∫　数学の質問スレ part11　∫

>>344
赤の数≧max｛青の数,黄の数｝としてよい。
赤の数＝ｎ、青の数＝ｍ、黄の数＝ｌとする。
n≦4のときはm≦2となり明らかに成り立つ。
n≧5のとき
赤の内、適当な点をひとつ取り、それを原点とすると、すべての点が
領域y≧0に入るようにできる。
また、どの三点も同一直線上にないから、どの三点をとっても三角形が作れる。
このとき、x軸から反時計回りにはかった角度が小さい順にa(1),a(2),…a(n-1)とすると、
△Ｏa(k)a(k+1)　(kは整数で、1≦k≦n-1)はすべて重ならないので、その全体でできる図形をＤとすると、
Ｄの中にはn-2個以上の青が存在する。……�@
同様に、黄の数≧m-2……�A
また、Ｄに含まれない線分a(u)a(v) (u,vは整数で、1≦u≦v≦n-1)が存在するとすると、
a(u),a(u+1),…a(v-1),a(v)で囲まれる図形Ｄ'はＤに含まれず、
また、'はv-u-1個の三角形に分割されるので、Ｄ'内にはu-v-1個の青が存在する。
このようにＤ'を追加することによって追加される青点の数をｔとすると、
青の数≦赤の数であり、また�@より、
n-2+t≦n⇔ｔ≦2……�B

また、このようにして作られるＤ'全体(ただしＤ'は重ならないように作る)と、
Ｄとの総和であらわされる図形は凸多角形になり、その内部にはt個の赤が含まれ、
m-2個以上の黄が含まれるから、�@,�Aと同様に、
黄の数-2≧凸多角形の内部の赤の数　より
m-2≦t⇔n-4+t-2≦t
∴n≦6
また、m≦n≦6であり、
l≦t+2≦4なので、
n≦6、m≦6、l≦4
が必要。
また(n,m,l)＝(6.6.4)のとき
条件を満たすような図形が確かに存在するので、
Nの最大値は16

もっとスマートにもいけそうな予感。

また(n,m,l)＝(6.6.4)のとき
条件を満たすような図形が確かに存在するので、

この部分が不安になってきた。
いま確かめてまつ。

あと訂正

354の最後から２行目
凸多角形内部の青の数≦青の数≦赤の数
でつ
355の４行目で、凸多角形内部の青の数-4≦凸多角形内部の黄の数-2≦凸多角形の内部の赤の数
でつ。
それに伴って５行目のmは「凸多角形内部の青の数」m'に修正してください。

ああ、６は４で可能か・・・
じゃあ、6,6,4でつね。
赤4角形内部2点で、赤2点を含む青凸6角形作れるので
確かに存在してる。

>>343
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/keio/kango/index.html

>340
sin(z)=z-(z^3)/6 + R(z)とおくと、
R(z)はマクロ〜リン展開の４次以上の項を集めたヤツになるﾖﾅ。
zが０に近いとき、sin(z)≒z-(z^3)/6　の誤差がR(z)で表されるﾜｹﾀﾞ。
>263　の議論によって、誤差は　z>0の場合は
R(z)=sin(c)*z^4 /24　（ただし、0<c<z）
と評価できる。(>263 はﾁｮｯﾄ計算ﾐｽ)
z<0の場合も同様に
R(z)=sin(c)*z^4 /24　（ただし、z<c<0）
となる。いずれにせよ、|R(z)|≦z^4 /24　となり
z→0のとき、R(z)/z^3 →0 を得る。これで問題の極限値が求まる。

ここで一つ疑問があると思う。>263の
ψ(x)=sin(x)+cos(x)*(z-x)-sin(x)*(z-x)^2 /2 -cos(x)*(z-x)^3 /6 + R(z)*(z-x)^4 / z^4
は、どこからでてきたのか？
f(x)=sin(x)とおくと、
ψ(x)=f(x) + f'(x)(z-x) + f''(x)(z-x)^2 /2! + f''''(x)(z-x)^3 /3! + K(z-x)^4
ただし、Kはxによらない数
と書ける。わかるヒトはわかると思うが、f(z)をz=xをで途中まで
展開したものがψ(x)になっている。
また、ψ'(x)＝f''''(x)(z-x)^3 /3! - 4K(z-x)^3 となり、1回微分すると結構項数が少なくなる。

（つづき）
ψ(z)=f(z)　なので、ψ(0)=f(z)となるようにKを決めればロールの定理をψ(x)に適用できるﾖﾅ。
だから、Kz^4＝f(z)−｛f(0) + f'(0)(z-0) + f''(0)(z-0)^2 /2! + f''''(0)(z-0)^3 /3!｝＝sin(z)−｛z−(z^3)/6｝
となるようにKを決めておき、それを唐突に>263で書いたわけﾀﾞ。

ヤヤコシイ議論だけど、これはテ〜ラ〜の定理の証明の特殊例にすぎないﾉﾀﾞ。
>263の要領で、テ〜ラ〜の定理が証明できる。
ちなみに、テ〜ラ〜の定理とは、、、
f(x)は[a,b]でn回微分可能とするとき
f(b)=f(a) + f'(a)(b-a) + f''(a)(b-a)/2! + f'''(a)(b-a)^3 /3! + … + （f(x)をx=aでn-1回微分した値)(b-a)^(n-1) /(n-1)! + R (b-a)^n /n!
とおくと、R=（f(x)をx=cでn回微分した値)　となるcがa<c<bに存在する
ということ。ちなみに、n=1のとき、フツーの平均値の定理になる。

>>354の前半の仮定と議論の後、
赤の数　≦「赤を囲む最小の凸多角形(以下Ｓ)の内部」の赤の数−６
が示せるので、Ｓは６角形以下。
以下、エレガントとは程遠い場合分けを重ねると、

Ｓが６角形だとすると、Ｓの内部の赤の数(1,2,p(3以上))での場合分けで
１：青≧６が必要→黄≧４が必要→Ｓ内部の赤≧２が必要　矛盾
２：青≧８が必要→黄≧６が必要→Ｓ内部の赤≧４が必要　矛盾
ｐ：青≧p-2+９＝p＋７が必要→黄≧ｐ＋５→Ｓ内部の赤≧ｐ＋３　矛盾

Ｓが５角形だとすると、Ｓの内部の赤の数(1,2,p(3以上))での場合分けで
１：青≧５が必要→黄≧３が必要→Ｓ内部の赤≧１が必要
この場合、Ｓ内部の赤＝１から、青、黄はそれぞれ５、３以下　Ｎ≦６＋５＋３＝１４
２：青≧７が必要→黄≧５が必要→Ｓ内部の赤≧３が必要　矛盾
ｐ：青≧p-2+８＝p＋６が必要→黄≧ｐ＋４→Ｓ内部の赤≧ｐ＋２　矛盾

Ｓが４角形だとすると、Ｓの内部の赤の数(1,2,p(3以上))での場合分けで
１：青≧４が必要→黄≧２が必要→Ｓ内部の赤≧０が必要
この場合、Ｓ内部の赤＝１から、青、黄はそれぞれ５、３以下　Ｎ≦５＋５＋３＝１３
２：青≧６が必要→黄≧４が必要→Ｓ内部の赤≧２が必要
この場合、Ｓ内部の赤＝２から、青、黄はそれぞれ６、４以下　Ｎ≦６＋６＋４＝１６
ｐ：青≧p-2+７＝p＋５が必要→黄≧ｐ＋３→Ｓ内部の赤≧ｐ＋１　矛盾

Ｓが３角形だとすると、Ｓの内部の赤の数(1,2,3,p(4以上))での場合分けで
１：青≧３が必要→黄≧１が必要→Ｓ内部の赤≧０が必要
この場合、Ｓ内部の赤＝１から、青、黄はそれぞれ４、３以下　Ｎ≦４＋４＋１＝９
２：青≧５が必要→黄≧３が必要→Ｓ内部の赤≧１が必要
この場合、Ｓ内部の赤＝２から、青、黄はそれぞれ４、４以下　Ｎ≦４＋４＋４＝１２
ｐ：青≧p-2+６＝p＋４が必要　「赤の数(p+3)が最多」に矛盾

で、(6,6,4)の存在は簡単に示せるのでN＝１６が最大。

すいません嘘つきました。
無かったことにして下さい。

0≦θ≦π/2　のとき、
(1-cos2θ)/(5+3cos4θ)^(1/2)
が最大値を取るときのcosθの値は何になるのでしょうか？

分かる方が居たら教えていただけませんか？

＞３６４
cosθ=0

>>364
√(2/3)くらいじゃない？

>>365
最大値0ってのは豪気だね。

>>365
それだと明らかに0になってしまいますが・・・

>>366
「くらい」ですか・・・
できればちゃんとした解法を書いて頂きたいです
よろしくおねがいします

cosθ＝(1/3)^(1/2)のとき最大

>>364
cos2θ=tっておいて，cos4θには２倍角使って，
微分して増減表書いたらできた

何の工夫もない答案だけど・・・

ごめん、ちょっと違ったね。

cosθ=0 だとθ=π/2
(1-cosπ)(5+3cos2π)^(1/2)
=(1+1)(5+3)^(1/2)
=2*2√2
=4√2

でよくない？

>>369
ありがとうございます
出来れば記述していただきたい・・・

>>370
やってみます

>>372
スラッシュが・・
(1-cos2θ)/(5+3cos4θ)^(1/2) です

計算したら、cosθ=√(2/3)でした

>>366さんの仰るとおりでした

あれ？
cosθ＝(1/3)^(1/2)のとき最大　じゃないのかな・・・？

>>360
なるほど・・すごくよくわかりますた。
余弦定理と三平方の定理みたいな関係ですね・・
テーラーの定理と平均値の定理って・・。
全く別のものだとは思っていなかったけど，こんなに深い関連があることは
知りませんでした・・(；´Д｀)

>>364
cos2θ=t (-1≦t≦1)として，
f(t)=(1-t)/√(6t^2+2) の最大値を考える．
f'(t)=-2(3t+1)/(6t^2+2)^(3/2) であるから，
-1≦t＜-1/3でf'(t)＞0，-1/3＜tでf'(t)＜0．
よって，t=-1/3 のときにf(t)は最大となる．
ゆえに求めるcosθの値は，
cos(2θ)=-1/3 ⇔ 2(cosθ)^2-1=-1/3 ⇒ cosθ=1/√3・・・答 (∵0≦θ≦π/2)

>>377
少し書き加え。。4行目を
-1≦t＜-1/3でf'(t)＞0，-1/3＜t≦1でf'(t)＜0．
としておいてください。答に変化はないけど。

>>344
最初，考えたとき，(6，6，6)だと思ったけど，違っていた(；´Д｀)
(6，6，4)で（･∀･）ｲｲ!と思います・・。

355の８行目「l≦t+2≦4なので、」は嘘だと思いますが。

整式f(x)が等式2f(x)-xf'(x)+3f''(x)+2x=0を満たし、f(-1)=0である。
このとき、f(X)を求めよ。

お願いします。
全くわかりません。

>>379
仰るとおりです。
あとで気づいたんですが、うまい直し方がわかりませんですた。

初歩的な質問ですが、
（調和平均）≦（相乗平均）≦（相加平均）について、
調和平均って何ですか？

>>380
　「整式」は次数を決めるのが第一手。f(x)＝An*x^n＋An-1*x^n-1＋・・・　（Anはあの、数列みたいな奴だと思ってくれぃ）　と置く。
　めんどくさいので　f(x)＝ｆ　ｆ’(x)＝ｆ’　とか書くことにすると、
　2f−xf’＋3f’’＋2x＝0　から、まずｎを求める方針で、最高次数のｎにのみ着目すれば
　2f−xf’の部分にしかｎ次は含まれないので、2f−xf’＝2An*x^n−n*An*x^n＝0　よってｎ＝２
　f(x)＝ax^2＋bx＋cと新たに書き直す。　また2f−xf’＋3f’’＋2x＝0　を用いて、2bx＋2c−bx＋3c＋2x＝0　⇔　ｂ＝-2　ｃ＝0
　よってf(x)＝ax^2−2x　f(-1)＝0　から　a＝-2　f(x)＝-2x^2-2x

　かな。全部暗算なんで自信無し。次数を決めていけば良いはず。

>>382
　いつだかの月刊大数にあったけど、「興味無ぇや」と思って読み飛ばした。書きづらいけど、
　n/(Σ1/ak)　みたいな形だったかな。ある数列の　　逆数の和ぶんのｎ

>>380
まず、f(x)の次数を決める。
f(x)=a(n)x^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a(0) 　(ただしa(n)≠0)とおいて与式に代入。
次数が決まれば後は、f(-1)=0と与式から係数が決まる。

>>383
計算ミスってるよ。f(x)=x^2-2x-3 のはず。

>>385
漏れもそうなったよ。

2f−xf’＝2An*x^n−n*An*x^n＝0

どうしてここで0になるのでしょうか？

>>387
(2f−xf’のx^nの項)＝2An*x^n−n*An*x^n＝0
だと思われ

>>388
(2f−xf’のx^nの項)＝2An*x^n−n*An*x^n

n=2のとき　　2An*x^n−n*An*x^n=0

ってことですか？

>>388
いや、その、だからさ、最初の与式を変形して
2f−xf’＝−3f’’−2x
の右辺は、どう考えても高々(n−2)次でしょ
だから左辺のx^nの項は消えてしまうわけだからゼロ

というわけでx^nの項について
2An*x^n−n*An*x^n＝（2−n)*An*x^n＝０

>>389だった

fをn次の整式と定義してるから当然An≠０ね
で、恒等式だからどのようなxに対しても成り立つので、2−ｎ＝０

複素数zが、ｚ^5=1を満たしている。すると、なぜ
(ｚ−1)(ｚ^4+ｚ^3+ｚ^2+ｚ)=0
と変形できるのでしょうか？

>>390
あーーー！わかりました！

ばかに付き合ってもらってすいません・・・(*´д｀*)

>>392
ていうか普通の因数分解っしょ

>392
ｚ^5=1より
z^5-1=0
左辺を因数分解する。
z=1なら、等式成立なので、z-1で割れる。

あ、ありがとうございました！

ケータイからで読みにくい文章になってしまいスミマセン。
自分、1A2Bまでやってる者なのですが、3X+Y<5 とX^2+Y^2<5 の表す領域を求める問題で、この円と直線の交点の求め方がわかりません。どなたか順を追っ解いていただけませんでしょうか？よろしくお願いいたしますm(_ _)m

>>392
　逆に、1+z+z^2+z^3+z^4を、公比zの等比数列として、(z≠1)
1+z+z^2+z^3+z^4＝(z^5 -1)/(z-1)　と和の公式を考えることができます。
分母を払えば、>>392さんの式が得られます。

一般に拡張すれば、(z-1)(1+z+z^2+…+z^n)＝z^(n+1)
という因数分解の公式が得られます。もっとも、割り算を本当に実行すれば、
すぐに分かります。
　>>395さんみたいに、因数定理を使うのも見通しが良いので、参考あれ。

>>397
まず、境界線を方程式で捉えることから始まります。
即ち、3x+y=5とx^2+y^2=5が境界線を表します。
で、境界線同士の共有点を求めれば良い訳ですから平凡に、
前の式⇔y=-3x+5として、これをx^2+y^2=5に代入し、
２次方程式を解くことになります。

