俺の受験道

ついに九月を迎えた。生まれてからこれまで…

何もない人生だった。高一で部活でがんばったが

何一つ結果をだすことなくやめてしまった。

そして高校二年の今…自分は東北大学を志した。

ほんとに人生の分岐点であると思う。

皆さんよかったら助言など頂けないでしょうか。

２げっと本日2回目

初2get

初2get

【自分のスペック】

福島県
高二
東北大航空志望
偏差値四十五前後
一応進学校
中学では成績よかったが高校で部活やりはじめてからがた落ち。勉強に関する知識すべて忘れて今にいたる。こんな馬鹿ですが宇宙航空工学系の仕事に憧れています。

>>5

>>5
俺とまったく同じだ…
まあ一緒に頑張ろうじゃないか

東北大って航空あるんだ〜知らなかったな

ブログでも作れば？
ウザいよ。

10

>>7
今高二ですか？

工2は氏ね。

>>11
そうだよー

>>11お互い頑張りましょう！このままじゃ絶対受からないですよ

ウザイんだけど。お願いだから死んで。

>>9>>15
禿同

ちっ、夏休みは終わったんじゃねぇのかよ

僕は高校2年生だけど偏差値70です

てめえらウザス

まじ疲れた。VIPのほうがおもしろいや。

VIP終わったな

問23：
（１）0≦α＜β≦π/2 であるとき、次の不等式を示せ。
∫｛α〜β｝ｓｉｎx dx + ∫｛(π-β) 〜(π-α)｝ｓｉｎx dx ＞ (β-α)(ｓｉｎα+ ｓｉｎ(π-β))

（2）Σ｛k=1〜7｝ｓｉｎｋπ/8＜16/π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1997　京大）

別解：
等比数列の和の公式より、λ≠１のとき、
1 + λ+ λ＾2 +……　+λ＾(n-1) = (1-λ＾n)/1-λ
ここでλ= cosθ+ ｉ ｓｉｎθ （cosθ≠１）とおくと、
右辺 = Σ｛k = 0〜(n-1)｝cos kθ + ｉ Σ｛k = 0〜(n-1)｝ｓｉｎkθ
左辺 = ｛(1- cos nθ) - ｉ ｓｉｎ nθ｝/｛(1- cos θ) - ｉ ｓｉｎ θ｝
= 2ｓｉｎ (nθ/2)・｛ｓｉｎ (nθ/2)- ｉ cos (nθ/2)｝ /2ｓｉｎ (θ/2)・｛ｓｉｎ (θ/2)- ｉ cos (θ/2)｝
= ｓｉｎ (nθ/2) ・｛cos ((n -1)θ/2) + ｉ ｓｉｎ((n -1)θ/2)｝ / ｓｉｎ (θ/2)
= ｓｉｎ (nθ/2) ・｛cos ((n -1)θ/2) ｝/ ｓｉｎ (θ/2)+
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｉ　ｓｉｎ (nθ/2) ・｛ｓｉｎ((n -1)θ/2)｝ / ｓｉｎ (θ/2)
よって両辺の虚部を比較して
Σ｛k = 0〜(n-1)｝ｓｉｎkθ＝　ｓｉｎ (nθ/2) ・｛ｓｉｎ((n -1)θ/2)｝ / ｓｉｎ (θ/2)
ここで、θ= π/8, n = 8 とおけば、
Σ｛k=0〜7｝ｓｉｎｋπ/8　=ｓｉｎ(7π/16) / ｓｉｎ(π/16) = cos(π/16) / ｓｉｎ(π/16)
= 1/tan(π/16)
ここで一般にtanθ＞θ　〔0＜θ＜π/2〕であるから、tan(π/16) ＞π/16
よってΣ｛k=0〜7｝ｓｉｎｋπ/8 = 1/tan(π/16) ＜16/π
またｓｉｎ0 = 0に注意すれば、これはΣ｛k=1〜7｝ｓｉｎｋπ/8 ＜16/π ∴示された。

別解の解説：
Σ｛k = １〜n｝ｓｉｎkθ, Σ｛k = １〜n｝coskθの求め方は例えば上のようであるが、
これくらいは知識として覚えておいて欲しい。（計算結果を自力ですぐ導けるように）
尚、上の解答で左辺の計算途中に、
1- cos θ = 2{ｓｉｎ(θ/2)} ＾2 , ｓｉｎθ = 2ｓｉｎ(θ/2) cos(θ/2)
を使ったが、この３角関数の公式は大変重要なので、使いこなして欲しい。
逆に、（ｓｉｎθ）＾2やｓｉｎθcosθ　がｓｉｎ2θ , cos2θの一次式で表せることも重要で、
積分計算や、三角関数の最大、最小問題（ｓｉｎ2θ , cos2θの一次式の形になれば、合成の
公式によりさらに１つの変数までまとめられる。）などでとても大切である。

http://school5.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1097389349/

みんなで難関大数学を攻略しよう！
http://study.milkcafe.net/test/read.cgi?bbs=rikei&key=1124032692

死にゆくセミからの伝言
http://school5.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1126412793/

では、多数の文字が入った式（多変数関数）の扱いについて、しばらく見ていくことにします。
有名不等式も出てくるので、それらも使いこなせるように訓練してみて下さい。
なお、私が考える３大（受験数学用）有名不等式は、相加平均≧相乗平均　と ,
Cauchy - Schwartz の不等式　と もう１つ何か分かりますか？

問24：
a , b ,c を正の数とするとき、不等式2｛(a + b )/2 - (ab)＾1/2｝≦3｛(a + b +c)/3 - (abc)＾1/3｝
を証明せよ。また等号が成立するのはどんな場合か。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１９７８　京大）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

尚、問題の原本が見たい人はここにアクセスして下さい。
http://hw001.gate01.com/akiyoshi/index.html

解答：
右辺 - 左辺 = ｛a + b +c - 3 (abc)＾1/3｝ - ｛a + b - 2 (ab)＾1/2｝
= c + 2 (ab)＾1/2 - 3 (abc)＾1/3
= Y＾3 - 3X＾2・Y + 2X＾3　　〔X = (ab)＾1/6 , Y = c＾1/3 とおいた〕
= (Y-X)＾2・(Y+2X)
ここで、a , b ,c を正の数とするときX ＞０ , Y ＞０　であるからこれは０以上。∴示された。
また、右辺＝左辺となるのは、Y = X　⇔c＾2 = ab　のとき　　（答）

解説：
引いて０以上を示すという単純な解法だが、その変形にはとても大切な数学の考え方が含ま
れているので、じっくり研究しなければならない解答である。
注目すべきは、式を見やすくするためにどのように置き換えているかという点と、
多変数関数を扱う時に、一文字について整理して（因数分解して）いる点である。
一文字について整理することは、後に述べる独立多変数関数の扱いに関する文字固定法
（予選決勝法）に通じる考えになる。

別解：
右辺 - 左辺 = ｛a + b +c - 3 (abc)＾1/3｝ - ｛a + b - 2 (ab)＾1/2｝
= c + 2 (ab)＾1/2 - 3 (abc)＾1/3　
ここで、相加平均≧相乗平均なので、
c + 2 (ab)＾1/2 = c + (ab)＾1/2 + (ab)＾1/2≧3 (c・(ab)＾1/2・(ab)＾1/2)＾1/3 = 3 (abc)＾1/3　�@
よって右辺≧左辺。等号は�@の等号が成立する条件を考えて、
c = (ab)＾1/2 = (ab)＾1/2 ⇔ c＾2 = ab　のとき　　（答）

別解の解説：
本問が相加平均と相乗平均に関する問題だなということは明らかであるが、証明についても
c + 2 (ab)＾1/2 - 3 (abc)＾1/3　の段階で相加平均≧相乗平均が使えることに気づかなければ
ならない。例えば、簡単な例であるが、
ｍ＞０のとき、ｍ＾２ + 1/mの最小値は？などという問題の場合、微分法一辺倒の解答をするの
ではなく、　ｍ＾２ + 1/m = ｍ＾２ + 1/2m + 1/2m ≧ 3(1/4)＾1/3
としてすっと答えを出すとか、問１で述べたように、分数関数では分子又は分母を
ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ（次数下げ）して積＝一定の形を作ってから相加平均≧相乗平均を使うなど、
うまく使いこなせれば、いろいろな分野で計算を減らして要領よく正確な答えを出せるように
なる。

問２５：
a,b,cが正数のとき、a^4+b^4+c^4≧abc(√bc+√ca+√ab)を示せ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（出典：奥田猛？）−スレ「奥田猛」より引用

解答：
a^4+b^4≧2a^2b^2, b^4+c^4≧2b^2c^2, c^4+ a^4≧2c^2a^2 　(∵相加平均≧相乗平均)
　辺々加えて2で割って　a^4+b^4+c^4≧a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 �@
また、a^2b^2+b^2c^2≧2acb^2, b^2c^2+c^2a^2≧2bac^2, c^2a^2+a^2b^2≧2cba^2　　より、
　辺々加えて2で割って　a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≧acb^2+bac^2+cba^2　�A
更に、acb^2+bac^2≧2abc√bc, bac^2+cba^2≧2abc√ac, cba^2+acb^2≧2abc√abより、
　辺々加えて2で割って　acb^2+bac^2+cba^2≧abc(√bc+√ca+√ab)　�B
�@、�A、�Bより　a^4+b^4+c^4≧abc(√bc+√ca+√ab)　.
（尚、等号は�@�A�Bのすべてにおいて等号が同時に成立するa = b = c のとき。 ）

解説：
ポイントはバランスの取れた数式の扱い 。
大学受験には出にくいタイプの問題ではあるが、相加平均≧相乗平均に対する認識を確認する
意味では目を通しておくと有益な問題と考える。式の形から相加平均≧相乗平均を使うことに
ピンと来て欲しいし、バランスをいかにとって行くかを考えなくては正解に至らないであろう。

e<πなど使う必要はありません。e≠πであれば、g(π)<g(e)なのです。（g(x)はx = eのとき最大なので）
問題だけ出して、解答・解説をつけないのでは、自分の答案と比較する機会がなく、
間違えて理解しかねないので簡単に解答をつけておきます。

解答：
π＾e＜e＾π⇔e (log π)＜π ⇔(log π)/π ＜1/e　�@
ここでg(x)=(log x)/x ｛定義域x＞0｝の増減を調べると、>>17解答その１に示したように
g(x)はx = eのとき最大値1/eをとるので、g(π)＜1/e　。よって�@が言える。
（答）π＾e＜e＾π

問26：
実数x , yがx ≧y ≧1を満たすとき、次の不等式が成立することを示せ。
(x + y -1) log 〔2〕 (x + y) ≧ (x -1) log〔2〕 x + (y - 1) log〔2〕 y + y
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2000　京大文系後期）

表記上の注意：log〔2〕 x　とは2を底としたxのlogarithm（対数） のことである

解答：
右辺 = (x -1) log〔2〕 (x + y) + y log〔2〕 (x + y)
≧ (x -1) log〔2〕 x + y log〔2〕 (2y)　　　　　〔∵ x ≧y ≧1 〕
= (x -1) log〔2〕 x + y ( 1 + log〔2〕 y )
≧ (x -1) log〔2〕 x + (y - 1) log〔2〕 y + y 〔∵ y ≧1 よりlog〔2〕 y ≧0〕
= 左辺 ∴示された

解説：　
左辺で文字間のバランスが既れている点で、x, yのバランスを重視した扱い（問25のように）
をしても無理で、そう言う意味では、きれいな方針の立てにくい問題であるが、以下のよう
に考えてみた。右辺と左辺を比較するとき、右辺を左辺の形に近づけようとするのが常である。
そのとき、(x + y -1) log 〔2〕 (x + y)を (x -1) log 〔2〕 (x + y) と y log 〔2〕 (x + y) と
分解するか、x log 〔2〕 (x + y) と (y - 1) log 〔2〕 (x + y)　と分解するか、
(x -1) log 〔2〕 (x + y) と(y - 1) log 〔2〕 (x + y)　とlog 〔2〕 (x + y)に分解するか
であるが、左辺に+ yがあるのに注意したい。例えば(y - 1) log 〔2〕 (x + y)という形で分解した場合、
これと左辺の(y - 1) log〔2〕 yという形とは比較しやすいが、この段でlogの係数y を
使い果たしてしまうと左辺の+ yの部分と比較するものが無くなる。( log 〔2〕 (x + y)　とｙでは
比較にならない。yが十分大きければlog 〔2〕　(x + y)　<< ｙ であるから。）
そこで右辺を解答のように分解し、y log 〔2〕 (x + y) と (y - 1) log〔2〕 y + yの比較を議論
した。この比較においても、下記の、独立2変数関数の扱い方を知っていると、便利だろう。
つまり前者でx をx ≧yの範囲で動かした時の最小値はx = y のときだと考えるのである。

別解：　　　実数x , yがx ≧y ≧1を満たして動く時の、
関数 ｆ （x,y）= (x + y -1) log 〔2〕 (x + y) - ｛(x -1) lo〔2〕 x + (y - 1) log〔2〕 y + y ｝
の動き（最小値）を考える。その為に、まずｙを固定して考え（１以上のある数に固定、つまり
定数として扱う）これをxの関数としてｇ（x）とすると、
ｇ'（x）= log 〔2〕 (x + y) + (x + y -1) ・１/(x + y) - ｛log〔2〕 x + (x -1) ・１/x ｝
= ｛ log 〔2〕 (x + y) - log〔2〕 x ｝　+ y/x(x+y) ＞0
よってｇ（x）はx ≧y の範囲で単調増加関数なので、
xがx ≧y を満たして動く時　ｇ（x）の最小値はg(y) ここに
g(y) = (2y - 1) log 〔2〕 (2y) - ｛2(y - 1) log〔2〕 y + y ｝
　　= (2y - 1)｛1 + log〔2〕 y ｝　- ｛2(y - 1) log〔2〕 y + y ｝ = log2 y + y - 1 ≧0 〔∵ y ≧1 〕
よってｆ （x,y）=ｇ（x）≧g(y) ≧0　∴示された。
なお、x = y かつ y = 1のとき（⇔x = y= 1のとき）上の2つの等号が同時に成立する。

別解の解説：
本問題集の配列からはこっちが本解です。文字式を関数として扱うという視点に立ち、
いわゆる多変数関数の一般的な扱い方を示した。面白い解答ではないが、逆にいえば
普遍的、万能な解答で必ず出来なければならない解答である。
示すべきは右辺 - 左辺の関数が（ｘ、ｙが条件内でどのように動いても）常に0以上
であることである。これを関数論として考えるならば、この右辺 - 左辺は独立2変数
関数である。
この場合どちらも変数だからといって2文字を一辺に動かしても、訳がわからなくなる
ので、まずは一方、例えばy をある値に固定して、動くものを1つにし、ｘの動きに対
して関数がどのように動くか、どのような最小値をとるかを考える。
最小値を与えるxはｙの入った式になることも多く、その最小値はy の文字で表現できる。
各y に対して、これが関数の最小値なのだから、更にyがいろいろな値を取って動くとき、
このyの関数の最小値を求めればよい。
これが、最小の中の最小である。（予選決勝法）
以上を式で表現すればf （x , y）≧ g(y) ≧M　（☆）　。
このとき、f （x , y）の最小値はMといえる。

補足を加えると、なぜなら、
ｐ（x）の最小値がＩ　⇔　「すべてのx に対しｐ（x）≧Ｉ　」かつ「あるxがあってｐ（x）＝Ｉ　」
であるが、（☆）において等号成立は第１不等式に関してはx = ψ(y) であり、第２不等式に
関しては y = k　（=定数） のときであるので、x = ψ(y)かつy = k　のようなx , yを考
えれば（☆）の2つの不等式の等号を同時に成立させ、f （x , y） = Mが実現できるので
ある。
この等号同時成立が可能なのは、「独立」多変数関数を考えているからだという、理論的構造
をよく理解しないといけない。（x, yが従属しているつまりyを決めるとxが自動的に決まる
のなら、x = ψ(y)かつy = k　のようなx, yはとれない恐れがあり等号同時成立しなくなる
ことが考えられるため。このときf （x , y）＞Mであり、Mは取り得ない値であるから、
最小値といえなくなる　）
等号同時成立し得るから最小値がMであるという論理的構造をよく理解すること。
そして予選決勝法の基本はあくまで「独立」多変数関数において使うことをよく確認して
おきましょう。

問27：
xyz空間内の点P ( 0, 0 ,1)を中心とする半径1の球面Kがある。
K上の点Q ( a ,b ,c )が条件a＞0 ,b＞0 ,c＞1のもとでK上を動くとき、QにおいてKに
接する平面をLとし、Lがx軸 , y軸 , z軸 と交わる点A , B , Cをとする。このような
三角形ABCの面積の最小値を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1987　東大）

解答：　　L上の点Ｘ　( a ,b ,c )が満たすべき条件は
ベクトルPQ⊥ベクトルQX　⇔ベクトルPQ・ベクトルPX = │ベクトルPQ│＾2
よってPQ = 1より これを整理して　ax + by + (c -1)z = c
これが平面Lの方程式である。これとx軸 , y軸 , z軸との交点を求めて
A (c /a , 0 , 0 ) B ( 0 , c /b , 0 )　 C ( 0 , 0 , c /( c- 1) )
∴　ベクトルAB = (- c /a , c /b , 0 ) , ベクトルAC = (- c /a , 0 , c /( c- 1) )
よって△ABC = 1/2 √｛│ベクAB│＾2 ・│ベクAC│＾2 - (ベクAB ・ベクAC)＾2｝
　　　　　　　= 1/2 √｛(c＾2 /a＾2 + c＾2 /b＾2) ・(c＾2 /a＾2 + c＾2 /(c -1) ＾2) - (c2/a2)＾2｝
= c＾2 /2ab(c -1) 〔∵　a＞0 ,b＞0 ,c＞1 , a＾2 + b＾2 + (c-1) ＾2 = 1　　（※）　〕

