俺選数学標準問題集

標準〜やや難レベルの問題を貼っていくスレです

■ 掛け算/割り算
　a*b　a･b　→　a×b
　a/b　→　a ÷ b
■ 累乗　
　a^b　　→　a の b乗
■ 数列
　a[n] 　→ 数列aの第n項目
　Σ[k=1,n]a[k]　 → 数列の和
■ 積分
　∫[0,1] x^2 dx
■ ベクトル
　↑AB　↑a=(0,0,-1)
■順列・組合せ
　C[n,k]
■極限
　lim[n→∞]a[n]

解説などは余裕があるときに書きます

[1]
a,b,c,d≧0 とする

(1)
a^2+b^2≧2ab を示せ

(2)
(a)
a^3+b^3+c^3-3abc を因数分解せよ

(b)
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca≧0 を示せ

(c)
a^3+b^3+c^3≧3abc を示せ

(3)
(a)
a^4+b^4≧2(ab)^2,c^4+d^4≧2(cd)^2 を示せ

(b)
a^4+b^4+c^4+d^4≧4abcd を示せ

[2]
x,y,zは正整数で,x≦y≦zとする

(1)
(1/x)+(1/y)+(1/z)≦3/x を示せ

(2)
(1/x)+(1/y)+(1/z)=1 を満たす組(x,y,z)を求めよ

(3)☆
(1/x)+(1/y)+(1/z)<1 を満たすとき
(1/x)+(1/y)+(1/z)の最大値と,そのときの組(x,y,z)を求めよ

[3]

(1)
以下の等式を示せ

(a)
kC[n,k]=nC[n-1,k-1]

(b)
C[n,k]=C[n-1,k]+C[n-1,k-1]

(2)
以下の和を計算せよ

(a)
Σ[k=0,n]C[n,k]

(b)
Σ[k=0,n](-1)^k*C[n,k]

(c)
Σ[k=0,n]kC[n,k]

(d)
Σ[k=0,n]k^2*C[n,k]

(e)
Σ[k=0,n]{1/(k+1)}C[n,k]
(f)☆
Σ[k=0,n](C[n,k])^2

[4]

(1)
(a)
〇｜〇｜〇｜…｜〇｜〇
図のようにn個の球〇と,(n-1)個のしきり｜がある
しきりをk個選ぶ方法は何通りか

(b)
nを3以上の整数とする
以下の条件を満たす正整数x,y,zの組(x,y,z)は何通りあるか
（条件） x+y+z=n

(c)
nを3以上の整数とする
以下の条件を満たす正整数x,y,zの組(x,y,z)は何通りあるか
（条件） x+y+z≦n

(2)
(a)
〇〇…〇，｜｜…｜
図のようにn個の球〇と,m個のしきり｜がある
これらを横一列に並べる方法は何通りか

(b)
nを0以上の整数とする
以下の条件を満たす0以上の整数x,y,zの組(x,y,z)は何通りあるか
（条件） x+y+z=n

(c)
nを0以上の整数とする
以下の条件を満たす0以上の整数x,y,zの組(x,y,z)は何通りあるか
（条件） x+y+z≦n

[5]

(1)
m,nを正整数とし
I(m,n)=∫[-π,π]{cos(mx)}{cos(nx)}dx とする
以下の場合におけるI(m,n)の値を求めよ

(a)
m=nのとき

(b)
m≠nのとき

(2)
f(x)=cosx+cos(2x)+…+cos(nx)とする
y=f(x) (-π≦x≦π)とx軸で囲まれた図形を
x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ

[6]

(1)
cos3θ=cos2θを満たすθの値を求めよ

(2)
(a)
cos2θ,cos3θをそれぞれcosθの式で表せ

(b)
cos(2π/5)の値を求めよ

[7]
サイコロをn個投げる

(1)
出た目の数の最大値がk (k=1,2,…,6)以下になる確率を求めよ

(2)
出た目の数の最大値がk (k=1,2,…,6)になる確率を求めよ

[8]
N=3^100とする
また,log2=0.3010,log3=0.4771,log7=0.8450 (いずれも対数の底は10)とする

(1)
Nの1の位の数を求めよ

(2)
Nは何桁の数か求めよ

(3)
(a)
log1,log4,log5,log6,log8,log9 の値をそれぞれ求めよ

(b)
Nの最高位の数を求めよ

[9]
サイコロをn個投げたとき,出た目の数の積をX[n]とする

(1)
X[n]が2で割りきれる確率を求めよ

(2)
(a)
X[n]が2で割りきれるが,4で割りきれない確率を求めよ

(b)
X[n]が4で割りきれる確率を求めよ

(3)
(a)
X[n]が2でも3でも割りきれない確率を求めよ

(b)
X[n]が2または3で割りきれる確率を求めよ

(c)
X[n]が6で割りきれる確率を求めよ

[10]
nを正整数とする
xy平面上において,0≦y≦n^2-x^2 を満たす領域をDとする

(1)
領域Dを図示せよ

(2)
(a)
領域Dにおいて,x座標がk (kは整数で,-n≦k≦n)の
格子点(x座標、y座標がともに整数である点)の個数を求めよ

(b)
領域Dにある格子点の個数を求めよ

[11]

(1)
kを正整数とする
∫[(k-1)π,kπ]e^(-x)*|sinx|dx を求めよ

(2)
nを正整数とする
lim[n→∞]∫[0,nπ]e^(-x)*|sinx|dx を求めよ

[12]
x,y,zは
x+y+z=2,x^2+y^2+z^2=14,x^3+y^3+z^3=20,x≦y≦z
を満たす

(1)
xy+yz+zxの値を求めよ

(2)
(a)
a^3+b^3+c^3-3abcを因数分解せよ

(b)
xyzの値を求めよ

(3)
(a)
3次方程式 t^3+At^2+Bt+C=0がt=x,y,zを解に持つとき,A,B,Cの値を求めよ

(b)
x,y,zの値を求めよ

普通に市販の問題集でやった方がいいだろ

ここで解くメリットが思い浮かばない

>>15
自己満なんだし水差さなくてもいいでしょ

[13]
nは正整数とする

(1)
n-2,n,n+2を3で割った余りはそれぞれ異なることを示せ

(2)
n-2,n,n+2の全てが素数となるようなnを求めよ

[14]

(1)
1からn (n≧2)までのうちの相異なる2数の積の和をS[n]とおく
例えば,S[2]=1･2=2,S[3]=1･2+1･3+2･3=11である

(a)
(1+2+…+n)(1+2+…+n)の展開を考えることにより
(Σ[k=1,n]k)^2をΣ[k=1,n]k^2,S[n]を用いて表せ

(b)
S[n]を求めよ

(2)
1からn (n≧3)までのうちの相異なる3数の積の和をT[n]とおく
例えば,T[3]=1･2･3=6,T[4]=1･2･3+1･2･4+1･3･4+2･3･4=50である

(a)
T[n+1]をT[n],S[n]を用いて表せ

(b)
T[n]を求めよ

[15]
n人(n≧2)がじゃんけんを1回行う

(1)
k人(1≦k≦n-1)が勝つ確率を求めよ

(2)
(a)
Σ[k=1,n-1]C[n,k]=2^n -2を示せ

(b)
あいこになる確率を求めよ

(3)
(a)
kC[n,k]=nC[n-1,k-1]を示せ

(b)
Σ[k=1,n-1]kC[n,k]=n･2^(n-1)-nを示せ

(c)
あいこの場合の勝者の人数を0人として,勝者の人数の期待値を求めよ

[15]

(1)
xy-3x+2y-6を因数分解せよ
(2)
XY=6を満たす整数(X,Y)の組を全て求めよ

(3)
xy-3x+2y=12を満たす整数(x,y)の組を全て求めよ

>>20訂正

[16]

(1)
xy-3x+2y-6を因数分解せよ

(2)
XY=6を満たす整数(X,Y)の組を全て求めよ

(3)
xy-3x+2y=12を満たす整数(x,y)の組を全て求めよ

[17]

(1)
3x+7y=10を満たす整数(x,y)の組を1つ求めよ

(2)
3X+7Y=0を満たす整数(X,Y)の組を求めよ

(3)
3x+7y=10を満たす整数(x,y)の組を求めよ

(4)☆
x,yを正整数として,3x+7yの形では表すことのできないの最大の整数を求めよ

[1]
(1)
a^2+b^2≧2ab
a^2+b^2 -2ab≧0
(a-b)^2≧0

(2)(a)
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

(2)(b)
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca≧0
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca≧0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≧0

(2)(c)
a^3+b^3+c^3≧3abc
(a),(b)の結果より明らかである。

(3)(a)
a^4+b^4≧2(ab)^2
a^4+b^4-2(ab)^2≧0
(a^2-b^2)^2≧0

c^4+d^4≧2(cd)^2
(c^2-d^2)^2≧0

(3)(b)
a^4+b^4+c^4+d^4≧4abcd
(a)の結果より、2(ab)^2+2(cd)^2≧4abcdを示せばよい。
2(ab)^2+2(cd)^2-4abcd≧0
2(ab-cd)^2≧0

[2]
(1)
(1/x)+(1/y)+(1/z)≦3/x
(1/x)+(1/y)+(1/z)≦3(1/x)
条件の逆数をとって、1/x≧1/y≧1/z
したがって、(1/y)+(1/z)≦2/x


(2)分からん

(3)分からん

[3]
(1) (a)
kC[n,k]=nC[n-1,k-1]
左辺=n(n-1)(n-2)…(n-k)/(k+1)(k+2)…1
右辺=n(n-1)(n-2)…(n-k)/(k+1)(k+2)…1

(1)(b)分からん

(2)(a)〜(f)分からん

[2]
x,y,zは正整数で,x≦y≦zとする

(1)
(1/x)+(1/y)+(1/z)≦3/x を示せ

0<x≦y≦zより(1/z)≦(1/y)≦(1/x)だから
(1/x)+(1/y)+(1/z)≦(1/x)+(1/x)+(1/x)=3/x

(2)
(1/x)+(1/y)+(1/z)=1 を満たす組(x,y,z)を求めよ

(1)より
1=(1/x)+(1/y)+(1/z)≦3/x
∴x≦3

・x=3のとき
(1/x)+(1/y)+(1/z)=1
(1/3)+(1/y)+(1/z)=1
(1/y)+(1/z)=2/3

(1/z)≦(1/y)より
2/3=(1/y)+(1/z)≦(1/y)+(1/y)=2/y
∴y≦3

x=3,x≦y≦3より3≦y≦3だから満たすのはy=3のみ

x=3,y=3を代入すると
(1/x)+(1/y)+(1/z)=1
(1/3)+(1/3)+(1/z)=1
(1/z)=1/3
z=3で条件を満たす
∴(x,y,z)=(3,3,3)

・x=2のとき、・x=1のときは自力でやってみてください

[18]
サイコロを20個投げて,4以下の目の数がn個出る確率をp[n]とおく

(1)
p[n]を求めよ

(2)
p[n]/p[n-1] (n=1,2,…,20)を求めよ

(3)
p[n]/p[n-1]≧1となるnの値を求めよ
また,等号が成り立つのはどのようなときか

(4)
p[n]を最大,最小にするnの値をそれぞれ求めよ

ああ、成る程。あざすあざす。

[19]
空欄を埋めよ

(1)
n人(n≧2)を2つの部屋A,Bに配分する方法は
空の部屋があるような配分方法も含めて,全部で[a]通りある
このうち,どちらか一方の部屋にn人すべてを配分する方法は[b]通りある
したがって,どちらの部屋にも少なくとも1人がいる配分の方法は[c]通りある

(2)
n人(n≧3)を3つの部屋A,B,Cに配分する方法は
空の部屋があるような配分方法も含めて,全部で[a]通りある
このうち,空の部屋が2室であるような配分方法は[b]通りある
また,空の部屋が1室であるような配分方法は,(1)を用いて考えて,[c]通りある
したがって,どの部屋にも少なくとも1人がいる配分の方法は[d]通りある

(3)☆
n人(n≧4)を4つの部屋A,B,C,Dに配分する方法のうち
どの部屋にも少なくとも1人がいる配分の方法は[a]通りある

[19]の答え（間違えてたら指摘してね）
(1) [a] 2^n [b] 2 [c] 2^n - 2
(2) [a] 3^n [b] 3 [c] 3(2^n - 2) [d] 3^n -([b]+[c}) = 3^n - 3・2^n + 3
(3) [a] 4^n - 4・3^n + 6・2^n - 4

>>28
正解です

[20]
f(x)=(logx)/xとする

(1)
lim[x→+0]f(x)を求めよ

(2)
(a)
logx<√xを示せ

(b)
lim[x→∞]f(x)を求めよ

(3)
f(x)の増減を調べてグラフを描け

(4)
e^πとπ^eどちらが大きいか

(5)
a^b=b^a (a<b)を満たす正整数(a,b)の組を求めよ

[21]

数列{a[n]}は任意の正整数nにおいて,以下の条件を満たす
（条件）
(a[1]+a[2]+…+a[n])^2 = (a[1])^3+(a[2])^3+…+(a[n])^3
a[n]>0

(1)
a[1],a[2],a[3]の値を求めよ

(2)
a[n]を求めよ

[22]
1からn(n≧2)までの番号のついた箱と球がそれぞれn個ある
それぞれの箱に球を1個ずつ入れる
このとき,以下の条件を満たす球の入れかたをa[n]通りとする

（条件）
どの箱の番号も,入れられた球の番号と一致しない

例えば,a[2]=1,a[3]=2である

(1)
a[4],a[5]の値を求めよ

(2)
n≧4とする
番号nの箱に番号(n-1)の球が入っている
このとき(a),(b)のそれぞれの場合において
条件を満たすような入れかたをa[n-1],a[n-2]を用いて表せ

(a)
番号(n-1)の箱に番号nの球が入っている

(b)
番号(n-1)の箱に番号nの球が入っていない

(3)
n≧4とする
a[n]をa[n-1],a[n-2]を用いて表せ

(4)☆
a[n]=n!Σ[k=0,n]((-1)^k)/k! を示せ

[23]

(1)
(a)
Σ[k=1,n](k+1)^5-Σ[k=1,n]k^5 を計算せよ

(b)
(k+1)^5-k^5=ak^4+bk^3+ck^2+dk+e
を満たす定数a,b,c,d,eの値を求めよ

(c)
(b)の両辺の和をとることにより,Σ[k=1,n]k^4を求めよ

(2)☆
Σ[k=1,n]k^p (pは自然数)はnの(p+1)次多項式として表されることを
pに関する数学的帰納法を用いて示し
またそのときのn^(p+1)とn^pの係数を求めよ

[24]
mを正の整数とする

(1)
m^3<m^3+3m^2+2m+6<(m+2)^3を示せ

(2)
m^3+3m^2+2m+6はある正の整数の3乗である
mを求めよ

[25]
平面上に△ABCと点Pがあり
2↑AP+3↑BP+6↑CP=↑0
が成り立つ

(1)
点Pはどのような位置か

(2)
面積比△PBC:△PCA:△PABを求めよ

[26]
2次関数f(x)=ax^2+bx+cが以下の条件を満たす

（条件）
|f(x)|≦1 (-1≦x≦1)

(1)
a,b,cをそれぞれf(1),f(0),f(-1)を用いて表せ

(2)
|f'(x)|≦4 (-1≦x≦1)
を示せ

[27]
曲線
x=(1+cosθ)cosθ
y=(1+cosθ)sinθ (-π<θ≦π)
を考える

(1)
dx/dθ,dy/dθを求めよ

(2)
曲線の概形を描け

(3)
曲線によって囲まれた図形の面積を求めよ

(4)
曲線によって囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる
立体の体積を求めよ

明らかにレベル下げてるけど人来ないね(笑)

[28]
数直線上の点k(k=0,1,…,n)に粒子があり
粒子は1秒ごとに正,または負の方向にそれぞれ確率1/3,2/3で1だけ移動し
点0または点nに移動すると,そこで移動を停止する
粒子が最終的に点0にいる確率をp[k]とする

(1)
p[0],p[n]の値を求めよ

(2)
p[k]をp[k+1],p[k-1] (k=1,2,…,n-1)で表せ

(3)
p[k]を求めよ

[29]
rを正の実数とする

(1)
xyz空間において
x^2+z^2≦r^2,y^2+z^2≦r^2
を満たす点全体からなる立体を考える

(a)
この立体を平面z=t (-r≦t≦r)で切ったときの
切り口の面積S(t)を求めよ

(b)
この立体の体積を求めよ

(2)☆
xyz空間において
x^2+y^2≦r^2,y^2+z^2≦r^2,z^2+x^2≦r^2
を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ

[30]
a,b,cは整数で,等式 a^2+b^2=c^2 を満たすものとする

(1)
a,b,cのうち,少なくとも1つは2の倍数であることを示せ

(2)
(a)
平方数を3で割った余りとしてあり得るものを全て求めよ

(b)
a,b,cのうち,少なくとも1つは3の倍数であることを示せ

(3)
a,b,cのうち,少なくとも1つは4の倍数であることを示せ

[31]
a,bは正整数,pは素数とする

(1)
a^2-ab+b^2≧1を示せ
また,等号が成り立つときはどのようなときか

(2)
a^3+b^3=p を満たす組(a,b,p)を全て求めよ

(3)
a^3+b^3=p^2 を満たす組(a,b,p)を全て求めよ

(4)
(a)
a^2-ab+b^2≦a+b を満たす組(a,b)を全て求めよ

(b)
a^3+b^3=p^3 を満たす組(a,b,p)は存在しないことを示せ

[32]
nを正整数,pを素数とする

(1)
C[p,k] (k=1,2,…,p-1) はpで割りきれることを示せ
(2)
(n+1)^p-(n^p+1)はpで割りきれることを示せ

(3)
n^p-nはpで割りきれることを示せ

[33]
2次方程式x^2-4x-1=0の2つの実数解のうち
大きいものをα,小さいものをβとする
n=1,2,3…に対し,s[n]=α^n + β^n とおく

(1)
α,βを求めよ

(2)
(a)
s[1],s[2]を求めよ

(b)
s[n+2]をs[n+1],s[n]で表せ

(3)
(a)
s[n]が正整数であることを示し,s[2012]の1の位の数を求めよ

(b)
β^2012以下の最大の整数を求めよ

(c)
α^2012以下の最大の整数の1の位の数を求めよ

解いていいの？

もちろん

[34]
半径1の円に内接する正n角形の面積をS[n],周の長さをL[n]とおく
また,半径1の円に外接する正n角形の面積をs[n],周の長さをl[n]とおく

(1)
S[n],L[n],s[n],l[n]を求めよ

(2)
lim[n→∞]S[n],lim[n→∞]L[n],lim[n→∞]s[n],lim[n→∞]l[n]を求めよ

(3)
n<mのとき
S[n]<S[m],L[n]<L[m],s[m]<s[n],l[m]<l[n]を示せ

[35]
(1)
1辺が1の正四面体の各頂点を通る球の半径Rを求めよ

(2)
1辺が1の正四面体の各面に接する球の半径rを求めよ

[36]
コインをN枚同時に投げて,表が出たコインを取り除くという操作を行う
そして,残ったコインで同じ操作を繰り返し行い
コインが無くなった時点で試行を終了するものとする

