入試で使えそうな範囲外の公式・定理・裏技

数学や物理などの入試で使えそうな
高校の教科書の範囲外の公式、定理、裏技などを書くスレです。

とりあえず俺から、
【科目】数学
【公式・定理・裏技名】ロピタルの定理
【内容】
lim(x→a)f(x)/g(x)が0/0または∞/∞の不定形であるとき、
lim(x→a)f(x)/g(x)=lim(x→a)f´(x)/g´（x)
が成り立つ。
（x→aはx→+∞やx→-∞でもよい。）
この定理を用いると、
lim(x→∞)x/e^x=lim(x→∞)1/e^x=0
など、はさみうちの定理を使わなくても簡単に示すことができる。
【補足・注意】記述式の入試で使用すると大学によっては減点される場合もあるので注意。

テンプレ
【科目】
【公式・定理・裏技名】
【内容】
【補足・注意】

ハイ重複

いや重複じゃないか

>>1
ほぼ間違いなく減点されると思う。

ほかに使えそうなのない？

うちの学校では合同式を習ったんだが、本番で使っていいのかな？

バームクーヘン積分、傘型求積法、パップスギュルダンの定理、
Taylor展開(マクローリン展開も含む)、チェバ・メラネウスの定理、オイラーの公式

コピペでスイマセン

modも多項式も使っていいとおもうけど

東大とかの英作で他の問題の文から表現等を引っ張ってくる。

範囲外ではないが座標で円が絡む奴は普通にやると大変だが円周角の定理でや
ると計算いらずの問題がよくある。

関連スレ
大学入試でのロピタルの定理の使用
http://school4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1102256922/l50

>>9
解説たのむ

物理といえば微分方程式

先月の学コン６(1)みれ！

等比関数列型漸化式
F(n+1)=r･F(n)のとき
F(n)=F(1)･r^n-1

空間図形といえば平面の方程式と外積

そういや対角行列のn乗って何でイチイチ帰納法で示さなきゃいけないんだろう？ｗ

誰かが見つけたら統一方程式でも使うといいよ。

物理で交流や単振動での微積

交流・単振動は確かに微積分使うと楽

>>6
あれは公式じゃなくて日本語を式で表しただけのものだからなんら問題はない。

しかし、ロピタルとか高校の範囲外の定理を既知として証明無しに使うのはちょっと不味いというか、ｺﾜｲ気がするね。
時間がないなら苦肉の策としてアリだとは思うが。

ﾊﾞｰﾑｸｰﾍﾝ積分､傘型求積法､は別に裏技じゃないと思うが。
ﾁｪﾊﾞ･ﾒﾗﾈｳｽの定理も教科書にかいとる。

14
性犯罪者みたいな用紙の椰子に汚染された名前塚うなよ。あとそれだすくらいなら積分の公式は？

>>21
バームクーヘンや傘形求積も説明無しに使うと減点食らうかもよ。
チェバ・メネラウスは平面幾何でやってるからいいとしても。
少なくとも駿台では基本的に説明書かないと駄目だというスタンスみたい。
何人かの先生が言ってた。

荻野はバームクーヘンは図を書いて説明しろって言ってた

10月号の学コン3番で、模範解答のようにベクトル使わずに、
メネラウスの定理だけで解いたけど、普通に満点にしてくれてたな。

マセマにバームクーヘン型乗ってるな。

>>23
俺も駿台御茶ノ水。
ｺﾊﾞﾀｶんなこといってたっけ。

本番でそういう公式で差が付く問題なんて出ないだろ。
しかも何度も復習しておかないと忘れるし。まさに無駄の無駄の無駄。

平面幾何の中線定理知ってたら楽な問題もある。三角比とか。

多項式の割り算が楽に解ける筆算の建て方あったはずだけどどうやったっけ？
　　＿＿
x-1)x-3　　こんなんじゃなくて

組立除法だっけ？

名前は忘れたが言ってる事はわかる。
係数のみ書いてって定数項の約数でやるやつでしょ。

>>31
あ、それだと思う。thx　ちょっとぐぐる先生に聞いてくる

組み立て除法って意外と応用できるんだな
ttp://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/horner/syntheticdivision.htm

