一日一題数学問題を出題するスレ

私が毎日、旧帝レヴェルの数学問題をうｐする。
諸君はそれを見て、各自解いてくれたまえ。
次の日に解答への方針、解答と次の問題をうｐする。
質問はなるべくしないように。別にしてもいいが。
難易度は私感ではあるが、大数の基準を採用する。
つまり入試問題を10段階に分けて、
１〜５はＡ、６．７はＢ、８．９はＣ、10はＤとしよう。

荒らしにあうか、反応なしに終わってしまう感もある。
単なるオナニースレに終始してしまう恐れもある。
しかし、しかし、私は負けない。
一日一題出題し続けるのだ。

数学記号の書き方
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
図・グラフ掲示板
http://www6.tok2.com/home2/wi2003/cgi-bin/bbs3/bbsnote.cgi

( ﾟ,_･･｡)ｱﾊﾞﾊﾞﾊﾞｯ

【掲示板での数学記号の書き方例】
■数の表記
　●スカラー：a,b,c,...,z, A,B,C,...,Z, α,β,γ,...,ω, Α,Β,Γ,...,Ω, ... （← ギリシャ文字はその読み方で変換可．）
　●ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V) （← 混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．）
　●行列（１成分表示）：M[i,j], I[i,j]=δ_[i,j]
　●行列（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...]',[0,1,0,...],...] （← 行（または列ごと）に表示する．）
■演算・符号の表記
　●足し算：a+b
　●引き算：a-b
　●掛け算：a*b, ab （← 通常"*"を使い，"ｘ"は使わない．）
　●割り算・分数：a/b, a/(b+c), a/(bc) （← 通常"/"を使い，"÷"は使わない．）
　●複号：a±b=a士b, a干b （← "±"は「きごう」で変換可．他に漢字の"士""干"なども利用できる．）
　●内積・外積・３重積：a・b, aｘb, a・(bｘc)=(aｘb)・c=det([a,b,c]), aｘ(bｘc)
■関数・数列の表記
　●関数：f(x), f[x]
　●数列：a(n), a[n], a_n
　●平方根：√(a+b)=(a+b)^(1/2) （← "√"は「るーと」で変換可．）
　●指数・指数関数：a^b, x^(n+1), exp(x+y)=e^(x+y) （← "^"を使う．"exp"はeの指数．）
　●対数・対数関数：log_{a}(b), log(x/2)=log_{10}(x/2), ln(x/2)=log_{e}(x/2) （← 底を省略する場合，"log"は常用対数，"ln"は自然対数．）
　●三角比・三角関数：sin(a), cos(x+y), tan(x/2)
　●行列式・トレース：|A|=det(A), tr(A)
　●絶対値：|x|
　●ガウス記号：[x] （← 関数の変数表示などと混同しないように注意．）
　●共役複素数：z~
　●転置行列・随伴行列：M', M† （← "†"は「きごう」で変換可．）
　●階乗：n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1, n!!=n*(n-2)*(n-4)*...
　●順列・組合せ：P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, Π[n,k]=nΠk, H[n,k]=nHk （← "Π"は「ぱい」で変換可．）

2

■微積分・極限の表記
　●微分・偏微分：dy/dx=y', ∂y/∂x=y,x （← "∂"は「きごう」で変換可．）
　●ベクトル微分：∇f=grad(f), ∇・A=div(A)，∇ｘA=rot(A), (∇^2)f=Δf （← "∇"は「きごう」，"Δ"は「でるた」で変換可．）
　●積分：∫[0,1]f(x)dx=F(x)|_[x=0,1], ∫[y=0,x]f(x,y)dy, ∬_[D]f(x,y)dxdy, �点[C]f(r)dl （← "∫"は「いんてぐらる」，"∬��"は「きごう」で変換可．）
　●数列和・数列積：Σ_[k=1,n]a(k), Π_[k=1,n]a(k) （← "Σ"は「しぐま」，"Π"は「ぱい」で変換可．）
　●極限：lim_[x→∞]f(x) （← "∞"は「むげんだい」で変換可．）

■その他
　●図形："△"は「さんかく」，"∠"は「かく」，"⊥"は「すいちょく」，"≡"は「ごうどう」，"∽"は「きごう」で変換可．
　●論理・集合："⇔⇒∀∃∧∨¬∈∋⊆⊇⊂⊃∪∩"は「きごう」で変換可．
　●等号・不等号："≠≒≦≧≪≫"は「きごう」で変換可．

※ ここで挙げた表記法は１例であり，標準的な表記法からそうでないものまで含まれているので，後者の場合使う時にあらかじめことわっておいたほうがいい．
※ 関数等の変数表示や式の括弧は，括弧()だけでなく[]{}を適当に組み合わせると見やすい場合がある．
※ 上記のほとんどの数学記号や上記以外の数学記号は大体「きごう」で順次変換できる．

後期発表までひまだっからお願いします！！

では、早速出題しよう。
過去プレの引用である。・・・いや、パクリである。


0=<x=<π/2において
|sinx+sin2x+sin3x|<ksinx
を満たす、最小のkの値を定めよ。(オリジナルＡ)


これくらい、解けないようじゃ、センターも突破できませぇん。

こんな夜中に良スレ発見

初日ということで、無難に三角関数とした。
諸君の要望が
　あ　れ　ば　
応えよう。

>1答えのうっpと、次の問題を出題する時間帯を教えてくれ

基本はこの時間帯。つまり午前０時〜３時。

>11OK、ｻﾝｸｽ

k=6

スレ立ち記念にもう１題出そう。
早速今年度入試を取り入れることにした。


tan1°は有理数か。(京都大学Ｂ)


論理の京大にふさわしい、いい問題である。
私感ではあるが、近年の京大数学は旧帝で最低レヴェルに思える。

13のようなネタばれの対処を考えていなかった。

各自って事は解けても答え書くなって事？

しかも正解。

書いちゃ拙かったかすまん。

書いてもいいだろう。
いや、むしろ書いて、意見交換した方が理想的なスレになる。
まだ解けていない人は、見たい欲望を敢えて抑えてくれ。

丸一日時間があるなら宮廷レベルと言わず数オリレベルの方が楽しめる気はする

>>20
東興５時間入試めざしてる訳じゃないから、そいつはやめよう。
とはいいつつも、たまに出題してみよう。

(難易度)=旧帝ではなく、=>旧帝以上に訂正。

まあ、こんな感じで、要望も書いていってくれたまえ。
長寿スレになることを祈る。批判は勘弁。

私はもう眠りにつこう。ばいん

お休み。>>14は各予備校でうｐされた時に解いたから明日のを楽しみにしとく

ｼﾞｮｲﾄｲ様、場合の数お願いします。

時々ageないとな

>>7
x＝0の時
0<0で不成立に…なりませんか？？

ｱｹﾞ

ｎ個のボールを4個の箱に分配する。空箱は出来てよい。�@〜�Bの場合の数は？
�@ｎ個のボール全て区別でき、かつ4個の箱も全て区別できる。
�Aｎ個のボール全て区別できず、かつ4個の箱は全て区別できる。
�Bｎ個のボール全て区別でき、かつ4個の箱は全て区別できない。

できれば範囲を書いてほしい。
例えばこの問題はＩ･Ａだけで解けるとか
この問題は�V・Ｃやってないと解けないとか

２ちゃんねるまで来て数学の問題など解きたいとは思わん

つーかサロン池や
もしくは数学板

あげ

ちょっと早いが・・・
問題文の角の範囲で=を除くに訂正。
cosx=c sinx=sと表記する
【>>7の解答】
　(与式)⇔-ks<|s||4c^2+2c|<ks
s>0であるから、両辺sで割ってもよいから
　-k<|4c^2+2c|<k
0<c<1より
　-1/4<(中辺)<6
したがってk=6・・・【答え】

【>>14の解答】
tan1が無理数であることを以下、証明する。

(証明)
tan1を有理数と仮定する。
0<k<89(kは自然数)としたとき、tankを有理数とする。
するとtan(k+1)は加法定理より有理数である。
以上により数学的帰納法の考え方に基づき、
0<m<90(mは自然数)でtanmは有理数である。

0<m<90(mは自然数)でtanmは有理数である。
という命題に対する、反例はtan30である。不合理を得た。

以上よりtan1が無理数(終わり)

本日の1問。希望に答えて場合の数。


nを自然数とし、x,y,zを整数とする。
|x|+|y|+|z|<=nを満たす(x,y,z)の組み合わせの数を求めよ。(オリジナルB)


ちょっと簡単すぎ？
明日から激しくしまぁす。

>>34でルート3が無理数ということの証明は、いらないだろう。
心配なら適当に示してくれたまえ。

>>34
もっとエレガントにできんか？

tan(1)°を有理数と仮定。
tan(2^n)°も有理数。（∵倍角の公式）
1/√3=tan(30)°=tan(32-2)°=【有理数】　（∵加法定理）
矛盾。

>>37
試験場で思いつくなら。
私の解答が普通の発想でしょう。

もっと言えば

tan1°を有理数と仮定すると
tan30°も有理数(∵加法定理)
矛盾

がベストのような気はする。本番だともう少し詳しく書くだろうけど、
倍角を繰り返し用いるのも加法定理を繰り返し用いるのも同じでしょ

あと、同じく>>29を要望してみる。

>35はAか？
数列使えばBも入るのだが、私が作成した解答はAのみである。

文系に考慮して
基本的に数�VCは出題しない。

>39
>tan1°を有理数と仮定すると
>tan30°も有理数(∵加法定理)

詳しく。

>>42
下に書いたように加法定理を繰り返し用いて1°を足してくと30になる
>>34の解答と結局は同じ事
一般の整数度に言及すると90°になる事を避けなければならないから、
試験で書くなら、tan(α°+1°)=(tanα°+tan1°)/(1-tanα°tan1°)を繰り返し用いることで、ぐらいでいいだろう

ん、αにすると同じか。
余計な事は書かずに「加法定理を繰り返し用いることで」の方がいいか

おもろいことやってますねー。
参加させてくださいな。

場合の数の問題回答
1.4^n
2.n+3C3
3.4^n/24

>>1さんの問題も解いてみるよー

１次以上の整式で任意の自然数xに対してf(x)が素数になるものは存在しないことを示せ。

(　ﾟдﾟ)9m

(4n^3+6n^2+8n+3)/3

｛誘導｝

大学受験サロン
http://school5.2ch.net/jsaloon/

係数は整数って条件ついてたかも。
まぁそれでも存在しないのは明解なんだけどね。

>>46
任意のn次の整式f(x)に対して実数a0,a1,a2,・・・,anが存在して
f(x)=a0
+a1(x-1)
+a2(x-1)(x-2)
+・・・
+an(x-1)(x-2)・・・{x-(n-1)}(x-n)
このときf(1),f(2),・・・,f(n)が全て整数ならばa0,a1,・・・,anは全て有理数

よって任意の自然数xに対してf(x)が整数ならば
ある整数A0,A1,・・・,Anおよび自然数Nが存在してf(x)=(A0+A1x+A2x^2+・・・+Anx^n)/N。
f(N)が整数であることからある整数mが存在してA0=N*mであり、
このmに対して、kに関する各係数が整数で1次以上のある整式g(k)が存在してf(k|A0|)=m*g(k)、
g(k)の条件よりg(K)が-1と1以外の整数となるような自然数Kが必ず存在し、このKに対してf(K|A0|)=m*g(K)は必ず合成数である。

以上から任意の自然数xに対してf(x)が素数となるような1次以上の整式f(x)は存在しない。

あ、m=1の可能性を忘れてたｗ

>>50後ろから2行目以降訂正

g(k)の条件よりg(K)が-1と1以外の整数となるような自然数Kが必ず存在し、|m|≠1の場合はこのKに対してf(K|A0|)=m*g(K)は絶対に素数ではない。
|m|=1のときには、ある整数B1,B2,・・・,Bnが存在して
f(k|A0|)=g(k)=1+B1k+B2k^2+・・・+Bnk^nである。
明らかに|g(P)|≠1となるような自然数Pが存在し、このときg(P)=Qとおく。
Q=0の場合、g(P)=f(P|A0|)=0は素数ではない。
Q≠0の場合、一般に任意の整数xに対してg(x+Q)-g(x)はQの倍数だから、
任意の自然数lに対してg( P+l|Q| )はQの倍数であり、
かつ明らかに|g( P+L|Q| )|≠|Q|となるような自然数Lが存在する。
このLについてg( P+L|Q| )=f( (P+L|Q|)|A0| )は絶対値が1でない2つの整数の積であるから素数ではない。

以上から任意の自然数xに対してf(x)が素数となるような1次以上の整式f(x)は存在しない。


今度はまず大丈夫だと思うけど、えらく解答が汚いなorz
シンプルな答案ｷﾎﾞﾝ

>>52
最後の方でやっと、解法のアイデアが現れたな。
つまり、始めの方は蛇足。

【ヒント】
xが自然数のときf(x)が素数ならば、
1<f(N)≡0 (mod 1)
ここで、
f(N+f(N))≡0 (mod f(N))
よって、
f(N+f(N))=f(N) (∵f(x)は素数)
すなわち、f(x)=f(N)の解は無限に存在。
矛盾。

>>33
|4sc^2+2sc|<ks
のあとは-ks<s(4c^2+2c)<ks　じゃないの？

おもしろそうだから参加する。

>>38
俺、京理後期受けたけど、試験場でまずはじめにその解答が思いついたよ。

じゃあ俺も

y=e^(-x)とy=ax+3(a<0)で囲まれる面積を最大にするようなaを定めよ。


(新数演、Ｃ***)

たたたたたかは京医うかったの？

>>57
を類題経験なしで解けたら、相当すごいと思う。

>>57
問題あってるのか？

>>57 全然わからね

>>57
それ類題､受験直前に学んだが､超時間かかった｡
俺も素直に類題しらなきゃ受験場ではキツいと感じて解法に感動した｡

-2√2/log(3+2√2) ？？

ふにゅすぎて、解答書く気もなくなるような、問題です。

【>>35解答】
|x|+|y|+|z|=nのときを考える
�@)いずれか１つが０のとき
�A)いずれか２つが０のとき
�B)いずれも０でないとき

(�@)12(n-1)
(�A)6
(�B)4(n-1)(n-2)

題意を満たす数は
Σ_[k=1,n] (�@)12(k-1)+6+4(k-1)(k-2)・・・【こたえ】

46に似せて、本日の１問。


ｎを自然数、P(ｘ)をｎ次の多項式とする。
P(0)、P(1)、P(2)、・・・、P(n)が整数ならば、
すべてのｋに対し、P(k)は整数であることを証明せよ。(東工大C)


範囲的には数�T、もしくは論証という意味なら数Aでしょうか？
【解答】(証明)題意は有名事実。(終)・・・【こたえ】

おふざけの１問


0<x<1においてf(ｘ)の最大値を求めよ。
ただし以下の条件に従い、f(ｘ)=x^2(1-x)とする。
条件−微分してはならない

>>65
f(x)=x^{2(1-x)}
こういう式？

>>65
１だろ

>>58
センター脚きりだｗ
京理前期受かった。

65の訂正
(1-x)x^2

3次関数の変曲点と極値に関する比の有名事実の問題か

>>69は本人なのか？

(1-x)x^2 = 4(1-x)(x/2)(x/2)
and AM-GM

>>72正解

age

>>64
申し訳ないが、64の解答はしばし(もう1日)待っていただきたい。
何しろ多忙なため。

>>75
トリップ統一汁！

教えてくり
→半径aの円柱3本をどの3本も直角になるようにしたときの共通部分の体積V？
　　　　　　　　　　　　　↑
　　　　　　　　　　　xyz平面の原点みたいな部分

>>77答えって1/6(32-11√2)a^3かな？？合ってたら解説できるんだが

あっ訂正1/3(32-11√2)a^3かな。

直感的には球？
全く自信はないが

>>80
球ではない。
考えるな、感じろ。

全国主要大学・将来期待賃金表上位
（ttp://mitleid.cool.ne.jp/75.htm）


�@　一橋大　　1178.5万円
�A　東京大　　1116.7万円
�B　京都大　　*955.6万円
�C　東工大　　*918.6万円
�D　慶應大　　*811.9万円
�E　神戸大　　*692.1万円
�F　上智大　　*602.9万円
�G　東北大　　*596.7万円
�H　名古屋　　*591.5万円
�I　九州大　　*579.6万円

俺はあんま球は意識してないなぁ。具体的な積分計算は二回した。まぁ答えにはあんま自信ないwww

面が球形の一部になったサイコロみたいな形だよな？
まず円柱2本のときの断面考えてやるとできそう

まぁx≧0、y≧0、z≧0において図をかいて、その立体をy=xで分ける。その分けてできた立体Aの体積を求めれば、あとその体積を16倍すれば答えは出ると思う。俺はAの体積を求めるのにAをさらにx=a/√2でわけてやったから、実際の積分計算は二回やることになった。

V=(16-8√2)a^3
かな。

2003年芝浦工大
2004年名古屋市立大
で半径1の場合が出てる。
2005年東大に類題あり。

あーじゃあおれまちがえたかorz

で、結局マジな答えはなんなんだ？？

去年の東大と同じ問題だった。理系第6問
>>86ので正解
ソースは鉄緑の東大数学問題集だから解答の質は申し分ないと思うけど、それでも物凄い量になってる。
これ時間内に解けた受験生居るんだろうか

まだまだ修業がたりんか。出なおしてきます。

ごめん同じじゃないけど解答で>>77の面積を求めてた、だ。よく読め俺orz

面積？東大のは立体の曲面積か？なら体積と比べたら半端なくむずそうだが。で、結局体積の方の答えは>>86でいい？

>>86でおｋ
東大のはr＞0で
x^2+y^2≦r^2
y^2+z^2≧r^2
x^2+x^2≦r^2
の共通部分の面積を求める問題
解答(別解だけど)では>>77のを求めてx^2+y^2≦r^2かつz^2+x^2≦r^2の面積から引いてる。

ごめん、体積。頭逝ってる

激ムズやな。勉強がんばろwww夏ごろから鉄緑手出してみるか。文系だけどw

>>86
円柱の軸を軸としたxyz空間を考える。
z=kで考えれば、0≦k≦√2では円と正方形の共通面積を考えれば良い事が分かり、
極座標を取って第一象限右下の交点を(a, θ)と取れば、
この面積は対象性より、
(π/4-θ)a^2/2 + a^2cosθsinθ/2
の8倍となり、k=asinθであることを用いて先のkの範囲で積分してこの部分の体積は
16/3-7√2/3と分かる。
更に√2/2≦k≦1ではただの正方形の面積を求めれば良く、
4(a^2-k^2)をkで積分して、
8/3-5√2/3を得る。
故に共通部のz<0の体積も加えて
(16-8√2)a^3を得る。

文字で書くと長いが図で書けば、ルーズリーフ半分で終わる。
積分も簡単なものでz=kで切るという基本を守れば解ける基礎問題と言える。

ちなみに面積は更に簡単で、
x^2+y^2=a^2
y^2+z^2≦a^2
z^2+x^2≦a^2
x=acosθ
y=asinθ
とおき、zをθで表せばある円柱が作る共通部分の表面が分かり、対象性から
32(1-√2/2)
となる。

どちらにしても、教科書レベルの事が出来れば解ける良くある易問であると言える。

>>96
基礎的な理解度が試されるとは言え、決して易問ではないでしょうけどね。
そのへん、かっこつけずに客観的に評価できるようになれば一流ですね。

ところで表面積の32のところは48の間違いではないですか？

>>89
積分するだけなので意外とみんな解いてるよ。
自分も解いたし、うちのクラスにも結構いた。

すいません>>77ですが、
>>96さん、2行目のkの範囲の√2とはどこからでてきたんでしょうか？

「４以上の任意の偶数は２個の素数の和であることを証明せよ」
(1968年東大理類数学)

>>99
x^2+y^2≦a^2かつ
y^2≦a^2-k^2かつ
x^2≦a^2-k^2
ここからk=√2/2を境に場合分けが必要だと分かる。
分かりにくければ以上の式を図に起こせば3秒で分かる。

a√2/2だな

よーし飛び切り難しい問題を出してやる。
次の無限級数の和を求めよ。
Σ[n=1,∞]{(1+2+3+・・・+n)/n!}

簡単じゃん。そんなの誰でも解けるよ

>>100
ゴールドバッハ予想だろーが！死ね！

>>100
リーマン予想だろうが！逝け！

>>100
ファルコンの定理やんけ！ウンコ！

>>77ですが、よぉーくわかり申した（バガボンド21巻の酒屋での又八）
ありがとうございました。求積がまた好きになりました

>>104
please show me your solution and answer.

