ0
>>669
解説ありがとうございます。とても分かりやすかったです。
解説ありがとうございます。とても分かりやすかったです。
671 ：大学への名無しさん：2010/02/20(土) 07:53:29 ID:p62KFgSg0
組み合わせの問題です。
８個のお菓子を４つの箱に入れて分けようとする場合、何通りの分け方があるか。
ただし、どの箱にも少なくとも１個のお菓子が入っており、箱には区別がないものとする。
答えは1701通りですが、式が分かりません。
解説お願いします。
８個のお菓子を４つの箱に入れて分けようとする場合、何通りの分け方があるか。
ただし、どの箱にも少なくとも１個のお菓子が入っており、箱には区別がないものとする。
答えは1701通りですが、式が分かりません。
解説お願いします。
まずお菓子の数だけ考えると
５１１１
４２１１
３３１１
３２１１
２２２２
の５とうり
５１１１になるのは
８Ｃ５とうり
以下略
５１１１
４２１１
３３１１
３２１１
２２２２
の５とうり
５１１１になるのは
８Ｃ５とうり
以下略
n>=mのとき、n個のお菓子をm個の箱に入れる入れ方の総数をS(n,m)とする。
S(n,m)の値は、n=mまたはm=1のとき1、それ以外のときm*S(n-1,m)+S(n-1,m-1)に一致する。
S(n,m)の一般項を求めるには煩雑な計算が必要。手計算でn=8,m=4程度なら一般項求めるより>>672の方法のほうが早い。
S(n,m)の値は、n=mまたはm=1のとき1、それ以外のときm*S(n-1,m)+S(n-1,m-1)に一致する。
S(n,m)の一般項を求めるには煩雑な計算が必要。手計算でn=8,m=4程度なら一般項求めるより>>672の方法のほうが早い。
和積の公式の導き方で
sinA＋sinBを A＝α＋β、B＝α－βとおけば出せるようですが
そもそもなんでA＝α＋β、B＝α－βとおけるんですか？
sinA＋sinBを A＝α＋β、B＝α－βとおけば出せるようですが
そもそもなんでA＝α＋β、B＝α－βとおけるんですか？
逆におけない例をあげてくれ
というか
A＝α＋β、B＝α－β
とおいて計算するんでなくて、加法定理で
sin(α＋β)＋sin(α－β)
を先に計算したうえで
α＋β=Ａ、α－β=Ｂ
を代入してるんだから、なぜおけるかとかじゃない
自分でそうおいてるの
というか
A＝α＋β、B＝α－β
とおいて計算するんでなくて、加法定理で
sin(α＋β)＋sin(α－β)
を先に計算したうえで
α＋β=Ａ、α－β=Ｂ
を代入してるんだから、なぜおけるかとかじゃない
自分でそうおいてるの
>>674
A,Bがどんな数字であっても
α=(A+B)/2
β=(A-B)/2
とすれば、A＝α＋β、B＝α－βを成り立たせることができるから。
質問の意図していることと違うことを答えてたらごめん。
A,Bがどんな数字であっても
α=(A+B)/2
β=(A-B)/2
とすれば、A＝α＋β、B＝α－βを成り立たせることができるから。
質問の意図していることと違うことを答えてたらごめん。
必要十分条件を求める問題では、題意から求めた条件が十分条件であることを最後に必ず確認しないといけないはずですよね？
青チャートのⅢＣ、行列の基本例題18で必要条件を求めたところで終わっているようなので、気になって質問してみました
問題を書かなくてすみません・・・
青チャートのⅢＣ、行列の基本例題18で必要条件を求めたところで終わっているようなので、気になって質問してみました
問題を書かなくてすみません・・・
678 ：大学への名無しさん：2010/02/20(土) 17:15:18 ID:qcpe8v6fO
相変わらず馬鹿ばっかりで質問者が気の毒だな。
対称と反対称、パリティーなどを無視して、
「置けば答えが出るから覚えとけ。論理的には問題無し」
というような馬鹿な回答だな。
置き換えの代数構造をきちんと説明しろよ。馬鹿だから出来ないのか。
対称と反対称、パリティーなどを無視して、
「置けば答えが出るから覚えとけ。論理的には問題無し」
というような馬鹿な回答だな。
置き換えの代数構造をきちんと説明しろよ。馬鹿だから出来ないのか。
pedanticな馬鹿もいるけどな
青チャートⅡBの基本例題90（1）なのですが、
次の直線の方程式を求めよ
(1)2直線4x+3y-8=0、5y+3=0の成す角の二等分線
答えに、「求める二等分線上の点P（x,y）は、2直線4x+3y-8=0、5y+3=0から等距離にある。」
とあるのですが、何故ここでPは(x,y)だと言い切れてしまうんですか？
直線の式に代入するxの値が、二等分線上の点のx座標の値であると決めているわけですよね？
何を根拠にしているのでしょうか。変な質問なのかもしれませんが納得できないのでお願いします。
次の直線の方程式を求めよ
(1)2直線4x+3y-8=0、5y+3=0の成す角の二等分線
答えに、「求める二等分線上の点P（x,y）は、2直線4x+3y-8=0、5y+3=0から等距離にある。」
とあるのですが、何故ここでPは(x,y)だと言い切れてしまうんですか？
直線の式に代入するxの値が、二等分線上の点のx座標の値であると決めているわけですよね？
何を根拠にしているのでしょうか。変な質問なのかもしれませんが納得できないのでお願いします。
681 ：大学への名無しさん：2010/02/20(土) 20:28:06 ID:w8xmu74e0
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを平面上の相異なる４点とする。
（１）同じ平面上の点Ｐが
（＊）｜ＰＡ↑＋ＰＢ↑＋ＰＣ↑＋ＰＤ↑｜＾２
＝｜ＰＡ↑＋ＰＢ↑｜＾２＋｜ＰＣ↑＋ＰＤ↑｜＾２
を満たすとき、ＰＡ↑＋ＰＢ↑とＰＣ↑＋ＰＤ↑の内積を求めよ。
（２）（＊）を満たす点Ｐはどのような図形か。
（３）（２）で求めた図形が１点のみからなるとき、四角形ＡＣＢDは
平行四辺形であることを示せ。
答えは（１）０（２）線分ＡＢの中点をＭ、線分ＣＤの中点をＮとすると、ＭとＮが異なるとき、点Ｍと点Ｎを直径の両端とする円、ＭとＮが一致するとき、点Ｍ
なのですが・・・
どなたかお願いします ちなみにメジアンの３２３番です
（１）同じ平面上の点Ｐが
（＊）｜ＰＡ↑＋ＰＢ↑＋ＰＣ↑＋ＰＤ↑｜＾２
＝｜ＰＡ↑＋ＰＢ↑｜＾２＋｜ＰＣ↑＋ＰＤ↑｜＾２
を満たすとき、ＰＡ↑＋ＰＢ↑とＰＣ↑＋ＰＤ↑の内積を求めよ。
（２）（＊）を満たす点Ｐはどのような図形か。
（３）（２）で求めた図形が１点のみからなるとき、四角形ＡＣＢDは
平行四辺形であることを示せ。
答えは（１）０（２）線分ＡＢの中点をＭ、線分ＣＤの中点をＮとすると、ＭとＮが異なるとき、点Ｍと点Ｎを直径の両端とする円、ＭとＮが一致するとき、点Ｍ
なのですが・・・
どなたかお願いします ちなみにメジアンの３２３番です
>>680
＞「求める二等分線上の点P（x,y）は、2直線4x+3y-8=0、5y+3=0から等距離にある。」
「求める二等分線上の点Pの座標を（x,y）として、
Pは2直線4x+3y-8=0、5y+3=0から等距離にある。」の意。
直線の式のxやyとは関係ない。
いやなら(p,q)にでもしたらよい、手間が増えるだけだけど。
＞「求める二等分線上の点P（x,y）は、2直線4x+3y-8=0、5y+3=0から等距離にある。」
「求める二等分線上の点Pの座標を（x,y）として、
Pは2直線4x+3y-8=0、5y+3=0から等距離にある。」の意。
直線の式のxやyとは関係ない。
いやなら(p,q)にでもしたらよい、手間が増えるだけだけど。
>>681
(1)|PA↑+PB↑+PC↑+PD↑|^2
=(PA↑+PB↑+PC↑+PD↑)*(PA↑+PB↑+PC↑+PD↑)
=|PA↑+PB↑|^2+2(PA↑+PB↑)*(PC↑+PD↑)+|PC↑+PD↑|^2
=|PA↑+PB↑|^2+|PC↑+PD↑|^2(∵(＊))
よって
2(PA↑+PB↑)*(PC↑+PD↑)=0
∴(PA↑+PB↑)*(PC↑+PD↑)=0
(2)PA↑+PB↑=AB↑-2AP↑
=2{(1/2)AB↑-AP↑}
PC↑+PD↑=AC↑+AD↑-2AP↑ =2{(1/2)(AC↑+AD↑)-AP↑}
よって線分AB、CDの中点をそれぞれ点M、Nとすると
PA↑+PB↑=2(AM↑-AP↑)
PC↑+PD↑=2(AN↑-AP↑)
(PA↑+PB↑)*(PC↑+PD↑)=4(AM↑-AP↑)*(AN↑-AP↑)=0
∴(AM↑-AP↑)*(AN↑-AP↑)=0
よって点Pの奇跡は点M、Nを直径の両端とする円。
点M、Nが一致するときは点M
(3)点M、Nが一致するとき
(1/2)AB↑=(1/2)(AC↑+AD↑)
AB↑-AC↑=AD↑
∴CB↑=AD↑
よって四角形ACBDは平行四辺形
(1)|PA↑+PB↑+PC↑+PD↑|^2
=(PA↑+PB↑+PC↑+PD↑)*(PA↑+PB↑+PC↑+PD↑)
=|PA↑+PB↑|^2+2(PA↑+PB↑)*(PC↑+PD↑)+|PC↑+PD↑|^2
=|PA↑+PB↑|^2+|PC↑+PD↑|^2(∵(＊))
よって
2(PA↑+PB↑)*(PC↑+PD↑)=0
∴(PA↑+PB↑)*(PC↑+PD↑)=0
(2)PA↑+PB↑=AB↑-2AP↑
=2{(1/2)AB↑-AP↑}
PC↑+PD↑=AC↑+AD↑-2AP↑ =2{(1/2)(AC↑+AD↑)-AP↑}
よって線分AB、CDの中点をそれぞれ点M、Nとすると
PA↑+PB↑=2(AM↑-AP↑)
PC↑+PD↑=2(AN↑-AP↑)
(PA↑+PB↑)*(PC↑+PD↑)=4(AM↑-AP↑)*(AN↑-AP↑)=0
∴(AM↑-AP↑)*(AN↑-AP↑)=0
よって点Pの奇跡は点M、Nを直径の両端とする円。
点M、Nが一致するときは点M
(3)点M、Nが一致するとき
(1/2)AB↑=(1/2)(AC↑+AD↑)
AB↑-AC↑=AD↑
∴CB↑=AD↑
よって四角形ACBDは平行四辺形
685 ：大学への名無しさん：2010/02/21(日) 01:56:06 ID:F0tWifmP0
687 ：大学への名無しさん：2010/02/21(日) 12:20:00 ID:nTBaDlP2O
∫(1/cosx)dx、∫(1/sinx)dx
の定積分を計算してみたのですが、
ｰlog{1/(cosx)^2}となり、微分すると答えが合いません。
見た目は簡単なのですが、公式のようなものはあるのでしょうか？
の定積分を計算してみたのですが、
ｰlog{1/(cosx)^2}となり、微分すると答えが合いません。
見た目は簡単なのですが、公式のようなものはあるのでしょうか？
688 ：大学への名無しさん：2010/02/21(日) 12:33:24 ID:t90AEp260
＞＞６８４
解説ありがとうございます
解説ありがとうございます
>>687
ぐぐれば幾らでも出てくると思うけど…。
1/cosx＝cosx/(cosx)^2＝cosx/(1-(sinx)^2)
あとは部分分数分解すればlog～の形に積分できる。
sinの方も同様。
あとどうでもいいけどそりゃ定積分ではなくて不定積分ではなくて。
ぐぐれば幾らでも出てくると思うけど…。
1/cosx＝cosx/(cosx)^2＝cosx/(1-(sinx)^2)
あとは部分分数分解すればlog～の形に積分できる。
sinの方も同様。
あとどうでもいいけどそりゃ定積分ではなくて不定積分ではなくて。
三角関数の奇数乗なので
∫（sinx）^3dx を∫（sinx）^２＊(-cosx)'dx
∫（1-cosx*cosx）＊(-cosx)'dxと変形していくようにやれば解けるよ
分子分母にcosx or sinxを掛けて部分分数分解
∫（sinx）^3dx を∫（sinx）^２＊(-cosx)'dx
∫（1-cosx*cosx）＊(-cosx)'dxと変形していくようにやれば解けるよ
分子分母にcosx or sinxを掛けて部分分数分解
>>687
なんかいろいろ間違ってるぞ。
まず∫dx/cosxは定積分ではなく不定積分。
計算は
sinx=tとく
dt/dx=cosx
∫dx/cosx
=∫(1/cosx)(dt/cosx)
=∫dt/{1-(sinx)^2}
=∫dt/(1-t^2)
=(1/2)∫{1/(1-t)+1/(1+t)}dt
=(1/2)(-log|1-t|+log|1+t|)+C(Cは積分定数)
=(1/2)log|(1+sinx)/(1-sinx)|+C
なんかいろいろ間違ってるぞ。
まず∫dx/cosxは定積分ではなく不定積分。
計算は
sinx=tとく
dt/dx=cosx
∫dx/cosx
=∫(1/cosx)(dt/cosx)
=∫dt/{1-(sinx)^2}
=∫dt/(1-t^2)
=(1/2)∫{1/(1-t)+1/(1+t)}dt
=(1/2)(-log|1-t|+log|1+t|)+C(Cは積分定数)
=(1/2)log|(1+sinx)/(1-sinx)|+C
簡単な問題になるととたんに‥
微積分の極意 p9 3-(2)の解説において
n乗の式を割り算していますが、どうやったらその計算ができるのでしょうか？
計算の仕方を教えてください。
x＾ｎ-x^-n/x-x^-1=
a^n-b^n/a-b= のところです。
よろしくお願いします。
n乗の式を割り算していますが、どうやったらその計算ができるのでしょうか？
計算の仕方を教えてください。
x＾ｎ-x^-n/x-x^-1=
a^n-b^n/a-b= のところです。
よろしくお願いします。
694 ：大学への名無しさん：2010/02/21(日) 15:30:54 ID:NswkLS9sO
「-1<t<1のすべてのtに対して|4t^2+2t|≦k」
⇔6≦k
にすごく違和感を感じるんですがどういうことですか？
絶対値の中身が6になることはないのにイコール付きの不等号って。
⇔6≦k
にすごく違和感を感じるんですがどういうことですか？
絶対値の中身が6になることはないのにイコール付きの不等号って。
>>693
もう少し詳しく書いたら考えてみる
>>694
|4t^2+2t|=Aとおく
-1＜t＜1より
0≦A＜6
であるから
A≦k
をみたす最小のkはk=6
k≧6はAが6を含むって意味じゃなくてkが6を含むって意味
もう少し詳しく書いたら考えてみる
>>694
|4t^2+2t|=Aとおく
-1＜t＜1より
0≦A＜6
であるから
A≦k
をみたす最小のkはk=6
k≧6はAが6を含むって意味じゃなくてkが6を含むって意味
回答者を罵倒ばかりしている奴がいつもｽﾙｰされてて笑える。
>>695
今回の問題の方を書きます
lim(x→1) x^n-x^-n/x-x^-1 〈nは正の整数〉
です
解答ではこれについて、「x＾ｎ-x^-n/x-x^-1=を x=a、x^-1=bとおいて a^n-b^n/a-b=と求めると見やすい」
と書いています。
今回の問題の方を書きます
lim(x→1) x^n-x^-n/x-x^-1 〈nは正の整数〉
です
解答ではこれについて、「x＾ｎ-x^-n/x-x^-1=を x=a、x^-1=bとおいて a^n-b^n/a-b=と求めると見やすい」
と書いています。
698 ：大学への名無しさん：2010/02/21(日) 21:34:14 ID:hkwrvNljO
相変わらず馬鹿が回答してるな。
k≧6に「6を含む」なんて意味はねーよ。
馬鹿は自分の勉強をしてから教えろよ。
教える奴が馬鹿だと、教わる方の馬鹿が可哀想だな。
k≧6に「6を含む」なんて意味はねーよ。
馬鹿は自分の勉強をしてから教えろよ。
教える奴が馬鹿だと、教わる方の馬鹿が可哀想だな。
699 ：大学への名無しさん：2010/02/21(日) 22:52:44 ID:lxVWtayW0
y=|e^x-ax| (0≦x≦1)における最大値が2となるように
aの値を求めよ
という問題なんですがこれはどうしたらいいですか?
f(x)=e^x-ax (e^x>ax)、g(x)=ax-e^x (e^x<ax)となるから
x=α、x=βでf(x).g(x)が最大となるとき
e^α-aαとaβ-e^βの大小を比較して
大きいほうが2であることまではわかりますが・・・
具体的にどう計算したらいいのかがわかりません。
aの値を求めよ
という問題なんですがこれはどうしたらいいですか?
