すべての素数の積は4π^2になるっぽい

すべての素数の積が4π^2 になることの証明

ζ(n)=1/(1^n)+1/(2^n)+1/(3^n)・・・・・とおく
ζ(n)={1+1/(2^n)+1/(2^2n)+・・・・}{1+1/(3^n)+1/(3^2n)+・・・・}{1+1/(5^n)+1/(5^2n)+・・・・
　 =1/{1-1/(2^n)}・1/{1-1/(3^n)}・1/{1-1/(5^n)} ・・・・

この両辺の絶対値の自然対数を取ると
log ｜ζ(n)|=log|1/{1-1/(2^n)}|+log| 1/{1-1/(3^n)}|+log | 1/{1-1/(5^n)}|・・・・
　　　　= -log|1-1/(2^n)|-log| 1-1/(3^n)|-log | 1-1/(5^n)|・・・・
　　　　=-{1/(2^n)-1/2・1/(2^2n)- 1/3・1/(2^3n)-・・・}
　　　　 -{1/(3^n)-1/2・1/(3^2n)- 1/3・1/(3^3n)-・・・}
　　　　 -{1/(5^n)-1/2・1/(5^2n)- 1/3・1/(5^3n)-・・・}
　　　　={1/(2^n)+1/(3^n)+1/(5^n)+・・・}
　　　　 +1/2{1/(2^2n)+1/(3^2n)+1/(5^2n)+・・・}
　　　　 +1/3{1/(2^3n)+1/(3^3n)+1/(5^3n)+・・・}
　　　　 +・・・
　　　　=Σ1/(p^n)+1/2Σ1/(p^2n)+Σ1/3(p^3n)+・・・　(n≧0)　となる。
∴｜ζ(n)|=e^{Σ1/(p^n)+1/2Σ1/(p^2n)+Σ1/3(p^3n)+・・・}　　…�@

�@の両辺をnで微分すると

｜ζ’(n)|=d/dn(Σ1/(p^n)+1/2Σ1/(p^2n)+Σ1/3(p^3n)+・・・)
*e^{Σ1/(p^n)+1/2Σ1/(p^2n)+Σ1/3(p^3n)+・・・}
　　　 =-( Σlogp/(p^n)+ Σlogp/(p^2n)+ Σlogp/(p^3n)+・・・) *｜f(n)|

よってζ(n)≠0のとき
|ζ’(n)|/| ζ(n)|= -( Σlogp/(p^n)+ Σlogp/(p^2n)+ Σlogp/(p^3n)+・・・)　…�A
ここでζ(0)=-1/2　ζ’(0)=-1/2log(2^π)

�Aにn=0 を代入すると
|-1/2log(2^π)|/|-1/2|=-Σlogp-Σlogp-Σlogp・・・
　　　　　　　　　　=-(1+1+1+1+1+・・・) *Σlogp
　　　　　　　　　　=-ζ(0) Σlogp
　　　　　　　　　　=-(-1/2) Σlogp
　　　　　　　　　　=1/2Σlogp
よって　1/2Σlogp=log(2^π)
　　　　 Σlogp= log(4π^2)
log2+log3+log5+・・・= log(4π^2)
log(2*3*5*7・・・)= log(4π^2)
2*3*5*7・・・=4π^2　　　　　証明終わり

　　　　　　　　　　　　　　　 Ｖ
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　　 /::::::::::::::_,,,-─ヽ
　　.i::::::::::::::,-''　　　　ﾞｉ
　　!::::::::::::ゝ　　／ ＼ i
　　ﾞｉ:ｒ=､::|　　<●) (●､
　 　 ヽd　　　　_, (,､_)､　l
　　　 ｀ｰｲ　 （ ﾄﾓｪｪｔｲﾉ
　　　　　,ｒ'ヽ､＿ヽニｿ 　　　 　　／⌒＼
　　　　/　　ヽ､＿ﾌ/⌒ヽ.__＿／　 .,へ／＼
　　 　 L＿i　　　　 /ヽ./　 l　　 ／　　 ｀ヽ　＼
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素数定理？かなんか？
とりあえずぜータ関数乙

これは新定理になる・・・？

>>1
ヲイ、4π^2超えたぞ！

2+3+5+7+11+13+17+19>4×4×4>4π^2

反例

１＊３＊５＊７＝１０５＞４π^2

素数がn個でp_k(kはnまでの自然数)とすると、p_1*p_2*p_3*……*p_n + 1は
∀k p_kで割り切れないので、新たな素数。
よって、素数は無限に有る。