>>15 ベクトル(a,b,c),ベクトル(e,f,g)に垂直なベクトルは
(A,B,C)=(bg-cf,ce-ag,af-be)でベクトル(a,b,c),ベクトル(e,f,g)で定まる
平面の方程式はAx+By+Cz+D=0って奴の事？

>>27
コバタカも言ってたはずだけど。

誰も知ってるだろうけどセンター�TＡでつかえる割り算係数分離

>>36
なにそれ？くわしくおしえてくらはい。

>>36
剰余の定理とか？
F（ｘ)をax+bで割ったら余りはF(-b/a)

誰か津田秀樹のウラワザ本使ってる人いないの？
俺は友達に進められて買っちゃった

ひっ算するとき係数だけ書く。

センターはシャーペン使っても大丈夫。

オイラーはダメだっけ？

センターって、円に内接する四角形って好きだから、

Ｓ＝√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)　　※ 2s=a+b+c+d

って知っていると楽だよ。
ヘロンの公式より、こっちの方が使う機会も多いね。

まあセンターの場合は、途中経過でどのみちcosθ,sinθも必要になるけど、
最後の答えが合っていれば、cosθ,sinθの値も検算出来るし。

おいらオイラー大好き！寒

e^ix = cosx +i・sinx

つかえねぇ。

>>43
それってどういうとき使えばいいんだ？

>>44
フーリエ解析

>>45
ぐぐってどんなものか見てみたけどさっぱりわからん。
大学入試で使えるのか？

加法定理を忘れた時なんかはオイラーの公式を使えば分かったりする。
まぁ加法定理を忘れるような奴が覚えてても仕方ないか・・・

ちなみに高校範囲ではフーリエ解析はまったく関係ないと思われ

>>40
ダメじゃないかな

良スレの御棺

>>40
完全に禁止

４次方程式の解と係数の関係はいいんだよ

京大オープンでバウムクーヘン使って解いたんだが、特に減点はされなかったけどなぁ

センター数1Aの第1問の二次方程式や
恒等式の最大.最小は
微分を使うとムチャクチャ楽。文系の人にもオススメ


常識ですかそうですか逝ってきます

>>52
そうか、１Aの最大最小に微分つかえるんだっけ。忘れてた

微分使うと楽なのか…試してみるか…

>>44
漏れは電気回路って授業でオイラーの公式使った
こうすると交流とかで微積分頻繁に使うときに楽らしい

>>52 具体的にプリーズ

物理の問題で微分方程式を使って解いたら点数プラスされるかにゃ？

減点されることはあっても加点されることはない。

そもそも何で使っちゃいけない公式なんかあるんだ？
さらにレベルの高い公式知ってんだったら
むしろそっちの方がすごいだろ？

>>57
プラスってどういう意味？5点満点で7点取るってこと？

ここの議論は、「マイナスされるかどうか」なんだけど
だいたい微分方程式でといてもマイナスされるわけないんだけど
他の方法でといて欲しいなら大学側はちゃんと条件を指定するしね

>>56
2004年センター数学1A第一問(1)

y=-x^2+(2a-5)x-2a^2+5a+3
微分して
dy/dx = -2x+2a-5
-2x+2a-5=0となるxを探すと（頂点は傾き0）
x=(2a-5)/2
一番上に代入するとyも出る

・・・・・・コレは普通にやったほうがラクかも（xを出すまではラクだがyを出すのは面倒）

>>61
なるほど〜まぁアリなんじゃない？
けど俺はこういうやり方やったこと無いから
普通に解いたほうが簡単な感じがするね

てか、センターなんて２通りのやり方でどっちが早いか考えてるより
自分の解き慣れた方法で解くのが一番だと思うがね。

名前のとこ消すの忘れてた○｜￣｜＿

微積で面積だすときの1/6 1/12 公式とか結構使えるよ。裏技じゃないか…

>>61
検算に便利だね

あとﾃｷﾄｰに数値入れるのも使える

04II・B第１問
【2】aを0°＜a＜180°を満たす角度とする。0°≦θ≦180°の範囲で関数
f(θ)=sin(θ-a)-sinθ
を考える。
(1)方程式
f(θ)=0
の解はaを用いて
θ=［シス］°+　a/2


