東京工業大学合格するためのスレ　part14

このスレにいる皆さんの知恵をお借りしたいのですが、
東工大に行っている先輩（情報科学）から「こんな問題解いてみろ！」
と言われました。何でも情報科学の数学のカリキュラムで出てた
例題らしく、背後のテーマには大学数学があるが、高校数学でも十分
解ける問題らしい。こういう問題が入試問題の候補になることが
あるらしいです。

nは自然数とする。n!を2で割り続けると最後は奇数になる。例えば
4!=24は24÷2=12,12÷2=6,6÷2=3
一般にn!を2で割り続けてその商が奇数になるまでの除算の回数を
f(n)とした時、（例えばf(4)=3）
lim[n->∞]f(n)/n
を求めよ。

今、必死に考えているのですが、なかなかいいアイデアが出ません。
多分、f(n)はnの有理式では書けないんだろうなあ、と予測はしている
のですが・・・。
一緒に考えてもらえませんか？

ttp://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1072376067/l50
こっちに混ざるのもありかも。かなりハイレベルでへこむ。
申請方法は>>1にあるホムペ参照。

>>952
結構簡単じゃないか？

>>952
ガウス記号ではさみうちかな？素人考えだがぱっと思いついたのはそんなもん

解けたっぽい。
1991に類題があるけど、あっちのほうが難しいかな？
今からtexで打ち込みます。

>>955
ガウス記号ですか・・・。
f(n)を直接評価する式をガウス記号で作るってことですか？
しかも、はさみうちを使うとすると、作った評価式をnで割った
ものがn->∞で収束するように、ってことですよね？
TRYしてみます。

ちなみにその先輩は「２進数表示に気づけば・・・」とか
言ってましたが、何のことやら？？？
２進数とか言ってたので情報科学っぽいなあとは思い
ますが・・・。

ttp://cgi4.synapse.ne.jp/~syunreiko/synapse-cgi/up/up//2.pdf
↑答案。あってるかどうかはわかんないけど、f(1000)のときはいい近似だったから多分あってる。

T_n << nの理由は省いたけど、
T_nはnが2,4,8,・・・,2^y になったとき、1だけ増える。
nはどんどん増えていくから自明だよね。

なるほど・・・解法は大筋で理解しました。
ところでf(n)の表式の上限って∞って書いてもいいんですか？
log_[2]nと書いた方がいいのでは？

形としては無限級数に見えるけど、あるk以降は確定した値ゼロ
だから、それを無限に足し合わせてもやっぱりゼロ
っていう理解の仕方でいいんですかね？

すまんsageちまった

961訂正
log_[2]n→[log_[2]n]
ガウス記号つけるの忘れました。

>>962
そうそうそれでいいけど、>>964って書いてもいいよ。
でも、はさむときに、ガウス記号はずした級数の和が∞じゃないと計算しづらくない？

これが本番で出たらまさに神なんだが



あるまじろ

どうだろうね、過去問手直しして出すことが結構あるから、出ないとも言い切れないけど、
たぶんでないだろうね。
去年は前後期とも極限が出てないから、多少絡めてくるんじゃないかな？

ちょっと読みづらいかもしれないけど・・・
ガウス記号の評価式から
{Σ[k=1,[log_[2]n]](n/2^k -1)}/n <f(n)/n≦{Σ[k=1,[log_[2]n]](n/2^k)}/n
これでΣを具体的に計算してn->∞を評価する感じかな、と。
いずれにせよ、ガウス記号のヒントがなければ多分、解けなかったなあ・・・。

あと、ガウス記号が出る前に考えてたのは漸化式から攻められないか、と。
たぶん、
f(1)=0
f(2n)=f(n)+n
f(2n+1)=f(2n)
が成り立っていると思うんだけど、どうでしょ？

↑なんか、わけわかんないな。
・n!のタイプの問題はでないだろうね、多分。
・でも極限は出るかもしれないね。
ってこと。何が出ても解けるようにしとかなきゃ。

真ん中の式が成り立ってること示せれば解けるっぽいね。
上と下は成り立ってるけど。真ん中は証明しないといけないなぁ。考えてみる

真中の式はこんな風に考えた
f(2m)=(2m)!=(2m)(2m-1)(2m-2).....3・2・1
上式右辺には偶数因子がm個あるから上式は2^mで割り切れる
(2m)!/(2^m)=(2m-1)(2m-3)...3・1・m!
上式右辺は2でf(m)回割れるから
f(2m)=f(m)+m