(1)
N=1のとき

(a)
ちょうどn回目の操作で試行が終了する確率を求めよ

(b)
n回以下の操作で試行が終了する確率を求めよ

(2)
N≧1のとき

(a)
n回以下の操作で試行が終了する確率を求めよ

(b)
ちょうどn回目の操作で試行が終了する確率を求めよ

[37]
自然数nに対して
(2+√3)^n=a[n]+√3*b[n]により数列{a[n]},{b[n]}を定義する

(1)
(2-√3)^n=a[n]-√3*b[n]で表されることを示せ

(2)
(a[n])^2 - 3(b[n])^2 の値を求めよ

(3)
適当な自然数k[n]を用いて
(2-√3)^n=√k[n]-√(k[n]-1)と表されることを示せ

[38]
1辺の長さが8の正三角形ABCの辺AB,BC,CA上に
それぞれ点P,Q,RをAP=BQ=CR=3となるようにとる
線分AQと線分BRの交点をL
線分BRと線分CPの交点をM
線分CPと線分AQの交点をNとする

(1)
線分AQの長さを求めよ

(2)
線分AL,ANの長さを求めよ

(3)
△LMNの面積を求めよ

[39]
三角形ABCの外心をO,重心をG,内心をI,垂心をHとする
また,三角形の三辺の長さをAB=l,BC=m,CA=nで表すことにする

(1)
↑OGを↑OA,↑OB,↑OCで表せ

(2)
↑OIを↑OA,↑OB,↑OCで表せ

(3)
↑OH=↑OA+↑OB+↑OCで表されることを示せ

メモ

[21]
S[k](n)=1^k+2^k+3^k+…+n^kと定義する時
{S[p](n)}^a={S[q](n)}^bとなるような
自然数a,b,p,q(a,bはa＜bで互いに素)の組を求めよ

[24]
n+1,n^2+n+8が共に自然数の3乗になるような自然数nを全て求めよ

[17]おもしろそうだからやる

〔1〕
(x,y)=(1,1)

〔2〕
(X,Y)=(7n,-3n)
但しnは整数とする

〔3〕
(x,y)=(7n+1,-3n+1)
但しnは整数とする

〔4〕
rを任意の非負整数とする
r mod 3 = 0 ならば、0 以上の整数は 3x+7y の形で表せる。
従って、候補は無し。
r mod 3 = 1 ならば、7 以上の整数は 3x+7y の形で表せる。
従って、候補は 1,4 。
r mod 3 = 2 ならば、14は3*0+7*2の形であらわせるので
15 未満の非負整数でしか「3x＋7y の形で表せない値」が存在しない。
従って、候補は2,5,8,11

故に11

x,yは正整数(1,2,3,…)です…

[40](02 京大)
半径1の円周上に相異なる3点A,B,Cがある

(1)
AB^2+BC^2+CA^2>8ならば△ABCは鋭角三角形であることを示せ

(2)
AB^2+BC^2+CA^2≦9が成立することを示せ
また,この等号が成立するのはどのような場合か

[41](96 東北大)
xy平面の点(0,1)を中心とする半径1の円をCとし
第1象限にあってx軸とCに接する円C[1]を考える
次に,x軸,C,C[1]で囲まれた部分にあって,これらに接する円をC[2]とする
以下同様に,C[n](n=2,3,…)をx軸,C,C[n-1]で囲まれた部分にあって
これらに接する円とする

(1)
C[1]の中心のx座標をaとするとき,C[1]の半径r[1]をaを用いて表せ

(2)
C[n]の半径r[n]をaとnを用いて表せ

[42](10 京大)
n個のボールを2n個の箱へ投げ入れる
各ボールはいずれかの箱に入るものとし,どの箱に入る確率も等しいとする
どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率をp[n]とする
このとき,極限値
lim[n→∞](log p[n])/n
を求めよ

[43](08 東工大)
nを自然数,P(x)をn次多項式とする
P(0),P(1),…,P(n)が整数ならば
すべての整数kに対し,P(k)は整数であることを証明せよ

[44](96 東大)
nを正の整数とし,n個のボールを3つの箱に分けて入れる問題を考える
ただし,1個のボールも入らない箱があってもよいものとする
以下に述べる4つの場合について,それぞれ相異なる入れ方の総数を求めたい

(1)
1からnまで異なる番号のついたn個のボールを
A,B,Cと区別された3つの箱に入れる場合
その入れ方は全部で何通りあるか

(2)
互いに区別のつかないn個のボールを
A,B,Cと区別された3つの箱に入れる場合
その入れ方は全部で何通りあるか

(3)
1からnまで異なる番号のついたn個のボールを
区別のつかない3つの箱に入れる場合
その入れ方は全部で何通りあるか

(4)
nが6の倍数6mであるとき
n個の互いに区別のつかないボールを
区別のつかない3つの箱に入れる場合
その入れ方は全部で何通りあるか

[45](84 創価大)
0≦x≦1,0≦y≦1の範囲で
(x-2y+1)^2+(x+y-1)^2
の最大値と最小値を求めよ

>>55
やっちまった・・・
じゃあそれに10を足した21かな？

>>57

(1)
r[1]=a^2/4

(2)
r[n]=2^[{(-1)^n-1}*2log2a+{(-1)^n}-1]


むむむ
あたってる気がしないぞ！

>>61
まず、与式をｘについての二次式とみて、与えられた定義域における値域を求める
で、最大値と最小値それぞれにおけるｙについての二次式を、与えられた定義域における値域を求める

>>62
正解
>>63
(2)が違う

[46](84 同志社大)
同一直線上にない3点O,A,Bがあり,↑OA=↑a,↑OB=↑bとする

(1)
点C,Dをそれぞれ↑OC=2↑a,↑OD=3↑bを満たす点とし
線分ADと線分BCの交点をEとする
↑OEを↑a,↑bで表せ

(2)
点P,Qはそれぞれ↑OP=s↑a,↑OQ=t↑bを満たす点であるとき
線分AQと線分BPが↑OR=(1/2)↑a+(2/3)↑bを満たす点Rで交わるように
s,tの値を定めよ

[47](97 東京理科大)
平面上のベクトル↑a,↑bが
|↑a+3↑b|=1,|3↑a-↑b|=1を満たすように動く
このとき,|↑a+↑b|の最大値をR,最小値をrとする
Rとrを求めよ

[48](84 東邦大)
I[1]=∫[0,π/2]{(sinx)^3/(sinx+cosx)}dx
I[2]=∫[0,π/2]{(cosx)^3/(sinx+cosx)}dx
とおくとき

(1)
I[1]+I[2]を計算せよ

(2)
I[1]とI[2]の関係を導いて,それらの値を求めよ

[49](83 鹿児島大)
関数f(x)のx=aにおける微分係数f'(a)が存在するとき
次の極限値を求めよ
ただし,nは正の整数とし,a≠0とする
lim[x→a](x^n*f(x)-a^n*f(a))/(x^n-a^n)

[50](86 東工大)
整数a[n]=19^n+(-1)^(n-1)*2^(4n-3) (n=1,2,3,…)
のすべてを割り切る素数を求めよ

[51](08 京大)
次の式で与えられる底面の半径が2,高さが1の円柱Cを考える
C={(x,y,z)|x^2+y^2≦4,0≦z≦1}
xy平面上の直線y=1を含み,xy平面と45ﾟの角をなす平面のうち
点(0,2,1)を通るものをHとする
円柱Cを平面Hで二つに分けるとき,点(0,2,0)を含む方の体積を求めよ

[52](05 一橋大)
(1)
p,2p+1,4p+1がいずれも素数であるようなpをすべて求めよ

(2)
q,2q+1,4q-1,6q-1,8q+1がいずれも素数であるようなqをすべて求めよ

ここで解くメリットがわからない

[53](00 阪大)
点Oを中心とする円を考える
この円の円周上に3点A,B,Cがあって
↑OA+↑OB+↑OC=↑0
を満たしている
このとき,三角形ABCは正三角形であることを証明せよ

[54](06 京大)
△ABCの内心をPとする
↑PA+↑PB+↑PC=↑0が成り立っているとき
この三角形は正三角形であることを示せ

[55](93 京大)
n≧3とする
1,2,…,nのうちから重複を許して6個の数字をえらびそれを並べた順列を考える
このような順列のうちで,どの数字もそれ以外の5つの数字のどれかに
等しくなっているようなものの個数を求めよ

[56](75 名大)
三角形ABCにおいて,∠C=n∠Bならば
b<c<nb (b=CA,c=AB)であることを証明せよ
ただし,nは2以上の整数とする

[57](82 東工大)
nを自然数とする
半径1/nの円を互いに重なり合わないように半径1の円に外接させる
このとき外接する円の最大個数をa[n]とする
lim[n→∞]a[n]/nを求めよ

[58](74 京大)
0≦α<β<γ<2πであって
cosα+cosβ+cosγ=0,sinα+sinβ+sinγ=0
であるという
β-αとγ-βの値を求めよ

[59](05 京大)
先頭車両から順に1からnまでの番号のついたn両編成の列車がある
ただしn≧2とする
各車両を赤色,青色,黄色のいずれか一色で塗るとき
隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような塗り方は何通りか

[60](00 千葉大)
nが3以上の整数のとき
x^n+2y^n=4z^n
を満たす整数x,y,zはx=y=z=0以外に存在しないことを証明せよ

[61](11 新潟大)
実数a,b,cに対して,3次関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cを考える
このとき,次の問いに答えよ

(1)
f(-1),f(0),f(1)が整数であるならば
すべての整数nに対して,f(n)は整数であることを示せ
(2)
f(2010),f(2011),f(2012)が整数であるならば
すべての整数nに対して,f(n)は整数であることを示せ

解答のない問題集ほど要らないものはない

自己満クソスレ乙

[62](96 京大)
nを3以上の整数とする
円周上のn等分点のある点を出発点とし
n等分点を一定の方向に次のように進む
各点でコインを投げ,表が出れば次の点に進み
裏が出れば次の点を飛び越しその次の点に進む

(1)
最初に1周まわったとき,出発点を飛び越す確率p[n]を求めよ

(2)
kは2以上の整数とする
k-1周目までは出発点を飛び越し
k周目に初めて出発点を踏む確率をq[n,k]とする
このときlim[n→∞]q[n,k]を求めよ

[63](00 京大)
円に内接する四角形ABPCは次の条件(ｲ),(ﾛ)を満たすとする
(ｲ)三角形ABCは正三角形である
(ﾛ)APとBCの交点は線分BCをp:1-p (0<p<1)の比に内分する
このときベクトル↑APを↑AB,↑AC,pを用いて表せ

[64](72 東京医科歯科大)
x[n]=∫[0→π/2](sinθ)^n dθ (n=0,1,2,…)
のとき次の問に答えよ

(1)
x[n]={(n-1)/n}x[n-2]であることを示せ

(2)
nx[n]x[n-1]の値を求めよ

(3)
数列{x[n]}は減少数列であることを示せ

(4)
lim[n→∞]n(x[n])^2を求めよ

[65](82 岐阜大)
αを0<α<1の有理数とし,x>0,y>0の範囲でx^α+y^α=1を考える
この曲線上の点Pにおける接線が両座標軸と交わる点をA,Bとするとき
線分ABの長さがPの位置に関係なく一定となるようなαの値を求めよ

[66](92 京大･改)
サイコロをくり返しn回振って,出た目の数を掛け合わせた積をXとする
すなわち,k回目に出た目の数をY[k]とすると,X=Y[1]Y[2]…Y[n]

(1)
Xが3で割り切れる確率p[n]を求めよ

(2)
Xが4で割り切れる確率q[n]を求めよ

(3)
Xが6で割り切れる確率r[n]を求めよ

[67](72 京大)
実数または複素数のx,y,z,aについて
x+y+z=a,x^3+y^3+z^3=a^3
の2式が成立するとき
x,y,zのうちの少なくとも一つはaに等しいことを示せ

[68](84 筑波大)
f(x)=x^3-(3/4)xとする

(1)
f(x)の区間[-1,1]における最大値,最小値,およびそれらを与えるxの値を求めよ

(2)
x^3の係数が1である3次関数g(x)が区間[-1,1]で,|g(x)|≦1/4をみたすとき
g(x)-f(x)は恒等的に0であることを示せ

[69](79 京都府医大)
1回の試行で事象Aの起こる確率はpであって
Aが起これば2点,起こらなければ1点の得点が与えられる
この試行をくり返し行うとき,得点が途中で丁度n点となる確率をp[n]とする
ただし,p[0]=1とする

(1)
p[n](n≧2)をp[n-1],p[n-2],pで表せ
つぎに,p[n]をn,pの式で表せ

(2)
得点の合計が途中でn点とならないで2n点となる確率を求めよ

[70](85 お茶の水女大)
a,b,cは整数で,a^3+2b^3+4c^3=2abcとする

(1)
a,b,cはいずれも偶数であることを示せ

(2)
a=b=c=0であることを示せ

[71](98 東大)
xyz空間に5点A(1,1,0),B(-1,1,0),C(-1,-1,0),D(1,-1,0),P(0,0,3)をとる
四角錐PABCDのx^2+y^2≧1をみたす部分の体積を求めよ

自己満スレなんだからsageろや(^p^)凸

[72](85 弘前大)
2つの数列{a[n]},{b[n]}は関係式
b[n]=(1･a[1]+2･a[2]+…+n･a[n])/(1+2+…+n) (n=1,2,…)
をみたしている

(1)
{a[n]}が等差数列ならば,{b[n]}も等差数列であることを示せ
(2)
{b[n]}が等差数列ならば,{a[n]}も等差数列であることを示せ

[73](10 京大)
座標空間内で
O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,1),E(1,0,1),F(1,1,1),G(0,1,1)
を頂点にもつ立方体を考える
この立方体を対角線OFを軸に回転させて得られる回転体の体積を求めよ

[74](04 早大)
nを自然数とする
n,n+2,n+4がすべて素数であるのはn=3の場合だけであることを示せ

[75](04 東工大)
場所1から場所nに異なるn個のものが並んでいる
これらを並べ替えてどれもが元の位置にならないようにする方法の総数をD(n)とする
ただしn≧2とする

(1)
n=4の場合の並べ替え方をすべて書き出して,D(4)を求めよ
(2)
n≧4に対して
D(n)=(n-1){D(n-2)+D(n-1)}
を証明せよ

[76](09 阪大)
以下の問いに答えよ

(1)
√3が無理数であることを証明せよ
(2)
a,bを有理数とする
多項式f(x)=x^2+ax+bがf(1+√3)=0を満たすとき,a,bを求めよ
(3)
nを2以上の自然数とする
g(x)は有理数を係数とするn次多項式で最高次の係数が1であるとする
g(1+√3)=0となるとき,g(1-√3)=0を示せ

[77]((1)99 早大 (2)01 千葉大)
(1)
次の問に答えよ
(a)
a+b≧a^2-ab+b^2をみたす正の整数の組(a,b)をすべて求めよ
(b)
a^3+b^3=p^3をみたす素数pと正の整数a,bは存在しないことを示せ

(2)
自然数x,yを用いてp^2=x^3+y^3と表せるような素数pをすべて求めよ
また,このときのx,yをすべて求めよ

[78](84 東工大)
a,bを正の整数とする
(1)
c=a+b,d=a^2-ab+b^2とおくとき
不等式 1＜c^2/d≦4 が成り立つことを示せ
(2)
a^3+b^3が素数の整数乗になるa,bをすべて求めよ

[79](12 一橋大)
最初に1の目が上面にあるようにサイコロが置かれている
その後,4つの側面から1つの面を無作為に選び
その面が上面になるように置き直す操作をn回繰り返す
なお,サイコロの向い合う面の数の和は7である

(1)
最後に1の目が上面にある確率を求めよ
(2)
最後に上面にある目の数の期待値を求めよ

[80](80 東大)
1辺の長さが1の正三角形ABCの辺BC,CA,AB上に
それぞれ点P,Q,RをBP=CQ=AR<1/2となるようにとり
線分APと線分CRの交点をA',線分BQと線分APの交点をB',線分CRと線分BQの交点をC'とする
BP=xとして,次の問に答えよ

(1)
BB',PB'をxを用いて表せ
(2)
三角形A'B'C'の面積が三角形ABCの面積の1/2となるようなxの値を求めよ

[81](06 東大)
x>0を定義域とする関数
f(x)=12{e^(3x)-3e^x}/{e^(2x)-1}
について,以下の問いに答えよ

(1)
関数y=f(x)(x>0)は,実数全体を定義域とする逆関数を持つことを示せ
すなわち,任意の実数aに対して,f(x)=aとなるx>0がただ1つ存在することを示せ
(2)
前問(1)で定められた逆関数をy=g(x)(-∞<x<∞)とする
このとき,定積分∫[8,27]g(x)dxを求めよ

[82](10 京大)
1<a<2とする
3辺の長さが√3,a,bである鋭角三角形の外接円の半径が1であるとする
このときaを用いてbを表せ

[83](85 一橋大)
三角形の2辺の長さがa,bで,外接円の半径がrであるとき,第三辺の長さを求めよ
ただし,a<b<2rとする

[84](80 慶大)
x+y+z=2,x^2+y^2+z^2=14,x^3+y^3+z^3=20
を満たすx,y,zを3解とするtの3次方程式は
t^3+[ア]t^2+[イ]t+[ウ]=0
である
これから,上の連立方程式の解は,x≦y≦zとすると
(x,y,z)=[エ]である

[85](83 和歌山県医大)
三角形ABCの内心をI,外心をO,垂心をH,重心をGとする
三角形の三辺の長さをAB=l,BC=m,CA=nで表すことにする
ベクトル↑OI,↑OH,↑OGを,ベクトル↑OA,↑OB,↑OCの一次結合として表せ

[86](94 関西学院大)
n人(n≧4)の学生がいる
(1)
n人を2つの教室A,Bに配分する方法は
空の教室があるような配分方法も含めて,全部で[ア]通りある
このうち,どちらか一方の教室にn人すべてを配分する方法は[イ]通りあり,したがって
どちらの教室にも少なくとも1人の学生が含まれるような配分の方法は[ウ]通りある
(2)
同様に,n人の学生を3つの教室A,B,Cに配分するとき
空の教室が1室であるような配分の方法は[エ]通りある
したがって,どの教室にも少なくとも1人の学生を配分する方法は[オ]通りある
さらに,n人の学生を4つの教室A,B,C,Dに
どの教室にも少なくとも1人の学生が含まれるような配分の方法は[カ]通りある

[87](81 都立大)
x,y,zは自然数で,x≦y≦zとする
(1)
(1/x)+(1/y)+(1/z)=1 を満たすx,y,zの値の組をすべて求めよ
(2)
x,y,zが不等式 (1/x)+(1/y)+(1/z)<1 を満たすとき
(1/x)+(1/y)+(1/z)の最大値および最大値を与えるx,y,zの値を求めよ

[88](81 学習院大)
実数a,b,cに対して,-1≦x≦1…�@において -1≦ax^2+bx+c≦1 が成り立つならば
�@において -4≦2ax+b≦4 が成り立つことを証明せよ

[89](04 旭川医大)
a,b,cはどの2つも1以外の共通な約数をもたない正の整数とする
a,b,cが a^2+b^2=c^2 を満たしているとき,次の問いに答えよ
(1)
cは奇数であることを示せ
(2)
a,bの1つは3の倍数であることを示せ
(3)
a,bの1つは4の倍数であることを示せ

