＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part91＊＊＊

数学の問題に関する質問をどうぞ。参考書・勉強の仕方等は各専用スレッドで。

質問をする際の注意

★★★必ず最後まで読んでください★★★

・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
　マルチポストとは→http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html
　マルチポストの指摘はURLつきで。
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・回答者はいろいろな方法を用いるので、必要ならどの方法で解くか、自分がどこまで
　履修済みか書く。（例：ベクトルで解く方法を知りたい、数IAの範囲で、など）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
　(例1)1/2aは(1/2)あるいは1/(2a)ともとれるので誤解されないように(　)を使って書く。
　(例2)数列の場合も、anよりもa(n)、a[n]、a_nなどと表す方が添え字がわかりやすい。
・下のリンクの数学記号の書き方をよく読んで、他の人が読んでも問題がわかるように書く。
　慣習的でない記号、用語を使うときはそれの説明も書く。
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
　解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor問○を教えてください」だけ書くような
　質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。
・どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・携帯からの質問はそちらの都合ですので、回答者に配慮を求めないでください。
数学記号の書き方
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/


前スレ
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part90＊＊＊
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1249944504/

2

バカ！バカ！バカ！見るなって言ったでしょ！

>>1000
f(x)=x^3+kx^2+6x-7
f'(x)=3x^2+2kx+6≧0
D/4=k^2-18≦0
-3√2≦k≦3√2

>>999
sinθ(1+cosθ)/(1-cos^2θ)
=(1+cosθ)/sinθ
1+cosθ→2
sinθ→+0
1/sinθ→+∞
(1+cosθ)/sinθ→+∞

質問です

問題

l : x + t ( y - 3 ) = 0
m : tx - ( y + 3 ) =0

を考える

t が実数全体を動く時、 l と m の交点はどのような図形を描くか。


解答

（前略）

1・t + t・(-1) = 0

より、 t を一つ固定するとき、直線 l と m は直交する。


↑
この件が分かりません。


理系プラチカ持ってる人は53番です。

>>6
x + t ( y - 3 ) = 0と直交する方向ベクトルは？
同様に、tx - ( y + 3 ) =0と直交する方向ベクトルは？
それらのベクトルの内積が０ということは、元の２直線も直交する
ということじゃね？

>>6
方向ベクトルの内積が0
つまり直交することを表している

法線ベクトルと間違えただろ

絶滅したはずの恐竜が地下１０キロ付近で生存していた「写真あり」
http://pc11.2ch.net/test/read.cgi/net/1253284186/l50

頂点Ａを共有する３つの辺ＡＢ､ＡＣ､ＡＤの長さが､それぞれ６､３､２である直方体がある。
頂点Ａと３点Ｂ､Ｃ､Ｄを通る平面との距離を求めよ。

この問題解ける方いますか？

>>11
体積を使って逆算．頻出問題．

>>11
マルチ乙

＞ベクトルの〜


みんなありがとう
解決しました

>>12
でも答え変な3/7√14らしいんですけどどうしても出ないんですよ。
途中式教えていただけませんか？

>>6
x^2+tx(y-3)=0
tx(y-3)-(y+3)(y-3)=0
x^2+y^2=9
y=3, x=0 NG
x=0, y=-3 OK
x^2+y^2=9, (x, y)≠(0, 3)

>>11
h=pb+qc+rd
hb=hc=hd
pbb=qcc=rdd=k
1=p+q+r=k(1/bb+1/cc+1/dd)
k=1/(1/bb+1/cc+1/dd)=1/(1/36+1/9+1/4)=18/7
hh=p^2bb+q^2cc+r^2dd=pk+qk+rk=(p+q+r)k=k=18/7
|h|=3√(2/7)

>>17
>hh=p^2bb+q^2cc+r^2dd=pk+qk+rk=(p+q+r)k=k=18/7
k=hd=hc=hd=hh

http://imepita.jp/20090919/025610

この新潟大の問題を質問させてください
自分はこう考えました

1]n=100〜n=91のとき
f(102)=92,・・・f(111)=101より
f(100)=f(f(111))=f(101)=91
f(99)=f(f(110))=f(100)=91
・・・
f(91)=f(f(102))=f(92)=91
で成立

2]n=k.k-1,,,,k-9のとき
f(k)=f(k-1)=・・・=f(k-9)=91と仮定して
f(k-11)=f(f(k))=f(91)=91
f(k-12)=f(f(k-1))=f(91)=91
・・・
f(k-20)=f(f(k-9))=f(91)=91で確かに成立する

数学的帰納法よりn≦100となる整数すべてで成立する

っていう具合なのですが、バック?していく帰納法を考えるてるので
答案として気持ちが悪いというのともう少し綺麗にまとまらないかなぁ?
と思っています。よろしければ良い回答を教えていただけないでしょうか?
お願いします

f(90)も初期条件に入れて
仮定はk,k-1,,,,k-9,k-10まで仮定しないと駄目そうですね。
それでk-11〜k-21までの成立を言うことに訂正します

http://imepita.jp/20090919/107290

この問題も質問させてください。早稲田商学部の問題です

まず、1つの項に対して2つの数列が出来上がることに目をつけて
群数列に帰着させられないかと考えました
1群が1,2群が1と2,3群が1,2,2,3・・・という具合に続いていき
k群が1からはじまりkで終わる。項数は2^(k-1)個
k群の第一項ははじめから数えて2^k番目。

ここで手が止まってしまい、解答を見ると
第k群ははじめから数えて2^k項目〜{2^(k+1)}-1項目までというのは
2進数表示で考えれば、1または0の数字をk個ならべてできるもののグループ。
また、数列の中身である1とか2とかkとかは2進数表示したときの「1」の数と等しい

ということでああ確かになぁ・・・と思い解答の理解は出来たんですが
この問題をぱっと見て2進数が問題の核なんだなということを見抜くには
どういう考え方をして、どのように知識を整理しておけばよいでしょうか?
自分の今の力では、この漸化式を見て2進数が解決の鍵であるとは見抜けません・・・

情報系の自分としては右シフトの反復プログラムに見える
1 N←n, R=0
2 if N=1 then R←R+1 goto 3
else if N is odd then R←R+1, N←(N-1)/2
else N←N/2
3 print R
って考えれば楽なんじゃないかなあ
でも経験していない人にはたぶんわからないから仕方ないんじゃない？
典型問題をいくつかこなしているうちに勘が働くようになるよ

>>22
すいません・・・そのプログラム自体何やってるのか良くわからないです。。。


少しスレ違いだとも思うのですが
記数法に関する典型問題と定石ってどうやって仕入れるのがベストですか?
自分の持っている本には記数法はまったく乗っていないんで
ナニが典型問題でどれがそうでないのか区別もつかない状態です。
そもそも記数法って数学Aになるのでしょうか?

モノグラフの整数になかったっけ？でもいきなりだとレベル高いかも・・

モノグラフですか。今日にでも本屋で見てきます。

基本情報技術者のテキストだろ。

>>21
f(4)=f(2)=f(1)=1
f(3)=f(1)+1=2
f(2^10+1)=f(2^9)+1=…=f(1)+1=2

nを2進法で表したときak…a1a0 (ai=0, 1)となるなら
f(n)=Σaiとなることを帰納法で証明する
n=1=2^0のとき正しい
2^(k-1)≦n<2^kで正しいとすると
2^k≦n<2^(k+1)であるnについて
a0=0のとき
f(n)=f(ak…a1)=ak+…+a1=ak+…+a1+a0
a0=1のとき
f(n)=f(ak…a1)+1=ak+…+a1+1=ak+…+a1+a0
となるので正しい
よってすべてのnで正しい
2^10<2006<2^11
2^10≦n<2^11の範囲のnは2進法で11桁となりf(n)の最大はn=2^11-1のときの11
これ以外のnではf(n)≦10
n<2^10の範囲のnは2進法で10桁以下となりf(n)の最大は
n=2^10-1のときの10
よってn≦2006におけるf(n)の最大値は10

11111111110(2)=2046
11111111101(2)=2045
11111111011(2)=2043
11111110111(2)=2039
11111101111(2)=2031
11111011111(2)=2015>2006
11110111111(2)=1983<2006
11101111111(2)=1919
11011111111(2)=1791
10111111111(2)=1535
01111111111(2)=1023
5個

質問です。

相加相乗平均の問題で

x＋2/x2乗＋2x＋16 は
x=□で最大値○をとる。

空欄□○に入る値を答えよ。

なんですが、解法を忘れてしまいました。
すいませんが、
どなたかお願いしますm(__)m

>>29
>>1

a(1)=1,Σ_[k=1,n]ka(k)=n^2a(n),(n≧1)をみたす数列{an}について
a(n)をa(n-1),(n≧2)で表せという問題で、答の中に
n≧2のとき
Σ_[k=1,n]ka(k)-Σ_[k=1,n-1]ka(k)=na(n)
と書いてる箇所があるんですが、計算しても答のようになりませんので途中の式を教えてください。
よろしくお願いします

>>31
>Σ_[k=1,n]ka(k)-Σ_[k=1,n-1]ka(k)=na(n)
そのままじゃん。

>>31
そのままじゃん。

Σ_[k=1,n]ka(k)-Σ_[k=1,n-1]ka(k)
=1a(1)+2a(2)+....+(n-1)a(n-1)+na(n) - {1a(1)+2a(2)+....+(n-1)a(n-1) }
=na(n)

>>32-33ありがとうございました

積分の計算で∫t√（r＾2−t＾2)dtがなぜ−1／3（r＾2−t＾2）＾3／2＋Cになるのかわかりません…t＝rSinθの置換もうまくいきません

教えてください

(r＾2−t＾2)'=-2t

>>36
？
すいません…もう少し詳しく教えてください

−1／3（r＾2−t＾2）＾3／2＋Cを微分してごらんよ。

赤色、青色を含む５つの異なる色の風船が５つあり、nelとケケチップで風船に向けて射撃を行う。
nelの弾が１度で１つ風船に当たる確率は1/2,どれにも当たらない確率は1/2である。
ケケチップの弾が１度で１つの風船に当たる確率は1/3である。自分の心臓を打つ確率は1/5、それ以外は外れる確率である。
このとき、次の問いに答えよ。

(1)nelが６回連続で打つ時すべての風船に当たる確率を求めよ。（Lv.★)
(2)nel、ケケチップの順で射撃をそれぞれ１回ずつ行う動作を第１回と数える。
第５回目までに風船がすべて割れている確率を求めよ。（自分の心臓を打つ確率も考慮せよ）(Lv.★★)
(3)ケケチップは赤色、青色の風船を打つことができないとする。このとき、第３回目の時点ですべての風船が割れる確率を求めよ。(Lv.★★★)
(4)(3)の時、第n回目ですべての風船が割れる確率を求めよ。(Lv.★★★★★)

注)すべての設問で自分の心臓を打つ確率を考慮せよ。

この問題の（１）について、私は、
(1)6回連続で打つ→5回目までに4発当てた後6回目に一発あてる
　5C4(1/2)^4(1/2)×(1/2)＝5/64　

と解答しましたが、この問題の出題者は、以下のように解答しました。

この問題は反復試行の意味を考えればいい。
まず、反復試行の公式は
n回の試行で確率pの事象がr回起こる確率
nCr・p^r・(1-p)^(n-r)
である。俺はこの公式の導き方を知っているがここでは割愛する。
求めたいのは６回連続で打つときに５つのすべての風船が割れる確率だ。
これはまず、風船が割れる確率1/2が６回中５回起こる確率を求める。
つまり6C5・(1/2)^5・(1/)2=3/32となる。ここで注意するべきなのは、
この反復定理を使うと最初の５回ですべての風船を割った後に
一回外れたという事象の確率が含まれているということだ。
つまり、当たったものを（あ）、外れたものを（は）とすると、（あああああは）という
事象の確率が含まれていることになる。
しかし、最初に５回当たったものは例外で求めたいのは（あああああは）という
事象の確率ではなくて（あああああ）となる事象の確率だ。
最初に５回当たれば、この後の一発にははずれもあたりもない。標的がないんだから。
だから（あああああは）なんて事象は考えない。これを除いてまた新たに（あああああ）の
事象の確率を加える。この事象は(1/2)^5=1/32である。つまり、
3/32-1/64+1/32=7/64・・・（答）である。
ま、（あああああは）＋（ああああああ）＝（あああああ）だし最初に反復試行の公式で
求めたものに（あああああは）の事象の確率が入ってるんだから
（ああああああ）の事象の確率を足せば６回連続で打つときに
５つのすべての風船が割れる確率が求められるんだけどな。

どちらの解答が正しいのか、そして、なぜ、間違っているのかを教えてください。
(1)のみでいいです。
出題者は、無駄打ちの有無についてなにも触れていませんでしたが、
一応、無駄打ちは無し、ということでお願いします。

初歩的で申し訳ないんですが、質問させていただきます。
Ｘ＝−３±√９−ａ＝−３±√ａ−９ｉ(−ａ、−９ｉも√内です。)
になるにはどんな過程があるのですか？一応iの使い方はわかってるつもりですが…
どなたかお願いします。

>>41
X=-3±√(9-a)だよね
9-a<0なら、-(a-9)>0だから、√(9-a)=√-(a-9)=i*√(a-9)

>>41
>>1読んで次からちゃんとカッコを使って。

それが成り立つためにはa>9である必要があるが、それに沿った具体的な値で
自分がどんな操作をするか考えてみりゃいいべ。

たとえば
√(9-11）= √(-2) = (√2)i
√(9-14）= √(-5) = (√5)i
では一般論としてaのままだったらどう変形することになる?

ごめんちょっと間違えた
9-a<0なら、-(9-a)=a-9>0だから、√(9-a)=√-(a-9)=i*√(a-9)

解答ありがとうございます。次からはルールをしったかり守ります。すいませんでした。
考えていたら疑問が生じたのですが、
http://imepita.jp/20090920/431210
この二つに違いはあるのでしょうか？

>>39
(1/2)^5+5C1(1/2)^6=7/64
(6C0+6C1)(1/2)^6=7/64

○○ 5/30
○× 7/30
○死 3/30
×○ 5/30
×× 7/30
×死 3/30

P222=(5/30)^3
P221=(5/30)^2・15/30
P212=5/30・12/30・5/30
P122=12/30・(5/30)^2
P2112=5/30・(12/30)^2・5/30
P2111=5/30・((12/30)^3+(12/30)^2・3/30+12/30・3/30・15/30+3/30・(15/30)^2)
P1212=12/30・5/30・12/30・5/30
P1211=12/30・5/30・((12/30)^2+12/30・3/30+3/30・15/30)
P1122=(12/30)^2・(5/30)^2
P1121=(12/30)^2・5/30・15/30
P1112=(12/30)^3・5/30
P11112=(12/30)^4・5/30
P11111=(12/30)^5+(12/30)^4・3/30+(12/30)^3・3/30・15/30+(12/30)^2・3/30・(15/30)^2+12/30・3/30・(15/30)^3+3/30・(15/30)^4

赤青を撃つことが出来ないとは
赤青を撃つ確率0
それ以外を撃つ確率1/3
外す確率7/15
死ぬ確率1/5
と考えてよいのですか？
nelの場合どの色に当たるのも等確率ですね？
P◎○;◎○;○=(1/2・2/5)・1/3・(1/2・1/3)・1/3・1/2
P◎○;○○;◎=(1/2・2/5)・1/3・(1/2・2/3)・1/3・1/2
P○○;◎○;◎=(1/2・3/5)・1/3・(1/2・2/3)・1/3・1/2
P◎○;◎○;×○=(1/2・2/5)・1/3・(1/2・1/3)・1/3・1/2・1/3
P◎○;◎×;○○=(1/2・2/5)・1/3・(1/2・1/3)・ 7/15・1/2・1/3
P◎○;○×;◎○=(1/2・2/5)・1/3・(1/2・2/3)・ 7/15・(1/2・1/2)・1/3
P○○;◎×;◎○=(1/2・3/5)・1/3・(1/2・2/3)・ 7/15・(1/2・1/2)・1/3
P◎○;×○;◎○=(1/2・2/5)・1/3・1/2・ 7/15・(1/2・1/2)・1/3
P◎×;◎○;○○=(1/2・2/5)・7/15・(1/2・1/4)・ 1/3・1/2・1/3
P◎×;○○;◎○=(1/2・2/5)・7/15・(1/2・3/4)・ 1/3・(1/2・1/2)・1/3
P○×;◎○;◎○=(1/2・3/5)・7/15・(1/2・2/4)・ 1/3・(1/2・1/2)・1/3
P×○;◎○;◎○=1/2・1/3・(1/2・2/4)・ 1/3・(1/2・1/2)・1/3

(4)は上記の方針ではきつすぎます
何かスマートなアイデアがありますか？

>>45
全然違う
上の方は√の中にiが入ってるから√(虚数)だけど、
下の方はiが√(a-9)にかかってるから√(実数)
高校範囲では√(虚数)は定義されてないから使えない

(1,0)(2,0)(3,0)
(0,1)(0,2)(0,3)
を総延長が最も長くなるように2点づつ
3組で結ぶときの総延長は？

という問題で、4点を2点づつ結ぶときは平行より
クロスするように結ぶほうが長くなる。
よって3本の線が交わるように結ぶときが最大。

という解説なんですが、3本の線が交わるといっても
交点が2点と3点のときがあって、解説だとどちらでも
当てはまってしまうと思うんですが、どう理解すれば
良いのでしょうか？
ちなみに、正解は交点が3つのときです。

AB、DEを斜辺とする直角三角形ABC、DEFは合同で、三角形ABCの面積をSとすると

三角形DEFの面積＝EF/AB*DE/BC*S

と表せられるのはどうして？

>>50

すみません

合同→相似

>>50,51
お前は相似比と面積比について教科書を読むべき。

>>46-47
ありがとうございます。
すさまじい計算力に感服しました。
ちなみに、わたくしの解答のおかしい場所を指摘してくださると、ありがたいです。

>>50-51さん
EF/AB*DE/BC*SをEF/BC*DE/AB*Sとすると見えやすくなりますよ。
相似比の二乗が面積比になります。この場合相似比は
EF/BC=DE/ABですね。

>>49
x軸上の2点を結ぶとy軸上の2点も結ぶことになり
それらの4点についてx軸上の点とy軸上の点を結び直した方が総延長は長くなるので
最長となるのはx軸上の点とy軸上の点が結ばれる場合
結び方は(1, 0), (2, 0), (3, 0)がy軸上のどの点と結ばれるかで決まるので3!=6通りであり
(1, 2, 3) 6√2≒8.485
(1, 3, 2) √2+2√13≒7.624
(2, 1, 3) 2√5+3√2≒8.715
(2, 3, 1) √5+√13+√10≒9.004
(3, 1, 2) √5+√13+√10
(3, 2, 1) 2√2+2√10≒9.153
より
(1, 0)-(0, 3), (2, 0)-(0, 2), (3, 0)-(0, 1)
と結ぶ場合が最長

>>53
5回で終了することがあるからです

僕の小学校では　20ｘ20　までの九九をやります。
これは大切だと思いますか？
数学を勉強するのにとても役に立ちますか？

>>52、>>54

ありがとうございました。

>>57
それ九九っていわねーよｗ

>>39
a 赤青残数
b それ以外残数
c ケケチップの生(1)死(0)
の状態でn回目にちょうどすべて割れる確率をP(a, b, c, n)とすると
P(1, 0, 1, 1)=P(1, 0, 0, 1)=P(0, 1, 0, 1)=1/2
P(0, 1, 1, 1)=1/2+1/2・1/3
P(2, 0, 1, 1)=P(2, 0, 0, 1)=P(1, 1, 0, 1)=P(0, 2, 0, 1)=0
P(1, 1, 1, 1)=(1/2・1/2)・1/3
P(0, 2, 1, 1)=1/2・1/3
P(a, b, 1, n)=(1/2・a/(a+b))・1/3・P(a-1, b-1, 1, n-1)
+(1/2・b/(a+b))・1/3・P(a, b-2, 1, n-1)
+(1/2・a/(a+b))・1/5・P(a-1, b, 0, -1)
+(1/2・b/(a+b))・1/5・P(a, b-1, 0, n-1)
+(1/2・a/(a+b))・7/15・P(a-1, b, 1, n-1)
+(1/2・b/(a+b))・7/15・P(a, b-1, 1, n-1)
+1/2・1/3・P(a, b-1, 1, n-1)
+1/2・1/5・P(a, b, 0, n-1)
+1/2・7/15・P(a, b, 1, n-1)
で定まりますがa, b, c, nの具体的な式で表すのは困難と思われます

P(a, b, 1, n)=0 (n<aまたは2n<a+b)
P(a, b, 0, n)=0 (n<a+b)
も必要でした

http://aaabbbccc.s6.x-beat.com/upload/src/up28743.jpg

答えは　4 - 8/π　となっているのですが、　±(4 - 8/π)　ではないのでしょうか？

ｘ＋ｙ＋ｚ／３≧３＾√ｘｙｚが成り立つことを示せ

この問題がわからん…
なんとなく相加相乗っぽい気はするんだが…

>>63
xyzいずれも正(または非負)で、
左辺の/3の前がカッコでくるまれていて(または全体が分子となっていて)
右辺が「3の√(xｙz)乗」でなく「3乗根xyz」であるなら、
3変数の場合の相加平均・相乗平均そのものだがな。
もしそうならいくつか手はあるが。たとえば、
x^(1/3)=α、y^(1/3)=β、z^(1/3)=γとすると与えられた式は
α＾3+β＾3+γ＾3-3αβγ≧0に同値だから、
因数分解の公式に当てはめて、右辺に出てくる
α＾2+β＾2+γ＾2-αβ-βγ-γα≧0を言えば終わる。

書かれた問題を見る限りそれではないようで、
x=-1,y=-1、z=1の時左辺=(-1)+(-1）+1/3 = 1/3
右辺=3＾1=3 で成立しない問題だな。

↑左辺=(-1)+(-1）+1/3 = -5/3 だな orz

#当てこすりでこういう馬鹿やると恥ずかしいんだけどな。

白チャート　例題１４３　（２）　より

（1/2log2X)^2 ≦　log2X　＋　3　すなわち　（log2X)^2 -4log2X -12 とありますが

なぜ　４倍なのでしょうか？　1/2log2X だから２倍ではないのですか？

^2

つまり　log2X = t としたとき　（1/2 log2X）^2 は　1/4 log2X^2 となるわけですね。
わかりますた。

>>62
そだね

>>53
(4)にきれいな解答があるなら教えてください

f(x)=∫[0,3](2t-x)dtのとき
問一：f(0)のを求めよ
問二：f(6)のを求めよ
問三：f(x)の最小値を求めよ

今年の上智の帰国入試用の経済学科の問題です。

>>71
だから？

>>71
だから？

帰国様の数学力はそんなもんだ

質問に応じて頂ければ…と

前スレのものなんですが
２つの曲線y=cosxとy=sin(x-p)との区間〔0、π/2〕〔π、3π/2〕
における好転のｘ座標をそれぞれa,bとする。 ただしｐは定数で０＜p＜π/2である。
区間〔a,b〕において２つの曲線でかこまれた部分を
ｘ軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。答えにab入らずpで表す。
解答は1/2(（π/2）+ｐ+π）＝ｔとおいて
囲まれた部分がtに対して対象とゆうことを使っているんですが、
もっと平凡に回転させた時の図形が（a+b)/2で線対称、cosa=sin(a-p),cosb=sin(b-p)
などを使って解けませんか？
275 ：大学への名無しさん：2009/08/28(金) 02:44:19 ID:Z2gow6NI0
結論から言えば結局どういうアプローチをしても
1/2(（π/2）+ｐ+π）という値はどこかで必要になると思う。
-cosx=sin(x-p)をみたすx=tを用いて、求める体積は
π[∫[a.t]{sin(x-p)^2}dx-∫[t.π/2]{(cosx)^2}dx]
+π[∫[t.b]{(cosx)^2}dx-∫[p+π,b]{sin(x-p)^2}dx] とかける。
そしてこのtは-cosx=sin(x-p)よりt=1/2(（π/2）+ｐ+π）

ちなみに君の言う（a+b)/2で線対称とやらを考えたとしても
2a=(π/2)+p,2b=(5π/2)+pより
(a+b)/2={(π/2)+p+π}/2=t　ということで
絶対にこの値からは逃れられない

最初から1/2(（π/2）+ｐ+π）を見抜いてサクサク立式するか
後から必要に応じて1/2(（π/2）+ｐ+π）という値を引っ張ってくるかの違いはあれ
絶対にこのtからは逃れられない　と思うよ。

＞-cosx=sin(x-p)をみたすx=tを用いて
なぜ-cosxなんでしょうcosxではなく。-はどこから？
＞-cosx=sin(x-p)よりt=1/2(（π/2）+ｐ+π）
これは積和じゃないですよね？どうやってt=1/2(（π/2）+ｐ+π）をだしているんですか？

>>75
だったら質問をかけ

ちなみに最小値は存在しない

問題も書けない、質問も具体的に書けないでは‥

5人でじゃんけんをするとき、次の確率を求めよ。
(1)1回のじゃんけんで、3人が勝ち、2人が負ける確率
(2)1回のじゃんけんで、勝負がつかない確率
という問題です。
自分の解答は、
(1)起こりうる全ての場合は　3^5=243通り
だれが勝つかで　5C3=10通り
何で勝つかで　3C1=3通り
したがって　(10･3)/243=10/81
(2)(�@)全員同じであいこになる場合
グー、チョキ、パーで3通り
(�A)全員違う手であいこになる場合
(○,○,○,△,×)の場合
グー、チョキ、パーの組み合わせは3!=6通り
誰が出すかで　5!/3!=20通り
よって　6･20=120通り
(○,○,△,△,×)の場合
グー、チョキ、パーの組み合わせは同様にして　6通り
誰が出すかで　5!/(2!･2!)=30　通り
よって　6･30=180通り
(�@)(�A)より　(3＋120＋180)/243=101/81

となってしまい(２)の答えが１を越えてしまいました。
僕の考え方の問題点と、正しい解き方を教えてください。長文失礼しました。

>>78
同じ人数が出す手を割り振るときの考え方に問題があり。

提示された考え方では規定した個数の○、△、×を3人に先に割り振って、
後から○、△、×に実際の手を割り振ることで最終的な手を決めている。が、
この場合、たとえば前半だったら
ABCに○、Dに△、Eに×と割り振ってから、○にグー、△にチョキ、×にパー と割り振るのと、
ABCに○、Dに×、Eに△と割り振ってから、○にグー、△にパー、×にチョキ と割り振るのとを
二重に数えている。

言い換えれば、グーチョキパーの割り振りを3!=6通りとするのではなく、
1個だけ違う個数の手を何にするかだけ決める3通りと考えなければならなかった。
---
4人が勝って1人が負ける場合の数…誰が何で負けるか で5*3=15通り
4人負け1人勝ちがこれと同じだけ。
3人勝ち2人負けと2人勝ち3人負けがすでに導いたように30通りずつ。
従って勝ち負けが決まるのが243-(30*2+15*2)=243-90=153

一方、示されたダブルカウントは上記の考え方からちょうど2倍になってるから
3+(120+180)/2=153
で話が合う。

余事象使った方がわかりやすいんですね。
理解しました。わかりやすい説明ありがとうございました。

>>76
何で一ヶ月近くも経ってから・・・・・w

>-はどこから？

回転軸がx軸でしょ?
今、a<x<π/2まではどちらもy>0の領域にいるけど
π/2<x<bではcosがy<0の領域でsinがy>0の領域にいるから
回転軸をまたがって2曲線が存在している時の立体の体積を求めることになる。
回転軸からの距離の絶対値が大きいほうが回転体の半径になるんだけど
そのことを見るのにy=cosxのπ/2<x<bまでの部分を折り返して考えればより見やすくなる。
なのでy=-cosxとy=sin(x-p)を考えてる。
回転軸をまたがった回転体の体積求めるときは片方を折り返せというのは定石になってるはずだよ