以下は余談です。
解（つまり共有点）が直接出てくるのが、この方法のメリットです。
一方デメリットは、計算が煩雑になること。
「3x+y=kとx^2+y^2=5が共有点を持つkの範囲を求めよ。」
のようなタイプの問題では、yを消去して、xの２次方程式が実数解を持つ条件から求めるより、
点と直線間の距離の公式を用いて、
{|3*0+y*0-k|/√(3^2+1^2)}≦5としてやる方が速かったりします。
臨機応変に解法を選択してください。

１＋１＝？？

>>400
2と定義するのが、理にかなってます。

>>397　領域の問題ですが、不等号は後で考えます。とりあえずは＝として、
y=5-3x　…[1]
xx+yy=5…[2]　とします。[1]を[2]に代入します。
xx+(5-3x)^2=5　⇔xx-3x+2=0
⇔x=1,2　…[3]
これを[1]に代入して、(x,y)=(1,2),(2,-1)となります。

誰かフーリエ級数を偏差値32.5の俺にわかるように説明してください。
お願いします！入試でフーリエ変換しなくちゃいけないんです！！
まじ切羽詰ってるのでお願いします！！！

硬貨を投げたとき表、裏の出る確率はそれぞれ1/2とする。
整数Kは硬貨を投げて表が出れば、K-1,裏が出ればK+1
に変化するとする。

（1）硬貨をn回投げて表がr回出たとき、整数Kはどんな値に変化するか。
（2）硬貨を2回投げたとき、整数Kの変化可能なすべての値をもとめよ
（3）硬貨を4回投げたとき、K=4が2に変化する確率と3に変化する確率
をそれぞれ求めよ。
　　　　　　　　　　　　　
中央大商学部2003、どなたか答えお願いいたします・・・。

>>399サン 402サン(間違ってたらスミマセン)レスありがとうございました！明日、法政(法)受験なんで助かりました。感謝(゜дÅ )ｲｲﾋﾄﾀﾞ

>>404
１　Ｋ＋ｒ−（Ｎ−ｒ）
２　Ｋ−２、Ｋ、Ｋ＋２
３　４Ｃ1（1/2)・(1/2)^3
0

か？わからん

>406さん
最後の、K＝4が3に変化する確率って
0でいいんですか？

>>407
たぶん。

＞408さん
有難うございましたm(__)m

安心した・・・。

>>407
0でいいと思います。いちおう，答案ぽく書いたのでよければ参考にどうぞ。

(1) r回表が出て，n-r回裏が出たので，K+r*1+(n-r)*(-1)=K-n+2r・・・答

(2) 表表のとき，K-2．
　　表裏，裏表のとき，K．
　　裏裏のとき，K+2．
　　よって，変化可能な値は，K，K±2・・・答

(3) 硬貨を4回投げて，K=4がK=iに変化する確率をP(i)とする．
　　いま，P(2)，P(3)を求めればよい．
　　はじめにP(2)を求める．
　　表の出た回数をr，裏の出た回数を4-rとし，(1)の結果を利用すると，
　　KはK-4+2rになる．いま，K=4，K-4+2r=2 であるから，r=1．
　　よって，4回のうち，1回表が出る確率がP(2)であるから，
　　P(2)=(4C1)*(1/2)^4=1/4・・・答
　　次にP(3)を求める．K=4，K-4+2r=3 であるが，これを満たす自然数rは存在しない．
　　よって，P(3)=0・・・答

>>410
(1)はk-r+(n-r)=k+n-2r・・・答
だった・・。表が-1で裏が+1とは見事やられた・・。
(2)と(3)の答には影響ないけど・・。

＞こけこっこさん
ありがとうございます。

私も同じ答案になったんですが、
確率が0になったんで、あれ？？？ってなってしまって。

安心しました。

>>412
おめで�dです。中央大というと・・実は去年付属高受験を企んだときに買った中央大学付属高等学校/付属杉並高等学校の過去問があるんですが，
似たような問題がありました。ひょっとして出題者同じかも・・(；´Д｀)。

>>360
改めてﾌﾟﾘﾝﾄして読み直してみると，どうしてこんな風にうまく証明できる
のだろうかと感心（放心）してしまう・・
やっぱ，大数を避けてるとﾀﾞﾒなのかも（´･ω･`）

>414
別の方法でやってみた。
コーシーの平均値定理：
　f(x),g(x)は[a,b]で連続、(a,b)で微分可能とし、
　g'(a)≠０　とする。このとき
　{f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)}=f'(c)/g'(c)
　となるcがa<c<bに存在する。

この定理を認めた上で議論する。
f(x)=x-sinx
g(x)=x^3
とおくと、
{f(x)-f(0)}/{g(x)-g(0)}=f(x)/g(x)=f'(c)/g'(c)
となるcが0とxの間に存在する。
x→0のとき、c→0なので、
lim{f(x)/g(x)} = lim{f'(x)/g'(x)}　となる。
同様のことをf'(x),g'(x)に対して考えると
lim{f'(x)/g'(x)}＝lim{f''(x)/g''(x)}＝１／６

以上、ロピタルの定理の証明をパクッてみますた。
ではコーシーの平均値定理の証明はというと、、、
前スレにあったけど

平均値の定理より、g(b)≠g(a)である。
ψ(x):={g(b)-g(a)}{f(x)-f(a)}-{f(b)-f(a)}{g(x)-g(a)}
とおくと、ψ(x)はロールの定理の仮定を満たす。
よって、ψ'(ξ)=0を満たすξ(a<ξ<b)が存在する。
ψ'(ξ)=0を書き直すと、桶　■

2枚の硬貨を投げて2枚表が出たときをA、一枚表もうは一枚裏が出たときをB
2枚裏が出たときをCとしてX＝試行回数、Y＝表の延べ枚数　を考えたとき、
Y＝3となるときの確率を求めよ。　という問題で
答えには始めの3回はABCが1回ずつ出て4回目がCが起こるとき　だと書いてあるのですが、
この答えの意味がよく分かりません。どなたか教えてくださいませ。

>>416
問題にまだ条件がついていそうなﾖｶｰﾝ

>>403
フーリエ級数・フーリエ変換の定義カナ？
丸暗記しる！覚えられるのならナー

Fourier級数
f(t)が周期Tの周期関数の時、
f(t)=a0+Σ[1,∞]･an･cos(2πnt/T)+Σ[1,∞]･bn･sin(2πnt/T)

Fourier変換
xの関数f(x)について、
∫(-∞〜∞)dx･exp(-ikx)=g(x)
をf(x)のFourier変換と言う。

･は掛け算の意味ね。式が見づらいと思って。
それからexp(x)＝e^xです。

おっといけない忘れてた。
Fourier級数の式に出てくる
a0,an,bnは、
a0=2/T･∫(0〜T)dt･f(t)
an=2/T･∫(0〜T)dt･f(t)cos(2πnt/T)
bn=2/T･∫(0〜T)dt･f(t)sin(2πnt/T)

>>418のFourier変換間違ってたゴメソ。
xの関数f(x)について、
∫(-∞〜∞)dx･exp(-ikx)･f(x)=g(k)
このg(k)をf(x)のFourier変換と言う。

>417 確かに見落としてました。
試行を繰り返し行い事象ABCのいずれかが2回起こったところで試行をやめ
ってのがありました。
…解決しました。問題をしっかり読んでませんでした。
迷惑かけました。

黄色チャートわ二冊あるのですがどういう点が違うのですか？

絶対値についてなんですが、、、。例えば
|x-2|=3　の時は、考え方として、原点からの距離が3　と考えて、普通に絶対値きごう外して
x-2=±3
x=-1,5
となりますよね。
けど、
|x-2|=2x　の場合は、そもそもこの式が成り立つ時点で2x>0すなわちx>0が成り立ってる。ということじゃないですか。
それで解は
x-2=±2x
x=2/3,-2のうち2/3だけが解となりますよね。
これって変数が両辺とも同じxだからこうゆうふうにするのであって、例えば
|x-2|=2y　とかの場合の解は
x-2=±2y
x=±2y+2　となるんですよね？(というかそもそも解ってxの値のこと？ここらへんもよくわかりませんが、この問題の場合は[xの値を求めよ]ということにしておきます)

自分でも説明しにくいんですが、要するに絶対値きごうのせいで両辺が同じ変数だったらマイナスの解はありえないということなんですよね？
もしそれが|x-2|=2yみたいに異なる変数だったらマイナスの解もありうる。というふうになるんですよね？
変数が片方にしかない|x-2|=3　みたいな場合もマイナス解はある。ということですね？

そこで、なぜ両辺にが同じ変数があると、マイナス解はありえないのか考えてみたのですが、
ありえないはずの負の数を入れてみると、[|x-2|=2x のxに-2を入れてみる]とします。
すると|-2-2|=2*(-2)整理して
|-4|=-4
しかし、絶対値きごうのせいで|-4|=4となって、これを代入すると
4=-4　となり式がなりた立たない。

こうゆうふうに考えたのですが、あっているのでしょうか？
ご解答お願いしますm(_ _)m

>>423
3回ほど文章を読み直したが、正直意味が分からなかった。
ただ「絶対値きごうのせいで両辺が同じ変数だったらマイナスの解はありえない」という風な
考え方は意味を持たないと思う。問題に絶対値が出てきた段階で【絶対値は必ず0以上】という
条件から解の範囲を決定してやり、それから普通に解いていけば良いと思う。

>>423
で、結局何がしたかったの？

>423
＞x-2|=2y　とかの場合の解は
＞x-2=±2y
＞x=±2y+2　となるんですよね？(というかそもそも解ってxの値のこと？ここらへんもよくわかりませんが、この問題の場合は[xの値を求めよ]ということにしておきます)

±2y+2≧０の場合は、x=±2y+2　となりますが、
2y+2≧０　かつ−2y+2＜０の場合はx=2y+2　ですし、
-2y+2≧０　かつ2y+2＜０の場合はx=-2y+2　です。
±2y+2＜０の場合は、解なしですが、±2y+2＜０は有り得ません。

両辺に同じ変数があろうがなかろうが、絶対値≧０　の条件の範囲で解を探してください

助けてください。整数問題の存在をわすれていました・・・・。あと１週間
ちょっとしかないのに・・・・。どうすりゃ瞬速で整数問題ある程度できる
ようになりますか？今のままじゃまったく手がだせないよーーー。

>>423
y≧0が大前提になる
その上で処理

>>427
大学への数学の整数問題の特集だけやるとか。
参考書はあまり知らない・・・

数学の参考書・問題集スレッド【part3】
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1044313716/l50

>>427
京大の過去問掻き集めて正数問題ば〜っかザッと解いてくとか。
かなぁり歯ごたえあるよ。

で、トゥリビアちんは早稲田理工はうけとらんのけ？

>>431
うん。

>>424、>>425、>>426、>>428
レスありがとうございます。
特に>>428さんのレス見たときにｷﾀ━━(ﾟ∀ﾟ)━( ﾟ∀)━( 　ﾟ)━(　　)━(　　)━(｡ 　)━(Ａ｡ )━(｡Ａ｡)━━!!!!
やっと意味わかりました(´Д｀；)

あと、みなさんのレス見ててふと思ったことなんですが、
|x-2|=2y　のような場合は>>426さんのように場合分けして答えをだすんですね。
それから、|x-2|=-2　みたいなことも絶対にありえないっつーことなんですね。(´･ω･`)これは定義だから、なんでそうなるとかは考えなくてもいいのでしょうか？
あと、後から気付いたのですが>>424さんも結局>>428さんと同じことを言っていたのですね(´Д｀;)
それから、>>424さん。自分のめちゃくちゃな文章すいませんでした。
あと、>>425さん。あの、上の考え方みたいなものはあっているのでしょうか？
ってことだったんですけど。すいません。ヘタレで。やっと意味わかりました(;ﾟДﾟ)みんなｽﾏｿ。

剰余系（もしあｋして剰余環？）Z/(12)
で
7の加法における逆元は
-７と5ですよね？
なんかウチの本意味不明なこと書いてあるんですが

【質問スレ一覧】

英語の質問にもの凄い勢いで答えるスレ　その6
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1043858167/

∫　数学の質問スレ part11　∫
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1044828874/

【理系】[生物化学物理地学]質問スレ【science】
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1043582823/

↑二つ目はギャグですか？

>>436
コピペだから

剰余系（もしあｋして剰余環？）Z/(12)
で
7の加法における逆元は
-７と5ですよね？
なんかウチの本意味不明なこと書いてあるんですが

誰か教えろ

そんな本は窓から投げ捨てろ

それは無理だ
コピー代がめっさかかってる

大学受験板って意外と流動的だな
どんどんスレが下がる

燃やせ

それは無理だ
コピー代が5000円かかってる

2500円か
500÷2*10なり

>>438
で、その本にはなんて書いてあるの？

-3=7

じゃなくて
7の下方における逆元は
3とか逝ってるんです
もうねアホかと
バカかと

>>415
その方法はなんとか知っています・・。
ロルの定理→(コーシーの)平均値の定理→ロピタルの定理という流れですよね。
なかなか使えて便利な技だと思います。。

大数スレはdat落ち？

>>423
絶対値って，指導する先生によって，微妙に教え方が違うみたいです。
たとえば，|x-1|=-1という方程式を考えます。
これを「ありえない」と解釈する先生もいれば，「解は空集合」と解釈する
先生もいます。で，後者の考え方を使えば，たとえば，
不等式：|x-a|＜c (a，c∈R) という解は，cが0であってもマイナスであっても
|x-a|＜c ⇔ -c＜x-a＜c・・・★ と変形できます。
c≦0のときは，★ ⇔ x=φ(空集合) となるので，矛盾しないという罠。

不等式や方程式を解くということは，その式が満たす集合を求めることと同値なので，
空集合を認めたほうが応用が利くと思います。

>>423
|x-2|=2yという集合は
『x≧2かつy≧0かつx-2=2y』または『x≦2かつy≧0かつ2-x=2y』
という集合と同値です．
『(x-2)^2=4y^2 かつ y≧0』という集合とも同値です。
ただ，安易に2乗したりするのは避けた方が無難。。

>>450
う〜ん。なるほどぉ。領域をのばしたってことですね。
いまそこらへんを持ってる本で調べたのですが、x^2=-1の解(複素数)も空集合となるらしいですねぇ。
空車のタクシーの乗客の数も空集合。う〜ん、なんだか感覚としてなれないですねぇ。

>>452
(ﾟДﾟ)・・・
いまの話はすべてx，yが実数のときの話ですけど・・。
x，yを複素数にまで広げるのなら，x=p+qi　(p，q∈R)としてください。。

>>452
＞ですねぇ
ここら辺の語尾に，某板での，だれかを想起させる・・

今井⇔こけこっこ

バウムクーヘン積分使っていいの？

>>453
間違いなく人違いかと(´･ω･`)
あと、こけこっこさんはよく集合で考えていますが、当方kittyなもんで集合・・・(;ﾟДﾟ)ﾊｧ?
なレベルなんで、ほとんどよくわかりません(笑)
なんとなくはわかりますが・・・。あと、調べたってのは黒大数で空集合んとこ見たらそう書いてあったんです、、、。

>>447
たぶん、誤植か何かではないかと。

>>こけこっこ氏
ホームページ長いこと（？）乙カレでした。

>>456
普通の積分と変わらんからOKだと思う

>>455
そりゃ、酷すぎる・・・

>>458
ありが�dです（＾∀＾ヾ。そういえば，まだ利用してくれる人がいるかもしれないので
うｐして放置しときます・・。そのほうがいいかな，やっぱり・・。
ていうか，ジオとかって何年も置いておいて大丈夫なのだろうか・・。
そこが不安で・・。ずっと無料ならのっけときたいけど(*´д｀*)