簡単な式にするためﾃｷﾄ-にa=180°を入れて(a＜180°だけど、細かいことは（･∀･）ｷﾆｼﾅｲ！)
f(θ)=sin(θ-180)-sinθ=-2sinθ
で、これが0になるのはθ=0,180のどっちか。
［シス］°=180°/2-θ=90°-θ
まあカッコから見てθは0だなって事で［シス］=90。

積分のY軸の周りを回転する体積の求め方で
Sxf(x)dx　って常識？

>>67
そのSってインテグラル？
バームクーヘン積分のこと言いたいんだろけど間違ってるよ
理解せずに公式に頼るとミスするから気を付けて

上のレスでも出てるけど、組立除法って確か教科書には1次式で割るものしか載ってないよね。
2次以上でも普通に使えるからセンターで使うと楽。

あ、楽なのもそうだけど、スペース取らないのが重要。

age

組み立て除法を詳しく教えて(ﾟ_ﾟ

トレミーの定理とか有名かな？

円に内接する四角形の辺a,b,c,dとその対角線e,f
これが条件で
ac+bd=ef

とれミーは範囲外じゃないでしょ

>>72
教科書に載ってる

ウチの学校では平面幾何やってないんだけど
私立中学出身の奴らは中３でメネラウスとかチェバとかトレミーとかやってた。
ベクトルとかでは結構役に立つらしいな。

交流のＲＬＣ回路は複素数を使えば簡単。（他でも使えるかな？）

オームの法則のＲのとこを、リアクタンスならｊωＬ、
コンダクタンスなら１/ｊωＣと置き換えればオームの法則が適用できる（便宜上i→j）
ベクトル図も描きやすい

けど実際式書くのはやめた方がいいかも。

まずテストに交流が出ない

実際に出たら結構焦りそう。おれ

>>77
去年の東大後期でまさに交流を複素数で表す問題が出たな。

>>80
へぇ〜！こんな問題がでてるのか。

実際、入試で出てるみたいだし>>77のこと知ってたら
問題の答えが分かってるんだから解きやすいだろうね。
東大で出てるんだし交流が頻繁に出るようなとこ受けるんなら
覚えといてソンは無いだろうし、詳しい話が聞きたかったらガッコウの
物理の教師にでも聞いてみるといいよ。

ﾊﾞｳﾑｸｰﾍﾝとか傘型とか積分の面積1/12 ってなんのこと？
教えてプリーズ

>>81
まぁ東大後期は、｢高校の教科書にまったく書いていないことを誘導を通してどこまで理解できるか｣を
問うような感じだから、ちょっと特殊だけどね。
3年に2回ぐらいは微分方程式使うし。
ちなみに問題は↓ね。
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/sokuho04/tokyo/koki/sogoII/mon1.html

>>82
前2つはともかく、1/12なら文系でも知ってるぞ。

>>83
じゃあ教えてよ(´・ω・`)

ageとくぜ

方べきの定理

>>84
2次の係数がaの二次関数のグラフC1と、そのx=βでの接線l1、x=αでの接線l2を考え、
C1,l1,l2で囲まれた部分の面積をSとすると
S=a|β-α|^3/12
また、3次の係数がaの3次関数のグラフC2と、そのx=βでの接線l3を考え、
C2とl3のx=β以外の交点のx座標をαとし、C2,l3で囲まれた部分の面積をSとすると
S=a(β-α)^4/12
このどっちかだろ。

とりあえず直しときますね。

2次の係数がaの二次関数のグラフC1と、そのx=βでの接線l1、x=αでの接線l2を考え、
C1,l1,l2で囲まれた部分の面積をSとすると
S=a|β-α|^3/12
　　　　　↓　　　　　↓
2次の係数がaの二次関数のグラフC1と、そのx=βでの接線l1、x=αでの接線l2を考え、
C1,l1,l2で囲まれた部分の面積をSとすると
S=a|β-α|^3/6

>>88
釣りか?