>これは積和じゃないですよね？どうやってt=1/2(（π/2）+ｐ+π）をだしている

三角方程式から出したのではない。
あくまで1/2(（π/2）+ｐ+π）という値が-cosx=sin(x-p)を満たしているよ
(=解けば理屈の上では出てくる)という確認にすぎない。実際入れて計算してみても
-cos{(π/4)+(p/2)+(π/2)}=-cos{(3π/4)+(p/2)}=(1/√2){cos(p/2)+sin(p/2)}
sin{(π/4)+(p/2)+(π/2)-p}=sin{(3π/4)-(p/2)}=(1/√2){cos(p/2)+sin(p/2)}
で満たしているでしょ。

このt=1/2(（π/2）+ｐ+π）をだすのはグラフの平行移動をつかうのが一番自然
y=sin(x-p)というのはy=sinxをpだけx軸+方向にずらしたもの
つぎにy=cosxとy=sinxの山の部分を見てy=cosxをπ/2だけx軸正方向にずらせば
sinxと重なるから結局y=cosxをp+π/2だけずらせばy=sin(x-pに重なる
つまりx=p+π/2でsin(x-p)は山になる
また-cosxはx=πで山だから、p+π/2+πを2でわったところで
-cosxとsin(x-p)はぶつかる(=y座標が等しくなる)というところ感じで出す。
sinとcosの2曲線は合同だから、sinをpだけずらしたものとcosも合同だ
ということを念頭において、図を見て考える話だね。

赤茶例題49で
x^2＋1で割ると3x＋2余り、x^2＋x＋1で割ると2x＋3余るようなxの多項式のうちで、
次数が最小のものを求めよ
とあるのですが、解答の意味が理解できません
解答は
多項式をP(x)とし、
P(x)=(x^2＋1)(x^2＋x＋1)Q(x)＋R(x) R(x)は3次以下または0
とすると、P(x)をx^2＋1、x^2＋x＋1で割ったときの余りは、R(x)をx^2＋1、x^2＋x＋1で割ったときの余りにそれぞれ等しいから
求める多項式はR(x)そのものである

なぜx^2＋1とx^2＋x＋1の積で割り、なぜ求める多項式がR(x)そのものなのか
教えていただけないでしょうか

x^2＋1とx^2＋x＋1の両方で割れる式は自由に足したり引いたり出来る
なるべく次数が低くなるようにするならもし次数の高いのが出ても
(x^2＋1)(x^2＋x＋1)Q(x)を引いて3次以下に直せるってわけだ

数字で似たことを考えるなら
2で割って1、5で割って3余る数を考えるのも
とりあえず0〜9を考えればいいとか

>>82
P(x)=Q(x)(x^2+1)+3x+2=R(x)(x^2+x+1)+2x+3
Q(x)=S(x)(x^2+x+1)+ax+b
P(x)=S(x)(x^2+x+1)(x^2+1)+(ax+b)(x^2+1)+3x+2=R(x)(x^2+x+1)+2x+3
P(x)=(S(x)(x^2+1)+ax+b-a)(x^2+x+1)+(a-b+3)x+(a+2)=R(x)(x^2+x+1)+2x+3
a-b+3=2
a+2=3
a=1
b=2
S(x)=0 ⇒ P(x)=(x+1)(x^2+x+1)+2x+3=x^3+2x^2+4x+4
S(x)≠0 ⇒ degP(x)≧4

>>83
>x^2＋1とx^2＋x＋1の両方で割れる式は自由に足したり引いたり出来る
という部分が分かりません
modの考え方？？？
頭悪くてすみません＞＜
>>84
P(x)=Q(x)(x^2+1)+3x+2=R(x)(x^2+x+1)+2x+3
からのQ(x)=S(x)(x^2+x+1)+ax+b
というところの発想がなかなか難しいなと感じましたが、なんとか理解はできました
ありがとうございます

nを５以上の自然数とする。
正ｎ角形の３つの頂点を結んでできる三角形のうち、正ｎ角形と辺を共有する三角形の

個数をｎを用いてあらわせ

答えがn(n-3)らしいですがよくわかりません。

>>86
1辺だけを共有する場合と2辺を共有する場合について分ける。

1辺だけを共有する場合、共有する辺の選び方がn個
　その辺ごとに、その辺の両端の頂点、およびその両隣の計4個の頂点以外から
　第3の頂点を選ぶ

2辺を共有する場合、共有する2辺に共有される頂点を選べば三角形が決まる。
　この選び方が頂点の数だけある。

後はそれらを合計。

ものすごく初歩的な質問です
y+z=2x
z+x=2y
x+y=2z
のときにx=y=zとなるのはなぜでしょうか？
式をつかって証明できないでしょうか？

>>88
どうやってもいいけど、たとえば第2式よりz=2ｙ-ｘ
第1式に代入してy+(2y-x)=2x 整理するとx=y
代入した式に代入するとz=2x-x=x

独立ではないので(第1式+第2式からx+y+2z=2x+2y
両辺からx+yを引けば第3式が導ける)第3式は使わないで済む。

ありがとうございます！
受験生ならこれくらい自分で気づくべきですよね・・・

このｽﾚの質問者は回答者にお礼も言えない奴が多いな。
ﾊﾞｶがﾛﾊで教えを乞うてもらっている事を忘れるな。

>>91
お前友達いないだろ？
後輩から嫌われてるだろ？

>>88
x+y+z=3x
x+y+z=3y
x+y+z=3z
∴3x=3y=3z

Aは2次の正方行列でA＾2+Ａ+E＝0を満たしている
（1）ｐを実数とするときＡ-ｐEの逆行列をAを用いて表せ。

この解答に
A＾2+Ａ+E＝（Ａ-ｐE）*ｆ（Ａ）+ｑ（E）　（＝0）
となるAの多項式をみつければいい
とかかれていますが、具体的のどうやって求めるのでしょう？
A＾2+Ａ+E＝（Ａ-ｐE）*（Ａ+（ｐ+1））+　（ｐ＾2+ｐ+1）E
といきなりしています。

>>94
x^2+x+1をx-pで割る

ｐを0＜ｐ＜1を満たす実数とする
（1）四面体abcdの各辺はそれぞれ確立pで電流を流すものとする
このとき、頂点aからbに電流が流れる確立を求めよ。
ただし各辺が電流を流すか流さないかは独立で、辺以外は電流をとう差ないとする
（99東大）
これを自分で解いた時に、
ab,ac,ad,db,dc,cbの6辺のうちabを含む6辺全てに電流が流れる→ｐ＾6
ab,ac,ad,db,dc,cbの6辺のうちabを含む5辺に電流が流れる→Ｃ〔6,5〕ｐ＾5*（1-ｐ）＾1
ab,ac,ad,db,dc,cbの6辺のうちabを含む4辺に電流が流れる→Ｃ〔6,4〕ｐ＾4*（1-ｐ）＾2
ab,ac,ad,db,dc,cbの6辺のうちabを含む3辺に電流が流れる→Ｃ〔6,3〕ｐ＾3*（1-ｐ）＾3
ab,ac,ad,db,dc,cbの6辺のうちabを含む2辺に電流が流れる→Ｃ〔6,2〕ｐ＾2*（1-ｐ）＾4
ab,ac,ad,db,dc,cbの6辺のうちabだけの辺に電流が流れる→Ｃ〔6,1〕ｐ＾1*（1-ｐ）＾5
を計算しても答えがあわないんですが、どこで考え間違いをしているのか解りません。
連続ですいませんよろしくお願いします。

>>95
ありがとうございます。
自分があほすぎてびっくりしました＾＾；

>>96
aと繋がる頂点が
なし p^3
cのみ p^5
dのみ p^5
cおよびd 4p^6
1-p^3-2p^5-4p^6

>>96
ａｂはまず電気通すんだから反復試行は残りの5辺について考えないといけないのでは？
例えばａｂを含む5辺なら、ｐ*5Ｃ4*ｐ^4*（１―ｐ）とか
最後はもっとわかりやすいな。一通りしかないのだから6をかける必要がない

>>96
＞とう差ないとする
そのとうり、とかかく人でつね

物理的にちゃんと考えてるか？
ABは通さなくても、回り道でも電流は流れるぞ、
計算以前の問題としてそこから考え直すべき

>>98　p=1の時電流を流す確率が-6になるんでつか?

ベクトルの問題です。全く方針が立ちません…

三角形OABにおいて、OA=OB=1、∠AOB＝π/4とする。いま、三角形OABと同じ
平面上にある点Pが、
　　　|↑OP|＾2-4↑OA・↑OP+3|↑OA|＾2=0
を満たしながら動くとする。このとき、↑OB・↑OPの最大値、最小値をそれ
ぞれ求めよ。

基本としてPの軌跡が何になるかわかってるか？

あとは正射影の考えが理解できてれば一発だが
まあOPを二つの部分に分ければできるだろう

>>102
両辺に|OA↑|^2 を足すと何か方針が見えないか?

すぐに因数分解してもいい。その場合、(p↑-a↑)・(p↑-b↑)=0という
ベクトル方程式が、2点a↑、b↑を両端とする円をあらわす(両端から
p↑に引いたベクトルが常に直交→円周角定理で考えて…)。

>>98　解答そのものは持ってるみたいだけど
-2p^6+7p^5-7p^4+2p^2+p　で合ってる?　だとしたら
abが通す/abが通さずcdが通す/abもcdも通さない で
排反に場合分けしていくのが楽そうだが。

整数の問題です
２つの正の整数の和は528
その最小公倍数が5797で、２つの数をもとめよ
というもんだいなのですが
2つの数を最小公倍数をgとして
a=a'g
b=b'g（a'とb'は互いに素な整数）
とおき、もとめるらしいのですが
途中でa'とb'は互いに素であるのでa'+b'とa'b'も素になるとあるのですが
よくわからないのです
たとえば5+7=12で素じゃないんじゃ・・・とか
問題の解き方じたいもよく理解できずに困っています
おそらく根本的な間違いをしてるのかなと思っているのですが
気づけません
お願いします

a,bを互いに素な自然数とするとき、ax+by(x,yは0以上の整数)
の形に表わされない自然数の個数を求めよ。

正直見当もつかないです…
解法は�VＣまでで何とかなるはず（多分）
教えていただけるとありがたいです。

>>105
5+7=12と5*7は互いに素

A'b'の素因数pがあったとする
pは素数だから、a'かb'の少なくとも一方はpで割れる。
ところがa'とb'は互いに素だからもう一方はpでは割れない。
つまり、a'とb'のうち丁度片方だけがpで割り切れる

するとこんなpではa'+b'は割り切れるはずはない
（わかりにくかったら具体的にa'は割れるけどb'は割れないとか考えて）

>>107
回答ありがとうございます！
どうやら互いに素の意味を履き違えていたようです・・・
どちらも素ではなく２つの整数が1以外の約数を持たないことを言うのですね・・・

>>106
もっとうまく解けるのかも試練が

まず、
a+b, a+2b, a+3b,..., a+ab
これらをaで割った余りは全部違うことがわかるかな？

これがわかったら、自然数をaで割った余りごとに
分類した組（剰余類という）の各々に入る
ax+by (x, yは自然数)の形の最初の数が並んだことになる。
（順番は気にしない）

するともちろん、各剰余類で、
ax+by (x, yは自然数)の形に書けない最後の数が、
b, 2b, 3b,..., ab
となることがわかる。

＞ここで例えば
＞15以下の5の倍数は15/5=3(個)と簡単に出るが、
＞13以下の5で割って3余る数をどう数えるか考えてみる
＞もちろん3, 8, 13の3個であるが
＞これを、「5の倍数にするのに欠けている2を足してから割る」と
＞(13+2)/5=3というふうに余りのない形でうまく出せる
＞（5n-2=13から5n=13+2としているだけなのだが）

b, 2b, 3b,..., ab
で、個数を出すためにaの倍数にするのに足すべき数は全体として
0, 1, 2,...,a-1
になっている（順不同）
よって個数の合計は
{(b+2b+3b+...+ab)-(1+2+3+...+(a-1))}/a
=(a+1)(b+1)/2-1と求められる。

>>109
ありがとうございます！
こんなに早い回答に感激してます

>>99そうなると
ab,ac,ad,db,dc,cbの6辺のうちab以外の5辺全てに電流が流れる→ｐ＾6
ab,ac,ad,db,dc,cbの6辺のうちab以外の4辺に電流が流れる→ｐ*Ｃ〔5,4〕ｐ＾5*（1-ｐ）＾1
ab,ac,ad,db,dc,cbの6辺のうちab以外の3辺に電流が流れる→ｐ*Ｃ〔5,3〕ｐ＾4*（1-ｐ）＾2
ab,ac,ad,db,dc,cbの6辺のうちab以外の2辺辺に電流が流れる→ｐ*Ｃ〔5,2〕ｐ＾3*（1-ｐ）＾3
ab,ac,ad,db,dc,cbの6辺のうちab以外の1辺に電流が流れる→ｐ*Ｃ〔5,1〕ｐ＾2*（1-ｐ）＾4
ab,ac,ad,db,dc,cbの6辺のうちabだけの辺に電流が流れる→ｐ*（1-ｐ）＾5
になりますが、やはり合いません。
>>100さんの前半部分が僕に向けられたものかは解らないですが後半の
＞物理的にちゃんと考えてるか？
ABは通さなくても、回り道でも電流は流れるぞ
とはどうゆうことですか？物理を選択していませんが、
数学の問題なので選択してなくても解けるんだとは思いますが、
そこがネックで解らないような気がします。

>>111
では具体的に・・・
abは通さず、ac,cbは通す
この状態でもa→c→bの経路で流れるだろ？

じゃあどう解くかといえば>>114氏の後半のとおり

安価ミス、>>104氏でつ

>>104
すいません見をとしてました。答えはそれであってます。
>>112
>この状態でもa→c→bの経路で流れるだろ？
そうなんですか。それが問題文から読み取れませんでした。

a→c→bの経路で流れる場合はac,cbの2つに電流が流れると考えていました。
この場合感覚的にac,cbに電気がつくとゆう感じで、、、
なんでabに？とゆう感じです。
ちょっとこれで考えてみます。ありがとうございます。

>>96　>>104の時点でこれを用意してたのだけど、一応正解を待った。
abが電流を流さないとき、これを取り除くと残りの点と辺は平面内に書けて
　　　　　　
c ＿＿a　　これを元に、すでに書いたように
　|＼　|　　　cd間に電流が流れないとき
　|　＼|　　　cd間に電流が流れるとき　に分けて考え、
b ￣￣d　　別に考えるab間に電流が流れるとき(このときは他の辺の状態は　　
　　　　　　　　考えなくていい)を合わせる。考え方はここまで。

abが通す確率がp
abが通さない確率が1-pで
　cdが通さない確率1-p このとき左上か右下どちらかのルートが使えればいい
　一方のルートが使える確率はp^2 どちらか一方が使えればいいから 2p^2-p^4
　cdが通す確率p、このとき左下2本と右上2本が同時にどちらか1本電流を流せばいい
　(b-c-d-aのようなルートが取れる。結局cdを通らないルートになることもあるが、
　cdが通す/通さないの区別が、この考えでは排反の場合分けのために必要)
　 これが(2p-p^2)^2

結局 p + (1-p){ (1-p)(2p^2-p^4) + p(2p-p^2)^2}
=p + (1-p){ p^2(1-p)(2-p^2) + p^3(2-p)^2 }
=-2p^6+7p^5-7p^4+2p^2+p

そんなことより>>115よ
>>96は問題の意味そのものがわかっていない模様
フォローよろしくｗ

>>116 >>96がもし>>115の「b-c-d-aのようなルートが取れる」でも
ピンとこなかったら、
「ab間に電流が流せること」⇔
「ab間を結ぶ、導体(電線)による不通になってない経路が最低1本確保できて
　電流の流れが実現できること」と考えれ。

物理とってる取ってないじゃなく、これは小学校理科の、ごくごく基礎的な知識。
(中学受験の基礎、ではなく、ほんとうに一般小学生レベルの基礎)

>>114
http://imepita.jp/20090924/371070
大サービス
この電球が光るかを問題にしてる

>>117
うむ、物理を取れとは言わんけど、理科の基本は押さえといてほしいね
（フォローよろ、って言ったのは別に悪意とかじゃなくてもう出かけるから。
なんだか放っとけない感じだしｗ）

内角に１２０゜を含む三角形の辺の比が整数になるときの整数比を求めよ(５つ)
お願いします、

まず基本としてa^2+b^2=c^2の整数解（ピタゴラス数）の出し方を学ぶこと。
あとはc^2=a^2+b^2+abを4c^2=3(a+b)^2+(a-b)^2と変形できれば
方法を真似してできそうだな

もっとうまくできるなら誰かやってくれ

誰かおしえてください

次の極限値を求めよ

lim e^2h-1 / h
(h→0)

おねがいします

1

>>122
(e^2h-1)/h=2(e^2h-e^0)/(2h-0)

指数に2がついてたか…

122です
ありがとうございます＞＜

すみません
もう一つだけいいですか

lim e^-h-1 / h
h→0

応用のきかないやつだなｗ

f,gを単調非減少関数とすると,閉区間[a,b]に含まれる任意のxに対し,
|f(x)-g(x)| =< f(b)-f(a) + max( |f(a)-g(a)| , |f(b)-g(b)| )
を示せ.
お願いします.

>>129
良問。片方ずつ評価すれば普通にできるだろう
f(x)-g(x)≦f(b)-g(a)=f(b)-f(a)+f(a)-g(a)≦f(b)-f(a)+|f(a)-g(a)|
≦f(b)-f(a) + max( |f(a)-g(a)| , |f(b)-g(b)| )

g(x)-f(x)も同じようにやってみては？
（{A{<=Bを言うにはA<=Bと-A<=Bを言えばよい）

＞130様
非常に分かりやすい御解答、どうもありがとうございます。
残りの方にもチャレンジしてみたいと思います。

質問するときは誘導問題も書くべきですか？

マーチ志望なんですがチャート式以外になにか良い参考書ありませんか？

>>120
なんだか無責任な気もするので、一応やっとく。
c^2=a^2+b^2+ab の正の整数解を見つける問題だとする。
ただ、この場合完全に解くのは煩雑なので、
5つで良いということに甘えて求めやすい場合だけを出す。

aとbが互いに素である物を求めることにする。
まず、c^2=(a-b/2)^2+(3/4)b^2という変形を使うことにすれば
bは偶数のほうが都合がよいのでb=2k(kは正の整数)としてしまう。
このとき、aは奇数とする。するとcは奇数。
すると、c^2=(a-k)^2+3k^2故に(c+a+k)(c-a-k)=3k^2
更に、c+a+k, c-a-kよりもその半分が求まるほうが
cやaを出すのに2で割らなくてもよくて都合がいいので、
これらが偶数だと都合がよい。
そこでkもまた偶数であるとする：k=2t(tは正の整数)
つまり、bが4の倍数の場合に限定したことになる。
このとき、(c+a+k)/2・(c-a-k)/2=3t^2
だが、(c+a+k)/2, (c-a-k)/2, tに共通の素因数があると
aとtが互いに素でなくなってしまう。よってtのひとつの素因数は
(c+a+k)/2, (c-a-k)/2の一方だけに入る。
よって互いに素な整数m, nがあって、t=mnそして、
(c+a+k)/2=3m^2, (c-a-k)/2=n^2、あるいは
(c+a+k)/2=n^2, (c-a-k)/2=3m^2と書ける。
但しnは3で割り切れないとする。
ここでは前者だけを取り上げる。このとき
a=(3m+n)(m-n), b=4mn, c=3m^2+n^2で、
aが正の奇数であるためにはm>m,m+nは奇数であってほしい。
これらの条件を満たす(m,n)の組、すなわち
m>n、mとnは互いに素、m+nは奇数、nは3の倍数でないという5組
(m,n)=(2,1), (3,2), (4,1), (5,2), (5,4)
を入れてみれば答えの一例となる。

c^2=(a-b/2)^2+(3/4)b^2
c^2=(a-k)^2+3k^2
括弧の中はーじゃなくて＋だな、ごめん

>>133
数学の勉強の仕方 Part134
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1251910870/

無限級数

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …

が発散することの示し方を教えてください。

・積分と比べる
・1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8+...
と比べる等

>>137
ありがとうございます。
しかし、積分と比べるというのがわかりません。面積を考えるのかと思い、y=1/x のグラフを書いてみたもののよく分かりません。

>>136
調和級数でググレばその証明がたくさんある
ちなみに ニコル・オレーム 1323〜1382 (フランス)が
この級数（数列の和）は、無限大に発散する ということを証明したそう

別な仕事としては、グラフを考えた人
だけど今のようなものではなく、当時はまだ負の数が未整備だったため
正の数だけのグラフだったとか

数�T・Ａセンターだけなんだけど、面白いほどと過去問で７割以上って無理？

>>138
1/x の定積分と 1/floor(x) の定積分を
絵に描いて比べてみろ
floor( ) はガウス記号な

>>139
有名だったんですね。ありがとうございます。探してみます！

>>141
なるほど、感動しました

>>140私も知りたいです。

昨日から今までずっとこの問題のことを考えています・・・
>>118の写真を元に考え直しました。
＞cdが通さない確率1-p このとき左上か右下どちらかのルートが使えればいい
となっていますが、cdに流れない時は{（acまたはad）かつ（bcまたはbd）}
に流れればabに流れるから（2ｐ-ｐ＾2）*（2ｐ-ｐ＾2）でどうして間違えているんでしょう？
＞この左上か右下どちらかのルートが使えればいい
と聞くと電流がaに流れる場合とbに流れる場合しかなく、abに流れる気がしません>>117のように。
それはa-b間に電流が流れない場合で考えているからです。それともa、ｂどちらかに電流が流れればいいんですか？
そうじゃないですよね？
＞一方のルートが使える確率はp^2 どちらか一方が使えればいいから 2p^2-p^4
　計算自体は多分納得できます。たぶん{（adかつbd）または（caかつcb）}ですよね？
＞cdが通す確率p、このとき左下2本と右上2本が同時にどちらか1本電流を流せばいい
　(b-c-d-aのようなルートが取れる。結局cdを通らないルートになることもあるが、
　cdが通す/通さないの区別が、この考えでは排反の場合分けのために必要)
　 これが(2p-p^2)^2
これは僕が考えたcdとうさない場合と同じですね。

ルートは何でもいいからaからbへ通り抜けられる確率を出す
って問題であることはＯＫ？

単に「abが通さない」って言うと、別ルートも含めた
通り抜けができない事と混同するかもしれないから、
「辺abが」という言い方をしよう。

で、辺abが通さないとき、>>115のように、
簡単のために図から辺abを取り除いてよい
ってことはいいよな？

さらに辺cdも通さないなら辺cdも取り除いてしまうと
わかりやすいだろ？

この時、通り道はa-c-bとa-d-cしかないことは明白だ。
a-c-bが通り抜けられる確率はp^2、a-d-cも同様。
どちらのルートが通れても、もちろん両方でもいいから
余事象を使った、両方通れない場合を除く、という考え方で、
1-(1-p^2)(1-p^2)=2p^2-p^4が出るよな？

(辺abが通さず、よって辺abは取り除いてあるとして)
辺cdが通すとき、この場合も簡単にするために、
頂点cと頂点dをくっつけてしまうといい。
すると、aからc=dを通ってbへ行く、と見ることができる。

>>145
＞cdに流れない時は{（acまたはad）かつ（bcまたはbd）}
＞に流れればabに流れるから（2ｐ-ｐ＾2）*（2ｐ-ｐ＾2）でどうして間違えているんでしょう？

まず、
　�@「辺acのスイッチがONである」
　�A「（図>>118のように電源をつないだ状態で）辺acに電流が流れている」
この２つが異なる事象である、というのはいいだろうか？
これを混同してるとごちゃごちゃになる。

そもそも問題文>>96の表現がイマイチな気はするけどね （96が写し間違ってなければ）。
書き方が（数学にしては）曖昧すぎるように見える。

もし、�Aの確率がpである という風に問題文を読んだとすると、
あなたの考えもわからなくはない。
だが、そのように問題を読んでしまうと 物理法則（キルヒホッフ電流則）に反する事象を
認めないといけなくなったりすることからも、
この読み方は書いた人の意図とは違うだろう、と考えられる。
一方、�@の確率がpだ と読むと、破綻はない。
なので、問題文は �@の確率がpだと言ってると読める。

----
板違いな余談だが、
この問題に出てくる考え方は論理回路（ディジタル回路）の設計と関係が深いな
回路構造と論理式を結びつけるところが

この前の司法試験の合格率低かったよな。
しかしこっそり宮口式で合格が実は多いんだよね。
結局、宮口式って定期試験とか受験までが目的じゃないんだよね。

>>147
確かに問題が少し悪いと思う。
純粋に数学的な記述にすればよかったと思う。

>>146>>147＞＞上の方
あぁやっとオッケーです。ありがとうございます。
これだけレスをもらって理解できなければ、、
とゆうプレッシャーがすごかったです。
>>147
問題文は写し間違えていません。
大学への数学（入試の奇跡）には題意を誤解、
題意がわからず放棄が少なくなかったと書かれていました。
ただこれ以外の問題は完答が難しいとか枯れていたので、ちょっと粘りすぎた気もします。
>>100
＞とう差ないとする
そのとうり、とかかく人でつね
意味が解りました。人違いですｗ

レベル低い質問で恐縮ですが、チェック＆リピート�UBの21番がわからないのでお願いします。
問題　整式F（ｘ）をｘ−１で割ると５余り、ｘ＾2＋ｘ＋１で割ると−５ｘ＋１余る。F（ｘ）をｘ＾3−１で割るとき、余りを求めよ。
解答　F（ｘ）をｘ＾3−１で割った商をQ（ｘ）、余りをax^2＋bx＋cとおくと
　　　F（ｘ）＝（x^3-1)Q(x)＋ax^2＋bx＋c
F（１）＝５より　F（１）＝a＋b＋c＝５…�@
　　　F（ｘ）をx^2+x+1で割ったときの余りが−５ｘ＋１より、ax^2+bx＋cをx^2+x+1で割った余りは−５ｘ＋１であるから
　　　ax^2+bx+c＝a(x^2+x+1)＋（b-a)x＋c-a
∴b-a＝−５…�A　c-a＝１…�B
　　　�@、�A、�Bより　a=3 b=-2 c=4
よって求める余りは　3x~2-2x+4

ax^2+bx+c＝a(x^2+x+1)＋（b-a)x＋c-a
この部分の変形がわかりません。
よろしくお願いします。

>>151
問題文のここに注目！

整式F（ｘ）・・・ｘ＾2＋ｘ＋１で割ると−５ｘ＋１余る。

ax^2+bx+c＝【a(x^2+x+1)】＋（b-a)x＋c-a
【　】内はx^2+x+1の定数倍だから、当然x^2+x+1で割り切れるよね。
この変形を思いついた人の意図を説明すると、
「ax^2+bx+cからx^2+x+1をくくりだせば、残った部分が-5x+1に一致するはずだな。」
ということ。
くくりだす、って感覚、伝わるかな。

>>152
F（ｘ）をx^2+x+1で割ったときの余りが−５ｘ＋１より、ax^2+bx＋cをx^2+x+1で割った余りは−５ｘ＋１であるから

わかった気がしますがここの部分が納得できません

>>153

160を15で割ると商が10、余りが10
ところが、勘違いして、商が9だと思い込んだ、とすると、余りは25になるよね。
だけど25は15より大きい数だから、訂正しないといけない。
ここで、161÷15という割り算をもう一回やり直さなくても、
間違って出てきた余り25を15で割れば、25=1×15＋10
となって、商は1足りなかったんだ！ってわかって商を10に訂正できるね。

ここまでの文章が理解できたら、
この考えを踏まえて同じ考え方と感覚を整式に当てはめてみよう。

カッコ内の累乗とカッコ外の累乗って違うんでしょうか？
例えば(-2^3)と(-2)^3は違う値になりますか？

(-2)^2 * (-5) + (-4^2) * (-7)

12 / (-2)^3 * 6 + 24 / (-2^2) / (-3)

の答えはどうなりますか？

(-2^3)は単独なら-2^3と書いておｋ
*-2^3とか/-2^3と書くと*-や/-と連続して気持ち悪いから括弧を入れてるわけ。

で、-2^3だけど、べき乗はーより優先順位が高いから、
-2^3=-(2^3)=-8という感じ。

(-2)^3の計算手順としては、符号だけ別にかんがえて、
ーを三つかけてーって感じで(-2)^3=-2^3=-8とすればいい。
ーを二つかけると＋だから(-2)^2=2^2=4とかね。
そうすると奇数乗なら(-2)^3=-2^3みたいに一致してるけど、
偶数乗なら(-2)^2=2^2≠-2^2みたいに違ってくるのが見えると思う。

練習は自分でやるように。

500円、100円、10円、の3種類の硬貨がたくさんある。この3種類の硬貨を使って、1200円を支払う場合の数を求めよ。ただし使わない硬貨があってもよいとする。

という問題があり、こちらは自分で解いて理解することができました。
が、回答の検討欄に 『この問題でもしも全ての硬貨を使うとしたら、1200-610＝590（円）を支払う方法に帰着させる』
とありました。

どうしてこうなるのか、どうして合っているのか、また、どの様にしてこれを導き出したか、が僕には全く分かりません。

どなたか教えて下さればありがたいです。

>>157
500円、100円、10円、の3種類の硬貨がたくさんある。この3種類の硬貨を使って、1200円を支払う場合の数を求めよ。
ただしどの硬貨も少なくとも一枚使うとする。

もし問題文がこうだったら、って話だよ

>>156
ありがとうございました。

-1<t<1とし、xy平面上に3点A（‐１，０）B（ｔ、√１−ｔ^2）
C（t、０）をとる。三角形ABCをx軸の周りに回転させて得られる円錐の側面積S（ｔ）を求めよ。

またS(t)^2が最大となるtを求めよ。

よろしくお願いします。

側面積をもめるときは立体を展開して開いて考えてみる
駄目だったら積分の基本に基づいて扇形状に積分したり
孤長計算して積分したりしていく

今回は開けるから開いてしまったほうがいい
三角形の三辺の長さは求まるんだから
円錐の半径も求まるし、円錐の半径が解れば
扇形のこの長さもわかる

途中まではできたんじゃないのか？
計算が面倒だったら、まず母線長a、底面の半径bの円錐の側面積の式を作っておくべし

>>161 >>162さんありがとうございます。

今やっててS(t)がπ√2(t＋1)(1−t^2)と出たのですが、合ってますかね？

それとS(t)^2の最大となるｔの求め方教えていただけると嬉しいです。

おｋ
S(t)^2ってtの3次関数だし、使えることってすぐ思いつかない？

すみません分からないので詳しくお願いします。

詳しくも何も微分だよ

xy平面上に曲線C:y=2√3/(x^2+1) と、y軸上に中心を持ち、x軸に接する円Eがある。
曲線Cと円Eは、異なる2点P、Qのみを共有し、これらの点において、共通の接線を持っている
（１）円Eの方程式を求めよ。
（２）曲線Cと円Eの短い方の孤PQによって囲まれる部分の面積を求めよ。

>>167のものですが、
曲線Cのグラフを書いて、条件より円EがCに接することがわかり
さらに円Eはy軸上に中心を持ち、x軸に接することから
半径をrとおいて x^2+(y-r)^2=r^2とおいて
接点をP、Qとして、その点におけるそれぞれの接線の傾きをだして
等式で結ぼうとしてたんですが、二重根号やらなんやらで計算が途中からできなくなりました・・
どういうふうにアプローチすればとけるのか教えてください。

>>167,168
>接点をP、Qとして、その点におけるそれぞれの接線の傾きをだして
>等式で結ぼうとしてたんですが

もしかして、「Pでの接線とQでの接線が一致する」と読んでる?
自分も最初そう読んだんだけど、グラフの形から明らかにその意味ではありえない。

これらの点に置いて「それぞれ、CとEとが」共通の接線を持っている、
つまり2つの共有点は交点ではなく接点だよ、という意味。

>>154
ありがとうございました。

>>169
いえ。グラフは描いたので
二つの共有点が接点であることはわかっております。
その上での計算ができません。

>>168,>>167 どなたかおねがいします…!!!