ここでa ,b ,cが（※）を満たして動くときのこの関数の最小値を考える。まず、
cを1＜c (＜2)の範囲で固定して考えるとa , bは a＞0 ,b＞0, a＾2 +b＾2 = 2c - c2を満た
して動くことになり、このとき 2c - c2 = a＾2 + b＾2 ≧ 2ab より2abはa = b (= √(c - c＾2/2) )
のとき最大値2c - c2をとる。∴ △ABC≧c＾2 / (2c - c2) (c -1) = c / (2 - c) (c -1)
次に、f (c) = c / (2 - c) (c -1) とおくとf (c) = c /(-c＾2 + 3c - 2) = 1/｛3 -(c +2/c)｝であり、
1＜c (＜2)のとき3 ＞c + 2/c ≧2√c・(2/c) = 2√2 〔等号はc = √2のとき〕であるから
f (c) ≧1/(3 -2√2) = 3 + 2√2　。　　以上より、a = b (= √(c - c＾2/2) )かつc = √2　のとき
△ABCの面積は最小値3 + 2√2　をとる。　（答）

解説及び別解分枝：
平面ＬはベクトルPQ = ( a , b , c-1 )に垂直な平面、即ちベクPQを法線ベクトルとする平面
なので、ax + by + (c -1)z = k と書ける。あとは更に点Qを通ることから定数kを決めればよい。
ところでなぜ法線ベクトルが直線や平面の式の係数として現れるかは分かりますね？
これは法線ベクトルをnとした場合、平面ないし直線の式は、通る1点の位置ベクトルをベクpと
すると、　ベクn・（ベクx -ベクp） = 0　⇔　ベクn・ベクx = k（定数）と書けるので、
これを成分表示すれば ベクnとベクx の内積が方程式として現れてくるからと考えてもらえば
よいでしょう。
上の解答では、2つの（辺）ベクトルで形成される三角形の面積の公式を用いて求めたが、
△ ABCの面積の求め方は三角錐O -ABC の体積はを2通りで表すことにより求めてもよい
でしょう。即ち、三角錐O -ABC の体積は一方では、△OABを底面、OC を高さと見て、
1/6・c /a ・c /b ・c /( c- 1) と表せれ、他方では△ABCを底面、Oと平面Ｌとの距離
│c│/√｛a＾2 + b＾2 + (c-1) ＾2｝ = c を高さと見て、1/3・c ・△ABC
1/6・c /a ・c /b ・c /( c- 1) = 1/3・c ・△ABC 　∴ △ABC = c＾2 /2ab(c -1)

この多変数関数の扱いであるが、まずバランス感覚から言ってcを固定すれば、その固定
したｃにたいしての上記関数の最小値がc を含んだ形で求まるでしょう。
あとはここでｃをいろいろ変えていく中での（ｃを動かす中での）このｃの関数の最小値
を求めればよい。まさに最小の中の最小である。（文字固定法＝予選決勝法）
もう少し詳しく述べると、本文はa ,b ,cの変数あるが、1つの拘束条件があるので、
実質2変数関数である。ならば一文字を固定すれば、残るは残った一文字に関する1変数
関数となり、その変化は微分法なりで解析できる。どの文字を固定するかを考えれば、
登場回数が最も多いかつ、バランスから外れているｃを固定するのが普通だと考える。
最後のｃの関数の扱いは、微分法による解析に依るまでもなく、1次式/2次式という
分数関数なので相加平均≧相乗平均を使える形に必ず持っていけることに注意したい。
（問１の解答その３参照）

初心者の方には、初めに書いてることの意味が分かりにくかったと思いますので、具体的に
教えておきますと、例えば直線2x + 3y = 5 �@とは�@式を満たす点（x , y）の集合ですが
�@ 式 ⇔ 2x + 3y = 5 ⇔2( x - 1) + 3( y - 1) = 0 ⇔（2 , 3）・（x - 1, y - 1）= 0
　　　⇔（2 , 3）⊥（x - 1, y - 1）
であるから、これを満たす点（x , y）は点（1, 1）を含めここから、ベクトル（2 , 3）に垂直にすす
んだ位置にあればよく、このような点の集合は直線を形成するのです。
つまりなぜ�@が直線の式になるのか、なぜ係数が法線ベクトルを表すのかについて言えば
直線の式にしろ、平面の式にしろ左辺は定ベクトルと（x , y）〔または（x , y , z）〕との内積の形
をしており、定数項を一方に集め=0の形にしたとしてもやはりこの式の左辺は内積の形で表現できるか
らである。
ところで数式を考えていく場合　=0　の形にして左辺を積の形にしていくことが
式を解析していく上でとても大事な数学の手段であることは既に述べた。(<<29を参考)
つまり、この「積の和を内積とみる」というのは式の解釈（方程式を解く）において超基本重要である。
（因数分解と同程度の基礎事項）

更に補足すれば、このように「積の和を内積とみる」考え方は、（方程）式の解釈において
このように重要であるが、それのみならず積の和の値域の不等式評価にとっても重要な変形
である。
即ち、-│ベクa││ベクb│≦ベクa・ベクb≦│ベクa││ベクb│という
Cauchy - Schwartzの不等式に繋げるのである。

例えば問１　解答その１では
�@の左辺において分母 = √（2x + y） = r 　(⇔｛√(2x)｝＾2 +｛√y｝＾2 = r＾2)
と固定して、この固定したr に対し、円のパラメータ表示を使えば
√(2x) = r cosθ　, √y = r ｓｉｎθ　と１パラメータθで表示できるとやったと思うが、
（もっとも、後でこの固定した'定数' rを動かす必要もない。分母、分子が1/2乗の同次式
であることを考慮すればrが消去されるのは明らか。なお前は分母＝ｒと置き換えたと表現
したが式の扱いに関しては置き換えてシンプルにするという表現で言いが、多変数関数を扱
うときは固定したとする表現が適切である。同じことと思う方もいるかもしれないが、与
えられたものを漠然と式としてみるか、変数で構成される関数と見るかで表現を変えたほ
うが読み手にもどちらの考えをもって式を扱うつもりなのかが伝わり、指針を読み手に伝
えやすい）
このとき、�@の左辺は(1/√2) cosθ ＋　ｓｉｎθ　と簡単に表示される。これは、
積の和であり、これを2ベクトル(1/√2 , 1) と　(cosθ, ｓｉｎθ)の内積と解釈する習慣
（>>169で示したように、積の和⇔内積）があれば、Cauchy - Schwartzの不等式より
(1/√2) cosθ ＋　ｓｉｎθ ≦│(1/√2 , 1)││(cosθ, ｓｉｎθ)│= √(3/2)　　と評価できる。
尚Cauchy - Schwartzの不等式の等号成立は内積が大きさの積に等しいのだから、
2ベクトルのなす角が0かπのとき。（前者はCauchy - Schwartzの不等式の右の等号、
後者は左の等号）

話がそれてきましたが、「多変数関数の扱い」を今後もう少しやります。

L上の点Ｘ　( a ,b ,c )が満たすべき条件は
→　　L上の点Ｘ　( x ,y ,z )が満たすべき条件は

イメージについて書いてみました。よければ参考にしてください。
意味不明だったらごめんなさい。

　イメージには２種類あります。記号的なイメージと非記号的なイメージです。
速読においては、記号的なイメージは内容の理解に、非記号的なイメージは内容の
世界を構築するのに使います。なぜ記号的なイメージと非記号的なイメージを区別
するかといえば、この二つを区別しないことがイメージが見えない原因だからです。
普通の人が想像するのは記号的なイメージの方です。でも、イメージをして期待するのは
非記号的なイメージを見ることです。やっていることがそもそも食い違っているのです。
　記号的なイメージは意識すれば誰でも想像できるので、ここでは置いておきます。
（顔の絵を描けといわれれば、二つの目と鼻と口が一つずつある絵を描くはずです。
「顔＝二つの目と鼻と口が一つずつある」という記号的な認識が成立している証拠になります）
　訓練で主に取り組むのは非記号的なイメージの方になります。このイメージは無意識的なものです。
がんばって想像するものではなくて、自然に浮かび上がってくるものです。一見難しそうですが、
そんなに難しい話ではないと思います。速読においては文字やイメージからの連想で思い浮かべるので、
何もないところからイメージするというような高度なことは要求しないからです。また、絵を描くわけでもないので、
理解するのに必要な精度のイメージ力さえあればいいという理由もあります。ですから、瞑想や催眠というような
深いリラックス状態は、ある程度速読で読めるようになってからでいいと思います。ひとまずは浅いリラックス状態で十分です。
　大切なのは、記号的なイメージと非記号的なイメージの違いを自覚することです。記号的なイメージの例は上で出しました。
非記号的なイメージの例としては、子供のときによく遊んだ公園の風景を思い出してみてください。
きっと、全視野で空間を含んで想像できたと思います。細かい所はぼやけてていいです。この、
記号化によって情報が劣化していない生のままの画像が、非記号的なイメージです。
　また、別の例を挙げると、「あ」の文字を見て「あ」が書いてあると思い出すのは記号的な認識で、
「あ」のフォントから受ける印象や「あ」の絵としての形を思い出すのが非記号的な認識になります。
　空間認識や身体感覚は、この非記号的なイメージを補強するために使います。空間認識が非記号的な
イメージを補強し、身体感覚が空間認識を補強します。
　速読では、非記号的なイメージで内容を捉えられるようになると「開眼」で、さらに記号的なイメージを使って内容が理解できると「覚醒」です。
　イメージはある場面ではすでに見えているのだと思います。ただどう速読に使うべきか分からなくて
見えてないだけなのでしょう。記号的なイメージと非記号的なイメージの違いが分かると、
自分が思い浮かべているものに自覚が生まれ、イメージを自由に見ることができるようになります。
この違いに注意して、まずは非記号的なイメージを見ることを目指してみてください。

問28：xy平面内の領域-1≦x≦1, -1≦y≦1において1 - ax - by - axyの最小値が正とな　
　　　　るような定数a, bを座標とする点（a, b）の範囲を図示せよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2000　東大文系）

解答：　　x,yが -1≦x≦1, -1≦y≦1を満たして動くときの
1 - ax - by - axy = -a(1+y) x + (1-by) の最小値mについて考える。
yを -1≦y≦1の範囲のある値に固定して考え、上のxの（1次以下の）関数をf(x) とおく。
�T）a＞0のとき：　-a(1+y)≦0であるから、f(x) の-1≦x≦1における最小値は、x = 1の時で、
　　　　　　　　　　　　f (1) = 1- a - (a + b) y ここでyを -1≦y≦1の範囲で動かして考えると、
　　　　　　　　　　　　　これはy = -1か1のと最小値をとり、m = ｍｉｎ{1 + b , 1 - 2a - b }
�U）a = 0のとき：　-a(1+y) = 0であるから、f(x) は定数関数1- by であり、
　　　　　　　　　　　　　ここでyを -1≦y≦1の範囲で動かして考えると、
　　　　　　　　　　　　　これはy = -1か1のと最小値をとり、m =ｍｉｎ{1 + b , 1 - b }
�V）a＜0のとき：　-a(1+y)≧0であるから、f(x) の-1≦x≦1における最小値は、x = -1ので、
　　　　　　　　 f (-1) = 1 + a + (a - b) y ここでyを -1≦y≦1の範囲で動かして考えると、
　　　　　　　　　　　　これはy = -1か1のと最小値をとり、m =ｍｉｎ{1 + b , 1 + 2a - b }
以上より、求める条件m＞ 0というのは
a＞0のとき1 + b ＞0 かつ 1 - 2a - b ＞ 0
a = 0のとき1 + b ＞0 かつ 1 - b ＞0
a＜0のとき1 + b ＞0 かつ 1 + 2a - b ＞ 0
これを満たす点（a , b）の範囲を図示すると、点（0 , 1）、点（1 , -1）、点（-1 , -1）を３頂点と
する三角形の内部になる（図は略、境界は含まず）。

解説：x , y 独立2変数関数の最小値を文字固定法により、忠実に求めていく方針での解答
である。まずどちらを固定するかであるが、登場回数はどちらも同じなので、多い方を固定
したほうがシンプルに扱えるという法則は使えないが、xについてといたほうが式のまとま
りは明らかによいので、初めにyを固定（定数と見なす）して、（とりあえずxの関数の）
最小値を考えていきましょう。もっとも、図示するだけなので最後まで厳密に最小値を求め
る必要はありません。上の解答のｍｉｎ｛a , b｝はa , bのうち大きくないほう（a , bの
小さいほうか、等しい場合はどちらか。）という意味です。
「〜のときは、〜が最小値で」また、「〜のときは、〜が最小値で」という場合分けをいく
つも並べるよりは、むしろ最小値の候補を絞り込み、そのいずれもが正であればよいという
（アバウトな）形で表現したほうが、図示も遥かに楽である。（この考えも大切！）
この「ある程度の候補までで止めておくという考え」をもっと押し進めると次のような別解
でもよいと考える。

別解：　　　1 - ax - by - axy = - (ax + b)(y +1) + 1+b　�@
ここで-1≦y≦1のときy +1は0以上２以下の値をとって連続的に動き、
-1≦x≦1 のときax + bは- a + b から a + bまでの値で（独立に）連続的に動くので、
よってその積(ax + b)(y +1)の最大値は、0か２（- a + b）か２（a + b）のうち最大のものであり、
従って�@の最小値は、これらのときの1 + b , 1 + 2a -b , 1 - 2a - b のうち最小のもの。
よって求める条件は、1 + b ＞0かつ 1 + 2a -b＞0 かつ 1 - 2a - b＞0　（答）　図は略。

別解の解説：
�@の変形は自然としたくなる変形であるはず。変数（動くもの）をまとめていく変形である。そ
もそもこのAxy +Bx + Cy + D が、(ax +b )(cx + d)の展開として出現すること、逆に定数の
ずれを補正すれば前者が後者に因数分解できることは、整数論や、双曲線の式として図示するた
めでもよく使う変形でしょう。
さて、本別解でのポイントは結局今回の関数の最小値が（x , y） = (1 , 1) , (1, -1) ,
(-1 , 1) , (-1, -1) のいずれか（極端な4例）で実現できることを述べることと。
最小値＞0　⇔　（最小値を含め、すべての場合）＞0　
という考えである。
つまり最小値＞0であるならば、「最小値より大きな値が0であるのは当然必要でなおかつ
最小値も＞0である」としてやることで、必要十分条件を、細かい場合分けをせずに一気に
書けてしまうのである。この点は解答１においても同じ注意をもって、見ておいて下さい。

問29：
a , bは実数で、b≠0とする。xy平面に原点O ( 0 , 0)および2点P ( 1 , 0) , Q ( a , b )を
とる。
（1）△OPQが鋭角三角形となるためのa , bの条件を不等式で表し、点( a , b )の範囲
をab平面上に図示せよ。
（2）m , nを整数とする。a , bが（1）で求めた条件をみたすとき、
不等式 ( m + na)＾2 - ( m + na) + n＾2b＾2 ≧0が成り立つことを示せ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1998　東大文系）

解答：
（1）
∠POQ ＜90°⇔　cos ∠POQ ＞0 ⇔ベクOP・ベクOQ＞0⇔ a＞0 　�@
∠OPQ ＜90°⇔　cos ∠OPQ ＞0 ⇔ベクPO・ベクPQ＞0⇔ a＜1 　　�A
∠OQP ＜90°⇔　cos ∠OQP ＞0 ⇔ベクQO・ベクQP＞0⇔ a＾2 - a + b＾2＞0　　�B
以上の3条件を満たす ( a , b )の範囲をab平面上に図示する。（図は略）

解答：
(2) 　(1)の条件の時、b＾2＞a - a＾2　であり、またn＾2≧0より、
( m + na)＾2 - ( m + na) + n＾2b＾2 ≧( m + na)＾2 - ( m + na) + n＾2(a - a＾2)
= (2mn - n + n2) a + ( m2 - m )　　（※）
最後の式、これをa の関数と考え、f (a) とおく。但し定義域は（１）より0＜a＜1。
�@）　(2mn - n + n2)≧0 のとき、f (a) はa の（広義の）増加関数であり、
　　　　　f (a)≧f (0) = m＾2 - m≧0　
　〔∵一般にkが整数の時、k＾2 - k = k (k - 1)は連続する2整数の積で正×正、負×負、
　　　　あるいは一方0、のいずれにせよ0以上となる〕
�A） (2mn - n + n2)＜0 のとき、f (a) はa の（狭義の）減少関数であり、
　　　　　f (a)＞f (1) = (m+ n)＾2 - (m +n)≧0

以上の�@）�A）いずれにせよ、0＜a＜1のとき、f (a)≧0よって（※）より、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　( m + na)＾2 - ( m + na) + n＾2b＾2 ≧0　　。

解説：
（１）
解答は2ベクトルｉ　，ｊのなす角θ＜90°⇔cos θ =　ｉ　・　ｊ /│ｉ││ｊ│＞0⇔ｉ　・　ｊ＞0
という言い換えを使っています。
O, Pが決められていてQの位置を条件に沿うように決めるだけなので、図で考えてもよい
でしょう。三角形のそれぞれの内角が90°になるような補助線、補助円を書けば、それら
を境にどちら側にあるべきかを簡単に論じればよいでしょう。

