∫　数学の質問スレ part10　∫

もう一個おねがいします。

k＞０とする。　　Ｃ1；ｘ^2/4＋ｙ^2＝１　　Ｃ2；xy＝k
が第一象限で２つの共有点P、Qをもつとする。このときkの範囲は（ア）である。
P、Qのx座標をｐ、ｑとするとｐ＋ｑ＝（イ）、ｐｑ＝（ウ）である。
いま、PにおけるC1の法線とQにおけるC2の法線の交点をRとする。このときkを用いて
表すと、Rのx座標は（エ）、ｙ座標は（オ）である。ｋを（ア）の範囲で変化させたとき、
Rは方程式ｙ＝（カ）で与えられる図形の(キ)＜k＜(ク)の部分を動く。

全然分かりませんでした…解説おねがいいたします。

> (キ)＜k＜(ク)

kじゃなくてxやyの予感

あっ、そのとーりです
KじゃなくてXでした

ちなみに答えは
０＜ｋ＜１，２√(ｋ＋１)，２ｋ，(３ｋ)/４√(ｋ＋１)，
−(３ｋ)/２√(ｋ＋１)，−２ｘ，０，(３√２)/８
です。

>>602
とりあえずkの範囲は置いといてyを消去してx^2=Xかなんか置いて二次方程式作り。
それがX>0で解を二つもつ条件がkの範囲、解の正平方根がp,q。
法線をpとqで表したら（イ）（ウ）を使って交点の座標がkで表される。
あとは媒介変数kの消去。

>>602
xy=kよりy=k/x
これを楕円の方程式に代入して、x^4 - 4x^2 + 4k^2 = 0 を得る。
判別式＝ 4-4k^2＞0より、1＞k^2
また、xy=k のグラフより、第一象限に交点を持つのは、0 < kのとき。
よって 0 < k < 1

また、解と係数の関係よりp^2 + q^2 = 4、p^2 * q^2 = 4k^2 が成り立つ。
p>0,q>0の範囲でこれを解くと、pq = 2k 、p+q = 2√(1+k) となる。

とりあえず、ここまで。
エとオはわかるよな？

p^2 + q^2 = 4 ＞ 0、p^2 * q^2 = 4k^2 ＞ 0 より解は二つとも正。
↑これを四行目くらいに入れといた方がよかったな。
x^2=tとおいてからやった方が分かりやすかった。

ａ=1＋√2の時a^5+1/a^3+1=p+q√2となる有理数ｐ、ｑは？
立教の一番の一番、基礎問題です。。すまそん
教えて☆

自力計算

>>607の書き方は、けっこうむちゃくちゃだから真似すんなよ。
x^2=tとおくのが無難。

607のあとは、>>606のいうように交点の座標をkで表す。
次のkの消去だけど、見るからに 2x+y=0 だから、面倒な計算は要らない。
あとは、0<k<1 のときの f(k)=(3k)/4√(k+1) の値域を求めれば、それがxの範囲になる。

>>609
普通に代入してシコシコ計算すればできるんだが、
分子と分母は因数分解したのち、a-1をサクサク作っていけば1分くらいであぼーん。

計算合わないよぉーーー

5乗くらいならシコシコでも十分だが

ａ=(1+√2)から(a^2-2a-1)=0を得る
分母分子をそれぞれ(a^2-2a-1)で割った余りを考える

>>591
マセマを捨てることはおれのやってきたことを否定することになるｗ

でけたーーーーー☆★＞＞６１２
ありがと

nを3以上の整数とするとき、次を示せ。
ただし、α=cos(2π/n)+i*sin(2π/n)（ただし虚数単位）
（α~はαの共役複素数ということにしといて下さい）

(1)(α)^k+(α~)^k=2cos(2kπ/n)
(2)n=(1-α)(1-α^2)(1-α^3)・・・(1-α^(n-1))
(3)n/2^(n-1)=sin(π/n)*sin(2π/n)*sin(3π/n)*・・・*sin((n-1)π/n)

どの程度の難易度なのか、良かったら感想お聞かせ下さい。

>>617
昔，自作した問題に似ている・・(´Д｀；)
難易度はやや易くらいかも。。
(1)は漢ﾀﾝなので略して(2)と(3)だけ。α=zとします。

(2)
x^n=1の解は，x=1，z，z^2，・・・，z^(n-1)　であるから，
x^n-1=(x-1)*(x-z)*(x-z^2)*・・・*{x-z^(n-1)}　・・・ア　とおける。
また，x^n-1を因数分解すると，
x^n-1=(x-1){x^(n-1)+x^(n-2)+・・・+1}　・・・イ　となる。
アとイは恒等的に等しいので，
(x-z)*(x-z^2)*・・・*{x-z^(n-1)}=x^(n-1)+x^(n-2)+・・・+1　・・・ウ
ウにx=1を代入して，
(1-z)*(1-z^2)*・・・*{1-z^(n-1)}=n・・・答

>>617
(3)
1≦k≦n-1を満たす自然数kに対して，|1-z^k|を考える。

まず，ド・モアブルの定理より，z^k=cos(2πk/n)+isin(2πk/n)
したがって，
1-z^k=1-cos(2πk/n)-isin(2πk/n)・・・エ

半角の公式，2倍角の公式より，
1-cos(2πk/n)=2{sin(kπ/n)}^2
sin(2πk/n)=2sin(kπ/n)cos(kπ/n)
であるから，
エ⇔1-z^k=2{sin(kπ/n)}{sin(kπ/n)-icos(kπ/n)}　となる。
sin(kπ/n)＞0であるから，

|1-z^k|=2|sin(kπ/n)|*|sin(kπ/n)-icos(kπ/n)|
　　　　=2{sin(kπ/n)}*√〔{sin(kπ/n)}^2+{-cos(kπ/n)}^2〕
　　　　=2sin(kπ/n)・・・オ

ところで，(2)の結果より，
|1-z|*|1-z^2|*・・・*|1-z^(n-1)|=n・・・カ　が成り立つ。

オとカより，
{2sin(π/n)}*{2sin(2π/n)}*・・・*〔2sin{(n-1)π/n}〕=n
⇔{sin(π/n)}*{sin(2π/n)}*・・・*〔sin{(n-1)π/n}〕=n*{2^(1-n)}・・・答

>>617
よければ，追加補題として，
(4) nが3以上の奇数であるとき，|{cos(π/n)}*{cos(2π/n)}*・・・*〔cos{(n-1)π/n}〕| を求めよ。
(5) nが3以上の奇数であるとき，|{tan(π/n)}*{tan(2π/n)}*・・・*{tan(mπ/n)}| を求めよ。
　　ただし，m=(n-1)/2 である。

なんかをどうぞ。2002/10/05の問題からのｺﾋﾟﾍﾟですた・・。

放射性物質がある。この物質の量は崩壊により一日後には0.8倍になる。
この物質の量が最初の1％以下になるのは何日後か？　
ただしlog｛10｝２＝0.3010とする
また立教でーす
よろしくおねがいしまふ

>>614
0で割るんすか

>>618-619
やっぱり簡単ですか……
この手の問題は苦手なので、要補強かなと思っております。

>>620の問題もやってみます。

>>621
a[1]=1
a[n+1]=4a[n]/5

a[n]≦1/100 となる最小のnを求める。

>>621
n日後の物質の量mは
m=0.8^n
で表される。m=0.01を代入し、10を底とする対数を取ると、
-2=n*log0.8

log0.8=log4/5=0.6020-0.6990=-0.0970
ゆえに -2=-0.0970n

あとは解いてみて下さい。

訂正。mは「元の物質の量に対する比率」

>>622
まず割り算して恒等式を得る
そのあとで0を代入する常套手段
0で割るわけではない

>>623　Q.E.D氏
その手の問題，ﾎﾑﾍﾟでけっこう作ったので，よければやってみてねん。
2003/01/27 の問題 のところを見れば，類題がたどれます。。

僕はいまだに，前スレのn^2+n+41の問題が・・(´Д｀；)
>>74でｶｷｺしていただいたのですが，
どうしてこんな風にうまく考え付けるのでしょうか。
この手の問題ってあんまり茶にないし，どうやって補強すればいいのかなあと
思って・・。

>>627
いや、折れはわかってるんだけど、誤解があるかなと思って。

>>531
そうだよ。c≧0なら|q(x)|≦1と出来たような記憶が有るけど。
その条件が追加されると、だいぶ簡単になる。

>６２４　　　
a[１]ってどういう意味ですか？
あほですまない

>>631数列a[n]の初項。

>>631
txtで書くときは、下の添え字を[n]で表すのが一般的です。
積分区間は[a,b]とか。

>>633
他にa_nなどと書く事もあるけどね。

質問。
Ｑ)赤、青、黄のカードがある(どの色のカードも５枚以上ある)
この三種類のカードから５枚選ぶとき、その選び方は何通り？

って問題で、これが7!/5!*2!
で求められる理由がわかりません。誰か教えて下さい

>>635
3+3*4+3+3=21

場合分けして問題なく求められるけど、式の意味は……

>>635
○○|○|○○
って感じに、5この「○」と2この「|」を並び替える。
一般に２つの「|」によって「○」は３つのグループに分けられるよね。
左から順に、赤青黄を各グループに対応させる。
勿論、空のグループが有っても良い訳だから、7!/2!*5!になる。
仮に、どの色も一つずつ含んでないと逝けない場合は、
○○○○○の４つのスキマのウチ２つに仕切りを挟み込む事を考えれば良いから、
4C2だね。

