＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part89＊＊＊

今日の模試です。
解説はまだです。
分かる方、お願いします。

a, bは正の整数。7a+8b, 8a-7b　がともに正の整数の平方（2乗）となる。

１）　a, b　の組が無数に存在することを示せ。
２）　a　の最小値を求めよ
　

１）白石5個、黒石3個、円形に並べる方法は何通りか。
　
２）白石4個、黒石4個、円形に並べる方法は何通りか。
　


x＞０　の範囲で不等式
　e^x＞x^c
が成り立つ実数定数Cの範囲を求めよ。




１）
nΣk=0　nCk　・　(-1)^k/(k+1) = 1/(n+1)　を示せ

２）
m＝正の整数

nΣk=0 nCk　・　(-1)^k/(k+m)＝n!(m-1)!/(n+m)! を示せ

>>231
△ABE≡△(B)B(E)より
AB=(B)B
AB=A(B)なので
AB=A(B)=B(B)
よって△AB(B)は正三角形

＞△ABE≡△(B)B(E)より
あ、ほんとだ。
とんでもないところを見落としてましたね。
解説サンクスです。

>>233
週末の模試問題は日曜夜になるまでスルー推奨…
（日曜実施者のチートに利用される可能性あり)

だいたい、模試なら解説はいずれ配布されると思うんだが。
それ待てばいいじゃない。

>>236
代ゼミの東大模試なんで、数学は全国共通18日です

東大志望者が２ｃｈで答聞くなよｗ

>>233
マルチ

第一回東大入試プレ
http://changi.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1246621828/

>>233-239

>>226
直線と放物線の交点は(0, 0)および(1, a)
0≦k≦1とし
(k, ak^2)を通り直線に直交する直線の方程式は
y=-(1/a)(x-k)+ak^2
2直線の交点は
ax=-(1/a)(x-k)+ak^2より
x=l=(a^2k^2+k)/(a^2+1)
交点の原点からの距離をtとすると
t=l√(a^2+1)
交点と放物線上の点の距離をsとすると
s=(k-l)√(1/a^2+1)
求める体積は
∫[k:0→1]πs^2dt
dt=dl√(a^2+1)
dl=dk(2a^2k+1)/(a^2+1)
よって
(1/30)a^2/√(a^2+1)

>>241
>(1/30)a^2/√(a^2+1)
(π/30)a^2/√(a^2+1)

>>241
傘型分割の方が手早い

>>233
7a+8b=m^2
8a-7b=n^2
a=(1/113)(7m^2+8n^2)
b=(1/113)(8m^2-7n^2)
7m^2+8n^2, 8m^2-7n^2のいずれも113の倍数であるからm^2, n^2も113の倍数
113は素数（2, 3, 5, 7, 11で割り切れない）なのでm, nは113の倍数
m=133m', n=133n'とすると
a=133(7m'^2+8n'^2)
b=133(8m'^2-7n^2)
より無数に存在する（無数に存在することを言うのみであれば113の倍数であることを証明する必要はなく113の倍数であるm, nで示せば十分しかし次が言えない）
7m'^2+8n'^2≧15
よってa≧1995

>>233
黒3個が隣り合う場合が1通り
黒2個と1個に分離する場合は黒2個の両側から白5個を並べておき間の4カ所のどこかにもう1つの黒を置くことで4通り
黒3個がバラバラになる場合は黒の間に入る白の数の最大が1個はあり得ないので
2個の場合はその黒白白黒の両側から残りの白3個を並べると間に入る黒の置き場所は2カ所あるがどちらも置き方としては同じものになるから1通り
3個の場合はその黒白白白黒の両側から残りの白2個を並べると間に入る黒は1カ所なので1通り
最大が4個5個の場合はあり得ない
よって2通り
全部合わせて7通り

黒4個隣り合う場合が1通り
黒3個黒1個になる場合は3通り
黒2個2個になる場合は2通り
黒2個1個1個になる場合は2通り
黒4個バラバラになる場合は1通り
合計9通り

>>233
x>0なので対数を取り
x>clogx
c<0ならclogx→+∞ (x→+0)より不適
c=0は題意を満たす
c>0のとき
1/c>logx/x
(logx/x)'=(1-logx)/x^2=0はx=eでここで極大即ち最大値1/eを取るので
1/c>1/eよってc<e
0≦c<e

>>233
(1+x)^n=Σ[k=0, n]nCkx^k
∫[x:-1→0](1+x)^ndx=1/(n+1)=Σ[k=0, n]nCk[x^(k+1)/(k+1)][-1, 0]=Σ[k=0, n]nCk(-(-1)^(k+1)/(k+1)=Σ[k=0, n]nCk(-1)^k/(k+1)

(1+x)^nx^(m-1)=Σ[k=0, n]nCkx^(k+m-1)
∫[-1, 0](1+x)^nx^(m-1)dx=…=Σ[k=0, n]nCk(-1)^(k+m+1)/(k+m)=(-1)^(m+1)Σ[k=0, n]nCk(-1)^k/(k+m)
∫[-1, 0](1+x)^nx^(m-1)dx=∫[-1, 0](1+x)^n{x^m/m}'dx=[(1+x)^nx^m/m][-1, 0]-∫[-1, 0]n(1+x)^(n-1)x^m/mdx=(-1)n/m∫[-1, 0](1+x)^(n-1)x^mdx
=(-1)^n(n(n-1)…2・1)/(m(m+1)…(m+n-1))∫[-1, 0]x^(m+n-1)dx=(-1)^n・n!/(m(m+1)…(m+n-1)(m+n))(0-(-1)^(m+n))=(-1)^(n+m+n+1)・n!(m-1)!/(m+n)!
よって
(-1)^(m+1)Σ[k=0, n]nCk(-1)^k/(k+m)=(-1)^(n+m+n+1)・n!(m-1)!/(m+n)!より
Σ[k=0, n]nCk(-1)^k/(k+m)=n!(m-1)!/(m+n)!

>>227
角アはどこ？
正三角形になるのは
折り返しだからA(B)=AB
EFがABの垂直二等分線なので
AB=(B)B
となるから

>>244
>m=133m', n=133n'とすると
>a=133(7m'^2+8n'^2)
>b=133(8m'^2-7n^2)
>より無数に存在する（無数に存在することを言うのみであれば113の倍数であることを証明する必要はなく113の倍数であるm, nで示せば十分しかし次が言えない）
>7m'^2+8n'^2≧15
>よってa≧1995
m=113m', n=113n'とすると
a=113(7m'^2+8n'^2)
b=113(8m'^2-7n^2)
より無数に存在する（無数に存在することを言うのみであれば113の倍数であることを証明する必要はなく113の倍数であるm, nで示せば十分しかし次が言えない）
7m'^2+8n'^2≧15
よってa≧1695

>>245
白で考えた方がずっと早かったです
白5 1通り
白4+1 2通り
白3+2 2通り
白3+1+1 1通り
白2+2+1 1通り
これより細かくはできない

>>244
>7m^2+8n^2, 8m^2-7n^2のいずれも113の倍数であるからm^2, n^2も113の倍数
思い違いでした
m=44, n=1で
7m^2+8n^2=13560=113・120
8m^2-7n^2=15481=113・137
となります
無数にある方はm, nを113の倍数としてやればよいですが
最小値はもっと小さくなります（上記の場合でa=120おそらく最小値）

44は
11^2=121=8+113
32^2=1024=7+113・9
11・72=1+113・7
72・32=44+113・20
に依ります
素体F_{113}での平方根の計算に帰着させました

>>251>>252
説明お願いします

>>253
これは平方剰余に関する問題で
高校数学で解くのは骨が折れます（解けていません）
pを素数とするときF_p={0, 1, …, p-1}を素体といいます
素体の中で加減乗除算が定義できます
F_pの元aがF_pの元xによってx^2=aと表せるときaを平方剰余といいます
7, 8はいずれもF_{113}において平方剰余です
x^2=8 ⇔ x=±11
x^2=7 ⇔ x=±32
これらは
8, 8+113=121=11^2
7, 7+113=120, 120+113=233, 233+113=346, 346+113=459, 459+113=572, 572+113=685, 685+113=798, 798+113=911, 911+113=1024=2^(10)=(2^5)^2=32^2
として発見したものです
よって元の条件式8m^2=7n^2は
(11m)^2=(32n)^2となり
11m=±32n
1+113=114, 114+113=227, 227+113=340, 340+113=453, 453+113=566, 566+113=679, 679+113=792=11・72
より11・72=1ですから
m=±72・32n=±44n
n=1のときm=44, 69で条件を満たします
m=44, n=1のときが最小かどうかは
m=113k±44nと置き
7m^2+8n^2=113(120n^2+791k^2±616kn)=113a
a=120n^2+791k^2±616knは楕円放物面（308^2-120・791=-56<0）であり
da/dk=(308/791)n≒(3/8)nなので
n=8, k=3だとm=13
ああこれだとa=15でこれの方がずっと小さいですね
最小値はこれでしょうか

>>254
>da/dk=(308/791)n≒(3/8)nなので
da/dk=0 ⇔ k=(308/791)n≒(3/8)nなので

>>254
>7, 8はいずれもF_{113}において平方剰余です
最初の解答での誤解は7は平方剰余でないと思いこんだためです
その場合は8m^2=7n^2の解はm=n=0すなわち通常の数で言えばいずれも113の倍数の場合のみです

>>254
>ああこれだとa=15でこれの方がずっと小さいですね
>最小値はこれでしょうか
k=2=(3/8)nに近いのはn=5でm=6となりa=4ですね
地道にk=0, 1, 2, 3と調べていくのがよいのでしょうか
さすがにこれより小さくはならないように思うのですがどうでしょうか

>>254
>これは平方剰余に関する問題で
>高校数学で解くのは骨が折れます（解けていません）
おそらく高校数学範囲で解くためにスマートな解答が用意されていると推測されます

>>233
a=4, b=1で条件を満たす(m=6, n=5)ことを言えば
m=6+113k, n=5+113kでa, bが整数になりますのでそれが(1)
a=3では24-7b=17, 10, 3でNG
a=2では16-7b=9=3^2, 2だが14+8=22でNG
a=1では8-7b=1=1^2だが7+8=15でNG
これで終了ということでしょうかね

合成の公式で
ｒsin(θ＋α)のαってどうやってだすんですか？

>>260
合成の公式に一緒に書いてあるだろ。

数列a0、a1、a2、…、anを次のように定義する

a[0]=1/2
a[n+1]=1/(n+1)Σ『シグマの上→n 下→k=0』a[k]a[n-k] （n=0、1、2、…）

（1）
a[1]、a[2]、a[3]を求めよ
（2）
一般項a[n]を求めよ
（3）
b[n]=Σ『シグマの上→n 下→k=0』n!/{k!(n-k!)}a[k]a[n-k] （n=0、1、2、…）を求めよ

信州大の過去問です
シグマ部分をどう計算したらいいのかが分かりません…
よろしくお願いします

表記上の質問等あったらどうぞ

場合の数の問題なんですが、

A高校の生徒会役員は6名で、B高校の生徒会役員は5名である。
各高校の役員から、それぞれ2名以上出して、合計5名の合同委員会を作る。
作り方は何通りあるか。

(誤答)
まずA高校から2名、次にB高校から2名、
最後にAB高校関係なく余った者の中から1名選ぶ。
6C2×5C2×7C1

どこが間違ってますでしょうか？

>>263
そのやり方だと重複する組み合わせが出てしまいます
人は区別できるのでA高校ABCDEF、B高校GHIJKとおきます
例えばAB、GHと選んで最後はCの場合と
BC、GHを選んで最後にAというのは同じ組み合わせですよね

なので正しくは
(i)Aから3人、Bから2人出る場合
6C3×5C2＝20×10＝200通り
(ii)Aから2人、Bから3人出る場合
6C2×5C3＝15×10＝150通り

(i)、(ii)より
200＋150＝350通り


もしくは上記の例で、ABCGHの組み合わせでは
ABGH、C
BCGH、A
CAGH、Bと3通りあるので
6C2×5C2×7C1÷3としてもOKです

初歩の質問です

最新の奴じゃない（多分１つ前の版）青チャートのP286の問題の



「�A−�@×４から・・・」

のくだりですが、なぜ「(c+d)の消去」と言う手が一発で出てくるのでしょう？

>>265
とりあえず>>1を嫁
話はそれからだ

>>266
で、そのお前はどこまでやったんだ。
(1)(2)はこっちがやる必要ないな？

>>262
a[0]=1/2
a[1]=(1/1)a[0]a[0]=1/4
a[2]=(1/2)(a[0]a[1]+a[1]a[0])=1/8
a[3]=(1/3)(a[0]a[2]+a[1]a[1]+a[2]a[0])=1/16

a[n]=(1/2)^(n+1)と予想し帰納法で示す
a[n]=(1/n)Σ[k=0, n-1]a[k]a[n-1-k]=(1/n)Σ[k=0, n-1](1/2)^(k+1)(1/2)^(n-k)=(1/n)Σ[k=0, n-1](1/2)^(n+1)=(1/n)・n(1/2)^(n+1)=(1/2)^(n+1)

b[n]=Σ[k=0, n]nCk(1/2)^(k+1)(1/2)^(n-k+1)=(1/2)^2Σ[k=0, n]nCk(1/2)^k(1/2)^(n-k)=(1/4)(1/2+1/2)^n=1/4

今年の京大文系数学の５番(p^n)!はpで何回割り切れるか？pは素数でnは自然数です
の解説で質問なのですが
なぜいきなり[(p^n)/p]+[(p^n)/p^2)]+[(p^n)/p^3]+・・+[(p^n)/(p^n)]
って式をつくらないで
k{[(p^n)/(p^k)]-[(p^n)/(p^k+1)]}
を１からnまで足すって途中式をはさむのかわかりません

ｘ／ｘ~2＋1の積分ってどう解きますか？

>>269
p^kで割り切れてp^(k+1)で割り切れない数についてpがk個ずつ含まれるのでその合計
最初のものはpの倍数全部にpが1つ含まれ
p^2の倍数全部にpが1つ追加されと考えてその合計
p
pp
p
ppp
p
pp
p
pppp
p
pp
p
ppp
p
pp
p
ppppp
を縦に加えて合計するか
横に加えて合計するかの違い

>>270
x/(x^2+1)?
t=x^2+1
dt=2xdx
∫xdx/(x^2+1)=∫(1/2)dt/t=(1/2)log|t|=(1/2)log(x^2+1)

>>260
t=Asinθ+Bcosθ
(A, B)の原点からの距離をr(=√(A^2+B^2))
x軸の正の方向からの偏角をαとすると
A=rcosα, B=rsinα
t=rsinθcosα+rcosθsinα=rsin(θ+α)

質問です。
高1で青チャート�T+Aと�U+Bを完璧にしたら河合模試で偏差値どれぐらい生きますか？
今は50です

これは置換するまでもないだろ

>>269
言ってることは同じだが、アプローチが違うだけじゃないの。
たとえば上はp^2はp^1とp^2で1回ずつ数えてて、下はp^2だけで2回数えてるだけ。

>>270
マルチ

>>274
75

数学が本当に全然出来ない。
学校の成績とかで言うと数学は２とか。
どれだけ問題を解いて解いて、それを完璧に把握してもテストでは全く点が取れない。
拒否反応みたいに、どれだけ頑張っても予習復習しても、寝たら数学の事はすぐ忘れる。
数学が入試に無い大学に進む道もあると思うが、悪あがきしてみたい。

数�T・Ａだけでいいんだが、猿でも解る数�T・Ａの参考書、みたいなのないかな。
なんかマジで悩んでて変な文章で申し訳ないです

>>264
ありがとうございます。
わかりやすいです。

また場合の数なんですが、

正四面体に色を塗りたい。ただし、1つの面には1色しか塗らないものとし、
色を塗ったとき、正四面体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。
異なる4色がある場合、その4色すべてを使って塗る方法は全部で何通りあるか。

解答では特定の1色を底面に固定して考える、とあるのですが、
どうして固定していいのでしょうか？
円順列でもそうですが、理解し切れません。

>>279
実際に頭の中に正四面体をイメージでき(て)る?

イメージできたらとりあえず1色塗る。赤青黄緑として赤を塗る場合で考えるが、
どういう状態でどの面に赤を塗っても、塗った赤を「底」になるような位置に置ける。

どの色から塗りだしても、最終的には「4色を4面に塗る」のだから出来上がりは
色を塗った順序に依存しない。であれば、どの色から塗り始めるかは勝手に
設定した上で場合の数を考えても構わない（これは円順列の「何か1つを固定して
他の位置をそれとの相対関係で区別できるものと考える」考え方と共通)

ここまでできたら、底面に含まれない頂点の真上から見る(ことをイメージする)。
残り3面が円順列の関係をなすことはもはや明らか。

数�Tの質問です
放物線 y=x^2 上の点(1,1)における接線の方程式を求めよ。
という問題なのですが…。
考え方が最初から分からないので、質問をさせて頂きました。
どなたか、解説をよろしくお願いします。

>>281
接線は明らかにy軸平行でないから、傾きmで(1,1)をとおる直線をつくり、それを二次曲線に代入して判別式を使って重解をもつときのmを求める
計算してないからわからんが、もしかしたらmの二次式になって不適なmがでるかもしれんからそれも確かめたほうがいい

>>281
手順だけなら>>282でいいが「考え方」が必要なら。

一般に、座標平面に(軸がy軸に平行な)放物線と、(y軸に平行ではない)直線が
あったとする。または、y=x^2のほうはそのまま使って、これと(y軸に平行ではない)
直線を考える。

さて、放物線と直線の交点はいくつあることがあるだろうか。
放物線に直線が2点で交わる場合(たとえばy=x＾2とy=x+1)がある。
放物線に直線が交わらない場合（同じく、y=x^2とy=ｘ-5）もある。
そして、1点だけを共有する(1点だけで重なる)場合がある。これが接線になる場合。

二つのグラフの交点なり共有点なりは、それらの式を連立させた方程式の
解として得られる。これは中2で、直線どうしでやった話の延長(中3で直線と
放物線の場合もやってるとは思うが)。
y=x＾2とy=mx+nの2式を連立させてyを消し、整理するとx^2-mx-n=0
この2次関数が解を1個だけ持つ条件と言うのは、2次方程式に関する理論として
既習のはず。それを利用すればいい。

考え方は以上だけれど、上の説明でy=mx+nとしたところには、あらかじめ「点(1,1)を通る」
という与えられた条件を反映させて立式を行っておけばそれでいいことになる。

放物線の接線の性質使って、x軸と直線の２交点は(1/2,0)だから、(1/2,0)と(1,1)を通る直線

重根条件から
x^2-l(x)=(x-1)^2

軌跡の問題です。
ｘｙ平面において、原点Ｏて異なる点Ｐに対し、半直線ＯＰ上に点ＱをＯＰ･ＯＱ＝１となるようにとる。点Ｐが円(ｘ-１)'2＋(ｙ-１)'2＝ａ(ａ＞０)上を動くとき、点Ｑの軌跡を求めよ。

いろいろ考えはしたんですが、方針もわからないです。この問題はどのように解いたらよいのでしょうか？

>>286
OQ↑を(X,Y)、OP↑を(x,y)とおくと
OQ↑=kOP↑かつOQ･OP=1からkの値がXYで表せ、それよりx,yがそれぞれX,Yだけで表せる
あとは円に代入する
求まった式はaの値によって直線になったり二次曲線になるからaで場合分け

いまさらだが、直線にはならないな

1対1の�Uの「微分法とその応用」例題14についてです。
どうしていきなり解答の四行目のような式が成立するのですか？
解説お願いします

>>265>>289
「Cheese!」今月増刊号のP314の元ネタ教えて？
「モエマックス」P206で出ていたコスプレ喫茶の女の子の衣装は何ですか？

数学�Uの円と接線について質問です

円x^2+y^2=r^2上の点（a,b）における接線lの方程式が、なぜ
l:ax+by=r^2
で表されるのかわかりません。
どなたか教えてください。

接線上の点をX(x,y)
接点をA(a,b)とすると
OA↑・OX↑=OA↑・OA↑が成立する(正射影)

>>291
x＾2＋y＾2=r＾2をxで微分すると
2x＋2y・(dx/dy)=0
dx/dy=-x/y
により(a,b)における傾きは
-a/bなので
(a.b)における接戦は
y=(-a/b)(x-a)＋b
ax＋by=a＾2＋b＾2
ax＋by=r＾2

>>291
x^2+y^2=r^2
2xdx+2ydy=0
x(X-x)+y(Y-y)=0
xX+yY=x^2+y^2=r^2

ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
2axdx+bxdy+bydx+2cydy+ddx+edy=0
(2ax+by+d)dx+(bx+2cy+e)dy=0
(2ax+by+d)(X-x)+(bx+2cy+e)(Y-y)=0
(2axX+b(Xy+xY)+2cyY+dX+eY)-(2ax^2+2bxy+2cy^2+dx+ey)=0
(2axX+b(Xy+xY)+2cyY+dX+eY)-(-2(dx+ey+f)+dx+ey)=0
2axX+b(Xy+xY)+2cyY+d(X+x)+e(Y+y)+2f=0
axX+b(Xy+xY)/2+cyY+d(X+x)/2+e(Y+y)/2+f=0

x^2→xX
y^2→yY
xy→(Xy+xY)/2
x→(X+x)/2
y→(Y+y)/2

説明ありがとうございました

解法の違いだということはわかりました
実際の試験だと
いきなり[(p^n)/p]+[(p^n)/p^2)]+[(p^n)/p^3]+・・+[(p^n)/(p^n)]
の式を持ち出していいわけですね
無論こういう式を導出した説明は書く必要はあると思いますが

x>0のとき
(3x^2-1)/4xの最小値を求めよ　
これをお願いします

>>291
数学IIレベルの説明だと微分は使わないような気がします．
「図形と方程式」の知識の応用で解説しますと，まず円の中心O(0,0)と円周上
の点A(a,b)を結ぶ直線の傾きは，b/aとなります．
点Aにおける円の接線lはこの直線OAと直交するので，接線lの傾きをmとおくと，
m * (b/a) = -1．
∴ m = -a /b …(1)
が成り立ちます．

また，接線は点A(a,b)を通るので，
y - b = m(x-a)
と表せます．これに式(1)を代入して，
y - b = (-a/b) * (x-a)．
∴ ax + by = a^2 + b^2 …(2)

ここで，点A(a,b)というのは，円: x^2 + y^2 = r^2　上の点ですから，
a^2 + b^2 = r^2 …(3)
となります．式(3)を式(2)の右辺に代入すると，
接線l: ax+by = r^2
が導けます．

点(x, 3x^2-1)と原点を結ぶ直線の傾きの1/4倍とみなせる
放物線y=3x^2-1を考えればすぐ

>>296
そーかそーし゛ょーへーきんor微分

質問です
曲線y=x^2 と y=2x^2-4x+3 について、何故に２つの曲線の相似の中心が(2，2)になるんですか？

>>299
バカは解答するな

(x^3+5x-6)/(x-1)

という計算の解き方がわかりません｡

途中式などありましたらお願いします｡

>>302
数学板高校質問スレとマルチ
--
337 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2009/07/20(月) 21:23:38
（x^3+5x-6）／（x-1）

という計算問題がわかりません｡
--
しかも向こうで「割れ」と答え貰ってる。割り算のやり方がわからなければ
教科書嫁。

x^2 ＋10^(−3) −10^(−6)＝0

解けますか？

>>300
2放物線は(2,2)で接していないのだが、書き間違いはないか

>>300
対応する点を結ぶ直線の交点になるのが掃除の中心。

頂点どうしは対応するから(0,0)と(1,1) を結ぶy=xがまず1本目。

傾き4(たとえば)の点どうしも対応すると考えて、
y=x^2側の(2,4)と y=2x^2-4x+3 (→y'=4x-4) 側の(2,3) を結ぶx=2 が2本目。

その交点が(2,2)。

たとえば傾き8でとって、(4,16)と(3,9）を結ぶy=7x-12をとって
y=xと連立させてもx=2と連立させても同じ(2,2)が出てくる。

初めて見た
これは勉強になる

>>306 ありがとうございました
だから２放物線の２共通接線が相似の中心になるのね！

>>300-
数C既習なら、2本目の直線として、焦点(0,1/4) と (1,9/8) を結ぶ
直線を考えてもいいはず。増分を考えれば(2、9/8+(9/8-1/4))=(2,2) を通る。

あと、必要性しか言ってないので、十分性も(ある程度)ちゃんと言う必要が
ある場合には
・相似の中心は必ず唯一つ存在するはずなので
と書いておくか、数式使った十分性を言うための議論とかが要ると思う。
この場合なら((t+2)/2, (t^2+2)/2) が必ず y=2(x-1)^2+1の上に
乗ることがすぐ言える。
左辺：t^2/2 + 1
右辺：2*(t/2)^2 + 1

基礎問題精講の基礎問83と演習問題84についての質問です。

【基礎問83】
関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cは、x=2で極小値0をとり、x=1における接線の傾きは-3である。
このとき、a、b、cの値と、極大値を求めよ。
【演習問題84】
3次関数f(x)=x^3-3ax^2+3x-1について、次の問いに答えよ。
(1)極値をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(2)x=2で極小となるとき、aの値と極値を求めよ。

基礎問83ではf(x)が適するかどうか吟味(確認)が必要なのに、演習問題84(2)では吟味が必要ではない理由がわかりません。
(基礎問83は「x=2で………傾きは-3」に“なるように”関数を設定する問題であり、
演習問題84は「x=2で極小となる」という“前提”のもと、aの値と極値を求める問題だからだと勝手に解釈してます。)

f'(α)=0→x=αで極値　〇
x=αで極値→f'(α)=0 ×

というのはもちろん知ってますが、
どういう問いの場合に吟味が必要で、どういう問いの場合に吟味が必要でないのかがわかりません。
本当に初歩的な質問で申し訳ないですが、教えていただけたら幸いです。