>>100
それ６以上じゃないかな
それに、ゴールドバッハ予想だよ。

双子素数は無限に存在することを示せ
(解決済み)

三つ子素数をすべて決定せよ。（制限時間５分）

３５７

これ以外は必ず３で割れる

知識をひけらかすな。自作問題で勝負汁？

自作問題？

３進法で数字をあらわし、その全ての桁の数を合わせたものをＡｎとする。
たとえば、Ａ４＝１　Ａ６＝３　Ａ８＝２
Ａｎがｋとなる確率をＰｋを求めよ。

上は無理やな。
Ｐ３を求めよ。

>>111
2004年5月に、"Proof of Infinitely many Twin Primes"
と題された論文が Richard Arenstorf によって提出された。
この論文は上記のハーディ・リトルウッドの予想が正しい
と主張するものであるが、内容に重大な誤りがあるとして
著者自身によって撤回された。

大嘘こくな。ボケ！

>>116
意味不。
Ａnのnってなに？

(　＾ω＾)
lim_[x→∞]( 1 + 1/n )^n
は収束することを示せ。

A6とA8の値はそれで合ってるの？だとしたらわかんね

(　＾ω＾)意味不明。>>120訂正。

lim_[n→∞]( 1 + 1/n )^n
は収束することを示せ。

>>116
A4=2, A6=2, A8=4ではないの？

あ、そうだA4も違うな。問題の解釈の仕方が違うのか？

>>122
lim_[n→0](a^x-1)/x=1が成り立つaをeとする（eの定義）
e^x-1=tとおくと、x=log(1+t)

よってlim_[t→0]{log(1+t)}/t=1・・・�@
また(log(1+t))/t=log(1+t)^(1/t)=log(1+1/s)^s （t=1/s）
これと�@より、lim_[s→∞]log(1+1/s)^s=1
またlog(e)=1であるのでlim_[s→∞](1+1/s)^s=eとなる。
ここでsをxに置き換えれば（与式）=eとなる。証明終

>>116
あぁ、4進法なら、たとえば〜に合うな

今見たら、1行目はn→0じゃなくてx→0だな。
それとe^x-1=tとおいてるから、x→0のときt→0となることも書いといた方がよかった。
同じようにt→0のとき、s→∞も。

>>125
そもそも、eの定義式なんだから、eを使った証明は危険。
オーソドックスに上に有界であることを示すべき。

そうだね。
eの定義を使うんだったら、それが収束することを示さないと意味ない。
証明というものがわかっとらんね。

e定義はlim_[n→0](a^x-1)/x=1が成り立つaをeとする。
だけかと勘違いしてた。で与式の定理を証明せよという問題かと。
今調べたら、複数の定義があるんだな。すまん

あれ？n→∞だからe関係なくね？１じゃね？
違ったら初心者なんで許して下さい＞＜

自己解決しました_no

(　＾ω＾)有界性と単調増加性を示しておわりだお

１がいなくなったようなので、私が続きを。

問題（難易度Ｂ）
できの悪いさいころがあり、それぞれの目が出る確率は一定ではあるが、
すべて等しいとは限らないものとする。
このさいころを３回続けて投げるとき、奇数の目が１回だけ出る確率は
4/9を越えないことを示せ。

p+q=6 ,0≦p≦6 ,0≦q≦6
p*q^2=(6-q)*q^2≦4*[(1/3)*{(6-q)+q/2+q/2}]^3=32
よって、題意は示された。

>>134
1回さいころを振って奇数が出る確率をｐとする
1回さいころを振って偶数が出る確率は１−ｐとなる。
題意の確率）⇔３ｐ^2（１−ｐ）
こいつを０＜ｐ＜１で微分し、増減表を書くと、ｐ＝２／３で最大値を取ることがわかる。
ｐ＝２／３のとき、題意の確率は４／９．∴題意の確率≦４／９■

>>136
すげー
よく思いついたな、

めちゃくちゃ基本的なやり方だと思うが・・・

>>136 題意の確率のもとめかた教えてくれ

1回目、2回目、3回目が、順番に奇、偶、偶となる時、偶、奇、偶となる時、
偶、偶、奇となる時、この3つの場合があるからそれぞれの確率足して、3p^2(1-p)

>>139
3Ｃ1・ｐ・ｐ・（１−ｐ）よーん

ん？間違えた。
俺のやったやつは、偶数の出る確率をｐっておいてるわ。
まぁどっちにしろ一回さいころ投げて奇数の出る確率が１／３のときに
４／９最大っておもってくれりゃいい。ｸﾞｽﾝ

飽きずに今日も出しますよ。

今日の問題（難易度Ａ）
sin(πx/2)=3cos(πx/2)を満たす正の実数xのうち、
小さい方から数えて20番目のものの整数部分を求めよ。

日曜スペシャル（難易度Ｃ）
a_1=2, a_2=3, a_[k+1]≧a_k + 2 (k=2, 3, 4, ……)を満たす整数列{a_n}に対して、
S_n=a_1+a_2+a_3+……+a_n
とおく。
このとき、任意の自然数nに対して、S_nとS_[n+1]の間には平方数が存在することを示せ。

＞＞出題者

解答掲載時に出題校の記載をｷﾎﾞﾝﾇ。
自分のﾚﾍﾞﾙを計るときの参考になるので。

>>144
了解。もしよかったら解答投稿してくださいね。
参加者が1人でもいれば続けるから。

ちなみに>>134の問題は名城大。

>>143
下の方。

平方数の数列{1,4,9.…}をb_n(n=1,2,…)とし、その差分をc_[n+1]=b_[n+1]-b_nと定義すると、これはc_2=3で公比2の等比数列。
また数列{S_n}の差分{a_n]がa_1=2, a_2=3, a_[n+1]≧a_n + 2みたすので常にb_n＜S_n　…(1)

あるnについてS_nとS_[n+1]の間に平方数が存在しないと仮定。
S_nより小さい最大の平方数をb_mとしたとき、S_[n+1]より大きい最小の平方数はb_m+1となり、
このときb_[m+1]-b_m＞S_[n+1]-S_n⇔c_[m+1]＞a_[n+1]かつm+1≦n+1(∵(1))となるが、
これはn≧2におけるa_nがa_[n+1]-a_n≧2を、c_nがc_[n+1]-c_n=2をみたし、a_2=c_2=3であることから誤り。矛盾を得た。

差分を考える事で成り立つのは分かったけど、上手く証明するのが難しかった。
上手くまとまってないけど間違ってはない、はず、多分

あー、最後の行訂正
これはk≧2におけるa_kがa_[k+1]-a_k≧2を、c_kがc_[k+1]-c_k=2をみたし、a_2=c_2=3であることから誤り。矛盾を得た。
nを使っては駄目だorz

e^π、π^e
の大小を比較せよ

１＋１＝？

>>148

f(x)=(logx)/xとおく。f'(x)=・・・よりy=f(x)は[e,∞]で単調減少。∴f(e)＞f(π)⇔e^π>π^e
よく出される典型題だけど、これ自力で思いつく奴ってなかなかいないよな？

>>142 ありがと、何か深い意味があってpを2乗したのかとオモタ

　　


　　　　　　　　　sin1(rad)は無理数か？　　　　　　　　

有利数

>>146
m+1≦n+1 (∵(1))
の部分はなぜ言えるんでしょうか？
b_m＜S_n＜S_[n+1]＜b_[m+1]
が成り立つとしたら、(1)によりm＞nが必要だと思いますが・・・。
(なぜなら、m≦nだと自動的にb_[m+1]＜S_[n+1]となるから。)

こちらが読み違いをしているのかもしれませんが、よろしければ詳しい説明を。

>>154
勘違いですorz
眠気が酷いので起きてまだ解答者が出てなければ再度考えます

40万部のベストセラー『嫌韓流』の第2弾

『嫌韓流2』発売中

意外とおもしれーぞ

>>146
ロジックだけ。
背理法で解く。
N^2<S[m]<S[m+1]<(N+1)~2
をみたすN,mが存在すると仮定。
ところが、このとき、
m<N
S[m+1]-S[m]<2*N
となり、与式を使って、S[m+1]から逆算すると、
S[1]>1
矛盾。

まあ、直感で数列{S[n]}を逆算したら、「１」まで辿り着けんわな。

双子素数の逆数の総和は有限であることを示せ
(これは本当に解決済み)

基本問題の方は誰も解いてないので、難問の方だけ解答を。略解気味ですが。

間に平方数が存在しないようなS_nとS_[n+1]の組があるとすると、
あるmに対してm^2≦S_n＜S_[n+1]≦(m+1)^2
よって、S_[n+1]-S_n≦(m+1)^2-m^2=2m+1
すなわち、a_[n+1]≦2m+1
与式により、a_[n]≦a_[n+1]-2であるから、
a_[n]≦(2m+1)-2≦2m-1
同様にして
a_[n-1]≦2m-3
a_[n-2]≦2m-5
・・・
・・・
a_2≦2m-2(n-2)-1

ここでm＜nとするとa_2≦2m-2(n-2)-1＜3となって不合理なので、m≧n・・・(1)

S_n
=a_n+a_[n-1]+・・・+a_2+a_1
≦(2m-1)+(2m-3)+・・・+{2m-2(n-2)-1}+2
=2m(n-1)-(n-1)^2+2
=2mn-n^2-2(m-n)+1・・・(2)

仮定より
m^2≦S_nであるから、m^2≦2mn-n^2-2(m-n)+1
すなわち、(m-n)^2+2(m-n)-1≦0
ここで、m, nは自然数で、かつ(2)であるから、不合理である。

この問題の出典は不明。整数論の有名問題のようです。
一昔二昔前の京大あたりで出そうな雰囲気の問題です。

>>143の上の問題は答えは38、出題は日大・理工でした。

>>64
ｎを自然数、P(ｘ)をｎ次の多項式とする。
P(0)、P(1)、P(2)、・・・、P(n)が整数ならば、
すべてのｋに対し、P(k)は整数であることを証明せよ。(東工大C)

解答キボンヌ

P(x)=A[0]*(x-1)*(x-2)*・・・*(x-n)+
A[1]*x*(x-2)*(x-3)・・・*(x-n)+
A[2]*x*(x-1)*(x-3)・・・*(x-n)+
・
・
A[n]*x*(x-1)*(x-2)・・・*{x-(n-1)}

とおくと、簡単に証明できるんだが、この式は果たして一般性を保っているのか？
直感は保っているんだけど、厳密に証明するには逆行列が存在することを示さねばならない希ガス。

P(x)がn+1次式⇒P(x+1)-P(x)はn次式

>>163
おお！スゲ！帰納法と組み合わせたら、鮮やかに証明できるな。
でも、P(x+1)-P(x)がｎ次の多項式の一般式であることは、どうやって示すのかな？

40万部のベストセラー『嫌韓流』の第2弾

『嫌韓流2』発売中

意外とおもしれーぞ

ああ、そうか。P(x+1)-P(x)がｎ次の多項式の一般式であるかどうかはどうでもいいんだ。
P(x)がn+1次の多項式の一般式であることだけが必要ってことだ。

「10が二つ、4が二つある。どんな順番でも良いから、これらを全部使って、足したり、引いたり、掛けたり、割ったりして、答えを24にしたまえ」
「では、今度は7が二つ、3が二つだ。この四つの数で同じように24を作りたまえ」

(笑わない数学者より引用)

問題

ｎ≧3

XYZは整数
ｎ　 ｎ
X　＋Y　＝Z
(Xのｎ乗＋Yのｎ乗＝Z)

↑これは絶対にありえない、それはなぜか説明しなさい。

>>168
0^n+0^n=0 ,1^n+1^n=2

お前の脳みそがありえない。

(　＾ω＾)ﾜﾛｽｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>168
フェルマーの最終定理をひけらかすような香具師は素人だよ。釣りか?
プリンストン大学アンドリューワイルズ教授が論文100枚を用意し、
300年間解かれることのなかった問題が解決されたのだよ。

一辺１の立方体について
立方体の中心を通る対角線を軸として一回転させて
できる立体の体積を求めよ。

中学生の問題かよ。。。

>>168も痛いが>>171が痛すぎｗｗｗｗｗ
その問題をどう見てフェルマーの最終定理と言ってるのか。

>>167
(10*10-4)/4={3+(3/7)}*7=24

>>175
答え出たなら言わずもがなだけど正解
後者を思いつくのは中々凄い

同じ本からもう一問
「さて、では、もう一つ問題を出そう。五つのビリヤードの玉を、真珠のネックレスのように、リングにつなげてみるとしよう。
玉には、それぞれナンバが書かれている。さて、この五つの玉のうち、幾つ取っても良いが、隣どおし連続したものしか取れないとしよう。一つでも、二つでも、五つ全部でも良い。しかし、離れているものは取れない。
この条件で取った玉のナンバを足し合わせて、1から21までのすべての数ができるようにしたい。さあ、どのナンバの玉を、どのように並べて、ネックレスを作れば良いかな？」
注釈として、勿論ビリヤードの玉は1〜15まで。

>>174じゃあちょっと見やすくした。これならどう？

n≧3
Ｘn＋Ｙn＝Ｚn
XYZは整数
(Xのn乗＋Yのn乗＝Z)

↑これは絶対にありえない、それはなぜか説明しなさい。

>>177
今自分が物凄い恥を晒してる事を自覚した方がいい

確かに…、半年ﾛﾑります。

(　＾ω＾)乙　だから全部0なら成り立つし

172は最近どっかで見た問題だな。
北大だっけ。

問題:
n個の連続した自然数の積はn!の倍数であることを示せ。

>>182
pC10 の意味を考えれば自明

172の解答ｷﾎﾞﾝﾇ

〉〉176
1-2-4-6-8のはず

>>172
√3π/6じゃね？

隣どおし連続して無い様な気がす。

>>187
問題ちゃんとみてなかった…
1-2-3-7-8だな

生き恥じさらした
逝ってくる

>>176
どのような玉の繋ぎ方をしても題意の足し合わせ方によって現れる数は高々21通りであるから
1から21までのすべての数があらわれるように玉を5つ繋ぐとき
それらの玉の数を題意の足し合わせ方に従って足し合わせたとき現れる数はいずれも異なる・・・(*)。
従って題意の足し合わせ方に従って足し合わせたとき現れる数の最大値、すなわち5つの玉の数の総和は21である・・・(**)。

(*)より5つの玉の数の中に1と2が含まれなければならない。1と2の繋ぎ方で次の2通りに場合分けをして考えられる。

(I) リングへの繋ぎ方が順に1,2,?,?,? (?は任意、以下同)のとき
　　(*)より3は含まれず、4が含まれなければならない。これを含めさらに次の2通りに場合分けをして考える。
　　　(I)-(i)1,2,4,?,?または1,2,?,4,?のとき
　　　　　　 (*)より5が含まれなければならず、また(**)より9も含まれなければならない。このような繋ぎ方はいずれも不適。
　　　(I)-(ii)1,2,?,?,4のとき
　　　　　　 (*)より5は含まれず、6が含まれなければならず、また(**)より8も含まれなければならない。このような繋ぎ方はいずれも不適。

(II) リングへの繋ぎ方が順に1,?,2,?,?のとき
　　(*)より2は含まれず、3が含まれなければならない。これを含めさらに次の3通りに場合分けをして考える。
　　　(II)-(i)　リングへの繋ぎ方が順に1,3,2,?,?のとき
　　　　　　　 (*)より4,5,6は含まれず、7が含まれなければならない。すると(**)より8が含まれなければならないが、このとき7が2つふくまれるので(*)に反する。ゆえに不適。
　　　(II)-(ii) リングへの繋ぎ方が順に1,3,?,2,?のとき
　　　　　　　 (*)より4は含まれず、5が含まれなければならず、また(**)より10も含まれなければならない。
　　　　　　　　このような繋ぎ方のうち、順に1,5,2,10,3を繋いだもののみが条件に全て適する。
　　　(II)-(iii) リングへの繋ぎ方が順に1,3,?,?,2のとき
　　　　　　　　題意の足し合わせ方により3が出るような玉の選び方が2通りあるので(*)に反し、不適。

残りの繋ぎ方は全て、回転・裏返しにより、以上で考察したいずれかの繋ぎ方に一致する。

以上から、題意の条件を満たす繋ぎ方は、「1,5,2,10,3をこの順にリングに繋いだものに一致するもの」のみ。

190訂正
＞どのような玉の繋ぎ方をしても
→どのように玉を繋いでも

度々すみません。

>>176
(前半略)

(II) リングへの繋ぎ方が順に1,?,2,?,?のとき
　　(*)より2は含まれず、3が含まれなければならない。これを含めさらに次の3通りに場合分けをして考える。
　　　(II)-(i)　リングへの繋ぎ方が順に1,3,2,?,?のとき
　　　　　　　 (*)より4,5,6は含まれず、7が含まれなければならず、また(**)より8が含まれなければならない。このような繋ぎ方はいずれも不適。
　　　(II)-(ii) リングへの繋ぎ方が順に1,?,2,3,?のとき
　　　　　　　 (*)より4が含まれなければならず、また(**)より11も含まれなければならない。このような繋ぎ方はいずれも不適。
　　　(II)-(iii) リングへの繋ぎ方が順に1,?,2,?,3のとき
　　　　　　　　(*)より4は含まれず、5が含まれなければならず、また(**)より10も含まれなければならない。
　　　　　　　　このような繋ぎ方のうち、順に1,5,2,10,3を繋いだもののみが条件に全て適する。

残りの繋ぎ方は全て、回転・裏返しにより、以上で考察したいずれかの繋ぎ方に一致する。

以上から、題意の条件を満たす繋ぎ方は、「1,5,2,10,3をこの順にリングに繋いだものに一致するもの」のみ。

>>192
正解。

てか>>1何処行った

>>193
私は1じゃないですけど、解いてくれる人がいるんなら出しますけどね。。。
>>143の上の問題が無視されたってことは、難しめの問題の方がいいのかな？

>>194
どうだろう。他の人はどうか解らんけど、俺は整数問題とか場合の数・確率とか、あと京大のtan1°みたいな論証系とかが好き。

ちょっと軽めの一問
実数a,bがa+b=17をみたすとき、2^a + 4^bの最小値を求めよ

なんか昔の数オリで見た気がするぞ。
2^a+4^(17-a)の微分は
log2*2^a-log4*4^(17-a)
=log2(2^a-2*4^(17-a)) = 0 とすると
2^a=2^(35-2a)より
a=35/3
2^(11+2/3)+2^(10+2/3)
=2048*4^(1/3)+1024*4^(1/3)
=3072*4^(1/3)

2^a+4^b=2^(a-1)+2^(a-1)+4^b
≧3(2^(a-1)・2^(a-1)・4^b)^(1/3)
=3(2^(2a+2b-2))^(1/3)=3・2^(32/3)
ってやるのもいいかもね

>>196-197
正解。出題は去年の数オリ予選から。

1998の倍数のうち、各桁の位が等しくなる最小の数を求めよ

つか俺もなんかやりたい。誰か面白そうなの出してくれ。

つか俺も何かやりたい。誰か面白そうなの出してくれ。

うは、なんか知らんけどﾀﾞﾌﾞった。ﾃﾗﾊｽﾞｶｼｽ

x^2-3y-z=-8
y^2-5z-x=-12
z^-x-y=6

をみたす。x,y,zを求めよ。

◆ 旧司法試験大学別合格者数及び合格率一覧（平成11〜17年度）
ttp://www.moj.go.jp/PRESS/index.html
<数順>　　【国公立大学】　　　　　　　　　　　　【私立大学】
　　　　合格者　出願者　合格率　　　　　　合格者　出願者　合格率
東大　１５３１（２０９３７）　7.31%　　　早大　１２７９（３６９９９）　3.46%
京大　　７９９（１１６９１）　6.83%　　　慶應　　８４６（１９９２３）　4.25%
一橋　　３１９（　５４６８）　5.83%　　　中央　　７２１（３５６０８）　2.02%
阪大　　２５４（　４８０８）　5.28%　　　同大　　２０６（　８９３４）　2.31%
東北　　１５３（　４４７３）　3.42%　　　明治　　１９８（１４７３０）　1.34%
神戸　　１４９（　４３１５）　3.45%　　　上智　　１６６（　４４９８）　3.69%
名大　　１２３（　３１４８）　3.91%　　　立命　　１１２（　７９０９）　1.42%
九大　　１１５（　３８４８）　2.99%　　　関西　　１０８（　６６７３）　1.62%
北大　　１１４（　３３９５）　3.36%　　　日大　　　８１（　７１９３）　1.13%
都立　　　４６（　２１７８）　2.11%　　　法政　　　７６（　６９６５）　1.09%
阪市　　　４２（　２５７２）　1.63%　　　立教　　　７５（　３２８６）　2.28%
広島　　　３８（　１６２４）　2.34%　　　関学　　　７１（　３８７３）　1.83%
千葉　　　３４（　１８９０）　1.80%　　　青学　　　５４（　３５６６）　1.51%

みすった。z^のとこz^2ね。

>>200
簡単すぎ

(　＾ω＾)うむ。1、2、3。

f(x)は微分可能でf'(x)-f'(0)は奇関数であるという。このとき∫[-1→1]{f(x)-ax}^2dxを最小にするaはf'(0)であることを証明せよ。



難易度Ｃ***の問題です。

>>195
なるほどね。
いかにも受験っぽいのよりは、思わず考えたくなるような問題って感じかな？
じゃあこんなのは。

黒板に数字1と2が書かれている。次の方法で新しい数を黒板に書き足すことが許されるものとする。

方法：黒板に数a, bがあるならば、ab+a+bを書くことができる。

このような方法で次の数を黒板に書くことができるか。
(1) 13121
(2) 12131

>>200
今年の予選だな。それ後回しにしてて結局解かなかったんだが、試験終わって考えたらとんでもない易問だった。泣いた。

>>205
aで微分して部分積分すれば簡単に。。。

>>206
どうでもいいけど、それって、例えば１１が書けるとして、もとから２があるとして


１　　２　　　　１

ってかけるの？

>>206
これは良問だね、ちょっと代数の教科書見てれば簡単なんだけど

>>209
そういういみなの？
最初に1,2が書かれてるから、
　1・2+1+2=5
を書き足せて、1,2,5が書かれてることになるんだろ？
じゃあ次は、1と5で11、2と5で17、1,2で5を書き足せるのかな。

>>211
そういういみなんだろうけど、黒板って言ってるし、別に良いかなぁってｗ

>>212
うほｗｗ把握ｗｗ

あとはこんなのとか。ちなみに入試問題ではありません。

Ｋ大学の学生であるＡ君とＢ君はそれぞれ12時から1時までの任意の時刻に食堂にやって来て、
ちょうどt分間だけ食堂で過ごして出て行く。
（t分間過ごした結果、出て行く時刻は1時を過ぎてしまうこともある。）
いま、一方が食堂にいる時にもう一方がやってきて（もちろん同時でもよい）、
2人が同時刻に食堂にいる状況になる確率は40％であるという
（つまり、2人の食事時間帯に重なりが生じる確率が40％）。
このとき、tの値を求めよ。

ただし、連続的事象の確率は面積の比率で定義するものとする。
たとえば、地球儀から任意の1点を選んだとき、そこが日本国内である確率は
（日本の面積）／（地球表面全体の面積）
という分数で定義する。

>>214
オレ、そういう感じので、適当にバス停に向かった時、どのぐらいの確率でバスに出会えるかやったことあるｗ

>>206の題意はやや難しい部分もありますが、
>>211に書かれているように解釈してください。
ab+a+bは普通の掛け算と足し算で、
これまでに黒板に書かれているすべての数字の中から、
好きなものを使って新しい数を作ることができます。