>>635
7!/5!*2!=7C2=5H2

重複組み合わせですた。

間違えた。3H5

>>636-637
thanks.理解できました。
>>636
それでやったんだけど、答は違った解法でやってて「どうすんねんこれ！？」とｵﾓﾀので

>>635
白のカードを五枚用意して、赤青黄で塗り分けることを考える。

五枚を横一列に並べて、間（両端も許す）に仕切りを二個入れる。
仕切りの左を赤、中を青、右を黄で塗ると決めると、
仕切りの入れ方の数を求めると良い。

７個のスペースから二箇所選んで仕切りを入れる。（残りの５箇所にはカード）
で C[7,2]=7!/5!*2!

n種類の異なるものからk個取り出す取り出し方：

nHk=(n+k-1)Ck

>>636はそのまま解答にすると多分原点喰らうよ。

>>643
そりゃ普段は当然書くよ。
txtで書くときは面倒だからかなり端折る。

>>642
重複を許した組み合わせってことよね。

>>638>>641>>642
サンクス。
>>643
マヂデツカ。気をつけます。

んじゃ、明日上京しなきゃいかんので。おやすみっす

>>645
そうです。考え方は>>637、>>641の通り。

>>628
大した事はしてないのですが、
一応考えの道筋について書いてみます。まず、問題は
（０）n^2 + n + p が因数分解されるn を見つけよ。
だと思って、式をよく見てみると、次のことが分かります。
（１）n^2 + n + p はn = p-1, p のとき因数分解できる。
（２）n = p, 2p, 3p, ...つまり、n ≡ 0 mod p のとき因数分解できる。
そこで、次の予想を立ててみます。
（３）n = p - 1, 2p -1, 3p -1, ...つまり、n ≡ -1 mod p のとき因数分解できる。
これは正しく、次の結果が得られます
（４）n = kp -1 のとき n^2 + n + p = p(pk^2 - k + 1)
で、今度は pk^2 - k + 1 という似たような式の因数分解をあれこれやってみたら、
うまく行ったわけです。

>>648
そういえば、昨日のあのネタ引っ張るけど、
1+n^2の素因数は4k+1で表されそう・・・

そういえば、昨日のあのネタ引っ張るけど、
1+n^2の素因数は4k+1で表されそう・・・

>>648
ありが�dです！！
いまさっき，ｼｮｯｸなことが起きたので，明日やってみます。(ﾄﾞﾝｸﾞﾙｶｰﾄﾞ破損・・)

>>649
なぜか，c≧0のときは，|q(x)|≦1となり，c＜0のときは，|q(x)|≦3
になってしまいますた。。(´；ω；`)
前の問題は，茶に類題があったので，知ってﾏｽﾀ。。（ﾟ∀ﾟ）津田塾大の問題と
似ていますたＹＯ．

こけっこっこのホームページのアドレスきぼん

すみません、教えてください。


aは0と異なる実数とし、f(x)=ax(1-x)とおく。

(1) f(f(x))-xは、f(x)-xで割り切れることを示せ。

(2) f(p)=q,f(q)=pを満たす異なる実数p,qが存在するようなaの範囲を求めよ。



(2)の答えは　a<-1 または 3<a　となるらしいのですが
解説プリントを無くしてしまって困っています。よろしくおねがいします。

>>651
じゃ、ヒント逝きましょうかな。
前の問題と同じく、p(1)=s,p(-1)=tと置いて、
３角不等式を上手く使うと出来ます。
ただし、３角不等式で、どの部分で切るかがポイント。
ちなみに、大数でも「難問」と言い切られてます。

>>653
この問題、結構ややこしくて、漏れには出来なかった記憶が・・・
混乱して収拾がつかなくなって、片っ方しか出てこなかったよ(´；ω；`)

>>650
その話は読んでないからよく分からないけど、
n^2+1 の奇数の素因数は4k+1
なら成り立つと思う。

>>656
あ、漏れも奇数に限って話を展開したのに、すっかり忘れてました。

このスレで出た話題で、
「1+b^2が素数p(p=4n+1と表される素数p)で割り切れるようなb(≦2n)が存在する。」
という事を示したかったのでつ。
証明の途中で出てきたので、命題が真かどうか、確かとは言えないけど・・・

>>652
メル乱・・。

>>654
あ・・そこまではやりますた。
うーん・・三角不等式の使い方が甘かったか・・
ちょとやってみます。

>>653
(1)
2次方程式：f(x)=xの解をαとおくと，ｆ(α)=α
このとき，f(f(α))=f(α)=αであるから，
2次方程式：f(x)=xの解αは4次方程式：f(f(x))-x=0の解でもある．
ゆえに，f(f(x))-xはf(x)-xで割り切れる．

(2)
ap(1-p)=q・・・ア
aq(1-q)=p・・・イ
p≠q・・・ウ
を満たす実数p，qが存在する．
ア∩イ ⇔ ア+イ ∩ ア-イ であるから，
a≠0とウに注意して，p+q=(a+1)/a，pq=(a+1)/a^2 を得る．
p，qはtに関する2次方程式：t^2-{(a+1)/a}t+{(a+1)/a^2}=0の相異なる2実数解
であるから，判別式＞0．
∴(a+1)^2/(a^2)-4(a+1)/(a^2)＞0 ⇔　a^2*(a+1)(a-3)＞0 ⇔ a＜-1，3＜a・・・答

自作した類題が2002/09/08 の問題に・・(；´Д｀)。

>>657
証明はこれでいい？

n^2+1 の素因数をp=2a+1 とする。
n^2 ≡ -1 mod p の両辺をa乗して
n^(2a) ≡ (-1)^a mod p
フェルマの定理から　
n^(2a) = n^(p-1) ≡ 1 mod p
よって　
(-1)^a ≡ 1 mod p
p は奇素数なので、a=2k, p=4k+1 となる。

元の命題の証明は分からないです。。

>>659
教えてくれてthxです。

＞ア∩イ ⇔ ア+イ ∩ ア-イ であるから，
＞a≠0とウに注意して，p+q=(a+1)/a，pq=(a+1)/a^2 を得る．

というのがよくわからないんですが…
数学DQNな文系なのですみません…

modって使うこと結構多いけど読み方わからん
なんて読むんです？

>>662
もっど

modcontrest(もっどこんとれすと) = 余り

漏れはモードとよんでますた

あとこけっここさんページ見たよ。
おのれは天才か？( ；´∀｀)
中３で東大Ａ判定かよ！！！！
まあとりあえずお気に入りいれといたモナ( ´∀｀)

>>665
え！こけこっこはもう東大模試受けたの？
しかもA判ってマジすか？

こけこっこのホムペ見ました

＞こけ→文科n類(n=1，2)or 日医．

日医って何ですか？日大医学部ですか？日体大医学部ですか？
なんで理�Vでないの？こけこっこなら余裕でしょ？

>>666
全党模試ってやつだった気がする
模試のことはよくわからん

>>668
特定されちゃうな、、、中三ってそんなにいないだろ。

>>669
おれに言われてもｗ
でも学年とかはごまかせるんじゃない？

>>666>>669
A判なわけないし(；´Д｀)・・。日医って日本医科大学のことです。
あんまりまさぐらないでねん(；´Д｀)

>>648
ものすごく理論的で感動しますた。。自分なりにまとめておきます・・
あと，こないだのスレで解けない奴があったので再掲します。こんな感じの問題でした。

自然数x，yが，x^3+y^3=p^mを満たしている．
ただし，pは素数で，mは2以上の整数である．
このとき，x，y，p，mを求めよ．

寝ないとﾏｼﾞでやばいので落ちます・・。

>>671
x+y=p^kとおくと
x,yは t^2-p^k t+(p^2k-p^(m-k))/3=0の2解でx,y>0から
p^m < p^2k < 4*p^mを得、pが素数だからp=2,3

p=2のとき
奇数α，βを用いて
x=2^a*α，y=2^b*βとおく。
x^3+y^3=2^mの両辺を2^a,2^bの大きくないほうで割った式からa=bを得る。
α^3+β^3=(2の累乗)となりα、βは奇数からα=β=1
(x,y,p,m)=(2^n,2^n,2,3n+1)(nは自然数)

p=3のときも同じ手法で
(x,y,p,m)=(3^l,2*3^l,3,3l+2),(2*3^l,3^l,3,3l+2)(lは負でない整数)

見て分かるように相当省略しましたｗ

を、訂正。

誤：p^m < p^2k < 4*p^m
正：p^m < p^3k < 4*p^m

あと補足、p=3のときはこの式から3k=m+1を使った。

右側は等号つきだｺﾞﾙｧ!!