解説：
(２)
示すべき式をまずどのように整理していくかであるが、2b＾2を消去して文字数を減らせるの
はよいでしょう。それでもm,n ,aの3文字が入った式である。m,n ,aはそれぞれ独立して
比較的自由に動けるので、どのように動いても0以上を示すとすれば、3変数関数として捉
える立場からは最小値を求めてそれが0以上を示すことになる。独立3変数関数と見る場合、
動くものは一つにして後はとりあえず固定して仮の最小値を求め、後で固定をはずしながら
最小of最小を求める方針となるが、まずどれを固定し
どの文字についての関数と見なすかについては、登場回数が多い文字は固定したほうがよ
いし、なるべく次数の低い文字について整理したほうが扱い易いことが多いので、これら
を参考に決める。本文の場合、m, nは整数という特殊な変数なので、これにつれの動きは
分かりにくい、これらは定数と見なし（固定して）、連続して動く（関数論として微分法
などで解析しやすい）aのみを変数とまずは見なすべきだろう。f (a)は一次式か定数な
ので、直線のグラフを形成することを考えれば、最小値はアバウトに言えば両端点の
小さいほう（大きくないほう）である。
尤も、その値はとれないので、実際に最小値という言葉は使えない。不等式評価として
答案を書きましょう。f (a) の下限を(m+ n)＾2 - (m +n)として、この最小は一文字
について整理し、再び関数論として話を展開するまでもなく、因数分解をすれば式とし
ての0以上はすぐ示せる。

問30：　　　
3個の赤玉とn個の白玉を無作為に環状に並べるものとする。
このとき白玉が連続してk + 1 個以上並んだ箇所が現れない確率を求めよ。
ただし、n /3 ≦k ＜n /2とする。 　　　　 (1989　東大)

解答：　環状に並べたものに、図のように１〜n+3まで反時計周りに座席番号をつける。
どのような状況であれ、必要なら適当に回転して、1番目に赤玉を持っていくことが出来るの
で、このように決めて玉の配列状態を考えても差し支えない。
他の2つの赤玉の位置をa , b 番目(2≦a＜b ≦n + 3 ) とおくと、( a , b )の位置の決め方
は(n+2)C2通りであり、この一通り一通りは同様に確からしい。このうち題意を満たすような
（a , b ）のとり方が何通りあるか考える。
白玉は、2 〜 (a -1)番目まで、 (a + 1) 〜(b - 1)番目まで、 (b + 1) 〜 (n + 3)番目まで
配列しているので、条件は a - 2≦k かつ b - a - 1≦ k かつ n - b + 3 ≦k
　　　⇔ a ≦k + 2 かつ n - k + 3≦ b ≦a + k + 1　（☆）
まず、これを満たすb が存在するにはn - 2k + 2 ≦ a ≦k + 2が必要で、このときaを固定すれば、それに対しbは(a + k + 1) - ( n - k + 3 ) + 1 = a + (2k - n - 1)通りとれる。
よって☆を満たす( a , b )の決め方は、ここでa を動かして考えると、
Σ〔a = (n - 2k + 2)　〜　(k + 2)〕｛a + (2k - n - 1)｝　= 1 + 2 + …… + (3k - n + 1)　
= 1/2 (3k - n + 1) (3k - n + 2)　 。　　　　よって求める確率は　
｛1/2 (3k - n + 1) (3k - n + 2) ｝/　(n+2)C2 = (3k - n + 1) (3k - n + 2)/ (n + 2) ( n + 1)　…（答）

解説：　　確率の定義はA/Uである。ここで、Uはすべての場合の数、Aは求める場合の
場合の数である。したがって定義によれば、確率を求める問題は、場合の数を数える
問題に帰着される。但し、この定義の式でもっとも大事な点は、基準とする（分母の）
場合の数の一通り一通りが「同様に確からしい」ような基準を選ぶことである。その為
には適当に区別したり（一般には赤玉をR1,R2,R3 白玉をW1,W2などど区別すると
一通り一通りが厳密に同様に確からしい環境のもとで考えられる。但しあんまり区別し
すぎると計算がややこしくなり計算も煩雑化し、考えにくくなることもあり、慣れた人
ほど区別をしないで計算していくことになる。但し、一通り一通りが同様に確からしい
点に反してしまえば、当然0点になるのでいつもこの一通り一通りが
「同様に確からしい」か？には注意する必要がある）
さて、本解のように場合の数を考えていく場合、あとは数を数えるだけの問題になるが、
動くものが2つ（赤玉）なので、2つ一遍に動かしても訳けが分からなくなるので、題意
を満たすような動かし方について考える場合、まず一つ目を（座席番号の小さい方）
をa番目に固定し、2つ目がどこにあるべきか（何通り取れるか）を統計立てて考えてい
くことになる。
この点は独立2変数関数の扱いと同じである。これを図の上で説明してもいいし、
図で説明するのが、「たるい」のであれば、本解のように式を使って述べた方が説明し
やすいかもしれない。

コラム：（受験数学には不要の内容です。興味ない人は飛ばして下さい。）
ところで「同様に確からしい」の「らしい」とは何を意味しているか理解できているでしょうか？
日本語の「らしい」とは一般に伝聞、推定の意味があろうかと思いますが、ここでは勿論「推定」
です。例えばさいころを振って1の目が出る確率は、同程度におこると推定できる１の目が出る場合、
2の目が出る場合、……6の目が出る場合の６通りがあるうちの（すべての場合の数）、題意を満た
す場合の数は１通りあるということで定義により1/6 とするということになりますが、ここで、
分母たる6通りがホントに同確率に起こるかは分かりません。各人の脳構造の問題から、１がもっ
とも出やすいのではないかという直感、霊感をお持ちの者もいるでしょう。しかし、さいころを振
る操作を一万回、十万回行なえばなんとなく１の目が出る場合、2の目が出る場合、……6の目が出
る場合の６通りが同様に確からしいことが分かってくると思います。つまりこの「らしい」という
感覚は現実感覚から得られるものですので、もし、占い師のように（次に何の目が出るかについて）
現実離れをした感覚をお持ちの方は、この現実感覚を磨いてもらわなくてはなりません。
そもそも、数学は現実離れした学問です。これは、地球が右周りであろうと、左周りの状態であろ
うと成立するし、この世に人類が存在していなくても成り立つ法則、理論なのです。
例えば３平方の定理は人類が存在していなくても存在しているでしょう。（存在するには認識の
主体がいると考える場合には、存在しているとは言えない恐れもありますが…）。
あるいは１つの法則から（例えば地軸が６０°位あったらとか、）出発して１つの新世界を作る
ことが出来るのも数学なのです。
そしてもし、ある１つの定義式、数式から、数学的論証を使って一つの世界を作った場合、その
もとの式はその世界の神＝創始者ということになります。また、ある１つの定義式、数式から
現在の人類が受け入れている状況（地球がなぜ右回りに回っていたり、お互い偶然に生を享受し
た存在であり、楽しくやれたはずなのに、互いを低めあうような妙な競争意識が生じ、無生産的
な戦争するのはなぜか）を作り出せたとしたら、その式はこの世界の神になります。
数学はそのように演繹性をもちまた、普遍性があり、ピタゴラスが「万物の根源は数である」
といった程なのですが、確率・統計は明らかにそのような数学理念から離れたものです。
というのも確率は現実的数学であり、将来の出来事の平均的な発生可能性を予測する為の
応用数学（数学的手法の応用）ですので、常に現実感覚に沿うものでなければなりません。
したがってその出発点もあの世は知らないけれども、この世の「〜らしい」という現実感覚
が必要なので、常に現実に迎合するように進めなければならない、数学らしくない分野とい
えるでしょう。
とはいえ現実問題、受験で絶対的に必要な知識は確率 = A/Uという定義だけです。
これをよく理解していれば、あとは場合の数を数えるだけの問題ですから結局注意力や、
式の扱いの問題で差がつくことになります。 単純な操作に帰着できるわけですから、
確率の問題は絶対に落とさないようにしましょう。

どうやったら、リスニング力が、上達するか・・・。
これは、日本の学習者の特殊かつ典型的な考えだと思う。
ほかの国の学習者には、こういう発想はあまりないと思われる。
日本人の特殊な英語学習体験の賜物であり、英語は難しいと思い、
会話が苦手なことも原因しているだろう。
もちろん、慣れなければほかの国の人だって、音を拾うのはほかの言語より
難しいのが英語だと思うが、それでも日本人のようには悩まないし、上達も早いだろう。

その違いは何か。それはひとえに、日本人は、「音」のみを追いかけるのに対し、
世界標準的な学習者は、「意味」を追いかけるからだ。
意味を追いかけるということは、類似の音からの類推能力を働かせることであり、
認知し、理解できる言葉のレンジが大きいということだ。
音だけを追いかけようとする日本人は、ピンポイントで合致する音しか理解できず、
しかもその理解さえ満足にできていない。

大きく網をかけ、音を意味を拾おうとするのが、国際標準の学習者であり、
日本の学習者は穴ぼこだらけの小さな網で、音を必死で捕らえようとするのだ。
さらに、国際標準学習者は、潮の流れ、海水温度、季節による変化など総合的に判断している。

「音」を追うだけでは、なかなか上達はしない。

英語は、早くて聞き取れない、というのは錯覚だ。
英語は、冗長な言語なので、早く発音しているだけで、
意味の流れは、緩やかだ。よって意味の把握に、意識を移せば
聞き取りなど簡単だということだ。
ネイティブはそのようにして理解している。
緩やかな意味の流れに、たゆたいながら、おしゃべりをしている。
逆にだからこそ、しゃべるときに音を省きまくり、変化しまくるし、それでも理解できる。
ハイスピードトークには、意味の裏づけがあり、その流れは緩やかなのだ。
表層的現象のスピードに目がくらんでいる日本人と、本質を見据えている
ネイティブや他国の英語学習者。
ネイティブでもできないような荒業を行って、どうやって聞き取ることなどできようか。

視点を変化させるのである。英語を聞くときの、ものさしを変えるのである。

これは、英語をぶつ切りにして学ぶ日本人が心すべきことである。
そしてそれさえできれば、ネイティブのように聞き取れるのである。
本質を眺めよ。手品の種明かしをされればいとも簡単なのだ。
ネイティブって簡単！！！・・・それが答ーーーえだっ！！！

発音より大事なのは、イントネーションであり、ストレスの位置だといわれる。
そのとおりだと思う。

また発音とリスニングは関係が深い。
「発音できない音は聞き取れない」というのはうそである。
そんなこと、お国訛りの英語の使い手であふれている現状からすぐにわかる子供だましの詐欺商法だ。
ただ、発音を訓練すれば、リスニングの向上に役立つのは事実だろう。
「発音できる音は聞き取れるようになるだろう」からだ。
しかし本質は逆であろう。まずは聞いて、それから発音だ。
フルハウスの赤ちゃんも、じーっとで耳をそばたてて、みんなの会話を聞いていたが、
ここにきて、それを理解し、声に出すようになってきた。
もちろん、ドラマ撮影以外の生活での言語習得もあるだろうが。

リスニングで大事なのは、個個の音より、流れであり、省略したり、くっついたり
変化したりしていることだ。それは発音するときにも同じことだ。

もうひとつ、何度かいっているし、発音の訓練では言われることだろうが、
英語は「子音が命」「母音より子音」だということだろう。
これは、リスニングのときも、絶対注意すべき事柄だ。
極論すれば、「英語は口のあらゆる部分をこすったり、はじいたりすることで
会話している」のであり、日本語の発想とぜんぜん違うと考えたほうがいいかもしれない。

日本語が世界有数の母音言語なのに対して、英語は世界有数の子音言語なのだ。
それは、周波数の違いで、端的に証明されている。
英語とは、体的、物質的言語であり、日本語は霊的、精神的言語ともいえるかもしれない。
英語は動作によって、言語をよりコントロールするが、日本語は生の声、
つまり「声帯から発せられた音をできるだけそのまま利用」する言語だといえよう。
ジングルズが口の筋肉の強化をうたっているが、それは当然なのだ。
日本語は、究極的な省エネ言語なのだ。

それは両者の精神性、行動原理とも合致しているともいえる。

日本語は日本料理に似ている。生の素材の味を重視し、調味料は少なめに、
調理過程、程度も少ない。その上、いろんな素材を一変に混ぜ合わせるのを
潔しとせず、さしみ、冷奴、冷やしそうめん、ざるそば、のような食事が、
粋で、おいしい食事法だと考えられる。余計なものは加えない。
シンプル　イズ　ベスト、これが、日本語と日本料理に共通する精神だ。

豪華絢爛と質素倹約、この二項対立を頭に入れながら、英語を勉強しろ。
英語を学ぶ過程では、ときに必要以上にゴテゴテしたほうが、シンプルイズベスト
の血液が流れる、日本人には、好ましいだろう。
演劇勉強法が有効なのは、そのためだ。他人になりきって、恥も外聞もなく
大げさに、感情を込めてやっていれば、実際にしゃべるときは、いい加減、いい頃合いになる。

日本人が、英語がしゃべれない３重苦は、
1）重視している文法ばかりを気にし、
2）あれをなんて言うんだっけ？と使える言葉が出てこずに、
3）へたくそな発音で通じるか不安で余計に口ごもり、だ。

また、私は、英語習得とは、1）英語感覚を養う（ネイティブ感覚を養う・英語脳を作る）
2）英語に関する知識を集積する（語彙、イディオム、文法、背景知識）の２つにも分類した。
日本人の学習法は、徹底的に2）ばかりで、非常にバランスが悪く、
そのことが英語力そのものの向上を阻害し、かつ英語の習得を決定的に不可能にしているのだ。

今週の英語でしゃべらナイトで、ロッテ朝鮮の監督、バレンタインが、
面白く、かつ本質を突くことを言った。皆さんは聞き流しただろうが、私は聞き逃さない。

尺が、日本語を勉強するバレンタインに、英語学習のアドバイスを聞いたときだ。
バレンタインは、部屋中のものに、名前を書いたカードをはっておけ、といった。
おそらく英語学習者は、そんな簡単なことと馬鹿にしただろう。聞き流しただろう。
それがすべての誤りだ。身近なことからはじめること、日常生活を英語で表現できること、
そういう順序で学ぶことが、大切だ、ということだ。学ぶ順序、優先順位を
彼は教えてくれているのだ。最初は単語を組み合わせる会話でもいい。そこが出発点なのだ。

バレンタインはもうひとつ言った。「見ること、観察すること」だ。
これも日本人の常識を覆す洞察だと思った人間はいたのか？
単語帳を覚えることでも、文法書物を読むことでも、英語に関する本を読むことでも、
英語そのものでもすらない！
日本の学習者はまったく理解できないから言ってあげるが、文法が大事だと思えば
彼は、ここで口にしているはずだということだ。いってみれば、言外に彼は
文法なんて重要じゃない、とアドバイスしているのだ。
こういうことを香辛料くらいにしか考えず、今までの方法を続けて
いつまでも習得できないのだ。違うんだよ、バレンタインが言った方法こそメインであり
語学の要諦だ。コミュニケーションの４割（６割？）が、言葉以外でなされており、
それこそ、1）英語感覚習得のほとんど唯一の手段である。文法書を読むより、
相手の顔色を読めということだ。

この書き込みは、日本人学習者へのアドバイスになると思って、コピペするつもりだったが、
この方の考えに同意できない部分もあることがわかり、
おそらく、2ちゃんねるを見ておられ、私が、ウダさんのスレッドなどに
書き込んでいるのも読んでおられるようなので、この方へのアドバイスとしても
利用させてもらいます。

これを読んだ感覚では、この方の授業を受けられた男性は、
無駄な金を捨てることになるかと思います。英会話学校と同じレベルでしょう。
発音がネックで通じないと考え、必要に迫られてこられても、
それほどの効果は、あげられないんじゃないかな？
本質、総合的な見方ができていないと、生徒の英語力は伸びません。

私は発音が、「通じる」ことの本質か、疑問に思います。
この方のお父さんのひどい発音の英語はちゃんと通じています。
この方が、発音を学びたいと思った契機も、流暢に自信たっぷりに使っている
インド人の英語、東南アジア人の英語が聞き取れない、ということのようです。
お父さんの場合は、確かに相手にニーズがあったということもあるのでしょうが、
それだけでは、世界全国、お国訛りの発音が通用していることは説明できません。

人それぞれでしょうが、発音を中心に置きすぎるのもどうかと思います。
「発音」を学ぶことの、費用対効果、学習者の総合的英語力の上昇に対する
波及効果、その人の必要な能力への波及効果を冷静に考えなければなりません。
英語サイトを見れば、英語が通じなくて困っていた人で、でかい声で
おなかから発音しただけで通じたという経験を書いている方もおられます。
発音より、イントネーション、アクセントが大事、ということを言われている方もおられます。

「発音より中身だ」ではなく、「発音より総合的英語力」。
発音を、もっと勉強すべき、基礎におくべき、ということは同意します。
しかし勉強するのと、身につけるのは別に考えます。
この方が言うように、本当に「ネイティブなみに発音する」ことが（会話の中で流暢に）、
「万人にとって」簡単であるのなら、私は考えを変えるかもしれません。

