＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part88＊＊＊

数学の問題に関する質問をどうぞ。参考書・勉強の仕方等は各専用スレッドで。

質問をする際の注意

★★★必ず最後まで読んでください★★★

・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
　マルチポストとは→http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html
　マルチポストの指摘はURLつきで。
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・回答者はいろいろな方法を用いるので、必要ならどの方法で解くか、自分がどこまで
　履修済みか書く。（例：ベクトルで解く方法を知りたい、数IAの範囲で、など）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
　(例1)1/2aは(1/2)あるいは1/(2a)ともとれるので誤解されないように(　)を使って書く。
　(例2)数列の場合も、anよりもa(n)、a[n]、a_nなどと表す方が添え字がわかりやすい。
・下のリンクの数学記号の書き方をよく読んで、他の人が読んでも問題がわかるように書く。
　慣習的でない記号、用語を使うときはそれの説明も書く。
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
　解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor問○を教えてください」だけ書くような
　質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。
・どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・携帯からの質問はそちらの都合ですので、回答者に配慮を求めないでください。
数学記号の書き方
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/


前スレ
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part87＊＊＊
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1237720374/

さあ遠慮なく質問どうぞ

log(2)3　*　5log(2)2/3log(2)3 = 5/3 らしいのですが
なぜこうなるのでしょうか、答えの分子が5になるのは大体分かりますが
分母が3になるところを特に解説お願いします
カッコ書きの部分は小さい数字を表しています

log[2]3で約分しただけでしょ・・

log[2]3/3log[2]3 が 1/ 2log[2]3 になるとばかり考えてました。
単純に1/3になるんですね・・・スッキリしました。ありがとうございます。

点Pが円x^2+y^2-2x-2y+1=0上を動き、点Qが直線2x+y-8=0上を動くときの線分PQの最小値

お願いします

>>6
円の中心から直線に垂線をおろしてみ

部分分数分解について質問です。
(分母より低次)/{(A^2)BC…}=a/(A^2)+b/A+c/B+d/C+…
の形で表せるのはなぜなのでしょうか。
また
(分母より低次)/{(A^2)BC…}=p/A+q/B+r/C+…
ではいけない（満たすp,q,rが存在しない場合がある）のはなぜでしょうか。
よろしくお願いします。

５Ｌ＋６
――――
８Ｌ＋７
が既約分数でないような整数Ｌを教えてください

1

座標平面において7本の平行線x=k(k=0.1.2.3.4.5.6)と5本の平行線y=k(k=0.1.2.3.4) が交わってできる長方形を考える
原点Ｏを含まない長方形の総数を求めよ

x=0、y=0を除く線から選んで
6C2*4C2としたら駄目らしいんですけどどうしてですか？

>>11
どちらか片方の直線を選んでも原点は含まないから

「すべての正の実数aに対し、y≧ax（2)が成り立つ」ような実数の組（x，y)の全体を座標平面上であらわせ。
また「ある正の実数aに対し、y≧ax（2)が成り立つ」ような実数の組の全体を座標平面上で表せ。*（2)は二乗です。

前半でx=kとおいたときにy≧ak（2)となってこれを満たすaが存在しないのはどうしてですか？後半はさっぱり分かりません。

>>12
ありがとうございます

質問です。

f(x)=1/(x+1) 、g(x)=2x/(x−1)について(gﾟf)(x)を求めよ。

この問題で定義域を考えるとき、f(x)からはx≠−1、g(x)からはf(x)≠1と書いて有るのですが、解答にはx≠−1しか考慮されてません。

本来ならばf(x)≠1を満たすx≠0も考慮しなければいけない気がするのですがどうなんでしょうか？

結果的に(gﾟf)(x)=-2/x だからこの場合は自明だから扱っていないだけでしょうか？

君の言う通りfの値域がgの定義域に入っていなければ合成関数は定義されない。
参考書の解答には何故か省いてあるものが多いが、入試では絶対に書いた方がよい。

>>16

どうもありがとう御座います。写像の問題は範囲の見落としであぼん率高そうなので心してやっていきます

>>9
L=13k+4

>>11
長方形の総数は7C2・5C2=210
原点を含む長方形の総数は6C1・4C1=24
原点を含まない長方形の総数は210-24=186

質問です｡
ハミルトン･ケーリーの定理を使うのは分わかるんですが､その後がいまいちよくわかりません

次の行列Ａについて､Ａ^3,Ａ^4を求めよ
(1)
Ａ= 4 3
-7 -5

(2)
Ａ= √2-1 √3-√8
√3+√8 -√2-1

本当は行列には括弧がついていますが､付けるのが難しいので書いてません

>>13
y<0の場合y≧ax^2≧0はあり得ない
y=0の場合y=0≧ax^2より0≧x^2でx=0しかあり得ない
(x, y)=(0. 0)は題意を満たす
y>0の場合
x≠0とするとy≧ax^2よりy/x^2≧a
任意の正実数aでこれが成立することはあり得ない
x=0とするとy≧ax^2=0よりy≧0であればよい
よってx=0, y≧0

y<0の場合y≧ax^2≧0はあり得ない
y=0の場合y=0≧ax^2より0≧x^2でx=0しかあり得ない
(x, y)=(0, 0)は題意を満たす
y>0の場合
x≠0とするとy≧ax^2よりy/x^2≧a
これが成立する正実数aは存在する
x=0とするとy≧ax^2=0よりy≧0であればよい
よって(x, y)=(0, 0)またはy>0

>>20
Ａ^2＋Ａ＋Ｅ＝０

Ａ^3＝Ａ・Ａ^2
　　＝Ａ・（−Ａ−Ｅ）
　　＝−Ａ^2−Ｅ
　　＝Ａ＋Ｅ−Ｅ
　　＝Ａ

Ａ^4＝Ａ・Ａ^3
　　＝Ａ・Ａ
　　＝Ａ^2
　　＝−Ａ−Ｅ

こんな感じ

>>20
A^3, A^4をA^2-(a+d)A+(ad-bc)Eで割ります

>>22
>>23
ありがとうございます！

「内接」と「外接」のちゃんとした定義がわかんなくなっちゃったんだけど・・・


P：y=x~2
と
C：x^2 + (y-a)^2 = r^2

(a>0, r>0)が２つの接点を持っているとき、

PとCの関係は、内接？外接？どちらともいえない？

P：y=x~2
↓
P：y=x^2

>>25
円から見て放物線は外接
放物線から見た場合
どちらが内部か定義した上で
円は内接とも言えるでしょう

>>13 >>21

スタ演の問題かな？

質問です

lim(x→0) log(1/x^2)の極限を求める問題で、1/x^2はx＝0で連続としていいんでしょうか？

x→+0、x→−0共に1/x^2→+∞ですが連続じゃない気がするんですが…

>>29
定義されませんので不連続です

>>30
ですよね…理解しやすい数学3Cの問題なんですが、しっくり来なかったので。

3x+7y=1の整数解を求める問題で、xについて解いてxが整数になるから・・でやるとx=5n+3になって解答と違います。何処がいけないんでしょうか？
あと、特殊解のやり方で5（x-3)+7（y+2)=0から5（3-x)=7（y+2)で解くと駄目なんです、これも理由がわかりません。

>>29
f(x)がx=aで連続であることの定義は
　lim(x→a+0)f(x)=lim(x→a-0)f(x)=f(a)
となること。

f(x)=1/x^2　は
この３つの値（極限値）すべて存在しないから
x=0で連続でない。

式をxについて降べきの順に整理しなさいという問題を解いて自分の解答の一部が

+(-a+b)x

となったのですが問題集の解答を見ると

-(a-b)x

となっていました。


なぜこのようにするのでしょうか？

よろしければ誰か>>8をよろしくお願いします。

>>34
Cheese! 今月増刊号のP314の元ネタ教えて？
モエマックス P206で出ていたコスプレ喫茶の女の子の衣装は何ですか？

>>32
3x+7y=1=-6+7
3(x+2)=7(1-y)=21k
x+2=7k
1-y=3k
x=7k-2
y=1-3k

>>34
どちらでも

>>37

＞ 3(x+2)=7(1-y)=21k
＞ x=7k-2
＞ y=1-3k
すいません、解答では=-7（y-1)と変形してあって答えがちがうんです。
分かる方詳しくお願いします。

>>36
わしはエスパー2段なんじゃが、モエマックスは「どてら」だったよ

x,y平面上で次の曲線をかけ。
x=3cosθ−sinθ
y=3sinθ＋cosθ　　(0≦θ≦4π/3)

このとき
(x,y)=cosθ(3,1)＋sinθ(−1,3)とおけて
解くみたいな感じなんですが、式の意味が
分からないんですが..

ちなみに数学質問箱で聞いたんですが、ここのほうがレス１０倍
早いんで...

むかつく質問の仕方を学習したわけだね

式の意味も何もただの同値変形じゃん

数2までの範囲です。
-1≦x≦-1
-1≦y≦-1
のとき、
P（x+y,x^2+y^2)
の描く領域を書け。

最初は単純に不等号で処理すると、Ｐの実数条件が処理できませんでした。
ｘ,ｙを2解としてx+y,xyの判別式に落とす方法も挫折しました。
どうかヒントを御願いたします。

>>44
領域も何もPは点じゃないのかい？

>>45
莫迦は発言するな

>>44
Pを(X,Y)とおいて，
x,yを解とする２次方程式が-1以上1以下に
２解をもつための条件を求める

表記ミスを指摘して揚げ足取っておいて質問者が帰ってくるまでに解答仕上げて…っていういい具合なツンデレっぷりを演出しようと思ったのに、本当に莫迦な>>46のせいで一気に萎えたわ。

>>46>>47
回答ありがとうございました。

>>41
(cosa, sina)=(3/√10, 1/√10)
x=√10cos(θ+a)
y=√10sin(θ+a)
(x, y)は原点中心半径√10の円周上の(3, 1)から反時計回りに((-3+√3)/2, (-1-3√3)/2)まで

>>47の今回の敗因は作戦ミスでした
次回は頑張りましょう

47が逆にツンデレされる始末

こうして無礼を習慣化してるんだね

sin2θ=2sinθconθ
sin3θ=sinθ(4cos^2θ-1)
cos2θ=2cos^2θ-1
cos3θ=4cos^3θ-3cosθのように、sinnθcosnθ(θ＝２、３、４、…)はそれぞれ適当な多項式
Ｐｎ(ｘ)Ｑ(ｘ)を用いて
sinn=sinθPn(cosθ)
cosnθ=Ｑｎ(cosθ)となることを証明せよ。

という問題でｎ＝２のとき、ｎ＝ｍのときが存在すると過程しｎ＝ｍ＋１が成り立つことを示すという方法はわかったのですが、
Ｐ2＝２ｘ、のようにcosθをｘに置き換えて考えています。

コサインがｘに対応するのはわかるのですがサインが考えられていません。
サインはどこに逝ってしまったのでしょうか？

>>53
sinnθ=sinθP[n](cosθ)になりますのでP[n]の部分にはsinθは登場しません

赤チャート数�Vの例題３１のガウス記号の問題なんですが

（３）の証明で（１）はどこに使われているのでしょうか

>>55
問題書いて

>>46 >>47
やってみましたが、判別式が自明になってしまい端点と軸からではそれほど有意な
値は出なかったような気がしましたorz
答えだけでもわかればお願いいたします。

既約分数0<p<qについて　数列｛an｝（0≦an≦1）を
　an=np/q-[np/q] (n=1,2.3・・・・・・・)　　で定める

（１）n-mがqで割り切れるとき、an=am を示せ
（２）a1,a2・・・・・・aq は相異なるq個の数であって
　　さらに　a1+a2・・・・・・・・・・・+aq=q-1/2 を示せ
(3)
n→∞　のとき　a1+a2+・・・・・・・・・・・an/n を求めよ

証明じゃなかったです

>>57

P=(X,Y)としてX=x+y,Y=(x+y)^2-2xyより
x+y=X,xy=(Y-X^2)/2
ゆえにx,yはt^2-Xt+(Y-X^2)/2の２解
f(t)=t^2-Xt+(Y-X^2)/2=(t-X/2)^2-X^2/4+(Y-X^2)/2
=(t-X/2)^2+(2Y-3X^2)/4
満たすべき条件は、
-1≦X/2≦1
(2Y-3X^2)/4≦0
f(1)=1-X+(Y-X^2)/2≧0
f(-1)=1+X+(Y-X^2)/2≧0

>>59
お見事ですた。
なるほどｘｙをそう処理するのですね！

x^3＋3x＋7=0となる実数xが存在することを証明するにはどうしたらよいのですか？

グラフを描けばよかろう

判別式≧0

>>63
D=3^2-4×7になって<0になりません？

>>64は末期

つーか、三次式なんだから判別式はХ

>>66
やっぱそうですよね
グラフ描く意外にやり方ないですか？
>>65
数学苦手なんですみません・・・

微分してグラフを描く程のもんでもない。
中間値の定理というものがあるから調べなさい。本質的にはグラフを使ってるんだけどね

>>61の証明ってどうすればいいのか分からない

f(x)→±∞ (x→±∞)
f(x)は連続

こんなのしか分からない
そもそもこれは証明できてるのだろうか？
誰か教えてください

受験では三次関数が連続であることは既知

∞に飛ばさずとももっと適当な値でよい。

見間違えって怖いなあ。
てっきり2次方程式だとばかり…。

左辺をf(x)などとおき、xで微分して、f'(x)=0を解き極値を取るxの値を求める。(仮に小さい方からα、βとする)
f(x)は[α,β]で連続だからf(α)×f(β)＜0となることを示せば、中間値の定理よりf(γ)=0を満たすγ(α＜γ＜β)が存在する。

※中間値の定理
f(x)が閉区間[a,b]で連続なとき、f(a)とf(b)の間の任意の値mにおいて、a＜c＜b、f(c)=mとなるcが存在する。

sinＡ＋sinＢ＝sinＣ＋sinＤが成り立つ四角形はどのような四角形？

>>71
微分しなくても…
f(0)*f(-2)＜0とかで終わり。

>>72
和積の公式とD=π-(A+B+C)でも使って変形しろ
どうせ答は円に内接する四角形とかだ

D=2π-(A+B+C)だった

>>73>>74

和積の公式使って式変形してたら結局A+C=B+D=180°
またはA+D=B+C=180°
になって解けた

お騒がせしました

nは正の整数とし、xy平面において
2直線x-3y=0、x+3y=3nとx軸で囲まれてできる領域(境界線を含む)をDとする。
領域Dに含まれる格子点の個数を求めよ。

という問題で、
2直線の交点(3n/2，n/2)を求めてから進めません。
どう進めばいいのでしょうか?

任意の角θに対して、ー2≦xｃｏｓθ＋yｓｉｎθ≦y＋1が成立するような点(x,y)
の全体からなる領域の面積を求めよ。


全くわからないのでお願いします。。

>>77
真ん中をsinで合成してやれば、√(x^2 +y^2)sin(θ+λ)(λの値は携帯から書くの面倒だから教科書読んでくれ)
-1≦sin(θ+λ)≦1だから
-√(x^2 +y^2)≦√(x^2 +y^2)sin(θ+λ)≦√(x^2 +y^2)
だから
ｰ2≦-√(x^2 +y^2)かつ√(x^2 +y^2)≦y+1
を満たす領域を求めればいいです。

>>76
図書いて実験すればいいじゃん。

たまに質問スレ見てるが、初歩的な質問多いな。
計算したりグラフ描けば解決するようなの。

ちなみに>>63は無視してくれ。俺も2次方程式だと見間違えた。

>>58
>既約分数0<p<qについて
p/qが既約分数という意図であってp, qが既約分数ということではありませんね？
n-m=kq
n=kq+m
a[n]=(kq+m)(p/q)-[(kq+m)(p/q)]=kp+m(p/q)-[kp+m(p/q)]=kp+m(p/q)-(kp+[m(p/q)])=m(p/q)-[m(p/q)]=a[m]

a[i]=a[j] (q≧i>j≧1)
i(p/q)-[i(p/q)]=j(p/q)-[j(p/q)]
(i-j)(p/q)=[i(p/q)]-[j(p/q)]は整数
(i-j)pがqで割り切れpとqは互いに素だから(i-j)はqで割り切れる
よって矛盾
0≦a[i]<1 (1≦i≦q)はqを分母とする相異なる分数だから
a[1]+…+a[q]=0/q+…+(q-1)/q=(q-1)/2

n=kq+r (0≦r<q)
S[n]=a[1]+…+a[n]=a[1]+…+a[q]+a[q+1]+…+a[2q]+…+a[kq]+a[kq+1]+…+a[kq+r]=k(a[1]+…+a[q])+(a[1]+…+a[r])
k/(kq+r)≦S[n]/(nS[q])<(k+1)/(kq+r)
1/(q+r/k)≦S[n]/(nS[q])<(1+1/k)/(q+r/k)
n→∞でk→∞より
lim 1/(q+r/k)=lim(1+1/k)/(q+r/k)=1/q
lim S[n]/n=S[q]/q=(1-1/q)/2

>>76
D内の格子点のy座標yについて
3y≦x≦3(n-y)より格子点の個数は3(n-2y)+1
y=0, …, (n-1)/2 (n:奇数), n/2 (n:偶数)の総和は
(3n+5)(n+1)/4 (n:奇数), (3n+2)(n+2)/4 (n:偶数)
（等差数列の和は(初項＋末項)・項数/2）

>>38

どちらでもいいのですね。
ありがとうございました。

∫[-∞〜+∞](sinx／x)この積分の解き方教えて下さい。

数板範囲

y=x＾2＋2ax＋2a（aは定数）が0≦x≦4の範囲でx軸と異なる2点で交わる時定数aのとりうる範囲を求めよ。という問題で答えは2≦x≦18／3なんですが2≦ここに等号がなぜ付くのですか？つけたらx軸と一点で交わり題意をみたさないのでなないんですか？

>>87
いろんな部分がおかしくないか？

あっすいません。答えは2≦a≦8／3です

>>89
軸はx=-aだぞ？

そのまま解くと
条件を満たすaは存在しない

またまたすいませんx＾2−2ax＋2aでした。何度もすいません

>>92
もう知らん

(´;ω;｀)

f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6axの0≦x≦1における最大値と最小値を求めよ

aの場合分けがさっぱり分かりません
よろしくお願いします

>>95
グラフが下に凸だから、軸が区間に入ってくるかどうかで、最小値の様子が変わってくるじゃない？

>>96
またお前か‥
しかも同じ間違えを‥
わざととしか思えん

うわあ…俺相当疲れてるみたいだ。今日は早めに風呂入っておとなしく寝るよ…。

>>96
アンパンでも食って寝てろバカ

>>95
f'(x)=6x^2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)
1≦aのとき
0≦x≦1で単調増加
最小値f(0)=0最大値f(1)=3a-1
a≦0のとき
0≦x≦1で単調減少
最小値f(1)=3a-1最大値f(0)=0
0<a<1のとき
最大値f(a)=-a^3+3a^2最小値はf(0)=0とf(1)=3a-1の小さい方
3a-1=0となるのはa=1/3
0<a<1/3のとき最小値f(1)=3a-1
1/3≦a<1のとき最小値f(0)=0

>>82
どこに（１）が活かされているんですか？

(3)は(2)
(2)は(1)を利用して解いてる。
3に1は使ってない

[問]関数f(x)=∫[0,1]te^lt-xldtを考える。区間-1≦x≦1におけるf(x)の最大値、最小値を求めよ。(姫路工大)

問題集の解答では(i)-1≦x≦0のときと(ii)0≦x≦1のときに場合分けしてeの絶対値を外しているのですが、場合分けした際の絶対値の中身の符号の変化が分かりません…。

解答は(i)のときf(x)=∫[0,1]te^(t-x)dt、(ii)のときf(x)=∫[0,x]te^{-(t-x)}dt+∫[x,1]te^(t-x)dtとなっています。


どなたか宜しくお願いしますm(_ _)m

((i))のとき、tが0から1まで動いてもt-xは常に性だから|t-x|=t-x
(ii)のときはtが0から1まで動くと、0<t<xのときは|t-x|=-(t-x)でx<t<1のときは|t-x|=t-x
になるから、積分区間を分けなきゃいけなくなる

積分区間を考えればtは0から1

(x+1)^nを定義に従って微分せよ
という問題が解りません
定義はわかっていますがどう変形させればいいかさっぱりです
誰か詳しくお願いします

(x+1+h)^n=(x+1)^n+n*h*(x+1)^(n-1)+・・・

>>101
S[n]=k(a[1]+…+a[q])+(a[1]+…+a[r])
に使いました

黄チャ150（2）

x^2+ax+a+3=0･･･(1)
x^2-2(a-2)x+a=0･･･(2)
x^2+4x+a^2-a-2=0･･･(3)

これらの二次方程式の中で一つだけが実数解を持つようなaの値を求めよ

(1)(2)(3)の判別式をそれぞれD1,D2,D3とおくと
D1>=0より a<=-2,6<=a･･･(4)
D2>=0より a<=1,4<=a･･･(5)
D3>=0より -2<=a<=3･･･(6)

ここまでは分かるんですが、この後
「(4)(5)(6)のうち一つだけが成り立つaの範囲が求めるものである」
という言葉の意味がよくわかりません
(4)(5)(6)はaの範囲を表す式だから
aの範囲が成り立つaの範囲を求めるってことかな？何がなんだか分からないです

>>109
(4)(5)(6)は判別式だからこれが成り立つ⇔(1)(2)(3)が実数解を持つ

いま、(1)(2)(3)のうち一つの式だけが実数解を持ち、残り二つは持たない条件を求めたい
ということは
(4)(5)(6)のうち一つの式だけが成り立ち、残り二つが成り立たなければ、
(1)(2)(3)のうち一つの式だけが実数解を持ち、残り二つは実数解を持たない
ので題意を満たすことになる。

これを
「(4)(5)(6)のうち一つだけが成り立つaの範囲が求めるものである」
と言っています。

「(4)(5)(6)の三式のうち一つの式だけが成り立つようなaの範囲を求めればよい」
こういう風に言い換えると理解しやすいかもしれません。

>>110
レスありがとうございます。

落ち着いて読むと理解できました。
この場合はD1だけが実数解を持つパターンは無いんですね。

>>104-105
レスを参考にして冷静に考えてみたら分かりました！ありがとうございました。

y=kxの直線に対して点を対象に移す行列を求めよ
っていう問題を解いたら答えが
A＝(1-k^2)/(k^2+1) (1+k)/(1+k^2)
2k/(k^2+1) (k^3-1)/k(k^2+1)
ってなったんですけど違うようなので
どこが間違ってるか教えてもらえませんか？

>>113 第2列の2つが違う

>>114
ありがとうございます
もう一度計算してみます

不等式x<(3a-2)/4を満たすxの最大の整数値が5であるとき、定数aの値の範囲を求めよ。


x<(3a-2)/4を満たすxの最大の整数値が5であるから 5<(3a-2)/4≦6
ってなるんですけど≦6がつくのが理解できません。
ご教授お願いします。

x<6をみたす最大の整数xは5
逆に6より大きくなってしまうと、不等号を満たす整数xは6になってしまうため
(3a-2)/4は≦6

>>117
ありがとうございます！！！！！

すいません、まだちょっとわかんないです、
6≦(3a-2)/4ってのはなぜ有り得ないんでしょうか
最大の整数が5のxより大きいって不等式を満たしてると
思うのですが

数直線を書け。
(3a-2)/4っていうのがどこにあればよい？

・xの整数値は5ってことは、5.0とか5.5とか5.999....とかいろいろあるかもしれないけど、少なくとも6よりは絶対に小さい
・たとえば、もし(3a-2)/4=6.1だったとすると、x<6.1をみたすxは6.0とか6.001とか、整数値が5でない数になってしまう

>>121
二度もすいません、スッキリしました！本当にありがとうございます＞＜

>>113の2列目は
2k　 k^2-1
でいいでしょうか

999999999999999999999999999999^5 (9が30個)の各桁の数を
すべてたした数をA、Aの各桁の数をすべて足したものをBとし、
Bの各桁の数をすべて足した数をCとする。Cを求めよ。
------------------------------------------------------------

999999999999999999999999999999^5 は(10^30)^5=10^150より小さいから
Aは9×151=1359以下。Bは21以下（9が多いほど各桁の和が大きいのでA=1299のとき）。
Cは10以下（B=19のとき）。Cは9の倍数、C=9

答えはこれで正解でしょうか。よろしくお願いします。

>>123 分子に 1+k^2 が付く

A=999のときB=27

>>125
忘れてました…
指摘ありがとうございます

更にBも9の倍数じゃないか？これ

>>126
ありがとうございました！

×分子→○分母

>>128
あ、Bの9の倍数の条件付きますね。

もうひとつ聞きたいんですけど

実数A0,A1,…,A2n+1 (≠0)に対して代数方程式
A2n+1(z^2n+1)+A2n(z^2n)+…+A0=0
は少なくとも実数解を1つ持つことを示せ

っていう問題なんですけど帰納法で示せますか？
どうやって解けばいいのか分からなくて

数�V不定積分を求めよという問題なんですが
∫{(x+1)^2/(x-1)}dx
＝∫[x+3+{4/(x-1)}]dx
＝(1/2)x^2+3x+4log|x-1|+Ｃ
(Ｃは積分定数)

と解答ではなっていますが
∫{(x+1)^2/(x-1)}dx
＝∫[x+3+{4/(x-1)}]dx
の変換が出来ません。
教えてください
念の為イメピタhttp://imepita.jp/20090523/138190