某Fランク大学のもんだい・・・解けなかった･ﾟ･（ﾉД`）･ﾟ･｡
マークセンス式の問題でアイウエはマークする場所です

x=5^30とおく。
log_{10}(2)=0.3010として考えると
整数n=（アイ）に対して　n<log_{10}(x)<n+1となり
xは(ウエ)桁の数であることがわかる。



log_{10}(5)がわかってりゃ簡単なのに・・

というわけで、>>675を解いてくださいおながいします

xy平面において点Pの座標を(3,4)とし、点Qと点Rはそれぞれ
直線L(1):y=3x、L(2):y=(1/3)x上を動くものとする
また直線L(1)に関してPと対称な点の座標は(0,5)である

この時、3点P,Q,Rを通る円の半径の最小値を求めよ
また、その時の円の中心の座標を求めよ

>>675
底の10は省略
10^30=2^30*5^30より
log(10^30)=log(2^30)+log(5^30)
よって、log(5^30)=30-log(2^30)=30*(1-0.3010)=…=20.97
アイ　20
ウエ　21

>>678
うおおお神
ｻﾝｸｽｺ！
漏れってばさ・・

2f｛(x+y)/2｝=f(x)+f(y)
f(0)=0のときｆ(x)を求めよ。
（f(x)は微分可能）
解いて下さいまし。お願いします。

>>680
y=0を考える

>>681
2点P,Qがy=f(x)のグラフ上にあれば、
その中点もy=f(x)のグラフ上にあるって事だよね…。
だからf(x)=kx(kは任意の実数)…だとは思うけど、
細かい論証をどうやったらいいのか分からないな。

>>680
(x,y)=(2a,0)よりf(2a)=2f(2a)
(x,y)=(2a,2b)よりf(a+b)=f(a)+f(b)

b≠0として
f(a+b)-f(a)=f(b)
{f(a+b)-f(a)}/b={f(b)-f(0)}/(b-0)

b→0として両辺の極限を取れば
f '(a)=f '(0)=c
f(a)=ca

>>683
お見事。

訂正　1行目　(x,y)=(2a,0)よりf(2a)=2f(a)

>>677
文章だけでは途轍もなく証明を記述しにくいんで要約すると、

第１段階
L(2)に接し、Pを通りL(1)と交点を持つ円、の内半径が最小のものを求めればよい
第２段階
第１段階で絞られた円の内、最小の半径を持つ物はL(1)と接する

ってのを、円周角の定理やらを図を交えて使いつつ証明する方針が良いと思われ。
ただ、この証明だと
＞直線L(1)に関してPと対称な点の座標は(0,5)である
ってのを全く使わないんで、もっと効率的な方法が有るかも。

で、取り敢えず答えは、点Pを含み、L(1),L(2)と接する円(のうち小さい方)の場合で、
この時
半径は(√10)/2
中心の座標は(5/2,5/2)

>>843
なるほど。有り難うございました。大変勉強になりました。

よろしくおねがいします。


本日の文教大学入試　数学（第５問）

Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅの５人に対し、それぞれの名前を書いたカードが１枚ずつある。
この５人が無造作に１枚ずつカードを引くとき、

（１）５人の誰もが、自分の名前のカードを引く確率
（２）Ａ，Ｂの２人だけが、自分の名前のカードを引く確率
（３）５人のうち２人だけが、自分の名前のカードを引く確率
（４）５人の誰もが、自分の名前のカードを引かない確率

マーク式の入試で、自分の解答は以下のようになりました。
マークの空欄も以下の通りです。
（１）１／１２０（２）１／６０（３）１／６（４）２３／３０

質問です。

数列{An}は　0<A1<3 , A(n+1)=1+√(1+An) を満たす。
このときに　3-An≦(1/3)^n-1*(3-A1)　を証明しろ、という問題で

漸化式の両辺を二乗して　(A(n+1)-1)^2=1+An
更に両辺を-4して、(A(n+1)-3)(A(n+1)+1)=An-3
n>1で　2<An<3 より　3<A(n+1)+1<4 だから
両辺を-1かけ、A(n+1)+1 で割り、
3-A(n+1)=1/(A(n+1)+1)*(3-An)＜1/3*(3-An)＜(1/3)^n-1*(3-A1)

これでどうでしょう。
解答とは全然違うんですが。
不等式のイコールも抜けてるし…ちょと不安なんで。

>>689
表記ミスってました。
(1/3)^n-1　ではなくて(1/3)^(n-1)　です。
他の〜乗も同じです。

質問です

(x+y)=(1+x^2)(1+y^2)　(-1≦x≦1 , -1≦y≦1)のとき
x+yの最大最小を求めよ
って問題なんですけど、地道に？やる以外の良い解答はないでしょうか？

y(dy/dx)=2y^2+1を解け

よろ

>>692
適当だけど　両辺をyで割って、逆数を取って
yで両辺を積分したらxが出そうだけど。置換でいけるっぽ。

>>692
dy/dx=(2y^2+1)y
dx/dy=y/(2y^2+1)
4(x+c)=log(2y^2+1)
2y^2+1=b*e^4x　b=e^4cは任意定数

dx/dy=y/(2y^2+y)
∫dx/dy*dy=lox(2y+1)=x
こんな感じで。置換は入らなかった。

>>693
逆数って云うか逆関数ね。

>>695　香ばしく計算ミスりました。>>694でおながいしまつ…。

お二人さんありが�d

（与式）を解け・・・って何について解いたらいいか分からなかった
というか、この発言も見当違い？

y=i/√2も

>>698
>>692は微分方程式だからx,yの関係を求める・・・範囲外だけど。

>>700
(;　ﾟдﾟ)そういうものなんですか・・・
精進しなくては・・・

>>689　誰か教えてください。

>>699
右辺は定数では？

>>702
え？

三次関数の式を微分して、そのｘ＾２の係数の符号がプラスのとき
増減表の真中の符号はマイナスってのは本当ですか？（ｆ’（ｘ）の欄です。）

>>704
xの範囲による

>>704
うそです。例y=x^3
導関数が異なる2実解をもてばそうなるけど。

>>703
i^2=-1だから定数の一つと思うんだが。πとかeと同じように。
でy=定数だから複素数平面上で直線になるのでは？

>>704
言ってることがイマイチ分からない。
y=ax^3+bx^2+cx+d　とすれば
y´=3ax^2+2bx+c
でy´の二つの解を求めて云々。
aの符号が+ならy´は↓に凸で二つの解の間の区間は負、それ以外は正。

>>707
y=i/√2ってのは>>692の別の解のつもりで書いたんでつ

実数範囲で良いと思われ。

>>689
素直に
3-A(n+1)=2-√{1+A(n)}={3-A(n)}/[2+√{1+A(n)}]≦{3-A(n)}/(2+1)={3-A(n)}/3
…≦(1/3)^n-1*(3-A1)
とやったほうがええね。楽だし。
もちろんA(n)＞0を示した上で。

君の解答だと
＞n>1で　2<An<3

この部分を示せていないから苦しい。

名前がおかしいぞ。

通報しますた。

>>691に詰まってます。

７０５〜７０７ありがとう。
導関数が二つの異なる解を持つときってのをかき忘れてました

>>710
これは実は小問で1のほうでその証明があったんです。

1<A1+1<4　より 1<√(A1+1)<2 よって 2<1+√（A1+1)<3
あとは帰納法で普通に証明できます。
確かにその解法のほうが楽ですね、ありが�dでした。

19:33 京都学園大の入試で出題ミス。先月３１日実施の一般入試。数学問題で出題範囲を逸脱。採点対象から除外し合否判定。

http://www.sankei.co.jp/news/sokuhou/sokuhou.html

>>691
これは両辺をxyで割ると対称性が見えてきませんか？
ちょっとそれが考えてみます。

誰か・・・、おながい・・・。

証明問題で、背理法や対偶、などの証明の方針の立て方が分かりません
つすけて

>>688
（１）○（２）○（３）○（４）11/30

>>691
平凡な解き方だけど。。

x+y=a，xy=bとおく．tに関する2次方程式：t^2-at+b=0 の2解が
-1≦t≦1にあるので，f(t)=t^2-at+b として，
判別式≧0 ⇔ a^2-4b≧0・・・ア
f(1)≧0 ⇔ 1-a+b≧0・・・イ
f(-1)≧0 ⇔ 1+a+b≧0・・・ウ
y=f(t)の軸：t=a/2 に関して，-1≦a/2≦1・・・エ

ところで，
x+y=(x+y)^2-2xy+(xy)^2+1 より，
a=a^2-2b+b^2+1 ⇔ (a-1/2)^2+(b-1)^2=1/4・・・オ

ア，イ，ウ，エ，オをa-b平面に図示して，aの最大となる点を
見つければOK．

>>672
トゥリビアﾀﾝ
p^m < p^2k < 4*p^m　の部分は，p^(m-k)＜p^(2k)≦4*{p^(m-k)} ⇔ 1＜p^(3k-m)≦4
で（･∀･）ｲｲ!でつか？
でも，これからどうしてp=2，3と決まるのかが・・(；´Д｀)
3k-mはマイナスの可能性もあるわけでして・・。

>>722
p^m < p^2k < 4*p^m で 底p(>1)の対数をとって
m < 2k < m+log4
m,2kは整数だからlog4>1が必要。

2kじゃなくて3kだ。>>673の訂正を忘れてた。

688の確率が１番しかわかりません
教えてくださいお願いします
ヴァカですいません。。

>>725
文教受けたの？

>>688
記述式じゃないということなので，答だけを出すような答案ですが参考にしてください。

(1)
A，B，C，D, Eの並べ方は5!通り．∴1/(5!)=1/120・・・答

(2)
C-D-E とﾀﾞﾌﾞらないC，D，Eの並べ方は，D-E-CとE-C-Dの2通り．
∴2/(5!)=1/60・・・答

(3)
(2)ではA，Bに関して求めた確率．このようなﾊﾟﾀｰﾝが，5C2通りあるので，
(1/60)*(5C2)=1/6・・・答

(4)
完全順列の個数をf(n)とおく．いま，f(5)を求めればよい．
f(n+2)=(n+1){f(n+1)+f(n)}　f(1)=0，f(2)=1 として，
f(3)=2*(f(2)+f(1))=2
f(4)=3*(f(3)+f(2))=9
f(5)=4*(f(4)+f(3))=44
であるから，44/5!=11/30・・・答

(4)は「完全順列」や「モンモールの問題」などで調べてみてね。
最後のf(n)は，n→∞のとき，1/eに収束するらしいです。(証明は高校範囲外とされている)

数直線上の点Pは原点Oを出発点とし、サイコロを投げて出た目が2以上ならば、
出た目の数だけ数直線上を正の方向に進み、1が出たならば原点に戻るものとする
また、サイコロを何回か投げたときのPの座標をaとする。さらにサイコロを1回投げた時のPの座標の期待値は(5/6)a+(10/3)である
そのとき、サイコロを3回投げたときのPの座標の期待値はいくつか？