f(x)=e^x-ax (e^x>ax)、g(x)=ax-e^x (e^x<ax)となるから
x=α、x=βでf(x).g(x)が最大となるとき
e^α-aαとaβ-e^βの大小を比較して
大きいほうが2であることまではわかりますが・・・
具体的にどう計算したらいいのかがわかりません。
700 ：大学への名無しさん：2010/02/22(月) 01:19:14 ID:JpAOqrYy0
>>694
-1<t<1で|4t^2+2t|は0≦|4t^2+2t|<6
全てのt(-1<t<1)で|4t^2+2t|<k⇔全てのs(0≦s<6)でs<k
これを満たすkは6以上であることが必要十分。答えは6
仮に、全てのs(0≦s≦6)に対しs<kを満たすkの範囲なら6<kになる
また、全てのs(0≦s<6)に対しs≦k⇔6≦k
更に、全てのs(0≦s≦6)に対しs≦k⇔6≦k
6≦k⇔k=6または6<k
6≦k⇔k=6∧6<k なんて書かれたりする。
-1<t<1で|4t^2+2t|は0≦|4t^2+2t|<6
全てのt(-1<t<1)で|4t^2+2t|<k⇔全てのs(0≦s<6)でs<k
これを満たすkは6以上であることが必要十分。答えは6
仮に、全てのs(0≦s≦6)に対しs<kを満たすkの範囲なら6<kになる
また、全てのs(0≦s<6)に対しs≦k⇔6≦k
更に、全てのs(0≦s≦6)に対しs≦k⇔6≦k
6≦k⇔k=6または6<k
6≦k⇔k=6∧6<k なんて書かれたりする。
701 ：大学への名無しさん：2010/02/22(月) 02:02:37 ID:JpAOqrYy0
>>699
以下、愚劣な解き方だが。expx=e^xである。以下どの関数も定義域は[0,1]。
0<aで考えれば十分。
exp(p)=apとなるp∈Rはy=expx/x, y=aのグラフを考えて
a<eのとき0個、e≦aのとき1個
i)a<eのとき
y=expx-ax, dy/dx=expx-a
y=expx, y=aのグラフを考えてx=0または1でyは最大値をとるが、
y=1(x=0)なのでx=1でy=2となる場合を考えればよくa=e-2のとき
yはx=1で最大値2をとる
ii)e≦a
y=expx-ax[0,p],-expx+ax[p,1]
x=pを除く点で微分してyは連続性も考慮してx=0または1で最大値をとる。
i)と同様にしてa=e+2のときでyはx=1で最大値2をとる。
以上からa=e-2,e+2
以下、愚劣な解き方だが。expx=e^xである。以下どの関数も定義域は[0,1]。
0<aで考えれば十分。
exp(p)=apとなるp∈Rはy=expx/x, y=aのグラフを考えて
a<eのとき0個、e≦aのとき1個
i)a<eのとき
y=expx-ax, dy/dx=expx-a
y=expx, y=aのグラフを考えてx=0または1でyは最大値をとるが、
y=1(x=0)なのでx=1でy=2となる場合を考えればよくa=e-2のとき
yはx=1で最大値2をとる
ii)e≦a
y=expx-ax[0,p],-expx+ax[p,1]
x=pを除く点で微分してyは連続性も考慮してx=0または1で最大値をとる。
i)と同様にしてa=e+2のときでyはx=1で最大値2をとる。
以上からa=e-2,e+2
文系で数学は2Bまでなのですが、分数の微分を使って解いても点はもらえますか？
うん
704 ：大学への名無しさん：2010/02/22(月) 02:17:56 ID:JpAOqrYy0
>>697
公式のうち
公式のうち
705 ：大学への名無しさん：2010/02/22(月) 02:35:28 ID:ipQHhQAYO
馬鹿は消えないな。
間違った事を平気で教えるふてぶてしさには、ある意味感心する
論理記号を頑張って使ってみたものの、
使い方が分からず矛盾したことを書いてるし。
∧ってどういう意味だっけ？
本当に馬鹿は治らないんだな、と。
間違った事を平気で教えるふてぶてしさには、ある意味感心する
論理記号を頑張って使ってみたものの、
使い方が分からず矛盾したことを書いてるし。
∧ってどういう意味だっけ？
本当に馬鹿は治らないんだな、と。
706 ：大学への名無しさん：2010/02/22(月) 02:40:30 ID:JpAOqrYy0
ほんとだ∧じゃなくて∨だった。ご指摘感謝。
707 ：大学への名無しさん：2010/02/22(月) 08:23:48 ID:vYt0Ii/mO
参考書に高校数学範囲外だけど超重要定理だからしっておいた方がいいとして乗ってた定理があるんですけど名前がわかりますか？
行列の公式です
Δ＝行列式
①Δ（Ａ）Δ（Ｂ）＝Δ（ＡＢ）
②Δ（Ａ）^n＝Δ（Ａ^n）
行列の公式です
Δ＝行列式
①Δ（Ａ）Δ（Ｂ）＝Δ（ＡＢ）
②Δ（Ａ）^n＝Δ（Ａ^n）
>>707
名前なんてないだろ。
名前なんてないだろ。
A≧B → A>B 成り立つ
A≧B ← A>B 成り立たない
A≧BはA>Bであるための十分条件
A≧B ← A>B 成り立たない
A≧BはA>Bであるための十分条件
711 ：大学への名無しさん：2010/02/22(月) 13:00:18 ID:sWfEgLli0
逆でしょ
A≧B ⇔ A>BまたはA=B から
A≧B → A>B 偽
A≧B ← A>B 真
A≧BはA>Bであるための必要条件
A≧B ⇔ A>BまたはA=B から
A≧B → A>B 偽
A≧B ← A>B 真
A≧BはA>Bであるための必要条件
１～９から３つ同時に選ぶ
3つの積が6の倍数になる選び方は何通りか
・６と他の2つ
8C2=28
・３と６以外の｛偶数（２，４，８）と１つ（例：１，４，５，７，８，９）｝
3・6=18
・９と（６，３）以外の｛偶数（２，４，８）と１つ（例：１，４，５，７，８）｝
3・5=15
以上で６１通り
解答は５５通りです
どこで重複してますか？
3つの積が6の倍数になる選び方は何通りか
・６と他の2つ
8C2=28
・３と６以外の｛偶数（２，４，８）と１つ（例：１，４，５，７，８，９）｝
3・6=18
・９と（６，３）以外の｛偶数（２，４，８）と１つ（例：１，４，５，７，８）｝
3・5=15
以上で６１通り
解答は５５通りです
どこで重複してますか？
>>712
二番目と三番目の場合分けで例えば
(3,2,4)と(3,4,2)をそれぞれ一通りとして数えてる
そのやり方よりは
A(1,5,7) B(2,4,8) C(3,9) D(6)
とわけて
・Dと他から2つ
8C2=28
・A,B,Cから１つずつ
3C1*3C1*2C1=18
・Bから2つ、Cから1つ
3C2*2C1=6
・Bから1つ、Cから2つ
3C1*2C2=3
合計55
のほうがいいかも
二番目と三番目の場合分けで例えば
(3,2,4)と(3,4,2)をそれぞれ一通りとして数えてる
そのやり方よりは
A(1,5,7) B(2,4,8) C(3,9) D(6)
とわけて
・Dと他から2つ
8C2=28
・A,B,Cから１つずつ
3C1*3C1*2C1=18
・Bから2つ、Cから1つ
3C2*2C1=6
・Bから1つ、Cから2つ
3C1*2C2=3
合計55
のほうがいいかも
すっきりしました
ありがとう！
ありがとう！
基本対称式についてご質問します。
２つの実数、３つの実数についての基本対称式は教科書等に掲載されていますが、
４つの実数、５つの実数…について記載がありません。
ｎ個の実数における基本対称式はどのように表されるのでしょうか。
２つの実数、３つの実数についての基本対称式は教科書等に掲載されていますが、
４つの実数、５つの実数…について記載がありません。
ｎ個の実数における基本対称式はどのように表されるのでしょうか。
716 ：大学への名無しさん：2010/02/23(火) 01:45:45 ID:5WjLbTwv0
a+b+c+d, ab+bc+cd+ac+bd+ad, bcd+acd+abd+abc, abcd
k(k=1,2,...,n)個の積のnCk通りの和
k(k=1,2,...,n)個の積のnCk通りの和
ありがとうございます。
文系プラチカ34番より、本の回答ではnが0以上に絞られていたのですが……
1/xの小数部分がx/2に等しくなるような正の数xをすべて求めよ。
【自分の解答】
小数部分が等しいので2数の差は整数になる。
ゆえに、nを整数とおくと
x/2-1/x=n
⇔ x^2/2-nx-1=0
⇔ x^2-2nx-2=0
⇔ x=n+√(n^2+2) (x>0よりx=n-√(n^2+2)は不適)
プラチカに載ってるのだと、1/xをn+αと置いて進めた結果
x=√(n^2+2)-n （nは0以上の整数）となっていました。
自分のも合っている気がして腑に落ちないのですが、どこが間違っているのでしょうか。
1/xの小数部分がx/2に等しくなるような正の数xをすべて求めよ。
【自分の解答】
小数部分が等しいので2数の差は整数になる。
ゆえに、nを整数とおくと
x/2-1/x=n
⇔ x^2/2-nx-1=0
⇔ x^2-2nx-2=0
⇔ x=n+√(n^2+2) (x>0よりx=n-√(n^2+2)は不適)
プラチカに載ってるのだと、1/xをn+αと置いて進めた結果
x=√(n^2+2)-n （nは0以上の整数）となっていました。
自分のも合っている気がして腑に落ちないのですが、どこが間違っているのでしょうか。
720 ：大学への名無しさん：2010/02/23(火) 21:34:54 ID:tMgNY2j/0
nを整数とおくとx/2-1/x=n とあるがここが問題。
x/2＝2.5 x/2＝1.5 は条件を満たさないが
x/2-1/x=nは満たす。
x/2＝2.5 x/2＝1.5 は条件を満たさないが
x/2-1/x=nは満たす。
問題の意味は、｢それぞれの小数部分が一致する｣じゃなくて、｢1/x の小数部分が 2/x そのものに一致する｣
xcosθ+ysinθ=x+y-1/2
でθが実数全体で変化する時の通過範囲。
解答プロセスをお願いします
でθが実数全体で変化する時の通過範囲。
解答プロセスをお願いします
>>722
「θが実数全体で変化するときのxcosθ+ysinθ=x+y-1/2通過領域」
＝「xcosθ+ysinθ=x+y-1/2をみたすθが存在するためのx, yの条件」
＝「ax+by=x+y-1/2, a^2+b^2=1をみたす実数a, bが存在するためのx, yの条件」
→ab平面で円と直線が交わる条件を考える。
「θが実数全体で変化するときのxcosθ+ysinθ=x+y-1/2通過領域」
＝「xcosθ+ysinθ=x+y-1/2をみたすθが存在するためのx, yの条件」
＝「ax+by=x+y-1/2, a^2+b^2=1をみたす実数a, bが存在するためのx, yの条件」
→ab平面で円と直線が交わる条件を考える。
724 ：大学への名無しさん：2010/02/24(水) 05:15:10 ID:3ruG50DN0
(x,y)=( tcosθ+(2sinθ)/t , tsinθ-(2cosθ)/t )
からtを消して
(xcosθ+ysinθ)(xsinθ-ycosθ)=2
にしたいのですが計算ができません、どういう風にすれば出るのでしょうか？
からtを消して
(xcosθ+ysinθ)(xsinθ-ycosθ)=2
にしたいのですが計算ができません、どういう風にすれば出るのでしょうか？
∫[2,1] 1/(x+√x) dx のアプローチって
t=√x
t^2=x
2t=dx/dt
x 1 → 2:
t: 1 → √2
∫[√2,1] (1/t - 1/(t+1)) 2t dt
=∫[√2,1] ( 2 - 2t/(t+1)) dt
ここまであってますか？
これから行き詰まりました＞＜ 教えてください
t=√x
t^2=x
2t=dx/dt
x 1 → 2:
t: 1 → √2
∫[√2,1] (1/t - 1/(t+1)) 2t dt
=∫[√2,1] ( 2 - 2t/(t+1)) dt
ここまであってますか？
これから行き詰まりました＞＜ 教えてください
積分範囲は逆でした＞＜；
違うアプローチ試してみました＞＜
1/(x+√x) =1/{√x (√x +1)} = 1/√x - 1/(√x+1)
∫[1,2]1/√x dx
=[-2/3x^(-3/2)][x=1,2]
=-1/3√2 + 2/3 ・・・①
t=√x+1
x=t^2-2t+1
dx/dt=2(t-1)
x: 1 -> 2
t: 2 -> √2 + 1
∫[1,2]1/(√x+1)dx = ∫[2,√2 + 1]2(t-1)/t dt
= 2∫[2,√2 + 1] (1 - 1/t) dt = 2 [ t - logt] [x = 2, √2 + 1]
という方針でよかったですか？
違うアプローチ試してみました＞＜
1/(x+√x) =1/{√x (√x +1)} = 1/√x - 1/(√x+1)
∫[1,2]1/√x dx
=[-2/3x^(-3/2)][x=1,2]
=-1/3√2 + 2/3 ・・・①
t=√x+1
x=t^2-2t+1
dx/dt=2(t-1)
x: 1 -> 2
t: 2 -> √2 + 1
∫[1,2]1/(√x+1)dx = ∫[2,√2 + 1]2(t-1)/t dt
= 2∫[2,√2 + 1] (1 - 1/t) dt = 2 [ t - logt] [x = 2, √2 + 1]
という方針でよかったですか？
新スタ演9.13「四面体ABCD、面ABC上の点PとBCD上の点Q、
AP↑＝xAB↑ + yBC↑、AQ↑= sAB↑ + tAC↑ +uAD↑とおく時
x:y = s:t ならば線分AQとＤＰが交わることを示せ」
C**のレーティングで、解答では いろいろやって結局
「A,D,P,Qが同一平面上だから」線分AQとDPが交わる、としてるのだけれど（x=y=0 または s=t=0 の場合は除外している）
これって「x:y=s:tだからs=kx,t=kyと実数を使って書けるから
AQ↑=k（xAB↑+ yAC↑)+uAD↑
=kAP↑+uAD↑」
で即完了じゃないか?
AP↑＝xAB↑ + yBC↑、AQ↑= sAB↑ + tAC↑ +uAD↑とおく時
x:y = s:t ならば線分AQとＤＰが交わることを示せ」
C**のレーティングで、解答では いろいろやって結局
「A,D,P,Qが同一平面上だから」線分AQとDPが交わる、としてるのだけれど（x=y=0 または s=t=0 の場合は除外している）
これって「x:y=s:tだからs=kx,t=kyと実数を使って書けるから
AQ↑=k（xAB↑+ yAC↑)+uAD↑
=kAP↑+uAD↑」
で即完了じゃないか?
729 ：大学への名無しさん：2010/02/24(水) 18:22:30 ID:gbastiQZ0
∫[3,0]|4-2x|dxを解いたら、－５になったのですが、答えは５になっています。
みなさんはどうなりますか？本の答えが間違ってるような気がするのですが。
みなさんはどうなりますか？本の答えが間違ってるような気がするのですが。
そうだね
絶対値
732 ：大学への名無しさん：2010/02/24(水) 18:26:54 ID:8uyZhC3a0
積分区間が反対かも
おお、そうだｗ
[3,0]なら解くまでもなく－だな
[3,0]なら解くまでもなく－だな
>>726
2t/(t+1)は(2(t+1)-2)/(t+1)=2-2/(t+1)と変形すれば積分可能。
>>727
1/(√x-1)はわざわざ置換するほどでもないだろ？
>>729
積分区間を[0, 2]と[2, 3]に分ける。
2t/(t+1)は(2(t+1)-2)/(t+1)=2-2/(t+1)と変形すれば積分可能。
>>727
1/(√x-1)はわざわざ置換するほどでもないだろ？
>>729
積分区間を[0, 2]と[2, 3]に分ける。
736 ：大学への名無しさん：2010/02/24(水) 20:17:31 ID:Fd/XelPE0
http://www.tokyo-np.co.jp/k-shiken/10/tokyo/tko/tko-su/su2.html
都立高校入試にまさかのパップスギュルダン降臨でワロタ。
都立高校入試にまさかのパップスギュルダン降臨でワロタ。
-1/9の三乗根の求め方を教えてください
y=x^sinx を微分せよ という問題で、
両辺に自然対数をとる方法ではできるのですが、
合成関数の微分法でできないですか？
dy/dx=dx^sinx/dsinx * dsinx/dx
y'=x^sinx*logx*conx
となるんですが、答えと一致しません。
何処がダメなんでしょうか。
両辺に自然対数をとる方法ではできるのですが、
合成関数の微分法でできないですか？
dy/dx=dx^sinx/dsinx * dsinx/dx
y'=x^sinx*logx*conx
となるんですが、答えと一致しません。
何処がダメなんでしょうか。
>>739
なるほど。定数じゃないとダメなんですか。
でもそうすると、dx^sinx/dsinx ってどの公式に当てはめれば
いいんでしょうか。(sinx)x^{(sinx)-1} かなと思ったんですが
それでも上手くいかず・・・
>>740
x^(sinx)=(e^(logx))^(sinx)の変形が分かりません。
sinx=log_{e}(x^(sinx))となって、どうするんでしょう。
なるほど。定数じゃないとダメなんですか。
でもそうすると、dx^sinx/dsinx ってどの公式に当てはめれば
いいんでしょうか。(sinx)x^{(sinx)-1} かなと思ったんですが
それでも上手くいかず・・・
>>740
x^(sinx)=(e^(logx))^(sinx)の変形が分かりません。
sinx=log_{e}(x^(sinx))となって、どうするんでしょう。
743 ：大学への名無しさん：2010/02/26(金) 23:31:59 ID:dDPfZg6Y0
これって計算できますか？
√の中に√はダメなのに、うまく二重根号を外せません
r^2=-6+50√2
r=?