本当にどなたかお願いします…

f(x)=2√3/(x^2+1) とでもおいて
点P(t,f(t))におけるCの法線を出す。
これとy軸との交点をQとする。
OP=PQからPが決定できるんじゃないか？
やってみな

f(x)=2√3/(x^2+1) とでもおいて
といったのは、ある程度はｆのまま計算して見当をつけたほうがいいってことな

OP=PQはなぜ言えるんでしょうか???

円の半径は一定だからだ

OQ=PQだな、まちがえた、すまんｗ

点Qは円の外の点ですよね???
ぼくが条件より書いた図形はｘ軸を漸近線にもつ図形の中に円が入っている様子なのですが・・・
そもそも図から間違ってたり??

ああ。法線でしたねｗｗｗ
すみませんｗｗｗｗ

Qは円の中心だよ
CとEの接線を考えるんじゃなくて、
接点と円の中心を結ぶ半径を考えるの、これがCの法線というわけ

お、大丈夫だな、じゃがんばって

計算むちゃくちゃ大変だったけど
t=±１が出てきました!!（１）はひとまずとけました
ありがとうございました。
（２）も解いてみるんで一緒にお願いしちゃっていいですか???

図書けば解けるだろ
解く前から気の弱いことを言うな

すいません…

やはり解けません
ヒントをお願いします。

丸投げか？
機械的な積分計算でもできるけど、
Eから下は扇形や台形なんかに分解するといいかな
扇形を使うなら中心角を出しておけばいい
∫dx/(1+x^2) はx=tanθと置換すればできる

中心角が直接は出ないのですが
扇形使うなら直で出てないとだめですよね??

PQの傾きは出てないのか？

傾きはでますが、tanθ＝√3-4/3となって直接角は出てきません…

f'(1)つまり接点でのCの傾きを計算して

f´(1)=-√3です…

じゃあPQはそれに垂直だから、もうわかるよな？

わかったんですが…
それだとtanθ＝1/√3　にならなければいけないのですが
矛盾しているような気が…

高１の数�Tなんですが、
三角形ＡＢＣにおいて、a=2、b=√3+1、C=60°の時の
残りの角の大きさと辺の長さを求めなさい
という問題で、余弦定理にあてはめてc=√6というのはわかったんですが
辺の長さＡ、Ｂがわかりません。
こちらも余弦定理にあてはめて解くときれいに約分できて答えがでると
先生が言ってたんですが約分できる形になりません。
解説よろしくお願いします。

tanθ=1/√3であってる。
ちなみにQ(0,2/√3)だよ

あってました!!!　すみません勘違いで
無事解けました。本当にありがとうございました!!!

>>195
＞辺の長さＡ、Ｂがわかりません。
大文字の A、B は角じゃないのか？

>>197
よくがんばった。でも最初から答えを投下したほうがよかった気もするなｗ

>>195
正弦定理から
sinA:sinB:sinC=a:b:c=2:(√3+1):√6
で、sinC=√3/2だから、sinBがややこしくなるのがわかる
でもsinAは簡単になりそうだね
（この場合、sinA=(a/c)sinCからsinAを出してA<180°-60°からAを決めてもいい)

そこでcosを計算するにしても
AのほうがよさげだからcosAを計算すればいい

もう一回やってみて

>>198
すみません　角です
>>199
Ａのほうで計算したんですが・・・
　分子→2(√3+3)
分母→2(√3+1)×√6
になったんですが、これって約分できますか？

3=√3ｘ√3
これ当たり前だけど重要。これを使えば
√3+3=√3(1+√3)になるから約分できる。

このことに気がつかなくても、地道に分母の有理化をやればきれいになるよ

>>201
解けました！！ありがとうございます！！

質問です

問題
y=x3＋３t2x＋ｔ3を式�@とする

（１） �@の右辺をｔの関数としてf（ｔ）とおく 関数f（ｔ）の極値を求めよ

解答は持ってないです
よろしくお願いします

>>203
式として読めない。>>1読んで、累乗は＾記号を使って(xの2乗→x^2) 書き直して。

Y=sin^3(x)-sin(x)cos(x)+cos^3(x)
Yをt=sin(x)+cos(x)としてtの式で表せ
どう変形すればsin(x)cos(x)が消えるのかがわかりません。何方かご教授お願いします

t^2をよく見る

>>206
解決しましたm(_ _)m

>>203です

問題
y=x^3＋3t^2x＋t^3を式�@とする

（１） �@の右辺をｔの関数としてf（ｔ）とおく 関数f（ｔ）の極値を求めよ


すいません
よろしくお願いします

>>208
普通に微分して終わりじゃないのか

>>208
f'(t)=6tx+3t^2=0
t=0, -2x
x<0のときt=0で極大t=-2xで極小
x=0のとき極値無し
x>0のときt=-2xで極大t=0で極小

分からないので教え下さい。

平面上のベクトルa,bが
|a+3b|=1,|3a-b|=1を満たすように動く。このとき|a+b|の最大値と最小値を求めよ。

です。よろしくお願いします。

a+3b=u, 3a-b=vとおいてみる

台数の四月号にあったような・・・

>>211　元書き込みに倣い↑は省略。多分あまりカッコ良くない解答。
|a|^2=x、|b|^2=y、a・b=kとする。x≧0、y≧0である。
|a+3b|^2=x+6k+9y=1 より x+9y=1-6k
|3a-b|^2=9x-6k+y=1 より 9x+y=1+6k

この連立方程式がx≧0、y≧0に解を持ち、さらにxy≧k^2で
あるようなkの範囲を考える（xy=(|a||b|)^2、k^2=(a・b)^2)。

kをこの範囲の特定値に取ればa、bの大きさとその内積が
(成立可能な値として)決まるからaとbの相対的な位置と
大きさが確定し、与えられた条件を満たすように作図を行うことが
できるはずだから、これで必要十分になっている。

よって、求める値は√(x+2k+y)だから、上で求めたkの範囲からこの
最大値・最小値を考えればおけ。

……と考えて
x=1/10 + 3k/4、y=1/10-3k/4、-4/50≦k≦4/50になって、
最大値3/5、最小値1/5になったが。

>>214
思ったとおりカッコ悪いことこの上なかったｗ　ふつーは>>212の方針だよね。
ってことで解答自体は無視してください>質問者。

ただ、個人的には、当初の着想で押し切って正解に行けたことはそれでよし、だ。
基本定石が抜けてたことは大いに反省すべきだが>自分

うわ、職人芸乙
でもこうやっていろいろなことを考えることがとても大事

>>211で質問した者です。

解答くださった方、方針を教えてくださった方ありがとうございます。

>>211で質問した者です。

解答くださった方、方針を教えてくださった方ありがとうございます。

f(x)=e^x 、Ｆ(x)=f(f(x)-e)とする。

F'(x)/F(x)を求める問題ですが、F'(x)がどう求めていいのか分かりません；

どなたかおねがいします・・・

合成関数の微分のところを復習

この問題はF'(x)/F(x)=(log|F(x)|)'を使うとかっこいいけどな

あっ、Ｆ(x)=f(f(x)-e)は合成関数なんですね！

っということは、f(x)を代入して、
F'(x)
={f(e^x-e)}'
=e^x･f(e^x-e)

で、いいんでしょうか・・・あれ？ｗｗ

今の場合f'(x)=f(x)だから一応正しい。
丁寧に書くと
F'(x)
={f(e^x-e)}'
=f'(e^x-e)・(e^x-e)'
だね

e^x･f(e^x-e)でなくて、f'(e^x-e)・(e^x-e)'かｗ

ってことは
F'(x)/F(x)
＝e^x　かな？

＞e^x･f(e^x-e)でなくて、f'(e^x-e)・(e^x-e)'かｗ
掛ける順番はどっちでもいいよ、公式としてよく載ってるほうで書いただけだから
それに途中を丁寧に書いただけでe^x･f(e^x-e)で正しいし

答えもあってる

>>224
よかった。ありがとうございます！！

最後に一ついいですか・・f'(x)=f(x)がなぜ成り立つんでしたっけ？

たまたまf(x)=e^xだったからだよ
ちなみにf'(x)=f(x)となるような微分可能な関数はe^xの定数倍に限られる
他の関数ではこうならない

あ・・そういうことかｗｗ

これで解けます！！
答えてくれた方、ありがとうございました！！

a1=2,a(n+1)=2an+2n-3のとき、bn=a(n+1)-an+2とおくと
b(n+1)=□bn
答えは2なのですが、なぜそうなるのかがわかりません
だれかおねがいします

a1=2,a(n+1)=2an+2n-3
これを自分で解いてみようと考えるとよくわかるんじゃないか？
a(n+1)=2anだと等比で簡単。
a(n+1)=2an-3の形も見慣れてると思う。
で、a(n+1)=2an+2n-3なんだけど、ひとつのやり方として、
「階差をとる」というのがあった。
nをn+1に変えた式から元の式を引く：
a(n+2)=2a(n+1)+2(n+1)-3
-)a(n+1)=2an+2n-3
--------------------
a(n+2)-a(n+1)=2{a(n+1)-a(n)}+2...(*)
これを見ると、例えばa(n+1)-a(n)=c(n)とおけば、
c(n+1)=2c(n)+2となってずいぶん簡単になる。
あとはこの2の始末だけど、
c(n+1)+2=2(c(n)+2)
と変形してしまえば等比の形になるんだった。

問題のb(n)=a(n+1)-an+2は、ここでのc(n)+2にあたるわけ。
いっぺんに等比に直す置き換えをしたということ。

だからもちろんb(n+1)=2b(n)だけど、答案ぽく書くなら、
(*)まで出して、
a(n+1)-a(n)=b(n)-2
a(n+2)-a(n+1)=b(n+1)-2
と置き換えてしまえばいい。

>>229
ありがとうございました。
階差とればおｋなんですね。

数学�Vです。
次の（2）をグラフを使って解きたいんですが、どういう流れで解けばよいかわかりません。よろしくお願いします。

（１）
曲線y=e^x上の点（a,e^a）における接線が、曲線y=logxにも接するとき、aの満たす関係式を求めよ。

解，（a-1）e^a-a-1=0
↑ここまではわかりました

（２）
（１）の条件を満たすaの値は２つ存在し、そのようなaはそれぞれ-2<a<-1と1<a<2を満たすことを示せ。

>>231
f(x)=(x-1)*e^x-x-1とし、y=f(x)のグラフがx軸と、-2<x<-1と1<x<2の範囲でのみ共有点を持つことを示せばよい
まず、f(x)を微分して増減表とグラフを描き、共有点が二つのみであることを示す。
これら共有点の座標の範囲は中間値の定理を使えばいい
f(-2)とf(-1)の符号が違えば、f(x)は連続だから必ずその間でf(x)=0となる点がある、ともっていけばいいよ
たぶん、e>2であることは証明なしで使っていいと思う

>>234
どうもありがとうございます!!とてもわかりやすく、参考になりました。やってみます。

(2^n)+1が15で割り切れないことを示せ　n:正の整数
99年お茶の水大

この問題を背理法と数学的帰納法を組み合わせて解くようなことは出来ますか?
15=3*5ですので2^nを3でわれば周期2で余りが循環し
5でわれば周期4で余りが循環しますから、
結局2^(n+4)-2^(n)が15で割り切れることを書き
n=1.2.3.4のときの余りを書いて証明終了でいいと思うのですが
nにまつわる証明で、否定的な証明ですから
帰納法と背理法でいけたら一貫性が合っていいなと思っています。

そういう背理法と帰納法を組み合わせた証明に
無限降下法というものがあるらしいのですが
この辺りを使って証明する方法を教えてください。
お願いします

>>234
P1, ∀n Pn→P(n+1) ⇒ ∀n Pn
∃n ¬Pn , ∀n ¬P(n+1)→¬Pn, P1⇒ ⊥

数�Uです。お願いします。
x^2+y^2≦1，x+y≦1，3x-y≦3の満たす領域をDとする。
また、原点中心で半径1の円をC、さらにaを実数とし、点A(5/3，0)を通り傾きがaの直線をlとする。
lとDが共有点を持つときaの最大値と最小値を求めろ、という問題です。

最大値はaがCとlの接線の傾きと等しくなるとき、つまりa＝3/4の時だと思います。
最小値の求め方がいまいち分からないのでよろしくお願いします。

傾きには負の値もある
図をよく見る

>>237　ありがとうございます。
a＝±3/4は出たのですが、a＝-3/4だとDと共有点を持たなくなってしまいます･･･

じゃあもうちょっと傾きを緩やかにしてみたら？
慣れないうちは(5/3,0)に定規を当ててまわしてみたらいいよ

>>239
分かりました、やってみます
ありがとうございました。

>>236
x^2+y^2=1, x+y=1 ⇒ (x, y)=(1, 0), (0, 1)
x^2+y^2=1, y=3x-3 ⇒ (x, y)=(1, 0), (4/5, -3/5)
(0, 1), (5/3, 0) ⇒ a=-3/5
(4/5, -3/5), (5/3, 0) ⇒ a=9/13
x^2+y^2=1の接線が(5/3, 0)を通るのは
直角3角形の辺の比が3:4:5となるときで
接点の座標は(3/5, ±4/5)接線の傾きは-(±3/4)
(3/5, 4/5)はD外(3/5, -4/5)はD内
-3/5≦a≦3/4

関数を図示する問題で質問です。

y=(2t^2+3)/(2t+1)

これを図示するのですが手元には答えしか無く解答プロセスが分かりません。
定義域は分かるのですが、導関数を計算してもdy/dx=0となるxの値が求められませんでした。
第二次導関数まで計算してもよく分かりませんでした。

ちなみに答えは
定義域はx≠-1/2
dy/dx=0となる点がx=(-1±√7)/2
この二点を頂点とした放物線的な形で無限に発散
でした。

y=(2t^2+3)/(2t+1)=t-1/2+7/(2(2t+1))

式のtはxのことかね。

>>242
y'=(4t(2t+1)-(2t^2+3)・2)/(2t+1)^2=(4t^2+4t-6)/(2t+1)^2=0
t=(-1±√7)/2
t<(-1-√7)/2, y'>0
(-1-√7)/2<t<(-1+√7)/2, y'<0
(-1+√7)/2<t, y'>0

｜1/A｜＜1を-1＜1/A＜1としてはいけない理由を教えてください

Aが実数ならしてもいい
複素数の絶対値とか習ってるのか？

l.m.nは自然数で,l≦m≦nのとき
lm+mn+nl+l+m+n-lmn=1
をみたす整数(l,m,n)を全て求めよ

という問題なんですけど
lm+mn+nl+l+m+n-lmn=1を両辺lmnでわって評価する方法ではなく
ストレートに評価する方法ってありませんか?

lm+mn+nl+l+m+n-lmn
<(n^2)+(n^2)+(n^2)+n+n+n+0=3n^2+3n
∴1<3n^2+3n
とやってもあまりnについて絞れた気がしません

lについて絞ろうとしてlに統一しようとしても-lmnが負の数なので
-l^3で置換すると-lmn<-l^3となり、不等号が決定できません
lm+mn+nl+l+m+n-lmn=1
>3(l^2)+3l-lmn

こういう整数解を持つ不等式では分数に持ち込む以外解法はありませんか?

>>248
割らなきゃいけないというより割った方がわかりやすいからだな。
（俺ならlmnじゃなくてmnで割るが）
評価が荒すぎると欲しい結果が出なくなる可能性が高い。
割るだけならもとの式と同値だから、その時点での無駄はないし、
やってみればわかるように無駄のない評価をしやすい。

いきなり割らずにどうやるかだが、
何を上から押さえるかは考えなければいけない。
最終的に割って（どうせ割るんなら先に割ればいいんだが）
評価するなら押さえる側のほうが次数が高いのはNGで、
最高次のlmnを他の式で押さえる事になるだろう。
とりあえずlmn=lm+mn+nl+l+m+n-1と書いてみる。
最後に何で割るのだろうか？
lm,ln,mnが考えられるが、右辺にmnがある以上、
lmやlnで割っても右辺を小さく押さえられないことになる。
よってmnしかない。というわけで、右辺の＋の項をmnか、
その定数倍で押さえてしまえばいいとわかる。
1≦l≦m≦nに注意すればこの場合これらは全部mnで押さえられる:
lmn=lm+mn+nl+l+m+n-1≦6mn-1<6mn

なるほど、mnで抑えるられるのですね

感覚的には1文字でがむしゃらに抑えるのではなく
1つの「項」で抑えるという感覚があれば
l.nで抑える→lは無理。nでも荒すぎて使えない
lm.mnで抑える→mnでうまくいく。lmでは抑えられない
という感じで辿ることが出来ますね。
参考になりました。ありがとうございます

あともう1つ同じ問題での質問なんですが
これ答えは(2.4.13)(2.4.8)(3.3.7)なんですけど
lmn=lm+mn+nl+l+m+n-1という式を見たときに
左辺が3次で右辺が2次だからグラフを考えたときに
lは恐らく1.2.3.4.5くらいの小さい値しかとりえない(実際に2.3しか取れない)
ということに着目してl≧4のとき不適である
っていうことをなんとか証明してあとはしらみつぶしでl=1のときl=2のときl=3のとき
って求めていくアプローチは可能でしょうか?

>>248
(l+1)(m+n)+(1-l)mn=1-l
(l-1)mn-(l+1)(m+n)=l-1
l=1のときm+n=0でNG
l=2のときmn-3(m+n)=1
(m-3)(n-3)=10
m, n
4, 13
5, 8
l=3のとき2mn-4(m+n)=2
(m-2)(n-2)=5
m, n
3, 7
l≧4のとき
(l-1)^2mn-(l+1)(l-1)(m+n)=(l-1)^2
((l-1)m-(l+1))((l-1)n-(l+1))=(l+1)^2+(l-1)^2=2(l^2+1)
(l-1)m-(l+1)≧(l-1)l-(l+1)=(l-1)・4-(l+1)=3l-5
2(l^2+1)≧(3l-5)^2=9l^2-30l+25
0≧7l^2-30l+23≧7・4^2-30・4+23=15でNG

グラフか、あくまで3変数の式だしどうなんだろう？
解と係数の関係を使うとかも考えられるがうまくいくかわからんな。
こうすると楽だろう。

l(mn-m-n-1)=mn+m+n-1と変形しておく。
仮にl≧4とする。このとき、m,n≧4で、
mn-m-n-1=(m-1)(n-1)-2≧7>0であるから、
4(mn-m-n-1)≦l(mn-m-n-1)=mn+m+n-1。
よって3mn-5m-5n-3≦0　∴(3m-5)(3n-5)≦34。
0<3m-5≦3n-5であるから、
3m-5≦√34 ∴m≦(5+√34)/3<(5+6)/3<4
となりm≧4に反する。よってl<4。

>>251
>3l-5
3l-5>0

>>251
>(l-1)m-(l+1)≧(l-1)l-(l+1)=(l-1)・4-(l+1)=3l-5
(l-1)m-(l+1)≧(l-1)l-(l+1)≧(l-1)・4-(l+1)=3l-5>0

ありがとうございます

非常に参考になりました。
評価の仕方1つとってもものすごく沢山あるのですね。

四角形ABCDについてAB=DC=2,BC=1,CD=3、角Bが120度のとき、
角Aが60度となることを証明できません
証明してください　お願いします

問題　http://imepita.jp/20091002/442940

解答 http://imepita.jp/20091002/443620

解答4行目の、
であるからi≠ｊのときＡlＡi≠ＡlＡiであるが理解できません。

お願いします

>>256
余弦定理からACを出して余弦定理から∠ADCをだして円に内接することがわかって
トレミーの定理からBDが出て・・・
∠BADは60°ではないな

>>257
問題文に相異なる・・・って書いてあるから、i≠ｊのときAi≠Aj。
３行目がわかるならそれだけ

>>248
L=l-1, M=m-1, N=n-1 と平行移動すると随分見やすくなるはず

東京出版「新数学スタンダード演習」からの質問です。

p10の、1・6の(2)です。

x^2000をx^4−1で割った余りを求めよという問題なのですが、

(x^4)^500×x^2という式に変形した後、x^4の部分にx^4−1を入れて、
x^4−1で割り切れる項を作り、後ろの項で調整し、その項の余りを求めると
いう解法を試みたですが、500乗が邪魔でうまくいきませんでした。

解説には、x^4を1に変えてもx^4−1で割った余りは変化しないとして、x^4に
1を代入して、答えx^2としています。

x^4を1に変えても余りが変わらない理由を教えてください。

あと、なぜ僕が試みた解法はダメなのか教えて下さい。

よろしくお願いします。

>>260
x^4をx^4-1に勝手に変えたなら間違い
x^4=(x^4-1)+1としたなら正しい

x^2002=(x^4)^500×x^2=((x^4-1)+1)^500×x^2
この500乗のところは二項定理を使えば、
((x^4-1)+1)^500=(x^4-1)^500+...+500(x^4-1)+1
となるけど、最後の1(=1^500)以外はx^4-1で割り切れてるからあまりに無関係。
だから余りはx^2・1=x^2になる。

2項定理もいいけどこう考えてもいい：
f^n-g^n=(f-g)(f^(n-1)+...+g^(n-1))によって、
f-gがmで割り切れるならf^n-g^nもmで割り切れる。
だからf^nとg^nをｍで割った余りは変わらない。
一般に多項式P(x)に対しても単項式に分けてしまえば、
P(f)-P(g)はmで割り切れることになって、
P(f)とP(g)をｍで割った余りは変わらないことがわかる。

今の場合、f=x^4, g=1, m=x^4-1。

>>260
t=x^4
x^4-1=t-1
x^2000=t^500=q(t)(t-1)+1=q(x^4)(x^4-1)+1

logの微分の公式使えるのって底がeの時だけ？

>>257
j≠k ⇒ AiAj≠AiAk
AiA1, …, AiAnはA1, …, Anのどれかに等しくすべて異なるから全部に等しい
Ai(A1+…+An)=A1+…+An

X^2=XX=A1X+…+AnX=nX
t=a1+…+an+d1+…+dn
Δ=|X|
tX-ΔE=nX
(t-n)X=ΔE
Δ=0 ⇒ t=n or X=O ⇒ t=n, 0
Δ≠0 ⇒ Ai=E ⇒ NG

>>262
教科書みたら一般の底の場合も載ってないか？
載ってなければ底の変換公式を使ってみればいいんでは？

>>260
余りは1

>>256
AC^2=2^2+1^2-2・2・1・cos120°=7
AC=√7
a=∠BAC, b=∠DAC
cosa=(2^2+√7^2-1^2)/(2・2・√7)=5/(2√7)
sina=√(1-cos^2a)=√3/(2√7)
cosb=(3^2+√7^2-2^2)/(2・3・√7)=2/√7
sinb=√(1-cos^2b)=√3/√7
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb=5/7-3/14=1/2
∠A=a+b=60°

＞AB=DC=2,BC=1,CD=3
おー、ミスに気づかずAD=2だと思い込んでたわ
AD=3で、CD＝2なわけね
そうするとBD=ACになって△ABD≡△DCAになってるな

0≦θ＜2πのとき、sinθ≧sin(θ-π/3)を満たすθの範囲を求めよ。

どういう風に解けばいいのか教えて下さい。

>>269
和積の公式を使おう。

>>270
なるほど、そういう風にやればいいんだ…。
ありがとうございます！

>>258
問題を解くのに、3行目に意味はあるんですか？
問題文に相異なる・・・って書いてあるから、
i≠ｊのときAi≠Aj。と言うのは解るんですが
ＡlＡi＝ＡlＡi⇔Ａi＝Ａiで　あ　る　か　ら　i≠ｊのときＡlＡi≠ＡlＡiである。
と言うのは？
3行目は両辺に左からＡlの逆行列をかけてる式ですよね
それしか解りません。