>>720、>>727
ご親切にありがとうございました。

>>728
E(a)=(5/6)a+(10/3)
と期待値Eを定義する。2回投げたときの期待値は
E((5/6)a+(10/3))
=(5/6)E(a)+(10/3)
=(25/36)a+(5/3)+(10/3)
=(25/36)a+5
3回投げたときの期待値
E((25/36)a+5)
=(25/36)E(a)+5
=(125/216)a+(125/54)+5
=(125/216)a+(395/54)

延々と素数を生成する式を提示しなさい。

>>731
それって未解決じゃないの？
n(n+1)+41はかなり優秀な式らしいけど。

この前の問題の式がそうだったかな？延々とかどうかは知らんけど。

>>732
ようは未解決問題を解決しなさいってこった。がんがれ。漏れは高みの見物しとくから。

>>731
n (nは素数)

軽くスルーして・・・

スルーｲｸﾅｲ。

>>735
ちょっとﾜﾗﾀ

延々と素数を生成するプログラムなら作ったことがある。
ひたすら因数を探して、見つからなければ素数と判断するだけのやつだが。

>>739
最高で10兆くらいの素数なら見つけたことある……

おまいらマジで勉強せんでええの？
いちよう受験生っしょ？？？？

常にここに駐屯しているように見受けられるが。

>>742
それはトゥリビアだけだ。

サプリメント。

>>742
これでも11時間は勉強してる。

>>744
ﾄｩﾘﾋﾞｱﾀﾝ
p^m < p^2k < 4*p^mの式をどうやって導いたかがわからないのでつ。。

どうやってもp^(m-k)＜p^(2k)≦4*{p^(m-k)} になってしまうという・・

>>746
それで良いよ。>>673

あと、>>674も。

質問です。[数１．順列と組合せ]
異なる４個の玉を、異なる５個の袋に入れる時、玉が一個も入ってない袋が三個
であるような入れ方は何通りあるか？

で解法は5C3X(4C1X4C2X4C3)=140
何ですけど
４Ｃ１と４Ｃ３は同じ場合として考えられませんか？

計算ミスしまくりで悩む受験生にアドバイスきぼんむ
今日も模試の過去問しましたが式立てた後の積分の計算間違い、玉砕しますた。
本番でこうなりたくない！

>>749
その式において、
５Ｃ３→玉が入ってない袋の選び方

袋を選んだ後に、
４Ｃ１→残り２袋（袋A,Bとする。２袋は区別するから）の中に、袋Aに１個・袋Bに３個で入る場合
４Ｃ２→残り２袋の中に、玉が２個・２個で入る場合
４Ｃ３→残り２袋の中に、玉が３個・１個で入る場合

って考えられるけど、どうでしょう？

>>749
751に補足すると、君の勘違いは「袋も区別するんだよ」ってことを忘れてるんだよね。
それと、念のために
袋Aに入る玉が決まれば、残りの玉は勝手に袋Bに入るよ。
だから、式の（　）内は、袋Aの玉についてのことだと思えばいいんだよ。

>>749
単純に5C2*(2^4-2)ってのはどうでしょう？

>>753に補足。
入る袋を選んで、C[5,2]
4つの球がそれぞれAに入るかBに入るか 2^4
AAAAとBBBBを除く -2

ところで、
5C3X(4C1X4C2X4C3) じゃなくて
5C3X(4C1+4C2+4C3) じゃないか？明らかに

＞＞751〜755
ありがとうございました。
そしてすみません。5C3X(4C1+4C2+4C3)の間違いでした。
「袋も区別するんだよ」ってことですか。

◆(1)積分∫［1〜e］( log_(ｘ)/ｘ)dｘ 及び ∫［1〜e］( log_(ｘ)/ｘ)＾2 dｘ を求めよ。
(2)関係式f(x)＝( log_(ｘ)/ｘ) + ∫［1〜e］｛f(x)｝＾2dｘ - aを満たし、f(e)<0であるようなf(x)が
存在するための定数aに関する条件を求めよ。

（1）は1/2と2-（5/e）でした。
（2）はわかりません。

よろしくおねがいします。

>>754
ｱﾘｶﾞと

f,g,g'そのまんまじゃん＞７５７

全体に積分かけるのですか?

2.は定数typeの積分方程式じゃないの

(１)100!を計算して得られる値を書き下すと、1の位から上の位に向かって
　　連続して並ぶ0の数は？
(２)また、n!の値を書き下したときに1の位から上の位に向かって
　　連続して100個以上の0が並ぶ最小の自然数nの値は？

(１)のほうについては一の位の5一つにつき0が１個で0が10個。100で0が2個。
10〜90で0が9個。と考え21にしたのですが、合っているか不明・・・。
(２)についてはさっぱり・・・。
誰かお願いします。

>>762
(1)　25を忘れてる
(2)　(1)と同じように数えてみな。

>>762
（１）は果たしてそうですか？
100!を素因数分解したとき、5が何回出てくるか考えればｲｲわけですが、
25みたいなヤツが有ることに注意が必要です。
５、１０、１５、２０、２５、３０、３５、４０、４５、５０、５５・
●　　●　　●　　●　　●　　●　　●　　●　　●　　●　　●
　　　　　　　　　　　　●　　　　　　　　　　　　　　●
のようにして数えていくと良い感じ。

>>763
55を忘れてる。

>>765
ってか忘れてるのは50と75じゃないかな？

>>762
ちなみに、東工大にこんな類題がある。

nを正の整数とする。10進法で表したn!について、
1の位から10^(m-1)の位までの数字が全て0で、
10^mの位の数字が0でないとき、関数f(n)の値をmとする。
このとき、次の値を求めよ。
(1)　f(10),f(100)
(2)　lim[n→∞]f(10^n)/10^n

位を容易に捉え間違えるので注意が必要でつ。
結構ややこしいと思った。

う〜、なんとなく分かるような分からないような・・・。
ちょっと考えてみます。
どうもです。できれば答えも教えて欲しいです。
自分で考えてあってるかどうか確認するために。

>>768
(1)は24だね。

>>767
(2)は1/4っぽい。

>>770
正解。速い・・・

(cosｘ+sinｘ)/(1+cosｘsinｘ)の最大最小を考える。

sinｘ+cosｘ＝tとして
2t/t＾2+1、、、あとはこの増減を考えればいいのですか?

(2)
400までで96+3(125の倍数の個数)=99個

>>772
相加相乗もね

>>762
その問題スウケンの問題集にあったね

◆(1)積分∫［1〜e］( log_(ｘ)/ｘ)dｘ 及び ∫［1〜e］( log_(ｘ)/ｘ)＾2 dｘ を求めよ。
(2)関係式f(x)＝( log_(ｘ)/ｘ) + ∫［1〜e］｛f(x)｝＾2dｘ - aを満たし、f(e)<0であるようなf(x)が
存在するための定数aに関する条件を求めよ。

（1）は1/2と2-（5/e）でした。
｛2｝をやってみて、f(x)＝(2-(5/e))+(k＾2+a＾2)(1-e)+ｋ-aとなりました。
このf(x)が存在する為の定数aはどのように考えたらよいのですか?

>>774
えっ!
どうやるの?

あ〜、(1)は分かった。
同じように(２)も考えてみよう。
どうもありがとうございます。

>>778
ちなみに、n!0が並ぶ数をf(n)とすると、
f(n)は式で表せちゃったりする罠。

>>777
分母分子をtで割りな。

Σとｶﾞｳｽ使うんかな？
記号が便利だと思った今日この頃。

>>779
[n/5]+[n/(5^2)]+.....
かな？

式って多項式？

>>782
そう、その式！！
でも、７６２の問題なら、あらかじめnが5の倍数と分かり切ってるので、
ガウス記号は外せるね。

と言うことを言いたかったのさ。
頭悪いので、寝てくる。

(２)も解けた〜♪
これで今日は心置きなく寝れるｗ
ふむふむ、782のような式でも表せるのか〜。

1≦x＜z , 1≦y＜z , 1≦z≦18 のとき
A=[[3,-1],[-1,3]]*[[x,y],[y,x]]*[[1,z],[z,1]]
が対角行列となる全ての(x,y,z)を求めよ


なんかぜんぜん絞れないんですけど…
おねがいします

整数解？

http://members.jcom.home.ne.jp/iwv/others/math.bmp

これの途中式お願いします。

>>787
(a + 1/a)^2 - 4 = a^2 + 2 + 1/a^2 - 4 = a^2 - 2 + 1/a^2 = (a - 1/a)^2

>>788
助かりました。
どうもありがとうございます。

>>786
普通に計算してくと、
(x-3y)/(3x-y)=z　を取り敢えず満たさなきゃいけないと思うんだが、
これって明らかに整数解持たなくない？(分母分子ともに正or負のどっちで考えても)

上智の国際関係法の数学の問題の解説をおねがいします！！代ゼミのホームページに問題はあります。

>>790
x=y z=-1 は？

1≦z≦18

Aをxyz空間内で次の不等式を満足する点（x.y.z）のなす集合とする。
　　（　z^2-x^2-y^2>0
（0≦z≦3　　　　　　
　　　　　　　
　　　平面z=x＋aをPaとする。PaとAが交わるようなaの範囲は？