なかなか頑張るな

俺は見てる頑張れ

[90](12 京都府立医科大)
xを実数とし,三辺の長さが1,xおよび2-xの三角形を考える
(1)
xの取り得る値の範囲を求めよ
(2)
長さ1の辺と長さxの辺のなす角の大きさをθとするとき,cosθをxを用いて表せ
(3)
三角形の面積をxを用いて表せ
(4)
三角形を長さxの辺のまわりに1回転させてできる立体の体積をV(x)とおく
V(x)の最大値とそのときのxを求めよ

[91](84 弘前大)
数列{a[n]}(n=1,2,3,…)において
Σ[k=1,n]{(k+1)(k+2)/3^(k-1)}a[k]=-(1/4)(2n+1)(2n+3)
が成り立っている
次の問に答えよ
(1)
a[n]をnの式で表せ
(2)
Σ[k=1,n]a[k]を求めよ

[92](02 京大)
数列{a[n]}の初項a[1]から第n項a[n]までの和をS[n]と表す
この数列が
a[1]=1,lim[n→∞]S[n]=1,n(n-2)a[n+1]=S[n] (n≧1)
を満たすとき,一般項a[n]を求めよ

[93](83 埼玉大)
n個の等式
(k+1)^2-k^2=2k+1 (k=1,2,…,n)
の左辺,右辺をそれぞれ加え合わせることにより
(n+1)^2-1=2(Σ[k=1,n]k)+n がえられ,これから
Σ[k=1,n]k=(1/2)n^2+(1/2)n が導かれる
この方法を一般化して
Σ[k=1,n]k^p (pは自然数)はnのp+1次の多項式として表されることを
pに関する数学的帰納法を用いて示し
またそのときのn^(p+1)とn^pの係数を求めよ

[94](99 東京理科大)
1つのサイコロをn回続けて投げて
出た目の数を順にa[1],a[2],…,a[n]とするとき
(a[1]/7)+(a[2]/7^2)+…+(a[n]/7^n)>1/2
となる確率をp[n]とおく
p[1]=[ア],p[2]=[イ]である
またlim[n→∞]p[n]=[ウ]となる

[95](88 京大)
f(x)=ax^3+bx^2+cxをxの3次式とする
すべての整数nに対してf(n)が整数になるための必要十分条件は
適当な整数p,q,rをとると
f(x)=(p/6)x(x+1)(x+2)+(q/2)x(x+1)+rx
と表されることであることを示せ

[96](81 学習院大)
f(x)=ax^3+bx^2+cx+dは有理数を係数とする多項式であって
任意のの整数nに対し,f(n)はつねに整数になるとする
このとき,f(x)の係数の6倍は整数であることを証明せよ

[97](89 山形大)
いくつかの連続な自然数の和が1000であるとき,この連続な自然数を求めよ

[98](10 北大)
1辺の長さがaの正三角形D[0]から出発して
多角形D[1],D[2],…,D[n],…を次のように定める

(i)
ABをD[n-1]の1辺とする
辺ABを3等分し,その分点をAに近いほうからP,Qとする
(ii)
PQを1辺とする正三角形PQRをD[n-1]の外側に作る
(iii)
辺ABを折れ線APRQBで置き換える

D[n-1]のすべての辺に対して(i)〜(iii)の操作を行って得られる多角形をD[n]とする
以下の問いに答えよ

(1)
D[n]の周の長さL[n]をaとnで表せ
(2)
D[n]の面積S[n]をaとnで表せ
(3)
lim[n→∞]S[n]を求めよ

これ解説も載ってたら結構ありがたいんだけどなぁ

[99](80 三重大)
a,b,c,dを整数とする
整式
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
において,f(-1),f(0),f(1)がいずれも3で割り切れないならば
方程式f(x)=0は整数の解をもたないことを証明せよ

>>80みたいな問題の漸化式をぱぱっと立てられる人は尊敬する

[100](82 九大)
整数を係数とするn次の整式
f(x)=x^n+a[1]x^(n-1)+…+a[n-1]x+a[n] (n>1)
について,次の(1),(2)を証明せよ
(1)
有理数αが方程式f(x)=0の1つの解ならば,αは整数である
(2)
ある自然数k(>1)に対して
k個の整数f(1),f(2),…,f(k)のどれもがkで割り切れなければ
方程式f(x)=0は有理数の解をもたない

現時点では問題をとりあえず集める段階
解説が特に欲しい問題があれば言ってくださ

良スレ

[101](04 東大)
関数f[n](x) (n=1,2,3,…)を次のように定める
f[1](x)=x^3-3x
f[2](x)={f[1](x)}^3-3f[1](x)
f[3](x)={f[2](x)}^3-3f[2](x)
以下同様に,n≧3に対して関数f[n](x)が定まったならば
関数f[n+1](x)を
f[n+1](x)={f[n](x)}^3-3f[n](x)
で定める
このとき,以下の問いに答えよ
(1)
aを実数とする
f[1](x)=aをみたす実数xの個数を求めよ
(2)
aを実数とする
f[2](x)=aをみたす実数xの個数を求めよ
(3)
nを3以上の自然数とする
f[n](x)=0をみたす実数xの個数は3^nであることを示せ

[102](09 東工大)
点Pから放物線y=(1/2)x^2へ2本の接線が引けるとき,2つの接点をA,Bとし
線分PA,PBおよびこの放物線で囲まれる図形の面積をSとする
PA,PBが直交するときのSの最小値を求めよ

[103](99 京大)
(1)
f(x)はa≦x≦bで連続な関数とする
このとき
(1/(b-a))∫[a→b]f(x)dx=f(c) a≦c≦b
となるcが存在することを示せ
(2)
y=sinxの0≦x≦π/2の部分とy=1およびy軸が囲む図形を
y軸のまわりに回転して得られる立体を考える
この立体をy軸に垂直なn-1個の平面によって
各部分の体積が等しくなるようにn個に分割するとき
y=1に最も近い平面のy座標をy[n]とする
このとき
lim[n→∞]n(1-y[n])
を求めよ

[104](00 千葉大)
最初袋の中に1個の白玉と1個の赤玉が入っている
袋の中から無作為に玉を1個取り出し
得られた玉の色と同じ色の玉を2個袋の中に入れる試行を繰り返す
この試行を行うたびに袋の中の玉の数は1個増加する
(1)
試行を2回行った後に袋に入っている白玉の個数の期待値を求めよ
(2)
試行をn回行った後に袋に入っている白玉の個数が
1個である確率を求めよ
(3)
試行をn回行った後に袋に入っている白玉の個数が
k個(1≦k≦n+1)である確率を求めよ

[105](78 日本獣医畜産大)
袋の中にk個(k=1,2,…,2n-1)の球が入っている
さいころを振って
1または2の目が出れば袋に1個の球を入れ
3以上の目が出れば袋から1個の球を取り出す
このような操作を袋の中の球がなくなるか
または2n個になるまで続ける
最初袋の中にk個の球が入っているとき
袋の中の球がなくなる確率をp[k]で表すとき(k=0,1,…,2n)
(1)
p[k-1],p[k],p[k+1] (k=1,2,…,2n-1) の間に成り立つ関係式を求めよ
(2)
p[n]をnで表せ

[106](96 麻布大)
正n角形と各頂点から放射状に伸ばした線とで区分けされ
方向の固定された図を『n角地図』と呼ぶことにする
n角地図を異なる4色で塗り分ける場合について以下の各問に答えよ
ただし,同じ色を何回使ってもよいが(使わなくてもよい)
隣り合う領域とは異なる色でなければならない
(1)
3角地図,4角地図,5角地図を塗り分ける場合の数をそれぞれ求めよ
(2)
n角地図(n>3)を塗り分ける場合の数を求めよ

[107](?? 新潟大)
n人(n≧2)で1回だけジャンケンをする
勝者の人数をXとして
(1)
kを1≦k≦nである整数とするとき
kC[n,k]=nC[n-1,k-1]を示せ
(2)
X=k(k=1,2,…,n-1)である確率を求めよ
(3)
X=0,すなわち勝負が決まらない確率を求めよ
(4)
Xの期待値を求めよ

[108](03 京大)
四面体OABCは次の2つの条件
(i) OA⊥BC,OB⊥AC,OC⊥AB
(ii) 4つの面の面積がすべて等しい
をみたしている
このとき,この四面体は正四面体であることを示せ

[109](79 京大)
次の条件をみたしていて
かつ最高次の係数が1であるxの整式P[1](x),P[2](x),P[3](x)を求めよ
(1)
P[1](x)は1次式であって,どんな定数Cに対しても
∫[-1,1]P[1](x)Cdx=0
(2)
P[2](x)は2次式であって,1次以下のどんな整式f(x)に対しても
∫[-1,1]P[2](x)f(x)dx=0
(3)
P[3](x)は3次式であって,2次以下のどんな整式f(x)に対しても
∫[-1,1]P[3](x)f(x)dx=0

[110](98 奈良女子大)
実数xに対して,その整数部分を[x]で表す
すなわち[x]は不等式[x]≦x＜[x]+1をみたす整数である
(1)
実数xに対して,等式
[x]+[x+(1/3)]+[x+(2/3)]=[3x]
を示せ
(2)
正の整数n,実数xに対して,等式
[x]+[x+(1/n)]+[x+(2/n)]+[x+((n-1)/n)]=[nx]
を示せ

[111](99 東大)
(1)
kを自然数とする
mをm=2^kとおくとき,0<n<mを満たすすべての整数nについて
二項係数C[m,n]は偶数であることを示せ
(2)
以下の条件を満たす自然数mをすべて求めよ
条件:0≦n≦mを満たすすべての整数nについて二項係数C[m,n]は奇数である

[112](09 北大)
自然数nに対して
a[n]=∫[0,π/4](tanx)^(2n)dx
とおく
このとき,以下の問いに答えよ
(1)
a[1]を求めよ
(2)
a[n+1]をa[n]で表せ
(3)
lim[n→∞]a[n]を求めよ
(4)
lim[n→∞]Σ[k=1,n]{(-1)^(k+1)}/(2k-1)を求めよ

[113](05 名大)
f(x)=|e^(-x)*sinx|とする
曲線y=f(x)の(n-1)π≦x≦nπ(nは自然数)の部分と
x軸で囲まれる図形の面積をS[n]とする
つぎの各問に答えよ
(1)
0≦x≦2πの範囲で
f(x)=0を満たすxの値およびf(x)の極大値を与えるxの値を求めよ
(2)
不定積分∫e^(-x)*sinxdxを求めよ
(3)
面積S[n]を求めよ
(4)
無限級数の和Σ[n=1,∞]S[n]を求めよ

[114](93 京大)
nを4以上の自然数とする
(1+x+x^2+x^3+x^4)^nを展開したときのx^4の係数を求めよ

[115](84 京都教育大)
相異なるn個(n≧3)の正の数からなる集合S={a[1],a[2],…,a[n]}において
a[i]-a[1](i=2,3,…,n)がすべてSの要素
であるとき,数列a[1],a[2],…,a[n]はその順序を適当に入れかえると
等差数列になることを証明せよ

[116](01 一橋大)
1からnまでの数字を1つずつ書いたn枚のカードがある
ただし,n≧2とする
(1)
このn枚のカードから一度に2枚選び,大きい方の数字をXとする
Xの期待値E[1]を求めよ
(2)
このn枚のカードから1枚選び,その数字をX[1]とする
そのカードをもとに戻し,改めて1枚選び,その数字をX[2]とする
X[1]とX[2]の小さくない方の数字をYとする
Yの期待値E[2]を求めよ

[117](03 北大)
半径1の円に内接する正n角形がxy平面上にある
ひとつの辺ABがx軸に含まれている状態から始めて
正n角形を図のようにx軸上をすべらないようにころがし
再び点Aがx軸に含まれる状態まで続ける
点Aの描く軌跡の長さをL(n)とする
(1)
L(6)を求めよ
(2)
lim[n→∞]L(n)を求めよ

[118](02 一橋大)
最初の試行で3枚の硬貨を同時に投げ,裏が出た硬貨を取り除く
次の試行で残った硬貨を同時に投げ,裏が出た硬貨を取り除く
以下この試行をすべての硬貨が取り除かれるまでくり返す
(1)
試行が1回目で終了する確率p[1],および2回目で終了する確率p[2]を求めよ
(2)
試行がn回以上行われる確率q[n]を求めよ

[119](04 九大)
nを3以上の自然数とする
スイッチを入れると等確率で赤色または青色に輝く電球が
横一列にn個並んでいる
これらのn個の電球のスイッチを同時に入れた後
左から電球の色を見ていき,色の変化の回数を調べる
(1)
赤青…青,赤赤青…青,……のように
左端が赤色で色の変化がちょうど1回起きる確率を求めよ
(2)
色の変化が少なくとも2回起きる確率を求めよ
(3)
色の変化がちょうどm回(0≦m≦n-1)起きる確率を求めよ
(4)
色の変化の回数の期待値を求めよ

[120](76 同志社大)
(2p-1)/q,(2q-1)/pがともに整数のとき,整数p,qの組を求めよ
ただし,p>q>1とする

[121](06 北大)
1つのさいころを投げ続けて,同じ目が2回連続して出たら終了するものとする
(1)
4回目以内(4回目も含む)に終了する確率を求めよ
(2)
r回目以内(r回目も含む)に終了する確率を求めよ
ただし,r≧2とする

[122](93 東大)
すべての面が合同な正四面体ABCDがある
頂点A,B,Cはそれぞれx,y,z軸上の正の部分にあり
辺の長さはAB=2l-1,BC=2l,CA=2l+1 (l>2)である
四面体ABCDの体積をV(l)とするとき,次の極限値を求めよ
lim[l→2]V(l)/√(l-2)

[123](99 京大)
△ABCは鋭角三角形とする
このとき,各面すべてが△ABCと合同な四面体が存在することを示せ

[124](75 東大)
数列{a[n]}の項が
a[1]=√2,a[n+1]=√(2+a[n]) (n=1,2,3,…)によって与えられているものとする
このとき
a[n]=2sin(θ[n]),0<θ[n]<π/2を満たすθ[n]を見いだせ
またlim[n→∞]a[n]を求めよ

[125](07 関西大)
すべての自然数nについて, 0<a[n]<1となる数列{a[n]}が
a[1]=3/4 および漸化式 a[n+1]=(1-√(1-a[n])/2 (n=1,2,3,…)
を満たしているとする
次の問いに答えよ
(1)
a[n]=(sin(θ[n]))^2 (0<θ[n]<π/2,n≧1) とおく
θ[1]の値を求め,数列{θ[n]}の漸化式を導け
(2)
(1)で与えられた数列{θ[n]}の一般項を求めよ
(3)
lim[n→∞](2^(2n))a[n]を求めよ

[126](78 東大)
三角形ABCにおいて,各辺の長さを,BC=a,CA=b,AB=cと記す
いま辺BCをn等分する点をP[1],P[2],…,P[n-1]とし,P[n]=Cとする
このとき極限
lim[n→∞](1/n){(AP[1])^2+(AP[2])^2+…+(AP[n])^2}
を求め,これをa,b,cで表せ

[127](12 東工大)
log[10]3=0.4771として,Σ[n=0,99]3^n の桁数を求めよ

[128](83 広島大)
任意の正の実数xに対して
F(x)=lim[n→∞]Σ[i=1,n]|sin{((2i+1)/(2n))x}-sin{((2i-1)/(2n))x}|
とする
F(x)の導関数F'(x)を求めよ
また,F(2π)を求めよ

[129](84 筑波大)
曲線y=(sinx)^n (0<x<π/2,n=2,3,…)
の変曲点の座標を(a[n],b[n])とする
数列{a[n]},{b[n]}の極限値を求めよ

[130](60 京大)
1辺の長さがaである正方形ABCDの対角線の交点Oを中心として
この正方形をその平面内でθ(0ﾟ<θ<90ﾟ)回転したものをA'B'C'D'とする
はじめの正方形とあとの正方形との共通部分の面積Tを求めよ
またθを変化させるとき,Tの最小値を求めよ

[131](02 大阪教育大)
自然数nをそれより小さい自然数の和として表すことを考える
ただし,1+2+1と1+1+2のように和の順序が異なるものは別の表し方とする
例えば,自然数2は1+1の1通りの表し方ができ
自然数3は2+1,1+2,1+1+1の3通りの表し方ができる
(1)
自然数4の表し方は何通りあるか
(2)
自然数5の表し方は何通りあるか
(3)
2以上の自然数nの表し方は何通りあるか

[132](84 滋賀医大)
二等辺三角形ABCがある
AB=AC=10cm,∠A=π/6とする
いま等辺AB,ACをともに2.5％増やし,∠Aを変えないときの面積の増加をΔ[1]S
また∠Aを4％増やし,2つの等辺の長さを変えないときの面積の増加をΔ[2]Sとする
Δ[1]SとΔ[2]Sといずれが大きいか

[133](77 神戸大)
三角形ABCにおいて3辺AB,BC,CAの長さが,それぞれ1,2,xであるとする
このとき,次の問(1),(2)に答えよ
(1)
三角形ABCの面積を最大にするxの値を書け
(2)
三角形ABCの内角Cを最大にするxの値を求めよ
また,そのときの最大値を求めよ

[134](62 神戸大)
2つの放物線y=x^2+ax+b,y=x^2+px+q (a≠p)の交点のx座標をαとし
この両方の放物線に接する直線の2接点のx座標をβ,γとする
α,β,γの間にどんな関係があるか

[135](96 早大)
x-y平面において,x座標,y座標が共に整数である点(x,y)を格子点という
いま,互いに異なる5つの格子点を任意に選ぶと
その中に次の性質をもつ格子点が少なくとも一対は存在することを示せ

一対の格子点を結ぶ線分の中点がまた格子点となる

おつかれ　時間あったら解説もほしい

素晴らしいスレだが、
「ここで挙がってるこの問題よりも同等なこの問題の方がより良い
（より解法のポイントが明確（雑音が少ない）、学習効果が高い、などの点で）」
という指摘や議論があれば、もっと有意義なものになるのにな。

そうやって代替問題を組み入れていけばもっとエッセンスが凝縮された
質の高い問題集が出来上がるんじゃないかな。

このような議論を起こりやすくするためにも
スレ主には問題に標題を付けて投稿してもらいたい。

例）
[1]【絶対不等式（有名な式変形）】
[2]【整数問題（式の評価）】

解法が使えるとか典型問題で選んだりしてるので
特に標題はないです

[136](71 熊本大)
a,bが実数のとき,次の不等式を証明せよ
{|a|/(1+|a|)}+{|b|/(1+|b|)}≧{|a+b|/(1+|a+b|)}

[137](71 第一薬科大)
a,b,cが正の数でa^2+b^2=c^2ならば
a+b>cで,かつa^3+b^3<c^3であることを証明せよ

[138](01 一橋大)
mを正の整数とする
m^3+3m^2+2m+6はある正の整数の3乗である
mを求めよ

[139](75 お茶の水女子大)
実数a,b,cが
a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0
を満足していればa>0,b>0,c>0であることを証明せよ

[140](75 奈良県立医科大)
x+y+z=(1/x)+(1/y)+(1/z)=1のとき
x,y,zのうち少なくとも1つは1に等しいことを示せ

[141](75 愛知教育大)
√(100^2+100+1)-100の値を,小数第2位まで求めよ(小数第3位を切り捨てよ)

[142](00 高知大)
aとbを正の整数とする
任意の正の整数nに対して
(n^3+an-2)/(n^2+bn+2)
の値が整数となるようにaとbの値を定めよ