√の中に√はダメなのに、うまく二重根号を外せません
r^2=-6+50√2
r=?
>>743
√の中に√はダメって誰が決めた？
√の中に√はダメって誰が決めた？
ありがとうございます。
√の中に√はダメと勝手に思いこんでいました。
√の中に√はダメと勝手に思いこんでいました。
2重根号って、√の中に√が入ってるやつの計算だったような・・・
だから√の中に√が入ってる数式は高校生なら見ると思う
だから√の中に√が入ってる数式は高校生なら見ると思う
>>745
てかさ、>>746が言ってるとおりだけど、二重根号を外すって操作がある時点で、
二重根号が認められてるわけだと思わないか？ たとえば√(4+2√3)=√3+1なわけ
だけど、こういうことを高校生がやってるってことは、すでに「√の中に√」が
認められてるわけだよな？
ひょっとして、√iとか√(1+i)みたいに√の中が虚数ってのと混同してないか？
てかさ、>>746が言ってるとおりだけど、二重根号を外すって操作がある時点で、
二重根号が認められてるわけだと思わないか？ たとえば√(4+2√3)=√3+1なわけ
だけど、こういうことを高校生がやってるってことは、すでに「√の中に√」が
認められてるわけだよな？
ひょっとして、√iとか√(1+i)みたいに√の中が虚数ってのと混同してないか？
>>723
ありがとうございました。
ありがとうございました。
749 ：大学への名無しさん：2010/02/27(土) 22:54:59 ID:3qaxZ1+h0
I(n)=∫[0.π/2]|sinx-sint|dxの最小値とそのときのtの値を求めよ
ただし0≦t≦π/2
という問題で次のように途中まで解きました
0≦sint≦1なので、sint=sinxとなるxをαととると
I(n)=∫[0.α](sint-sinx)dx+∫[α.π/2](sinx-sint)dx
=2cosα+(2sint)α-(π/2)sint+1
で、αを消去してtだけの式にしようと思い
sinα=sintからα消せないなぁ・・・
と考えそこで挫折しました。
よろしくお願いします。
ただし0≦t≦π/2
という問題で次のように途中まで解きました
0≦sint≦1なので、sint=sinxとなるxをαととると
I(n)=∫[0.α](sint-sinx)dx+∫[α.π/2](sinx-sint)dx
=2cosα+(2sint)α-(π/2)sint+1
で、αを消去してtだけの式にしようと思い
sinα=sintからα消せないなぁ・・・
と考えそこで挫折しました。
よろしくお願いします。
I(n)=∫[0,t](sint-sinx)dx+∫[t,π/2](sinx-sint)dx
としてみたらいかがでしょうか
としてみたらいかがでしょうか
αβ=12,α^3+β^3=91を満たす実数の組(α,β)をすべて求めよっていう問題がわかりません
教えてください
教えてください
すみません自己解決いたしました
原点Oとする座標空間において、点A(1,0,-1)と点B(2,2,1)をとる
二点A、Bを通る直線 L 上の点Pが、OP⊥L をみたすとき、点Pの座標は?
よろしくお願いします
二点A、Bを通る直線 L 上の点Pが、OP⊥L をみたすとき、点Pの座標は?
よろしくお願いします
>>755
OP↑=(1-t)(1,0,-1)+t(2,2,1)とでもおいて、OP↑・AB↑=0。
OP↑=(1-t)(1,0,-1)+t(2,2,1)とでもおいて、OP↑・AB↑=0。
>>756
ありがとうございます
ありがとうございます
f(x) = -f(-x)
および
f(2x)=a・4^x+a-4/4^x+1
が成り立つとき a の値は？
および
f(2x)=a・4^x+a-4/4^x+1
が成り立つとき a の値は？
4^x+a-4/4^x+1 のxを2x/2に置き換える
f(x)の式を求める
f(１) = -f(-１)を解いてaの候補を探す
f(x)の式にaの値を代入してf(x) = -f(-x) が成り立つことを確かめる
f(x)の式を求める
f(１) = -f(-１)を解いてaの候補を探す
f(x)の式にaの値を代入してf(x) = -f(-x) が成り立つことを確かめる
ありがとうございます
761 ：大学への名無しさん：2010/03/04(木) 13:41:02 ID:7KZ+cZHR0
aを任意の実数にするとき、２つの直線 ax+y=a, x-ay=-1 の交点はどんな図形をえがくか
という問題なのですが、答えがx^2+y^2=1 ただし、点（1,0)を除く
となっているのですが、点(1,0)を除くというのはどこからきたのでしょうか？求め方がわかりません。
どなたかお願いします。
という問題なのですが、答えがx^2+y^2=1 ただし、点（1,0)を除く
となっているのですが、点(1,0)を除くというのはどこからきたのでしょうか？求め方がわかりません。
どなたかお願いします。
ax+y=aは直線x=1にだけはなりえない
-x+ay=1も同様に直線y=0にだけはなれないから
-x+ay=1も同様に直線y=0にだけはなれないから
>>761
数式処理時に機械的に処理しちゃう。
①ax+y=aからa=y/(x-1)を導いて、
②x-ay=-1に代入してaを消去する操作をするんだけど、
①のときに分母(x-1)≠0を確認しておかないと①の操作の正当性を主張できない。
で、x-1=0のときはax+y=aからy=0になるので、点(1,0)が除外される。
数式処理時に機械的に処理しちゃう。
①ax+y=aからa=y/(x-1)を導いて、
②x-ay=-1に代入してaを消去する操作をするんだけど、
①のときに分母(x-1)≠0を確認しておかないと①の操作の正当性を主張できない。
で、x-1=0のときはax+y=aからy=0になるので、点(1,0)が除外される。
易しい問題になるとすごい反応だな‥
>x-1=0のときはax+y=aからy=0になるので、点(1,0)が除外される
こう書くと減点だろうね
分子=0 の点が必ず除外されるわけじゃないから
こう書くと減点だろうね
分子=0 の点が必ず除外されるわけじゃないから
その前に>>761に、じゃあx^2+y^2=1はどこから導いたのかを
聞くべきじゃないのか？
聞くべきじゃないのか？
答え見ただけだろｗ
773 ：大学への名無しさん：2010/03/05(金) 19:22:50 ID:6/cmDoQL0
x,y,z∈N x<y<z の時
（x+y）^z=（y+z）^x=（z+x）^y
を満たすx,y,zを求めよ
この問題教えてください
気になってさっきまで寝てました
（x+y）^z=（y+z）^x=（z+x）^y
を満たすx,y,zを求めよ
この問題教えてください
気になってさっきまで寝てました
>>773
x<y<zより
（x+y）^z＞(2x)^z
||
（y+z）^x＜(2z)^x
∴(2x)^z＜(2z)^x⇔zlog2x＜xlog2z⇔(log2x)/x＜(log2z)/z(x<z、3≦z)…①
でなくてはならない
f(x)=(log2x)/xとおくと
f'(x)=(1-log2x)/x^2よりx=e/2＞1でf(x)は単調減少だから①に成り得ない
よって題意を満たすx,y,zは存在しない
間違っててもしらん
x<y<zより
（x+y）^z＞(2x)^z
||
（y+z）^x＜(2z)^x
∴(2x)^z＜(2z)^x⇔zlog2x＜xlog2z⇔(log2x)/x＜(log2z)/z(x<z、3≦z)…①
でなくてはならない
f(x)=(log2x)/xとおくと
f'(x)=(1-log2x)/x^2よりx=e/2＞1でf(x)は単調減少だから①に成り得ない
よって題意を満たすx,y,zは存在しない
間違っててもしらん
775 ：大学への名無しさん：2010/03/05(金) 22:15:34 ID:R7BEx51YO
学校の宿題ですが分かりません…
どなたかお願いします
①∫[a→b](x-a)^m(b-x)^ndxをa,b,m,nを用いて表せ
②∫[s→t]√{(x-s)(t-x)}dxを計算し,(1/2)!を求めよ
どなたかお願いします
①∫[a→b](x-a)^m(b-x)^ndxをa,b,m,nを用いて表せ
②∫[s→t]√{(x-s)(t-x)}dxを計算し,(1/2)!を求めよ
ご質問します。
不等式の指揮範囲の計算についてなのですが、
A>x>B ―①, C>y>D ―②
という x, y において、x/2 + y/3 を求めよ
という問題があった場合、A, B, C, D に少数が含まれていても、少数-分数 を統一せず
①+②
としても、減点は無いのでしょうか。
ﾁｬｰﾄ模範解答において、それらが片方に統一しようとする流れが見られません。
ご指導お願いいたします。
不等式の指揮範囲の計算についてなのですが、
A>x>B ―①, C>y>D ―②
という x, y において、x/2 + y/3 を求めよ
という問題があった場合、A, B, C, D に少数が含まれていても、少数-分数 を統一せず
①+②
としても、減点は無いのでしょうか。
ﾁｬｰﾄ模範解答において、それらが片方に統一しようとする流れが見られません。
ご指導お願いいたします。
778 ：大学への名無しさん：2010/03/06(土) 18:44:05 ID:hT5f0Tby0
まあ小数を分数に直しやすい場合は分数で
分数のが小数に直しやすい場合は小数に直せばいいかと
ただ普通は小数点以下○位まで求めよって感じの問題でない限り
数学では既約分数で答える(分数をわざわざ小数になおして
答ってなってるケース殆どないでしょ)
ただ評価の問題(整数関連で多い)とかでは小数で攻めてったほうがいい
例えば3/2＜x＜11/3を満たす整数xを求めろみたいな問題だと
小数に直せば1.5＜x＜3.6666…ですぐx=2,3って分かるでしょ
分数のが小数に直しやすい場合は小数に直せばいいかと
ただ普通は小数点以下○位まで求めよって感じの問題でない限り
数学では既約分数で答える(分数をわざわざ小数になおして
答ってなってるケース殆どないでしょ)
ただ評価の問題(整数関連で多い)とかでは小数で攻めてったほうがいい
例えば3/2＜x＜11/3を満たす整数xを求めろみたいな問題だと
小数に直せば1.5＜x＜3.6666…ですぐx=2,3って分かるでしょ
779 ：大学への名無しさん：2010/03/06(土) 20:18:03 ID:A73ncu6/0
ご質問します。
大学の二次入試験で、2√5 のところを √20 って書いてしまいました。
５点くらいの減点は覚悟した方がいいでしょうか？
ご回答何卒よろしくお願いいたします。
大学の二次入試験で、2√5 のところを √20 って書いてしまいました。
５点くらいの減点は覚悟した方がいいでしょうか？
ご回答何卒よろしくお願いいたします。
そりゃ減点は覚悟したほうがいいんじゃね
満点かもしれないし、零点かもしれない
満点かもしれないし、零点かもしれない
ろくでもないクソ大学じゃ無ければ大した減点はしない
私立なら全般で怪しいが、まともな国立なら数点だろう
私立なら全般で怪しいが、まともな国立なら数点だろう
こんにちは。突然ですみませんが、確率の分野で教えて頂きたい問題があります。
以下の問題なのですが、
解き方の出だし(方針)だけでも教えて頂けないでしょうか。
立方体 A1A2A3A4ーB1B2B3B4 の辺上を動く点Ｃがある。
点Ｃは最初に頂点A1にあり、1秒ごとに立方体の頂点の1つから隣り合う3つの頂点のいずれかへそれぞれ確率1/3で動くものとする。
正の整数nに対して、点Ｃがn秒後に頂点A1,A2,A3,A4のいずれかにある確率をPnとし、
点Ｃがn秒後に頂点B1,B2,B3,B4のいずれかにある確率をQnとする。
(1)3秒後に点Ｃが頂点B3にある確率は□である。
(2)P1=□,P2=□,P3=□である。
(3)Pn+1=□Pn＋□Qn である。
(4)(Qn+1－Qn+2)/(Pn+1－Pn)=□ である。
(5)Pn＋Qn=□,Pn－Qn=(□)^n である。
樹形図を書くことで3秒後までは確率を求めることができますが、確率を一般式で表すことができません。
どのように考えれば(場合分けをすれば)いいのでしょうか。
以下の問題なのですが、
解き方の出だし(方針)だけでも教えて頂けないでしょうか。
立方体 A1A2A3A4ーB1B2B3B4 の辺上を動く点Ｃがある。
点Ｃは最初に頂点A1にあり、1秒ごとに立方体の頂点の1つから隣り合う3つの頂点のいずれかへそれぞれ確率1/3で動くものとする。
正の整数nに対して、点Ｃがn秒後に頂点A1,A2,A3,A4のいずれかにある確率をPnとし、
点Ｃがn秒後に頂点B1,B2,B3,B4のいずれかにある確率をQnとする。
(1)3秒後に点Ｃが頂点B3にある確率は□である。
(2)P1=□,P2=□,P3=□である。
(3)Pn+1=□Pn＋□Qn である。
(4)(Qn+1－Qn+2)/(Pn+1－Pn)=□ である。
(5)Pn＋Qn=□,Pn－Qn=(□)^n である。
樹形図を書くことで3秒後までは確率を求めることができますが、確率を一般式で表すことができません。
どのように考えれば(場合分けをすれば)いいのでしょうか。
続けてすみません。大学受験生で高校数学は全て履修しました。
>>783
n+1秒後にA1,A2,A3,A4のいずれかにあるのは、n秒後にA1,A2,A3,A4のいずれかにあって、そこからA1,A2,A3,A4のいずれかに移動する場合と、n秒後にB1,B2,B3,B4のいずれかにあって、そこからAに移動する場合
n+1秒後にA1,A2,A3,A4のいずれかにあるのは、n秒後にA1,A2,A3,A4のいずれかにあって、そこからA1,A2,A3,A4のいずれかに移動する場合と、n秒後にB1,B2,B3,B4のいずれかにあって、そこからAに移動する場合
解くことができました!この系統の問が苦手だったので、とても助かりました。類題探して練習してみます。ありがとうございました!