>>133
(x+1)^2をx-1で割って商とあまり出すだけだ、数IIとかでやってるんじゃないの？

>>134

あぁそれです(´；ω;`)
なぜ分からなかったのか……
あぁすっきりありがとうございます(´；ω;`)

>>132
�@与式が奇数次の実係数方程式であること

�A実係数方程式が虚数解をもてば共役複素数も解である

以上２点の事柄から自明である

必要なら�Aを証明した上で論じればよい

>>136
すみませんが�@について解説してくれませんか

>>132
与式の左辺をｙとおいた関数のグラフを考える　

パイズリ

>>138
ありがとうございます

>>137
簡単にいうと解が奇数個あるっていうこと。

複素数と共役複素数が必ずペアになるから全部虚数解っていう場合、解は偶数個。
だから解が奇数個だと必ず虚数解じゃないやつが現れるので、
少なくとも1個実数解が存在することになる。

>>141
詳しい解説ありがとうございます
理解できました

代数学の基本定理って使っていいのか？　

>>143
それは大丈夫です

>>128,131
それはどうしてなんですか？

初歩的でごめんなさい
三角形ABCの三辺の長さが出ててsinAを求めるのってどうすれば良いんですか？

まずは余弦定理でcosを出す。

>>147
お、続き閃きました
cos^2A=1-sin^2Aを使うんですね？

なるほど、こういう状態を「公式は覚えてるが、その意味は分かってない」というんだな…。

いや>>148は分かってるけど。　

国語の問題みたいで、すいません。
＜赤茶１+Ａ 90番＞
ある演奏会の入場料は、30人以上60人未満の団体に対しては2割5分引きで、
60人以上の団体に対しては3割引きであるという。
30人以上60人未満の団体で、2割5分引きで入場料を払うより
60人の団体として入場料を払った方が、一人当たりの
料金が安くなるのは何人以上何人未満のときか。

という問題で、
（a=正規料金）
a0.75x > a0.7*60
↓
0.75x > 42
↓
x > 56 で、答えは「57人以上60人未満」とあるんですが、

『一人当たりの料金』、て日本語にひっかかってます。
一人が払う割り勘の値段？？、、なら
a0.75*人数 /人数 > a0.7*60 /60
で、一人が払うのは
a0.75で変わらないんじゃないでしょうか？

>>151
なぜ60で割るのか

>>151
実際には居ない人の分も分担します

40人でも50人でも、60人の団体として申し込むことはできる。　
（60人分のチケットを買い、実際は60未満の人数しか入場しないってこと）
どちらの場合であれ、入場者数は同じ。　
　

放物線y=x^2-4x+3と、この放物線上の2点A(4,3)、B(0,3)における接線とで囲まれた部分の面積を求めよ。

Aにおける接線をy=4x-13 Bにおける接線をy=-4x+3
と出して解いたのですが、何回やっても答えが合いません。

解説お願いします。

>>155
先ずはお前の解いた解答を書いてみろ
話はそれからだ

連立方程式
2t-2=p^2
4=2pq
t^2-8=q^2
これ解ける？過程もよろしくお願いします。

3文字に対して式3個だから解けるには解けるんだろ。
おそらく、こういう問題をこんなところで質問するってことは地道に1文字を消去する解法ではなく、
もっとエレガントな手法が見たいってことだろうから、俺は答えられそうにないな。ごめんよ。

2x^2+2X{X^2-(1/3)}^(-1/2)=a^2
をXについて解け。

解ける方いらっしゃったら答えを教えて下さい。
それと、コレって高校範囲内なんでしょうか？

>>158
いえいえ、めっそうもございません。

>>157
(pq)^2=2(t-1)(t^2-8)=4
t=3, (p, q)=±(2, 1)

>>157
解２組は見つかった。

2tｰ2=p^2…�@
4=2pq…�A
t^2-8=q^2…�B
�Aから
4=(pq)^2
�@�Bから
(2t^2ｰ2)(t^2-8)=(pq)^2
∴(2t^2ｰ2)(t^2-8)=(pq)^2=4
コレはt=3のとき成り立つ。
�@�Bにt=3を代入して
(t,p,q)=(3,2,1),(3,-2,-1)
∵�Aからp,qは同符号

>>156
すみません
Aにおける接線とBにおける接線の交点（13/4,0）を出して、
二つの接線の交点のx座標で求める面積を分割して
∫0〜13/4{x^2-4x+3-(-4x+3)}dx+∫13/4〜4{x^2-4x+3-(4x-13)}dx
としました。
これを計算すると229/12になるのですが、正しい答えは16/3です。

>>159
2x/√(x^2-1/3)=a^2-2x^2
4x^2/(x^2-1/3)=(a^2-2x^2)^2
t=x^2
12t/(3t-1)=(a^2-2t)^2
12t=(3t-1)(a^2-2t)^2
12t^3-4(3a+1)t^2+(3a^2+4a-12)t-a^2=0
3次方程式の解の公式（範囲外）で解けますがものすごい式になりそうです

>>163
接線の交点が違うじゃないか

>>163
ちょっと、交点の座標を計算し直してみろ

>>155
放物線の頂点は(2, -1)でありこれを平行移動して原点に取ると
y=x^2, (-2, 4), (2, 4)
の問題となる
y軸対象なので求める面積は
2∫[0, 2](x^2-4x+4)dx=16/3

>>159
そうですか。
どうもありがとうございました。

>>167
>y軸対象
y軸対称

>>165,166,167様　ありがとうございました。
こんな単純な計算ミスをしている自分が恥ずかしいです・・・

>>161>>162さん
ありがとうございました。

a>0,b>0のとき
(b^2/a^2)−a＋b^2−1＋(a^2/b^2)−b^2/a
の最小値を求めよ。またことのときのa,bの値も求めよ。

めちゃくちゃ難しいんですが...どうやって解けますか？

>>172
うまいやり方が思いつかないけど、プログラムに突っこんだら
最小値0でこのときa=b=1になった。

>>173
解法教えてください。

>>174
aを固定してbの関数と見てf(b)とおき、これを微分するとb=a/(a^2-a+1)^(1/4)のとき極小になる。
だからこれをf(b)の中につっこんでf(b)≧f(a/(a^2-a+1)^(1/4))(=g(a))とする。

g(a)を同様に微分するとa=0,1が出てきてa=1のとき最小値0になる。そしてこのときb=1になった。

>>175
もっと簡単な方法があるらしい。

>>172
b^2/a^2-a+b^2-1+a^2/b^2-b^2/a
=(a^2-a+1)(b^2/a^2)+(a^2/b^2)-a-1
≧2√((a^2-a+1)(b^2/a^2)(a^2/b^2))-a-1 (∵a^2-a+1>0)
=2√(a^2-a+1)-a-1
（等号成立は(a^2-a+1)b^2/a^2=a^2/b^2すなわちb^4=a^4/(a^2-a+1)のとき）
(2√(a^2-a+1)-a-1)'=(2a-1)/√(a^2-a+1)-1=0
2a-1=√(a^2-a+1)
3a^2-3a=0
a=1で最小
（∵a<1では単調減少a>1では単調増加）
b=1

一瞬でとける方法見つけました。
b/a=s,b=n,a/b=tとおくと
(b^2/a^2)−a＋b^2−1＋(a^2/b^2)−b^2/a ＝s^2-tn+n^2-ts+t^2-sn
=t^2+n^2+s^2-tn-ts-sn
=1/2{(t-s)+(n-t)+(n-s)}^2
よって、t=s,n=s,n=tのときに最小値０をとる。このとき
b/a=bかつ、b/a=a/bかつ、b=a/bであればよく
a=1,b=1がこれを満たす。
よって最小値は0このときa=1,b=1

やっぱり僕は阪大志望するに値する天才だ。
今年落ちたけど来年頑張ります！！！
>>177
その方法気づきませんでした。相加相乗をうまく
使うんですね。

>t=s,n=s,n=tのときに
これって十分条件だけじゃないか？
最小値が０なのは示せるが、０なのがa=1,b=1のときだけなのか示せているのか？

ああ、俺変なこといってるな
スルーしてくれ

>>159
もしかしてxとXは異なりますか？

>>179
形に持っていくための変形だと思うんですが、だめなんでしょうか？

>>182
おぬしもワルよのう

>>183
いえいえ、お代官様には及びません。

(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3

ぱっと見て変換する事がなかなか出来ないのでいつも普通に分配法則してしまうのですが、
数学が得意な人は瞬時に気付くんですか？
また、二次試験で分配法則を使った場合に減点される事があるか教えていただきたいです。お願いします

有名な公式なのでわかります。

試験で減点されることはございません。

さいですか、ありがとうございますた

まあ、減点することはないが、そういう筋の悪い学生を
大学側が欲しがるかどうか、は少し気になるな

120
013
001
の行列をAとしてまたN＝A-Eと定義します。
Nの２乗と３乗を求めさせられた後、Nの１５乗を求めるのですが、解答や参考書
を見てもよくわかりません。教えていただけますか。
解答にはシグマやおそらく２項定理のようなものがつかわれていました。

>>189
解答の何が分からんのだ？

因数定理の問題なんですが

整式f(x)は(x-1)^2で割り切れるが、x-3で割ると4余る。
このf(x)を(x-1)^2(x-3)で割ったときの余りを求めよ。

というのです。
f(x)を

(x-1)^2(x-3)Q(x)+ax^2+bx+c

と置くと
a+b+c=0
9a+3b+c=4
という連立方程式になるんですが、これでは解けませんよね…

教えて下さいお願いします。

余りはa(x-1)^2

微分してみるのだ

取り敢えず、f(1)が0って条件しか使ってないし
これでは(x-1)^2で割り切れるという条件が十分に使えてないでしょ？
十分に使うためには、f´(1)もまた０になることを用いれば良い
これが定石
この場合、君の条件に2a+b=0が加わることになる

微分を習って無ければ
f(x)＝(x-1)^2Q(x)とおけて
これに３突っ込んで考えてみる
f(3)＝４Q(3)＝４
Q（3）＝１だ。ということは、Q(x)＝R（x）(x-3)＋１とおけるだろ？
ならば
f(x)＝(x-1)^2{R（x）(x-3)＋１}
　　＝(x-1)^2(x-3)R（x）＋(x-1)^2
という方法を考えてみた

>>192-194

理解できました、ありがとうございます!
ちなみに微分はまだ習ってません

lim n(r^n)=0の証明ください。

rは(-1,1)です。

イミフ

自己解決しました。

数列A(n)=1+14^n+��(k=1→n-1)nCk・2^(n+k)・5^(n-k)とすると
A(n)はn>1に対して３の倍数であることを示せ。

友達に出された問題、全然わからない。超ハイレベルらしい。

A(n)=1+14^n-��(k=1→n-1)nCk・2^(n+k)・5^(n-k)
だった。ごめん。−です。＋じゃなくて。

>>201
その友達に聞けばいいじゃない

>>200
a[n]=1+14^n-Σ[k=1,n-1]2^(n+k)5^(n-k)
=1+14^n-2^nΣ[k=1,n-1]2^k5^(n-k)
=1+14^n-2^n((2+5)^n-2^n-5^n)
=1+4^n+10^n
=1+(1+3)^n+(1+9)^n
=1+Σ[k=0,n]nCk3^k+Σ[k=0,n]nCk9^k
=1+1+Σ[k=1,n]nCk3^k+1+Σ[k=1,n]nCk9^k
=1+1+1+3Σ[k=1,n]nCk3^(k-1)+9Σ[k=1,n]nCk9^(k-1)
=3(1+Σ[k=1,n]nCk3^(k-1)+3Σ[k=1,n]nCk9^(k-1))

>>189
A^15=(E+N)^15=Σ[k=0,15]15CkN^k=E+15N+105N^2 (∵N^3=O)

>>203
超ハイレベルを２０分かからずに・・・
あんた何者？

(君にとっては)超ハイレベルだよ

こうですね

互いに異なるa、b、cが
a-b/b+c=b-c/c+a=c-a/a+b
を満たすとき、次の値を求めよ。

(1)a+b+c

(2)a^2/bc+b^2/ca+c^2/ab

(1)の答え

与式=kとおくと

a-b=k(b+c)、b-c=k(c+a)、c-a=k(a+b)

この３式を返こだとに加えて、

0=2k(a+b+c)

a、b、cが互いに異なることにより、k≠0であるから
a+b+c=0


質問は答えについてなんですか、a+b+c=0を満たすa、b、cが存在しないのでa+b+c≠0になると思ったのですが、自分の間違っているところがあったらお願いします

問題は1対1の�T分野の16ページです

>>207
>a+b+c=0を満たすa、b、cが存在しないので

a,b,cの存在を確認しないといけないのはその通りだが、
なぜ存在しないと？

>>208

元の式にa+b=-c b+c=-a c+a=-b
を代入すると

a-b/-a=b-c/-b=c-a/-c
となり

a^2=bc b^2=ca c^2=ab

これを解くと

a=b=cとなってしまうからです

関西大学の入試問題なんですが

2次の整式 g(x)=x^2-4x+a で割り切れ、かつ {g(x)}^2 を割り切る3次の整式 f(x)がただ一つであるように、定数aの値を定めよ。
ただし、f(x)におけるx^3の係数は1とする。

自分の考えでは、f(x)はx^3の係数が1の3次式なので
f(x)=(x-α)g(x)
と表わせる
また、{g(x)}^2がf(x)で割り切れるのでg(x)は(x-α)で割り切れる
よって
g(x)=(x-α)(x-β)
とおくことができる

と考えてみたんですが…

どうか教えて下さい(答えは4です)

>>209
きっと途中式で、
a^3=b^3
これをさ、
a=b
にしてないかい?
それが原因だと思うぜ
携帯からでわかりづらかったらごめん

>>211

ありがとうございます

a、b、cは有理数とは限らないですね
見落としてました

>>210

g(x)=(x-α)(x-β)
とおくことができる
ここまでok

f(x)=(x-α)(x-α)(x-β)
より、α≠βのとき、f(x)には２通りの取り方がある
f(x)を１通りに取るためにはα＝βであることが必要

g(x)=x^2-4x+a=0の判別式をDとして
α=βのときD=0より
D/4=4-a=0
∴a=4

>>213

ありがとうございます。

f(x)=(x-α)(x-α)(x-β)
からα≠βのとき、f(x)には２通りの取り方があるというのは
g(x)=(x-A)(x-B)
となったとき
f(x)=(x-A)^2(x-B)
と
f(x)=(x-A)(x-B)^2
の2通りになるということですか?

結局、α＝βということは
f(x)=(x-α)^3
という形になるということですよね(問題とは関係ありませんが)

>>214
そう

そう

>>200
のような問題はなめすぎ、逆をたどって作ったようなクソ問題。
そんなもん数学できないやつでも創れる。数学の問題創る人なめるなよ。
ごめん...言い過ぎた。

>>215

スッキリしました。
ありがとうございます。

>>207
>互いに異なるa、b、cが
a, b, cの取る範囲について問題文で言及はされているのでしょうか

http://imepita.jp/20090528/043960

参考書の抜粋です
学校では分母の発散スピードが最大のもので割るとならったのですが、分子の発散スピードが最大のもので割っています
何か規則があるのでしょうか？
よろしくお願いします

>>219
＞学校では分母の発散スピードが最大のもので割るとならったのですが
そんな面倒なこと考えないで
基本の　不定型を解消できるように変形する　って発想のみでおｋ

この場合、分子の中の最大のもので割れば１／０となるし
分母の中の最大で割れば∞／１
どっちも∞

まあ1/0は数学的に気持ち悪いから
+∞/1にしたほうがいいとは思うけどね

+∞/1も気持ち悪い

ありがとうございます！
解決しました

nは自然数、x＞0の時のlim(x→∞) (1+n)^(1/n)＝1の証明をお願いします
(1+x)^n＞1+{n(n-1)/2}x^2やはさみうちを使うのだと思うのですが、上手く使いこなせなくて…

>>224
＞lim(x→∞) (1+n)^(1/n)
＝(1+n)^(1/n)

>>225
すみません…間違えました…

× lim(x→∞)
〇 lim(n→∞)

lim(n→∞) (1+n)^(1/n)でお願いします

(1+n)^(1/n)＝1+h (h＞0)
1+n＝(1+h)^n
．．．

>>226
lim(x→∞)1/x*logx=0

これをまず示してください
そしたらlogをとって終わりです
でも上の式を示すのがちょっと難しいかも

俺の知ってる問題だと
(1+n)^(1/n)＜1+(2/n)^(1/2)を示せみたいな誘導がついてたな

　　　　　　　　　　　／　| :.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.: /
.　　　　　　　　　　〈　○| :.:.:.:.:.:.;　 ´￣￣　　　￣￣｀ .､:..:.:. ′
　　　　　　 　 　 　ハ.　 |:.:.:.:／: : : : : : : : : : : : : :!: : : : : ＼广ヽ
　　　　　　　　　_/_: :ﾊ　|:.:./: : : : : /: : :i: : : : : : :ﾊ: : : ｌ : : :ﾍ: : !
　　　　　　　／: ヽ ＼:�Y:/: : :|: : :/: : :/!: : : : : ;'　| ﾄ､:| : l:. :ﾊ:.:|
　　　　　 　 |: : : : :}　 }:| i : : : |: :ｲ: : /. |: i : : : |ー|---!: :| : : i :|
　　　　　 　 |: : : : :|-ｲ:.:T : : : |/_|; 斗‐匕!: :/:〃ｲ卞ﾐｘ: :| : : |:∧
　　　　　　　}: : : : :!: :ｌ : l: : : : |　,ヒてｹ　| :/:/ 　{k:::Y} �W: :! ′:ﾍ
　　　　　　　|: : : : :|: :| i l: : : : |/{い::::i}　 }／　　 Vヒｿ　V: :|/: : : ﾊ
　　　　　　　|: : : : :|: :|:行 : : : |　Vzﾋｿ　　　　　　　　　　} : |＼: : : |
　　 　 　 　 ﾊ : : : :}: :∧|:|: : : |　　｀゛　　　　　　　　 　 /: : :!: :�W: :|
　　　　　　/:/: : : /: :′ ｿ! : : |　　　　　　　　 ,　　　／:|: : :′:! ',: :|　　>>224>>226
　　　　　　{:f: : : :爪:. : : :∧: : |＞　 _　　　￣　 ,.ィ: :fi:_:|:. :′: !　! :!　　（補助的に）グラフでイメージしての証明
　　　　　　|ﾊ : : |/从_:_:_|[.ﾑ: :|-f:＞　￣二ニケ宀≦.､|:/¨￣　 ﾚ′　　じゃダメ？
　　　　　　　 V: :[　　　 , -'´ヽ!:.:.:.:.::::::::::; -┴ ､:::::.:.:.:.:.:.ハ
　　　　　　　　 ﾏﾑ　　/~´＼:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.∧ ::::::..ハ:.:.:.:.:./　 '
　　　　　　　　　�Y 　 i　　　 ヽ:.:.i.:.:.:.:.:.ﾏ :::::::::: ﾉ.:.:.:V 　　|
　　　　　　　　　　　　 |　　　　 �Y:.:.:.:.:.:.:.`ii:iT|:.:.:.:.:.:.l 　 　!
　　　　　　　　 　 　 　 !　　　 　 V:.:.:.:.:.:.:.:||:l:||:.:.:.:.:.:.| 　 　!
　　　　　　　　　　　　　l　　　　　 ﾏ:.:.:.:.:.〃ﾊ:ヽ:.:.:.:.:|＼　 ﾄ､
　　　　　　　　　　 　 　 !　　　 ／ }:.:.:.::〃/　 ＼＼:ﾄ 、｀ ｰ ）
　　　　　　　　　　　　　/ｌ-‐ '´ /　∨:〃/　　 　 ヽ:|　 ヽ　/

（問題）８枚のカードに１から８までの数字が１つずつ書いてある。
この８枚のカードの中から３枚同時に抜き出したとき、積が６の倍数である確率を求めよ。

という問題がありました。　そこで積が２の倍数、積が３の倍数である確率をかければ
解答を導き出せると思い、それぞれの確率を算出しました。
積が２の倍数である確率13/14　積が３の倍数である確率9/14
しかし、これらをかけたところで正答である33/56にはなりません。
この考え方はどこが間違っているのでしょうか？　ご教授ください。

ちなみに答えは別の考え方で導き出しました。　しかしなぜこれが駄目なのか気になるんです。

かけたら、合計6回取り出すとき、前半の3回で2の倍数が出てかつ、後半の3回で3の倍数が出る確率になっちゃわないか？

確率
積の法則
和の法則


かけてよいのは続けて起こるとき

>>224
an+1=(1+n)^1/nと置いて両辺をn乗し、君の書いてある不等式に代入する
後ははさみうちを使えば証明できる

亀レスですみません

>>229
自分の問題だと(1+n)^(1/n)＞{n(n-1)/2}+1を示す誘導が一応ありました

>>230
グラフですか…試してみます

>>227>>228>>234
ありがとうございます
再度挑戦してきます

>>235
その不等式が真ならば
どう考えても無限に発散する訳だが。

わからない問題が二問ありのでお願いします
一問目は
問題http://imepita.jp/20090530/770550
解答http://imepita.jp/20090530/774250
(2)の解答で
t≧0の範囲を動くとき、という問題から
0以上の解を少なくとも1つもつとは
となる過程がわかりません
後の内容は解と係数の関係からなんとなくはわかったのですが

もう一問は
A=5a+18-8(a+7)i
でA^2が実数であるならばaの値はいくらか求める問題なのですが
A^2=(5a+18)^2-64(a+7)^2-16(5a+18)(a+7)i
であるから(5a+18)(a+7)i=0
と求めるようなのですが
これはAを二乗せずにaが実数であることを求めた値と同じになるのですがたまたまですか？それとも二乗せずに求めてもよい問題なのでしょうか？

見にくいかもしれませんがお願いします

http://imepita.jp/20090503/699680

これの(2)から分かりません
よろしくお願いします

b(n)とa(n)が混ざった漸化式で、左辺にb(n)を移項して両辺を2^(n+2)で割ればいい

(3)は、c(n)がわかればb(n)がわかるので、(2)でc(n)の階差数列を求めてるから、それからc(n)をもとめればいい

ＡＢＣの3人を含むＮ人を区別のない3組に分けるときＡＢが同じ部屋なるのは何通りか

b(n)を最小にするのは、b(n+1)-b(n)かb(n+1)/b(n)をもとめて、前者なら値の正負、後者なら1との大小をしらべればいいb(n)を求めてないからどちらがいいかはわからん

b(n+1)-b(n)>0 <=> b(n+1)>b(n)
b(n+1)-b(n)<0 <=> b(n+1)<b(n)


b(n+1)/b(n)>1 <=> b(n+1)>b(n)
b(n+1)/b(n)<1 <=> b(n+1)<b(n)

>>237
(2)ではtは0以上の範囲でしか動けないから、t≧0の範囲で、実数解tを持つ条件を求めている


下は、まず、Ａが実数である条件はa=-7
Ａ^2が実数である条件はa=-7、-18/5
だから同じではない
まぁ2乗の展開式を考えたら当たり前かもしれんが
(Ｘ+Ｙi)^2=Ｘ^2+2ＸＹi-Ｙ^2
が実数になる条件は Ｘ=0 もしくは Ｙ=0

>>240
空きなしなら
最初に区別ありと考えて、3^(N-1)から１部屋あく場合と２部屋あく場合をひいて、区別なくす
ありなら、それに１部屋あく場合と２部屋あく場合たせばOK

質問お願いします
6m^2/m＾2+1×√9-7m^2(√以下の数字は全部√内部です)のときのｍの最大値を求めるときってやっぱ微分ですかね？相加相乗とかは無理ですかね？方針など意見教えて＾＾＾＾

数学３Cでわかりやすい参考書ある？マセマがよいときくが

m^2+1までが分母？
mの最大値？

√(9-7m^2)=tとでもおけば、「この式の最大値」は微分なしでも出そうだが…

m^2+1までが分母？ そうです

この式が最大になるようなｍを求めよ」です。わかりずらくてすみません

あと０＜ｍ＜３/√７です

>>244
m^2をｔとおき、対数微分。　

>>236
ホントすみません
また間違えました…

誘導問題は
(1+x)^n＞1+{n(n-1)/2}x^2
↑これを示す問題です…

>>242
ありがとうございます
すみません上の問題のそのあとの
負の2解をもつことはないというのもわかりません
t≧0なのに正と負両方の場合はいいということでしょうか？

>>251
例えばある放物線Ａは
t=-1、-2
の時にその放物線となるとすると、条件はt≧0だから、Ａとなるtは、t≧0では存在しない、つまり、Ａは存在しないのでＡがあるはずの部分は(2)ではとおらない

次に放物線Ｂは
t=±3
のときにＢとなるとすると、条件はt≧0だから、Ｂとなるtは、t≧0ではt=3、つまり、Ｂは存在するのでＢあるはずの部分は(2)でもとおる

それが負の二解をもつことがないという意味

>>252
ありがとうございました

4/3･(3^2)^1/6
=4･3^1/3-1

階乗の中に-1が出て来るのがなぜかわかりません。
お願いします。

>>254
階乗はn!だ。それは指数だ。
最初の/3を持ってきたから-1。

恥ずかしいｗｗ
ありがとうございました。

遅レスなんですが、>>238の解答ってこんな感じだと思いますよ。
http://down11.ddo.jp/uploader/download/1243824098/attach/

パスのところに1234と入力すれば落とせますよ。
ツッコミ等あったらどうぞ。

ﾃﾝﾌﾟﾚよんだんですがﾍﾞｸﾄﾙABはV[AB]って表していいんですよね??
で 質問なんですが

△ABCの内部の点Ｑに対して、7V[AQ]+3V[BQ]+4V[CQ]=V[0]がなり立っているとする。
V[AQ]=(1/2){(3V[AB]+4V[AC])/(3+4)}と変換出来るから