[143](01 筑波大)
実数a,b,c,dが4つの等式
a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,ac+bd=0,ad+bc=0
を満たすとき,積abcdの値を求めよ

[144](71 早大)
相異なる(n+1)個の整数がある
これらの中から2つの数を選べば
その差がnで割り切れるものがあることを証明せよ

もしよかったら
数３の積分の典型問題挙げて欲しいです

143って
a^2+b^2=1,c^2+d^2=1より(a,b)と(c,d)はともに半径1の円周上にある
ac+bd=0,ad+bc=0より、(a,b)は(c,d)と(d,c)に直交する。

よって、(c,d)と(d,c)は一致するまたは同一直線上に存在する。

(1) (c,d)と(d,c)が一致するとき
c=dであり、c^2+d^2=1⇔c=d=±1/√2(複合同順)であり、
ac+bd=(a+b)c=0 ∴a=-b、よって、a=±1/√2,b=？/1√2 (複合同順)
逆にこの場合題意をみたす。

よって、abcd=-1/4

(2)(c,d)と(d,c)が同一直線上に存在するとき
c=-dと表せる。よって対称性から(1)と同様になる。

以上(1),(2)よりabcd=-1/4である。


これで大丈夫かな？

[145](71 大阪電通大)
(1)
0<x<π/2において,sinx>(2/π)xであることを示せ
(2)
1-(1/e)<∫[0,π/2]e^(-sinx)dx <(π/2){1-(1/e)}
を証明せよ

「原点を通る」直線って意味なら

(ac+bd)^2+(ad+bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)+4abcd
ってやり方も

[146](01 京大)
方程式
x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz+2yz-5=0
をみたす正の整数の組(x,y,z)をすべて求めよ

[147](97 東北学院大)
a,b,cを実数とするとき,次の不等式を証明せよ
また,等号が成り立つのはどのような場合か
(1)
a^2+b^2+c^2≧ab+bc+ca
(2)
a^4+b^4+c^4≧abc(a+b+c)

[148](75 京都府医大)
次の不等式を証明し,等号の成り立つ場合を示せ
(1)
a,b,cを正の数とする
(a+b)(b+c)(c+a)≧8abc
(2)
a,b,cを1つの三角形の3辺の長さとするとき
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)≦abc

>>180
なるほど、参考になります。

>>170
m>0より
m^3<m^3+3m^2+2m+6<m^3+6m^2+12m+8=(m+2)^3
m^3と(m+2)^3の間にある整数の3乗は(m+1)^3のみだから
m^3+3m^2+2m+6=(m+1)^3⇔m=5
となり,このとき216=6^3と整数の3乗である
∴m=5

>>182
(1)
(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)=(1/2){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}≧0
等号成立はa-b=b-c=c-a=0,すなわちa=b=cのとき
(2)
a^4+b^4+c^4
=(a^2)^2+(b^2)^2+(c^2)^2
≧(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 (∵(1))
≧(ab･bc)+(bc･ca)+(ca･ab) (∵(1))
=abc(a+b+c)
等号成立はa^2=b^2=c^2かつab=bc=ca,すなわちa=b=cのとき

>>168
f(x)=1/(1+x)はx≧0において単調減少であることに注意して
{|a|/(1+|a|)}+{|b|/(1+|b|)}
≧{|a|/(1+|a|+|b|)}+{|b|/(1+|a|+|b|)}
=1-{1/(1+|a|+|b|)}
≧1-{1/(1+|a+b|)} (∵三角不等式|a+b|<|a|+|b|)
=|a+b|/(1+|a+b|)

>>176
nで割った余りは0,1,2,…,n-1のn種類であるから
相異なる(n+1)個の整数のうち,必ずnで割った余りが互いに等しいものが存在し
余りが等しいものの差はnの倍数であるから題意は示された

>>97
n=1のとき,n=1が素数ではない
n=2のとき,n+2=4が素数ではない
n=3のとき,(n,n+2,n+4)=(3,5,7)となり全て素数である
kを自然数として,n=3k+1,3k+2,3k+3と表されるときは
各々についてn+2,n+1,nがそれぞれ3(k+1)となり
3より大きい3の倍数となるので素数ではない
よって題意は示された

>>122
いくつかの連続な自然数をm,nを自然数としてm,m+1,m+2,…,m+nと表す
m+(m+1)+(m+2)+(m+n)=1000⇔(2m+n)(n+1)=2^4･5^3
ここで,(2m+n)ｰ(n+1)=2mｰ1で正の奇数となるから
2m+nとn+1の偶奇は異なり,2m+n>n+1>1であることに注意すると
(2m+n,n+1)=(5^3,2^4),(2^4･5,5^2),(2^4･5^2,5)
⇔(m,n)=(55,15),(28,24),(198,4)
∴(55,56,…,70)と(28,29,…,52)と(198,199,…,202)

>>172
(1/x)+(1/y)+(1/z)=1よりxy+yz+zx=xyz
これとx+y+z=1より
(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-(xy+yz+zx)+(x+y+z)-1=xyz-xyz+1-1=0
よって題意は示された

>>164
格子点の座標を奇偶によって
(奇,奇)(奇,偶)(偶,奇)(偶,偶)
の4つのパターンに分けられる
5つの格子点のうち同じパターンの2つの格子点の対が存在する
この2つの格子点の中点は明かに格子点であるから題意は示された

[149](81 九州歯大)
等差数列a[1],a[2],a[3],…について,次の問に答えよ
ただし,m>nとする
(1)
a[m+n]=α,a[m-n]=βのとき
a[m]とa[n]とをα,β,mおよびnで表せ
(2)
S[m]=S[n]のときS[m+n]を求めよ
ただし,S[k]は最初の第k項までの和を表す

[150](03 京大)
多項式(x^100+1)^100+(x^2+1)^100+1は多項式x^2+x+1で割り切れるか

[151](02 東大)
円周上にm個の赤い点とn個の青い点を任意の順序に並べる
これらの点により,円周はm+n個の弧に分けられる
このとき,これらの弧のうち両端の点の色が異なるものの数は
偶数であることを証明せよ
ただしm≧1,n≧1であるとする

[152](75 徳島大)
正の実数a,b,cがa+b+c=1を満たすとき,次の各問に答えよ
(1)
abcの最大値を求めよ
(2)
a^2+b^2+c^2≧1/3を示せ
(3)
{a+(1/a)}^2+{b+(1/b)}^2+{c+(1/c)}^2の最小値を求めよ

[153](75 九大)
m個のさいころを同時に振る
このようなことをn回繰り返すとき
(1)
毎回,少なくとも1個のさいころに1の目が出る確率を求めよ
(2)
少なくとも1回,すべてのさいころに1の目が出る確率を求めよ

[154](12 九大)
円x^2+(y-1)^2=4で囲まれた図形を
x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ

[155](71 室蘭工大)
f(x)=∫[0,x]{1/(1+t^2)}dtとする
(1)
t=tanθとおいてf(1)を求めよ
(2)
x>0のときf(x)+f(1/x)は定数であることを示し,その値を求めよ

[156](82 学習院大)
△ABC,△A'B'C'を2つの鋭角三角形とする
AB＜A'B',BC＜B'C',CA＜C'A'
ならば,△ABC＜△A'B'C'であることを証明せよ

[157](85 お茶の水女大)
ABを斜辺とする直角三角形ABCがある
辺AC上に,頂点A,Cと異なる任意の点Pをとるとき
次の不等式が成り立つことを示せ
(AB-BP)/AP>(AB-BC)/AC

お前らが解いてて良かった入試問題あったら教えてね

[158](12 千葉大)
xy平面において
長さ1の線分ABを点Aが原点,点Bが点(1,0)に重なるように置く
点Aをy軸に沿って点(0,1)まで移動をし
線分ABの長さを1に保ったまま点Bをx軸に沿って原点まで移動させる
このとき線分ABが通る領域をDとする
0≦x≦1となる実数xに対して
点(x,y)が領域Dに含まれるようなyの最大値をf(x)とする
(1)
f(x)をxの式で表せ
(2)
領域Dをx軸を中心に回転させた立体の体積Vを求めよ

[159](12 阪府大)
表が出る確率をp,裏が出る確率が1-pである1個のコインがある
ただし,pは0<p<1である定数である
このコインを繰り返し投げる試行を考える
nを2以上の自然数とし,Q[n]をn回目に初めて2回続けて表が出る確率とする
以下の問いに答えよ
(1)
Q[2],Q[3],Q[4]をpを用いて表せ
(2)
1回目に表が出た場合と裏が出た場合に分けることによって
Q[n+2]をQ[n],Q[n+1]およびpを用いて表せ
(3)
p=3/7のとき,一般項Q[n]をnを用いて表せ

[160](83 東京歯大)
実数の集合{x|a<x<b}をIとし,f(x)をIで定義された関数とする
x[1]＜x[2]となるIの任意の2数x[1],x[2]に対してつねにf(x[1])＜f(x[2])が成立するとき
f(x)はIで増加するという
またx[1]＜x[2]となるIの任意の2数x[1],x[2]に対してつねにf(x[1])≦f(x[2])が成立するとき
f(x)はIで非減少であるという
f(x)はIで微分可能なとき,次の命題はそれぞれ正しいか
理由をつけて答えよ
(1)
Iでつねにf'(x)＞0ならば,f(x)はIで増加する
(2)
f(x)がIで増加するならば,Iでつねにf'(x)＞0である
(3)
Iでつねにf'(x)≧0ならば,f(x)はIで非減少である
(4)
f(x)がIで非減少であるならば,Iでつねにf'(x)≧0である

[160](83 東京医歯大)
実数の集合{x|a<x<b}をIとし,f(x)をIで定義された関数とする
x[1]＜x[2]となるIの任意の2数x[1],x[2]に対して
つねにf(x[1])＜f(x[2])が成立するとき,f(x)はIで増加するという
またx[1]＜x[2]となるIの任意の2数x[1],x[2]に対して
つねにf(x[1])≦f(x[2])が成立するとき,f(x)はIで非減少であるという
f(x)はIで微分可能なとき,次の命題はそれぞれ正しいか
理由をつけて答えよ
(1)
Iでつねにf'(x)＞0ならば,f(x)はIで増加する
(2)
f(x)がIで増加するならば,Iでつねにf'(x)＞0である
(3)
Iでつねにf'(x)≧0ならば,f(x)はIで非減少である
(4)
f(x)がIで非減少であるならば,Iでつねにf'(x)≧0である

>>70
a[1]=3･7,a[2]=7･47より,a[n]が7で割り切れることを示せばよい
aとbを7で割った余りが等しいときa≡bと表す
a[n]=19^n+(-1)^(n-1)･2^(4n-3)=19^n+2･(-16)^(n-1)≡5^n+2･5^(n-1)=7･5^(n-1)≡0
よってa[n]は7で割り切れるので求める素数は7

[161](93 東大)
整数からなる数列{a[n]}を
漸化式a[1]=1,a[2]=3,a[n+2]=3a[n+1]-7a[n](n=1,2,…)によって定める
(1)
a[n]が偶数となることと,nが3の倍数となることは同値であることを示せ
(2)
a[n]が10の倍数となるための条件を(1)と同様の形式で求めよ

[162](06 京大)
△ABCに対し,辺AB上に点Pを,辺BC上に点Qを,辺CA上に点Rを
頂点とは異なるようにとる
この3点がそれぞれ辺上を動くとき
この3点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ

[162](04 京大)
n,a,bを0以上の整数とする
a,bを未知数とする方程式
(*) a^2+b^2=2^n
を考える
(1)
n≧2とする
a,bが方程式(*)を満たすならば,a,bはともに偶数であることを証明せよ
(ただし,0は偶数に含める)
(2)
0以上の整数nに対して
方程式(*)を満たす0以上の整数の組(a,b)をすべて求めよ

[163](04 京大)
n,a,bを0以上の整数とする
a,bを未知数とする方程式
(*) a^2+b^2=2^n
を考える
(1)
n≧2とする
a,bが方程式(*)を満たすならば,a,bはともに偶数であることを証明せよ
(ただし,0は偶数に含める)
(2)
0以上の整数nに対して
方程式(*)を満たす0以上の整数の組(a,b)をすべて求めよ

[164](06 京大)
n,kは自然数でk≦nとする
穴のあいた2k個の白玉と2n-2k個の黒玉にひもを通して輪を作る
このとき適当な2箇所でひもを切ってn個ずつの2組に分け
どちらの組も白玉k個,黒玉n-k個からなるようにできることを示せ

[165](81 同志社大)
1から12までの整数を6個ずつA組,B組の2組に分け
A組の数をa[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6]とし
B組の数をb[1],b[2],b[3],b[4],b[5],b[6]とする
b[1],b[2],b[3],b[4],b[5],b[6]のうちa[1]より小さいものの個数をm[1]とする
同様にB組の数のうちa[2],a[3],a[4],a[5],a[6]より小さいものの個数を
それぞれm[2],m[3],m[4],m[5],m[6]とするとき
(a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6])-(m[1]+m[2]+m[3]+m[4]+m[5]+m[6])
は,A組,B組の2組に分ける分け方に関係せず一定であることを示せ

[166](95 東大)
すべての正の実数x,yに対し
√x+√y≦k√(2x+y)
が成り立つような実数kの最小値を求めよ

[167](93 京大)
aは正の定数とする
不等式a^x≧axがすべての正の数xについて成り立つという
このときaはどのようなものか

[168](85 東京女子大)
曲線y=e^(-x)･sinxとx軸との交点を原点Oから正の方向に順に
P[0]=O,P[1],P[2],…とする
この曲線と線分P[n-1]P[n]とで囲まれた部分の面積S[n]を求めよ
また,Σ[n=1,∞]S[n]を求めよ

[169](84 信州大)
一辺の長さが10cmの正三角形ABCにおいて
辺AB,BC,CA上にそれぞれ点L,M,Nを選び,AL=BM=CN=2cmとなるようにする
このとき,線分AM,BN,CLによって囲まれた三角形の面積を求めよ

[170](61 東大)
△ABCの3辺BC,CA,ABの上にそれぞれ点L,M,Nをとり
BL/LC=CM/MA=AN/NB=1/2となるようにする
ALとCNの交点をP,ALとBMの交点をQ,BMとCNの交点をRとするとき
△PQRの面積と△ABCの面積との比を求めよ

[171](05 慶應大)
次の問いに答えなさい
(1)
25m+17n=1623を満たす正の整数の組(m,n)を1つ求めなさい
(2)
25m+17n=1623を満たす正の整数の組(m,n)をすべて求めなさい

[172](78 群馬大)
4桁の整数で
その下2桁の数と上2桁の数との和の平方と等しくなるものを求めよ

[173](09 横国大)
赤,青,黄の3色を用いて,横一列に並んだn個のマスを
隣り合うマスは異なる色になるように塗り分ける
ただし,使わない色があってもよい
両端のマスが同じ色になる場合の数をa[n]とし
両端のマスが異なる色になる場合の数をb[n]とする
次の問いに答えよ
(1)
a[3],b[3],a[4],b[4]を求めよ
(2)
a[n],b[n](n≧3)をnの式で表せ

[174](99 阪大)
xy平面上の点(a,b)は,aとbがともに有理数のときに有理点と呼ばれる
xy平面において,3つの頂点がすべて有理点である正三角形は存在しないことを示せ
ただし,必要ならば√3が無理数であることは証明なしに使ってよい

[175](?? 上智大)
1辺の長さが1の正四面体の高さは[ア]で,体積は[イ]である
この正四面体に内接する球の半径は[ウ]であり,外接する球の半径は[エ]である

[176](00 大阪女子大)
(1)
4m+6n=7を満たす整数m,nは存在しないことを示せ
(2)
3m+5n=2を満たすすべての整数の組(m,n)を求めよ

以下,a,bは互いに素な正の整数とする
(3)
kを整数とするとき,akをbで割った余りをr(k)で表す
k,lをb-1以下の正の整数とするとき
k≠lならば,r(k)≠r(l)であることを示せ
(4)
am+bn=1を満たす整数m,nが存在することを示せ

[177](99 富山大)
次の問いに答えよ
(1)
等式
x^4+x^2-4x-3=(x^2+a)^2-b(x+c)^2
がxについての恒等式であるように実数a,b,cを定めよ
(2)
方程式
x^4+x^2-4x-3=0
の解を求めよ

[178](83 福岡教育大)
直線y=k (kは定数で,-1＜k＜1)と曲線y=cosx (0≦x≦4π)とで囲まれる
3つの図形の面積の和が最小となるように,kの値を定めよ

[179](61 京大)
nが整数であるとき
S=|n-1|+|n-2|+…+|n-100|の最小値を求めよ
また,そのときのnの値を求めよ

[180](00 筑波大)
(1)
関数f(x)=logx/x(x>0)の増減を調べよ
(2)
e^πとπ^eの大小を比較せよ

[181](02 名大)
(1)
xを正の数とするとき
log{1+(1/x)}と1/(x+1)の大小を比較せよ
(2)
{1+(2001/2002)}^(2002/2001)と{1+(2002/2001)}^(2001/2002)の大小を比較せよ

[181](01 北大)
不等式cos2x+cx^2≧1が
すべての実数xについて成り立つような定数cの値の範囲を求めよ

[182](01 大分医科大)
nを自然数とし,I[n]=∫[0,1]x^n･e^x dxとおく
(1)
I[n]とI[n+1]の間に成り立つ関係式を求めよ
(2)
すべてのnに対して,不等式e/(n+2)<I[n]<e/(n+1)が成り立つことを示せ
(3)
lim[n→∞]n(n･I[n]-e)を求めよ

[183](01 名大)
eを自然対数の底とする
e≦p＜qのとき,不等式log(logq)-log(logp)＜(q-p)/eが成り立つことを証明せよ

[184](01 北大)
不等式cos2x+cx^2≧1が
すべての実数xについて成り立つような定数cの値の範囲を求めよ

[185](86 阪大)
(1)
log[3]4は無理数であることは証明せよ
(2)
a,bは無理数で,a^bが有理数であるような数の組a,bを1組求めよ

[186](74 早大)
pを素数とする
(1)
C[p,k](k=1,2,…,p-1)は,いずれもpで割り切れることを証明せよ
(2)
(1)を用いて,すべての自然数nに対して
n^p-nはpで割り切れることを証明せよ

[187](04 東京電機大)
m,nを正の整数とする
このとき定積分I(m,n)=∫[0,1]x^m･(1-x)^n dxに関して
(1)
I(m,1)を求めよ
(2)
n≧2のとき,I(m,n)をI(m+1,n-1)を用いて表せ
(3)
I(m,n)をmとnを用いて表せ

[188](92 学習院大)
x,yを正の実数,nを正の整数とするとき
不等式x^n+(n-1)y^n≧nxy^(n-1)を証明せよ

[189](04 慶大)
a,bを正の整数とする
√3はa/bと(a+3b)/(a+b)の間にあることを証明せよ

[190](06 東洋大)
100人の集まりがあり,この中から5名の代表者を選ぶ
100人が1名ずつ名前を書いて投票するとき
当選が確実となる最低投票は何票か

[191](86 青山学院大)
曲線y=sinx(0≦x≦π)とx軸とで囲まれる部分の面積を
曲線y=ksin(x/2)によって2等分するためには定数kの値を幾らにすればよいか

[192](02 上武大)
立方体を塗り分けることを考える
辺を共有する面には別の色を塗るものとし
回転して重なるものは同じ塗り方とする
次の塗り分け方は何通りあるか
(1)
6種の色をすべて用いる
(2)
5種の色をすべて用いる
(3)
4種の色をすべて用いる