あ、ちなみに論理的には
a=bであっても別にかまわないので、
1・1+1+1=3
とかも書けることになりますね。

>>209
純粋に数学の問題なので、マッチ棒パズルみたいなのはなしです。ｗｗ

>>206
とりあえず(1)
整数nについて、n=ab+a+b⇔n+1=(a+1)(b+1)
ここでb=2としてn+1=3(a+1)
この式を繰り返し用いることで13122=3^8-1は黒板に書くことができる事が示される。

ごめ、13121=3^8-1

CM関東ver　　　　 http://gazo33.chbox.jp/cm/src/1141651491052.wmv
CM関西ver　　　　 http://gazo33.chbox.jp/cm/src/1142511873081.wmv　
CM北海道ver　　　http://gazo33.chbox.jp/cm/src/1142858694657.wmv
CM名古屋ver　　　http://gazo33.chbox.jp/cm/src/1143100546598.wmv
CM岡山ver　　　　 http://gazo33.chbox.jp/cm/src/1141664762243.wmv
CM九州ver　　　　 http://mdd.oh.land.to/yozemi/yozemisouse/kyushu.wmv

>>216で「すべての数字」と書きましたけど、「すべての数」に訂正します。
「17」が書いてあるから「1」と「7」をばらばらに使って・・・とかはなしです。
・・・当たり前ですけど、一応。

>>214
60-12√5になった。
何か違いそう。
確率なんて嫌いだ・ﾟ・(つД｀)・ﾟ・

>>205
は誰も解けない？

>>219
お見事です。その調子で(2)も。

>>223
おしいので、たぶん計算間違いしてます。

2人とも素晴らしく優秀ですね・・・。

>>224
易しいのかも

2問ともあっさり解かれてしまいそうなので、
誰でも楽しめる問題をもう1問くらい出しておきます。

次の連立方程式を解け。
(1/x)+(1/2y)=(x^2+3y^2)(3x^2+y^2)
(1/x)-(1/2y)=2(y^4-x^4)

>>206
(2)
12131=3^2*4*337-1なので、
(1)と同様の式より、
12131が題意を満たす⇔4*337-1が題意を満たす
であることが分かり、
また、(1)の式のbを3(=1*1+1+1)とすることで、
n+1=4(a+1)となり、
4*337-1が題意を満たす⇔337-1が題意を満たす
であることが分かる。
よって337=(α+1)(β+1)なる整数α,βの存在を考える。…(A)
337は奇数なのでα+1,β+1はともに奇数⇔α,βはともに偶数
ここで、n+1=(a+1)(b+1)に着目すると、
最初に与えられた偶数は2のみであるので、(2を二つ用いて作られる数+1)は(2+1)^2=3^2の倍数であることが分かる。
このように更に偶数を書くためには既存の偶数をa,bに代入するしかないが、(既存の偶数+1)は自然数kを用いて全て3^kで表せるので(次の偶数+1)も3^kで表せる。
よって(題意を満たす全ての偶数+1)は3^kで表せる。
しかし337は3の倍数ではないので(A)のような整数α,βは存在しない。
つまり12131は黒板に書けない。

今日はこの辺で就寝ﾉｼ

>>226
頑張ったね、でもこの問題にはあっと驚くタネ証があるんですよ

>>227の問題、重要なことを忘れていた。
x, yはともに実数です。

しかも(1/2y)はまずい書き方だった。
(1/(2y))です。分母が2y。2y分の1。
ごめんなさい。

>>205
>f(x)は微分可能でf'(x)-f'(0)は奇関数であるという。
>このとき∫[-1→1]{f(x)-ax}^2dxを最小にするaはf'(0)であることを証明せよ。

うわーん。わからん。∫[-1→1]{f(x)-ax}^2dxが定数になっちゃった。

>>232
＞うわーん。わからん。∫[-1→1]{f(x)-ax}^2dxが定数になっちゃった。
aの式になるだろwありえない。

だいたい、xに-1と1を代入して計算するんだろ？
f(x)は明に与えられているわけではないがxの関数にならないと話がおかしいしw

メル欄にヒントかくので見たかったらﾄﾞｿﾞｰ。

>>234
∫[-1→1]{f(x)-ax}^2dx = 0

こうなっちゃったんですが・・・。

>>236
何故？

あぁ、
∫[-1-1]{f'(x)-f'(0)}dxならたしかに、=0だわ。

０、６、９のいずれか１つを選びだし、７個並べる。
例．００６００９０
（１）対称移動したものを同じとみると、並べ方は何通り？
（２）180度回転移動したものを同じと見ると、並べ方は何通り？

>>237
任意の関数f(x)において、f(x)+f(-x)は偶関数。よって、x{f(x)+f(-x)}は奇関数。
つまり、
∫[-1→1]x{f(x)+f(-x)}dx = 0
{f(0)-a}*∫[-1→1]x{f(x)+f(-x)}dx = 0
よって、aにかかわらず一定。

∫[-1→1]{f(x)-ax}^2dx
=(2/3)a^2-2a∫[-1→1]xf(x)dx+(定数)
=…
よりa=(3/2)∫[-1→1]xf(x)dx
で∫…は最小値をとる。
従って証明すべきことは
f'(0)=(3/2)∫[ｰ1→1]xf(x)dx
である。








ここからが問題

訂正
{f’(0)-a}*∫[-1→1]x{f(x)+f(-x)}dx = 0

>>242
その式と題意の積分式は同値でないと主。

その唐突な式
x{f(x)+f(-x)}
は一体どこからどういう発想で出てきたのか？
もう少し詳しく！

きっと彼は天才なのでしょう。

aで微分して部分積分で一瞬とかなり前に書いたはずだが何でこんなに物議を醸し出してるの？

>>246
出題者とかのせいではないので気にしないでください。
解答者の中に困っている方がいるので・・・

>>246
ほぉ。

http://society3.2ch.net/test/read.cgi/giin/1140921525/
↑私大文系バカが社会に出てからの鬱憤を晴らしているスレ

部分積分とやらはまた斬新な考えですな。是非その解法をお聞きしたい。

自己解決しました。
お騒がせしました。ｗ

大数でＣ***ってどの位のレベルか知らないけどこの位なら教科書に出ててもおかしくないと思う。
aによる値の変化を考えるからaで微分して、
条件の形にする為に部分積分。
自然な流れだ。

とりあえず今思い付いた問題。
難しいかどうかは知らん。
解答は用意してある。

「xy座標の任意の二点間を結ぶ最小経路は直線である事を証明せよ。」

>>250
今携帯だから家に帰ってからで良い？

>>253
いえいえいつでも待ってます(^^)

じゃあ典型問題一題出して寝ます。Ｂ**くらいかな。


Σ[k=0〜n]k^2*nＣkを求めよ。

(x+1)^nを微分したり

>>205
>f(x)は微分可能でf'(x)-f'(0)は奇関数であるという。
>このとき∫[-1→1]{f(x)-ax}^2dxを最小にするaはf'(0)であることを証明せよ。

題意より、
f'(x)+f'(-x)=2f'(0)
よって、
f(x)+f(-x)=2xf'(0)　・・・�@
一方、
2∫[-1→1]{f(x)-ax}^2dx = ∫[-1→1]{f(x)-ax}^2dx + ∫[-1→1]{f(-x)+ax}^2dx
なので、�@を代入して、
∫[-1→1]{f(x)-ax}^2dx = ∫[0→1]{f(x)^2+f(-x)^2}dx + 2a{a-2f’(0)}/3
となり、aがf'(0)のとき、最小となる。

訂正
f(x)-f(-x)=2xf'(0)　・・・�@

G(x)=f'(x)-f'(0)とおく。
題意よりG(x)=-G(-x)なので、
f'(x)-f'(0)=-{f'(x)-f'(0)}

ちなみにまとめると f'(x)+f'(-x)=2f'(0)…<1>
となる。

おっと失礼。本文３行目訂正
f'(x)-f'(0)=-{f'(-x)-f'(0)}

<1>より、∫[0→x]{f'(x)+f'(-x)}dx=∫[0→x]2f'(0)dx
∫[0→x]f'(x)dx+∫[0→x]f'(-x)dx=2∫[0→x]f'(0)dx
∫[0→x]f'(x)dx+∫[0→x]f'(-x)dx=2xf'(0)

ここで、積分定数をCとおくと∫[0→y]f'(y)dy={f(y)+C}-{f(0)+C}=f(y)-f(0)
ゆえに、<1>より
f(x)+f(-x)=2xf'(0)+2f(0)?…(1)'

#こっちが混乱したw

難易度Cってのは簡単なのか難しいのか

>>255
>Σ[k=0〜n]k^2*nＣkを求めよ。

f(x)=(x+1)^n
g(x)=xf’(x)
とおくと、
Σ[k=0〜n]k^2*nＣk = g’(1)=f’(1)+f”(1)=n(n+1)*2^(n-2)

>>205
パソコンから。

S=∫[-1→1]{f(x)-ax}^2dxはaの二次関数で下に凸故、dS/da=0なるaが唯一つ存在し、このときSは最小値である。
dS/da=-∫[-1→1]2x{f(x)-ax}dx=-[x^2{f(x)-ax}]_[-1→1]+∫[-1→1]x^2{f'(x)-a}dx
ここで、
f'(x)-f'(0)は奇関数故、
１　∫[-1→1]{f'(x)-f'(0)}dx=[ {f(x)-f'(0)x} ]_[-1→1]=0
２　x^2{f'(x)-a}も奇関数
なので、dS/daはa=f'(0)の時0となり、Sは最小値を取る。

あ、そうか！
インテグラルに目を奪われたのか。

2a=(c+d)^2
2b=(d+a)^2
2c=(a+b)^2
2d=(b+c)^2
を満たすような0でない実数(a,b,c,d)を全て求めなさい。

>>229
kwsk


整数a,b,cがa^3+2b^3+4c^3=2abcをみたすとき、a=b=c=0であることを示せ

>>266
4次元で図を描いて考えたところ、どうも全て1/2の時以外の解が見当たらない。

>>267
とりあえず右辺偶数よりaも偶数で2mと表されるということを順にやれば
a, b, cがそれぞれ2^l, 2^m, 2^nと表される事が分かるので、あとは適当な数字で割ればグ浮きが合わないことからa, b, cは0である事が分かる。

偶奇

な。

>>269-270
正解

>>252

与えられた二点のx座標をa, bと置く。
I=∫[a→b] √{1 + y'^2} dxの最小値を考えれば良い。
Y(x)=y(x)+εδ(x)とおき、
dt/dε|_(ε=0) =0が条件となるので、
dt/dε|_(ε=0) =∫[a→b]{y'δ'/√(1 + y'^2)}dx
=∫[a→b]d{y'/√(1 + y'^2)}/dx*δ(x)dx
δ(x)は任意なのでこれが0になるためには、
d{y'/√(1 + y'^2)}/dx=0
故に
y'^2=C(1 + y'^2)
y'=α
y=ax+bと直線しかない。

てかオイラーかよ。

>>272
任意の経路が一価の関数になるってのは誰が決めた？

微小な部分に分けてつなげれば良いんじゃね？

なんなら
(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2とパラメタライズしてもいいし。

>>257-258
正解です。
>>263
正解です。
>>264
おぉ、二次関数なのに微分を持ち込む発想が僕にはなかったのでスゴいです。

>>327
Ｃ問題ってのはＢに比べて極端に難易度が変わるからＣ**を解けるようにしなくても早慶文系数学８割はとれる。Ｂ**クラスを確実に解くって意識の方が良いかも。早慶はＣ**を出すのは政経以外はなかなかないし、仮にＣ**がでても東大のそれと比べると鮮明だったりする。

そして、ゴバクW

［問題］
xy平面において、y=log(e)x上に点Ｐ
y=e^x上に点Ｑがある。
ＰＱの最小値を求めよ

√2

任意の３実数a,b,cに対して、数列{X[n]},{Y[n]}を、
X[n]=aX[n-1]+bY[n-1]
Y[n]=bX[n-1]+cY[n-1] ,(n=1,2,3・・・)
X[0]=Y[0]=1
と定めるとき、
2X[n]Y[n]≦X[2n]+Y[2n] ,(n=0,1,2,3・・・)
を示せ。

一般項を計算しなくても、瞬殺できるそうなのですが・・・。

三次の正方行列
／1 2 3＼
| 4 5 6 |(＝Ａ)
＼7 8 0／
の固有値を求め､
lim(n→∞)|detA|^nを求めよ。

>>281
(x_n - y_n)^2≧0から瞬殺。

>>282
何も特別な事は無いと思うのだが。

>>284 いわば前戯です。教科書ﾚﾍﾞﾙ。スルーしてもいいです。

>>282
どうでも良いがこれの一番右下が9だと(省略されました。続きを読みたい人はワッフルワッフルと

>>285
そんな計算するだけの問題やる気も起きない。

>>283
おお！あなたは相当、数学できるね。

>>288
センクス。

じゃあ、とっておき。

１、2n-1個の相異なるボールの中から、n個選ぶ選び方が奇数になるような自然数nを全て求めよ。

２、相異なる０でない複素数が記された、n枚のカードの中からどの２枚を選んでも、
　　その積は必ず、n枚のカードのうちのいずれかに記された数値に等しいという。
　　カードに記されたn個の複素数からなる集合（組という意味）は唯一つしかないことを示せ。

組み合わせは苦手なんだよな。実は組み合わせと確率は勉強をしたことが無い。

相違なるというのは区別が出来ると判断して
(2n-1)!/(n-1)!が奇数であるnを考えろって事かな？
二つ目は半径1の円をn等分した点になりそう。

(2n-1)!/n!か。

>>291
(2n-1)!/(n-1)!？
(2n-1)!/{n!(n-1)!}じゃない？
二つ目は、集合はすぐ見当がつくんだけど、「唯一」ってのがなかなかなんですよ。

しまった。訂正。
２、相異なる０でない複素数が記された、n枚(n>3)のカードの中からどの２枚を選んでも、
　　その積は必ず、n枚のカードのうちのいずれかに記された数値に等しいという。
　　カードに記されたn個の複素数からなる集合（組という意味）は唯一つしかないことを示せ。

１は４、６、７かな。とりあえず。証明は後で考えよう。
２は、と。

あ、(2n-1)!/{n!(n-1)!}から計算したから。

>>295
おかしいです。ちなみに題意を満たすnは有限ではないです。

失礼。有限個ではないです。

どれかに原点からの半径１のものが入っていれば1でないもの2m個をr_k (k=1……m)とおけばその中の任意のiに対しr_iに対し1/r_iが存在(だから2m個)。
しかしながらr_1*r_2に対し1/r_1*r_2が存在し、r_1*r_2に対応するものが必要でr_3とおく。
順次計算し、r_1*r_2*……r_mに対応するものが存在することになり、全てが1で無い限り帰納法よりこれは不可。

どれにも半径1のものが入っていないとすると、
r_1に対して、何らかの積でr_1を作るものが必要となり、これをr_1=r_2*r_3とおく。
結局先の結論と同じで不可となる。

つまり、全ての複素数は半径1の円上に乗る。

さらに、掛け合わせても崩れないように、回転対象性から、これは単位円に内接するn角形でなければならない。
さらに、この多角形の頂点一つから単位円を半分に分けるような直線を考え、この線に対象な点同士を掛け合わせるとき、
この頂点の角をαとおけば、掛け合わせたものの角は2αとなるので、これもどれかの点に乗っていないといけない。
それを考えれば、αは2π/nの倍数となり、結局多角形のどれかの頂点は実数1となる。

前のいうおいスレになってる件。

>>299
おみごと！スゲーわ。ｗ

>>290の1は明日やるか。
おやすみﾉｼ

>>302
グッナイ。ちなみに１は伝説の「長助」氏が自身のホムペで掲載した問題の類題です。
彼の解法はとてもユニークで、初等数学の奥深さを感じさせられた。

今ベッドの中で考えていたのだが、

2^m>n≧2^(m-1)
として、
(2n-1)*……*n/{n*……*1}
は分母分子同じ長さの列だから、
2^m>2n-1ならば、分子に分母にはない2^m*自然数の数が入ってこないから2の数が入ってこないから、
掛け合わされた2の数が一致するっぽい。

ということは、

2^m + 1/2> n ≧2^(m-1)となり、
nとしては2^k (k∈N)のみが適切ということになる。っぽい。


合ってるかはちゃんと証明してないから知らんが、あってれば明日証明する。

というわけでまたおやすみﾉｼ

とりあえず今n=32=2^5で大丈夫なのは計算した。

実係数の2次方程式
ax^2+bx+c=0は虚数解を持つものとする。
a+b+c<0⇒c<0
を示せ。

眠れないな。
a≠0
b^2-4ac<0…１
a+b+c<0…２
c=0で不適なのでc≠0
１よりa> b^2/4c
故に２より
(b^2+4bc+4c^2)/c<0
c>0の時両辺かけて不適
故にc<0

問題解くだけだと悪いので問題投下しておきます。

cos(nθ)=Σ[m=0→[n/2]](nC2m)(cosθ)^(n-2m)*(sinθ)^(2m)*(-1)^(m)
sin(nθ)=Σ[m=0→[(n-1)/2]](nC(2m+1))(cosθ)^(n-2m-1)*(sinθ)^(2m+1)*(-1)^(m)
が成り立つ事を証明せよ。

ちなみにこの結果は自分が計算したもので、何回か計算確認したので多分あってるとは思いますが、
間違えていれば修正して下さい。

あ、

[n/2]とか[(n-1)/2]の[x]はxを越えない最大の整数です。

ひま人

>>307
f(x) = ax^2+bx+c, a<>0

f(1) = a+b+c<0 故、 a<0かつf(0)=c<0

皆何語話してるの？

>>307
f(x) = ax^2+bx+c
グラフy=f(x)がx軸と共有点を持たないならば、
f(x)>0　または　f(x)<0
よって、
f(0)*f(1)>0 ⇔ c(a+b+c)>0
ゆえに、題意は示された。

>>304
>nとしては2^k (k∈N)のみが適切ということになる。っぽい。

おしい。n=1のときも題意を満たすので、一つずらしてくさい。

失礼。一つずらしてください。
・・・チャーリー浜かよ。oTL

証明すると言ったが、さっき書いた以上の事書いても仕方が無い気がしてきた。

2^m>n≧2^(m-1)なるmを取る。
(2n-1)*……*n/{n*……*1}は分母分子同じ長さの列なので、
2^m>2n-1ならば、分子に分母にはない2^m*自然数の数が入ってこないから2の数が入ってこず、
掛け合わされた2の数が一致する。

故に

2^m + 1/2> n ≧2^(m-1)となり、
nとしては2^(k-1) (k∈N)のみが適切ということになる。

>>317
>2^m>2n-1ならば、分子に分母にはない2^m*自然数の数が入ってこないから2の数が入ってこず、
>掛け合わされた2の数が一致する。

ここ、よくわからないけど。(2n-1)!とn!(n-1)!に含まれる素因数２の個数に着目しているのはわかる。
2n-1=2^m+1のとき、(2n-1)!には2^mが含まれ、n!(n-1)!には2~(m-1)が除かれるから、明らかに偶数になるね。
でも、2n-1>2^m+1のときも、偶数になるのは自明かな？

素因数分解して2を何個持ってるか考えると、2から偶数部分だけ考えて
2→1, 4→2, 6→1, 8→3と変換していく事にする。これを順次並べると、
1*, 2*, 1, 3*, 1, 2, 1, 4*, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 5*…
(2の累乗のところに*をうった。)
となる。nが今回16だとすると、
1*, 2*, 1, 3*, 1, 2, 1, (4*)←を足し合わせたものが分母の2の個数
(4*), 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1←を出し合わせたものが分子の2の個数
となり、これは分母分子共に含まれているn自身を除けば同じ数字の列となる(倍数の周期性)。

しかしながら、nが2^(k-1)でないとすると、
周期になる様にとっていないので2の個数が違ってくる。

と頭の中で考えたのだが、証明は難しそう。。。

1*, 2*, 1, 3*, 1, 2, 1, 4*, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 5*……
の、一番左の数から*付きの数までn個と、その次の*付きの数までのn個を取ると左右対称になってるんだね。
1*, 2*, 1, 3*, 1, 2, 1, 4*, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1

1*, 2*, 1, 3*, 1, 2, 1, 4*, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 5*, 1*, 2*, 1, 3*, 1, 2, 1, 4*, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1,
おお美しい。きれいな左右対称だ。

失礼
1*, 2*, 1, 3*, 1, 2, 1, 4*, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 5*, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1,

なんかフラクタルみたい。

俺苦たる

>>319
なるほど。以下に、参考にした元ネタと「長助」氏の模範解答を書き込みます。
【問題02】
(1) nを自然数、pを素数とする。x, yの多項式に関して、(x+y)^(p^n) ≡x^(p^n)+y^(p^n) mod p を証明せよ。
【解答02】
(1)
nに関する帰納法。n=1のとき成立。
n=kでの成立を仮定すると、n=k+1のとき、
二項係数C[p,k]=p(p-1)...(p-k+1)/k(k-1)...1は分子のpが約分されないので、
k=1,..,p-1にたいして、C[p,k]≡0 mod p
帰納法の仮定により(a+b)^(p^(k+1))={(a+b)^(p^k)}^k≡{a^(p^k)+b^(p^k)}^p mod p
=�任[p,i]{a^(p^k)}^i{b^(p^k)}^(p-i)≡a^(p^(k+1))+b^(p^(k+1)) mod p
従って成立。
【問題03】
C(2n+1,n)が奇数になるnを全て求めよ。
【解答03】
非負整数列a(1)<a(2)< ...<a(N) を用いて、
n=2^a(1)+2^a(2)+ ...+2^a(N) と表し、S={2^a(1), 2^a(2), ...,2^a(N)} と置く。
2n+1=1+2^{a(1)+1}+2^{a(2)+1}+ ...+2^{a(N)+1}
であり、また【問題02】(1)より自然数bに対して、
(x+1)^(2^b)≡x^(2^b)+1 mod 2
であるから、
(x+1)^(2n+1)≡(x+1)(x^[2^{a(1)+1}]+1)(x^[2^{a(2)+1}]+1) ...(x^[2^{a(N)+1}]+1) mod 2
ここで、T={1, 2^{a(1)+1}, 2^{a(2)+1}, ...,2^{a(N)+1} } と置くと、
x^n の係数が奇数であるならば、nはTの元の和になる。したがって、S⊂T。
0≦a<a(N) となる非負整数aに対して2^a∈Sでないと仮定すると、Tの定義により、
2^(a+1)∈Tでない。従って、2^(a+1)∈Sでない、となり帰納的に、2^a(N)∈Sでない、
となり矛盾。したがって、S={1,2,2^2, ...,2^a(N)} 。
そこで、ν=a(N)+1と置くことにより、n=2^ν-1　(νは自然数)。