ﾛﾋﾟﾀﾙは

あ、間違えた。
放物線と直線の囲む面積かと思った。スマソ。

1/3公式は知ってるかい？

何の3分の1？

バームクーヘンと傘は？

傘型とか別に知らんでいいけどバームクーヘンは知っとけ
月刊大数とかちょっとした参考書なら載ってる

>>59
ただ公式だけを暗記しているような生徒を
レベルの高い（中以上）の大学は要求していない。

ケーリー・ハミルトンはどうよ？

>>97
思いっきり範囲内かと。

三平方の定理はどうよ？

>>99
高校入試でもOK

三平方の定理を証明せよ。(偏差値45)

ピタゴラスの定理がMax。

ベクトルの内積の公式 Vec(a)・Vec(b)=|Vec(a)||Vec(b)| cosθ を証明せよ

おれの学校の教科書にはなぜか証明がのっていなかったが、
ふと疑問に思ったので昨日証明してみた。
そんなに難しくはないよ。やってみそ。

>>103
あなたはどれが内積の定義だと思ってるんですか？

>>103
定義の証明なんてできるわけないだろ

>>105
別に第i成分同士の積の和の方を定義にしたっていいんですがね。

クラウディウス・クラペイロンの公式

△OABにおいて Vec(OA)=Vec(a), Vec(OB)=Vec(b) とし、
Vec(OA)とVec(OB)のなす角をθとする。
|Vec(AB)|=|Vec(b)-Vec(a)| だから
余弦定理より |Vec(a)||Vec(b)| cosθ=(|Vec(a)|^2 +|Vec(b)|^2 -|Vec(b)-Vec(a)|^2)/2
=(|Vec(a)|^2 +|Vec(b)|^2 -|Vec(b)|^2 +2Vec(a)・Vec(b)-|Vec(a)|^2)/2
=Vec(a)・Vec(b)
よって証明された

>>108
あ痛たたたた・・。やっちゃったね。

>>108
漏れは突っ込まないからな！

>>110
いや、つっこんでくれ。どこが間違っているのか教えてくれ。

自分で気づいたからいいわ。

>>103
なんなんだこいつは

>>113
気にしないでスルーしといて...
お気に入りのスレだったけどなんか荒らした感じになってスマンかった。

つりだったのかな

>>103


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>>116
辛子明太子吹いたｗｗｗｗｗｗ

昨日予備校で習ったやつ使えそう
「分数関数 　h(x)=f(x)/g(x)
　において　
　　　h'(α)=0
のとき
　　　h(α)=f'(α)/g'(α)
　が成立する　　　　　　　」

つまり、分数関数の極値は、分子と分母をそれぞれ微分してから
その極値を与えるｘの値を代入して求めることが出来るというわけだ
（積の微分法から簡単に証明可能）
これを使えば計算時間１分くらい短縮できそう

もじゅ

>>118
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　　　　　　　　　　　　　　　　　 ヽ二　二フ　　　　　　　ヽ二　二フ
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timpo

>>121
おまえさんのは使えそうにないよ

>>118
赤チャートにものってる
荻野曰く「安田の公式」

酒ワルツの不等式はみなさん普通に使っているんですか？

>>124
それこそ内積の定義からあきらかになりたつとかいって、つかえばいいんじゃね？

シュワルツの不等式より、、、
で私大はいける

ちなみになんで高校で習ってない公式使うと減点されるの？
英語で高校で習ってない単語使って減点されるつーのはきいたこと
ないのに？

>>127
１、答えに行き着くまでの過程が大事だから。
２、公式の丸覚えは数学的に意味が無いから。
３、高校の指導要領の定義範囲外だから。

このくらいしか思いつかないな＿|￣|〇

あと、英語と単純比較するのは無理なんじゃない。
学問的に異なる種類のものだし、
英語は高校までで構文とか全て習うけど、数学はほんの一部までしか習ってないからね。

習ってない公式といっても簡単に証明できるものなら
使ってもかまわないと思われ。不安なら使う前に証明しときゃいい。
自分で証明できないものや、証明にかなりの計算を必要とするものはやめたほうがいい。

>>118と俺は同じ講習を受けてたﾖｶｰﾝ

代ゼミ立川？

>>127
どの単語が高校で習う範囲で、
どの単語が習わない範囲か知る由もないし。

メネラウス＆チェバの定理はOK?

スマソ
解決しました。>>23

>>130
河合町田

カルダノの公式かな、やっぱ

ふーん。俺が知ってそうなのはロピタルとチュバ・メネラウスとコーシーシュワルツぐらいだな。
ところで、物理での微分方程式の利用って言うのが物凄く気になるんだが、例題かなんかを挙げてもらえないだろうか？

保守

>>122
そう言わずに使ってくれよ

物理の二体問題は相対運動のエネルギー公式で一発

>>139
詳しく