[193](85 東北大)
三角形ABCにおいて
↑CA･↑AB=a,↑AB･↑BC=b,↑BC･↑CA=cとおく
(1)
abc=0のとき,△ABCはどのような三角形となるか
(2)
(a-b)(b-c)(c-a)=0のとき,△ABCはどのような三角形となるか
(3)
△ABCの面積は(1/2)√(ab+bc+ca)であることを証明せよ

[194](01 阪府大)
平面上に三角形ABCと点Pがあり,ベクトル↑AP,↑BP,↑CPは
r↑AP+s↑BP+t↑CP=↑0を満たしているとする
ただし,r,s,tは正の定数である
(1)
ベクトル↑APを↑AB,↑ACで表すことにより
点Pは△ABCの内部にあることを示せ
(2)
△PAB:△PBC:△PCAの面積の比をr,s,tを用いて表せ

[195](97 東京薬科大)
リンゴ18個,カキ15個,ナシ13個を40人に配ったところ
リンゴだけをもらった人が9人
カキだけをもらった人が8人
ナシだけをもらった人が5人であった
ただし,1人がどの種類の果物も2個以上はもらわないものとする
リンゴ,カキ,ナシを1個ずつ計3個もらった人は[ア]人以下であり
1個ももらわない人は[イ]人以下である

[196](10 宮城教育大)
4辺の長さがAB=a,BC=b,CD=c,DA=dである四角形ABCDが円に内接している
AC=x,BD=y,とするとき,次の問いに答えよ
(1)
△ABCと△DCAに余弦定理を適用して,xをa,b,c,dで表せ
また,yをa,b,c,dで表せ
(2)
xyをa,b,c,dで表すと,xy=ac+bdとなる
このことを(1)を用いて表せ

[197](83 室蘭工大)
y=e^(-x)とy=ax+3(a<0)のグラフが囲む図形の面積を最小にするaの値を求めよ

[198](84 東大)
空間内に3点P(1,1/2,0),Q(1,-1/2,0),R(1/4,0,√3/4)を頂点とする正三角形の板Sがある
Sをz軸のまわりに1回転させたとき,Sが通過する点全体のつくる立体の体積を求めよ

[199](82 慈恵医大)
a[1],a[2],…,a[n],b[1],b[2],…,b[n]は実数で
c[k]=Σ[i=1,k]a[i]b[i] (k=1,2,…,n)とおく
b[1]≧b[2]≧…≧b[n]＞0
c[k]≦0 (k=1,2,…,n-1),c[n]＞0
であるとき
(1)
a[k] (k=1,2,…,n)をb[1],b[2],…,b[n],c[1],c[2],…,c[n]を用いて表せ
(2)
Σ[k=1,n]a[k]＞0を証明せよ

[200](93 東工大)
1辺の長さが1の立方体を,中心を通る対角線のうちの1本を軸として回転させたとき
この立方体が通過する部分の体積を求めよ

そろそろ分野別にまとめようか

■集合と論証
(96 早大)
x-y平面において,x座標,y座標が共に整数である点(x,y)を格子点という
いま,互いに異なる5つの格子点を任意に選ぶと
その中に次の性質をもつ格子点が少なくとも一対は存在することを示せ

一対の格子点を結ぶ線分の中点がまた格子点となる

(71 早大)
相異なる(n+1)個の整数がある
これらの中から2つの数を選べば,その差がnで割り切れるものがあることを証明せよ

(06 東洋大)
100人の集まりがあり,この中から5名の代表者を選ぶ
100人が1名ずつ名前を書いて投票するとき,当選が確実となる最低投票は何票か
(99 阪大)
xy平面上の点(a,b)は,aとbがともに有理数のときに有理点と呼ばれる
xy平面において,3つの頂点がすべて有理点である正三角形は存在しないことを示せ
ただし,必要ならば√3が無理数であることは証明なしに使ってよい

(02 東大)
円周上にm個の赤い点とn個の青い点を任意の順序に並べる
これらの点により,円周はm+n個の弧に分けられる
このとき,これらの弧のうち両端の点の色が異なるものの数は偶数であることを証明せよ
ただしm≧1,n≧1であるとする

(01 東大)
白石180個と黒石181個の合わせて361個の碁石が横一列に並んでいる
碁石がどのように並んでいても,次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも一つあることを示せ

その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと,残りは白石と黒石が同数となる
ただし,碁石が一つも残らない場合も同数とみなす

(06 京大)
n,kは自然数でk≦nとする
穴のあいた2k個の白玉と2n-2k個の黒玉にひもを通して輪を作る
このとき適当な2箇所でひもを切ってn個ずつの2組に分け
どちらの組も白玉k個,黒玉n-k個からなるようにできることを示せ

(97 東京薬科大)
リンゴ18個,カキ15個,ナシ13個を40人に配ったところ
リンゴだけをもらった人が9人,カキだけをもらった人が8人,ナシだけをもらった人が5人であった
ただし,1人がどの種類の果物も2個以上はもらわないものとする
リンゴ,カキ,ナシを1個ずつ計3個もらった人は[ア]人以下であり
1個ももらわない人は[イ]人以下である

[201](03 芝浦工大)
図のようにx軸,y軸,z軸を軸とする半径1の3個の直円柱T[1],T[2],T[3]がある
(1)
T[1]とT[2]の内部の共通部分の体積を求めよ
(2)
T[1],T[2]およびT[3]の内部の共通部分の体積を求めよ

[202](78 共立薬大)
2点A,Bで交わる円O(半径R)と円O'(半径r)に共通な接線を引き,P,Qをそれぞれの接点とし
ABの延長がPQと交わる点をCとする
△POCと△QO'Cの面積の比を求めよ

[203](92 東大)
p[1]=1,p[2]=1,p[n+2]=p[n]+p[n+1] (n≧1)
によって定義される数列{p[n]}をフィボナッチ数列といい,その一般項は
p[n]=(1/√5){((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n}
で与えられる
必要ならばこの事実を用いて,次の問に答えよ
各桁の数字が0か1であるような自然数の列X[n](n=1,2,…)を次の規則により定める
(i)
X[1]=1
(ii)
X[n]のある桁の数字αが0ならばαを1で置き換え,αが1ならばαを‘10’で置き換える
X[n]の各桁ごとにこのような置き換えを行って得られる自然数をX[n+1]とする
たとえば,X[1]=1,X[2]=10,X[3]=101,X[4]=10110,X[5]=10110101,…となる
(1)
X[n]の桁数a[n]を求めよ
(2)
X[n]の中に‘01’という数字の配列が現れる回数b[n]を求めよ
(たとえば,b[1]=,b[2]=0,b[3]=1,b[4]=1,b[5]=3,…)

[204](02 大阪市大)
関数f(x)の第2次導関数f''(x)の値が常に正とする
このとき,実数a,b,t(a＜b,0≦t≦1)について
不等式f((1-t)a+tb)≦(1-t)f(a)+tf(b)が成り立つことを示せ
また,等号が成り立つのはどのような場合か

[205](75 名大)
f(x)を0≦x≦1で連続な増加関数とする
0＜a＜1であるどんなaに対しても
∫[0,a]f(x)dx≦a∫[0,1]f(x)dx
が成り立つことを証明せよ
ここでf(x)が増加関数であるとは
x[1]＜x[2]ならば常にf(x[1])≦f(x[2])が成立することをいう

[206](00 阪大)
どのような負でない2つの整数mとnを用いても
x=3m+5n
とは表すことができない正の整数xをすべて求めよ

[207](75 福島県医大)
xが全ての実数値をとって変わるとき
xの関数f(x)=Σ[k=1,2n]|x-k|の最小値を求めよ

[208](08 お茶の水女子大)
nを自然数としa[1],a[2],…,a[n]を正の実数とする
このとき,次の不等式が成り立つことを示せ
(a[1]+a[2]+…+a[n])((1/a[1])+(1/a[2])+…+(1/a[n]))≧n^2

[209](71 成蹊大)
鋭角三角形ABCの頂点Aからひいた中線をAMとすれば,AM>BMであることを証明せよ

[210](98 大阪教育大)
-2≦x≦2の範囲で,関数f(x)=x^2+2x-2,g(x)=-x^2+2x+a+1について
次の命題が成り立つようなaの値の範囲をそれぞれ求めよ
(1)
すべてのxに対して,f(x)＜g(x)
(2)
あるxに対して,f(x)＜g(x)
(3)
すべての組x[1],x[2]に対して,f(x[1])＜g(x[2])
(4)
ある組x[1],x[2]に対して,f(x[1])＜g(x[2])

[211](04 名大)
正の整数aとbが互いに素であるとき,正の整数からなる数列{x[n]}を
x[1]=x[2]=1,x[n+1]=ax[n]+bx[n-1] (n≧2)
で定める
このときすべての正の整数nに対してx[n+1]とx[n]が互いに素であることを示せ

[212](98 お茶の水女子大)
(1)
等式(x^2-ny^2)(z^2-nt^2)=(xz+nyt)^2-n(xt+yz)^2を示せ
(2)
x^2-2y^2=-1の自然数解(x,y)が無限組あることを示し,x>100となる解を1組求めよ

[213](96 京大)
(1)
cos(5θ)=f(cosθ)をみたす多項式f(x)を求めよ
(2)
cos(π/10)cos(3π/10)cos(7π/10)cos(9π/10)=5/16を示せ

[214](82 京大)
0≦x,0≦y,0≦zで定まる空間の部分をAとし
0≦x≦1,0≦y≦1,0≦z≦1で定まる立方体をCとする
tが0＜t＜3の範囲で動くとき,平面x+y+z=tによる,AおよびCの切り口の面積を
それぞれT(t)およびS(t)とする
(1)
T(t)を求めよ
(2)
S(t)の最大値を求めよ

[215](71 同志社大)
∫[0,π]cos(nx)･sinx dx=a[n](nは正の整数)とするとき,Σ[n=1,∞]a[n]を求めよ

[215](85 京都府医大)
正の整数kに対してx=2kπsinxのx≧0におけるすべての解の和をs(k)とおく
このとき,lim[k→∞]s(k)/k^2を求めよ

[217](82 防衛大)
A[n]=1+(1/2)+(1/3)+…+(1/n) (n=1,2,3,…)
とおくとき,lim[n→∞](A[n]-logn)=Cとなることが知られている
ただし,logは自然対数で,Cは正の定数である
これを利用して
B[n]=1+(1/3)+(1/5)+…+(1/(2n-1)) (n=1,2,3,…)
とおくとき,数列{B[n]-Klogn}が収束するように定数Kの値を定めよ
また,極限値をCを用いて表せ

[218](82 岐阜大)
x,yを自然数として,a=5x+4y,b=6x+5yとおくとき,次の(1),(2)を証明せよ
(1)
a,bの最大公約数とx,yの最大公約数とは相等しい
(2)
4/5<r<5/6をみたすどんな有理数rもx,yを適当に選べば,r=a/bと表される

[219](54 名大)
a≧b≧c,x≧y≧z,x+y+z=0ならばax+by+cz≧0であることを証明せよ

[220](70 群馬大)
甲は3個の碁石を,乙は2個の碁石を持っている
ジャンケンで勝ったものは負けたものから1個の碁石を貰うことにする
甲または乙の手元に碁石が無くなるまで続けるとして,甲が5個の碁石を獲得する確率を求めよ
ただし,ジャンケンの力は互角とする

古い問題はどこから持ってきたの？

新数学演習とかから

[221](71 岐阜大)
OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OAとなっている四面体OABCの4つの面△ABC,△OAB,△OBC,△OCAの面積を
それぞれS,S[1],S[2],S[3]とすると,S^2=(S[1])^2+(S[2])^2+(S[3])^2が成り立つことを証明せよ

[222](00 東工大)
1辺の長さが1の正三角形を底面とし高さが2の三角柱を考える
この三角柱を平面で切り,その断面が3辺とも三角柱の側面上にある直角三角形であるようにする
そのような直角三角形の面積がとりうる値の範囲を求めよ

[223](81 東工大)
αは0＜α＜1を満たす実数とする
任意の自然数nに対して,2^(n-1)･αの整数部分をa[n]とし,2^(n-1)･α=a[n]+b[n]とおくと
nが奇数のとき 0≦b[n]＜1/2
nが偶数のとき 1/2＜b[n]＜1
になるという
a[n]およびαを求めよ

[224](84 京大)
実数tの値によって定まる点P(t+1,t)とQ(t-1,-t)がある
(1)
tがすべての実数を動くとき,直線PQが通過する範囲を図示せよ
(2)
tが区間[0,1]={t|0≦t≦1}を動くとき,線分PQが通過する範囲の面積を求めよ

[225](05 京大)
n枚の100円玉とn+1枚の500円玉を同時に投げたとき
表の出た100円玉の枚数より表の出た500円玉の枚数の方が多い確率を求めよ

[226](85 中央大)
2次方程式x^2+(m+1)x+2m-1=0の2つの解が整数となるように,整数mを定めよ

[227](77 広島大)
2x+3yが17で割り切れるような整数x,yの組(x,y)全体の集合と
9x+5yが17で割り切れるような整数の組(x,y)全体の集合は等しいことを証明せよ

[228](84 一橋大)
三角形ABCについて,tanA,tanB,tanCの値がすべて整数であるとき,それらの値を求めよ

[229](93 東大)
1と0を5個並べた列10110をある人が繰り返し書き写すとする
ただし,この列をSで表し,これの第1回の写しをS[1]で表すとき,第2回目に書き写すときはS[1]を書き写す
S[1]の写しをS[2]とするとき,第3回目にはS[2]を書き写す
以下,同様に続ける
この人が0を1に写し間違える確率はp(0<p<1)であり,1を0に写し間違える確率はq(0<q<1)であるが
それ以外の写し間違いは無いものとする
第n回目の写しS[n]がSに一致する確率をC[n]とするとき,極限値lim[n→∞]C[n]を求めよ

[230](71 東大)
3人で‘ジャンケン’をして勝者を決めることにする
例えば,1人が‘紙’を出し,他の2人が‘石’を出せば,ただ1回でちょうど1人の勝者が決まることになる
3人で‘ジャンケン’をして,負けた人は次の回に参加しないことにして
ちょうど1人の勝者が決まるまで,‘ジャンケン’を繰り返すことにする
このとき,k回目にはじめてちょうど1人の勝者が決まる確率を求めよ

[231](09 横浜国立大)
次の問いに答えよ
(1)
x^2-y^2=2009をみたす正の整数x,yの組をすべて求めよ
(2)
x^2+y^2=41をみたす正の整数x,yの組をすべて求めよ
(3)
式(ac-bd)^2+(ad+bc)^2を因数分解せよ
(4)
nを正の整数とする
x^2+y^2=2009^nをみたす正の整数x,yが存在することを示せ

[232](05 浜松医大)
1つのサイコロを続けて3回投げて,サイコロの出た目の数を順にa,b,cとして
数u=49a+7b+cを定める
1から6までの整数nに対し,u≦57nとなる確率P[n]を求めよ

[233](03 名大)
nを自然数とするとき,m≦nでmとnの最大公約数が1となる自然数mの個数をf(n) とする
(1)
f(15)を求めよ
(2)
p,qを互いに異なる素数とする
このとき,f(pq)を求めよ

[219](59 名大)
a≧b≧c,x≧y≧z,x+y+z=0ならばax+by+cz≧0であることを証明せよ

[234](95 広島大)
5^n+12^n=13^nを満たす正の整数nはn=2に限ることを示せ

[235](11 早大)
nを正の整数とする
10^nの正の約数全ての積は[ア]である

もう標準問題だけを出すつもりないよねｗｗｗ
普通に難問も含まれてるだろｗ

コンセプトは
新スタ演〜新数演ぐらいの難易度ですから

>>1
>標準〜やや難レベルの問題を貼っていくスレです

標準（新スタ演）〜やや難（新数演）レベル

正直自信打ち砕かれた、うん

[236](10 早大)
aは定数で,a>1とする
座標平面において
円C:x^2+y^2=1,直線l:x=a
とする
l上の点Pを通り円Cに接する2本の接線の接点をそれぞれA,Bとするとき
直線ABは,点Pによらず,ある定点を通ることを示し,その定点の座標を求めよ

[237](92 東工大)
c>1を定数とする
xy平面で,点(1,c)を通る直線lと放物線y=x^2で囲まれる図形の面積を最小にするlの傾きを求めよ
また,その最小面積を求めよ

[238](02 岡山大)
座標平面上に点A(0,2)と点B(1,0)があり
線分AB上の点Pからx軸,y軸におろした垂線の足をそれぞれQ,Rとする
点PがAからBまで動くとき,線分QRの通過する部分の面積を求めよ

[239](80 横浜市大)
座標がすべて整数である点を格子点という
次の領域内にある格子点の個数S[n]を求めよ
x≧0,y≧0,z≧0,6x+3y+2z≦n
ただし,nは自然数である

[240](96 東工大)
2以上の整数nに対して
方程式x[1]+x[2]+…+x[n]=x[1]x[2]…x[n]
の正の整数解(x[1],x[2],…,x[n])を考える
ただし,例えば(1,2,3)と(3,2,1)は異なる解とみなす
このとき,次の問に答えよ
(1)
n=2およびn=3のときの解をすべて求めよ
(2)
解が1つしかないようなnの値をすべて求めよ
(3)
任意のnに対して解は少なくとも1つ存在し,かつ有限個しかないことを示せ

[241](02 東工大)
nを自然数とする
(1)
実数xに対して,{Σ[k=0,n](-1)^k･x^(2k)}-{1/(1+x^2)}を求めよ
(2)
不等式|{Σ[k=0,n](-1)^k/(2k+1)}-∫[0,1]dx/(1+x^2)|≦1/(2n+3)が成り立つことを示せ
(3)
極限値lim[n→∞]Σ[k=0,n](-1)^k/(2k+1)を求めよ

[242](12 滋賀医大)
赤,青,黄の箱を各1箱,赤,青,黄の球を各1個用意して,各球を球と同じ色の箱に入れる
この状態からはじめて,次の操作をn回(n≧1)行う
(操作)三つの箱から二つの箱を任意に選び,その二つの箱の中の球を交換する
(1)
赤色の球が赤色の箱に入っている確率を求めよ
(2)
箱とその中の球の色が一致している箱の個数を期待値を求めよ
(3)
赤色の球が赤色の箱に入っている事象と,青色の球が青色の箱に入っている事象は
互いに独立かどうか,理由を付けて答えよ

[243](78 東京理科大)
(1)
2つの正数a,bについて
a(1-b)≧1/4,b(1-a)≧1/4
が同時に成り立つようなa,bは何か
(2)
4つの正数a,b,c,dについてa=b=c=dでないならば,4つの数
a(1-b),b(1-c),c(1-d),d(1-a)
のうち少なくとも1つは1/4より小さいことを証明せよ

[244](77 茨城大)
2数a,bがa>0,b>0,a+b=1を満たすとき
(a+(1/a))^2+(b+(1/b))^2≧25/2
を証明せよ

[245](97 東工大)
(1)
(1/x)+(1/y)=1/2を満たす自然数の組(x,y)を全て求めよ
(2)
nを自然数,rを正の有理数とする
このときΣ[k=1,n](1/x[k])=rを満たす自然数x[k]の組(x[1],…,x[n])の個数は
有限であることを示せ