>>310
> f'(α)=0→x=αで極値　〇
> x=αで極値→f'(α)=0 ×

３次関数だという前提で‥

逆では？

すみません>>310は間違えてたのでもう一度はじめから書き込みます。
>>311さんありがとうございました。


[訂正版]
基礎問題精講の基礎問83と演習問題84についての質問です。

【基礎問83】
関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cは、x=2で極小値0をとり、x=1における接線の傾きは-3である。
このとき、a、b、cの値と、極大値を求めよ。
【演習問題84】
3次関数f(x)=x^3-3ax^2+3x-1について、次の問いに答えよ。
(1)極値をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(2)x=2で極小となるとき、aの値と極値を求めよ。

基礎問83ではf(x)が適するかどうか吟味(確認)が必要なのに、演習問題84(2)では吟味が必要ではない理由がわかりません。
(基礎問83は「x=2で………傾きは-3」に“なるように”関数を設定する問題であり、
演習問題84は「x=2で極小となる」という“前提”のもと、aの値と極値を求める問題だからだと勝手に解釈してます。)

f'(α)=0→x=αで極値　×
x=αで極値→f'(α)=0　〇

というのはもちろん知ってますが、
どういう問いの場合に吟味が必要で、どういう問いの場合に吟味が必要でないのかがわかりません。
本当に初歩的な質問で申し訳ないですが、教えていただけたら幸いです。

>>310
まず、
　f'(α)=0→x=αで極値・・・（A）
　x=αで極値→f'(α)=0・・・（B）　　としとくね。

それで、問題83のほうなんだけど、
x=2で極小値をとるよね？だから（B）より f'(2)=0 が成り立つ。
でもこれの逆は成り立たない。
つまり、f'(2)=0 だからといってx=2で極小値をとるとは限らないんだ。
だから、x=2でちゃんと極小値をとるかどうか確かめるために、
"x=2の前後で導関数の符号が負から正に変わっているかどうか"を
確かめなければならないんだ。
（たぶん、解答では増減表を書いて確かめていると思う。）

それで、問題84のほうなんだけど、
これは、解答では、aの値を求めたあと
実際に増減表を書いて極大値と極小値を求めているんじゃないかな？
これで、十分性が確かめられるんだ。
だから、吟味(？)をする必要がないんだよ。


よーするにラフにいうと、
３次関数なんかが極値をとるためには、微分係数=0が必要 なんだけど、
それだけでは、極値をとるかどうかがわからないから
「実際に増減表を書いて確かめましょ」
ってことなんだ。

わかりにくかったら、ごめんね。

>>312
「f '(α)=0 であっても f(α) は極値とは限らない」ということを問いているのでは？
第2次導関数や変曲点など

(例)
ｆ(x)=x^3 は f '(0)=0 ではあるが x=0 では極値ではない

黄チャ１Aの26Pの例題が意味わかりません
特に（1）の解説の2行目から3行目。なんでこうなるの？って感じです
分かる方詳しく教えてもらえるとありがたいです

>>315
>>1

>>315
問題書いて

(tan25゜+tan65゜)^2-(tan25゜+tan115゜)^2の値を求めよという問題で、自分は最初に展開してから余角、補角の公式を使って
整理したら4+2/tan^2 25゜という答えになりました。
しかし、参考書の回答を見たら始めにtan115゜の部分を補角の公式を使って(tan25゜-tan65゜)としてから展開をしていて、答えは４になっていました。
この問題では最初に展開をしてはいけないのでしょうか？一応もう１度計算しなおしたのですがやっぱり2/tan^2 25゜が余ってしまって・・・


それと、もう１つ質問していいなら聞きたいのですが、0゜≦θ≦180゜のとき、cosθ-1/√2＞0を解けという問題で、
cosθ＞1/√2と変形してから、1/√2より大きいcosθの範囲は45゜＜θ≦90°・・・と考えたのですが、回答には0゜＜θ≦45°となっていました。
これはどこが間違っているのでしょうか？


長々とわかりにくいかもしれませんが、もしよければ教えてください。

>>318
tan25°tan65°=1
tan115°=-tan65°
tan25°tan115°=-tan25°tan65°=-1

(tan25°+tan65°)^2-(tan25°+tan115°)^2
=(tan25°)^2+2tan25°tan65°+(tan65°）^2-(tan25°)^2-2tan25°tan115°-(tan115°)^2
=(tan25°)^2+2+(tan65°)^2-(tan25°)^2+2-(tan65°)^2
=4

>>318
cos90°=0<1/√2

>>318
一つ目はただの計算間違いでしょ。
-(tan115゜）^2　のところを +(tan115゜)^2にしちゃったんじゃないかと。

二つ目はsinθとcosθを勘違いしてない？
あと、解答は0゜≦θ＜45°じゃね？

２００７年の東大・京大のオープン模試の問題で質問です。

問１：xy平面の原点Ｏと第１象限にある点Ｐを結ぶ線分ＯＰの垂直二等分線とｘ軸、ｙ軸によって囲まれる三角形の面積が√3であるとき、
　　　点Ｐのｘ座標の最大値を求めよ。
問２：３次方程式x^3-3kx＋k^2＝0が相異なる３個の実数解α,β,γ（α＜β＜γ）をもつときの実数kの範囲を求めよ。
　　　また、ｋがこの値を変化するとき３個の解α,β,γそれぞれのとり得る値の範囲を求めよ。




まず問１の自分の解答なんですが、
まずＰ（s,t）とおいて直線ＯＰをだし、それに垂直な直線を仮定上で作りました。
そして、ｘ軸とｙ軸との交点を求めてその直線とｘ軸、ｙ軸で囲まれる三角形が√３になることを利用してsの最大値を求めにいこうと思ったのですが、
この解き方だとs^4＋2（st）^2＋t^4＝8√3stという式になりtは残ってしまい解けなくなってしまいました。


問２に関しては出だしからよく分かりません。
微分して慨形を出してグラフ利用して解くものかと思っていたけど、全然解けず行き詰っています。

まぎらわしい表記ですが、問１と問２はつながっていません。
どなたか解説お願いします。

>>314
>>312に書いた通り、それはわかってます。
“問いている”ではなく“問うている”です。

>>313
正直、その説明はわかりにくいというか、汎用性が低いと思われます。
しかしヒントは頂けました。

�@「f(x)がx=αで極値をとるためにはどうすればいいのかな？」
�A「よくよく考えてみれば、f(x)がx=αで極値をとるときには必ずf'(α)=0だ！」
�B「でも待てよ…f'(α)=0だからといってf(x)がx=αで極値をとるとは限らないぞ！
極値をとる場合もあるし、とらない場合もある！」
�C「だったら、取り敢えずはそのままf'(α)=0から導き出された条件Aをもとにf(x)を特定しよう！
もし増減表を書いてみて、それが題意に沿った関数であるなら条件Aは正しいことになるし、題意に合わない関数であるなら条件Aは正しくないことになる！」
�D「題意に沿った関数だ！わーい！」
ということですね？

長さが3である線分ABの三等分点でBに近い方をOとする。
点Oを中心とし半径が1である円と、点Aを通る直線が2点
P,Qで交わるとき、三角形BPQの面積の最大値を求めよ。

という問題で、Aを原点とおいて座標を使って解こうと
しましたがわかりませんでした
どなたかお願いします

∠PAO=θとして
(PQ/2)^2+(AOsinθ)^2=1
PQとBの距離はABsinθ
θの範囲は簡単に出るだろう

>>319
>>320
>>321


ありがとうございました。
１つ目は計算間違いで、２つ目は>>321の人のいうとおりsinθとcosθを勘違いしていました。
解答も0゜≦θ＜45°でした。
もう少し落ち着いて問題を解くことにします・・・

>>322
一番はs,tだと埒が明かないから変数したら？
s=rcosθ,t=rsinθ（0＜θ＜π/2）で条件式からr^2=8√3cosθsinθ
s^2=r^2(cosθ)^2=8√3(cosθ)^3sinθ
あとは微分

８月２２日に模試があるんですが数�Uで点を稼ぎやすいところはどこですか?

>>322
とりあえず定数分離しかわからない
二番はkについての二次方程式とみて
k={3x±x√(9-4x)}/2からf(x)=右辺の式を頑張って微分（＋と-で別々に考える）
後はグラフの概形から三つの解の範囲を出す
kの範囲だけ求めるならg(x)=x^3-3kx+k^2をxで微分して極大値＞0かつ極小値＜0
から0＜k＜4と出るが。

>>322　Q1だけ
作られる三角形のX切片になる点をT(t,0)とすると
y切片になる点SはS(0,(2√3)/t) このtでOPとその垂直2等分線の交点Mの
座標を表すと考える。

STの方程式はx/t + (t/2√3)y =1 だが、図形的にSTはOMを半径とする円の
Mにおける接線でもある。従ってstの両辺をk倍して、
(k/t)x + (kt/2√3)y = k という形にした式を考え、
(k/t)^2 + (kt/2√3)^2 = k となるkがtの式として見つかれば、
この式は原点を中心とする半径^2=kの円の接線の方程式の形であるから、
ｘの係数k/tがMのｘ座標を表すことになる。

両辺12t^2倍して
12k^2 + k^2t＾4 = 12kt^2
k( (12 + t^4)k -12t^2 ) =0
kはある円の半径^2であり正だから k=12t^2/(12+t＾4)
このときSTの方程式は
(12t/(12+t＾4))x + { ((2√3)t＾3)/(12+t＾4) }y = 12t^2/(12+t＾4)
(xとｙの係数の2乗和が確かに右辺になる)。

従って、考える垂直二等分線のx切片がt(明らかに正の実数全体を取れる)であるとき
Mのx座標の2倍であるPのx座標は24t/(12+t^4) となる。あとは微分で最大値を考えればいい。
t=√2のときPのx座標は(3√2)/2 となったが、合ってるかどうかはあまり自信ない。

数標�UBの標問76の質問です

sin(θ+α/2）を最大値を求める際に、解答では　α/2＜θ+α/2＜180°-α/2　　　�@　　だから
θ+α/2＝90°のとき最大になる。とありますが

θ+α/2の範囲を考えた時、どして�@となるかがわかりません。何に着目したら�@を導けるのかもわかりません。
お願いします。

問題文省くな

>>331　問題文です

∠A＝α　AB＝AC＝a である三角形ABCに外接する正三角形PQRを
A,B,CがQR、RP、PQ上にあるように取る。　∠BAR＝θとする。

（１）QRの長さをa、α、θを用いて表せ
（2）θが変わるとき、正三角形PQRの面積が最大となるのはどんな場合か。

θは0ﾟから180ﾟ-αまで動く
それぞれARとABが、AQとACが平行になるとき

>>333
∠ARB=∠AQC=π/3だから△ABR, △AQCについての正弦定理より
a/sin(π/3)=AR/sin(π-π/3-θ)
a/sin(π/3)=AQ/sin(π-π/3-(π-α-θ))
AR=(2a/√3)sin(2π/3-θ)
AQ=(2a/√3)sin(α+θ-π/3)
QR=AR+AQ=(2a/√3)(sin(2π/3-θ)+sin(α+θ-π/3))=(2a/√3)=(4a/√3)sin(α/2+π/6)cos(π/2-α/2-θ)=(4a/√3)sin(α/2+π/6)sin(α/2+θ)

α/2+θ=π/2となるときがQR最大よって面積最大
これは∠BACの2等分線とQRが垂直即ちQRとBCが平行となるときである

>>322
OPの垂直2等分線lのx, y切片をa, bとするとab=2√3
lはx/a+y/b=1
OPの中点がl上にあるからx/a+y/b=2
直線OPはx/b-y/a=0よりy=(a/b)xを代入して
x/a+(a/b^2)x=2
x=2/(1/a+a/b^2)=2/(1/a+a^3/12)
(1/a+a^3/12)'=-1/a^2+a^2/4=0 ⇔ a=√2
増減表を書くとここで極小即ち最小値を取るから
xの最大値は2/(1/√2+√2^3/12)=3/√2

>>322
f(x)=x^3-3kx+k^2とすると
f(x)=0に相異なる3つの実数解があるので
f'(x)=3x^2-3k=0に相異なる2つの実数解がある
よってk>0, x=±√kで極大極小となり
f(-√k)=-k√k+3k√k+k^2>0
f(√k)=k√k-3k√k+k^2<0
となることがf(x)=0に相異なる3つの実数解がある条件であり
k>0なので
2√k+k>0, -2√k+k<0
√k<2
0<k<4

この方針は詰まりますね

>>331
ありがとうございます。正弦定理で三角形PQRの面積を求めること、　それと面積を最大にするのに、
sin(α/2+π/6）が正の定数であることは理解出来ました。　解らないのが

＞＞sin(θ+α/2）を最大値を求める際に、解答では　α/2＜θ+α/2＜180°-α/2　　　�@　　だから
θ+α/2＝90°のとき最大になる。とありますが

θ+α/2の範囲を考えた時、どして�@となるかがわかりません。何に着目したら�@を導けるのかもわかりません。
お願いします。。＜＜

QR//BC　つまりθ+α/2＝90°の時に最大であることは図形的には納得できます。そのことを示すのに本当に
�@が必要なのかも疑問ですが。

>>322
k^2-3kx+x^3=0
k=(3x±√(9x^2-4x^3))/2=x(3±√(9-4x))/2
x≦9/4
2つの関数y=x(3±√(9-4x))/2のグラフを描くと
y'=3(√(9-4x)±(3-2x))/√(9-4x)=0より
x=0 (-√), 2 (+√)
増減表を描くと
x=0で極小値0
x=2で極大値4
グラフを描いてy=kとy=x(3±√(9-4x))/2の交点の個数を数えると
0<k<4において3個の交点を持つ
またそれらの交点のx座標がそれぞれα, β, γであり
0<k<4において-4<α<0<β<2<γ<9/4

>>339
>-4<α<0<β<2<γ<9/4
-4<α<0<β<2, 0<γ≦9/4

>>338
>>334に書かれています

>>341　
ありがとうございます。　これで納得できました。

sin(t)/cos(t)の積分の計算方法を教えて下さい。
よろしくお願いします。

-log(cos(t)) + C

sin(t)/cos(t)=tan(t)

よろしくお願いします。解答はついていません。

さいころを繰り返し投げ、出た目の数を加えていく。その合計が4以上になったところで投げることを終了する。

1の目が出たところで終了する目の出方は(ｱ)通りである。
2の目が出たところで終了する目の出方は(ｲ)通りである。
3の目が出たところで終了する目の出方は(ｳ)通りである。
4の目が出たところで終了する目の出方は(ｴ)通りである。

(ｱ)〜(ｴ)をお願いします。できれば解説もつけてくださると助かります。

>>325
　すみません
　もう少し詳しくお願いします

>>345
1の目が出た時に終了→その前回までに合計3になるように出ている。
→1-1-1 , 2-1, 1-2, 3 が条件を満たす。

2の目が出たときに終了→その前回までに合計2「以上」になるように出ている
　（合計3になったあと2がでて合計5であっても「4以上で終了」する）

以下同様。

>>347
先に進めました！ありがとうございました！

>>345の続きなのですが

さいころを繰り返し投げ、出た目の数を加えていく。その合計が4以上になったところで投げることを終了する。

投げる回数が4回で終了する確率は(？)である。

(？)は何でしょうか。
なぜ6/41ではないのでしょうか？
よろしくお願いします。

>>349
4回目で終わるためには、
・その前に3回投げてまだ終了してない
・4回目で4以上になる
ことが条件。前者は1-1-1しかありえず、このとき4回目に何が出てもそこで終わる。
結局、3回振って1-1-1が出る確率と同じだから(1/216）、でいいと思うんだけど。

>>350
ありがとうございました。
無事最後までできました！

>>312
基礎問の解答を見てみたけど、演習問題84のほうでも一応吟味はしているよ。
吟味ってのはx=2で実際に極小値をとるかどうかの確認のことでしょ？
f'(2)=0であることが必要、つまりa=5/4であることが必要 なんだから、
このaの値のとき、x=2で極小値をとることが確認できればいいよね？
そこで解答では、
「f'(x)=(3/2)(2x-1)(x-2)　から　x=2で極小値をとる」
というふうにして、吟味をしているんだ。


あと、>>323に書いてある理解で大体オッケーじゃないかと思う。
必要条件でしぼってそれが十分かどうか確かめるっていうやり方は
よく使われるし、恒等式の数値代入法のところでもやったと思う。

f(t)は微分可能な単調増加関数で、その
逆関数も微分可能とする。実数xに対して
関数g(x)を次のように定義する。

g(x)=∫(t:0→1)｜f(t)-x｜dt

a=f(1/2)とおくとg(x)はx=aで最小値を
とることを証明せよ。

まったくわかりません

数学質問掲示板でしたんだけどレスがないから
ここでお願いします。はいマルチですよ、でも
知りたいんです、何やってもダメ。

>>353
h=f^(-1)
dg(x)=h(x)dx-(1-h(x))dx=(2h(x)-1)dx=0
h(x)=1/2
x=f(1/2)

>>353
正面から強引に
・x≦f(0)で、g(x)＝∫(0→1)f(t)−x dt、g'(x)＝−1
・x≧f(1)で、g(x)＝∫(0→1)x−f(t) dt、g'(x)＝1
・f(0)≦x≦f(1)で、x＝f(α)なるαが、各xに対してただ1つ存在し、
g(x)＝∫(0→α)x−f(t) dt＋∫(α→1)f(t)−x dt、g'(x)＝(2α-1)x
よってα＝1/2において最小値g(f(1/2))をとる

ベクトル
AB(a,b,c)
AC(p,q,r)
として平面ABCの法線ベクトルnを
(br-cq,cp-ar,aq-bp)
として求めたら減点になりますか？
やっぱnとAB、ACの内積をそれぞれゼロとしていちいち求めないと駄目なのでしょうか？

求めた方法や計算は一切ださないで
平面ABCの法線ベクトルの一つはn(∵n･AB=0,n･BC=)
で十分だとｵﾓ

よろしくお願いします
最後の２問がさっぱり分かりません

0≦θ＜2πの範囲で
5sinθｰ3cos2θ=3　…………(＊)
を満たすθについて考えよう。

方程式(＊)をsinθを用いて表すと
(?)sin^2θ+5sinθｰ(?)=0
となる。したがって、ｰ1≦sinθ≦1より
sinθ=(?)
であり、0≦θ＜2πの範囲でこの等式を満たすθのうち、小さい方をθ1、大きい方をθ2とすると、
cosθ1=(?)、cosθ2=(?)
である。

θ1について不等式(?)が成り立つ。(?)に当てはまるものを次の(0)〜(5)のうちから一つ選べ。

(0)0＜θ1＜π/12
(1)π/12＜θ1＜π/6
(2)π/6＜θ1＜π/5
(3)π/5＜θ1＜π/4
(4)π/4＜θ1＜π/3
(5)π/3＜θ1＜π/2

ただし、必要ならば、次の値
cos(π/5)=(1+√5)/4
cos(π/12)=(√6+√2)/4
を用いてもよい。

さらに不等式nθ1＞θ2を満たす自然数nのうち最小のものは(?)である。

>>358
5sinθ-3cos2θ=3
5sinθ-3(1-2sin^2θ)=3
6sin^2θ+5sinθ-6=0
(3sinθ-2)(2sinθ+3)=0
sinθ=2/3
cosθ=±(√5)/3

θ=0, π/12, π/6, π/5, π/4, π/3, π/2
cosθ=1, (√6+√2)/4, (√3)/2, (1+√5)/4, (√2)/2, 1/2, 0
(1+√5)/4≒0.809
√5/3≒0.745
√2/2≒0.707
よりπ/5<θ1<π/4

θ2=π-θ1
3π/4<θ2<4π/5
3θ1<3π/4<θ2<4π/5<4θ1
n=4

>>358
今年のセンターIIBの大問1の後半そのまま。
予備校サイトで丁寧な解説が得られると思われ。
たとえば
http://www3.stream.co.jp/www11/kawaijuku/meta/center2009/math/2b_01_500k.asx
(河合塾、WindowsPC等に対応した動画解説)

>>322
問２

x^3-3kx＋k^2＝0 ⇔ x^3−9x^2/4＝−(3x/2−k)^2

>>359
やっぱり√5の数は覚えてないとダメですよね……。
ありがとうございました。

>>360
気づきませんでした。お恥ずかしいです
解説を手に入れました。ありがとうございました。

f(x),g(x)は区間a≦x≦bで、共に連続かつ微分可能であるものとする。
この区間で、f(x)の最小値をm1、g(x)の最大値をm2(≠0)とするとき、
f(x)/g(x)≧m1/m2
が成り立つか。もし成り立たないならば、反例をあげよ。

具体的な関数で反例を考えようも、よくわかりません。どうも式は正しいように思えるのですが、証明できず困っています。
よろしくお願いします。

f(x) = x^2 - 1
g(x) = -1

m2は最大値か。スマン忘れてくれ。

>>363は定義域内の全てのxについて不等式が成り立つのか、その不等式を満たすxが少なくとも1つ存在するのかわからない。
全てのxについてなら>>364の反例でなりあったないことが示せていると思うが。

そして>>365
お前は何を言っているんだ？

>>363
f(x)≧m1>0
0<g(x)≦m2
ならば
f(x)/g(x)≧m1/m2
は成立します

y=g(x)の最大値が正だがyは負もとる場合成立しなお

loga^(1/2):logaって簡単な比に直せますか？

(1/2)loga : loga=1 : 2 (loga is not equal to 0)

>>370ありがとうございました

>>363
f(x)=(x-1)^2 -3 、g(x)=-1 を考えると
f(x)の最小値をm1=-3、g(x)の最大値をm2=-1
与式を変形して f(x)/g(x) - m1/m2≧0 ...(1)
例えば x=3 のとき f(x)=1、g(x)=-1
f(x)/g(x) - m1/m2
1/-1 - (-3/-1)→負
(1)の左辺が負。おかしい。
よって
f(x)/g(x)≧m1/m2 は 成り立たない。

例題なんですがどうしてもこの問題の解き方がわかりません。教えてください。
（例題）
100ｍ離れた地点に同じ高さの２本のポールABとCDが立っている。
P地点から二本のポールの先端A,Cの仰角を測ると、それぞれ30°と45°であり、角BPD＝150°であった。
このポールの高さと、PからBまでの距離、PからDまでの距離を求めよ。
ただし、二本のポールは3点B,D,Pがある平面に垂直に立っているものとする。

教えてください。お願いします。

AB=CD=h, h/sin30ﾟ=AP/sin90ﾟ=BP/sin60ﾟ, h/sin45ﾟ=PC/sin90ﾟ=PD/sin45ﾟ(正弦定理)
PBDに余弦定理(BD^2=……)でhを得る。
PD=hcot45ﾟ (cotx=1/tanx), PB=hcosec30ﾟ(cosecx=1/sinx)

レスしてきづいたけどまるちだった

すいません。もう少しわかりやすく教えてもらっていいですか？

正弦定理から BP=h sin60ﾟ / sin30ﾟ, DP=h, BD=100
余弦定理から BD^2=BP^2+DP^2-2BP*DPcos150ﾟ
代入してhを得る。また h = PD tan45ﾟ = PB tan30ﾟ からPD, PBを得る。
>>373は書き方が洗練されてないから忘れていいや。マルチ(複数スレで同じこと質問)は嫌われるおきおつけてね

わかりました。ありがとうございます。
あと、マルチも覚えておきます。

すいません、答えを出してみたのですがとんでもない数字になってしまいました。
正解はどうなるのでしょうか？

>>361
このあとはどうしますか？

hは100になるだろ

なんか100√７/7になってしまいました。

４人兄弟で男が２人、女が２人である組み合わせは、全組み合わせ中何％か

という問題で、答えが38％なんですがどう解けば良いのかわかりません。教えて下さい。

BD^2=3h^2+h^2-2*√3h^2*(-√3/2)=4h^2-3h^2=h^2 ∴h=BD

>>383
4人のうち2人を選んで性別を決め、残り2人は自動的に異性に選ぶ。男女が等しく1/2の確率で生まれるとすると
C[4,2]*(1/2)^4=3/8=300/8〔%〕=37.5% 有効数字2桁なら繰り上げて38%

-2*√3h^2*(-√3/2)この部分はどう計算したらいいんですか？
７ｈ＾２になってしまいます。

>>386
ごめんねぼくがまちがえてたねゆゆしてねごめんねBD^2=7h^2だね

では最終的な答えはｈ＝100√７/7
PD＝100√７/７　　　PB＝100√２１/7
ですか？

うんそうだよ

ありがとうございます。

はいどういたしまして

数列
1、x、x＾3、x＾6、x＾10

の一般項って出ますか？

お願いします

>>392
第n項をx^a[n]とするとa[n]={ 0, 1, 3, 6, 10, ... }
階差数列b[n]=a[n+1]-a[n]={1, 2, 3, 4, ...}
以下略

ぼくは記号の使い方がいい加減でよくなくてごめんね

>>393
ありがとうございました

>>392
0, 1, 3, 6, 10の階差が1, 2, 3, 4であることからx^(n(n-1)/2)でしょうか
x^((n-1)(n-3)(n-4)(n-5)/((2-1)(2-3)(2-4)(2-5))+3(n-1)(n-2)(n-4)(n-5)/((3-1)(3-2)(3-4)(3-5))+6(n-1)(n-2)(n-3)(n-5)/((4-1)(4-2)(4-3)(4-5))+10(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/((5-1)(5-2)(5-3)(5-4)))
とも考えられます

>>396
きみはラグランジュの補間法を覚えたのはわかったよいいこいいこ
でも出題者のexpectationにこたえられないとおもうお

正数問題で答えはないです
どういう風にやるのか忘れてしまいました
手順だけでもお願い致します

↓問題
1/x+2/y=1/4
を満たす全てのxとyの組合せを求めよ
ただし両変数はともに正の整数である

お願い致します

分母を払ってから(x-a)(y-b)=cという形に整理する。

ありがとうございます!!