前も書いたが、あの最初にやる、疑問形だの否定形だのへの変換練習ほど
クソな学習方法はないね。あれをやるから、もう日本人は永遠に英語がしゃべれなくなるんだよ。
あれがすべてを象徴しているんだよ。英語のための英語学習。
そんなこともわからない馬鹿ばかりが教えているから上達しないのも当然。
この教え方で、みんな英語を、肯定形、疑問形、否定形という三つの型に
分類し、この枠組みを基本に考える。本当にまったく無意味だ。
最初にどのように整理するか、教えられるかは、最後まで影響する。
引き出しに、そのように分類するからだ。ファイルをそのように構成するからだ。
彼らは、キーワード検索などない。ひとつの枠組みだけで整理している。
それが英語だと教えつづけるのだ。誰が使えるようになるのだ？
ネイティブの使い方、というか言葉の使い方というのは、脳をネットを張り巡らせた
コンピュータのように活用し、キーワード検索で、いろんなファイルの情報を
どんどん引っ張ってきて、文章を即座に構成する。
日本人の英語は何か？アナログ引出しに、ただ文法によって分類された英語が、
収納されているだけだ。こんな単細胞で使い道のない固定的な整理で教えられて
どうやって使いこなせというのか？馬鹿も休み休みにいえ、ということだ。
もちろん英会話学校にいってもこの引出しを使いつづける。
よって英語がもっと難しくなる。申し訳程度に、英会話用に引出し増設した人間だけが
統一性はなく、ぎこちなく気持ち悪い英語であっても、二つのファイルの連絡が悪く
途切れ途切れでどうしようもなくとも、最低限の会話ができるようになる。

発想の転換ができない馬鹿ばかりで、できないように縛り付ける。
はっきりいって、学校教育を一切受けていない人間が、直接英会話学校に行ったほうが
よっぽどすぐに上手に上達するだろう。いったん学校教育を受けると永久に習得できない。
学校教育が諸悪の根源だ。

日本人は、外国人が、カタコトの日本語をしゃべれるだけで、
びっくりして、日本語お上手ですね、なんていうことからもわかるように、
外国語がしゃべれるということがスゴイ才能のように考えている。
自分にはそんなスゴイ才能はあるはずはないと思っているし、
だから、しゃべれなくても悔しがったり、疑問に思ったりすることもない。
別に日本語が未発達だとか、融通がきく言語だとか、そんなことは関係なく、
知らないし、経験がないし、必要もないと考えていることが大きい。
教えるほうも、学ぶほうもいいかげんだ。そして本当に必要になった
一部の人だけが苦しむことになる。

英語ができる日本人を、中身がないとかいう人がいるが、そんなことをいったら
ネイティブでもいっしょだ。日本人をけなしつづけたが、私が英語なんか
簡単だ、という裏には、それをしゃべるネイティブもたいした事はない、
という意味も当然含まれる。実際日本人は、難しい単語を覚えている。
もちろん普通のネイティブなら、そういうのもだいたいは知ってはいるだろうが、
そういうものを使って生活しているわけではないし、
普通のネイティブも、たいした話をしているわけでもないのだ。
今のレベルでは、ちょっと無理だが、日本人の英語が底上げされたとき、
ネイティブが、英語がわからなかったら日本人に聞け、なんて時代が
こないとも限らないのではないかと思う。
難しい単語を覚え、文法書を読みまくり、英語に異常な愛着と知識を示す
英語オタク日本人の知識力が、「eigo otaku」という言葉とともに
世界に認められる時が、こないとも限らないと思う。

ここにきている人は、文法の勉強をよくしていると思います。
私は、文法を批判してきました。それには理由があります。
使うときは文法を意識していてはダメだからです。
文法を無意識の領域に消化してしまわなければうまくはならない。
そして、私の仮説であり、おそらく正しいでしょうが、
文法に頼っていることで、皆さんの英語力は伸びることができないということです。
私は、むしろ学校教育を受けていない人間のほうが、速やかに英語を身につけ
そのうえ、上手になる、ともいいましたが、今の日本人の取り組みの枠では、
これも正しいでしょう。なんとか仕事に使える英語を読み書きができ、
たどたどしくも会話することもできる、というレベルには、学校教育も
役に立つ場合があるかもしれません。しかし、それ以上に流暢になったり
聞き取りの能力を高めるには、ほとんどの人は限界にぶつかると思います。
つまり、文法という補助輪を離すことができなくなっているからです。
文法を顕在意識下においていては、絶対に上達しません。私はお勧めします。
英語を読む場合も聞く場合も、文法を頭から消し去ってください。
音だけを追うのです。文字に示される意味を直感的に認識するようにするのです。
心配しなくても、あなたの頭には文法の回路はできていて、意識しなくても、
それは理解を支えてくれるでしょう。そして、文法に頼りすぎ今まで
見えなかった言葉の情景や、音の響きが、耳に頭にすっと入り込み、あなたに
新たな英語理解の切り口を用意してくれるでしょう。
文法から解放することで、文法の外にそれと密接に連携しあなたの英語力を
飛躍的に向上させるような回路が形成されることでしょう。
それは強烈な意味の連関であったり、音の広がりであったりするはずです。
既存の単線の文法知識にずたずたに分断された意味の体系を復元し、
音を追うことで、文字という影ではなく、光を捉えることに成功するでしょう。

英語を道具として考えて使用せよ、私もこういうことを何回も言ってきたし、
最近は一般にもよく言われている。
日本人の英語観が、机に向かってガリガリ勉強する学問のように考えられているのを
実用的プラグマティックに、学校でいえば教科科目ではなく実技科目として扱え、
ということだろう。これはこれでいい。しかし、私の求めているのはこれではなく、
もっと英語そのものを内在化し、自らと同化し血肉化させよ、ということなのだと思う。

道具として利用するというのなら、手に持って使ったりするイメージだが、
そうではなく、手そのもの頭そのもの、心臓そのものにしてしまえ、ということだ。
生活の一部にするというのもそういうことだろう。
われわれは、英語の文化背景もないし、知識もないから無理だ、なんていう人もいるかもしれない。
そんな小難しいことなんて考える必要もない。日常的に自らの生活として使い、
コミュニケーションに、自らの感情の発現に恒常的に使えば、それだけで血肉化していくはずだ。
自分が英語に近づき、英語を自分に近づける、難しく考える必要はない。
英語を生活に取り込み、生活の一部を英語に変える、それでいい。
頭で考えるのではなく、心で感じろ。英語をそのような位置におけ。
英語を、余所行きの高価な服として扱うのではなく、Ｔシャツ、スウェット、
ジーンズのような日常着として着倒せ。最後は雑巾にして有効利用。

英語は理屈ではない。いや、理屈ではない英語を追求せよ。
そのときあなたの英語は見違え、映画の英語など簡単過ぎて、今までの自分を
笑うことになるかもしれない。
英語を自分の内部に取り込み、味方にしてしまえばいいのだ。
石ころを拾うくらい簡単だろう。あなたとネイティブ、帰国子女の間には何もない。
私が彼らに学べというのはそのためだ。彼らの言うことはすべてわれわれにも適応可能だ。
そして彼らのようになれるだろう。

英語ができるというのは、知識としてできる部分と、
感覚として生活として身についている部分とがある。
それは、海外留学をしたり、生活をした経験のある人は、感じて知っているはずだ。
究極的には、感覚の部分で習得しないと、英語を習得したとはいえない。
日本人は、みな知識偏重、知識先行で学んでしまって、海外体験を
しない限り、絶対に英語が身につかない、回路が出来上がってしまっている。
その回路は強固であり、海外経験しても、ある意味積極的にイマージョンしなければ、
感覚的に英語を理解するようにならないようだ。
私は、国内ででも、まずは感覚重視で教えれば、ぜんぜん簡単に習得できると
考えているし、そのように主張してきた。
いろいろ学説を振り回して、外国語習得には文法などから学ぶのがいい、
という人がいるが、結局は感覚を身につけなければ、習得したとはいえないわけで、
どちらから学ぶべきか、どちらを学ぶべきかといえば、感覚を先に身につけるべきだ。

生活の一部として最初から積み上げれば、難しいことは何もない、というのが私の結論だ。

英語ができるというのは、知識としてできる部分と、
感覚として生活として身についている部分とがある。
それは、海外留学をしたり、生活をした経験のある人は、感じて知っているはずだ。
究極的には、感覚の部分で習得しないと、英語を習得したとはいえない。
日本人は、みな知識偏重、知識先行で学んでしまって、海外体験を
しない限り、絶対に英語が身につかない、回路が出来上がってしまっている。
その回路は強固であり、海外経験しても、ある意味積極的にイマージョンしなければ、
感覚的に英語を理解するようにならないようだ。
私は、国内ででも、まずは感覚重視で教えれば、ぜんぜん簡単に習得できると
考えているし、そのように主張してきた。
いろいろ学説を振り回して、外国語習得には文法などから学ぶのがいい、
という人がいるが、結局は感覚を身につけなければ、習得したとはいえないわけで、
どちらから学ぶべきか、どちらを学ぶべきかといえば、感覚を先に身につけるべきだ。

生活の一部として最初から積み上げれば、難しいことは何もない、というのが私の結論だ。

日本人は、骨組みである文法ばかり気にして、うまくなれない。
私は、日本人以外のノンネイティブと日本人の違いは、
日本人以外のノンネイティブは、文法強迫観念などないから、
言語における、語彙、すなわち意味の有機的連関、役割も同様に重視して学ぶ。
日本人は、語彙の意味も機械的暗記が主であり、現実と乖離した部分で覚え、
言葉のもつ意味の中心や広がりに対する感性も磨かれることはない。
日本人以外のノンネイティブは、発音は悪いがそれ以外の部分では、
日本人に比べて、非常にスムーズに表現することができる。
意味と文法がうまくかみ合っているのだ。意味が引っ張る形で文法を
構成してもいるのだろう。
しかし日本人は、覚えた文法、構文の型に、機械的に覚えた単語を当てはめる
という作業でしゃべるのだ。
いってみれば、日本人以外のノンネイティブが、音声、語彙（意味）、文法（構文）の
うち、語彙（意味）と文法（構文）の２本柱をしっかり形成した上でしゃべるのに対し、
日本人は、文法（構文）の１本だけでしゃべっている。
だからこそ、たどたどしいだけでなく、相手に合わせた会話ができないのだ。
日本人の文章構成法が、「意味」を２の次にしているから当然の結果なのだ。
日本人は、音声重視（これは聞くことが中心でいいが）だけではなく、
意味の体系や、言葉が持つ機能、すなわち自分の言いたいこと（意味）を伝えるという
当たり前のことを見直し、重視する必要がある。

ひとつ注意点として、私の発言は、英語を主としてビジネスで使用する人、
特に、専門用語を大量に覚えて使う通訳系の人には役立たないかもしれませんね。
こういう方面の人は、ある程度の英語感覚があれば、あとは知識勝負、事務的処理能力が
勝負となる。こう全人格的な感覚、コミットメントなど必要ないし、逆に邪魔になるでしょう。
知的ことは知的に、は、当たり前ですね。私はそういうものは今は後回しで考えているし、
普通の人が英語を学ぶのも、生活臭のある分野で感覚を磨いて習っていくのがいいと考えています。
私も、仕事で知的に英語を使ってみたいですが、それはそれとして
まずはネイティブのような英語感覚を身につけたいですね。

二つは高いレベルでは、相乗効果も大いに期待できるのかもしれないが、
低いレベルでは、マイナスに作用するのかもしれない。
こう知的にあれこれ分析しているとき、これじゃ一生身につかないな、
という感覚が認識できる。自分で知っていることしか理解しようとしない。
まあ、自分でも何言っているかわからないが。

アルファベットを利用する人々にとって、漢字がクール、
という風潮が出てきているみたいだけど、それとは別に
漢字の利便性をいう外国人の話も、どこかで見た。
それはあるのかもしれないが、アルファベットを利用している人も
単語一つ一つを、映像として記憶して、つまりは実際は表意文字のように
マスで捕らえているからこそ、本をスラスラ読めていることがある。

チャンクとして捕らえることの有効性がいわれるが、単語は音のチャンクであり、
文字にすれば、アルファベットのチャンクである。

日本人が聞き取りができないの大きな理由は、音のチャンクの発想ができていないことがあるだろう。
つまり、音の省略、リエゾン、変化などが叫ばれ、その辺は多少向上したが、
単語の発音を、チャンクとして認識できる指標と考え、実際に話される発音では
それ以上の省略が当たり前、という認識までいたっていない。
すなわち、理解可能と許容される範囲で手抜きでしゃべるのは、
日常においては、どんな言語でも当たり前だろうが、日本人にはそういう生活感をもって
英語を捕らえる感覚がないので、理解できない。
早くて理解できない、というのはある意味間違った表現だ。
早く発音するために、ちゃんと発音していないから、ちゃんと発音されている、
と機械的に、杓子定規にしか、英語を発音を捕らえることのできない、
日本の英語学習者には理解できない、ということだろう。

英語を機械仕掛けのゼンマイのようにしか捕らえられない、日本語とまったく別物
としか捕らえられない、特殊論者が陥る落とし穴ということだ。

英語がしゃべれる、聞ける、ということと、読める、書けるということの区別のできない人が
多すぎるのも日本人の特徴だといえるだろう。
読み書きができないでも、聞ける、しゃべれるは可能、というのがこの世の言語の大法則だ。
それも、「完璧に」聞ける、しゃべれる、ということだ。
このことがわからないで、わかったような口を聞く、英語教師はヘボのきわみということだ。

本当の教科書は、そこらで売られている書物の教科書ではなく、
生の英語であると私は何度も言ってきた。それをを手本にして、英語を学習すべきだと。
そのことも、多くの日本人は理解できない。だからこそ英語が習得できない。
実はこれさえ理解できれば、すべての日本人は今すぐにでも英語を習得できる。
自分の意思を伝えるための「ありふれた手段」として、英語を捕らえることも重要である。

これは、ＮＨＫ講座の講師からほとんどの講師が、たいした事のない自分の価値を
高く見せるために、それに対して一切言葉を発することなく、かつ細切れの知識の提供で、
人々を混乱させ習得をさも難しいもののように、偽りつづけているのが実態である。

前にも言ったが、英語とはまさにマジックのようなものだ。
タネを知らない人にとっては奇跡にしか思えないが、ひとたびタネを知れば
基本的にたいした事も何もないということだ。
日本人は、英語というマジックに魅了されつづけ、だまされつづけているだけだ。
タネさえ知れば、多少の訓練で、自分でもできるというようにencourageされることが皆無だ。
それこそ、もののわかった英語講師のなすべきことなのに、そういう発言をする講師は
皆無である。わたしは彼らに詐欺師の烙印、刻印を押してもなんら間違いではないと考える。

日本では、英語をしゃべれるように教育する＝タネを全部明かし、手本を示し実地に訓練をさせる
という常識を、実践することをまったくなさず、
講師陣がタネを小出しにして、自らの優越性を、学習者に誇示するのが
教えるということ、金儲けの手段、と考えていることが、日本人の英語が上達しない
決定的な原因である。

書物にかかれた教科書を杓子定規に崇拝するために、
生の英語とのズレに戸惑い、理解できずに、恐怖心を抱き、難しい、
とトラウマとして脳みその髄までしみ渡り、救いようのない状態に陥る。
そして、生の英語を否定して書物の教科書の世界に沈殿していくのである。
そうして永久に英語ができない日本人の出来上がりである。大量生産である、
十束一からげのchild's playだ。 過去数十年、こうして、討ち死にした人間が
累々と積み上げられているのである。

偽りの世界＝バーチャルな世界＝称揚される教科書に沈潜＝英語が永久に習得できない、
というのが、日本人が英語が習得できない決定的原因である。
習得ができない方法論を、意識的に、戦略的に選択させられているのである。
それをもののわかったフリで、本当は本質を捕らえ損ねた、英語の権威が、
太鼓判を押し、私などを批判し出すから、救いがたいのだ。

帰国子女などのバイリンガルは、「英語の頭」と「日本語の頭」の両方を持っています。
ですが、英語学習をしている人に「英語で考える頭を作ったら？」と言うと、
たいてい「帰国子女でもないのにそんなことできるはずがない」、
「もっと英語ができるようになったら挑戦してみるよ」などという言葉が返ってきます。

「英語で考える頭」は、本当に帰国子女しかできないのでしょうか？
また、英語力がないとできないのでしょうか？

そんなことはありません。事実は全く逆なのです。

「英語で考える頭を作らないから、早く英語力が伸びない」のです。

「英語で考える頭」は、英語力がなくても作ることが可能です。
そしてその頭は、英語力をつけるための基礎、器になり、一旦その器が出来上がったら、
後はその器の中に正しい英語をたくさん入れることによって、英語力は際限なくついていきます。
実際に私は学生時代英語が苦手で、大嫌いでした。
ですが、「英語で考える頭」を手に入れてから、飛躍的に英語力を上げることができたのです。

私がこの本で、あなたに教えることができるのは、
「英語力を『確実に』つけるための『本物の方法』」です。
私は、あなたがこの本で書かれていることを実践すれば、
確実に「映画の英語」を理解できるようになると断言できます。
その理由は、高校2年生にもなって「Where do you live?」という質問にすら
頭が真っ白になって答えられなかった私が、この本でご紹介する方法で力をつけたことも、
もちろんあります。しかし、それ以上に、この方法こそが、
「世界中の人びとが確実に言語を身につけてきた方法」だからです。
一体、どんな方法なのか気になるところです。
実は、これ、きわめて「当たり前の方法」です。
そうです、「子供が母国語を身につけるプロセス」こそが、
確実に「映画の英語」を理解するための秘策なのです。
皆さんの中には、「英語圏に住んでいるわけでもなく、すでに大人になっている自分が、
『子供が母国語を身につけるプロセス』で『映画の英語』を理解できるようになるわけがない！」
と思われる方もいるかも知れません。
しかし、本当にそうでしょうか？「不可能だ！」と断言するのは、
この本を読んでからでも遅くはありません。まずはやってみてください。
映画の英語がわかる本 小学館文庫
斎藤 兼司 (著)　　 価格: ￥500 （税込）
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/tg/detail/-/books/409418581X

日本の英語教育の始まりは、本を読めて訳せてという「受信」に重点を置いたものだった。
普通に暮らしていれば、英語を話す必要に迫られることはない。
それが私たち日本人の最大のハンディでもある。