>>461
もつかれさま。
できることならあげたままにしておいて欲しいな。まだ解き終わってないんだ。
消さなきゃいけないんだったらせめてﾀﾞｳｿさせてもらえると嬉しい。

>>461
ﾎﾝﾄに乙ｶﾚｰですた。
かなりｳﾞｧﾘｴｲｼｮﾝ豊かな問題が揃ってて、良いｺﾝﾃﾝﾂだと思うので、
残しては・・？
ほうっておいても、自動的に削除されると思うけど。

不定方程式って何ですか？
こういう数学の細かい用語が検索できるサイトとかないですか？

>>464
とりあえずググれ

>>465
googleは嫌なの。毎回同じように説明してくれなきゃ嫌なの。
だから一つのサイトで間に合わせたいの。

>>466
神

http://www80.sakura.ne.jp/~aozora/suuron/node2.html
http://www6.plala.or.jp/yottya/math.html
http://hosoi05.is.noda.sut.ac.jp/~hosoi/kanzi/html/Mokuji.htm
こんなのじゃダメなのか？

>>468
理想はhttp://e-words.jp/の数学用語版。

質問よろしいでしょうか？
平面上の四角形ABCDの内角はどれもπより小とする。
↑AB*↑BC=↑BC*↑CD=↑CD*↑DA=↑DA*↑AB
のとき、ABCDは長方形であることを示せ

手も足もでません（ＴＴ）

あ、ベクトルの書き方間違ってました

平面上の四角形ABCDの内角はどれもπより小とする。
AB↑*BC↑=BC↑*CD↑=CD↑*DA↑=DA↑*AB↑
のとき、ABCDは長方形であることを示せ

でした。

( r^2 + t^2 ) u^2 - 2 r^3 u + r^2 ( r^2 - t^2 )
から
(u-r) {( r^2 + t^2 )u - r( r^2 - t^2 )}

に持っていくために、（u-r）でくくれる！っていう判断はどうすれば良いのでしょうか？
青チャートの解説にこう書いてあるのですが、おながいします。

>>472
ｕに関する二次式と考えればただの因数分解になる。無理やり因数を
探すなら、ｒ＝ｕを代入して因数定理からってのもある。

>>470-471
計算めんどくさそう・・・ちょっと計算してみる。

計算なんて言うほどいらないんじゃ？
内角がπより小さいんだし・・・

数列の極限と関数の極限の違いは何なのでしょうか？

>>474
ｶﾞｰﾝ･･･そうなのか・・・。スマートな解答うｐしてくれ。

>>474
どうやら簡単みたいだ・・・

コサイン適当に出していったらコス角Ａ＝コス角Ｃ＝・・・
がでたから内角がπより小さいから角Ａ＝角Ｃ＝・・・

で終わったけど簡単に終わりすぎて本間にこれでいいのかわからん。どんまい折れ

青チャートも終わり、やさしい理系数学も終わり…、にもかかわらず(早慶の)入試となると3割くらいしか取れません。
初めて見る問題はまったくお手上げになってしまうんです。
皆さんは一体どうやって解法を見つけているんですか？
どうか教えて下さい。

>>470-471
AB↑*BC↑=BC↑*CD↑=CD↑*DA↑=DA↑*AB↑
より
BA↑*BC↑=CB↑*CD↑=DC↑*DA↑=AD↑*AB↑
|BA||BC|cosB=|CB||CD|cosC=|DC||DA|cosD=|AD||AB|cosD
∠Ａ〜Ｄのうちどれか一つでもπ/２でないものが存在したら
等号が成立しないから全てπ/２、つまり長方形。

等号が成立しない理由は、例えば∠Ａ＜π/２なら∠Ｂ〜Ｄのうち
少なくとも一つはπ/２より大きくなって異符号になるから。

これでいいのかな・・・

>>480
|BA||BC|cosB=・・・・・から||系は全部消去できるからおれはそうした

ｶﾅﾘ基礎系の問題だと思うんですが、御指南願います。

ｍｘ^2+16ｘ+ｍ+2=0
の解のうち少なくとも１つが整数であるようなｍを全て求めよ

今年の学習院の文学部数学選択の問題でした。解けへんかった（´･ω･`）ｼｮﾎﾞｰﾝ

（´･ω･`）ｼｮﾎﾞｰﾝ

合同式の「ｍｏｄ」って何て読むの？

もず

>>482
解が無限にあるが．．．
mは整数っていう条件はないの？

この証明の第二段が出来ません。誰か教えてください。

数学的帰納法を用いて証明せよ。
2^n≧n^2-ｎ+2 （n=1,2,3,…)　　　

>>487

(n+1)^2-(n+1)+2
=n^2+n+2
2(n^2-ｎ+2)-(n^2+n+2)=n^2-3n+2=(n-1)(n-2)≧0 (n=1,2,3...)

よって、
2^n≧n^2-ｎ+2　⇒　2^(n+1)≧2(n^2-ｎ+2)≧(n+1)^2-(n+1)+2
が言える

これとn=1の場合で良いんじゃない？

>>486
ごめん　ｍ整数だ。そして今気づいた（Ｔ＿Ｔ）

>>488
(n-1)(n-2)≧0
の部分がわからないのです。
二次関数のグラフを書いてみると、ｎ＝１と２の間で負になるのですが・・。
もう少しここのところを教えてください。
お願いします。

>>490
数学的帰納法ってのは、
n=1の時成立する
n=1の時成立する　ならば　n=2の時成立する
n=2の時成立する　ならば　n=3の時成立する
　　　　　…
を全部証明すれば全てのnについて成立することが証明できますよ、って論法だから、
「nが自然数の時」の(n-1)(n-2)の取る範囲だけを考えれば良い。

ごめん、うまく説明できないや。

>>490
それに問題文にnは自然数だって書いてるしね

＞４９１
つまり、第一段でｎ＝１のとき命題が成立することを示したから、
次は、ｎ≧１＋１＝２のときに(n-1)(n-2)≧０が成り立つことを示せば良い、
ということですか？

数列の漸化式で、
Ａ_(2m+2)=１／３Ａ_(2m)が、なぜ
Ａ_(2m)=(１／３)^(m-1)Ａ_2と変形できるのでしょうか？

>>482
判別式D/4＝平方数より
(m+1)=±1,±4,±7,±8
この中からxが整数となるものを選別

内積使った三角形の面積って
どんなんやったっけ？
1/2×√〜みたいな感じやった事しか覚えてない…
どうか御助けを

>>490
1と2のあいだに自然数nが存在する？しない？

>>493
まさにその通りだね。

＞＞４９７
あっそうか！！
自然数＝正の整数だから、ｎを自然数とすると、(n-1)(n-2)≧０なんだ！
わかりました〜♪
ありがとうございます。
＞４９８
ありがとうございました。理解できました。

（　´,_ゝ`）500

＞494って条件不足していませんか？

それとも普通に解けるんだろうか？

>>496
ベクトル　　　a
大きさ　　　　|a|
内積　　　<a・b>=|a||b|cosθ　　

S=(1/2)|a||b|sinC=(1/2)√{(|a||b|)^2(1-(cosC)^2)}=(1/2)√{(|a||b|)^2-<a・b>^2}

すっげー初歩的な質問でゴメソ。
青山学院大学、経済学部過去問より。

座標平面上の２点Ｐ(p, 0)、Ｑ(0, q)を結ぶ長さ２の線分ＰＱを考える。
尚、pもqも０以上とする。
点Ｐ，Ｑを通る直線を求めよ(１部分だけ抜粋)

で、直線求める際に
x/p+y/q=1を用いる理由を誰か説明して下さい。

この部分だけわからんかった。他はセンターレベルの問題だったのでいけますた

>>494
逆から辿ればわかるかな
A_(2M+2)=(1/3)A_(2M)

Mに1,2,3,…,(m-1)を代入していって
式を(m-1)個作ると

A_(4)=(1/3)A_(2)
A_(6)=(1/3)A_(4)
A_(8)=(1/3)A_(6)
…
A_(2m-2)=(1/3)A_(2m-4)
A_(2m)=(1/3)A_(2m-2)

下から順に式を使っていくと
(1/3)を(m-1)回かけてA_(2)が残る

>>503
x/p+y/q=1・・・�@
qx+py=pq
y=-(q/p)x+q←これが一般的

�@はx切片、y切片が分かってる時の公式みたいなもんだよ。

>>503
直線上の異なる2点が与えられればその直線が1つに決まる

直線の式x/p+y/q=1に
(x,y)=(p, 0),(0, q)を代入すると成り立つから
2点(p, 0),(0, q)を通る直線はx/p+y/q=1といえる

その問題ではp,q≧0なので
厳密にはqx+py=pqとあらわすべき

>>505-506
thanks.
>>505
それ公式として暗記すべき？

a,bを正の整数とするとき

整数m,nを係数とする二次方程式x^2＋mx＋n=0が解b/aをもつならばb/aは整数であることを示せ。

という問題でxにb/a(a,bは互いに素な整数)を代入して整理すると
b^2=-a(an＋bm)
となるのですが、
「ここでaノットイコール1とすると、bはaの倍数となり仮定に反する」
という「」の部分がなぜだかわかりませんでした。
-(an＋bm)がa・m・m（mは正の整数）となってb^2=a^2・k^2
となってb=akとなるからですか？

結果的にa=1となってb/aは整数になることをもって証明を終了しています

>>508
左辺は右辺に因数分解されるから、
b^2はaを因数にもつ→b^2はaの倍数、というわけ。
（因数の言葉を誤用してるかもしんないけど勘弁）

読み違い。

気を取り直して。
>>508
４行目から、bが因数としてaかsqrt(a)を持つ。
sqrt(a)を持つ場合、aqrt(a)は整数で、aの因数。
つまりこの場合も、bは因数としてaの因数を持つから、結果として因数にaを持つ。

ってとこ？

なかなか数学的なIDだな

>>513
+が３個もある。今気付いた

>>508
　何かよく分からんけど、b/a代入したとき
　(b/a)^2＋bm/a＋ｎ＝0　⇔　b^2/a＋bm＋an＝0　⇔　b^2/a＝−(bm+an)　右辺は明らかに整数なので左辺も整数

　これで良いのでわ。

>>514
その次の行が問題視されてるわけです。

>>508
b^2=-a(an＋bm)　　(a,bは自然数で、m,nは整数)
という条件からだけでも、bがaの倍数であることは示せるのですが、
たしかに少し飛躍していますね。
実際にはb^2がaの倍数というのを示すだけで十分なので、ただの誤字ではないでしょうか。

っていうかa=1でもbがaの倍数であることには変わりありませんね。
その解法書いた人が間違えたんでしょう。

>>517
仮定が " a,bは互いに素な整数 " だから無問題

>>518
そういう意味ではなくて、
bはaの倍数→bとaは1でない公約数を持つ
のほうが適切なのではないかという意味です。

ちとわかりづらくなってしまったので修正。

「bはaの倍数」と書かず「bとaは1でない公約数を持つ」
と書いたほうが適切ではないかという意味です。

連続投稿スマソ

>>519
ぶっちゃけ無問題だと思うがどうか
初期条件とa≠1の仮定を混同してないか

>>521
a=1でも確かにbはaの倍数なので、
「bがaの倍数だから仮定に反する」ということにはならないでしょ？

>>522
互いに素＝最大公約数が１
だから、確かに表現が悪いね。
むしろ、「a＞1の時、a,bが互いに素であることに反する（仮定に反する）」
でも、全然飛躍は感じないけど・・・

関数の概形を描けという場合に、第2次導関数を求める場合とそうでない場合があるようですが、
それはどこで判断するんですか？

>>524
凹凸も調べて云々ってあったら調べる。

>>524
グラフを書く問題なら、凹凸を調べる。
グラフを書くのが手段なら、第一次導関数まででいい。

α=p+qi z=x+yi のとき

2(px+qy)=a（aは実数）がなんでベクトル（p,q）に垂直なんすか？

>>527
α,zを置いた意味無いね。
αの方向ベクトルは(p,q)
一方、2(px+qy)=aの方向ベクトルは(q,-p)
二つの内積を取ると0になるので、垂直となる。
分かり難ければ、px+qy=a/2からy=(-p/q)x+〜
を得、傾きが-p/qから、方向ベクトルを判断しれ。

鳩の巣原理または部屋割論法って何？
調べてるけど、意味さっぱりわからない…
誰か…わかりやすく説明してください
部屋割論法の定義;
｢数列{An}の項のうち異なるものがk個以下のときは、A1.A2.A3………An.An+1 のなかに値が等しいものがある｣
意味わからない…
(そのままやん…って返答があるような気がする…)

529ですが、突然の質問ですいません…

>>529
例えば鳩が１０羽いて，巣が９個なら
必ず，どっかの巣には鳩が２羽以上入ってるよね？
これが鳩の巣原理

>>531さん、返答ありがとうございますm(__)m
ということは…次の問題
A1＝1 A2＝1 An+2＝PAn+1 ―An (n＝1.2.3…)で定まる数列Anを考える。ただし、Pは定数である。
数列{An}の項のうち、異なるものの個数がちょうど2個となるようなPの値をすべて求めよ。

この上の問題…A3まで考えて、条件を満たすものを調べていけばいいと思うんですけど…
解答はA4まで求めてあるんです…
鳩ノ巣論法からするならば、A3まででいいような気がするんだけど、なぜA4まで求める必要があるのか…誰か教えてください…

>>532
それは条件を満たすための必要条件が
A1＝A2＝A3≠A4 または
A1＝A2≠A3＝A4 が成り立つ、だと考えてるからじゃない？
今一つ自信ないけど、、

質問。

x^3+ax^2+bx+c

といった感じの３次式の解が1+iの時、残り２つの解を求めよ。

と言われた時の解法を教えて下さい。

1+i代入して文字をはっきりさせるのはわかるんですが、
残り１つの解の出し方がわからないのです。1-iが解ってのはすぐわかるんですが

>>535
1+iが解なら1-iも解だから
x^3+ax^2+bx+cは(1+i)*(1-i)で割り切れるから
あとは計算して終了

>>536
(1+i)*(1-i)=2で割ればええの？

>>537
(x-1+i)(x-1-i)でワレ

(x-1+i)(x-1-i)＝x²-2x+2だから
x³+ax²+bx+c＝(x+k)(x²-2x+2)と表せる罠

右辺を展開した後、両辺の係数を比較せれ

「曲線の概形を書け」と問われれば
ガイシュツだけど２次導関数まで求めて
変局点があればそれもグラフに示したほうが無難だね

>>536
(x-1+i)(x-1-i)だな（ワラ
ドンマイおれ！！！！！！！！！！！！！！！！

>>507
暗記してないとまずいと思う。

>>540
　凹凸も調べて　　といわれない限り、普通は極値だけで良い。

tan(x/2)=tとおいたとき何故、cosx=(1-t＾2)/(1+t＾2)となるのでしょうか？

ＡＡＡＢＣＤの文字を並べるとき
ＢＣがこの順に並ぶ組み合わせが60通りになる理由がわかりません。教えてください

すまんです事故解決しますた

>>544
tをcosxの式で表して，それを
cosxについて解けばいい

つまり，t=tan(x/2)={sin(x/2)}/{cos(x/2)}=（半角の公式利用）・・・
ってやっていって，右辺をcosxだけの式にする
できた等式を変形して，cosx=・・・の形にする