ちなみに変形はこの形を覚えてあてはめてやるんですか?

まぁよくやる変形だから、覚えたければ覚えれば？それぐらい好きにしてくれ。

x-3/(x-1)(x-2)>0

を解くとき、
両辺に(x-1)^2(x-2)^2をかけて

(x-1)(x-2)(x-3)>0

として解をだしますが、
なぜ両辺に(x-1)(x-2)をかけて

x-3>0

として解いてはいけないのでしょうか。
どなたか教えてください。
よろしくお願いします。

お世話になりました
ありがとう

独学なんでまた来るやも知れませんがお願い致します

では一旦さらば

>>402
二乗は必ず正で、かけても不等号の向きが変わらないから

分からない問題があります。

関数f(x)=ax^2+bx+c は -1≦x≦1において
常に-1≦f(x)≦1 を満たす。
但しa,b,c,は実数である。
このときg(x)=2ax+b は -1≦x≦1において、
常に-4≦g(x)≦４を満たす事を示せ。

です。検討もつかないんです。。。

試してないがaとbをf(0)やf(1)やf(-1)で表し、|g(±1)|≦4を示すという方法を思い付いた
多分|x+y|≦|x|+|y|を使う

>>405
|f(-1)|=|a-b+c|≦1
|f(1)|=|a+b+c|≦1
|f(0)|=|c|≦1
2|a+c|=|(a-b+c)+(a+b+c)|≦|a-b+c|+|a+b+c|≦2
|a+c|≦1
|2a±b|=|(a±b+c)+(a+c)+(-2c)|≦|a±b+c|+|a+c|+2|-c|≦4
|g(-1)|, |g(1)|≦4
|g(x)|≦4

試みにやってみた
a=(f(1)+f(-1))/2
b=(f(1)-f(-1))/2
|g(±1)|=|±2a+b|≦2|a|+|b|=|f(1)+f(-1)|+|f(1)-f(-1)|/2≦|f(1)|+|f(-1)|+|f(1)|/2+|f(-1)|/2≦3
問題よりもっと厳しい不等式が導けてしまった

>>398
1/x+2/y=1/4
4y+8x=xy
xy-8x-4y+32=32
(x-4)(y-8)=32
x-4, y-8
-32, -1
-16, -2
-8, -4
-4, -8
-2, -16
-1, -32
1, 32
2, 16
4, 8
8, 4
16, 2
32, 1
x, y
NG
NG
NG
NG
NG
NG
5, 40
6, 24
8, 16
12, 12
20, 10
36, 9

念のため、一次関数は定義域の端で最大、最小値をとるから|g(x)|≦4を言うには|g(±1)|≦4を言えばいい
またaが0で定数関数の場合も問題ない

>>408
f(x)=2x^2-1
f'(x)=4x

n^2+mn-2m^2-7n-2m+25=0

一番、nをmを用いて表せ
どういう変形かわかりません

二番、m,nは自然数とする
m.nをもとめよ



おおよその道筋をお示し下さい

mを定数としてnの二次方程式とみて解の公式(か因数分解)

2は自然数ってことから√の中身(mの式)が()^2の形になることが必要条件
あとはm,nの虱潰し

>>413
ありがとうございますやってみます（・ω・）！

>>414
顔文字使うなって言ってくる奴が居るから顔文字はつかわんほうがいい

2次方程式x^2-x+1=0の2つの解をα,βとする。
(1) α+β,αβを求めよ。
(2) 整式(x+1)(x^2-x+1)を展開せよ。
(3) α^3,β^3を求めよ。
(4) (1/α^100)+(1/β^100)を求めよ。


(1),(2)はもちろん解けました。

(3)は(2)を使うのかな、なんて思いましたが解けない・・・

(4)はさっぱりです・・・

(3),(4)をお願いします。

x^2-x+1=0
の解が
x=α,β
だから
(x+1)(x^2-x+1)=0
の解はx=α,β,-1
α,βを代入して展開す
る

α^100=α*(α^3)^33
β^100=…
与式を↑を使って計算して変形して(1)を使う

>>416
α^3+β^3=?
α^3-β^3=?
連立

４はα^100=((α^3)^33)α

>>417も>>418もありがとうございました。

理解いたしました。

>>415了解です。

>>416の者ですが、
(3) α^3=-1,β^3=-1
(4) (1/α^100)+(1/β^100)=2
でよろしいでしょうか？

>>411
すまない、cをすっかり忘れてた
a=(f(1)+f(-1)-f(0))/2
b=(f(1)-f(-1))/2
これで確かに解ける

>>414
顔文字うざいやめろ

>>412
n^2+mn-2m^2-7n-2m+25=0
(n+2m)(n-m)-7n-2m+25=0
k(n+2m)+l(n-m)=-7n-2m
k+l=-7
2k-l=-2
3k=-9
k=-3
l=-4
(n+2m)(n-m)-3(n+2m)-4(n-m)+25=0
((n+2m)-4)((n-m)-3)-12+25=0
(n+2m-4)(n-m-3)=-13
n+2m-4, n-m-3
-13, 1
-1, 13
1, -13
13, -1
n, m
NG
NG
-5, 5
7, 5

>>421
(4)訂正(1/α^100)+(1/β^100)=-1

>>425
おｋ
ちなみにそれぞれの102乗(=1)をかけるとかでもいいよ。

>>422のf(0)の係数がｰ1のとこがｰ1/2になってやがるもうどうにでもなれ

>>424
>n, m
>NG
>NG
>-5, 5
>7, 5
n, m
NG
NG
NG
7, 5

±2a+bをf(j)(j=1、2、3)について整理してから三角不等式使えばいい
そのくらいはしないとダメだな

>>426
そういう考え方もあるんですね。
ありがとうございます。

>>405の者です。
回答していただいた方、ありがとうございました。すっきりした解答でとても分かり易かったです。感謝です。

数学検定準二級の対策をしていて判らない点が起きたので質問させてください。
因数分解の問題なんですが、
(2X-Y)^2と(Y-2X)^2を展開すると、
4X^2-4XY+Y^2 とY^2-4XY+4X^2 となり、
答えが一緒になってしまいます。
どこで計算違いをしているのか指摘してくださると
大変助かります。よろしくお願いします。

見辛い可能性があるので訂正します。
(2x-y)^2と(y-2x)^2を展開すると、
4x^2-4xy+y^2 とy^2-4xy+4x^2

間違ってないよ
あってる

>>432
＞答えが一緒になってしまいます。
が間違い。

>>434
ご指摘していただいてどうもありがとうございます。
イメージ的には両方とも2乗する前の値は+aと-aであるから
2乗するとどちらも同じ値になると考えればいいのでしょうか？

公式の問題集でないからなのかもしれませんが答えが　(2x-y)^2　のみとなっていて、
自分の導いた　(y-2x)^2　が載っておらず質問させてもらいました。
答えていただいてどうもありがとうございました。

>>435
数学的には
＞答えが一緒になってしまいます。
の部分をどう考えればいいのでしょうか？
教えていただけると非常に助かります。

A*B=(-A)*(=B)
A^2=(-A)^2

過去問解いていて分らない問題に出くわした。
お願いします。

座標平面上に点A(1,0)を固定し,点Pを直線x+y=2上に,点Qを円x^2+y^2=1
上にそれぞれとる。このとき,線分の長さの和AP+PQの最小値と,そのときの点P
,Qの座標を求めよ。

>>437
あぁごめん、俺が間違ってたわ。
係数が逆に見えてた、本当にごめん、合ってるよ。

>>439
Aを直線に関して対称移動してA'(2,1)
A'と円上の点の距離を考えればいいから、A'と円の中心である原点を結んであとは計算。

>>440
了解です。お気になさらないでください。
どうもありがとうございました。

>>441
ありがとうございます。
解けそうです。

>>439
円C: x^2+y^2=1を直線l: x+y-2=0に関して対称移動した円D: (x-2)^2+(y-2)^2=1としてC, D, lを名づける。
線分PQを直線lに関して折り返した線分をPRとする(Rは円D上).
このときAP+PQ=AP+PR>=AR(等号成立はA, P, Rが同一直線上)
AR+1(この1は円Dの半径)>=(Aと点(2,2)との距離)=√5
あとの点P, Qは手早く計算してください。

>>441
あ、そっちの方がいいな……

>>444
ありがとうございます。

11から1000までの自然数を順番に足すと合計はいくつになるか
教えて下さい(´TωT｀)

500445

http://imagepot.net/image/124849652396.jpg

チャートの問題です
たぶん単純なことだとは思うのですが
一行目の変形で何が起こってるのかが分からないので教えてください
よろしくお願いします

>>447
やり方を教えて下さい(´TωT｀)
すみません(´TωT｀)

>>447>>450
顔文字うざいやめろ

>>449
一旦L=K-Nと置換して、その後LをKに（ただ書き換えるだけ）

>>447
11+12=23
23+13=36

お前はまずこれを繰り返してみろ








それが出来たら
11+1000=1011
12+999=1011

これを繰り返してみろ

>>449
>>452で一応出てるが

Σ[k=n+1,2n]｛ 1/√k }
= Σ[k=1,n] { 1/√(ｎ+k) } (kの範囲を1〜にしてそれに応じた形に書き換え)
= Σ[k=1,n] { 1/ { (√ｎ)* (√(1+k/n)) } } (分母を√nで強制的に括った)

>>452-453
よくわかりました！
親切にどうもありがとうございました

ＡＢＣの３人がじゃんけんをする。
�@、３人が１回じゃんけんをして、１人が負ける確率
�A３人が３回じゃんけんをするとき、少なくとも１回Ａだけが勝つ確率

じゃんけんの考え方（グーチョキパー、誰が勝つか）がこんがらがってわかりません。
お願いします

部屋が暑いので解く気が起きない。ヒントだけ…

まず、3人の手の出し方は、全部でグー・チョキ・パー…3^3だろ？
じゃんけんで勝敗が決するためには、「2種類の手だけ」が出ることが必要十分条件。
んで、負ける一人を決めるわけ。

>>456
ありがとうございます
�@は１/９ですね

�Aは余事象を並べて考えるべきですか
余事象で
１−Ａが負ける確率
って考えると、事象が多すぎるのですが

>>455
Aだけが負ける確率はBCがAの出した手に勝つ手を出す確率であるので1/3・1/3=1/9
B, Cだけが負ける確率も同じであり互いに背反なので3・1/9=1/3

Aだけが勝つ確率も1/9
3回のうち1回もAだけが勝つ結果にならない確率は(1-1/9)^3
よって3回のうち少なくとも1回Aだけが勝つ結果となる確率は1-(8/9)^3

99^99は何桁の数か.

これの解き方を教えて下さい.
ちなみにlogの値は与えられておりません.

(100-1)^1=99
(100-1)^2=10000-200+1
(100-1)^nは100^nより1桁少ないだろうからそれを示す

>>460
(99/100)^n はn→∞で→0であり→0.1ではないから、
「(100-1)^nが100^nより1桁少ない」は任意のnでは成立しない。

あくまで(100-1)^99 で考える必要がある。

>>461
すまない。全てのnで書いたつもりはなかったが確かにそう見えるな。それに1桁少ないだろうっていうのも適当だし間違ってる何してんだ俺は

>>459
f(x)=(log(x+1))/x
とおく
f'(x)=(略)
90<xの範囲で考えるとf'(x)<0
よってこの範囲ではf(x)は減少関数
ゆえに
f(98)>f(99)⇔(log99)/98>(log100)/99⇔99log99>98log100⇔log99^99>log100^98⇔99^99>100^98
また
99^99<100^99
以上より
100^98<99^99<100^99
よって略

ごめん間違ってるわ

(log_{2}(x))^2-log_{2}(4x)>0となるxの値を求めよ。

困っています。どうぞよろしくお願いします。

連レスすみません。

↑の訂正です。

(log_{2}(x))^2-log_{2}(4x)>0となるxの値の範囲を求めよ。

>>465
a,b>0でlog[2]ab=log[2]a+log[2]b
あとはlog[2]x=tなど

>>466
log[2](x)=t, t^2-t-2>0 ⇔log[2]x=t, t<-1, 2<t

>>467-468
理解しました。
ありがとうございました。

x+y+z=7を満たす負でない整数解の組(x,y,z)は何個あるか｡
の問題で○と｜を使う解法は分かったのですが
別解の3H7となる理由が解説を読んでも分かりません｡
黄チャートp221です。
ﾎﾞｽｹﾃ

崩した言葉なら、ダブってもいいから、3種類の玉(xyz)から合わせて7個(例えばxを2個yを0個zを5個)とる組み合わせ
重複組み合わせの形そのまま

http://imepita.jp/20090726/038160
全く分かりません。
教えてください。
解説を詳しくお願いします

>>471
なんとか掴めました
難しいですね

>>459
99^99=(100-1)^99=Σ99Ck100^k(-1)^(99-k)
99C(k+1)=99Ck・(99-k)/(k+1)
100・99C(k+1)/99Ck=100・(99-k)/(k+1)=1+(9899-101k)/(k+1)>1
k<99
99C(k+1)・100^(k+1)>99Ck・100^k
Σ[k=0, 95]99Ck・100^k(-1)^(99-k)=Σ[j=0, 48](-99C2j・100^(2j)+99C(2j+1)・100^(2j+1))>0
99^99=(100-1)^99=Σ99Ck100^k(-1)^(99-k)>-99C96・100^96+99C97・100^97-99C98・100^98+100^99=338251・100^96=338251・10^192
Σ[k=1, 96]99Ck・100^k(-1)^(99-k)=Σ[j=1, 48](99C(2j-1)・100^(2j-1)-99C2j・100^(2j))<0
99^99=(100-1)^99=Σ99Ck100^k(-1)^(99-k)<(-1)^99+99C97・100^97-99C98・100^98+100^99=-1+4851・100^97-99・100^98+100^99=-1+4851・100^97+100^98<4951・100^97=4951・10^194
338251・10^192……6+192=198
4951・10^194………4+194=198
198桁

1 f(x)=x^3-3x^2とするとき
(1)f(x)の増減を調べ,y=f(x)のグラフの概形をかけ。
(2)a≧0とする。方程式|f(x)|=aの異なる実数解の個数を調べよ。

2 x,yを正の実数とするとき,不等式x+y/2≧√xy≧2/((1/x)+(1/y))を証明せよ。

1の(2)と2がわかりません・・・
お願いします。

1、(1)で描いたグラフを折り返す
2、左の不等号は2乗して、右の不等号は左の結果に1/xと1/yを代入

>>476
こんな遅くにありがとうございます。
なんとかいけそうです。

連レスすみません。
>>476
2がわかりません・・・
できることなら詳しくお願いします。

>>472
円の内部は (x-p)^2+(y-p^2)＜p^4
これをpの不等式と見てその不等式をみたすp＞0が存在するx,yの条件を考える

>>478
((x+y)/2)^2≧(√xy)^2を示す
で、xに1/x、yに1/yをあてはめて

>>479
なるほどです。
ありがとうございました。

素数pに対してpx^2＋xが整数となるような有理数xをすべて求めよ。


手が付けれません…orz
お願いします。

数列でr+r^3+r^5+･･･+r^(2n-1)の項数ってnであってる?

>>482
それが「数列」なら１項だな。

>>481
x=k/j (k,jは互いに素である整数でj>0とする)
とおき、整数nに対して
px^2+x=n
が成り立つとすると
(pk+j)k=nj^2
kとj^2は互いに素なので…


こんな感じで進めていくのかな

>>481
xが整数なら題意を満たす
x=m/n （m, n互いに素, n≠1）
px^2+x=pm^2/n^2+m/n=m(pm+n)/n^2
pm+n=kn^2
pm=kn^2-n=n(kn-1)
p=n, m=kn-1=kp-1
x=k-1/p
xは整数または整数から1/pを引いた数

晴天と雨天の確率は半々であるとする
(1)Aが「昨日は晴天であった」と述べた。
　　Aが真実を言う確率は 4/5 であるとする。
　　昨日晴天であった確率はいくらか．

(2)さらにBは事「昨日は雨天であった」と述べた。
　　Bが真実を言う確率は 8/9 であるとする。
　　AとBの2人の証言から，実際に晴天であった確率はいくらか。

(1)の答えは 4/5 で間違いないでしょうか？
なんとなくで、なぜそうなるのかが分かりません。
それとも 4/5 が 1/2 に少し近づくという考え方が必要ですか？

>>468
条件付確率の考え(数C)

何も語られていないときに起き得るのは
・昨日が晴れでAが真実をいった（Fine-True→FT)
・昨日が晴れでAがウソを言った（Fine-Lie→FL、このときAは「雨だった」と言う）
・昨日が雨でAが真実を言った（Rain…→RT)
・昨日が雨でAがウソを言った（→RL、このときAは｢晴れた」と言う）
FTの起きる確率は1/2 * 4/5 = 4/10 （あえて約分しない)
RTも4/10、FLとRLは1/10ずつ、全て足せば1

ところが、「Aが晴天であったと言った」ことが分かった時点で
母集団はFTとRLに限られることになる。従って、この中で実際に晴れであった
FTの確率は
P(FT）/｛P(FT)+P(RL）｝ = （4/10）/（5/10）=4/5

>>487
バッチリ理解できました！
難しくしかも斜め上の方向で考え過ぎてたみたいです。
どうもありがとうございました。

>>463
99^99=9.9^99・10^99
f(x)=logx/(10x-1)と置くと
f'(x)=(10-1/x-10logx)/(10x-1)^2
e^2<9<xであれば10-1/x-10logx<-10-1/x<0よりf(x)は単調減少
f(10)=log10/99<log9.9/98=f(9.9)
10^98<9.9^99<10^99
10^197<99^99<10^198
198桁

∫[0→a]1/x+√(a^2-x^2)dx
の積分がわかりません
誰か教えてください

1/xは別に計算して、√(a^2-x^2)の部分は何もいわずにx=asintとかに置換するんだ

>>491
よし，それで解決だ．

つぎの質問どぞ！

∫[0→a]√(a^2-x^2)dxはxy座標平面でx^2+y^2=a^2の第１象限での面積なので(πa^2)/4

こういうのに限って
1/(x+√(a^2-x^2))でしたとか言い出すに一票

というか数学的にエスパーしてそうだろ

>>490
区間が0からかｗ
じゃあ491間違い

>>496
少しは空気嫁

>>490
a>0
∫[0, a]dx/(x+√(a^2-x^2))
(x=asinθ, θ:0→π/2)
=∫[0, π/2]acosθdθ/(asinθ+a|cosθ|)
=∫[0, π/2]cosθdθ/(sinθ+cosθ)
(φ=π/2-θ, φ:π/2→0)
=∫[π/2, 0]cos(π/2-φ)(-dφ)/(sin(π/2-φ)+cos(π/2-φ))
=∫[0, π/2]sinφdφ/(cosφ+sinφ)
与式=(1/2)(∫[0, π/2]cosθdθ/(sinθ+cosθ)+∫[0, π/2]sinφdφ/(cosφ+sinφ))
=(1/2)∫[0, π/2](cosθ+sinθ)dθ/(cosθ+sinθ)
=(1/2)(π/2)
=π/4

図形と方程式の問題です


三本の直線l,m,nがある。
それぞれの方程式は
l:y=2x-4
m:y=-x-1
n:y=1/2x+2
である。
ただし、lとnは直線y=xに関して対称である。
この三本の直線で囲まれる三角形をDとする。
Dの外接円の方程式、内接円の中心のx座標を求めよ。


解説
三角形Dの外接円の中心をFとすると、Fは直線y=x上にある。…


↑一行目から理解できませんでした。なぜ、「Fは直線y=x上にある」と言えるのですか?
どなたか教えてください。お願いします。

>lとnは直線y=xに関して対称である。

なにその問題集。捨てろ。

>>499
>lとnは直線y=xに関して対称である。
さらにそのy=xに対してm:y=-x-1が直交するんだから、
考えてる三角形は ｌの作る辺とmの作る辺を等辺とする二等辺三角形。

だったら外接円の中心は当然その頂角の二等分線たるy=x上にある。

↑lの作る辺と 「n」の作る辺 を等辺とする…が正しい。失礼しますた。

>>502,503

なるほど!
理解しました。
どうもありがとうございました。

>>494
すいません、その通りでした
>>498
ありがとうございます
与式=(1/2)(∫[0, π/2]cosθdθ/(sinθ+cosθ)+∫[0, π/2]sinφdφ/(cosφ+sinφ))
=(1/2)∫[0, π/2](cosθ+sinθ)dθ/(cosθ+sinθ)
のφがいきなりθになって通分されているところがよくわからないのですが
教えてくださらないでしょうか

コインを255回投げて、255回中表が60％以上出る確率を求めよ。
お願いします。

いやです

確率だと0､0009

0､09％か？

明日、学校の補習朝8時半からあるのに俺はなにやってんだか…

自然数nにおいて(1+(1/n))^n<3を2通り以上の方法で示さなくてはならないんですけど、やり方を教えて下さい

a,bは実数でa^2+b^2>0とする、変数θが連立不等式
asinθ+bcosθ≧0
acosθ-bsinθ≧0
を満たす範囲にあるときsinθの最大値を求めよ。

もう１０００分考えて一向に打開策がありません。
最初の条件から搾れるのは結局a>0、b<0と場合わけして
いって、不等式の正の範囲を調べていくのですが、
二つの不等式のかねあい、さらにa/bの大小など
わけがわからなくなって頭の中の宇宙が爆発しそうです。

>>499
交点は(1, -2), (-2, 1), (4, 4)
(x-1)(x+2)+(y+2)(y-1)=(4-1)(4+2)+(4+2)(4-1)=36
(x-1)(x-4)+(y+2)(y-4)=(-2-1)(-2-4)+(1+2)(1-4)=9
(x+2)(x-4)+(y-1)(y-4)=(1+2)(1-4)+(-2-1)(-2-4)=9
はいずれもx, yの2次方程式でx^2, y^2の係数は等しくxyの係数は0
{(x-1)(x+2)+(y+2)(y-1)}/36+{(x-1)(x-4)+(y+2)(y-4)}/9+{(x+2)(x-4)+(y-1)(y-4)}/9=1
もx, yの2次方程式でx^2, y^2の係数は等しくxyの係数は0
即ち円の方程式でありこの円は上記3点を通る
展開し整理すると
x^2+y^2-3x-3y-8=0
(x-3/2)^2+(y-3/2)^2=25/2

-2x+y+4=0
x+y+1=0
x-2y+4=0
（法線ベクトルを内向きに取る）
内接円の半径r=(-2x+y+4)/√(2^2+(-1)^2)=(x+y+1)/√(1^2+1^2)=(x-2y+4)/√(1^2+(-1)^2)
の解が内心((-2+√10)/2, (-2+√10)/2)

>>511
sin(θ+α)≧0
cos(θ+α)≧0
2nπ≦θ+α≦2nπ+π/2
-α≦θ-2nπ≦π/2-α
0≦α≦3π/4ではθ-2nπ=π/2-αのときすなわち
sinθ=cosα=a/√(a^2+b^2)が最大
3π/4≦α≦3π/2ではθ-2nπ=-αのときすなわち
sinθ=-sinα=-b/√(a^2+b^2)が最大
3π/2≦α≦2πではθ-2nπ=π/2のときすなわち
sinθ=1が最大

>>513
あぁ！！
位相がそろえれるのか！！
でも何故2nπから始まるの？

ちょっとスレ違いかもしれないですけど、
http://www.nissen.co.jp/sho_item/size/730341603.asp
http://up2.viploader.net/upphp/src/vlphp260513.png
このTV台のE〜Jの長さがわかる人いませんでしょうか？

できれば計算式も教えてほしいです。

整数の割り算の問題です。

x(n)=10^n-1(10のn乗-1)(n=1,2,…)とする。
(1)x(n)がx(5)で割り切れるとき、nは5で割り切れることを示せ。
(2)x(n)がx(5)^2で割り切れるためのnの条件を求めよ。

(1)はnを5で割った余りで分類して何とか示せたのですが、(2)がさっぱり分かりません。

>>516
n=5m+r (0≦r<5)
10^n-1=(10^5-1)(10^(n-5)+10^(n-10)+…+10^r)+(10^r-1)
10^n-1が10^5-1で割り切れる ⇔ 10^r-1が10^5-1で割り切れる
10^r-1<10^5-1より10^r-1=0すなわちr=0
nが5の倍数であることが条件

10^n-1が(10^5-1)^2で割り切れる ⇔ 10^n-1が10^5-1で割り切れかつその商(10^n-1)/(10^5-1)が10^5-1で割り切れる ⇔ n=5m, (10^(5m)-1)/(10^5-1)=10^(5(m-1))+10^(5(m-2))+…+10^5+1=(10^(5(m-1))-1)+(10^(5(m-2))-1)+…+(10^5-1)+mが10^5-1で割り切れる
⇔ n=5m, mが10^5-1で割り切れる ⇔ nは5(10^5-1)で割り切れる

>>517
解答ありがとうございます。

10^n-1=(10^5-1)(10^(n-5)+10^(n-10)+…+10^r)+(10^r-1)
と
(10^(5m)-1)/(10^5-1)=10^(5(m-1))+10^(5(m-2))+…+10^5+1=(10^(5(m-1))-1)+(10^(5(m-2))-1)+…+(10^5-1)+m
の式変形の仕方がよく分からないのですが、どのようにされたのですか？