本来は、英語は会話。そう思えば難しくない。スリランカの子どもたちは、
3つの言語で育つ。その上に、他の言語が入ることに抵抗はない。
ウイッキーさんは、シンハラ語、タミール語、英語、日本語、スペイン語、そしてフランス語を操る。
スリランカでは英語は小学校から学ぶが、文法が出てくるのは４年生から。
まず会話をする楽しさをたっぷり経験してからだと言う。

「日本で英会話が弱いのは、まず初めに文法ありきだからではないでしょうか？」

言葉は話すことで磨かれる　　セイン・カミュさん

生まれはニューヨークだが、６歳の時から日本語の環境にいる。
気がついたら自然に、アラビア語、フランス語、英語をしゃべっていたという。
そんなセインさんに語学習得のコツは？と聞いたが、あまりにも自然に覚えてきてしまったから、と少々困った様子だ。

「必要があって、見て、聞いてきたからね。言葉って文化の場面というのかな。
文化が背景にあるでしょ。そして理屈ではなく、話すことがとにかく一番大切だと思います。」

だからこそ、小さい時に英語に触れることの大切さを感じるのだという。
「日本の英語教育は受験英語が基本だから、書き取りや文法に力を注いできたせいですね。
話す教育ではなかったから、英語を話すことができないのは当然のことだと思う。」

『不思議』『おもしろいこと』。
それは分析するのではなく、おもしろいねって素直に感じることだと思う。
そう言いつつ、日常茶飯事や十人十色などの故事成句を会話にはさむ。
「だって、これは日本の文化だし、楽しいでしょ。」と。
「言葉は研究することが主ではないですよ。道具として使っていない方が問題だと思う。
ナイフがあって『これはこうやると紙が切れるな』って分かってうまく使う。
ナイフの研究をするのと、うまく使うのとは違うからね。」

セイン・カミュさん

「新しいことに恐れず、ぶつかっていって欲しい。夢を大きく持って。言葉はツール。」
「子どもは、敏感。語学習得でも、見下すとかではなくて、レベルに合わせて対等に扱うことが大切。
間違いを恐れないで、『先生も間違っちゃった。』といった、一緒に学ぶ姿勢が欲しい。」
セインさんと話しをしていると、「気持ちのキャッチボールをしよう。
話しをすることで分かり合えるよ。」というメッセージが伝わる。

今、セインズスクールで日本の子どもたちに英語を教えている。
子どもを教えている時、母親にも一緒に教室にいてもらうのだという。
「家に帰ってから復習するのって必要だよね。だから一緒にいてもらうんです。
ありがちなのが、塾とかに行かせてほったらかしにしているケース。
これではいけないと思う。同じことを話題にし、話し合えば、親子の会話もできる。
せっかく塾や学校に行ったのだから、そのままにするのではなく、
刺激し合って勉強することによって親子の絆も深まるよ。」

多いに間違えて、楽しくやること。
頭ごなしに教える、というのではなく、一緒に学ぼう、間違えよう。
言葉ができると世界が広がる。そんな暖かなメッセージだ。

コミュニケーションとは、相手を理解し、お互いに理解し合い、受け入れ、
尊敬のできる人間関係を作ることだと思う。
セインさんにとって言葉とは「コミュニケーションツール」だ。
このツールを使って、自分で考え行動することが大切。
この道具で、大きな家を作る人、小さな箱を作る人どちらがいてもいい。
でも自由に使いこなせれば世界が広がるし、便利だ。

アントン・ウィッキーさん

“Take it easy!”　「もっと気楽にね！」―
「英語教育について文部科学省へ一言注文を」とお聞きすると、そう笑って答えた。
「10年間も英語を勉強したのにしゃべれない」という日本人がほとんどといってもよい現状に対して、
「英語は会話。中学3年までの英語で十分話せる」ときっぱり。
「英語は高校では選択制に」 とも。

「リラックスして、コミュニケーションがとれる英語教育を、日本語を入れてもいい、
おしゃべりができる教室を作ることが、『英語が話せる日本人』へつながるんです」。 　

そのためには「もっと日本人同士で話せる英語を作ればいいんですよ」。

たとえば、日本人には難しい付加疑問、
“You have a book, don’t you?”の代わりに“You have a book, ね？”
“You have been to Hokkaido, haven’t you?”を“ You have been to Hokkaido, ね？”
とすることを勧める。

確かに米国の日系人は、語尾に「ね」をつける英語をよく使う。
おしゃべりが断然しやすくなる。

英語教育の狙いはコミュニケーションであり、言葉はそのための道具だ。

ブロークン英語でもOK、気楽に、もっと自分のことをおしゃべりできたら、
教室で生徒と先生の間の会話が成りたつ。・・・＜略＞・・・

「英語ができるできないは、性格の違いにもよるんです。
たとえば日本語で寡黙な人に、英語でしゃべれと言っても無理。
だから日本語も入れたコミュニケーションの楽しさを教えます」。
はじめは聞かれると嫌な顔をしていた生徒が、一年が終わる頃には、
もっとしゃべりたい、自分のことを話したいという気持ちになっている。
「このしゃべりたいという気持ちが大切。『受信』ではなく『発信』できる英語。」

問31：
xy平面において、座標 ( x , y)が不等式x≧0 , y≧0 , xy≦1をみたすような点P ( x , y)の
作る集合をDとする。三点A ( a , 0) ,B ( 0 , b) ,C( c , 1/c)を頂点とし、Dに含まれる
三角形ABCはどのような場合に面積が最大となるか。また面積の最大値を求めよ。
ただしa≧0 , b≧0 , c＞0とする。　　　（1986　東大）

解答１：　　Cより引いた双曲線の接線とx軸 , y軸の交点Q , Rをとおくと、
△ ABCが双曲線に含まれる条件はAがOQ上にあり、BがOR上にあること。
Cを固定して考えるとA , Bは独立してこの範囲内で動ける。
ここで更に、Bを固定しAの位置のみを動かして考えていくが、
�@）Bをb＜cの位置に固定した時（BCの傾きが正になるように固定した時）、
　　△ABCはA＝Qのとき（BCを底辺と見るとこのとき高さが最大になる）最大で、
　　次にBの固定をはずすとB = Oのとき△ABCの面積は最大になる。
　　　　よって　　△ABC≦△QBC≦△QOC
�A）Bをb≧cを満たすようにとる時、同様に
　　△ABC≦△OBC≦△ORC

ここでC( c , 1/c)とおくと接線はy = (-1/c＾2) x + 2/c であるから、Q( 2c , 0) R( 0 , 2/c)
であり、△QOCと△ORCの面積は共に1で等しい。
よって求める△ABCの面積の最大値は１。これは△QOCか△ORCにおいて可能である。
(「a = 2c かつb = 0｣ 又は「a = 0 かつb = 2/c｣のとき。）　　　（答）

解説：
予選決勝法（3変数関数）の解答であることを前面に押し出した答案にしてみました。
まず△ABCがDに含まれる条件は、Cにおける接線を補助線として引いて、考えるべきでしょう。
辺CAにおいてAがx軸無限の点にあるとすると、辺CAは双曲線と以外での共有点を
持つことは明らか。C以外に共有点を持たなくなる境目が接線であるのは図で考えれば
明らかでしょう。また、辺CBについても同様に考え、最後に△ABCが△OQRに含まれれば、
辺ABがD内になるのは自明。
あとはABCが△OQRに含まれるように動かして考えていくだけ。
（CがQRの中点になることも注意）といっても一気に動かしても訳がわからないので、固定
しながら1つずつ動かして、その固定をはずして……
というのを繰り返して、最大　of　最大を探し出す。

発展：CがCにおける双曲線の接線と漸近線の交点Q , Rの中点になること、
三角形OQRの面積が（Cの位置に依らず）一定であること等は双曲線の性質として有名。
逆にいえば、容器に水を入れて揺らした時の水面の包絡線が双曲線になる。
双曲線とはそんな性質を持つ曲線である。

これと関連して、双曲線上の点の（漸近線の2方向ベクトルを使った）パラメータ表示はご存知だろうか？

解答2：
Cより引いた双曲線の接線とx軸 , y軸の交点Q , Rをとおくと、
△ ABCが双曲線に含まれる条件はAがOQ上にあり、BがOR上にあること。
ここでC( c , 1/c)とおくと接線はy = (-1/c＾2) x + 2/c であるから、Q( 2c , 0) R( 0 , 2/c)。
よって条件は 0 ≦a ≦2c , 0 ≦b ≦2/c　…（※）
ベクトルAC = (a - c , -1/c ) , ベクトルBC = ( -c , b - 1/c)で形成される
△ABCの面積は1/2 │(a - c) (b - 1/c) - 1│
ここで（※）のとき、│a - c│≦c , │b - 1/c│≦1/c ∴│(a - c) (b - 1/c)│≦１
よって、△ABCの面積は (a - c) (b - 1/c) = -1 のとき (「a = 2c かつb = 0｣ 又は
「a = 0 かつb = 2/c｣のとき。）、最大値１をとる。　　（答）

解説：
求める図形量は容易に数式表現できるので、式上で議論してもよいであろう。
むしろこちらのほうが論じやすいし用意なことも多い。（逆も多いが）
私としては図形的考察が好きなので、まず図形的に考えるくせがあるが、どちらのアプローチを重視するかは好みの問題かも知れない。
ところで本問題集を通して、受験数学で諸君が身につけるべきポイントは
式処理と図形的考察である。この２つに尽きるのである。分野などを超えて、この２つの
テクニックを把握し、相互関係や組み合わせ方まで把握できれば、よい解答を自ら作れる
ようになってくるはずである。ご存知のように、今までは式処理中心に話を進めてきたが、
確率の問題を少し挟んだ後（確率は式処理の問題として考えている）、後半は図形的考察
を中心に進めたいなと思っています。
まずはそれぞれのテクニック、重要事項を把握たうえで、最後に全体を振り返って式処理
と図形的考察が行き来できるように復習をして欲しい。これが本問題集の目的の最大のも
のである。

分枝点に来たので、今までの31問（式処理、式での論証分野）を振り返って見ました。
すると何人かに指摘されているとおり、問１〜3が意味不明な書きこみなっているのに気づきました。
ま、書きこみに慣れてないからであるのだが、良問かつ重要問題の扱いとしてはひどいもんだ
と思ったので、書きなおしておきます。
その他はとりあえず初版ということで大目に見て、汲み取って読んでください。
右辺と左辺の書き間違えが多いのは職業病です。（対個人のサービス業）
いずれは、いろいろな人の意見、良解答をとり入れて進化させる機会があればいいけど

僕のボケ防止と、何よりも皆様の数学力向上のため、楽しく解きましょう！

では、 （再掲）
問１：すべての正の実数x , yに対し√x＋√y≦k√(２x＋y)
が成り立つような実数 ｋの最小値を求めよ。　（１９９５東大）

解答その１：
「 すべての正の実数x , yに対し、√x＋√y ≦ k√(２x＋y) 」
⇔「すべての正の実数x , yに対し(√x＋√y) /√(２x＋y) ≦k 」 �@
ここに√(２x)＝r cosθ √y＝r ｓｉｎθ　｛x＞0 , y＞0のときr＞0 , 0＜θ＜π/2 ｝
とおけば右辺＝√(1/2)・cosθ + ｓｉｎθ＝√(3/2)・ｓｉｎ(θ+α)≦√(3/2)
ここでαはtanα=1/√2 , 0＜α＜π/2なる角。
θ+α=π/2のときこの等号は成立するので、(√x＋√y)/√(２x＋y)の　x＞0 , y＞0
における最大値は√(3/2)であり　　�@ ⇔ √(3/2)≦k （答）√(3/2)

本解答では「置き換えによりいかに式を簡単にしていくか」に注目して欲しい。

解答その２：　�@まで同じ
√(x/y) ＋１= uとおくと左辺 = u /√(2u＾2 - 4u + 3) = 1 /√｛3(1/u-2/3)＾2+2/3｝
ここでx , ｙ が正の実数で動く時、uはu＞1を満たして動くので0＜1/u＜1
この下で考えると上は1/u＝2/3のとき最大値√(3/2)を取ることが分かる。
∴ �@⇔√(3/2)≦k 　（答）√(3/2)

解答その３：
√x/y = tとおくと左辺の２乗= (t+1)＾2 / (2t＾2+1) = 1/2 + (2t + 1/2) / (2t＾2+1)
=1/2 + u / ｛(1/2)u＾2 - (1/2)u + 9/8 ｝=1/2 + 1/ ｛(1/2) u + 9/(8u) - 1/2｝
但し、u = 2t + 1/2 とおいた。このとき相加平均≧相乗平均の関係から
(1/2) u + 9/(8u) ≧ 3/2 であるので 左辺の２乗≦3/2　（等号はu = 3/2⇔t = 1/2のとき）
よって左辺の最大値は √(3/2)　であるから �@⇔√(3/2)≦k 　（答）√(3/2)

本解答のポイントは1次式/2次式であれ２次式/１次式であれ必ず相加平均≧
相乗平均を使える形に持っていけることにある。つまり積＝一定の形である。

解答その４：�@まで同じ。
yを固定して考え、右辺をf (x)とおくと、f (x)の増減を調べることで
ｆ（x）はx = y /4のとき最大になり最大値はf (y /4) = √(3/2)
∴ �@⇔√(3/2)≦k 　 （答）√(3/2)

いわゆる多変数関数を扱うえで文字固定をしながら扱うという考えである。
予選決勝法とも言われる。多変数関数を一気に扱うことは無理で、一文字以外を固定して
その後固定をはずすという形で考えるのが高校数学の重要手法である。
まだまだ別解はあるが問１はひとまずこの辺で。（各自別解を考えましょう）

数学を扱っていく上でまず基礎となるのが、数式の扱いです。
難関大では、自ら置き換えをしたり、パラメーターの設定を上手にとって、
量を、なるべくシンプルで美しい形に表現する試みが要求されます。
そこで、数式の扱いに慣れていただく意味で、数問ないし今後計１０問以上、
数式処理というテーマで講義を行いたいと思います。

では、問２
実数a,b（0≦a＜π/4　、0≦b＜π/4）に対し、次の不等式の成り立つことを示せ。
√tan a√tan b≦tan（a/2+b/2）≦1/2(tan a+tan b)
　　 (１９９１京大)

解答その１：
0≦b≦a＜π/4として一般性を失わない。ここでa/2 + b/2=θ , a/2 - b/2 =φ
とおき、更にtanθ= x , tanφ= y とおくと、
tan a = tan(θ+φ) = (x+y)/(1-xy) , tan b = tan(θ-φ) = (x-y) /(1+xy) （∵加法定理）
a , b の仮定条件より０＜θ＜π/4 , ０＜φ＜π/8なので０＜y≦x＜１　�@ これを用いると
(最右辺)-(中辺)=1/2｛(x+y)/(1-xy) + (x-y)/(1+xy)｝- x = (x y＾2 + x＾3 y＾2)/(1-x＾2y＾2) ＞0
(中辺)＾2-(最左辺)＾2=x＾2 - (x+y)(x-y)/(1-xy)(1+xy) = y＾2(1-x＾4) /(1-x＾2y＾2) ＞0
これと中辺＞０、最左辺＞０を留意することで、問題の不等式の成立が証明された。

解答その１の注：
a , bが０≦ｂ≦a＜π/4 を満たして動く時のθ, φに関する必要十分条件
といえば　０≦θ-φ≦θ+φ＜π/4 ということになろう。
しかし本問ではx , yの大まかな変域が分かれば必要性のみの議論は可能なので
あえて置き換えに付随するx , yの条件を（必要性にすぎない）�@ にとどめた。
これで十分証明可能なのである。
解説：
tan (a/2)、 tan (b/2) を単位として、式を分解・変形する発想も理解できるが
せっかくなら、(a+b) /2 を一まとまりとしたほうが少なくとも中辺は簡単である。
このとき(a-b) /2を引っ張ってくれば、a,bはこの２つの新しいパラメータ
で、表現でき、計算の進行に繋がる。（和⇔積の公式も参照）
対称性のある式の扱いとして和と差を持ってくるというバランス感覚 は大事である。
後々予定してるが�@かつ�A⇔�@＋�A　かつ　�@−�A という事実を良く理解しよう。
小６で習った和差算に通じるものが無 いだろうか？

解答その２：
ｆ(x) = tan x {0≦x＜π/4｝　とおくと、y＝f (x) のグラフは下に凸であるから、
この上の２点（ a , f (a) ） , ( b , f (b) )の中点（ a/2 + b/2 , f (a)/2 + f (b)/2）は
ｙ≧f(x)の領域にあり、f (a)/2 + f (b)/2 ≧ f ( a/2 + b/2 )　(グラフより)
∴tan（a/2 + b/2）≦1/2(tan a+tan b)
次にｇ(x) = log (tan x) {0≦x＜π/4｝ とおけばｇ'(x) = 2 /sin2x
g''(x) = -4 cos2x / (sin2x)＾2 ＜0　よってｇ（x）は０≦x＜π/4の範囲で
上に凸であり、ｇ（a/2 + b/2）≧g(a)/2 + g(b)/2
これを整理して　√tan a √tan b ≦ tan（a/2 + b/2)

解説：
解答その２　は関数の凸性を利用した不等式評価で、受験数学の基本アイテムの
一つである。もちろん一般化でき、関数に、「平均をとってから入れた出力値」
と「入れてから平均をとった値」の間の評価は関数の凸性が利用できると思わなければ
ならない。 tan（a/2+b/2）と1/2(tan a+tan b)を良く見比べてこのことに気づかない人は
まだ基礎力が不足している。
後半もまず、√tan a√tan b≦tan（a/2+b/2）の両辺のlog　をとって整理していけば、示すべきことは、
ある関数にa , b をいれて平均をとったものと、平均をとってからある関数に入れたものの比較であることが分かるだろう。
これも同様にその関数のグラフをイメージし、凸性を利用すればよい。