解き方＆答え教えてください。
　　　　

f(x)=x^3＋ax^2+bについて、
0≦x≦1の範囲で、常にf(x)≧0となる点Q(a,b)を図示せよ。

この問題なんですが、最小値≧0の条件を求めるんですよね？
解答では、
-2a/3≧1と
0<-2a/3<1
で場合わけしているのですが、なぜでしょうか？

微分したときの二次関数の軸

>>794
z^2-x^2-y^2>0 が表す空間図形を考えることは難しいので、式処理でやる。
z=x＋aよりx=z-aを不等式に代入し z^2 - (z-a)^2 - y^2 > 0
つまり、2az + a^2 > y^2 を得る。
この不等式が成り立つような、実数y,zが存在するaの条件を求める。
y^2の最小値は0なので、2az + a^2 > 0 が成り立つようなzが存在すればよい。
f(z)=2az + a^2とおくと、f(z)が一次関数であることと0≦z≦3より、f(0)>0 または f(3)>0 が成り立てばよいので、
これをとくと、6a - a^2 > 0 より0 < a < 6

2az + a^2 は全部 2az - a^2 の間違いだ。すまん。

>>797
すげぇ、頭いいですね
ありが�d

>>791
3番だけ略解
反射の問題は中学・高校入試でも頻出

(1)
点(3,2)に向かう＝点(6,4)に向かう途中に
奇数座標をまたぐ回数だから
y座標1,3をまたぐ→x軸に平行な辺で2回反射
x座標1,3,5をまたぐ→y軸に平行な辺で3回反射

(2)
座標の成分を4で割った余りに一致する
(5,3)≡(1,-1)で吸収される
y座標1をまたぐ→x軸に平行な辺で1回反射
x座標1,3をまたぐ→x軸に平行な辺で2回反射

(3)
n/m=(±6/1),(±5/2),(±4/3),(±3/4),(±2/5),(±1/6)
12通り

(4)
反射回数=((m-1)+(n-1))/2=(1/2)m+(1/2)n+(-1)

>>797
空間図形教えてください
・・・
円錐になるみたいです・・・

y=(1/15)x^2
をy軸の周りに回転させてできる容器を考える。
これに半径ｂの鉄球をいれる
この鉄球が容器に最下点だけで接するためのｂの範囲を求めよ。

おながいします。

>>802
平面で考えてよい

b≧0
y=x^2/15
x^2+(y-b)^2=b^2

yを消去してx^2=X(≧0)と変換する
X=0以外の解が負になればよい

>>796
あっ。本当だ。
実際、今の問題は�Aで、�@に同じ数字が出てきたから、勘違いしてた。

>>796
って…軸は1a/3じゃ？？？

>>803
答えは
0<b≦15/2なんですけど

我思うに0<b<15/2だと思うのですがどうでしょう

>>795age

>>806
計算してないけど
等号が含まれるのはおかしいね

>785
z(3x-y)-x+3y=0 ってなればいいよね？

(z-3)y=(3z-1)x≧2
よって
(z-3)y≧2
z≧4

・・・ここから先z=4〜18まで代入していく以外に思いつかなかった

＞７９５
導関数f’(x)が上に凸か下に凸かで分けてるだけだよ

チャート式が新課程になりましたが
なんか変化ありますか？来年受験なんでそっちを使ってもいいんでしょうか？

>>810
え？導関数は下に凸っていうのが明らかです。
この場合は。

だれか〜

f(x)のダブルプライムｘが負ならなんで上に凸の関数になるか教えてください。
逆もお願い。

>>795
3次関数の極小を与えるxが[0,1]にあるかどうかで場合分け。

>>813
f''(x)<0なら、f'(x)は減少関数。
f'(x)=kなら直線になるから、f'(x)<0は曲線が上に凸になることを示す。

訂正。
f'(x)が減少することは……

ああっいくっいくっ

>>776
k=∫［1〜e］｛f(x)｝＾2dｘ（定数）と置いたんだよね。

{f(x)}^2≧0だからそれを積分したものも０以上だからk≧０ね。
f(x)＝(logｘ/ｘ)+ ∫［1〜e］｛f(x)｝＾2dｘ - aにおいて
f(e)=(1/e)+k-a<0　→　k<a-(1/e) →　0≦k＜a-(1/e)
a>1/eであることが必要。

で、以下積分区間を1≦x≦eとして
k=∫{(logｘ/ｘ)+k-a}^2dx
　=∫(logｘ/ｘ)^2dx+2(k-a)∫(logｘ/ｘ)dx+∫(k-a)^2dx

∫(logｘ/ｘ)dｘ=1/2 ∫(logｘ/ｘ)^2dｘ=2-(5/e）などを使って整理すると

(e-1)k^2-2(e-1)k+(e-1)a^2-a+2-(5/e)=0
これをkの二次方程式と見てk≧0の範囲でkが実数解を持つから
（判別式）≧0と最初のa>1/e、などからaの範囲を求めればいいんじゃないかなあと。

固定ハンドルの解答求む。

>>813
上に凸の定義は？

マセマに失望した・・・
これは誤植じゃないですか、と質問したら削除されてたよ

>>820
え、ドコ？

http://103.teacup.com/kuchii/bbs
きょん猫っての俺ね

削除された内容は>>806です

>>818 有る程度同じように考えたけど、
取り敢えず俺は
k=(∫[1〜e]{f(x)}^2dx)- a
と置いた。
すると、f(x)＝( log_(ｘ)/ｘ) + kを満たすので
k=∫(logｘ/ｘ)^2dx+2K∫(logｘ/ｘ)dx+∫k^2dx -a
=2-(5/e)+k+(e-1)k^2 -a
を実数kは満たす。
整理すると、
k^2=(a+(5/e)-2)/(e-1)

定義域、値域が実数の関数f(x)が存在するならば、f(x)-(logx)/xは常に実数の筈である
よって、定数aが、これを満たす実数kが存在するような数であることが、
f(x)の存在に必要であることが示せた。
次に、f(x)の存在に十分であることを示す。

実定数aに対し、
k=√(a+(5/e)-2)/(e-1)　と定める。
この時、
f(x)=(logx)/x+kとすると、

(logx)/x+∫[1〜e]{f(x)}＾2dｘ - a
=(logx)/x+∫(logｘ/ｘ)^2dx+√(a+(5/e)-2)/(e-1)+(a+(5/e)-2) -a
=(logx)/x+√(a+(5/e)-2)/(e-1)+ a -a
=(logx)/x+k
=f(x)
よってこのf(x)は条件を満たす。

これらより結論として…なんだっけ？何求めてるんだっけ…aの条件か。
よって、a≧2-(5/e)　が条件を満たすf(x)の存在に必要十分。

あ、掲示板へのカキコミか。
誤植が増版で削除されたかと思った。

これは失望だね・・・マセマも反論あるならすればいいのに削除とは。
マセマ使ってるよオレ（；´Д｀）

>>825
今すぐ捨てろってこった。

>>825は>>806どうおもう？

>>826
マジで捨てようと思った。
まあリアル厨房だからまだ時間あるけどｗ

>813
f(x)を区間Ｉで定義された関数とする。
f(x)がIで上に凸であるとは
任意のx1,x2∈Iと任意のα,β　（ただし、α＋β＝１、α,β＞０）に対し
f(αx1+βx2)≧αf(αx1)+βf(αx2)
が成立すること。

次を示す：f(x)を閉区間Iで連続、Iの内部で微分可能とする。
このとき、f(x)がIで上に凸であるための条件は、f'(x)がI内部で増加することである。

（→の証明）
点A=(x1, f(x1)), 点B=(x2, f(x2)), 点P=(x, f(x))、x1<x<x2とする。
すると、PBの傾き≦ABの傾き≦APの傾き
である。P→Aとして、
ABの傾き＝{f(x2)-f(x1)}/(x2-x1)≦f'(x1)
童謡に、P→Bとして、
f'(x2)≦{f(x2)-f(x1)}/(x2-x1)＝ABの傾き
ゆえに、f'(x2)≦f'(x1)

（←の証明）
f'(x)をI内部で減少、x1<x2として、下に凸を示す。
αf(x1)+βf(x2)−(α+β)f(αx1＋βx2)
＝α{f(x1)-f(αx1＋βx2)}+β{f(x2)-f(αx1＋βx2)}
＝αβf'(ζ1)(x1-x2)+αβf'(ζ2)(x2-x1)
　　　ただし、x1＜ζ1＜αx1＋βx2＜ζ2＜x2　　ζ1,ζ2はそれぞれ平均値定理よりとった
＝αβ(x2-x1){f'(ζ2)-f'(ζ1)}≦０

よって、αf(x1)+βf(x2)≦f(αx1＋βx2)　■

あとは、自力でどうぞ

せめて荒らしじゃないんだからなんか答えてくれればいいのに・・・

>>827
だっちゃだろう。
オレのクソ脳みそじゃわからないけど削除されたなら>>806が何かをついたんだと思う。

>>831
頻出レベルもってる？
等号がつくってことは3点で接してるんじゃないのかな？

>>829
丁寧にサンクス！！！！！！！！
ちょっと自分でやってみます

ほーほー。等号だと
3点で接するというより2点で接するだけになるってことかな？
頻出ないっす文系です。

>>832
b=15/2を代入して計算してみ。

>829　増加と減少が混乱してるが、、、まあ、だいたいこういう感じということで

ﾏｯﾀｸﾜｶﾗﾝ

ん・・・
yを消去すると
x^2(x^2/225 +1 -2b/15)=0　になるでしょ。これがx=0以外に実数解を持たないためには
1 -2b/15≧0 ⇔ b≦15/2

x=0で4重解になるんじゃねーの?

b→15/2+0とするとき、
接点はどういう動きをするか。
接点は最下点に近づいてないかな？

近づいてかないだろ

>>824
その場合kはaの関数で

k^2=(a+(5/e)-2)/(e-1)

この左辺はaを含んでいるからa≧2-(5/e)はk^2≧0だけれども
それだけで十分カバーしているかどうか・・・・。

＞実定数aに対し、
＞k=√(a+(5/e)-2)/(e-1)　と定める。

この場合もkがaを含んでいるから…ﾓｺﾞﾓｺﾞﾓｺﾞ

k=√(a+(5/e)-2)/(e-1)
上の左辺が∫[1〜e]{f(x)}2dｘ - aと
○○=(aで括った式)になってないからなあ。

>>842
前半は何を意味してるかよく分からないんですが、
後半は十分性をチェックするために、kをそこで「新たに定義」してるから問題無いと思うんですが。

f(x)＝sinｘ+(1/π)∫［0〜π］f(t)cos(ｘ-t)dtなるとき、f(x)をもとめよ。
f(x)＝sinｘ+Αcosｘ+Вsinｘとして、
(Α＝(1/π)∫［0〜π］f(t)costdt
(В＝(1/π)∫［0〜π］f(t)sintdtとして

Α＝8π/(π＾2-16)
В＝(π＾2+16)/(π＾2-16)
となりました。
あってる?