長助って誰？

オレは何か聞いた事がある。けど詳しくは知らないな。

今日は飲み会で、もう出ないといけないので、帰ってきてからゆっくりと模範解答を味わいたいと思いますﾉｼ

>>326
お前

>>239
わからん。解答さらせ。

質問だが…　０/０＝０これって正しいの？？

>>330
大間違い。不定だよ。

けど極限値で、分母が０であるから与えられた極限値が存在するには分子０…ってかいてあるんだがorz

極限の話だったの？

>>332
lim[n→∞]a[n]=α、lim[n→∞]b[n]=βのとき、
lim[n→∞]a[n]*b[n]=αβでしょ？（教科書記載）
じゃあlim[n→∞]a[n]／b[n]=c、lim[n→∞]b[n]=0のとき、
lim[n→∞](a[n]／b[n])*b[n]=lim[n→∞]a[n]=ｃ*0＝０
ってなるわけさ。

>>334
そのことが
０/０＝０
とどう繋がるの？

大阪民国の様子
ttp://dolby.dyndns.org/foo/foo/movie/riot_osaka.wmv

*の記号は何？ cじゃなくて＝α/βでは？

>>335よ
lim[n→∞]｛√(9-8x+7cos2x)-(a+bx)｝／ｘ^2をどう解く？
>>337
掛け算よ
あと上の2行分は公式ね。「じゃあ」の前後ではa[n]は別物と思ってくり。

lim[n→∞]{√(9-8x+7cos2x)-(a+bx)}/x^2={√(9-8x+7cos2x)-(a+bx)}/x^2

えぬをえっくすにかえてね

ルートの中マイナスならねー？

n→０だ。しぬわおれ。

有名問題投下してみっか。

a^b が有理数となるような無理数 a, b が存在することを示せ。

>>343
1986年阪大理系1番。

>>344
まじかorz
そこまで過去問調べてねえべさ
まあ他の人はしばらく考えてみて

ってか新スタ演に載ってないか？

スタ演…持ってねえ(＾ω＾;)
吊ってくる

√2^α=3を満たすαが無理数であることを示す。
√2^α=3
⇔2^α=9
⇔α=9/log(2)9
において、
log(2)9は無理数であるから(証明略)
α=(有理数)/(無理数)となり、無理数である。
よって題意は示された。



これはどう？

あ、(無理数)^(-1)が無理数とは限らないか、じゃあダメだな、ｽﾏｿ。

あ、(無理数)^(-1)は無理数は明らかか。じゃあ>>348は正しいかな？

a^b = cと置く。(cは有理数)
a = c^(1/b)
cの有理数乗の形の無理数は可算個なので、cの無理数乗の形の無理数がある。
つまりa = c^(1/b)を満たす無理数a, bがある。

>>351
構成的じゃないし上の素朴な方が良くない？

>>351
無理数の集合は連続の濃度を持ち、
かつ「可算濃度」＜「連続の濃度」を使ってるわけですか。
かなりの飛び道具やね・・・。

でも実際入試でこれだとどういう採点になるんだろうね
我々の感覚だと手っ取り早くていいんだけど・・・

12時ぐらいに俺の解答投下するわ
>>348は正解でいいんじゃないか。 log_[2]9 が無理数の証明を
ちゃんとできるかが問題だが。
てか (無理数)^(-1) が無理数かどうかで迷うくらいなら
α = 9/(2log_[2]3) = (9/2)log_[3]2 まで変形しろよな
>>351は前提がちょっと…高校レベルで
それが無条件で使えるわけじゃないしな

√2 が無理数であることの証明は…まあ省略で。別に √2 にこだわる必要はないが。

p = (√2)^(√2) を考える。 p は実数であるから、有理数か無理数のどちらかである。
(ｉ) p が有理数であると仮定する。
このとき a = b = √2 とおくと a, b はともに無理数であり、
a^b = p となるので有理数となる。
(ii) p が無理数であると仮定する。
このとき a = p, b = √2 とおくと、 a, b はともに無理数であり、
a^b = {(√2)^(√2)}^(√2) = (√2)^{(√2)*(√2)} = (√2)^2 = 2
となり、 a^b は有理数となる。
(ｉ)(ii)により、 p が有理数であっても無理数であっても
題意を満たす a, b の存在が示された。

…ところで見てる人いるのかな？

>>355
確かに。俺、何考えてたんだorz
>>356
鮮やかですな。

過疎ってるねえｗｗもう一問投下するか

2次方程式 x^2 - 3x - 7 = 0 の解を a, b (a＞b),
x^2 - 3x - 3 = 0 の解を c, d (c＞d) とするとき
(a-c)(b-d)(a-d)(b-c) の値を求めよ。

>>358
16になった。合ってるかな

>>359
お、あってる。
まさか解を求めて直接代入したなんて言わないよな？

f(x)=x^2-3x-7とおくとf(x)=(x-a)(x-b)
g(x)=x^2-3x-3とおくとg(x)=(x-c)(x-d)
(a-c)(b-d)(a-d)(b-c)=(c-a)(c-b)(d-a)(d-b)=f(c)f(d)
f(x)=g(x)-4,g(c)=g(d)=0だからf(c)=g(c)-4=-4,f(d)=g(d)-4=-4
よって、求める値は16

解と係数の関係から、a+b ab a^2+b^2 c+d cd 求めて計算した

(a-c)(b-d)(a-d)(b-c)
この式はa,bについて対称だし、c,dについても対象
つまりa+b ab c+d cdこの4つの値で求められるから、
解と係数の関係を使うのが一般的かな、と

名前入れ忘れ
>>343
これ"論理学をつくる"にも出てるね
＞(√2)^(√2)
これ高校範囲では定義されてなかったような・・・

一般の指数関数をなんとなく使ってるんじゃなかったっけ

>>364
じゃあy=a^xも許されないじゃないか。
a^bが有理数となる無理数a, bも高校の範囲では定義不能じゃないか。

>>338の問題の答え誰か教えてください！！

>>366
そうですね
指数法則の方だったっけ

>>367
0じゃないの。

>>368
いやだから、高校数学ではそのへんは適当に、
成り立つってことになってる。
細かいこと言い出したらきりないから。

>>338
[n→∞]は[x→∞]の誤りだよね？
変なとこ突っ込んでスマソ

xの無理数乗の微分が証明できないっていうのはあった希ガス。
xの無理数乗そのものは有理数乗の挟み撃ちで何とか
扱ってもいいことになってた気がする。

>>361
おｋ見事。
>>362
それでもいいんだけど、もうちょいうまい解に気付いてほしかった

実はこれ中学の問題集に載ってた問題で、その解は↓こんな感じ。

(x-c)(x-d) = x^2 - 3x - 3 = (x^2 - 3x - 7) + 4 = (x-a)(x-b) + 4
よって (x-c)(x-d) = (x-a)(x-b) + 4
これに x = a, b を代入して
(a-c)(a-d) = 4, (b-c)(b-d) = 4
よって (与式) = 4 * 4 = 16

>>364
それは何？書名？
その解を言ってた人はそれでも読んでたのかな…
ちなみに数�Uの教科書には
「a＞0のとき、任意の実数xについてa^xの値が定められる」
って書いてあるからたぶん大丈夫だろう

たぶん数学板で出てきた書名を知ったかぶって言ってみただけでしょ。

>>338　０それとも計算きない？

ちなみに>>338の元ネタは2002年の大阪市大で、その問題では
x→0のとき有限の値をとるためのa, bの値を定め、極限値を求めろってものだよ。
これなら標準的な入試問題なので解く価値ある。

Σ[k=1,n-1]k*C[n,k]を求めよ

x^2+y^2=3を満たす有理数x,yは存在しないことを示せ。

巣多縁乙ｗｗｗｗｗｗｗ

>>281について>>283だけでは瞬殺できない俺に知恵を授けてください

>>338の問題の答え誰か教えてください！！
x→０のとき分母→０より分子→０でなければならいから
a＝１６までは分かったんですがｂの値がでないので
計算ができません。

ノーマルに。
(与式)
=Σ[k=1〜n]k*Ｃ[n,k]
(∵n*Ｃ[n,k]=0)
=nΣ[k=1〜n]Ｃ[n-1,k-1]
=n(1+1)^(n-1)
=n*2^(n-1)

n*Ｃ[n,k]=0→n*Ｃ[n,n]=0

>>381
ルートはcos2xのところまでしかついていないので、a=4だよ。
その後、分子の有理化をして、cosの2倍角の公式からsin^2を作って頑張れば、
b=-1が必要だとわかる。

>>380
x(2n)+y(2n)=x(n)^2+y(n)^2になるんだけど証明できる？

a,bはa>bを満たす自然数とし、p,dは素数でp>2とする
このとき
a^p-b^p=d⇒d≡1(mod 2p)を示せ。



(京大理系)

>>386
d=(a-b){a^(p-1)+a^(p-2)・b+…+b^(p-2)}
dは素数、a^(p-1)+a^(p-2)・b+…+b^(p-2)＞1なのでa-b=1 …(A)
フェルマーの小定理よりd≡a-b (mod.p)
∴d≡1 (mod.p) (∵(A))
また、(A)よりaとbの偶奇は一致しないのでd≡1 (mod.2)
条件より2とpは互いに素なのでd≡1 (mod.2p)が言える

ちょっと訂正。一行目の最後はb^(p-1)}

>>387
正解っす。

正解っす。
とか言っておいて申し訳ないんだが、
d≡a-b(mod.p)
まで飛躍してるフェルマーって拡張版かな？
詳細キボンヌ。
俺の記憶してるフェルマーとずれが…。

無理数xと有理数nが、
sin(x)=sin(nπ)=0
を満たすとき、実数(x-n)^2が取り得る値の範囲を求めよ。

>>390
フェルマーの小定理：
素数pについて、
任意の自然数nに対しn^p≡n (mod.p)
⇔
pと互いに素な整数nに対しn^(p-1)≡1 (mod.p)

∴a^p≡a (mod.p),b^p≡b (mod.p)⇒d≡a-b (mod.p)

一般には下の形で使われる場合が多い、かもしれない

実数関数yとその導関数y',定数cについて、y'-cy=0が成り立つ場合、yはexp(c・)の定数倍に限ることを示せ。

実数関数yとその導関数y',定数cについて、y'-cy=0が成り立つ場合、yはexp(c・)の定数倍に限ることを示せ。

>>393
変数分離の微分方程式？

>>392
差になってるだけか、ありがとう。
応用力0の俺バロスW

みんな頭ﾖｽなんだけど高校生？

むしろ中学生だったりして。

男性器が。

>>398
マジかよ(☆o☆)

>>385
具体的な値で試したらそうなりそう。だけどうまく証明できません。

>>401
たんなる行列と内積なわけだが。分からなければ教科書レベルからなってない。

>>401
行列使えれば簡単
じゃなければx(m+1)x(n)+y(m+1)y(n)=x(m)x(n+1)+y(m)y(n+1)を示しても良いな

かぶってるし

>>401
一次変換式（連立方程式）を行列で表せば、二次の正方行列が対称行列になる。
対称行列の冪行列（累乗の行列）もまた、対称行列となる。
A=[1,1]
B=[a,b]/[b,c]
C=[1]/[1]
A(B^2n)C=A(B^n)(B^n)C

>>405
ありがとう。

∫0→1{e^x^n/(1+x^n)}dxのn無限大の際の極限値を示せ。

企業流出が止まらない関西

＊ここ最近の流出状況＊
カルチュア・コンビニエンス・クラブ（大阪）→東京　http://www.ccc.co.jp/index.html
スタッフサービス（京都）→東京（１９９７年）http://www.staffservice.co.jp/company/company01.html
有線ブロードネットワークス（大阪）→東京（２０００年）http://www.japan-karaoke.com/03nenpyo/
ヒューマンアカデミー（大阪）→東京（２００２年）http://haa.athuman.com/about/corp_2.html?code=041039
紀州製紙（大阪）→東京（２００２年）http://www.kishu.co.jp/company/index.html
はてな（京都）→東京（２００４年）　http://www.hatena.ne.jp/info/company
森精機（奈良）→名古屋（２００４年）http://job.mycom.co.jp/06/pc/visitor/search/corp1151/outline.html
クラレ（大阪）→東京（２００４年　繊維部門のみ大阪）http://www.kuraray.co.jp/release/2004/040916.html
マツヤデンキ（大阪）→東京（２００４年）http://www.caden.jp/news/040921.html
藤沢薬品（大阪）→東京（２００５年）山之内製薬との合併に伴う東京移転
光洋精工（大阪）→名古屋（２００６年予定　経営管理機能は名古屋、営業機能は大阪）http://www.koyo-seiko.co.jp/japanese/corpo/news/pdf/20050203_02.pdf
ローランド（大阪）→静岡http://job.mycom.co.jp/06/pc/visitor/search/corp3229/outline.html
サントリー（大阪）→東京　実質的東京移転http://job.mycom.co.jp/06/pc/visitor/search/corp290/outline.html
トーメン（大阪）→名古屋　豊田通商への吸収合併予定

無名企業
アクディア（大阪）→東京（２００４年）http://www.acdia.net/news/index.html

>>383
n*Ｃ[n,n]=0ってnじゃないの？

>>393
f(x)=y/exp(cx)をxで微分すると
f'(x)=(y'exp(cx)-cexp(cx)y) / exp(2cx)
=exp(-cx) * (y'-cy)
=0
よりf(x)は定数だから、yはexp(cx)の定数倍である。

って高校の問題かよw

↓いい問題だと思う。

□に当てはまる数を答えよ。
4つの異なる数字１、３、□、９から3つの異なる数字を取り出して並べてできる
3けたの整数は24個あり、その平均は555である。

>>391
P,Qがそれぞれ自然数全体を動くときの|Pπ-Q|が動く範囲全体の集合をVとする。

次の(i)(ii)に従って数列{a(n)},{b(n)}を定める：
(i)a(1)=π-[π]
(ii)a(n)*b(n)<1を満たす最大の自然数をb(n)とし、1-a(n)*b(n),a(n)*{b(n)+1}-1のうち大きくない方をa(n+1)とする。

このとき常にa(n)∈Vであり、また0<a(n+1)≦(1/2)a(n)ゆえにlim[n→∞]a(n)=0、かつπが無理数ゆえに0はVに含まれない。
従ってVは0より大きい実数全体をあらわす集合に一致する。

(以下略)

>>411
□は1,3,9のいずれとも異なり、
24個の3桁の整数の中に10^n(n=0,1,2)の位にi(i=1,3,□,9)がくるような数はP[3,2]=6個あることから、
24個の整数の総和は(1+3+□+9)*(1+10+100)*6=555*24∴□=7

hpmD3YyU0頭いいねえ。

次の性質を満たす最大の整数kを決定せよ。
(性質)：各自然数nに対し、少なくともk個の自然数が存在し、
それらはnより大きくn+17より小さく、いずれもn(n+17)と互いに素である。

>>409
そうだ！

でもこれも一意見に過ぎない。旧帝行ってよかったって奴も沢山いるだろう。価値観の強制はあまりよくない。

GOBAKU.

>>414
次の命題が「真」となるためのkの最大値を求めよ。
(命題)：ある自然数nに対し、nより大きくn+17より小さく、いずれもn(n+17)と互いに素な自然数が、
　　　　少なくともk個存在する。（つまり、k個以上存在する。）

ってこと？それとも、

次の命題が「真」となるためのkの最大値を求めよ。
(命題)：全ての自然数nに対し、nより大きくn+17より小さく、いずれもn(n+17)と互いに素な自然数が、
　　　　少なくともk個存在する。（つまり、k個以上存在する。）

ってこと？どっちだ？

>>414の類題

nより大きくn+17より小さい１６個の自然数が、
いずれもnと互いに共通因数を持つような自然数nの最大値を求めよ。

>>419の類題の訂正

nより大きくn+17より小さい１６個の自然数が、
いずれもnと互いに共通因数を持つような自然数nの最小値を求めよ

持たないような
じゃなくて…？

それはあり得ないかごめん。

とりあえず
17！
が候補に浮かんだ。

>>420の類題の訂正

nより大きくn+17より小さい１６個の自然数が、
いずれもnと互いに共通因数を持つような自然数nが存在することを示せ。

悪い。>>420は俺には解けん。誰か解けたら教えて。

>>423
・・・そだね。愚問だった。oTL

>>423
いや、それはおかしいわ。
17!+1が素数かも知れん。

そっか。スマソ。

>>418
一応、下の意味。
各自然数って言い方は紛らわしかったか。（そうでもないと思うけど・・・）

ところで、細かいことを言うようだけど、数学的には
「すべての自然数に対して〜〜となる○○が存在する」
っていうのと、
「すべての自然数に対して○○が存在して〜〜となる」
っていうのとは違うから、一応区別をつけた方がいいよ。

たとえば、
「すべての自然数nに対して実数xが存在してn＜x＜n+1となる」は真だけど、
「すべての自然数nに対してn＜x＜n+1となる実数xが存在する」は偽でしょ。

>>414
n(n+17)は偶数であるから、k≦8である。
また、n=47のとき、k=8。
よって8。

ｽﾏｿ>>429はスルーで

なんの誤爆だよｗ

>>414
n+i(1≦i≦16,i∈N)がnまたはn+17と共通素因数を持つと仮定すると、その共通素因数は2,3,5,7,13のいずれかに限定され、
またn(n+17)が素数iを因数に持つならばn,n+17のいずれか一方のみがiの倍数。
n+1からn+16までの16個の整数のうち、n(n+17)と互いに素でないものの個数が最大になるとき、
n(n+17)は当然2*3*5*7*13の倍数であるから、
n,n+17のうちどちらがk(k=2,3,5,7,13)の倍数であるかをそれぞれのkについて考えることにより2^5=32通りの場合を調べればよい。
n(n+17)とn+i(1≦i≦16,i∈N)が互いに素になるようなiの個数が最小になるのは、
nが2の倍数でn+17が3*5*7*13の倍数のとき、およびnが3*5*7*13の倍数でn+17が2の倍数のときで、最小値2。

>>420
任意の自然数nについてn+1とnは互いに素だから、n以上n+16以下の17個の整数は、
自明な公約数を除いては公約数を持たない。

11は？

>>433
１１忘れてた。見直したら他にも違うところがあるし。
正しくは「最小になるのはnまたはn+17が2*3*5*7*11*13の倍数のときで、最小値1」かな。
>>420の答えを考えればほとんど当たり前だったかも。

最小値１だから１個しかない例をあげて後は少なくとも一個ある事を言えばいいんだからそう難しくは無いね

>>428
「すべての自然数nに対して,それぞれのnに応じてn<x<n+1なる実数が存在する」が真で
「すべての自然数nに対して,nとは無関係な実数xでn<x<n+1なる実数xが存在する」が偽
っていいたかったんですか？

すべての自然数nに対して、n＜x＜n+1となる実数xが存在する
すべての自然数nに対してn＜x＜n+1となる、実数xが存在する

3以上の自然数nで

x^n+y^n=z^n

を満たす数を求めよ。

>>438
複素数で解く簡単な方法を思いついたが、余白が足りないので書く事が出来ない。

うはｗｗｗみんなｸｫﾘﾃｨたけぇｗｗｗ
俺じゃ到底ついていけねぇｗｗｗｗ

が、とりあえず >>438 は死ね

【解】
n=6

(x^2)^3+(y^2)^3=(z^2)^3



馬鹿なやつは↑でだませる

441 ：438：2006/04/04(火) 16:43:18 ID:rzcJ47i/0
【解】
n=6

(x^2)^3+(y^2)^3=(z^2)^3



馬鹿なやつは↑でだませる

>>438
x,y,zともに0

>>436
>たとえば、
>「すべての自然数nに対して実数xが存在してn＜x＜n+1となる」は真だけど、
>「すべての自然数nに対してn＜x＜n+1となる実数xが存在する」は偽でしょ

俺は>>428じゃないが、上のxは実数変数で、下のは実数定数って言いたいんじゃね？

>>437
句読点の位置で区別ですか。
∀n,∃x;p(x)
∃x;∀n,p(x)
という書き方が高校でもゆるされればなあ。

うちの高校のせんせふつうに使ってたけど。

私が書いたことは、噛み砕くと>>436です。
>>445の書き方に従って日本語で表現するなら、
(1)「すべてのx∈Aに対して、あるy∈Aが存在して、x+y=0となる。」
(2)「あるy∈Aが存在して、すべてのx∈Aに対して、x+y=xとなる。」
(1)はxに応じて決まる。(2)はxに関係なくもともとある。
これを理解しないと、代数の入り口やε-δ論法あたりでつまづく・・・可能性がある。

「ある」と「全ての」が入り組む文章は日本語として分かりにくい。
どう工夫しても曖昧さ、不自然さが抜けない。
文脈から読み手が親切に判断してくれる場合もあるだろうが、
>>436のように説明的に書くのが誤解を避けるための最善策だろう。

待てお前ら。良く見たら>>438はフェルマー予想とは関係ないぞ。
x,y,zに関する恒等式になるようにnを決めればいいんだな。
とりあえずx,y,z∈Rで考え.....無理ぽ

>>449
(x,y,z)=(0,0,0),(t,0,t),(0,t,t) (t∈R)

>>449
それはつまらないので、もう少しまともな問題を。

nは3以上の奇数、x, y, zはこの順に等差数列をなす自然数とするとき、
x^n + y^n = z^n
は成り立たないことを証明せよ。

これだったら大学入試に出てもおかしくない。

a_k=∫[-π→π]lsin_xlcos_kxldx
に対して
f_n(x)=Σ[k=0〜n]{(√la_kl)cos_kx}
を定めるとき、
lim(n→∞)∫[-π→π]{f_n(x)}^2dx
を求めよ。