前も聞いたけど不定方程式ってなんだっけ？

>>548
5x+6y=37

みたいなやつじゃないっけ？

>>529
ちゃんとした定義はないの？

>>550
不定方程式＝解が無限に存在する方程式のことでしょ。
言葉で書くより>>549の方が分かりやすいかと思って書いたんだけど。

定方程式ってある？方程式とこうとうしきの違いは？

>>552
定方程式なんて言葉は聞いたことが無いけど。
恒等式は、変数があらゆる値をとっても成り立つ式のこと。

>>529
例えば鳩が１０羽いて，巣が９個なら
必ず，どっかの巣には鳩が２羽以上入ってるよね？
これが鳩の巣原理


これってディリクレの原理っていう名前みたい
解法のテクニックにのってた

555

あと親切に質問に答えていただいてありがとうございました
また困ったらお世話になります

>>543
出題範囲が数学ＩＡ�UＢなら極大・極小だけでいいが
�VＣも範囲内ならなるべく書いといたほうがいいと
代ゼミ・河合、両校の講義で言われたことあります

z=x+yiとしたとき
z^2=(x+yi)^2
_
|z|^2=z･z
ですよね。
何か混同してきてしまいました(+｡+)

原点Oを中心とする半周円C:x^2＋y^2=1(y>0)上に点Pをとる。
点Pと点A(1,0)を結ぶ線分PAをt:(1-t)に内分する点を点Bとする。(0<t<1)
さらにOD↑=2OB↑となるように点Dをとる。点PがC上を動く時、点Bが描く軌跡をC'とする。
軌跡C'の方程式を求めよ。


OD↑=2(1-t)OP↑＋2tOA↑まではわかるのですが・・・

>>559
P(x,y)(y>0),D(X,Y)とでも置いて
OD↑=2(1-t)OP↑＋2tOA↑から
x=f(X,Y),y=g(X,Y)っつー関係式を導き出して
x^2＋y^2=1に代入するとX,Yだけの式を得られるだろ。
y=g(X,Y)>0から、X,Yの範囲を忘れずに書いておいて。

おお！その方法は思いつきませんでした！
どうもありがとうございます

＞さらにOD↑=2OB↑となるように点Dをとる。点PがC上を動く時、点Bが描く軌跡をC'とする。
＞軌跡C'の方程式を求めよ。

C'の軌跡って点Ｂじゃなくて点Ｄのこと？
でないと点Ｄを出す意味がなさげ

P(cosθ,sinθ）とおいて、ＯＤ↑を成分表示。
あとはsinθ^2＋cosθ^2＝１でθを消去すればいいと思われ。

数学オリンピックって高校中退でも受けれるの？
あと大検とったあとでもうけれるん？

exampleを並べ替えて
(1)両端に子音字があるのは□□□通りである。
(2)両端に母音字があるのは□□□通りである。

aベクトル、bベクトルは零ベクトルでは無く、|aベクトル|=|bベクトル|=|aベクトル-bベクトル|
の関係の時、aベクトルとbベクトルのなす角は□□°である。
|aベクトル-2bベクトル|は√□|aベクトル|である。

答えだけでいいので□に入る数字を教えてください。

>>565
6・5!
3・5!
60
3

レベルの低い質問ですみませんが、

ｋによってグラフの共有点はどのように変わるか
y=√(2x+1),y=kx+2k-1

って問題で、解答で「グラフよりk≦0の時共有点を持たないことがわかる」
とか書いてるんですが、グラフでそんな数値判別できないので式で求める
方法を教えてください。また、その判別法があればそれはこういう問題では
毎回試すものなのかも・・・

>>567
yを消去して判別式＜＝＞０を調べればいいと思う

>>567
√(2x+1)=kx+2k-1
で両辺を二乗してみて、（√(2x+1)が実数となる）1/2≦x　に解を持つかを判断する。

ってか、グラフより〜の方が圧倒的に簡単だと思うよ。

>>568
訂正。定義域が限られるから
yを消去して解いてから、解が定義域に乗っかってるか乗っかってないかの判断か。

>>565
俺も質問です．
基本問題を理解できず答えだけ知って，今後どうする気ですか？
ここで聞き続けますか？

ﾚｽありがとうございます。

>>568
やってみますたが、それだとでないみたいです・・・

>>569
実際にｘを出してルートの中身が負になる所を判断するってことですか？
申し訳ないですがちょっとよくわかりません・・・

>>572
解がx=aだとして、
aが実数であり、かつ√(2x+1)が実数⇔2a+1>0を満たすとき、
√(2x+1)-(kx+2k-1)=0は実数解をもつ⇔y=√(2x+1),y=kx+2k-1が共有点をもつ
ってことだと思われ。

>>571
もちけつ！

>>573
二行目
√(2x+1)が実数　は　√(2a+1)が実数　に訂正。

ａ＾３＋ｂ＾３＝ｐ＾３を満たす素数ｐと正の整数ａ、ｂは
存在しないことを示せ。

↑の問題がわかりません。素数ってどうやって扱うの・・・？

>>575
(a,b,p)=(1,1,2)

>>576
自己レス。大チョンボ。ばーか俺

>>573
それはわかるんですけど、載ってる類題の中でこれだけ共有点
求めただけじゃなくて、共有点と関係ない「グラフよりk≦0も含まれない」
というのも答えになっててその理由が良くわからないんです・・・ああ俺って馬鹿

>>575
左辺を因数分解して（略

>>567
y=kx+2k-1=k(x+2)-1
この式は定点(-2,-1)を通る傾きkの直線

グラフを書けばk≦0のときに共有点を持たないことがわかると思う

>>575
p=2のとき、p^3=8であるが、これを満たすa,bの組は存在しない。よってp≠2

つまり、pが与方程式を満たす素数であるとき、p^3は必ず奇数。

a,bが共に偶数または共に奇数の場合、左辺は偶数となるので矛盾。

a,bのどちらか一方が偶数でもう一方が奇数の場合、
（左辺）=(a+b)(a^2-ab+b^2)=p^3　より、
(a+b)^2=a^2-ab+b^2 または a+b=(a^2-ab+b^2)^2 が成り立つが、
これらは共にa,b≠0に矛盾する。

以上より、a^3+b^3=p^3を満たす素数pと正の整数a,bは存在しない。

>>580
√の関数のグラフをそれがわかるくらいせ正確に書くにはどうしたらいいでしょうか・・？

>>582
両辺2乗して眺めてみると良い。
眺めて分からなかったらxとyを入れ替えて見ると分かる。

※2乗するときは定義域、値域に注意

１から９の数字が書いてある９枚のカードがある。このカードを用いて三ケタの
数字を作ると、偶数を一つだけ含む数字は何通りあるか？
解説よろしくお願いします。

>>582
放物線の頂点
直線が通る定点
この２点の位置関係が正しければ大丈夫

低レベルな質問に答えてくれてありがとうございます。
>>585
√の関数って放物線+直線なんですか・・・？

>>584
5・4・4・3!=480
奇奇偶とその並べ替え

>>586
kの範囲を考えるときにね。
グラフがしっかり書けてなくても、その２コが大丈夫なら大丈夫だってさ。

http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1045580871/

↑一対一

>>587
まちがってるんですけど・・・

痛っ

>>586
何が疑問なのかやっとわかった
y=√(2x+1)のグラフのイメージがわかないのか

ごめん。240かな

>>594
ピンポンです。
解説をお願いします。

>>593
なんとなく2次関数を横にして半分にした奴、位だと思ってますが・・

>>595
奇数を2コ偶数を1コ選び取ってその並べ替えで
C[5,2]・C[4,1]・3!=240

ちなみに>>587は奇数を順番まで指定して5・4としたのに
それを3!でさらに並べ替えちまってるのがまずい。

サンクスです

>>581
＞＞（左辺）=(a+b)(a^2-ab+b^2)=p^3　より、
(a+b)^2=a^2-ab+b^2 または a+b=(a^2-ab+b^2)^2 が成り立つ

この部分がよくわからないんですが・・・

>>599
適当にp=5とします。
このとき
(a+b)=5　(a^2-ab+b^2)=25
または　(a+b)=25　(a^2-ab+b^2)=5
が成り立っていないといけないということ

>>600
その場合だと(a+b)=125 (a^2-ab+b^2)=1　はありえないと
仮定していいんですか？（まあありえないけど）
その辺の厳密な証明はいらないんですか？

やっとわかりました。Ｋ＝０で直線がｘ軸に平衡になるからですね。
ってことはちょっとでも傾いてたら交わる、ってことですよね？

でつ　←ずっと見てたらスヌーピーに見えてきた人は↓をクリック

http://f8.aaacafe.ne.jp/~testest/dcount/index.php

>>601
たしかに・・・
変な例を出したのがいけなかったのか・・・

(a+b)=p^3　(a^2-ab+b^2)=1
このときa=b=1で(a+b)=2=p^3となり
pは素数に矛盾する・・・・と・・・・
手間かかるね・・・

>>602
yes

すっごい簡単なんですがわかんないんで質問します

∫(sinX)^2dx
ってどうやって解くのか分かりませんできれば
∫(sin2X)^2dxもお願いします。

>>606
(sin(x))^2=(1-cos(2x))/2を使って味噌

>>607
ほんとだ出来ましたありがとうございます

進学先の決定した中3です。今、数I・Aの予習をしているのですが、
「(a+b+c)^5-(a+b)^5-(b+c)^5-(c+a)^5+a^5+b^5+c^5」の因数分解で質問です。

　a^5の係数　　1-1-1+1=0
　a^4の係数　　5C1(b+c)-5C1b-5C4c=0
　a^3の係数　　5C2(b+c)^2-5C2b^2-5C3c^2=10x2bc
　a^2の係数　　5C3(b+c)^3-5C3b^3-5C2c^3=10x(3b^2c+3bc^2)
　a^1の係数　　5C4(b+c)^4-5C4b^4-5C1c^4=5x(4b^3c+6b^2c^2+4bc^3)
　a^0の係数　　(b+c)^5-(b+c)^5=0

(与式)=10x2a^3bc+10x(3a^2b^2c+3a^2bc^2)+10(2ab^3c+3ab^2c^2+2abc^3)
　　　=10abc{2a^2+(3ab+3ca)+(2b^2+3bc+2c^2)}
　　　=10abc{2(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)}
　　　=10abc{2(a+b+c)^2-(ab+bc+ca)}

と力ずくでやってみて、一応それっぽい解答にはなったのですが自信がありません。

(1)これで合っているのでしょうか？
(2)もっとスマートには解けないのでしょうか？

>>609です。

すみません。
>>1のリンク先をきちんと全部見てませんでした。

「5C1」とか書いてあるのは、
「C[5,1]」のつもりです。

誰かお願いします。

ｎを負でない整数とするとき複素数を用いて次の等式を証明せよ

2^2n*(cosθ)^2n=2nＣn+2*Σ2nＣk*cos2(n-k)θ　

（Σはｋ=0からｋ＝n-1まで）
（Ｃはコンビネーション（組み合わせ））

>>611
おれも記号の書き方間違えた

ｎを負でない整数とするとき複素数を用いて次の等式を証明せよ

2^2n*(cosθ)^2n=Ｃ[2n,n]+2*ΣＣ[2n,cos2(n-k)θ]　

（Σはｋ=0からｋ＝n-1まで）、（Ｃはコンビネーション（組み合わせ））
ちなみに2^2nは2の2n乗です

>>609
あってるけど、正解は下から二行目のカッコ外したものだろう。

http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1045642386/l50

>>613

ありがとうございます。
とりあえず式変形は合ってたようでほっとしました。
最後の行は、「abc, a+b+c, ab+bc+ca」で対称式らしくしてみたのですが、
余計だったようですね。

これは兄が高1一学期に学校の宿題で出されたプリントの問題でした。
どうせ似たような問題が宿題としていずれ出されるだろうから、
早めにやっておくといいよと私にくれたのですが、
肝心の答えがないのでなかなかきついです。

ｎを３以上の整数とする。円周上のｎ等分点にのある点を出発点とし、
ｎ等分点を一定の方向に次のように進む。
各点でコインを投げ、表が出れば次の点に進み、裏が出れば次の点を飛び越しその次の点に進む。
最初に一周回ったとき、出発点を飛び越す確率P(n)を求めよ。

で、漸化式を作って解くらしいのですが、この問題で言うＰ(n-1)とは
どういう現象を表しているのでしょうか？
それがわからないのですが・・・おながいします。

>>616
n等分点、って考えずに、
延々と続く数直線上のnって点を飛び越す確率、と考えればわかりやすいと思う。
P(n)=P(n-2)*(1/2)+(1-P(n-2))*(1/2)*(1/2)にならないか？

>>616
円周をn-1等分したときの、出発点を飛び越す確率

>>616
>>617の考え方以外でも、
n-1個目の点を飛び越した(P(n-1)の場合)としたら、
その時n個目の点の上に居る。
飛び越さなかったら、1/2の確率でn個目の点を飛び越す。
って考えるとP(n)=(1-P(n-1))*(1/2)にもなるね。
ってか明らかにこっちの方が簡潔。

>>617-618
ありが�d・・・。

でもわからない・・・。というか説明悪くてスマソ。

Anを飛び越すには、A(n-1)にあって（確率1-P(n-1)）裏が出るときであるから
P(n)＝1-P(n-1)*1/2
って原文そのままなんですけど、この（確率1-P(n-1)）っていうのは
具体的にはどういう事象を表して、なんで余事象にすると良いんでしょう・・・。

書いてる間にレスが・・・。
>>619
なるほど！！！
氷解しますた！！！
ありがとうございますた。

>>620
絶対に「n-1に止まらない(飛び越す)」か「n-1に止まる」か、いずれかが起こるよね？
ここで、前者の確率をP(n-1)としたから、後者の確率は 1-P(n-1) になるはず。

で、　
P(n) = P(n-1を飛び越してnも飛び越す) + P(n-1を飛び越さずにnを飛び越す)
ってなるのはOK？

で、数２で条件付き確率、ってやったよね？
Aと言う条件の下でとなる確率…っての。
それをP[A](B)と書くと(教科書とかだと小さいAに大きいBの表記かも)
上の式は、
P(n) = P(n-1)*P[n-1](n) + (1-P(n-1))P[n-1でない](n)
　　　=P(n-1)*0 + (1-P(n-1))*(1/2)
ってなって、>>619の式になる。

同じく書いてる間にレスが・・・。

だれ>>612解いてくれ！！

>>624 赤チャート（数B）に全く同じ問題が載ってる。

質問です。平均値の定理を使うと思いますがはめこみ方がわかりません。
ｐ＞ｑ＞０かつｘ＞０の時
＜ｘ＾ｐ−１＞/1以上<x^q-1>/qを証明せよです。
ｆ<x>をｘのｘ乗にするのですか
よろしくおねがいします

質問です。
X^Xの導関数は？

>>627
y=x^xとおいて，両辺の対数をとってみる
・・・って教科書に「対数微分法」って載ってない？

65分ごとに長針と短針が重なる時計がある。
この時計は正確な時計と比べると少しずつ(1.遅れて 2.進んで)いき、
一時間ごとの時間のずれは約○○秒(2ケタ)である。

↑これはどうすれば...