また、p_k>p_(k-1)より
全ての素数の積>105>4π^2

よって、命題は偽であることが証明された。

すべての素数の積は4π^2になるらしい。【新定理】
1 ：フィス ◆vjnzQVf. ：02/10/02 00:35
前ｽﾚの１に頼まれて証明をうｐしました。
漏れはこの話題にはついていけませんが・・・

訂正

素数がn個でp_k(kはnまでの自然数)とすると
↓
素数がn個で小さいほうから順にk番目の素数をp_k(kはnまでの自然数)とおいていくと、

最近ぼけが始まったなｗ
和じゃなくて積だったんだねorz

>>1
素晴らしい。

4π^2って4×3×3=36に近い数字だろ？
素数は2,3,5,7･･･だろ？
2×3×5×7＝210　>　36　　

おかしくね？　by文系

そもそも無限にある、１以上の数を掛け合わせていって、
収束などせぬよ。読むのめんどくさいから読んでないけど。

よくわからんが俺が今年数学科にうかったらわかるようになるんかねえ

そんなことより
1から∞まで全部足せば-1/12になる件について

>>13
でも数学的にはこの式正しいらしい
数学って本当に糞ですね

（゜∀　ﾟ）むにょ〜ん
この数字と記号の羅列・・・見る気にもならない。
数学者とか尊敬するだすよ。

と思ったらここ大学受験板か
>>3のせいでVIPだと思った

整数を掛け合わせて無理数になるはずないような。

ttp://www2.kobe-u.ac.jp/~0383010s/zeta.html

↑
おめーらとりあえずここでも見てろ

どこが間違ってるか探してみよう、

>>16
違う答えが出たら数学の完全性が壊れるわけだが。

まあもとから不完全性定理を包含しているが。

解析接続だハゲ！

夢中になれるものが
いつか君をスゲェ奴にするんだ！

まず
n=0のときζ(0)=-1/2
が間違ってるような

素数の積が収束するわけねーだろハゲ。

>>15
ﾗﾏﾇｼﾞｬﾝか？

高校レベルの知識ではありえないと思うんだけど、
大学レベルだと正しいのかな？
>>15のは大学の教授から聞いたことある。

複素数の解析接続が絡めば、
それは実数の範囲じゃなくなるから、
そういうことはあるが。

何だそういうことか!

ﾗﾏﾇｼﾞｬﾝってインドの天才数学者だろ？
数学はからきしダメだが雑学王の俺は知ってるぜー

>>31
そうそう

さっぱりですね。

晒しage

ミスった
age

おれＩＤがアメリカだよ！

ポケモンのコラッタのLv ageでもしながら、コラッツでもやるか･･･

34 大学への名無しさん sage 05/02/16 14:24:26 ID:kxUSA+mF0
晒しage

あげとくよ

後はサージ･ラング博士に聞いてくれ

>>１
スレタイ間違ってないか？
すべての素数の積は∞である
ならﾅｯﾄｸだが・・・

大学レベルの数学は意味不明。

とりあえずネットで書くとよくわからん。

1+1+1+1+1+・・・＝-1/2　なのか
奥が深いな

質問だが，証明の本文中に一言も素数という言葉が出てきていないのは仕様か？

Σlogpの和は素数について取ってるんでしょう

すごいね

age

このスレ数学板にもあった。正しいらしいよ。
そこの住人によるとゼータ関数を知らないガキにはわからんとのことだ。
俺もよくわからんが、高校の常識と異なる公理系だと成り立つんでないの？

理系国立受かったけど
まったく理解できないｗｗｗｗｗ
なんとなくすごそうな雰囲気はわかるｗｗｗﾃﾗﾜﾛﾁｗｗ

>>49
実際、素数の無限積は発散するのであって、
収束する事を前提に話を進めていっても何もならない。
こんな証明を鵜呑みにしてはならんよ。

でいいのかな

>>51うはWWWWW文系の俺でもわかったWWWWっうぇうぇWWWWありがとう51WWWそういえば発散するWWWWW

その数学板のスレとやらにいってみたが、この証明には解析接続という概念が必要らしい。

1+x+x^2+x^3+x^4+････=1/(1ｰx)