>>271
まぁこの場合は数値が特殊なんで展開して移項して合成でもいいけど。

>>272
＞ＡlＡi＝ＡlＡi⇔Ａi＝Ａiで　あ　る　か　ら　i≠ｊのときＡlＡi≠ＡlＡiである。

初めタイプミスかなと思ったけど違うみたいだね。
ＡlＡi＝ＡlＡi⇔Ａi＝Ａi　じゃなくて
ＡlＡi＝ＡlＡj⇔Ａi＝Ａj　だよ。

これでわかるんじゃね？

本当にすいませんタイプミスです。
>>258
問題を解くのに、3行目に意味はあるんですか？
問題文に相異なる・・・って書いてあるから、
i≠ｊのときAi≠Aj。と言うのは解るんですが
ＡlＡi＝ＡlＡj⇔Ａi＝Ａjで　あ　る　か　ら　i≠ｊのときＡlＡi≠ＡlＡｊである。
と言うのは？
3行目は両辺に左からＡlの逆行列をかけてる式ですよね
それしか解りません。

に訂正でお願いします。

3行目と4行目のつながりですよね。
問題文に相異なるって書いてあるのに、
Ａlの逆行列があればＡi＝Ａjなるiとjがあることになってる。
変ですよね

>>673
無知を承知でお聞きしますが、それはどのようにやるんでしょうか。

>>276
273へのアンカーミスだとエスパーしてみる。
sin(θ-π/3)
=((1/2)sinθ-((√3)/2)cosθ　　(加法定理より展開)
与式左辺-右辺
=((1/2)sinθ+((√3)/2)cosθ
=sin(θ+π/3）　(合成)
≧0

あとは、θ-π/3 ってのはθのπ/3小さい値を常にとる、
つまりθをπ/3遅れで角の差を変えずに追いかけるのだから、
0〜2πの間で変化するθと、それに常にπ/3遅れを動く動径を考えて、
前者のy座標が後者のy座標に等しいかより大きい区間を考えてもいい。
(感覚的にはこれが一番早いだろう)

θ=0はOKで以後連続的に(2/3)πまではOK、
次にこの条件を満たすのはθ=(5/3)πで、あとは2πまでOK
よって0≦θ≦(2/3)π 、 (5/3)π≦θ<2π

>>275
質問の意味がわからん・・・orz
何かつまらない勘違いをしていないか？

Ａlが逆行列をもつとき
　ＡlＡi＝ＡlＡj⇔Ａi＝Ａj
が成り立つというのは分かる？

>>273
ご丁寧な解説ありがとうございます。
些細な事ですけど一つの問題でも色んなアプローチの仕方があるんだなぁと感動しました。

何度もアンカーをミスしてすいません。
訂正しますと279は>>277へ向けてです。

>>275
逆行列を左からかけてみ。

質問です。Ｚ会の問題なのですが、

『a、bは実数、2次関数f(x)=x^2+ax+bを、(条件)-1≦x≦1の範囲で、不等式-f'(x)≦f(x)≦f'(x)がつねに成り立つ
　をみたすようにとる。このとき、∫[-a､a]{f(x)-f'(x)}dxのとり得る値の範囲を求めよ』

という問題なんですが、解答では、-1≦x≦1の範囲すべてで成り立つ→端点x=-1､1で成り立つ
となっているんですが、端点で成り立っていても範囲の途中では成り立たなくなることもあると思うんですが・・・
曲線と直線を書くと、なんとなくですが端点だけでは不十分な気がして・・・
どなたか、なぜ端点を確かめるだけでいいのか、答えていただけないでしょうか。
わかりにくい質問で申し訳ありません、答えていただけたら幸いです、よろしくお願いします。

>>282

>-1≦x≦1の範囲すべてで成り立つ→端点x=-1､1で成り立つ

“何が”成り立つのか？

>>278
問題文に相異なる
って書いてないなら　
Ａlが逆行列をもつとき ＡlＡi＝ＡlＡj⇔Ａi＝Ａj
というのはわかります

>>282
-1≦x≦1 ⇒ -(2x+a)≦x^2+ax+b≦2x+a
x^2+(a+2)x+(a+b)≧0
-(a+2)/2<-1
1-(a+2)+(a+b)≧0
a>0, b≧1
-1≦-(a+2)/2≦1
(a+2)^2-4(a+b)≦0
-4≦a≦0, b≧a^2/4+1
1<-(a+2)/2
1+(a+2)+(a+b)≧0
a<-4, b≧-2a-3
x^2+(a-2)x+(b-a)≦0
1+(a-2)+(b-a)≦0
1-(a-2)+(b-a)≦0
b≦1
b≦2a-3
a≧2, b=1
I=∫[-a, a](x^2+ax+1-2x-a)dx=2∫[0, a](x^2+1-a)dx=2[x^3/3+(1-a)x][0, a]=2(a^3/3+(1-a)a)=2(a^3/3-a^2+a)
d/da=2(a^2-2a+1)≧0
I≧4/3

>>285
>d/da
dI/da

y＝xe^x(x＝∞)って幾つに収束しますか

>>282
「-1≦x≦1の範囲すべてで成り立つ」ならば当然その範囲の一部である「端点x=-1､1では成り立つ」。
「逆」は成り立たないが。

>>284
今回の問題とはまったく関係ないよ。見やすく置き換えたけど

Ａが逆行列をもつとき
　ＡＢ＝ＡＣ⇔Ｂ＝Ｃ
が成り立つのは分かる？

１辺の長さがaの正四面体ABCDを考える。
0<t<1に対し、辺AB、AC、CD、BDをt:（1-t）に内分する点をそれぞれP,Q,R,Sとする。

（1）正四面体ABCDの体積をaを用いて表せ。
（2）ベクトルPQをtとベクトルSRを用いて表せ。
（3）四角形PQRSの面積をaとtを用いて表せ。
（4）四角形PQRSの面積が最小となるときのtの値を求めよ。


（3）からわかりません。
よろしくお願いします!!

>>257
G={A1, …, An}は群
G∋A, A^2, A^3, …
A^i=A^j
A^m=E∈G
|E-A|≠0ならY=E+A+…+A^(m-1)=(E-A^m)(E-A)^(-1)=O
X=Y+YB1+YB2+…+YBk=O
∀A∈G |E-A|=0なら
|A|^m=1
|A|=±1
ad-bc=±1
(1-a)(1-d)-bc=0
1-(a+d)+(ad-bc)=0
ad-bc=1, a+d=2
A^2-2A+E=O
A^2=2A-E
E=A^m=mA-(m-1)E
mE=mA
E=A NG

ad-bc=-1, a+d=0
A^2-E=O
E, A≠B ∈G
A^2=B^2=(AB)^2=E
ABAB=E
ABA=B
AB=BA
(a, b; c, -a)(p, q; r, -p)=(p, q; r, -p)(a, b; c -a)
ar=cp, aq=bp, br=cq
a:b:c=p:q:r
B=kA
|B|=|A|=-1
B=±A
G={E, A} ⇒ X=E+A, trX=trE+trA=2
G={±E, ±A} ⇒ X=O (|E-(-E)|≠0)

∴trX=0, 2

>>290
a=1
△BCD=(1/2)・1・(√3/2)=√3/4
BG=(2/3)(√3/2)=1/√3
AG=√(1-1/3)=√(2/3)
V=(1/3)(√3/4)√(2/3)=√2/12
(V=(√2/12)a^3)

PQ=tBC
SR=(1-t)BC
PQ=(t/(1-t))SR

AM=DM=√3/2
cos∠AMD=(3/4+3/4-1)/(2・√3/2・√3/2)=1/3
LM^2=((√3/2)(1-t))^2+((√3/2)t)^2-2(√3/2)(1-t)(√3/2)tcos∠AMD=(8t^2-8t+3)/4
S=(1/2)(PQ+SR)LM=(1/2)(t+1-t)(1/2)√(8t^2-8t+3)=(1/4)√(8t^2-8t+3)
(S=(1/4)√(8t^2-8t+3)a^2)

8t^2-8t+3=8(t-1/2)^2+1≧1
t=1/2, S=1/4 (S=a^2/4)

>>293
どうもありがとうございます!

>>289
Ａが逆行列をもつとき
ＡＢ＝ＡＣの両辺に左からＡの逆行列をかけてEＢ＝EＣとなり結局Ｂ＝Ｃ
となるのはおｋです。

>>295
「⇔」この記号の意味わかるか？
「→」と「←」の両方が成り立たなければいけないんだぞ。
その説明だけでは「右向き」しか成り立っていない。
「左向き」が成り立つのはわかるか？

つまり、「Ｂ＝Ｃ⇒ＡＢ＝ＡＣ」が成り立つというのはわかる？

>>293
>LM^2
LN^2
>S=(1/2)(PQ+SR)LM
S=(1/2)(PQ+SR)LN

1対1対応の演習数学�Vp.34の定義、公式の証明のところの
(イ）(2)なんですが
lim{f(a+h)-f(a)}は必ずしも0にならない場合があるから、
微分可能ってことを使ってlim{f(a+h)-f(a)}=0を証明して
連続であることを示してるんですよね？
じゃあどんな場合にlim{f(a+h)-f(a)}≠0が成り立つのですか？

あとlim{f(a+h)-f(a)}=0より
limf(a+h)=f(a)とだせるんですよね？

馬鹿すぎる質問で申しわけないです

>>296
Ｂ＝Ｃに左からＡをかけたらＡＢ＝ＡＣになる。
これ以上の説明があるなら解っていないです。すいません。
よろしくお願いします

>>298
問題書いて

（イ）f(x)がx=aで微分可能ならば、f(x)はx=aにおいてれんぞくであることを証明せよ

解答
lim{f(a+h)-f(a)}=lim{f(a+h)-f(a)}/h*h=0
よってlimf(a+h)=f(a)が成り立つからx=aで連続である

よろしくおねがいします

>>299
いや、合ってるよ。
これで両方向きの矢印が成り立つことが示された。つまり、
Ａが逆行列をもつとき　ＡＢ＝ＡＣ⇔Ｂ＝Ｃ　が成り立つことがわかった。
そうしたら、あとは簡単じゃん。
Ａlが逆行列をもつとき ＡlＡi＝ＡlＡj⇔Ａi＝Ａj　が成り立つじゃん。
今回の問題がどうだとかなんだとか関係なく成り立つでしょ？
おんなじように考えたらおｋ。

>>301
微分可能ならlim{f(a+h)-f(a)}≠0は成り立たないため微分可能でない例を探す
f(x)=0 (x=0), 1 (x≠0)
など

limf(a+h)=lim(f(a+h)-f(a)+f(a))=0+f(a)=f(a)

>>302
Ａlが逆行列をもつとき ＡlＡi＝ＡlＡj⇔Ａi＝Ａj　が成り立つのは解ります。
問題　http://imepita.jp/20091002/442940
解答 http://imepita.jp/20091002/443620
あぁ勘違いかな、、、まだしっくりこないけど
ｊはi（＝1からｎ）のどれかだからi=jの時Ａi＝Ａj
Ａiは全て異なるからｊ≠iのときＡi≠Ａj
じゃあＡの逆行列が存在しない時Ａi＝Ａjはいえないんですか？
解答では逆行列が存在するからＡlＡi＝ＡlＡj⇔Ａi＝Ａj
であるからｊ≠iのときＡi≠Ａj　　となっていますが
上に書いたように
ｊはi（＝1〜ｎ）のどれかだからi=jの時Ａi＝Ａj
Ａiは全て異なるからｊ≠iのときＡi≠Ａj
では何かおかしいんでしょうか？

>>303
ものすごくよく分かりました。ありがとうございます。

ということはlim{f(a+h)-f(a)}は微分可能か不可能かわからないときは極限値わわからないってことですよね？

>>304
まず先に言っておく。
＞解答では逆行列が存在するからＡlＡi＝ＡlＡj⇔Ａi＝Ａj
＞であるからｊ≠iのときＡi≠Ａj　　となっていますが
なっていない。「i≠jのときＡlＡi≠ＡlＡｊ」だろ。よく見て。
（iとjが逆なのが問題じゃないよ。念のため。）
続きはあとで。

>>304
＞じゃあＡの逆行列が存在しない時Ａi＝Ａjはいえないんですか？
問題の仮定より当然、
i＝j のときは Ａi＝Ａj だし
i≠j のときは Ａi≠Ａj
逆行列があるとかないとかは関係ない。単純に考えたらおｋ

ただ、逆行列が存在すると（さっき示したように）一般的に
ＡlＡi＝ＡlＡj⇔Ａi＝Ａj　が成り立つ。

つまり　ＡlＡi＝ＡlＡj ⇒ Ａi＝Ａj　が成り立つということ。
（両側の矢印が成り立つんだから片側は当然成り立つでしょ）
ということはその対偶である　Ａi≠Ａj ⇒ ＡlＡi≠ＡlＡｊ　・・・（α）　も成り立つよな？

あとは自分で言ったように　i≠jのときＡi≠Ａj　なんだから
（α）と合わせると、解答４行目の　「i≠jのときＡlＡi≠ＡlＡｊ」　というのもわかるでしょ？

>>275>>284
解答の説明は、おかしくはないが少々わかりにくいかもしれんね。
正方行列 B, C, D があって B の逆行列が存在するとき
B C = B D ⇒ C = D
これの対偶で　C ≠ D　⇒　B C ≠ B D
B, C, D に それぞれ A_l, A_i, A_j を当てはめると…
とやればもっとわかりやすくなるだろう。

解答の説明では、
相異なるという前提 P があるんだけど
（P に反するかもしれない）命題 Q, R を考えて
Q ⇒ R …�@ を示し、
一方 P から not R …�A　が言えるので
�@�Aから not Q
という流れになっている。
背理法と思ってもよいな。

ちなみに、ある仮定 P, Q の下で
R と not R の両方ともが証明できてしまうという状況自体は、
別におかしくはない。

>>306-308いつもありがとうございます。
あー対偶か！多分解りました。
なら>>264さんの逆行列とゆう言葉がないあっさりした解答でも
○ですよね？
i≠j のときは Ａi≠Ａj 左からＡlをかけてＡlＡi≠ＡlＡｊ
AiA1, …, AiAnはA1, …, Anのどれかに等しくすべて異なるから全部に等しい
あと>>308さんの
前提 P： Ａiは全て異なる、Ａiは逆行列をもつ。
命題 QはＡlＡi＝ＡlＡj⇔Ａi＝Ａj　
命題 RはＡi≠Ａj ⇒ ＡlＡi≠ＡlＡｊ　
ですよね？
＞�@�Aから not Q 　と言うのは？？

x>0で定義された微分可能な関数f(x)はf'(x)<0を満たしている

h(x)=g(x)/x ,x>0とするときh(x)は単調減少関数であることを示せという問題なのですが、
途中で2f(2x)-f(x)の比較ができずに困っています
誰か教えてください

初歩的な質問ですいません
三角関数の導関数の公式は
(sin x)'=cos x
(cos x)'=ｰsin x
と教科書に書いてあるのですが、
(sin x^2)'=2x cos x^2
となる理由がよくわかりません
(sin x)'=x'cos x
という認識でよいのでしょうか？

>>311
合成関数の微分

>>310
正確に書いて

�VCの青チャートP21の基本例題11の(2)なんですが、

2つの関数f(x)=x^2-2x+3，g(x)=1/x　について、合成関数(gf(x))の値域を求めよ。

と言う問題で、
解答の2行目以下

y=(gf(x))の定義域は実数全体であるから、
(x-1)^2+2≧2
ゆえに　0＜{1/(x-1)^2-1}≦1/2

というところがさっぱり分かりません。
合成関数(gf(x))を求めるところまではいいのですが、なぜ(gf(x))の定義域は実数全体なのか、
またなぜ　(x-1)^2+2≧2　なのかがまったくわかりません・・・。

詳しく教えてください！

314ですが、(gf(x))ではなく(gf)(x)でした、すいません。

>>313すみません
g(x)=区間[x、2x]∫f(x)dt(x>0)です

>>309
Q が A_l A_i ＝A_l A_j
R が A_i ＝A_j
のつもりで書きました。わかりにくくてすみません。

＞i≠j のときは Ａi≠Ａj 左からＡlをかけてＡlＡi≠ＡlＡｊ
B に逆行列がないとすると
C≠D だとしても BC≠BD とは限りませんよ。
そこはわかって言ってますか？

>>314
y=f(x)=(x-1)^2+2≧2
g(f(x))=g(y)=1/y
1/2≧1/y>0

＞B に逆行列がないとすると
C≠D だとしても BC≠BD とは限りませんよ。
考えると逆行列がない０行列をかけると
＝が成立してしまいますね、、、
この問題は問題文で逆行列が存在する設定だから
>>264でもおｋと思っていいですか？

>>316
h(x)=g(x)/x
xh(x)=∫[x, 2x]f(t)dt
xf(x)≧∫[x, 2x]f(t)dt≧xf(2x)
f(x)≧h(x)≧f(2x)
h(x)=f(t(x)), x≦t(x)≦2x
∫[x, 2x]f(t)dt=xh(x)=∫[x, 2x]h(x)dt
∫[x, 2x](f(t)-h(x))dt=0
∫[x, t(x)](f(t)-h(x))dt+∫[t(x), 2x](f(t)-h(x))dt=0
∫[x, t(x)](f(t)-h(x))dt=∫[t(x), 2x](h(x)-f(t))dt for all x>0
x<y, h(x)≦h(y)
f(t(x))≦f(t(y))
t(x)≧t(y)
x<y<t(y)≦t(x)<2x<2y
∫[y, t(y)](f(t)-h(y))dt<∫[x, t(x)](f(t)-h(x))dt=∫[t(x), 2x](h(x)-f(t))dt<∫[t(y), 2y](h(y)-f(t))dt
矛盾

>>320
>x<y<t(y)≦t(x)<2x<2y
x<y≦t(y)≦t(x)≦2x<2y

>>320
最後の部分が分かりませんh(x)を単調増加関数であると仮定すると
x<yにおいて、h(x)<h(y)になる一方、h(x)=f(t(x))でf(x)が減少関数だからt(x)>t(y)とはならないですか?

>>322
これは勘違いしました
すみません
この解法には驚きましたうわ〜とつい言ってしまった程です
自分も回答者さんみたいに数学が出来るようになりたいです
ありがとうございました

すみません
さらに>>316で
g(x)+g(y)>g(x+y)
の証明って凸関数性を利用するんですよね?

>>324
g(x)+g(y)=xh(x)+yh(y)>xh(x+y)+yh(x+y)=(x+y)h(x+y)=g(x+y)

某大学の推薦入試の問題なので解答は無しです。

X^4＋X^2＋1を因数分解せよ。

という問題で、これは虚数を使わないと答え出ませんか？
宜しければ皆様のご解答をお教え願います。

>>326
(X^2+1)^2-X^2=(X^2+X+1)(X^2-X+1)

http://uproda11.2ch-library.com/202578wKL/11202578.jpg

２以降教えて

>>328
an=(-1)^n

rb1=a1=-1
b1=-1/r
r^nbn=an-a(n-1)=(-1)^n-(-1)^(n-1)=2(-1)^n
bn=2(-1)^n/r^n (n≧2)

S1=b1=-1/r
Sn=-1/r+2/r^2-2/r^3+…+2(-1)^n/r^n=(-1+1/r+2(-1/r)^n)/(1+r)
-1<-1/r<0
0<1/r<1
1<r
limSn=(1-r)/(r+r^2)

>>329
ありがとうございます
bnを求めるさいに
帰納法をつかう必要はありますか？

あ、すみません
確認不足でした
ありませんね
Ｓn
をつかうのかー

http://uproda11.2ch-library.com/202582qIM/11202582.jpg

これもお願いできませんか

収束の値がならない……

またミスでした……
すみません

>>331
Pは△OBCの重心であるからAP:PC=1:2

AP:PC=AP:PB=1:2
よりPはABを1:2に内分外分する点を直径の両端とするアポロニウスの円を描く

重心はどうしてわかるんですか

2等分線の交点だから

あ、
ありがとうございます!

こんなのに気付かないレベルなのか……俺…
はぁ……

問題　http://imepita.jp/20091004/554830
解答 http://imepita.jp/20091004/555200
なんですが、二回微分するとｄ＾2ｙ/ｄｘ＾2は
0＜θ＜αで上に凸、α＜θ＜π/3で下に凸
となり自分では http://imepita.jp/20091004/554430
そこでｄｙ/ｄｘ＝tanθがθ≧0のおいて増加であるから途中で交わることがない
ってのが解りません。『tanθがθ≧0のおいて増加である』は解ります。

と、例えば http://imepita.jp/20091004/555620
の問題は二回微分がｄｘ/ｄｔの符号と一致して
http://imepita.jp/20091004/580660
二回交わらないことがわかります。
>>338の問題では二回微分ではそれがわからず、これは二回微分でわかる。
何でそうゆう違いがでるのですか？

lim　-(x^2)logx
x→0

ロピタルの定理で答えは出るんですが、
答案に書ける模範的な解答を教えてもらえませんか。

＞ｄｙ/ｄｘ＝tanθがθ≧0のおいて増加であるから途中で交わることがない
は自己解決しました
>>338の自分の書いた図のθ＝α直前の傾きより θ＝α直後の傾きのほうが小さくなってますね。
tanθがθ≧0のおいて増加なのに。ただ0＜θ＜αで上に凸、α＜θ＜π/3で下に凸
たとこうゆう図を描いてしまいそうです。
0＜θ＜αで下に凸、α＜θ＜π/3で上に凸なら交わりそうはないですが、、、

＞たとこうゆう図を描いてしまいそうです
訂正
だとこうゆう図を描いてしまいそうです

>>340
y=e^xのx=0における接線の方程式はy=x+1
e^xは下に凸なのでx>0においてe^x>x+1
e^x/x>1+1/x>1
e^x/x=(e^(x/2)/2)・(e^(x/2)/(x/2))>e^(x/2)/2→+∞ (x→+∞)
e^(-x)/(-x)→+∞ (x→-∞)
xe^x=-1/(e^(-x)/(-x))→-0 (x→-∞)
logx^2→-∞ (x→+0)
x^2logx^2=2x^2logx→-0 (x→+0)
-x^2logx→+0 (x→+0)

x^2+y^2=(cosa)^2と直線xsinb+ycosb=cosbについて
−90°<a<90°,−90°<b<90°とする。

円と共有点を２個もつとき、a,bの範囲を求めよ。

これについてだがまず
xsinb+ycosb=cosbをcosbでわって
xtanb+y=1と同値だから、これと円の交点を考えれば
いいんですよね？そっから先が全く分かりません。

円と直線が接するとき接点の軌跡を求めよも
分かりません。

共有点をモツから、円と直線の距離の関係に
もちこんだんですが
(tanb)^2>(tana)^2とかになったんですが...
もう何がなんやらわかりません

>>345
tanに持ち込まずにsin,cosのままやってみ

すいません、一応京大志望なんですが、°で与えられてるから
範囲どうやって求めたらいいかわからんのすよ。
図示しなくていいから範囲教えください。

一応Y=Xのようなグラフかいてそれより下って感じになりました。

aを実数とする
xy平面における２曲線
y=x^2-aとx=y^2-aの異なる共有点の個数を求めよ

y=x^2-a�@
x=y^2-a�A

�@-�A、�@＋�Aより
y+x=x^2+y^2-2a�B
y-x=x^2-y^2�C
{�@、�A}⇔{�B�C}より
�B、�Cについて考えればよい
ってのがやさ理の解説なんですが
⇔だけで簡単にしていいんですか？
もっと詳しい解説僕的には書きたいんですが

僕的には、�B、�Cが仮にx=α、β、γ、θ,y=α',β',γ',θ'を解に
持つとすると、�B、�Cにこれらを代入すると、式を変形すると、
�@、�Aのy,x座標にこれらが代入されて成り立っていることに等しい
よって�@、�Aの交点が４つあるようなaは、�B、�Cの方程式が４つ
異なる解をもつようなaを求めることに等しい
よって以下�B、�Cについて考える

これくらい書かないと気が済まないんですが、どうでしょう？

>>348
お前は連立方程式すべてでそう書くのか？

>もっと詳しい解説僕的には書きたいんですが

書くのはかまわないけど、採点者の気分をげんなりさせる上に
実際の試験で時間かかって仕方ないだろうね。

3×4=12と書くところを
3×4とは3を4回たしたということすなわち
3+3+3+3=12である
みたいに書くようなものだから。

長すぎましたね。
どちらか二つの連立方程式が、解の個数が違うと仮定する。
連立方程式をS,Tとする。このときSがx,yを解にもてば、変形に
よりTでも持つことになる。これは解の個数が違うことに反する、
よって解の個数は一致。

{�@、�A}の連立方程式が解の個数が決まるようなaの
範囲は{�B、�C}のaを変えて考えればいい。

これでOKか。

このスレはいっとくが神です、予備校通ってるが、予備校で
質問何てできるわけねーだろ、休み時間短いからね。あと短い
時間で聴けるはずない。

貧乏神です。調子に乗って自分の勉強時間を失った。

>>338
θの正負で対象であるから0≦θでの軌跡を考えてy軸に関し対称に折り返す
Aにおける接線の傾きがtanθであるからθは接線とx軸の正の方向のなす角
よって↑AP=(-sinθ, cosθ)
P((1/2)tanθ-sinθ, (1/4)tan^2θ+cosθ)
x=(1/2)tanθ-sinθ=0となるのは
sinθ(1-2cosθ)=0よりθ=0, π/3
dx/dθ=(1/2)(1/cos^2θ)-cosθ=(1-2cos^3θ)/(2cos^2θ)
dy/dθ=(1/2)tanθ(1/cos^2θ)+sinθ=sinθ(1-2cos^3θ)/(2cos^3θ)
dx/dθ=0となるのはθ=α （αはcosα=(1/2)^(1/3)となるπ/6<α<π/4の範囲の角）
このときdy/dθ=0でもありこの点は特異点
これ以外の点においては
dy/dx=tanθ （dA/dθの傾きがtanθでd↑AP/dθ=(-cosθ, -sinθ)の傾きもtanθであるからdP/dθの傾きもtanθ）
0<θ<αにおいてdx/dθ<0でありxは単調減少
dy/dxは単調増加であるので軌跡は上に凸
θ=α-0における片側微分係数は平均値の定理（コーシーの平均値の定理・ロピタルの定理）よりtanαとなり
この点を通り傾きtanαの直線lより軌跡は下になる
α<θにおいてはdx/dθ>0でありdy/dxも単調増加であるため軌跡は下に凸
θ=α+0における片側微分係数もtanαであるから軌跡はlより上になる
左右対称に折り返して考えると軌跡の全体はθ=±π/3においてのみ結節点を持つ（θ=±αにおいて尖点）曲線であり
求める面積は
S=∫[-π/3, π/3]yx'dθ=2∫[0, π/3]((1/4)tan^2θ+cosθ)(1-2cos^3θ)/(2cos^2θ)dθ=(1/4)∫[0, π/3](1/cos^4θ-2/cos^2θ+2/cosθ+4cosθ-8cos^2θ)dθ
=(1/4)∫[0, π/3](1/cos^4θ)dθ+(1/4)[-2tanθ+4sinθ][0, π/3]+(1/2)∫[0, π/3]1/cosθdθ-2∫[0, π/3]cos^2θdθ
(1/4)∫[0, π/3](1/cos^4θ)dθ=(1/4)∫[0, π/3](1+tan^2θ)(tanθ)'dθ=(1/4)∫[0, √3](1+t^2)dt=(1/4)[t+t^3/3][0, √3]=√3/2
(1/4)[-2tanθ+4sinθ][0, π/3]=0
(1/2)∫[0, π/3]1/cosθdθ=(1/2)∫[0, π/3]cosθ/cos^2θdθ=(1/2)∫[0, √3/2]1/(1-t^2)dt=(1/4)[log(1+t)/(1-t)][0, √3/2]=(1/4)log(2+√3)^2=(1/2)log(2+√3)
2∫[0, π/3]cos^2θdθ=2∫[0, π/3](1+cos2θ)/2dθ=[θ+(1/2)sin2θ][0, π/3]=(π/3+√3/4)
S=√3/4+(1/2)log(2+√3)-π/3

>>353
頭が固い研究者だっているが、ここなら下手な研究者より
研究できるな。ほかスレはカスしかいないが、ここは普通
にマジでできる研究肌な奴が多い。

>>310
亀ﾚｽだが一応．
xs＝t と置換して h(x)＝∫[1，2]f(xs)ds．
後は自明．

元の問題を仮定は弱く，結論は強くのﾓｯﾄｰで小拡張すると，
f(x) は連続な狭義単調関数なら，x≠0 で h(x)＝g(x)/x， g(0)＝f(0) とおくと，
h(x) は (−∞，∞) で狭義単調関数となる．