[239](80 横浜市大)
座標がすべて整数である点を格子点という
次の領域内にある格子点の個数S[n]を求めよ
x≧0,y≧0,z≧0,6x+3y+2z≦6n
ただし,nは自然数である

新スタ演3C持ってるお客様いませんか
貼ってほしい問題があるんだが

[246](05 北大)
f(x)はx≧0で単調に減少する連続関数とする
(1)
全てのx>0に対して,f(x)<(1/x)∫[0,x]f(t)dtを示せ
(2)
関数F(x)を
F(x)=∫[0,x]f(t)dt (x≧0)
で定める
F(x)/xはx>0で単調に減少することを示せ

[247](92 一橋大)
nを正の整数とする
n^2+2が2n+1の倍数になるnを求めよ

[248](01 宮崎大)
全ての自然数nに対して
(n^5/15)+(n^4/6)+(n^3/3)+(n^2/3)+(n/10)
が自然数になることを示せ

[249](06 津田塾大)
a,bを整数とし,2次方程式x^2+ax+b=0を考える
この方程式の判別式が平方数ならば,解は全て整数であることを示せ

[250](07 千葉大)
a,bは2以上の整数とする
(1)
a^b-1が素数ならば,a=2であり,bは素数であることを証明せよ
(2)
a^b+1が素数ならば,b=2^c(cは整数)と表せることを証明せよ

[251](10 琉球大)
2010^2010を2009^2で割った余りを求めよ

[252](09 琉球大)
α,βを正の定数とする
全ての自然数nに対して
(1^α+2^α+…+n^α)^2=1^β+2^β+…+n^β
が成立するとき,α,βを求めよ

[253](96 千葉大)
pを素数とする
xに関する2次方程式
px^2+(5-p^2)x-3p=0
が整数の解を持つのはp=2のときに限ることを示せ

[254](08 奈良県医大)
p,qを互いに素な正整数とする
(1)
任意の整数xに対して,p個の整数
x-q,x-2q,…,x-pq
をpで割った余りは全て異なることを証明せよ
(2)
x>pqなる任意の整数xは,適当な正整数a,bを用いてx=pa+qbと表せることを証明せよ

[255](08 東工大)
漸化式c[n+1]=8c[n]-7(n=1,2,3,…)を満たす数列c[1],c[2],c[3],…を考える
数列c[1],c[2],c[3],…に素数がただ1つだけ現れるような正の整数c[1]を2つ求めよ

[256](09 信州大)
関数f(x)を偶関数とするとき,次の問いに答えよ
ただし,aは正の定数である
(1)
∫[-a,a](f(x)/(e^x+1))dx=∫[0,a]f(x)dxを示せ
(2)
∫[-a,a]((x^2･cosx+e^x)/(e^x+1))dxを求めよ

[257](03 宇都宮大)
関数f(x)=∫[0,x](1/(1+t^2))dtについて,次の問いに答えよ
(1)
f(1)を求めよ
(2)
x>0のときf(x)+f(1/x)は定数であることを示し,その値を求めよ
(3)
∫[0,1]xf(x)dxの値を求めよ

[258](12 琉球大)
a[n]=(√2+1)^n,b[n]=(√2-1)^n(n=1,2,3,…)とするとき,次の問に答えよ
(1)
a[n]を整数p[n]と整数q[n]をもちa[n]=p[n]+q[n]√2と表したとき
(p[n])^2-2(q[n])^2=(-1)^nが成立することを示せ
(2)
b[n]をp[n]とq[n]を用いて表せ
(3)
実数aに対して,[a]をaを越えない最大の整数とする
例えば,[2]=2,[3.9]=3である
nが奇数ならばa[n]は偶数,nが偶数ならばa[n]は奇数となることを示せ

[259](12 東北)
s,tを実数とする
以下の問いに答えよ
(1)
x=s+t+1,y=s-t-1とおく
s,tがs≧0,t≧0の範囲を動くとき,点(x,y)の動く範囲を座標平面内に図示せよ
(2)
x=st+s-t+1,y=s+t-1とおく
s,tが実数全体を動くとき,点(x,y)の動く範囲を座標平面内に図示せよ

[260](12 千葉大)
以下の問いに答えよ
(1)
関数f(x)の第2次導関数f''(x)が連続で,あるa<bに対して,f'(a)=f'(b)=0を満たしているものとする
このとき
f(b)-f(a)=∫[a,b](((a+b)/2)-x)f''(x)dx
が成り立つことを示せ
(2)
直線道路上における車の走行を考える
ある信号で停止していた車が,時刻0で発進後,距離Lだけ離れた次の信号に時刻Tで到達し再び停止した
この間にこの車の加速度の絶対値が4L/T^2以上である瞬間があることを示せ

[261](09 信州大)
放物線y=x^2上の2点P,QがPQ=2を満たしながら動くとき,線分PQの中点Rの軌跡の方程式を求めよ

[262](12 信州大)
さいころを1000回投げるとき,1の目がちょうどk回出る確率をP[k]とおく
P[k]が最大となるkを求めよ

[263](08 千葉大)
0＜α＜1のとき,負でない実数x[1],x[2],…,x[n]に対して
(x[1]+x[2]+…+x[n])^α≦(x[1])^α+(x[2])^α+…+(x[n])^α
であることを証明せよ

[264](01 岡山大)
原点を中心とする半径1の円が座標平面上にある
この円に内接する正三角形を原点を中心に回転させるとき
この正三角形の第1象限にある部分の面積の最小値と最大値を求めよ

[265](71 早大)
指数関数2^xはa[0]x^n+a[1]x^(n-1)+…+a[n-1]x+a[n]のような整関数とはならないことを証明せよ

[266](70 甲南大)
x=y+(1/y),z=y^n+(1/y^n)(nは自然数)とするとき
zはxのn次の整式として表すことができることを示せ

[267](71 東北学院大)
次の2式の大小をそれぞれ調べよ
ただし,x>0,y>0,z>0とする
(1)
(x^3+y^3)^(1/3)と(x^2+y^2)^(1/2)
(2)
(x^3+y^3+z^3)^(1/3)と(x^2+y^2+z^2)^(1/2)

[268](70 名市大)
任意の実数xに対して,不等式a≦x＜a+1を満たす整数aを記号[x]で表す
実数xおよび正の整数nが与えられたとき
(1)
不等式[x]+(k/n)≦x＜[x]+((k+1)/n)を満たす整数kが存在することを示せ
(2)
等式[x]+[x+(1/n)]+[x+(2/n)]+…+[x+((n-1)/n)]=[nx]が成立することを証明せよ

[269](71 東京水産大)
0＜α＜β≦π/2となるとき,sinα/sinβ＞α/βを証明せよ

[270](71 東京外大)
△OABを定三角形とし↑OA=↑a,↑OB=↑b,↑OP=m↑a+n↑bとおく
実数m,nが不等式|m|+|n|≦1を満たす範囲を動くとき,↑OPの終点Pはどんな範囲を動くか
図を描き斜線をつけて示せ

[271](01 奈良女子大)
f(x)は微分可能な関数でf(0)=f(1)=0を満たし
|f'(x)|は区間0≦x≦1で最大値Mをとるものとする
(1)
0≦x≦1のときf(x)≦Mxが成り立つことを示せ
(2)
0≦x≦1のときf(x)≦M(1-x)が成り立つことを示せ
(3)
∫[0,1]f(x)dx≦M/4を証明せよ

[272](99 神戸大)
次の各問いに答えよ
(1)
xの整式P(x)をx-1で割った余りが1,x-2で割った余りが2,x-3で割った余りが3となった
P(x)を(x-1)(x-2)(x-3)で割った余りを求めよ
(2)
nは2以上の自然数とする
k=1,2,…,nについて,整式P(x)をx-kで割った余りがkとなった
P(x)を(x-1)(x-2)…(x-n)で割った余りを求めよ

[273](09 大分大)
I[n]=∫[0,√3](1/(1+x^n))dx(n=1,2,…)
とおくとき,次の問いに答えよ
(1)
I[1],I[2]の値を求めよ
(2)
lim[n→∞]I[n]の値を求めよ

[274](10 千葉大)
以下の問いに答えよ
(1)
3^n=k^3+1を満たす正の整数の組(k,n)を全て求めよ
(2)
3^n=k^2-40を満たす正の整数の組(k,n)を全て求めよ

水を指すようで悪いが、解答はどこだ？
頑張ってください。

出来ればテキストファイルでもいいので問題と解答をまとめてアップしてくれると嬉しい

解答はまだありません
各分野最高30題まで選んで解答書けたらいいな

ファイルはＰＣ持ってないから無理ー

[275](84 慶大)
同じ大きさの箱が横に3個並べてあり,その中の1つには
1からn(≧1)までの相異なる番号のついたn枚の札が入れてある
次の操作を繰り返すことによって,別の1つの箱にn枚とも移したい

操作:
1つの箱の中で,一番小さい番号のついた札1枚を別の箱に移す
ただし,移そうとする札の番号より小さい番号の札が入っている箱には移すことはできない

いま,n枚の札全部を別の1つの箱に移しかえるために必要な操作の最小数をa[n]とすれば
a[1]=[ア],a[2]=[イ],a[3]=[ウ]である
a[n]とa[n-1](n≧2)との間には,関係式a[n]=[エ]a[n-1]+[オ]が成り立つ
よってa[n]をnの式で表せば,a[n]=[カ]である

[276](92 東工大)
0<a<1とする
座標平面上で原点A[0]から出発してx軸の正の方向にaだけ進んだ点をA[1]とする
次にA[1]で進行方向を反時計回りに120ﾟ回転しa^2だけ進んだ点をA[2]とする
以後同様にA[n-1]で反時計回りに120ﾟ回転してa^nだけ進んだ点をA[n]とする
このとき,点列A[0],A[1],A[2],…の極限の座標を求めよ

[277](06 東工大)
自然数a,b,cが
3a=b^3,5a=c^2
を満たし,d^6がaを割り切るような自然数dはd=1に限るとする
(1)
aは3と5で割り切れることを示せ
(2)
aの素因数は3と5以外にないことを示せ
(3)
aを求めよ

[258](12 琉球大)
a[n]=(√2+1)^n,b[n]=(√2-1)^n(n=1,2,3,…)とするとき,次の問に答えよ
(1)
a[n]を整数p[n]と整数q[n]を用いてa[n]=p[n]+q[n]√2と表したとき
(p[n])^2-2(q[n])^2=(-1)^nが成立することを示せ
(2)
b[n]をp[n]とq[n]を用いて表せ
(3)
実数aに対して,[a]をaを越えない最大の整数とする
例えば,[2]=2,[3.9]=3である
nが奇数ならば[a[n]]は偶数,nが偶数ならば[a[n]]は奇数となることを示せ

[278](12 京大)
(1)
[3]_√2が無理数であることを証明せよ
(2)
P(x)は有理数を係数とするxの多項式で,P([3]_√2)=0を満たしているとする
このときP(x)はx^3-2で割り切れることを証明せよ

[279](09 東北大)
実数の間の等式
[3]_√(5√2+7)-[3]_√(5√2-7)=2…(*)
を以下の手順に従って示せ(1)
係数が整数であるxの3次方程式で
x=[3]_√(5√2+7)-[3]_√(5√2-7)
が解になるものを1つ求めよ
(2)
(1)で求めた3次方程式を解くことにより,等式(*)を証明せよ

[280](09 一橋大)
α=[3]_√(7+5√2),β=[3]_√(7-5√2)とおく
全ての自然数nに対して,α^n+β^nは自然数であることを示せ

[281](98 九州工芸大)
1個のサイコロをn回投げるとき
1の目がk回以上連続して出る確率をP[n,k]とする
k＜n≦2kとするとき
(1)
P[5,3]-P[4,3]の値を求めよ
(2)
P[n,k]-P[n-1,k]をkを用いて表せ
(3)
P[n,k]を求めよ

[282](75 慶大)
f(x)は0≦x≦1で連続な関数で,∫[0,1](1-x)f(x)dx=0が成り立つとする
このとき,∫[0,a]f(x)dx=0(0＜a＜1)であるようなaが存在することを示しなさい

[283](75 信州大)
実数a[i],b[i](i=1,2,…,n)が
a[1]≧a[2]≧…≧a[n]
b[1]≧b[2]≧…≧b[n]
であるとき,不等式
(Σ[i=1,n]a[i])(Σ[i=1,n]b[i])≦nΣ[i=1,n]a[i]b[i]
が成立することを証明せよ

[284](86 下関市立大)
1辺の長さがaである正四面体について
(1)
この正四面体の表面積Sと体積Vを求めよ
(2)
この正四面体が内接する球の半径Rを求めよ
(3)
この正四面体に内接する球の半径rを求めよ

[285](69 高知大)
次の不等式が常に成り立つような実数a,b(>0)の範囲を定めよ
ただし,x,y>0とする
a√(x+y)＜√x+√y≦b√(x+y)

[279](09 東北大)
実数の間の等式
[3]_√(5√2+7)-[3]_√(5√2-7)=2…(*)
を以下の手順に従って示せ
(1)
係数が整数であるxの3次方程式で
x=[3]_√(5√2+7)-[3]_√(5√2-7)
が解になるものを1つ求めよ
(2)
(1)で求めた3次方程式を解くことにより,等式(*)を証明せよ

>>349
(2)は外接？

『が』と『に』ですね

ああ、なるほど

問題貼っていくだけのこのスレってなんの意味があんの？

問題が手に入るじゃないか。
そこらにある叩くだけのスレとかよりはよっぽど意義あると思うぞ

あー相対的に見れば、愚痴や雑談スレよりいっかー
俺なら問題集買うがね

わざわざ盛り上がってるスレに出張してきて言うことではなかったな
すまん、スルーしてくれ

やっぱそろそろ解答書いた方がいいんかな

　三次またはそれ以下の任意の整式 f (x) ＝ ax^3 + bx^2 + cx + d に対して、常に

　　∫[-1 → 1] f (x)dx ＝ u f (s) + v f (t)

が成立つような定数 u，v，s，t を求めよ。ただし s＜t とする。

>>359
楽しみではある

>>359
解答がなければ俺たちがここでやる意味は全くないですね
すぐレスポンスがあるならまだしも、あってるかどうか暫く分からない問題集って自分ならどう思う？
>>357が言ってる通り全く使えないでしょ

あくまで、このスレは自分のメモ帳だというなら書かなくてもいいし、皆と共有したい思いがあるのなら書いたらよろしいかと

>>360

(s,t,u,v)=(-√3/3,√3/3,1,1)

[関数と不等式](56 名大)
|a|<1,|b|<1,|c|<1のとき
(1)
ab+1>a+bを証明せよ
(2)
abc+2>a+b+cを証明せよ

解
(1)
|a|<1,|b|<1より1-a>0,1-b>0だから
(ab+1)-(a+b)=(1-a)(1-b)>0
(2)
|b|<1,|c|<1より|bc|<1だから(1)より
abc+2=(a(bc)+1)+1>(a+bc)+1=a+(bc+1)>a+(b+c)

おっ解答か
とりあえずお疲れ

文系だけど丁度いいレベルの問題だからやらせてもらってるよ

[集合と論証](86 阪大)
(1)
log[3]4は無理数であることは証明せよ
(2)
a,bは無理数で,a^bが有理数であるような数の組a,bを1組求めよ

解
(1)
log[3]4=q/p(pとqは互いに素な正の整数)とおくと
4=3^(q/p)⇔4^p=3^q
右辺は3で割り切れるが,左辺は3で割り切れないので矛盾
よって,log[3]4は無理数
(2)
√3は無理数であるから(証明略)
a=√3,b=log[3]4とおくと
a^b=(√3)^(log[3]4)=(√3)^(2log[3]2)=((√3)^2)^(log[3]2)=3^(log[3]2)=2
で有理数である

白チャ二次関数の発展ができません。あれできないとセンター8割取れませんか？

おー良スレはけーん
解答があれば神スレだなあ
出典があるから何とかしようと思えば・・・・って感じか

[整数と整式](08 奈良県医大)
p,qを互いに素な正整数とする
(1)
任意の整数xに対して,p個の整数
x-q,x-2q,…,x-pq
をpで割った余りは全て異なることを証明せよ
(2)
x>pqなる任意の整数xは,適当な正整数a,bを用いてx=pa+qbと表せることを証明せよ

解
(1)
x-q,x-2q,…,x-pqのうちpで割った余りが等しいものが存在すると仮定して
これをx-iq,x-jq(1≦i＜j≦p)とおく
余りが等しいので(x-iq)-(x-jq)=(j-i)qはpで割り切れるが
pとqは互いに素よりj-iがpで割り切れる
ところが1≦j-i＜pよりj-iはpで割り切れないので矛盾
(2)
x-q,x-2q,…,x-pqをpで割った余りは,(1)より0,1,…,p-1のどれかだから
このうちpの倍数のものが存在し,これをx-qbとする
x-qbはx>pqより正の整数で,pの倍数だからx-qb=pa,すなわちx=pa+qbと表せる

[関数と不等式](71 第一薬科大)
a,b,cが正の数でa^2+b^2=c^2ならば
a+b>cで,かつa^3+b^3<c^3であることを証明せよ

解
a>0,b>0,c>0でa^2+b^2=c^2より明かに,0<a<c,0<b<cであることに注意する
c^2=a^2+b^2<ac+bc ∴a+b>c
c^3=a^2･c+b^2･c>a^2･a+b^2･b ∴a^3+b^3<c^3

[積分法](71 室蘭工大・一部省略)
f(x)=∫[0,x](1/(1+t^2))dtとする
x>0のときf(x)+f(1/x)は定数であることを示し,その値を求めよ

解
(d/dx)(f(x)+f(1/x))=(1/(1+x^2))+(1/x)'(1/(1+(1/x)^2))=(1/(1+x^2))-(1/x^2)(x^2/(1+x^2))=0
だから定数で,x=1を代入して
f(x)+f(1/x)
=f(1)+f(1)
=2∫[0,1](1/(1+t^2))dt
(t=tanuとおいて)
=2∫[0,π/4](1/(1+(tanu)^2))･(1/(cosu)^2)du
=2∫[0,π/4]du
=π/2

別解
0<xより,x=tanθ(0<θ<π/2)とおくと
1/x=1/tanθ=tan((π/2)-θ)だから
f(x)+f(1/x)
=∫[0,x](1/(1+t^2))dt+∫[0,1/x](1/(1+t^2))dt
(t=tanuとおいて)
=∫[0,θ](1/(1+(tanu)^2))･(1/(cosu)^2)du+∫[0,(π/2)-θ](1/(1+(tanu)^2))･(1/(cosu)^2)du
=∫[0,θ]du+∫[0,(π/2)-θ]du
=π/2

(81 名大)
微分可能な関数f(x)が,x≧0のとき常に
f'(x)＞0,∫[0,x]f(t)dt≧x
を満たすならば,x＞0の範囲ではf(x)＞1であることを証明せよ

(85 お茶の水女大)
f(x)を増加関数,nを自然数とする
次の不等式が成り立つことを証明せよ
0≦(1/n)Σ[k=1,n]f(k/n)-∫[0,1]f(x)dx≦(1/n){f(1)-f(0)}

(83 大阪教育大)
f(x)は閉区間[0,1]で連続な関数とする
f(x)が恒等的に0でなければ
|f(s)|＞|∫[0,s]f(x)dx|(0＜s≦1)
を満たすようなsがあることを証明せよ