スレ違いだしどうでもいい質問で悪いけど、
みなさんが今まで見た中で一番難しい数学の入試問題ってなんですか？
要求される能力はなんでもOK（計算力・思考力など）

自分は↓
ttp://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/98/problem.cgi/t2/math?page=2

>>626 平均値の定理を使わなくてもできるんじゃない？
f(x)=(a^x-1)/x とおくと、（問題の記号は変えた）
f'(x)={a^x(xloga-1)+1}/x^2
となって、あとは分子がx>0のとき常に正であることを示す。
y=a^x(xloga-1)+1 とおくと
ｙ'=a'x(loga)＾2*x>0 for all x　かつy(0)=0
なので、結局
f'(x)>0 for all x
よって、P>qならば、ｆ(p)>f(q)■

ちなみに、for all x の　xは、０より大きい数。
all というのは正確には間違い。

×for all x
○for any x

>>633 for all x というのであっていると思う。for all の場合は、連続
量をあらわす時によく使うもので、関数ではこの記法が普通だと思う（受験
参考書では新物理入門の波動のところにでてくる）。整数のような”数”という
離散量を意識しているときはanyやeveryを多く使っていると思う。
まあ、６３１は　for x>0 とかけばよかったんだろうけど。
なんか数学におけるanyとallの違いを知っているのなら教えてくれ。

置換積分法が難しくてわかんないんです。使い方のコツとかあれば
教えてください、お願いします。

置換積分法の特にこちらのほうです
∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(u)du　ただしu=g(x)
　

基礎的な質問でごめんなさい。

コインを投げてwy平面上の点Pを点(a,b)から始めて次のように動かしていく。
1回投げて表が出たらx軸方向に+1座標を動かし、裏が出たらy軸方向に+1座標を動かす。
今、5回投げてPは、点(a,b)から(5,3)に移り、6回目で点(5,4)に移った。
ここで、Pが(a,b)から(5,3)に移る確率と(a,b)から(5,4)に移る確率はともに5/16である。
aとbの値を求めよ。

式の作り方が、いまいちよくわかりません。
確率がともに同じ、というのがひっかかります。
どなたか教えてください。

>>629
長針が一周すると短針が十二分の一周する。
だから、進む速さは12：1。

短針の角速度をθとする。(θ：rad/分とする)　長針は１２θであり、重なる時間をｔとすると
　　　１２θｔ＝θｔ＋２π×ｍ　　(ｍは自然数)
　　　　　⇔ｔ＝（２π×ｍ）/１１θ
だから、
　　　　　�凾煤≠Qπ/11θ
与えられた条件より
　　　　　�凾煤≠Qπ/11θ＝６５
　　　　　∴θ＝２π/７１５　　　�@
正確な時計の短針は一分で２π/(７２０)　　　�A　進むからこの時計は（時間が進み）その短針がずれる角度は一時間で

　　　　　(�@−�A)×６０
であり、秒針はその間に７２０倍進むから秒針のずれは　
　　　　　２π×３００/７１５　(rad)
だから時間のずれは
　　　　　６０×３００÷７１５≒２５秒


こんな感じで。

　　　

>>636
>確率がともに同じ、というのがひっかかります。
例えば5回で(4,4)に移る確率が5/16だったとすると、
図を書いてみれば分かるけど6回で(5,4)に移る確率も、
(5/16)*(1/2)+(5/16)*(1/2)=5/16になる。
だから多分(a,b)はy=x-1上に有るんだろうな、と目星はつく。

でもまぁ親切に具体的な確率を提示してくれてるわけだし、
5回以外の回数で(5,3)に移ることはなく、
また6回以外の回数で(5,4)に移ることもないから、
5-a=pの時、
Pが(a,b)から(5,3)に移る確率は　5Cp/2^5 となるから、
5Cp/2^5＝5/16　⇔　5Cp=10
よってp=2or3
この時、Pが(a,b)から(5,3)に移る確率は　6Cp/2^6 となる事から、
6Cp=20
よってp=3

((5,3)(5,4)に到達する確立に関する)条件を同時に満たすのは p=3のみ。
よってこの時 (a,b)=(2,1) …が答えかな？

ごめん、なんか質問に答えるっていうより、解答欄を埋めるような感じになっちゃったかも。

>>612
証明すべき等式の右辺を
　C(2n,n) + Σ[0≦k≦n-1] + Σ[0≦k≦n-1]
と分けて第３項を変形。2n-k=k'と変換すると
　C(2n,k) = C(2n,2n-k)= C(2n,k')
　cos(2(n-k)θ) = cos(2(-n+k')θ) = cos(2(n-k')θ)
より、第３項 = Σ[n+1≦k'≦2n](C(2n,k')*cos(2(n-k')θ)) だから
　右辺 = Σ[0≦k≦2n](C(2n,k)*cos(2(n-k)θ))

Σ[0≦k≦2n]C(2n,k)*cos(2(n-k)θ) + iΣ[0≦k≦2n]C(2n,k)*sin(2(n-k)θ)
= Σ[0≦k≦2n]C(2n,k)*{cos(2(n-k)θ)+isin(2(n-k)θ)}
= {cos(2nθ)+isin(2nθ)}*Σ[0≦k≦2n]C(2n,k)*{cos(-2kθ)+isin(-2kθ)}
= {cos(2nθ)+isin(2nθ)}*Σ[0≦k≦2n]C(2n,k)*{cos(-2θ)+isin(-2θ)}^k
= {cos(2nθ)+isin(2nθ)}*{1+cos(-2θ)+isin(-2θ)}^{2n}
= {cos(2nθ)+isin(2nθ)}*{1+cos(2θ)-isin(2θ)}^{2n}
= {cos(2nθ)+isin(2nθ)}*{2cos^2(θ)-2isin(θ)cos(θ)}^{2n}
= {2cos(θ)}^{2n}*{cos(2nθ)+isin(2nθ)}*{cos(θ)-isin(θ)}^{2n}
= {2cos(θ)}^{2n}*{cos(2nθ)+isin(2nθ)}*{cos(-2nθ)+isin(-2nθ)}
= {2cos(θ)}^{2n}
実部、虚部を比較して、
Σ[0≦k≦2n]C(2n,k)*cos(2(n-k)θ) = {2cos(θ)}^{2n}
Σ[0≦k≦2n]C(2n,k)*sin(2(n-k)θ) = 0

(((バウムクーヘン積分))
http://www.milkcafe.net/cgi-bin/readres.cgi?bo=rikei&vi=1044792415&rm=100

>>640
長助がどこかでｱｻｰﾘ証明してたな･･･

極簡単な問題なのですが
Ｙ＝｜Ｘ−Ａ｜+｜Ｘ−１｜のグラフを書け

と言われたとき、初めに
Ａ＞１、Ａ＝１、１＞Ａ＞０、Ａ＝０、０＞Ａ＞−１、Ａ＝−１、Ａ＜−１
に区別した後Ｘの範囲でグラフを書けばいいのでしょうか？
一応グラフは出来たのですが、何分解答が存在しないので自身がありません

>>637
thanx!

　　X　　
───　≧１
１＋２X

これってどうやって解くの？
両辺に　１＋２X　をかけるのは符号が分からないからだめなんですよね？
ネタじゃないです。できれば至急レスしてください。

すみません。
x/(1+2x)≧1　でした。

両辺に(1+2x)^2をかける

>>646
ｻﾝｸｽ

>>642
Ａが１より大きいか小さいかで分けてるのはあってる
０とかー１とかはどっから登場してきた？

等比数列の一般項を求める問題で
1+16{1-(1/2)^(n-1)}が
17-{1/2^(n-5)}になる計算過程が分かりません。
詳しく教えてくれませんか？

特に2^(n-5)になるのはどうしてですか？

2^(n-1)
= 2^4・2^(n-5)
= 16・2^(n-5)

16を中に入れてるわけやね

>>650 1+16=17これと
16*｛(1/2)^(n-1)}＝{(1/2)^(-1)}^(4)*(1/2)^(n-1)=(1/2)^(-4)*(1/2)^(n-1)
=1/2^(n-5)

sinｘ＝ｓ cosｘ＝ｃ tanｘ＝ｔ とします（面倒くさいので）

ｆ(x)　＝１／ｃ　−２ｔ　−２ｘ　・・・�@　　　の両辺微分すると

ｆ´(x)＝ｓ／ｃ^2　−２／ｃ^2　−２　・・・�@´になるよね？

>>653
なるよ
できればもうちょい括弧を使って欲しかったけど

ありがとうございます。
以後、(　)をうまく使うように努めます。

ｆ(x)　＝１／ｃ　−２ｔ　−２ｘ　・・・�@

ｆ´(x)＝ｓ／(ｃ^2)　−２／(ｃ^2)　−２　・・・�@´

で、ｆ(ｘ)の最大値（ただし、０≦ｘ≦２／π）を求めたいのですが、
�@´の変形がうまく出来なくて、ｆ´(ｘ)＝０の値が出ないの。
分母の　ｃ^2　がどうにもこうにも…。

�@´　⇔　［ｓ　−２　−２(ｃ^2)］　／　ｃ^2

までは、変形できたんですが、この後はどうすればいいのでしょう。
増減表以下は自力で出来ると思いますので、そこまでの過程、�@´の変形をお願いします。

>>656
普通に　c^2=1-s^2　を使って二次関数の解の公式じゃ駄目なのか。

>>656分子は常に負みたい。

>>648
Ａ＞０とかまったく書いてないから
グラフで表わしたときにん？って思ったからなんだけど

今思えば−１って全然関係ないね
じゃあＡ＞１、Ａ＝１、Ａ＜１でいいってことですか？

ｘの区間は２分のπまで？

>>659
うんＯＫ
０は，言いたいことは分かるけど，気にしなくていいかと
グラフの外形は変わらないので

>>651
ありがとうございます。
多分理解できました。
8*2^(n-1)を変形すると2^(n+2)に、
9*{1/3^(n+1)}を変形すると1/3^(n-3)になりますよね？
>>652
ありがとうございます。
でも{(1/2)^(-1)}^(4)*(1/2)^(n-1)にどうしてなるのか分かりませんでした。

>>658　そう言われてみると、分子は常に負で、分母は常に正ですね。
　　　　　でも、それって関係あるのかなぁ。　

>>660　０≦ｘ≦π／２でした。分母子が逆でした、ごめんなさい。

>>663
０≦ｘ＜π／２　じゃなくて本当に　０≦ｘ≦π／２　？

もしかして、ｃ^2＝０(分母が０)だとまずいから、分子＝０の場合を考えるのかな？
そうだとすると、

分子：　ｓ　−２　−２(ｃ^2)　＝０　　で、ｃ^2=１−ｓ^2　より
　
⇔　　ｓ　−２　−２(１−ｓ^2)　＝０
　
⇔　　ｓ　−２　−２＋２ｓ^2　＝０
　
⇔　　２ｓ^2　＋ｓ　−４　＝０

⇔　　ｓ＝−１±√３３　／　２　　（！？）

⇔　　。・゜・(ノД｀)・゜・。

>>664
はい。確かに両方の不等号に「＝」がついてます。

>>665
いや、ただ単にx=π/2の時f(x)が定義されないんじゃないかなぁ、と思っただけ。
分子は常に負だと思うよ。

>>665 あの、、、。sinのとりうる値はー１〜＋１までですよ、、、。

ついでにいうと[0,π/2）で、f'(x)は常に負だから、f(x)は単調減少
するので、求める最大値はf(0)=1じゃないのかな？
ｘ＝π/2 では、定義できない。

>>666
普通に、
f(x)はx＝0のとき最大値１をとる。
じゃあかんの？
>>667
俺もそう思う。x＝π/2は定義域から外れないと変。

実際の問題はこれで、（３）の途中でギブアップなのです。

ａ＞１とする。座標平面において、曲線ｙ＝ａ・cosｘ（０≦ｘ≦π／２）をＰとする。
Ｐとｘ軸、ｙ軸とで囲まれた部分を直線ｙ＝１で２つの部分に分けたとき、
上部の面積をＳ1、下部の面積をＳ2とする。
（１）直線ｙ＝１とＰの交点のｘ座標をｔとするとき、ａをｔの式で表せ。
（２）Ｓ1をｔの式で表せ。
（３）ａ＞１の範囲でａを動かすとき、ｆ(ｘ)＝Ｓ2−Ｓ1を最大にするようなａの
　　　値と、ｆ(ｘ)の最大値を求めよ。


（１）交点は(ｔ、１)と表せて、これをＰに代入すると、１＝ａcosｔ　∴ａ＝１／cosｔ

（２）Ｓ1＝∫[t 0]ａ・cosｘ dx　−１・ｔ　　　　（∵１・ｔ＝長方形Ｓ2の面積）
　　　　 ＝tanｔ　−ｔ

（３）Ｓ2＝∫[π/2 0]ａ・cosｘ dx　−Ｓ1　　より

　　　ｆ(x)　＝１／ｃ　−２ｔ　−２ｘ　・・・�@

　　　ｆ´(x)＝ｓ／(ｃ^2)　−２／(ｃ^2)　−２　・・・�@´

> 8*2^(n-1)を変形すると2^(n+2)に、
> 9*{1/3^(n+1)}を変形すると1/3^(n-3)になりますよね？

答えが合っているかだけでもいいので誰か教えてくれませんか

　ｆ(x)　＝１／ｃ　−２ｔ　−２ｘ
たぶんここが違う。

ｆ(x)　＝１／ｃ　+２ｔ　−２ｘかと。
間違ってたらスマン。

>>671の（３）の解答の最後の２行目を訂正します。
問題文のｆ(ｘ)もｆ(ｔ)に訂正なり。

ｆ(t)　＝１／ｃost　−２tan t　−２t　・・・�@

ｆ´(t)＝ｓ／(ｃos^2 t)　−２／(ｃos^2 t)　−２　・・・�@´

(3)でf(x)はひょっとしてf(a)かf(t)じゃない？

あーごめん、訂正と被った。

ｆ(t)　＝１／ｃost　−２tan t　+２t

>>673様、ご指摘ありがとうございます。
訂正完了したものを、また書きこみます。ご迷惑おかけします。

>>671 (2)まちがってません？長方形ってどこ？
>>672 上はあっているが下は違う
下は「３のn+1乗分の１」と「３のn-3乗分の１」だよね？

訂正完了ﾜｼｮｰｲ

ａ＞１とする。座標平面において、曲線ｙ＝ａ・cosｘ（０≦ｘ≦π／２）をＰとする。
Ｐとｘ軸、ｙ軸とで囲まれた部分を直線ｙ＝１で２つの部分に分けたとき、
上部の面積をＳ1、下部の面積をＳ2とする。
（１）直線ｙ＝１とＰの交点のｘ座標をｔとするとき、ａをｔの式で表せ。
（２）Ｓ1をｔの式で表せ。
（３）ａ＞１の範囲でａを動かすとき、ｆ(t)＝Ｓ2−Ｓ1を最大にするようなａの
　　　値と、ｆ(t)の最大値を求めよ。