>>515
正方形から面積の等しくない直角二等辺三角形2枚を切り取った形だと
仮定して(この仮定が崩れれば以下の値は当然意味を持たない。
ただし、この仮定をしないと値を計算することはできない)

E=F=G=H=b/√2 =約68.2cm
HG側で切り取られている直角二等辺三角形の一辺が
57/√2 = 約40.2cm
（c=40cmを正しいとすればHG側の斜辺57cmは、
　本来b-(c/2)*2だから56.5cm、この値だと39.5cm。
その程度狂いがあるような値が図に描かれているということ）

EF側で切り取られているところから本来の頂点までの距離が
b-a-(57/2)=13.5cm
I=J=E-13.5*√2 = 68.2-19.1=49.1cm

幾何の計量問題として考えても中学生の問題なので、その意味でも
スレチではある。中学卒業してるなら、少なくとも建前上は自力で
取り組むべき問題。

1辺の長さが1,1頂角の大きさ60°のひし形を底面とする
直四角柱を平面できることを考える

1)切り口が隣辺の長さ√5,√2の平行四辺形になるとき
この平行四辺形の面積を求めよ

2)切り口が両対角線の比2;1のひし形になるように切るには
底面とどのような傾きてきればよいか


という問題がわかりません。
まず図を描いてみて、真っ二つに切断すれば切り口は
底面と同じひし形なので、ある程度の傾き(=θとおく)をつけて
切断することまではわかります。
1)の求める面積は射影と面積の関係であるS'=Scosθ
を使えば多分求められると思うのですが
肝心のθがいったい何度なのか、どう考えたらそれがわかるのかがみえませんでした

よろしくお願いします

>>520
空間ベクトルを使う方向性で天下りに書いちまうが
底面（または底面に平行なある断面)を
O（0,0,0） A(1,0,0) B(1/2,√3/2,0） C(3/2,√3/2,0) とおいて
Oを通るように、指定された断面OA'B'C'をつくると考える、として
一般性を失わない。

1)ではOA'=√5でA'(1,0,z_1) の形、OB'=√2でB'(1/2,√3/2,z_2）の形で考えて
なお一般性を失わない(考えるのは断面の面積だけだから)。
z_1とz_2を求めてやれば断面の面積=2*△OA'B'で
断面が底面となす角を求める必要はない。

2)ではもうちょっとA',B'のおき方に工夫する必要がありそうだけど
（A'（1,0,tanα) のようにおくのが良いかも。αはOA↑とOA'↑のなす角）
ともかくA,Bの真上にA',B'を置いて、OC'↑=OA'↑+OB'↑を満たすように
C'を考えることで突破口が見えてくると思うんだけど。

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●●●●●●●●●●●●●●●●不合格●●●●●●●●●●●●●●●●●
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これを見た人は確実に【不合格】になります。これをコピペでどこかに３回貼れば回避できます。
これは本当です。やらないと一年無駄になります。

私も最初は嘘だと思ったんですが、一応コピペしました。それで第一志望に合格出来ました。
けどコピペしなかった友達がA判定とっていたのに、落ちたんです。(慶応合格h.sさん)

∫x^2 cos(nx) dx　ってどうやって積分すんの？

0≦x＜2πのとき、
関数f(x)=2sinx+2cosx+1の最大値と最小値を求め、
またsinx+cosx=1/2の時、sin2xの値を求めよ。

という問題です、お願いします

>>523部分積分２回

>>524前半合成、後半両辺を２乗する

合成しました！
でもその後がわからないんです…すみません

>>524
f(x)＝2(sinx＋cosx)＋1
ここで
sinx＋cosx＝√2sin(x＋π/4)より
f(x)＝2√2sin(x＋π/4)＋1
0≦x＜2πより−1≦sin(x＋π/4)≦1であるから
最大値1＋2√2
最小値1−2√2…(答)
sinx＋cosx＝1/2
両辺を２乗して
sin^2x＋2sinxcosx＋cos^2x＝1/4
ここで
sin^2x＋cos^2＝1
2sinxcosx＝sin2x
より
sin2x＝−3/4…(答)

同じ色の玉は区別できないものとし、空の箱があってもよいとする。
この時赤玉10コを区別できない４箱に分ける方法は何通りあるか。


４の１０乗÷４！は何故にダメなのでしょうか？

>>527
ありがとうございます！

>>528
箱は区別してないけど、玉は区別してるからダメ

んで、確率 255回〜 の問題の答えは？

４つの三角形が合同な四面体の体積はどうやって求めるんですか？

>>532
数学板とマルチ

1対1の数�Tからの質問です。
P42のイの(2)なんですが、解答1行めの≧4^2はどこからきているですか？
あと解答3行めのy=0もどういう意味で書いてあるのか分かりません。
P42のイの(2)なんですが、解答どなたかよろしくお願いします。

>>534
問題書いて

>>528
10,0,0,0
9,1,0,0
8,2,0,0
8,1,1,0
7,3,0,0
7,2,1,0
7,1,1,1
6,4,0,0
6,3,1,0
6,2,2,0
6,2,1,1
5,5,0,0
5,4,1,0
5,3,2,0
5,3,1,1
5,2,2,1
4,4,2,0
4,4,1,1
4,3,3,0
4,3,2,1
3,3,3,1
3,3,2,2
22通り

>>536
>4,3,2,1
4,2,2,2
>3,3,3,1
>3,3,2,2
>22通り
23通り

>>535
遅れてしまいました。
もうしわけありません。
(1)x、yの関数f(x、y)=x^2+5y^2+4xy-6x-4y-2の最小値を求めよ。また、このときのx、yの値を求めよ。
(2)(1)関数f(x、y)について、x、yの範囲をx≧0、y≧0に制限したときの最小値を求めよ。また、このときのx、yの値を求めよ。
以上です、よろしくお願いします。

>>528
nAmをn個の区別できないものをm個の区別できない箱に分ける分け方の総数と定義すると
nA1=1
nAm=nAn (m>n)
nAm=nA(m-1)+(n-m)Am (m<n)
nAn=nA(n-1)+1 （または0A0=1）

nAm
1
1, 2
1, 2, 3
1, 3, 4, 5
1, 3, 5, 6, 7
1, 4, 7, 9, 10
1, 4, 8, 11, 13
1, 5, 10, 15, 18
1, 5, 12, 18, 23
1, 6, 14, 23, 30
1, 6, 16, 27, 37
1, 7, 19, 34, 47
1, 7, 21, 39, 57
10A4=23

>>538
与式=x^2+(4y-6)x+5y^2-4y-2=x^2+2(2y-3)x+(2y-3)^2-(2y-3)^2+5y^2-4y-2=(x+2y-3)^2+y^2+8y-11=(x+2y-3)^2+(y+4)^2-27
y=-4, x=11のとき最小値-27
y=0, x=3のとき最小値-11

y=0、x=3のだしかたがよくわからないのです。
解答には
x≧0、y≧0のとき、(y+4)^2≧4^2、(x+2y-3)^2≧0
これらの等号が同時に成立すれば(x+2y-3)^2+(y+4)^2≧0は最小となる。
とあるのですが、(y+4)^2≧4^2はなぜ4^2以上なのですか？
わかりにくくてすみません。

y≧0
⇒　y+4≧4
⇒　(y+4)^2≧4^2

方向ベクトルの意味が具体的にイメージできないので教えてください

実数a,bが与えられたとき,不等式ax<bを満たすxの値の範囲を求めよ。

どうのようにして解くのかがさっぱりです。お願いします。

>>544
aで場合わけ、a=0に限ってはbも場合分け

>>543
直線の向きを表すベクトル。直線に平行なベクトル。

これらの言葉でまだイメージできないなら、
空間または平面に直線が延びている状況自体がイメージできてないんじゃないかと
思えるのだが。

>>546　と書いてから一応確認しておきたくなったので。

「方向ベクトル」と言ったら、直線を表すベクトル方程式で
動点をp↑として p↑=ｔ*a↑+b↑ (tは媒介変数の実数値(スカラー値))と書いたときの
a↑にあたるものを指すのが高校数学では普通(と思う)。

もしこれと違うものを「方向ベクトル」と読んでいるなら、イメージできてなくても
その定義から書いてみてほしい。

>>545
ありがとうございます。

x,y,zを実数とするとき,次の問いに答えよ。
(1) x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zxを示し,等号が成り立つときのx,y,zの条件を求めよ。
(2) x+y+z=1のとき,xy+yz+zx≦1/3を示し,等号が成り立つときのx,y,zの値をすべて求めよ。

よろしくお願いします。

>>549
上：左辺-右辺、平方完成
下：x+y+z2乗して上使う

>>550
おかげさまで解けそうです。

連レスすみません。
>>550
やっぱ解けなさそうです。
もうちょっと詳しくお願いします。

>>552
どこまでやったか書いて

>>553
あっはい、平方完成でつまっちゃいました・・・

>>554
2乗の項を1/2ずつに分けてx^2とxyとy^2をどうにかする。

>>555
理解しました。
ありがとうございました。

>>542
昨日の者ですが、遅くなりました。
納得し理解できました。ありがとうございました。

お願いします

重複を許した５つの負でない整数 a,b,c,d,eがある。
このとき、a+b+c+d+e＝７となるような(a,b,c,d,e）の組み合わせはいくつあるか？

組み合わせ苦手なんで全く分かりません
宜しくお願いします
ちなみに答えは３３０で、山梨学院の９６年入試問題です

>>558
マルチ

しかも向こうですでに返答もらってる

>>558
マルチなうえ回答済み

aを実数の定数とし、f(θ)＝asinθ＋cosθとする。

1、θがすべての実数値をとって変化するときのf(θ)の最大、最小を求めよ。

2、０≦θ≦π/2のとき、f(θ)の最大と最小を求めよ。



2、が分かりません。
場合わけの必要性があるのは分かりますが、どこで分ければいいか分かりません。
出来るだけ詳しくお願いします。

>>561　合成から最大最小を考える問題では、
合成の結果出てくる角が有名角でなかったり、元の角度の変域が1周期分なかったり
するときには「cosで合成」したほうが楽。合成公式をちゃんと理解していれば、
これも簡単に分かるはず（以前センターでcosでの合成がでたこともあるのよ)。

1^2+a^2=(a^2+1^2) だから(あたりまえ)、√(a^2+1^2)=bとして（b>0)
（これはネット表記で見やすくするためなので答案では不要)
f(θ)=b{(a/b)sinθ+(1/b)cosθ} 　（ここまではsinでの合成と同じ)
=b{(1/b)cosθ+(a/b)sinθ}　
　1/b=cosβ、a/b=sinβとなる角βを考えることができ、
　このβは(0,0）と(1,a)を結んだ角となり、-π/2<β<π/2
　(これは図を描いてみれば一目瞭然)。f(θ)はcosの加法定理を逆に使って
=b・cos(θ-β)

さて、cosという関数は0または0と等価な一般角の時に最大で、
それから離れるほど値は小さくなる。
従ってβが0≦θ≦π/2であればθ-β=0となることができるはず。ここで、
a≧0であれば前述のとおり図形的に0≦β<π/2となることができる。
このとき最大値はb。
a<0⇔-π/2<β<0であるときには、θとβの差が最小になるのは
θ=0のときで、このとき元のf(θ)で考えて、最大値は1。

最小値は逆に「βからθが一番離れたとき」を考えればいい。
β=π/4を境にして場合分けすることになる。

１辺が１０cmの正方形ＡＢＣＤの２辺に接し、かつ、互いに外接する２円Ｏ、Ｏ´をかく。
このとき、これら２円の半径を、それぞれＲ，rとおくと、Ｒ＋r は何cmになるか。


解答・解説

x:（Ｒ＋r)=1:√2から

x= R＋r/√2

∴Ｒ＋R＋r/√2＋r

R＋r=yとおくと、

y＋y/√2=10

（両辺）×√2

√２y＋ｙ=10√2

y(√２＋1)=10√2から10√2/√2＋１

∴　y=10√2(√2-1)=20-10√2(cm)

なんですが、最初のx:（Ｒ＋r)=1:√2
の1:√2になる理由がわかりません。図を描いてもなんとも…
わかる方いたらお願いします。

行列Ａ＝(a b)(c d)がA^2-4A+3E=0・・・�@を満たすとき,
p=a+d,q=ad-bcの値を求めよって問題なんですが

p≠4のとき
(p-4)A-(q-3)E=Oより
A={(q-3)/(p-4)}EからA=kEとおいて
�@に代入したらK=1,3とでてきますが
このとき,qとpが判明するんですが、
このpとqを{(q-3)/(p-4)}に代入して
K=1,3となることを確認しなくていい
のでしょうか？してないんですが。
大抵成立してるんですが何故でしょうか。

Ｆ（ｔ）＝1/ｔ∫｛0〜πｔ/2｝｜ｃoｓ2ｘ｜ｄｘ　（０≦ｔ＜1）
F（ｔ）≧1となるｔの範囲を求めよ。

とゆう問いで０＜t≦1/2およびｔ＝1が正解なのですが、
回答中∫｛0〜πｔ/2｝｜ｃoｓ2ｘ｜＝ｇ（T)とおいて
（1/2、ｇ（1/2））に関して点対象でとゆうことをつかっています
点対称にきずきませんし、言われてもなで点対称なのかもわかりません

よろしくお願いします

>>565
cos2x=0 ⇔ x=π/4
0<t≦1/2では
F(t)=(1/t)[(1/2)sin2x][0, (π/2)t]=(sinπt)/(2t)
F(t)≧1 ⇔ sinπt≧2t
0<t≦1/2でsinπtのグラフは上に凸なので上式は成立する
1/2<t≦1では（0≦t<1でなくて0≦t≦1ですね？）
F(t)=(1/t)([(1/2)sin2x][0, π/4]+[(-1/2)sin2x][π/4, (π/2)t])=(1/t)(1-(1/2)sinπt)
F(t)≧1 ⇔ 2-sinπt≧2t ⇔ sinπt≦2(1-t)
1/2<t≦1でsinπtのグラフは上に凸なので上式が成立するのはt=1のときのみ

�T・Ａのセンター用の問題集で一番いいのってなんですか？
ちなみに文系で数学はセンターのみです

>>564
ハミルトン・ケイリーの公式より
A^2-pA+qE=O
A^2=pA-qE
pA-qE-4A+3E=O
(p-4)A=(q-3)E
p=4のとき
(q-3)E=Oよりq=3
p≠4のとき
A=(q-3)/(p-4)E
ここでk=(q-3)/(p-4)と置くと
A=kEとなるので
A^2-4A+3E=(k^2-4k+3)E=Oよりk=1, 3
k=1のときp=2, q=1
k=3のときp=6, q=9
（A=kEを前提としたときA^2-4A+3E=Oの必要十分条件がk=1, 3であるのでkの吟味は不要）

>>567
ここは「問題に答えるスレ」。>>1も読まずに書いたの?

>>563
R=r=5/2の場合（正方形の1/4の正方形に内接）も題意を満たすでしょうか
これを許すなら5≦R+r≦20-10√2となります

>>567
センター過去問

>>568
でもpやq入れて成り立つのは、どの部分で必要十分的に処理されてるか
わからん。pやqは成分として現われてるところもあれば、行列の中身で
あらわれてるところもあるでしょ。

>>561
直線y=1上の店(a, 1)の偏角をα(0<α<π)とすると
f(θ)=√(a^2+1)sin(θ+α)
最大値最小値は±√(a^2+1)

0≦θ≦π/2のときα≦θ+α≦π/2+α
α≦π/2（すなわちa≧0）であれば最大値f(π/2-α)=√(a^2+1)
π/2<α（すなわちa<0）であれば最大値f(0)=√(a^2+1)sinα=1
α≦π/4（すなわちa≧1）であれば最小値f(0)=1
π/4<α（すなわちa<1）であれば最小値f(π/2)=√(a^2+1)sin(π/2+α)=√(a^2+1)cosα=a

>>572
p≠4であればA=kEと表せますので
k=(q-3)/(p-4)となろうがなるまいが
吟味は不要です

A^2-4A+4E=Oの場合
A^2=pA-qEより
(p-4)A=(q-4)E
p=4のときq=4
p≠4のとき
A=(q-4)/(p-4)E
ここでk=(q-4)/(p-4)と置くと
A=kEとなるので
A^2-4A+4E=(k^2-4k+4)E=Oよりk=2
k=2のときp=4, q=4
このときk=(q-4)/(p-4)にはなりませんがk=2は妥当であり吟味の必要はありません

>>575 で提示された例については、p≠4という仮定の下でp=4が出てきたんだから
そちらは捨てなきゃいけないのでは?
(p=4のときq=4があるからp,qの組そのものには影響を与えない)

ｆ（ｘ）＝ｘｓiｎｘとおくｎを自然数とおき
Ｉｎは区間〔ｎπ、（ｎ+１）π〕を表すとする。
区間Ｉｎにおいて｜ｆ（ｘ）｜を最大のするｘの値をｎπ＋ａｎとするとき
リミット（ｎ→∞）ａｎを求めよ。
とゆう問題で、
ｆ‘＝０⇔ｔaｎｘ＝-ｘ
これを満たすxで｜ｆ（ｘ）｜でマックス
よってｔaｎ（ｎπ＋ａｎ）＝-（ｎπ＋ａｎ）
ｔaｎ（ａｎ）＝-（ｎπ＋ａｎ）
ここまでわかったのですが
リミット（ｎ→∞）ｔaｎ（ａｎ）＝−∞
よってリミット（ｎ→∞）ａｎ＝π/2がわかりません

よろしくお願いします

数�TＡ、�UＢで基本から固めることが出来る参考書で何が良いですか？

>>576
不用です
吟味が必要なのは十分性に問題がある場合です
この場合p≠4ならばA=kEならばk=2ならばp=4は真であり
k=2を棄てる必要はないからです

>>579
いや、結論としてk=2を捨てる必要があると言っているわけではないです。

>>575で
>p≠4のとき　　　…ここから場合分け開始、以下の記述ではこれが前提
A=(q-4)/(p-4)E
ここでk=(q-4)/(p-4)と置くと
A=kEとなるので 　
A^2-4A+4E=(k^2-4k+4)E=Oよりk=2
k=2のときp=4, q=4 　…p≠4と場合分けをしてそこでありうる解がp=4、k=4というのは
　　場合分けの前提に矛盾してるでしょう、といっているわけで。

結果としてp=4という「別の場合分け」でk=2が成立しますけど、これはそもそも
前提が違うのだからkの妥当性(kの存在)を吟味する「必要がない」のではなく、
ｋの妥当性を云々すること自体が間違い、だと思いますが。

文系で青チャ例題終えた後、何するべきだと思う？
Ｂ級狙いです。

>>581
>>569

>>580
p≠4ならばA=kEですがp≠4は偽であるというだけです
A=kEを吟味して棄てる必要はありません
P→ＱにおいてPが偽だからといってQが偽ではないので
Qを前提とした議論を棄てる必要はないということです

>>577
厳密にいえばtanの逆関数の連続性。

>>580
>k=2のときp=4, q=4 　…p≠4と場合分けをしてそこでありうる解がp=4、k=4というのは
>　　場合分けの前提に矛盾してるでしょう、といっているわけで。
場合分け自体は排反ですがそのあとで推論を続けていく際に排反である必要はないのです
p≠4かつA=kEの場合の結果を求める必要があるなら話は別ですがp≠4かつA=kEはA=kEに含まれますから
A=kEを前提とした結論が正しい状況でp≠4かつA=kEが正しいか正しくないかを吟味する必要はないということです

質問です。3Cまで履修済みです。よろしくお願いします
cos2π/7+cos4π/7+cos6π/7=a
(cos2π/7)(cos4π/7)(cos6π/7)=b
としたとき、a,bを求めよ
という問題をド・モアブルの定理を用いて解答したいのですが
7倍角を
cos7x=64cos^7(x)-112cos^5(x)+56cos^3(x)-7cos(x)-1
と求めて2π/7倍にしようとしたり
(cos2kπ/7)+(sin2kπ/7)i=pとおいて
p^6+p^5+p^4+p^3+p^2+p+1=0
の相反方程式を解こうと思ったのですが
どちらもごちゃごちゃになるだけでうまくいきません･･･
どうすればド･モアブルの定理を有効活用できるでしょうか

>>585
主張は理解しましたが、>>575の記述がその主張を反映した書き方になっているとは
思えない(少なくとも自分はそう読めなかった)ともぷ仕上げておきます。
---
p≠4のとき
(中略)
A=kEとなるので
A^2-4A+4E=(k^2-4k+4)E=Oよりk=2
k=2のときp=4, q=4
---
「A=kEとなるので」　までがp≠4で排反に場合分けした検討であり、
次の行からが「p≠4かつA=kEはA=kEに含まれますから」に基づいた
検討ということになると思いますが、改行はおろか句点さえも伴わない、
同一の文の中で何も断らずに前提とする条件が変わるのは（少なくとも
他者への説明のためには)適切な表現とは思えません。

新数学演習やハイ理、良問100みたいに色々な解法学べる本って他にないですか？

初歩的な質問で申し訳ない。
独学なので許してくれ

２次方程式の解と数の大小という単元で
”二つの解がともに１より大きい”時の条件として

D≧0かつ(α-1)+(β-1)>0かつ(α-1)(β-1)>0

とあるんだけど、何故D≧0なのか教えてほしい
”二つの解”があると問題で言ってるのだから
D>0でいいんではないかと思うんだ・・・

二つの解が重なるときそれを重解と呼ぶ

>>589
｢２つの実数解｣というときは普通重解も含みます。なぜなら、重解をもつとき解が１つしかないわけではなく、２つの解が重複しているためです。なので、Ｄ≧０となります。
ちなみに｢異なる２つの実数解｣というときは当然重解は含みません。Ｄ＞０となります。

要約すると
二つの解がともに１より大きい
ということは、二つの解が共に”２”となる事も
題意に反してないですもんね・・・

>>590さん>>591さん
ありがとうございました！

>>586
α=cosπ/7+isinπ/7とする。

(1)
α^5=(α^2)~、α^3=(α^4)~、α=(α^6)~　（~は共役複素数）なので、
1+α+α＾2+α＾3+α＾4+α＾5+α＾6=1+2a=0
∴a=-1/2

(2)
1+α^k=z_kとすると、|z_k|=2|cos2kπ/7| から、
b=|1+α||1+α^2||1+α^3|/8=1/8

ちょｗｗｗ行列で伸びすぎｗｗ
行列の微妙なところ難しすぎｗｗ
必要十分とかいろいろ考えていったら頭おかしくなるな。

行列意味わからん、数学でいちばん難しい。

行列は問題数も多くないからね
しっかりやり込みたいね

x^2+y^2のような、xとyを入れかえても変わらない式を何式って言うんでしたっけ？

対称式のこと？

そしてもう一方は交代式ね。

もう一方って、脳内での会話を書き込まないでくれよ

>>593
ありがとうございます。鮮やかですね
重ねていくつか質問があるのですが･･･
α=cosπ/7+isinπ/7とする。 は　α=cos2π/7+isin2π/7とする。
の誤記だと考えて大丈夫ですか？
また、|z_k|=2|cos2kπ/7| は
|z_k|=|(1+cos2kπ/7)+i(sin2kπ/7)|=√(2+2cos2kπ/7)=2|coskπ/7|
の誤記で、
b=|1+α^2||1+α^4||1+α^6|/8=|1+α||1+α^2||1+α^3|/8=|α^3|/8=1/8
ということで正しいでしょうか？
また(1)の
α^5=(α^2)~、α^3=(α^4)~、α=(α^6)~　（~は共役複素数）
は図形的性質(対称性)もしくは(偏)角の和が2πであることに由来すると考える
以外の視点はありますか？
複素平面については未履修(さっきネットで色々調べました)なので
初歩的なミスや勘違いでしたらすみません･･･

連投すいません。もうひとつ疑問が
1+α^k=z_kとおくという発想はどのようにして出てきたのですか
つまりなぜこう置くとうまくいくと考えたのですか
非常に気になります

1/17を循環小数に直すと、0.0588235294117647･･･（小数第1位から小数第16位で循環）となるから、
分数に直して、1/17=588235294117647/10^16 -1となる。小数点以下16位まで循環するということは、
10^n -1 （n=1,2,3･･･,15）は17の倍数でないということである。

と解説にいきなり書いてあるんですが、なんでそうなるのかわかりません。
どなたか教えてください。

>>603 × /10^16 -1 → ◯ /(10^(16)-1)

10^n-1 が 17 の倍数ならば, 10^n-1=17*m, m は高々 n 桁の自然数, と書ける.