解答はないの？

少しずつ解答うｐしてくれるみたいだから待たれよ

(99 室蘭工大)
x,y,zがx+y+z≧3を満たすとき
x^2+y^2+z^2≧x+y+z
が成り立つことを証明せよ

[極限](82 防衛大)
A[n]=1+(1/2)+(1/3)+…+(1/n) (n=1,2,3,…)
とおくとき,lim[n→∞](A[n]-logn)=Cとなることが知られている
ただし,logは自然対数で,Cは正の定数である
これを利用して
B[n]=1+(1/3)+(1/5)+…+(1/(2n-1)) (n=1,2,3,…)
とおくとき,数列{B[n]-Klogn}が収束するように定数Kの値を定めよ
また,極限値をCを用いて表せ

解
B[n]-Klogn
={1+(1/3)+(1/5)+…+(1/(2n-1))}-Klogn
={1+(1/2)+(1/3)+…+(1/(2n))}-{(1/2)+(1/4)+…+(1/(2n))}-Klogn
=A[2n]-(1/2)A[n]-Klogn
=(A[2n]-log(2n))-(1/2)(A[n]-logn)-(K-(1/2))logn+log2
よって,収束するK=1/2でこのとき極限値は
C-(C/2)+log2=(C/2)+log2

[場合の数と確率](新潟大・一部省略)
n人(n≧2)で1回だけジャンケンをする
勝者の人数をXとして
(1)
X=k(k=1,2,…,n-1)である確率を求めよ
(2)
X=0,すなわち勝負が決まらない確率を求めよ
(3)
Xの期待値を求めよ

解
(1)
X=kである確率をp[k]とする
k=1,2,…,n-1のとき
誰が(C[n,k]通り),どの手で(3通り)勝つか考えて
p[k]=C[n,k]･3･(1/3)^k･(1/3)^(n-k)=(1/3)^(n-1)･C[n,k]
(2)
p[0]
=1-Σ[k=1,n-1]p[k]
=1-Σ[k=1,n-1](1/3)^(n-1)･C[n,k]
=1-(1/3)^(n-1)･((Σ[k=0,n]C[n,k])-C[n,0]-C[n,n])
=1-(1/3)^(n-1)･(2^n-2)
(2)別解
X≠0となるのは,n人が2種類のどちらかの手をどちらも1人以上出す時だから
p[0]=1-C[3,2]･(2^n-2)･(1/3)^n=1-(1/3)^(n-1)･(2^n-2)
(3)
Xの期待値をEとおく
E
=Σ[k=0,n-1]k･p[k]
=(1/3)^(n-1)･Σ[k=1,n-1]k･C[n,k]
=(1/3)^(n-1)･Σ[k=1,n-1]n･C[n-1,k-1]
=n･(1/3)^(n-1)･((Σ[k=0,n-1]C[n-1,k])-C[n-1,n-1])
=n･(1/3)^(n-1)･(2^(n-1)-1)
(3)別解
k=1,2,…,n-1のとき,p[k]=p[n-k]だから
E
=Σ[k=0,n-1]k･p[k]
=Σ[k=1,n-1]k･p[k]
=Σ[k=1,n-1](n-k)p[n-k]
=Σ[k=1,n-1](n-k)p[k]
=nΣ[k=1,n-1]p[k]-Σ[k=1,n-1]k･p[k]
=n(1-p[0])-E
∴E=(n/2)(1-p[0])=n･(1/3)^(n-1)･(2^(n-1)-1)

年齢制限のない健全サイトにまで無差別に表示される、
携帯エロバナーを撲滅するべく具体的な行動に移そうというスレです。

※エロやエロ漫画そのものを否定するスレではありません。
あくまで「健全サイト・閲覧に年齢制限のないサイトにまではびこるエロバナー」をどうにかしよう！というスレです。
http://c.2ch.net/test/-/internet/1323983294/1-

円周率が22/7より大きいことを証明せよ

間違えた
円周率が22/7より小さいことを証明せよ

>>382
http://en.wikipedia.org/wiki/A_simple_proof_that_22/7_exceeds_pi
受験生が解く必要なし

>>372
図形的な直感だから俺がなにか見落としてるかも知れんが問題あってる？
∫[0,x]f(t)dt≧x に等号がないか、f(x)＞1に等号を含むかのどちらかのような気がするんだが。
このままだとf(x)=1(定関数)の場合に矛盾しないか？

>>384
f(x)=1(定関数)の場合, f'(x)＞0を満たさないのでは

お、スマソ。「'」が見えて無かったわｗ

[場合の数と確率](94 関西学院大)
n人(n≧4)の学生がいる
(1)
n人を2つの教室A,Bに配分する方法は
空の教室があるような配分方法も含めて,全部で[ア]通りある
このうち,どちらか一方の教室にn人すべてを配分する方法は[イ]通りあり,したがって
どちらの教室にも少なくとも1人の学生が含まれるような配分の方法は[ウ]通りある
(2)
同様に,n人の学生を3つの教室A,B,Cに配分するとき
空の教室が1室であるような配分の方法は[エ]通りある
したがって,どの教室にも少なくとも1人の学生を配分する方法は[オ]通りある
さらに,n人の学生を4つの教室A,B,C,Dに
どの教室にも少なくとも1人の学生が含まれるような配分の方法は[カ]通りある

解
[ア]2^n
[イ]2
[ウ]2^n-2
[エ]
C[3,2]･[ウ]=3(2^n-2)
[オ]
配分方法は全部で3^n通り
空き教室が2室の場合の配分方法は3通りだから,これと[エ]より
3^n-3(2^n-2)-3=3^n-3･2^n+3
[カ]
全部の配分方法は4^n通り
空き教室が3室,2室,1室の場合の配分方法はそれぞれ
4通り,C[4,2]･[ウ]通り,C[4,3]･[オ]通りだから
4^n-(4+C[4,2]･[ウ]+C[4,3]･[オ])=4^n-4･3^n+6･2^n-4

(12 東大)
nを2以上の整数とする
自然数(1以上の整数)のn乗になる数をn乗数と呼ぶことにする
以下の問いに答えよ
(1)
連続する2個の自然数の積はn乗数でないことを示せ
(2)
連続するn個の自然数の積はn乗数でないことを示せ

(95 早大)
(1)
不等式(1995/n)-(1995/(n+1))≧1を満たす最大の正の整数nを求めよ
(2)
次の1995個の整数の中に異なる整数は何個あるか
その個数を求めよ
[1995/1],[1995/2],[1995/3],…,[1995/1994],[1995/1995]
ここに,[x]はxを越えない最大の整数を表す

(06 早大)
2^555は十進法で表すと168桁の数で,その最高位(先頭)の数字は1である
集合{2^n|nは整数で1≦n≦555}の中に
十進法で表したとき最高位の数字が4となるものは全部で[ア]個ある

(85 高知大・一部省略)
同じ大きさの正方形のタイルが白,黒二種類ある
これらを合わせてn個用いて横に並べるときの場合の数をa[n]とする
ただし,左端は白で,かつ黒のタイルは隣り合わないこととする
たとえば,a[1]=1,a[2]=2,a[3]=3である
a[n](n≧3)をa[n-1],a[n-2]で表し,さらにa[n]をnで表せ

(81 大分医大・一部省略)
原点Oを中心とし,aを半径とする円に,この円の外部にある点Pから2つの接線を引き
その接点をA,Bとする
点Pの座標が(x[0],y[0])であるとき,2点A,Bを通る直線の方程式は
x[0]x+y[0]y=a^2
であることを証明せよ

誰か解いてる？

(01 芝浦工大)
原点Oを中心とする半径aの円に糸がまきつけられていて,糸の端は点A(a,0)にあり,反時計回りにほどける
いま,糸をたわむことなくほどいていき,その糸と円の接点をRとし,角AOR=θ(0<θ<2π)とする
更に,ほどかれた糸の端の座標をP(x,y)とする
(1)
xとyをθの関数で表せ
(2)
第1象限にあるPの軌跡と円および直線y=aで囲まれる部分の面積を求めよ

(87 東大)
nを2以上の自然数とする
x[1]≧x[2]≧…≧x[n]およびy[1]≧y[2]≧…≧y[n]を満足する数列
x[1],x[2],…,x[n]およびy[1],y[2],…,y[n]が与えられている
y[1],y[2],…,y[n]を並べかえて得られるどのような数列z[1],z[2],…,z[n]に対しても
Σ[j=1,n](x[j]-y[j])^2≦Σ[j=1,n](x[j]-z[j])^2
が成り立つことを証明せよ

(00 京大)
xy平面上の点でx座標,y座標がともに整数である点を格子点という
(1)
格子点を頂点とする三角形の面積は1/2以上であることを示せ
(2)
格子点を頂点とする凸四角形の面積が1であるとき,この四角形は平行四辺形であることを示せ

(03 慶大・一部省略)
正の整数nの正の約数の個数をd(n)で表す
d(n)が奇数であることは,nがある整数mを用いてn=m^2と表されることと同値であることを証明せよ

(80 九工大・改題)
数列x[1],x[2],…,x[n]は
x[1]+x[2]+…+x[n]=0,|x[1]|+|x[2]|+…+|x[n]|=1
を満たす
このとき,a[1],a[2],…,a[n]の最大値をM,最小値をmとすれば
a[1]x[1]+a[2]x[2]+…+a[n]x[n]≦(M-m)/2
が成り立つことを証明せよ

(津田塾大)
a,bは正の整数で,a+2はbで割り切れ,b+1はaで割り切れる
このようなのa,bの組をすべて求めよ

答えないのか…

[集合と論証](75 お茶の水女子大)
実数a,b,cが
a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0
を満足していればa>0,b>0,c>0であることを証明せよ

解
a>0,b>0,c>0のうち少なくとも1つが成り立たないと仮定する
対称性よりa≦0としてよい
a+b+c>0より0≧a(a+b+c)⇔-ab-ca≧a^2
これとab+bc+ca>0⇔bc>-ab-caより　∴bc>a^2
bc>a^2よりabc≦a^3≦0
これはabc>0に矛盾するから題意は証明された

別解
f(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abcとおく
f(x)=0はx=a,b,cを解に持つ
x≦0のとき,条件より
x^3≦0,-(a+b+c)x^2≦0,(ab+bc+ca)x≦0,-abc＜0
よってx≦0において常にf(x)<0で0以下の解を持たないから題意は証明された

[積分法](85 お茶の水女大)
f(x)を増加関数,nを自然数とする
次の不等式が成り立つことを証明せよ
0≦(1/n)Σ[k=1,n]f(k/n)-∫[0,1]f(x)dx≦(1/n){f(1)-f(0)}

解
f(x)は増加関数だから
∫[(k-1)/n,k/n]f((k-1)/n)dx≦∫[(k-1)/n,k/n]f(x)dx≦∫[(k-1)/n,k/n]f(k/n)dx
⇔(1/n)f((k-1)/n)≦∫[(k-1)/n,k/n]f(x)dx≦(1/n)f(k/n)
k=1,2,…,nの和をとると
Σ[k=1,n](1/n)f((k-1)/n)≦Σ[k=1,n]∫[(k-1)/n,k/n]f(x)dx≦Σ[k=1,n](1/n)f(k/n)
⇔(1/n)Σ[k=1,n]f(k/n)-(1/n){f(1)-f(0)}≦∫[0,1]f(x)dx≦(1/n)Σ[k=1,n]f(k/n)
∴0≦(1/n)Σ[k=1,n]f(k/n)-∫[0,1]f(x)dx≦(1/n){f(1)-f(0)}

>>401
＞[集合と論証](75 お茶の水女子大)
＞実数a,b,cが
＞a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0
＞を満足していればa>0,b>0,c>0であることを証明せよ
＞
＞解
＞a>0,b>0,c>0のうち少なくとも1つが成り立たないと仮定する
＞対称性よりa≦0としてよい
＞a+b+c>0より0≧a(a+b+c)⇔-ab-ca≧a^2

間違い。
0≦a(a+b+c)が正しい。

何で？

(95 名大)
原点Oを中心とする半径3aの円Cに
半径aの円C'が内接して滑らないで転がって移動するものとする
円C'の周上に固定された点Pがある
はじめ円C'の中心O'が(2a,0)に,また点Pが(3a,0)にあったとし
円C'が円Cの内部を反時計まわりに一周してもとの位置に戻るものとすると
点Pは図に示すような軌跡を描く
次の問いに答えよ
(1)
O'Oがx軸の正の方向となす角をtとおく
円Cと円C'の接点をTとするとき,∠TO'Pの大きさをtで表せ
また,点Pの位置(x,y)をtを用いて表せ
(2)
点Pの軌跡で囲まれる図形の面積を求めよ

(88 九工大)
(1)
y>0のとき,logy≦y-1を証明せよ
(2)
2つの関数f(x),g(x)が,次の(A),(B)を満たしている
(A) f(x)>0,g(x)>0 (0≦x≦1)
(B) ∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1]g(x)dx=1
(1)を用いて∫[0,1]f(x)log(g(x))dx≦∫[0,1]f(x)log(f(x))dxを証明せよ

(06 横国大)
xy平面上のx≧0の範囲で,直線y=xと曲線y=x^n(n=2,3,4,…)により囲まれる部分をDとする
Dを直線y=xのまわりに回転してできる回転体の体積をV[n]とするとき,次の問いに答えよ
(1)
V[n]を求めよ
(2)
lim[n→∞]V[n]を求めよ

(05 大分大)
aを正の定数とする
放物線y=ax^2と直線y=axで囲まれる図形を
直線y=axの周りに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ

(82 新潟大)
次の各問いに答えよ
(1)
x>0のとき,logx≦x-1を証明せよ
(2)
2つの連続関数f(x),g(x)が区間[0,1]でf(x)>0,g(x)>0であり
∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1]g(x)dx=1
となるとき,次の不等式がなりたつことを証明せよ
∫[0,1]g(x)log(f(x))dx≦∫[0,1]g(x)log(g(x))dx
(3)
連続関数f(x)が区間[0,1]でf(x)>0であり
∫[0,1]f(x)dx=1
となるとき,次の不等式がなりたつことを証明せよ
∫[0,1]e^x･log(f(x))dx≦1-(e-1)log(e-1)

(04 東大)
半径10の円Cがある
半径3の円板Dを,円に内接させながら,円Cの円周に沿って滑ることなく転がす
円板Dの周上の一点をPとする
点Pが,円Cの円周に接してから再び円Cの円周に接するまでに描く曲線は,円Cを2つの部分に分ける
それぞれの面積を求めよ

(早大)
相違なる自然数a,b,cがあり,どの2つの和も残りの数で割ると1余るとする
a<b<cとして次の問いに答えよ
(1)
a+bをcで割ったときの商はいくらか
(2)
a+cをbで割ったときの商はいくらか
(3)
a,b,cを求めよ

(早大)
相異なる自然数a,b,cがあり,どの2つの和も残りの数で割ると1余るとする
a<b<cとして次の問いに答えよ
(1)
a+bをcで割ったときの商はいくらか
(2)
a+cをbで割ったときの商はいくらか
(3)
a,b,cを求めよ

(12 首都大)
Pは正n角形(n≧6)とする
以下の問いに答えなさい
(1)
Pの異なる2本の対角線の組で,Pの頂点を共有するものは何通りあるか求めなさい
(2)
Pの異なる2本の対角線の組で,Pの頂点以外の点を共有するものは何通りあるか求めなさい
(3)
Pの異なる2本の対角線の組で,共有点を持たないものは何通りあるか求めなさい

(07 名大)
nを自然数とする
平面上の2n個の点を2個ずつ組にしてn個の組を作り
組となった2点を両端とするn本の線分を作る
このとき,どのような配置の2n個の点に対しても
n本の線分が互いに交わらないようなn個の組を作ることができることを示しなさい

(06 北大)
(1)
整数m,nに対して積分I[m,n]=∫[0,2π]cosmx･cosnxdxを求めよ
(2)
自然数nに対して積分J[n]=∫[0,2π](Σ[k=1,n]√k･coskx)^2dxを求めよ

(79 京大)
2人の人が1つのサイコロを1回ずつふり
大きい目を出したほうを勝ちとすることにした
ただし,このサイコロは必ずしも正しいものではなく
kの目の出る確率はp[k]である(k=1,2,3,4,5,6)
このとき
(1)
引き分けになる確率Pを求めよ
(2)
P≧1/6であることを示せ
また,P=1/6ならば,p[k]=1/6である(k=1,2,3,4,5,6)ことを示せ

(08 京大)
正四面体ABCDを考える
点Pは時刻0では頂点Aに位置し,1秒ごとにある頂点から他の3頂点のいずれかに
等しい確率で動くとする
このとき,時刻0から時刻nまでの間に,4頂点A,B,C,Dのすべてに点Pが現れる確率を求めよ
ただしnは1以上の整数とする

(08 東工大)
いびつなサイコロがあり,1から6までのそれぞれの目が出る確率が1/6とは限らないとする
このさいころを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし
1回目に奇数,2回目に偶数の目が出る確率をQとする
(1)
P≧1/6であることを示せ
また,等号が成立するための必要十分条件を求めよ
(2)
1/4≧Q≧(1/2)-(3/2)Pであることを示せ

(02 千葉大)
座標空間内に2点A(1,0,0)とB(-1,0,0)がある
不等式
∠APB≧135°
をみたす空間内の点Pの全体の集合に,2点A,Bをつけ加えてできる立体の体積を求めよ

(12 早大)
xy平面上に2点A(-1,0),B(1,0)をとる
π/4≦∠APB≦πをみたす平面の点Pの全体と点A,Bからなる図形をFとする
つぎの問に答えよ
(1)
Fを図示せよ
(2)
Fをx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ

(04 名大)
(1)
3次関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cのグラフy=f(x)は必ずある定点Pに関して対称となることを証明し
その定点Pを求めよ
(2)
4次関数g(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+dのグラフy=g(x)が
y軸に平行なある直線lに関して対称となるための必要十分条件を係数の間の関係式として求めよ
また,直線lを求めよ

誰か図示問題だしてくれ

(01 一橋大)
1枚の硬貨をn回投げる
ただし,n≧3とする
i=2,3,…,nに対し,i-1回目に表が出てi回目に裏が出たとき
またはi-1回目に裏が出てi回目に表が出たとき,i回目に転換が起こったという
(1)
転換が全く起こらない確率p[0]と,転換が1回だけ起こる確率p[1]を求めよ
(2)
2≦k≦n-1とする
転換がちょうどk回起こる確率p[k]を求めよ

(73 立教大・改題)
半径rの定円の周上に点P,Q,Rをとるとき
ベクトル↑PQとベクトル↑PRの内積の最大値は[ア],最小値は[イ]

(54 東大)
点(x,y)が,原点を中心とする半径1の円の内部を動くとき
点(x+y,xy)の動く範囲を図示せよ

[整数と整式](11 早大・改題)
nを正の整数とする
10^nの正の約数の個数は[ア]で,正の約数の全ての和は[イ],積は[ウ]である

解
10^n=2^n･5^nより
[ア]
正の約数の個数は
(1+n)(1+n)=(n+1)^2
[イ]
正の約数の全ての和は
(1+2+2^2+…+2^n)(1+5+5^2+…+5^n)
=(2^(n+1)-1)(5^(n+1)-1)/4
[ウ]
正の約数の全ての積は
2^0･5^0,2^0･5^1,…,2^0･5^n
2^1･5^0,2^1･5^1,…,2^1･5^n
…
2^n･5^0,2^n･5^1,…,2^n･5^n
を全てかけたもので
2^i(i=0,1,…,n),5^j(j=0,1,…,n)をそれぞれn+1回ずつかけるから
(2^0)^(n+1)･(2^1)^(n+1)･…･(2^n)^(n+1)･(5^0)^(n+1)･(5^1)^(n+1)･…･(5^n)^(n+1)
=(2^(0+1+…+n))^(n+1)･(5^(0+1+…+n))^(n+1)
=…
=10^(n(n+1)^2/2)