>>787
立方体 A1A2A3A4ーB1B2B3B4 の辺上を動く点Ｃがある。
点Ｃは最初に頂点A1にあり、1秒ごとに立方体の頂点の1つから隣り合う3つの頂点のいずれかへそれぞれ確率1/3で動くものとする。
正の整数nに対して、点Ｃがn秒後に頂点A1にある確率をPnとする。Pnをｎの式で表してください。
立方体 A1A2A3A4ーB1B2B3B4 の辺上を動く点Ｃがある。
点Ｃは最初に頂点A1にあり、1秒ごとに立方体の頂点の1つから隣り合う3つの頂点のいずれかへそれぞれ確率1/3で動くものとする。
正の整数nに対して、点Ｃがn秒後に頂点A1にある確率をPnとする。Pnをｎの式で表してください。
789 ：大学への名無しさん：2010/03/07(日) 21:59:50 ID:2iS/82qL0
問題ひどすぎました。ごめんなさい
こっちに訂正
正八面体A1A2A3A4A5A6の辺上を動く点Ｃがある。
点Ｃは最初に頂点A1にあり、1秒ごとに立方体の頂点の1つから隣り合う4つの頂点のいずれかへそれぞれ確率1/4で動くものとする。
正の整数nに対して、点Ｃがn秒後に頂点A1にある確率をPnとする。Pnをｎの式で表してください。
こっちに訂正
正八面体A1A2A3A4A5A6の辺上を動く点Ｃがある。
点Ｃは最初に頂点A1にあり、1秒ごとに立方体の頂点の1つから隣り合う4つの頂点のいずれかへそれぞれ確率1/4で動くものとする。
正の整数nに対して、点Ｃがn秒後に頂点A1にある確率をPnとする。Pnをｎの式で表してください。
ＡとＢのグループ分けでは漸化式が立てられないと思ったので、
立方体をななめに切るように頂点を３つのグループに分けて漸化式を作ろうとしたのですがどう考えればいいのかわからなくなりました…
立方体をななめに切るように頂点を３つのグループに分けて漸化式を作ろうとしたのですがどう考えればいいのかわからなくなりました…
先程訂正に気付かず、とんちんかんな事を書いてしまいすみませんでした。
訂正後の問を考えました。
八面体の両端それぞれと真ん中の4頂点との3グループに分け、各グループにいる確率を上からPn,Qn,Rnとし、
Pn+1
=1/4Qn
=1/4(Pnｰ1＋1/2Qnｰ1＋Rnｰ1)
=1/4{Pnｰ1＋1/2Qnｰ1＋(1－Pnｰ1－Qnｰ1)}
=1/4(1－1/2Qnｰ1)
とし変形してみたのですが、方針が見えないです…。
Pnだけの漸化式にし、その後漸化式を解く事が目標ですよね。
訂正後の問を考えました。
八面体の両端それぞれと真ん中の4頂点との3グループに分け、各グループにいる確率を上からPn,Qn,Rnとし、
Pn+1
=1/4Qn
=1/4(Pnｰ1＋1/2Qnｰ1＋Rnｰ1)
=1/4{Pnｰ1＋1/2Qnｰ1＋(1－Pnｰ1－Qnｰ1)}
=1/4(1－1/2Qnｰ1)
とし変形してみたのですが、方針が見えないです…。
Pnだけの漸化式にし、その後漸化式を解く事が目標ですよね。
Pn=1/4Qnｰ1
793 ：大学への名無しさん：2010/03/07(日) 23:32:58 ID:2iS/82qL0
こちらこそとんちんかんですいませんでした
漸化式を書くと
①Pn+1=1/4Qn
②Qn+1=Pn + 1/2Qn + Rn
③Rn+1 = 1/4Qn
ここまで来たら①＋③を計算してPn+Rn=Tnと置けば
④Qn+1=Ｔn + 1/2Qn
⑤Tn+1=1/2Qn
⑤よりＴn+2=1/2Qn+1なので④に代入すると隣接三項間の漸化式になります
漸化式を書くと
①Pn+1=1/4Qn
②Qn+1=Pn + 1/2Qn + Rn
③Rn+1 = 1/4Qn
ここまで来たら①＋③を計算してPn+Rn=Tnと置けば
④Qn+1=Ｔn + 1/2Qn
⑤Tn+1=1/2Qn
⑤よりＴn+2=1/2Qn+1なので④に代入すると隣接三項間の漸化式になります
そんなことしなくても>>791でPnの二項間になってる
ID: 2iS/82qL0
ID: j8LvPAg6O
お前らは二人で何をしてんだ？ 問題の出しっこだったら他所でやれ。
ID: j8LvPAg6O
お前らは二人で何をしてんだ？ 問題の出しっこだったら他所でやれ。
>>794 2項間漸化式に見えないです…。
>>793 Tnあたりからの変形に感動しました。似たような問ではいつもこの変形でどんどん複雑にしてしまうのです。
各グループごとに確率を考え、必要な項をnをずらして作りながら足し引きして１つの漸化式を作ればいいのですね。
ありがとうございました!
>>795 ご迷惑をおかけしました。。
>>793 Tnあたりからの変形に感動しました。似たような問ではいつもこの変形でどんどん複雑にしてしまうのです。
各グループごとに確率を考え、必要な項をnをずらして作りながら足し引きして１つの漸化式を作ればいいのですね。
ありがとうございました!
>>795 ご迷惑をおかけしました。。
Pn+1=1/4(1－1/2Qnｰ1)
に
Pn=1/4Qnｰ1
を代入してみろ
に
Pn=1/4Qnｰ1
を代入してみろ
798 ：大学への名無しさん：2010/03/08(月) 16:32:57 ID:XVQVj8p10
>>796
私が問題だしたせいで怒られてしまいましたね ごめんなさい
私は２ｃｈのおかげで満足のいく大学に受かったので少しでも恩返しがしたかっただけなののですが
まあでも少しはお役に立てたようなので嬉しいです
私が問題だしたせいで怒られてしまいましたね ごめんなさい
私は２ｃｈのおかげで満足のいく大学に受かったので少しでも恩返しがしたかっただけなののですが
まあでも少しはお役に立てたようなので嬉しいです
質問です。
x＾２－(a＋１)x＋a＜０
３x＾２＋２x－１＞０ を同時に満たす整数がちょうど３つ存在するような定数aの値の範囲を求めよ。
答えは－５≦a＜－４ 、 ４＜a≦５ となっているのですが、aが－５のときxの整数解が－５、－４、－３、－２
また、aが５のときxの整数解が５，４，３，２ のようになり解が４つになってしまうので、
－５＜a＜－４ ４＜a＜５ が答えだとおもうのですが、ちがうのでしょうか。
よろしくお願いします。
x＾２－(a＋１)x＋a＜０
３x＾２＋２x－１＞０ を同時に満たす整数がちょうど３つ存在するような定数aの値の範囲を求めよ。
答えは－５≦a＜－４ 、 ４＜a≦５ となっているのですが、aが－５のときxの整数解が－５、－４、－３、－２
また、aが５のときxの整数解が５，４，３，２ のようになり解が４つになってしまうので、
－５＜a＜－４ ４＜a＜５ が答えだとおもうのですが、ちがうのでしょうか。
よろしくお願いします。
>>799
条件の不等式は＜や＞なんだろ？４つにならないんじゃ？
条件の不等式は＜や＞なんだろ？４つにならないんじゃ？
３個のさいころを同時に投げる。出た目の積が４で割り切れる事象をＡとする。
１．事象Ａが起こる確率を求めよ。
答え
Ａバーを考えて、そこから１を引けば良いので、
(1)３個とも奇数の目→ 3/6の3乗＝1/8
(2)３個中２個は奇数の目、残り１個は２、６の目→ 3C2(3/6)の2乗×(2/6)の1乗＝1/4
以上より、1-(1/8＋1/4)＝5/8が答え
(2)の、残り１個は２、６と書いてありますが、
４を入れると割り切れてしまうから４は省いたのでしょうか？
１．事象Ａが起こる確率を求めよ。
答え
Ａバーを考えて、そこから１を引けば良いので、
(1)３個とも奇数の目→ 3/6の3乗＝1/8
(2)３個中２個は奇数の目、残り１個は２、６の目→ 3C2(3/6)の2乗×(2/6)の1乗＝1/4
以上より、1-(1/8＋1/4)＝5/8が答え
(2)の、残り１個は２、６と書いてありますが、
４を入れると割り切れてしまうから４は省いたのでしょうか？
そう
Ｘ2乗＋2Ｘ3乗＋Ｘ2乗＋4Ｘ＋4=0 （全て積ではなくエックスです）
Ｘの一次式を求めよ。
Ｘを求めたい時は両辺をＸ2乗で割って、なんやかんやしてtに置き換えて・・・
って流れは理解できたのですが、
初めの 両辺をＸ2乗で割るって行為は
右辺の０に対してそんな事をしてもなぜ大丈夫なのでしょうか？
左辺はＸ2乗できっちり割れるから良いけど、右辺のＸ2乗で０を割るってなると・・・。
今までの問題は、暗記してしまっている点もあって疑問には思わなかったのですが、
ふと疑問に思ってしまって。
Ｘの一次式を求めよ。
Ｘを求めたい時は両辺をＸ2乗で割って、なんやかんやしてtに置き換えて・・・
って流れは理解できたのですが、
初めの 両辺をＸ2乗で割るって行為は
右辺の０に対してそんな事をしてもなぜ大丈夫なのでしょうか？
左辺はＸ2乗できっちり割れるから良いけど、右辺のＸ2乗で０を割るってなると・・・。
今までの問題は、暗記してしまっている点もあって疑問には思わなかったのですが、
ふと疑問に思ってしまって。
問題の意味が不明です
ｘ＞０ ｙ＞０ ｘ＋ｙ=1 の時、1/x＋4/yの最小値を求めよ。
1/x＋4/y=(1/x＋4/y)・(x＋y)
=y/x＋4x/y＋5
ここから相加相乗を使い、＋5をすれば最小値がでる。
なぜ一番初めにｘ＋ｙ(=1)を1/x＋4/yの式にかけてから相加相乗を使うのでしょうか？
1/x＋4/y=(1/x＋4/y)・(x＋y)
=y/x＋4x/y＋5
ここから相加相乗を使い、＋5をすれば最小値がでる。
なぜ一番初めにｘ＋ｙ(=1)を1/x＋4/yの式にかけてから相加相乗を使うのでしょうか？
>>809
そうすれば相加相乗が使えるから
そうすれば相加相乗が使えるから
y/xとx/yの形が出来るから
>>810 >>811 ありがとうございます。
x＞0 y＞0の時にx＋y=√xyが使えますが、
>>809の問題の1/xと4/yからいきなり相加相乗の式は使えないのでしょうか？
なぜy/xとx/yの式に直す必要があるのですか？
x＞0 y＞0の時にx＋y=√xyが使えますが、
>>809の問題の1/xと4/yからいきなり相加相乗の式は使えないのでしょうか？
なぜy/xとx/yの式に直す必要があるのですか？
>>812
やろうとしてみれば何かわかるんじゃないか？
やろうとしてみれば何かわかるんじゃないか？
1/xと4/yについて相加相乗平均の関係を用いると
1/x + 4/y ≧ 2√(4/xy)
となり、xyの最小値は限定することができない。
なので、相加相乗の関係を用いるためには
普通、掛け合わせると√の中の文字が消えたり、根号がはずせる二つの正の数で用いる。
1/x + 4/y ≧ 2√(4/xy)
となり、xyの最小値は限定することができない。
なので、相加相乗の関係を用いるためには
普通、掛け合わせると√の中の文字が消えたり、根号がはずせる二つの正の数で用いる。
そうか相乗を使ったら定数になる形に変形するため
"A+1/A"という形で相加相乗を使うとうまくAが消えて定数で抑えられる
っていう定石があるので、この形を目指してx+y=1を分子分母に乗じただけ
別に微分とかが使えるなら
1/x+4/(1-x)のグラフを書くイメージで微分するとか
遠回りだけど2√(4/x(1-x))の最小値を求めて等号成立条件が重なることを確認するとか
やり方は沢山ある。
っていう定石があるので、この形を目指してx+y=1を分子分母に乗じただけ
別に微分とかが使えるなら
1/x+4/(1-x)のグラフを書くイメージで微分するとか
遠回りだけど2√(4/x(1-x))の最小値を求めて等号成立条件が重なることを確認するとか
やり方は沢山ある。
820 ：大学への名無しさん：2010/03/13(土) 18:17:40 ID:EJlRvPY30
「8^44について、最高位の数字を求めよ。
ただし,log_{10}(2)=0.3010 log_{10}(3)=0.4771とする。」
という問題なのですが、8^44が40桁の整数であると求めた後、
8^44の最高位の数字をaとすると a*10^39≦8^44≦(a+1)*10^39
となる理由が分かりません！どなたか教えてください
ただし,log_{10}(2)=0.3010 log_{10}(3)=0.4771とする。」
という問題なのですが、8^44が40桁の整数であると求めた後、
8^44の最高位の数字をaとすると a*10^39≦8^44≦(a+1)*10^39
となる理由が分かりません！どなたか教えてください
325は3桁の数で最高位の数を3とすると
3*10^2≦325≦4*10^2
これと同じことだよ
3*10^2≦325≦4*10^2
これと同じことだよ
数列の質問なのですが、（nと-1と１は小文字？です。）
Bn=Tn-Tn-1は、Tn-1があるから、このBnはn≧2でしか定義できない。
どうしてn≧1ではないのでしょうか？
Bn=Tn-Tn-1は、Tn-1があるから、このBnはn≧2でしか定義できない。
どうしてn≧1ではないのでしょうか？
>>823
T[1]までしか無いんじゃないの、そこが書いて無いから判断しようがない。
T[1]までしか無いんじゃないの、そこが書いて無いから判断しようがない。
今日の新聞に載ってた神戸大の後期の代ゼミの解答速報についてなんですが
5 立方体 ABCDEFGHの各頂点に白または赤を塗る。ただし立方体の面を構成する六つの正方形それぞれについてその四つの頂点を全て同じ色で塗ってはならないとする。
（1）赤で塗られる頂点の個数が二個の時、塗り方は何通りあるか。
（2）赤で塗られる頂点の個数が三個の時、塗り方は何通りあるか。
（3）・・・
（4）・・・
代ゼミ解答
（1）赤で塗られる頂点が対角線上にあるときより4とおり。
（2）赤で塗られる3つの頂点のうち、2つが対角線上にあり、残り1点は、他の6つの頂点から一つを選べばよい。
4×6＝24とおり
となってます・・が
（2）について、
解答の他に、立方体の面の対角線を結ぶように3点を取っても条件を満たすと思うのですが。。。
その場合は立方体の角の個数より、8とおりあると思います。
24＋8＝32とおり
になると思います。
どうでしょうか？
5 立方体 ABCDEFGHの各頂点に白または赤を塗る。ただし立方体の面を構成する六つの正方形それぞれについてその四つの頂点を全て同じ色で塗ってはならないとする。
（1）赤で塗られる頂点の個数が二個の時、塗り方は何通りあるか。
（2）赤で塗られる頂点の個数が三個の時、塗り方は何通りあるか。
（3）・・・
（4）・・・
代ゼミ解答
（1）赤で塗られる頂点が対角線上にあるときより4とおり。
（2）赤で塗られる3つの頂点のうち、2つが対角線上にあり、残り1点は、他の6つの頂点から一つを選べばよい。
4×6＝24とおり
となってます・・が
（2）について、
解答の他に、立方体の面の対角線を結ぶように3点を取っても条件を満たすと思うのですが。。。
その場合は立方体の角の個数より、8とおりあると思います。
24＋8＝32とおり
になると思います。
どうでしょうか？
なるとおもいます
代ゼミやっちまったなー
aを実数の定数とし、xの2次関数
y=(1/4)x^2 +(a/2)x +(3/4)a^2 -2a -2/5
の表す放物線を C とする。C は x軸と異なる2点 P、Q で交わっている
点Pの座標を ( p , 0 ) 、点Qの座標を ( q , 0 ) とするとき
p<1<q となるような a の値の範囲と、-2<p<1<q となるような a の値の範囲を求めよ
という問題の道筋がよく分かりません
グラフを描いてその条件から式を立てていけばいいのでしょうか・・・？
ヒントを頂きたいです、よろしくお願いします
y=(1/4)x^2 +(a/2)x +(3/4)a^2 -2a -2/5
の表す放物線を C とする。C は x軸と異なる2点 P、Q で交わっている
点Pの座標を ( p , 0 ) 、点Qの座標を ( q , 0 ) とするとき
p<1<q となるような a の値の範囲と、-2<p<1<q となるような a の値の範囲を求めよ
という問題の道筋がよく分かりません
グラフを描いてその条件から式を立てていけばいいのでしょうか・・・？
ヒントを頂きたいです、よろしくお願いします
f(p)=f(q)=0
とか
p=0 と p=-1
とか全く関係ない
二次関数をかけば一発でわかるが
f(1)<0 ⇔ x<1 の範囲と x>1 の範囲に一つずつ f(x) = 0 となる x が存在
今はたまたま x<1 の範囲の解を p とかで表してるだけ
もう一つも -2<x<1 と 1<x の範囲でx軸と交わるように二次関数を書けば条件は自然と見える
とか
p=0 と p=-1
とか全く関係ない
二次関数をかけば一発でわかるが
f(1)<0 ⇔ x<1 の範囲と x>1 の範囲に一つずつ f(x) = 0 となる x が存在
今はたまたま x<1 の範囲の解を p とかで表してるだけ
もう一つも -2<x<1 と 1<x の範囲でx軸と交わるように二次関数を書けば条件は自然と見える
東大の問題の一部です。
ｘｙ平面上の曲線 ｙ＝sinxにそって左から右へ進む動点Pがある。
Pの速さが一定V（V＞０）である時。 Pの速度をベクトルをｖ・・・
解説では ｌｖｌ=V（一定）より、ｖ＝（Vcosθ、Vsinθ）とおけるとありますが、
それがどうしてもわかりません。 Pの速度ベクトルの方向がどうして
そうなるとか教えてください。 お願いします。
ｘｙ平面上の曲線 ｙ＝sinxにそって左から右へ進む動点Pがある。
Pの速さが一定V（V＞０）である時。 Pの速度をベクトルをｖ・・・
解説では ｌｖｌ=V（一定）より、ｖ＝（Vcosθ、Vsinθ）とおけるとありますが、
それがどうしてもわかりません。 Pの速度ベクトルの方向がどうして
そうなるとか教えてください。 お願いします。
速度ベクトル↑v=(a,b)の大きさ|↑v|は、√(a^2+b^2)
これがVにひとしく一定なので、√(a^2+b^2)=V
つまり、a^2+b^2=V^2
つまり、(a/V)^2+(b/V)^2=1
よって、a/V=cos(θ(t)), b/V=sin(θ(t)) とおける。
つまり、a=Vcos(θ(t)), b=Vsin(θ(t)) とおける。
これがVにひとしく一定なので、√(a^2+b^2)=V
つまり、a^2+b^2=V^2
つまり、(a/V)^2+(b/V)^2=1
よって、a/V=cos(θ(t)), b/V=sin(θ(t)) とおける。
つまり、a=Vcos(θ(t)), b=Vsin(θ(t)) とおける。
「毎年度初めにa円ずつ積み立てると、n年度末には元利合計はいくらになるか。
年利率をr,１年ごとの複利で計算せよ。」
解説には、「各年度初めの元金は、１年ごとに利息がついて(1+r）倍となる。
そこで、第1年度初めのa円は第n年度末にはa（1+r)^n円、
第2年度初めのa円は第n年度末にはa(1+r)^(n-1)円……となる。」
と書いてあったのですが、どうしても分かりません。
お願いします。教えてください。
年利率をr,１年ごとの複利で計算せよ。」
解説には、「各年度初めの元金は、１年ごとに利息がついて(1+r）倍となる。
そこで、第1年度初めのa円は第n年度末にはa（1+r)^n円、
第2年度初めのa円は第n年度末にはa(1+r)^(n-1)円……となる。」
と書いてあったのですが、どうしても分かりません。
お願いします。教えてください。
>>837
利息、複利ってなんだかわかってるか?