× g(0)＝f(0)
○ h(0)＝f(0)

>>348
y=x^2-a
x=y^2-a
y-x=x^2-y^2=(x-y)(x+y)
(y-x)(x+y+1)=0
y=x, y=-x-1
x=x^2-a, x=(-x-1)^2-a
a=x^2-x=(x-1/2)^2-1/4, a=x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4
x^2-x=x^2+x+1
x=-1/2, a=3/4
3/4<a, 交点は4つ
-1/4<a≦3/4, 交点は2つ
a=-1/4, 交点は1つ
a<-1/4, 交点なし

>>344
x^2+y^2=cos^2aは原点中心半径cosaの円
xsinb+ycosb=cosbと原点との距離はcosb
共有点を2点持つからcosb<cosa
|b|<|a|
-90°<a<0, a<b<-a
または
0<a<90°, -a<b<a
あるいは
b^2<a^2より(a-b)(a+b)>0も

>>344
接するのはcosa=cosbすなわちa=±bのとき
接点は原点から直線に下ろした垂線の足H
直線はA(0, 1)を通りb=∠AOH（ただし第1象限を正第2象限を負とする）
常に∠OHA=90°であるから
HはOAを直径とする円周上の点
ただし原点を除く

質問です
x^3の係数が１のP(x)を(x-1)^2で割ると余りが2x+3、x-2で割ると4余るようなP(x)を求めよ

という問題なのですが
とりあえずxに1と2を代入してP(1)=5、P(2)=4と出してみてP(x)=x^3+ax+bx+cって置いてやろうと思ったのですが、
3式で連立しないと解けないなぁと、行き詰ってしまいました。
どなたか教えていただけないでしょうか。

>>361
P(x)=(x-a)(x-1)^2+2x+3
P(2)=4よりa=…

>>359
>共有点を2点持つからcosb<cosa
>|b|<|a|
>-90°<a<0, a<b<-a
>または
>0<a<90°, -a<b<a
>あるいは
>b^2<a^2より(a-b)(a+b)>0も
|b|>|a|
-90°<b<0, b<a<-b
または
0<b<90°, -b<a<b
あるいは
b^2>a^2より(a-b)(a+b)<0も

y=cos^2x+sinx(-π/6≦x≦π/2）
これをまとめて、y=-sin^2x+sinx+1　（-30°≦x≦90°）
sinx＝tとおくと、 -1/2≦t≦1　…�@

y=cos2x+sinx(０≦ｘ≦2π）
これをまとめて、y=-2sin^2x+sinx+1　（0≦x≦2π）
sinx＝tとおくと、-1≦t≦1　…�A

�@と�Aの違いについてですが、
まず、三角関数の値ってありますよね？sinπ/6なら1/2とか。
�@では、範囲がそのまま定義域に対応してますよね。
しかし、�Aでは、対応していない。三角関数の値に対応していたら、
0≦x≦0になってしまう。

これはなぜでしょうか、どう考えたらいいんでしょうか。

xの定義域に対して、tはただsinxの値域を表しているだけだから
別に疑問に感じることもないと思うけど

たとえばy=x^4-2x^2+1(-1<=x<=1)でt=x^2っておいたら
tのとりうる範囲は0から1って一瞬でわかるでしょ？

>>364
数学板とマルチ

>>359
ありがとうございます。
あるいはっていうのは　　
-90°<b<0, b<a<-b
または
0<b<90°, -b<a<b

らとの
同値条件ですか？

あれ？

|b|>|a|
-90°<b<0, b<a<-b
または
0<b<90°, -b<a<b
あるいは
b^2>a^2より(a-b)(a+b)<0も
が正解ですか？うん？？

黄チャート三週＋青チャート少しやったんだけど
次何に手を付けたらｲｲ？一対一かな？
ちなみに慶應経済目指してます

スレ間違えましたすいません

質問です。教えて下さい。

四面体OAPQにおいて、
|OA↓|=1、OA↓⊥OP↓、OP↓⊥OQ↓、
で∠PAQ=30°
(1)△APQの面積Sを求めよ。
(2)|OP↓|のとりうる値の範囲を求めよ。

です。お願いします。

>>371
AQの延長線上にQを取り直しても条件を満たすためSは任意の値を取る

0<OP<1/√3

数列の問題です。ａn=2nｰ1を満たすとき、Σ(n、k=1)18/ａn×ａn＋1を満たす整数nを求めなさい。
という問題ができません・・教えてください。

>>373
正確に書いて

>>374
数学の問題です。ａ[n]=2nｰ1を満たすとき、Σ(n、k=1)18/ａ[n]*ａ[n＋1]を満たす整数nを求めなさい。 という問題ができません・・教えてください。

Σ部分の書き方がわかりませんでした。これでお願いいたします。

8a^3−6a^2−3a＋2を因数分解したいのですがどうすればいいのかわかりません
教えてください　数値代入以外で

ＩＤの出ない数学板まじで無視率高いよ....


x^2-2<kxを満たすxはつねにx≧−√２を満たす。このようなkの最小値
を求めよ。これ求めたんですがK=0であってますか？適当にやってやっと
分かっただけなんですが

東大レベルらしいです。

>>376 ふつうは因数定理を利用し、数値代入して、
ひとつの有理係数の因数を見つけて、1次*2次の形に分けて
解くものだと思うが。スタンダードでない解き方をしたいなら
自己責任で考えるべき。

万一数I 範囲で課されたのなら、
(8a^3+2) - (6a^2+3a)
と分けて方針を立てることになるかな。

　

>>376
a=1/2を代入すると0となるので2a-1で割り切れる
8a^3-6a^2-3a+2=(2a-1)(4a^2-a-2)=(2a-1)(8a-1-√33)(8a-1+√33)/16

>>377
f(x)=x^2-kx-2
f(-√2)=k√2≧0, -√2≦k/2
k≧0

>>377
問題あってる？
xの範囲に上限があるか、x^2の係数が負だと思うんだけど。

>>381
あってますよ。問題おかしいですか？

>>377
「あるxについてx^2-2<kx ならば x≧-√2」　の対偶は
「任意のxについてx<-√2 ならば x^2-2≧kx」
量化子(ある〜、任意の〜)が入った命題は高校範囲外かもしれないが
知ってればごく初歩的な書き換え。

これを使うと、主張されている問いは
「x<-√2である任意のxについてx^2-2≧kxが成立している。
　これが成立するkの最小値を求めよ」と同値。

y=x^2-2の略図と、原点を通る直線(y=kx)で比較すれば
k≧0で成立し、k<0で成立しないのは明らかだから
kの最小値は0。

初見で即座に方針が立ち、3分で解ける問題は東大レベルとは言わない。

>>381問題を読み間違えてる。
x≧-√2である任意のxがx＾2-2<kxになる、とはこの問題は言っていない。

x＾2-2<kxであるようなxを見つけることができたとき、そのxは必ずx≧-√2を満たす、
というのが前半の主張。

あるkに対して、x≧−√2であるような範囲が存在できる
kを求めたい。

f(x)=kx-x^2+2
よって軸が−√２より大きくて、軸の頂点のyが0より大きく
f(-√2)≦0であればよい。このようなkの最小値はこの３つの
条件より0って、やっと考え出した。


対偶の考えスマートだな...メモります(’^-^’)

すみません、インテグラルの書き方が>>1を読んでもよく理解できなかったので、写真で失礼します。

数学�Vの微積です。
解き方がわからないので、よろしくお願いします!!


問題文
http://imepita.jp/20091005/652230

問
（1）xf"(x)+(x+2)f'(x)-f(x)=1
が成り立つことを示せ。

（2）f(x)は定数または一次式であることを示せ。

（3）f(x)およびg(x)を求めよ。

見づらくて大変申し訳ありませんが、よろしくお願いします!!

連続ですみません。
東京理科大の問題です。

平面上に定点Ｏ1を中心とする円Ｃ1と定点Ｏ2を中心とする円Ｃ2ｶﾞ

連続ですみません。
東京理科大の問題です。

平面上で定点Ｏ1を中心とする円Ｃ1と定点Ｏ2を中心とする円Ｃ2が点Ｐで外接している。
ここで、
Ｏ1Ｏ2＝１,
ＰＯ1＜ＰＯ2
とする。
Ｃ1,Ｃ2の共通接線のうち点Ｐを通らない接線の一方をｌとし、ｌとＣ1、Ｃ2との接線をそれぞれＴ1,Ｔ2とする。
直接Ｏ1Ｏ2とｌのなす角をθ（0＜θ＜π/2）とし、ＰＯ1＝ｔとするとき、以下の問に答えよ。

（1）sinθをｔで表せ。
（2）弧ＰＴ1＜弧ＰＴ2が成り立つことを示せ。
（3）tが1/2に限りなく近づくとき

（弧ＰＴ2ー弧ＰＴ1）/（ＰＯ2ーＰＯ1）
はどのような値に近づくか。



（2）からがわかりません。よろしくお願いします!!

>>386
(x(f(x)-1))'=f(x)-1+xf'(x)=2e^(-x)g(x)
(f(x)-1+xf'(x))'=2f'(x)+xf''(x)=-2e^(-x)g(x)+2e^(-x)g'(x)=-(f(x)-1+xf'(x))+2e^(-x)e^xf(x)
2f'(x)+xf''(x)+(f(x)-1+xf'(x))-2f(x)=0
xf''(x)+(x+2)f'(x)-f(x)=1

f(x)=ax+bのとき
xf''(x)+(x+2)f'(x)-f(x)=a(x+2)-(ax+b)=2a-b=1
f(x)=anx^n+…+a1x+a0 (an≠0, n≧2)のとき
x(n(n-1)anx^(n-2)+…+2a2)+(x+2)(nanx^(n-1)+…+a1)-(anx^n+…+a1x+a0)=1
x^nの係数は(n-1)an≠0より矛盾

f(x)=ax+(2a-1)
g(x)=∫[0, x]e^t(at+(2a-1))dt=[e^t(at+(2a-1))][0, x]-∫[0, x]ae^tdt=[e^t(at+a-1)][0, x]=e^x(ax+a-1)-(a-1)

>>388
1-t=t+sinθ
sinθ=1-2t

(PT2-(PT1=(1-t)(π/2-θ)-t(π/2+θ)=(1-2t)π/2-θ=(π/2)(sinθ-(2/π)θ)
0≦θ≦π/2でsinθは上に凸でありsinθ-(2/π)θ≧0（等号成立はθ=0, π/2のときのみ）
よって(PT2>(PT1

t→1/2-0でsinθ→+0, θ→+0
((PT2-(PT1)/(1-t-t)=(π/2)(sinθ-(2/π)θ)/sinθ=(π/2)(1-(2/π)θ/sinθ)→(π/2)(1-(2/π)・1)=π/2-1

サイコロをn個同時に投げる時、出た目の数の和がn＋3になる確率を求めよ。



解答みても意味不明です。めちゃくちゃ詳しく解説お願いします。

京大の問題です。

でる目全部１でも和はｎ
ｎ―１個１で１個だけ２なら和はｎ+1
・・・・と考えたら？

1＋1＋…(1をn回足す)…+1=n
これより、さいころの目は1以上6以下の整数であることを踏まえると、
i) 2の目が3つで残りは1、ii) 3の目が一つ2の目が一つで残りは1、iii) 4の目が一つで残りが1
のいずれかで、それぞれ排反だから（以下略

>>389
実際に代入して計算するとa=1となり
f(x)=x+1
g(x)=xe^x

>>391
n+3をn個に分割する総数は(n+2)C(n-1)=n(n+1)(n+2)/6通り
求める確率はn(n+1)(n+2)/6^(n+1)

>>356
確かに平均の差は自明ですな

2のb分のa乗＝3

だとしたら

2のa乗＝3のb乗

になるのはなぜでしょうか？
初歩的すぎるかもしれませんがよろしくお願いします。

>>397
分数乗は指数法則 (a^b)^c = a^(bc) が成り立つように定義されている。

2^(a/b)=3 の両辺をb乗したら、
左辺=(2^(a/b))^b = 2^((a/b)*b) = 2^a
右辺=3^b

>>398
ありがとうございます
おかげさまで解決しました

東大０８�E番
問題　http://imepita.jp/20091006/062820
解答 http://imepita.jp/20091006/063200
自分の解答 http://imepita.jp/20091006/063650
http://imepita.jp/20091006/063940
>>338-339
と同じようなことで悩んでます。
>>338の場合は傾きがたまたまtanθになり、グラフが書けました。
二回微分しても交わるか交わらないかはtanθに気づかないと解らない。
>>339の場合は二回微分してやっと交わらないことが解りました
今度のはどうでしょう？二回微分して見ましたが、よく符号が解りません。
この大数の解答は理解はできましたが初見で受け入れにくいです。
ほかにやり方はないですか？
また今悩んでいることは媒介変数表示の時に、
グラフがキチンと書けるかですが、それは多分凹凸が解らない時
（二回微分のとき符号がわからない、解っても>>338のようになる）
にはどうゆうことに気をつければいいんですか？

質問お願いします。
問題は、sin4θ+sinθ=0　という方程式を解くというもので、

sin4θ=sin(-θ)
4θ=-θ+2nπまたはπ-(-θ)+2nπ
したがって、θ=(2/5)nπまたは(π/3)+(2/3)nπ

と、解答にあります。
どうして4θ=-θ+2nπまたはπ-(-θ)+2nπ
から
θ=(2/5)nπまたは(π/3)+(2/3)nπという答えになるのかが分かりません。
それと、これとは異なる解法があったら教えていただきたいのですが…
例えば与式のsin4θを変形して導きだす方法とか。（自分でやってみたけどできませんでした）

よろしくお願いします。

>>401
sinθの値の特徴を考慮した後の計算が出来てるから後は普通の計算をして良い
4θ=-θ+2nπ
4θ-(-θ)=2nπ
これで両辺を５で割れば

4θ=π-(-θ)+2nπ
4θ-(θ)=π+2nπ=　(2n+1)π
後は両辺を３で割れば

もうそちらでやってしまったかもしれないけど、cosθとsinθの二倍角からcosθのみの関数に直す方法は
実在するものの、角度に直せない数値になる解が出てしまったからこれは角度の一致による解法しかないかな

和積公式

次の範囲を求めよ

*1 0≦x＜2π
*2 π/2＜x＜3/2π

どうやってとくの？

お前は何を言ってるんだ。

>>404
sinとかcosの式はないのか？w

>>389-390 >>392
御礼が遅くなり申し訳ありません。
ありがとうございます。解決しました!!

>>400
P(a, a^2), Q(b, b^2)
(a^2-b^2)/(a-b)=a+b=m
(a-b)^2(1+m^2)=((a+b)^2-4ab)(1+m^2)=(m^2-4ab)(1+m^2)=L^2
ab=(m^2-L^2/(1+m^2))/4
k=(a^2+b^2)/2=((a+b)^2-2ab)/2=m^2/2-(m^2-L^2/(1+m^2))/4=(m^2+L^2/(1+m^2))/4

k=(1+m^2+L^2/(1+m^2)-1)/4≧(2L-1)/4
等号成立はL=1+m^2よりL≧1のときの最小値は(2L-1)/4
0<L<1のとき
k=((1-L^2)(1+m^2)+L^2((1+m^2)+1/(1+m^2))-1)/4
(1-L^2)(1+m^2)≧1-L^2 （等号成立はm=0）
L^2((1+m^2)+1/(1+m^2))≧2L^2 （等号成立はm=0）
よって最小値はL^2/4

>>400
大数のやり方をまず最初に考えるのが賢い選択．
でも大数のやり方はｸﾞﾗﾌの概略の求め方がｱﾊﾞｳﾄすぎ．
ｸﾞﾗﾌは分からなくても，以下のやり方が簡単．

ｘ＝f(t)，y＝g(t) (a≦t≦b) で表わされる曲線を C とする．
ただし，f(t) 及び g(t) は微分可能で，
(f(a)，g(a))＝(f(b)，g(b)) で，さらに，任意の a≦s＜t≦b なる s，t に対して
(f(s)，g(s))≠(f(t)，g(t)) が成り立つとする．
このとき，曲線 C で囲まれる図形の面積 S は
S＝|∫g(t) f’(t) dt | となる．

>>400
m=0のとき1は1で割り切れ3で割り切れない
m=1のとき111は3で割り切れ9で割り切れない
mで成立するとき
□(m+1)=(10^(2・3^m)+10^3^m+1)□mであり
10^(2・3^m)+10^3^m+1は3で割り切れ9で割り切れないので
m+1で成立する

n=27kのとき□nは□27で割り切れるから□nは27で割り切れる
n=27k+rのとき□n=10^r□(27k)+□rより
□nが27で割り切れる ⇔ □rが27で割り切れる
（□0=0に注意）
同様の考察で
□nが9で割り切れる ⇔ nを9で割った余りrについて□rが9で割り切れる
も成立するが
0<r<9であるrについて□rは9で割り切れないので
□nが9で割り切れる ⇔ nが9で割り切れる
が成立する
よって0<r<27であるrのなかでr=9, 18について27で割り切れないことが分かれば証明は終了する
□9は9で割り切れるが27で割り切れないことが証明されている
□18=(10^9+1)□9で10^9+1は3で割り切れないので27で割り切れない

補足すると，例の東大の問題では，0≦t≦π 及び π≦t≦2π
でこの条件を満たしており，
ｸﾞﾗﾌを描かないで
S＝|∫[0，π]y (dx/dt)dt |＋|∫[π，2π]y (dx/dt)dt | で良い．
t＝π/2，3π/2 という余分な値は必要ない．

>>400
0<t<πでy>0
π<t<2πでy<0
0<t<πの範囲で同じx座標を取るtの値をt1<π/2<t2とすると
x=cos2tがt=π/2で対象なグラフであることよりt2=π-t1
よってそれらのy座標はt1sint1=t1sint2<t2sint2となるので
0<t<π/2の部分よりπ/2<t<πの部分が上になる
同様の考察でy<0の部分において
π<t<3π/2の部分より3π/2<t<2πの部分が下になる
よって求める面積は
S=∫[0, π]yx'dt-∫[π, 2π]yx'dt
∫yx'dt=∫tsint(-2sin2t)dt=-4∫tsin^2tcostdt=-(4/3)∫t(sin^3t)'dt=-(4/3)tsin^3t+(4/3)∫sin^3tdt=-(4/3)tsin^3t+(4/3)∫(1-cos^2t)sintdt=-(4/3)tsin^3t-(4/3)cost+(4/9)cos^3t
よって
S=[-(4/3)tsin^3t-(4/3)cost+(4/9)cos^3t][0, π]-[-(4/3)tsin^3t-(4/3)cost+(4/9)cos^3t][π, 2π]=16/9-(-16/9)=32/9

>>400
（7はよく読めませんが）
∫[-1, 1?](x^2-(a+b)x+ab)dx=2[x^3/3+abx][0, 1]=2(1/3+ab)=1
ab=1/6
S=∫[0?, a](x^2-(a+1/(6a))x+1/6)dx=[x^3/3-(a+1/(6a))x^2/2+(1/6)x][0, a]=a^3/3-(a+1/(6a))a^2/2+(1/6)a=-a^3/6+a/12

S'=-a^2/2+1/12=0
a=1/√6で極大（最大）値S=1/(18√6)

亀レスすいません
>>402さん
ありがとうございました。
おかげさまで解決できました。
ご丁寧に解答していただいたのにレスが遅れてすいません。

>>403さん
ああ、それでもいけますね。
ありがとうございました。

方程式
2X^3+3X^2-12X-K=0
は異なる3つの実数解α､β､γをもつとする。α＜β＜γとするとき、
(1)定数Kの値の範囲を求めよ
(2)-2＜β＜-1/2 となるとき、α､γの値の範囲を求めよ

という問題で、(2)がよく分かりません。
解答では、「f(X)=2X^3+3X^2-12Xとして、f(X)=KがX=-1/2を解に持つとき K=13/2
このとき、f(X)=K ⇔ X=-1/2､-1/2±3√3/2
また、f(X)=20 ⇔ X=-2､5/2
よって、-1/2-3√3-/2＜α＜-2、-1/2+3√3/2＜γ＜5/2」
となっているんですが、なぜXに-1/2を代入し、なぜそこから出たKの値を用いてf(X)=Kとf(X)=20を出したのかがよくわかりません。
(1)で-7＜K＜20と出たのですが、それでf(X)=20を求めたんでしょうか；なら-7は････？

どなたかお願いします＞＜
(できればグラフの等間隔性とか以外で･･･)

>>415
y=f(x)は／＼／という形。
y=f(x)とy=kの交点を考えているわけで、
交点を3つ持つのはy=kがどこにある場合なのかを考えているのが(1)。
で、その場合βはグラフの＼の部分にある交点のx座標。
これが-1/2より小さいということはkの値はβが-1/2となるときより大きくならなければならい。
なので-7のほうは考える必要がない。
また、kが20以上になってしまうと3つの実数解を持たなくなってしまう。
とりあえず、k=20のときを調べてみたらピッタリじゃんってことかと思う←ここはよくわからない。

>>415
-7＜K＜20 のとき α，β，γ を k の（1価）関数となり，
グラフより α，γは（狭義）単調増加で βは（狭義）単調減少．

× α，β，γ を k の（1価）関数
○ α，β，γ をはk の（1価）関数

もういいか．．．

>>415
y=2x^3+3x^2-12x
y'=6x^2+6x-12=0
x=-2, 1
y=20, -7
y=kと3つの交点を持つのは-7<k<20の範囲

x=-2でy=20
2x^3+3x^2-12x=20
2(x+2)^2(x-5/2)=0
x=-2, 5/2
x=-1/2でy=13/2
2x^3+3x^2-12x=13/2
2(x+1/2)(x^2+x-13/2)=0
x=-1/2, (-1±3√3)/2
(-1-3√3)/2<α<-2, (-1+3√3)/2<γ<5/2

>>412
0≦t≦2πで同じx座標を取るのは
x=cos2tとなる0≦t≦π/2の範囲のtに対して
π/2≦π-t≦π
π≦π+t≦3π/2
3π/2≦2π-t≦2π
これらのy座標は
y2=(π-t)sin(π-t)=(π-t)sint≧y1=tsint≧0≧y3=(π+t)sin(π+t)=(π+t)sin(2π-t)≧y4=(2π-t)sin(2π-t)
y2-y1=(π-2t)sint=(2t-π)sin(2π-t)=y3-y4
S=∫[-1, 1](y2-y1)dx+∫[-1, 1](y3-y4)dx=2∫[-1, 1](y2-y1)dx=2∫[0, π]yx'dt=32/9

>>410
>m=0のとき1は1で割り切れ3で割り切れない
>m=1のとき111は3で割り切れ9で割り切れない
>mで成立するとき
>□(m+1)=(10^(2・3^m)+10^3^m+1)□mであり
>10^(2・3^m)+10^3^m+1は3で割り切れ9で割り切れないので
>m+1で成立する
m=0のとき1は1で割り切れ3で割り切れない
mで成立するとき
□(3^(m+1))=(10^(2・3^m)+10^(3^m)+1)□(3^m)であり
10^(2・3^m)+10^3^m+1は3で割り切れ9で割り切れないので
m+1で成立する

清書屋ゥｻﾞ

>>410
同様にして一般に3^m|□n ⇔ 3^m|n

x^3-1=0の異なる3個の解をa,b,c とし、Ａ＝(a-b)(a-c)(b-c)とする。このとき、A^2を求めよ
この問題を教えてください。

>>425
とりあえず、A^2をa、b、cで表すとどうなるの？

>>425
先にx^3-1を因数分解してみた方がいいかも知れない。

-81とかになってしまった。

-27だった。どっちみち合っている気はしない。

x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0
x=1, ω, ω^2 (順にa, b, cとする)

A=(1-ω)(1-ω^2)(ω-ω^2)
=(1-ω)(2+ω)(1+2ω)
=(2-ω-ω^2)(1+2ω)
=3(1+2ω)

A^2=9(1+2ω)^2
=9(1+4ω+4ω^2)
=9*(-3)
=-27

>>425

f(x)＝(x−a)(x−b)(x−c) とおくと
{(a-b)(a-c)(b-c)}^2＝{−f’(a)} {−f’(b)} {−f’(c)}

# 元ﾈﾀは「差積の平方は対称式」

sinxの次の範囲を求めよ

*1 0≦x＜2π
*2 π/2＜x＜3/2π

どうやってとくのですか？

ちなみに>>425のA^2は判別式

>>416-420
415です。わかりやすい解説ありがとうございます！

>>416さん
¨これが-1/2より小さいということはkの値はβが-1/2となるときより大きくならなければならい ¨

とあるんですが、どうしてそうなるんでしょうか？；
理解力なくてすみません；

>>432
単位円を書いて最大、最小を考える。

行列でAA=A^2ですが
A^(-1)A^(-1)はどうなるんですか？
A^(-2)になったりはしませんよね？？

>>425です。皆さんありがとうございます。
>>430
x=1, ω, ω^2の原理がチャート見てもよくわからなかったのですがどなたか詳しく教えていただけませんか？

>>437
1の3乗根は、1とωとω^2。

>>437
x^3=1
x^3-1=0
(x-1)(x^2+x+1)=0
x=1またはx^2+x+1=0
x=1またはx=(-1±√3)/2　（←後半は解の公式利用）
ω=(-1+√3)/2とおくと、ω^2=(-1-√3)/2　（←じっさい計算するといい）
よって、x=1,ω,ω^2

>>436
A^(-2) の定義をどう考えているのか，自らに問うてみようでは内科

>>439あ、√3iの間違い

ωを3乗すると1になるなら、ω^2を3乗しても1になる。
ω≠1なのでω≠ω^2。

http://imepita.jp/20091007/283410
http://imepita.jp/20091007/283640
これの鉛筆で囲った部分の式変形がわからないのですが、お願いします

>>443
ただの合成と和積。
両方教科書なり参考書なりで確認のこと。

>>443
cosの合成って教科書に載ってないと思ったんだけど

確認したんか？

a>0 b>0 c>0、a+b+c=1のとき、 ab+bc+ca≦1/3　 a^3+b^3+c^3≧1/9の成立を示せ。

良く分りません、誰か教えてください

>>447
ab+bc+ca=((a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2))/2=(1-(a^2+b^2+c^2))/2
(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)≧(a+b+c)^2=1
a^2+b^2+c^2≧1/3
ab+bc+ca≦(1-1/3)/2=1/3

a^3+b^3+c^3=(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)≧（a^2+b^2+c^2)^2≧1/9

円x^2＋y^2=r^2上の点(a,b)における接線はax＋by=r^2になるのはなぜ？

数列{ａn}の初項ａ1から第n項ａnまでの和をＳnと表す。この数列がａ1=0,ａ2=1,(n-1)2(n-1の二乗)*ａn=Ｓn(n≧1)を満たす時,一般項ａnを求めよ。

変形して(n+1)*ａn+1=(n-1)*ａn からどう解いたらよいのか、教えて頂けると有り難いです。解答をみても理解できませんでした。

>>449
原点をO、点(a,b)をAとすると、Aを通りOAと垂直な直線が求める接線。

>>450
> (n-1)2(n-1の二乗)
なにこれ？

>>450
ちょっと知られてる数列。覚えておいたほうがいい
n(n+1)a[n+1]=n(n-1)a[n]とnを補って考えると・・・

>>453
450ですが解決しましたわ ありがとう

質問です。
連続する自然数で和が1000になるものを求めよ。
です。
整数問題苦手なのでお願いします。

>>455
自然数aから自然数bまでのすべての自然数の和は？

初項の自然数をk、連続する数をn+1とする
つまりk+(k+1)+...+(k+n)=1000
となる組(k,n)を考える
数列の和の公式（S=項数×(初項+末項)÷2）から(1/2)(k+k+n)(n+1)=1000変形して
(2k+n)(n+1)=(2^4)*(5^3)
n+1が偶数か奇数かで場合わけ

>>456 457さん
整数問題
ありがとうございました!とっても分かり易くてスッキリしました!!