10進法で, m = a(1)a(2).....a(n) と表すと,

1/17=m/(10^n-1)=10^(-n)*m/(1-10^(-n))
=10^(-n)*m+10^(-2n)*m+10^(-3n)*m+....... (等比数列の無限和)
=0.a(1)a(2)...a(n)a(1)a(2)...a(n)a(1)a(2).......... (循環小数)

>>601
ごめん。αの偏角はπ/7じゃなくて2π/7でした。
bを求めるところは、|1+α^2||1+α^4||1+α^6|/8の絶対値の中を展開して
α^7=1からb=1/8

共役複素数のところは、α^5=(α^2)~でいうと、
α^5=α^7/α^2=1/α^2=cos(-2π/7)+isin(-2π/7)=(α^2)~
とも変形できるよ。

1+α^k=z_kとおくところは、
誘導つきで類題を解いたことがあったから出てきただけだから、
もっといい解法があるかも。

「ド･モアブルで」という指定ってことは、
実数の三角関数の性質だけで解く道筋は見えている、
または複素平面で考えるのに比べて遠すぎる、ということなんだろうか。

a=-1/2が見えてれば、3倍角の公式と積和と因数分解の公式から
（途中を略すけど）
a=a(a^r-3a)+3b が成り立つことが言えるので、b=1/8は出せる。
計算量は結構多いけれど、こっちは発想的な飛躍は少ない。

ちなみにa=-1/2も、無論三角関数の関係だけから出せるけど、こっちの
ほうがちょっとだけ思い付きが必要かもしれない。

>>605
なるほど、とても勉強になりました
別解が多ければ多いほど楽しいですね
ありがとうございました
ちなみに･･･　〜=|1+α||1+α^2||1+α^3|/8=|α^3|/8〜
はどちらもこれの共役複素数の誤記でした、失礼

>>606
実はこの問題には
　cos2π/7 cos4π/7 cos6π/7を解にもつ三次方程式を求める
という趣旨の誘導がついていたんです
まず誘導は無視してド・モアブルで直接求められそうだなと思ったんですが
全然使ったことがないので中々うまくいかなくて･･･
　a=a(a^r-3a)+3b
のrを求めるとr=2ですかね。rは何を意味しているのですか？
解答には誘導にのらない場合で積和でbを求めるものが載っていました
（これは自分でも実際にやってみました）
　3倍角の公式と積和と因数分解の公式から
とは3つを同時に使うということですよね。どういった手順でしょうか･･･

>>606
ごめん、ひどいtypoだ。　最初からrでなく2でOK。

cos（2π/7) cos(4π/7) cos(6π/7) をそれぞれp,q,rとする。
帰着させるのは
p^3+q^3+r^3=(p+q+r)(p^2+q^2+r^2-pq-qr-rp)+3pqr の形。

積和でpq+qr+rp=a (これは割と簡単なので省略、
　これから右辺の二番目の( )の中身は a^2-3a)
　
三倍角で、cos(2π*3/7)=ｒ、cos(4π*3/7)=p, cos(6π*3/7)=q だから、
たとえばcos(2π*3/7) = 4p^3-3pより
p^3=(1/4)(r+3p) q^3、r^3も同様に作って
p^3+q^3+r^3=a

これより　a=a(a^2-3a)+3b

行列で
(A-E)(B-E)=E
A,Bは同じ型の正方行列であるから
(B-E)(A-E)=E
も成り立つ

これがよくわからないんだけど教えて

逆行列

ありがとう

>>608
理解しました
p^3+q^3+r^3=(p+q+r)(p^2+q^2+r^2-pq-qr-rp)+3pqr
はこういうときにも使い勝手がいいですねー
ありがとうございました

平行四辺形ABCDにおいて,AB=3,AD=2.∠A=60°とする。
辺ABを2:1に内分する点をE,辺ADの中点をFとするとき,次の問いに答えよ。
(1) EF↑をAB↑とAD↑を用いて表せ。
(2) 内積EF↑・BC↑を求めよ。
(3) 辺BC上の任意の点Pに対して,内積EF↑・EP↑を求めよ。

(3)がどのようにやればいいか分かりません。お願いします。

>>613
Aを原点とする
f-e=(1/2)d-(2/3)b
(f-e)(c-b)=((1/2)d-(2/3)b)(b+d-b)=(1/2)dd-(2/3)bd
bd=|b||d|cos60°=3・2・1/2=3
dd=|d|^2=4
(f-e)(c-b)=0
p=b+k(c-b)=b+kd
p-e=b+kd-(2/3)b=(1/3)b+kd
(f-e)(p-e)=((1/2)d-(2/3)b)((1/3)b+kd)=(1/6)db-(2/9)bb+(k/2)dd-(2k/3)bd=-3/2

>>614
ありがとうございます。
考えてみます。

反転は受験にいりますか？

８月に１対１を３周
９月からＺ会MJと東大過去問25年と佐々木の面白いほど発想と整数
12月からセンター過去問をくわえる
１月からセンター対策一筋
センター終了してからひたすら東大過去問とその他復習

これで東大文科で60以上狙えますか？

4次方程式x^4+5x^3+2x^2+5x+1=0・・・�@について
(1) x=0は�@の解でないことを示せ。
(2) �@の両辺をx^2で割り,t=x+1/xとして�@をtで表せ。
(3) 方程式�@を解け。

(2)は�@の両辺をx^2で割ると,
x^2+5x+2+5/x+1/x^2=0
⇔(x^2+2+1/x^2)+5(x+1/x)=0
⇔t^2+5t=0
までしかわかりません。その先をおねがいします。

>>617
t^2+5t=0でtの値が出る
t=x+1/xでxの値が出る

>>618
あっそうか、ありがとうございます。

>>616
今50点以上ならいけるんじゃない
今40点以下なら多分無理

質問なんですがﾛﾋﾟﾀﾙの定理や外積や合同式は大学受験で使っていいのでしょうか？
あと外積が使って良かったら四面体の体積 1/6(OA×OB)･OC は使ってもよろしいのでしょうか？

全部使っておk

>>616
基礎完成してるなら京大25ヵ年→東大25ヵ年をやれば高得点が取れると思う

>>616に答えてくださったかた
ありがとうございます

今年の問題はだいたいできました

>>621
ﾛﾋﾟﾀﾙは高校範囲外だから、一般的には、証明しないと危険
外積、合同式はただの定義だから自分でそう定義すれば問題ないけど、これも高校範囲外だから、外積や合同式の性質やそれを利用した公式は証明しないと危ない
あくまで大学受験に言われることね
大学や採点者によって基準はバラバラだから、高校範囲で解くのが一番安全だが

ｆ（ｘ）＝ｘｓiｎｘとおくｎを自然数とおき
Ｉｎは区間〔ｎπ、（ｎ+１）π〕を表すとする。
区間Ｉｎにおいて｜ｆ（ｘ）｜を最大のするｘの値をｎπ＋ａｎとするとき
リミット（ｎ→∞）ａｎを求めよ。
とゆう問題で、
ｆ‘＝０⇔ｔaｎｘ＝-ｘ
これを満たすxで｜ｆ（ｘ）｜でマックス
よってｔaｎ（ｎπ＋ａｎ）＝-（ｎπ＋ａｎ）
ｔaｎ（ａｎ）＝-（ｎπ＋ａｎ）
ここまでわかったのですが
リミット（ｎ→∞）ｔaｎ（ａｎ）＝−∞
よってリミット（ｎ→∞）ａｎ＝π/2がわかりません

よろしくお願いします

>>626
ｎπ＜ｎπ＋ａｎ＜（ｎ+１）π
より
0＜ａｎ＜π
ｔaｎ（ａｎ）＝-（ｎπ＋ａｎ）→-∞(n→∞)
よって
ｔaｎ（ａｎ）=-∞
ｔaｎx のグラフより0＜x＜π の範囲で ｔaｎx→-∞ となるのは x→π/2 のとき
よってａｎ→π/2

一般的な質問なんですが、
軌跡、通過領域について。

解法として、
いくつかあるうちの
一文字固定と包絡線について
なんですが、
この違いがいまいちよくわかりません
一文字固定だとパラメーターに範囲がついてるときはラクにならない気もするが、結局は最後に場合分けて動かすハメになる

パラメーターの関数とみて平方完成をするまでは一緒ですが…

では、包絡線を利用するメリットは…？

抽象的すぎるとは思うのですが、ぜひお願いします

ｆ（ｘ）＝ｘ＾3-3ｘ―�@
を書いた後にｆ（（ｆ（ｘ））のグラフを
�@を使い書いているのですが(区間を五つに分けて―2〜2、が単調とかで)
何故そんなことができる？

>>629
y＝f(x)とy＝xのグラフのみを描いてf(f(x))を求めるにはどうすればいいか考える。

>>630
何かわからないですが
（2,2）（-2、-2）で交点をもつ事はわかりました

>>628
問題書いて

√x=-√x
という方程式があって、解は普通にわかりますが、
あえて解くとして、両辺を自乗すると、
x=xで恒等式になります。
右辺を移項してから自乗すると、
4x=0で方程式になりますが、何故結果違ってくるのですか？
参考書の関連してそうなとこをざっと見ましたが、
答えになるような記述は見つけられませんでした。

>>633
一般に、式に正負両方の値がありうるときには、2乗すると
同値性が崩れるから。

√x=-√x ⇒x=x だけれど⇔ではない。

√x=-√x ⇔2√x=0 で、これは(実数を前提とすれば)
両辺が非負だから、さらに⇔4x=0

>>628だけど。
自分が抽象的な事を聞きたかったので、具体的となるとうまく言えないんですが。


二題

y＝x^2-2tx+2t^2-2t-3
t≧1で動くとき通過領域を図示せよ




Ａ（ 2(t^2+t+1)／3(t+1)，-2）


Ｂ （ 2t/3 ，-2t ）

0≦t≦1を動くとき直線ＡＢの通過領域を図示せよ


端的にいえば、
一文字固定のメリット、デメリット
包絡線のメリット、デメリットが聞きたいな…
というw

中学生みたいな質問で恐縮なんですが

15x-x^2=x^2+6x+9
という式があるんですが
これをそのまま左辺から右辺に全て移項すると

-2x^2+9x-9=0
になるんですが左辺と右辺を入れ替えてから移項すると
2x^2-9x+9=0になってしまうんですけどどうしてでしょうか？
まあたぶん移項の方法が間違ってるんでしょうけど・・・

>>636
-1をかけてみろ

>>637
あ！
理解できましたありがとうございます
中学生からやり直してきますｗ

>>635
f(t)=2t^2-2t(x+1)+(x^2-y-3)=0
D/4=(x+1)^2-2(x^2-y-3)≧0
-x^2+2x+2y+7≧0
y≧(1/2)(x^2-2x-7)
この条件下で2実数解が共に1未満であるのは
f(1)=2-2(x+1)+(x^2-y-3)>0 かつ f'(1)=4-2(x+1)>0
よってt≧1に解があるのは
y≧x^2-2x-3 または x≧1
求める領域は
x<1 では y≧x^2-2x-3
x≧1 では y≧(1/2)(x^2-2x-7)

A(2(t^2+t+1)/(3(t+1)), -2) ですね？
y={(-2+2t)/(2(t^2+t+1)/(3(t+1))-2t/3)}(x-2t/3)-2t
f(t)=2t^3-3t^2x+3x+y=0
f'(t)=6t^2-6tx=0 となるのは t=0, x
0≦t≦1にf(t)=0の解が存在する条件は
1≦x のとき
f(0)=3x+y≧0, f(1)=y+2≦0
x≦0のとき
f(0)=3x+y≦0, f(1)=y+2≧0
0<x<1のとき
f(x)=-x^3+3x+y≦0 かつ (f(0)=3x+y≧0 または f(1)=y+2≧0)

教えてくださいm(．．)m
−４５°＜ｘ＜ｙ＜９０°
から
−１３５°＜ｘ−ｙ＜０°
となるそうなのですが、

−４５°＜ｘ＜９０°、−９０°＜−ｙ＜４５°（※）と考え
−１３５°＜ｘ−ｙ＜１３５°となります。
ｘ＜ｙをうまく使うんだろんなとは思うですが、
（※）ではｘと−ｙの比較となって頭が痛くなります。
どうして−１３５°＜ｘ−ｙ＜０°となるのか教えてください。よろしくお願いします。

単位があるのでやりにくいが、
xy平面に図示してみろ

>>640
x<y だから x-y<0。以上。

下限の法は逆にy-xを考えたほうが心理的に易しいかも。
yとxの差を最大にするにはyをできるだけ大きく、ｘをできるだけ小さくすればいいから
ｙ→90°、x→-45°のときy-x→135°(下から)
だからx-y→-135°(上から）

ここで質問する人って宅浪とかなの？

>>640
まずx<yからx-y<0・・・（１）となる
次に、y<90より -90<-y
これと、-45<xの辺々加えると
-135<x-y・・・（２）
（１）かつ（２）で
-135<x-y<0

お願いします

nは自然数,a,bを|a|+|b|≦1を満たす実数とし,f(x)=ax^(2n)+bとおく。 f(x)=xの解で-1≦x≦1の範囲にあるものが存在することを示せ

>>645
|x|≦1 に限ると, 3角不等式から,
|f(x)|=|ax^(2n)+b|≦|ax^(2n)|+|b|≦|a|+|b|≦1.

従って f は [-1,1] → [-1,1] なる連続関数.

x-y 平面で 区間 [-1,1] での
y=f(x) のグラフと, y=x のグラフを書くと,
両者は必然的に交わらざるを得ないことが判る.
(b>0 ならば, y=f(x) のグラフは, (0,b) と (1,a+b) を,
b<0 ならば, y=f(x) のグラフは, (0,b) と (-1,a+b) を通る.
前者では 区間 (0,1]に, 後者では 区間 [-1,0) に交点を持つ.)
これで解答になるかは不明？ (2n が偶数の条件も使ってない...)

http://imepita.jp/20090801/518260
↑お願いします
曲線と直線が異なる3つの共有点をもつ条件とかがよくわかりません

>>647
グラフ書いてみろ

>>647 x|x+2|
=x(x+2) -2 ≦ x,
=-x(x+2) x ≦ -2, のグラフを書くと大体状況が判る.

y=mx と y=x(x+2) の交点は, x=0, m-2,
y=mx と y=-x(x+2) の交点は, x=0, -m-2.

従って, y=x|x+2| と y=mx が 3点で交わるには,
-2 < m-2≠0 かつ -m-2 < -2 ⇔ m > 0, m≠2 が条件.

(あ) m>2 のとき, S1 は 0≦x≦m-2, S2 は -m-2≦x≦0 の区間.
(い) 0<m<2 のとき, S1 は m-2≦x≦0, S2 は -m-2≦x≦m-2.

(い) S1=∫[m-2,0](mx-x(x+2))dx=(1/6)*(2-m)^3,
S2=∫[-2,m-2](x(x+2)-mx)dx+∫[-m-2,-2](-x(x+2)-mx)dx
=-8/3+(1/6)*(2-m)^3+(1/6)*(2+m)^3.
S1:S2=9:8 で m の3次方程式 → m=1/4.
(あ) も同様の計算で, 解なし.

１−cosx≒x二乗/2
になるわけを教えて下さい

1．
(1)y=5・(2x)^2.4
(2)y=tan^-1・1-x/1+x

2.
(1)半径rの円の面積をSとするとき,dS/drを求めよ。
(2)高さh,底面の半径rの直円柱の体積をV,表面積をSとする。
hが一定の時dV/dr,dS/drを求めよ。

3．
(1)y=2x^-1・logx上の点(1,0)における接線を求めよ。

分からないので、教えて下さい。

x≒0のとき、sinx≒x、１−cosx＝(1-cos^2x)/(1+cosx)≒x^2/2

>>651の答え
1.
(1)24(2x)^1.4
(2)-1/x^2+1

2.
(1)2πr
(2)dV/dr=2πrh　　dS/dr=4πr+2πh

3.
(1)y=2x-2

途中計算もお願いします。

>>652
sinx≒x ってところが理解できない…

>>654
数IIIは履修してる?　(物理のほうだけで出てくることもあるんで)
履修してるならlim[x→0](sinx/x) がどうなるかは数IIIの基本中の基本のひとつ。

履修してないなら、確かにこれは天下りに見えるかもしれないが

ちゃんとしたスケーリングで（たとえばπ/2をちゃんと1.57くらいにとって)
y=sinx とy=xのグラフ書きゃ直感的には納得いくと思うが。

もとの関係も同様で、これまたちゃんとしたスケーリングで
y=cosx とy=1-x^2/2 のグラフ
(y=1-cosx と ｙ=x^2/2 でもいいけど) 描いてみりゃそれなりに納得いくかと。
物理で近似式として出てくることだけを納得したいなら、このくらいの説明で
十分と思える。

そういえば線分は面積0なのに、なんで積分すると面積を持つんだろうね。

積分では面積を足してるんだよ

媒介変数表示で表される曲線で囲まれた部分の面積を求めるときに、
曲線の概形がわからないためそれを書く場合、かなり大まかでいいのでしょうか？
本当の曲線は下に凸のところを、自分で書いた概形は上に凸のように見えたり等…

大学受験では、微分が出来るように滑らかにつなげるようにかけば(ｶｸｶｸしてたら微分出来ない)凹凸は基本的に目を瞑るらしい

グラフの概形
・定義域
・x切片y切片
・極大極小増加減少
・変曲点凹凸
・漸近線（極限）

思ったんだがこのスレで質問されてる問題を一つの問題集にして、
発行すればそれなりの人気がつくと思う。

それはない

>>661
どうせこんな感じのカオスな問題集になるんだろうな
http://matherix.so.land.to/math/2ch.pdf

>>660
概形は勿論それね
あくまで大学受験で言われること
そもそもある程度の大学の問題だ

>>660
すまん途中で送った
概形は勿論それね
凹凸不必要はあくまで大学受験で言われること
そもそもある程度の大学の問題だと変曲点が求まらないことも多いんじゃね

昨日あった模試の自己採点で�TAが43点、�UBが23点でした。
国立の山口大学を目指しているのですが、無理がありますかね？
自分でも難しいのはわかっているのですが、この夏休みで頑張ればどうにかなるのか迷ってます。
アドバイス下さい！m(__)m

曲線の概形を書けっていう問題でなく、
曲線で囲まれた部分の面積を求めよっていう問題なんですが

>>667
そもそも面積を求めるときに概型なんてまったく想像する必要ない
重要なのは定義域内でのYの正負と積分区間のみ

>>666
時間があっても解けない問題があるなら、基礎をしっかりやり直す
これとセンター試験の演習で点は取れる

>>667
別にいいよ

>>668
yの正負を調べて
∫[a.b]|f(x)|dx
を計算ってこと？

>>669ありがとうございます！
やれるだけやってみます！！

すいません、
媒介変数(tとします)表示で、グラフの凹凸はどうやって調べればいいのですか？
d^2y/(dx)^2もtの関数になりますが、tがある範囲でd^2y/(dx)^2が正だったら、
その範囲ではxの動きに合わせてyは下に凸になるように書けばいいのですか？

>>672
媒介変数を消去する
か
tによるx,yの増減表を書くかで曲線の凹凸はわかる

>>672
ちなみに質問の後半部分
媒介変数表示では、xが増加している区間か減少している区間かに注意する
d^2y/dx^2＞0かつxが増加しているなら下に凸
xが減少しているなら上に凸

>>674
(x, y)=(-t, t^2)
dy/dx=-2t
d^2y/dx^2=2>0

>>672
yを２回微分してそれが正なら下凸
負なら上凸

>>670
そう
概型はどうでもよい

>>663
第VIII部の数列の1問目(1)は成り立たんな。

パラメータ表示された曲線なのに、
「概形はどうでもいい」とか答えるヤツが居るのか。
困ったもんだな

はぁ？面積求めるときはグラフの上下正負しか見ないだろ
そのグラフの増減上下凸なんて見て何したいの

確率の問題です。

　正三角形ABCを考える。点Pは１回の移動で三角形ABCの１つの辺上を通って、
ある頂点からそれと隣り合う頂点へ、それぞれ１/２の確率で動くとする。
　最初点Pが頂点Aにあるとき、２ｎ回の移動で点Pが正三角形ABCのすべての辺
を通過する確率を求めよ。ただしｎは１以上の整数とする。

>>680
お前には次の問題の満点の答案は書けない。回答者辞めろ。


x=-t^2+4, y=-t^2-t+2
で表される曲線とｘ軸で囲まれる面積を求めよ。

(x, y)=(cost/(1+sin^2t), sintcost/(1+sin^2t))
t=0→2π
で囲まれる領域の面積を求めよ

>>682
∫[-2,1]y(dx/dt)dtを計算すりゃ満点だろｗ

>>681
AB, BCを通らないとするとACのみを往復するので(1/2)^(2n)
AC, BCを通らないのも(1/2)^(2n)
ABを通らないとするとAC, CBを移動するのみなので奇数回目には必ずCに居ることになるから(1/2)(1/2)^(n-1)=(1/2)^n
ACを通らないとするのも同じく(1/2)^n
BCを通らないとすると偶数回目には必ずAに居ることになるので(1/2)^n
よって求める確率は3・(1/2)^n-2・(1/2)^(2n)

>>681
2n-1回目で3辺全て通る直前の状態になる確率をq_nとすれば
q_(n+1)=1/2*q_n+(1/4)^nとq_1=0からq_n=(n-1)/4^(n-1)
3辺全て通る確率はq_n*1/2=(n-1)/2^(2n-1)

>>680
お前の考え方だと一つのxに対して２つ以上のyがあるときヤバい
微分してx、yの増加減少を考察して計算すれば、確かに最終的にお前の考える式に計算結果としてなるが、あくまで計算結果だからそれだけを書くと、一つのxに対して２つのyがあることもわかってないし、面積を求める式が何故こうなるかわかってないとみなされたりする

もしくは、例えば
Σ(1.n)k^2をもとめよ
に対して計算結果を知ってるから考察をぶっ飛ばしていきなり
Σ(1.n)k^2=1/6n(n-1)(2n-1)
と書くのと同じこと

>>687
わかると思うけど1/6(n+1)(2n+1)ね

>>684
平和でいいなｗ　お前が教育的立場に居ないことを祈るよ。


理由は>>687が既に書いてくれてある。

計算ミスしてるわ
1/2^n-1/2*(1/4^(n-1))da

>>687
>>確かに最終的にお前の考える式に計算結果としてなるが、あくまで計算結果だから

本当にそう思っているのか‥？

>>685
>よって求める確率は3・(1/2)^n-2・(1/2)^(2n)
1-3・(1/2)^n+2・(1/2)^(2n)

>>690
元の問題文では2n回目にちょうど3辺を通るとは読めないのではないでしょうか
A→B→C→A→B
のような移動も含めて考えるのだと思います

>>681
3辺を通るには2n≧3が必要だから
n≧2
余事象を考える。
(�T)ＡＢ間を通る場合。
(1/2)^2n
(�U)ＡＢ、ＢＣ間を通る場合。
(1/2)^n−(1/2)^2n
(�V)ＡＢ、ＡＣ間を通る場合。
(1/2)^n−2(1/2)^2n
(�T)(�U)と同様に、ＡＣ間、ＡＣ、ＢＣ間を通る場合も同様に考える。
よって、求める確率は
1−2{(1/2)^2n＋(1/2)^n−(1/2)^2n}−{(1/2)^n−2(1/2)^2n}
＝1−(1/2^n){3＋1/2(n−1)} (n≧2)…(答)

はじめてとは確かに書いてないな
そうか

高校2年生です。下の計算の仕方がわかりません。どうやれば簡単にできますか。

1000=500/(1＋x)＋400/(1＋x)^2＋300/(1＋x)^3＋100/(1＋x)^4

>>696
できません
ものすごい値になります

△ABCの重心をGとするとき,次の等式が成り立つことを証明せよ。
(1) GA↑+GB↑+GC↑=0↑
(2) (AB)^2+(AC)^2=(BG)^2+(CG)^2+4(AG)^2

(2)が分らないです・・・お願いします。

>>697
解答は、≒14.5なのですが、解法がのっておらず困ってます。
どうか>>697さん教えてください。

>>691
計算すると∫[a.b]f(x)dxになりますけど？
まぁさらに計算するためにtになおす必要があるが
結局結果として>>684の形になるけどね
>>687で書いてる意味わかる？

>>698 (1)よりGC↑=-(GA↑+GB↑)
これよりAC↑=GC↑-GA↑=-2GA↑-GB↑だから
左辺を
|GB↑-GA↑|^2+|-2GA↑-GB↑|^2
右辺を
|-GB↑|^2+|-(GA↑+GB↑)|^2+4|-GA↑|^2
とすれば、両辺とも|GA↑|、|GB↑|、GA↑・GB↑ だけの式にできる。
それぞれ計算して比較。

もうちょっとスマートな手もあるのかもしれないけどすぐ立つ方針として。

>>700
いや、一つのxに対して２つのyがあるなら
∫dxー∫dx の形だな
その後は変わらん

>>701
ありがとうございます。
やってみます。

スレチかもしれませんが

マクローリン展開でx^4の項まで求めろっていわれてんのに
答えにx^6にが出てくるのはありえますか？

>>697
頼む!!