自分でも何を言ってるのかわからなくなってきた。
落ち。

>>リアル厨房
x^2(x^2/225 +1 -2b/15)=0から
x=0　または　x^2/225 +1 -2b/15=0

x^2/225 +1 -2b/15=0は
1 -2b/15>0のとき　実数解なし
1 -2b/15=0のとき　x=0
1 -2b/15<0のとき　0でない2解（　x=±15√(2b/15 -1)　）をもつので。

>>トゥリアビ
なるほど。すまんね勉強中に！
感謝してます。

thanks a little!!!!

>>トゥリビアちと待った。
その解答はわかったけど、これの解答も説明して欲しい

y=(1/15)x^2・・・△
x^2+(y-b)^2=b^2・・・■

x消去して15y+y^2-2by+b^2=b^2
y(y-2b+15)=0∴y=0,2b-15　ここで2b-15=0のとき△と■は原点のみで接する。∴0<b<15/2
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
なぜ~~~~~の部分からそういえるのかがわからん。。。鬱

>>849
それ、問題集の解答？

y=2b-15
2b-15=0
２式よりy=O

>>802
実数x，yに関する連立方程式
x^2+(y-b)^2=b^2・・・ア
y=(1/15)x^2・・・イ
の解が(x，y)=(0，0)だけとなればよい．
いま，イ ⇔ x^2=15y(≧0) であるから，
これをアに代入して，
(y-b)^2+15y=b^2 かつ y≧0 ⇔ y^2+(15-2b)y=0 かつ y≧0 ⇔ y=0，2b-15 かつ y≧0
となる．

したがって，連立方程式ア，イの実数解は，
b＞2/15 のとき，(x，y)=(±√{15(2b-15)}，0)，(0，0)
b=2/15 のとき，(x，y)=(0，0)
b＜2/15 のとき，(x，y)=(0，0)
となるので，求めるbの範囲は0＜b≦15/2・・・答 である．

＞トリビア
そうだよ

>>852
訂正；；　分母と分子を入力ﾐｽ・・。以下，訂正文↓。

正の定数bに対して，実数x，yに関する連立方程式
x^2+(y-b)^2=b^2・・・ア
y=(1/15)x^2・・・イ
の解が(x，y)=(0，0)だけとなればよい．
いま，イ ⇔ x^2=15y(≧0) であるから，
これをアに代入して，
(y-b)^2+15y=b^2 かつ y≧0 ⇔ y^2+(15-2b)y=0 かつ y≧0 ⇔ y=0，2b-15 かつ y≧0
となる．

したがって，連立方程式ア，イの実数解は，
b＞15/2 のとき，(x，y)=(±√{15(2b-15)}，0)，(0，0)
b=15/2 のとき，(x，y)=(0，0)
0＜b＜15/2 のとき，(x，y)=(0，0)
となるので，求めるbの範囲は0＜b≦15/2・・・答 である．

こけっここさん今その解答読んでます。
しばしお待ちを。

>>853
そうか・・xなら定義域気にしなくて良いのに・・

>>こけこっこ
この前の問題は解決した？

鉄球の半径が十分大きいときは、下にできるスキマも十分大きい。
半径をどんどん小さくすると、下にできるスキマも小さくなっていく。
このとき、鉄球と容器が接する点はどんどん下に下りていく。

これが直感的にわかれば
0＜b≦15/2 の答えがでても慌てないですむ、と思うんだけど。。

>>856
前半のp=2，3というのはﾄｩﾘﾋﾞｱ神のおかげでよくわかったんですが，そのあとの
x=α*(2^a)，y=β*(2^b)　(α，βは奇数)とおける理由が・・(；´Д｀)
それが分かれば解決なんですが・・。
つまり，x^3+y^3=2^m の解が，x=α*(2^a)，y=β*(2^b)　という形になる
理由です・・(；´Д｀)。

>>858
xを素因数分解した時の2の指数がaと云うかなんと云うか。

どなたか>>845おねがいします

>845
よくわからんが
f(x)＝sinｘ+Αcosｘ+Вsinｘ
とできるのは何故？
それに、途中の計算経過も書いてもらったほうが、、、

>>859
x^3+y^3=2^mを満たすxとyが同時に奇数のときの可能性の否定はどうやるんでしょうか・・
適当に文字で置いていけばできまするか？
ていうか，ちゃんと紙に書いて解いてみますＷＡ・・

>>776
これもいちおうやったのでｺﾋﾟﾍﾟしときます。
(1) ∫[1,e]{(logx)/x}dx=∫[1,e]{(logx)'*(logx)}dx
　　　　　　　　　　　 =[(logx)^2][1,e]-∫[1,e]{(logx)/x}dx
　　 ⇔ 2∫[1,e]{(logx)/x}dx=1
　　 ⇔ ∫[1,e]{(logx)/x}dx=1/2・・・答

　　∫[1,e]{(logx)/x}^2dx=∫[0,1]{t^2*e^(-t)}dt (logx=t と置換．)
　　　　　　　　　　　　 =(-1/e)+2∫[0,1]{t*e^(-t)}dt
　　　　　　　　　　　　 =(-1/e)+2{(-1/e)+(-1/e)+1}
　　　　　　　　　　　　 =(2e-5)/e・・・答

(2) ∫[1,e]{f(x)}^2dx=t とおくと，f(x)={(logx)/x}+t-a とおける．
　　よって，
　　t=∫[1,e]〔{(logx)/x}+t-a〕^2dx
　　 ={(2e-5)/e}+2(t-a)*(1/2)+(t-a)^2*(e-1) (∵(1)の結果を代入)
　　⇔ (t-a)^2=(5-2e+ae)/{e(e-1)}・・・ア
　
　　また，f(e)＜0 を満たすので，f(e)=(1/e)+t-a＜0 ⇔ t-a＜-1/e・・・イ

　　アとイをともに満たす実数tが存在するようなaの条件を求めればよい．
　　まず，アの右辺≧0 が必要であるから，a≧(2e-5)/e・・・ウ
　　ウの条件下で，ア ⇔ t-a=±√〔(5-2e+ae)/{e(e-1)}〕 となる．
　　このうち，イを満たしうるt-a は，t-a=-√〔(5-2e+ae)/{e(e-1)}〕 であるから，
-√〔(5-2e+ae)/{e(e-1)}〕＜-1/e・・・エ を満たせばよい．
　　エ ⇔ √〔(5-2e+ae)/{e(e-1)}〕＞1/e
　　　 ⇔ (5-2e+ae)/{e(e-1)}＞1/e^2 (∵両辺が正であるから，2乗しても同値)
　　　 ⇔ a＞(2e^2-4e-1)/(e^2)
求める条件は，ウかつエ であるから，a＞(2e^2-4e-1)/(e^2)・・・答

ていうか・・ｘ=α*(2^a) って，a≧0にしておけばいいだけの
話だった・・。結局，a=bを導けばいいんだから，同じことだった・・(；´Д｀)
おかげで解決しますた。ありが�dです。

>>862
そのときはa=b=0。a=bを云うために導入しただけだよ。

おほ。

ﾄｩﾘﾋﾞｱはNG狂でつか？
ｽﾚ違いsage

>>845
A=0,B=1になったぞい

f(t)cos(x-t)=f(t)(cosxcost+sinxsint)=cosx*{f(t)cost}+sinx*{f(t)sint}

f(x)=sinx+(cosx/π)∫[0〜π]f(t)costdt+(sint/π)∫[0〜π]f(t)sintdt
(↑積分はtに関するものだからcosx,sinxを外に追い出しますた)

A=(1/π)∫[0〜π]f(t)costdt(定数),B=(1/π)∫[0〜π]f(t)sintdt(定数)とおくと

f(x)=sinx+Acosx+Bsinx=(B+1)sinx+Acosx　…(*)

(*)をA,Bそれぞれの積分の中にぶちこんで

πA=∫[0〜π]{(B+1)sinx+Acosx}costdt
　　=∫[0〜π]{((B+1)/2)sin2t+(A/2)cos2t+(A/2)}dt
　　=[-{(B+1)/4}cos2t+(A/4)sin2t+(A/2)t][0〜π]
　　=(A/2)π
　∴A=0

πB=∫[0〜π]{(B+1)sinx+Acosx}sintdt
　　=∫[0〜π]{(A/2)sin2t-((B+1)/2)cos2t+((B+1)/2)}dt
　　=[-(A/4)cos2t-((B+1)/4)sin2t+((B+1)/2)t][0〜π]
　　=((B+1)/2)π
　∴B=1