ひたすら重い問題。

訂正

lsin_xlcos_kxl
→
lsin_xlcos_kx

やや頻出問題やね。

どこも重くないよフーリエ

>>455
どーやんの？

東大は図形大スキ見たいのなので演習問題を３つ
�@与えられた四面体の6つの2面角(即ち隣り合う面の間の角)の内5つが等しいときこの四面体は正四面体であるかどうかを示せ。
�A1辺の長さが2の立方体の内部(表面とは限らない)に立方体の最も遠い2つの頂点を結んでいる折れ線がある。折れ線の頂点は立方体の表面にあり折れ線を構成する各辺の長さは3である。このような折れ線の辺の数の最小値を求めよ。
�B平行で相違なる2枚の平面Π1,Π2上に各々凸多角形α=A1A2...Am,β=B1B2...Bnがある。点P,Qが各々多角形α,β上を動くとき線分PQが動いてできる立体Tをα,βを底面とするプリズム体と呼ぶ。Π1とΠ2の丁度中央(両平面から等距離)にある平面Π3によるTの切り口をμとする。
α,β,μの面積がa,b,mであり,Π1とΠ2の間の距離がhであるときプリズム体Tの体積をa,b,m,hを用いて表せ。

>>457
３やってみたけどこれ面白いね、でもPQの対応にある程度制限をつけないと大変なきが

�B平行で相違なる2枚の平面Π1,Π2上に各々凸多角形α=A1A2...Am,β=B1B2...Bnがある。点P,Qが各々多角形α,β上を動くとき線分PQが動いてできる立体Tをα,βを底面とするプリズム体と呼ぶ。Π1とΠ2の丁度中央(両平面から等距離)にある平面Π3によるTの切り口をμとする。
α,β,μの面積がa,b,mであり,Π1とΠ2の間の距離がhであるときプリズム体Tの体積をa,b,m,hを用いて表せ。

点P,Qが各々多角形α,βの内部の面上を動くときってことか？

>>457
�@ならない。

�A６。立方体を空間格子状に見れば光の反射の要領でわかる

�Bμ内部に一点を取ればμからα、β平面へのの三角錐が二つ分あり、残り上面αと下面βのそれぞれが高さh/2錐
の体積をあわせて
T=h(a+b+4m)/6
疑問点
面積mとα上の点列の添え字がmを同じにしなければならなかったのはなぜなだろう
何かの写しでしょうか？

分母が異なる既約分数の和は整数になり得ないことを背理法を用いて証明せよ。

1/2+1/3+1/6=1

まぁきっと「2つの」って意味なんだろうけど

2つなら、
a,bを0でない相異2整数とし、
p/a,q/bが既約分数⇔aとp,bとqは互いに素
を仮定
p/a+q/b=qa+pb/abが整数⇔qa+pbはabの倍数
仮定に反する

仮定と矛盾が逆かな？
まぁいいか

今から勉強がんばる
ttp://www.imgup.org/iup189272.gif

xy平面上にL:y=axと任意の点P_1(a, b)、また点Pを通りx軸に平行な線とLとの交点をR、
Rからx軸に垂線を下ろし、その垂線とx軸との交点をSとし、
P_1を始点とし、SP_1に垂直な微小線分P_1_2を描く事にする。
この線分を順次つなげていった軌跡はどの様な形になるか。

長さdlの微小線分P_1P_2に訂正

保守

問：
4x^3-3kx^2+5x+10　は、どのような整数kに対しても因数分解できないことを示せ。

無理数の範囲でなら、確実にできると思われ。

それはわざわざ明記する必要のある条件だったのか？
じゃあ問題変更

問：
4x^3-3kx^2+5x+10=0　は、どのような整数kに対しても有理数解を持たないことを示せ。

x^n+2y^n=4z^n
が n≧3 n∈Ν
で成り立たない事を示すには…

自然数x,y,zに対してってことか？
２の個数を考えればいいんでは？

反例
x=2^{1/n}, y=1, z=1

(0,0,0)でいいっしょｗ

x, y, zが自然数の時、
xは偶数であるので、2mとおく。
2^(n-1)*m^n+y^n=2z^n
同様にyも2の倍数である。
これを順次繰り返せば
x, y, zが2の累乗ということになるが、
一番小さい数で割れば偶奇が合わなくなるので、
これは成り立たない。

以上。

みなさんさっそくﾚｽありがとう。
申し遅れましたがx､y､z は自然数です。

というか上に同じ問題がある。

>>477 xが偶数となる理由をかいつまんで説明して
くれますか？

一日一題数学問題を出題するスレ
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1142703161/267-269

な。

>>480
それが分からなければこのスレに来ない方が。。。
まぁ>>269を見れば少しはわかるかも。
オレの解答だが。

>>482 すみません。童貞なので…
解説参考にさせていただきます。

u≧v≧wを満たす任意の実数u,v,wに対して、常にau+bv+cw≧0が成り立つような実数a,b,cの条件を求めよ

ベクトル(u, v, w)と(a, b, c)の成す角がπ/2以下

任意のu,v,wに対して、だからu,v,wが条件の中に入ると駄目

>>485を書いた時点で興味が無くなった。
適当に回転させて(u, v, w)をz軸にでもした後、ベクトル(a, b, c)の変換されたもののz成分≧0とすれば良いし。

>>487
ちょっと構造違うでしょ？
でもいい変数変換の練習ではある

>>472
ｘ＝q/ｐ (ｐ、ｑ は既約、ｐ≠0) ⇒ ｐ＝4

>489
よくわからんのでもうちょっとくわしく
その方針で一行で解ける問題ではないと思うんだけど。

>>490
ザッパで
x=q/p(p,qは互いに素な整数でp>0)という解を持つと仮定すると
k=((4q^3+5p(2p^2+q^2))/3p^2*q∈N
ここで3で割った余りを考えれば
p=3m,3m+1,3m+2(m∈N) のいずれかだが、
p=3m とすると、qも3の倍数であることが必要となり不適。
q=3n (n∈N)の場合も同様に不適。
よって p=3m+1,3m+2、q=3n+1,3n+2) の組み合わせ4通りを考えると、
p^2,q^2の余りはともに1であるから、(2p^2+q^2)は3の倍数。
q^3の余りは1または2となるので、分子は3の倍数とならず(係数がミソだな)、不適。
よって、題意は示された。
>>489
意味わからんのでちゃんと書いてほしいな〜。

>>472
ｘ＝q/ｐ (ｐ、ｑ は既約、ｐ＞0) とおくと
ｐ＝1、2、4
ｑ＝±1、2、5、10
虱潰しでなんとかなる。
主題の意図がわからん。

>>492
ｋは無限に変わるようだが･･･

>>493
？？

>>492,>>494
>>491のやり方でいいと思うんだけど
シラミつぶしはすべてのq/pを代入して,
そのようなkが存在しない事を言わなきゃいけないから
大変では.

>>495
出典が分からないからなんとも言えないが、
もし入試問題なら、ポイントは 5x+10 の部分だと思う。

>491
正解です

ちなみに自作問題です。
>496
ポイントはそことx^3の係数両方、というかmod3です。
x^3、x^2、x^1、x^0の係数がmod3で順に1、0、-1、1になること、が満たされれば良かったのです。

なので最初は5x+13にしようかと思ってました。が、難しくなるわけでも面白くなるわけでもなかったので
4x+1と5x+10で迷って、後者にしました。
5でくくれることを深読みしてmod5の世界に入って行ってくれるとうぎゃーなのでしめしめだったのですが、引っかからないですね（；´Д｀）

ちなみに、>491の証明からも分かるとおり、x^3の係数はmod3で-1でもOKです。

間違えました
4x+1じゃなくて-4x+1です。
要するにmod4かmod5のい世界にミスリードを画策したつもりでした。

>>497､>>472
自作とは恐れ入りました。いい問題だと思います。
自分なら係数変えるくらいしか思いつかないです・・・
ただ、分母に3があることに着目するからはじめて
mod3を思いつくんだと思いますが・・・

q=±１、5 はすぐ出るんで mod 使うほどのものではないかと。

4x^3-3kx^2+5x+10≡x(x^2+2)+1≡1,(mod 3)

Kの値にかかわらずってことだから、「３」が見えるのは必然だわな。

>>500
なら、解答アップお願いします。

違うわ。ｗ

x,yは互いに素。
4x^3-3kx^2y+5xy^2+10y^3≡x(x^2+2y^2)+y^3,(mod 3)
あとは場合わけだな。

>>491 のやり方は、たまたま合同式で上手く行ったけじゃないの。
というか、そういう風に作問した訳でしょ。
合同式上は無矛盾だとどうする？

>>503
一応
x(x^2+2y^2)+y^3≡x(x-y)(x+y)+y (mod 3)

>>504
家かえったら検討してみるけど
直感的には有理数解を
持つような気もする。

整数係数のn次方程式が有理数解を持つとき、
その解は「±(定数項の約数)/(最高次の係数の約数)」で表される。
証明が必要ならn次方程式に実際にq/p(p,qは互いに素)を代入して、
両辺にp^nを掛けて定数項はqの倍数
両辺にp^(n-1)を掛けて最高次の係数はpの倍数
が言える。

よってx=±(定数項の約数)/(最高次の係数の約数)のときだけ確かめれば良い。
自作っていうのは関心するけど有名事実でしょ

例えば、

4x^3-7kx^2+5x+10=0　が有理数解を持つような整数kの値を求めよ。

だったらどうする？

合同式のやり方は整数問題に落としてるんだけど、方程式の問題
なんだから>>506が書いている性質から攻めるのが常道だと思う。
元の問題も工夫すれば全部調べなくてもいい。

その意味で入試では>>471のタイプの問題は出ないだろう。

アンカー間違えた。
× >>471
○ >>472

３つの変曲点をもち、任意の直線と共有点をもつような連続かつ微分可能なグラフy=f(x)は、
最低、何本の共通接線が引けるか？

>>507
前半部は同意だが,
>その意味で入試では>>471のタイプの問題は出ないだろう。
は意味わからん.出してもいいと思うが

【問題】
あるx,yの整式f(x,y)が、x,yについての対称式であるとき、
x+y=a
x*y=b
と置き換えることでa,bのみからなる整式としてあらわせる事を証明せよ

>>511
いかにも黒大数(駿台)の好きそうな問題だが･･･
帰納法かな?

「x,yの整式」はa*x^n*y^m(n,mは非負整数)の形の項の和の事で、
対称式ならその項に対応するa*x^m*y^nなる項が存在する事を考えればほぼ自明
細かい説明は面倒そうだが

>511 学部の代数学３の内容ですが。。。。
http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi/kogi2004_zenki/3/galois07.pdf

>>514
変数２つだから高校生にも解けるよ

>>509
凸性や変曲点の定義は？
微分可能なら連続はいらないけど。

>>516
関数f(x)の第二次導関数の値が０になるときのxとf(x)の値をそれぞれ、x座標、y座標に取った点が変曲点。
ということは、問題に不備があるな。

その第一次導関数が微分可能（つまり、第二次導関数が連続）な関数f(x)において、３つの変曲点をもち、
任意の直線と共有点をもつようなグラフy=f(x)には、最低、何本の共通接線が引けるか？

>>517
第二次導関数の値が０でも変曲点とならない場合がある。
あと、第一次導関数が微分可能でも、第二次導関数が連続とは限らない。

>>518
あ、そうか！

関数f(x)の第一次導関数の極値を与えるxとf(x)の値をそれぞれ、x座標、y座標に取った点が変曲点。

その第一次導関数が微分可能な関数f(x)において、３つの変曲点をもち、
任意の直線と共有点をもつようなグラフy=f(x)には、最低、何本の共通接線が引けるか？

【問題】

底面が半径１の円で、高さが１の円柱がある。
次の条件をみたし点Ａ、Ｂ、Ｃは動く。
�@底面の円周上に点Ａ、Ｂは存在する。
�Aその反対側の面の円周上に点Ｃが存在する。
以上の時、△ＡＢＣがとりうる最大の面積を求めよ。

【問題�A】

底面が半径１の円で高さが２である円錐がある。
この円錐の中に半径の等しい球、Ｐ、Ｑ、Ｒを次の条件を満たすように入れる。
�@Ｐ、Ｑ、Ｒはすべて円錐の内側で斜面及び底面に接している
�AＰ、Ｑ、Ｒはそれぞれ互いに接している

この時Ｐ、Ｑ、Ｒの半径はいくつになるか？

>>521
3/(3√5+2√3-2)
で合ってる？
>>520
座標設定して、円周上の点をパラメーター表示したが詰まった。

>>520
ヒント：点Ａ、Ｂがある平面で△ＡＢＣの正射影をかんがえる

>>520
直線ABからCまでの距離が最大になるとき
△ABCの面積Sは最大だから、パラメーターθをつかって、
ABの長さを2sinθとおくと、
S=sinθ*(2+2cosθ+(cosθ)^2)＾(1/2)
ここで私も詰まりましたｗ

微分して増減表作れないの？

>>525
スマンがやってみてくれ。
Sを二乗して、計算しようとはしたが・・・

>>520
√39/4
たぶん間違ってると思うけど・・・。

無理やり計算すると
cosθ={(2+√(107/27))^(1/3)+(2-√(107/27))^(1/3)-1}/2
のとき最大値(c^2+7c+7)/4=2.4864...
ってなるっぽいんだけど高校の範囲で解ける？

俺はパラメータを使わないで解いてみたんだけど、どうなんだろう？

2.4864...
はS^2の最大値ねだからその√で1.5768・・・か
一応モンテカルロで確認してみてもこうなるっぽい
>>529
√39/4 よりちょっと大きいみたい

>>530
「ね」で変換かよｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

「〜最大値ね、だから…」
と推測

点Ａ、Ｂのある面をα、点Ｃのある平面をベータとする、
ＣからＡＢにおろした垂線の足をＨとし、Ｃからαに降ろした垂線のＣ’とする。
∠ＣＨＡ＝∠ＣＣ’Ｈ＝９０゜
より平面α⊥△ＣＣ’Ｈ

次に△Ｃ’ＡＢの最大を考える
（省略）
最大は３√３／８

なので
△ＡＢＣの最大は（３√３／８）＊（ＣＨ／ＣＣ’）

ＣＨ＝√１３／２
ＣＣ’＝１
だから最大は√３９／８

が解答でした

「△Ｃ’ＡＢが最大ならば、△ＡＢＣは最大。」

この命題は果たして「真」か？

正射影の問題は角度は一定ってのが一般的だが、この問題はそうではないな。

知名度と規模を基準に選択した有力260社への大学別就職率（2002年4月）
週刊東洋経済2002/10/29特大号「本当に強い大学決定版」より抜粋。

�@ 一橋大学 59.0%
�A 東京工業大学 55.9%
�B 京都大学 47.4%
�C 慶應大学 46.0%
�D 東京大学 44.6%
�E 上智大学 39.5%
�F 早稲田大学 37.3%
�G 同志社大学 32.9%
�H 電気通信大学 30.5%
�I 神戸大学／学習院大学 29.7%
�K 関西学院大学 28.9%
�L 大阪大学 28.8%
�M 九州大学 27.6%

【参考】
週刊東洋経済が「本当に強い大学決定版」として紹介している総合ランキングが評価ポイントも明確で、
もっとも就職などの質の良い大学のランキングとしても妥当なところではないか。
ttp://www.careerpartners.co.jp/official/sjk/200311/031125.htmlより

>>533
出典は？？
おそらく解答が間違っているので、出版社に抗議するべきだと思う。

>>534-535
はげ同
＞ヒント：点Ａ、Ｂがある平面で△ＡＢＣの正射影をかんがえる
の時点で、俺も作問者が勘違いをしていることを恐れていた。

http://www.mc-stat.com/stat/free/PCA51421.asp?KOMOKU_ID=%23A0160101

●[韓国･朝鮮](人口10万人当たり)ランキング●
1位 大阪府 1,521.2
2位 京都府 1,324.8
3位 兵庫県 1,004.3

xに関する次数が2006の多項式Ｑ(x)に対して
Ｑ(0)=-1
Ｑ(1)=Ｑ(2)=････････Ｑ(2006)=0
をみたすとき、Ｑ(2007)=?

-1？

Ｑ(x)=k(x-1)(x-2)…(x-2006)(k;const.)と書ける。
Ｑ(0)=-1を代入すれば、…

>>540>>541
正解

n∈Ｎとする。
数列{An}において、
各項AnがAn≧0を満たし、
かつ、Σ[n=1 ,∞]An=1/2が成り立つとする。
また、
Bn=Π[k=1 ,n](1-An)
Cn=1-Σ[k=1 ,n]An
とおく。

(1)∀nに対し不等式Bn≧Cnが成立することを示せ
(2)あるnについて、Bn+1=Cn+1が成り立てば、Bn=Cnとなることを示せ
(3)B3=1/2となるとき、C3=1/2であることを示せ
(4)B3=1/2となる数列{An}は全部で何通りあるか求めよ
(5)B5=1/2となる数列{An}は全部で何通りあるか求めよ

保守

(1) Σ[n=1 ,∞]An=1/2、An≧0より、0≦An≦1/2
よって1/2≦1-An≦1で、Bn≦1
Bn+1-Cn+1=(1-An+1)Bn-(Cn-An+1)=(Bn-Cn)+An+1(1-Bn)...(*)
≧Bn-Cn これとB1-C1=0より一般にBn≧Cn
(2) (*)と1より、あきらか
(3)以下は　Bm=1/2 であったとして解いておきます
まず、Am+1以降は0に限る。
1/2=Bm≧Cm=1-Σ[k=1 ,n]An≧1-1/2=1/2 だから、Cm=1/2。
Bn+1＝Cn+1のとき、(*)よりAn+1(1-Bn)=0であり、
既に得られているBn=Cnと合わせると、
An+1(1-Bn)=An+1(1-Cn)=An+1Σ[k=1 ,n]An=0となることに注意する
Am≠0とすると、Σ[k=1 ,m-1]=0より、Am=1/2で、A1=A2=...=Am-1=0
Am=0とすると、Σ[k=1 ,m-1]=1/2で、Bm-1=Cm-1=1/2となるのだから、
同様に考えれば、A1,..,Amのうち1つだけが1/2で、他は０となる
これらの解はもちろん条件を満たすから、{An}はmとおり

今まで解いた入試問題で、一番面白かったものを出題してくれぃ。

>>546
1982年東大理系数学第一問
以下の条件を満たす一次変換を求めよ.
･任意の相似な三角形を相似な三角形にうつす.
･点(1,√3)を点(-2,2√3)にうつす
気づくとあっという間に終わるが,はまるとアウトくさい

>>546
客観的に見て面白い問題はたくさんあるが、個人的に一番好きなのはこれ。

Cをy=x^3-x, -1≦x≦1で与えられるxy平面上の図形とする。次の条件をみたすxy平面上の
点P全体の集合を図示せよ。
「Cを平行移動した図形で、点Pを通り、かつもとの図形Cとの共有点がただ1点であるようなものが、
ちょうど3個存在する。」
（1988 東大）

まず何を言っているのか分からない。その分からなさ加減が面白い。
しかし題意が分かってしまえば、あとは基本技術の集積で、
勉強の成果を思い切り発揮できる気持ちのいい問題。

一番と言えるかは分からんが、今日解いて面白いと感じた問題

1980年 京都大学文系第5問
互いに異なるn個(n≧3)の正の数の集合S={a_1,a_2,…,a_n}が次の性質をもつという.
「Sから相異なる要素a_i,a_jをとればa_i-a_j,a_j-a_iの少なくとも一方は必ずSに属する」
このとき、a_1,a_2,…,a_nの順序を適当に変えれば等差数列になることを示せ.

そんなに重くはないけど、入試の時間内で解かせるには適当な問題だと思う。

>>549
anを小さい方から順に並べた数列
bnを考えるとb2-b1=b1　∴ b2=2*b2
同様にb3-b1=・・・=b2 ∴ 　b3=3*b1
よって bn=n*b1 と予想される。
帰納法で・・・証明終わり。
ってな感じでしょうか？
　

正解

最近人少ないな

>>551
レスサンクス.
チョット高級な感じかもしれんね.
質問スレはもっと適当な感じでのびてるけどね.

10進法で表示された一の位が4の整数で、末尾の4を先頭に持ってくると元の数の2倍となるものを求めよ

>>553
(4*10^n-8)/19 (n≡17(mod19))

10*(4*10^n-8)/19+4 (n≡17(mod19))
でしょｗ

n≡17(mod１８)
だね、ここは間違えやすい

>>555,556
その通りですたorz

ｎ≧4とする
三次元空間内に異なるｎ個の点P1,P2,...,Pnをうまくとると
線分P1P2,P2P3,...,Pn-1Pn,PnP1で結んだとき
これらの長さがすべて等しく、かつ隣り合う線分がすべて垂直になる
このようにできるためのｎの条件を求めよ

むずかしいおｗｗ
直感でｎが偶数だとおもうおｗ

三次元の空間の格子点を考えて(0,0)〜始めて(0,0)に戻るんを考える？
帰納的に示せるかもしれないお

>>559
n=2はダメジャン.

>>560
格子点の必要もないような･･･

>>561
n≧４って条件があるおｗ

>>563
ホントだ.
見落としてたよorz
本当にスマンかった

>>560
帰納的に４以上の偶数が満たす事はいえるね(十分性).
奇数はダメって言えるかな？
P1(0,0,0)P2(1,0,0)P3(1,1,0)P4(1/2,1,(√3)/2),P5(1/2,0,(√3)/2)
としてもＯＫか･･･
ってことで,帰納的に奇数もOKかな.
ってことは何でもいい？！
なんじゃそら

>>553の詳しい解答キボンヌ

>>566
俺も答えが合わないんだけど･･･
求める数をn桁の整数として
p*100+80+4と置ける.すると
2*(p*100+80+4)=4*10^(n-1)+p*10+8
ってかんじだと思うんだけどな.