とあるんですが
この変換の仕方がわかりません

BC↑＝AC↑-AB↑

これを駆使して始点をAに揃える

ベクトルの天下り的な変形ばっかだなと勉強初期は思ってたなあ…。

7V[AQ]+3V[BQ]+4V[CQ]=V[0]

7V[AQ]+3(V[AQ]-V[AB])+4(V[AQ]-V[AC])

7V[AQ]+3V[BQ]+4V[CQ]=V[0]

∴ 7V[AQ]+3(V[AQ]-V[AB])+4(V[AQ]-V[AC])=V[0]

∴ 14V[AQ]=3V[AB]+4V[AC]

∴ V[AQ]=(3V[AB]+4V[AC])/14

∴ V[AQ]=(1/2)(3V[AB]+4V[AC])/7

これで、点Qは、（BP：PCを4：3に内分する点をPとすると）AQ：QPを1：1に内分する点だということがわかる。

>>259ｰ261
ありがとうございます

で続きなんですが
変BCを4:3の比に内分する点をＤとすれば、点Ｑは線分ADを1:1の比に内分する点である


この1:1の出し方教えてください

>>233
遅れましたが　ありがとうございました

OA↑＝(1/2)OB↑のときAはどこにあるか考えてみ

ベクトルなんて繋いで伸ばすだけ。なんて美しい分野なんだろうな。

無修正のエロ動画はこのまとめをブックマークしとけば一生ネタ探しに困らない
http://www.yourfilehost-users.jp/#links

AからBまでの最短距離を通る問題で

　┌―――┐B
　│ │
Ｃ├―――┤D
│ │
Ａ└―――┘


これでABCDを通る確率を求めよっていう問題なんですが
1/3か1/4だと思うんですがよくわかりません
よろしくお願いします

あ、すいませんずれました…

帰ってから再投稿しなおします

>>268
1/3だね

高校で数�Vの微分をいまやっているところです。

三角関数のグラフで、気になっていることなのですが、
なぜ、「度」でグラフを書いてはいけなくて、
「ラジアン」で書くのでしょうか。

というより、（むしろこちらのほうが気になるのですが）
「ラジアン」だって角度なのに、なぜ、"y=x"などと、
同じ平面に書いて、面積とか求めていいのでしょうか？
("y=x"などの目盛りは、角度ではないのに・・・)

具体的な問題ではないのですが、よろしくお願いします。

>>270
度で計算してみればわかる。

度で書きたかったらかけば？


面積は積分習うまでガマン

むしろ他の関数と同じ平面に書くためにラジアン単位を使うのだと俺は思っている

は？
ラジアンじゃなきゃ他の関数と同じ平面に書けないってか？

ラジアン使うのは微分が簡単になるから

>>270です。
「度」で書いてもいい、というのは、学校の先生にも言われました。
以前は、「度」で書いていたとか言っていました。

ただ、ラジアンで、他のグラフと一緒に書いていい理由が、
ラジアンは長さだからとかいう、分かったような分からないような理由で・・・。
ラジアンって角度で、"y=x"とかは、角度ではないと思うのですが・・・。

別に度で書いたっていいよ。グラフが横に伸びるだけ

１ラジアンのとき円周上では長さ１、２ラジアンのとき円周上では長さ２、ａラジアンのとき円周上では長さａ
詳しくは教科書で

面積に関しても詳しくは数�U教科書で(積分でもできるけど、教科書で図形的に説明されているはず)

>>274
横軸が度数法でy=x-1みたいなグラフはどうなるのかな?
まさか縦軸はラジアンに直して…とか言うなよ

じゃあ最初からラジアン使え

>>275
「ｘ度」、「ｘラジアン」は角度。
「ｘ」は実数。

まぁ俺の主張はこうだ、

ラジアン単位を使う理由として、弧長の計算が簡単になるとか図形的な利点もあるが、
x-y平面で関数を考える際に非常に都合がいいから。微分が簡単になることももちろんだが、他の一般的な関数とともにグラフを書くことは度数法には出来ない

>>275
少年よ、君の疑問はもっともだ。
先生の言いたいこともわからんではないが正確ではない。
ラジアンの定義を見直せ。ラジアンとは、『長さの比』だ。

単位は無単位。ただの比であるから他の実数との四則演算が可能となる

>>278
＞横軸が度数法でy=x-1みたいなグラフはどうなるのかな?
普通に書けばいい。　
ただし、そこに三角関数のグラフを重ねて書く場合、
横に伸びたグラフを書くことになるだけ｡　

＞まさか縦軸はラジアンに直して…とか言うなよ
意味不明。縦軸ってなに？　

360゜-1と270゜ってどっちの方が大きいの??(>_<)

どっちでもない。で？　

じゃあどうやってグラフにプロットすればいいんでしょうか(;_;)

>>282　

¬(´〜｀)г

おそらく、>>283の「360゜-1」は
x=360゜のときの（>>282の「y=x-1」における）yのことだろう。

しかし、「x」自体は実数だから、こうはならん(>>279)
普通に、(360,359)がプロットされるだけのことだ。　

つまり三角関数はy=sin(x゜)の形で書く訳だ。
しまった、その発想を忘れていたな

ID:yfHteqptOきもい

A級トップテン
東大京都北大東北名大阪大一橋九大慶応早大 　Ａ級精子遺伝
B級トップテン
東工筑波千葉首都金沢阪市広島上智ICU東京理科 Ｂ級精子遺伝

>>270です。
みなさん、いろいろありがとうございます。

>>281さんのおっしゃっている「長さの比」、たしか先生も、そんなこと言っていたかも知れません。
もう少し、いろいろ考えてみます。

でも、そうすると、グラフの1目盛りって、何なんだとか、いらないこと考えてしまいそうです。

数学においては物理的な「次元」「単位」の概念はありません
ただの実数です
物理的な概念を数学に引き写す際にそぎ落とされそれを理解する際に物理的な概念が再度付与されます

問題｢全ての正の実数aに対してy≧ax^2が成立つ様な実数(x、y)の全体を座標表面に表せ｣とあるんですが
解答｢x＝k(≠0)の時、全てのaについてy≧ak^2となるがこれを満たすyは存在しない｣とあります
全然解答の意味がわからないので教えて下さい

以下の因数分解の仕方はルール違反ですか？
3t^2-1=((√3)t-1)((√3)t+1)

>>295
問題ないよ

�d!

>>294
aが実数全体を範囲とするとき、ak^2に最大値が存在しない。

>>294
yがいくつであっても、y＜ak^2となるaが存在しうる。

a,b,cは互いに異なる０でない実数とする。
このときxに関する３つの２次方程式
ax^２−２bx＋ｃ＝０、bx^２−２cx＋a＝０、cx^２−２ax＋b＝０
を同時に満たす解は存在しないことを背理法で証明せよ

x＝pとおいてみたんですが、そこから先の説き方がわかりません。
教えてください。

(a+b+c)(p^2-2p+1) = 0　となり
p = 1 のとき　a-2b+c = b-2c+a = 0
a+b+c = 0 のとき b^2-ac = a^2+ac + c^2 = a(a+c) + c^2 = c^2 - bc　と　軸（または解の公式）
以下略

>>301
すみません。a+b+c=0のときの証明がよくわからないので、
詳しく説明していただけませんか？

１から１００までの自然数の積をPとして
Pは何回２で割り切れるか、又Pの末尾には０がいくつ続けて並ぶか

よろしくお願いします
１つめは１〜100までに２の要素？が50あるから50でいい・・・？と考えたのですが

>>303
じゃあ1〜4なら2回しか割れないの？

あー、ほんとだ
どうやって解くのでしょうか・・・

1-100までで2で割り切れる数≠Pを素因数分解したときの2の指数
例えば2^2,3*2^2とかを2で1回しか割り切れないと考えちゃってるよそれだと
[100/2]+[100/4]+[100/8]+...+[100/64]=97だな
0がいくつ続けて並ぶかはようは10で何回割り切れるか
[100/5]+[100/25]=24回かな

一般にN!は素数pで何回割り切れるか
1-Nのなかでpで1回しか割り切れない数=[N/p]-[N/p^2]
1-Nのなかでpで2回しか割り切れない数=[N/p^2]-[N/p^3]
これを繰り返して
1*{[N/p]-[N/p^2]}+2*{[N/p^2]-[N/p^3]}+...=�納k=1-n][N/p^k]
nはp^n≦N＜p^(n+1)を満たす自然数

>>302
ap^2-2bp+c=0
bp^2-2cp+a=0
上式×b - 下式×aから
2(ac-b^2)p+bc-a^2=0

a+b+c=0のとき

2{a(-a-b)-b^2}p+b(-a-b)-a^2=0
-2(a^2+ab+b^2)p-(a^2+ab+b^2)=0
(a^2+ab+b^2)(2p+1)=0
a^2+ab+b^2>0なのでp=-1/2
cp^2-2ap+b=0に代入すると
c/4+a+b=0
a+b+c=0から
-3/4c=0
c=0となり不適

>>302
a+b+c=0のとき
最初の式×b-二番目の式×aから
2(a^2+ab+b^2)x+(a^2+ab+b^2)=0
{(a+b/2)^2+3b^2/4}(2x+1)=0
a^2+ab+b^2＞0からx=-1/2
x=-1/2を元の3式に代入したらa=b=c=0となって矛盾

>>301 >>308 >>309
どうもありがとうございました。助かりました。

質問です、どなたかお願いします
3Cまで履修済みの宅浪です

質問
xy平面について考えているとき
直線の方程式を求めよ　や　円の方程式を求めよ
という問いに対して、
媒介変数を用いたベクトル方程式で解答してもよいのでしょうか
具体的には、簡単なものでいうと
x+y-1=0　を　(x,y)=(1,0)+t(1,-1) (t∈R)
x^2+y^2=4　を　(x,y)=2(cosθ,sinθ) (0≦θ＜2π)
と表記など

ベクトルで解いた後直すのが面倒なときに感じた疑問です
実際に模試などでこの表記を用いたら減点された、などの
報告もあれば幸いです

面倒って最後一行加えるだけじゃん

質問です。

∞
Σ (1/3)*(2/5)*・・・*(n/2n+1)
n=1

の値を求めてください。

>>312
この程度の式ならいいんですが、
数本複雑な式が得られたときにタイムロスな上無駄な計算ミスをしそうなので

現役生ならいざ知らず、浪人なら出題意図を理解して
採点者が求める解答を作成するくらいの知恵はつけておけよ

まあ、出題文中でベクトル方程式による解答を排除するような示唆があれば
標準形で記述するべきだろうが、そこまで解答を限定した設問を見たことはない

∫[0→1/2] (sinπx)^n dx＝∫[1/2→1] (sinπx)^n dx
この証明なんですが…
先生に「x=1-tで置換すれば簡単にできるでしょ」といわれたのですがわかりません…
∫[0→1/2] (sinπx)^n dx＝∫[1/2→1] (sinπt)^n dxとした後はどうすればいいのでしょうか？

>>316
そこまでできたらほぼ正解ですよね。
（ちなみに、最後の行の式の右辺で、dxはdtのタイプミスだと思うのですが）


∫[1/2→1] (sinπt)^n dt ＝∫[1/2→1] (sinπx)^n dx
になるのだから。
これって結局、積分変数として「ただの文字」tを採用することと、
「ただの文字」xを採用することは同じだからです。
この場合のtとxはx=1-tと置換したときの式とは関係ない、
ただの文字だと思えばよいのではないでしょうか

質問です。

疑問に思ったのですがdz/(dxdy)とdz/d(xy)とは同じですか？？

>>306
遅くなりましたがありがとうございました

ちょっと遅すぎる返答だが、
単位が「度」では(sinx)'=cosxにならない
よって数�Vでは「度」は使わない。

>>315
なるほど、おっしゃる通り。ありがとうございます。

>>313
ベータ関数の極限値？
大学範囲のにおいがしてくる

間違えた、無限級数だ
極限値は普通に0か

−１／ｔａｎ２０゜＝−ｓｉｎ２０゜／ＣＯＳ２０゜になるのがわかりません
教えてください

>>320
>>よって数�Vでは「度」は使わない。

手持ちのチャート式や大数で調べてみたけど

lim [x→0] sin(x) / x° = ?
lim [x→0] sin(x°) / x = ?
lim [x→0] tan(x°) / x = ?
lim [x→0] x°sin(1/x) = ?

など普通にありますが何か？
でも、おそらく「度数法→弧度法に変換できるか？」
ということを問う問題だと思うけどね

>>323
-1 / tan(20°) = -2.74…
-sin(20°) / cos(20°) = -0.36…
よって
-1 / tan(20°) ≠ -sin(20°) / cos(20°)

エスパーすると
-1 / tan(20°) = -1 / (sin(20°) / cos(20°))
= -cos(20°) / sin(20°)

-cos(20°) / sin(20°) = -2.74…

>>318
違う
つかdz/(dxdy)なんて式おかしいだろ

>>317
あ、すいません
最後のは確かにタイプミスです

解答ありがとうございます

大変申し訳ないのですが、自分の勘違いで解けた気になっていただけで実際解けていませんでした……
厚かましいかもしれませんがどなたか

∫[0→1/2] (sinπx)^n dx＝∫[1/2→1] (sinπx)^n dx
(nは自然数、x＞0)

の証明をお願いします

>>327
t=π(x-1/2)とおくと、中身が遇関数

質問です(;_:)

次の区間における最大値・最小値を求める問題なのですが、
微分したとこで、y'=0　となるxがいまいち分かりません。


(1) y=　e^2x ＋　e^-x 【-1≦x≦2】

(2) y=　√(x＋1) ＋　√(2-x) 【-1≦x≦2】


どなたか宜しくお願いします。

>>329
１、通分　　
２、分子の有理化

マルチ

二項定理で使うnＣrってnとr(n≧r)どんな組合せでも自然数になりますか？(分数は絶対にないですか？)

>332 数Ａの教科書の二項定理のところ見返してみ。有名な三角形の図があるだろ。

自然数足す自然数は自然数

2009年度一橋大学数学
http://p.pita.st/?m=kbd9bhil
http://p.pita.st/?m=estuwry8
http://p.pita.st/?m=cgd6kqix
http://p.pita.st/?m=ub8exil1
http://p.pita.st/?m=kfzlvx3m
http://p.pita.st/?m=9wtz0kt0

2009年度京都大学文系数学
http://p.pita.st/?m=gph9tdvj
http://p.pita.st/?m=rropqvwg
http://p.pita.st/?m=xbvqxbgv
http://p.pita.st/?m=fwqlsxvz

数学Ｂの数列の問題です
http://imepita.jp/20090606/435330

１番は一般式を答える問題です
２番は答えは書いてないですが導き出せました
３番の解き方がわかりません

ちなみにΣを使わずに解答するのですが、その場合にはどうすればいいのでしょうか
よろしくお願いします

>>335
これだけだとわからんが、（１）が正しいのなら３は、
Σ[k=1,n](a_k)^2
=Σ(32*(1/2)^(n-1))2
=Σ(32^2)*(1/4)^(n-1)
つまりしょこう32^2こうひ1/4の等比数列の１からｎこうまでの和

なんかkがnになったり^忘れたりしてるが脳内で

>>335
等比の和

a≦1≦a+2が
-1≦a≦1になるのは何でですか？
全部の辺を-a-1して-1≦-a≦1にはなるのですが

a≦1≦a+2
a≦1かつ1≦a+2
a≦1かつ-1≦a
-1≦a≦1

>>332
証明もできるよ

(n-1Ｃr)+(n-1Ｃr-1)
＝(n-1)!/r!(n-1-r)!+(n-1)!/(r-1)!(n-r)!
＝(n-1)!{r+(n-r)}/r!(n-r)!
＝n!/r!(n-r)!
＝nＣr…(*)
(*)を繰り返し用いることにより
nＣr
＝a(rＣr)+b(r-1Ｃr-1)+c(r-2Ｃr-2)+…+A(sＣ1)+B(tＣ1)+C(uＣ1)+…+k(1Ｃ1)
＝ar+b(r-1)+c(r-2)+…As+Bt+Cu+…+k
(a,b,c,…,A,B,C,…,s,t,u,…,k∈Ｎ)
また、r-1,r-2,…∈Ｎは明らか。
よって、nＣr∈Ｎ■

>>341
訂正

(n-1Ｃr)+(n-1Ｃr-1)
＝(n-1)!/r!(n-1-r)!+(n-1)!/(r-1)!(n-r)!
＝(n-1)!{r+(n-r)}/r!(n-r)!
＝n!/r!(n-r)!
＝nＣr…(*)
(*)を繰り返し用いることにより
nＣr
＝a(rＣr)+b(r-1Ｃr-1)+c(r-2Ｃr-2)+…+A(sＣ0)+B(tＣ0)+C(uＣ0)+…
＝a+b+c+…+A+B+C+…
(a,b,c,…,A,B,C,…∈Ｎ)
よって、nＣr∈Ｎ■

等脚台形とはどのような台形のことですか？

>>343
言葉の通りだよ。

>>344
脚とはどの部分を言うんですか？

バームクーヘン分割って証明なしで使っていいの？やはり置換積分で解くべき？

置換は減点される余地はない(ハズ)

バウムクーヘンは、教科書に載ってないから、「公式みたく解いてるけど、本当にそうなるかわかんないじゃん。なんでこんなこと言えるの」
ってつっこまれたら確実に減点、もしくは、成り立つという前提がおかしいから零点かも
あくまで可能性ね

どちらを選ぶかは最終的に自分

答案には置換積分を使う方針の式を書いて、
計算はバームクーヘンを余白でやって答えだけ書くってのはダメなのかな？

つまり答案には∫f(x)dx=○とだけ書いて、途中の[　]の部分を省略する

そこまでして使いたいなら使えば？
誰も止めないよ。




ちなみに以前は旺文社の教科書にはバームクーヘン載ってたが
最近はないの？

球の表面積を半径で積分したら、体積になるけど、これはたまねぎ分割とでも名づければいいかな？

>>349
いや、別に最初から使うつもりはなく、使うにしろ使わないにしろ、
「（積分の式）＝値」ってだけ書くのは答案としてはどうなんだって
ふと疑問に思っただけなんだが。

>>351
出題者の意図とか空気を読むしかないな

本来100分の1の確率のものが、3万回の試行で150分の1になる確率を誰か教えて下さい

独立な試行を何回繰り返そうが100分の1は100分の1だ

結果的に150分の1になる割合です

30000回で200回起こる確率ならほとんど0です
30000C200(1/100)^200(99/100)^29800=1.47・10^(-10)

>>348
計算過程も書くべきでしょう
むしろ答えだけだと0点とされるかもしれません

>>345
上底下底以外の２辺です
しかし脚は一般名ではなく
この類の台形の形状を
等脚と表現しているに過ぎません

>>351
俺は置換積分や部分積分を使うときはもちろん、積分は
∫f(x)dx
＝［F(x)］
＝(答)
って書くよ
積分に限らず、赤本とかの解答を見て、スタンダードな答案になるよう心掛けてる

途中の計算を省略したがる奴に限って計算ミスがある法則
…まあ、計算が不得意だから省略したがるんだろうけどな

脳ミソが足りない分は手を動かして補うしかないのに

ちょっとだけ異論あり。
数学の計算革命とかにもあるが、明らかに無駄な計算する人って結構いる。
因数分解すると全部整数係数になるような簡単な高次方程式を、わざわざ組立除法したり、
整式の定積分の、いわゆる大括弧のところで、わざわざ上端・下端を別個に代入した式を一行挟んだり、
展開する前に打ち消し合うところを考えずに全部書き連ねたり、etc･･･

プログラミングの格言に、一行のコードには一つのバグがあると思えってのがあるが、
計算もたくさん書けば書くほど(上級者でさえ)ミスの発生率は上がる。

これを防ぐには、ぐだぐだ式を書き連ねる前に、まず式全体を俯瞰してみるのが大切なんだよね。
うまくまとめられるところや打ち消し合うところを見逃すとあっという間に大変になる計算って
結構あるから。

しかし、これは決して計算をサボれという意味合いではないのよね。むしろ計算を一杯すると、こ
ういう視野は養われる。苦労して練習する中で、その苦労を軽減するための手法も並行して考える
という作業が必要なのよ。

そのムダな一行をどこまでムダとするか、の話だろ

普段の練習ではちょっと丁寧すぎるかな？と思うくらいに丁寧に書く。
でも模試とかでは少し省略してみる。
それで減点くらったら次回に修正してみる。
くらいの余裕があると望ましい。

豆知識
代ゼミは河合塾ほどバイトの指導がしっかりしていないので、模試で途中計算を誤魔化しても答えさえ合っていれば満点もらえる。
ソースは俺。証明問題で示したいことを書いて、図を綺麗に書いて、わかんないから途中適当に誤魔化したけど、大きく三重丸と25点くれた。

{(sinｘ)^3}'=３cosｘ(sinｘ)^2
で、あってますかね？

あってる

どなたかこの問題お願いします。全くわからないです。E＝｛A,B,C,D｝L＝｛AVB,AVC,AVD,BVD｝ただしCはBVD上にあるとする。三角形ABCの支持面は平面Eとなることをしめせ、ただしP＝｛E｝とする

cosχ(2sinχ＋√3)＝0

この式の両辺にcosχの逆数を掛けて
2sinχ＋√3＝0
として計算してはダメなのは何故ですか？
お願いします

>>361
君は賢いから｢明らかに無駄な計算｣が見えるんだろうが
｢明らかに無駄｣と思い込んで、必要な過程を飛ばす生徒もいるんだぜ？

教える立場からすれば、無駄な計算してる子供に｢ここは省略可｣とか
｢効率のいい計算法は｣とか指導する方が、その後の伸びが期待できる

｢自分は数学得意｣なんて思い込んで、中途半端に得点力のある奴の方が
｢自明だから省略しました｣、と重要な検討を抜かしたりしてタチが悪い

>>368
cosX=0を無視しているから

>>368
そりゃおまいさん
x(x+3)=0を計算するときに
xの逆数かけてx+3=0と計算しないだろうに

同値変形をしないと矛盾が生じるよ

>>371
＞同値変形をしないと矛盾が生じるよ
なぜ？　

cosX=0 ならば cosXの逆数は存在しないから

xy=0 ⇔ x=0またはy=0

この問題の解き方を教えてください。
「曲線上の点（x,y)における接線においてy切片が2xy^2である。
この曲線はどのような曲線か。」

微分方程式やね。
京大志望？でなきゃ質問は数学板へ

∫(x+1)/(x^3-1)dx

いろいろ試してみたんですがこの問題が解けません
誰か解き方を教えて下さい

>>376
部分分数分解

>>377
それもしましたが上手くいきませんでした

どう分解すれば良いですか？

(x+1)/(x^3-1)=(2/3)・1/(x-1)-(1/3)・(2x+1)/(x^2+x+1)
∫(x+1)/(x^3-1)dx=(2/3)log|x-1|-(1/3)log|x^2+x+1|+C=(1/3)log((x-1)^2/(x^2+x+1))+C

>>379
なるほど
ありがとうございました

高校数学範囲では1/(x-a)^nと(2x+b)/(x^2+bx+c)^nしか出てきません

非回転体の体積の出し方について
Ｖ=∫[0,r]S(t)dt=2a∫[0,r]√(r^2-t^2)dt-2∫[0,r]t√(r^2-t^2)dt
=2a･1/4πr^2-[-1/3(r^2-t^2)^(3/2)][0,r]
というように書き出されているのですが第１項は4分円の面積ということが解かるのですが
第２項目でなぜこうなるのかがよくわかりません。どなたかご教授お願いします。

>>382
問題も書かずに質問とな。

>>383
単純に積分計算の部分の質問なので本質的な部分は変わんないかなと思ったんで。
一応問題文は
xyz空間内の3点A(a,0,0)、B(0,a,0)、C0,0,a)を通る平面をαとする。
x≧0、Z≧0、x^2+y^2=r^2(0<r<a/√2)を満たし、平面αに関して原点を含む側にある立体をMとする。
(1)平面αと平面x=t (0≦t≦r)の共通部分(交線)がxy平面およびxz底面と交わる点の座標をそれぞれ求めよ。
(2)Mの平面x=t(0≦t≦r)による切り口の面積S(t)とMの体積Vを求めよ。

質問の内容は(2)における積分の計算です。
∫[0,r]t√(r^2-t^2)dt が-[-1/3(r^2-t^2)^(3/2)][0,r]に積分されるまでの過程がよくわかりません

>>384
t√(r^2-t^2) = (r^2-t^2)^(1/2) * (r^2-t^2)' * (-1/2)

>>384
なんだそうだったのか。
4分円とか書いてたから第2項の式の意味だと勘違いしたよ。

理屈は>>385の通りというか、
積分したものが書いてあるのだから、微分してtが出てくるのを確認すればいいのでは。

xy平面において、原点Ｏを中心とする半径2√3/3の円上の点
Ｐ(2√3/3cosθ,2√3/3sinθ)から、Ｏを中心とする半径１の円への接線の接点をＱ，Ｑ’とする。
これらの点の座標は、Ｑ（cos(θ＋α),sin(θ＋α)）、Ｑ’Ｑ（cos(θ-α),sin(θ-α)）と表される。
ただし、0＜α＜π/2とする。

(1)αの値を求めよ。
(2)α＜θ＜πのとき、点Ｑ”を、x軸に関して点Ｑ’と対称な位置にある点とする。
　∠ＰＯＱ”の大きさをθで表せ。
　また、θが動くとき、線分ＰＱ”の長さの取りうる値の範囲を求めよ。