以上から、f(x)=2sinx

f(x)=2sinxを問題の方程式に入れて検算してみたら一応は合ってたけど…
違うかな？

>>776
あああああ何か他の人と証明が同じになってないと思ったら、
＞f(e)<0
を意識から抹消してました。
>>824は雑音とかだと思って気にしないでください。

導関数の求め方って微分以外に方法はありますか？　

ｆ（ｘ）＝ｘ＾ｎの導関数は
nx^(n-1)の性質を使う
まあ基本は微分だけど　っぷー

円の方程式を答えなさい

っていう問題は

（Ｘ+△)＾2+(Ｙ+○)^2＝半径^2

Ｘ^2＋2△Ｘ＋Ｙ^2＋２○Ｙ＋…＝０

みたいなやつ、どっちの答え方がいいんですか？

見にくくてスミマセン

＞８７２
どっちでもokだけど
円って聞かれたら上がやや良じゃない？

中心と半径がすぐ分かるから

自然数nの約数の総和の公式教えて

p_i=i番目の素数
n={2^(a_1)}*{3^(a_2)}*{5^(a_3)}*・・・*{(p_i)^(a_i)}

約数の総和
=Π[k=1,i]{1+(p_k)+(p_k)^2+・・・+(p_k)^(a_k)}
=Π[k=1,i][{-1+(p_k)^(1+a_k)}/{-1+(p_k)}]

>>875
んな当たり前のこと聞いてねーよタコ

約数の総和の数列A[n]の一般項を求めよ

>>876
ﾊｧ?

>>878
キモイ

超ひま

関数の求め方って微分以外に方法はありますか？　 　

いや、いっていることが良く分からないから。

>>881
あるよ。

自然数nの素因数分解公式が見つかるといいね
せいぜいがんばってね

x(1)=p
lpl≦1

x(n+1)=4x(n){1-x(n)}

x(n)をもとめよ

昨日既に見つけた。

>>883
どんな方法がありますか？？？　

８８８　　　　

>>884
2^nの約数の総和の一般項は？

>885
比較的単純なカオスか？
ＪＡＶＡでシミュレーションしてみると、周期的なグラフができないぞ。

>>887
不定積分

暇すぎ

区間[a,b]においてf(x),g(x)は連続で(a,b)において微分可能とする。
然らば(a,)ないのある或る点ξにおいて、

(F(a)-f(b))/(g(a)-g(b))=f'(ξ)/g'(ξ),　a<ξ<b

を示せ。



誰か証明きぼん

(F(a)-f(b))/(g(a)-g(b))=f’(ξ)/g’(ξ),　a<ξ<b

ごめん、タイプミス。

×然らば(a,)ないのある或る点ξにおいて、

○然らば(a,b)ないのある或る点ξにおいて、

二つ目・・・

×(F(a)-f(b))/(g(a)-g(b))=f'(ξ)/g'(ξ),　a<ξ<b

○(f(a)-f(b))/(g(a)-g(b))=f'(ξ)/g'(ξ),　a<ξ<b

お願いします。

コーシーの平均値の定理より明らか。

>>897
a(1)=3,a(2)=9,a(3)=21,a(4)=45,a(5)=93としようか

a(1)=3*1,a(2)=3*3,a(3)=3*7,a(4)=3*15,a(5)=3*31

a(2)-a(1)=3*2, a(3)-a(2)=3*(2^2), a(4)-a(3)=3*(2^3), a(5)-a(4)=3*(2^4)
この階差数列以降は自分でやってちょ。

>>898
akirakadesuka?

cauchynoheikintinoteirittenani?

>>893

A = {f(a) - f(b)}/{g(a) - g(b)}
H(x) = f(x) - A{g(x) - g(a)}
とおくと
H(a) = H(b) = f(a)
H '(x) = f '(x) - Ag '(x)
であるので、ロルの定理により
H '(ξ) = f '(ξ) - Ag '(ξ) = 0, a < ξ <b
となる。これを整理して
A = f '(ξ)/g '(ξ)

このスレ二つに分割しませんか？
初級者・中級者の部屋と上級者の部屋に

>>897
a(n)=2a(n-1)+3より、
a(n)+3=2(a(n-1)+3)

これとa(1)+3=6から、a(n)=6*2^(n-1)-3
ってのでもOKかな？

>>901

(´Д｀;)、　ﾊﾊｰ
ノノＺ乙

>>902
答える人は両方答えに行くと思うんで状況は変わらないと思われ、何が不満なの？
ってか上級な質問が有ったときは数学板行けば良いんじゃないかな。

>893
コーシーの平均値定理のことだﾅ。

f(x),g(x)は区間[a,b]で連続、(a,b)で微分可能とし、
(a,b)でg'(x)≠０とする。このとき、
{f(b)-f(a)}/{g(b)-g(b)} = f'(ξ)/g'(ξ)
を満たすξ(a<ξ<b)が存在する。

証明：
平均値の定理より、g(b)≠g(a)である。
ψ(x):={g(b)-g(a)}{f(x)-f(a)}-{f(b)-f(a)}{g(x)-g(a)}
とおくと、ψ(x)はロールの定理の仮定を満たす。
よって、ψ'(ξ)=0を満たすξ(a<ξ<b)が存在する。
ψ'(ξ)=0を書き直すと、桶　■

＞答える人は両方答えに行くと思うんで

そうはならない

>>907
証明せよ

0≦x≦3,0≦y≦3のとき、z=3x^2-2xy-8x+2y+1
の最大値と最小値を求めよ
ってのでさ、
これはx=kと固定してy動かして・・・
ってやるしかないんかな？
これで出たんだが、場合分けとか必要で結構面倒かったんだけど。
他に良い方法ないのかなぁ・・・と

>>908
俺∈答える人

俺は行かない。

>>910
どっちに？簡単な方に？

>>909
y固定すると、
z=3(x-(y+4)/3)^2-(k+4)^2/3+2k+1
になるし、4/3≦3/2≦(y+4)/3≦7/3だから…
結局場合分けになるね。
しかもこっちの方が少しだけ計算面倒だし。

コーシーの平均値定理っつーの？名前ついてんの？

>>911
うん、行ってもためにならないから。

>>909
2y(1-x)=z-3x^2+8x-1で
・x=1のときはz=1
・x≠1のとき
y=(z-3x^2+8x-1)/{2(1-x)}で、これを0≦y≦3に入れて
分母の(1-x)に注意して整理してxz平面にグラフ書いて（放物線と直線？）
xz平面の0≦x≦3の部分に着目するという方法はどないですか。

>>912
>>915
考えてくれてサンクスです

>>915さんの方法は思いつかなかったです。
次数が1のｙで整理して・・・って事ですね。
ありがとうございます。

>913
そう。ちなみに、この定理を使って次を示せる：
f(x),g(x)はx=aの近くで連続、aを除いて微分可能、g(x)≠0　かつf(a)=g(a)=0とする。
もし、x→aのときf'(x)/g'(x)の極限が存在し、f'(x)/g'(x)→L　（ただし、-∞≦L≦∞）ならば、
f(x)/g(x)の極限も存在し、
f(x)/g(x)→L
となる。

これは、ロピタルの定理の一部。

とりあえず893の質問は初級者行きだな。
厨上級用のスレに回答者とし常駐し、初級者で質問するわけか。

x^12+64を整数の範囲で因数分解せよ

次のように並ぶ数列がある。
1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,5,4,3,2,1,6,5,・・・
（１）ｎ回目に１が現れるのは、第[　A　]項である。
（２）数ｎがはじめて表れるのは、第[　B　]項である。

�@（１／２）ｎ^2−（１／２）ｎ−１
�A（１／２）ｎ^2−（１／２）ｎ−（１／２）
�B（１／２）ｎ^2−（１／２）ｎ
�C（１／２）ｎ^2−（１／２）ｎ＋（１／２）
�D（１／２）ｎ^2−（１／２）ｎ＋１
�E（１／２）ｎ^2＋（１／２）ｎ−１
�F（１／２）ｎ^2＋（１／２）ｎ−（１／２）
�G（１／２）ｎ^2＋（１／２）ｎ
�H（１／２）ｎ^2＋（１／２）ｎ＋（１／２）
�I（１／２）ｎ^2＋（１／２）ｎ＋１

（２）第２０００項の数字は、[　C　]である。
この[　C　]は、[　D　]回目に現れたものである。

解説お願いします。

≫899≫903さん、ありがとうござました。自分は数学が苦手なのでこれからも宜しくお願いします。

>>920
1|2,1|3,2,1|4,3,2,1|5,4,3,2,1|6,5,・・・
数列を上のような群に分ける。このとき、第ｎ群の項の数はn個となる。

(1)ｎ回目に1が現れる項＝第n群までの項数
　　1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2

(2)数nが初めて現れる項＝第n-1群までの項数+1
　　1+2+3+・・・+(n-1)+1=n^2/2-n/2+1

(3)1+2+3+・・・+62=1953 より
　第1954項は第63群の最初の項なので63、よって第2000項は17
　17は第17群から各群で1回ずつ現れているので63-17+1=47回目

ちょっとしたことなんだけど、「xの整式」の定義は【係数が整数のxの式】でいいの？

>>923
和・差・積で構成された式のことじゃないの？
1/x=xは整式じゃない

ありがとお！

>>923-924
別に整数係数でなくてもよい
多項式と同義
あと 1/x=x は=がある時点で外れてる

>>885
昔のｺﾋﾟﾍﾟ問題を少し変形しただけのﾊﾟﾀｰﾝだと思われ・・．
2-x(n)=y(n) とおくと，
y(n+1)={y(n)}^2-2
y(1)=2-p
あとは，y(1)=x+(1/x)とおいてみてね。
y(n)=x^{2^(n-1)}+(1/x)^{2^(n-1)}・・・☆　となってるＹＯ
最後に，x+(1/x)=2-p をxについて解いて，☆に代入すれば終わり。