そっから10^n (n≡17(mod19))を出す方法が和漢ね

>>568
p=(4*10^(n-2)-16)
100p+84=･･･=(10^n-1)*4/19 (18mod19)
ってなっちゃうんだけどな･･･

>>565
それは条件を満たさないおｗ
P5P1とP1P2は長さは同じだけど垂直じゃないお

>>570
たびたびすいませんです｡
逝ってきますorz

面白い問題って東大や京大ばっかしだな。
両者のは既にＣＤで20数年分解いた。
他の大学ので東大・京大にひけをとらない面白い問題ってないかな。

>>572
恐怖医

正の整数nと0＜c(0)＜c(1)＜・・・＜c(n)に対して方程式
c(0)z^n+c(1)z^(n-1)+・・・+c(n-1)z+c(n)=0の全ての解は絶対値が1より大きい
ことを証明したいんだけど
みんなだったらどうする？

これ自分でも分からない問題だったおｗでも今ひらめいたおｗｗ
f(z)=c(0)z^n+c(1)z^(n-1)+・・・+c(n-1)z+c(n)として
|(1-z)f(z)|を考えればいけそうだおｗｗｗ
違ってたら指摘よろしくだお

面白い・役に立つ問題を出し合うスレ
http://school5.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1144219294

コウイうすれって長持ちしないよなｗ

保守

数列a_1,a_2,…を
a_n = 2^n + 3^n + 6^n - 1 (n=1,2,…)
で定める.この数列のどの項とも互いに素であるような自然数をすべて決定せよ.

おもろいね、でも高校の範囲でとけるの？

上のほうでも普通に使ってるから大丈夫か。。。
でもさらにある事を知らないと一工夫が大変かもしれない

46
もんだいあってんの？ﾜﾗ

>>579
pを5以上の素数とすると、フェルマーの小定理より
2^(p-1)≡1, 3^(p-1)≡1, 6^(p-1)≡1 (mod. p)　よって、
6*{2^(p-2)+3^(p-2)+6(p-2)-1}
=3*2^(p-1)+2*3^(p-1)+6^(p-1)-6≡3+2+1-6=0 (mod.p)
∴2^(p-2)+3^(p-2)+6^(p-2)-1≡0 (mod. p)
つまり、pはa_{p-2}と互いに素でない
また、a_2=48 だから、2と3もa_2と互いに素でなく、
すべての素数はあるa_nと互いに素でないことになるから
答えは素因数を持たない１だけとなる

大阪大学公式ＨＰ


Q　他の国公立大学と比較して阪大をどう思う？
A　もし京大、阪大、神大の全部に合格したら、阪大を選ぶんじゃないかな。
　　なぜなら、阪大は「理系」というメージが強いので、ボクのめざすことができると思うから。
　　京大は文系のイメージがあるのでパス。
　　神大と比べたら阪大のほうがレベルは高いと感じるから、やっぱり阪大。（Kくん）
（ttp://www.eng.osaka-u.ac.jp/ja/prospective_s/qa/03.html）

Q 大阪大学あるいは大阪大学・工学部のどんなところが魅力？
A　工学部へ行くなら、京大よりも阪大っていう感じ。（Eくん）
（ttp://www.eng.osaka-u.ac.jp/ja/prospective_s/qa/04.html）

Q　大阪大学でのキャンパスライフってどんなイメージ？
A　同じ国公立でも、京大はガリ勉って感じだけど、
　　阪大はそんな感じではないので、キャンパスライフも面白そう。 （Tくん）
（ttp://www.eng.osaka-u.ac.jp/ja/prospective_s/qa/05.html）

>>584
EくんとTくんに吹いた

>>583
正解

IMOメキシコ大会から出題

有名問題ゆえ、概出ならごめん。

平面上に円を書いたとき、内部に格子点がn個含まれたとする。
nは任意の整数を取りうることを証明せよ。

保守

概出って変換できてるのに驚いた

２つの２次方程式x^2−ax−3b＝０，x^2−bx−3a＝０はいずれも重解をもたないとする。さらに，２つの方程式の解がすべてx^3＋px＋qx＋a^3−27＝０のかいであるとき、a,b,p,qの値を求めよ。ただし、a,bはことなる実数とする。

共通解が３であることはわかったのですが、そこからがわかりません。だれか教えてください。

すいませんpxではなく、px^2でした

>>590
マルチ乙

保守

保守

保守

ふと思ったんだがf(f(x))=sin_xを満たす関数f(x)の性質ってどうやったら調べられる？

>596
とりあえず微分かな？

微分できる保証は？

微分可能かどうかはわからんね

こういう自発的な疑問をじっくり研究できる時間的余裕が高校時代にあれば、
日本の高校生の学力はもっと上がるような気がするけど。

>596
先ずは存在を言わなくてはいけないが、この場合は存在するから考えてみると良い
因みにその場合f(0)=0は必ず成立

>>600
自発的な疑問がわかないやつの方多いだろうから、逆に下がるだろ。

保守

大中小の3つのサイコロを投げて目の和が奇数になるのは何通りか

式も含めて答えよ

奇数＋奇数＋奇数：３×３×３＝２７通り
奇数＋偶数＋偶数：３×３×３×Ｃ[3,1]=８１通り
∴２７＋８１＝１０８通り

6＾3/2

y=2x^2-1とx=y^2-2y-1の４交点は同一円周上にあることをしめせ。

誰か教えてください。

>>607
交点４つもとまるなら,
円の方程式を求めたらいいんじゃないの

>>607
後者2倍して2式足せば円の方程式になる
その円は「y=2x^2-1かつx=y^2-2y-1」なる点を全て通る

>>607
(2x^2-1-y)+2(y^2-2y-1-x)=0
{x-(1/2)}^2+{y-(5/4)}^2=53/16

>>609
あんた頭いいな
つまり,
s*f(x,y)+t*g(x,y)=0 は
f(x,y)=0 と g(x,y)=0 の交点を全て通る図形
を表すってことでいいかな？

>>611
そそ。「AならばB」の意味そのもの。

折角来たから出題して帰る。
「平地に3本のテレビ塔がある.
ひとりの男がこの平地の異なる3地点A,B,Cに立って、その先端をながめたところ、どの地点でもそのうちの二つの先端がかさなって見えた.
このとき、A,B,Cは一直線上になければならない.この理由を述べよ.」

新数演乙

数学得意なやつほど確率を一番苦手とすると聞いたんだが・・どうよ↓

赤、白、青の球を三人で三個ずつ分けた。
ア、全員同色(一人が同色の球を３つもらう)となる確率は？
イ、少なくとも一人が同色の球をもらう確率は？
ウ、３人とも３色の球を一つずつもらう確率は？
エ、赤球をもらう人が２人いる確率は？
オ、赤球をもらう人数の期待値

この手のスレが大学受験板で600までのびてるところはじめてみた

>>614
駿台ハイレベル模試スレの問題乙

>>613>>616
俺って色んな模試・参考書に精通してるんだぜ！とでも言いたいんだろうか

>>617
問題は知ってるけど解けないってオチかな？

>614
赤白青はもともと何個ずつあるの？

>612
自明なんだ…（´・ω・｀）
ちょっとびっくり。

問題投下。

放物線y=x^2上に定点Ａ(a,a^2)と動点Ｐ,Ｑを、∠ＰＡＱ=90°となるようにとるとき、直線ＰＱは定点を通る事を示せ。

>>621
P(b,b^2)とおく
a≠-bのとき
APの傾きはa+bだからAQの傾きは-1/(a+b)だから直線AQは
y=-(x-a)/(a+b)+a^2これがy=x^2と交わる点はAQだからQの座標をαとして
2式より
(a+b)x^2+x-a((a+b)a+1)=(a+b){(x-a)(x-α)}
解と係数の関係から
-a((a+b)a+1)/(a+b)=aα⇔α=-(a(a+b)+1)/(a+b)
ゆえQ(-(a(a+b)+1)/(a+b),{-(a(a+b)+1)/(a+b)}^2)
直線PQの傾き=b+α=(b^2-a^2-1)/(a+b)
PQ:(a+b)y-(b^2-a^2-1)x=ab^2+a^2b+b
⇔ay+(a^2+1)x-b(b(x+a)-y+a^2+1)=0
bについて成り立つにはx+a=0かつy=a^2+1かつay+(a^2+1)x=0であればよい
これらを満たすx,yは(x,y)=(-a,1+a^2)

>>617,618
難しくない程度に問題よろ

>>620
自明だよ。
図をかけばわかる。

a=-bのときが抜けてた
このときはAP⊥AQ:x=-b
このときはy=b^2なのでA(-b,b^2)ゆえA=Qとなり不適

尚614についてはもとが何個からわからないのでできなのでは？

>>614
題意を取り違えてた
もともと赤,白,青が順にl,m,n個あるときでも結局3個しかそれぞれ使わないから影響しないわけね
だから全事象は9C3・6C3=1680　
、、、と残りはまた後で

いやいや、もとの玉の数はとても重要ですよ。確率なんだから。
極端な例として、赤9個青0個白0個の場合、明らかに
ア、1
イ、1
ウ、0
エ、0
オ、3
で計算するまでもない。

向こうのハイレベルスレ見たけどそれぞれ3個あるとしてるみたい。
向こうでもう解決されてるのかな。

問題投下

座標平面上で中心（k.0）、半径1の円をCｋとし、ABをCkの直径とする。
原点からCkに引いた接戦とx軸のなす角をαとし、∠AOB=αとなるようにABを定める
ただしABの傾きは正とし、ABとx軸のなす角をθkとするとき、lim[k→∞]θkを求めよ。

それはやっちゃいけない

>>629

何考えてるんだよ




問題、
１＝x^3
を満たすxのうち虚数であるものの一つをωとおき、ω^nを考える

このとき次の変形が不適切な理由をのべよ


ω^n＝(ω^3)^(n/3)
＝(１)^(n/3)
＝１


指数がよみづらくてスマソ

指数法則は有理数で成り立つのでは？

>>629
k＞0としても対称性により一般性を失わない。Aの座標を(k-cosθk,sinθk),Bの座標を(k+cosθk,-sinθk)
と置けば原点をOとしてOA=√(k^2-2kcosθk+1) OB=√(k^2+2kcosθk+1) OABで余弦定理を用いれば
cosα=√{1-(sinα)^2}=√(k^2-1)/k=(k^2-1)/√{(k^2+1)^2-4k^2(cosθk)^2}より
(cosθk)^2=(3k^2+1)/4k^2 題意より0＜θk＜π/2 lim[k→∞]cosθk=√3/2より
lim[k→∞]θk=π/6

>614
はある模試で出た問題でかなりむずかった件

>>632

正解です

>>633
あぼーん

>>636
ごめん

k＞1の法外否

>629はなんで怒られてるの？

懸賞問題

ニュー速＋でこんなスレを発見したんですけど。

【ﾊﾛﾌﾟﾛ】東京出版「大数」の投稿式試験で紺野麻美も参加？本人ﾌﾞﾛｸﾞで発言

1:◆SCHearTCPU＠胸のときめきφ ★ :2006/06/07(水) 00:10:51 ID:???0 [sage]

今巷で大人気、モー娘｡の紺野麻美(18)が自ﾌﾞﾛｸﾞで、
東京出版の数学月刊誌、「大学への数学」の投稿型試験「学力コンテスト」に
自分も投稿してるのことを示唆する文面が書かれていた。
紺野麻美は来年度東京大学を志望予定です。
当ﾌﾞﾛｸﾞ(6/3)によると、「今月の学コン、マヂむずいです＞＜
(なんの話かわからないひとはするーしてください)
特に５番、何時間かけてもわかんない。
コンサートのダンスの練習中もずっと考えてまぁす(笑)」
とのこと。

「大学への数学」は、毎年、数学のエキスパートとしての称号が「日々モニ。」など、
根強いモー娘。ファンから成り立っている。
モー娘。メンバー本人による大数参加で、今後より一層盛り上がることになりそうだ。




URLもおいとく↓

http://ex14.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1149592239/

>640
そうだったんだ。知らなかった。

いまさらだけど>558は、とりあえず7以外のすべての整数で可能であることは分かった。(5は自信ないけど多分あってる)
そして多分7も可能。7も可能なら本当につまらない……（´・ω・｀）

>>632>>635
(-1)^nでも同じことができるよな？
「連続関数のとき成り立つ」では？

問題、

整式f(x)をx=αからx=βの区間で積分した値が、
x=α、x=β、x軸、f(x)によってかこまれる領域の面積に等しいことを示せ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＿＿＿＿　　　　､ミ川川川彡
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　／:::::::::::::::::::::::::""'''-ミ　　　　　　　彡
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　//, -‐―､:::::::::::::::::::::三　　ギ 　そ 　三
　　　　　　　　　　　　＿＿_　 　 巛/　　　　＼::::::::::::::::三.　　ャ 　れ 　三
　　　　　　　　＿-=三三三ミミ､.//!　　　　 　 ｌ､:::::::::::::三　　グ 　は 　三
　　　　　=＝三＝￣　　　　　　《|ll|ﾆヽ　l∠三,,`＼＼::三　　で 　 　 　 三
　　　　　　　 /　 　 　 　 　 　 　 |||"''》 ''"└┴‐`　`ヽ三 　　言　 ひ 　三
　　　　 　 　 !　　　　　　　 　 　 　| /　　　　　　　　　 三 　　っ　　ょ 　三
　　　　　　　|‐-､:::､∠三"`　　　　| ヽ=　　　　　U　 　三.　　て 　 っ 　三
　　　　　　　|"''》 ''"└┴` 　 　 　 | ゝ―-　　　　　 　 三　　る　　と　 三
　　　　　　　| /　　　　　　　　　　　ヽ　""　 　 　 　 ,.　三 　 の 　 し　 三
　　　　　 　 | ヽ= 　 ､　　　　U　　　 lヽ､＿__,,,...-‐''" 　三 　 か　 て　 三
.　　　　　 　 | ゝ―-'′　 　 　 　 　 | 　|::::::::::::＿,,,...-‐'"三　 !?　　　　三
　 　 　 　 　 ヽ　""　 　 　 　 ,.　 　 | |￣￣￣　　　　　　彡　　　　　　ミ
　　　　　　　　ヽ､＿__,,,...-‐''"　 ,,..-'''~　　　　　　　 　 　　 彡川川川ミ
　　　　　　　　　　厂|　　厂‐'''~　　　　　　〇
　　　　　　　　|￣＼|　／

>>644
そうでもないぞ

>>644
f(x)≧0じゃないと成り立たないんじゃねーの？

644です
すいません、「f(x)＞０とする」を書き忘れてました

muneharu-of-joytoy ID:Sq0IZJa30は結局どこいったの？「しかし、しかし、私は負けない。一日一題出題し続けるのだ。」ってあるけどwww

新生joytoy降臨キボンヌｗ

じゃあ問題

座標平面の原点を中心とする半径1の円Cと、点A(0, 1)でCに接する直線Lがある。
直線L上の点の列P_nと円C上の点の列Q_nを次のように定める。
P_1=(1, 1)とする。n≧1に対してP_nが定まったとき、P_nに最も近いC上の点をQ_nとし、
Q_nに最も近いL上の点をP_[n+1]とする。

問：Q_nの座標をnの式で表せ。

>>651
携帯から疲れた。合ってることを祈る

円Cは原点Oから等しい距離1の点の集合だから、Q_nは線分OP_nと円Cの交点である。
点A(1,0)とし、∠AOP_n=θ_n(0<θ_n<π/2)とおくと、tan(θ_1)=1であり、Q_n(cos(θ_n),sin(θ_n))である。
P_[n+1]は直線x=cos(θ_n)と直線Lの交点であるから、P_[n+1](cos(θ_n),1)
よってtan(θ_[n+1])=1/cos(θ_n)となり、次の式が成り立つ。
1/cos^2(θ_[n+1])=1+tan^2(θ_[n+1])=1+1/cos^2(θ_n)
X_n=1/cos^2(θ_n)とおくとX_[n+1]=X_n+1で、X_1=2からX_n=n+1
よってcos(θ_n)=1/√(n+1)で、sin(θ_n)=√(1-cos^2(θ_n))=√(n/(n+1))
したがってQ_n(1/√(n+1),√(n/(n+1)))

p,q,r,sを正の数とする。次の不等式が成り立つことを示せ。
　　[3]√{(pqr+pqs+prs+qrs)/4} ≦ √{(pq+pr+ps+qr+qs+rs)/6}

>>653
最初のは３乗根だよね。
両辺６乗して体力勝負ってのはだめかね？

もってる解答の一つはそんな感じでガッツ石松

あげ

>>652
正解です。
三角関数を持ち出さずに、直線OP_nと円Cとの交点がQ_nであることから、
直線の式と円の式からyを消去してx座標を出し、
漸化式を作ってもよい。

問題！ 1＋1＝？

＜国・文部科学省による大学評価＞

分野別COE採択件数上位５

（理工学）
・・・・・・・・・・・東大
・・・・・・・・・・東工大、京大
・・・・・・・・・名大
・・・・・・・東北、阪大

（生命科学）
・・・・・・・・・東大
・・・・・・・京大
・・・・・・阪大
・・・北大、東北、筑波、慶應、名大

（人文科学）
・・・・東大
・・・京大
・・北大、外語、早大

（社会科学）
・・・・東大、一橋、慶應
・・・早稲田、京大、神大


※中心となっている研究部署を基準とし、上記のように４つに分類
※理工：バイオ除く、生命科学：理学部の生命・生化学・農学含む
（http://www.jsps.go.jp/j-21coe/03_saitaku/index.html）

>>657
なるほど。直接計算もありですか。ただ個人的には三角関数が好きなんでｗ
計算中は「漸化式は立てられそうだけど、解けるのかな…」と
不安にもなったんですが。ワリときれいな形で出てくれて助かった。
また面白い問題があったら投下してくだしあ

問題

1から7までの数字が書かれた7枚のカードが入った箱から、カードを同時に2枚取り出す
試行をＴとする。Ｔは2回までおこなうことができ、1回目をおこなって中止するか、
2回目をおこなうかは自由に決めることができるものとする。
さて、Ｔを1回または2回おこなって、最後に取り出した2枚のカードに書かれた数の積が
得点となるゲームをする。いま、1回目に取り出した2枚のカードのうち、1枚に書かれた数が
3であったとする。できるだけ高い得点を得たいとき、もう1枚のカードに書かれた数が何であれば、
2回目のＴをおこなう方がよいか。次の2つの場合について答えよ。
（1）取り出したカードをもとに戻すとき
（2）取り出したカードをもとに戻さないとき

>>661
(1)5以下ならやりなおすべき
(2)とにかくやりなおすべき


自信ない

(2)4以下だったらやりなおすべき
まちがいない

今日の問題

xの方程式 ax = 2logx + log3 (x＞0)の解がすべて整数となるような実数の定数aの値を求めよ。
ただし対数はe=2.71…を底とする自然対数である。

誰も解いてくれないが、今日も出しておく。

自然数 a, b が
123456789 = (11111 + a)(11111 - b)
を満たしているとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) a - b ＞ 0 であることを示せ。
(2) a - b は偶数であることを示せ。
(3) さらに a - b は 4 の倍数であることを示せ。
(4) a - b ＜ 10 となるような組 (a, b) をすべて求めよ。

>>664
a=log3

高二ですが、(1)(2)は解けたんですが…(3)(4)は駄目でした。
(1)は展開して、整理(2)はa-bが奇数であるとして背理法。

>>668
a-b=4n+2として背理法。

今日もマイペースで出し続ける。

a, b を正の実数とする。2点 (0, 0), (1, 2)を通り、点 (a, b) を中心とする円が
x軸と交わる点をＰとし、直線 y = x の第1象限の部分と交わる点をＱとする。
小さい方の円弧⌒ＰＱの長さの最小値を求めよ。

>>670
乙

653の体力勝負以外の解法ってありますか？

新生joytoyさまー

>>631に顔文字がたくさん見える俺は末期症状

>>670
a＝1/2，b＝1 のとき
最小値 (√5)π/4

どうでっか

>>670
a=1/2,b=1,最小値=(√5)π/8

>>671
>>653を出したのは私じゃないので答えられない。

>>673
正解
>>674
円弧の長さは（半径）×（中心角）だよ。

>>668
展開して整理すると
11111(a - b) = ab + 4×617
となる。
a - b は偶数なので、左辺は偶数となり、よって ab も偶数でなければならない。
よって、a, b のうち少なくとも一方は偶数である。
ここで a - b が偶数であるから a と b の奇遇は一致する。
すなわち a, b は共に偶数でなければならない。
すると ab は 4 の倍数となり、右辺は4の倍数となるので、左辺も 4 の倍数。
したがって a - b は 4 の倍数。

今日の問題

実数 x, y, z が条件
x + y + z = 1
xy + yz + zx = -8
を満たすとき、次の問いに答えよ。
(1) x のとりうる値の範囲を求めよ。
(2) P = x^3 + y^3 + z^3 の最大値と最小値を求めよ。

(１) -1/3≦ｘ≦１

(２) 最大値293/9 最小値１

-3≦x≦11/3,-11≦x^3+y^3+z^3≦401/9

赤チャートより

A、Bの二人がじゃんけんをして、グーで勝てば３歩、チョキで勝てば５歩、パーで勝てば６歩進む遊びをしている。
Bがグー、チョキ、パーを出す確立はすべて等しいとする。
１回のじゃんけんで、AがBより前にもっとも進むことが期待されるのは、Aがどのような確立でグー、チョキ、パーを出すときか。
類　東京大

>>679
正解
>>678
残念。

今日の問題

正の数 p, q に対して 1/p + 1/q = 1/t とおく。
2つの曲線 y = e^(px) - 1 , y = e^(-qx+q) - 1 とx軸とで囲まれた図形の面積を
S(t) とするとき、lim_[t→0]S(t) を求めよ。

>>682
出題乙
lim_[t→0]S(t)/t
のほうがよくないか？
元のままだと計算しなくても０になるのが見えるし

円x^2+y^2＝１に、この円の外部の点Ｐ(a,b)から２本の接線を引き、その接点をＡ,Ｂ、線分ＡＢの中点をＱとする。

(1)点Ｑの座標をa,bで表せ。
(2)点Ｐが円(x-3)^2+y^2＝１の上を動くとき、点Ｑの軌跡を求めよ。

multi?