（１）から加法定理をどう使ってやればいいかわからん。
（２）は余弦定理・・・・か？

>>387　(1)だけ。ちゃんと図を描いた?
△OPQはOQ=1、OP=2/√3 (書き方変えたけど)で
∠OQP=90°の直角三角形。OPがx軸方向となす角がθなんだから、
αってのは∠POQのことだよ。

（1)から（いきなり)わからん、と読んでしまったのだが、
(1)から((2)つなぐのに）加法定理をどう使ってやればいいか…　という意味だったら
失礼した。

後半、z軸とOQ”のなす角がα-θ(<0)だから、x軸正方向に適当に点Aを取って
∠POQ"=|∠POA'| + |∠AOQ"| = 2θｰα = 2θ -（π/3）
OP=2/√3 、OQ"=1でその間の角が上記なのであとはご推察の通り余弦定理でおっけ。

>>389
どうもありがとう。助かったよ

途中式を省略したいときがしょっちゅうあるんだけど
（自分で計算はするけど、キレイに回答欄に書く時間がないから、計算用紙に、
自己流な書き方で計算＆暗算したいときとか。

でも、どーいうときだと、途中式の省略で、原点されるorされないんだろう。

同じ問題の、各予備校での模範解答みても、そのへん、ばらばらなんだよね。

あんまり飛躍しないようなら省略しても

>>381
解答が見えた場合、出題者になったつもりで「解等者に聞きたいポイントが
どこにあるか」を考える。で、そこはちゃんとアピールする。

たとえば「4^x + 4^(-x) -2^(x+1) -2^(-x+1) の最小値を求めよ」　という問題だったら、
4＾ｘ=(2＾ｘ)^2 であること、2^x+2＾(-x） は相加平均相乗平均の関係から最小値2であること、
これらを利用して2^x+2＾(-x)の2次関数として最小値を評価すること、等が出題の意図だと
読み取れると思う。だから、これらのポイントに関わる変形はちゃんと明示して(定理を利用する
ところに関しては説明もつけて)「自分は分かってますよ」とアピールする。

ある程度量がある資料を読ませるタイプの小論文では、元の文の要約を入れて、
資料がちゃんと読めてることをアピールすべきだと言われている。記述式答案は
一種の小論文なんで、自分の理解程度をアピールするにはどうしたらいいか、という
発想があると、必須要素については落とさないと思う。

まあ、これは国公立2次みたいに、「解けない問題もあって時間は多い」スタイルの試験時に
いえる方針で、記述なのにやたら忙しくて要求正答率も高いような（私大でたまにある)
スタイルでは悠長すぎる考え方だろうね。でも「聞かれどころはどこか」を意識するのは
問題演習の時期には意識しておいて損は無いんじゃないかと。

>>392
>>393
さん、さんくすです。　なーるほどね。がってんです。

すごく参考になりました。

ちなみに、ヘロンの公式みたいな、本来高校でやんないものを持ち出して、
計算を略すってんはさすがにだめですかね？

でも、ヘロンの公式が、問題の本質でない（というか、本質のわけがない）・・ってことで、
略しちゃっていいもんでしょうか？

高校で習わないことは使わないほうが無難
減点されてもおかしくない

あと、積分とかの式変形や計算の方針としての変形、たとえばかなり端折るけど
∫(a.b)…=［Ｆ(x)］
みたいな変形は書いたほうがいいだろうけど
［Ｆ(x)］にaやbを代入している途中計算までは書く必要はないと思う

てかヘロンの公式って正式には習わないの？
四角形の面積求めるのに使うヘロンもどきバージョンは習わないかもしれないが、
三角形バージョンは使ってもいいような希ガス。

習わない
+αが載ってる教科書には書いてるだろうけど
まぁ使いたいなら使えばいいよ
別に俺が止めることでもないし

使って減点されることがあるかという話をしてるときに、
＞まぁ使いたいなら使えばいいよ
っていうひとはよくいるね

>>398

ミスった
>>398
たった数レスも読めない奴いるよね

>>395 = >>397
減点されると言っているんだから、それでも使いたいなら使えと言ってるんだろう

教科書に載ってないよって話をしてるときに、
>使ってもいいような希ガス。
っていうひとはよくいるね

青チャートAの総合演習第三問の上智の順列問題の(キ)がイミフ
b_1＝1、b_2≠3なんて制約どっから出てくんだよ

東大のばあい、基準として「ちゃんと使ってあれば何使ったってかまわない」という
話は非公式ではあるが何度か出てるね。

大学受験の場合、中高の受験と異なり、受験者の経歴が一意に括れない
(海外で教育受けてきた人や、旧課程の人がいるかもしれない)から、現状の
指導要領を絶対的な基準にするのはナンセンスだと思われる。教科書だって
発展として拡張的な内容を載せてることがあるわけで、「これは指導要領外だから
禁じ手、こっちはOK」なんてのを受験生に判断すべきだと要求するのは、
基準としてどう考えても変。

ということで、ちゃんと理解した上でなら堂々と使え、と言いたい。とくに難関と
称されるところを受けるならなおさら。

ただ、出題意図が、その(使おうとする)定理を証明するところにない場合に
限るのは当然の話。あと、大学固有の事情がある場合は話が別。東北大の
特殊レギュレーションは(少なくともちょっと前まで)よく聞くところだったんで、
こういうところにはそれなりの配慮が必要。

>>402は自己解決しますた
言い訳させてもらうが、これはチャートの中でも最大級の悪問だろ

何が非公式だ適当なこと言うな
大学入試懇談会で話されたことだろ

省略厨がほざいてんじゃねえ

>>405
出典をしっかり把握してなかったので、指摘してもらったのはありがたい。が、
「日本数学教育学会」主催の「懇談会」で話されたことは、大学法人の入試の
採点基準に関しての「公式な」基準とはみなせないと思うよ。

その意味ではあくまで、非公式なメッセージと解すべきなんじゃないか。

どこで質問すればよいかわからなかったので、
ここで質問させてください。微分方程式の問題です。

１．ある種のバクテリアの増加率は各時刻でのバクテリアの
個数xの平方根に比例するという。このバクテリアは3時間で
2倍になるとすれば、9時間後には最初の何倍になるか。

２．高温の物体が空気中にあるとき、この物体の温度が
下がる割合は物体の温度Tと空気の温度の差に比例する。
20℃に保たれた空気中に温度T0の物体を置く。ｔ秒後の
物体の温度Tを求めよ。

３．曲線状の任意の点Pにおける法線へ原点から下ろした
垂線の長さが点Pのy座標に等しい曲線を求めよ

この3つの問題解ける方がいたら解き方教えていただけませんか？
15日がテストなんです。
どうかお願いします。

>>404
問題書いて

>>404
問題書いて

>ちゃんと使ってあれば


たいがいココに問題があるから、止めることを勧める


いつも結論はコレ。
いい加減この話題はやめれ

>>400
>>397に「載ってる教科書もある」とあるが？ｗ　　

>>412
だから何？
一部の教科書には発展として紹介されてるから、問題なく使っていいと言いたいの？

>>413
教科書にないことを使えば減点されるからヘロンを使うと減点される、
という主張との相互関係が意味不明だと言いたい。

>>414
イミフ

>>397は

ヘロンの公式は習わないのか？

という問いにたいして

習わない、しかし一部の教科書には発展として書いてある

と答えたにすぎない

別の質問を答えるのに相互関係なんかいるのか？

>>415
その改行の意味は？ｗ　

教科書で自習は習うことにならんのか？　

自分で考えろ

＞教科書で自習は習うことにならんのか？

内容を理解するという意味でなら習うが、公式・定理を証明なしで使うためでの「習う」にはならない
お前の質問の流れからするとおそらく後者

>>417
エスパーじゃないんでｗ

「これは試験では使えません」という但し書きがあるのならともかく、
教科書にあることを使って減点されることがあるのか。勉強になるね｡

ソースはあるの？　　

>>418
脳内で完結してるんだろ。察してやれよ

>>418
なんか自分の都合のいいように内容を変えていってるね
最初にいってるのは、一部の教科書の発展に載ってるもの、つまり高校範囲外の定理や公式のこと
なのにそこを外して、「教科書にある」だけを言ってるよね
高校範囲外のことを証明なしに使ったら一部の教科書に発展として載っていようがいまいが、減点される可能性があることもわからないの？
てか、高校範囲外の内容が教科書に発展で載っていて、その内容を理解した上でこの公式を使っていますってどうやって採点者に知らせるの？

一対一数�Up10の問題なんですけど、
数式f(x)をx^2+3で割るとx+3あまり、x^2+x+2で割ると、3x+5余るという。このようなf(x)のうち、次数の最も低いものを求めよ。

答えには
f(x)に２つの条件を反映させるために、f(x)を(x^3+3)(x^2+x+2)で割ったときの余りを求める。f(x)をx^2+3で割るとx+3余るから、
f(x)=(x^2+3)(x^2+x+2)Q(x)+(ax+b)(x^2+3)+x+3・・・�@と表せる。
・・・といった感じ続き、�@の(ax+b)(x^2+3)+x+3の部分を実際にx^2+x+2で割ってそれが3x+5に等しいことからa,bを定め、
f(x)=(x^2+3)(x^2+x+2)Q(x)+x^3+4x+3と出し、
Q(x)≠0のとき、f(x)は四次以上であるから、このようなf(x)のうち最も次数が低いものは、Q(x)=0のときのf(x)=x^3+4x+3である。
と答えを求めているのですが、

この�@ってf(x)を４次式で割ったときを考えているんですよね？
でもf(x)が３次式だった場合そんな計算できなくないですか？
答えも実際３次式になっていますし。

>>421
3次式÷4次式だから商が0で余りが元の3次式そのものってだけ。

>>420
ソースはおまえの推理かｗ

載っている公式を使うと減点される恐ろしい教科書があるんだねｗ　

そもそも、3項間の漸化式を解かせたりだとか、ド・モアブルの定理を証明させたりさせる入試問題が実際に出題されてるのに、教科書の発展事項は使ったら駄目なのか。
中堅大学のみならず難関大学でも、たとえば京大は文系に積分で体積計算させたり、微分方程式も出すと思ったが。
ロピタルの定理みたいな、多くの教科書には載っていなくて、高校範囲の数学で証明できない定理ならまだしも、ヘロンの公式程度で何くだらん議論してんだか。

>>423
ソースは一応教師ね
範囲外の公式は減点される可能性があるとかにソースとか要るのかw受験する奴は確実に教師に言われるか参考書か何かで読むと思うが
高校範囲内で習う公式としてじゃなくて、発展として高校範囲外の内容として、一部の教科書の、コラムみたいに載ってるわけ
日本語わかる？
本当に自分の都合がいいようにとるね
あと、どうやって範囲外の内容が教科書載ってましたって採点者に伝えるの？

もし、高校か塾に行けるなら、先生に「教科書に発展として書いてある高校範囲外の公式は、証明なしに入試で使うとどうなるか」って聞けばいいよ

そうだな、スマンかった
>>423
好きなだけ使うといい

>>425
＞参考書か何かで読むと思うが
教科書に載ってる公式の注意書きが参考書に書いてあるのかｗ
しかも、断りがあるなら話は別と>>418でいっているが？ｗ

＞どうやって範囲外の内容が教科書載ってましたって採点者に伝えるの？
伝える方法はない。だから>>423なんだがｗ　 　

>>427
＞教科書に載ってる公式の注意書きが参考書に書いてあるのかｗ
範囲外の公式についての取り扱いについてはかいたけど、そんなこといってませんが？
しかも、教師から言われる方は無視ですか？


＞伝える方法はない。だから>>423なんだがｗ
イミフ


別にいいって、範囲外の使っても
どうぞどうぞ好きなだけ使ってください

もう他所でやれ見苦しい。

>>422
なるほど
ありがとうございます

>>407
公式とは何だ？

>>425
教師の立場だと、「高校でやること以外使っちゃダメ」と言っちゃったほうが楽なんだよ。
大学側の具体的な基準が明らかでない限り、「可能性がある」って言ってそれを否定
する材料は出てこないわけだし。

ただ、逆に「実際に減点が行われた(る)という確たる証拠はあるんですか、大学名を
挙げて答えてください」と聞いてみればどうかな。一つも具体例が挙げられないことも
ありうるだろうと思う。仮に答えられた場合でも、大学が極めて限定されている場合、
「該当する大学だけのレアケース」と判断すればいいこと。

>>432
教科書発展内容の公式は使っても良いと思うが、お前のそういう考えは危険だと思う。

関係ないけど、こういう議論見てるとわかる。
何故、難関大は整数問題を出すのかということが。
つまるところ、整数問題は条件を使って色々試行錯誤して解の組とかを出すという、
極めてシンプルな作業がものをいうから。
高度な公式にはあまり触れない。
合同式使うときはその定義さえ一行くらい書いておけばOKだしな。
実際、高度な定理をいきなり使うような解答の採点って大変なんだろうね。

>>434
試験で試しているのは公式知ってるかってことじゃないだろうからなあ。
知ってるってのも能力かも知れんけど、重きを置いていないだろう。

つまり東京出版信者は勝手に自滅してろってことだよ

当方、東京都在住の受験生です。マセマの『元気が出る数学1･A』でどうしても理解出来ないところがあったので質問させて頂きます(T_T)宜しくお願いしますm(._.)m
────────────
■頻出問題にトライ・17■
図のような正方形から成る格子状の道がある。ＡはＰからＱへ、ＢはＱからＰへ共に最短距離を等しい速さで進む。各分岐点での進む方向を等確率で選ぶとき、ＡとＢの出会う確率を求めよ。
(図)
　┌┬┬┬┬┐Q
　├┼┼┼┼┤
　├┼┼┼┼┤
P└┴┴┴┴┘
(1)出会う点をR,S,T,Uの四つに分ける
・RはPから右4
・SはPから上1右3
・TはPから上2右2
・UはPから上3右1
(2)AがR,S,T,Uを通る確率をそれぞれPr,Ps,Pt,Puとおく。BがR,S,T,Uを通る確率をそれぞれQr,Qs,Qt,Quとおく。
(3)AとBが出会う確率は、(Pr*Qr)+(Ps*Qs)+(Pt*Qt)+(Pu*Qu)である。
(4)それぞれの確率は…
・Pr=(1/2)^4=1/16
・Ps=4Ｃ3*(1/2)^4=1/4
・Pt=4Ｃ2*(1/2)^4=3/8
・Qu=(1/2)^4=1/16
・Qt=4Ｃ3*(1/2)^4=1/4
・Qs=4Ｃ2*(1/2)^4=3/8

ここまでは解ります。ただ、何でPuが『4Ｃ1*(1/2)^4』では駄目で『1-(Pr+Ps+Pt)=5/16』になるのか？何でQrが『4Ｃ1*(1/2)^4』では駄目で『1-(Qu+Qt+Qs)=5/16』になるのか？が理解出来ません。
PからUまでは実際に4区間中で上3右1、QからRまでは実際に4区間中で下3右1なのに、どうして『4Ｃ1*(1/2)^4』と出来ないのでしょうか？
宜しくお願いします(+_+)
────────────

>>437
Aが角に来たとき、次に右に動く確率が1/2でなく1だから。

>>438さん
ありがとうございます！
つまりPからUまでを余事象を使わずに考えると…
(1)『右、上、上、上』の場合…(1/2)^4=1/16
(2)『上、右、上、上』の場合…(1/2)^4=1/16
(3)『上、上、右、上』の場合…(1/2)^4=1/1
(4)『上、上、上、右』の場合…(1/2)^3=1/8

ゆえに、(1)+(2)+(3)+(4)=5/16…(答)

ということだったのですね！本当にありがとうございますm(._.)m

かつて名古屋大の入試は公式集が載っていた。適切な公式を用い計算できるかが試されていたようだ。
採点基準は千葉大名誉教授の佐藤恒雄氏によれば「公式によると」とか「これを計算すると」と断ってあればよいとあるが…。
大数系は簡潔過ぎてどうかと思うものもあるが技巧的なものも道筋と解答がきちんとしていればいいような…。
かつてベネッセ系記述模試はグラフの形が自明でも増減表がないと減点され数学のツワモノが思わぬ低得点になった。

その程度の余裕も生み出せないのがツワモノとは、自称他称いずれにせよ笑うというほか無い。

>>441
同意
自分でも「どこまで書けばいいのか」の線引きは曖昧だけどね

　○○○○
.　 ○○○
　　 ○○
..　　 ○

何個コップ動かせば、向きを反対にできるか？

nまでの[k=1]Σlog(k+1/k)^2 の計算がわかりません
途中式のΣ2[log(k+1)ｰlog k]まではわかるのですが､ここから解の2log(n+1)がなぜなるのかがわからないです｡
どなたか解説お願いします

最難関大の文系(東大と慶應)を志望している高2です。

文系なので数学Cと�Vは必要ないのですが、Cと�Vを勉強した方が�TAと�UBの問題を解きやすくなるものでしょうか。

1.�VCもやった方がお得

2.�VCの一部に知っておくと得する公式があるのでそこだけはやった方がよい

3.全く意味ないわけではないが、�TA�UBの難問をたくさん解いた方がよい

4.�VCは�TA�UBとは別モノなので、受験だけを考えるならやっても意味がない

以上4つのいずれかでお答え頂ければ幸いです。

>>444
高校数学の数列の和っつうのは群数列以外はぱっと思いつく限り全て

一般項を（an＋1）−anの形に分解するって発想でいける訳だ
中抜きっていうか

例えば
2^n＝2^n＋1　−　2^n とかな

>>445
３だろ

３Ｃなんてすぐ終わるからやった方が良い
もし経済とかなら、統計とかで�VＣ使うんじゃね
やって損は無い

>>447
ありがとうございます。
志望は経済で、特に慶應の授業は文系なのに数学色(特に微分積分)がかなり濃く、入学後に涙目になる国民が多いと聞きます。
今のうちにかじってみようと思います

特に慶應の授業はっつうか・・
東大生は普通にこなしちゃうだけだろ

東大入れちゃったら余計困るでしょ

三角関数の和→積とかの変換公式って暗記するもの？毎回作るもの？

３Ｃやる時間あれば他教科をしっかりやった方がいい
いい心掛けだと思うけど入学後の勉強は入学後にやればいい

>>450
暗記してるのか作ってるのか分からんくらい早く思い浮かべれるようにするもの
ただし暗記はしない

多重投稿になってしまうんだけど聞きたいなあ

>>450
何回か作ってれば、普通の脳ミソを持ってる限りイヤでも覚える
最初から暗記に走る奴は伸びない

>>453
試しにマルチしてみな
礼儀知らずのバカを叩くのが大好きな奴は俺も含めてたくさんいるぞ
罪悪感を感じることなくストレス解消できる材料をもらえるのは大歓迎だ

受験板にはお前みたいな性格の奴多いのかな
病みすぎだろ

お願いします
[6]√(a^5)/(√(a)[3]√(a^2))と
[6]√(a[4]√(a[3]√(a)))
[p]aという形で答えを教えてください

漸化式で階差型はa（n+1）=an+nの式
とのことですが、nの式とは4nとかn^2とか4^nとか（2n^3+5n+2）とか1/（n^2+8n）などなど、、、解けるかどうかは分かりませんが、先ほどあげたようなもの全てを指すと考えてよいのでしょうか？

>>457
YES

>>458
どうもですm(_ _)m

>>450
コツがある
暗算でできるようにはなれる

センターの過去問なのですが
正四面体OABCにおいてOAを4:3に内分する点をP、OBを5:3に内分する点をQとする。
OA=a、OB=b、OC=c
で1問目がPQ=-4/7a+3/8b+5/8cとでて

2問目はPQの中点Rとし、ARが△OBCと交わる点SとするときのAR:RSを求める問題で5:2になります。

次の問題が分からなくてcos∠AOQを求めろ。
という問題です。
よろしくお願いします。

あと、どこが分からないとかはなく、解説がないので手間取ってる状態です。

何処をどうすれば求まるかだけでいいので教えて下さい。

>>456
[n]√aはaのn乗根ですね？
[n]√a=a^(1/n)
[6]√(a^5)/(√(a)[3]√(a^2))=(a^5)^(1/6)/(a^(1/2)(a^2)^(1/3))=a^(5/6)/(a^(1/2)a^(2/3))=a^(5/6-1/2-2/3)=a^(-1/3)=1/[3]√a
[6]√(a[4]√(a[3]√(a)))=(a(a(a^(1/3)))^(1/4))^(1/6)=(a(a^(1+1/3))^(1/4))^(1/6)=(a(a^(4/3・1/4)))^(1/6)=(a(a^(1/3)))^(1/6)=(a^(1+1/3))^(1/6)=(a^(4/3))^(1/6)=a^(4/3・1/6)=a^(2/9)=[9]√a^2

>>461
問題文からはP,Qは△OABの平面上にあることになりPQはそうなりませんから
PかQの定義が間違っているはずです

BCを5:3に内分する点がQでした。
答えてくださったのに…すみません。

OA　OQの内積と

２つの長さ出せばおｋ

>>450
こういうのはどうでしょうか
(和c, 差c; 和s, 差s)=2R(和)(c差, 0; 0, s差)
ここでR(θ)は角θの回転を表す行列です

>>466
なんで気付かなかったんだろう…
二次レベルの問題にとりかかってきた矢先に間違ってしまったのでショックでした。
もっと精進します。
ありがとうございました。

何で全部一気に作る必要があるんだよ
回転を覚えたてなのか

αβは交互で
cosの加法定理なら
cc−ss
cc＋ss
（たす、ひく）
↓
たすなら
cosA＋cosB＝2cos（考える）cos（考える）

こんな感じを頭でイメージすればすぐ作れるだろ

>>468
面倒だから途中見てないが、誘導とかではない？

>>465
直線の内分比は1次変換で変わりませんので
A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)で考えますと
P(4/7,0,0), Q(0,3/8,5/8), R(2/7,3/16,5/16)
PQ=(-4/7,3/8,5/8)=(-4/7)a+(3/8)b+(5/8)c
ASをx軸に正射影するとRは(2/7,0,0), Sは原点になりますのでAR:RS=5/7:2/7=5:2

|a|=|b|=|c|=1, ab=bc=ca=cosπ/6=1/2より
aq=a((3/8)b+(5/8)c)=(3/8)ab+(5/8)ac=1/2
q^2=((3/8)b+(5/8)c)^2=(3/8)^2b^2+2(3/8)(5/8)bc+(5/8)^2c^2=49/64=(7/8)^2
cosθ=aq/(|a||q|)=(1/2)/(7/8)=4/7

>>450
咲いたコスモスのように
昔ながらの記憶法がある

また東＠とやらのアニメ・ゲームオタクがキモイＡＡ張りながら
完全オナニーの暗記法などもある

好きなの選べ

>>471
小賢しいことやろうとして、かえって余計に時間かけちゃうタイプの奴だな
自己満足なら１人で完結しとけ

OA・OQ＝1/2(（3+5）/8)＝1/2
｜OQ｜＝1/8√（9＋25＋15）＝7/8
cosAOQ＝OA・OQ／｜OA｜｜OQ｜＝4/7

普通にやった方が、変な事考えないで良いしよっぽど速い

>>470
本来ならば誘導でしょうが、違います。

>>473
どこが普通ではないでしょうか？

>>475
行列の初歩をかじったから使いたくて仕方ないんだろ
いちいち前提条件まで頭に置いといて使うほどメリットがあるか？
センター程度なら普通にやった方が速い

２次では、行列式や座標設定の恩恵が受けれることもあるが
センターで躓いてる奴に一次変換だの範囲外なこと言っても無意味だろうし（旧課程では範囲内だけど）
お前が自己満足したいだけだろ。数学板行ってやってこいよｗ

>>476
その部分はおまけです

無理にかじった所をつかおうとしてる奴は痛くて見てられない
回転（行列）、一次変換ｗｗｗ
教えられる側としてはメリット無いだろ。センター聞いてるのに

オナニーは１人でやってろ

公開オナニー
俺は嫌いじゃないよ

>>478
見るのはあなたの自由です
ベクトルの内分外分に座標を使うメリットは
答えがすぐに分かるところでしょう
1次方程式を導き出すまで手間取るより
見通しよくなることが多いと思います
センターだからこそのメリットでは？

>>480
だから、>>473みたいに普通に解くより鬱陶しい事増えるじゃん
センターなんか普通にやった方が速いのに
わざわざ課程外の事持ち出す程の意味があるのか
お前はそうしないと問題が解けない程、課程内の事はできないの？

知識のお披露目をしたいだけだろ？
大したことは無い雑魚だろうに

>>481
普通に解いてますよ

恥ずかしい自己顕示欲丸出しで、特にメリットの無い解き方だと思うがね
「普通」だと言うなら、お前の解き方でやってる予備校の解答などを紹介してくれないか？

一次変換とか回転って平気で言ってる奴って何なの？

ピクニックにスーツ来て行くような、ズレを感じるんだけどｗｗ

スーツ来たいんなら数学板池カス
凹凹にされるから逃げてきたのかｗｗｗｗｗ

>>483
おまけの部分のメリットは書いたとおりです
質問者はその部分は解けていますから
それ以外の解き方を書いたまでです
あなたと同じ方法で、>>473みたいに普通に解いていますよ

東大志望なのですが、過去問をやるならば、鉄緑の過去問か大数の入試の軌跡のどちらが
いいでしょうか？

よろしくお願いします

∫0→2　（x-1）・x^n・（2-x）^n　dx
を求めよという問題です。最初β関数かと思いましたが血が用でした。
定石どおりx-1=−（2-x）＋1
とおいて処理しようとしましたがうまくいきません。
（2x-x^2）^n
としてまとめてもイマイチでした。
アドバイスよろしくお願いいたします。