でもこの式からf(n)/nってどうやって評価するんでしょう？
多分、この漸化式では一般項って出せないような気がするんですが・・・

連続投稿ｽﾏｿ。
真ん中の式は成り立つみたいだけど、ちゃんと答案にするには厄介な方針だと思われ。

真ん中の式が成り立つと仮定して、その式を2nで割ると、
f(2n)/2n = 1/2 * f(n)/n + 1/2
ここで、収束すると仮定し、（収束することも証明しないといけないけど。。。）
lim[n→∞ ]f(n)/n = Kとおくと、
K = K/2 + 1/2
∴K=1 （答）
真ん中の式が成り立って、収束するならば1に収束するはずだ、ってことで確かめには使えるね。

lim[n->∞]f(n)/nの極限があるものとしてAとおいて
f(2n)/n=f(n)/n+1
2f(2n)/(2n)=f(n)/n+1
n->∞で2A=A+1　よってA=1・・・じゃ駄目だよなあ・・・。
極限があることを示すには・・・やっぱりガウス記号の
はさみうちみたいにしないと駄目ですよね。

>>971
なるほど、うまい。次は収束することの証明か。

>>972
すいません。おもいっきりかぶりましたね。
やっぱり、そうですよね。この方法だと完答する
のは難しそうですね。
あの漸化式から出発して収束することをきちんと
示すにはどうすればいいんでしょ。

f(n)は真ん中の式から単調増加（非減少）で、
f(n) < nが成り立つ。（f(1)=0より）
よって0 < f(n)/n < 1で、『上限があって単調な数列は収束する』ので収束する。
これでいいかな？

>>976
『上限があって単調な数列は収束する』
って定理なんですか？直感的には
f(n)/nは単調に増加しつつも決して到達しない限界値
があるとすれば、どこかの値に収束する、というのは
感覚としては理解できますが、論証にいきなり使って
いいものなのですか？

誰か東工大もう合格決定ぽいﾔｼ一緒にMMOでもやらないか？
もう暇で暇でしょうがない。

>>977
ロピタルの定理と一緒でグレーな部分だよ。OKとも言い切れないし、ダメとも言い切れない。
でも作問者としてはハサミウチしてもらいたいんじゃないかな？
もちろん、答えを出さないよりはがっぽり点数は稼げると思うから、
ハサミウチが思いつかないときの最終手段と思っとけばいいと思う。

>よって0 < f(n)/n < 1で、『上限があって単調な数列は収束する』ので収束する。
よく考えたらf(n)/nは単調じゃないよな。難しい。

>>979
なるほど・・・ロピタルと同じですか。（これは知ってました。）
あの漸化式からガウス記号で作った評価式のような式（多分
全然違った形になるんでしょうけど・・・）を
導出することって多分できると思うのでtryしてみようかと
思います。どうしても気になるので。あと２進数表示ってのも。
色んな角度からの解法がありそうですね。結構、良問なの
かもしれない。

2004年度の試験で、出ないとも言い切れないんじゃないか。
東工大って新作の労を惜しむから、他大学の有名問題や
大学のテキストからそのまま出したりするらしいから。

･･･とはいえ、仮に今年度の試験の問題の候補にこの問題があがってるなら、２ｃｈに晒したから問題すりかえるでしょ・

・・・ん？日本語へんだｗ　ゆるして。なんとなく察して。ｗ

でも問題ってもう７月頃に決定されてるんでしょ？
今更替えるなんてことできるのだろうか…

漏れだと、ただ単にｎを２のｉ乗に置き換えて、ｉ→∞しそうだな。

cos(2π/7)＋cos(4π/7)＋cos(6π/7)＝？
↑公式使って解いてるようでは駄目です。

私がこの問題を聞いたその東工大の先輩はまったく独自に
「これ、あやしいな」という感じで目をつけてた問題（問題という
より何かの課題をやる過程で出てきたものらしい）らしいの
で、たまたま知り合いの私に教えてくれたっていう経緯です。
これで偶然的中しちゃった場合って不正行為にはならない
よね。問題はさすがに今更差し替えられないでしょう。明らかに
盗まれたことが分かっている場合はともかく・・・。

上の方で議論されているのはわからないので、>>985を。
α=cos(2π/7)+(i)sin(2π/7)
として、α^7=1
α≠1より、α^6+α^5+・・・+1=0
ここで、α^3≠0より、α^3で割って、
α^3+α^2+α+1+(α)^(-1)+(α)^(-2)+(α)^(-3)=0
よって、
2(cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7))+1=0

∴cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2

どうでしょう。

http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1073060560/l50
次スレ。

青ちゃを解法暗記し説けば大丈夫・・・。

>>989
残念だったな。
だけど人生８０年あるんだから、もう１年くらい勉強に費やしても大したことは無いさ。
夢に向かってまた来年頑張れよ。

おめーら俺に勝てるとでも思ってんのかよ？（ﾌﾟﾌﾟﾌﾟﾌﾟ

おまえらみたいなトーシロには無理無理（ﾌﾟﾌﾟﾌﾟﾌﾟﾌﾟｳﾌﾟ

さっさと死んでれや

さっさとシンデレラ










ﾁｮﾄﾆﾃﾙ（ﾌﾟ

つーか何回俺が１０００取ってきたと思ってんの？

まあ俺の場合、取ってきた→盗ってきた

Ｊ２げっとまん尊敬するぜ

ランキングでも上位だしな
http://www.simplelife.to/RENTV4/index.cgi?id=32116t37

じゃあ１０００

あれ？

1000

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。