>>409
>(f(a)，g(a))＝(f(b)，g(b)) で，さらに，任意の a≦s＜t≦b なる s，t に対して
>(f(s)，g(s))≠(f(t)，g(t)) が成り立つとする．
>このとき，曲線 C で囲まれる図形の面積 S は
>S＝|∫g(t) f’(t) dt | となる．

やはり>(f(a)，g(a))＝(f(b)，g(b)) で，さらに，任意の a≦s＜t≦b なる s，t に対して
>(f(s)，g(s))≠(f(t)，g(t)) が成り立つとする．
は証明しなきゃいけないですね。後こんな公式見たことないんですが、これ公式ですか？
＞ｸﾞﾗﾌを描かないで 、S＝|∫[0，π]y (dx/dt)dt |＋|∫[π，2π]y (dx/dt)dt | で良い．
普通グラフを書いて上と下の関係を見て符号を考えると思うんですが(面積を求める際簡単なグラフは必須と教えられました)
、ここでは｜絶対値｜を付ける事と
>(f(a)，g(a))＝(f(b)，g(b)) で，さらに，任意の a≦s＜t≦b なる s，t
を考えることによってグラフの上下関係が変化しない事で
S＝|∫[0，π]y (dx/dt)dt |＋|∫[π，2π]y (dx/dt)dt |
が言えると思うんですが、見たことない解法でやはり大学の教科書とかに載ってるのかなぁ
と思いました。

>>412
>0<t<πの範囲で同じx座標を取るtの値をt1<π/2<t2とすると
>x=cos2tがt=π/2で対象なグラフであることよりt2=π-t1
>よってそれらのy座標はt1sint1=t1sint2<t2sint2となるので
>0<t<π/2の部分よりπ/2<t<πの部分が上になる

大数の解答>>400といい>>412さんの解答は何で２回微分をせずこの解答にいたったのですか？
２回微分して符号ワカンね！ってなった後にこの解答にいたりましたか？
読むと理解はできますが、これをしようと思った動機が全くわかりません。
そして大数解答同様見慣れないです。

>>460
上下関係＝大小だからです

>>459
>これ公式ですか？
準公式として使われることがありますが
厳密には線積分ですので範囲外とも言えるでしょうか
意味合いは区分求積法で分かるでしょうが

>>459
グラフの上下関係自体は本質的ではなく，上下関係が変化しないことが本質的。
これには関数の連続性が関わっている。

>>463は誤解を招くので無視して呉。
ｸﾞﾗﾌの上下とかではなく、要するに「ジョルダンの閉曲線」の話。

>>459
もっと分かり易い例でいうと，

2つの連続関数 y＝f(x)，y＝g(x) が相異なる2つの共有点を持ち，
そのx座標をα，βとする．
この2曲線で囲まれた部分の面積Sは

S＝|∫[α，β] { f(x)−g(x) } dx |

となる．

# α，βの大小すら考慮しなくていい．

3^m-2^n=5

を満たすm,n(m,nは正の整数)を全て求めよ
という問題です。
余りに注目してnが偶数なのはわかったんですが、無限にある気がしてなりません。

どのように求めたら良いでしょうか
お願いします。

>>466
3^m-5=2^n
⇔3^m+3=2^n+8…☆
(あ)n=1のとき☆を満たすmは存在せず不適
(い)n=2のときm=2
(う)n≧3のとき☆の右辺は8の倍数
また3^2=9=8+1より3^mを8で割った余りは1か3である
よって☆の左辺を8で割った余りは4か6となるので☆を満たすmは存在せず不適
以上(あ)〜(う)よりm=n=2

1行目は3^m-2^n=5だったｗ
まあ同じだけど

てか2^n=3^m-5で考えた方が簡潔だったわｗｗ
方針は同じ

>>448
すいません、質問した>>447ですが、二行目と五行目の変形が良く理解できません。
もう少し詳しく教えていただけないでしょうか？

コーシーーシュワルツの不等式
(ax+by+cz)^2≦(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)
詳しくはググレ

>>471
あぁ！　すっかり忘れてました、ありがとうございます。

a(k+1)-a(k)=a(1)
⇔�納l=1､k-1]｛a(l+1)-a(l)｝=�納l=1､k-1]a(1)

この変形(解き方?)がよくわかりません。どうして両辺に和をとるのでしょうか？
解説には、"階差数列なので、両辺に和をとった"とあるのですが、？状態です

a(l)-a(1)=�納l=1､k-1]｛a(l+1)-a(l)}
を使いたいからだな、多分

>>467さん

ありがとうございました!

>>474さん
解答では、その後普通に解いて、
a(k)=k*a(1)
となってます；

ちなみにその後は、
a(k)=k*a(1)に、k=nを代入すると、
a(n)=n*a(1)
⇔1=n*a(1) ←問題文よりa(n)=1
⇔a(1)=1/n

よって、a(k)=k/n


どうしたら和をとるという発想ができるんでしょうか；

発想というか
階差数列からもとの数列を知るには和をとる
これは教科書レベルの基本事項、公式もあるでしょう

>>465
それは
有　　効　　数　　字　　3　　桁　
http://changi.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1233994348/101-200
によくあるようなミスでも絶対値を付ければマルになってしまうものも含まれるので、
安易に記述答案で使えなくないですか？

>>462
＞意味合いは区分求積法で分かるでしょうが
S＝∫[α，β] ｜ f(x)−g(x) ｜ dx
なら 区分求積法で解りますが、＞S＝|∫g(t) f’(t) dt | となる
のは区分求積法では良くわからないのですが。

過去ログが読めないとあれなのでちょっとだけ張ります。３９レスみたいな場合です
38 ：名無しなのに合格：2009/02/23(月) 02:49:13 ID:ZxXDqudsO
有効数字三桁
↓
小数第三位

勘違いした！
オワタ＼(^_^)／


39 ：名無しなのに合格：2009/02/23(月) 07:57:35 ID:16VHtahA0
積分の答えが何故か負になる。見返せば計算の嵐。試験時間は後1分。

- を 消 し て 提出した。


40 ：名無しなのに合格：2009/02/23(月) 09:45:53 ID:BopRwDkUO
●�A�B�C
●�A�B�C
●�A�B�C
●�A�B�C





不　安　に　な　る

1からnまでかかれたボールを別々に3コ取り出したときの最大最小値の差がkとなるときの確率と期待値を求めよ。
どなたかお願いします

>>480
差がkになる組み合わせは何通り取れるか。
残った1つはどの範囲であればよいか。
を考える。

曲線y=sinx（0〜π）と（0,0）、（π、0）での
この曲線の接線とで囲まれた図形を直線y=x
のまわりに回転してできる体積を求めよ。

これって傘型分割以外にやり方ありますか？

曲線y=sinx（0〜π）と（0,0）、（π、0）での
この曲線の接線とで囲まれた図形を直線y=x
のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。

です

点と直線の距離2連発でできない?

質問です

a(1)=1
a(n+1)=a(n)^2-2n*a(n)+4n

一般項a(n)を求めよ

右辺に変数の二乗が含まれている時の処理の仕方がわかりません
お願いします

a_2=1-2+4=3
a_3=9-4*3+4*2=9-12+8=5
a_4=25-30+12=7

つまり奇数の数列ではないかと予想できるので
あとは帰納法で示す

>>486
なるほどその方法がありましたか
ありがとうございます！

暇な方
数学が好きな方
どなたか解いてくだし
全部解き終えたんですが答を学校に忘れてしまったもので・・・

http://uproda11.2ch-library.com/11204046.zip.shtml

>>480
別々にということは復元抽出で同じ数字が出ることもあり得るということでしょうか？それとも復元せずに3個を順に取り出すという意図でしょうか
前者の場合取り出し方の総数はn^3
k=0〜n-1に対して条件に合致する取り出し方が
k=0のときはn通り
k>0のときは2(k+k+1+k-1)(n-k)=6k(n-k)通り
期待値は0・n/n^3+Σ[k=1, n-1]k・6k(n-k)/n^3=3Σ[k=1, n-1](k+n-k)k(n-k)/n^3=(n^2-1)/(2n)
後者の場合取り出し方の総数はnP3
k=2〜n-1に対して条件に合致する取り出し方が6(k-1)(n-k)通り
期待値はΣ[k=2, n-1]k・6(k-1)(n-k)/(n(n-1)(n-2)/6)=Σ[k=1, n-1]k・6(k-1)(n-k)/(n(n-1)(n-2))=3Σ[k=1, n-1](k-1+n-k-1)k(n-k)/(n(n-1)(n-2))=(n+1)/2

>>483
(0, 0)での接線がy=x
(π, 0)での接線がy=-x+π
y=sinx上の店(x, sinx)とこれらの直線の距離は
s=(x-sinx)/√2, t=(π-x-sinx)/√2
求める体積V=π∫[π, 0]s^2・dt/dx・dx=(π√2)/4∫[0, π](x-sinx)^2(1+cosx)dx
∫(x-sinx)^2(1+cosx)dx=∫(x-sinx)^2(2-1+cosx)dx=2∫(x^2-2xsinx+sin^2x)-∫(x-sinx)^2(x-sinx)'dx=(2/3)x^3+4xcosx-4sinx+x-(1/2)sin2x-(1/3)(x-sinx)^3
V=(π√2)/4・((2/3)π^3-4π+π-(1/3)π^3)=(√2/12)π^2(π^2-9)

>>488
f'(x)=(2a-x)e^x=0
x=2aで極大値e^(2a) (f''(2a)<0)
e≧e^(2a)
1≧2a
a≦1/2

6・1・4・1・2・1/6!=1/15
(6・1・4・2・2・1+6・4・2・1・2・1+6・4・2・1・2・1)/6!=2/5
3・(1/15)+1・(2/5)+0・(6・4・2・2・2・1)/6!+2(1-1/15-2/5-4/15)=17/15

>>488
(-1)^3+a(-1)^2+6(-1)+a+1=0
a=3

x^3+3x^2+6x+4=(x+1)(x^2+2x+4)=0
x=-1, -1±i√5
a+b=-2, ab=4
b/a+a/b=(a^2+b^2)/(ab)=(a+b)^2/(ab)-2=-1
(b/a)^3+(a/b)^3=(b/a+a/b)^3-3(b/a)(a/b)(b/a+a/b)=(-1)^3-3(-1)=2
(b/a+a/b)((b/a)^n+(a/b)^n)=(b/a)^(n+1)+(a/b)^(n+1)+(b/a)^(n-1)+(a/b)^(n-1)
t[n+1]+t[n]+t[n-1]=0
t[n]+t[n-1]+t[n-2]=0
t[n+1]=t[n-2]
t[3n]=t[0]=2
t[3n+1]=t[1]=-1
t[3n+3]=t[2]=-(t[1]+t[0])=-1

>>492
X=2　となる可能性はあるんですか？

>>493
x=-1, -1±i√5 ⇒-1, -1±i√3

じゃないですか

>>488
t=(3t-4)/(t-1)を解くとt=2
a[1]>2より帰納的にa[n]>2
c[n]=a[n]-2と置くと
c[n+1]+2=(3(c[n]+2)-4)/(c[n]+2-1)
c[n+1]=c[n]/(c[n]+1)
1/c[n+1]=1+1/c[n]=n+1/c[1]=n+2
a[n]=c[n]+2=2+1/(n+1)

b[1]=((2-1)3^2+3)/4=3
b[n]=((2n-1)3^(n+1)+3)/4-((2n-3)3^n+3)/4=n・3^n (n>1)
これはn=1のときも成立

(2+1/(n+1))/(n・3^n)=(2n+3)/(n(n+1)3^n)=p/(n・3^n)-q/((n+1)3^(n+1))=(3p(n+1)-nq)/(n(n+1)3^(n+1))
6n+9=(3p-q)n+3p
p=q=3

Σ[n=1, k]a[n]/b[n]=3Σ[n=1, k](1/b[n]-1/b[n+1])=1/b[1]-1/b[k+1]→Σ[n=1, ∞]a[n]/b[n]=1/b[1]=1/3

>>493
>X=2　となる可能性はあるんですか？
X=2とは？

>x=-1, -1±i√5 ⇒-1, -1±i√3
その通りでした

>>Σ[n=1, k]a[n]/b[n]=3Σ[n=1, k](1/b[n]-1/b[n+1])=1/b[1]-1/b[k+1]→Σ[n=1, ∞]a[n]/b[n]=1/b[1]=1/3
最後の答
3をかけ忘れてませんか？

>>X=2とは？
得点Ｘをkとするわけで
k=2となるときは必然的にk=3になるんじゃないんですか

あとＸ=1の求め方教えてください

>>488
∫e^(2x)dx=(1/2)e^(2x)
∫logxdx=∫x'logxdx=xlogx-∫x・1/xdx=xlogx-∫1dx=xlogx-x
∫(logx)^2dx=∫t^2e^tdt (t=logx, x=e^t, dx=e^tdt)
=(t^2-2t+2)e^t=x(2-2logx+(logx)^2)

π∫[e^t, e^(t+1)](logx)^2dx=π(((t+1)^2-2(t+1)+2)e^(t+1)-(t^2-2t+2)e^t)=π((t^2+1)e^(t+1)-(t^2-2t+2)e^t)=π((e-1)t^2+2t+e-2)e^t

π∫[t, t+1](e^y)^2dy=(π/2)(e^2-1)e^(2t)

V1/V2=2/(e^2-1)((e-1)t^2+2t+e-2)e^(-t)
d(V1/V2)/dt=2/(e^2-1)(-(e-1)t^2+2(e-2)t-(e-4))e^(-t)=0
(e-1)t^2-2(e-2)t+(e-4)=0
t=(e-2)±√((e-2)^2-(e-1)(e-4))=(e-2)±√e=-, +
t=e-2+√eの前後でd(V1/V2)/dt= +, 0, -より極大（最大）値を取る

>>(e-1)t^2-2(e-2)t+(e-4)=0
t=(e-2)±√((e-2)^2-(e-1)(e-4))=(e-2)±√e=-, +
t=e-2+√eの前後でd(V1/V2)/dt= +, 0, -より極大（最大）値を取る

(e-2)±√e　⇒　((e-2)±√e)/(e-1)

>>496
>>>Σ[n=1, k]a[n]/b[n]=3Σ[n=1, k](1/b[n]-1/b[n+1])=1/b[1]-1/b[k+1]→Σ[n=1, ∞]a[n]/b[n]=1/b[1]=1/3
>最後の答
>3をかけ忘れてませんか？
その通りでした

>>>X=2とは？
>得点Ｘをkとするわけで
>k=2となるときは必然的にk=3になるんじゃないんですか
確かにそうですね
>>491
>3・(1/15)+1・(2/5)+0・(6・4・2・2・2・1)/6!+2(1-1/15-2/5-4/15)=17/15
3・(1/15)+1・(2/5)+0・p0=3/5ですね
p0=(6・4・2・2・2・1+6・4・2・2・2・1)/6!=8/15でした

>あとＸ=1の求め方教えてください
6枚引くうちの2, 4, 6枚目のどれかだけがその直前と同じになるので
2枚目の場合が6・1・4・2・2・1
4枚目の場合が6・4・2・1・2・1
6枚目の場合が6・4・2・1・2・1
と考えました

ＰＣで書くの大変ですよね；；
すみません

X=1のとき
11→23→23×3通り
これが22、33についても同様のことが言えるので
Ｃ[2,2]/Ｃ[6,2]・Ｃ[2,2]/Ｃ[4,2]・3・3＝1/10

ではどこが間違ってるんでしょうか;;
だめなのかなこれ・・・

xy(y-x)z+(x+y)(x-y)
＝(x-y)(x+y-xyz)

になるのはどうしてですか？

xy(y-x)z+(x+y)(x-y)
＝(x-y)(x+y-xyz)

左辺=-xyz(x-y)+(x+y)(x-y)
=(x-y)(-xyz+x+y)=右辺
ただの因数分解

>>503
ありがとうございます
わかいました

む〜
(b/a+a/b)((b/a)^n+(a/b)^n)=(b/a)^(n+1)+(a/b)^(n+1)+(b/a)^(n-1)+(a/b)^(n-1)
t[n+1]+t[n]+t[n-1]=0
t[n]+t[n-1]+t[n-2]=0
t[n+1]=t[n-2]
t[3n]=t[0]=2
t[3n+1]=t[1]=-1
t[3n+3]=t[2]=-(t[1]+t[0])=-1
がよくわかりませぬ＞＜

age

あげ

>>501
11は1通りですが23は4通りあります
(2C2/6C2)・(2C1・2C1/4C2)・3・3=2/5

>>501
Ｃ[2,2]/Ｃ[6,2]・【Ｃ[2,2]/Ｃ[4,2]】・3・3＝1/10

2,2,3,3から2枚取り出したとき、それが2,3である確率
Ｃ[2,1]Ｃ[2,1]/Ｃ[4,2]

>>505
(a/b)^n+(b/a)^nの値を数列ｔ[n]で表すと、t[n+1]+t[n]+t[n-1]=0 から連続する3項の和=0
「1項目、2項目、3項目の和」、「2項目、3項目、4項目の和」は共に0って事は、
1項目と4項目は同じ数。同じように色々試してみれば分かると思うけど、
この数列ｔ[n]の値は3つ毎に同じ数になる。これを式にしたのがt[n+1]=t[n-2] まで。
結果、ｎが3の倍数のとき、nが3で割ると1余る数の時、ｎが3で割ると2余る数の時
ｔ[n]はそれぞれ同じ数を取り、その数を最後3行で求めている。

これが分かりにくいようなら、t^2+2t+4=0の2解は、2ω、2ω^2だから
(a/b)^n+(b/a)^n=ω^n+(1/ω)^n
とするのも1つの解法。（ωはx^3=1の虚数解）

以上、通りすがりでした。

>>488
G=(A+B+C)/3=(2/3, 1/3, 2/3)
D=G/3=(2/9, 1/9, 2/9)

H=pA+qB+rC, p+q+r=1
HH=HA=HB=HC
h^2=4p^2+q^2+4r^2=4p=q=4r
p+4p+p=6p=1
p=1/6
(p, q, r)=(1/6, 2/3, 1/6)
h^2=4/36+4/9+4/36=6/9
h=(√6)/9
H(1/3, 2/3, 1/3)

半径は(2/3)h=(2/9)√6
v=P-Dとおくとvv=8/27
P(P-A)=(v+D)(v+D-A)=vv+v(2D-A)+D(D-A)=v(2D-A)-1/27
2D-A=(-14/9, 2/9, 4/9)
v=t(2D-A), t>0の場合が最大
8/27=(216/81)t^2
t=1/3
maxP(P-A)=1/3(216/81)-1/27=23/27

>>488
dx/dt=(√3)/4(1+1/t^2)

(√3)/4(t-1/t)=0
t^2-1=0
t=±1
(√3)/4(t-1/t)=1/2
t^2-(2/√3)t-1=0
t=1/√3±√(1/3+1)=(1±2)/√3=√3, -1/√3

∫[0, 1/2]√(x^2+3/4)dx=∫[1, √3]√((3/16)(t-1/t)^2+3/4)(√3)/4(1+1/t^2)dt=∫[1, √3]√((3/16)((t-1/t)^2+4))(√3)/4(1+1/t^2)dt=∫[1, √3]√((3/16)(t+1/t)^2)(√3)/4(1+1/t^2)dt=∫[1, √3](3/16)(t+1/t)(1+1/t^2)dt
=(3/16)[t^2/2+2logt-(1/2)1/t^2][1, √3]=(3-1)/2+2log√3-(1/2)(1/3-1)=4/3+log3

>>511
APk^2=1^2+(k/n)^2-2・1・(k/n)cosB=(k/n)^2-(k/n)+1

lim(1/n)Σ[k=1, n]√((k/n)^2-(k/n)+1)=∫[0, 1]√(x^2-x+1)dx=∫[-1/2, 1/2]√(t^2+3/4)dt=2(4/3+log3)

だめだ　
いろいろ間違ってる俺・・・

みんな問題に熱中してる最中にアホな質問
センター模試だと数学の偏差値70程度いくけど、記述模試だと50前後しかとれません。
どーすれば。

>>510
DH=DA+AH(→)
DH⊥AB DH⊥AC
から内積0 これから求めるとα=5/9,β=2/9
H(4/9,5/9.4/9)

となったんですが
どこが計算ミスでしょうか
それとも解答に問題がありますか

∫[0, 1/2]√(x^2+3/4)dx=∫[1, √3]√((3/16)(t-1/t)^2+3/4)(√3)/4(1+1/t^2)dt=∫[1, √3]√((3/16)((t-1/t)^2+4))(√3)/4(1+1/t^2)dt=∫[1, √3]√((3/16)(t+1/t)^2)(√3)/4(1+1/t^2)dt=∫[1, √3](3/16)(t+1/t)(1+1/t^2)dt
=(3/16)[t^2/2+2logt-(1/2)1/t^2][1, √3]=(3-1)/2+2log√3-(1/2)(1/3-1)=4/3+log3

これは最後3/16
かけ忘れてますね
1/4+3/16log3

>>514
センター模試でそんだけあるってことは、問題を解く力はそれなりについていると思われる
それでいて記述がそんぐらいしかないということは、途中の論述で引かれているのでは？
（記述模試の自分の答案を見て、どこで点が引かれているかを確かめてみて）
もしそうなら、論述を鍛えれば偏差値は伸びると思う

鍛え方としては、問題解くときに、式をダラダラ羅列するのではなく、
記述模試の時みたいに日本語使ってきちんと書くことを普段からするといい
全部は無理だと思うが、予備校や学校の先生に自分の答案を添削してもらうといいよ
問題の答え合わせする時も答えだけ確認するのではなく、途中の論述もチェックするようにな

ただ、慣れが必要なものだから、努力が成績に反映されるのに時間がかかるかもしれない

>>515
私のHは求めるべきものではありませんでした
またh=(√6)/3です

回答を再利用すると
DH=(2/3)(1/3, 2/3, 1/3)=(2/9, 4/9, 2/9)
H(4/9, 5/9, 4/9)

>>488
F, F' (±√(4-1), 0)=(±√3, 0)
r+r'=2-(-2)=4

(4-r)^2=r^2+(2√3)^2-2・r・(2√3)cos(π-θ)
16-8r=12+(4√3)rcosθ
r=4/(8+(4√3)cosθ)=1/(2+(√3)cosθ)
s=1/(2-(√3)cosθ)
1/r+1/s=4
r/s=4r-1

4(4-r)-1+4r-1=14

基本的な事柄なのですが、わからないので、どなたか教えてください!お願いします。


問題
x^2＋a|x-1|+b=0
が異なる実数解をちょうど2個もつとき、点(a,b)の存在する範囲をab平面に図示せよ。

解答
x^2＋a|x-1|+b=0⇔b=-x^2-a|x-1|

f(x)=-x^2-a|x-1|
とおくと、y=f(x)とy=bのグラフが異なる二つの共有点をもつための条件を求めればよい。

（…以下省略します）

質問
なぜx^2＋a|x-1|+b=0の実数解の個数が、y=f(x)とy=bのグラフの共有点の個数と一致するのですか?

よろしくお願いします!!

>>520　たとえば
y=x^2-4 と y=2x の共有点のx座標を考えるのと、(x^2-4)-2x=0 の解となるxを考えるのが
同じことは理解できてる?

yesであるならば；
　一般にy=f(x) と y=g(x) の共有点のx座標は f(x)-g(x)=0の解と一致。それらの値が
　すべて一致すると言うなら、前者の共有点の「個数」と後者の解の「個数」も当然一致。

noであるならば；
　グラフが共有点を持つ条件について勉強しなおすべし(中学では2直線の交点や、
　ひょっとしたら頂点を原点に持つ放物線と直線の交点として扱ったはず)。このポイントを
　ちゃんと理解しないままでは、この問題には手は出ない。

>>520

方程式:x+3=0の実数解
⇔y=x+3とy=0の共有点のx座標
⇔y=-x-3とy=0の共有点のx座標
⇔y=xとy=-3の共有点のx座標
⇔y=-xとy=3の共有点のx座標

ということで
方程式の解≡グラフの共有点のx座標
だから。

>>517
ありがとうございます！

>>521、522

わかりやすい説明、ありがとうございます!!
理解できました!!