>>487
ふつうにベータ

x^(n+1)*(2-x)^n-x^n*(2-x)^n

>>487
t=2x-x^2
dt=2(1-x)dx
∫[0,2](x-1)(2x-x^2)^ndx=∫[0,0]t^n(-1/2)dt=0

s=x-1
(x-1)x^n(2-x)^n=s(1+s)^n(1-s)^n=s(1-s^2)^nは奇関数
∫[0,2](x-1)x^n(2-x)^ndx=∫[-1,1]s(1-s^2)^nds=0

>>487
n!n!2^(2n+2)/(2n+2)!*[(n+1)-(n+1)]=0

>>486
そんなことも自分で決められない人間が、どこを受けるって？

良い傾向じゃ

古くはロピタルやらなんやら、今時はβちゃんですか、ったく・・・

>>493
なにがいいたい？

大学範囲使える俺カコイイ（笑）　って事が言いたいんだろ

それが一番良いと思われる解き方なら良いが、無理に使ってる馬鹿が多い
んなもんは自称数学が得意な奴なら皆知ってるし自慢にもならん
できるならば、より初等の数学で、綺麗に分り易く解く方が良い

>>494
君はちょっと上のレスも四面し、理解しようともしない、というわけだね。△

>>496
いや。理解しようとしたが。
しかし、おまえのレスはイヤミったらしくて気持ち悪いね。

条件反射的にβ、β言う奴は、まともな脳付いてんのか？

普通に>>489が一番綺麗

>>498
さっさとシネや、クソゴミが

ゴミはお前だろ
まともな所に受かって出直してこい雑魚

>>500
今すぐシネや、低脳が

新スタ演の問題1.9ですが解説の
よってグラフは図2のように二山になる

って所がさっぱり分かりません。合成関数の特徴？なのでしょうか。
自分は別解で解いたのですが。

>>500
もういいから、おれが無意味に嫌味ったらしいってことでいいから。
（「何を使う」）この話題が自体が、大昔からの繰り返しなんだから、いつまでもやるのは
バカばかしいでしょ。

>>502
問題書いて

関数f(x)=lim_[n→∞]ax^(2n-1)-x^2+bx+c/x^(2n)+1について次の問いに答えよ。ただしa>0とする。
(1)xの範囲によって場合分けをしてf(x)を求めよ。
(2)f(x)がすべてのxで連続となるようなa,b,cの条件を求めよ。

[解答](1)lim_[n→∞](x^2)^n={∞ (x^2>1),1 (x^2=1),0 (0≦x^2≦1)}だからf(x)={a/x (x<-1,1<x),(a+b+c-1)/2 (x=1),(-a-b+c-1)/2 (x=-1),-x^2+bx+c (-1<x<1)}

(2)(1)よりx=-1,x=1で連続であればよい。
x=-1で連続のときlim_[x→-1+0]f(x)=lim[x→-1-0]f(x)=f(-1)なので-1+b-c=-a=(-a-b+c-1)/2
よって1+b-c=(a+b-c+1)/2…�@
x=1で連続のときlim[x→1+0]f(x)=lim[x→1-0]f(x)=f(1)なのでa=-1+b+c=(a+b+c-1)/2…�A
�@,�Aよりa=b,c=1

なんですけど解答(2)が全体的によく分かりません。lim_[x→-1+0]f(x)=lim[x→-1-0]f(x)=f(-1)はどうやって求めるんですか？グラフを書こうにも書き方がよく分かりません。

>>505
|x|<1の場合
f(x)=lim(ax^(2n-1)-x^2+bx+c)/(x^(2n)+1)=-x^2+bx+c
|x|>1の場合
f(x)=lim(ax^(-1)-x^(2-2n)+bx^(1-2n)+cx^(-2n))/(1+x^(-2n))=ax^(-1)
x=1の場合
f(1)=(a-1+b+c)/2
x=-1の場合
f(-1)=(-a-1-b+c)/2

lim[x→1+0]f(x)=a=f(1)=(a-1+b+c)/2=lim[x→1-0]f(x)=-1+b+c
a-b-c=-1
lim[x→-1-0]f(x)=-a=f(-1)=(-a-1-b+c)/2=lim[x→-1+0]f(x)=-1-b+c
-a+b-c=-1

a=b, c=1

>>502
遅くなりましたが問題書かせていただきます。

f(x)=1-|2x-1| (0≦x≦1)とおく。
0≦a[1]≦1を満たす実数a[1]を初期値として、数列｛a[n]｝をa[n]=f(a[n-1])　(n=2,3,4,・・)で定める。
(1)f(b)=bを満たすbをすべて求めよ。
(2)f(a[4])=a[4]を満たす初期値a[1]をすべて求めよ。

(1)b=0,2/3
(2)k/12 k=0,1,・・,12
ですが(2)をごり押し(地道にa[4]=0,2/3だからa[3]は・・？という風に)で解きました。
a[4]程度だったのでごり押しで何とかなりましたが、そうでないときが怖いです。
合成関数の考え方?で山がどんどん増えるということですがそれはなぜでしょうか。
解答見ると特に計算せず山４つのグラフから・・・ってなってました。


長文で申し訳ないですがよろしくお願いします。

>>506
ありがとうございました

>>507
x=f(x)=2x (x<1/2), 2(1-x) (x≧1/2)
x=0 (x<1/2), 2/3 (x≧1/2)

g(f(x))=g(2x) (x<1/2), g(2(1-x)) (x≧1/2)
g(f(x))のグラフはx<1/2においてはg(x)のグラフをx軸方向に1/2に圧縮したグラフおよびx≧1/2においてはx=1/2に関し対称にしたグラフ
よってf(f(x))は山2つ（頂点のx座標1/4, 3/4）
f(f(f(x)))は山4つ（頂点のx座標1/8, 3/8, 5/8, 7/8）

>>509
ありがとうございました!助かりました。

>>510
f(x)=aの解はx=a/2および1-a/2であることを使うと
帰納的に
a[3]=0, 1/3, 2/3, 1
a[2]=0, 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6, 1
a[1]=0, 1/12, 2/12, …, 11/12, 1
と示すこともできましょう

サイコロを4回降る場合で
最小値が1かつ最大値が6の確率を求める時に
1-4の4乗/6の4乗
をしてはいけないのがなぜかわかりません
2〜5だけがでればいいのでこの方法でもいいのではないかと思いましたが

１１１１、６６６６の可能性

を排除できてない

ありがとうございました
たしかにそうですね

1-(2以上のみがでる確率)-(5以下のみがでる確率)+(さきほどの2〜5の確率)
とするのが１番簡単な考え方でしょうか？

いいんでないの。

>>515
さっきの確率から１１１１または６６６６が出る確率を引く

６個の数字１、２、２、３、３、３を並べて６桁の整数を作るとき、全部でいくつできるか
という問題なのですが、計算は６！を２！３！で割った式であっていますか？
よろしくお願いします

うん

そういう時は原点に戻って正しいか考えろ
積の法則

>>515
あえて真っ向勝負してみた。結構大変。
(1)1116、1666…並べ方各4通り
(2)1166…並べ方C[4,2]=6通り
(3)11x6,1x66…選び方xが4通り。並べ方、xの場所が4通り、16の少ないほうの
　場所が3通り、16どっちが2回出るかで2通り、全部かけて計96通り
(4)1xx6…選び方xが4通り。並べ方1の場所が4通り、6の場所が3通り、かけて
　計48通り
(5)1xy6（x<y)…選び方xyでC[4,2]の6通り、並べ方が4!=24通り、かけて
　計144通り
合計8+6+96+48+144=302通り。すでに計算したであろう結果と一致すると思う。

ふと、懐かしさを覚えて本屋で受験参考書を立ち読みしていたのだが、
ひょっとして複素数はなくなっちゃったの?
かわりに一次変換というのが入っているみたいだけど

>>515
そういう設問だと普通、小問で誘導されること多いが

>>518
そういう場合にコンビネーションを使えることを知らない生徒もいるけどな

>>522
複素数はやるよ
指導要領から消えたのは複素平面

>>523
なるほど、しかし平面をやらないんじゃ面白みがないような
その分、回転は行列でってことなのかな
でもwiki見てみたら次の課程から復活って書いてあるね
文部省はいいかげんふらふらしないでほしいよな
あとメネラウスとかチェバとかもやるのねw中学でやったのにw

おいくつかは存じませんが
以前の課程で、中学校で普通にやっていた多くの項目が
（２次方程式の解の公式、１元1次不等式、相似形の面積比・体積比など）
今は高校へと棚上げされています

東工大の問題なんですが
αは0＜α＜1を満たす実数とする。任意の自然数nに対して、
α2^(n-1)の整数部分をa_nとし、α2^(n-1)=a_n+b_nとおくと、
nが奇数のとき 0≦b_n＜1/2
nが偶然のとき 1/2＜b_n＜1
になるという。a_nおよびαを求めよ。

で、解答が
0≦b_2k＜1/2 1/2＜b_(2k+1)＜1 (k=1,2,…)
であるから、
b_2k=b_(2k-1) b_(2k+1)=b_2k-1
となるのですが、ここの部分がわかりません。
何故こうなるのでしょうか？
宜しくお願いします。

訂正です
b_2k=2b_(2k-1) b_(2k+1)=2b_2k-1です

α2^(2k-2)＝a_（2k−1）+b_（2k−1）

α2^(2k-2)×２＝２a_（2k−1）+２b_（2k−1）
⇔α2^(2k-1)＝a_2k+b_2k

α2^(2k-1)＝a_2k+b_2k=2a_(2k-1)+2b_(2k-1)となりますけど
b_(2k+1)=2b_2k-1の-1は何故出てくるのでしょうか？
a_(2k+1)=2a_2k+1になれば辻褄が合いますが…
ここがよくわからないです。

>>529
具体的に考えてみたらどうだ？
小数部分を追いかけるとして

０、３　　　奇数のとき
↓（２倍）
０、６　　　偶数のとき
↓（２倍）
１、２−１＝０、２　奇数のとき

>>530
あ!そういうことですか!!
よくわかりました。
ありがとうございました。

今高３で旧帝大辺りを狙ってる者です。
数�TＡを完成させたいのですが
オススメの問題集はありませんか??

ちなみに先日の学研模試での数学の偏差値は60弱でした。

京大の問題です。
三角形ＡＢＣで、ＡＢ＝６、ＡＣ＝７、ＢＣ＝５とする。点Ｄを辺ＡＢ上にとり、
三角形ＡＤＥの面積が三角形ＡＢＣの面積の１/３となるようにする。辺ＤＥの
長さの最小値と、そのときの辺ＡＤ，辺ＡＥの長さを求めよ。

正弦定理、余弦定理、相加相乗を使ってといたら、最小値はＡＤ＝ＡＥのときで、
ＤＥの長さも含めてすべて二重根号が出てきましたorz

どなたか指針をお願いいたします。

点Eはなんだ

あの点Eってどこですか？

点Eは辺AC上です、申し訳ありません。

正弦定理いらないくさいな
AD=a AE=bとして
DE^2=(a+b)^2-48
ab=14のもとで(a+b)の最小値を求める
(a+b)^2-4ab≧0よDE≧2√2
等号成立はa=b=√14のとき

ありがとうございます。
計算ミスしていたみたいです＞＜

f(x)=√(x^2-1)-axで|x|≧1
f(x)はx=2/√3で極大となる
このときのaの値を求めよ
これお願いします

>>539
式合ってる？

>>539
普通に微分して解けない?　関数自体には絶対値ついてないし、
導関数どうなるか書いてみようよ。

>>525
丁寧なレスありがとう、まさか解の公式までとはね
まあオレ達の世代も微分方程式が消えちゃって教師たちは文句言ってたもんだけどね

|x|≧0は定義です
f'(x)=1/2√(x^2-1)-a
になったんですけどあっますか？

一行目、意味不明。
二行目、微分できてないし、表記も間違ってる。

>>543
めちゃくちゃになってる
定義、式、極大値が合ってるかもう一度見直せ

座標平面上に3点Ａ(0,3).Ｂ(0,1).P(x,0)をとり、∠APB=θとおく。ただし、x＞0とする。
(1)tanθをxで表せ。
(2)Pがx軸上を動くとき、θが最大となるxの値とそのときのθの値を求めよ。

(1)は2x/(x^2+3)と答えが出たんですが、(2)がさっぱりわかりません。
よろしくお願いします。

>>546
2x/(x^2+3)＝2/(x+(3/x))

>>547
そこからどう繋げるのか解説をお願いします

>>548
x>0だから相加相乗平均の関係なのら

てか（１）が何か地学内科
それじゃあｘ飛ばしたらθが90度に近づくじゃないか

やり直してみたら（１）が2x/(3+x^2)になった

俺はいったい何を言っているんだ・・・
/と√を見間違えたらしい
ごめんな

>>549
相加相乗平均は"〇〇の最小の値"を求めるときに使うと教わったのですが、この問題のような場合でも使えるのでしょうか？

>>551
大丈夫ですよ

>>552
>相加相乗平均は"〇〇の最小の値"を求めるときに使うと教わったのですが
もし、文字通りそう教わったのなら、今後その教師の言うことは眉唾で聞いて
いいように思う。

たとえば2数が正で、かつ和が一定の条件で積の「最大値」を求めるときにも
相加・相乗平均の関係は使える。頻度は高くないけどね。

ただし、この場合分母が「積が一定値になる正の2数」で分子が定数なんだから
分母だけみたときの最小値が存在する→そのとき分数の値は最大になる
この程度の応用は効かせたいもの。

>>552
その先生
二数の和の最小値
って意味で言ってなかったか？(条件はあるが)
そう言ってたなら、別に間違ったことは言ってない
それを問題を解くなかでどう使うかは自分の力

>>553
別にその先生、積の最大を求めるときに使えないとは言ってないだろ？　

>>553
>ただし、この場合分母が「積が一定値になる正の2数」で分子が定数なんだから
分母だけみたときの最小値が存在する→そのとき分数の値は最大になる

どうやら基本的なことを見落としていたようですね。なんとか解答が作れました。
ありがとうございます

>>554
頑張ります


皆さん長々と質問に付き合って下さって本当にありがとうございました

分母が最小になれば求める値が最大になるってことでしょ。

√3/3でオッケー？

相加相乗平均の例は教科書に書いてあるだろうに
そのまま載ってるよ

>>557
OK

分子分母xでくくって、分母に相加平均相乗平均。
物理で使うよね。内部抵抗と可変抵抗器があって、可変抵抗器での消費電力が最大になるときの抵抗値。


でも、たかが分数関数なんだから、わかんねえならとりあえず微分しとけ。

http://imepita.jp/20090620/038210
青チャートＣのP345ですが


解答と違い以下のように解いたのですが…
条件からb=-c
三角関数の定義からcosθ=rx、sinθ=ry
rx=a…�@、ry=b…�A
行列Ａは(1.1)(1.2)(2.1)(2.2)=(a)(c)(-c)(a)から�@、�Aを用いると(cosθ)(sinθ)(-sinθ)(cosθ)となりＡは回転行列を表す。
とやっても大丈夫ですか？

>>561 少なくとも記述答案としては、内容を見る必要なく0点。
ｒ、ｘ、ｙって何よ?　「三角関数の定義から」というためには、
色々といってないことが多すぎ。

内容を鑑みてもダメ。
同時に0でない任意の実数a,cに対して、ある実数r>0とθが存在して、
rcosθ=a、rsinθ=cの形で書けることまでは示せる
（言いたかったのはこのことだと思う)

が、それを示しただけではAは「θ回転してｒ倍拡大した行列」であるという
結論しか出てこない。a^2+c^2=1になることを別途示さないと、
要求された論証はできていない。

回転行列はθ回転してr倍したものではないんですか？
理解不足ですいません

回転行列はθ回転するだけ。拡大も行ったら単純な回転じゃない。

題意の行列の場合、a^2-(b-1)(c-1)=0 かつb=-cだから、
代入して変形すればa^2+c^2=1であることは簡単に示せるけれど、
だからといってこれをちゃんと示さないで済ますわけには行かない。

そうですね
勝手に相似変換までしたらだめですよね

ありがとうございます

y=x^2-4x+5、y=2x で囲まれた部分をy軸の周りに一回転させて出来る体積を求めよ｡

この問題はバウムクーヘンで解くんですか？
一応答えは64πとだけ教えてもらってるんですが計算が合わない

>>566
xについて解くだけ。
断りも無いのにバウムクーヘンを使うのは駄目

>>567
いまどきバウムクーヘンぐらいで‥

>>566
過去早稲田(だったかな？)での、明らかにバウムクーヘンで解かないと解けない問題では、バウムクーヘンを使っても問題なかった
過去東大でバウムクーヘンを使える問題がでたとき、証明なしでバウムクーヘンを使うと０点だった
バウムクーヘンを使うかどうかは、自分が解こうとしている問題が、何を問おうとしているかによる
>>566の問題は、xについて解く、もしくは置換積分を問うているようには見える

>>566
x^2-4x+5=2x
x=1, 5
2π∫[1, 5]x(2x-(x^2-4x+5))dx=2π∫[1, 5](-x^3+6x^2-5x)dx=2π[-(1/4)x^4+2x^3-(5/2)x^2][1, 5]=2π(-(1/4)(5^4-1)+2(5^3-1)-(5/2)(5^2-1))=2π(-(1/4)・624+2・124-(5/2)・24)=2π(-156+248-60)=2π・32=64π

y=x^2-4x+5
x=2±√(y-1)
1≦y≦2, 2-√(y-1)≦x≦2+√(y-1)
2≦y≦10, (1/2)y≦x≦2+√(y-1)
π∫[1, 2]((2+√(y-1))^2-(2-√(y-1))^2)dy+π∫[2, 10]((2+√(y-1))^2-((1/2)y)^2)dy=π∫[1, 2]4・2√(y-1)dy+π∫[2, 10](4+4√(y-1)+y-1-(1/4)y^2)dy
=8π[(2/3)(√(y-1))^3][1, 2]+π[3y+4(2/3)(√(y-1))^3+(1/2)y^2-(1/12)y^3][2, 10]=8π(2/3)・1+π(3(10-2)+4(2/3)(3^3-1)+(1/2)(10^2-2^2)-(1/12)(10^3-2^3))=(16/3)π+(24+208/3+96/2-992/12)π=(16/3)π+(72-40/3)π=(72-24/3)π=64π

>>566
置換積分が常套手段かな
バウムクーヘン分割は楽だが減点あるかもしれないので、念のため証明してから使えば良い。
証明はパターンだし、教科書に書いてあるのと同じ考え方で証明できる。

>明らかにバウムクーヘンで解かないと解けない問題

そんなものが存在するなら後学のために是非どんな問題だったか知りたいものだなｗ

置換積分使うと
x^2-4x+5=2x
x=1,5 またそのときのyはそれぞれy=2,10
まずy=2xについて
π∫[1,5]x^2dy=π∫[1,5](y/2)^2dy=248π/3
次にy=x^2-4x+5について
π∫[1,5]x^2dy=π∫[2,10]x^2(dy/dx)dx=π∫[2,10]x^2(2x-4)dx
=440π/3
よって
｜248π/3-440π/3｜=64π

>>573
訂正
積分区間がxy逆になってしまいました。
すみません。

バウムクーヘン分割の「証明」って何？
図のように、曲線で囲まれた領域を短冊状に分割し、回転させてできる円筒に〜
とか書けばいいの？

>>575
うん。それを数式で表せば証明できるよ。
連続関数y=f(x),x=t,x=t+�冲,x軸で囲まれた部分をy軸のまわりに
１回転してできる立体の体積を�儼、y=f(x),x=t,x軸で囲まれた部分をy軸のまわりに
１回転してできる立体のV(t)とすると
�儼=V(t+�冲)-V(t)(�冲＞0)
ここでt≦x≦t+�冲における最大値、最小値をそれぞれM,m(M≧m≧0とすると
円環の面積はπ{(t+�冲)^2-t^2}=π(2t+�冲)�冲だから
π(2t+�冲)�冲m≦�儼≦π(2t+�冲)�冲M
∴π(2t+�冲)m≦�儼/�冲≦π(2t+�冲)M
�冲→0のときm→f(t),M→f(t)だから
lim[�冲→0]�儼/�冲=lim[�冲→0]{V(t+�冲)-tV(t)}/�冲
=V'(t)=2πtf(t)
よって
V=V(b)-V(a)=∫[a,b]V'(t)=2π∫[a,b]tf(t)dt
=2π∫[a,b]xf(x)dx
類題は沢山ある
(別証)置換積分
y=f(x)において、f(x)=0となるxをt1,t2,t1≦x≦t2における
最大値をb(そのときのx=a)とし、
V=π∫[t1,b]x2^2dy-π∫[b,t2]x1^2dy
ここで、y=f(x)て置換すると
V=π∫[t2,a]x2^2f'(x2)dx-π∫[t1,a]x1^2f'(x1)dx
=-π∫[t1,t2]x^2f'(x)dx
部分積分を用いて整理すると
V=2π∫[t1,t2]xf(x)dx∵(f(t1)=f(t2)=0)

>>572
あまり覚えてないが|e^(-x)sinx|みたいな関数ををy軸回転したもの
もう少し複雑だったか、条件があった気がする

>>572
微分可能でない関数なら無理

>>575
高校数学が区分求積法や回転体の体積をどう扱ってるか考えれば、
（結構直感的なままでよしとしている）

元の問題だったら、「高さ-x^2+6x-5、微小な厚さdx、半径xの薄い円筒の
体積は(-x^2+6x-5)*2πx*（dx)、
考えている立体の体積はこれをx=1からx=5まで重ねたものなので」

程度で許されると思うんだがなぁ。大学教養部(基礎or前期課程)での物理・
化学の微積の扱いだってこんなもんでしょ。

バウムクーヘン分割の「証明」ってイミフ。
「これこれの仕方で分割します」と断ればいいだけじゃん？

>>580
数学的にちゃんと説明できればいいんじゃね(採点者につっこまれないレベルで)
というかそれができれば、それが
2π∫[a,b]tf(t)dt
が体積になる証明になってる気がするけど

>>572は逃げたのかなw

それはそれとして、ヘロンのように旧課程、旧々課程で扱われていたものに関しては
証明なしで使っても問題とされないのが普通だが、ロピタルだのバウムクーヘンだのパップス・ギュルダンだの
過去の高校履修課程で一度も扱われたことがない定理類は解答に表記しない方が安全だな

チャート式に（上）ってあるですが（下）もあるんでしょうか
書店では見当たらないんですが

半径3の円Oと半径9の円O'があり、OO'=10である。
(1)2円O,O'の共通接線の接点をA,Bとするとき線分ABの長さを求めよ。
(2)2円O,O'の交点をC,Dとするとき、線分CDの長さを求めよ。

(1)は解けたんですが(2)が解らないので解説お願いします。

△COO'の面積とか、sin∠COO'とか

>>584
∠OAB=∠ABO'=∠Rより
4角形AOO'Bは台形であり
AB=√(10^2-(9-3)^2)=8

CDとOO'の交点をE
OE^2+CE^2=3^2
O'E^2+CE^2=9^2
OE+O'E=10
√(81-CE^2)=10-√(9-CE^2)
81-CE^2=100-20√(9-CE^2)+9-CE^2
20√(9-CE^2)=28
9-CE^2=(28/20)^2=49/25
CE^2=176/25
CE=(4/5)√11
CD=2CE=(8/5)√11

△COO'に関するヘロンの公式より
s=(3+9+10)/2=11
△COO'=√(11・8・2・1)=4√11
また△COO'=(1/2)・10・CEより
CE=(4/5)√11
CD=2CE=(8/5)√11

>>584
Ｏを原点とするxy座標を考えると、２つの円は
Ｃ1:x^2+y^2=9
Ｃ2:(x-10)^2+y^2=81 で表される
よって二円の交点を通る直線はＣ1-Ｃ2よりx=7/5
このときのy座標はＣ1より
y^2=9-49/25、y=a
したがって求める長さは2a

aは自分で計算してくれ

>>585>>586
ヘロンを使えば簡単に解けるんですね。
ありがとうございます。

>>587
座標で求める方法もあるんですね！
ありがとうございます。

分子が二次式分母が三次式の部分分数分解はどうすればよいねですか？

>>590
問題書いて

>>590
仮分数は、真分数に直す。

8/3 =2 + 2/3

回答者の中にトンデモ君が居るなＷ

トンデモ回答者は多いが、なんかこう、ケタが違うなｗ

そういや小学生のとき
3(5/8)=29/8みたいなのあったな

帯分数だっけ。習ったけど、わざわざこの表記にする意味がわからない。
どういう時に使うのだろうか？

小学校のときは帯分数になおすって習ったから、中学に入って仮分数のままでいいって言われた時は衝撃だったなぁ

帯分数は数の大きさが分かりやすい

あー、ごめん。間違えたわ。
てっきり、分子が四次式とかそんなのかと。

分解したいように分母決めて、分子に適当に文字を置く
次に元の式と等号で繋いで係数比較する。
分母分子は互いに素になるように注意する

まあ具体的な問題が無いからよく分からんけども

>>595
数列の問題で、0以上50未満の、6を分母とする既約分数の和は?　という問題が
あるが、これは帯分数的な考え方をしたほうがずっとスマートに解ける。

n≦x<n+1 の範囲に含まれる6を分母とした既約分数は2つあり、その「値」は
n+1/6とn+5/6に等しい。したがってこの和は
2*(0+1+…49） + （1/6 + 5/6) *50 = 49*50+50=2500