それがわかってるとしたら、利率1％の複利で１万円を丸10年預けたら
(積み立てではない)
1年、2年、…10年後の元利合計がいくらになる?
これもわかったとしたら、毎年1万円ずつの積み立てで10年を考えれ。
最初に預けた1万円は10年間預けたことになる。
1年経過時に預けた1万円は9年間預けたことになる。
これもわかったら、最後に積み立て額をa円、利率をrと一般化すれ。
利息、複利ってなんだかわかってるか?
それがわかってるとしたら、利率1％の複利で１万円を丸10年預けたら
(積み立てではない)
1年、2年、…10年後の元利合計がいくらになる?
これもわかったとしたら、毎年1万円ずつの積み立てで10年を考えれ。
最初に預けた1万円は10年間預けたことになる。
1年経過時に預けた1万円は9年間預けたことになる。
これもわかったら、最後に積み立て額をa円、利率をrと一般化すれ。
>>838 どうして利息が(1+r）倍になるんですか？
まず解説の日本語を落ち着いて読め
>>839
複利と元利合計とか言葉の意味がわかってないだろ。
預金では例外なく「元金に対して利息がどのくらいの割合で付くか」を%で表示する。
年利1%だったら元金の1%が利息として付く。利息と元金を合わせたのが元利合計。
長く預けると、利息として付いた金にも利息が付くのが複利。
では、1万円を利率1%の複利で預けたら、
(1)1年後の利息
(2)1年後の元利合計
(3)2年後の元利合計
はそれぞれいくらになるのか。
複利と元利合計とか言葉の意味がわかってないだろ。
預金では例外なく「元金に対して利息がどのくらいの割合で付くか」を%で表示する。
年利1%だったら元金の1%が利息として付く。利息と元金を合わせたのが元利合計。
長く預けると、利息として付いた金にも利息が付くのが複利。
では、1万円を利率1%の複利で預けたら、
(1)1年後の利息
(2)1年後の元利合計
(3)2年後の元利合計
はそれぞれいくらになるのか。
お邪魔します。
添削をお願いいたします。
・赤チャ１＋A p.70 練習78 (1)より
aは定数とする。次の連立方程式を解け。
{3x-y=4, ax-2y=8}
方程式を順に①、②とし、①*2-②より
6x-ax=0
x(6-a)=0
よって x=0 または 6-a=0
[1]x=0のとき
①より
y=-4
[2]6-a=0 すなわち a=6 のとき
②より
3x-y=4
これは①と同じ。
よってx=t(tは実数)とすると、y=3t-4
よろしくお願いします。
添削をお願いいたします。
・赤チャ１＋A p.70 練習78 (1)より
aは定数とする。次の連立方程式を解け。
{3x-y=4, ax-2y=8}
方程式を順に①、②とし、①*2-②より
6x-ax=0
x(6-a)=0
よって x=0 または 6-a=0
[1]x=0のとき
①より
y=-4
[2]6-a=0 すなわち a=6 のとき
②より
3x-y=4
これは①と同じ。
よってx=t(tは実数)とすると、y=3t-4
よろしくお願いします。
そこで解答を終えると「x=0のときとa=6のとき」で解を場合分けしているように見えるけれども
問題文でaは定数だと指定されてるのだから定数aの値によって解が異なるということを明確に書けばより良くなると思った。
自分なら同値変形使って次のように書く。
①かつ②
⇔①かつx(6-a)=0
⇔①かつ(x=0またはa=6)
⇔(x,y)=(0,-4)または(①かつa=6)
従って連立方程式の解は
a≠6のとき(x,y)=(0,-4)
a=6のとき(x,y)=(t,3t-4) (t:任意の実数)
問題文でaは定数だと指定されてるのだから定数aの値によって解が異なるということを明確に書けばより良くなると思った。
自分なら同値変形使って次のように書く。
①かつ②
⇔①かつx(6-a)=0
⇔①かつ(x=0またはa=6)
⇔(x,y)=(0,-4)または(①かつa=6)
従って連立方程式の解は
a≠6のとき(x,y)=(0,-4)
a=6のとき(x,y)=(t,3t-4) (t:任意の実数)
>>842
赤ちゃの解答もってないんか？
赤ちゃの解答もってないんか？
>>842
理系だったら文字を含む二元一次連立方程式は行列で解くのが普通
ていうか多分これから何らかの機会にそう指導されるはず。
1]-6+a=0のとき i.e.a=6のとき
行列([3,-1][a.-2])が逆行列を持たないので
(x.y)=(t.3t-4) (t∈R)
2]-6+a≠0のとき
行列([3,-1][a.-2])の逆行列を左から掛けて
(x.y)=(0.-4)
文系だったら同値性が崩れない限り好きに解いていいかと。
理系だったら文字を含む二元一次連立方程式は行列で解くのが普通
ていうか多分これから何らかの機会にそう指導されるはず。
1]-6+a=0のとき i.e.a=6のとき
行列([3,-1][a.-2])が逆行列を持たないので
(x.y)=(t.3t-4) (t∈R)
2]-6+a≠0のとき
行列([3,-1][a.-2])の逆行列を左から掛けて
(x.y)=(0.-4)
文系だったら同値性が崩れない限り好きに解いていいかと。
>>843-845
ﾚｽありがとうございます。
>>844
付属の解答持っています。
しかしその解答では場合分けが
[1]a≠6
[2]a＝6
とされており、>>843さんが触れられているように、僕の解答の
[1]x＝0
[2]a＝6
では駄目なのか（試験で減点対象になるか）と
疑問だったので質問させていただきました。
やはり満点は難しいでしょうか？
>>843同値変形や >>845行列を使用しての解答は今まだ理解出来ないので、
ﾁｬｰﾄ２周目時参照用に保存させていただきます。
ありがとうございました。
ﾚｽありがとうございます。
>>844
付属の解答持っています。
しかしその解答では場合分けが
[1]a≠6
[2]a＝6
とされており、>>843さんが触れられているように、僕の解答の
[1]x＝0
[2]a＝6
では駄目なのか（試験で減点対象になるか）と
疑問だったので質問させていただきました。
やはり満点は難しいでしょうか？
>>843同値変形や >>845行列を使用しての解答は今まだ理解出来ないので、
ﾁｬｰﾄ２周目時参照用に保存させていただきます。
ありがとうございました。
問題:y=e^xと、この接線のうち(2,-2)を通るもの、及びx軸y軸で囲まれる面積を求めよ
解答:
接点の座標を(p,e^p)とする
接線の式はy=e^p(x-p)+e^pであり
これが(2,-2)を通るので
-2=e^p(2-p)+e^p
ここまで考えたのですが
このあとp=にうまく変形出来ずに困っています
根本的に解法がおかしいのかと思い、y=e^xをx軸方向に-2移動して考えてみましたがどうもうまくいかず…
おそらく初歩的なミスがあるのだと思いますがよくわかりません
よろしくお願いします
解答:
接点の座標を(p,e^p)とする
接線の式はy=e^p(x-p)+e^pであり
これが(2,-2)を通るので
-2=e^p(2-p)+e^p
ここまで考えたのですが
このあとp=にうまく変形出来ずに困っています
根本的に解法がおかしいのかと思い、y=e^xをx軸方向に-2移動して考えてみましたがどうもうまくいかず…
おそらく初歩的なミスがあるのだと思いますがよくわかりません
よろしくお願いします
点O を中心とする 半径1 の 円S に内接する 三角形ABC において
AB=AC、cosBAC= 3/5 とする
OA と BC の交点を D とするとき OD の長さと sinOBC を求めよ
という問題で、AB と BD の長さまでは出せたからあとは AD を出せれば半径を引くことで OD を出せると思っているのですが
その AD の長さが導き出せず困っています
ヒントを頂きたいです
AB=AC、cosBAC= 3/5 とする
OA と BC の交点を D とするとき OD の長さと sinOBC を求めよ
という問題で、AB と BD の長さまでは出せたからあとは AD を出せれば半径を引くことで OD を出せると思っているのですが
その AD の長さが導き出せず困っています
ヒントを頂きたいです
円周角&cosだけで直接ODでるんじゃない
>>852
よければ詳しく教えていただけないでしょうか？
よければ詳しく教えていただけないでしょうか？
ADは垂直二等分線なんじゃよ
∠BOD = (1/2)∠BOC = ∠BAC
使った
使った
>>850
取り敢えず、p使って面積出してみたら？
取り敢えず、p使って面積出してみたら？
実は使えなかったりしてw
>>849
それでOK。ってことは、最初に預けた分については、元利合計は1年で1.01^1倍、
2年で1.01^2倍になってるわけでしょ。10年だったら1.01^10倍。
積み立てだと毎年一定額を加算することになる。1年経過して預けた金は満期までに
9年経過するから、この分は最初に預けてから10年目の満期時には1.01＾9倍になる。
2年目に預けた金は1.01^8倍、以下同様に9年目まで。
じゃあ全体での元利合計は、(1回に預ける金額)*（1.01＾10 + 1.01＾9 + … + 1.01^1） って
額になるじゃん。あとはここで利率を1%としているのをrとして一般化すればいい。
それでOK。ってことは、最初に預けた分については、元利合計は1年で1.01^1倍、
2年で1.01^2倍になってるわけでしょ。10年だったら1.01^10倍。
積み立てだと毎年一定額を加算することになる。1年経過して預けた金は満期までに
9年経過するから、この分は最初に預けてから10年目の満期時には1.01＾9倍になる。
2年目に預けた金は1.01^8倍、以下同様に9年目まで。
じゃあ全体での元利合計は、(1回に預ける金額)*（1.01＾10 + 1.01＾9 + … + 1.01^1） って
額になるじゃん。あとはここで利率を1%としているのをrとして一般化すればいい。
>>860 10100＊0,01じゃないんですか？
>>863 やっと分かりました！
お付き合いいただきありがとうございます。
お付き合いいただきありがとうございます。
1 と書かれたカードが 3枚、2と書かれたカードが 2枚、3と書かれたカードが 1枚の合計 6枚から
3枚取り出す通りは重複組み合わせと考えていいんでしょうか？
3H3 = 3+3-1C3 = 10
で合っていますでしょうか・・・？
3枚取り出す通りは重複組み合わせと考えていいんでしょうか？
3H3 = 3+3-1C3 = 10
で合っていますでしょうか・・・？
一応そのpが 3<p<5 の範囲で唯一定まるとか書いておくともう少しいいのかも
ご質問します。
2xy-2y-5x=0
などの式はxyについて2次の項を含んでいるので、
2元2次方程式と言えますか？
それとも2次方程式と呼びたい場合は、
あくまで１つの文字について2次である項を含んでいる必要があるのでしょうか。
ご教授よろしくお願いいたします。
2xy-2y-5x=0
などの式はxyについて2次の項を含んでいるので、
2元2次方程式と言えますか？
それとも2次方程式と呼びたい場合は、
あくまで１つの文字について2次である項を含んでいる必要があるのでしょうか。
ご教授よろしくお願いいたします。
普通はxyを２次の項として扱う。
が、そうじゃないこともあるというか、呼び方なんてその場の定義次第なので、
その式の書いてある前後の文脈から判断してくださいとしか言えない。
が、そうじゃないこともあるというか、呼び方なんてその場の定義次第なので、
その式の書いてある前後の文脈から判断してくださいとしか言えない。
実数を定義域とする、2回微分可能な関数g(x)が、任意の実数xに対して、
g'(x)＞g''(x)
g(x)＞0
をみたすとき、
g(x)＞g'(x)＞0
が成り立つことを示せ。
どこかの大学入試問題なんですけど、難しくてよくわからないです。
教えてください。
g'(x)＞g''(x)
g(x)＞0
をみたすとき、
g(x)＞g'(x)＞0
が成り立つことを示せ。
どこかの大学入試問題なんですけど、難しくてよくわからないです。
教えてください。
問題をスキャンしてjpgでうｐしちゃやっぱり駄目かな？
>>872
http://upload.jpn.ph/upload/upload.php?id=57700
http://upload.jpn.ph/upload/upload.php?id=57701
やってみたものの高校数学の範囲に落とし込むことができなかった
どこの入試問題ですか
http://upload.jpn.ph/upload/upload.php?id=57700
http://upload.jpn.ph/upload/upload.php?id=57701
やってみたものの高校数学の範囲に落とし込むことができなかった
どこの入試問題ですか
ご質問します。
【問題】
1/L+1/m+1/n=1 L<=m<=n
を満たす自然数の組をすべて求めよ
【模範解答】
0<L<=m<=n であるから 1/L>=1/m>=1/n ―①
よって、1/L+1/m+1/n<=1/L+1/L+1/L ―②
したがって1<=3/L
ゆえにL<=3
Lは自然数であるから、L=1, 2, 3
【質問内容】
模範解答がこのように続くのですが、①→②が感覚的にしか理解できません。
数学的な式展開を教えてくださいませんでしょうか？
よろしくお願いいたします
【問題】
1/L+1/m+1/n=1 L<=m<=n
を満たす自然数の組をすべて求めよ
【模範解答】
0<L<=m<=n であるから 1/L>=1/m>=1/n ―①
よって、1/L+1/m+1/n<=1/L+1/L+1/L ―②
したがって1<=3/L
ゆえにL<=3
Lは自然数であるから、L=1, 2, 3
【質問内容】
模範解答がこのように続くのですが、①→②が感覚的にしか理解できません。
数学的な式展開を教えてくださいませんでしょうか？
よろしくお願いいたします
>>875
(1)からでてくる3本の式
1/L = 1/L
1/L >= 1/m
1/L >= 1/n
を両辺全部足しているだけのことです
3 ・ 1/L = 1/L + 1/m + 1/n
(1)->(2)が同値変形ではないことに注意するとわかりやすいかも
(1)からでてくる3本の式
1/L = 1/L
1/L >= 1/m
1/L >= 1/n
を両辺全部足しているだけのことです
3 ・ 1/L = 1/L + 1/m + 1/n
(1)->(2)が同値変形ではないことに注意するとわかりやすいかも
あ、
3 ・ 1/L = 1/L + 1/m + 1/n
ではなくて
3 ・ 1/L >= 1/L + 1/m + 1/n
ですね。もちろん。失礼しました
3 ・ 1/L = 1/L + 1/m + 1/n
ではなくて
3 ・ 1/L >= 1/L + 1/m + 1/n
ですね。もちろん。失礼しました
1/L<=1/L
1/m<=1/L
1/n<=1/L
全部足すと
1/L+1/m+1/n<=1/L+1/L+1/L
1/m<=1/L
1/n<=1/L
全部足すと
1/L+1/m+1/n<=1/L+1/L+1/L
>>872
>>874
見直したら酷い間違いがあったので直しました
http://upload.jpn.ph/upload/upload.php?id=57702
http://upload.jpn.ph/upload/upload.php?id=57703
>>874
見直したら酷い間違いがあったので直しました
http://upload.jpn.ph/upload/upload.php?id=57702
http://upload.jpn.ph/upload/upload.php?id=57703
度々恥ずかしいですが2枚目の"正数α"を"非負数α"に訂正
882 ：大学への名無しさん：2010/03/20(土) 18:06:31 ID:lxcnIikR0
質問させてください。
１/3－√5 の整数部分をa、小数部分をbとするとき、次の値を求めよ。
という問題なんですが、
まず、分母を有理化して 3＋√5/4
次に 2<√5<3 だから5/4<3＋√5/4<3/2
したがて、整数部分は 1 だから a＝1
ってなってるんですが、何故整数部分が 1 になるのかがわかりません。
2<√5<3 となるから、整数部分は 2 じゃないんですか？
そして 1 はどこから出てきたのでしょうか？
どなたか教えてください。よろしくお願いします。
１/3－√5 の整数部分をa、小数部分をbとするとき、次の値を求めよ。
という問題なんですが、
まず、分母を有理化して 3＋√5/4
次に 2<√5<3 だから5/4<3＋√5/4<3/2
したがて、整数部分は 1 だから a＝1
ってなってるんですが、何故整数部分が 1 になるのかがわかりません。
2<√5<3 となるから、整数部分は 2 じゃないんですか？
そして 1 はどこから出てきたのでしょうか？
どなたか教えてください。よろしくお願いします。
2<√5<3 となるから、√5の整数部分は2です。
>>867を教えて頂きたいです
1-1-1
1-1-2
1-1-3
1-2-2
1-2-3
2-2-3
1-1-2
1-1-3
1-2-2
1-2-3
2-2-3
889 ：大学への名無しさん：2010/03/20(土) 21:55:28 ID:lxcnIikR0
>>886
ありがとうございます！！
ただ、もし
○<□<△ の式で、 ○＝1.何チャラ、△＝２.何チャラ だった場合、□の整数部分は 1 も 2 も有り得るわけですよね？
その場合はどうやって□の整数部分を判断すれば良いですか？
ありがとうございます！！
ただ、もし
○<□<△ の式で、 ○＝1.何チャラ、△＝２.何チャラ だった場合、□の整数部分は 1 も 2 も有り得るわけですよね？
その場合はどうやって□の整数部分を判断すれば良いですか？
893 ：大学への名無しさん：2010/03/21(日) 16:17:58 ID:PawSe8Np0
>>891
なるほどです！ありがとうございます。
ところで>>882の問題で、
2<√5<3 だから 5/4<3＋√5/4<3/2 ってなるのは分かるのですが、どうして √5 の整数部分が 1 だからといって、
3＋√5/4 の整数部分も 1 だと言えるんでしょうか？何度も申し訳ありません。
なるほどです！ありがとうございます。
ところで>>882の問題で、
2<√5<3 だから 5/4<3＋√5/4<3/2 ってなるのは分かるのですが、どうして √5 の整数部分が 1 だからといって、
3＋√5/4 の整数部分も 1 だと言えるんでしょうか？何度も申し訳ありません。
>>893
いい加減分子や分母をカッコでちゃんとまとめてくれ。
>√5 の整数部分が 1 だからといって
誰一人そんなことは言ってない。
2<√5<3
4で割って 2/4 < (√5)/4 < 3/4
3/4を足して (3+2）/4 < (3+√5)/4 < (3+3）/4
つまり 5/4 < (3+√5)/4 < 6/4
ここで(1=)4/4<5/4、6/4<8/4(=2)だから
1< (3+√5)/4 < 2
って(だけの)こと。
いい加減分子や分母をカッコでちゃんとまとめてくれ。
>√5 の整数部分が 1 だからといって
誰一人そんなことは言ってない。
2<√5<3
4で割って 2/4 < (√5)/4 < 3/4
3/4を足して (3+2）/4 < (3+√5)/4 < (3+3）/4
つまり 5/4 < (3+√5)/4 < 6/4
ここで(1=)4/4<5/4、6/4<8/4(=2)だから
1< (3+√5)/4 < 2
って(だけの)こと。
896 ：大学への名無しさん：2010/03/21(日) 17:57:10 ID:PawSe8Np0
ぼくちゃんアホなんで教えてください
この二項定理っぽい問題ができましぇん
Σ(k=1,n-3)k・n-kC3/nC4 (C:combination)
nC4は前に出せますよね。
そのあとに、k・n-kC3は、-(n-k+1)n-kC3+(n+1)C3なんで、
k・nCk=n・n-1Ck-1なんで、これは、-4・n-k+1C4+(n+1)n-kC3
になりましゅ。
この後の計算が不可能なんでしゅ。教えてくりゃさい
この二項定理っぽい問題ができましぇん
Σ(k=1,n-3)k・n-kC3/nC4 (C:combination)
nC4は前に出せますよね。
そのあとに、k・n-kC3は、-(n-k+1)n-kC3+(n+1)C3なんで、
k・nCk=n・n-1Ck-1なんで、これは、-4・n-k+1C4+(n+1)n-kC3
になりましゅ。
この後の計算が不可能なんでしゅ。教えてくりゃさい
899 ：大学への名無しさん：2010/03/21(日) 23:46:11 ID:Gdi4P8nQ0
模試や入試で使っちゃいけない解法、テクニックを教えて下さい
積分の-1/6公式はダメだと以前この板で見た気がするんですが…まだあるんですかね？
-1/6公式がダメなら積分の次数が奇数の項は0とかもダメな感じがしますけど…
積分の-1/6公式はダメだと以前この板で見た気がするんですが…まだあるんですかね？
-1/6公式がダメなら積分の次数が奇数の項は0とかもダメな感じがしますけど…
入試なら大学による。京大は対応するらしい。模試は学生が○付けやってるからだめ。
が、どこの試験で使うにしてもその公式とか定理のステートメントと
満たされている適用条件を正確に述べた上で、
出来れば出典も示したほうがいいだろう。結局論文で定理使うのと同じようなことになる。
が、どこの試験で使うにしてもその公式とか定理のステートメントと
満たされている適用条件を正確に述べた上で、
出来れば出典も示したほうがいいだろう。結局論文で定理使うのと同じようなことになる。
nCk = nC(k-1) + (n-1)Ck
と同じか、てかこれできん？
と同じか、てかこれできん？
奇関数を[-a,a]で定積分して消えるのは1/6公式よりはるかに自明だろ。
ちゃんと意味わかって使ってる？
ちゃんと意味わかって使ってる？
4次曲線C:y=x^4-2ax (a>0) 上の動点P=(t , t^4-2at^2)が-√a≦t≦√aの範囲で動く.