という無限和の公式を|x|>1
の時にも定義する場合があるんだと。
なぜこんなことが必要なのかはしらんが、まあ勝手に定義する分には自由だからな。

とにかくこの証明があっているかどうかは解析接続を認めたうえでの問題であって、>>49のいってるみたいに我々の常識では口だしできんだよ。
そういうことだと思う。

数学って一体…。

ｎ番目の素数をＡｎとするとＡｎは単調増加だからΣＡｎは収束しないのでは？

なんだろ、非ユークリッド幾何学みたいなものなのかな。
二本の平行線は普通の世界では絶対に交わらないが、非ユークリッド幾何学の世界では無限遠で交わる。
それと同じで、この証明を書いてる奴は複素解析というパラレルワールドでは>>1が成立すると主張してるんだろう。

15について
A=1+2+3+4+5+6+7+…………と置いて←(これが求めるもの)
B=1-2+3-4+5-6+7-…………とする。←(プラスマイナスが交互に現れる)
A-Bを考えると
A-B=4+8+12+16+20+…………←(4の倍数の和になる)
=4(1+2+3+4+5+6+7+…………)←(4で括った)
=4A
よって
3A=-B
A=(-1/3)B
一方以下にCを定義する。
C=-1+1-1+1-1+1-1+…………←(これもプラスマイナスが交互に現れる)
上式の両辺に1を加えて
C+1=1-1+1-1+1-1+1-1+…………←(=の右横すぐが加えた1です)
上式2つを片々加える。
2C+1=0←(納得してくれw)
C=-1/2
さらにBを求めるためにB+(B+0)を考える
B=1-2+3-4+5-6+7-…………
B+0=0+1-2+3-4+5-6+7-………←(さっきと同じで=の右横すぐが加えた0)

2B=1-1+1-1+1-1+1-…………
=-C

よって
B=(-1/2)C
=1/4←(Cを代入した)
よってA=-1/12

ずれとるかも、パソコンは数式とか書きにくいな。
岡大の情工落ちてしかも後期受け取らんときたから浪人確定(鬱
来年はがんばるぞと

>>56
数学苦手な俺にとっちゃあんまわかんねーけど
1+2+3+4+5+6+7・・・・・・・・
の解が-1/12ってのは如何に？
絶対正のはずじゃん、負の上に分数とは・・・？

すべての素数の積は∞・∞・∞・玄米ですよ？

ゼータ関数なんて高校レベルの俺らにゃ無理
とりあえず大学行って勉強しような

ちなみに、ゼータ関数なんか使うよりもゼッタ関数使うほうがよい

噂だと、この定理作った奴は当時の灘の３年らしい。　　
知り合いの灘卒の奴（そいつはただの二浪数ヲタ）が言ってた。
この噂自体は眉唾だけど、ゼータ関数についての表面的な知識さえあれば
発見しうる定理だと思うよ。これは。　　

有理数の積が無理数になるんだなぁ。へぇ〜。

だからこれはパラレルワールドの出来事だって。

>>1
すごい。登録すれば？

げ

A= 1+( 2+ 3)+( 4+ 5)+……= 1+ 5+ 9+13+……
A-A= 2+3+4+6+7+8+10+11+12+14+15+16+……

∴2+3+4+6+7+8+10+11+12+14+15+16+……=0


B= 1+(-2+3)+(-4+5)+……= 1+1+1+1+……
B=(1-2)+(3-4)+5-6)+……=-1-1-1-1-……

∴B=-B

C=-1+ (1-1)+( 1-1)+( 1-1)+……=-1
C= (-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+……= 0
C= 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+……= 1

∴-1=0=1

んなわけはない。無限級数に有限個の数を前提にした演算を持ち込んではいけない。項数を恣意的に決定できるなら、それは有限個の足し合わせなのであって、無限個のそれではない。

すげえは

ちょいと興味本位でage

>>1の内容が数学的に意味を持つかどうかはまだわかっていない。
zeta正規化を第一近似とするような ２次の正規化ができるかどうかがポイント。

とりあえずゼータ関数やら解析接続やらがわからないと全く理解不能だから

>>51とかは全く的外れ

学者ですがこの内容参考にさせてもらいます

私も数学者なのですが、今さっき私の名前で登録させて頂きました。有り難う御座いました。

朝から学者が２ｃｈの受験板来てんのかｗ

>>75
知人が教えてくれたのです。

＞７６
ﾏｼﾞﾚｽすると素数の積＝４π＾２はすでに発見されてるらしい
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1033486518/90