>>697
もうわかったわ！！！！！
試行錯誤法で余裕なんだよ！！！！！
くそ！

>>700
君の出会う問題ではいつもそうなるといいけど、実際はnot alwaysで、数年前の東大入試なんかに例がある。
普段からもっと頭を使え。解答者失格だ

>>707
ならないって訂正してあるじゃん
批判する前にレス読めば

>>708
断片的に読んだからよく分からない。誰がバカだったんだ

いやどうでもいいか。どうせお前だってレスされるし。

>>702
お前バカだろ

lim[x→0](tanx-sinx)/x^3　
の極限値を求めるにはどう変形すればいいのでしょうか？

>>712
tanx-sinx=tanx(1-cosx)=tanx*(sin(x/2))^2

>>712
つロピタルの定理

>>711
どこが馬鹿なのか言って見ろ

>>698
中線定理を既知とすれば幾何的に解けるね（ベクトルで出されてる以上、
おそらく出題側の期待とは違う解法だが)。

BCの中点をMとすると、△ABCと△GBCに中線定理を適用することで
AB^2+AC^2=2（AM^2+BM^2）
GB^2+GC^2=2(GM^2+BM^2）
両辺の差を取ると
(AB^2+AC^2)-(GB^2+GC^2)=2（AM^2-GM^2)
重心の性質からAM=(3/2)AG、GM=(1/2)AGなので
右辺=2*（9/4-9/1)AG^2=4AG^2

>>651
お願いします。

>>717
1 問題の意図が分かりません(2)は範囲外です
2(1) S=πr^2よりdS/dr=2πr
(2)V=(π/3)r^2hよりdV/dr=(2π/3)rh
S=(1/2)2πr√(r^2+h^2)+πr^2よりdS/dr=π(2r+2√(r^2+h^2)-h^2/√(r^2+h^2))
3 y'=-2x^(-2)logx+2x^(-2)=2 (x=1)よりy=2(x-1)

よろしくお願いします

立方体の各面に、隣り合った面の色は異なるように、色を塗る
ただし、立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす

(1)異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りか
(2)異なる5色をすべて使って塗る方法は何通りか
(3)異なる4色をすべて使って塗る方法は何通りか

>>719
ちょっとくらい考えたのか？

>>640です。遅くなりましたが、
>>641さん>>642さん>>644さん シンプルでわかりやすい回答ありがとうございます。
理解できました(＞＜)本当にありがとうございました。

質問です
青チャート�UBの343頁の基本例題の(1)なのですが
三角形ABCと点Pが6PA↑+3PB↑+2PC↑＝0↑を満たすときPはどんな位置にあるかという問題で
解答が
-6AP↑+3(AB↑-AP↑)+2(AC↑-AP↑)=0↑　
よって11AP↑=3AB↑+2AC↑　
ゆえにAP↑=(5/11)・{(3AB↑+2AC↑)/5}

という最初の3行でなぜそのような作業に至るかがよくわかりません。
なので右側の欄を読んだところ　
AB↑、AC↑の係数に着目するとBCの分点の位置ベクトル(3AB↑+2AC↑)/(2+3)を作り出すことが思いつく
と書いてあるのですが自分は思いつきませんでした。

ここの詳しい解説を頂けると嬉しいです。

まず
AP↑=sAB↑+tAC↑
の形を目指すのが第一歩（AB↑、AC↑を基底とした座標作る感じ）
次に、sとtの関係をなんかないかなーと探す
とりあえずs+t=1になれば辺AB上にあるからそれ作って、あとは係数調節

辺AB→直線AB

>>722
BCをk:(1-k)に内分する点は(1-k)b+kcとなるのでb, cの係数の和が1であるように調整することで直線BC上の点を見いだすことができます
Pを原点とし6a+3b+2c=0を満たすa, b, cについて
6a+5((3/5)b+(2/5)c)=0と変形するとd=(3/5)b+(2/5)cはBCを2:3に内分する点となり6a+5d=0より(6/11)a+(5/11)d=0すなわち原点であるPはADを5:6に内分する点となる訳です
また9((2/3)a+(1/3)b)+2c=0と変形しe=(2/3)a+(1/3)bとするとEはABを1:2に内分する点であり9e+2c=0を(9/11)e+(2/11)c=0とすると原点であるPはECを2:9に内分する点となりますが
PをADおよびECの交点と見ることも可能です

>>719
色名をABCDEFとするとAを固定しその反対側の色がBCDEFの5通りそれらの側面の4ヶ所に残り4色を塗るときに回転させても同じ塗り分けとなるので4!/4=6通りよって5×6=30通り

色名をABCDEとするときどれか1つの色は2面に塗られるのでそれがどの色であるかで5通り
その2面が反対側の面同士であれば残り4色を塗るときに回転および反転で同じ塗り分けとなるので4!/(4・2)=3通り
その2面が隣り合う面同士であれば残り4色を塗るときに2面の入れ替えの回転で同じ塗り分けとなるので4!/2=12通り
合計15通りとなるので5×15=75通り

色名をABCDとするときどれか1つの色が3面に塗られる場合とどれか2つの色がそれぞれ2面に塗られる場合とがあり
前者はその3面の位置関係が2通りで3!/3+3!/2=5通りの4×5=20通り
後者はその2色がそれぞれ反対の面に塗られる場合は2!/2=1通りで4C2×1=6通り
その2色のうち1色は反対の面もう1色は隣り合うように塗られる場合は2!/2=1通りの4P2×1=12通り両方とも隣り合うように塗られる場合は隣り合う面同士の位置関係が2通りで4C2×2×2!=24通りの合計42通りなので合わせて62通り

整数の問題です。

一次以上の任意の整数係数多項式f(x)について、f(1),f(2),f(3),…の中には
素数でないものが存在することを示せ。

>>725
>PをADおよびECの交点と見ることも可能です
ABCが一般の位置すなわちつぶれた3角形ではない場合です

>>727
いかなるnにおいてもf(n)が素数にならないならば、たとえばf(1)も素数でないため
「素数でないものが存在する」。
#f(x)=2xみたいな場合がこれ。

また、x=nの時f(n)の値pが素数であったとすれば、f(n+p)はpで割り切れ、素数ではない。なぜなら；
f(n+p)-f(n)は、f(x)における定数項は互いに消しあって0になる。
また、この式をnの多項式とみたとき、nについて(m-1)次(1≦m≦f(x)の最大次数)の項は
(n+p)^m-n^m の形であるから、n+p-n=pを因数として持つ。
従ってf(n+p)-f(n)はpの倍数であり、f(n)=pなのだからf(n+p)もpの倍数である。
#(f(x)=x^2+2x+2 はx=1でf(1)=5が素数であって、f(1+5)=36+12+2=50は5の倍数、ってのが実例)

以上より題意が証明された。

>>729
>f(n)=pなのだからf(n+p)もpの倍数である。
f(n+p)=pである可能性があります

すべてのnについてf(n)が素数である多項式が存在するとする
f(1)=pとすると>>729の考察によりf(1+p)はpの倍数であるのでf(1+p)=p
同様にf(1+2p)=…=f(1+kp)=…=p
すなわちg(x)=f(x)-pは無数の解を持つので0よってf(x)=p（0次式）

>>731
>すなわちg(x)=f(x)-pは無数の解を持つので0よってf(x)=p（0次式）
g(x)=f(x)-pと置くとg(x)=0は無数の解を持つのでf(x)=p（0次式）

>>730-
ご指摘多謝。その可能性は見落としてました。

ある十分大きなxに対して |f(x)| ＞ p より
mを十分大きくして
f(n+mp)≡f(n) (mod p) としたらあかんですか？

>>723>>725>>728　>>724もｗ
ありがとうです。これ見ながらやってみます

>>718
ありがとうございました。
1番は…関数の微分です。

質問です。

nが自然数であるとき、ｎ^3+2ｎは3で割り切れることを証明せよ。
(数学的帰納法を用いよ)

とあるのですが、分かりません。教えて下さい。

おおまかにだけ
n=kのとき
k^3+2k=3lと仮定
n=k+1
(k+1)^3+2(k+1)=k^3+3k^2+5k+3=k^3+2k+3k^2+3k+3=3(l+k+1)

整数問題です。

９０を連続する自然数の和（１つだけの場合も含む）で表す方法は何通りあるか。

>>737
マルチすんな。

>>739
奇数個の和なら、平均である真ん中の自然数が存在する（例：90=30*3=29+30+31）。
偶数個の和なら、平均は自然数+(1/2)になっている。

>>739
もっと上手い解き方を見るんだけど、自分はこれでやっちゃうんだよなぁという方法で。

90=2*3^2*5
・偶数(2n)個の和に分割する場合、中央の2数の和が90/nで、
　これは連続2数の和だから奇数。それから外側に広がるペアの和が中央2数の和と等しい。
(数学的に厳密な言い方じゃないが)
　和が1*90組、3*30組、5*18組、9*10組は負の数が出てくるのでアウト。
　15*6組 (7,8)を中心にして左右に6-1ずつ伸びるのだから2〜13の和　以下同様。

・奇数個の和に分割する場合、総和は中央の数の項数倍。
　最終的に和が90と言う偶数になるから、中央値は偶数。
　2*45項、6*15項は負の数が出てくるのでアウト。
　10*9項 10を中心にして±(9-1)/2=4項ずつ。6〜14の和　以下同様。

　　　

>>739
90=a+(a+1)+…+(a+n-1)=na+n(n-1)/2=n(2a+n-1)/2
n(2a+n-1)=180=2^2・3^2・5
nと2a+n-1(>n)の偶奇は異なるので
n<√180≒13.3より
n, 2a+n-1
1, 180
3, 60
4, 45
5, 36
9, 20
12, 15
の6通り
90
=90
=29+30+31
=21+22+23+24
=16+17+18+19+20
=6+7+8+9+10+11+12+13+14
=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13

>>727は負の素数が出てきたら気持ち悪い。
|f(1)|､|f(2)|､|f(3)|､…としたらいいのでは。

>>738 ありがとうございますm(__)m

>>740　あの…マルチってなんですか？

>>744
>>1も読まずに書き込みするな

>>743
素数は自然数です

>>746
だから、負の素数が出てきたら気持ち悪いんじゃないの？

鉄緑会の東大過去問で見たんだけど、答案の書き方として、
「恒等式の等号と方程式の等号を同じ式の中で併用しないこと
　(x^2)-1=(x+1)(x-1)=0⇔x=±1や(x^2)-1=(x+1)(x-1)=f(x)とおく、というのは誤り」
というような記述があって、理由が書いていない。何でだめなの？

>>748
少なくとも“誤り”ではないだろ

>>745 マルチじゃないですけど…大丈夫ですか？

>>743
負の素数って意味がわからん
例えば-2とか？そのつもりなら-2は素数ではないんだが

数列の問題で質問です。

数列{a[n]}は次の不等式(*)を満たしている。
　　2a[n]<a[n+1]<a[1]+a[2]+…+a[n]+1(n=1,2,3,…)…(*)
(*)を満たすa[1],a[2],……,a[n],……が存在するための初項a[1]に関する
必要十分条件を求めよ。

>>747
出てこないというのがf(x)の条件です

>>752
それって質問って言うの？

>>752
2a[1]<a[2]<a[1]+1を満たすa[2]が存在する ⇔ a[1]<1
さらにa[1]<1とすると2a[n]<a[n+1]<a[1]+a[2]+…+a[n]+1を満たすa[n+1]が存在することを帰納法で示す
n=1のときは前述
2a[n-1]<a[n]<a[1]+a[2]+…+a[n-1]+1を満たすa[n]が存在するとすると
2a[n]<a[n+1]<a[1]+a[2]+…+a[n]+1を満たすa[n+1]が存在する ⇔ a[n]<a[1]+a[2]+…+a[n-1]+1
であり後者の条件は帰納法の仮定により成立している
よってすべての自然数について成立する
a[1]<1であればすべての自然数nについて成立し
すべての自然数nについて成立するならばn=1のときよりa[1]<1となるので
すべての自然数nについて2a[n]<a[n+1]<a[1]+a[2]+…+a[n]+1が成立する数列{a[n]}が存在する必要十分条件はa[1]<1

-8と18との間にn個の数a1,a2,…,anを入れ
-8,a1,a2,…,an,18
が公差1/2の等差数列になるようにしたい
個数n個をいくらにすればよいか。

[解答]

初項は-8、末項18は第(n+2)項にあたるから
-8+{(n+2)-1}*1/2=18 故にn51

[終]

何故第(n+2)項なんでしょうか？
これはどこから出した物なんですか？

どなたかご返答お願い申し上げます。

> -8と18との間にn個の数a1,a2,…,anを入れ

申し訳御座いません。
書き方を間違えておりました。

-8と18との間にn個の数a[1],a[2],…,a[n]を入れ
-8,a[1],a[2],…,a[n],18
が公差1/2の等差数列になるようにしたい
個数n個をいくらにすればよいか。

[解答]

初項は-8、末項18は第(n+2)項にあたるから
-8+{(n+2)-1}*1/2=18 故にn51

[終]

放物線y=x^2上の相異なる4点A,B,C,Dが同一円周上にある。A,Bのx座標をそれぞれα,βとする。

（１）直線ABの傾きをα,βであらわせ。
（２）直線CDの傾きをα,βであらわせ。

（１）は瞬殺でこたえはα＋βとわかるんですが
（２）がわかりません。よろしくお願いします。

浪人で漸騰マーク７６パーセントで記述偏差値６３かつ数学は捨て教科
のおれさんじょう　　工化いきたいお

京大スレにカエレ

>>759
A(a, a^2), B(b, b^2), C(c, c^2), D(d, d^2)を通る円の方程式をx^2+y^2+px+qy+r=0とすると
x=a, b, c,dはx^2+x^4+px+qx^2+r=0の相異なる4実数解であるから
解と係数の関係よりa+b+c+d=0
CDの傾き(c^2-d^2)/(c-d)=c+d=-(a+b)

質問です
x^3/x^3+3x^2+7x+5
の不定積分はどのように解いたらいいのでしょうか
�@分子を分母で割る
�A残った分数の分母を（x+1）で因数分解。。。
までやってみたもののこのあとどうすればいいかわからず詰みました
わかる人いましたら教えてくださいm(_ _)m

>>763
>>1

>>764
どこか間違っているでしょうか。。。

>>764
すいません
x^3/（x^3+3x^2+7x+5 ）　こうでした。

>>766
x^3/(x^3+3x^2+7x+5)
=1-{(3x^2+7x+5)/((x+1)(x^2+2x+5))}
=1-{(3x^2+7x+5)/((x+1)(x^2+2x+5))}
=1-(1/4){(11x+15)/(x^2+2x+5)}-(1/4){1/(x+1)}
=1-(11/8){2(x+1)/(x^2+2x+5)}-{1/((x+1)^2+4)}-(1/4){1/(x+1)}

計算があってるかは知らんが、この方向性で。

>>767
ありがとうございます

記法に関しての質問なんですが
vectorA=(x,y,z)の大きさを一般的に|vectorA|と書きますよね
では成分表示のまま|x,y,z|のように書くのはアリですか？

|(x,y,z)| ならあり

2005年東大前期理系の問題
関数f(x)=x(1+e^(-2x+2))/2とする。
(1)x>1/2ならば0≦df(x)/dx＜1/2　を示せ。
(2)x(0)を正の数とするとき、数列｛x(n)｝をx(n+1)=f(x(n))と定める。x(0)>1/2ならばlim_[n→∞]x(n)=1　であることを示せ。
という問題なんですが、赤本、25ヵ年、予備校のテキスト　どの解答を見ても(2)を平均値の定理を使ってはさみうちで解いてるんですが、
y=xとy=f(x)をグラフに描いて、視覚的にx(n)がy=xとy=f(x)の交点に収束することを示すのはだめでしょうか。
こっちのほうがわかりやすいと思ったのですが、どの本もまったくこのことに触れてないので、どなたか教えて下さい。

>>771
厳密じゃない。

収束すると予想するのは勝手だが、それは示した、証明したことにはならない
もしかしたらx(1000)で予想された収束値をとったあと急激に発散していくかもしれないじゃん？
それがありえないっていうのをしっかりと定理を用いたりしながら示すのが数学

だと思う

分からないので教えてください。
a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4は実数で
b1>b2>b3>b4>0において
a1b1+a2b2+a3b3+a4b4>0
かつ
a1b1<0
a1b1+a2b2<0
a1b1+a2b2+a3b3<0
のとき
a1+a2+a3+a4>0を示せ。
という問題です。
お願いします。

>>774
a4b4>-(a1b1+a2b2+a3b3)>0よりa4>0
よってa4b3>a4b4>-(a1b1+a2b2+a3b3)
(a3+a4)b3>-(a1b1+a2b2)>0よりa3+a4>0
よって(a3+a4)b2>(a3+a4)b3>-(a1b1+a2b2)>0
(a2+a3+a4)b2>-a1b1>0よりa2+a3+a4>0
よって(a2+a3+a4)b1>(a2+a3+a4)b2>-a1b1
(a1+a2+a3+a4)b1>0よりa1+a2+a3+a4>0

>>771
f'(x)=(1+(1-2x)e^(-2x+2))/2
1/2<xより1-2x<0なのでf'(x)<1/2
f''(x)=4(x-1)e^(-2x+2)/2=0となるのはx=1であり
1/2<x<1でf''(x)<0よりf'(x)は単調減少
1<xでf''(x)>0よりf'(x)は単調増加
よってx=1で極小（最小）f'(1)=0より
1/2<xでは0≦f'(x)<1/2

1/2<x<1ではx<f(x)<1
1/2<x(0)<1であれば1>f(x(n))=x(n+1)>x(n)
1<xでは1<f(x)<x
1<x(0)であれば1<f(x(n))=x(n+1)<x(n)
高校範囲外ですが実数の連続性を使うならば
いずれの場合もlimx(n)=Xが存在し
f(x)の連続性よりf(X)=limf(x(n))=limx(n+1)=X
よってX=1が導けます

実数の連続性を使わないならば
1/2<x<1でf''(x)<0より上に凸よってg(x)=k(x-1)+1<f(x)<1 (0<k=(1-f(1/2))/(1-1/2)=(3-e)/2<1)
1/2<x(0)<1であれば1>f(x(n-1))=x(n)>g(x(n-1))=k(x(n-1)-1)+1
0<1-x(n)<k(1-x(n-1))<k^n(1-x(0))
lim(1-x(n))=0よりlimx(n)=1
1<xでf''(x)>0より下に凸よって1<x(0)とすると1<f(x)<h(x)=k(x-1)+1 (0<k=(f(x(0))-1)/(x(0)-1)<1)
1<f(x(n-1))=x(n)<h(x(n-1))=k(x(n-1)-1)+1
0<x(n)-1<k(x(n-1)-1)<k^n(x(0)-1)
lim(x(n)-1)=0よりlimx(n)=1

>>766
範囲外です

>>774です。
大学への名無しさん、どうもありがとうございました。
スッキリです。感謝です。

センターIA2B最短で8割とるなら何がいいですか？

http://imepita.jp/20090805/819300

この間はどうやって変形するんですか？
ちなみに右下は0です。消えかかってますが。
どなたか教えてください！

>>780
分母を払って移項しただけ

右辺を左辺に移項して4かけただけ

>>781
>>782

わかりました、ありがとうございます！
おかげで続きの問題も解けました！

>>762　ありがとうございます。今日考えていた解答と同じで安心しました。

>>770
どうもありがとう

>>772-773
ということは微積分基礎の極意3章問３のように、問題文中にグラフを使って極限値を求めよ　みたいな問題以外にはこの手の解法は使わないほうがいいんですね。ありがとうございました。

「Aグレード」「Sグレード」という特性を持つ武器アイテムがあるとする。
これらの武器には「強化値」と「最大強化値」が設定されており、「強化」を
行うことで強化値を増やすことができる。
強化値、最大強化値をそれぞれ m , n とする場合、Aグレード、Sグレードの
強化状態はそれぞれ A(m/n) , S(m/n) と表記するものとする。
（※この表記における「/」は除算とは無関係である）

未強化の状態では m = 0 , n = 10 である。
m , n はともに0から10までの整数であり、mは必ずn以下となる。

720円の代金を支払うと、強化値を0から8に確実に上げることができる。
強化値8から9への強化は、強化用アイテムを使うことによって行うことができ、
Aグレードは成功率68.25%、Sグレードは成功率56%である。
強化値を9から10へ上げる手段も同様で、Aグレードは成功率64.75%、Sグレー
ドは成功率52.5%である。

強化に失敗すると強化値は0に戻され、最大強化値が1減少する。
例えばS(8/10)の強化に失敗するとS(0/9)になってしまうということである。

減少した最大強化値は「修復」を行うことによって1戻すことができる。
ただし修復を行うためには、強化値と最大強化値が等しい状態でなければなら
ない。
例えばS(0/8)の武器を修復する場合は、S(8/8)まで強化を行なっておく必要が
ある。
なお、修復の代金は、Aグレード、Sグレードともに共通で、8/8から8/9が300
円、9/9から9/10が600円である。

これらの条件において、A(0/10)およびS(0/10)をそれぞれA(10/10)およびS(10
/10)に強化する場合、かかる金額の期待値はそれぞれ何円になるか、小数点以
下を四捨五入して示せ。

…という問題を考えてみたんですが、大学入試レベルで解答をお願いします。

ウゼえから詳細な検討はしないが
お前さんの能力から推測して
前提条件や設定に、おそらく矛盾があるだろう

>>787
3060円？

>>786
あの問題の趣旨は糞だと思う
せめて誘導の一環としてグラフを書き、a(n)の様子を示せくらいにすべき
なんでもグラフより明らかとかにする悪いくせの元になりそう

>>790
> せめて誘導の一環としてグラフを書き、a(n)の様子を示せくらいにすべき
これでは正確な極限は求まるかわからないから、極限を求める誘導になってないし、

> なんでもグラフより明らかとかにする悪いくせの元になりそう
こうなるのはむしろ
> グラフを書き、a(n)の様子を示せ
って書いた場合だろ
そもそも(1)で平均値の定理を使えって誘導が思いっきり書いてるじゃん

不定積分

∫{(x^2)-1}/{(x^4)+1}dx

が解けません。
置換積分、部分積分、、、何をやってもダメでした。
できたら教えてください。お願いします。

△ABCにおいてAB=5 CA=4 cos∠BAC=-1/5

このとき△ABCの外接円の周上にAD=BCを満たす点Dをとる。

このときのBDの長さを求めよ。

が解けません。

しばらく考えてみたのですが、BCの値を求めてからがわかりません。

どうか教えてもらい無いでしょうか。

お願いします。

>>792
分母を複二次式とみなして因数分解し、部分分数分解。
被積分関数が
(1/2) { (√2x-1)/（x＾2-√2x+1） - (√2x+1)/（x＾2-√2x+1）｝
になると思う。どっちの分数も、分母の導関数÷√2が分子だから
あとは楽。

#ちょっとあわてて計算したから違ってたらスマソ。最初の方針
自体は外してないと思う。

標準問題精講について
数学２の４８の演習２問がよく分からないです。
４８ー１は(２)の式がどうやったら導けるのか。
４８ー２は「(１)(３)をみたすP、ｑは〜〜〜の２解であり……」の〜〜〜の式がどうやったら導けるのかがわかりません。


優しい方教えてもらえますか？

>>793
３ヶ所にマルチ

>>787
最初Aに積算金額0で居るものとする
積算金額はそのままでA→Bと遷移する確率をp
Aに留まり積算金額がk増える確率を1-pとすると
Bに遷移した時点での積算金額の期待値は
0p+kp(1-p)+2kp(1-p)^2+3kp(1-p)^3+…=k(1-p)/p

A(8/9)→A(9/9)の遷移確率をpとすると
A(8/9)→A(0/8)→A(8/8)→A(8/9)の遷移確率は1-pであり
後者の遷移において積算金額は720+300=1020増加する
よってA(8/9)の状態から様々な遷移を経てA(9/9)に至った時点での積算金額の増加額の期待値は1020(1-p)/p
A(9/10)→A(10/10)の遷移確率をqとすると
A(9/10)→A(0/9)→A(8/9)（前述のループを含め）→A(9/9)→A(9/10)の遷移確率は1-qであり
後者の遷移における積算金額の増加額の期待値は720+1020(1-p)/p+600=1320+1020(1-p)/p
よってA(9/10)の状態から様々な遷移を経てA(10/10)に至った時点での積算金額の増加額の期待値は(1320+1020(1-p)/p)(1-q)/q
最初積算金額0のA(0/10)の状態から
A(0/10)→A(8/10)→A(9/10)と遷移する確率はpで積算金額の増加額は720
A(0/10)→A(8/10)→A(0/9)→A(8/9)（前述のループを含め）→A(9/9)→A(9/10)の遷移確率は1-pで積算金額の増加額の期待値は720+1320+1020(1-p)/p=2040+1020(1-p)/p
よって初めてA(9/10)に至った時点での積算金額の期待値は
720p+(2040+1020(1-p)/p)(1-p)
これとA(9/10)の状態から様々な遷移を経てA(10/10)に至った時点での積算金額の増加額の期待値を合計すると
求める期待値は720p+(2040+1020(1-p)/p)(1-p)+(1320+1020(1-p)/p)(1-q)/q

>>787
無限ループを含み無限（可算無限）の事象に関する期待値の定義は高校数学範囲外であろうと思います

数学�TＡの図形問題です。解答部分でわからないところがあります。

問
三角形ABDにおいて、
AD=5、AB=6、cos∠ABD=2/3のとき、BDを求めよ。


解
BD=xとおき、余弦定理を用いると
5^2=x^2+6^2-2・x・6・cos∠ABD
x^2-8x+11=0
∴x=4±√5

したがってBD=4-√5…答


最後の解を求める際、なぜ4+√5ではなく4-√5と限定できるのかわかりません。
どなたか教えてください。
よろしくお願いします。

>>799
問題の全部をちゃんと写してないと思われる。
（Cが抜けてるしね)

書かれた範囲だけならばxの値は二つ出るような図が描けるので
確かにBDは一意に決まらないけど、それ以前に何かあるなら
そっちによる制約で複号がマイナスのほうだけに絞られるんだと思われ。

>>794
後半の分母を間違って書いてた。
誤：x＾2-√2x+1 → 正：x＾2+√2x+1

>>795>>799
>>1
問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
　解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor問○を教えてください」だけ書くような
　質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。

>>794>>801
おお、うまく解けそう
どうもです

どなたかsinZ=1000を満たす複素数Zを教えていただける方はいませんか？

>>799です。コメントありがとうございます。
問題文は一部割愛していました…失礼しました。

すべての問題文をかきますと、以下のようになります。

三角形ABCにおいて、AB=6、BC=5、CA=4+√5とする。
（1）cosA、三角形ABCの面積を求めなさい。

（2）Bを通り、CAに平行な直線と三角形ABCの外接円との交点のうち、Bと異なるほうをDとする。
このとき、AD、BDを求めなさい。


図が２つかける、ということなのですが、（今回ではなりえないのですが）もしBD=4+√5になる場合、どのような図になるのでしょうか。私は4ー√5の場合のみしかイメージできませんでした…なぜ、正の解が２つでてくるのが疑問に思いました。よろしくお願いします。

>>805
cosA=(6^2+(4+√5)^2-5^2)/(2・6・(4+√5))=2/3
△ABC=(1/2)6・(4+√5)sinA=5+4√5

CA//BDよりAD=BC=5
5^2=BD^2+6^2-2BD・6・cosA
BD^2-8BD+11=0
BD=4±√5
BD=4+√5なら4角形ABCDは平行四辺形すなわち長方形となりこの場合上記の2次方程式は重解となるはずなので不適
よってBD=4-√5