分子が6ｋ+1と6ｋ+5の場合だから…って解説が書かれている事をよく見るけど
遠いよそれは、と思ってしまう。

>>600
分子だけに着目して、0〜300で2でも3でも割り切れない数の総和と考え、
(1＋299)＋(5＋295)＋…で300×50、あとは6で割る、でもよくね。

>>600
＞分子が6ｋ+1と6ｋ+5の場合だから…って解説が書かれている
それを分母で割ってから和をとるか、和をとってから分母で割るかの違い。
やってることはまったく同じ。おれとしては後者のがラク。

少なくとも「ずっとスマート」「遠いよそれは」にはならん。　

>>602
同じ結果を出す計算なんだから、手順の違いにこそ意味があるわけなんだが。
少なくとも600の考え方なら(数値がちょうどいい具合のためではあるが)暗算で
処理できるまでに単純化できているんだけどね。

極端な場合、(6ｋ+1）/6の方の項を一つの等差数列、（6k+5）/6の方をもう一つの
等差数列と見なしてそれぞれ和を取って、さらにその合計、とやるような解説
さえ見たことがあるわけだが、これでも同じだと?　そこまで言うのであれば、
全ての「計算を効率的に行う工夫」は意味がないことになるが。

ついでだが森毅「数の現象学」から引用。帯分数は+入り表記に直してある。
--
　それで、中学校以上は仮分数かというと、そうでもなくて、8/3回転よりは
2+2/3回転の方がわかりやすいし、(234+1/2)+(567+1/3)なんてのを
仮分数に直すのはアホウだ。それに分数式になると、微積分は加法と
相性がよいので、乗法的な仮分数的表現より加法的な帯分数的表現のほうが
よくなる。要はTPOなのだ。
--
この前にも「帯分数は加法的表現、仮分数は乗法的表現」ということとともに、
「どちらが正でどちらが副というわけでもない」とある。和を取るとき、整数との
大小と絡めて値を評価するときには帯分数(的分割)のほうが合理的、ないし
便利なわけで、その利点を利用できるときにはすべきだ、と思うわけだが。

>>603
＞手順の違いにこそ意味があるわけなんだが
手順の工夫になってないという話なんだが？ｗ

＞これでも同じだと?
割ってからΣをとるのとΣをとってから割るのは同じって話で、
足してからΣをとるのとΣをとってから足すのが同じとはいってないが？ｗ　

>>605　に書かれたのでΣを取るタイミングがはっきりしたが、
あなたが「同等」と思っているのは、こちらが一部分だけ書いた解法を
「あなたが想定して解釈したもの」Aと、こちらが提示した解法B。

一方、こちらが「違う」と主張しているのは、「こちらが見た(と思った)
回答例」C）（601に記述)とこちらが提示している解法B。A≠Cなんだから
議論はかみ合ってない。

ちなみに、ある問題集を確認したら、そこで提示されていた解答は
Cでもなくて（元の設定は上限が「50以下」だったが)
「1から300までの和を6で割ったもの」から、
「2から300までの偶数の和を6で割ったもの」+「3から300までの3の倍数の和を6で割ったもの」
　-「6から300までの6の倍数の和を6で割ったもの」
を引いていた。あまりメジャーではない本ではあるが。

>>606
＞分子が6ｋ+1と6ｋ+5の場合だから…って解説が書かれている
この和6*(2k+1)をkについて足して6で割るのはダメで、
帯分数k+1/6とk+5/6の和（2*k+1)をkについて足して6で割るのはいい。
前者：遠いよそれは。
後者：ずっとスマート。

おれは両者は同じだと言っているの。何が違うんだ？　

>>591>>599
すいません寝てしまって遅れました…

問題：ｆ(ｘ)はｘについて４次の多項式でｘ^4の係数は１

(ｘ＋２)^2、(ｘ−２)^2でｆ(ｘ)を割ったときの余りは等しく、またｆ(ｘ)は(ｘ−１)^2で割りきれるという。このとき曲線ｙ＝ｆ(^ｘ)と相異なる二点で接する直線の方程式を求めよ。
です

>>607　その考え方なら「遠い」って評価はしてないよ。それはこっちが最初に
書き足りなかったこと＆こっちの誤解でもあり、Bまで遠いといっていると思い込んだ
そっちの誤解でもある（こっちが遠いと思ったのは、その先、両者を個別にΣをとる
場合、606で言うCの手順だ、というのは書いたとおりだ)。602で書かれた内容では
どこでΣを取るのかはっきりしないでしょ?　まあ、この点は最初に書き足りなかった
自分により大きい非はある。

ただ、もともと600は「帯分数はどんなとき役に立つんだ」ということへのレスだったことを
思い起こしてほしい。こちらが600の解法を提示したのは、「帯分数的な見方が
奏功する場合もある」ということを示したかったため。「帯分数的に見なくても
解けるじゃないか」というだけでは、600で示した解法の---少なくとも、6k+1系と
6ｋ+5系を別々に和を取ることや、606で追記した解法と比べたときの---
有効性を否定することには、論理上ならない。

問 : 世界のナベアツは、10^n(10のn乗)数えるまでに何回アホになるか求めよ。

10^nは n+1ケタの最小整数である。
3の入らないnケタ以下の整数は、各位が0,1,2,4,5,6,7,8,9だから、
9^n個 (0,1,2,4,…,9〜9)
であり、0を除くと、9^n-1個。
よって、1〜10^nのうち、3の入るものは、n+1ケタの10^nは3が入らないので除くと、
10^n-(9^n-1)-1 = 10^n-9^n個。

3の入らないn-1ケタ以下の自然数Nは、9^(n-1)-1個
Nが3の倍数のとき、右端に0,6,9のいずれかを付加し、
Nが3で割って1余る数ならば、右端に2,5,8のいずれかを付加し、
Nが3で割って2余る数ならば、右端に1,4,7のいずれかを付加すれば、
3の入らない2ケタ以上nケタ以下の3の倍数ができる。

これに1ケタである6と9を加えると、
3の入らないnケタ以下の3の倍数は、
(9^(n-1)-1)*3+2
= 3*9^(n-1)-1個
とわかる。

∴ アホになる回数は、
(10^n-9^n)+(3*9^(n-1)-1)
= 10^n-6*9^(n-1)-1 回 ■

【10のn乗−6×9の(n-1)乗−1 回】

例えば3303は「３回アホ」と数えるのですか？




それにしても最近アホが居座ってて流れが悪いなぁ（まぁいつものことと言えばそれまでだが…）

>>608
f(x)=(x+2)^2P(x)+ax+b=(x-2)^2Q(x)+ax+b=(x-1)^2R(x)
P(x)=(x-2)^2
Q(x)=(x+2)^2
f(x)=(x+2)^2(x-2)^2+ax+b=(x-1)^2R(x)
f'(x)=4x(x^2-4)+a=2(x-1)R(x)+(x-1)^2R'(x)
f(1)=0=9+a+b
f'(1)=0=-12+a
a=12, b=-21
f(x)=(x+2)^2(x-2)^2+12x-21
y=12x-21

3次式が極値をもつ条件って、微分した2次式が異なる2つの実数解を持つときでOK?

微分の式=0が異なる実数解をもつことが極値をもつ条件ではないけど、三次式ならそれでＯＫ

>>615
ありがとうございます

>>610
1≦m≦10^nを満たすm∈Ｎ{10^nの位をα、10^(n-1)の位をa、10^(n-2)の位をb…(α＝0,1、a,b,…＝0,1,…,9)とおく。}について、世界のナベアツはＡ＝{m|m≡0(mod.3)},Ｂ＝{a,b…|a＝3∪b＝3…}としてＡ∪Ｂのときにアホになる。
n(Ａ)＝3･{(10^n)-1}/9個。
n(Ｂ)＝(10^n-1+1)-(9^n-1+1)＝10^n-9^n個。
n(Ａ∩Ｂ)は、a,b,…のうちの3の個数別に数えて、
n(Ａ∩Ｂ)＝nＣ1･9^(n-2)･3+nＣ2･9^(n-3)･3+…+1
ゆえに、世界のナベアツがアホになる回数は
n(Ａ∪Ｂ)＝n(Ａ)+n(Ｂ)-n(Ａ∩Ｂ)＝
3･{(10^n)-1}/9+10^n-9^n-(nＣ1･9^(n-2)･3+nＣ2･9^(n-3)･3+…+1)回。■

>>613
>>614
正解です。
家に帰ってからやりなおしてみます

行列のｎ乗を求めるやつって前の問いを利用してみたいな条件がなかったらケーリーハミルトンや微分とか使って独自に解いていいの？

そんな勝手が許されるわけないだろｗ
解いちゃダメなんだから、白紙で。

意味分からん

お前の質問の意味がな

おまえ行列できないだろ？

>>619
求め方があってれば全然問題ないだろ

>>623
いや。

うざいよ低脳。

極限値求める問題で
f(a)=0, g(a)=0なら、
極限値lim[x→a]f(x)/g(x)は
{f(x)-f(a)/x-a}×{x-a/g(x)g(a)}
→f'(a)/g'(a) (x→a)
微分係数の定義から、このように変形して構いませんか？

もちろん、sinx/x のような極限値を求めるときは、sinxの導関数を求めるときにこの極限値が必要なので駄目なのでしょうが…。

あと、漸近線は無限遠点での接線だと思うのですが、
lim[t→∞]f'(t)(x-t)+f(t)
として求めたら何か問題ありますか？

導関数g'(x)がaの近傍で定義されたとしても、1/g'(x)が定義されるとは限りませんよね。

さらに、漸近線は直線だけではありません。
たとえば、曲線y = x^2 + 1/x は y軸のほかに、y=x^2を漸近線に持ちます。
そもそも、1/xの漸近線がy=0ならば、1/xはy=0の漸近線でもあるのですから、お分かりいただけるでしょう。

>>626
f'(a), g'(a)が存在しg'(a)≠0ならそれでかまいません
>>627
f(x)=(sinx^2)/xだと？
>>628
普通は漸近線は直線を考えると思います

>>628-629
ありがとうございます。

分数関数 y= (ax+b) / (cx+d) の逆関数を求める問題で、よく、
ad-bc≠0の条件がついています。
これは、もとの分数関数が、定数関数でないことを言っていると考えていいのでしょうか。

さらに、もし、このこと
「y= (ax+b) / (cx+d) が逆関数を持つための条件は、ad-bc≠0」
を証明するとしたら、
「(ax+b) / (cx+d) =k とならなければよいので、a/c≠b/d」
などと始めていけばいいでしょうか。

教科書には、逆関数を求める手順はあるのですが、
あまり詳しいことが書いていないので、よろしくお願いします。

>>631 前半はOK。
ad-bc=0 ⇔ (a,b)//(c,d) ⇔ (a,c)//(b,d) とか(数II直線の平行条件)
|ad-bc|= |(a,b)||(c,d)|sinθ (ただしθは(a,b)と(c,d)のなす角)
とかは数IIB以後で、普通の問題解く上では既知としていいと思う。
（後者には異論持つ人もいるかもだが)

後半はダメ。y=f(x)が逆関数を持つことは
「異なるxの値に対応するyが(必ず)異なる値になること」と同値
(ｘとｙが1対1対応する……単写である……ことの言い換え)

定数関数であることはこれよりずっと強い条件になるので、
「(ax+b) / (cx+d) =k とならなければよいので」とちゃんと言うには
「f(x)=(ax+b)/(cx+d) が異なるxに対して同じyの値をとるならば
　必ず定数関数になる」ことを別に証明しなければならない道理になる。
(結果としてそうなることを知っていても、証明を求められたら
　｢知ってるから」では済まされない、ということ)

もっとうまいやり方があるかもしれないけど、定義に従えば
「ad-bc≠0であれば、α≠β(で、ともに分母が0にならない値)のとき
{(aα+b)/(cα+d)} - {(aβ+b)/(cβ+d)}≠0である」
ことを示せば大丈夫。

>>617
これ場合の数と確率で出てもおかしくないな
ナベアツにしてはガチでうけたｗ

>>633
ナベアツ問題、(10^n-1)/3でよくね？

>634
それではナベアツではなくお前がアホになる

>>632さん
ていねいな解説ありがとうございます。
ちょっと、後半の説明がまだ理解不十分なのですが、
もう少し考えてみます。

異なるαとβを代入して、等しくならないということを
証明しているのかな、、、と、いま考え中です。
がんばります。

>>634
n(Ａ)のこと？
約分し忘れちゃった

x/(x-1)(x-a) a>0を微分してグラフをかくという問題がどのような答えになるか教えてください・・答えをなくして困ってますm(__)m

>>638
a＞0だよね？
まず微分して
(x+√a)(x-√a)/{(x-1)^2}{(x-a)^2}
分子を0にするx(＝±√a)と分母を0にするx(＝1,a)に注目して、a＞1,a＝1,0＜a＜1で場合分け
結果はa＞1,0＜a＜1は同じグラフ、a＝1は違うグラフになる

http://imepita.jp/20090616/651050

あの〜、変な

>>640
蓮画像やめれ
久しぶりに見たわ

証明すべき式から式変形を始めてはいけないとよく言うけど、
証明すべき式から同値性を保って変形していって、
自明な式を導けば論理的に問題はないんじゃないの？
たとえばx^2-2x+1>=0を示すのに、
「x^2-2x+1>=0⇔(x-1)^2>=0　これは成り立つ」とやってはだめ？

間違いやすいですよ

>>643
同値性が崩れないならいいけど、意外とそれは問題によっては難しかったりするし、逆から書いても手間はかわらないと思うよ

「x^2-2x+1>=0ならば(x-1)^2>=0　これは成り立つ」

とやってたバカがいたなあ　

>>643
>「x^2-2x+1>=0⇔(x-1)^2>=0　これは成り立つ」とやってはだめ？
それなら、
x^2-2x+1 = (x-1)^2 >=0
って書く方が早いじゃん。

質問者も質問者なら、回答者も回答者だなぁｗ

>>644-645
難しく間違いやすいのは事実ですが、
解答者、問題によりこの方針がよい場合もあると考えます。
本や教師によっては「証明すべき式から始めたら0点」と
断言することがよくあるので混乱しています。
>>647
あくまで一例です。

たとえば88年京都大理系大問3(1)において、
http://hwm5.gyao.ne.jp/yonemura/archives.html
0<=y'<yから出発して、自明な式に帰着させてはいけませんか？

やりたきゃやれば？誰も止めないし、誰もそれで実際何点もらえるか答えられないんだから。
（おっと、京都大学のその当時の採点官の方がココを見ていらっしゃったら、是非お答え頂きたいものだ）

>>649
具体的な答案を書いて

>>650
ロピタルや合同式の不毛な議論と同一視した極論をされましても。
ちょっと毛色が違うと思います。
>>651
こんな感じです。
0<=y'<y ⇔ 0<=-x+2y<y ⇔ -y<x-2y<=0 ⇔ y<x<=2y （辺々+2y）
⇔ y^2<x^2<=4y^2 （0<1<=yより辺々2乗）
⇔ y^2<1+3y^2<=4y^2 （x^2-3y^2=1より）
左の不等式 y^2<1+3y^2 は明らかに成立。
右の不等式 1+3y^2<=4y^2 ⇔ 1<=y^2 も成立。

>>649
やればいいよ
俺は同値性が間違ってなかったら必要十分で変形しても全く問題ないと思ってるし、ダメだと言ってるやつは何をもってダメだと言ってるのかわからないし
まぁ俺が何と言おうと採点者がダメといったらダメだが
実際のテストでは誰からも文句言われないように証明する式を頭に持ってくるような解答はしないけどね
わざわざそんな書き方しなくても解けるし
>>652の解答も証明する式から出発する必要十分である必要はないし

示せというのに
何故示されていること前提で考えてるから誤りなんだよ
結果としては合ってるけどね証明方法が誤り

>>654
x^2-2x+1>=0を示せ、で 言葉は端折るけど
｢x^2-2x+1>=0⇔(x-1)^2>=0｣
はダメで

｢(x-1)^2>=0⇔x^2-2x+1>=0」
はいいってこと？

>>652=>>643
極論ではなく、正論だって分からない？

なぜ普通に出来ることをわざと違ってやりたいの？
なぜ「減点されるかもよ」と言う人が居るのにリスクを負いたがるの？

ここが数学板なら何を書いても文句はないが、ここは受験板。
質問してるキミ以外にも見ている受験生が居る。
わかるかい？

たとえキミがちゃんとした答案をかけたとしても
マネして失敗するヤツが出てくるのを見過ごすわけにいかないの。


キミの回答なら、「右の〜」の一行上に「なので、これを示せばよい」位書けば誰も減点しないだろうね。

宅浪してます。
−∫[x.0]tsintdtをxで微分するとなぜxsinx-xsinx=0
になるでしょうか？
どなたかお願い致します。

>>653
これが手っ取り早く、簡単に取り組めた解法だったもので。。
力がなくてお恥ずかしいのですが、この場合、普通はどのように解くのでしょうか。
>>654
あなたのように主張する参考書や先生が大多数であるように思いますが、
たとえばこの場合、0<=y'<y ⇔ 0<1+2y^2 かつ 1<=y^2
を示したわけで、その部分では0<=y'<yの正当性について論じているのではありません。
これに問題があるとすればお教えください。
>>656
何が普通かがわかりません。
減点されるかもしれない考え方とそうでない考え方の線引きはどこなのでしょうか。
特にこのやり方にこだわっているわけではありません。
問題がないのではないか、と思えるやり方に問題があると言われるので、気になるのです。
私の解答で減点しない答案になっていると言ってくださるなら、
あなたの「減点されるかも」という指摘はあまり意味がないように思えるのですが。。

ロピタルや合同式の議論では、完全な証明が難しかったり、コストパフォーマンスが悪かったりで、
「採点されるか自己責任」「そこまでしてやることでない」という結論に至るのはわかるんです。
でも、必要十分とか同値な式変形というのは、指導要領を逸脱もしていないように思いますし、
ロピタルのようなリアクションが返ってくるのはいささか驚いています。

>>655
うん
x^2-2x+1=(x-1)^2>=0ならおkだけどね

>>657
式おかしくね？

>>658
スルーしようと思ったんだけど、656氏のような人が出てきたから一応。

入試本番に限れば、そしてはっきりと同値変形であることを示した答案が
書けているという前提において、全く問題ありません。たとえば1対1の数IIの
18ページのように、証明したい内容を同値変形して（ただし、同値変形で
あることはきわめて明確に書かれているけれど)自明な不等式に持ち込んでいる
解答例を示している本もあります。

そして、人ひとりの人生が関わる大学入試においては、ちゃんとしたプロが
ちゃんと配慮した採点をやります。少なくともちゃんとした大学なら、高校の
定期試験や模試採点よりははるかに丁寧に見てもらえるはず。

ただ、その過程における模試や学校の定期試験では、採点者の思い込み、
主張、恣意、勘違い等があるのでリスクは発生します。推薦等も考えて
いるなら、このリスクは看過できないことは考えておくべきでしょう。

ロピタルの定理？そんなもん書かなくても、1/g'(a)が定義されてるなら、>>626みたいに微分係数の定義に結びつければいいじゃん。厳密なことはわからないけど。

>>658
問題も解答も見てないからわからんが(スマンw)、⇔ならどこかを入れ替えても成り立つから、示す式を先頭に持ってこなくても示せるって意味
おれの日本語わかりにくいな
あと勘違いしてるみたいだが、>>656は別に極論なんか言ってない
お前の解き方は正しいが、その解き方を否定する考え方がある以上、減点される可能性があると言っているだけだろう

あと合同式は定義だから証明なんかいらんし、基本的な性質の証明なんか全部一行で終わるぞ
コストパフォーマンスの意味はわからんが、有用性の意味で使ってるなら、合同式の有用性はめちゃくちゃ高いぞ
ロピタルは証明いるが

>>659
てことは証明問題では
｢Ａ⇔Ｂ｣ ⇔ ｢Ｂ⇔Ａ｣
は間違いってことね

追記。ただし、>>652で書かれたような形では言葉足らずの感あり。
同値変形であることを目一杯アピールしておくべきだ、とは言っておきたいところ。
たとえば、
「不等式0<=y'<yを証明する。この不等式を同値変形していくと」
くらい書いておくようにすべきだとは思う。

>>662
意味がわからない
証明する式から同値変形していく方法は式としては合っているが
証明方法としては間違っていると書いたんだけど

>>652
> y<x<=2y （辺々+2y）
>⇔ y^2<x^2<=4y^2 （0<1<=yより辺々2乗）
詳しく考察してなくて恐縮ですが0<xも言えていますか？おそらく前提条件を書いていかないと誤りと見なされます

それからこれは私の感想ですが
示したい事柄が最初にあって
同値な変形で恒真式に至るとしても
示したい事柄が正しいその理由は
恒真式から逆にたどってそこへ至ることができるからですから
P1 ⇔ P2 ⇔ P3 ⇔ … ⇔ Pn ⇔ T
を示したとしても
P1の証明として使っているのは
T ⇒ Pn ⇒ … ⇒ P3 ⇒ P2 ⇒ P1
の部分のみです
前者の順序とは即ち「何となれば」を繰り返していることになりますが
どちらがと言えば「ならば」を繰り返す方が自然に感じますので
P1が正しい理由を示すということが目的ならば
後者の順序で示した方が素直に思います

>マネして失敗するヤツが出てくるのを見過ごすわけにいかないの。

ここが主旨なんだが、それすら伝わらないヤツに、
出題者の主旨がちゃんと伝わるのだろうか、、

相手にした俺がバカだったのかもな。

>>664
｢Ａ⇔Ｂ｣ ⇔ ｢Ｂ⇔Ａ｣
で、Ａのかわりにx^2-2x+1>=0、Ｂのかわりに(x-1)^2>=0を書いてるだけなんだが
証明方法が間違ってるってことは
｢Ａ⇔Ｂ｣ ⇔ ｢Ｂ⇔Ａ｣
が間違ってるってことじゃないの？

>>660>>663
ご丁寧にありがとうございます。大変説得力のあるご意見でした。
こちらの意図を十二分に酌んでいただけたように感じます。

>>662
指摘されていること、よくわかります。
採点者を意識した上で、とても建設的なご意見でした。ありがとうございます。
>>650は正論ですが、議論厨への定型句というか、封殺の感があります。加えて煽り調子で。
それを言ってはおしまいでしょう、という。極論は表現として適当でなかったですね。
結果として議論厨になってしまったでしょうか。でしたらすみません。

>>665
0<1<=y、y<x<=2yですから、0<1<=y<x<=2yです。少し舌足らずでしたね。
つまり、私の答案では、最終的な式 1<=y^2から逆にたどって記述したほうが、
この場合自然、ということですね。大変参考になります。

おかげさまで私の側は満足いたしました。ありがとうございました。
ID:RaGeShNIOさんは多くの参考書やなんかでよくみる記述
「証明する式から変形してはいけない」どおりの主張をされていますが、
そういった参考書の表現はもう少し正確にするべきではないでしょうか。

>>666
気の回しすぎだと思うよ。その理屈を推し進めると、たとえば「これこれの参考書がいい」
というのを、それがまだこなせないヤツが真に受けて時間を浪費することまで
心配しなきゃいけなくなる。「生半可な理解で使ってヤケドを負うのはそいつの
自己責任」なんで、それが「責任もって、リスクも負って行動するやつをも
止めるべき」という理由にはならない。

こちらが>>656 での意図を読み違えてしまったのはお詫びします。

>>654
＞示せというのに
＞何故示されていること前提で考えてるから誤りなんだよ
　
示せというのに示されていること前提で考えてるとなぜ誤りなんだ？

示されていること前提で考えてるかどうかと、
実際示されているかどうかに、何の関係があるの？ 　　　

このバカは京大の問題だけではなく、一般論として
結論から同値変形してはダメか？
と聞いているんだよね？

だったら、ダメに決まってるだろｗ
証明問題の中には、同値でないものなんていくらでもあるからな

>>671
「Ｂ⇔Ａ、Ｂは真、よってＡは真」を
「Ａ⇔Ｂ、Ｂは真、よってＡは真」でもいいか？と聞いてると思う。

言葉が足りなかったな
仮定から必要条件だけを求めていくような証明では
結論をいくら同値変形しても仮定に近付かない。




ひょっとしてｼﾞｴﾝに釣られたか？

言葉は足りているが？ｗ　

同値変形A⇔Bにどちらかがすでに示されているかどうかは無関係。

仮定と結論が同値でない問題でも、結論と同値なものを示すことは何の問題もない。

＞結論から同値変形してはダメか？
と聞いているんだよね？

だったら、ダメに決まってるだろｗ
証明問題の中には、同値でないものなんていくらでもあるからな


イミフ
結論から同値変形してはいけない理由が同値ではないものがあるって理由になってないだろ
同値変形するって言ってるんだぞ？同値変形してるんだから同値のものが前提だろ
あと、結論から同値変形していくのがダメってやつ、同値の意味しらないの？

Ａが条件Ｃをみたすことを示せ

ＡとＢは等しい(同値)
また、Ｂは条件Ｃをみたす
よってＡは条件Ｃをみたす

これがだめで
ＢとＡは等しい(同値)
また、Ｂは条件Ｃをみたす
よってＡは条件Ｃをみたす
はいいとかバカすぎるだろ

>証明すべき式から式変形を始めてはいけないとよく言うけど、
証明すべき式から同値性を保って変形していって、
自明な式を導けば論理的に問題はないんじゃないの？


みんな巧みに話をすり替えているが
忘れないように最初の質問をコピペしておく

肯定派は後半しか考えてないな

質問者の意図が後半だから問題ない

>>650
「ダメという人がいるが理由がわからず混乱している」に
＞やりたきゃやれば？誰も止めないし
と返す意味がわからない。

>>656
＞なぜ「減点されるかもよ」と言う人が居るのにリスクを負いたがるの？
その「減点されるかもしれない理由」を聞かれてるんじゃ？　

>>679
減点される理由？わからんよ
俺が採点者なら減点しない
肯定派は使っていいって言ってる
減点される理由は否定派に聞けよ

同値変形が可能なら、なにもわざわざ結論からやらんでも
条件から同値変形していけばいいだけと違うのか？

>>660
>人ひとりの人生が関わる大学入試においては、ちゃんとしたプロが
ちゃんと配慮した採点をやります。少なくともちゃんとした大学なら、高校の
定期試験や模試採点よりははるかに丁寧に見てもらえるはず。