問３： （訂正した上で再掲）
nを正の整数、aを実数とする。すべての整数mに対して
m＾2-(a-1)m + a｛n＾2/(2n+1)｝　＞0
が成り立つようなaの範囲をnを用いて表せ。（１９９７東大）

コメント：東大は、どうも文字を混ぜて変数か定数かをしっかり意識して扱わないと
意味不明になるような複雑な式が好きなようです。処理能力を見るにはいいのでしょうか。

解答： 　　与式⇔｛n＾2/(2n+1) - m｝a + m2 + m ＞ 0　☆
ここで、n＾2/(2n+1) = (n - 1/4) + 1/4(2n+1) はn の奇隅によらず、整数ではないので
｛n＾2/(2n+1) - m｝≠0である。　　　　よって☆を満たすa の範囲は、
「n＾2/(2n+1)＞m　なる整数ｍに対しては　a＞ (m＾2 + m) /｛m- n＾2/(2n+1)｝」　…�@
「n＾2/(2n+1)＜m　なる整数ｍに対しては　a＜ (m＾2 + m) /｛m- n＾2/(2n+1)｝」　…�A　
ここでｍを整数としていろいろ動かして得られるa の範囲の重なりを求めれば良い。
ここに、f (x) = (x＾2 + x) /｛x - n＾2/(2n+1)｝　　〔x ≠n＾2/(2n+1)〕　とおくと
f'(x)　=　(x - n)｛x + n/(2n+1)｝/(分母)＾2 であるから、f (x)はx = - n /(2n+1) において
極大値をとり、 x = n において極小値をとる。また、f (x) →±∞　（x → n＾2/(2n+1)±0）に
注意する。 (増減表は省略)
以上より、ｍをn＾2/(2n+1)＞m　の範囲で動かすとき、f (m)が最大になるのはｍが - n/(2n+1)
に近い整数である0 か -1においてであるから、�@ ⇔ a＞f (0) かつa＞f (-1) ⇔ a＞0
また、ｍをn＾2/(2n+1)＜m　の範囲で動かすとき、f (m) はｍ = n のとき、最小になり
〔∵n＾2/(2n+1)＜ｎ〕　　�A ⇔ a＜f (n) = 2n+1
よって、ｍをすべての整数として動かす時に�@、�Aが満たされる条件は０＜a＜(2n+1) （答）

問３解答の発想法：
すべてのｍに対しf (m)＞0 ⇔（f (m)の最小値）＞0
で考えていきたいところであるが、f (m) を最小にする整数ｍは、実定数a
によって一般的に表示するのは難しく
「すべてのｍに対して成立する ⇒ m=1,2,……の場合で成立する」ので実験することから
始めよう。（必要性で攻めるという数学手法である＝抽象情報から、具体情報を抽出し
推理、推論、帰納的論証などにより一般化しなおす。）このような方針転換が出来れば
やることは見えてくる。 つまりｍ＝１のときaの範囲が決まり、ｍ＝２のときaの範囲が決まり……
これらから求まるaの範囲の重なりを求めれば良いことになる。
こうして一般化してすべての整数ｍについて考えていこうとすれば、関数の変化を考えることになる。

意味があるどころか、先人の知恵を読んで理解することが勉強の出発点です。
初心者は（失礼ないい方になってしまいましたが、どの分野でも、どんな偉い人でも
はじめはみんなこう呼ばれます。）まず謙虚に先人の考え方を学ぶことが大切です。
その為には、解答の構造（段落分け）をしっかり把握して行きながら解答を読み込んで下さい。
どんな難問と思っていても、基礎事項2〜3が入っているだけと気づくことでしょう。
あとはそれがやり切れる計算力も大事ですので、せめて自分で手を動かして追体験して下さい。
その後は、自分で解答が作れるようになっているかを確認すればその問題はクリアと考えてもらって
いいと思います。大事なのは、自分の答案を作れることであって、模範解答を
思い出すことではありません。同じ方針を採用するにしても、書く順番、説明の仕方は
自分に合ったものがあるはずです。そうして答案構成を自分で考えることが、
論理力や論証能力を鍛える上で大切で、受験数学はこれを身につける為の材料です。

http://2ch.pop.tc/log/05/09/26/0450/1097389349.html

問32：
正六角形の頂点に1から6までの番号を順につける。またn個のサイコロを振り、出た目を
番号とするすべての頂点にしるしをつけるものとする。このとき、しるしのついた三点
を頂点とする直角三角形が存在する確率Pnをとする。
（1）P3 , P4を求めよ。
（2）lim（n→∞）｛log(1 - Pn)｝/nを求めよ。
　　 　（1987　東大）

解答：　n個のサイコロを振っても、直角三角形が作られないのは以下の場合である。
但し以下n≧3のときを考え、また4点以上にしるしがつくと、正六角形の外接円の直径の両端点
となる2点が含まれるので、それともう1点で必ず直角三角形が作れることに注意する。
�@）1点のみにしるしがつく場合：
　 n個のサイコロのすべての目の出方は6＾n通りあり、例えばすべてに1の目が出
　　る（１のみにしるしがつく）場合の数は１通りなので、確率は、1/6＾n
　　１点の決め方は6通りあるので、このような状況が生じる確率は6/6＾n
�A）2点のみにしるしがつく場合：
　　例えば（1 , 2）の目ばかりが出る場合の数は2＾n通りのうち1または2の目のみ
　　が出る2通りを除いて、2＾n - 2 通り。また、2点の決め方は6C2 = 15通りある　
　　ので、この状況が生じる確率は15 × (2＾n - 2)/6＾n

�B）3点のみにしるしがつく場合：
　　例えば（1 , 2 , 3）のような3点のみにしるしがつく場合は、三角形は二等辺三角
　　形となる。このような３点は他に（2 , 3 , 4）など全部で６通りある。
　　また（1 , 3 , 5）のような3点のみにしるしがつく場合は、三角形は正三角形
　　となる。このような３点は他に（2 , 4 , 6）があり、全部で２通りある。
　　（それ以外の6C3 - 6 - 2 = 12通りの３点のしるしのつけ方の場合は、その３点
　　を頂点とする直角三角形が作れる。）
　　さて例えばn個のサイコロを振って( 1 , 2 , 3）の3点のみにしるしがつく場合の
数は3＾n通りから、２点( 1 , 2）又は( 1 , 3）または( 2 , 3) の２つのみにしるし
がつく、3(2＾n - 2)通りを除いて、１点１又は２又は３のみにしるしがつく３通りを
除いたものなので、3＾n - 3・2＾n + 3 通り。よって３点にしるしがついて、
直角三角形が出来ない確率は、８ × (3＾n - 3・2＾n + 3) / 6＾n

以上より、直角三角形が出来ない確率は
1 - Pn = 6/6＾n + 15 ×　(2＾n - 2)/6＾n + ８ × (3＾n - 3・2＾n + 3) / 6＾n
= 8(1/2) ＾n - 9(1/3) ＾n
（１） 上式で n = 3 , n = 4 のときを考えてP3 = 1/3 , P4 = 11/18 （答）
（２） 1 - Pn　= 8・(1/2) ＾n・｛1 - 9/8(2/3) ＾n｝ であるから、
　　　｛log(1 - Pn)｝= log 8 - n log 2 + log ｛1 - 9/8(2/3) ＾n｝
　∴｛log(1 - Pn)｝/n = log 8 /n - log 2 + (1/n)・log ｛1 - 9/8(2/3) ＾n｝→　- log 2　（答）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（n→∞のとき）

解説：　
確率を定義に従って求めるなら、確率の問題は結局場合の数を求める問題になる。
この時大事なのが場合の数の数え方であるが、統計立てて「漏れなく、ダブりなく」
数えていくことが大事である。しらみつぶしに数えていくしかない場合もあるが、
場合分けをして、統計立てて分類していくのがまずは基本である。
この場合分けは、同じモノを２回数えたり、漏れがないように十分配慮すること。
解答の�@)〜�B)の分類もダブりがない（重なりがない）ような分類である。
この分類の中でn個のサイコロを振って( 1 , 2 , 3）の3点のみにしるしがつく場合の数は
3＾n通りでないことに注意。どのサイコロについても３通りの数字の取り方があるから、
すべての場合の数は3＾n通りあるといても、これにはすべて１がでるとか、（１，２）の
二つの数字しか出ない場合もカウントしており、これを別にしないと�@)�A)との重なりが
出来てしまい、整理し切れなくなる。
はじめにしっかりとした分類を提示し、それに従っての正確な状況把握が必要になってくる。

尚，私は互いに背反かつすべてを尽くすような場合分けが要求される時、
基本的に�@）〜のとき、�A）〜でないとき　という形で分類するよう心掛けている。
そして、「�A）〜でないとき」　が分かりやすく肯定形で表現できる時に「…のとき」
と言い換えている。このように十分「すべてを尽くしかつ互いに背反な場合分け」を
意識して場合分けを提示しないと、「漏れなくダブりなく」正確に数えられるように
はならない。（参考：１９９９　東大確率）
なお、Pnを求めるに当たって、本問は直角三角形が出来る場合のほうが遥かに起り易
そうで（nが十分大きければ）、分類もｖａｒｉｅｔｙに富んでいる。逆の直角三角形
が出来ない場合のほうが、限定的で、分類も少なくすむので、こちらを考えて欲しい。
また、（１）を解くだけなら具体的なnで考えればよいし、直接考えてもよいが、
（２）を解く為には、一般にPn を求められなければ（Pn をnの式で表現できなければ）
ならないので、はじめから一般的に考えたほうがよい。このとき、(十分大きなnを想定
すれば、)さすがに直接求めるよりは余事象のほうが考えやすいことに気付くだろう。

検討：
漸化式を立てての解答を示しておきます。本問の場合、もともと帰納的定義があるわけでもないので、
これは自然な発想とは言い難い解答ですが、ｎ個のサイコロでの情報とn + 1個のサイコロでの情報
の間に帰納的関連を見出すことは難しくないので漸化式は立ちます。もっとも｛Pn｝についての漸化式
を直接立てれるわけではないので、ｎ個のサイコロを振ったときの状況としては、直角三角形が出来る
か出来ないかの分類だけでなくもっと細分化した状態を設定すること。
漸化式を解く訓練にはなるので、あえてこの検証（別解として本解と並べるほどの重要性はないですが）
をつけておきます。下記以外の漸化式の解き方もいろいろあるので好みの方法で各自トライして下さい。

検討 :
n個のサイコロを振って1点のみにしるしがつく確率をAn , 2点のみにしるしがつく確率をBn ,
3点のみにしるしがつく確率をCn, 4点以上にしるしがつく確率をDnとおくと、次の漸化式が立つ。
An+1 = (1/6) An …�@ ,　 Bn+1 = (5/6)An + (1/3) Bn …�A ,
Cn+1 = (2/3) Bn + (1/2) Cn …�B , Dn+1 = Dn + (1/2) Cn …�C
また、A1 = 1 , B1 = 0 , C1 = 0 , D1 = 0 である。このように帰納的に定まる数列の一般項
は次のように求められる。

�@ より数列｛An｝は公比1/6の等比数列で、An = (1/6)＾(n - 1) ・A1 = (1/6)＾(n - 1)
�Aの両辺に3＾(n+1)をかけて整理すると、3＾(n+1)・Bn+1 = 3＾n・Bn + 15(1/2)＾n
よって、3＾n・Bn = 3・B1 + Σ｛k = 1〜(n-1)｝15(1/2) ＾k = 15｛1- (1/2)＾(n - 1)｝
　　∴Bn = 15 (1/3)＾n - 30 (1/6)＾n　（n≧2のとき）
�Bの両辺に2＾(n+1) をかけて整理すると、
2＾(n+1)・Cn+1 = 2＾n・Cn + 20 (2/3)＾n - 40 (1/3)＾n
よって、2＾n・Cn = 2・C1 +Σ｛k = 1〜(n-1)｝〔20 (2/3)＾k - 40 (1/3)＾k〕
= 40｛1- (2/3)＾(n - 1)｝- 20｛1- (1/3)＾(n - 1)｝ （n≧2のとき）
　　∴Cn = 20 (1/2)＾n - 60 (1/3)＾n + 60 (1/6)＾n （n≧2）

題意を満たすのは、4点以上にしるしがつく場合と、3点以上にしるしがつく場合は
全6C3 = 20 通りのうち(この1通り1通りは同様に確からしい)、二等辺三角形や正三角形が
出来る8通りを除いた12通りが題意を満たすので、
Pn = Dn + (12/20) Cn = 1 - An - Bn - Cn + (12/20) Cn= 1 - An - Bn - (2/5) Cn
∴1 - Pn　= An + Bn + (2/5) Cn
= 6 (1/6)＾n +｛15 (1/3)＾n - 30 (1/6)＾n ｝+｛8 (1/2)＾n - 24 (1/3)＾n + 24 (1/6)＾n｝
= 8 (1/2)＾n - 9 (1/3)＾n （n≧2）　　　　　　　(以下本解と同じ)

検討の解説：
An+1 = p An + f (n) 型の漸化式の解き方の一方法として
両辺をp＾(n+1)で割って、数列｛An/ p＾n｝の階差数列が分かるので、階差数列を利用して、
数列｛An/ p＾n｝の一般項を
An/ p＾n = A1/ p + Σ｛k = 1〜 (n -1)｝f (k)/ p＾(k+1) 　（n≧2）と表せる
ことから解いた。

「英文解釈」をする必要もないようなレベルの英語
（中学から高校一年ぐらい）
これを大量に読んで聞いてください。
（某詐欺師酒井のいうような100万語レベルではだめ）
それ以外に英語脳への道はありません。
教材のレベルが極めて大事です。
おもいっきりやさしいものからはじめてください。
日本語を介さずに反射的に英語が出てくるようになるまで英語に浸ることが必要です。
これをイマージョンといいます。
分量的には縦に積み上げて天上に付くぐらいの英語を読まなくてはなりません。
それを苦行としてでなく楽しくやることが大事です。
そのためにはやさしくて興味の持てる題材を選択しましょう。
読んだり聞いたりするときストレスがないことも語学習得では大事です。
ストレスがない状態での理解できる大量インプットが肝要です。
日本語を介在させなくても読めるぐらいのレベルでないと駄目です。
英検一級や東大生でもこのレベルです。
ゆっくり文法的に解析しながらよむ能力も大事ですが、それでは英語脳は作れません。
けっしてタイムなど選んではいけない。

検定教科書
Ｇraded Ｒeaders
オックスフォードやピアソンからやたら出てるＥＳＬ用の教科書
ヤフーの子供サイト
絵本
学習用英英辞典
子供用百科辞典
英語で書かれたやさしい英文法書
ネイティブの小中学生が使っている教科書
スチューデントタイムス
高校生向けのやさしめの学習参考書で長文が載っていて穴埋めなどの加工がされていないもの

自分の実力で楽に読めるものを読んでいくことが重要です。毎日1-2時間で3-4年が目安ではないでしょうか。
ただ週末は日本語で解説がついた「英文解釈」系の書物を読んでもいいと思います。
構文が複雑な英文を読めるようになるには日本語による文法解説が不可欠です。
将来的にタイムなどを読みたいと思っている人は「英文解釈教室」などをやるべきです。英語脳とは関係がありませんが。

やさしい英語で天井までというやり方は伊藤サム氏の書物にあります。ジャパンタイムスの新米記者の特訓は
このようにして行われます。

英語脳とは、「日本語を介さずに英語で理解し考える言語回路」と定義し、
英語を日本語を介さずに理解・運用する脳の状態と考える。
英語の知識や経験、慣れといったものは直接英語脳というわけではなく
それに至るための手段の一つと考えられる。

ここでは日本語を介さずに英語を理解・運用する状態を形成するための
効果的な方法は何かを話し合っていきたい。

なお、英語脳については、初級レベルから上級レベルに至るまで
様々な段階がある可能性も指摘されており、
条件によっては初級レベルから英語脳を直接養成していく方法も考えられる。
上級レベルからの英語脳養成についてはその２スレの64を一つのまとまった提案

まず学習は2段階に大きく分ける。
第1段階の目標は、英語の「知識」の獲得。
この段階は日本語を道具ないしは補助輪として使う段階。
英語に大量に触れると言っても、その触れた英語のほとんどが
意味不明ならばただ雑音を聞いたり、暗号を読んだりしてるのと変わらない。
よって中級レベルくらいまでは日本語をむしろ積極的に活用して
英語の大海に船出できるよう手っ取り早く知識を詰め込む。
日本語の文法書、辞書、単語帳、解釈参考書、その他発音・リスニング教材をどんどん使おう。

ある程度知識が身につき、英語の音にも慣れてきたら
第2段階に移行する。目安は語彙力レベルで1万語程度。
第2段階の目標は英語の「回路」、すなわち英語脳の獲得。知識の獲得が目的ではない。
この段階ではなるべく多く生の英語に触れるよう心がける。
日本語に置き換えて理解するのではなく、英語からダイレクトにイメージを導く練習をする。
使う素材は無理をせず最初はかなりやさしめのものから始める方がよい。
また、今まで日本語によって蓄えてきた知識を英語による知識によって置き換えていく。
知っている単語の知識を英英を活用して再構築する。
知らない単語は英和でも構わない。これは学習のストレスを緩和し挫折しないため。
この段階こそ量がものをいう段階で、ともかく大量に読み、大量に聞く。
要点は知識を詰め込むことではなく、英語の自然な使い方・発想・発声のリズムを身につけることなので
とにかく流れのある長めの素材を使った方がいい。
小説・自分の興味がある分野の洋書をたくさん読む。
DVDで映画・海外ドラマをたくさん見る。字幕はなるべく使わない。使うときには英語字幕で。
英語が頭の中で自然に響くことが多くなったら、英語で少しずつものを書いたり
積極的に会話をしたりしてみる。会話相手がいない場合は脳内一人会話でもOK。