はーい、高校数IIIの問題ですよ。親切にもヒントつき。
(1)全ての自然数nに対し、4^n>n^2 を示せ。
(2)無限級数 Σ[k=1,∞]k(1/4)^n が収束するならばその和を求めよ。

今日の問題

円に内接する凸八角形があり、8つの辺のうち、4つの辺は長さがすべて 3、
残りの4つの辺は長さがすべて 2 である。
この八角形の面積を求めよ。

>>682
乙です。lim_[t→0]S(t)=0

>>683
現役を離れたせいか単にボケたのかロピんないで
lim_[t→0]S(t)/t=1/2を示す方法忘れてしまいました。
(挟み込む不等式の作り方を忘れた。)

どうやんでしたけ・・？

687
13+12√2

>>688
正解
>>689
正解

今日の問題

白玉 3 個と黒玉 6 個がある。
これらから無作為に選んだ玉を A, B, C, D, E, F の 6 人に次のように分配する。
まず 6 人に 1 つずつ分配し、次に残りの 3 個を 1 つずつ 3 人に分配する。
このとき、A が白玉 2 個を得る確率を求めよ。

>>691
1/24
解答時間15秒

>>691
1/21

>>692
正解
15秒ですか・・・優秀ですね・・・
そんなに易しい問題でもないと思うんだけど。

>>693
残念

座標平面上で、原点を中心とする半径 1 の円 C_1 のまわりを半径 2 の円 C_2 が
C_1 に接しながら滑らないように回転する。円 C_2 上の点 P(x, y) は、
はじめに点 A(1, 0) にあるとするとき、x のとりうる値の範囲を求めよ。

695
(-5-5√5)/4≦x≦5

６９５
−２≦x≦2

【問題】

楕円 (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 [a>b>0]をＥ、円 x^2 + y^2 = r^2 [r>a]をＣとし、
Ｃ上の点Ｐを通りＥに接する２本の直線とＥとの接点をＱ、Ｒとする
ＰがＣ上を動くとき、直線ＱＲはＥと焦点を共有する楕円に常に接している

rをa、bで表し、この楕円の方程式をもとめよ

>>695

−３≦ｘ≦３

曲線ｙ＝ｘ(ｘ−２)2←二乗
と
放物線ｙ＝ｘ(ｘ−２)とで囲まれた２つの部分の面積の`和`を求めよ。

>>700
宿題は自分でやれ

久々に来たが、以前に比べて大分レベルが下がってきてるのが残念だからちょっと難しいのを投下

2005個の合同な小三角形に分割できる三角形が存在することを示せ.

>>696
正解
>>697
残念
>>699
残念。というか、どう考えればそんな答えになるのか。

今日の問題

自然数 n に対して、7^n の 1 の位の数を a_n で表すとき、
- n^2 + 2na_n の最大値およびそのときの n を求めよ。

80, 10

>>704
乙

a_nは7,9,3,1,7…でループするから、nを4通りに場合分けしそれぞれ最大を求め、その中で最も大きいのが答え
眠気が眠気なので計算は（ｒｙ

>>702
これ面白そうだな、考えてみる

できた！

>>702
どこかで見たことがあると思ったらやはりあのスレかｗ

>>709
kwsk

>>709
キミの解答がどんなやつか気になるから詳しくは答えを書かないけど(出題者ではないが)以前数学板であった。

387 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2006/01/09(月) 16:53:02
2005個の合同な小三角形に分割できる三角形が存在することを示せ。

因みに平方の和で表した解法ならばかぶってる

>>710ね

>>711
ｻﾝｸｽ、っていうかスレ知りたかったけどまあ自分で探すわ
残念ながらその解法、やっぱ俺凡人だわ
ちなみに５分割を考えたら気付いた

すぐにわかるのは分割すれば平方数が出てくることに気付く(平行線で区切る合同な三角形なので1,3,5,・・・の和)
これを2005は1つの平方数ではあらわせないが二つならあらわせる。
二つの平方数であらわすことができたら、さきほどの二つの平方数で比にするような元の三角形を大きく二つの相似な三角形に分割して和を取ればめでたく求める三角形の出来上がり。

４つの平方で表せる数(0を含まない)または２つの平方数の和を2通り以上で現せる数を引っ張ってこれば四面体の場合もできるね。
幸い自然数はラグランジュで適当な４つの自然数の平方の和であらわせるようだし。
これを応用すれば小直方体の充填問題(3つの平方数の和で表せる数)ができたりまた違った楽しみができるね。

一例
392 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2006/01/09(月) 19:33:08
>387
　2005 = 18^2 + 41^2 = 22^2 + 39^2.

　直角三角形ABCをとる。　A(-18^2,0), B(0,18x41), C(41^2,0)
　　相似比 △AOB：△BOC：△ABC = 18：41：√(2005)
　　△AOB を 18^2 等分し、△BOC を41^2 等分する。

　直角三角形ABCをとる。　A(-22^2,0), B(0,22x39), C(39^2,0)
　　相似比 △AOB：△BOC：△ABC = 22：39：√(2005)
　　△AOB を 22^2 等分し、△BOC を39^2 等分する。

698です
解答ひとつもないけど一応解答のせときます

Ｐ(U,V)に対して
ＰＱ⇔Ux/a^2 + Vy/b^2 = 1
となる事を利用する［証明略］

Ｐ(Rcosθ,Rsinθ)としたとおく

特別にθ＝０度と９０度で上記にしめしたＰＱの式に代入して考えてみると

x=a^2/r
y=b^2/r
を得る

このことから求める楕円は
x^2/(a^2/r)^2 + y^2/(b^2/r)^2 = 1
である必要がある［十分性は省略］

さらにＥと焦点を共有することから
R=√(a^2 + b^2)

すいません訂正です
４行目
ＰＱ→ＱＲ

>>705
正解。相変わらず速い。

>>702
難しい問題の方が需要あるんですかね？

需要の傾向が分かりませんが、とりあえず今日も入試標準レベルを出しておきます。

今日の問題

3つの数列 {a_n}, {b_n}, {c_n} が
a_1 = 1,　 b_1 = 2,　 c_1 = 3,
n ≧ 2 のとき、a_n = b_[n-1] + c_[n-1],　 b_n = c_[n-1] + a_[n-1],　 c_n = a_[n-1] + b_[n-1]
で定義されている。このとき、b_n を n の式で表せ。

あ、それから、自分の出した問題を載せておくためのブログを作りました。
需要ないと思うけど。
解答・解説を載せれば少しはマシになるかな。
http://d.hatena.ne.jp/mathbird/

719
2^n

ついでにずいぶん前に出した問題の解答

587
構成的に解く
(√2,√3)から適当な格子点(n,m)への距離をd_{nm}とする。
d_{nm}=d_{pq}
はあきらかにn=p,m=qのときに満たされ、かつそのときに限る

>>721
正解

今日の問題

原点を中心とする半径 1 の円周上の点 (a, b) から、放物線 y = x^2 へ異なる2本の
接線が引けるとき、この2本の接線と y = x^2 で囲まれた図形の面積を最大にしたい。
このような点 (a, b) を求めよ。

九九（算数）ができない椰子の数→
http://life7.2ch.net/test/read.cgi/jinsei/1149439367/l50

>>684を頼みます………

>>724
(0, -1)
>>726
ここは質問スレじゃないよｗ
原点をOとすると、Qは線分OP上にあり、△OAP∽△OQA
∴OA:OP=OQ:OA　∴OQ=OA^2/OP=1/OP=(1/OP^2)OP
∴OQ↑=(1/(a^2+b^2))OP↑=(a/(a2^+b^2), b/(a^2+b^2))

>>727

(１)はできたのですが、２ができません。

Q(u,v)とおいて、
u=
v=
を逆に解いて
a=f(u,v)
b=g(u,v)
を求めて
円の式に代入

面倒だな、旧課程なら複素数使って楽なんだけどねｗ
Pは((x-3)^2+y^2＝１上にあるから(a-3)^2+b^2=1...(*)
Q(x,y)とすると、(1)から、x=a/(a^2+b^2)..., y=...
これを逆にa=..., b=...と解けばいいんだけど、
(1)の考え方をみればわかるように、
OP↑とOQ↑は同じ向き
OP・OQ=1
ここに注目すれば、a=x/(x^2+y^2), b=y/(x^2+y^2)だとわかる
あとはこれを(*)に代入して整理すればいいのでは？

おっと、かぶったｽﾏﾝ

>>730
あんた賢いわ。
確かにPとQの対称性に着目すれば、
計算せずにでるなorz。

>>730

すいません。よくわかりません

>>733
横レス失礼｡
軌跡の求め方をご存じないようですね｡
x=1/(t^2+1)
y=t/(t^2+1)
のとき､tが全ての実数を動くときの軌跡を求めよ｡
って問題はどう解く？
ってここは質問スレじゃないぞ！

>>727
不正解

正解は (±√3/2, -1/2) でした。ちょっと意外な答え？

今日の問題

0 ＜ x ＜ 1 とする。不等式 log_x(3x^2 - 10x + 7) ≧ 2 を満たすすべての x に対して、
x^2 - 2ax ≧ 1 が成り立つような a の範囲を求めよ。

736
a<(25-9√11)/28

>>735
ショック！
(αーβ)^2=(2cosθ)^2-4sinθ
これを何故か=4-sin^2θ-4sinθとやってた・・・

736
(25−9√11)/28≦a≦(5−√11)/2

>>737
合ってますけど、イコールも入ります。
>>739
残念。何か勘違い？

今日の問題

長さ L の線分 AB 上に、AB を (n + 1) 等分する分点 Q_1, Q_2, ・・・, Q_n が
A の方から順にある。AB を弦とする円弧上に点 P をとり、∠APB = α とおく。
S = 1/n�納k=1,n](PQ_k)^2 とおくとき、S の値が点 P のとり方によらず、
L と n だけで定まるための α の条件を求め、そのときの S の値を答えよ。

α＝９０°
S={(2n+1)/(6(n+1))}L^2

>>742
正解

今日の問題

xyz 空間において、次の条件 (i), (ii) を満たす点 P(x, y, z) 全体の集合を V とする。
V の体積を求めよ。
(i)　2 ≦ x ≦ 3
(ii) 点 Q_1(x, -2x, 0) と点 Q_2(x, 2x, 0) に対して、Q_1P + Q_2P ≦ 2(x^2 + 1)

206π/5

今日の問題

箱の中に赤球10個白球20個がある。 箱からランダムに球を2個同時に取り出し
・同色なら1個は捨て1個は箱に戻す
・違うなら白は捨て赤は戻す
という試行を繰り返す。
このとき最後に白球が1個残る確率を求めよ。

>>746

このとき最後に赤球が1個残る確率を求めよ。

に訂正

>>746
これは面白い！、でも答えはかかないから皆もやって見れ

ｱｰｯ！

ハメられた気分だ。良問GJ

>>745
正解。安定してますね。

>>746
面白いですね。確率と見せかけて実は論証問題ですね、こりゃ。
それはさておき、名前、同じにしないでくださいよ・・・。

私の方は硬派な入試問題を出し続けます・・・。

今日の問題

n 次の多項式 f_n(x) が
f_0(x) = 1
f_n(x+1) - f_n(x) = nf_[n-1](x) 　(n = 1, 2, 3, ・・・)
によって定義されている。
自然数 N に対し、S = �納n=0,N]f_n(N)/f_n(n) を求めよ。

746
なるほど

751
2^N

>新生joytoy
>>724
>>736
>>741
>>746
解説おねがいします

>>753
解答を載せておきました。
http://d.hatena.ne.jp/mathbird/

>>746は私が出題者ではないので、でしゃばらずに黙っておきます。

>>752
正解

今日の問題

素数 p, q (p＞q)に対して、初項 1/p, 末項 1/q で、2/(p+q) を項にもつような
有限等差数列のうち、公差が最大であるものの和を求めよ。

今日の問題
x，α，β，γ を x≧1，0＜α＜π/2，0＜β＜π/2，0＜γ＜π/2，
tanα=1/x，tanβ=1/(x+1)，tanγ=1/(x+2) を満たす実数とするとき，
次の問に答えよ．

(1) x=1 のとき，α+β+γ の値を求めよ．

(2) α+β+γ=π/4 であるとき，次の問(A)，(B)に答えよ．

(A) 2＜x＜3 であることを示せ．

(B) θを 0＜3θ＜π/2，cos(3θ)=(6√21)/49 を満たす実数とするとき，xをθを用いて表わせ．

>>756
(p+q)(p+q+1)/(2pq)
p,q も動かすなら14/5
>>757
(1)π/2
(2)(A)略(B)x=(2√21/3)cosθ

今日の問題

1枚のコインがある．このコインの表の出る確率をp，裏の出る確率を1-p
として，次の問に答えよ．ただし，pは 0＜p＜1 を満たす実数の定数とする．

(1) コインをn回投げるとき，表が2回連続して出る確率Pnを求めよ．(n≧2)

(2) 表がn回連続して出るまでコインを繰り返し投げ続けるとき，
　　コインを投げる回数の期待値Enを求めよ．(n≧2)
ただし，この期待値は収束するとして計算せよ．

(3) 表または裏が2回連続して出るまでコインを繰り返し投げ続けるとき，
　　コインの投げる回数の期待値Fを求めよ．

>>754
感謝

>>744
>>751
>>756
>>757
の解説おねがいします
もしよろしけれ出題校教えてください
いままでの問題のまったくできないですが基礎力不足でしょうか
>>724>>736の復習はすませましたあつかましいですがよろしくお願いします

>>759もできれお願いします

>>751
面白い

sin1゜+sin2゜+…は有理数になり得るか。

適当なところで止める、という意味なら自明にyes

ちょっと悩んでしまった。馬鹿らしい

sin1°+sin2°+…+sin359°+sin360°=0

(x-a)(x-b)(x-c)…(x-z)
みたいだな

>>756
正解。
pとqは与えられた素数のつもりだったので上が答えです。
下の答えは未検証。

>>751で出題ミスが発覚しました。
n=1, 2, 3, ・・・に対して f_n(0) = 0 という条件が抜けていました。
この条件がないと定数項が定まらないような？
悩んだ方がいたらごめんなさい。

>>760
>>754のところに順次解答をアップしていくので、チェックしといてください。
最近の問題の出典を列挙すると
>>724 東北大・文系
>>736 名古屋大・文系
>>741 三重大・医
>>744 岩手大・工
>>751 大阪府立大・工
>>756 群馬大
ただし、小問を削除したり表現を変えている問題が大半です。

これらの問題が解けないとしても、必ずしも基礎力不足とは言えないと思います。
どの問題もそれなりに一ひねりしてありますから。
教科書レベルをクリアした上で、このレベルの問題が解けるように練習していくのが
入試対策なのだと思って頑張りましょう。
解答を見て「ああ、そこでそれを使うのか〜。言われりゃ分かるけど、思いつかないなあ」という
感想を抱くようなら、希望はあります。
解答に出てくる一つ一つの変形や説明が意味不明なら、基礎力不足です。

>>757 >>759
せっかく出題するのなら、違う名前にされたらどうですか？
別にどうしても同じがいいのならケチはつけませんけど、ややこしい・・・。

受験生時代、偏差値70くらいあった某大学生だが>>7の問題おかしいだろ？
その言い方だとkの最小値をxの関数で表せという風に聞こえる

聞こえない

まあいいけどね
あんな言い回し初めて見たから変だと思ったらやっぱりオリジナルだったからさ
どこの馬の骨か分からん人のオリジナル問題より灯台25ｶ年やるのがいいと思うなー

値と書いてあろう

>>773
それにしても変な言い回しだと感じるな〜
なんて言えばいいか難しいけど、
「〜を満たすkの最小値と、その時のxを求めよ」なら題意が分かりやすいと思う

>>759
(1)α,βをx^2-(1-p)x-p(1-p)=0の２解として、
Pn=1-{(β-1)α^n-(α-1)β^n}/(β-α)
(2)En=(1-p^n)/(p^n・(1-p))
(3)F=3/(1-p(1-p))-1

今日の問題

次の条件（イ）、（ロ）、（ハ）を満たすような整式 f(x) を求めよ。
（イ）f(x) の最高次の項の係数は 1 である。
（ロ）f(x) を 1/3f'(x) で割ると、余りは -2(x - 1) である。
（ハ）f'(x) を x - 1 で割ると割り切れて、商は1次式である。

（ロ）と（ハ）のf'(x)がほとんど見えないですね・・・。
f ' (x)
f’(x)
f ’(x)
どれが見やすいだろう。

776
x^3-x+2

777
一番上に一票

778訂正
776
x^3-3*x+2

>>776
f(x)=(x-1)^3-3(x-1)^2=x^3-6x^2+9x-4

1.とある正四面体Aの全ての辺に接するような半径1の球の内部をX、Aの内部をYとする。X∪Yの体積を求めよ。

Ｃ****


2.△ABCがsinB=√2sinAを満たすとき、cosAのとりうる範囲を求めよ。

Ｂ***

>>781
1. 8/3+8(9-4√3)π/27
2. 1/√2≦cosA＜1

>>779 >>780
両方答えて正解です。

今日の問題

平面上に 13 個のます目が横 1 列に並んでいて、左から順に 0 から 12 までの番号が記してある。
0 のところに白石 1 個が、 1 から 12 までの何箇所かに黒石が 1 個ずつ置いてある。
2 個のさいころを同時に投げて、出た目が a と b なら、白石をまず a のところに移し
さらに a + b のところに移すか、まず b のところに移しさらに a + b のところに移すという、
いずれかの操作をする。このとき途中で止まったところや最後のところに黒石があれば、それを
とることができる。移動のさせ方は、黒石をできるだけ多くとれるように決めるものとする。
(1) 黒石が 1 個だけのとき、とられる確率が最も大きいのはどこにあるときか。
(2) 黒石が 4 と 7 のところにあるとき、とられる黒石の数の期待値を求めよ。

>>784
(1) 6 (2) 5/9

(3) 黒石が 4 と ６ のところにあるとき、とられる黒石の数の期待値を求めよ。
これだと１個の時の結果をそのまま使う事はできなくて面白いかも

>776
f(x)=x^3+3(3-√3)x^2-3(3-2√3)x^2+11-5√3
と出た

すまん訂正
f(x)=x^3+3(3-√3)x^2-3(3-2√3)x+11-5√3

>>772
>>774
全然変じゃないよ。
ああいう書き方してたら、その範囲で常に不等式が成り立つkの最小値を問う
問題だと即座にわかるが

>>774
つーか君、題意思いっきり取り違えてるよ
そんな問題じゃない

>>785
正解

>>786 >>787
全然違います。。。

今日の問題

実数 t に対して、集合
{ (x, y) | 0 ≦ x ≦ t ≦ y ≦ (9x)/(3x+2) }
を A_t で表す。
A_t ≠ Φ ( Φ は空集合を表す)となる t に対して、A_t の面積 S(t) の最大値を求めよ。

791
49/36-4log(11/6)-2log2

流石に違うか（；´Д｀）

>>792
最後に計算ミスしてません？
最後は +2log2 になるはずです。
logをまとめると 49/36 + 4log((6√2)/11)

今日の問題

面積 S の直角三角形 ABC がある。斜辺 AB を1辺とする正方形の面積を T,
他の2辺の長さの和を1辺の長さとする正方形の面積を U とする。
(1) T/U の値の範囲を求めよ。
(2) T/U ＜ 2(2-√3) ならば、∠A はどのような範囲にあるか。

794
(1) 1/2 \sim 1
(2) π/6 \sim π/3

>>795
正解

今日の問題

平面上に 3 点 A(-3, 0), B(3, 0), C(0, a) がある。3 つのボール P, Q, R が
それぞれ点A, B, C を同時に出発し、一定の速さで直線運動をする。P, Q, R の
速さの比が 1 : 2 : 1 であるとき、3 つのボールが同時にぶつかることがあるための
a の条件を求めよ。ただし、ボールは点とみなす。

>>797
速度は距離と言い換えても一緒だな。

>>797
楕円と直線が交点を持つ
→　判別式=0
でどう？

>>799
楕円じゃなくてアポロニウスの円ですね。
それと線分 AC の垂直二等分線とが共有点をもつ条件で。

今日の問題

A = ( [ 1 , -5 ] ; [ 2 , -2 ] ), 　I = ( [ 1 , 0 ] ; [ 0 , 1 ] ) とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) ( I + A )^(100) = pI + qA となる実数 p, q を求めよ。
(2) 線分 x - 3y = 1 ( 0 ≦ x ≦ 1 ) を ( I + A )^(99) でうつした図形を求めよ。

落ちるぞ

>>802
もう決まったのかよ。じゃ来年ガンガレ。

違う、スレがだｗ
sage進行もいいが偶にはageれ

>>804
落ちるのは、最終カキコからの時間が基準だから、
sageでも保守できる。

バカめ、お前おちるぞ

今日の問題

a, b は整数とする。方程式 x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0 が相異なる3つの実数解
α, β, (α + β)/2 をもつとき、これらの3つの解を決定せよ。

>>801
が解けん…。二項定理使う？

>>806
a=-3,b=1,x=1+√2,1-√2,1

>>801
(1)p=900495136383647456782872999224735547543241001,q=451800358437375448833766231725515005005584625

>>806
三次関数が変曲点に関して対称であることを使えば・・・
と思ったが、あんまりエレガントにはいかないかな。

>>809
ﾜﾛﾀ、UBASIC使い？
多分出題ミスだね

そんなまさか？何度も確認したのに？と思って調べてみたら、マジで出題ミスしてました・・・orz
っていうか、元ネタの誤植・・・

というわけで、>>801は、正しくは

A = ( [ 2 , -5 ] ; [ 1 , -2 ] )

です。

ごめんなさいごめんなさいもうしませんごめんなさい

今日の問題

△ABC において、3辺の長さが等差数列をなし、また最大角 A が最小角 C の 2 倍であるとき、3辺の長さの比を求めよ。

p=-(1/2)^50,q=0

>>813
4,5,6

>>808
正解

>>814
正解

>>815
正解

今日の問題

2つの箱 A, B の中に、1 から 10 までの数字が1つずつ書かれたカードが次のように入っている。
A の箱には、番号 k のカードがそれぞれ k 枚ずつ入っている。
B の箱には、番号 k のカードがそれぞれ 11 - k 枚ずつ入っている。
（ただし k は整数で、1 ≦ k ≦ 10 とする。）
さて、A から 1 枚、B から 2 枚のカードを取り出すとき、その 3 枚のカードに書かれた番号が
すべて k である確率を P(k) とする。P(k) が最大となる番号 k を求めよ。