別解
[ウ]
10^nの正の約数の個数をm=(n+1)^2として
正の約数を小さい順に
d[1]=1<d[2]<…<d[m]=10^nとすると
10^n/d[i](i=1,2,…,m)も10^nの正の約数で
10^n/d[m]=1<10^n/d[m-1]<…<10^n/d[1]=10^nより
d[i]=10^n/d[m+1-i]
よって正の約数の積は
d[1]･d[2]･…･d[m]
=√(d[1]･10^n/d[m])･√(d[2]･10^n/d[m-1])･…･√(d[m]･10^n/d[1])
=(√10^n)^m
=10^(n(n+1)^2/2)

[三角比と図形](82 学習院大)
△ABC,△A'B'C'を2つの鋭角三角形とする
AB＜A'B',BC＜B'C',CA＜C'A'
ならば,△ABC＜△A'B'C'であることを証明せよ

解
∠A'<∠A,∠B'<∠B,∠C'<∠Cと仮定すると
∠A'+∠B'+∠C'=∠A+∠B+∠C=180ﾟに反するから
∠A≦∠A',∠B≦∠B',∠C≦∠C'のうち少なくとも1つは成り立つ
∠A≦∠A'と仮定しても一般性を失わない
△ABC,△A'B'C'は共に鋭角三角形であるからsinA≦sinA'
∴△ABC=(1/2)AB･AC･sinA<(1/2)A'B'･A'C'･sinA'=△A'B'C'

きさまらあああああ、つまらん初等幾何の問題じゃなくて、座標平面上の領域図示問題だしてくれええええ（ベクトル以外）

文系の高2なんですけど、これらの問題は解けたほうがいいですか？

解けないよりは解けた方が

>>379
ちゃんとした原題があったので

[場合の数と確率](05 名大)
n人全員が一組となってじゃんけんを1回するとき,勝った人数をXとする
ただし,あいこのときはX=0とする
以下の問いに答えよ
(1)
ちょうどk人が勝つ確率P(X=k)を求めよ
ただし,kは1以上とする
(2)
あいこになる確率P(X=0)を求めよ
(3)
Xの期待値を求めよ

(93 一橋大)
原点を中心とする半径1の円Oの周上に定点A(1,0)と動点Pをとる
(1)
円Oの周上の点B,CでPA^2+PB^2+PC^2がPの位置によらず一定であるようなものを求めよ
(2)
点B,Cが(1)の条件を満たすとき,PA+PB+PCの最大値と最小値を求めよ

[微分法](05 北大)
f(x)はx≧0で単調に減少する連続関数とする
(1)
全てのx>0に対して,f(x)<(1/x)∫[0,x]f(t)dtを示せ
(2)
関数F(x)を
F(x)=∫[0,x]f(t)dt (x≧0)
で定める
F(x)/xはx>0で単調に減少することを示せ

解
(1)
f(x)はx≧0で単調に減少するから,全てのx>0に対して
(1/x)∫[0,x]f(t)dt>(1/x)∫[0,x]f(x)dt=(1/x)(x･f(x))=f(x)
(2)
x>0において
(F(x)/x)'
=(F'(x)･x-F(x)･1)/x^2
=(1/x)(f(x)-(1/x)F(x))
<(1/x)((1/x)F(x)-(1/x)F(x)) (∵(1))
=0
より単調に減少する

[整数と整式](00 京大)
xy平面上の点でx座標,y座標がともに整数である点を格子点という
(1)
格子点を頂点とする三角形の面積は1/2以上であることを示せ
(2)
格子点を頂点とする凸四角形の面積が1であるとき,この四角形は平行四辺形であることを示せ

解
(1)
三角形の頂点を1つの頂点を原点にくるように平行移動させて
(0,0),(a,b),(c,d) (a,b,c,dは整数)とする
この三角形の面積は(1/2)|ad-bc|である
a,b,c,dは整数で,この三角形は面積を持つから,|ad-bc|は1以上の整数である
よって,この三角形の面積(1/2)|ad-bc|は1/2以上
(2)
この四角形の頂点をA,B,C,Dとおく
△ABC,△ABDのそれぞれの面積は1未満で,(1)の過程より共に1/2
辺ABは共通だからAB//CD
同様にAD//BCであるから,四角形ABCDは平行四辺形

(79 早大)
原点をOとし,平面上の2点A(0,1),B(0,2)をとる
OBを直径とし,点(1,1)を通る半円をΓとする
長さπの糸が一端をOに固定して,Γに巻きつけてある
この糸の他端Pを引き,それがx軸に到達するまで,ゆるむことなくほどいてゆく
糸と半円との接点をQとし,∠BAQの大きさをtとする
(1)
ベクトル↑OPをtを用いて表せ
(2)
Pが描く曲線と,x軸およびy軸とで囲まれた図形の面積を求めよ

(90 早大)
相異なる自然数a,b,cがあり,どの2つの和も残りの数で割ると1余るとする
a<b<cとして次の問いに答えよ
(1)
a+bをcで割ったときの商はいくらか
(2)
a+cをbで割ったときの商はいくらか
(3)
a,b,cを求めよ

up 誰か問題と解答のpdfを

もう止めちゃったの？
暇なときの頭の体操に丁度良かったのに・・・

(12 北大)
次の問に答えよ
(1)
x≧0のとき,x-(x^3/6)≦sinx≦x を示せ
(2)
x≧0のとき,(x^3/3)-(x^5/30)≦∫[0,x]tsint dt≦x^3/3 を示せ
(3)
極限値
lim[x→0](sinx-xcosx)/x^3
を求めよ

(10 弘前大)
放物線C[1]:y=(1/2)x^2+(9/2)x+3とx軸で囲まれた領域をD[1]とする
直線y=xに関してC[1]と線対称な放物線をC[2]:x=(1/2)y^2+(9/2)y+3とし
C[2]とy軸で囲まれた領域をD[2]とする
D[1]とD[2]の共通部分の面積を求めよ

(97 北大)
近似値log[10]2=0.3010,log[10]3=0.4771を利用して次の問いに答えよ
(1)
18^35の桁数を求めよ
(2)
18^35の最高位の数字が8であることを示せ

あぼーん

(67 京大)
△ABCの周上の2点P,Qを結ぶ線分PQで三角形の面積を二等分する
このような線分PQの長さの最小値を求めよ
ただしBC,CA,ABの長さをそれぞれa,b,cとし,またa>b>cとする

(12 琉球大)
I[n]=∫[0,π/4](tanθ)^n dθ (n=1,2,3,…) とするとき,次の問に答えよ
(1)
I[1]およびI[n]+I[n+2] (n=1,2,3,…) を求めよ
(2)
不等式I[n]≧I[n+1] (n=1,2,3,…) を示せ
(3)
lim[n→∞]nI[n]を求めよ

(93 明大)
30個の正の整数x[1],x[2],…,x[30]が,
x[1]≦x[2]≦x[3]≦…≦x[30],x[30]=3
を満たすとする
このような数のならび(x[1],x[2],x[3],…,x[30])は何通りあるか

(12 明海大)
1個のさいころを続けて5回投げ,出た目の数を1回目から順にa,b,c,d,eとする
このときa≧b≧c≧d≧eとなるような目の出方は[ア]通りある

(04 津田塾大)
次の条件を満たす4桁の正の整数d[4]d[3]d[2]d[1]の個数をそれぞれの場合について求めよ
(1)
9≧d[4]＞d[3]＞d[2]＞d[1]≧0
(2)
9≧d[4]≧d[3]≧d[2]≧d[1]≧0

(12 上智大)
nを5以上の自然数とする
1以上n以下の自然数から互いに隣り合わない2つを選ぶ組合せは[ア]通りあり
どの2つも隣り合わない3つを選ぶ組合せは[イ]通りある

(97 一橋大)
aは0と異なる実数とし,f(x)=ax(1-x)とおく
(1)
f(f(x))-xは,f(x)-xで割り切れることを示せ
(2)
f(p)=q,f(q)=pをみたす異なる実数p,qが存在するようなaの値の範囲を求めよ

(11 日本女子大)
f(x)=x^2-(4/5)とおく
(1)
2次方程式f(x)=xの2つの解をα,β(α＜β)とする
α,βの値を求めよ
(2)
f(f(α))の値を求めよ
(3)
関数f(f(x))を求めよ
(4)
方程式f(f(x))=xを解け

(65 名大)
1辺の長さaの正三角形の面積を二等分する線分のうちで最も短いものの長さを求めよ

(94東工大後期）
nを正の整数とし、(2-√3)^nという表示の数を考える。
この時、全てのnに対して適当な正の整数mを用いて√m-√(m-1)と表せることを示せ。

(解答）
※もっとエレガントな解答があれば教えて欲しい

(2-√3)^n=a[n]-b[n]√3と表す時、
(1)全てのnに対してa[n]とb[n]は整数でありかつ、
(2)同じa[n]とb[n]を用いて(2+√3)^n=a[n]+b[n]√3と表せることを数学的帰納法を用いて証明する。

1)n=1の時、
(2-√3)^n=2-√3かつ(2+√3)^n=2+√3より、a[n]=2,b[n]=1であり、(1),(2)ともに成立する。
2)n=<kで(1),(2)ともに成立するとして、n=k+1の時、
(2-√3)^(k+1)=(a[k]-b[k]√3)*(2-√3)=(2a[k]+3b[k])-(a[k]+2b[k])√3,
(2+√3)^(k+1)=(a[k]+b[k]√3)*(2+√3)=(2a[k]+3b[k])+(a[k]+2b[k])√3より、
a[k+1]=2a[k]+3b[k],b[k+1]=a[k]+2b[k]であり、前提よりa[k],b[k]は共に整数なので、(1),(2)ともに成立する。

以上より、証明された。

この時、(2-√3)^n=a[n]-b[n]√3かつ(2+√3)^n=a[n]+b[n]√3より、
a[n]=[(2+√3)^n+(2-√3)^n]/2
b[n]=[(2+√3)^n-(2-√3)^n]/2√3

よって、
a[n]^2=[(2+√3)^2n+(2-√3)^2n+2]/4
b[n]^2=[(2+√3)^2n+(2-√3)^2n-2]/12なので、全てのnに対してa[n]^2=3b[n]^2+1が成立する。

ゆえに、
(2-√3)^n=a[n]-b[n]√3=√a[n]^2-√3b[n]^2=√a[n]^2-√(a[n]^2-1)なので、m=a[n]とすれば題意は証明された。

>>453
2項定理から　(2-√3)^n = a-b√3，　(2+√3)^n = a+b√3 (a,b:整数)とおける
辺々掛けると　1=a^2-3b^2 だから，(2-√3)^n = a-b√3=√a^2-√(3b^2) = √a^2 -√(a^2-1)

程度ではどう？

(07 横浜市立大)
(1)
すべての実数xに対して,不等式x≦e^x-1が成り立つことを示せ
(2)
正の数x[1],x[2],…,x[n]が,x[1]+x[2]+…+x[n]=nを満たすとき
x[1]x[2]…x[n]≦1が成り立つことを示せ
(3)
正の数a[1],a[2],…,a[n]に対して,A=(a[1]+a[2]+…+a[n])/nとするとき
a[1]a[2]…a[n]≦A^nが成り立つことを示せ

(11 熊本大)
四角形ABCDにおいて
AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,AC=x,BD=y
とする
以下の問いに答えよ
(1)
cosA,cosB,cosC,cosDをa,b,c,d,x,yを用いて表せ
(2)
四角形ABCDが円に内接するとき
xy=ac+bd
が成り立つことを示せ

(99 東京理科大)
次の和を求めよ
(1)
C[n,0]+C[n,1]+C[n,2]+…+C[n,n]
(2)
C[n,0]+2C[n,1]+3C[n,2]+…+(n+1)C[n,n]
(3)
C[n,0]+(1/2)C[n,1]+(1/3)C[n,2]+…+(1/(n+1))C[n,n]
(4)
(1/2)C[n,0]+(1/3)C[n,1]+(1/4)C[n,2]+…+(1/(n+2))C[n,n]
(5)
(C[n,0])^2+(C[n,1])^2+(C[n,2])^2+…+(C[n,n])^2

(66 京大)
正n角形の頂点を順次A[1],A[2],…,A[n]とする
(1)
これらのうちの任意の3点を結んでできる三角形の総数を求めよ
(2)
うえの三角形のうちで鋭角三角形になるものの総数を求めよ

((1)82 新潟大 (2)81 小樽商大 一部省略)
つぎの和を計算せよ
(1)
Σ[k=1,n]k･C[n,k]
(2)
Σ[k=1,n]k^2･C[n,k]

(98 自治医大)
図のように原点を中心とする半径2√7の円を,EFを折り目として折って
円弧の部分がOBの中点Cでx軸に接するようにする
EFを直径とする円がx軸を切る2点間の距離を求めよ

(※図はA(-2√7,0),B(2√7,0),E,Fは円周上の点)

(89 青山学院大)
円x^2+y^2=1と点A(-2,0)を通る直線との2つの交点をP,Qとする
座標(1,0)の点をBとして△BPQの面積の最大値を求めよ

(92 千葉大)
ABを直径とする半円がある
円周上の弧PQを弦PQで折り返したとき,折り返された弧がABに接したとする
このような弦PQの存在する範囲を求めて図示せよ

(08 北大)
1から6までの目が等しい確率で出るさいころを4回投げる試行を考える
(1)
出る目の最小値が1である確率を求めよ
(2)
出る目の最小値が1で,かつ最大値が6である確率を求めよ

(12 浜松医大)
nは自然数を表すとして,以下の問いに答えよ

(1)
平面を次の条件を満たすn個の直線によって分割する
【どの直線も他のすべての直線と交わり,どの3つの直線も一点で交わらない】
n個の直線によって分割された平面の領域の個数をL(n)とすると,L(1)=2,L(2)=4は容易に分かる
次の問いに答えよ
(i)
L(3),L(4),L(5)をそれぞれ求めよ
(ii)
L(n)の漸化式を求めよ
(iii)
L(n)を求めよ

(2)
平面を次の条件を満たすn個の円によって分割する
【どの円も他のすべての円と2点で交わり,どの3つの円も一点で交わらない】
n個の円によって分割された平面の領域の個数をD(n)とすると,D(1)=2は容易に分かる
次の問いに答えよ
(i)
D(2),D(3),D(4)をそれぞれ求めよ
(ii)
D(n)の漸化式を求めよ
(iii)
D(n)を求めよ

(05 京大)
n枚の100円玉とn+1枚の500円玉を同時に投げたとき
表の出た100円玉の枚数より表の出た500円玉の枚数の方が多い確率を求めよ

(85 近畿大)
Σ[k=0,n]{1/(k+1)}C[n,k]=[ア]

(12 大阪市大)
三角形ABCの頂点A,B,Cは反時計回りに並んでいるものとする
点Pはいずれかの頂点の位置にあり,1枚の硬貨を1回投げるごとに
表が出れば時計回りに隣の頂点へ,裏が出れば反時計回りに隣の頂点へ,移動するものとする
点Pは最初,頂点Aの位置にあったとする
硬貨をn回投げたとき,点Pが頂点 Aの位置に戻る確率をa[n]で表す
次の問いに答えよ
(1)
n≧2に対しa[n]をa[n-1]を用いて表せ
(2)
a[n]を求めよ

(12 浜松医大)
nは自然数を表すとして,以下の問いに答えよ

(1)
平面を次の条件を満たすn個の直線によって分割する
【どの直線も他のすべての直線と交わり,どの3つの直線も一点で交わらない】
これらのn個の直線によって分割された平面の領域の個数をL(n)とすると,L(1)=2,L(2)=4は容易に分かる
次の問いに答えよ
(i)
L(3),L(4),L(5)をそれぞれ求めよ
(ii)
L(n)の漸化式を求めよ
(iii)
L(n)を求めよ

(2)
平面を次の条件を満たすn個の円によって分割する
【どの円も他のすべての円と2点で交わり,どの3つの円も一点で交わらない】
これらのn個の円によって分割された平面の領域の個数をD(n)とすると,D(1)=2は容易に分かる
次の問いに答えよ
(i)
D(2),D(3),D(4)をそれぞれ求めよ
(ii)
D(n)の漸化式を求めよ
(iii)
D(n)を求めよ

(66 京大・改題)
正n角形(n≧5)の頂点を順次A[1],A[2],…,A[n]とする
(1)
これらのうちの任意の3点を結んでできる三角形の総数を求めよ
(2)
(1)の三角形のうちで鋭角三角形になるものの総数を求めよ
(3)
(1)の三角形のうちで正n角形と辺を共有しないものの総数を求めよ

(85 一橋大)
(1)
1からnまでの自然数の総和が偶数になるのはnがどのような数の場合か
(2)
1からnまでの自然数の総和が偶数であるとき
1からnまでの自然数を2つの組に分けてそれぞれの組に属する数の総和が
等しくなるようにできることを証明せよ

(05 阪府大)
無限級数の和
S=Σ[n=1,∞]1/n(n+1)
T=Σ[n=1,∞]1/n(n+1)(n+2)
を求めよ

[57](82 東工大)
nを自然数とする
半径1/nの円を互いに重なり合わないように半径1の円に外接させる
このとき外接する円の最大個数をa[n]とする
lim[n→∞]a[n]/nを求めよ

--------------------------------------------------------
【質問】　半径1/nの円の中心同士を結んだ折れ線の長さは、半径1の円の
　　　　円周より長く、半径1+1/ｎの円周より短いから、はさみうちで
　　　　答えはπ

こんなやり方でいいのだろうか？　細野真宏の本に載ってたやり方より
かなり簡単なんだけど

半径1の円の円周は2πだから、はさみうちしたら2πになるんじゃないの？

http://j3e.server-test.net/math/

あげ

一次変換　必要なら解答のせる
　　　　　　　
(1)　平行でない二直線　　ａｘ＋ｂｙ＋１＝０：�@
　　　　　　　　　　　　ｃｘ＋ｄｙ＋１＝０：�A
　　と、一次変換ｆが与えられている。ｆが�@を�Aにうつし、
　　�Aを�@にうつす変換であるとき、合成変換ｆ・ｆは恒等変
　　換であることをしめせ。

(2)　一次変換ｆがあり、原点をｏとするxy平面上に、同一直線
　　上にはない三点Ａ,Ｂ,Ｃがある。ｆ(Ａ)＝Ａ,ｆ(Ｂ)＝Ｂ,
　　ｆ(Ｃ)＝Ｄを満たす。いま、△ＡＢＣの面積と△ＡＢＤの面
　　積が等しくなった。このとき、一次変換ｆを表す行列をＰと
　　すると、　　
　　　　Ｐ･Ｐ−Ｅ＝Ｏ　又は　(Ｐ−Ｅ)(Ｐ−Ｅ)＝Ｏ
　　が成り立つことをしめせ。
　　但し、Ｅは単位行列、Ｏは零行列とする。