あんたは相当立派な大学の関係者のようで羨ましいよ。

ダメと言う理由？
残念ながら大学の中には660が「あり得ない」と反論したくなるようなところがある。
と言うより、そんな方が多いんじゃないかな。
うちの大学のある文系学部なんか、受験料稼ぎのために数学選択出来るが、
最近数学選択で合格したやつなんか居ないよ。
だって採点が…

ここに居る人がうちみたいな私立(ちなみに地方無名じゃないぜ。誰でも知ってる大学だ)を
受けないんなら、反対はしないが、
素直に「正しいんだから結論から始めていいんだ」に同意は出来ない。

そういう事情もあることを知った方がいいと思うよ。
ま、バカにしたかったらしてくれていいが、
この国は一部のエリートだけでなりたってるわけじゃないってことだ。

これ以上は愚痴になるからやめとく。

私の>>643での質問意図は、
「どんな証明問題でも、示す結論から同値変形を施して恒等式を導くことで証明できるか」
ではなくて
「『示す結論から証明を始めたら0点』と断言する参考書をよく見るが、
　示す結論と同値な命題が真であることを示せたなら、その論理性に破綻はないか」
ということです。

>>671>>673>>677
私の意図と違います。誤解を与えたようですみません。
>>670>>675-676
同意します。
>>679
その通りです。私の意図を一番酌んでいただいています。
>>681
問題や解答者によってはこちらのほうが早く指針が立ち、解決できることもあると思います。
現に、>>649の例では（恥ずかしながら）普通と言われる発想が私にはできませんでした。
>>682
なぜ私の同値変形はこのようなレスがつき、他の多くの高校数学の議論は誰も突っ込まずに認められるのでしょうか。
その線引きはどこからどのようになされるのでしょうか。

ですから、>>679の言われる通り、「やりたきゃやれば？　〜」といった回答にはズレを感じるのです。
＞肯定されている方
主張は理解しましたが、同値変形は、ロピタルのようなレッドゾーンなのでしょうか。
バツにはしないが誉められない解答なのでしょうか。
＞否定されている方
「自己責任論」や「なんでわざわざその方法で」ということに終始しているように思います。
上で述べたように、この場合、この解法が素直に考えつき、手間無く解けたものですから。
ご忠告はありがたいのですが、否定される方は、「なぜいけないのか」ということをお教えください。

夜までレスできず恐縮ですが、よろしくお願いします。

>>683
> 問題や解答者によってはこちらのほうが早く指針が立ち、解決できることもあると思います。
そう考えて解決したからって、解答にそう書く必要はないだろ。
解答は条件から同値変形すればいいじゃんか。
ここは大学受験板で、大学受験の答案にどう書くかが問題なんだから。
「俺は正しい。間違っているのは採点者だ。」って言って落ちて満足かい？

それに、すでに指摘されているように提示された条件と求めさせる結論が同値ってことは滅多にないと思うのだが。

もうスルーでいいんじゃね？ｼﾞｴﾝくさいし

>>680
質問者は否定派に聞いてたんじゃね？

>>684
答案にどう書くかの理由を問うのが板違いな理由がわからん。　
＞提示された条件と求めさせる結論が同値ってことは〜
何の話？　　

ダメという理由は>>682がハッキリ書いてる。
それを「納得いかない」ってゴネてるんだから、もうほっとくしかないだろ。

それとも「採点基準は回答者に決めさせろ」とか大学に言うか(笑)
まさにモンスター
そんなやつ大学も入学させたくないわな

関西にある某私立大学(外の人も多分知ってる)は、体育館に答案を並べて、生徒が一斉に採点する(今は知らん)
ここまでとは言わんが、一つ一つ答案を細かくみて採点する大学なんて、京大とかのごく一部


>>683
＞『示す結論から証明を始めたら0点』と断言する参考書をよく見るが、示す結論と同値な命題が真であることを示せたなら、その論理性に破綻はないか

ない、正しい証明だ、と何度も言っているが
だが、いい加減な採点があるのも事実、減点される可能性もある、と言われてるんだろ

作文ヘッタな奴ってアホやなあ

背理法であれば誰も文句の付けようのない解答になりますよ

>>654なら背理法も「示されていること前提で考えてるから誤りなんだよ」とか言いそう

不等式の問題で背理法かよｗ

>>692
あり得ないとでも言うのか？

>>693
関数の不等式の問題で背理法
使うような問題ってどんなのあるっけ？

「私の解答に論理的に問題はないか」
に対し、何人かの方が回答されたとおり、根本的な誤りはないと理解してよいのでしょうかね。

ただ、これを入試で解答した場合、（多くの）採点者によって、
点を与えられないことが十分あるわけですね。
その理由は「採点が適当だから」とか、
「その大学の採点者でないから知らない、だから大事をとって書くべきではない」
ということでしょうか。

だとすれば、「式と証明」などで誰もが履修する必要十分性にのっとった同値変形が
0点になるのはなぜなんだろうというのが純粋な疑問です。
「採点者がそう採点するんだから仕方ない」と言われれば終わりですけども。
また、「同値変形は答案に書かない方がよい」と主張してしまうと、
どの考え方・論法もそう主張し得てしまうのではないでしょうか。
その線引きはどこからなされるのでしょうか。

>>684
誤解されているようですが、このケースにおいても、結論から同値変形して、
与えられた条件に帰着させるという行為を、私はしていませんし、
>>683の始めに述べたように、仮定と結論を同値で結べるかということは話題にしていません。
もちろん、採点者はこの解答を認めるべき、と言う主張ではありません。

>「採点が適当だから」

それはちょっと違うな。まぁ君にしてみれば「適当な採点」なんだろうけどね。

「数学」と「入試」の求めているものの違いが分からないなら、
キミはもうここに何も書かない方がいいと思うよ。

>>696
＞それはちょっと違うな
是非教えて欲しい。どういう理由で
「Ｂ⇔Ａ、Ｂは真、よってＡは真」がよくて
「Ａ⇔Ｂ、Ｂは真、よってＡは真」がダメなの？

>>695
＞『式と証明」などで誰もが履修する必要十分性にのっとった同値変形が0点になるのはなぜなんだろうというのが純粋な疑問です。
『示す結論から証明を始めたら0点』って考える奴がいる可能性があるから

＞「同値変形は答案に書かない方がよい」、線引き
線引きも何も『示す結論から証明を始めたら0点』って考える奴がいる可能性があるから、『証明する式』からの「同値変形は答案に書かない方がよい」と書いているだけであって、同値変形を答案に書くことを否定などしていない

>>696
採点者に対して悪意を持っている、自分が正しく採点者は誤り、というスタンスではありません。
そのように決めつけて煽らないでください。>>695に記した疑問は純粋な疑問で、他意はありません。
私の解釈がどのように違うか、お教えください。
一般の数学で認められることが、大学入試としての数学で認められるとは限らないことは承知しています。
その上で>>695の疑問を持ちました。

>>698
ですから、可能性などと言い始めたら、
どんな論理においても、この論理は0点・減点と見なす採点者を想定しなくてはならなくなります。
しかし、実際そうではないわけですから、どこかにラインが引かれているのでは、と予測するのは自然では？

＞実際そうではないわけですから
実際そうだぞ

お前が質問したことでも採点者Ａは良い、採点者Ｂはダメと言ったら既にラインは違う
x≧sinx を示すのに採点者Ａは微分で示してもいい、採点者Ｂは教科書の通り示さないとダメと言ったらラインは違う
合同式で、採点者Ａは、定義なしで使ってもいい、採点者Ｂは定義なし使ってはダメ、と言ったらラインは違う

採点基準は採点者によって違うんだから、ラインを引くのは無理

イヤ、ラインは引けるか
誰にも減点されないところに引けばいいんだ
お前の質問なら、結論から同値変形しない
２つ目の例なら教科書の方法で証明
３つ目なら定義する

>>701
誰にも減点されないところはどのように決まるのでしょうか。
解答者は確実な方法で解答した方がよい、
つまりx>=sinxの例では微分は使わない方がよいのが、最終的にここでいえることだということでしょうか。

>>700
下二つの例と上とは事情が違うと思うぞ。
　x≧sinxを示すのに微分を使っていいか否かは高校数学の極限の扱いの限界や
　sinxの定義に関わるところに循環論法のわなが待つからだし、
　合同式の記号は高校数学では定義されないから、それを未定義で使うことに
　問題があると考える、という妥当性がある。

高校範囲内での数学、という視点から、非の打ち所のない論証を「ダメだからダメ」と
いうのは、ラインそのものが決定的に非合理であり変だ。正直、そんな考えで数学の
採点するような大学なら、無理に入ることもない（もっとちゃんとした大学に受かれば
いいだけのこと）とさえ、個人的には思える。それ押し付ける気はないけど、そう
割り切れるならわが道を行くべき、それでは困るなら処世の方法として迎合すべき、
という答えになるでしょうね>>643氏

ただ、「ちゃんとした入試をやってる学校」(世間的に高偏差値・高評価の大学が
必ずそうだとは限らないけど、中上位国公立は受験生数の関係上比較的信頼して
いいかも)では、この程度にはちゃんと「採点基準」を作るもんだと思います。
http://www.kougakutosho.co.jp/mathematics/mathematics_93.htm

＞決定的に非合理であり変だ
質問者と同じ疑問を持ち回答を待っていました。納得しました。　　

やはり、私の答案の論理自体に、言い足りない点はあるにしても、致命的な欠陥はないのですね。
それがわかれば疑問の半分は氷解です。
また、0点の可能性を挙げてくださるのは、もうわかりましたので結構です。

・参考書が「示す式から証明を始めてはだめ」と主張するのは、0点の可能性ゆえに他ならないのでしょうか。
・ところで、>>649の「普通の」解答はどのようにすればよいのでしょうか？
　特に、「普通にやればいいのに」と繰り返し主張なさる方々にお聞きしたくあります
　（このように、「普通の」解法も考えつかない身ですし、採点者批判をしていると見るのはうがちすぎです）。
・むしろ、疑問に感じるのは、「（>>688の言を借りるところの）『いい加減な採点』者がいるから、
　示す結論から同値変形し恒等式に持ち込むのは減点・0点の可能性がある、やめた方が無難」
　と主張する人は、なぜこの論理が危険であると考えたのか、ということです
　（否定ではなく、主張自体はそれなりに理解できますが……）。
　たとえば、背理法や対偶法においても、「いい加減な採点者が……」とはよもや言わないでしょう。
　同値変形も重要かつ指導要領に間違いなく収まるのに、背理法や対偶法などと処遇が異なるのは不思議です。
　主張は幾人かの人が繰り返しされていましたが、そのあたりの線引きが曖昧だと思います。

>>703-704
ちらほらと大変貴重なご意見を聞くことができ、あえて愚問をさらしてよかったと考えています。

水曜日から数日も引っ張り
この質問スレを独占し
いろんな人をも巻き添えにした
きみはネ申

ID:2FPxzstE0は、次年度の採点官を拝命して
採点基準に悩んでいる三流大学関係者
…とかだったら面白すぎる

>>705
＞参考書が「示す式から証明を始めてはだめ」と主張するのは、0点の可能性ゆえに他ならないのでしょうか。
そうだが、(普通は)｢示す式の成立を前提として｣「示す式から証明を始めてはだめ」という意味

＞ところで、>>649の「普通の」解答はどのようにすればよいのでしょうか？
特に、「普通にやればいいのに」と繰り返し主張なさる方々にお聞きしたくあります
必要十分なんだから入れ替えたり、そもそも逆からかいて結論を後ろにおけばいいだろ、と何度か言われてるだろ
京大だからそれで問題ないと思うがね

＞むしろ、疑問に感じるのは、「（>>688の言を借りるところの）『いい加減な採点』者がいるから、示す結論から同値変形し恒等式に持ち込むのは減点・0点の可能性がある、やめた方が無難」と主張する人は、なぜこの論理が危険であると考えたのか、ということです
いい加減な採点者が答案をしっかり見ずに⇔を見落として、最初の式だけを見て、｢示す式の成立を前提として｣「示す式から証明を始めてはだめ」と考える可能性があるから
もしくは何もチェックせずに「示す式から証明を始めてはだめ」と考える可能性があるから

＞たとえば、背理法や対偶法においても、「いい加減な採点者が……」とはよもや言わないでしょ
「示す式から証明を始めてはだめ」みたいに混乱を招くいい加減な書き方がないからだろ

>採点者に対して悪意を持っている、自分が正しく採点者は誤り、というスタンスではありません。


そうか？
「採点が適当」って書き方は十分悪意が感じられるが

結局こいつは自分の主張を認めさせたいだけのために
自分の気に入る回答者以外は難癖付けて煽って、
ここをブログ化し、荒らしまくっただけだな。


以後は自分のブログでやったらどうだ？
リンク貼るの許してやるからさ

まだやってんのかよｗ
バカは勝手に落ちてりゃいいじゃんか。

一対一の数�Tの二次関数の１９の演習題でMAX候補をかつでつなげるだけで頂点の座標で場合分けしてないんです。
それで正しい範囲が出せるのでしょうか？
また同じく二次関数の２０の演習題の（1）（3）が解答みながらやっても題意が読み取れません。
解答お願いします

>>711
とりあえず>>1読もうか

>>711
問題書いて

>>708
それなりに納得しました。たびたびのご意見ありがとうございます。

>>709
そもそも>>688が「いい加減な採点」者の存在という表現をもって理由を説明されたので、
それに倣ったまでです。そういう採点者がいるなら、そのような表現もありかと納得しましたので。
下衆な煽りをしているのはどちらでしょう。
難癖ではなく、私の疑問に対して理解の及ぶ回答をされていないので再質問に至ったまでです。
そちらのフィルタを介すと、私にとって都合の悪い回答に難癖をつけているように映るのでしょうが。
こちらには釈明の義務があると思いましたのでレスしましたが、
単に不快とお思いでしたらスルー、NGでお願いします。
ブログ化といっても他の質問者が物理的に質問できないわけでもありませんし、
質問できない雰囲気にしているともし言われても、人が投稿を躊躇するのは与り知るところではありません。

>>711
19について。
f(-1) <= f(1)のとき、M = max{f(-1), f(1)} = f(1) で、
M<=1 となる条件は f(1)<=1 ですが、このとき f(-1)<=1 でもあるわけですから、
M<=1 となる条件を f(1)<=1 かつ f(-1)<=1 としてもいいわけです。
f(-1) >= f(1)のときも同じようにして同じ条件になるので、
これら2つの場合をまとめることができる、という解答になっています。
例題19解答の直上の2行と同じです。

>>714　最初の問題は数学の問題を解く上での質問になってるが、
今あなたが疑問に感じていること(708の
「…と主張する人は、なぜこの論理が危険であると考えたのか」)
はすでにスレの趣旨から外れている。疑問に思うなら適切な板の
適切なスレッドで改めて行うべきだと思う。ちなみに単発質問スレはダメよ。

同値変形を考慮に入れず「結論から書いてはダメ」というのは、本来
「リスクを避けるガイドライン」として捉えるべきだと思う。たとえば、
自分なら「対数関数の値の大小を比較したいなら、底が0より大1未満の
状態で行うのは”できるだけ避けるべき”」(間違えやすいから)と思う。これを
手っ取り早く「必ず底を1より大に直せ」と教えることはありうる。

あるいは小学生には「3から5は引けない」と教える(後者は数概念や演算が
拡張されてから解禁されるという事情なので、同列に論じるべきではないが、
最初はダメと言われていたものがダメでなくなるってことはあるのだ、
という例としては使えると思う）

これ同様に「論点先取した形になることを避けるために(十分な力のない
ヤツは/きっちりと証明という形式や論旨展開が身に付くまでは）結論の式を
最初に書いてしまうのはやめれ」という忠告が行われているとしたら、
それは別段問題ないでしょ?　ところが、これを「いかなる場合でも
結論を先に書いたら証明としての形式が破綻するということなのだ」と
思い込んだ人がそこかしこにいる、という現実がある(悲しいことに、
採点者側にも混じっていないとは言い切れないようだ)。

受験板で議論して有益なのは、百歩譲ってもここまでの「状況を
明らかにし、踏まえる」ことまで。誤解した人が”なぜ”誤解したのか、
あるいはガイドラインが”なぜ”絶対視されるルールのように扱われて
しまうことがあるのか、は、ここでやって益のある議論じゃない。

>>711
20について。4次関数で難しいですが、図を描くとわかりやすいです。
g(x)は「w」の形をしており、下2つの山の頂上（谷の下端）は同じy座標、x=0について線対称です。
(1)
f(x)より大きく、g(x)より小さいような、あるyに対して（fの最大値とgの最小値の間の、横に伸びた帯「すき間」を想像）、
xを任意に指定したとき、f(x)<y<g(x)が成立する、ということです。
つまり、f(x)<g(x)であり、かつf(x)とg(x)の間にyがあればよい。
そして、f(x)<g(x)というのは、「f(x)の最大値M < g(x)の最大値m」を考えればいいわけです。
そうすれば、M<mはM≠mですから、必ずyはMとmの間に（y=Mやy=mにならないように）とることができます。
(2)
（※(1)で、Mがmより多少大きくなっても、f(x)とg(x)が交わらなければ(*)は成立します。fとgの「重なりあり」を想像）
x=x2を任意に指定したとき、そのx1に応じた f(x1)<y<g(x1) を満たすyが存在する、すなわち f(x1)<g(x1)。
これをすべてのxについて成り立たせればよく、それはつまり f(x)<g(x) ということです。
(3)
（※(1)(2)より緩やかな条件です）
y=y3を任意に指定したとき、そのy=y3の線より下にf(x3)、上にg(x3)がくるような
x=x3を見つけることができるようにaを決めるということですが、
実はy3の値にかかわらず、aの値にかかわらず（f(x)とg(x)が離れていても交わっていても）、
x=x3が見つけられる（具体的にはx3をとても大きな値とすればよい）ことは図からもわかります。

>>716
そうですね。見返せば、スレ違いも甚だしいですね。
質問の延長線上と捉えて、感覚が麻痺していたようです。
最後まで有益なお話ありがとうございます。
文字通りスレを汚して申し訳ありませんです＞皆さん

黄色チャートの問題で
ｆ(θ)＝sin(θ＋A)＋cosθとする。ただし、Aは０以上２π未満の定数である

(１)ｆ(θ)をｒsin(θ＋α)という形に変形したときの、ｒ(≧０)をAを用いて表せ。
(２)ｆ(θ)の最大値が１未満になるためにAが満たすべき条件を求めよ



(２)のー１≦sin(θ＋α)≦１というところがわかりません。
θの範囲が書いてないのにどうして上のようになるのですか？

大雑把に書くと、θの範囲特になし（たぶん実数）ということはθは
-∞<θ<∞
を満たすから定数aを足して、
-∞<θ+a<∞
θ+a=t
と置くと、
sin(θ+a)=sint
で、sint（tは任意の実数）は-1以上1以下じゃん？
これでおｋ？

範囲が特に書いてないときは-∞<θ<∞になるのですね
ありがとうございました。

a^2(b−c)＋b^2(c−a)＋c^2(a−b)
これを因数分解するという問題なんですが、aについて整理するっていうのがあまり理解出来ません。
どなたか解説をお願いします。

>>718
f(t)=sintcosa+costsina+cost=sintcosa+cost(1+sina)
r^2=cos^2a+(1+sina)^2=2+2sina

r^2=2(1+sina)<1
sina<-1/2
(7/6)π<a<(11/6)π

>>721
a^2(aのない式)+a(aのない式)+(aのない式)にすることです
a^2(b-c)＋b^2(c-a)＋c^2(a-b)=a^2(b-c)+a(c^2-b^2)+b^2c-bc^2=a^2(b-c)+a(c-b)(c+b)+bc(b-c)=(b-c)(a^2-a(b+c)+bc)=(b-c)(a-b)(a-c)=(a-c)(c-b)(b-a)

>>723
回答ありがとうございます。
b^2c-bc^2というのはどこから出て来てるのでしょうか？

m,n≧2とする
m^3+1^3=n^3+10^3
を満たすm,nを求めよ

という問題の論理的な解き方が分かりません
学校の空き教室の黒板に落書きされてた問題なんで解説はありません
適当に代入していけば勿論求まるんでしょうが……
変な質問で申し訳ないですが、よろしくお願いします

>>725
今年の一橋の問題だね

>>726
そうなんですか。一橋とは書いてあったんですが年度までは書いてなかったんで……
ひょっとしてそういう問題の解説ってどこかで公開されてるものなんですかね？

面倒臭いけど、試験場で思いつきそうな解法は

等式を変形して
m^3 - n^3 = 999

m^3 - n^3 > 0 ∴ m > n

で、

m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn - n^2)

で、

(m^2 + mn - n^2) - (m - n) > 0 ∴ m^2 + mn - n^2 > m - n


999(= 3^3 * 37)をa×b（0＜a＜b）の形に素因数分解する方法は4通りしかないからあとはしらみつぶし

m - n = 1 , m^2 + mn + n^2 = 999

などと置いて、1文字を消去して最終的にはmかnについての2次方程式が整数解を持つものが答えだよん


河合塾の解答速報と比べるとあまり、センスがあるとは言い難いが、俺が試験場で解くとしたら、この解法をとると思う。

等式の片方の辺を文字式だけに、もう片方を数だけにして、文字式を因数分解、数を素因数分解して、
あとはその積の組み合わせからしらみつぶしってのは、定石だから覚えておくべき。
こういうのは、等式が1個に対して文字(元)が2個だから解が定まらないから、不定方程式っていうんだけど、1対1とかに詳しく解法が整理されてるから、見ておいたほうがいいよ。

>>728-729
ありがとうございます。
河合塾の速報もチェックしてみましたがやはりこちらの方が実践しやすいですね……
早速不定方程式をチェックしてみます。

>>728
解答速報ではどうなってるか教えてくれないか？
パソコンがないから見れない

質問、というか私の解答のどこが誤っているか指摘してほしいのですが
住人が頼みの綱です、よろしくお願いします

問　△ABCの面積を48、内接円の半径を3、辺ABに接する傍接円の半径を24、
辺BCに接する傍接円の半径を12とする。この三角形の3辺の長さを求めよ。

解答（どこかが誤っているはずです）
BC=a, CA=b, AB=c,
辺ABに接する傍接円の傍心をI[A]、辺BCに接する傍接円の傍心をI[C]、
I[A]からBCに下ろした垂線の足をD、I[C]からABに下ろした垂線の足をE、
I[A]D=xとおく
　∠I[A]BC=∠I[C]BA、∠I[A]DB=∠E[C]EB
より二角相等で、「△BDI[A]∽△BEI[C]」（☆）だから
　I[A]D=12, I[C]E=24
よって
　BI[C]=24I[A]B/12=2x･･･�@
さらに
　BD:BE=1:2（∵☆）
　BD=a+b+c/2-c=16-c、BE=a+b+c/2-a=16-a　（∵48=3(a+b+c)/2）
より
　a=2c-16･･･�A

また
　x^2=I[A]D^2+BD^2=c^2-32c+400･･･�B
次に
　∠I[A]BC=∠I[C]BA、∠I[A]CB=(π-∠BCA)/2=∠BI[C]A
より二角相等で、△BI[A]C∽△BAI[C]だから
　BI[A]:BC=BA:BI[C]
　ac=2x^2（∵�@）
　(2c-16)c=2(c^2-32c+400)（∵�A�B）
　c=50/3（以下略）

解答では傍接円の半径と面積の関係を用いてc=14で、答えが合いません
自分でも考えたのですがどこがいけないのか分かりません･･･

>>733
ところどころミスがあるけどcは同じになった
問題間違いない？

実際に図を正確に書いてみて計ってみれば、どっちが正しいかだいたいわかるんじゃないか？

>>732
問題の状況はあり得ませんので解はありません

>>734
確認しましたが、転記ミスはないようです
一橋の過去問のようです（私が実際に見ているのはT緑会の問題集）

>>735
傍接円と内接円から三角形を描くの難しいですね･･･
とりあえず正答のはずの解で描いてみます
なにか便利な描画ソフトないですかね？

>>736
どういうことですか？
S=(-a+b+c)r[A]/2　等から導かれる解はa=12,b=6,c=14で
三角形の存在条件を満たすので十分だと思うのですが･･･？

>>734
I[A]D=xとおく→I[A]B=xとおく
∠E[C]EB→∠I[C]EB
ミスが結構ありますね、すいません･･･（まだあるかも？）
またD,Eは垂線の足でなくて接点を置くほうが自然そうですね
この辺は本題とは関係なさそうなのであれですが

>>737
その3角形の面積は16√5です

>>739
まさにその通りですね
おまけにfunctionviewで描こうとしたら矛盾が生じました

なぜこのようなことが起こるのでしょうか？？
鈍角三角形であることが関係しますか？
このS=(-a+b+c)r[A]/2の定石を用いた場合、面積について十分性を
確認しなければならないということでしょうか？
質問ばかりですみません