>>805
AB=6、BX=4で∠AXB=90°の直角三角形を書く。さらにBXをXの側に延長して
半直線にする。このとき、cos∠ABX=BX/AB=2/3。

この状態でAを中心として半径5の円を描くと、Xから見てBに近い側と
Bに遠い側にそれぞれ交点ができる。最初に書かれた設定だけだと、
この2点の両方がDでありうる。

ちなみに、AX=√(6^2-4^2)=√20=2√5、AD=5だから
DX=√5で、BD=4±√5。

1/x+1/y=2/z　を満たす正の整数x,y,zを考える。
（１）z=15のとき、組(x,y)をすべてこたえよ。
（２）x,y,zの正の公約数が1のみであり、zが奇数であるとき、3数の積xyzは平方数となることを示せ
　　ただし、正の整数の2乗である数を平方数という。

（１）はなんとか自力で探して(x,y)=(15,15),(12,20),(10,30),(9,45),(8,120),(120,8),(45,9),(30,10),(20,12)
で出したのですが、（２）がわかりません。どなたかお願いします。

sinやcosの入った式の増減表になると途端にわからなくなってしまいます。
たとえばy'=2cosx+1で増減表を書くときなどは、y'のグラフを書いたり、直接y'の式に代入して符号を確かめたりできると思いますが、
y'=xcosxなどのように三角関数を含んだy'=0の解が3つある場合は代入する以外に符号を確かめる方法はないのでしょうか？

(1+i)x^2-(a+bi)x-(b+ai)=0
が実数解をもつのは、点(a,b)がどんな範囲にあるときか、図示せよ。

という問題なんですが
x^2-ax-b=0
x^2-bx-a=0
としたあとどうすればいいでしょうか。お願いします。

>>809
全体が積の形 （ x * cosｘ ) なんだから、
積を作るそれぞれの部分の正負を調べれば全体としての正負も決まるよね。

n個の玉とｎ個の箱があり、玉にも箱にも１・２・３・・・ｎの番号がつけてある。
いま、ｎ個の玉をｎ個の箱に1個ずつランダムに入れるとき、どの箱についても、
箱とその中の玉の番号が異なる確率を求めよ。
ただし、Σ（シグマ）をもちいてもよい。

ｎ＝２、３，４、５と調べていった結果、ｎが３以上で1/2*(n+1/n)となり、
1/2に収束しましたが、シグマの使い方がわかりませんでした。
最初から間違っているかもしれませんが、アドバイスお願いいたします。

黄チャの例題35です。
２つの２次方程式2x^2+kx+4=0、x^2+x+k=0が共通の実数解をもつように、定数kの値を定め、その共通解を求めよ。

解説

共通解をx=aとすると
2a^2+ka+4=0・・・�@、a^2+a+k=0・・・�A
�@-2�Aから　(k-2)a+4-2k=0
すなわち (k-2)a-2(k-2)=0
よって (k-2)(a-2)=0
ゆえに k=2 または a=2

というのがあるのですが、そのあとの解説についてはまあまあわかるのでいいのですが、
１つ：なぜxをaに置き換える必要があるんですか？xのまま進めていってはいけないんですか？
２つ：(k-2)a-2(k-2)=0　がどうして(k-2)(a-2)=0　になるんですか？

教えてください。

>>813
１つ 混乱を避けるため
２つ ならない方がおかしい

>>812
完全順列でググると幸せになれる

>>812
1, 2, …, nを条件を満たすように入れたときの総数をa[n]とする
a[1]=0, a[2]=1
nの入っている箱がk番目とすると
n番目の箱の内容がkでなければ
この2つの箱の内容を取り替えると
1, 2, …, n-1番の箱が条件を満たすことになる
n番目の箱の内容がkであれば
この2つの箱の内容を取り替えると
1, 2, …, n-1番の箱の内k番目の箱を除くn-2個の箱が条件を満たすことになる
よって
a[n]=(n-1)a[n-1]+(n-1)a[n-2]
a[n]-na[n-1]=-(a[n-1]-(n-1)a[n-2])=(-1)^n(a[2]-2a[1])=(-1)^n
a[n]-na[n-1]=(-1)^n
a[n]/n!=a[n-1]/(n-1)!+(-1)^n/n!=Σ[k=2, n](-1)^k/k! (n≧2)
(a[n]/n!=Σ[k=0, n](-1)^k/k! (n≧0))

>>810
(x^2-ax-b)+i(x^2-bx-a)=0
x^2-ax-b=0
x^2-bx-a=0
(b-a)(x-1)=0
b=aまたはx=1
b=aのとき
x^2-ax-a=0に実数解が存在する条件は
a^2+4a≧0
a≦-4, a≧0
x=1のとき
1-a-b=0
a+b=1

>>808
1/x+1/y=2/15
15(x+y)=2xy
4xy-30(x+y)=0
(2x-15)(2y-15)=15^2=3^2・5^2
もし2x-15, 2y-15<0であれば何れか一方は-15以下となるのでx, yの何れか一方は0以下の整数で不適
よって
2x-15, 2y-15
1, 225
3, 75
5, 45
9, 25
15, 15
（以下は入れ替え）
x, y
8, 120
9, 45
10, 30
12, 20
15, 15
（以下は入れ替え）

(2x-z)(2y-z)=z^2
zの素因数（奇素数）の1つをpとするとき
2x-zと2y-zが共通の奇素因数pを持てば
x, yもpを素因数として持つので条件に反する
よって2x-z, 2y-zには共通の奇素因数はない
これにより互いに素であるu, vによって
z=uv, 2x-z=u^2, 2y-z=v^2と表せる
4xyz=(z+u^2)(z+v^2)z=u(u+v)v(u+v)uv=(uv(u+v))^2
よってxyzは平方数

>>814
１つめは分かりました
２つめはまあそりゃあならなきゃいけないんでしょうけど、どうしてなるのか教えて欲しいんですよ・・・

>>816
>a[n]-na[n-1]=-(a[n-1]-(n-1)a[n-2])=(-1)^n(a[2]-2a[1])=(-1)^n
a[n]-na[n-1]=-(a[n-1]-(n-1)a[n-2])=(-1)^(n-2)(a[2]-2a[1])=(-1)^n

k-2でくくれボケ

>>819
小学校で習った分配法則の逆

あー、(k-2)a-2(k-2)=0　をまず(k-2)a-2×1=0　にしてるんですかね？

k-2を例えばｘと置いてみてもわからない？

ax-2xをx(a-2）としてるわけですか、なるほど！こりゃわかりやすい。
ありがとうございます

正解！
k-2をひとかたまりと見ているんだ。
慣れればなんてことないよ。勉強がんばってね。

>818
ありがとうございます！！！本当にすごいですね
どうやったら整数問題に強くなれますか？？
どうも整数問題が安定しなくて困ってます…

0≦t≦2πを満たすすべての実数tに対して、点P（t-sint,1-cost)は楕円
　　(x-π)^2/π^2+y^2/4≦1
に含まれることを示せ。

サイクロイドが楕円の中に含まれることを示すものなんですが
どうかお願いします…

>>815
>>816

ありがとうございました！理解できました。

>>828
そうやって、課題を全て2ちゃんで終わらせるつもりなのか？
自分で考えない奴は100年たっても成績は上がらない

>>828
サイクロイドと楕円はx=πに関して左右対称なので0≦x≦πの範囲で考える
0≦t-sint≦π ⇔ 0≦t≦π （サイクロイドの定義またはt-sintのグラフの単調増加性より）
示すべき事柄は0≦t≦πにおいてf(t)=(t-sint-π)^2+(π/2)^2(1-cost)^2≦π^2であること
f'(t)=2(t-sint-π)(1-cost)+2(π/2)^2(1-cost)sint=2(1-cost)(t-sint-π+(π/2)^2sint)
g(t)=t-sint-π+(π/2)^2sintと置くと
g'(t)=1-cost+(π/2)^2cost=0となるのは
cost=-1/((π/2)^2-1)となる0≦t≦πの値でそのような値はただ１つ存在する
これをaとすると
0≦t≦aでg(t)は単調増加
a≦t≦πでg(t)は単調減少
g(0)=-π, g(π)=0よりg(a)>0であり
0<t<πの範囲でg(t)=0となるのは0<t<aの範囲にただ1つ存在する
これをbとすると
0≦t≦πの範囲でf'(t)=0となるのはt=0, b, πのみであり
0<t<bでg(t)<0すなわちf'(t)<0
b<t<πでg(t)>0すなわちf'(t)>0であるから
0≦t≦πの範囲でのf(t)の増減表よりこの範囲でのf(t)の最大値はf(0)=f(π)=π^2
よって
0≦t≦πにおいてf(t)=(t-sint-π)^2+(π/2)^2(1-cost)^2≦π^2であること
すなわちサイクロイドが楕円の内部に含まれることが示せた

>>817
ありがとうございました！！

>>804 Z = π/2 - i*log((1000±√(999999)) +(2πn)

>>806-807

>>805です
ご説明いただき、ありがとうございました。
御礼が遅くなってしまい、すみませんでした。

直線x=1上の異なる2点がAによる移動で原点を通らない直線上の
異なる2点に移る
ならばAは逆行列をもつことを示せ
A=([a,b][c.d]) a.b.c.dは実数.


北大の問題です。この問題で2点質問させてください
まず、この問題の対偶を取るとどういいかえられますか?
「Aは逆行列をもたないならば、

直線x=1上の異なる2点がAによる移動で原点を通らない直線上の
異なる2点に移らない」
⇔「Aは逆行列をもたないならば、

直線x=1上の異なる2点がAによる移動で原点を通る直線上の
異なる2点に移る」

という感じでOKですか?

あと、解答が次のようになってます
P(1.s),Q(1.t) t≠sとすると、P.QのAによる像はP'(a+sb,c+sd),Q'(a+tb,c+td)
したがってOP'↑とOQ'↑は平行ではない⇔(t-s)(ad-bc)≠0

この解答で

直線x=1上の異なる2点がAによる移動で原点を通らない直線上の
異なる2点P'.Q'に移る
⇔「OP'↑とOQ'↑は平行ではない」
に気がつくにはどういう考え方をしていけばいいのでしょうか?
言われればその通りだなと思うのですが、如何せん思いつきません・・・

>>835　前半
>「Aは逆行列をもたないならば、
>直線x=1上の異なる2点がAによる移動で原点を通らない直線上の
>異なる2点に移らない」

これはOKだけど、たとえばA=[(0,0),(0,0)]ならば全て原点という
「1点」に移るので、この命題は

>……
>直線x=1上の異なる2点がAによる移動で原点を通る直線上の
>異なる2点に移る」

と同値ではない。

>>836
ありがとうございます。

ということは
「直線x=1上の異なる2点がAによる移動で原点を通る直線上に移る(一致しても良い)」
と同値ということでOKですか?

>>837
言っていることはそれでいい。

ただ、「2点が…原点を通る直線上に移る(一致しても良い)」
ってので表現として最善を尽くしているかがちょっと疑問かも
（「2点が直線上に移る」ってどういうことか、移る先は直線上"の2点または1点"では
ないのか)。
ちなみに、逆変換がない場合も含め、1次変換は「点を点に移す」ので、2点が2点以上に
移ることはないことは保証されてると思っていい。

「または」を使った上で厳密に状況を場合分けして、
「…Aによる移動で、原点を通る直線上の異なる2点、または1点に移る」
と表現したほうがベターだと思うけど、これは単に自分の好みの問題なのかもしれない。

数標�UB　慶応の数列の問題です。

問題　

n個の箱とｎ個の玉がある。ｎ個の箱には１、２、・・・・、ｎ　と通し番号がついている。　ｎ個の玉も同じく番号がついている。今、ｎ個の箱に１つずつ玉を入れる時
、箱の番号と玉の番号が全部異なっているような入れ方総数をUｎとする。

（1）　U1＝０　、U2＝１、U3＝□　、U４＝□　である。
（2）　Uｎ+1、Uｎ、Uｎ-１　の間には　Uｎ+１＝□Uｎ+□Uｎ-１　という関係がある。
（3）　Uｎ+１　と　Un　との間には　Uｎ+１＝□　という関係がある。

（2）がどうしても解りません。　教えてください

>>839
□=n-1
ここで聞くより完全順列でググったほうがわかりやすいと思う

ありがとうございます。

http://kakuritsu.hp.infoseek.co.jp/kanjun.html

早ここを眺めていたら見えてきそうです。

神戸大の経営学部志望の高1です。
数学はＺ会の添削問題とチャート式（黄・青・時々赤）をひたすら解いてるんですけど
このやり方で本番の試験に対応できる実力は身に付くのでしょうか？

顔文字うざいやめろ

すみませんでした

>>839　

これをチャートで調べたら、すごく解りずらいです。　>>841　だと直ぐに理解できました。　どうしてチャートはこうした直観でも解るような説明を
していないのでしょうか。　答案ではチャートのような証明が出来ないと駄目なのでしょうか。

中心(0,0)を通る半径1の円Ｃがある。Ｃの外部の点Ｐ(s,t)(t≠±1)からＣへ引いた二つの接線と直線y=1との交点をＱ,Ｒとする。
線分ＱＲの長さをs,tを用いて表せ。


この問題は接線をy=a(x-s)+tとおいてこの式を円の方程式に代入して計算しまくる!!という解法でなくてスマートに解ける解法ってありませんか？

よろしくお願いします。

仮に接点を設定してやると、接線の方程式はax+by=1の形で表せる。
これがs,tを通り、また円周上の点は(cosθ、sinθ)で表せる。（　それか、(t,√1-t^2）　）
この2つの条件のもと連立方程式を解けば接点の座標がs,tで表せる。よって接線の式がわかる。
あとは、接線の方程式にy=1を代入してx座標の差を

xy平面上の3点 O(0,0) A(1,0) B(0,1) からの距離の和 OP+AP+BP を最小にする点Pを求めよ

まず直角三角形ABCの周又は内部にPがあることが必要だろうと考えました。
その上で極多端な場合で実験して
・点pが辺AB上にある⇒ OP+AP+BP=OP+AB≧OM+AB (M:ABの中点)
・点pが辺OA上にある⇒ OP+AP+BP=OA+AB≧OA+BO
・点pが辺OB上にある⇒ OP+AP+BP=OB+AP≧OB+AO
だから、多分点OとＡＢの中点Mを結ぶ線分OM上にある　・・・(*)
あとは角変数θを適当に(π/4.π/2)のところで取って計算すれば最小値が出そうなんですが
ちょっと厳密じゃないというか、こんな解法でいいのかな?とおもってしまいます
(*)のところを正しく証明するにはどうしたらベストでしょうか?

お願いします

>>848
直線 y=x に関して P(x,y) を折り返した点を P'(y,x) とする.
PP' の中点 H ((x+y)/2,(x+y)/2)) は垂線の足.

BP=AP'で, AP+BP=AP+AP'≧2*AH=AH+BH. また OP≧OH.
従って, AP+BP+OP ≧ AH+BH+OH.
最小値を調べるには, y=x 上の点に限ってよい.

>>849
感動しました。ありがとうです

xy平面上に2つの図形
円O：x^2+(y-1)^2=r^2 (r>0) と放物線 C：y=ax^2 (a>0)　がある
円Oと放物線Cの共有点が1個になる条件はr=ア, イ<a≦ウである　という問題でアイウに当てはまる値を求める問題なんですが

答えが
x^2+(y-1)^2=r^2・・・�@、y=ax^2・・・�Aとおく。
�@、�Aからx^2を消去して整理すると
y^2+(1/a-2)y-r^2+1=0・・・�B

円と放物線が奇数個の共有点をもつための条件は、放物線の頂点が共有点になること、すなわち、
�Bがy=0を解に持つから
r^2=1
r>0であるから r=1
このとき y=0,　-1/a+2
共有点が1個のとき
-1/a+2≦0　すなわち　0<a≦1/2
よって、共有点が1個になる条件は
r=1,　0<a≦1/2

となるんですが

共有点が1個のとき共有点が1個のときから下の作業がなぜこうなるのか分かりせん
あと他にも共有点が2個や3個や4個の問題もあるんですがその場合もわかりません

簡単なことを見落としてるのか、理解していないのかも分からないのでできればヒントからもらえたたらうれしいのです
お願いします

二つ質問があります。

「nを整数とする。このとき、n^2を4で割った余りは、0または1になることを証明せよ。」
という問題で、
同種の問題のやり方を適用すると、nをある整数で割った余りに注目して
n=4k,4k+1,4k+2,4k+3
と分類して、これを当てはめて計算していくだけで、証明が可能です。
ところが、本問においては、n=2k,2k+1と分類するだけで済むと解説されています。
おそらく、nが二乗されているところにポイントがあると思うのですが
詳しく教えて頂けませんか。

二つ目です。
本問の様に、「〜を証明せよ。」という問題では
記述の終わりをどのように書くべきでしょうか。
「〜」に相当する文言を繰り返すのが面倒なので
「題意は満たされる」と省略して書いているのですが、問題はありませんか？

お手数ですが、回答お願いします。

数学の「集合と論証」で解き方が分からない問題があります。
詳しい回答をよろしくお願いします。

次の実数の部分集合に関してA＝｛ｘ｜｜ｘ｜＜２｝、Ｂ＝｛ｘ｜｜ｘ−ａ｜＜３｝とする。
�@A∩B＝Aとなるためのａに関する条件を求めよ。

答え −１≦ａ≦１

�AC＝｛ｘ｜ｘ｜≦ｂ、ｘは整数｝のとき、�@のAに対して ｎ（Aバー∩Ｃ）＝４ であるように、ｂの値の範囲を定めよ。

答え ３≦ｂ＜４

以上2つの問題なんですけど自分には全く分かりませんでした；；
また、入試において�@のような「条件」を求めろという問題では途中式は自分の考え方を書き答えさえ導ければ○をもらえるのでしょうか？

1個のサイコロをn回振る。n≧３のとき、1の目が少なくとも2回でて、かつ2の目が少なくとも1回出る確率をもとめよ。


「1の目が少なくとも2回」というのがうまく処理出来ません。そこのとこを詳しくお願いします。

>>854
少なくとも、は余事象が楽かな
2が出ない事象をＡ
1が出ない事象をＢ
1が一回だけ出る事象をＣとすると
Ｐ=1-Ｐ(Ａ)-Ｐ(Ｂ)-Ｐ(Ｃ)+Ｐ(Ａ∩Ｂ)+Ｐ(Ａ∩Ｃ)

どうしてＣを作る必要があるんですか？

｢1が二回以上出る｣の余事象は｢1が一回出るまたは1回もでない｣だから

ｙ＝1/ｘ（ｘ＞0）にてん（ｐ、ｑ）（ｐ、ｑ＞0、ｐ*ｑ＜1）から２接線を引く
曲線とこの２接線とで囲まれる部分の面積をSとする。
Sの値に対して、pqの値がただひとつにきまることを示せ。

Sがｐ*ｑの単調な関数であることを示せればいいらしいのですが
どうしてそういえるんですか？
これが理解できれば解答は大丈夫なので

>>858
Sがpqの単調な関数→pq=tとしてS=f(ｔ)と書くとf(x)に逆関数が存在する
→逆関数t=f_inv(S)が定義できるってことは、Sの値を決めればpqの値が
　決まるって言うこと。

逆関数に関する話は既習と前提。

文系なんですけど独学で二次数学の対策を参考書などでするのは無理なんですか？？
志望校は横国で〔あわよくば旧帝大を・・〕、数学記述の偏差値は58ぐらいです＞＜

>>859

それはSがUに関する単調な関数でy＝S(ｕ)が単調なら、
yを決めた時にuが決まるのと同じことですか？

>>861
そゆこと。逆関数を持ち出さなくても「単射だから」で納得できればそれで説明終了。

ありがとうございます

>>858
例えばy=xとy=x^2を考えてみよ
y>0に対しxは前者では1つ、後者では2つのxがとれる

大学受験とのことですが、現在高校ですが証明がとても苦手です。
受験と関わらないかもしれませんが、スルーしても構いません。

直角三角形ABCの直角の頂点Aから辺BCに垂線AHをひきます。
また、∠ABCの二等分線と線分AH、辺ACとの交点をそれぞれD,Eとします。
さらに、点Dを通り、辺ACに平行な直線をひき、辺BCとの交点をFとします。
このとき、DA=DFであることを証明しなさい。

図がなくてわかりづらくすみません。
形的には、市販の直角三角形の定規で
Aが90度の部分、Bは60度の部分、Cは30度の部分です。

共通の辺でBD=BDと、
二等分の仮定より∠ABD=∠FBDはわかったのですが、
あと一つがつかめません。

>>865
>形的には、市販の直角三角形の定規で
>Aが90度の部分、Bは60度の部分、Cは30度の部分です。
例え出題に図が添付されていたとしても、「図のような」の言葉がない限り
問題文に書かれていない情報は使ってはいけない。
この問題の場合、∠ABCが鋭角であれば必ず成り立つように論証を
進める必要がある。

∠ABC=bとすると、∠BAH=∠ACB=90°-b
平行線の同位角だから∠ACB=∠DFB
従って(∠BAH=)∠BAD=∠BFD(=∠DFB)で、
これにより∠BDA=∠BDF(=180°-b/2-(90°-b) )
これと既に気づいた2条件から2角とその間の辺が相等。

>>865
∠BFD
＝∠BCA (平行)
＝90度−∠ABC (∠BACは直角)
＝∠BAH (△ABHにおいて∠AHBは直角)

証明問題有り難う御座います。
とてもわかりやすい説明でした。

>>845
俺もそう思った。　ネットでも沢山の人がわからなくて質問してるね。チャートは独学
しずらいのかな、もう少し親切に解説してほしよね。

２つの曲線y=cosxとy=sin(x-p)との区間〔0、π/2〕〔π、3π/2〕
における好転のｘ座標をそれぞれa,bとする。
ただしｐは定数で０＜p＜π/2である。

区間〔a,b〕において２つの曲線でかこまれた部分を
ｘ軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。答えにab入らずpで表す。

解答は1/2(（π/2）+ｐ+π）＝ｔとおいて
囲まれた部分がtに対して対象とゆうことを使っているんですが、

もっと平凡に回転させた時の図形が（a+b)/2で線対称、cosa=sin(a-p),cosb=sin(b-p)
などを使って解けませんか？
お願いします。

数学の証明問題

右の図は正方形ABCDで、辺BCの延長上にBD=BEとなるような点Eをとります。
点Eから対角線BDに垂線EFをひき、辺DCとの交点をGとするとき、
△BFG≡△BCGであることを証明しなさい。

右の図は載せられないのですが、
正方形ABCDの角のアルファベット割り当てとしては
Ａ　　　Ｄ
　　□
Ｂ　　　Ｃ
左上の角がA、右上D、左下B、右下Cです。
共通な辺BG、仮定より∠BFG=∠BCG=90°　というのがわかり、
直角三角形のやつを使うことはわかったのですが、
後一個が三段論法を使うと思うのですが、見つかりません。
ご教授お願いします。

>>871
△BCD≡△BFE
よって
BF=BC
BG（共通）
「直角三角形の斜辺と他の一辺が各々等しい」ので
△BFG≡△BCG

（中学生の問題だな･･･）

>>872
うわ..なるほど
他の三角形が合同であることを証明してからやるのか...