817
3,4

5と6

計算間違えてた

>>818
正解

>>819
ん？違います。

今日の問題

xy 平面上の曲線 y = √x を x 軸のまわりに回転してできる曲面を S とする。
xyz 空間の点 A ( 1/2, √3, 1 ) から S にいたる最短距離を求めよ。

√5/2

>>823
正解

今日の問題

m, n は自然数とする。(1 + x)^m(1 + x^2)^n の展開式において、
x^2 の係数が 12 であるとき、x^3 の係数がとりうる値をすべて求めよ。

12
20
22
28

>>826
正解

今日の問題

関数 f(x) は x≧0 で定義され、x ＞ 0 で f '(x) と f ''(x) が存在し、
さらに次の条件を満たしている。f(x) を求めよ。
(i) 　f '(x)f(x) = 1/(4√x) 　（x ＞ 0）
(ii)　 f ''(9) = - 11/3456

唐突ですが、ちょうど1ヶ月たったので、出題はしばらくお休みします。

次回はもう少し難しい問題で、模擬試験形式でやってみようと思うのですが、どうでしょうか？
予告した日時・時刻に問題をまとめてアップし、制限時間内に各自が解いて採点して報告するっていう感じを考えてます。

このスレを毎日チェックしてくれていた人たちなら、参加してくれると信じてるのですが。
意見・要望があったら聞かせてください。

>>829
あなたは誰でつか？

828
(x^(1/2)+1)^(1/2)

保守

８２２の問題、出典を教えてください。

>>833
名工大


新企画に対して全然反応がないのがちょっと寂しいけど、
まあ、勝手に問題載せるのでみなさん参加してくださいね。

参加者募集のために上げときます。
スレ違いという批判が出れば、新スレ立てるかも。

新企画の予定

名称　：　2ch数学模試

日時　：　8月1日（火）　午前0時〜2時30分

午前0時に問題ファイルをPDF形式でうｐするので、各自ダウンロード後、印刷するなどして、解答。
2時30分に試験終了。同時に解答ファイルをうｐするので、各自自己採点して、またーりと報告。

問題傾向や難易度はおおむね東大を想定しているが、それよりはやや易しい。
原則として高3生、浪人生を対象とするが、2年生以下や大学生以上が参加するのも自由。

>>835
だから、あなたは誰でつか？元「９スレ」住人の残党？

>>836
違う。
「9スレ」なるものがあったことは知っているけど、参加したことはない。

８２２の問題、名古屋工業大学だったんですね。お返事ありがとうございました。
いい問題だなって思ったので。２ｃｈ模試は是非参加させていただきたいと思います。
私はあなたが誰でもかまいません。いい問題をこれからもお願い致します。

名工大の問題の解放だれかさらしてください

ベクトルOA↑に平行な平面を考える



のかな？

と思って解いてたら俺も混乱したｗｗ
誰か解答きぼん

831
俺も同じ答えにたどりついた

大学ランキング-2007-

東大
京大
東工　一橋
阪大　名大　東北　慶大　早大
九大　北大　神戸
筑波　横国　阪市　外語　上智

名工て822か？
回転曲面なんだから座標ごと回転してあらたなXYZ空間考えればいいのでは。
結論からいうとXY平面だけを考えれば特に問題ないと思うがね。
y=√xは曲面y=√(x^2+z^2)から最小値を考えるか
A(1/2,√3,1)を回転させてA'(1/2,2,0)
どっちを回転させてもいいけど計算を楽にするという点ではAを回転させればいいかも
後者の案を採用すると
A'からy=√xまでの距離を最小にせよという問題に言い換えられるので
距離d^2=(x-1/2)^2+(y-2)^2
=(x-1/2)^2+(√x-2)^2
=x^2-4√x+17/4
f(t)=t^4-4t+17/4 (t=√x>0)
f'=4(t-1)(t^2+t+1)
t=1のとき極小かつ最小ゆえd≧√f(1)=√5/2

>>844の後者と同じ方法でやってたが計算ミスをしているだけでした
あぁ俺のアホ
なんで1/4+4=41/4になるんだ

回転させる手があったか。
曲面の方程式がx=y^2+z^2だからy=cosθ,z=sinθで
無理やり計算して偏微分して解く方法しか思いつかなかった
受験終わって頭固くなっちゃったのかなあ
#俺は>>839じゃないよ

P_n∩P_(n+1)⊂P_(n+2)(n≧1)によって定義される集合P_1,P_2,P_3,・・・において、
P_1∩P_2∩P_3∩・・・が空集合とならないためのP_1,P_2の条件を求めよ。

最新ニュース　【教育】国際数学オリンピック　中国が全員金メダルで3年連続世界1位　2位ロシア、3位韓国　日本は7位も過去最高成績
1 ：ネットナンパ師φ ★ ：2006/07/19(水) 02:23:23 ID:???0
http://news.searchina.ne.jp/disp.cgi?y=2006&d=0718&f=national_0718_002.shtml
http://imo2006.dmfa.si/results.html によると、順位は　1中国　2ロシア　3韓国
4ドイツ　5アメリカ　6ルーマニア　7日本　8イラン　9モルドバ　10台湾　11ポーランド　12イタリア
13ベトナム　14香港　15カナダ　16タイ　17ハンガリー　18スロバキア　19トルコ　20イギリス
【ニュー速＋】http://news19.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1153243403/

（以下参考情報）
インド人は、あんだけ人間いて夏季オリンピックで銅1個しか取れない劣等民族。
自慢の理系でも数学オリンピックは毎年中国が優勝。アメリカが2位。この2国が指定席で、インドなんてランク外。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%BD%E9%9A%9B%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%AA%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%94%E3%83%83%E3%82%AF
数学オリンピックの日本の輝かしい成績
1995年：1位-中国、2位-ルーマニア、3位-ロシア、4位−ベトナム、5位-ハンガリー
1996年：1位-ルーマニア、2位-アメリカ、3位-ハンガリー、4位-ロシア、5位-イギリス
1997年：1位-中国、2位-ハンガリー、3位-イラン、4位-ロシア、アメリカ
1998年：1位-イラン、2位-ブルガリア、3位-アメリカ、ハンガリー、5位-台湾
1999年：1位-中国・ロシア、3位-ベトナム、4位-ルーマニア、5位-ブルガリア
2000年：1位-中国、2位-ロシア、3位-アメリカ、4位-韓国、5位-ブルガリア、ベトナム
2001年：1位-中国、2位-アメリカ、ロシア、4位-ブルガリア、韓国
2002年：1位-中国、2位-ロシア、3位-アメリカ、4位-ブルガリア、5位-ベトナム
2003年：1位-ブルガリア、2位-中国、3位-アメリカ、4位-ベトナム、5位-ロシア
2004年：1位-中国、2位-アメリカ、3位-ロシア、4位-ベトナム、5位-ブルガリア
2005年：1位-中国、2位-アメリカ、3位-ロシア、4位-イラン、5位-韓国

なお参加資格は高校生までです。今すぐではなく次世代、次次世代に効いて来るものです。
それが教育の深さ、恐ろしさ。

問題：
1，2，3のみを使ってｎ桁の数を作る。例えば5桁なら22312とか。
そのとき，3の倍数はいくつできるか。

他スレで見つけてきた。

849
少し面白かった
こういうのを自明に気付けるようになりたい

>>850 解答つくってみた？見てみたい。実はこれ、数学オリンピックの問題を
難しくした物なんだけどね。

3^(n-1) ?

>>852
直感的にはそうなると思う
>>851
ムズカしく？
俺は漸化式をはじめに考えたが・・・

?　間違い？
1桁だけ自動決定、ではドはまりなのか

849
或る数が条件を満たしたとする。
その数の適当な或る桁に対して1を加えたばあい、それは3で割れば1を剰余とするであろう。
2を加えた場合、それは2を剰余とするであろう。
ただし、3に1を加えれば1に戻るものとして考える。
これらの構成は、選ばれた数の性質、選ばれた桁の性質に依存せず普遍的に成り立つ。
また、この構成を、条件を満たすすべての数に対してすべての桁に対して行うことで、
3で割った剰余が0、1、2となる、同数の数を作り上げる。
また、一つの操作によって変化する数字は一つのみであるのに対し、
3の倍数を3の倍数に移すには最低二つの数を変化させる必要があることから、
この操作で構成される数に重複がないこと(操作が単射であること)は自明である。
(どのように異なる二つの3の倍数を選んできても、上記の操作によって同じ数に移ることはない)
また、操作の対称性ゆえに、逆の操作も単射である。ゆえに、この操作によってn桁の数を不足なく数え上げている。
ゆえに、1、2、3のみで構成されるn桁の数のうち、3で割った剰余がそれぞれ0、1、2であるものの数は互いに相等しい。
ゆえに852

書き出すと意外に長くなった。

>>854
いや、直感が正しいって話だが・・・
n桁で3で割り切れるものがa_n個
3で割って1あまるのをb_n個、2あまるのをc_n個と置くと
(n+1)桁で3で割り切れる数は、n桁で3で割り切れる数の(n+1)桁目に
「3」がくる場合と、・・・・・なので、
a_(n+1)=1*a_n + 1*b_n + 1*c_n
同様に
b_(n+1)=1*a_n + 1*b_n + 1*c_n
c_(n+1)=1*a_n + 1*b_n + 1*c_n
∴a_(n+1)=b_(n+1)=c_(n+1)
また、a_n + b_n + c_n=3^n
よって
a_n=3^(n-1)

素晴らしい！大正解です。

n≧2のときΣ[1,n]√kは無理数であることを示せ

Q上共役な元をすべて根に持つQ係数の2次以上の方程式があり
矛盾

８２２の名工大の問題ですが、曲面をｘ＝ｔで切断して、点Pの座標とｔとθで表して、
２点間の距離で式をだして、一旦tを止めて、θの関数とみて最小値をtの式でもとめ、今度はtを
動かして考え（このときtで微分する）、最終的な最小値を求めるって解いたんですけど
解法としていいのでしょうか？答えは正解とされているものが出ました。

>>860
構わない
書き込まなかったけど俺はそれと実質同じ方法(先にθを止めたけどね)で解いた

８６１さん、ありがとうございます。安心しました。しかーし、実は自分も最初θを止めてみたんですけど、
うまく処理できなかったので、エーィって感じで止める順番を逆にしてみたらスンナリできたので、なんだかなー
？って思ってしまたものですから。名工大に行きたいです。今夜もがんばります。

>>862
参考までにθを先に止めるほうを書いておく。
S上の点をPとし、Sをx=tで切断して考えるとP(t,sqrt(t)cosθ,sqrt(t)sinθ)とできる
(AP)^2 = (t-1/2)^2+(sqrt(t)cosθ-sqrt(3))^2+(sqrt(t)sinθ-1)^2
=t^2 - 4sqrt(t)sin(θ+π/3) + 17/4
θを固定しtについて微分
d((AP)^2)/dt = 2t - 2sin(θ+π/3)/sqrt(t)
d((AP)^2)/dt=0とするとt=(sin(θ+π/3))^(2/3)となりこの時(AP)^2は最小
代入して
(AP)^2 = 17/4 - 3sin(θ+π/3)^(4/3)
≧5/4 (∵sinの値の範囲)
∴AP≧sqrt(5)/2

ｎ厨コテつけろ矢ＷＷＷＷＷＷＷＷＷＷＷＷＷｗ

863は俺じゃないよ
解答書くときぐらい自分の名前ぐらい入れますよ

生きとったか。ｗ

>>858
証明キボン

問題

四面体Ｐ−ＡＢＣにおいて△ＡＢＣの外接円の中心をＯとする
またＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣである
このとき平面ＡＢＣ⊥ＰＯであることを示せ

>>867
帰納法じゃ駄目なのか？

>>869
俺にはできない

背理法

>>868
PはABから等距離だから、ABの垂直２等分面上にある。
・・・

>>870
IDかわっとるが>>869ね
この表示は１からｎまででいいんだよな？ガウス記号ならわからんが

1からｎまでと仮定する
�@　ｎ＝２の時は明らかに成立
�A　ｎ＝ｋの時に成り立つと仮定する
�B　ｎ＝ｋ＋１の時、√ｋ＋１が有理数だろうが無理数だろうが無理数に何を足しても無理数なので成立
よって成立・・・だと思うんだけど・・・

�B　偽

>>876
違うんか！？

間違えた、>>875ね

(5+√3) + (4-√3) とかあるじゃん

マイナスってありえないんじゃないか？

ありえないけど、無理数＋無理数＝無理数　が偽であることになったんだから
�Bは別に証明する必要があるっしょ

「ありえないだろうけど」にしときます。

これは和か？
４−√３は差だし、こういった和と差は交換できて結局は有理数＋有理数に直せるから意味をなさないんじゃないか？

ごめん、まじめに意味わからないです

とまれ、「無理数に何を足しても無理数なので」が成立してないっしょ

うん、今気づいた・・・３分の１＋３分の２が反例だった

またまたごめん、３分の１は有理数だ・・・

何を1人で遊んでるんだ。

ID:uDm1B6il0
(5＋√3)＋(4−√3)は無理数プラスある数が無理数とはならないことの証明になってる

君の主張→ある無理数ａになにを足しても無理数になる
つまり任意のｂに対しａ＋ｂが無理数だと


しかしａ＝(5＋√3)とすればａは確かに無理数だがｂ＝(4−√3)のときａ＋ｂ＝9となり反例云々以前に君の主張は崩れるわけ
あとａ＋ｂはどう見ても和です
ａやｂの中身に差が使われていても和です
ｂ＝0でも和です
てかこのレベルの議論は基本だろｗ
もっと勉強なさい

ID:uDm1B6il0だが、昨日は暴走しまくって反省してる。

俺が間違えてたんでここで名誉挽回の一発を、携帯からだから見えにくいかもしれない

Σ［1,n］√kを和の公式から無理数だって導きだすってことでおk？
ダメならマジ最初から叩き直してきます

>>889
出直してこい。
お前にはまだ無理だ。

了解です

>>835で告知した実施日が近づいてるんですけど、スレが立てられない・・・
どなたか立てられる方立てていただけませんか？
スレ立て代行スレッドでもお願いしてあるので、そちらのテンプレをコピってもらえれば幸いです。

もし明日中に立たなければ、このスレでやりますね。。。

ｼﾓｰﾇくさいことやんなよ

892
おもしろそう、
是非参加させてください

x.yは正の整数である。
1234x'n＋9876y'n＝1111・10'n…�@
n≧2のとき、�@を満たすx.yは存在するかどうか示せ

予定通りやります。
今のところ参加宣言者は2名ですか・・・。
参加していただける方はできれば学年・志望校・偏差値などのデータを公開して盛り上がってください。
スレが立てられる方は立てていただけると嬉しいです。
それではまた夜に。

>>895
数式もまともに表記できん奴が出題なぞ100年早い！

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

>>835
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1154354469/
たてました。

>>898
感謝です！
それではこれ以降は新スレを使わせていただきます。

age

>>858
ﾏﾀﾞｰ?

>858
まずn=p(素数)として示す
ガロア理論により
√1+√2・・+√p∈Q⇒√1+・・・-√p∈Qとなるが差を考える事により矛盾が生じる
一般にnの場合は有理数となる最小のnを考え√p→-√pに移すと、その差は(nの最小性から)無理数となりガロア理論との矛盾が生じる

>902
訂正
というかガロア理論により√p→-√pでも和は固定されてるはずだから明らかに矛盾だなww
偉大だな、ガロア理論

>>859
これと同じっぽいなあ・・・高校の範囲でたのむぜ

>904
違うよ
>859のは証明になってないww
高校のも恐らく似たような方針だと思うけど面接そう

高校の範囲では無理だと思うよ。

>>858
質問スレで解いたのと同じ問題か
向こうにも書いた通り受験の解答としては際どいけど一応貼っとく

nまたはn-1のうち偶数のものを2kとする
kが1のときn=2または3であり、何れの場合もn!は平方数にならない
kが2以上のとき、チェビシェフの定理よりk<p<2kなる素数pが存在する
n!が平方数となるためにはn!が素因数pを偶数個含むことが必要であるが、
pの次に大きいpの倍数は2pであり、nより大きいのでn!のもつ素因数pの個数は1
よってn!は平方数にならない
以上より示された

↑チガウヨ！

うわ、とんでもない勘違いだorz
吊って来る

910

こっちも埋めていけよ

これ誰か教えてください

平面上の点全体を、共通部分がない2つの集合A.Bの和集合に分けると、かならずどちらかの集合は、任意の距離だけ離れている2点を含むことを証明せよ

平面上に点が２つ存在する場合を考えると・・・

任意の距離だけ離れている２点を含む？どういうこと？

>>911
あるd>0があって、ABどちらの任意の2点につき距離がdではないとする。
よってAの点x1に対し、|x1-x2|=dなる点を取れば、x2はBの点である。

このときx1とx2を中心とする半径dの2つの円を作れば、これらの円は
2点P1,P2で交わるが、P1がAの点ならば|P1-x1|=dとなり矛盾である。
Bである場合も同様に矛盾となる。

で、証明になってる？

誰かこれできる？

正二十面体の隣り合う面の間の角のcosθを求めよ

165

>>914
−√5/3

参加してみる。
簡単な問題（数�V）
問）lim_[x→π/2]tan(x)cos(x)

SINE

>>917
宿題まだ終わらないの？

920

>>914
>>916の答えであってんの？

(1)(25)=ｒ
を示せ

>>922
何それ?

問題出したやつ答えも書けよ

解答�T

ｒ=(1)(25)は
1,25共に奇数なので
2n+1 又は 2n-1で示すことが出来る

1を示す数字は
2n-1=1 又は 2n+1=1
によって表せる

つまり
n=1 又は n=0
これを�@とおく

次に25を示す数字は
同様に
2n-1=25 又は 2n+1=25
によって表せる

つまり
n=13 又は n=12
これを�Aとおく

解答�U

�@と�Aの値は等しくない
�@… 0 又は 1
�A…12 又は 13

この値の平均値を求める式は
�@+�A/2=12/2 又は 14/2
よって
6 又は 7 が生じる
ここで

6=n 7=mと置く
この値を限りなく近づける式
n＜mの時 平明式ｒ=m/4
n＞mの時 平明式ｒ'=n/2
に代入すると

ｒ=7/4、ｒ'=3となる

求めたいのはｒなので
ｒ'は題意に反する

よってｒ=7/4である

ミニロトやLOTO6などの
数字選択式宝くじなどで
活躍する数式です
大学受験では全く使わない数式ですが
知ってると結構得かも知れません（笑）

大きい方の値をm=7
小さい方の値をn=6と置く

この値を限りなく近づける式
平明式ｒ=m/4 ｒ'=n/2
に代入すると

ｒ=7/4、ｒ'=3となる

求めたいのはｒである
すなわちｒ'は題意に反する

よってｒ=7/4

ロトなんかに使えませんので

ばっかじゃにのー

解答読んでも>922の記号の意味も示したい内容もまったく理解できなかったのは俺だけでいい。

平明式でぐぐったら中国語のページがヒットしたから
中国の人なんだよきっと

喪前が暇人なことだけはわかる

カス共もが

夏の涼しき日、狂犬が孤独にほえる

千葉工大の数学の過去問わかんねえ。

a+b+c+d = n√(abcd) が正の整数解を持つような、自然数ｎを全て求めよ

http://www.casphy.com/bbs/highmath/#R3
ここの「難問出題してください！」スレッドってどうなの？

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1142993725/
このスレ。俺は解けん問題もあるが、みんなは解けるの？

例えば？

ここって機能してんのか？

このスレ死んでるな

　

何このスレ・・・・・・・？
　　　　　　 　　　　　　/ヽ　　　　　　 /ヽ
　　　　　　　　　　　　/　ヽ　　　　　 /　ヽ
　　＿＿＿＿＿＿ /U　ヽ＿＿＿/　　ヽ
　　|　＿＿＿＿　／　　　U　　　　:::::::::::U:＼
　　| |　　　　　　 /／ ＿__　　　＼　　::::::::::::::|
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　　| |　　　　　　.|U　|　　　|　　　　　　::::::U::::|
　　| |　　　　　　 |　├―-┤　U.....:::::::::::::::::::/
　　| |＿＿＿＿　ヽ　　　　　.....:::::::::::::::::::::::<
　 └＿＿＿／￣￣　　　　　　:::::::::::::::::::::::::|
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　　＼ ＼　 ＼＿＿＿　　　　　 ::::::

数学関係スレのご案内

数学の質問スレ【大学受験板】part63
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数学の参考書・問題集・勉強の仕方 Part81
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本質の研究・解法・演習＆大学への数学（黒大数）�U
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【大学への】1対1対応の演習 part6【数学】
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【50周年】月刊大学への数学【栄光の歴史】
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数学　超初心者スレ２
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【大学への数学】微積分　基礎の極意【最強】
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新課程チャート式数学について議論しよう 8
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【数学�V】微分積分を極めるスレ【数学�U】
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◆◇新数学演習＆新数学スタンダード演習◇◆
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【駿台】理系標準問題集/数/化/生/物【文庫】
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最難レベル数学総合問題集スレ
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950

今となっては>>1はｱﾌｫ丸出しだな・・・

　

欧州に実際にあるゲーム番組。扉が三つありそのうちの一つに高級車が。その
扉を当てれば高級車がもらえる。

挑戦者はまず扉を一つ選ぶ。
司会者は、のこり二つの扉のうち、一つを開け、そこに車がないことを見せる。
ここで挑戦者には「最初に選んだ扉」か「もう一つの扉」か、選ぶ権利を与えられる。

このとき、扉を変えるほうが得か、変えないほうが得か。実はどちらかが確実に得なのである。

囚人のジレンマかよｗｗｗｗ

もっと問題出してくれ