ごくごく当たり前の勉強法だが
第1段階では日本語を積極的に活用し、第2段階では日本語を積極的に排除するのがポイント。

問33：
サイコロを繰り返しn回振って、出た目の数を掛け合わせた積をXとする。すなわち、k回目
に出た目の数をYkとすると、X = Y1Y2…Yn
（１） Xが3で割り切れる確率Pnを求めよ。
（２） Xが6で割り切れる確率Qnを求めよ。　　　　　　　（1992 京大）

解答：
（１）余事象を考える。即ちXが3で割り切れない場合というのは、Y1 , Y2 ,… ,Yn の中に3
または6が一度も現れない時に限られるので、この確率は、(4/6)＾n = (2/3)＾n
よって求める確率は1 - (2/3)＾n　　　（答）

（２） 余事象を考える。即ちXが6で割り切れない場合というのは、Y1 , Y2 ,… ,Yn の中に6 が
一度も現れないことが必要で更に
�@）3が一度も現れないとき
�A）3が一度以上現れるが、偶数が一度も現れないとき
のいずれかの場合である。
�@）についてはサイコロの目が、１ , 2 , 4 , 5 しか出ないときで、確率は　(4/6)＾n = (2/3)＾n
�A）について3がk回（k≧1）出るとすると、その他 (n - k )回は1か5しか出ないときなので
　　この確率はnCk ・(1/6)＾k ・(2/6)＾(n-k)　= (1/3)＾n・nCk ・(1/2)＾k
　　k = 1, 2 , …, n のときこの確率を加えて�A）が起こる確率は、
　(1/3)＾n Σ｛k = 1〜n｝nCk ・(1/2)＾k = (1/3)＾n ｛(1 + 1/2)＾n - 1｝ = (1/2)＾n - (1/3)＾n 〔∵二項定理〕
よってXが6で割り切れない確率は、(2/3)＾n + (1/2)＾n - (1/3)＾n 　。
Xが6で割り切れる確率は、1からこれを引いて、1 + (1/3)＾n - (2/3)＾n - (1/2)＾n　 （答）

解説：
余事象の方がcaseが限定されるので、考えやすい。余事象がどういう場合かを良く解釈した上で、
各場合の確率を求めていくだけの単純な問題。
�A）について3がk回（k≧1）出るという形でまず限定（固定）しないと、確率は求まらないので
このようにまず固定した下で考え、その後に固定をはずしてkを変えるながら加えることで、
�A）が生じる全状況を考える。このΣ計算において、Σ｛k = 1〜n｝nCk　
又はΣ｛k = 1〜n｝nCk・A＾k　は二項定理に関連づけられることは気付いて欲しい。

別解：（2）
ベン図を使って考える(図は略)。Xが2で割りきれる事象をA 、Xが3で割りきれる事象をB
とおく。また各事象が起こる確率をｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙの頭文字を用いて、
P(A) , P(B) などと書くと、求める確率はP(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∪B)　（☆）
ここで、(1)より、P(B) = 1 - P(Bのバ-) = 1 - (2/3)＾n これと同様に、
P(A) = 1 - P(Aのバ-) = 1 - (1/2)＾n
P(A∪B) = 1 - P(A∪Bのバ-) = 1 - (Xが2でも3でも割りきれない確率) = 1 - (1/3)＾n
よって　（☆）に代入して、P(A∩B) = 1 + (1/3)＾n - (2/3)＾n - (1/2)＾n　 （答）

別解の解説：　　6 = 2×3を考えると、（１）に関連づけて考えることができる。
倍数問題では、それを素因数に分解してより簡単な場合の結果を用いて考えるのは、よくやる
仕方である（参照問１4(2)）。包含関係はベン図を添えて、重なりや和が基礎的な場合に結び
つけてどう表現できるかを、いちいち考えること。公式として覚える必要はない。　

いまでも、じっくり読めば力になると思います。どうしても無理ならまずはチャート式等をやって
来年取り組んで下さい。
ただ、この問題集は何も、解けることが大切なのではありません、問題や解答、解説に取り組むこ
とで高校数学を理解してもらおうという主旨なのです。学年は関係ありません、やる気が有るか
だけの問題と思います。必要なら、適当な公式集を片手に読み解いて見てください。
私の場合は、中2〜中3のはじめには東大、京大の過去問を解き始めていたと思います。
（中3の終わり頃にはほぼ満点狙えるくらいにまでなっていました。）いくつかの問題集の合間に
であったと思いますが。
何も早ければいいものではありませんが、実践で公式の組み合わせを学んでいくのが結局一番、
公式や法則に関する、深い理解が得られると（実践に取り組む前に最低限の基礎知識、計算法則
のマスターは必要ですが。）思います。
ただ、勿論解答が理解出来なければ、慌てず演習してから取り組みましょう。それぞれのペース、
得手不得手があっていいと思います。早ければいいということはありませんし。
誤解して理解するくらいなら、今は知らない方がましなのです。
受験数学（高校数学といった方がいいでしょうか）といっても何も他人との競争と考える必要は
ありません。学ぶべき事項をマスターできれば、解けるような問題がほとんどだと思います。
従って積み上げて少しずつ理解できる内容を増やしていこうという勉強方法は要領が悪いだけだ
と思っています。最終目的はそんな複雑に隠されたもの、幾多のステップを踏んで攻略しなけれ
ばいけないというものではなく、むしろ自然な考え方、公式・法則の使い方なのですから、
最低限の（解答を場合によっては参考書を片手に、何とか読めるだけの）知識があれば早くから
なじんだ方がいいと思っています。必要ならその後に改めて、自分の足らないところを意識して、
易しい問題集で補強しなおせば良いでしょう。一方向的な学習にこだわる必要はありません。
こっちいったりあっち行ったり、迷いながら、問題意識をはっきりさせていくのです。

私は独学でいろいろ考え、悩みながら、解答を自分なりに解釈、読み解きこれを学んだと
思います。（こうして自分なりに理解できた気になったのは楽しいものでしたが、）
しかし諸君にはその手間がなるべく少しで済むようにしてあげたいと思っています。勿論、
自分であれこれと考えることは何よりも大切で、あとで自分なりの別解で頭を鍛えていく、
独自の数学を確立していくことはやはり大切です。何度もいうように、数学は正しければ、
どんな方法であれ正解に至ります。
もし、正解に至らなかったら、自分の考えに間違いがあるのでそれを修正していかなくは
なりません。そういった繰り返し、失敗体験、が正しいとはなにか、数学的に自然な考え
とは何かを身につけさせてくれるのです。
高校数学に高度の知識や、高度のテクニックは必要ありません。素直に数学的に正しく考
えられるか？これが聞かれるだけです。あとは計算の問題もありますが…。
早くからその最終目標に触れておいて損は無いし、早ければ早いほど、慣れるのも早いの
ではないかと考えます。がんばってみて下さい。

最後に。もっといえば、高校数学は何も目的ではありません、こんなのは早く要領よく
身につけて欲しいと思います。しかし何でも真剣に取り組めばそれなりの哲学や実感、
充実感が得られるし、楽しく頭を鍛えられることでしょう。
最終的には、君達が、それぞれの分野で独自の世界を切り開いてくれること、生を
楽しい、肯定的なものとして捉えられる社会を作っていってくれることを切に願ってい
ます。
そしてもちろん、君達自身が幸せに生きていけるように。
もっとも幸せとは些細なものを、大事にしていくことではじめて得られるものであることは心に留めておいて下さい。

問34：
先頭車両から順に1からnまでの番号のついたn両編成の列車がある。ただしn≧2とする。
各車両を赤色、青色、黄色のいずれか一色で塗るとき、隣り合った車両の少なくとも
一方が赤色となるような色の塗り方は何りか。　　（2005　京大）

解答：　求める場合の数をAnとおくと、これは
�@）1両目が赤色のとき：
　　残りの2〜ｎ両目を取り出すと、隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となっていなけれ
　　ばならず、このような場合の数はAn-1通り。
�A）1両目が青色または黄色のとき：
　　2両目が赤であることが必要で、残りの(n-2)両の車両を取り出すと、隣り合った車両の少
なくとも一方が赤色であるから、このような場合の数は、2 ×An-2通り。
よってAn = An-1 + 2An-2 　（n≧4）
∴　An + An-1 = 2 (An-1 + An-2) …�@　　　, An - 2An-1 = (-1) (An-1 - 2An-2) …�A
�@ より数列｛An + An-1｝は公比2の等比数列であり、
An+1 + An = 2＾(n-2)・(A3 + A2) = 2＾(n+ 2) （n≧2） �@'
�A より数列｛An - 2An-1｝は公比-1の等比数列であり
An+1 - 2An = (-1)＾(n-2)・(A3 - 2A2) = (-1)＾(n-2) = (-1)＾n （n≧2） �A'
〔∵2両であれば赤―青or黄or赤　、青or黄―赤が題意をみたし、A2 = 5 。
　　3両であれば赤―青or黄―赤　、赤―赤―青or黄or赤、青or黄―赤―青or黄or赤
　　が題意をみたし、A3 = 11。〕　　�@' - �A'より、　　An = 1/3｛2＾(n+ 2) + (-1)＾(n+1)｝ （答）

解説：
Anを求めようとして、考えられるcaseを樹形図にでもしようとすれば、はじめの
いくつかは場合分けしても、以降は以前の状況（An-1とかそれ以前のcase）に結
びつくことに気付くだろう。これにより漸化式が立つ。本問の類題は京大、東大
に多くあるのでまとめて取り組んでおきたい。
（京大後期1996確率　、東大1990確率などは特に類題と考える）

補足、コラム：
是非実感して欲しいのだが、漸化式は「立てなければいけない」という性質のものでははい。
私の感覚では、立てざるを得なくなったり、必然的に勝手に立ってしまう、（nの状態を直接
考えていっても、どうしてもn-1の状態、又はそれ以前の状態に依存して決まるので漸化式が
立つし、立てるのが自然だということ）、又は立てる方が楽になるという性質のものである。
もっとも、初心者は「〜のときは〜しなければならない」という義務、法則にまとめながら
各問を把握していくことが大切なのかもしれない。
しかし、類題を繰り返し解いていくうちに、こういう考えはごく「自然な発想」になっていく
ものだろう。そのときはじめて「〜しなければならない」という義務感から解放され、「自然
に〜する」とか「いろいろある考えの一例として〜と考えてみると」というように、自由身軽
に数学的な考え方をとることが出来るようになってくるのだろう。
確率の問題は漸化式を立てるタイプの問題と、求める状況を解釈、分類整理して正確に各場合
の数を数えるないし計算する問題、の２つに分けられるんだ考える人も多いと思う。
しかし、結局、求める状況を解釈、分類整理して正確に各場合の数を数えるというのが基本で
その中で場合の数を求めるに際して、帰納的結びつきが発見される為、漸化式が立つし、立て
ざるを得なくなるというのが自然な流れなのである。

求める「場合の数は」というより、「色の塗り方は」と表現しておいた方が
分かりやすいかも知れません。
他のヶ所も訂正しておいて下さい。

問35：
n枚の100円玉と n+1枚の500円玉を同時に投げたとき、表の出た100円玉の枚数より
表の出た500円玉の枚数の方が多い確率を求めよ。　　　(2005 京大後期)

解答：
n枚の100円玉を投げたとき表の出る枚数をa枚、n枚の500円玉を投げたとき表の出る枚数
をb枚とおく。a＞bとなる確率と、a＜bとなる確率は対称性より等しく、これらをAnとおき、
またa = bとなる確率をBnとおけば、2 An + Bn = 1　　　�@
このn枚の500円玉を投げた結果を得た上で、あと1枚500円玉を投げた場合に、表の出る
枚数がaより多くなるのは
�@）そもそもa＜bの場合　　　　　又は
�A）a = bでありかつ追加で投げた500円玉が表の場合
であるから求める確率は、An + 1/2Bn　。これは�@より1/2に等しい。　（答）1/2

解説：
まずはn枚同数での状況を基に考えると考えやすいだろう。求める状態はこれに帰納的に
結びつく。感覚的には漸化式を立てる問題に近い感じがするので、2005の京大は同じよ
うな確率の問題を2題並べたことになる。（もっとも確率もすべて同じような問題といえ
ばそれまでだが。）2001東大確率は特に類題と考えられるのでこれも取り組んでおくと
良いだろう。
なお直接、状況を分類して、足し合わせても答えは出る。C　(組み合わせ)についての性質
を復習する良い機会なのでこちらも示しておく。その他Cに関してはいくつか有名な公式
（Pascalの三角形など）があったと思うので復習しておいて下さい。京大は文理を問わず、
昔から2項定理に絡ませる問題が多いようです。

別解：
n枚の100円玉を投げたとき表の出る枚数をa枚、n +1枚の500円玉を投げたとき表の出る枚数をb枚とおく。この状態が起きる確率は｛nCa・（1/2）＾n｝・｛n+1Cb・（1/2）＾n｝であるから、
a＜ｂとなる確率はまずaを固定して考えると、
Σ（b = a+1〜n+1）｛nCa・（1/2）＾n｝・｛n+1Cb・（1/2）＾(n+1)｝。
次にaを固定をはずし、aを0〜nまで変えて、各々の確率を加えて求める確率は、
Σ（a = 0〜n）Σ（b = a+1〜n+1）｛nCa・（1/2）＾n｝・｛n+1Cb・（1/2）＾(n+1)｝
= （1/2）＾(2n+1) Σ（a = 0〜n）｛nCaΣ（b = a+1〜n+1）n+1Cb｝
= （1/2）＾(2n+1) Σ（a = 0〜n）｛nCa（n+1Ca+1 + n+1Ca+2 + …　+ n+1Cn+1)｝　 (☆)
ここで一般にnCk = nCn-k であるから、
K = Σ（a = 0〜n）｛nCa（n+1Ca+1 + n+1Ca+2 + …　+ n+1Cn+1)｝
= Σ（a = 0〜n）｛nCn-a （n+1Cn-a + n+1Cn-a-1 + …　+ n+1C0)｝
= Σ（n-a = n〜0）｛nCn-a （n+1Cn-a + n+1Cn-a-1 + …　+ n+1C0)｝
=　Σ（k = 0〜n）｛nCk （n+1Ck + n+1Ck-1 + …　+ n+1C0)｝ 　　〔 n-a =k とおいた〕
= Σ（a = 0〜n）｛nCa（n+1Co + n+1C1 + …　+ n+1Ca)｝　　 〔k→aとおきかえた〕
よって、
Σ（a = 0〜n）｛nCa（n+1Ca+1 + n+1Ca+2 + …　+ n+1Cn+1)｝
+ Σ（a = 0〜n）｛nCa（n+1Co + n+1C1 + …　+ n+1Ca)｝
=Σ（a = 0〜n）｛nCa（n+1Co + n+1C1 + …　+ n+1Cn+1)｝
=Σ（a = 0〜n）｛nCa（2＾(n+1))｝ = 2＾(n+1)Σ（a = 0〜n）nCa　　 　　〔∵二項定理〕
= 2＾(n+1)・2＾n = 2＾(2n+1) 　∴2K = 2＾(2n+1) ∴K = 2＾(2n)
求める確率は、（☆）より、（1/2）＾(2n+1)・K = 1/2 （答）

解説：
書けば上記のように、ややこしいが、n+1Ca+1 + n+1Ca+2 + …　+ n+1Cn+1の部分をもっと見やす
くするために、n+1Cn-a + n+1Cn-a-1 + …　+ n+1C0と書きなおすと、
この2つが補完の関係にあり、加えることで計算が進むのではないかとすぐ感じることであろう。
上記のように、K + K は2項定理で綺麗に計算されていくので、ここからKを求める。
このように計算を進めていくうちに補完するための量が現れ、このお互いを他で表現するという
補完関係から、ある量を求めていくことはしばしば経験することであろう。（1994京大後期６番
なども参照。良く分からんが、男女の補完関係もこんなものかも知れない。いわゆる恋愛方程式
である。自己は他者との対比、向き合いにより顕在化する存在なのである。）
特に微積分計算で多いようであるが、ご存知のとおり、Σも∫(= sum) も共に和という意味なの
で、（簡単に言えば、整数値で変えて足すか、区間内で連続的に加えるかの差で記号を使い分け
ているに過ぎない）同様の計算方法と解釈してもらえば良いだろう。

コラム：　未来を創ろうとする君達に贈る言葉
「これまでの存在はすべて、自分自身を乗り越える何物かを創造してきた。あなたがたは
この大きな上げ潮にさからう引き潮になろうとするのか、人間を克服するよりもむしろ
動物にひきかえそうとするのか？　　人間は克服されなければならない或者なのだ。」　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Friedrich Nietzsche）

　　★★★解答切迫症候群★★★
とにかく解答までたどり着くことばかりを考えてしまうヤマイ。

――――臨床所見
数学なら、
・計算ミスの連発、
・自分が今何をやっているか分からなくなる
・途中の論理的飛躍が多い
などが見られる。
英語の英文和訳では、
・意味不明の日本語
・英語の修飾関係が全くといっていいほど、訳に反映されていない
など。

本症を患う受験生の多くは成績不振に悩む。
「考える」という習慣が、いつまでも身につかないからだ。（つづく）


――――改善方法（普段の学習において）
数学では、
�@問題を解く前に、どのような流れで解答を進めていくか、
ある程度、構想を立てる。
構想を立てるとは、
「与えられている条件は何か？」　
「どのような考え方を使うと思われるか？」
「以前、同じような問題を解いたことがあるか？
あるなら、それはどのような考え方で解けたか？」など。