>>926
あ、ほんまや。スマソ

問題を一つ落として逝きまつ。
多項式に関する問題。
定数で無い実数係数の多項式P(x)で
P(x^2)=P(x)P(x-1)
を満たすものを全て求めよ。

長助ﾀﾝが即答しそうでｺﾜﾋ・・・・

よろしくお願いします。○には、１桁の数字（０〜９）が入ります。

関数f(x)＝−x^2 −4/x^2 ＋3 は、x＋2/x＝t とおけば、
f(x)＝−t^2 ＋○　　　　と表される。

xが実数であることから、tの値の範囲は
t≦−○√○　または　○√○≦t　　　　である。

このことから、f(x)の最大値は、−○で、
そのときのxの値は、
−√○　または　√○　　　　である。

1から9までの番号が書かれたカードが一枚ずつある。
これら９枚から２枚選び、２桁の整数をつくったら、
できる整数の期待値はいくつになるか。

55.5くらい？

>>930
この程度なら、自分で考える努力も必要。
最初の空欄はt^2が何になるか考えてみれば、一つ目の空欄が埋まるでしょ？
で、xが実数と言うことはt=x+2/xの両辺にxをかけて、xの２次方程式と見てやれば、
xが実数である為のtの条件⇔xが実数解を持つ為のtの条件
だから、判別式が思いつく。
f(x)は範囲付きのtの２次関数で表されるから、tについて図示してやると最後の空欄が埋まる。

>931
＋12
＋13
＋14
＋15
＋16
＋17
＋18
＋19
＋21
・・・・・
＋98
-------

を計算すると、一の位は、1〜9がそれぞれ８回出現する。
十の位も1〜9がそれぞれ８回出現する。
よって以下略。

よろしくお願いします。○には、１桁の数字（０〜９）が入ります。

３つの数　ｘ＝0.99997/0.99996　ｙ＝(1.00001)^2　ｚ＝１/0.99999　の大小を調べる。
10^-5(１０のﾏｲﾅｽ５乗)をａとおけば、

ｚ−ｘ＝　−○ａ^2　／　(１−○ａ)(１−○ａ)

ｙ−ｘ＝　ａ(１−○ａ−○ａ^2)　／　１−○ａ

となる、よって、●＜●＜●である。(※●には、ｘ、ｙ、ｚを入れてください)

５５だった

>>935
なんか、釣りみたいで、腹たつんだけどｗ

>934
えええええ？？？
バカなので分かりません。
最後までお願いします！！！
解説つきでおねがいしましゅ

釣り師が２人いるな。

一の位の期待値５
十の位の期待値５

なぜですか？
式は、どうなるんですか？

最初の空欄は、おそらく７だと思うんです。t^2を計算して確かめたし。
でも、その後がさっぱりなんです…。

>>941
1から9まで等確率だから、平均を考えればよい

>>942
ﾈﾀかﾏｺﾄか？
一応真面目にレスっとくと、
t=x+2/xという式は、xの２次方程式とほとんど一緒なんです。
で、xが動くとtが動く→tの値に対して、2次方程式の解としてxが定まる。
と考えるんでつ。
あとは漏れの最初のレスを参照。

空気が疲れてきたな

（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋）／９

>>946
math error

＞で、xが実数と言うことはt=x+2/xの両辺にxをかけて、xの２次方程式と見てやれば、
＞xが実数である為のtの条件⇔xが実数解を持つ為のtの条件
＞だから、判別式が思いつく。

それでもいいし
創価・相乗平均の関係使うのもいいな。
x≧0なら
t=x+(2/x)≧2√2
x<0なら
-t=(-x)+(-2/x)≧2√2⇔t≦-2√2

>>932
別の考え方として、1から100まで足して5050。
ゾロ目の数の和が11+22+……+99＝495。
1桁の数の和が45。
1の位が0の数の和が550。
よって数の和は5050-495-45-550=3960。
9*8=72で割って、期待値は3960/72=55。

単純に考えたい場合はどうぞ。

初心者から上級者まで罵倒なしでﾏﾀｰﾘいこう。

>>948
おお、それも巧いね。思いつかなんだ・・・

>>948
そのあとは、ｔ≦−２√２ or ２√２≦ｔ　の範囲で、
f(x)＝−t^2 ＋７　の最大を求めればいいんですか？

>>952
そうだよ。
で、最大になるときのtからxを逆算。
ココで２次方程式を解くことになるのかな。

分かりました〜♪ありがとうございました。

できれば>>935もお願いしたいんですが…。
ちなみに、自分の答えは、

ｚ−ｘ＝　−３ａ^2　／　(１−１ａ)(１−４ａ)
ｙ−ｘ＝　ａ(１−２ａ−３ａ^2)　／　１−４ａ

までは出ました。あってるかどうかは自信ないですが…。

ｙ＝Ｘ^2
ｙ＝（ｘ−２）^2＋４ａ
と、共通接線とで囲まれる部分の面積はいくつですか？？？
お願いします。

>>955
2/3じゃないかな。

>>954
それが計算あってるかどうか、検算はしてないけど、
ソコまで来たら、後はz-x,y-xの符号を考えれば良いね。

＞９５６
数学、カナリ苦手なんです。
２個の線で囲まれた面積は分かるんですけど、
３個ってどうやって解くんですか？
お願いします。

境界点から交点まで積分したやつと交点から境界点まで積分したやつを
たせばいい

>>955
共通接線と曲線の接点のＸ座標をだす。
仮にそれをα,βと置く。この場合｜α-β｜÷１２が答え(だと思う)。

共通接線をm
C1:y=x^2 y'=2x　　C2:y=(x-2)^2+4a y'=2(x-2)

共通接線mとC1,C2との接点をそれぞれA(p,p^2),B(q,(q-2)^2+4a)とする。
接線の方程式はy=2px-(p^2)=2(q-2)x-(q^2)+4a+4
係数を比較して p=q-2かつp^2=(q^2)-4a-4
これをp,qについて解くとp=a,q=a+2
あらためて
共通接線m:y=2ax-(a^2) A(a,a^2) B(a+2,(a^2)+4a)

両放物線の交点のx座標tは２つの式を連立させて求めると、t=a+1

求める面積Ｓは
S=∫[p〜t]〈(x^2)-{2ax-(a^2)}〉dx+∫[t〜q]〈{(x-2)^2+4a}-{2ax-(a^2)}〉dx
=∫[a〜a+1](x-a)^2dx+∫[a+1〜a+2](x-a-2)^2dx
=[(1/3)*(x-a)^3][a〜a+1]+[(1/3)*(x-a-2)^3][a+1〜a+2]
=(1/3)+(1/3)
=2/3

計算おかしいかな。
しかしキーボード打つの疲れる。

ありがとうございます！
やってみます！
ちなみに、この問題はどれくらいのレベルなんでしょうか？
センターとくらべたら、どれくらいですか？

>>963
センターレベルかも。

ごめん間違えた。今確認したら|α−β|÷３でした。
ちなみにｘ^2の係数がａの時これに|ａ|を掛ければｏｋ

965も違うとつっこんでみるテスト

＞９６４
そうですか。じゃぁ、サラッととけないとですね。
ありがとうございました！

もうすぐ次スレの季節ですねえ

踊ってみますか？

まかせた

新スレできますた
移動よろしくおながいします。

∫　数学の質問スレ part11　∫
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1044828874/l50

取れかかる。

久々に来たらもう１１か！
dat落ちしていたころが懐かしい。

ほしゅ

このスレは今晩１０００取り会場になります。

975

もう誰もいないかな？

いない予感でつね。

ねむ。

うめ？

暇なので多項式の問題でも出してみるか。。
思いつくままに、易しそうなのから。

x の方程式 x^2-{√a + (1/√a)}x+1=0 を解け。

多項式P(x) = Ax^5+Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F
が次を満たすとき、A〜Fを求めよ。
P(-2)=-2, P(-1)=-1, P(0)=0, P(1)=1, P(2)=2, P(3)=4

文字式
[(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)]+[(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)]+[(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)]
を簡単にせよ。

C(n,r)を組み合わせの数とする。
C(n,1)+2C(n,2)+3C(n,3)+ ... +nC(n,n)
の値ををエレガントに計算せよ。

x^2003ではない2003次多項式P(x)と、
x^15ではない15次方程式Q(x)が次を満たすことはあるか？
P(Q(x)) = Q(P(x))

(x+y)^100を展開したときの係数のうち、奇数はいくつか？

cos(qπ)が有理数となる有理数qをすべて求めよ。

ここは　乂1000取り合戦場乂　となりますた。

　 　 　 ＼∧＿ヘ　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　,,、,、,,,　/ ＼〇ノゝ∩ ＜　1000取り合戦、いくぞゴルァ！！　　　　　　　,,、,、,,,
　　　　/三√ ゜Д゜)　/　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　,,、,、,,,
　　 　　/三/| ゜Ｕ゜|＼　　　　　　,,、,、,,,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,,、,、,,,
　,,、,、,,,　Ｕ （:::::::::::）　　,,、,、,,,　　　　　　　　　＼オーーーーーーーッ！！／
　　 　 　//三/|三|＼　　　　　∧＿∧∧＿∧ ∧＿∧∧＿∧∧＿∧∧＿∧
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1000!!

100000000000000000000000000000000000000000000

1000

sen

「連続関数ならリーマン積分可能」を証明せよ！

ageeeeeeeee

995

996！

９９７！！！

９９８

９９９！

１０００！！！

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