この問題は条件が過剰です
3辺で面積は定まり
内接円の半径および3つの傍心円の半径が定まりますので
面積・内接円の半径・2つの傍心円の半径という4つの値を独立に決めることはできません
なお鈍角3角形であることは関係ありません

あ、すみません、鈍角三角形のくだりは誤解していました

>>741
ああ、レスがかぶってしまいました
なるほど、とてもよく分かりました
丁寧にありがとうございます
鈍角三角形は確かに関係がないですね

質問に答えてくださったみなさんありがとうございました

>>737
>一橋の過去問のようです（私が実際に見ているのはT緑会の問題集）
数値は確かですか？

>>744
面積が平方センチメートル、長さがセンチメートル表記ですが確かです

条件一つ削ってみたら難問になった･･･

連投失礼
一橋98年まで遡りましたが見当たりませんでした
問題集自体の数値が間違えている可能性は否定できません

>>745
出題時のから数値変えてるような気がする。特定解法で解くことだけ考えて
数字だけ適当に変えた結果、図形としての整合性が取れなくなってるのじゃ
ないかな、と想像した。

年次が分かれば一橋出題時の問題に直接当たるのが有益だと思われ。

>>725
(m-n)^3+3mn(m-n)=999 より m-n は 3の倍数。
m-n=3k とおくと k(3k^2+mn)=3･37 より k=1，3。

酔っ払って思いつきで回答。間違ってればすまそ。

>>748
河合塾の解答速報もそんな感じでした
凄いですね……

４個のサイコロを１回振るとき、出た目の数の期待値を求めよ。

この問題を出た目の種類が１、２、３、４の場合でそれぞれ場合分けして解いたのですが、答えが合わないんです。

自分は
�T)出た目が１種類→6/1296
�U)出た目が２種類→450/1296
�V)出た目が３種類→480/1296
�W)出た目が４種類→360/1296

このようになったのですが、どこが間違っているでしょうか？

ちなみに答えは671/216だそうです。

>>750
I) 6=6C1
II) 210=6C2・(2^4-2)
III) 720=4C2・6P3
IV) 360=6P4

>>750 出た目2種になるパターンと3種になるパターンが数え違い。
2種(a)出目がabbb のパターン
　a,bの選び方が(1個の目と3個の目で区別できるから) 30通り
　並べ方が4通り　積で120通り
2種(b)出目がaabbのパターン
　a,bの選び方が(ともに2個で区別できないから)15通り
　並べ方がC[4,2]=6通り　積で90通り
2種の場合の合計が210通り

3種は出目がabccの1パターンのみ
　選び方がabが区別できずcは他の2種と条件が違うから C[6,2]*4=60通り
　並べ方はa,bの位置を特定すればいいからP[4,2]=12通り　積で720通り
210+720=930 だから他2つと足してちゃんと1296通りになる。

出目の種類の期待値は
(1*6+210*2+720*3+360*4)/1296 = 4026/1296 = 671/216

文系でMARCH志望です
基礎問題精講�TA・�UB
文系数学の良問プラチカ�TA・�UB
やれば過去問どれくらい解けますか？
学校の先生に聞いたら９割とけるとか
本当ですか？

>>751-752
丁寧にありがとうございました。おかげで理解できました。

赤本にしようか青本にしようか迷ってます
赤本は解説が悪いという噂を聞いたんですがどうなんですか?
早稲田理工のやつですが

>>753
本当です


>>755
一番信用できるのは黄本。これしかない

質問します。

数�TＡの二次関数の応用で
「底辺と高さの和が４である三角形の最大値を求めよ」
この文章題を途中式込みで
教えてください。

>>757
三角形の最大値とは？

>>758
すみません、「三角形の面積の最大値」でした。

底辺をxとおくと高さは4-xと表せる。（0<x<4←この範囲は長さが正である条件。）
よって面積をSとおくと
S＝1/2x(4-x)⇔S＝-1/2x^2+2x
⇔S=-1/2(x-2)^2+2
0<x<4の範囲ではx=2のとき最大値2を取る。

>>757
マルチ

すみません

ある工場で、機械A B C でそれぞれ全体の
25%,35%,40%の製品を作っている。
それぞれの機械は、1%,0.75%,0.5%の不良品を作ることがわかっている

いま1つの製品が不良品であったとする
このときかれば機械Aから作られたものである確率を
求めなさい

がわからないです

>>762
この工場全体で40000個製品作るとしてそれぞれの不良品の出てくる個数を考える

どなたかこの問題お願いいたします。
1直線上の4点A､B､C､DにおいてA｜B｜C、A｜C｜D⇒B｜C｜D、A｜B｜Dを証明せよ。
A｜B｜CはABCの順でBがAとCの間にあるという意味です。

>>764 左右という言葉を使っていいとして、
A|B|C という並びが確定しているのだからBは必ずCの左に存在する
A|C|D という並びが確定しているのだからDは必ずCの右に存在する
よってCを基準にBは必ずその左、Dは必ずその右に存在するので、
　この三者はB|C|Dという位置関係になる。

この結論により、Dは必ずBの右に存在する。
またA|B|Cという並びが確定しているから、AはかならずBの右に存在する
よってBを基準に(以下ry

「順」は決まっているが、左右とか前後とか、ともかく「相対的な2者の位置や
順序を言う」言葉は定義されないから(未定義のまま)使っちゃダメと言われると
厄介だが。

↑自明だが訂正
AはかならずBの「左」に存在する

⇔
と
→
←
の違いは何ですか？

f（x）=sin（logx）

(1)

e^-2π<x<1の範囲でy=f（x）が極値をとるときのxの値を求めよ。

（2）

y=f（x）の変曲点で0<x≦1にあるものをx座標が大きい方から順にＰ1、Ｐ2、Ｐ3 、…とする。
これらのうちでe^-2π<x<1にあるものの座標を求めよ。

（１）は良いとして、（２）を普通に第二次導関数からsin（logx）＋cos（logx）＝0 を出して合成して解いたら答えは出たのですが…。
変曲点に規則性があると思うのですが。
この問題の本質は何ですか？
考え方は上記のでいいでしょうか。
宜しくお願いします。

>>768
t=logxは単調増加関数
sintが極値 ⇔ sinlogxが極値
t=π/2+2nπで極大 ⇔ x=e^(π/2+2nπ)で極大
t=-π/2+2nπで極小 ⇔ x=e^(-π/2+2nπ)で極小

y'=cost・(1/x)
y''=(-sint)(1/x)^2+(cost)(-1/x^2)=-sin(t+π/4)・(1/x^2)の符号は-sin(t+π/4)の符号と一致する
y''=0すなわちt+π/4=nπとなるtにおいて変曲点となる
e^(-2π)<x<1 ⇔ -2π<t<0
t=-3π/4, -7π/4

>>767
⇒は「ならば」、⇔は「同値」。
xについての条件p(x),q(x)を考える。
p(x)⇒q(x)が真とは、条件p(x)を満たすxは全て、条件q(x)も満たすこと。
p(x)⇔q(x)が真とは、p(x)⇒q(x)が真かつq(x)⇒p(x)が真。
p(x)⇒q(x)が真でも、q(x)⇒p(x)が真とは限らないので注意。
詳しくは数学Ａ。

>>769
>t=-3π/4, -7π/4
t=-π/4, -5π/4

>>767
後者が右矢印と左矢印が上下に合わさって1文字となっている記号だとしたら、
どちらも同じ意味です。どちらかといえば前者が一般的です。

>769

どうもありがとうございました。

次のAを常に満たし、更にBも満たす多こう式f（x）を求めよ。
A （x＋3）f‘（x）＝2f（x）＋8x−12
B f（0）＝3

f‘（x）はf（x）を微分したものです

この問題教えてください

>>774
f(x)=a_nx^n+…+a_1x+3
f'(x)=na_nx^(n-1)+…+a_1
(x+3)f'(x)=na_nx^n+…+a_1x+3na_nx^(n-1)+…+3a_1=na_nx^n+((n-1)a_{n-1}+3a_n}x^(n-1)+…+(a_1+3a_2)x+3a_1
2f(x)+8x-12=2a_nx^n+…+2a_1x+6+8x-12=2a_nx^n+…+2(a_1+4)x-6
na_n=2a_n
n=2
a_1+3a_2=2(a_1+4)
3a_1=-6
a_1=-2
a_2=2
f(x)=2x^2-2x+3

>>775
または
n=1かつa_1=2(a_1+4)かつ3a_1=-6
NG
n=0かつ0=8かつ0=-6
NG

ttp://uproda11.2ch-library.com/11184781.jpg.shtml

内容は物理なんですが、ただの部分積分なのでここで質問します。

画像がちょっとでかいので保存してから見てください、

画像の通り、一番上に書いてある、式を部分積分するだけなのですが、答えとちがう値になってしまいま。
赤で囲ってあるのが正しい答えです。αで置き換えることど部分積分で答えを出すのは一応必須の条件です。

よろしくお願いします。

ってかね、画像サイズでか過ぎだし、字汚すぎだろ
おまけにVzは変数なのに積分したあとの答えにVzが出てるとかもうアホかと
とりあえずVz=xとおいてきれいに清書しろ
あと、答えにπが出てることから通常の計算じゃ出来ないことくらい悟れ
ちなみに∫[-∞,∞]e^(-x^2)dxの積分計算は重積分を使って求められます

pと2p+1がともに素数となるような自然数pについて考える．
(1) p>3ならば，p=6n-1(nは自然数)で表せることを示せ．
(2) p>5ならば，pの一の位は1,3,9のいずれかであることを示せ．

申し訳ありません．全く手がつけられません．お願いします．

>>779
(1)そもそも素数は2,3を除けば6n-1か6n+1でしか表せない。
(2)(1)から30n+5,+11,+17,+23,+29、+5と+17を除外する。

>>780
ってことは，こんな感じですか。

(1) 6n-2=2(3n-1), 6n-1, 6n=2(3n), 6n+1, 6n+2=2(3n+1), 6n+3=3(2n+1)
のうち，5以上の素数を表せるのは6n-1と6n+1のみである．

ここでp>3において，p=6n+1ならば，2p+1=2(6n+1)+1=3(4n+1)となり，この数は素数とならない．
よって題意の素数は6n-1の形でのみ表せる．

(2) さて，6k(kは自然数)と表される自然数のうち，一の位が0になるものの中でkが最小となるのはk=5．
6n-1という形で表される自然数において，n=5m,5m+1,5m+2,5m+3,5m+4をそれぞれ代入して，
6n-1
=6(5m)-1,6(5m+1)-1,6(5m+2)-1,6(5m+3)-1,6(5m+4)-1
=30m-1,30m+5,30m+11,30m+17,30m+23
mは任意の自然数であるが，このうち，30m+5=5(6m+1)より，これは素数ではないので不適．
また，p=30m+17のとき，2p+1=2(30m+17)+1=5(12m+7)より，これは素数ではないので不適．
以上より，p>5のとき，
p=30m-1(1の位は9),30m+11(1の位は1),30m+23(1の位は3)
となるので，命題成立が証明される．

一の位の数字の変位を見やすくするために(10の倍数)+kの形にするって発想を忘れてましたね．
己の浅薄な知識を思い知りました．ありがとうございます．

>>775>>776
解答ありがとうございます

直線の式をy=mx+nとおいたりするときっていうのは必ずm=0の場合も考えて解答に書くべきなんですか??

なんかy=mx+nとおいたときにx=aのときの場合が解答に書かれてるのを見たのですが･･･

違いがわかりません･･･教えてください

>>783
問題書いて

>>783
x=aの場合は「y=mx+nでm=0の場合」じゃないぞ。代入すれば分かるが別物。
m=0（傾きが0)の直線はx軸に平行。x=aの形の直線はy軸に平行(x軸に垂直)

x=aの形の直線はy=mx+nの形では表すことができないから、
座標平面に含まれる全ての直線を検討する必要があるときには、
原則的には、別に検討する必要があると思っていい。

>>785さん

なるほど!!!丁寧な説明ありがとうございます!!

では直線の式をy=mx+nとしたときはm=0の場合を解答には書かなくていいのですか??

そもそも、x=aって、m=0の場合じゃないし…。

>>786
必要があればm=0は解として出てくるから、普通は特別扱いの必要はない。
無論x=aの形の直線は(しつこいけどこれは別物なので)別に検討の必要がある。

ただ、問題文側で、直線の式が傾きを使った形で指定されてる場合は別。
この場合には出題側で除外しているわけだから、x=aの形は考えなくていい
(785で「原則的には」と書いたのはこれが理由)

俺の手元に数研出版の『教科書傍用オリジナル数学II』というのがあって，
そこの例題29に載っている問題の解答が，まさに>>786さんが思っている疑
問のソリューションになると思うよ．問題は次の通り．

mの値が変化するとき，2直線mx-y+5m=0...(1)，x+my-5=0...(2)の交点Pの
軌跡を求めよ．

解答方針はざっとしか書かないけど，次の通り．

mは任意の実数値をとる(つまり1億でも0でもマイナス百万でも何でもいい)
ので，(1)(2)はパっと見るとどんな直線でも表せそうでしょ．
(たとえば，(1)でx=5だったらy=0でしょ．つまり(5,0)という点しか表せないのよ．)

でも，(1) -> m(x+5)-y=0，(2) -> my+(x-5)=0
となるので，それぞれのmの係数であるx+5やyを0にするような直線，つまり，
(1)の式は直線x=-5,(2)の式はy=0を表すことはできないのよ．

だから，求める交点の軌跡には，この2直線の交点(-5,0)は含まれないのよね．

参考になりましたか？

ああ、ごめん、

(たとえば，(1)でx=5だったらy=0でしょ．つまり(5,0)という点しか表せないのよ．)

という行は下から2行目のとこに挿入しなおして読んでみて．

しかもマイナス抜けてたね。

(1)でx=-5だったらy=0でしょ．つまり(-5,0)という点しか表せないのよ

連投すまん

>>788さん

ではm=0はどういうときに調べる必要があるのですか??

>>792
「普通は特別扱いしなくて良い」って書いた通り。したがって「普通でない事態が
生じる場合」にはm=0を別扱いする必要が出てくることがあるが、それは
問題ごとに判断すべき内容。あえて指針を示すなら、

・傾きが0である直線と、それ以外とで問題の構図が変わるとき
・傾きが0でないときには「傾きで割る」操作が発生するようなとき　とは言えるかも。

後者について、たとえば「定点 (-2、1)を通る直線pとこの直線に直交する
直線qについて…」と言う問題だったら、pの式を y=m(x+2)+1　といきなり
置くのは危険。
なぜなら、m=0の場合もう一方の直線はx=-a(aは任意の実数)になり、
傾きを使った形で表せなくなるから。こんな設定の場合は、pが y=1 になる場合と、
それ以外の場合(pを上記の式で扱える場合)とに分けることになる可能性が高い。

個別事例を挙げだすときりがないので、最終的には「問題見てm=0を
特別扱いするかどうか判断してね」というしかない。

楕円の外部にP(p,q)があり、Pを通る楕円の接線が二本存在することを示せ

この問題の場合は場合分けはいるのですか??

その疑問を考えるのに必要な材料なら、793ですでに提示している。

質問する前にまずやってみようよ。その上で生じたより具体的な疑問点になら
また答えましょう。結果だけ知りたいなら問題集の答えを見ればいい話。

>>793「までで」提示済み、と言い換えておく。

もう一度書くが、ある問題で傾き0の直線を特別扱いする必要があるのかどうかは、
問題ごとに自分で判断すべきことだよ。個別の問題でその必要の有無を人に
聞いていたのでは取り組みにならない。

先にストックを作りたいなら、まずは色々な問題で、解答の論理の流れを追って
経験的に判断できるようにすることは可能だろうけど、その場合も、場合分けの
必要の有無を人に聞く必要はないよね。

楕円の方程式をx^2/a^2+y^2/b^2=1 a,b>0であるとします。

(i)Pを通る直線がx=pでかつp=aのとき,q=bで題意をみたす

(ii)Pを直線をy=m(x-p)+qとすると、
m=0のとき(i)と同様のときである

m=0でないとき･･･

あとは楕円の方程式に代入して、判別式を使ったりして示す



みたいな感じでいいのでしょうか･･･

>>797
場合分けがちゃんとしてない。図を描いて考えるべき。
また、たとえば楕円の側がx^2/3^2 + y^2/4^2 = 1 で、
Pの座標が(3、8) みたいな時はどうするの、と言うことになる。
(これは>>797での(i)の分類に当てはまるけど、水平な接線はない。
　つまり、>>797の考え方はここでは破綻していて、場合分けの
　取り方・考え方に失敗している)

さらに言えば、元書かれた問題設定だと、楕円の軸の交点が
原点に来るとも、楕円の軸がx軸・y軸に平行だとも書いてないんだよねｗ
これは省略しちゃったんだろうけれど、これ(特に後者)がないと
大きく解答構成自体が変わる。

で、それらの前提はしていいとするならば、場合分けは
p=±aの場合（この場合、接線のうち一本がy軸に平行になる)と、
pの値がそれ以外の場合(y軸に平行な接線がない)、と考えれば十分。
水平な接線は特別扱いしなくても答えに出てくる。

>>797
x^2/a^2+y^2/b^2=1
(x, y)=k(m, n)+(p, q)
(km+p)^2/a^2+(kn+q)^2/b^2=1
k^2(m^2/a^2+n^2/b^2)+2k(mp/a^2+nq/b^2)+p^2/a^2+q^2/b^2-1=0
(mp/a^2+nq/b^2)^2-(m^2/a^2+n^2/b^2)(p^2/a^2+q^2/b^2-1)=0
(mpb^2+nqa^2)^2=(m^2b^2+n^2a^2)(p^2b^2+q^2a^2-a^2b^2)
2mnpq=m^2q^2+n^2p^2-m^2b^2-n^2a^2
m^2(q^2-b^2)-2mnpq+n^2(p^2-a^2)=0
D=(pq)^2-(q^2-b^2)(p^2-a^2)=p^2b^2+q^2a^2-a^2b^2
p^2/a^2+q^2/b^2>1
p^2b^2+q^2a^2>a^2b^2
D>0

>>798
>さらに言えば、元書かれた問題設定だと、楕円の軸の交点が
>原点に来るとも、楕円の軸がx軸・y軸に平行だとも書いてないんだよねｗ
そのように座標を取り直せばよいので
この際問題ないと思われます

m=0を別扱いする必要がないことだけ示すのが目的なので、
計算が省略できる↓の路線で。

楕円に対して引かれた接線は、その状態でx軸、y軸方向を偏倍して
楕円を円に変形したときもまた接線である。したがって題意は、
円外の点P’:(p'、q') から円C:x^2+y^2=1 に対して接線が2本引けること
とを示せれば示せることになる。

p'=±1のとき、P'が円外にあるためにはq'≠0。
x=p'は明らかに円Cの接線である。このときP'を通る直線は
一般にy=m(x±1）+q'と書ける。
この直線と原点との距離d_1はd_1=|±m+q'|/√(m＾2+1)であり、
d_1=1を満たすmが一つだけ存在すればいい。
m＾2+1 = (±m+q')＾2= m＾2±2mq'+q'＾2 だからこれはmの1次方程式であり、
唯一の解m=±(1-q'^2)/2q'　が確かに存在する。

p'≠±1のとき、p'^2+q'^2>1である。
このとき、y=m(x-p'）+q' と原点との距離d_2は
d_2=|-mp'+q'|/√(m＾2+1) であり、d_2=1 を満たすmがかならず二つ
存在すればいい。
m^2+1 = p'^2m^2-2p'q'm+q'^2
(p'^2-1)m^2-2p'q'm+(q'^2-1)=0 これをmの2次方程式とみて判別式をDとすると
D/4 = (p'q')^2-(p'^2-1)(q'^2-1)
= p'2+q'^2-1 >0 より、確かに実数解mは2つ存在する。

以上より題意は証明された。

円 x^2+y^2=1-�@と円 (x-4)^2+y^2=4-�Aに共通な接線の方程式を求めよ。
チャートに似た問題があったのですがどうしても解けません。お願いします。

>>800の指摘はその通りだけど、
だったら最初に座標をどのように設定するかは書かなきゃいけないので
解答構成を変更して、最初にそのくだりを書く必要がある、ということにはなる。

最後のところは= p'＾2+q'^2-1 >0　です( ^ の記号が抜けた)

人のやったのに解説をつけるのもナニだけど、>>799氏の方法は
直線を媒介変数kによる表示の形に直して(2行目)、連立させてできる
方程式をそのkの方程式として扱い、それが重解を持つ条件を考えている。

この形なら確かに、y軸に平行な直線を特別扱いする必要は「原理的に」
排除できる。そもそもy=mx+ｎという形式がx、ｙに対して対称でないから、
その非対称性がx=aという形の直線の特別扱いの必要性を生み出している。
だから、媒介変数表示やpx+qy+r=0 の形ならそうした例外措置は要らない。
(もっとも、その代わりにこれらの形式は、直線の式が一意に決まらなくなる、
というデメリットも抱えてはいる)

>>802
円 x^2+y^2=1
の接線は、接点を(X,Y)とすると
Xx+Yy=1
で表される
この直線は円 (x-4)^2+y^2=4と接するから、直線と、円�Aの中心との距離は�Aの半径と一致
この式と、X^2+Y^2=1であることから、X,Yが求まり、接線の式が求まる

>>798さん

Pを(3,4)とすると、これはどの場合になるのですか??

|4X-1|/√X^2+Y^2=2までは解けたのですがいまいち解が合いません。
よろしくお願いします。

>>805
>>801の解答の構成を見て欲しい。
楕円が　(x/3)^2+(y/4)^2=1 で、そのままやるとしても、
P(3,4) のときとP（3,8) のときは分けずにちゃんと結果は出るはず。

つまり、P(3,q)の形の点は全て一括して、「傾きを持つ直線の式の形で
表せる接線が1本、y軸に平行な接線が1本」になる場合だ、として解ける。
「傾きを持つ直線」の傾きが0である場合を特別扱いする必要はない。

同様に、「Pのx座標が±3でなく、ｙ座標が4であるとき」という場合分けは不要。
「Pのx座標が±3でない場合」の場合分けに吸収できる
(傾きを持つ形で表せる2本の接線のうち、一本の傾きが0になるだけのこと)

>>806
横からだが、X^2+Y^2=1、だよ((X,Y)は円1上の点の座標)

>>804氏の解法が速いし分かりやすいけど、図形的に解く手も。
図を書いて相似な三角形を見つけると、
接線のx切片が-4になるものが2本、4/3になるものが
2本あることはすぐ分かるんで(2円の中心を、半径の比で
外分する点と内分する点になる）、接線はy=m(x+2) 、y=n(x-4/3)
の形、これが x^2+y^2=1に接する、と攻めることもできる。

「傾きを持つ直線の式の形で
表せる接線が1本、y軸に平行な接線が1本」になる場合だ、として解ける。
「傾きを持つ直線」の傾きが0である場合を特別扱いする必要はない。


傾きが0は傾きを持つ直線っていえるんですかね??しょーもない質問ですみません

y=3みたいなものは、「0という傾きの値を持つ直線」でいいのでは?
y=0・x+3と書くことも可能なわけだし。

数IIの教科書の微分のところで、
「微分係数f'(a)は(a,f(a))を接点とする（y=f(x)の）接線の傾きである」と
書いてあるけれど、どこにも「f'(a)=0の場合を除く」という但し書きはない。

微分が未習だったら、分かりにくい例で申し訳ないですが。

一方、y軸に平行な直線はこれと異なり、(有限の値で)傾きを表すことが
できないので、これは「傾きをもつ直線」とは言えないことになる。

>>808
アドバイス有難うございます。

半径２√３の円Ｃ上に２点Ａ，Ｂがあり、ＡＢ＝６であるとする。
点Ｐを円Ｃ上の動点とするとき、ベクトルＡＢとＡＰの内積の最大値・最小値
を求めよという問題です。ｘ軸とＡＢを並行にとってやってみたところ、
最大値・最小値が１８±１２√３
となりましたが、あっていますでしょうか？

>>812 違ってるっぽい。

円の中心をOとしてABは∠AOB=120°の位置、
AB↑・AP↑=AB↑・(OP↑-OA↑)
=AB↑・OP↑-OA↑・AB↑、
ここでOA↑・AB↑はPの位置に関わらない定数、
　AB↑・OP↑はOP↑の長さが一定値3だから、
　OP↑がAB↑と同じ向きのときに最大で逆向きのとき最小、

|AB↑|=6だから|AB↑・OP↑|≦18で、-(OA↑・AB↑)±18 の形になるような。

ttp://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1411507019

√2が有理数であると仮定すると、互いに素な2つの自然数ｐ、ｑによって
√２=p/q
と表すことが出来る。両辺二乗して整理すると
2q^2=p^2
ｐ、ｑは互いに素なので、q=1しかありえず
2=p^2
しかし、このような自然数pは存在しない。　QED



これの「ｐ、ｑは互いに素なので、q=1しかありえず」
ってとこが何故そうなるのか教えてください

>>812
Pから直線ABに下ろした垂線の足をHとすると
↑AB・↑AP=AB・AH or -AB・AH
Oから直線ABに下ろした垂線の足をQとすると
AH=AQ+QH or HQ-AQ
QHの最大は半径の2√3
よって
↑AB・↑APの最大は6(3+2√3)=18+12√3
最小は-6(2√3-3)=18-12√3

>>814
qが1でないならqは素因数分解でき
素因数の一つをrとするとp^2はrで割り切れる
rは素数であるからpはrで割り切れる
rはp, qの公約数となるので
p, qが互いに素であることに反する

>>814
左辺2q^2はqで割り切れる。従って右辺p^2もqで割り切れる。