（１）交点は(ｔ、１)と表せて、これをＰに代入すると、１＝ａcosｔ　∴ａ＝１／cosｔ

（２）Ｓ1＝∫[t 0]ａ・cosｘ dx　−１・ｔ　　　　（∵１・ｔ＝長方形Ｓ2の面積）
　　　　 ＝tanｔ　−ｔ

（３）Ｓ2＝∫[π/2 0]ａ・cosｘ dx　−Ｓ1　　より

　　　ｆ(t)　＝１／ｃost　−２tan t　＋２t　・・・�@

　　　ｆ´(t)＝sint／(ｃos^2 t)　−２／(ｃos^2 t)　＋２　・・・�@´

>>679俺の勘違い。長方形ってそういう意味ね、、、。

あと、tanと変数のtが激しく紛らわしいんでここでは省略せずにと書くと、

S2-S1
=∫[π/2 0]ａ・cosｘ dx　−(tanｔ　−ｔ)-(tanｔ　−ｔ)
=1/cost-2tant+2t
じゃないかと。

赤玉5個、青玉3個、白玉4個が入った袋から、4個の玉を同時にとり出すとき
赤玉が2個以上とり出されるのは何通りあるか。

という問題で、

赤玉が2個以上取り出されるのは、赤玉2個と残りの赤3個、青3個、白4個の中から2個取り出す場合だから
5C2・10C2　通り

とやってはいけないのはなぜですか？

>>679
下のほうの問題を間違えました。
9*{1/3^(n+1)}は9*{1/3^(n-1)}の間違いです。
答えは合ってますか？

>>683
うまく言えないけど、赤２個、赤３個、赤４個（つまり全部赤）って
ずべて場合分けしないとダメなのだ。

でも、この場合、余事象使ったほうがいいね。

>>683
「互いに区別できない赤玉五個入った袋から、赤玉を２つ取り出す方法は何通り有るか」
って問題だったら迷わず１通りだろ？

同じ色の玉を区別しないからじゃない？

>>680今度はきれいにでた。答えはf(π/6)=π/3でa=2/√3かな？

>>687様
おめでとうございます。お見事に正解です。
できれば、�@´の変形をお願いします。増減表は自力で出来ると思いますので。

>>684 OK

s=sint,c=cost

(f'(t)の分子)=(s-2+2(c^2)=s-2+2{1-(s^2)}=s(1-2s)
sint=1/2,すなわちt=π/6のときf(t)は極大かつ最大

ひょっとして>>683に関する俺の解釈は間違ってるのか。

>>689
サンクスです

>>688分母はcos^2t(コサイン２乗ｔ）でまとめてみると、分子は
sint-2+2cos^2t＝sint-2+2(1-sin^2t)＝sint(1-2sint)
となる。

>>685
>>686

う〜ん、場合分けしてやれば解答が導けるのは分かったのですが、
さっきの求め方にすると、どうして違う数になってしまうのかよく分かりません。
ぱっと見は間違ってないような気がするから余計に気になる。

>>694
最初に5C2で選んだ赤玉２つと、
その次の10C2で選ぶ(かもしれない)赤玉が区別できないからじゃないか？

C[12,4]-{(赤玉１個の場合）+(赤玉０個の場合）}

>>693
その式になりました♪
でも、sint＝０のとき、つまりt＝０のときはダメなんですか？
グラフを見ると、明らかにダメそうだけど、ただそれだけの理由でダメなのかなぁ。

３つの区別できる玉から２つを選ぶ方法、っていわれて、
まず一つ選ぶ方法は3C1=3通り、
次に残り２個から一つ選ぶ方法は2C1=2通り、
だから、３つの玉から２つ選ぶ方法は6通り、って言われたら流石に違うと思うだろ？

先ず、女＝金×時間と定義する。

次に、時は金なりという格言に則り時間＝金とする。

つまり、女＝金×金＝金の二乗となる。

そして、お金は悪の根元（ルート）であるからして、
金＝√悪

すると、女＝（√悪）^2となる。

これを解すると女＝悪となる。

>>697え、どういう意味？f'(t)はtが[0,π/6]の時は正で[π/6,π/2)のときは
負だけど、、、。ちなみにf’(0)=0

「金と言えば借金です」って人には通用しないぞ。

みなさんどうもです。

A）赤玉5個、青玉3個、白玉4個から赤玉2個を選ぶ試行
B）ひき続き、赤玉3個、青玉3個、白玉4個から2個を選ぶ試行

とすると試行Bでは試行Aで選んだ赤玉2個によって残りの赤玉の種類が変わってしまう。
つまり試行A、Bは独立でないから掛け合わすことはできないってこといいんですね！

>>697
t=0の時は分母は０じゃないぞ。

>>700
ｆ´(ｔ)＝sint(1-2sint)＝０　を満たすｔは　ｔ＝０、π／６　で・・・。
ｔ＝０、π／２のとき、面積が０だから・・・。

勘違いしてました・・・。

>>703
をぉ、そうだった。

f'(x)≧０ なら f(x)は単調増加ですか？

>>704
0≦t≦π/6ではf(t)が増える
π/6<t≦π/2ではf(t)が減る
ただそれだけのこと。

>>683 それだとだぶって数えていることにならない？例えば赤球５個に
１，２，３，４，５と番号をふる。最初の赤２個には１、２が入っている
としよう。そして次に３がてにはいったとしよう。これでひとつの組み合わせ
となるけど、最初に１，３を手に入れて、次に２を手に入れる場合は、結果的
にはさっきのと同じだから、これは別の組み合わせと考えることはできない。
つまり、あなたの考えでは、実際の組み合わせよりも多く考えていることになる
とおもいます（本当の答えと比べてみてください）。

ＢＪ様、その他大勢のみなさま。
ご親切にありがとうございました。(･∀･)

置換積分を使う問題ですが

∫t√(t^2+1)dt と∫x^2e^x^3dx
の答えとやり方を教えてくださいお願いします。

>>710 最初のやつはｘ＝ｔ^2+1とおいて
dx/dt=2t より、こたえは1/3*(t^2+1)^(3/2) (２分の３乗）
次のやつは、y=x^3 とすれば、こたえは
1/3e^x^3(eのｘ３乗）。

追加。両方とも積分定数を足しとくの忘れてた。あと、係数は両方
とも1/3(3分の１）。上の答えを微分すると、もとの被積分関数となるはず。
>>709 どういたしまして。

f(x)=(e/x)^logx （ｘ分のeのログｘ乗）　
を微分しなさい。

さっぱりです。

>>713
両辺の自然対数をとろうや。

>>710
積分区間がないってことは、不定積分でいいのかな？
だったら、積分定数をＣとして、
∫t√(t^2+1)dt ＝2/3・t・(○)^3/2　　−√○
　　　　　　　　　＝2/3・t・○・√○　　−√○
　　　　　　　　　＝√○｛(2/3・t・○)−１｝
　　　　　　　　　＝√○(2/3・t^3　＋2/3・t^2　−1)＋Ｃ

注：○は、(t^2＋１)とする。

もう１問は、どこまでが指数だか分からないんだけど…。

↑分かりにくかったらごめん。紙に書けば分かると思うけど。

>>714
はい？

定義域は明らかにx>0
よってf(x)>0
両辺の自然対数をとると
log{f(x)}=(logx){1-(logx)}
これを微分すると
f'(x)/f(x)=1-(logx)-(logx/x)

上のは間違い
ｆ'(x)/f(x)={1-2(logx)}/xか

−１と異なる複素数zに対し、複素数wをw=z/(z＋1)で定める時、
zが複素数平面の虚軸上を動く時のwが描く図形を求めよ

z=w/(1-w)まではわかるのですが、ここからわかりません。教えてください。

>>711さんありがとうございます

>>718
ありがとうございました。なんとか分かりました

>>720
w=a+bi(a,bは実数)
z=ti(tは任意の実数）とおく

(1-w)ti=w
{(1-a)-bi}ti=a+bi
bt+(1-a)ti=a+bi

a=bt
(1-a)t=b→(1-bt)t=b
b=1/{1+(t^2)}
a=t/{1+(t^2)}

b=(b^2)/{(a^2)+(b^2)}

・b=0のとき　a=btからa=0
・(a,b)≠(0,0)のとき
b=(b^2)/{(a^2)+(b^2)}→(a^2)+{b-(1/2)}^2=1/4
これは(a,b)=(0,0)も含む

以上から
中心(1/2)i,半径1/2の円

だと思う

あっと>>715さんもありがとうございます。
えっとあの問題は
∫xの２乗*eのx３乗(言い方分からないので>>711さんの表現を借りました
なんて言えばいいのか分からないので、ごめんなさい。

>>720
w=z/(z+1)
z=w/(1-w)　(w≠1)

w≠1のとき
zが虚軸
⇔　(zi)が実軸
⇔　(zi)=(zi)の共役=(zi)~
⇔　wi/(1-w)=(wi/(1-w))~
⇔　|w-(1/2)|=1/2

wは中心(1/2)　半径(1/2)の円　ただし1を除く

>>BJ氏
とても分かりやすい例えをどうもありがとうございました。
その考え方を忘れないようにやっていきます。

今日のこの板で、ＢＪ様は大活躍だね(･∀･)ｲｨ!

>634
そうだな、for all xって使われてるよな。
名詞の単数形にall　がつくのは、別の意味になるような気がしたんだよ。
for all elements x のことだと思えばいいのかな？
それとも、x　は単数形ではないのかな？
とにかく、使われている言い回しなので、>633　は取り消す。
ｽﾏｿ

>>661
ありがとう

数列｛ａn｝がａ1＝２，ａn+1＝ａn＋３ｎ＋２（ｎ≧１）を満たすとき，一般項ａnを求めよ。

という問題なのですが、これを等比数列に帰着させる方法を教えて下さい。

>>730
b(n)=ａ(n+1)-ａ(n)

　　ａ(n+2)=ａ(n+1)+3(n+1)+2
-)　ａ(n+1)=ａ(n)　+3n　　　+2
------------------------
　　b(n+1)=b(n)+3

これじゃ等比数列にはならん…

別に等比数列に帰着させなくてもできるけど、、、。
Bn+1-Bn=3n+2
Bn -Bn-1=3(n-1)+2
・
　　・
B2-B1=3・1+2 （＋　　
----------------

よって、
Bn+1-B1=3(1+2+・・・+n)+2×n
よってBn+1=3n(n+1)/2+2(n+1)
ゆえにBn=(3n+1)n/2
ちなみに問題のanがBn。添え字を見やすくした。

Bn+k=(Bn)+k
Bn+k=B(n+k)
この区別がつくような表記推奨

>>734 はい

厨房レベルの質問ですけどいいでしょうか？

-2≦3k-2/k-3が(5k-8)(k-3)≧0と変形されたり、

3k-2/k-3≦0が(3k-2)(k-3)≦0となるのは何ででしょうか？

本気でわからないです

つーかならない

不等式は負の数を掛けると向きが逆になっちゃう。
掛ける数（この場合k-3）の正負を場合分けすればいいんだけど、
面倒なので正の数である(k-3)^2を掛けて式変形してるだけ。
あと掛けた後にk≠3を忘れないこと。

第１式について、、、。
まず両辺に２を足して（＝ー２を右辺に移項して)分母をk-3にまとめる。次に両辺に（k-3)^2(>0)
をかければ所望の形となる。
第２式について、、、。
両辺に(k-3)^2(>0)をかければよい。
ただし、この問題ではkは３以外の実数とする。

おもいつかねぇよ！っておもったら、
a/b<0　のとき
a>0かつb<0 または
a<0かつb>0 よって
ab<0
って考えてもいいよ。割って負ならかけても負、と。
まぁ同じ事ﾀﾞｶﾞﾅｰ

数学記号や表記法で悩んでいるならまずは数学板に逝け。
http://science.2ch.net/math/

平面上で、距離が３である２定点A、Bに対して
（２AP↑＋BP↑）・BP↑＝９
を満たす動点Pがある。ただし、・は内積を表す。
（１）　点Pの描く図形を求めよ。
（２）　内積AB↑・AP↑のとり得る値の範囲を求めよ。

よろしくお願いします

どうもありがとうございます。>>740のやり方も参考になりました。
けどたとえば最初の式で普通に分母を左辺にもってって
-2k+6≦3k-2より8≦5k→8/5≦k

とやると答えが不完全になるのは何ででしょうか？この変形自体おかしい・・・？

>>743
だからそれを防ぐためにわざわざ2乗をかけてるんだってば。

-2≦3k-2/k-3　　は
k-3>0 のとき　-2(k-3)≦3k-2
k-3<0 のとき　-2(k-3)≧3k-2
kに具体的な数字入れて確かめてみて

>>640
バウムクーヘン積分って何でつか？
有名なの？

>>742できたよ。ちょっとまっててね。

>>742
A(0,0) B(3,0) P(x,y)とでも置いて内積計算すれ

>>742
BP↑=OP↑-OB↑,AP↑=OP↑-AP↑とおいたらできると思われ。
あとは|OA↑-OB↑|=3の両辺を二乗するとか

Ａを始点においてもできるかも

>>745
かなり

0≦内積≦12 でいいのかな？(2)は

上は8か

>>742 最善の方法じゃないかもしれないけど、一応。
今、題は、A(0,0)B(3,0)P(x,y)とおいても、一般性は失われない。
このとき、AP↑＝（x,y),BP↑＝（x-3,y)
よって、与式は、計算すると、(x-2)^2+y^2=2^2
以上より、求める答えは、ABを２：１に内分する点を中心とした、半径２の円・・・（答え）
となる。
また、（２）は内積を計算すると、３ｘとなるので、（１）より
０以上１２以下・・・（答え）　となる。

>>BJさん
早速のレスありがとうございます。
大変助かりました。

積分I＝∫ｄθ/(２＋cosθ)　：∫の範囲０〜２π
これが分かりません。教えてください。

iのi乗を満たす全てのθを求めよ。これもお願いします。

>>744
負の値の分母をもう片方の辺にかけると符号逆転するんですか？
分母に限らず？

ちなみに７５３の答えは２π/√３になるんですがここ頭良さそうな人が結構いそう
だから聞いてみたんですけど分かったら書きこしてくれたらありがたいです。

>>755
1>0
-1<0

ラジオ終了した。さて、>>753さん、とりあえず、積分の方はできました。
この問題は結構むずかしいですね。積分計算のなかでは一番むずかしい部類なのではないでしょうか。
まず（なぜかシータが変換できないので、ここではyとします）、t=tan(ｙ/2)とおくと、cosy=(1-t^2)/1+t~2で、dy={2/(1+t^2)}*dt
また、積分区間はcosyの対称性から、[0,π]とでき、最後に積分した値を２倍すればよい。
すると、I=2J,J=∫{２/(3+t^2)}dt [0,∞]となり、さらにJにおいてt=√3tanx とおくと、
J=2*∫√3/3dx [0,π/2] となり、これが√3/3πなので求める答えは
２倍して、２π/√3・・・（答え）　となる。

>>744
２を代入すると成り立たないんですが・・

>>758ありがとうございます。これ俺の受ける国立の２次の過去問に第２問に出てました。
誰も解けないですよね・・・？たとえ間違っても。
これって高校レベルなのかぁ〜〜〜？？？
754の答えはどうなるのでしょうか？これも同じく国立の過去問ですが簡単そうで解けません。
とりあえず今日は寝ます。758さんありがとうございました。758さんって高校生？同じ高校生とは思えないっす＾＾；

>>759
だーかーらっ
-2≦(3k-2)/(k-3) であることと
k-3>0 のとき　-2(k-3)≦3k-2 かつ
k-3<0 のとき　-2(k-3)≧3k-2 であることが同値だって言ってるの。
元の不等式を成り立たせないkを代入すれば下の式が成り立たないのは当たり前。
k-3<>0 は解じゃないの。わかった？