PでのCの接線とCの交点をP , Q=(α,α^4-2aα^2) , (β,β^4-2aβ^2)とする.
ただしα≦βとする.
[1] α+β , αβ をaとtで表せ
[2] ３点PQRが接線上QPRの順になるための条件を答えよ
[3] 線分QRの長さをLとする. L^2をaとtで表せ
[4] a=7/12のときLの最大値を求めよ
[1]でPでの接線を求めてy=x^4-2ax^2と連立してyを消去したのですが、
xの４次式となり解と係数を使おうと思っていたのですがうまく使えず先へ進めませんでした
よろしくお願いします
PでのCの接線とCの交点をP , Q=(α,α^4-2aα^2) , (β,β^4-2aβ^2)とする.
ただしα≦βとする.
[1] α+β , αβ をaとtで表せ
[2] ３点PQRが接線上QPRの順になるための条件を答えよ
[3] 線分QRの長さをLとする. L^2をaとtで表せ
[4] a=7/12のときLの最大値を求めよ
[1]でPでの接線を求めてy=x^4-2ax^2と連立してyを消去したのですが、
xの４次式となり解と係数を使おうと思っていたのですがうまく使えず先へ進めませんでした
よろしくお願いします
907 ：大学への名無しさん：2010/03/22(月) 22:11:36 ID:pzjKGHNv0
908 ：大学への名無しさん：2010/03/22(月) 22:19:11 ID:vIUxitQd0
>>907
フェルマーの最終定理あたりも？
フェルマーの最終定理あたりも？
909 ：大学への名無しさん：2010/03/22(月) 22:21:16 ID:cGcpXm9Q0
合同式って使ってもいいの？
910 ：大学への名無しさん：2010/03/22(月) 22:22:53 ID:pzjKGHNv0
911 ：大学への名無しさん：2010/03/22(月) 22:23:38 ID:pzjKGHNv0
知らない、とは言ったものの、大学入試でフェルマーの最終定理が適用できる
問題に遭遇した試しがないな。小定理ならまだしも。
問題に遭遇した試しがないな。小定理ならまだしも。
つーか、合同式とか必要ないだろ
下手の横好き
下手の横好き
913 ：大学への名無しさん：2010/03/22(月) 22:27:39 ID:cGcpXm9Q0
合同式使えれば楽に答案書けることあるよ
知らんのか
知らんのか
合同式は答案書きやすくなるというメリットがある。
89年度か91年だったかの東大の整数と数列の問題は
合同式知ってることがほぼ前提で作られてる。
使わないと答案がものすごくまとまらなくなる。
逆に同じくらいの東工大の有名整数問題は合同式使うと
あっけなさすぎて、使うんだったら証明しないと原点お覚悟だろうね。
89年度か91年だったかの東大の整数と数列の問題は
合同式知ってることがほぼ前提で作られてる。
使わないと答案がものすごくまとまらなくなる。
逆に同じくらいの東工大の有名整数問題は合同式使うと
あっけなさすぎて、使うんだったら証明しないと原点お覚悟だろうね。
合同式通り越して環論ごりごり使って回答したら
むしろ減点なしで通りそうな気がするなｗ
むしろ減点なしで通りそうな気がするなｗ
合同式の定義も色んな公式も一行ぐらいで済むから、答案がスッキリしたり、解答の見通しが良くなるメリットを考えると、合同式使っちゃうな
因数分解について質問させてください。
x^6 -1
という問題を
=(x^2)^3-1
=(x^2 -1)(x^4+x^2+1)
=(x+1)(X-1)(x^4+x^2+1) ―①
と解いたのですが、模範解答では
与式=(x^3)^2 -1
=(x^3+1)(x^3-1)
=(x+1)(x^2 -x+1)(x-1)(x^2+x+1) ―②
となっておりました。
①の３つ目の因数は平方完成を行えば②になりますが、
平方完成が出来る以上、行って、→②とすべきでしょうか。
採点方針にも因ると思いますが、
①の解答では完全な正解とはならないでしょうか？
ご教授お願いいたします。
x^6 -1
という問題を
=(x^2)^3-1
=(x^2 -1)(x^4+x^2+1)
=(x+1)(X-1)(x^4+x^2+1) ―①
と解いたのですが、模範解答では
与式=(x^3)^2 -1
=(x^3+1)(x^3-1)
=(x+1)(x^2 -x+1)(x-1)(x^2+x+1) ―②
となっておりました。
①の３つ目の因数は平方完成を行えば②になりますが、
平方完成が出来る以上、行って、→②とすべきでしょうか。
採点方針にも因ると思いますが、
①の解答では完全な正解とはならないでしょうか？
ご教授お願いいたします。
うん。①じゃ因数分解したことにならない。
>>917 つづき
また、解き始めについてなのですが、与式を
(x^2)^3 -1
(x^3)^2 -1
のどちらを選択するかの一般的な方針は
「高次の因数分解 (X^a)^b は a>bを心がける」
というもので間違いはありませんでしょうか？
また、解き始めについてなのですが、与式を
(x^2)^3 -1
(x^3)^2 -1
のどちらを選択するかの一般的な方針は
「高次の因数分解 (X^a)^b は a>bを心がける」
というもので間違いはありませんでしょうか？
>>918
ありがとうございます！
ありがとうございます！
921 ：大学への名無しさん：2010/03/23(火) 12:11:08 ID:h0+Xp50d0
東京出版 新数学スタンダード演習2・10についての質問です。
実数a,bが0<a<1,0<b<1を満たすとき、
ab≦1/4または(1-a)(1-b)≦1/4
が成り立つことを証明せよ。
ですが、解答には不等式の「AまたはBである」を証明したいときは否定「AバーかつBバー」が偽であることを示せばよくて(この１文はおｋ)
本問では「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」をみたすa,bは存在しないことを示せばよい(この１文が分かりません)
と書いてあります。
これはなぜなんでしょうか。
「0<a<1,0<b<1」ならば「ab≦1/4または(1-a)(1-b)≦1/4」
を証明するのだと自分は読んでます。したらその対偶を取って
「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」ならば「aは０以下またはaが１以上またはbは０以下またはbが１以上」
になるのではないのでしょうか。結論部分を偽にしてそれを満たすa,bが存在しないことを示せばなぜいいんでしょうか。
それとも背理法で考えると
「0<a<1,0<b<1」かつ「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」で実数a,bが存在しないことを矛盾？としているのでしょうか。
ならば がくっつくとどうなっているのかいまいち分からないんです。どなたかお願いいたします｡ﾟ（ﾉД｀）ﾟ｡
実数a,bが0<a<1,0<b<1を満たすとき、
ab≦1/4または(1-a)(1-b)≦1/4
が成り立つことを証明せよ。
ですが、解答には不等式の「AまたはBである」を証明したいときは否定「AバーかつBバー」が偽であることを示せばよくて(この１文はおｋ)
本問では「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」をみたすa,bは存在しないことを示せばよい(この１文が分かりません)
と書いてあります。
これはなぜなんでしょうか。
「0<a<1,0<b<1」ならば「ab≦1/4または(1-a)(1-b)≦1/4」
を証明するのだと自分は読んでます。したらその対偶を取って
「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」ならば「aは０以下またはaが１以上またはbは０以下またはbが１以上」
になるのではないのでしょうか。結論部分を偽にしてそれを満たすa,bが存在しないことを示せばなぜいいんでしょうか。
それとも背理法で考えると
「0<a<1,0<b<1」かつ「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」で実数a,bが存在しないことを矛盾？としているのでしょうか。
ならば がくっつくとどうなっているのかいまいち分からないんです。どなたかお願いいたします｡ﾟ（ﾉД｀）ﾟ｡
>>921
「"文字の値がある範囲において" A⇒B」の対偶は、ふつう
「"文字の値がある範囲において" ￢B⇒￢A」 の形に書く。
｢実数a,bにおいてa^2+b^2=0ならばa=b=0」の対偶は
「実数a,bにおいてa≠0またはb≠0ならばa^2+b^2≠0」であって、
対偶側に「aとbが複素数の場合……」なんて書かないでしょ？
新スタ演の解答はこれを前提として、「0<a<1,0<b<1の範囲では」を省略しているだけ。
全部書けば、対偶として示された命題は、
【0<a<1,0<b<1を満たすとき、「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」をみたすa,bは存在しない】
であって別に問題はない。
「"文字の値がある範囲において" A⇒B」の対偶は、ふつう
「"文字の値がある範囲において" ￢B⇒￢A」 の形に書く。
｢実数a,bにおいてa^2+b^2=0ならばa=b=0」の対偶は
「実数a,bにおいてa≠0またはb≠0ならばa^2+b^2≠0」であって、
対偶側に「aとbが複素数の場合……」なんて書かないでしょ？
新スタ演の解答はこれを前提として、「0<a<1,0<b<1の範囲では」を省略しているだけ。
全部書けば、対偶として示された命題は、
【0<a<1,0<b<1を満たすとき、「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」をみたすa,bは存在しない】
であって別に問題はない。
>>922
p⇒qは￢p∨qと同値であることより
「p∧q」⇒r ⇔￢p∨￢q∨r
p⇒「q⇒r」 ⇔￢p∨￢q∨r
つま、前提条件を命題の外側に出して議論してもかまわない。
例えば
a.b≧0でa^2>b^2ならばa>b・・・(*)
という命題は以下の二つと同値
(*)⇔a≦bならば「a<0∨b<0∨a^2≦b^2」・・・・(1)
⇔a.b≧0のときa^2>b^2ならばa>b・・・・(2)
君の
>「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」ならば「aは０以下またはaが１以上またはbは０以下またはbが１以上」
というのは(1)のパターン。スタ演の回答は(2)を使っている。
p⇒qは￢p∨qと同値であることより
「p∧q」⇒r ⇔￢p∨￢q∨r
p⇒「q⇒r」 ⇔￢p∨￢q∨r
つま、前提条件を命題の外側に出して議論してもかまわない。
例えば
a.b≧0でa^2>b^2ならばa>b・・・(*)
という命題は以下の二つと同値
(*)⇔a≦bならば「a<0∨b<0∨a^2≦b^2」・・・・(1)
⇔a.b≧0のときa^2>b^2ならばa>b・・・・(2)
君の
>「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」ならば「aは０以下またはaが１以上またはbは０以下またはbが１以上」
というのは(1)のパターン。スタ演の回答は(2)を使っている。
925 ：大学への名無しさん：2010/03/23(火) 13:17:00 ID:h0+Xp50d0
>>922
返信ありがとうございます。
というと単純に前提条件であっただけですね。
その上で不等式はその否定が偽であることを証明するのが良く
0<a<1,0<b<1を満たすとき
「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」が偽であること、偽であるとはそのようなa,bが存在しないこと
ということでしょうか。
返信ありがとうございます。
というと単純に前提条件であっただけですね。
その上で不等式はその否定が偽であることを証明するのが良く
0<a<1,0<b<1を満たすとき
「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」が偽であること、偽であるとはそのようなa,bが存在しないこと
ということでしょうか。
>>925
そう考えてもいい。
あと、ちょっとちゃぶ台返しになるけど、こんな理解もできる。
そもそも問題は(考えているa,bの範囲で)
＞ab≦1/4または(1-a)(1-b)≦1/4 が成り立つことを証明せよ。
これは「(a,b)が必ず書かれた二つの不等式のどっちかを満たす」
という命題。言っちまえば(a,b)はab≦1/4を満たす集合Pか、
(1-a)(1-b)≦1/4を満たす集合Qかのどっちかには属している、ということ。
これを言うにはPにもQにも属していない(a,b)という要素は存在しないことを
示せばいいわけで、それには
・Pに入らない条件 ab>1/4
・Qに入らない条件 (1-a)(1-b)>1/4
を同時に満たす(a,b)は存在しないことがいえればおっけー。
そう考えてもいい。
あと、ちょっとちゃぶ台返しになるけど、こんな理解もできる。
そもそも問題は(考えているa,bの範囲で)
＞ab≦1/4または(1-a)(1-b)≦1/4 が成り立つことを証明せよ。
これは「(a,b)が必ず書かれた二つの不等式のどっちかを満たす」
という命題。言っちまえば(a,b)はab≦1/4を満たす集合Pか、
(1-a)(1-b)≦1/4を満たす集合Qかのどっちかには属している、ということ。
これを言うにはPにもQにも属していない(a,b)という要素は存在しないことを
示せばいいわけで、それには
・Pに入らない条件 ab>1/4
・Qに入らない条件 (1-a)(1-b)>1/4
を同時に満たす(a,b)は存在しないことがいえればおっけー。
927 ：大学への名無しさん：2010/03/23(火) 16:02:16 ID:o9H8fLV60
>>923
＞p⇒qは￢p∨qと同値であることより
pを条件「x=0」、qを条件「x=1」、とすれば、
p⇒qは偽の命題であり、
￢p∨qは条件「x=0でないまたはx=1」、つまり条件「x≠0」だから、
同値でないのではないですか？
＞p⇒qは￢p∨qと同値であることより
pを条件「x=0」、qを条件「x=1」、とすれば、
p⇒qは偽の命題であり、
￢p∨qは条件「x=0でないまたはx=1」、つまり条件「x≠0」だから、
同値でないのではないですか？
>>927
pが「x=0」のとき
「x≠0」は￢pであって￢p∨qではない。
それはともかく、
p→q と ￢p∨q が同値ってのは形式的に証明（論理関係についてのメタ定理として）出来る話なので
（あるいは流儀によっては→の定義がそもそもこうなっていることもあるが）、疑う余地はないのだけれど、
形式論理に慣れてないうちはこれを気にしないほうが良いかもしれない。酷い混乱の元になる場合がある。
pが「x=0」のとき
「x≠0」は￢pであって￢p∨qではない。
それはともかく、
p→q と ￢p∨q が同値ってのは形式的に証明（論理関係についてのメタ定理として）出来る話なので
（あるいは流儀によっては→の定義がそもそもこうなっていることもあるが）、疑う余地はないのだけれど、
形式論理に慣れてないうちはこれを気にしないほうが良いかもしれない。酷い混乱の元になる場合がある。