△BFGと△BCGで、
仮定より∠BFG=∠BCG=90 - �@
共通な辺よりBG=BG - �A

また、△BCDと△BFEで、
仮定よりBD=BE - �B
　　　　　∠BCD=∠BFE=90°- �C
共通な角より∠CBD=∠FBE - �D

�B、�C、�Dより直角三角形の斜辺と一つの鋭角が等しいため、
△BCD≡△BFE
よってBF=BC - �E

�@、�A、�Eより直角三角形の斜辺と他の一辺が等しいため
△BFG≡△BCG

ってことですね、有り難う御座います。

そんなレベル高い高校でなくて、おまけに全然勉強していなかったこともあり
中学生の応用問題集を頑張ってるんです＞＜

有り難う御座いました。

数学1Aのセンター試験の2次関数の最後と図形の最後でいつも詰まります。
数こなせばどうにかなりますかね？

無理関数の端点は接点にはならないのですか？

logX/X　を微分すると1−logX/X2　になる過程が解りません。自分で考えると１/X−logX/X2になります。どなたか教えてください！

よろしければ>>852回答お願いします。

>>875
Y軸に平行な直線ならなるんでは？

>>876
どう考えたのか分からないけど商の微分公式調べてみるといいかと。

積の微分しても当然できるが…

偶数の2乗を4で割ると余り0
奇数の2乗を4で割ると余り1

>>877
上：(2k+t)^2＝4k^2+4kt+t^2＝4(k^2+kt)＋t^2
(a+b)^2＝a^2＋2ab＋b^2の2abの2をうまく使ってるだけ。

立方数を9で割ったあまりを考えるときも同様に3k+tで可能。


下：別に問題ないんでは。
俺は何も書いてないことの方が多いかも。

追記ですが青チャートの2次関数では計算ミス以外ひしていないので、理解がないのとは違うと思います。
図形は使用している青チャートが旧課程のため、範囲にないのですが、教科書の例題レベルの基礎知識はあります。

>>878

y=ax+1がy=√2x-5 -1

に接するようにするとき

端点のx=2/5が含まれません

分からないです。

>>878さん　ありがとうございます。でもやっぱりわからないんです。商の微分公式だと(u/v)′＝u′v−uv′/v2 ですよね？logX微分すると1/Xですよね…。なんで１にならないんでしょうか？

公式違う

>>880
ごめんなさい、私、相当頭が悪いみたいなので、理解できないです…。
でんぷんがブドウ糖になるくらいかみ砕いてもらえませんか？

下については、大変参考になりました！

中心が直接3x-y-8=0上にあり、x軸およびy軸に接する円の方程式を求めよ。この問題分からないんですが誰か教えて下さい！

中心が直線3x-y-8=0上にあり、x軸およびy軸に接する円の方程式を求めよ。この問題分からないんですが誰か教えて下さい！

>>884　(◎-◎;)え？どの公式使えばいいんですか

中心が直線x±y=0上

(f'g-fg')/gg

>>797
遅くなってすみませんが、ありがとうございました

>>889　やってみます…。ありがとうございます！またお世話になるかも…

ショートプログラムで
f(x)=xならばf(f(x))=x の時f(x)=xの解はf(f(x))=xの解に含まれる(実数解も虚数解も)
とあるんですがわかりそうでよくわからないんです・・・。 どなたか教えてもらえませんか？

２つの曲線y=cosxとy=sin(x-p)との区間〔0、π/2〕〔π、3π/2〕
における好転のｘ座標をそれぞれa,bとする。
ただしｐは定数で０＜p＜π/2である。

区間〔a,b〕において２つの曲線でかこまれた部分を
ｘ軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。答えにab入らずpで表す。

解答は1/2(（π/2）+ｐ+π）＝ｔとおいて
囲まれた部分がtに対して対象とゆうことを使っているんですが、

もっと平凡に回転させた時の図形が（a+b)/2で線対称、cosa=sin(a-p),cosb=sin(b-p)
などを使って解けませんか？
お願いします。

2^nー2^n-1=2^n-1
どうしてこうなるのかわかりません。どなたか教えていただけませんか。お願いします。

>>892
ショートプログラムが今手元に無いんだけど、
質問はf(x)という関数が恒等的にxと表されるものであるとき、という意味じゃなく
f(x)=x という方程式を成り立たせるあるxの値について…と考えていいんだよね。

では、特定の値と、一般の未知数が区別しにくいから、
f(x)=xを成立させる特定のxの値のことをαと書くことにする。
そーすっと、f(α)=α が成立してるわけね。

さて、方程式ｆ（f(x))=x の解としてx=αが成り立つか、言い換えればこの式の
すべてのxをαに置き換えたとき、等式が成立するか考えればいい。
左辺にαを代入すると、
f(f(α)) = f(α)  (内側のカッコの中を計算）
=α=右辺 が成立するんだから、確かにx=αはf(f(x))=xの解であるわけ。

>>894
ちゃんと指数に括弧使って。

nが自然数である場合について、2＾(n-1)は、
2^(n-1) = 2*2*2*…*2 と、ｎ-1個のnが互いに掛けられている値。
これを2倍すれば、*2がもう一個増えて 2＾ｎ になる。

従って（2＾(n-1))*2 = 2＾(n-1) + 2＾(n-1) = 2^n
適宜移項すれば求めている式を得る。

nが実数であったとしても、2^n=2*{2^(n-1)} は成り立つので
同じことが言える。

※現行課程では数IIで指数やる前に数Bで等比数列やらなきゃ
いけないことが生じがちなので、ここら辺は確かに分かりにくいかも。

 

>>896さん
ありがとうございました。助かりました！

今日ガチャガチャやってけいおん！の下敷きでてきてふと思った。

２００円をいれると下敷きが1枚でてくる機械がある。下敷きは１６種類あり、
すべてでてくる確率は同じものとする。
全種類の下敷きを集めるとすると、使う金額の期待値はいくらか。

お願いします。

クーポンコレクター問題

全ての実数xについて、cos(sinx)≧1-（1/2）ｘ＾2―�@を示せ。


ｆ(ｘ)＝cos(sinx)-{1-（1/2）ｘ＾2}とおいて
ｆ(ｘ)は偶関数、またｘ=0の時�@は成立するので
ｘ＞0で考える
ｆ´(ｘ)＝-sin(sinx)cosx+ｘ

でここからわかりませんこのｆ´は＞0としていいんですか？

>>900
>このｆ´は＞0としていいんですか？
正当な理由があるなら、ＯＫ

この問題はcosx≧1-x^2/2とx≧sinx (x≧0)を示した方が良いかと。

>>898
いくら使っても16種類のどれも等しい確率で出てくる理想的なガチャポンであるとする。
n回(16≦n∈Z)で揃うものとすると、その確率は、例えば眉毛が最後に出て16毎揃うとすると、
n-1回目までには眉毛以外は出そろってることになり……これは難しい

>>898
期待値の漸化式を考える。

cosx≧1-x^2/2とx≧sinx は示せますが、
それが正当な理由になるのがわかりません。
そして正当な理由が他にあるのかもわからない感じです
もっかい微分したら収集つかないし。って感じです

あっ
つ>>904は>>902です

cos(sinx)≧1ｰ(1/2)sin^2x≧1ｰ(1/2)x^2

整数問題が全く解けない
問題を最初にどういじっていいのかわからん、解答への方針が見えない
解説見たらわかるんだが…どうすればいいかな？
やっぱ整数問題にもある程度の解法とかあるの？それとも問題こなして馴れるだけ？

できれば>>851の解説してもらえませんか
白チャートがわからないとかつらくて仕方ありません

高一です。場合の数について質問です。

教科書や青チャートには順列、組合せ、同じものを含む順列が載っていますが「同じものを含む組合せ」だけ載っていません。

同じものを含む組合せはどのようにして解くのでしょうか？

>>907
全ての場合にこうすればいいという解法はないが一般的には

(1)問題の条件からある文字における必要条件を求める
(2)十分性を順に確かめる
かな
(1)は二次方程式の解の存在条件だったり素数だったり適当な数字や文字で挟んだりある程度知識は要るかも

マスターオブ整数の3章の5・2の解説の

√平方数でない自然数＝無理数　によりqがn/2とおける意味がよくわかりません

わかるかた解説お願いいたします

882をどうかお願いします。

自己解決しましたごめんちゃい

>>911>>913
問題書いて と思ったが 自己解決か

ちなみに
『マスターオブ整数』は誤植が極めて多いことで受験参考書業界では有名
http://www.tokyo-s.jp/seigo/d_zoukan/masters/index.html

またその誤植が修正もされていないまま出版されてしまった版も少なくない

俺だったらこんな本よりもっと良い別な参考書を薦める
（いや別に、あなたがこの本でどーしても勉強したいのなら止めはしないがね…）

よく見るコピペｗｗ

>>912
そこ接点じゃなくて交点じゃね？
とんちんかんな回答になってたらごめん
今とても眠いんだと保険をかけておくｗ

コピペだと思っているとんちんかんは永遠に寝てればいいのに

>>915

すいませんx=5/2でした


それでも交点ですか？


レスありがとうございます

>>915
コピペっぽくなってるが実際そうだから仕方ない

>>918
とんちんかんな輩がほざいても説得力ない

携帯から追いうちわろたｗｗ
使ってみればわかるけどさほど問題ないよ
そんなに嫌いなら君は使わなければいい

>>917
うんそんな気がします

携帯から自演
必死過ぎ

>>920

でもこの無理関数の下半分はないから一点でしか交わらないから接点では?

>>882の問題文が曖昧すぎる。
(√2)xとしか読めないのに無理関数と言ってるあたりと半角スペースからして数学的エスパーするとy=√(2x-5)-1か

>>923
すいませんその通りです。

>>919
レス数や内容を見ればお前のほうが必死に見えるが
オレからすればいきなりとんちんかんな輩と言うお前のほうがとんちんかんな輩なんだがな
というか、何がとんちんかんなのか意味不明

端点の(5/2,-1)が接点に入らないという意味です

>>925
レス数や内容を見ればお前のほうが必死に見えるが
オレからすればいきなりとんちんかんな輩と言うお前のほうがとんちんかんな輩なんだがな
というか、何がとんちんかんなのか意味不明

>>927
落ち着けよ顔真っ赤だぞ

あれ？
なんかIDバグってる

>>929
スマンｗ勘違いだｗ
>>927
俺のレス数と内容もわからんぐらい沸騰してるのかｗ

>>929-930
勘違いし沸騰した輩は見苦しい

>>931
けっこううけたｗｗ
それおもいっきり自分のことだろｗ
お前が>>918を勘違いして始まったし
お前が勘違いしてるのわかってたけど訂正するのダルかったし
まぁ確かに書き方は悪かったな

>>932
けっこううけたｗｗ
それおもいっきり自分のことだろｗ
お前が勘違いして始まったし
お前が勘違いしてるのわかってたけど訂正するのダルかったし
まぁ確かに書き方は悪かったな

最近の若い人って「ダルい」とかよく使うけど使い方おかしくて未熟で気持ち悪いの

夏だなぁ。

sinａθ＝COSｂθを満たすθを全て求めよ
って問題、わかりますか
どのくらい難しいんですか？

>>895さん

ありがとうございます！！

メネラウスの定理

△ABCを１つの直線　Lで切り、辺BC、CA、ABまたはその延長とその交点をD、E、Fとすれば

BD/DCｘCE/EAｘAF/FB＝１　・・・・�@
　逆に3点D、E、Fのうち1点または3点が辺の延長上にあり、�@式を
満たせば、3点D、E、Fは一直線上にある。


この公式の逆の証明についての質問です。　

�@を満たせば3点D,E,.Fは一直線上にある

証明

直線EFとBCとの交点をD’とすると、上のメネラウスの定理により

BD’/D’CｘCE/EAｘAF/FB＝１　これと仮定より　BD’/D'C＝BD/DC・・・・・�A
ゆえに点DとD’は一致する。　したがってD、E、Fは一直線上にある。

ここで解らないのは、どうして�AだとDとＤ’が一致すると言えるのかがわかりません。
アポロニウスの円とか思い浮かべると。　Ｄが直線ＢＣ上に無くても�Aが成り立つ。つまり
ＤとＤ’が一致しなくても�Aが成り立つ場合があると思えるのですが。

よろしくお願いします。
　

>>938

すいません。自己解決しました。　3点Ｄ、E、Fが�@を満たす時に同一直線上に
ある。

この条件はＤ、E、Fがそれぞれ辺BC、CA、AB上または延長上にある場合であることを見逃していました。
ＢＣ上にある点D、D’が�Aを満たすなら、同一点ということで納得できました。

数学の問題において、よく
「必要条件のみなので十分条件であることを代入して確認」
するケースがあると思うのですが、
どういった場合にその作業が必要で、
どういった場合には不要であるのかがわかりません。
どなたか説明をお願いできないでしょうか。

あと、これは軌跡などに主に出てくるようですが、他にも出てくる可能性のあるジャンル等あれば
教えていただけると幸いです。

ここの住人に聞いても無駄だよ
だって、>>909すら答えられないのに(笑)

>>940
あっちのスレで「同値性を崩す変形をしたときだ」ってちゃんと書かれてるじゃない。
ちゃんとその意味考えたの?

分かりやすいように方程式で
√x = ｘ-1 　…(1) を解くことを考える。
両辺2乗して x=x^2-2x-1 …(2)
適宜移項して x^2-3x-1=0
解の公式で x=(1/2)( 3 ±√13 ))

ところがこう書くとバツが来る。√xがとれるためにはx≧0であることが必要で、
さらに左辺≧0であるためにはx≧1でなければならない。よって複号がマイナスの
方は捨てる、という処理を行わなければならず、これをやって○になる。

何でダメな解が混じりこんだかといえば(1)→(2)が同値の変形ではないから。
A=B ⇒ A^2=B^2　は言えるが逆はいえないからこれらは同値ではなく、
従って(2)以後は解の必要条件（解であるとすればこれこれの条件を満たすはず、
という条件）を考えていたに過ぎないことになる。

で、これじゃ当然解にならないので
（たとえば「解であれば正の数であるはず」ということが分かった時点で「よって
　すべての正の数が解である」と結論するわけにはいかないっしょ）
必要条件である程度絞り込んだ後、その候補が本当に解であること（十分性）を
確認する必要がある、というわけ。

次に問題になるのが、どんな変形が同値性を崩すか、というわけだけど、
これは「頭を使って自分が何やってるか/やったのか良く考えろ」
「それができなきゃ、良い解答を読んで”こういう処理は同値性を崩す"というのを
　帰納的にストックしていけ」ってしかない。

>>942
寝ぼけてるな。>自分
√x = ｘ-1 　…(1) を解くことを考える。 
両辺2乗して x=x^2-2x+1 …(2) 
適宜移項して x^2-3x+1=0 
解の公式で x=(1/2)( 3 ±√5 )) 

議論は同様。

等差数列の問題なんですが、

1,□,□,√2,□

四角を補えって問題なんですが、等差数列の公式にどのようにあてはめていいかわかりません、それとこのような問題はどのように解くのでしょうか？
私は自分の頭で適当にランダムに式を作ってこれは〜だから違う、これも〜だから違うと、閃きで解いてます。とても効率がよくありません、なにか効率のよい解き方はありますか？

>>944
例えば，

1,□,□,10,□

だったらどう考えるんだ？
いきなりどの式に当てはめると考えるのは悪いクセだ

>>945
＞>>944
＞例えば，
＞
＞1,□,□,10,□
＞
＞だったらどう考えるんだ？
＞いきなりどの式に当てはめると考えるのは悪いクセだ

まず頭の中に2nがなぜか浮かびます。でも最初は1だから違うとわかります。そして2n-1って考えます、でもn=3で10なので違いますね。わかりません・・・・・

>>945
すいません、ぐぐりましたら自己解決しました。公式に当てはめて整理するだけだったんですね。ありがとうございました。

a_(1)=1,a_(2)=2の時
a_(n+1)-3a_(n)=6*2^(n-1)-2n+5の一般項

宜しくお願いします

>>942-943
遅くなりましたがご丁寧にありがとうございました。
とても解りやすかったです。
ただ漫然と解くだけでなく同値性を常に意識しておくことが大事なのですね。
向こうではお恥ずかしい姿をお見せして申し訳ありません。

>>948
a[n+1]-3a[n]=6*2^(n-1)-2n+5
⇔a[n+1]+6*2^n-n+1=3(a[n]+6*2^(n-1)-n+2)

>>949
マルチすんな

>>941
Hくらいググればすぐにわかるだろ。

>>909=>>941

>>952 お前頭悪いな Hは重複だよ >>909は重複じゃなくて「同じものを含む」だよ

本当 2ちゃんて馬鹿ばっかだな

Σ[k=1⇒∞][1/√{n(n-1)+k^2}-1/√{(n^2)+(k^2)}]=0
を示したいのですが綺麗でかっこいい方法はないでしょうか?
とりあえずn(n-1)をn^2に変えれば
0<1/√{n(n-1)+k^2}-1/√{(n^2)+(k^2)}]
は簡単にいえますけど、上からの評価で0に行くように調整する
式が見つかりません・・

よろしくお願いします

http://uproda.2ch-library.com/158624AlI/lib158624.jpg

(3)がわかりません
n=2の時
A1=1だから、A2=1+2-1=2っていうのはあってますよね？

そしてn=3のとき
上よりA2=2だからA3=2+6-1=7

1,2.7
なので漸化式は・・・・なんなんでしょう・・・・

2k-1をn-1回足してやればいい。

>>956
a[_n]を左辺に移項すりゃ左辺が階差数列の形。
ここから階差数列の性質で処理。

または

a[_n+1]-{ p(n+1)^2+q(n+1) } = a[_n]-{pn^2+qn}
と見当をつけると
a[_n+1] = a[_n] +2pn + (p+q)
係数比較でp=1,q=-2
{ a[n] -( n^2-2n ) } が定数数列でa[1]=1だから
1-（1-2)=-2 なので
a[n]=n^2-2n+2
a[2]=2、a[3]は元の漸化式でn=2を代入するんだから
2+4-1=5で、上の式でも9-6+2=5

>>958
1-（1-2)="2" なので

教科書に載ってる1次型の特性方程式で処理するタイプの形に、
nの1次式が足されてる形の漸化式の場合、
a[n]に何かnの1次式を足したものが等比数列になる、と処理できる場合が
多い。けど、この場合は両辺に別れたa[n+1]とa[n]の係数が同じだから
1次式では消えちゃうから、定数なしの2次式の形にするとうまくいく。

基本手法として階差で処理できることがとりあえず必要だけど、
形を予測して等比数列なり定数数列なりに持ち込む手法が使えると
計算量じたいは少なくてすむんで(予測が当たれば、だけど)
この手法にも利点はある。

{cos(x)/(1-x^2/2)}^(1/x^2)
x→0のとき1に収束することを示したいです。
はさみうち試してみるもうまくいきません

>>958
レスありがとうございます。
長々と書いてもらったのに申し訳ございませんが、
a[_n+1]-{ p(n+1)^2+q(n+1) } = a[_n]-{pn^2+qn}
というのがよくわからないので、階差数列で処理したいのですが、
a[n]=a[n+1]-2n+1になりますよね
それからどうすればいいのでしょうか・・・・。

a[n]=a[n+1]-2n+1=a[n+1]-n^2+(n-1)^2
a[n+1]-n^2=a[n]-(n-1)^2=……=a[1]-0^2

>>961
数列 { a[n] } に対して { a[n+1]-a[n] } = { b[n] } として階差数列 { b[n] }を
定義すると

a[n　 ] - a[n-1] = b[n-1]
a[n-1] - a[n-2] = b[n-2]
…
a[　2]　- a[　1] = b[1]
両辺の和を取ると左辺は隣り合った項がどんどん消しあって
a[n] - a[1] = Σ[1,n-1] b[k]

a[n] = ( Σ[1,n-1] b[k] )+ a[1] 

漸化式に入る前にまず間違いなく学習済みのはずの知識だが。

>>962
>>963
レス有難いんですが、さっぱりわかりません・・・・・
階差数列とかはわかるんですが・・・

ちなみに答えは
an=n^2-2n+2
なんですが、どーやったらこうなりますか？

>>964
>階差数列とかはわかるんですが
>>963の内容が分からないなら「あなたは階差数列が分かっているとは言えない」。

漸化式やる前に、教科書で階差数列が出てきたところ、およびどのように利用されたかを
まず復習すべし。

>>961の漸化式間違ってるじゃないか。それ見てやったから間違えてしまった。階差数列の公式ではないけど、せっかくだし丁寧に書くと
漸化式を変形するとa[n+1]-n^2=a[n]-(n-1)^2なのでb[n]=a[n]-(n-1)^2とおくとb[n+1]=b[n]よりb[n]=b[n-1]=……=b[1]
つまりa[n]-(n-1)^2=a[0]=1

>>965
なるほど、わかりました。復習しようと思いますありがとうございます。

>>966
あ、すいません・・・こんな馬鹿にわざわざレスありがとうございました。

階差数列はa[n]=a[1]+(a[2]-a[1])+……+(a[n]-a[n-1])って書きだして解いてみるといいかも。1対1はあいまいな階差数列を理解できてよかった。

>>960
1-x^2/2≦cosx≦1-x^2/2+x^4/24を使えばいいと思うよ

(;_;)どなたか教えてください
金と銅からなるA B　二種類の合金があるAは金と銅の割合5:4で Bは8:7　。今この２つの合金をとかして金14�cと銅12�cからなる合金を作りたい。２つの合金をそれぞれ何�cずつ混ぜたらよいか。

Aを9xグラムBを15yグラム溶かして得られる金と銀はその条件も加味して5x+8y≧14, 4x+7y≧12

>>968
わかりました。本当にどうもありがとうございました。

〉971さん　早くにありがとうございます。解答だけあってAが 6�c Bが 20�c　途中式が全くわからなくて…教えてくださいっ
（＞＜）

>>969
右側が
{1+(x^4/24)/(1-x^2/2)}^(1/x^2)
となってここからどうすればいいかわかりません

軌跡の問題一般に言えることなんですが
最後に必要十分性の検討とかやりますけど
あれがなんなのか、なんのためたのか理解できていません。
どなたか宜しくお願いしますm(_ _)m

次スレ立てました
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part90＊＊＊
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1249944504/

>>974
|x|«1で考えればいいから、|x|≦1としてよい。
このとき1-x^2/2≧1/2≧1/24
すなわち1/(1-x^2/2)≦24
それゆえ{1+(x^4/24)/(1-x^2/2)}^(1/x^2)≦(1+x^4)^(1/x^2)
lim[x→0](1+x^4)^(1/x^2)=lim[x→0]{(1+x^4)^(1/x^4)}^x^2=e^0=1

(・・?)教えてください

Aが5歩進む距離をBは3歩で進みAが5歩行く時間にBは4歩行く。いまAが20歩進んだときBがAのあとを追うとすればBは何歩で追い付くか？
答えは48歩らしいのですが中間の式が解りません

>>977
分子が分母より大きかったので割り算してしまいました
評価すればよかったのですね。ありがとうございました。

>>978 
小学生の問題だと思うが。という割りにあんまりすっきりしたとき方じゃないけど。

Aが35歩行く間にBは歩幅3倍*ペース4/5倍=4/3倍進む。
これは結局速度の比だから歩数に関わらず一定。
また逆数を考えて、Aの速度はBの速度の3/4。
（つまり、Bが一定量進んだとき、Aとの距離は進んだ距離全体の
　1-3/4=1/4だけ縮む）

追いつかなければならない距離はAにとって20歩分。これは
Bにとっては20*3/5=12歩分。

(i)上の()内に書いたことから、12歩分の距離を縮めるためには
それが1/4になるだけの距離を歩かなければならないから、
12÷1/4 = 12*4 =48歩

(ii)Aが5歩、Bが4歩歩く時間に、AはBの3歩分の距離を進み、
Bにとって1歩分の距離が縮まる。12歩分の距離を縮めるには
これを12回繰り返せばいいから、Bの歩く距離は
1回4歩*12回=48歩

>>978
同じ時間に対する歩数の比が5：4、歩幅の比が3：5だから、速さの比は4：5
よってA換算距離の100歩で追いつく。Bだと60歩。

>>975
>>942
雑談スレじゃないんだから、過去に出てる情報くらい一通り目を通してから
質問しようや。

間違えた、速さの比は3：4で、Aで80、Bで48か。
失礼した。

神戸大経営学部志望の高1です。
数学は青チャートと赤チャート（重に青）をやってます。
で、自分は数�TAの論証問題（?）が全く解けません。。。
なにかいい勉強法はありませんか？＾＾；
後、大学への数学から出ている「数学を決める論証力」という参考書があるんですが
これの評判はどうなんでしょうか？
長くなりましたが回答よろしくお願いします＞＜

>>984
>>1の冒頭も読まずに、このスレで勉強法の質問をするような人は、
まず私見実施科目とかからしっかり確認したほうが良いと思われ。
入試要綱も隅々までちゃんと目を通さないと危ない。

ある意味当然だが、どんな参考書使うより大事なことだよ。

ｙ＝1/（ｘ-1）の曲線上の接線とｘ軸、ｙ軸とが囲む面積って一定になりますよね？
曲線上の点ｐ（ｐ、1/（ｐ-1））とおいて面積をだしても、
ｐが消えずに面積一定にならないのですが、
証明を教えていただけませんか？

〉980 981さん
ヽ(´▽`)/
ありがとうございました！わかりました！スッキリです！

>>986
ならない
図形からでもx→1のとき面積は∞になることがわかるだろ

質問です。回答お願いいたします。

正四面体OABCのOからΔABCに下ろした垂線の交点がΔABCの外心かつ重心になるみたいなんですが、どうしてそう言えるのでしょうか。

どなたかご教授お願いします。

>>989
垂線の足をH
OA=OB=OC
OHは共通
∴△OAH≡△OBH≡△OCH
よってHA=HB=HC(外心)
正三角形の外心と重心は一致

回答ありがとうございます。
ひとつ疑問なのですが(当たり前のことだったらすみません)、外心の定義って返の垂直二等分線の交点ですよね？どうして返の長さの一致から外心が言えるのでしょうか。

辺に外心から垂線おろすと直角三角形の合同条件から

辺の字間違ってました…すみません。
なるほど！わかりました！！

お二方、ご丁寧にどうもありがとうございました！！

平面図形の問題です。手も足も出ません…

平面上に６つの定点A[1],A[2],A[3],A[4],A[5],A[6]があって、どの３点も
一直線上にはない。この６点のうちから３点を任意に選ぶ。選んだ３点を
頂点とする三角形の重心と、残りの３点を頂点とする三角形の重心とを通る
直線は、３点の選び方に無関係な一定の点えお通ることを示せ。

>>994

誤植がありました。

誤：一定の点えお通る
正：一定の点を通る

>>951
亀ですが向こうでろくに答えてもらえなかったのでこちらで質問したまで。
マルチとは言えないのでは。

>>994
点Aの位置ベクトルを↑aと表す
選んだ三点をAiAjAkとする
二つの三角形△AiAjAkと△AlAmAnの重心G1(↑g1),G2(↑g2)はそれぞれ
↑g1=(↑ai+↑aj+↑ak)/3
↑g2=(↑al+↑am+↑an)/3
G1G2上の点Pは

↑p=t↑g1+(1-t)↑g2…(1)
と表せる
ijklmnの選び方に関係なく(1)を満たす実数tが存在することを示す
t=1/2とすると
↑p=(↑ai+↑aj+↑ak+↑al+↑am+↑an)/6=(↑a1+↑a2+↑a3+↑a4+↑a5+↑a6)/6
これで定まるPは最初の三点の選び方とは無関係である
よって示された

>>996
向こうで同値変形とか言われただろがカス
それをお前が理解できないからって、煽りみたいなレスだの丁寧に教えてもらえないだの役に立たないだの言ったんだろボケ
それをろくに教えてもらえないとか頭狂ってるだろクズ
詳しく教えてもらって例題も使って1から説明してほしいなら始めからそうかけゴミ