曲線y=(π/2)*sinx、および曲線x=(π/2)*sinyによって囲まれる図形のｘ≧0、ｙ≧0
の部分をｘ軸まわりに１回転してできる立体の体積を求めよ。

∫〔0〜π/2〕π*（ｙ＾2-ｘ＾2）*ｄｘ（x=π/2siny)
ｄｘ＝π/2sosy*dy
でやると計算が合いません。
解答では
∫〔0〜π/2〕π*（ｘ＾2-ｙ＾2）*ｄｘ（x=π/2siny)
となっています。
曲線y=(π/2)*sinxが上の曲線だから
∫〔0〜π/2〕π*（ｙ＾2-ｘ＾2）*ｄｘ（x=π/2siny)
だと思ったんですが、どこが間違っていますか？

>>525
y=(π/2)sinx
π∫[0, π/2]y^2dx=π∫[0, π/2](π/2)^2sin^2xdx=(π/2)^3∫[0, π/2](1-cos2x)dx=(π/2)^3[x-(1/2)sin2x][0, π/2]=(π/2)^4=π^4/16
x=(π/2)siny
π∫[0, π/2]y^2dx=π∫[0, π/2]y^2(π/2)cosydy=π^2/2([y^2siny][0, π/2]-∫[0, π/2]2ysinydy)=π^2/2((π/2)^2+[2ycosy][0, π/2]-∫[0, π/2]2cosydy)=π^2/2((π/2)^2-{2siny][0, π/2])=π^4/8-π^2
π^4/16-(π^4/8-π^2)=π^2-π^4/16=π^2(16-π^2)/16

上の曲線と下の曲線は別なんだから、たとえば
y1=(π/2)*sinx1
x2=(π/2)*siny2
と書いてみると混乱しないんじゃないのか
体積は
∫〔0〜π/2〕π*（y1＾2)*dx1-∫〔0〜π/2〕π*（y2＾2)*dx2
で片方だけ置換してみればよいかと

ID:O4Um76+w0 さん

たくさんの問題をありがとうございました

>>526-527
ありがとうございます

α,βは0°＜α＜β＜360°を満たす実数とする。
全ての実数ｘについて,
cosx+cos(x+α)+cos(x+β)=0　が成り立つようなα,βを求めよ。

加法定理→cosxでくくる　から進みません。　数学�Uの範囲でお願いします。

お願いします
ｆ(θ)＝２分の１sin4θ＋a(２sin二乗θーsin２θ)　　０以上θ２分のπ以下
(１)sin2θ＋cosθ＝ｔとおくときｔのとりうる範囲は？
(２)ｆ(θ)をｔで表せ
(３)ｆ(θ)の最小値をaで表せ

>>530
方針1合成の利用

sin(x+γ)√[{(1+cosα+cosβ)^2}+(sinα+sinβ)^2] (γ:定角)
これか0になる条件は
1+cosα+cosβ)^2=0, (sinα+sinβ)=0
β消去してαが求まる
cosβ=-1-cosα,sinβ=-sinαでβも求まる

方針2:数値代入して必要条件で攻める
x=0→1+cosα+cosβ=0
x=π→-1-cosα-cosβ=0
x=-α→cosα+1+cos(β-α)=0
x=-β→cosβ+cos(α-β)+1=0
α、βもとめて逆を論証する

方針3:微分の利用
cosx+cos(x+α)+cos(x+β)=0　
xで微分して-かけて
sinx+sin(x+α)+sin(x+β)=0
A(cosx,sinx),B(cos(x+α),sin(x+α)),C(cos(x+β9,sin(〜))として
重心に着目

好きなのどうぞ。

レスありがとうございます。
申し訳ないのですが、方針１、３は未修なので、方針２を詳しくお願いします。

>>531
(1)sin2θ+cos2θ=tじゃないの?
あと、>>1のテンプレのように表記してくれないかな

表記はすいませんでした
(1)sin2θ+cosθ=tです
宜しくお願いいたします

ごめんなさい
sin2θ+cos2θ=tでした
まことに申し訳ない

>>538
(1)
当然2θ通しだから合成する
t=√2sin(2θ+π/4)　,0≦2θ≦πだから
先にπ/4とっておいて、そこからπだけ回すと考えて
sin(2θ+π/4)の範囲を決定すればわかりやすい

(2)
sin2θ+cos2θで表すわけだから2θに角を統一する
(sin2θ+cos2θ)^2=t^2⇔cos2θsin2θ=(t^2-1)/2に注意して
sin4θ=2sin2θcos2θ
(sinθ)^2=(1-cos2θ)/2
を用いてtで書く

(3)
2次関数の最大最小問題に帰着

>>538　→　>>536

>>537
有難うございました。迷惑かけました。

方針２について詳しくお願いできますか？携帯からの書き込みですが同一人物です。
また、出題者は加法定理のみで解けるともいっていました。。

>>540
4つの式からα、β求めるだけだけど・・・

上から順番に�@�A�B�Cとでもして
�B�Cより、cosα=cosβだから�@よりcosαがもとまる
α,βの変域に注意してα,βが求まる(必要条件)

逆にこのとき任意のxに対して
cosx+{cos(x+α)+cos(x+β)}
=cosx+{加法定理でばらして計算}
=〜=0
をいえば十分性も保障される


現行過程がどうなってるのかしらないけど
方針1は加法定理と合成つかってるだけだから
普通に数2の範囲だけど。

対数は自然対数、f(x)を x の多項式とする。
すべての自然数 n について f(n)=log(n) となる f(x) は存在しないことを示せ。

という問題で、
f(x)をm次式として、n=1,2,…,mで成り立つとするとm+1で…

というように多項式の考え方で解こうと思ったのですがうまくいきません。
ヒントだけでもかまいませんのでお分かりの方よろしくお願い致します。

階差

■■企業系大学の「底力」・・・【特集　不況でも就職に強い大学】　週間アエラ2000年10月4日号■■

15歳の一人息子が腸チフスで死んだ。悲嘆にくれた両親は、カリフォルニアの広大な敷地に、
最愛の息子「リーランド・スタンフォード・ジュニア」の名を冠した大学を設立する。
鳩山由紀夫首相の母校、スタンフォード大学はこうして誕生した。
父リーランド・スタンフォードは、大陸横断鉄道を建設した鉄道王。

◆日本版スタンフォード・・・日本にも、「企業系」と呼ばれる大学がいくつかある◆
◆インターンで交流強化・・東京都市大学と東急グループ◆
世田谷区の東京都市大学(旧武蔵工業大学)も、「鉄道王」がつくった大学だ。
傘下に収める学校法人五島育英会の初代理事長は、東急グループの創設者、五島慶太である。

「東急電鉄、東急建設などグループには毎年15人ほど入社しており、工学部では共同研究もするなど、東急グループとは
人材面、物質面で交流があるのも事実です。
関連校だから有利というよりも、自然にある程度の人数が入社している傾向があります」(就職課の真下賢課長)

もともと、工業大学として80年の伝統があり、2008年度の上場企業の社長数でも武蔵工業大出身者は21人。
工学部の学生1人あたりの求人数は★69・2社★と、安定した評価を得ているーー。

数�Tの過去問を解いている者ですが、

△ＡＢＣにおいて∠Ｂ=45°、∠Ｃ=60°ならば、ＡＢ:ＢＣ:ＣＡ=□:□:1であるという問題で、解説が

途中でＡＢ:ＢＣ:ＣＡ=二分の√3:４分の√6＋４分の√2:√2分の1 とでてくるのですが、なぜ↑のＢＣのようになるのかわかりません。(ＡＢとＣＡはわかります)
長文ですが、お願いします。
(ちなみに答は二分の√6:二分の√3＋二分の1:1)

>>545
AからBCに垂線

>>545
もう一度日本語で質問お願いします。

不動直線と不動点直線の違いがよくわかりません。違いがわかる方教えて下さいお願いします。

>>548
不動点直線???????

>>542
>>543が書いているように背理法
ま、オーダーが違うという事ですわ

すみません、ちょっと書き直します。


△ＡＢＣにおいて∠Ｂ=45°、∠Ｃ=60°ならば、ＡＢ:ＢＣ:ＣＡ=□:□:1であるという問題(□が何かを求める)

解説
Ａ=180°-(Ｂ＋Ｃ)=180°-(45°＋60°)=75°
正弦定理により、
ＡＢ:ＢＣ:ＣＡ=sinＣ:sinＡ:sinＢ
=sin60°:sin75°:sin45°=2分の√3:4分の√6＋４分の√2:√2分の1
=2分の√6:2分の√3＋2分1:1

となっています。
私がわからないのは、↑の途中でsin75°=4分の√6＋４分の√2となるところで、なぜこうなるのかがわかりません。
(sin60°とsin45°はわかります。)
お願いします。

>>551
sin75°=sin(45°+30°)としてsinの加法定理を使っただけ
加法定理はよく使うから覚えておくようにな
あと、次からは>>1にある数学記号の書き方ってのを見て書きこんでくれ

>>551
高校数学のどの範囲で出された問題? 数IA範囲なら加法定理は範囲外。
もしIA範囲なのに、印刷物の解説でその説明が行われてる」なら酷い話だ。

実際に△ABCの図を描いて、AからBCに垂線を下ろしてみればいい。
BC上の垂線の足をHとする。△ABHは直角二等辺三角形、
△ACHは30°-60°-90°の直角三角形になる。

CA=1→AH=√3/2 、CH=1/2 →BH=AH=√3/2
→BC=(√3/2 + 1/2）

たくさんの書き込みありがとうございます。
数学�Tの入試問題です

なんと、数�Tの問題か
それならば確かに>>553の言う通り、加法定理は範囲外だから>>551の解説はおかしいな
>>546、>>553のようにしか解けないな
よく読まずに、加法定理だ、なんて書きこんでしまって申し訳なかった

>>542
多項式関数はx→+∞において
上に凸かつ単調増加となることはない
（いずれも最高次の係数の正負で決まる）

申し訳ない…とかとんでもないです！
こちらが数�Tとの記述をしていなかったのですから…皆様のおかげで無事に解けました！
ありがとうございました。

>>551
そんな流れで解答が書かれるはずはない．
高校教師が解答者なら話は別だが．
後，質問者が端折っている可能性もある．
一番可能が高い模範解答は，正弦定理によって
a＝√6/2 を求め，余弦定理によって c＝1＋√3 を求めれば
a：b：c は求まる．sin75°を出す必要はないが，逆算は可能．

自然数値という離散的な値での等式が条件なので，
>>556 の主張は手助けとはならない．

>>558
>自然数値という離散的な値での等式が条件なので，
離散でも問題ありません
上に凸 ⇒ 2点を結ぶ線分より途中の点が上
単調増加 ⇒ 2点を結ぶ線分の傾きが正

>>559
数学的にはそのとおりだがｗ
質問者の助けにはならないかもな、初心者には誤解を与えやすい表現だし
それに2階差分とらなくても1階で十分だし、>>543で簡潔にレスされてる
>>556には質問者のレベルを考えて下さい
>>558はもののいい方を考えて下さい
そんな所かな

数列{ b[n]}は次のように定義される。
b[1]=2,b[2]=5/2,b[3]=17/4
b[n]=7/2b[n-1]-7/2b[n-2]+b[n-3]
{ b[n]}の一般項を求めよ。

方針がわからないので教えてください。

>>549
奥平禎先生の理系数学頻出40テーマ3Cを攻略する本に

線形変換により直線lがそれ自身に移るとき、lをその変換の不動直線という。

線形変換により不動直線l上のすべての点が、その変換の不動点となるときlをその変換の不動点直線という。

と書いてあるんですがこの二つの違いがわかりません…。

>>561
数学板とマルチ

>>562
不動点直線のほうは不動点でできた直線ということだな
直線上の点一つ一つが変換で動かないということだ

不動直線のほうは、集合として変わらないということ
同じ直線上の点でありさえすれば別の点にうつっても構わない
たとえば原点を通る直線は原点の周りに180°回転させると自分に重なるが
一つ一つの点は原点以外は動いてるだろ

>>564
わかりました。レスありがとうございました。

>>542
f(n^2)=2logn=2f(n)
f(n^2)-2f(n)=0
f(x)がm次ならばf(x^2)-2f(x)は2m次
2m≠0のとき2m次方程式には高々2m個の解しかないので矛盾

>>559
元々，多項式「関数」の話をしていたはずだが．
それは置いといて，>>556の書き込みは厳密さに欠ける．
「x→+∞において」て何？
この方針の解答なら減点必至だろう．

542です。
解決しました。
レス下さったみなさん、ありがとうございました。

>>567
f(x)=anx^n+…+a0と置く
an<0であればlim[n→∞]f(n)=-∞であるのでlognを表すことはないためan>0とする
このとき
f'(x)=nanx^(n-1)+…+a1=nanx^(n-1)(1+…+a1/(nanx^(n-1))→+∞ (x→+∞)
f''(x)=n(n-1)anx^(n-2)+…+2a2=n(n-1)anx^(n-2)(1+…+2a2/(n(n-1)anx^n))→+∞ (x→+∞)
特に十分大きなLでL<xであればf'(x), f''(x)>0であるものが存在する
（具体的にはL^(n-k)>-kak/anが成り立つ正のLを取ればよいでしょう）
L<xにおいてf''(x)>0であるからy=f(x)のグラフは下に凸であり
L<nである自然数について
(n, f(n))と(n+2, f(n+2))を結ぶ線分よりも(n+1, f(n+1))は下にある
一方logxのグラフは上に凸であり
上記のnについて
(n, logn)と(n+2, log(n+2))を結ぶ線分よりも(n+1, log(n+1))は上にある
すべての自然数nについてf(n)=lognが成立するならばこのようなことは起こりえないので
そのような多項式f(x)は存在しない

ではどうでしょうか

>>565
“不動点直線”とやらは奥平が勝手に名付けたようだな．
名前は気にすんな

>>561
2b[n]-7b[n-1]+7b[n-2]-2b[n-3]=0
2(b[n]-b[n-1])-5(b[n-1]-b[n-2])+2(b[n-2]-b[n-3])=0
2((b[n]-b[n-1])-2(b[n-1]-b[n-2]))-((b[n-1]-b[n-2])-2(b[n-2]-b[n-3]))=0
(b[n]-b[n-1])-2(b[n-1]-b[n-2])=(1/2)^(n-3)((b[3]-b[2])-2(b[2]-b[1]))=3(1/2)^(n-1)
(2(b[n]-b[n-1])-(b[n-1]-b[n-2]))-2(2(b[n-1]-b[n-2])-(b[n-2]-b[n-3]))=0
2(b[n]-b[n-1])-(b[n-1]-b[n-2])=2^(n-3)(2(b[3]-b[2])-(b[2]-b[1]))=3・2^(n-3)
(2・2-1)(b[n]-b[n-1])=3(2^(n-2)-(1/2)^(n-1))
b[n]-b[n-1]=2^(n-2)-(1/2)^(n-1)
b[n]-b[1]=(1+2+…+2^(n-2))-((1/2)+(1/4)+…+(1/2)^(n-1))=(2^(n-1)-1)-(1-(1/2)^(n-1))=2^(n-1)+(1/2)^(n-1)-2
b[n]=2^(n-1)+(1/2)^(n-1)

定積分はかならず正になるのですか？

∫[0,1](-1)dx=-1

>>569
L^(n-k)>-kak/an がよう分からん。
牛刀割鶏って感じだな。

絶対値付きの定積分は必ずなるの？

ベクトルを座標で考えるときOA＝１でOB=２という風に
長さが違う場合は内積の公式などが使えないのですか？

>>575
定積分できるものは必ず0以上だけど
>>576
言ってる意味がよくわかんないけどベクトルの長さが違っても内積の公式は使える

>>577
定積分できるものは必ず0以上って
何の冗談だ？

>>577
座標を使った内積の出し方です
長さが違うとき、Aベクトル（a,b） Bベクトル（c,d）のときABベクトル=ac+bd
という感じでやっても答えが合いません

三角方程式・不等式の解法の決定ってどういう思考プロセスを経て
決定していくとよいですか?

たとえば
1.cos2a=-sinbをaについての方程式と思い解け
2.不等式:cos2a≦sinaを解け
3.sin2a≧cos2aかつ(sina)^2≧sinacosaをみたすaの値の範囲は? (0≦a≦π)


1番は-sinb=cos(b+π/2)なのでこれを、単位円のx座標と思いa=±(b+π/2)+2nπ
2番は
・cos2a=1-2sin^2a≦sinaとしてsina=tとでもおいてtの2次不等式として解く (これが多分ベスト)
・cos2a=2cos^2a-1≦sinaで、cosa=x,sina=yとして
　x^2+y^2=1上の点のうち、y≧2x^2-1をみたす部分を求める
・sin(2x+π/2)≦sinxと考えて、sinxを単位円のy座標と見て
　0≦x≦π/2のとき〜3π/2≦x≦2πのときの4通りの場合わけをして1番と同様に求める(非現実的)
3番は
・合成して連立不等式を解く
・2番の2個目の解法のようにcos2a=x,sin2a=yとみて単位円上の点のうちy≧xの部分を考える (これが多分ベスト)
・sin2a=-cos(2a+π/2),としてcos2aをx座標ととらえる。2の3番目同様場合わけがいる

みたく色々と考えられると思うのですが。各々よく似た形なのに
ベストの解法が結構バラバラでどういう時にどの解法を使うのかという判断基準が良くわかりません。
記述式なら試行錯誤してベストなものを探ればいいのですが、
センター試験ですと解法を迷ってる時間が無いので形式的に抑えておきたいのですが
この分野はどのように解法を選択すると良いのでしょうか?

>>579
問題書いて

分からないので教えて下さい。

原点をOとする座標平面上に、点A(2,0)を中心とする半径1の円C1と
点B(-4,0)を中心とする半径2の円C2がある。点PはC1上を、点QはC2上をそれぞれ独立に、自由に動き回るとする。

(1)OS↓=1/2(OA↓+OQ↓)とするとき、点Sが動き回る範囲を求めよ。
(2)OR↓=1/2(OP↓+OQ↓)とするとき点Rが動き回る範囲を求めよ。

です。
(1)は解りました。(2)を教えて下さい。

>>582
|BQ|^2=BQ・BQ=(Q-B)・(Q-B)=4
S=(Q+A)/2
Q=2S-A
(2S-A-B)・(2S-A-B)=4
(S-(A+B)/2)・(S-(A+B)/2)=|S-(A+B)/2|^2=1
SはABの中点M(-1, 0)中心半径1の円周を描く

Qを固定して考えると
RはQAの中点S中心半径1/2の円周を描く
よって
RはM(-1, 0)中心半径1/2の円と3/2の円の間の帯状の領域を描く

>>583さん
ありがとうございました！わかりました！
感謝です。

2009年の京大なのですが

log_{2}(x)=X
log_{2}(y)=Y

と置いた時に

[log_{x}(2)][log_{y}(2)]
=(1/X)(1/Y) ･･･(ｱ)
=(-X)(-Y)
=XY ･･･(ｲ)

この式変形は正しいですか？
(ｱ)で解いた結果と(ｲ)で解いた結果がくい違うのですが…。
(1/XY)=XY
自体も不思議で、現象として何を示しているのかわかりません。
問題全文は
x,yは1ではない正の実数である。
次の不等式の示す(x,y)の範囲を図示せよ。
log_{x}(Y) + log_{y}(Y) > 2 + [log_{x}(2)][log_{y}(2)]

です。(ｱ)なら境界が直線になりますが、(ｲ)だと曲線になってしまいます。
よろしくお願いします。

>>585
>問題全文
正確に書いて

すみません。今からPCで問題のURLを貼ります。
ID変わりますが同一人物です。

http://www.yozemi.ac.jp/NYUSHI/sokuho/recent/kyoto/zenki/index.html

こちらです。

うおお！甲の３番です。

>>585
> =(1/X)(1/Y) ･･･(ｱ)
> =(-X)(-Y)
これ、何？

1/X
= 1/log_{2}(x)
= log_{2}(1) - log_{2}(x)
= -log_{2}(x)
= -X

です。

ああああああああ！！！！
わかってしまいました！！
ありがとうございました。

>>591
> = 1/log_{2}(x)
> = log_{2}(1) - log_{2}(x)
これ、何？

>>593
log_{2}(1/x)
と勘違いしたための誤変換です。
どうかと思う。
ありがとうございました。

>>589
(logxlogy)^2>0を両辺に掛ける
((logx)^2+(logy)^2)logxlogy>(2logxlogy+(log2)^2)logxlogy
((logx-logy)^2-(log2)^2)logxlogy>0
(logx-logy+log2)(logx-logy-log2)logxlogy>0
log(2x/y)log(2y/x)logxlogy<0
第1象限にy=2x, x=2y, x=1, y=1を描いて1<y<x/2から互い違いになる領域全部

背理法がよくわかりません
背理法でこっちがちがうことを示しただけでそっちが正しいことはもう示されてるのですか？

あと必要条件と十分条件の確認がよくわかりません

おしえてください

∫dx/xlogxを部分積分でなぜできないか教えて下さい

1/xを積分する部分積分をすると、0=1になります。おそらく、積分定数関連でなにか謎なことが起っているものと思われます

質問です
平面上の3点O A Bがあり、OA=5 OB=2 AB=3√2である。
同じ平面上に点Pがあり、5↑OA−12↑OB＋21↑OP＝↑0が成り立つ時、三角形OBPの面積を求めよ

という問題です。教えていただけませんか？

(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-9

↑を因数分解するときの過程で、
(x2-8x+7)(x2-8x+15)-9
ここまではわかるのですが、
(x2-8x+7)2+8(x2-8x+7)-9
(x2-8x+16)(x2-8x+6)
の意味がよくわかりません。
どう理解すればいいですか

>>596
こっちとかそっちとか‥ｗ

>>597
>1/xを積分する部分積分をすると、0=1になります。

お前の計算を書いてみろ

xx-8x+15=(xx-8x+7)+8

>>599
(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-9
(x^2-8x+7)(x^2-8x+15)-9
　　 x^2-8x = A と置いてみる
(A+7)(A+15)-9
(A+7)(A+7+8)-9
　　 A+7 = B と置いてみる
(B)(B+8)-9
B^2+8B-9
(B+9)(B-1)
　　 Bを戻す
(A+7+9)(A+7-1)
(A+16)(A+6)
　　 Aを戻す
(x^2-8x+16)(x^2-8x+6)
(x-4)^2 (x^2-8x+6)

>>598
5↑OA−12↑OB＋21↑OP＝↑0
OP↑＝７/２１・（−5↑OA＋12↑OB）/（１２−５）
　　　＝１/３・（−5↑OA＋12↑OB）/（１２−５）
これより、線分ABを１２：５に外分する点をCとすると
点Pは線分OCを１：２に内分する点になる。�@
ここで、余弦定理から
cos∠OBA＝｛２＾２-（３√２）＾２-５＾２｝/２・２・３√２＝−√２/８
∠OBA＜１８０°なのでsin∠OBA＝√１−（−√２/８）＾２＝√６２/８
ここでCB＝１２/５・AB＝４√２/５なので
△OBC＝１/２・２・４√２/５・√６２/８＝２√３１/５
△OBPと△OBCの高さは等しいから�@より
△OBP＝１/３△OCB＝２√３１/１５

>>601


∫ dX/XlogX=∫ {(1/X)×(1/logX)}dX

=logX×(1/logX)-∫ {logX×(1/logX)'}dX (1/Xを積分する部分積分をしました)

=1-∫ [logX×{-1/X(logX)^2}]dX (1/logX を微分しました)

=1+∫ dX/XlogX (- 以降を計算して簡単にしました)

ここで、右辺の∫ dX/XlogXを左辺に移項すると

0=1

>>597
∫tanθdθ=∫sinθ/cosθdθ=∫(-cosθ)'/cosθdθ=-cosθ/cosθ-∫(-cosθ)(-(-sinθ)/cos^2θ)dθ=-1+∫sinθ/cosθdθ=-1+∫tanθdθ
∴0=-1

∫2dx/x=∫(2x)/x^2dx=∫(x^2)'/x^2dx=x^2/x^2-∫x^2(-2/x^3)dx=1+∫2dx/x
∴0=1

>>603
ありがとうございます！
物凄いわかりやすかったです！

定数分のｽﾞﾚならもっとましな例があるだろ

∫dx=∫e^xe^(-x)dx=∫(e^x)'e^(-x)dx=e^xe^(-x)-∫e^x(e^(-x))'dx=1-∫e^x(-e^(-x))dx=1+∫dx
∴0=1

部分積分をこんな馬鹿でも分かるように説明してくだしあ。

問題文の与条件
x→−∞のときx^2e^x=0…※
を使って、

x→±∞のときの（x-5）e^x
を求めたいのですが、
※をどう使ったらいいんでしょうか。

※から、x→−∞のときt→＋∞、

※＝t^2/e^t→0
までは考えたのですが、これをどうやって問題に適用したらいいかわかりません。

あと、−∞×∞＝−∞でいいのでしょうか??

>>612
t？

x＜-3で-x^2*e^x＜(x-5)*e^x＜0で終わらん？

球に内接する正四面体の１辺の長さを求めよ。
辺BCの中点をＭとする。正四面体の対称性から△ABMの内心が球の中心って書いたら減点されますか?

>>614
0点じゃないかな？

>>614
正4面体A-BCDにおいて
ABの中点M
CDの中点N
MNの中点Oが球の中心
AB=AC=2とすると
AN=√3
MN=√2
MO=1/√2
AO=√(3/2)
AB/AO=2/√(3/2)=(2/3)√6

>>611　教科書(参考書ではなく教科書)をもう一回読め。
積の微分法を積分形で表して移項したただけのこと。
(この説明で分からないんだったらちゃんと読んでない証拠、
　あるいは「部分積分がわからない」んじゃなくて、
　それ以前の微積に関する知識不足が部分積分のところで
　露呈しただけなんだろう。後者だったら、極限は飛ばしていいから
　数III微分の頭から復習したほうがいい)

実際の運用が問題なんだったら、f,gの原始関数をF,Gとして
∫(f*G)dx = FG-∫(F*g)dx とするわけだけれど、積分対象の
関数のどっちをｆ、どっちをGと見立てるかがむしろ山で、
公式だけ覚えても使えるようにはならない。

「積分してもそんなに複雑にならない関数ｆ」と
「微分することで単純になる関数G」の組み合わせにする、というのが
大方針だけど、これ以上具体的なルールは示しにくい。また仮に示せても
それを覚えてからってのは(理解できないものを無理に覚えるだけになるんで)
かえって遠回り。基礎的な問題こなして経験的に見分け方を養成していくのが、
結局は早道。

a_2nからa_4nまでの項のうち偶数である項が、n+1項になる理由が分かりません
a_nはnが偶数の時、偶数で
奇数の時、奇数です

初項2n、公差2の等差数列の第k項は2n+2(k-1)
2n+2(k-1)=4nをとくとk=n+1

4n-2n+1項で偶数の方が1つ多い

>>618
1からnまでの整数はn個あるんだから、0からnまでの整数はn+1個ある。OK?

であれば、2n=2*(n+0)から4n=2*(n+n)までの偶数は、
2*(n+k)のkが0からnまで変わるだけ考えられるからn+1個。

ωを１の３乗根のうち虚数であるものの１つとするとき
(1＋ωx)^4 < 0
となる実数ｘを求めよ。

答えが見つかりません。２かとおもったら違うようです。

>>622
x=√3-1

>>622
w^3=1
w^3-1=0
(w-1)(w^2+w+1)=0
w≠1
w^2=-w-1
(1+wx)^4=1+4wx+6w^2x^2+4w^3x^3+w^4x^4<1
1+4wx+6(-w-1)x^2+4x^3+wx^4<1
(4x-6x^2+x^4)w-6x^2+4x^3<0
4x-6x^2+x^4=0, 4x^3-6x^2<0
x=0 NG
x^3-6x+4=(x-2)(x^2+2x-2)=0
x=2, -1±√3
0>4x-6=2, -10±4√3
x=-1±√3

>>624
>(1+wx)^4=1+4wx+6w^2x^2+4w^3x^3+w^4x^4<1
(1+wx)^4=1+4wx+6w^2x^2+4w^3x^3+w^4x^4<0
1+4wx+6(-1-w)x^2+4x^3+wx^4<0
(4x-6x^2+x^4)w+1-6x^2+4x^3<0
4x-6x^2+x^4=0, 1-6x^2+4x^3<0
x(x^3-6x+4)=x(x-2)(x^2+2x-2)=0
x=0, 2, -1±√3
1-6x^2+4x^3=1, 9, 18x-15=-33±18√3
x=-1±√3

>>622
入試問題ではその表現はありえない。

(1＋ωx)^4 が負の実数ととなる実数ｘを求めよ。

がまっとうな表現。

斜軸回転の体積を出す積分の公式を教えて下さい。

tanθのやつです。

tan?
V=πcosθ∫(f(x)-l(x))^2dx　：f(x)は曲線 l(x)は直線
じゃないかな。積分範囲はxが小さいほうの交点から大きいほうの交点まで

ごめんなさいcosθでした

ありがとうございます。

>>626

別にありえなくはないだろ

<0という時点で実数と限定されるんだから

>>619-621
ありがとうございます！

http://imepita.jp/20091015/785050
↑
上の問題が途中までしか分かりません。
http://imepita.jp/20091015/785660
↑ここまで出来ましたが、この先を教えてください。
お願いします。




もうひとつのところでも質問しましたが、他の問題があって取り合ってもらえませんでした。よろしくお願いします。

とりあってもらえない一つの理由として画像の向きが携帯用だから
PCユーザーは首をかたげて一々メモしないといけないというのがあると思う

nが奇数の時、(n^2 + 3 )(n^2 +7 )が32の倍数であることを証明せよ

よろしくお願いします

>>634
n=2m+1 →展開する
(x+1)(x+2)は連続2整数の積だから偶数

これを使う

>>632
数学板とマルチかつ解決済

おおおおお
素早い返答ありがとうございます



図々しいですがよければもう１題だけよろしいでしょうか

同じくnが奇数の時n^5 - n が240の倍数である証明

連続ですみません

>>637
(5m+k)^5-(5m+k)=k^5-k+5の倍数
k=0 k^5-k=0
k=1 k^5-k=0
k=2 k^5-k=30
k=3 k^5-k=240
k=4 k^5-k=1020
よってn^5-nは5の倍数（フェルマーの小定理）
n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)は3の倍数
nが奇数のときn-1, n+1は隣り合う偶数でありどちらかは4の倍数なので(n-1)(n+1)は8の倍数n^2+1は偶数
よってn^5-nは5・3・8・2=240の倍数

行列で固有値出してから
対角化の仕方がわからないです

>>632
読めません

>>638
ありがとうございました！

>>639
固有値を出すところまではわかるが
その先がわからんと言ってるのか？

>>596
＞背理法でこっちがちがうことを示しただけでそっちが正しいことはもう示されてるのですか？
○○を仮定すると矛盾することを証明しただけで○○の否定が証明できたことになるのはなぜか？
という疑問だろうか？
だとすると、なかなか面白いところに着目しているね。
答えとしては、高校で習う数学は古典論理を基礎としているから、ということになるかな。

背理法のない論理体系を考えることもできます。なぜか計算機科学と関係が深かったり。
排中律、古典論理、直感論理・構成的数学 などのキーワードでぐぐってみるとよいかも。
ただしその話に深入りするのは板違いでしょう。

>>643　肝心なとこで書き間違ったしorz　こう書くべきだったな
○○の否定を仮定すると矛盾することを証明しただけで○○が証明できたことになるのはなぜか？

>>596
ベン図を書いて眺めてみるといいかも知れない。

おはようございます。

S2:S3=(b^2+a^2-c^2):(c^2+a^2-b^2)

S1:S3=(a^2+b^2-c^2):(c^2+b^2-a^2)