929 ：大学への名無しさん：2010/03/23(火) 19:00:10 ID:5zp09qwR0
等比数列の和の求め方について教えて下さい。
Sn=a+ar••••••••••ar^n-1の両辺に公比rを掛けて
rSn=ar+ar^2+••••ar^n-1+ar^nになりますが、
rSn=の最後のar^nはどこから出て来たの分かりません。
Sn=a+ar••••••••••ar^n-1の両辺に公比rを掛けて
rSn=ar+ar^2+••••ar^n-1+ar^nになりますが、
rSn=の最後のar^nはどこから出て来たの分かりません。
ar^n-1 * r
>>930
ありがとうごさいます。
ありがとうごさいます。
新一浪になるのですが
1A、2Bどっちもセンター3割ぐらいの私文が
一年で早慶レベルまで持っていくことは出来ますかね？
数学自体は嫌いではないのですが・・・
1A、2Bどっちもセンター3割ぐらいの私文が
一年で早慶レベルまで持っていくことは出来ますかね？
数学自体は嫌いではないのですが・・・
総計レベルって、理系の話か？？
>>903
それだよ＾＾
あり＾＾それ使って階差で消せるｗｗ＾＾
ちなみにそれと同じじゃないよー＾＾
僕が使ったのは、k・nCk=n・n-1Ck-1だ＾＾それを使って一つ変形しただけだよー＾＾
とにかくあり＾＾
それだよ＾＾
あり＾＾それ使って階差で消せるｗｗ＾＾
ちなみにそれと同じじゃないよー＾＾
僕が使ったのは、k・nCk=n・n-1Ck-1だ＾＾それを使って一つ変形しただけだよー＾＾
とにかくあり＾＾
936 ：大学への名無しさん：2010/03/24(水) 00:12:55 ID:Cg5o2Du40
>>928
＞「x≠0」は￢pであって￢p∨qではない。
pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だと思いますが？
＞p→q と￢p∨q が同値ってのは形式的に証明（論理関係についてのメタ定理として）出来る話
p,qが命題のとき、同値なのは分かりますが、いまはp,qが条件のときの話ですよね。
p,qが条件のとき、p→q は命題であり、￢p∨qは条件である、
と認識していたのですが、間違いでしょうか？
＞「x≠0」は￢pであって￢p∨qではない。
pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だと思いますが？
＞p→q と￢p∨q が同値ってのは形式的に証明（論理関係についてのメタ定理として）出来る話
p,qが命題のとき、同値なのは分かりますが、いまはp,qが条件のときの話ですよね。
p,qが条件のとき、p→q は命題であり、￢p∨qは条件である、
と認識していたのですが、間違いでしょうか？
>>936
後半部分について、まず一つ用語を導入する。
「→」は「∨」や「￢」と同じくただの論理結合子なので、p→qが命題で￢p∨qが条件ということはない。
この２つの論理式は同値なので、片方が命題ならもう片方も命題で、片方が条件ならもう片方も条件。
では条件（これは高校数学用語なのだけれども）とは何かというと、高校の教科書範囲では、
中に変数が書かれている論理式は全て条件ということで良い。ただし変数との関連が重要なので、
「xについての条件」「x, yについての条件」などと変数名を明記する必要がある。
前半部分はレスを分けます
後半部分について、まず一つ用語を導入する。
「→」は「∨」や「￢」と同じくただの論理結合子なので、p→qが命題で￢p∨qが条件ということはない。
この２つの論理式は同値なので、片方が命題ならもう片方も命題で、片方が条件ならもう片方も条件。
では条件（これは高校数学用語なのだけれども）とは何かというと、高校の教科書範囲では、
中に変数が書かれている論理式は全て条件ということで良い。ただし変数との関連が重要なので、
「xについての条件」「x, yについての条件」などと変数名を明記する必要がある。
前半部分はレスを分けます
一つ用語を導入すると書いたけれども、編集ミスなので忘れて下さい
（「論理式」について書こうかと思った）
（「論理式」について書こうかと思った）
xy平面上に3点A(-5,-1),B(2,13),C(6,1)がある
このとき次の問いに答えよ
(1)線分AB,BC,CAの長さ
(2)∠ABCの大きさ
(3)∠BACの2等分線と線分BCとの交点Dの座標
ABが7√5,BCが4√10,CAが5√5で、
∠ABCが45度というところまでは分かっています。
(3)を教えてください。
このとき次の問いに答えよ
(1)線分AB,BC,CAの長さ
(2)∠ABCの大きさ
(3)∠BACの2等分線と線分BCとの交点Dの座標
ABが7√5,BCが4√10,CAが5√5で、
∠ABCが45度というところまでは分かっています。
(3)を教えてください。
>>936
前半部分について、
＞pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だと思いますが？
同値、という語の使い方が問題であって、その主張は話のレベルが一段階ずれている。
ずれを理解するには論理のトレーニングが必要な気がするけれどもおおざっぱに解説すると、
まずFを高校数学に出てくる論理式全ての集合とする。
式そのものが要素であることに注意。つまり、
Fには「x=0」「x≠0」「(x≠0)∨(x=1)」「1=1」「1+1=2」「1+1=3」などの式が要素として含まれている。
（条件も命題も全て含む）
上のpやqというのは、このFの要素である論理式を値とする変数（文法変数とかメタ変数という）であって、
『p→q と￢p∨q が同値』が定理だというのは、
Fの元からどのようなものをもってきてpとqに入れてみても『p→q と￢p∨q が同値』が成り立つということ。
（定理としての証明は、根拠である公理を書き並べるのが嫌なので略）
一方で君の言う
＞pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だと思いますが？
というのは、p, qにそれぞれ「x=0」, 「x=1」を持ってきた場合のみ成り立つ話であって、
Fの要素一般について成り立つものではない。ここが違う。
で、結局同値の意味をどう捕らえればよいのかということになるけれども、
これは構文と意味の差という形式論理のめんどくさい（天才を除いて理解に訓練がいる）話になってくるので
これまた省略させて下さい。もし更に詳しくということなら書くけれども。
前半部分について、
＞pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だと思いますが？
同値、という語の使い方が問題であって、その主張は話のレベルが一段階ずれている。
ずれを理解するには論理のトレーニングが必要な気がするけれどもおおざっぱに解説すると、
まずFを高校数学に出てくる論理式全ての集合とする。
式そのものが要素であることに注意。つまり、
Fには「x=0」「x≠0」「(x≠0)∨(x=1)」「1=1」「1+1=2」「1+1=3」などの式が要素として含まれている。
（条件も命題も全て含む）
上のpやqというのは、このFの要素である論理式を値とする変数（文法変数とかメタ変数という）であって、
『p→q と￢p∨q が同値』が定理だというのは、
Fの元からどのようなものをもってきてpとqに入れてみても『p→q と￢p∨q が同値』が成り立つということ。
（定理としての証明は、根拠である公理を書き並べるのが嫌なので略）
一方で君の言う
＞pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だと思いますが？
というのは、p, qにそれぞれ「x=0」, 「x=1」を持ってきた場合のみ成り立つ話であって、
Fの要素一般について成り立つものではない。ここが違う。
で、結局同値の意味をどう捕らえればよいのかということになるけれども、
これは構文と意味の差という形式論理のめんどくさい（天才を除いて理解に訓練がいる）話になってくるので
これまた省略させて下さい。もし更に詳しくということなら書くけれども。
ああそっか、同値なんて語を避ければいいのか
『p→q と￢p∨q が同値』を、
『（p→qが証明できるならば、￢p∨qも証明できる） かつ （￢p∨qが証明できるならば、p→qも証明できる』
としてみたら分かりやすいだろうか。
『p→q と￢p∨q が同値』を、
『（p→qが証明できるならば、￢p∨qも証明できる） かつ （￢p∨qが証明できるならば、p→qも証明できる』
としてみたら分かりやすいだろうか。
もう一方
＞pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だと思いますが
についても同値という語を排除して言い換えると
『pが「x=0」かつqが「x=1」ならば、
｛ （￢pが真ならば ￢p∨qも真） かつ （￢pが偽ならば、￢p∨qも偽） ｝ 』
となる。
＞pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だと思いますが
についても同値という語を排除して言い換えると
『pが「x=0」かつqが「x=1」ならば、
｛ （￢pが真ならば ￢p∨qも真） かつ （￢pが偽ならば、￢p∨qも偽） ｝ 』
となる。
http://tokyotech.net/pukiwiki/index.php?%C5%EC%B9%A9%C2%E7%BC%F5%B8%B3%B3%D8%BD%AC%CA%FD%CB%A1
このページのヤマを張るなというところにある問題なんですが、
0≦θ≦πのとき、-3sinθ+4cosθの最大値、最小値とそのときのθを求めよ
をベクトルを用いて解くと
-3sinθ+4cosθはベクトル(4,-3)とベクトル(cosθ,sinθ）の内積と見ることができる。
よって、0≦θ≦πのとき最大値はθ=0のとき4で、最小値はtanθ=-3/4のとき-5である。
とありますけど、最大値の求め方はわかるのですが最大値はどのようにしてtanθ=-3/4が出てきたのでしょう？
このページのヤマを張るなというところにある問題なんですが、
0≦θ≦πのとき、-3sinθ+4cosθの最大値、最小値とそのときのθを求めよ
をベクトルを用いて解くと
-3sinθ+4cosθはベクトル(4,-3)とベクトル(cosθ,sinθ）の内積と見ることができる。
よって、0≦θ≦πのとき最大値はθ=0のとき4で、最小値はtanθ=-3/4のとき-5である。
とありますけど、最大値の求め方はわかるのですが最大値はどのようにしてtanθ=-3/4が出てきたのでしょう？
944 ：大学への名無しさん：2010/03/24(水) 02:05:31 ID:Cg5o2Du40
>>937
＞中に変数が書かれている論理式は全て条件ということで良い
p,qが条件のとき、p→q は、
pがqの十分条件であることを主張する命題と認識してましたが、
それは間違いということですかね？
>>940
＞＞pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だと思いますが？
＞というのは、p, qにそれぞれ「x=0」, 「x=1」を持ってきた場合のみ成り立つ話であって、
＞Fの要素一般について成り立つものではない。ここが違う。
Fの要素一般についての話はしていません。
pが「x=0」、qが「x=1」のとき、前者は後者の必要十分条件ではないかということです。
つまり、>>928の「x≠0」は￢pであって￢p∨qではない。は違うのではないかと。
＞中に変数が書かれている論理式は全て条件ということで良い
p,qが条件のとき、p→q は、
pがqの十分条件であることを主張する命題と認識してましたが、
それは間違いということですかね？
>>940
＞＞pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だと思いますが？
＞というのは、p, qにそれぞれ「x=0」, 「x=1」を持ってきた場合のみ成り立つ話であって、
＞Fの要素一般について成り立つものではない。ここが違う。
Fの要素一般についての話はしていません。
pが「x=0」、qが「x=1」のとき、前者は後者の必要十分条件ではないかということです。
つまり、>>928の「x≠0」は￢pであって￢p∨qではない。は違うのではないかと。
どうして微分をするのか、どうして積分をするのかイマイチ理解できていないのですが、
微分は何のためにするのですか？
積分は何のためにするのでしょうか？
微分は何のためにするのですか？
積分は何のためにするのでしょうか？
>>944
また下の方から回答する．申し訳ない．
＞Fの要素一般についての話はしていません。
＞pが「x=0」、qが「x=1」のとき、前者は後者の必要十分条件ではないかということです。
＞
＞つまり、>>928の「x≠0」は￢pであって￢p∨qではない。は違うのではないかと。
>>928で述べたのは式としての，即ち構文としての等しさ．
「≠」という記号がどう定義されていたかというと，「=でない」であって，
これは論理式にすればそのまま，例えば「x≠0」については「￢(x=0)」と
*同じ式である*ことになる．>>928ではこの「x=0」をpととっていた．
そしてこれに「∨」の記号ともうひとつの論理式「q」を
付け加えた「￢(x=0)∨q」は別の式ということになる．
例えると，x^2 + 2x + 1 と (x+1)^2 は計算すれば等しいけれども，
式の形は違う，というのに似ていなくもない．
君の言うようにqに「x=1」を代入した場合など，限られた場合に
この2つの式の*真偽が同じ*になることもあるけれども，
これは式の形の話とは別のものということ．
当初の問題だったのは「p->q」と「￢p∨q」の同値性だったけれども，
この2つはp, qにどんな論理式（上の記号を使えばFのどんな要素）を代入しても
その真偽が等しいという，特定のp, qの取り方にはよらない同値性を持っている.
また下の方から回答する．申し訳ない．
＞Fの要素一般についての話はしていません。
＞pが「x=0」、qが「x=1」のとき、前者は後者の必要十分条件ではないかということです。
＞
＞つまり、>>928の「x≠0」は￢pであって￢p∨qではない。は違うのではないかと。
>>928で述べたのは式としての，即ち構文としての等しさ．
「≠」という記号がどう定義されていたかというと，「=でない」であって，
これは論理式にすればそのまま，例えば「x≠0」については「￢(x=0)」と
*同じ式である*ことになる．>>928ではこの「x=0」をpととっていた．
そしてこれに「∨」の記号ともうひとつの論理式「q」を
付け加えた「￢(x=0)∨q」は別の式ということになる．
例えると，x^2 + 2x + 1 と (x+1)^2 は計算すれば等しいけれども，
式の形は違う，というのに似ていなくもない．
君の言うようにqに「x=1」を代入した場合など，限られた場合に
この2つの式の*真偽が同じ*になることもあるけれども，
これは式の形の話とは別のものということ．
当初の問題だったのは「p->q」と「￢p∨q」の同値性だったけれども，
この2つはp, qにどんな論理式（上の記号を使えばFのどんな要素）を代入しても
その真偽が等しいという，特定のp, qの取り方にはよらない同値性を持っている.