>>754ってどういう意味？

ちなみに754は答えが書いたのを持ってないんですよ。過去問のコピーの手違いで。

問題の意味がわからん・・・

なるほど！付き合ってくれてありがとうございました。ここは素晴らしいインターネットですね

>>762う〜ん・・・　それが分かれば解けるんですが・・・
虚数を虚数回かけるってどういう事かなぁ〜〜〜
数学的な意味を見出せない・・・・

皆さんも国立の追い込みかな？？？
もう少しなんで気合入れて頑張りましょうね＾＾

じゃあ、分母に文字が入ってる不等式はとりあえず分母を二乗した奴
を両辺にかけるやり方でやった方が無難ってことですね

iを虚数単位として、
α=i^i　であるときargα=θを満たすθを全て求めよ

ってことか・・・？

そういう事かも。。。。

>>754 こっちのほうはあっている自身がありません、、、。
z=i^iとする。両式に自然対数を底とすると、
Lｎｚ＝iLniとなる。すると、e^(Lnz)=z=e^(iLni)となる。
ここでオイラーの公式より、e^(iy)=cosy+isiny なので、
y=π/2+2πn（ｎは整数）とおくと、i=e^(π/2+2nπ）となるので、
Lni=i(π/2+2nπ) よって、
z=e^(π/2+2nπ）すなわち実数（！）となるので、
arg(z)=nπ（ｎは整数）・・・（答え）　となる。

なんか国立の２次解いてると頭が破裂しそうだ・・・・
大学の教授らは俺たちが高校で数学何勉強してるのか知ってんのかな〜、、、

>>768
分子分母ともに多項式だったら、割り算もよし。

(3k-2)/(k-3)=3+{7/(k-3)} と変形すればすぐできる

>>771
＞y=π/2+2πn（ｎは整数）とおくと
って、置けるのか？

>>774 こうおくと、cosのほうは０になり、sinのほうは１になる。

>>771ありがとうございます。今日の午後本屋で解答見てきます。言ってる事は
分かります。赤本の解答例って雑なんでよく分かんないんですよね。
771さんは高校生？そうだったら尊敬します！

>>776
ｽﾏｿ、うまく伝わってない
yの候補がπ/2+2πnのみであるのは何故？

>>777は>>775へのﾚｽ

あ、
i=e^i(π/2+2nπ） か。ごめん勘違いしてた。

>>777　別にy(角度、実数）の候補ならいくらでもあるけれど、いま求めたい
のはあくまでiなわけで、じゃあiを求めるにはどうすればいいか、、、と考えると
図を描けばこれしかないことがすぐわかると思う（ちなみにe^iyは複素数平面上では、単位円周上に存在する）。

しかし、この問題をだした大学はどこなんだろう？予想としては地方の国立
の単科医科大学かな？

行列は書きにくいな・・・。

(11 2)(x) =19(a)
(18 5)(y)　　(b)

x,yが互いに素 ⇒ a,bが互いに素

を示せなきゃやばい？？？やばいんだけどどうしよう

方針だけでもたのんます。１次不定方程式の問題です。

>>782
対偶

¬x,yが互いに素 ⇒ ¬a,bが互いに素

を示せってことですか？

>>781ずばり予想的中です。医学部受験です＾＾；
今日はお世話になりました。じゃ今日は寝ます。

>>782
コレ行列に見えるけど展開して成分比較の整数問題じゃね？互いに素ってのは分数の形にすれば出来たっけな？眠いんであとは任せますm(__)m

>>785
おちけつ

おつけつません。タスケテクダサイ・・・
いや、頑張るわ。

逆、裏、対偶を再確認

ああ、矢印の方向が違ってた・・・。
¬x,yが互いに素 ← ¬a,bが互いに素

でいいんですよね？

確かに、そしたら自明だわ。
サンクスです。

てーか俺頭悪すぎなので回線切って勉強してきます。

　　　_、_
　（　,_ﾉ` ） 　 　　　n　　
￣　　 　 ＼　 　 （ E）
ﾌ 　　　 /ヽ ヽ_／／

ちなみに、これをもっと親しみのある同値の方法論で言うと「背理法」ですよね。
「ああ！背理法を使えばいいのか・・・！」
と、この問題でと思うのってちょっと変だと思った。
なぜなら対偶が自明だから。

ここで背理法は回りくどいというか・・・

>>782 整数は苦手だ、、、。これも自身ないが。
与式を解くと、ｘ＝5a-2b,y=-18a+11b
となる。ここで、aとbは公約数をもつ、即ちa=Ag,b=Bg(gは１以外の最大公約数とする。つまり、aとbは互いに素でないとする。）
すると、x=(5A-2B)g,y=(-18A+11B)gとなる。するとx,yは公約数gをもつことに
なるが、これは、x,yが互いに素であることに矛盾する。
したがって、背理法の原理より、ｇ=1 ,つまりa,bは互いに素■

>>796自信ない、だった、、、。頭が朦朧とする、、、。

その通りですね!!!!!

調子のいいところで、もうひとつお願いしますBJ殿・・・。

x,yを自然数とする。
6x+yと9x+3yの最大公約数は1 or 3 or 9であることを示せ。

もちろん自分でも相当考えたのですが、
最大公約数をdとすると、dが3または9の倍数になり・・・、
みたいなところまではいけたんですが、進展しません。

不定方程式に関するものを見まくってもイマイチ理解が・・・。
お願いします。

追伸：gcd(x,y)=1です。

☆★☆キラキラお星さま☆★☆
http://jsweb.muvc.net/index.html

そして８００げっとです。

うわ。。。

>>638さん
ありがとうございました!!凄くわかりやすかったです!!
あと、お礼の返事が遅くなってごめんなさい。

質問しておいてアレですが、なんとか考えてみて、９５％解決しました。
後は何とかなりそうです。
お騒がせしました。

そして、１００％解決しました。

>>771 訂正。z=e^(π/2+2nπ）はz=e^{-(π/2+2nπ}。i^2を忘れてた。
また、i=e^(π/2+2nπ）は、i=e^i(π/2+2nπ）。

>>798一応解いたからのしとくね。
9x+3y=3(3x+y)と6x+yの最大公約数を求める。
ユークリッドの互除法より、6x+yと3x+yの最大公約数は、
6x+y=(3x+y)+3x、3x+y=(3x)+yより、3xとyの最大公約数に等しい。
（１）yが３の倍数でないとき、g.c.d(x,y)(以下、単に括弧だけを書くとする）=1
なので、（３ｘ、ｙ）＝１．すなわち、与題の２つの式の最大公約数は１
（２）ｙが３の倍数であるとき、ｙ＝３ｋ　とすると、
６ｘ＋ｙ＝３（２ｘ＋ｋ）、９ｘ＋３ｙ＝９（ｘ＋ｋ）
となり、（１）と同様にすれば、（２ｘ＋ｋ、ｘ＋ｋ）＝（ｘ、ｋ）
となり、（ｘ、ｙ）＝（ｘ、３ｋ）＝１なので、（ｘ、ｋ）＝１
ここで、２ｘ＋ｋが３の倍数であれば、最大公約数は９となり、そうでないときは３となる。
（１）、（２）より題は示された■

ageてみる

点(0、p)を通り、放物線y=(1/4p)x^2と2点Ａ、Ｂで交わる任意の直線を考える。
Ａ，Ｂを通る放物線の接線は互いに垂直であることを示せ。ただしp≠0とする。

この問題なんですが点Ａ、Ｂは放物線上にあるのかそれともないのか
日本語すらわからないのですが、どなたか解き方を教えてください

バームクーヘン積分使ってもOK？
ﾔｳﾞｧｲとかいてる香具師いたんだけど。

>>809 放物線の係数が４P分の１なら、次のようになるとおもいます。
ちなみに、A,Bは放物線上にあります。
A(a,a^2/(4p)),B(b,b^2/(4p))とおく。
このとき、直線ABの傾きは（BとAのｙ座標の差）/(BとAのｘ座標の差）　＝（a+b)/(4p)
よって、ABの式は、ｙ＝(a+b)(x-a)/(4p)+a^2/(4p)
これが（０、P)を通るので、ab=-4p^2 ・・・（１）　という関係式がでてくる。
一方、A,Bで接する直線の傾きは、それぞれa/(2p),b/(2p)となる（微分を使った）ので
その積は、（１）とから、−１となり、これは２接線が直交することにほかならない■

>>809
点Ｐ（0,p)を通り、放物線y=(1/4p)x^2と２つの共有点をもつ直線を
y=mx+pと表す

2つの方程式からyを消去し整理すると
x^2-4mpx-4(p^2)=0…�@
�@は２点A,Bのx座標α、βを２解にもつので
解と係数の関係より
α+β=4mp αβ=-4(p^2)…�A

放物線の微分係数について　y'=(1/2p)x

C上の２点A,Bにおける接線の方向ベクトルはそれぞれ
n1↑=(2p,α),n2↑=(2p,β)と表せる
n1↑・n2↑=4(p^2)+αβ=4(p^2)-4(p^2)=0（∵�A）
よって　n1↑⊥n2↑

以上からＡ，Ｂを通る放物線の接線は互いに垂直である

>>810
バームクーヘンの大雑把な証明をしてから使ったほうがいいのでは

誰もいないのか？

∫x^2/(x^4+1)^2dx :∫の範囲−∞〜∞　
この積分が分かりません。答えは√２π/８になります。
先生に聞いても後で考えとくと言われてまだ教えてもらってません。分かんなかったのかなぁ〜？？？
誰か数�V得意な人がいたら教えてください。

>>811さん、>>812さん
ありがとうございました。

>>811さんの（１）のところまでいったのですが
やり方が逆でまず互いが垂線であると仮定して解いていたので
そこで行き詰まってしまいました。

そのまま解くのとベクトルで表す方法があったんですね！
(0.p)が直線の切片になることに気づけませんでした。
ご協力感謝致します。

>>814
先生はやり方知っていると思うよ。
ただ高校数学の範囲では教えようがないと。

>>812
ﾔﾊﾟ-ﾘｸｰﾍﾝは証明しないとまずいんですか・・・

>>814
ステップ・バイ・ステップ方式で積分を解く
http://www.calc101.com/webMathematica/MSP/Calc101/WalkIj
でやるととんでもない式が･･･

バームクヘーンは使う。減点するような大学には行かなくて良い。

減点する大学。。。まず無いよｗ

>>818
でも、大数でもおおざっぱに書いて使ってるよ？

漏れはﾊﾞｳﾑｸｰﾍﾝ使う問題のほとんど出ない大学受けるから良いけど。

図示してから積分して、引き算すればよい
こんなの減点する教員なんているのかよ〜？

大数は解説しなきゃまずいからね。

>>821
漏れのｶﾞｺｰの先生の友達のＫ沢大学の数学のｷｮｰｼﾞｭが、
なんかﾋﾞﾐｮｳな発現を漏らしたらすぃ・・・

>>823
そうか。
米村さんは講義の時、証明について断らずに平気で使っていたのだが。

米村さんってのは、京大入試をＨＰで紹介されているあの人のことです

>>818
東大で証明させてから
使わせる問題あったよ。

>>818
逆じゃないか？

まともなとこなら、バカの一つ覚えでバウムクーヘン使うヤシは危険と判断するだろう。

>>824
逆に三森師は、放射状分割を証明しない解答を批判しまくってた罠。
米村師と三森師は、予備校教師の中で、一番好きでつ。

>>826
うむ。東大はやっぱ違うな。

>>826
ああ、あったね。

>>829
後期の問題だけどね。

>>828
微妙なのかな？
受けた大学に出なかったからいいけどｗ

>>814
816さんも言ってるけど、それは高校範囲ではありません。
解くなら、部分分数分解＋広義積分ってことになると思いますが・・・

まあ特に議論する気はないよ。しても仕方ないし。
はっきりしてるのは俺は証明しないってことｗ

俺は書くよ。
いきなりボンと数式書かれてて怪訝な顔をする採点官がいるかもしれんし。

採点基準は揃えるから即減点するかしないかどちらか(´Д`)

何れにせよバームクーヘン使わず地道に計算すると、ドツボにはまること多いな。

京大でもy軸周り回転ってあったけど、
漏れは図書いて痴漢積分でもするか･･･

>>833
マジですか。高校の範囲じゃない・・・・・
確かにうちのある数学の先生に聞いたら誰も解けないから気にしなくていいと言われたんだけど
信用していいの？？？　あと何日もないんだけど・・・

あとここで物理の質問したらダメですよね？？？

>>839
lim｛a→∞、b→∞｝∫｛a→b｝dx 〜

のことを言っているのと思われ。大学の解析学でやるよ

>841は

a→−∞

に訂正

>>840
駄目ってことはないと思うけど・・・
ちょっと人気のない質問スレならあるよ。

今、解こうとしてる物理の磁界のコイルの問題でrpmっていう単位が出てきてるんだけど
何これ？？？

>>814
それはいったい何の問題？

>>814
大学２年生でやるよ。
複素積分によって実積分を求める。

>>844
１分間に何回回転するか。

>>846
留数定理か、スマソ

>>845
国立２次の過去問です。とりあえず全国各地の２次の過去問を解いてます。
でも国立２次の過去問って悪問が多いからほどほど程度にしとけよと言われてます＾＾；

道理で見たことないと思ったｗ

で844の意味分かりますか？？？

で814問題は受験生は誰も解けないから分からなくていいと言うことですか？

あっ　847さん　ありがとうございます。

そもそも積分の両端に∞が入っている時点で高校の範囲を（以下略）。

>>841-842参照。a,bは＜∞な実数

>>847
でも公式に代入する時は秒単位だから分を秒に変換するんですよね？

>>855
うん。
だから受験数学だとlim[a→∞]{∫[-a,a]f(x)dx}という表現をするはずなんだよなあ。

>>849
そんな問題出すとこあるんだ。すごいね。

>>857
だから悪問なんでしょ？ｗ

>>858
金沢とかだったりするよｗ
俺も物理の悪問をみたことある

もしセンター試験(１次 )だったら高校で習ってない事を出題したら大問題になりますよね。
２次はそんな事にはならないんでしょうかね？？？

そもそも２次って誰が作ってるんだろう、、、、
俺の予想だと高校の教科書なんて一度も見たこと無いような人が作ってそう。

>>861
いや、大問題でしょう。
でも、そんなことはまずないよ。
あったとしても解けなくていいじゃん、誰も解けないんだから。
心配ゴム用。

>>862
結構そうだったりするらしい。ｗ
時々課程の変更点を知らないで出題してしまうとか。

>>862
大学の先生が作っていると思われますよ。
でもちゃんと高校の範囲は把握していると思われます。

>>865
把握した上で、範囲外の出題をした、去年の京大文系数学・・・

いきなり、
∫x^2/(x^4+1)^2dx :∫の範囲−∞〜∞
をとけ、ってだけの問題だったの？

各出版社の教科書及び過去問が支給されるような。

そうですか。ありがとう＾＾
でも金沢大学って地方の大学のくせに偏差値結構高いよね。受験七不思議の一つ。

>>866
ま・・・、まじすか・・・・・？
でもまぁ京大の数学は解けなくてokよ。
噂によると現役京大生に出して解けないような問題を出題するらしいからね。

>>866
あれにはﾜﾗﾀ
しかも開き直ったし、あの積分問題。理系は解けるけど、、、文系志望者は・・

>>869
もしかして金沢大だったの？
あそこの過去門結構難しい。京大ほどじゃないだろうけど

<<867 そうだよ。
と言うか休憩で２ちゃんやってた筈なのにもう１時間経ってるよｗ
なんか今日はもう勉強する気がなくなってきた・・・・

まぁ、高校の範囲を逸脱していても、みんな同じ条件なんだから

金沢大って旧制第四高等学校と呼ばれてるらしいから
プライドがあるんじゃないの。

>>871
何せ教授が、
「積分をやっておいて、体積の求め方を知らない等とはナンセンス。
発展事項として掲載している教科書もあることから、この際出題に踏み切った」
とかいうぐらいだもんね。
理系の典型問題を、文系に出題したら、文転にさぞ有利だったろうなぁ。