↓

S1:S2:S3=1/b^2+c^2-a^2:1/c^2+a^2-b^2:1/a^2+b^2-c^2

「S」は面積です。
この矢印の上の式から下の式へと「変化」する理由に戸惑っています。
どうしてこのように変化するのかわかりません。

ご指導宜しくお願いします。

上を(b^2+a^2-c^2)(c^2+a^2-b^2)、下を(a^2+b^2-c^2)(c^2+b^2-a^2) で割ればS3は一致

>>646
このように３つ以上の比の関係のことを「連比」（れんぴ）といい
基礎的な考え方は小学校のときに習っているはず
（割合・百分率や円グラフなどの項目）

それが文字式になったに過ぎない

面積が１の三角形ＡＢＣの内部に任意の１点Ｐ１をとり、
三角形ＡＢＰ１、ＢＣＰ１、ＣＡＰ１のそれぞれの重心をＡ１、Ｂ１、Ｃ１とする。
また三角形Ａ１Ｂ１Ｃ１の内部に任意の一点Ｐ２をとり、
同様に重心Ａ２、Ｂ２、Ｃ２を作る。
この操作をｎ回繰り返した時、三角形ＡｎＢｎＣｎの面積を求めよ

まずはＰ１の時実験しようと思ったがそれもできませんでした；
できれば発想だけでもご教授いただいたら嬉しいです。

もう一問
１からｍ（ｍは４以上）までのｍ枚のカードがあり、
この中から一枚カードを選んで、数字を見て戻す作業をｎ回繰り返す。
出た数字の最大値と最小値の差が３以上である確率を求めなさい。

とりあえず実験してみてｎ３回ｍが４回のときは３２分の９でした。
余事象で考える方が楽だと思ったのでやると計算が一致しなくなりました。
たぶんですが一対一対応をつけて組み合わせにしたのがよくなかったです。

>>649
P1A1の延長線とABの交点をL
P1B1とBCをM
P1C1とCAをNとすると
L, M, Nはそれぞれの辺の中点
△P1A1B1=(2/3)^2△P1LM
よって
△A1B1C1=(4/9)△LMN=(4/9)(1/4)△ABC=(1/9)△ABC
△AnBnCn=(1/9)^n△ABC
（P1=Cのときを考えると△ABCの1/9の相似な3角形になる）

>>650
迅速な対応ありがとうございます。
中線と２：１という重心の性質を上手いこと使うんですね。
全然気づきませんでした。

>>649
k≧lとし最大値がk以下最小値がl以上である場合の数A(k, l)=(k-l+1)^n
最大値がk最小値がlである場合の数B(k, l)は
B(l, l)=A(l, l)=1
A(l+1, l)=B(l, l)+B(l+1, l+1)+B(l+1, l)=2^nより
B(l+1, l)=2^n-2
B(k, l)=A(k, l)-A(k-1, l)-A(k, l+1)+A(k-1, l+1)=(k-l+1)^n-2(k-l)^n+(k-l-1)^n
最大値と最小値の差がjである場合の数C(j)は
C(j)=B(j+1, 1)+…+B(m, m-j)
C(0)=m
C(1)=(m-1)(2^n-2)
C(j)=(m-j)((j+1)^n-2j^n+(j-1)^n)
求める場合の数は
m^n-(m+(m-1)(2^n-2)+(m-2)(3^n-2・2^n+1^n))=m^n-(3^n-2^n)m-3・2^n+2・3^n
求める確率は
1-((3^n-2^n)m+3・2^n-2・3^n)/m^n

筑波大学目指してます


�VＣのプラチカをやったんですが面積体積の問題が少ないのですが、

多少ひねってるぐらいのが載ってるのないですかね?４STEPは簡単で…

>>653
青チャートで万事解決

３Cのみやりたいなら一対一買うとか
今の時期ならもう過去問でもいいような木もするけど
微積重視なら東工の問題やってみるとか
スレチだけど

http://imepita.jp/20091017/630870
低レベルですいません。
写真の式は成り立ちませんか？
成り立たないならば、どういう条件で成り立ちますかね？
どなたかお願いします。

決して成り立ちません

>>656
自分で「こう言う事が一般に言えるのだろうか?」
という風に考えるのは低レベルどころか、素晴らしいことだよ
で、問題の式だけど、
辺の比例関係と直角三角形であることから△OAH∽△OBH
だけどOHは共通だから△OAH≡△OBHになってしまう
そうするとOA＝OBのはずで矛盾する
というかんじで>>657の言うとおり

多分角の２等分線の性質と混じってるんだね

夏から1対１は間に合わないて聞いたからプラチカを始めたんですよ
ただ明らか面積体積少ないからかなり心配で…

チャートで面積体積だけやるか、Ｈ９から数学過去問持ってるからそれを極めるか迷ってます…
過去問なだけに実力が中途半端で今からやるのもちょっと…

角ＡＯＨ＝角ＢＯＨでは？

>>657
>>658
>>660
回答ありがとうございます。
やさしい言葉ありがとうございます。

角の二等分線とごっちゃになったみたいです。

>>659
スレチだけど体積や面積の全体像が解ってるなら
・過去問をつかって筑波がよく聞いてくる問題を練習する
・あまり筑波が聞いてこない問題はチャートで補強
と勉強すればいい。

全体像が解っていると判断できる目安としては、例えば体積の問題を見て
「これは、空間の回転体の問題だ」とか「不等式で表された立体の求積タイプ」だな
とか、「非回転体の体積問題だな」とか「斜軸の回転体問題」だなとわかり
各々の典型的な問題と処理の仕方が浮かんでくること。

質問です
9人の人がいて、そのうち2人を選びます
仕事が3つあるのですが選ばれた2人のうち1人は2つの仕事をしなければなりません
この選び方を教えて下さい

>>663
9・3・8=216

>>663
９人から２人選ぶ→9C2
２人が仕事を請け負う事象は２通り
（２人をA,Bとすると（Aが２つ、Bが１つ）or（Aが１つ、Bが２つ）
３つの仕事から２つ選ぶ→3C2

以上から　9C2×2×3C2=36×2×3=216通り
だと思うんだが・・・。違うかな。見づらくてごめん

>>664
>>665
ありがとうございます
どうしても108通りになってしまうので訳わかんなかったんですが…なるほど理解できました！

(1)直線y=aX＋bが曲線y=e^xに接するとき、ｂをaで表せ。
(2)e^x≦aX＋bとなる整数Xが存在するような実数a,bの満たす条件を求め、その条件に適する点（a
.b)の存在する範囲をab平面上に図示せよ。

という問題で（１）はb=-a(loga-1)とでてきたのですが、（２）の解法がわかりません。
どなたか教えていただけたらありがたいです。

>>667
D_n＝{ (a，b) | e^n＋na≦b，b≧0 } とするとき，
D_(n＋1) ⊂ D_n を示せばよい．

すみません・・・。理解力がたりないのでどうして>>668のようになるのか
簡単な説明でいいので補足をお願いさせていただけないでしょうか。

>>668

>>667の答えになってないよ。

nを正の整数とする｡n枚の硬貨を同時に投げて表の出たものを取り去り、硬貨が残っていればそれらを同時に投げて表の出たものを取り去ることにし、この試行を終えるとする｡最後に残った硬貨の枚数をXとする｡

試行終了後に、X＝r（1≦r≦n)となる確率を求めよ。
全然式がまとまりません 助けて下さい

T,O,H,O,K,U,A,O,B,Aの10文字をでたらめに一列に並べる。
（1）どの二つOのも隣り合わない確率を求めよ
（2）どこかで同じ文字が隣り合う確率を求めよ



（1）はすべての文字を区別して考えて、並べ方は10!で、まずO以外の文字を並べて･･･とういうふうにして解いて答は合ってたんですが、この解き方で大丈夫ですかね??

（2）はわかりません。


お願いします

>>672
(2)は(1)のOOOをAAでも考えてみて、背反でおｋ、じゃね？

>>671
1回目に表の出た枚数をkとする。←場合分け！
最終的にr枚残るにはもちろん１回目でr枚以上
残らなければいけないから0≦k≦n-k。
一回目にk枚表が出る確率は、
C(n,k)(1/2)^k(1/2)^(n-k)=C(n,k)(1/2)^n。
一回目に表がｋ枚出たとき残りはn-k枚で、
2回目でr枚残る確率は、今度は裏の回数という風に考えて
C(n-k,r)(1/2)^r(1/2)^(n-k-r)=C(n-k,r)(1/2)^(n-k)。
よって、P(X=r)=Σ[k=0,n-r]C(n,k)(1/2)^nC(n-k,r)(1/2)^(n-k)
=(1/2)^(2n)Σ[k=0,n-r]2^kC(n,k)C(n-k,r)。
ここまでは頑張って欲しいかな？ここからはちょっと難しいと思う。

これを簡単にするにはΣのkの動く範囲を考えて、
２項定理で(何か)^(n-r)の形になっているのではないか？
と考えてC(n-r,k)が出来ないかと予想してみる。実際
C(n,k)C(n-k,r)=n!/(k!(n-k)!)・(n-k)!/(r!(n-k-r)!)
=n!/r!・1/(k!(n-k-r)!)
=n!/(r!(n-r)!)・(n-r)!/(k!(n-k-r)!)
=C(n,r)C(n-r,k)となるから、
P(X=r)=(1/2)^(2n)C(n,r)Σ[k=0,n-r]2^kC(n-r,k)
=(1/2)^(2n)C(n,r)(1+2)^(n-r)　（２項定理）
=3^(n-r)C(n,r)/2^(2n)。

眠いから間違ってるかもしれん

はじめまして。
数年前に１Ａの質問でお世話になったものです。
２Ｂは自力でできていたのですが……。

九州芸工大の過去問です。

点Ａを原点を中心としてθ（０°≦θ≦３６０°）だけ回転し，
更にvector(a)だけ移動した点をＰとする。Ａをvector(a)だけ移動し，
更に原点を中心としてθだけ回転した点をＱとする。

点A（１，０）のとき，
点Ａを原点を中心としてθ（０°≦θ≦３６０°）だけ回転した点を
Ａ´とすると，
vector(OA´)＝（cosθ，sinθ）
です。これは分かります。

点Ａ（ｐ，ｑ）を原点を中心としてθ（０°≦θ≦３６０°）だけ
回転した点をＡ´とすると，
vector(OA´)＝（pcosθ-qsinθ，psinθ+qcosθ）
となります。こうなる理由が分かりません。誰か教えてください。

はじめまして
B(p,0), C(0,q)とする。また、これらを原点の周りに
θ回転した点をそれぞれB', C'とする。
もちろんvect(OA)=vect(OB)+vect(OC)なんだが、
図を書いてみればvect(OA')=vect(OB')+vect(OC')
であることがわかるだろう。だから、
vect(OB')、vect(OC')がわかればvect(OA')も出るな。

参考書で「一次変換」を調べたほうがいいと思う
おやすみ

数参の回転行列では以下のように常識なのだが

x 　cosθ　-sinθ　　　 p　　　　pcosθ-qsinθ
　 =　　　　　　　　*　　　　=
y 　sinθ　　cosθ　　　q　　　　psinθ+qcosθ

先ず
（１，０）をθ回転させたときは（cosθ、sinθ）
（０，１）をθ回転させたときは（-sinθ、cosθ）
（ｐ、０）をθ回転させたときは（pcosθ、psinθ）･･･�@
（０，ｑ）をθ回転させたときは（-qsinθ、qcosθ）･･･�A
を押さえる。
次に、�@、�Aを
（ｐ、ｑ）＝（ｐ、０）＋（０、ｑ）に分けて回転させたものを
回転後に合成していい（∵>>676「図を描いてみれば分かる」）
よって、（ｐ、ｑ）をθ回転させたときは（pcosθ-qsinθ，psinθ+qcosθ）

>>675
回転行列や複素平面使うのが手っ取り早いけど
別にそれを導入しなくても

A'(X,Y)=(rcosα.rsinα)とおくと
p=rcos(α-θ)=r{cosαcosθ+sinαsinθ}=Xcosθ+Ysinθ
q=rsin(α-θ)=rsinαcosθ-rcosαsinθ=Ycosθ-Xsinθ

psinθ=Xsinθcosθ+Ysin^2θ
qcosθ=Ycos^2θ-Xcosθsinθ

和を取って
psinθ+qsinθ=Y

のように書くことが出来る

>>677は数Cだった

>>676
旧過程なので一次変換を知らないんです。

>>677
回転行列も知りませんでした。無学で申し訳ありません。

一応，ググって回転行列で理解しました。
旧過程青チャートは，
２Ｂでも逆関数，行列，回転行列等を出してくるので独学だと死にます。

地方国立に籍を置いているのですが，
工学部でもこれが分からない１年がいました。
大学間の学力差というのは大きいですね。

大変勉強になりました。ありがとうございました。

>>678
やっぱり，点の回転はGauss平面ですよね！
新過程では削られたので残念です。
ド・モアブルの定理を用いて，
Gauss平面上に表されたαのｎ乗根の美しさは芸術クラスなのに……。

私立獣医には一対一はオーバーワークですか？
オーバーワークとしたら何が適切でしょうか

スレを間違えました
失礼しました

失礼します

｢必要十分性｣はどういう場合に示さないといけないのですか？

教えてください

>>667
接点を(p, e^p)とすると接線の方程式は
y=e^p(x-p)+e^p=ax+b
a=e^p
b=e^p(1-p)=a(1-loga)

存在しない(a, b)の全体を考えその補集合を取る
a<0の場合NG
a=0の場合b≦0
a>0の場合
(n, e^n)と(n+1, e^(n+1))を結ぶ線分の傾きは(e-1)e^nであるので
(e-1)e^(n-1)<a≦(e-1)e^nのときはan+b<e^nすなわちb<-na+e^nより
ab平面の((e-1)e^(n-1), -n(e-1)e^(n-1)+e^n)と((e-1)e^n, -n(e-1)e^n+e^n)を結ぶ線分よりも下の部分
この線分の両端は
a=(e-1)e^(n-1)のときb=-n(e-1)e^(n-1)+e^n=-a(1+log(a/(e-1)))+(e/(e-1))a=a/(e-1)-alog(a/(e-1))
a=(e-1)e^nのときb=-n(e-1)e^n+e^n=-alog(a/(e-1))+a/(e-1)
より
b=a/(e-1)-alog(a/(e-1))上のグラフ上の点
よって求める領域は
a<0
a=0, b>0
a>0ではb=a/(e-1)-alog(a/(e-1))上のa=e^(n+1)-e^nである点を結んだ折れ線よりも上の部分（境界線を含む）

>>671
1回目に表がs個
2回目に表がt個
残りがr個なのでr+s+t=n
n個を1回目2回目残りに分ける分け方は
nCr・(n-r)Cs通りありそれぞれが起こる確率は(1/2)^n・(1/2)^(n-s)=2^s/4^n
よって求める確率は
Σ[s=0, n-r]nCr・(n-r)Cs(2^s/4^n)=nCr/4^nΣ[s=0, n-r]2^s(n-r)Cs=nCr/4^n・(1+2)^(n-r)=(3^(n-r)/4^n)nCr

>674 >>686
ありがとうございます
自分でしたときは表何枚、裏何枚という風にしてΣ計算しようとして
ちょｗまとまんねー 多項定理も使えねーｗ

と混乱してました
まだまだ未熟です(・_・;)

>>672
7文字の並べ方は7!通りありその間および両端の8カ所からOの入る場所を選べば8・7・6通り
7!・8・7・6/10!=7/15

OもAも隣り合わない並べ方を考える
O以外の7文字の並べ方のうちAが隣り合わないのは5!・6・5通り
この場合は同じようにOの入る場所を選び
5!・6・5・8・7・6
Aが隣り合う7!-5!・6・5=2・6!通りの場合は
Aの間に入るOを選んだ上で残りの7カ所からOの入る場所を選べばよいから
2・6!・3・7・6
隣り合わない確率は
(5!・6・5・8・7・6+2・6!・3・7・6)/10!=23/60
隣り合う確率は37/60

>>667(2)の条件が「整数」ではななくて「正数」なら求める範囲はどのようになるのでしょうか？

>>689
a<1, b>1
a≧1, b>a(1-loga)

>>690
a≦1, b>1
a>1, b≧a(1-loga)

>>684
質問が漠然としすぎ

敢えていうなら「すべての場合」だ。

“〜となる条件を求めよ。”という“条件”とは必要十分条件のことだから。
点の軌跡を求めるのもその点の満たすべき必要十分条件を求めること。

“必要”と“十分”を別々に示さないといけないかどうかというのは問題によるとしかいいようがない。

>>685
>>691

ありがとうございました！

今年のセンター�UＢの数列の問題の質問です。
(１)の最後の問題で、なぜ「３分の１のｎ乗」でくくるのか解りません。
どなたか教えて下さい。

>>694
皆が今年のセンターの問題を持ってると思いこむ理由を教えてください。

>>694
そうすると解けるからじゃねえか？
問題知らんけど。

ttp://www.yozemi.ac.jp/NYUSHI/center/recent/mondai/sugaku_iib/mon3.html

この問題の(1)の最後なら
「３分の１のｎ乗」でくくる必要なんかどこにもないと思うけど。
普通に指数法則で1+3+・・・2n-1=n^2だから
(1/3)^(n^2)が答えでおしまいじゃないの。

2次方程式の実数解と実数ｋの大小で

ｋがαとβの間　⇔　(αーk)（βーｋ）＜０　

だけでいいのは何故ですか？
判別式　Ｄ≧０　はいらないのですか？

コレがｋ＝０　のときは　αβ＜０　で
解と係数の関係から　αβ＝ｃ/ａ　だから
ａとｃが異符号となり　判別式が必ず０以上になるって
思ったのですが、
ｋのときは根拠でしょうか？

>>698
今のうちから
解と係数の関係を使うんではなく
グラフを利用する方法をマスターすべきだと言っておこう

いやたしかにグラフ利用はマスターする必要あるけど・・・
なにをもって「今のうちから」はダメなのかよくわからんぞ。
この問題は解と係数の関係を使うべき問題なんじゃない？

D>0の条件はいるんじゃないの？
いらないってどっかに書いてるか？

2次方程式の実数解てかいてあるから、
当然判別式D≧0がなりたっているわけで。

２次方程式の2解がｋの左右にひとつずつあるための条件
の話なんだろうな、おそらく

>>699
>>700
レスありがとうございます

黄チャート２/Ｂを使っています。
１　α＞０かつβ＞０　のとき　⇔　Ｄ≧０、α＋β＞０、αβ＞０
２　α＜０かつβ＜０　のとき　⇔　Ｄ≧０、α＋β＜０、αβ＞０
３　αとβが異符号　⇔　αβ＜０　このときＤ＞０である　

とあります。
これは実数解とkの大小でｋ＝０の時とかんがえて、ｆ(x)に０を代入して
ｆ(０)＜０となり、これは明らかに解を持つから
検討する必要が無い、そう理解しました

そして、ｋがαとベータの間　⇔　(αーｋ)(β−ｋ)＜０　
グラフの利用だと　ａ＞０のとき　ｆ(ｋ)＜０
とだけあります

Ｄ≧０を検討する必要が無い、その理由を知りたいって意味です。

そもそも会が存在するかどうかを議論したいわけじゃないのね
アルファとベータの積を実際計算してみよう
-Dが出てくるよ

>>698
問題書いて

ごめん違うしｗｗ

>>704
>>705
れすありがとうございます

問題ではなくて、基本事項に書いてあることです。
それさえ理解できなかったのですが、今、解決しました。
ありがとうございました。

放物線Ｃ:y＝x^2上の２点Ｐ(a,a^2),Ｑ(b,b^2)(a＜b)を考える。
(１)点Ｐ、ＱにおけるＣの接線をそれぞれl,mとするとき、lとmの交点Ｒの座標を求めよ。
(2)Ｃとl,mで囲まれた部分の面積が１/12となるための、a,bが満たすべき条件を求めよ。
(３)更に、lとmが直交するとき、aとbの値を求めよ。
（２）から解き方が分かりません。よろしくお願いします。

>α＞０かつβ＞０　のとき　⇔　Ｄ≧０、α＋β＞０、αβ＞０

右のＤ≧０は同値にするためだけに書いてある。
左から右だけならＤ≧０は不要。

なぜならα＞０と書いた時点で「αは実数」は保証されているから。
右から左の時には、α＋βとαβが実数でも、αは虚数のことがあるから。

>>708
接線の傾きはそれぞれ2a, 2bなので
l: y=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2
m: y=2b(x-b)+b^2=2bx-b^2
2ax-a^2=2bx-b^2
2(a-b)x=(a-b)(a+b)
x=(a+b)/2
y=2a(a+b)/2-a^2=ab

直線PQの方程式はy=((b^2-a^2)/(b-a))(x-a)+a^2=(a+b)x-ab
S=△PQR-∫[a, b](((a+b)x-ab)-x^2)dx=(1/2)(((a+b)(a+b)/2-ab)-ab)(b-a)-[((a+b)/2)x^2-abx-(1/3)x^3][a, b]=(1/4)(b-a)^3-(a+b)(b^2-a^2)/2+ab(b-a)+(1/3)(b^3-a^3)=(1/4)(b-a)^3-(1/6)(b-a)(3(a+b)^2-6ab-2(b^2+ab+a^2))=(1/4)(b-a)^3-(1/6)(b-a)^3=(1/12)(b-a)^3=1/12
b-a=1

2a・2b=-1
4a=4a(b-a)=-1-4a^2
4a^2+4a+1=(2a+1)^2=0
a=-1/2
b=1/2

>>708
（２）は、a〜（a+b）/2までの面積は1/3公式を使って
（1/3）｛（a+b）/2-a｝^3=（1/24）（b-a）^3　･･･�@
同様に（a+b）/2〜bまでの面積は
（1/3）｛b-（a+b）/2｝^3=（1/24）（b-a）^3　･･･�A
�@+�A＝1/12となるのは、（b-a）^3=1
b,aは実数だからb-aも実数。よって、b-a=1

>>710
ありがとうございます。ちなみに（３）は傾きを使って求めたらいいのでしょうか?

>>711
分かりやすい解答ありがとうございました。

漸化式の問題です。
次の条件で定められる{a(n)}の一般項を求めよ。
a(1)=1 n*a(n+1)=(n+1)*a(n)
解説では、a(n+1)/n+1=a(n)/n=･･････a(1)/1
となっていますが、まったく意味が分かりません。
よろしくお願いします。

>>714
その式はn≧1なるすべての自然数nに対して
n+1項をn+1で割った値とn項をnでわった値が等しいことを示している

具体的に書くなら
n=1のときa[2]/2=a[1]/1・・・(1)
n=2のときa[3]/3=a[2]/2=a[1]/1 (∵(1)より)　・・・(2)
n=3のときa[4]/4=a[3]/3=a[2]/2=a[1]/1　(∵(2)より)
・・・
n=292のときa[293]/293=a[292]/292=・・・・a[1]/1
・・・
n=1億2464のときa[1億2465]/1億2465=a[1億2464]/1億2464=・・・・a[1]/1
・・・

ということ。
n=nのとき、a(n)/n=･･････a(1)/1　∴a[n]=n

ｘｙｚ=１００を満たす正の正数解は何個あるか。

教えてください…。

2点A(3,0)B(0,2)がある。原点を中心とする半径1の演習場を
点Pが動くときPA^2+PB^2の最大値とそのときのPのx座標を求めよ

P(cosθ,sinθ)とおく (0°≦θ≦360°)
PA＾2+PB＾2=｛(cosθ-3)＾2+(sinθ)＾2｝+｛(cosθ)＾2+(sinθ-2)＾2｝
…
=-4sinθ-6sinθ+15
=-2√13sin(θ+α)+15 ただし cosα=2/√13 ,sinα=3/√13
0°≦θ≦360より-1≦sinθ≦1
よって最大値15+2√13
ここまであってますか？このあとPのx座標はどうやって求めればいいんですか？？
お願いします

2点A(3,0)B(0,2)がある。原点を中心とする半径1の円周上を
点Pが動くときPA^2+PB^2の最大値とそのときのPのx座標を求めよ

P(cosθ,sinθ)とおく (0°≦θ≦360°)
PA＾2+PB＾2=｛(cosθ-3)＾2+(sinθ)＾2｝+｛(cosθ)＾2+(sinθ-2)＾2｝
…
=-4sinθ-6sinθ+15
=-2√13sin(θ+α)+15 ただし cosα=2/√13 ,sinα=3/√13
0°≦θ≦360より-1≦sinθ≦1
よって最大値15+2√13
ここまであってますか？このあとPのx座標はどうやって求めればいいんですか？？
お願いします

100=2*2*5*5に注意してx≦y≦zとしても一般性を失わないから

x=1のときyz=100となるy,z
x=2のときyz=50となるy,z　(2≦y≦z)
x=4のときyz=25となるy,z (4≦y≦z)
のように調べてみて、その後x≦y≦zを取っ払う
という方針で考えてみたらどうだろう。

>>716
100=2^2・5^2
x=2^a・5^b
a, b, c≧0, a+b+c=2
p, q, r≧0, p+q+r=2
(2+3-1)C2・(2+3-1)C2=36

>>720
>x=2^a・5^b
x=2^a・5^p

>>718
計算してないけど
>-4sinθ-6sinθ+15=-2√13sin(θ+α)+1
これは間違ってる。

-4sinθ-6cosθ+15
=-2√13sin(θ+α)+1
が正しいすれば
θ=π/2-αのとき最大だからそのとき
cosθ=cos(π/2-α)で計算可能。

>>717
P(x, y)
(3-x)^2+y^2+x^2+(2-y)^2=2(x^2+y^2)-(6x+4y)+13=15-(6x+4y)=15-2√13((3/√13)x+(2/√13)y)
-1≦(3/√13)x+(2/√13)y≦1
(x, y)=(3/√13, 2/√13)のとき15-2√13
(x, y)=(-3/√13, -2/√13)のとき15+2√13

>>719
ありがとうございます！

>>720
ありがとうございます。
(2+3-1)C2

これは何を表しているのですか？

>>722
=-2√13sin(θ+α)+1じゃなくて
=-2√13sin(θ+α)+15なんですけど、
合成間違ってますか？　
-2で括らずに合成した方がいいんですか？
>>723
sinとかで解いてほしかったんですけど、
そのやり方だと解けないですか？　
xとかの文字の方が簡単なんですか？

>>724

あ、重複組み合わせですかね？

△ABCにおいて、asinA=bsinB,∠C=70°のとき、∠Bの大きさを求めよ。

誰か教えてください。お願いします。

>>726
OK、よく気がついた。
重複組み合わせならならxyzw=100000とかになっても
困らないから考え方をマスターするといい。
>>725
>-4sinθ-6sinθ
と両方sinになってるというだけでは？
もちろん普通に合成しても解ける。
Pのx座標の出し方は>>722に書いてもらってるね。
>>723の処理の仕方は上級者向けだね。
これも文字が増えたときに威力を発揮する。

ここは質問者以外にも見てる人がいるし、
質問者のニーズを優先する人もいれば、
一般化に耐えうる回答をする人もいる。
もちろん回答者の好みや自己満足もあるから、まあ気にしないｗ
でも余力があるなら別解の検討も大事かな。

大学で量子力学の基礎にあたる講義を受けいています。
この間出された課題がどうしてもわかりません。
　�@　f(Xn)=pe^qn n=0,1,2,3,・・・・　　　p,qは定数
　�A　Σ(lnf（Xn)+1)d/dx f(Xn)

�@を�Aの左辺に代入して0になることを示せ。

>>727
a=BC, b=CA?

a=2RsinA, b=2RsinB
asinA=2Rsin^2A=bsinB=2Rsin^2B
sinA=sinB (>0)
A=B, A+B=180°
A+B+C=A+B+70°=180°
A=B=55°

>>728
ただの写し間違いでした＞＜
答えてくださった方ありがとうございました

2x+3y=1を満たす整数(x､y)を求めよ



よろしくお願いします…

>>730
ありがとうございます。助かりました。

>>728
ありがとうございます。
もうひとつ関連してよろしいでしょうか？

この問題の場合、「三種類のa,b,cから重複を許して2個とる組み合わせ」ということですよね？
この文章はどういう意味なんでしょうか？