>>944
そして問題の前半部
＞p,qが条件のとき、p→q は、
＞pがqの十分条件であることを主張する命題と認識してましたが、
＞それは間違いということですかね？
命題と条件という言葉の定義の怪しさを除いて正しい．
ただその怪しさは高校の教科書の書き方に既にあいまいさがあるので，
君に責任はない．
教科書の定義だと
条件とはx=0などのように文字を含んだ文や式，
命題とは真偽がはっきり定まる文や式，
となっている．
その下に「p->q」の話があるけれども，
そこで述べられているのは「p->q」という形の命題についてであって，
「p->q」という形の条件については無視されている．これが問題の一つ目．
さらに偽である命題の例として挙げられる
「x^2=1 -> x=1」のような論理式があるけれども，
これが条件であってはいけない理由は無い．むしろ教科書の定義ではこの論理式は
条件なのだけれども，これを命題として扱っている以上，
教科書の命題の定義にはもう少し加筆が要る．これが問題の二つ目．
長くなったので次レスに移ります
そして問題の前半部
＞p,qが条件のとき、p→q は、
＞pがqの十分条件であることを主張する命題と認識してましたが、
＞それは間違いということですかね？
命題と条件という言葉の定義の怪しさを除いて正しい．
ただその怪しさは高校の教科書の書き方に既にあいまいさがあるので，
君に責任はない．
教科書の定義だと
条件とはx=0などのように文字を含んだ文や式，
命題とは真偽がはっきり定まる文や式，
となっている．
その下に「p->q」の話があるけれども，
そこで述べられているのは「p->q」という形の命題についてであって，
「p->q」という形の条件については無視されている．これが問題の一つ目．
さらに偽である命題の例として挙げられる
「x^2=1 -> x=1」のような論理式があるけれども，
これが条件であってはいけない理由は無い．むしろ教科書の定義ではこの論理式は
条件なのだけれども，これを命題として扱っている以上，
教科書の命題の定義にはもう少し加筆が要る．これが問題の二つ目．
長くなったので次レスに移ります
>>944
なのでやはり命題の定義をしなおす必要があると思う．
まず教科書に乗っている命題や条件をひっくるめて
論理式と言うということは上の方に書いた．
本当は形式論理らしく人工言語で論理式を定義すべきだけれども，
あまりに煩雑なのでここではそれを避ける．
代わりに教科書の命題の定義の言い回しを真似て，
「正しいか正しくないかはともかく，数学的に何らかの主張をしている式や文」
を論理式の定義としておく．
次に高校数学には無い記法を論理式に加える．
xを変数，Pを論理式としたときに，記号「∀」を使って並べて
「∀xP」の形に書いたものも論理式であることにする．
読み方は「全てのxについてP」．
これが無いと命題の定義が正しくできない．
論理式Pのどこかに「∀xQ」の形が出てきたときに，
Qに変数xが書かれていれば，それは全て"束縛されている"という．
論理式Pのどこかに，変数xがまったく束縛されていない状態で書かれていれば，
それは"自由である"といい，xはPの自由変数であるという．
これは何をしたいかというと，自由変数を含んだ式は真偽が自明ではないということを
述べるための準備．
例を出すと，
「(∀x(x=5)) ∨ (x=7) ∨ (y=3) ∨ (∀z(z=4))」
という論理式で，「x=5」のxは束縛されている，
「x=7」のxは自由，「y=3」のyは自由，「z=4」のzは束縛されていて，
この論理式の自由変数はxとy，となる．
また長くなったので次レスへ行きます
なのでやはり命題の定義をしなおす必要があると思う．
まず教科書に乗っている命題や条件をひっくるめて
論理式と言うということは上の方に書いた．
本当は形式論理らしく人工言語で論理式を定義すべきだけれども，
あまりに煩雑なのでここではそれを避ける．
代わりに教科書の命題の定義の言い回しを真似て，
「正しいか正しくないかはともかく，数学的に何らかの主張をしている式や文」
を論理式の定義としておく．
次に高校数学には無い記法を論理式に加える．
xを変数，Pを論理式としたときに，記号「∀」を使って並べて
「∀xP」の形に書いたものも論理式であることにする．
読み方は「全てのxについてP」．
これが無いと命題の定義が正しくできない．
論理式Pのどこかに「∀xQ」の形が出てきたときに，
Qに変数xが書かれていれば，それは全て"束縛されている"という．
論理式Pのどこかに，変数xがまったく束縛されていない状態で書かれていれば，
それは"自由である"といい，xはPの自由変数であるという．
これは何をしたいかというと，自由変数を含んだ式は真偽が自明ではないということを
述べるための準備．
例を出すと，
「(∀x(x=5)) ∨ (x=7) ∨ (y=3) ∨ (∀z(z=4))」
という論理式で，「x=5」のxは束縛されている，
「x=7」のxは自由，「y=3」のyは自由，「z=4」のzは束縛されていて，
この論理式の自由変数はxとy，となる．
また長くなったので次レスへ行きます
>>944
さて命題は真偽がはっきりと定まる式や文，だった．
論理式の真偽ということを考えると，たとえば自然数では
「0=0」というのは常に真だし「0=1」は常に偽で，
これらはまぎれもなく命題と言える．
しかし「x=0」はどうかというと，
これはxの値によって真偽が変わってしまうように見える．
問題はこの論理式が自由変数xを含んでいることで，
これを束縛する為に「∀x(x=0)」としてやると，真偽ははっきりする．
つまりこれは「全てのxについてx=0」ということであり，偽．
より一般に自由変数を含まない論理式は真偽が定まり，
これによって命題の定義としては
"自由変数を含まない論理式"
を取ることになる．
では教科書で命題として書かれていた
「X^2=1 -> x=1」のような場合はどうするのか．
この論理式ではxが自由変数であって，
x=1ならば真，x=-1ならば偽と真偽が分かれてしまうのだけれども，
これを命題と言う場合，つまり真偽が定まっていると考えたいときには，
自由変数を全て「∀」で束縛する．すなわち，
「∀x(X^2=1 -> x=1)」が書かれているものと考える事になる．
これは基本的に便宜的なものであるけれども，
形式論理で一般に通用している事だし直感にもそれほど反しないので
高校の教科書でも暗に使われているのだろう．
まとめは次レス
さて命題は真偽がはっきりと定まる式や文，だった．
論理式の真偽ということを考えると，たとえば自然数では
「0=0」というのは常に真だし「0=1」は常に偽で，
これらはまぎれもなく命題と言える．
しかし「x=0」はどうかというと，
これはxの値によって真偽が変わってしまうように見える．
問題はこの論理式が自由変数xを含んでいることで，
これを束縛する為に「∀x(x=0)」としてやると，真偽ははっきりする．
つまりこれは「全てのxについてx=0」ということであり，偽．
より一般に自由変数を含まない論理式は真偽が定まり，
これによって命題の定義としては
"自由変数を含まない論理式"
を取ることになる．
では教科書で命題として書かれていた
「X^2=1 -> x=1」のような場合はどうするのか．
この論理式ではxが自由変数であって，
x=1ならば真，x=-1ならば偽と真偽が分かれてしまうのだけれども，
これを命題と言う場合，つまり真偽が定まっていると考えたいときには，
自由変数を全て「∀」で束縛する．すなわち，
「∀x(X^2=1 -> x=1)」が書かれているものと考える事になる．
これは基本的に便宜的なものであるけれども，
形式論理で一般に通用している事だし直感にもそれほど反しないので
高校の教科書でも暗に使われているのだろう．
まとめは次レス
>>943 リンクされてる「参考図」を見た?
(4,-3)=a↑、(cosθ,sinθ)=p↑、これらのなす角をαとする。
a↑は固定されてるベクトル(参考図の赤)
p↑は終点が単位円上を動くベクトル(参考図の青)
長さはそれぞれ5,1で固定だから
a↑・p↑=|a↑||p↑|cosα=5cosαで、cosαの最大最小を与えるαがそのまま
内積の最大最小を決める
cosなんだからなるべくなす角が小さいときに最大で、図から(同方向は向けないので)
0のとき最大、180°はとることができて逆向きのときが最小、
このときp↑は-a↑の向きになるからtanθ=-3/4のときということ。
(4,-3)=a↑、(cosθ,sinθ)=p↑、これらのなす角をαとする。
a↑は固定されてるベクトル(参考図の赤)
p↑は終点が単位円上を動くベクトル(参考図の青)
長さはそれぞれ5,1で固定だから
a↑・p↑=|a↑||p↑|cosα=5cosαで、cosαの最大最小を与えるαがそのまま
内積の最大最小を決める
cosなんだからなるべくなす角が小さいときに最大で、図から(同方向は向けないので)
0のとき最大、180°はとることができて逆向きのときが最小、
このときp↑は-a↑の向きになるからtanθ=-3/4のときということ。
>>944
まとめとして，高校の範囲で命題といって自由変数を含む表現が出てきたら，
ひとつひとつの自由変数?について「すべての?について」が枕詞として
付いているものと考えて良い．
補足
では条件は何かというと，"自由変数を含む論理式"となるだろうか．
これは高校教科書のあいまいさゆえに定義しきれない．
形式論理の導入部にはいろいろな流儀があるので，
ちゃんとした本を読むと細かいところが異なって見える場合があると思う．
本質的には同じものができあがることにはなるのだけれど．
まとめとして，高校の範囲で命題といって自由変数を含む表現が出てきたら，
ひとつひとつの自由変数?について「すべての?について」が枕詞として
付いているものと考えて良い．
補足
では条件は何かというと，"自由変数を含む論理式"となるだろうか．
これは高校教科書のあいまいさゆえに定義しきれない．
形式論理の導入部にはいろいろな流儀があるので，
ちゃんとした本を読むと細かいところが異なって見える場合があると思う．
本質的には同じものができあがることにはなるのだけれど．
952 ：大学への名無しさん：2010/03/24(水) 12:44:50 ID:tRH2PYlg0
>>950
なるほど、すっきりしました。ありがとうございます。
後、些細な疑問なんですがなぜ(-3,4)=a↑,(sinθ,cosθ）=p↑ではなく、
(4,-3)=a↑、(cosθ,sinθ)=p↑になるんでしょうか
元の式の形からすると前者になると思うんですが
なるほど、すっきりしました。ありがとうございます。
後、些細な疑問なんですがなぜ(-3,4)=a↑,(sinθ,cosθ）=p↑ではなく、
(4,-3)=a↑、(cosθ,sinθ)=p↑になるんでしょうか
元の式の形からすると前者になると思うんですが
954 ：大学への名無しさん：2010/03/24(水) 14:08:42 ID:tRH2PYlg0
>>953
もとの式を4cos-3sinととらえればいいんじゃない。
足し算は入れ替えても式が成立する。
950のように捉えたほうがx座標をcosにしてるから分かりやすいと思うよ。
sinをxに捉えると逆関数になってわかりにくい気がする。
x=cos y=sin と考えたほうが三角関数ではわかりやすい。
もとの式を4cos-3sinととらえればいいんじゃない。
足し算は入れ替えても式が成立する。
950のように捉えたほうがx座標をcosにしてるから分かりやすいと思うよ。
sinをxに捉えると逆関数になってわかりにくい気がする。
x=cos y=sin と考えたほうが三角関数ではわかりやすい。
逆関数？？
>>955
パラメーターが入れ替わってるから（cosがsinに、sinがcosに）
y=xで対称な逆関数かと思ったんだけど・・・
オレは逆関数を勘違いしてるのかな？
結局、cos、sinで円だからy=xで対称な図形も円になるけど。
パラメーターが入れ替わってるから（cosがsinに、sinがcosに）
y=xで対称な逆関数かと思ったんだけど・・・
オレは逆関数を勘違いしてるのかな？
結局、cos、sinで円だからy=xで対称な図形も円になるけど。
何が何の関数と考えたんですか？
959 ：大学への名無しさん：2010/03/24(水) 17:09:10 ID:8xrJy1CS0
数学的帰納法って実際に証明で使ってる部分は演繹法だよね？
960 ：大学への名無しさん：2010/03/24(水) 17:21:48 ID:Cg5o2Du40
>>946
＞君の言うようにqに「x=1」を代入した場合など，限られた場合に
＞この2つの式の*真偽が同じ*になることもあるけれども，
＞これは式の形の話とは別のものということ．
＞当初の問題だったのは「p->q」と「￢p∨q」の同値性だったけれども，
＞この2つはp, qにどんな論理式（上の記号を使えばFのどんな要素）を代入しても
＞その真偽が等しいという，特定のp, qの取り方にはよらない同値性を持っている.
pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だということは、
（pが「x=0」、かつqが「x=1」）ならば「￢p⇔￢p∨q」、ということですよね。
これは、p,qにＦのどの元を代入しても常に真ですよ？
前件が偽となるＦの元を代入したとき、条件全体は真ですから。
＞君の言うようにqに「x=1」を代入した場合など，限られた場合に
＞この2つの式の*真偽が同じ*になることもあるけれども，
＞これは式の形の話とは別のものということ．
＞当初の問題だったのは「p->q」と「￢p∨q」の同値性だったけれども，
＞この2つはp, qにどんな論理式（上の記号を使えばFのどんな要素）を代入しても
＞その真偽が等しいという，特定のp, qの取り方にはよらない同値性を持っている.
pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だということは、
（pが「x=0」、かつqが「x=1」）ならば「￢p⇔￢p∨q」、ということですよね。
これは、p,qにＦのどの元を代入しても常に真ですよ？
前件が偽となるＦの元を代入したとき、条件全体は真ですから。
961 ：大学への名無しさん：2010/03/24(水) 17:22:55 ID:Cg5o2Du40
>>947
＞「p->q」という形の条件については無視されている
>>951
＞では条件は何かというと，"自由変数を含む論理式"となるだろうか．
＞これは高校教科書のあいまいさゆえに定義しきれない
高校数学においては、p,qが（論理記号を含まない）条件のとき、
「p→q」や「p⇔q」は∀で束縛された命題とされ、
「p∧q」や「p∨q」などは自由変数を含む条件であり、
あいまいさはないのではないでしょうか？
そして、「p→q」と「￢p∨q 」は、前者は命題、後者は条件とされるので、
この両者は同値でないのではないかというのが、当初の疑問です。
実は昔、なぜ前者だけ全称閉方したものとみなされるのかが疑問で、
大数の坪田さんに手紙で質問したら、要は定義だということで、
論理学と数学との違いだと解釈したのですが、どう思われますか？
＞「p->q」という形の条件については無視されている
>>951
＞では条件は何かというと，"自由変数を含む論理式"となるだろうか．
＞これは高校教科書のあいまいさゆえに定義しきれない
高校数学においては、p,qが（論理記号を含まない）条件のとき、
「p→q」や「p⇔q」は∀で束縛された命題とされ、
「p∧q」や「p∨q」などは自由変数を含む条件であり、
あいまいさはないのではないでしょうか？
そして、「p→q」と「￢p∨q 」は、前者は命題、後者は条件とされるので、
この両者は同値でないのではないかというのが、当初の疑問です。
実は昔、なぜ前者だけ全称閉方したものとみなされるのかが疑問で、
大数の坪田さんに手紙で質問したら、要は定義だということで、
論理学と数学との違いだと解釈したのですが、どう思われますか？
>>958
わいがえっくす
わいがえっくす
何故階差数列は
a(n)=a(1)+Σ_[k=1,n-1]b(k)
で求められるのですか？
a(n)=a(1)+Σ_[k=1,n-1]b(k)
で求められるのですか？
a(n)=a(n-1)+b(n-1)
a(n-1)=a(n-2)+b(n-2)
：
a(2)=a(1)+b(1)
を辺々たす
a(n-1)=a(n-2)+b(n-2)
：
a(2)=a(1)+b(1)
を辺々たす
>>966
日本語でおｋ
日本語でおｋ
969 ：大学への名無しさん：2010/03/24(水) 20:41:44 ID:BubwC2b20
sage
新高一です。
まだ一応中学生の身なのですが、
塾にて先取り講座というもので一年数学の一学期の物の基礎を学ばせていただきました。
2乗までが出てくる式の因数分解なら、解法を学んだので解けるのですが、
x^8 + 3x^6 + 8x^4 + 12x^2 + 16 の因数分解と言われると、
どうすれば良いのか全く手がつけられません。
x^2 ( x^2 ( x^4 + 3x^2 + 8 ) +12 ) +16
と言ったように無意味かもしれませんがxでくくってみたのですが、
結局x^4 + 3x^2 + 8 の因数分解の仕方がわかりません。
たすきがけ、と言われる物を習ったのですが、そもそも因数分解の基本を理解していないため、
応用に対応できないのかもしれません。
考え方、解き方を教えていただけるとありがたいです。
お願いします。
まだ一応中学生の身なのですが、
塾にて先取り講座というもので一年数学の一学期の物の基礎を学ばせていただきました。
2乗までが出てくる式の因数分解なら、解法を学んだので解けるのですが、
x^8 + 3x^6 + 8x^4 + 12x^2 + 16 の因数分解と言われると、
どうすれば良いのか全く手がつけられません。
x^2 ( x^2 ( x^4 + 3x^2 + 8 ) +12 ) +16
と言ったように無意味かもしれませんがxでくくってみたのですが、
結局x^4 + 3x^2 + 8 の因数分解の仕方がわかりません。
たすきがけ、と言われる物を習ったのですが、そもそも因数分解の基本を理解していないため、
応用に対応できないのかもしれません。
考え方、解き方を教えていただけるとありがたいです。
お願いします。
973 ：大学への名無しさん：2010/03/24(水) 22:24:05 ID:iRwOdo5m0
需要ありそうなので避難所にスレ立ててきた
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験避難板】＊＊＊
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/school/21000/1269436627/
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験避難板】＊＊＊
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/school/21000/1269436627/
974 ：大学への名無しさん：2010/03/24(水) 22:25:57 ID:iRwOdo5m0
>>973
規制民とか、２ちゃんが落ちた時にでも使ってくれ
規制民とか、２ちゃんが落ちた時にでも使ってくれ
975 ：大学への名無しさん：2010/03/24(水) 22:30:20 ID:iRwOdo5m0
>>972
一般的なその形は数IIやらんと無理だが、書かれた式ならばこう見当を付ける
与式=(x^8+8x^4+16) + (3x^6+12x^2)
前のカッコと後のカッコをそれぞれ因数分解すると先が見える。
一般的なその形は数IIやらんと無理だが、書かれた式ならばこう見当を付ける
与式=(x^8+8x^4+16) + (3x^6+12x^2)
前のカッコと後のカッコをそれぞれ因数分解すると先が見える。
ありがとうございます。
入学する高校の、一学期の定期考査問題だと言われ、やらされたものですので、
どうにか解けるよう練習しようと思います。
入学する高校の、一学期の定期考査問題だと言われ、やらされたものですので、
どうにか解けるよう練習しようと思います。
979 ：大学への名無しさん：2010/03/24(水) 23:05:36 ID:c9xJfmAy0
ま、たいしてかわんねーか
埋
埋
埋
梅
埋
埋
埋
埋
埋
埋
埋
梅
梅
994
埋
埋
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1001 ：１００１：
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もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
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