でもセンターで失敗した人達って２次で超難問解いて逆転しなきゃいけないから
きついよね。

>>876
それでも、受験生は結構デキタと思うけど？

>>877
上位大学はセンターほとんど関係なしなので、
どちらにしても二次はがんばらなければならない。

>>877
2次と言えども、京都東京でも２問ないし３問くらいは稼がないと、
センター成功してても落ちるよ。
比率少ないしね。

たった今、ロピタルの定理を習得しました。
これ、記述式の本番使っていいのかな？

僕が想うに高校の科目で一番簡単なのって物理だよね。センターの過去問解くたび
に思うけど簡単すぎｗ　あんな問題じゃ物理で差をつけるのって難しいよね。

>>878
大数の受験報告的には、出来なかった人が居たよ。
上位進学校の生徒なら、関係なく出来る香具師もいそうだけどね。

今年難化らしいのでｺﾜｰ

ロピタルはバウムよりもまずいでしょ。

>>882
センターの過去問程度で簡単だと思うと、２次で死ぬけど、
やっぱり楽な科目ではあるｗ

>>881
駄目。あまりに露骨過ぎて、例え証明書いても、良い印象は与えないと思われ。

>>881
使っちゃダメ。あくまでも検算用です

>>883
出来なかった人いたのか〜。でも、某チャートには載せてあるんだけどねｗ

でも今日はrpmを誰かに教えてもらったので２ちゃんが役立った。とりあえず
あの積分は東大受験生でも解けないという事でOKですよね？

>>887
誘導なしなら、解く必要ないよ。合格には影響しない（こんなこと言ったら大学の先生怒りそうｗ

>>881
ほんとにそれしか方法がなく、
それを求めるのがメインの問題でなかったら
何も書かずに(ロピタルよりとかは×)求めておく。

>>887
東大受験生や京大受験生を舐めてはいけない。
そのレベルともなると、何故か解ける変態が居るモンだ。
というか、教養課程の勉強は既に独学で終了してる香具師とかもいるしｗ

でも、普通は出来ないでしょ。

>>890
東大や京大となると、既にランダウの物理書を読むらしいｗ
ディラックとかｗｗ頭がオカシイ。俺には理解できないﾎﾟ

あと俺実際のセンターの結果で遊んで東大（何類かは忘れたけど）って書いて
河合塾で判定してもらったらCだったんだけどこれって受けたら受かってたかもしれないって事かなぁｗｗｗ

(・∀・)

おかしいな、、、。さっきの問題留数定理を使うとどうしても
√2π/4 となってしまう、、、。

ちなみに、ディラックは英語で書かれてます。非常に専門で高度です

>>892
トゥリビア先輩が、なま暖かい目で笑ってるよｗ

ロピタルだめか…、便利なのに…　　　　。・゜・(ノД｀)・゜・。

東大生って絶対頭おかしいいよね。俺の高校のある先生が言ってたんだけど
どんなの頭の悪い人でも勉強すれば東大以外は入れるって言ってた。東大は
限られた人の中からしか入れないって。

>>870
でも京大数学系の人は簡単に解けるらしいね。

馬鹿でも成績は上げられます。実例もい（りゃ

トゥリビアセンセーに笑われたので、一旦落ちるよ

>>814 の問題本当に積分区間あってますか？
というか留数定理しっているひと、といてみてください。

誤解(・∀・)

じゃ、勉強に取りかかります。皆さんも頑張りましょう。

留数定理一応知ってるのは俺だけの予感・・

>>898
ぶっちゃけ、京理の方がもっと頭ｵｶｼｲ香具師多そうｗ

>>904 人の話きいてる？

∫[0, 1/2](x^2 + 1)^(3/2)dx

↑この定積分って解けますか？
x=tanθ と置換してみたり色々やってみたんですけど、どうもうまくいきません。

>907
彼はちょっと反応が遅いみたいなんで、待ってあげましょう。
落ちてたらダメだけどｗ

ちなみに、>>753も留数定理でとけますね。この大学の教官はそんなに複素数
が好きなのだろうか、、、。

nは任意の自然数の時、

n^2と(n+1)^2
の間には必ず素数がある　ってのはどうやって証明するんですか？
既出マンセー

トゥリビアってtriviaから取ったの？
雑学マニアですか？

へぇ〜。　へぇ〜。　へぇ〜。　へぇ〜。　へぇ〜。

>>908
√(x^2+1)=x+t と置換するとx=(1/2){(1/t)-t} より√(x^2+1)=(1/2){t+(1/t)}
dx={-(t^2+1)/(2t^2)}dt
x 0〜1/2 で t 1〜(√5-1)/2
(与式)=∫[(1/2){t+(1/t)}]^3・{-(t^2+1)/(2t^2)}dt
　 　=-1/16[(1/2)t^2+3log|t|-(3/2)t^(-2)-(1/4)t^(-4] [1〜(√5-1)/2]

　 　 =1/128[9+11√5+12{log(√5-1)/2}]

・・自信ないな・・・

ところで、本番で使っていいかきわどい道具で、
ユークリッドの互除法ってありますが、どうなんですか？
これ使えるとかなり楽になる問題とか多いので。
（使える問題自体は少ないけど）

>>911
未解決問題やめれ。

>>915
a+bとaの最大公約数はaとbの最大公約数に等しいので、
みたいに何事もなかったかのように書いても何も言われないんじゃない？

>>917
サンクス
あと、俺は面倒くさがりやなんで、
a,bは自然数とか、a,bは正の整数とか書くの嫌いなんだが、
a,b∈N,a,b∈Z
と書きたい。できれば。
ただやはり集合を最初に定義しなきゃまずいかな？
定義すれば確実にOKなんだろうが・・・。有理数が∈Qとか通用しそうにないし。
そんぐらい書けよって話だけど、知っていたら教えてください。

>>915
互除法や合同式は、「知識」的な逸脱度合いはそんなに酷くないので、セーフだと思う・・・

a,b∈Z^+
か、失礼

ﾛﾋﾟﾀﾙやﾃｲﾗｰ展開は定理名をかかず何事もないかのようにかいとけと高校の教師におそわったからﾕｰｸﾘｯﾄﾞもいんでない？

ﾛﾋﾟﾀﾙやﾃｲﾗｰ展開は定理名をかかず何事もないかのようにかいとけと高校の教師におそわったからﾕｰｸﾘｯﾄﾞもいんでない？ﾛﾋﾟﾀﾙは模試でもつかったけど丸もらえたよｗ

ﾅﾙﾎﾄﾞ。

隣り合う二つの整数は互いに素であるって、
断りなしに書いても自明だから減点されませんよね？

>>814の問題とけました、、、。答えはあってました。私がミスしてました。
高校の範囲を明らかに超えてしまいましたが、一応、かきます（かなり自信なし）。
今、z^2/(1+z^4)^2は極として、e^(±πi/4),e^(±3πi/4)をとる。
一般に、∫ｆ（ｚ）ｄｚ（−∞〜＋∞）＝２πiΣResｆ（ｚ）・・・（１）
となるので、この右辺を求めたい。
するとResf(z)=limd/dz[z^2/{(z-e^(3πi/4))(z-e^(-3πi/4))(ｚ-e^(-πi/4))] (z→e^(πi/4)
z=e^(πi/4)
これを計算すると、√2(1-i)/32となる。
同様にして、Resf(z)(z=e^(3πi/4)のほうは、−√2(1+i)/32　となる。
よって、（１）の右辺は２πi×（−√2i/16)=√2π/8・・・（答え）　となる。

トリップテスト

そういえば、物理専門の質問スレないね。

荒れるからじゃない？

こんな時間にまだおきてるひとがいるなんて・・・（笑）。

『解析入門』小平邦彦著
の復刊が決定しました。大学入ったら買いましょう。

http://village.infoweb.ne.jp/~densu/

関数論で関数の正則性、コーシーの積分定理、孤立特異点、留数定理もろもろ
知ってなきゃ解けんのに、あんな積分を高校生・高卒相手に出題するとは舐め腐っとる。

私大ならともかく、国の学習指導要領を本来なら厳格に守るべき国立大がやらかすなボケ。

途中式お願いします。

xy^2+xz^2+yz^2+yx^2+zx^2+zy^2
=(x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz

xy^2+xz^2+yz^2+yx^2+zx^2+zy^2
=xy^2+xz^2+yz^2+yx^2+zx^2+zy^2+xyz+xyz+xyz -3xyz
=xyy+x(yx+zx+yz)+xzz+yzz+zyy+xyz+xyz -3xyz
=x(yx+zx+yz)+y(yx+zx+yz)+z(yx+zx+yz) -3xyz
=(x+y+z)(xy+yz+zx) -3xyz

助かりました。ありがとうございます

国立２次の過去問で質問です。
(x+ysiny/x)-x(siny/x)dy/dx=0と解け。と言う問題があるんですがよく分かりません。
分かる人がいればぜひお願いします。
ちなみに答えは-cosy/x=logx+C C:任意の定数
なんせ学校でもらってる(やってる)過去問なんで解説付きじゃなくて、、、、
ぜひお手数ですがよろしくぅ

>>935
x(siny/x)は途轍もない勢いでsinyに等しい気がするんだが、
括弧の位置はソレで有ってるの？

(x+y(sin(y/x))-x(sin(y/x))dy/dx

神経質に書くとこういう式で良いの？

>>936
y/xはsinのθの部分であるからsinｙにはならないです。ちょっと見にくくてすいません。

あと、x+yがわざわざ括弧の中に入ってるって事は、(x+y)がsinにかかってるのかな。

>>976
はい、そうです。

↑937の式のことです

これは積分で頭をつかえば解けると先生に言われたんですがよくわかりませぬ、、、
と言うか解いたんだけど答えがどうしても合わない・・・・

y/x=uとおくと
y=xuから
dy/dx=u+x(du/dx)

で、xとuだけの式にして解くべし。

取り敢えず(y/x)が臭いのでxで微分してみると、（面倒なのでdy/dxをy'と表記）
d(y/x)/dx = (y'x-y)/x^2
問題文の等式をx^2で割って移項すると、これが利用できて、
1/x = sin(y/x)・(y'x-y)/x^2 = sin(y/x)・d(y/x)/dx
これを両辺xで積分すると、

∫1/x dx
= log|x|+C

∫sin(y/x)・d(y/x)/dx dx
= ∫sin(y/x)・d(y/x)
= -cos(y/x)+C

だから -cosy/x=logx+C C:任意の定数 ではないかと。
ってか「解け」って言われてもどう答えて良いかよく分からない問題ですね。

朝っぱらからトゥリビア発見。

ロピタル大丈夫でしたか、そうですか。
本番で困ったら使うことにします。

同次形微分方程式なんか出すなYO!!

>>947
へー、為になった。
y'=f(y/x)　形の微分方程式は一般的な定石が存在するんだね。

そそ。微分方程式の初歩のほう。

つか、何でトゥリビアしってんだよそんなこと（笑）
理一後期対策か？

>>949
問題でそれやると、
1+usin(u)-sin(u)(u+u'x)=0から
u'x=1/sin(u)-u
で…あれ、こっからどうすれば？

>>950
微分方程式(・∀・)ｲｲ!!

>>951
x+ux sinu-x sinu(u+x(du/dx))=0
1/x=sinu(du/dx)
logx+C=-cosu
cos(y/x)+logx+C=0（Cは任意定数）

あーそっか、f(u)u'の形に持って行ってxで積分すればいいのか。

もう同次形微分方程式なんか怖くないぜ。

じゃあ練習問題。
dy/dx=(ax+by+c)/(Ax+By+C)
ただしa/A≠b/Bで。

要するにアレだろ、どうにかしてxの式を一つに纏めれば良いんだよな。

…わかんないんだが、もう少し頑張ってみよう。

>>956
Ax+By=tとか置いたら、
(t'-A)/B=((b/B)t+(a-Ab/B)x+c)/(t+C)
になっちゃって、もうどうしていいやら。
こんな方針じゃ>>953みたいに綺麗にtの関数とt'がくっつきませんか？

ラグランジュの未定乗数法っぽいから、棄権ｗ

レスがつかないな・・結局難しい積分って意味なんだけどな

なんか、以前このスレでその単語見た気がするぞ。

(1^2)/(2^1) + (2^2)/(2^2) + (3^2)/(2^3) + ･･･ + (n^2)/(2^n)
を簡単にしてください。おまいら、おながいします。

>>961
だってさぁ、

dy/dx=○x〜〜

の形になってないと積分できなくない？

ラプラス演算子

>>964
???

S-rSを2回かな。

2回使うのは初めて見るなぁ

dy/dx=(ax+by+c)/(Ax+By+C)
a/A≠b/B
の答え。

まず、連立方程式
ax+by+c=0
Ax+By+C=0
の解をx=α、y=βとすると、
u=x-α,v=y-βと変数変換する事により
dy/dx=(ax+by+c)/(Ax+By+C)
⇔dv/du=(au+bv)/(Au+Bv)
=(a+b(v/u))/(A+B(v/u))
これは同次形で、変数分離形へ行き着く。しかしこのままv/uを一文字で置換して変形していっても高校の範囲の積分では無理かな。

>>968
要するに、出題ミスだろｗ

v/u=wと置くと
(A+Bw)/(a+(b-A)w-Bw^2)･dw/du=1/u
両辺をuで積分。
さて、左辺を高校の範囲で解くのか・・。

>>970
やめとけ。これ以上…

悪いことは言わん。

しかし、トゥリビア先生は俺よりはるかに賢いんだろうな。ｼｮﾎﾞｰﾝ

と言うわけでヒントだ。
>>970
の左辺の積分について、
1/(a^2+x^2)=1/a･tan^(-1)(x/a)
を既知として解いてくれ。これでこの問題は高校の知識で解けマス。

トゥリビアﾀﾝ期待しているよ。

ミスった。
>>973の左辺に∫dxを乗じて。それから積分定数は省略してあるから。
まあ一つの積分公式だと思ってくれ。

大学生のオナニーも、見るだけならｗ

>>975
よく分からないけど同意。

数式でオナニーできる奴はいいなぁ、羨ましいｗ

ＨＮ間違えた。

トゥリビア先生のことではないよ。
誤解されても困るので、一応ｗ

ミスったかも。
こっちを使うことになるかも、、、
∫1/(a^2-x^2)･dx=1/2a・log(|a+x|/|a-x|)
つうかAとかBとかaとかの文字の大小で結構変わってくるな、、

入試までオナニーは禁止していますが何か？
かといって受験勉強に励んでいるわけでもなく。

・・高校数学難しいなァ。

だから、未定乗数法使ったら簡単に解けるってｗ
悪問。出題者が悪意がありそうなので仕方ないか。

この時期に微分方程式やってもしょうがないだろ。二次試験終わってからにしろ。

そもそもの発端は>>935だけどね。

次スレは？

この前ゲストブックに足跡を残したのは（りゃ

のめむには１０００とらせねえ。

のねむか

>>984
>>935の問題も、微分方程式があったころの旧課程の問題で今の受験生には
関係ないと思うが。受験直前じゃなければ微分方程式勉強するのも悪くないと
思うけど、この時期にやる必要はまったくない。>>935に悪意を感じる。

>>984
かなり旧課程だからだろｗ１９８９より以前だと思われる

>>989
え、あれは別に旧課程の微分方程式知らなくても解けないか？

>>989
あの受験生は変更点わからずに問題やってるからねぇ

993

994

996

996

１０００

次すれ・・・

1000

1000

新しい国ができた
人口はわずか……何人だい？
坊や

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