�A解答を進めるさいに、今までの解答を軽く見直してみる。
少しでも嫌な予感がしたら、立ち止まろう。
そして、論理的な欠陥がないかを確認する。
場合分けをしないといけないのではないか？
図を書いて確認するべきことがあるのではないか？など。（つづく）

�B分からなかったら、解説をすぐに見る、というのは良くない。
本症にあたる人の多くは、
「考える」ということに慣れていない人が多い。
例えば、ベクトルの問題を解いているとしよう。
チャート式で勉強しているのなら、
ベクトルの問題が、基礎から応用の順に並んで記載されている。
もし、君が応用問題を解いているのなら、
基礎例題をもう一度ざっと見なおして、
いま解こうとしている問題のヒントになる考え方を、
探してみよう。必ずあるはずだ。
それでも分からなかったら、問題の解説を直接見る。

英文和訳では、
�@自分の書いた訳を読みなおしてみる、ということに尽きる。
日本語になっていなかったら、その時点で入試ではゼロ点、
ということを、知っておこう。

�A英文の修飾関係が、和訳にもしっかりと反映されているか、
読みなおしながら、確認しよう。
たとえ、君の書いた解答が「意訳」だとしても、
修飾関係が間違えていたら、その時点でゼロ点だ。

みんなで難関大数学を攻略しよう！
http://study.milkcafe.net/test/read.cgi?bbs=rikei&key=1124032692
【脳幹鍛錬】ウィンウェンガー頭は3週間で良くなる
http://life7.2ch.net/test/read.cgi/body/1116423309/
瞑想家流速読訓練スレ
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【頂きを】挑戦するダメ人間達のスレ2【目指して】
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統一/数学の参考書・問題集･勉強の仕方/Part62
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1128001669/
やさしい理系数学＆ハイレベル理系数学part12
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1117363905/

補足：
K の計算について。初心者はΣのままではイメージしにくいでしょう。まずシグマをはずして全部書
いて考えれば式の意味が分かり易いでしょう。
nCk = nCn-k　を使うと、ちょうど1+2 + …＋ｎ がn+ (n-1) +…＋1
として現れるのと同じような形になり、この2つをペアにして足すと、2項定理で計算が進んでいくき
ます。そこで、2K = …というかたちで求めたのです。
Σはあくまで簡略化のための記号で、考える上ではこのままでは分かりにくいが、全部書いてみるとす
ぐに式のイメージがつかめるということは多いのです。
Σはあくまで説明を簡略化するための、答案上の表記に過ぎないくらいで思っておいて下さい。
とくに初心者はいちいち書き出すのが原則です。

問36：
nを2以上の自然数とする。X1≧ X2≧… ≧ XnおよびY1≧ Y2≧… ≧ Ynを満足する数
列X1 , X2, … , XnおよびY1 , Y2 , … ,Ynが与えられている。Y1 , Y2 , … ,Yn
を並べかえて得られるどのような数列Z1 , Z2 , … ,Znに対しても
Σ｛j = 1〜n｝(Xj-Yj)＾2≦Σ｛j = 1〜n｝(Xj-Zj)＾2が成り立つことを証明せよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1987　東大）

解答：　示すべき式の両辺を展開し、Σ｛j = 1〜n｝Yj＾2 =Σ｛j = 1〜n｝Zj＾2に注意すれば、
これはΣ｛j = 1〜n｝XjYj　≧Σ｛j = 1〜n｝XjZj　と同値である。この式は、
「n項からなる広義の減少数列｛Xn｝と｛Yn｝の中から1つずつ取り出して積を作るとき、その積
の和が、Σ｛j = 1〜n｝XjYj を越えないこと」（※）を意味する。
以下これをnについての数学的帰納法により示す。
�T）n = 2　のときについて：、X1≧ X2 , Y1≧ Y2　のとき、X1Y1 ＋X2Y2 ≧X1Y2 ＋X2Y1 ⇔
　　(X1 - X2)(Y1 - Y2)≧0が成立するので（※）はn = 2のとき確かに成立する。
�U）１以上の整数nにおいて、（※）が成立するものと仮定する。
　　n + 1項からなる広義の減少数列｛Xn｝と｛Yn｝の中から1つずつ取り出して積を作ることを　
　　考えXn+1とYp , Yn+1とXq の組み合わせを考えると、積の和にXn+1Yp ＋Yn+1Xqという　　
　　項が入るが、ここでこの4数の組み合わせを入れ替えて、XqYp ＋Xn+1 Yn+1とした場合、　　　
　　積の和をより大きく又は等しくすることが出来る（少なくとも小さくならない）。なぜなら、
　　(XqYp ＋Xn+1 Yn+1) - (Xn+1Yp ＋Yn+1Xq) = (Xn+1 - Xq)(Yn+1 - Yp)≧0であるから。
　　次にXn+1 Yn+1を除いて、他の｛Xi｝と｛Yi｝（i = 1, 2 ,…, n）の組み合わせについては、仮定　　　　
　　より、Xj　とYj　を組合せていく(j = 1,2,…, n)方が他の組み合わせより大きくなるか等しい。
　　以上より　n + 1項からなる広義の減少数列｛Xn｝と｛Yn｝の中から1つずつ取り出し場合の　　
　　組み合わせとしても、Xj　とYj　を組合せていく(j = 1,2,…, n,n+1)方が他のどのような組み　
　　合わせよりも小さくなることはない。これは（※）がn+1においても成立することを示す。

以上より、すべての2以上の自然数nに対し（※）が成立することが示されたので題意は満たされた。

解説：
示すべき事項は“大きいモノ同士、小さいモノ同士”組み合わせる方が積の和は大きくなるという
ことである。これは感覚的には当然と思えるであろう。（私の言う、受験数学用の第3の不等式。）
例えば500円玉、100円玉、10円玉のどれかを7枚、どれかを5枚、どれかを3枚あげるといわれれば、
誰もが500円玉を7枚、100円玉を5枚、10円玉を3枚もらおうとするのではないだろうか？（つまり
500×7＋100×5＋10×3　という積の組み合わせ方が和を最大にする）やはり、大きいものにより
大きなバイアスをかけた方が得であろう。
これを説明するのみである。
一般的に説明するときに問題のように｛Zn｝などと新たに｛Yn｝の並べ替えの数列を持ち出すと、
余計に説明がわかりにくく混乱するような気がする。
そこで、｛Xn｝と｛Yn｝をどう組み合わせるのがいいか（積の和Σ｛j = 1〜n｝XjZj　を最大に
出来るか）という観点のみから解答を作成した。一般的に書いても良いですが、ｎ+1のときの組
み合わせをいろいろ考える時、nのときの組み合わせの結果を利用して考えることが出来るので、
帰納法に乗せた方が説明しやすいと思います。

私は君達の倍の年齢がありますし、数学と関わっていたのも随分昔ですから、今の高校数学の内容、
教科書も全く知りません。マセマ合格とか１体１とか言われても何のことか分かりません。手元に
あるのはやや古い東大過去問いくつかとネットにある（先に示した）京大の過去問のみですから、学
ばなければならない内容は推測できますが、�TA�UB�VCとかいう区別は分かりません。ただ一般的
なことだけ言っておきます。
高校数学ではすべての分野が関連していると考えて下さい。ある１問を解くのにもあらゆる分野か
らのアプローチが可能なことが少なくありません。し、いろいろなアプローチから可能なところに
面白さがあるし、このような別解を作っていく訓練をしてはじめて、全体的な実力がつくのです。
（そして最終的には自然な数学的思考ということですべてまとまっていくのです）
そういった関連性を把握していく為には、まず、最低限のスッテプ的な学習が必要です。
この段階では教科書的な順番通りの学習がむしろ大切です。例えばベクトル（相対座標系と呼びま
す）はｘｙ直交座標系の、より抽象的な概念として考えることが出来ますが、これはさらに座標変
換、パラメータ変換などに繋げられます。
このように理解していく場合は、絶対座標系 → 相対座標系 → 座標変換という学習順番があると
思いますので、基礎のうちはこのような順番通りの分野毎の学習が不可欠でしょう。
大まかには基礎的な式の扱い分野、代数幾何、確率、微積分くらいには分割していいと思いますが。

コラム：（興味のある人だけ読んでください。数学学習とは関係ありません。私的な意見です）
しかし基礎が固まった（と感じた）段階の人は、分野毎の勉強ばかりしても、つながりや、公式、
法則使い方は見えてこないでしょうし、どういう時にどういう手段で使っていくかは実地訓練から
入っていくしかないと思いますので、分野を問わず、日によって分野を変えたり、実際のランダム
な入試問題に取り組んだりすればいいと思います。特に難関大の過去問は良問が多いので、早くか
らこれを題材に学習すればよいのではないでしょうか。別解も豊富な問題集だと、１問もんからい
ろいろな分野とその関連、自分にフィットした使いやすい方法を学んでいけると思います。でも、
大体そんな中で、自分はこの公式、基礎事項を上手く使えてないな、理解が不充分だなということ
が出てくると思いますのでその時は基礎に戻って関連問題を解きなおしたりして、関連事項を把握
します。しかし把握するのと実際に使いこなせるようになるのは別なので、当面はどんどん実践で
試しては、撤退し再び基礎に戻り再び実践…再び基礎というのを繰り返していくしかないよう
な時期があると思います。（つらい時期ですが）

訂正です。
�U）１以上の整数nにおいて　→　�U）2以上の整数nにおいて
（帰納法の2nd stepの仮定部分は１st stepと重ねないと後々、帰納法は回転しませんので当然ですが）

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速読を教えてやろうか？
速読っていっても結局フォトリーディングだけど。
速読極めると、結局フォトリーディングになっちまうんだよな〜。
需要次第で教えていこうと思うんだけど、誰かいるか？
地道に毎日1時間は訓練できるやつ限定で。
やる気ないと絶対無理な技術だから。

一ヶ月あればかなりのレベルまでいかせる自信はある。
完璧にしてほしいなら、三ヶ月はかかるね。
一ヶ月の場合は、毎日二時間は必要だな。
最低一ヶ月間俺に付き合って馬鹿やってみるか、
そんなのに付き合わないでもっと馬鹿をやるか。
さぁ、みんなどっちだ？

一般的なフォトリーディングだとそれで十分だろう。
俺が伝えたいフォトリーディングは、ちょっと違うんだ。
フォトリーディングにしてフォトリーディングにあらず。
潜在意識を使うというより、顕在意識を使うように思える。
いや、それも間違いかもしれない。潜在意識を完璧に
顕在意識へと反映させるといったほうが正しいのかもしれない。
フォトリーディングと高度なアフォメーションを同時にやっている
ような感覚だな。これを言語かするのはとても難しい。
速読家がうまく速読を教えれないのは感覚の言語化ができてい
ないからなのかもしれない。
どんなフォトリーディングを伝えたいのかというと、映像記憶の
フォトリーディングだ。
これをやるのは右脳だけ鍛えても仕方が無いように思える。
左脳、右脳同時進行に鍛えていかなければならない。
ここで難しく考えないでほしい。君の時間はそんなにとらんから。
論より証拠というのは重々承知してるが、ネット上では論しかだ
せないのをわかってほしい。
とりあえず、具体的な訓練に入ってみるか。

まさかタダでトレーニングができるとは思っていないだろうな？甘い！
まず、ノートを一冊買って来い。それと紙袋も手に入れろ。
古いジーンズ(新しいのでも一向に構わん)もできるだけほしいな。
あと、様々な香辛料も用意してくれ。さんしょうとかこしょうとかね。
においが強すぎないものならぶっちゃけなんでもいい。
Tシャツ、タオル、布団、パンツも用意してくれ。
最後にクラシックCD一枚用意すること！モーツァルトが最適。

上記の物のうち、無いものをそろえてくれ。あるものはそのままでいい。
別に減らすような使い方はしないものばかりだし。
今日中に用意できないと思うから、続きはまた明日。

とりあえず、脳の各機能を高めるには脳の生理機能改善が必要だ。
なに、そんな難しいことじゃないさ。使うのは紙袋だけだから安心しな。

まず、紙袋の入り口を口に当てる。んで、スーハースーハーする。
それを三十秒間続ける。これはマスキングという手法だ。
これは脳への酸素供給量を１時的に減らし、脳の弁を開かせる。
そうすれば、普段よりより多くの栄養が行き渡る。
何度も、三十秒間紙袋でスーハースーハーを繰り返すことによって、
脳の弁を開きっぱなしにすることができる。
これが何を意味するかというと、脳への栄養供給量を数倍にUP
できる画期的な方法ということだ。

栄養が沢山いけば頭も自然に良くなるって寸法だ。
全員納得できるだろ？ただし、三十分に一回やり続ける必要がある。
引きこもりなんかは誰にも見られずにできるからやりやすいだろうな。
この方法はとても効果的だが、弱点もある。
周りから見ればシンナーをやってるようにも見えるし、障害者にも見える。
会社勤めのやつは、三十分に一回腹痛を理由にしてトイレにいって
スーハーするのもよし。応用として三十秒息を止め続けるのも有りだ。

さぁ、脳の生理機能改善の手順は説明し終わった。
次は触覚を鍛えていこうと思う。
次はTシャツ、タオル、布団、パンツを用意してくれ。
手順は
部屋を真っ暗にする
目をつぶる
用意したものを触る
たったこれだけだ。
触り方にポイントがある。何も意識せずに、ただその感触を味わうのだ。
そうしないと、鍛える脳の部分が変わってしまうので、効果はなくなる。
決して触っているものが何かを当てようとしてはならない。
ただその感触を味わい、楽しむのだ。

一見速読とは関係ないが、五感はすべてリンクしているのだ。
あんたらの古い考えをまず改めてほしい。俺を信じてくれ。
教材を買わせるわけでもない、本を買わせるわけでもないからな。
質問があればどんどん寄せてほしい。

香辛料は嗅覚を鍛えるために使うものだから、触覚のトレーニングでは
まだ使わない。ノートは夢記録のためのものなのだ。
あんたも夢を見るだろ？朝起きて夢の途中で目覚めてしまった場合は
夢を覚えているはずだ。その夢のできごとを鮮明にノートに書いとくの。
夢ってさ、忘れないや〜って思っててもその日の夜にはどんどん忘れ
てるだろ？ノートに書いておけば忘れない。これを続けると、記憶力が
UPする。それに、次第に夢が鮮明になっていくはずだ。カラーの夢、と
いうかリアルな夢。現実か夢か区別がつかないような夢さ。
今日からでも始めてほしい。すぐ書けるように枕もとにノートをおいて
おいてくれ。んで、書いてくれ。あんたの夢を。

　これは朝が弱いやつには辛い訓練だ。でも、ちょっと考えてくれ。
辛いって字はさ、もうすこしで幸せになれそうな字だろ？
この辛いを乗り越えた時にあんたらは幸せになれるんだよ。
俺も幸せになったから、今度はみんなを幸せにしたい。
だから俺は書き込み続ける。その努力が報われるように、実践してくれ。

途中、少しくさい文になったが、要は香辛料の説明は後でして、
ノートの使い方は夢記録に使うってことよ。

書き忘れたけど、夢の内容は文字だけじゃなくて絵も使ってくれ。
そのほうがいい。下手でもなんでもいいから、絵も書いておいて。
マインド・マップが使えるやつはそれで書いてもいいし、知らない
人は特に使う必要無いから。

夢はほぼ毎日見るなあ。
カラーが普通だと思ったが色々あんだな。
いつもリアルと区別が付かないが、年に数回
「これは夢だ」と自覚するときがある。もう夢の中でやりたいほうｄ（ｒｙ

確かに夢ってすぐ忘れるね。夜どころか、起きて5分もしない内に忘れることもある。
速読目的でなくても夢日記を付けるのは、それはそれで楽しそうだ。

夢の中でやりたい放題ってことは夢を操作できてんの？
これは夢だ！と気づきながら操作できていたなら、
それは明晰夢だ。偶然見れたときはラッキーだな。
明晰夢に興味があるならアマゾンで検索してみな。
書籍の宣伝になるのははいやだからタイトルは載せな
いけど、すごくいい本がある。

さて、脳の生理機能改善、触覚とやってきたが、次は嗅覚だ。
嗅覚のみを鍛えるために、場所は静かで真っ暗な部屋でやってくれよ。
そうしないと効果が半減してしまうからな。
リラックス、リラックス。リラックスが大事だ。
その暗い静かな部屋で、香辛料を一つ一つかいでいく。
やはりこれも、それが何なのかを当てようとするのではなく、
ただ味わい、感じ、そして楽しむだけではないといけない。
ただにおいの違いを知覚するだけでいい。

使うのは嗅覚だけなんだが、それを五感で感じる。
↑の一文が、本当の意味でのトレーニングのすべてなんだが。
嗅覚だけで視覚的なもの、触覚的なもの、聴覚的なものなどすべて
を感じ取ることが大切なんだよね。この感覚は言語かできないんだ。
感じ取ってもらうしかないんだよ。
この感じをつかむために「瞑想」とか「自律訓練法」ってのがあるんだろうね。
まぁ、難しく考えないでただやってくれればいいさ(難しくさせたのは俺だ)
もっかい要点整理するよ！
暗い静かな部屋→香辛料をかぐ→何かを当てようとしないで、ただ感じる。
次は聴覚を鍛えていくよ。今まで書いてきたことは見て理解するだけじゃ効果はない。
実践しないとダメだかんね。

聴覚は左脳馬鹿さん推奨の自律訓練法がいいと思う。
公式の中に「心臓の音が規則正しく〜」系のことがあったしょ？
あれは一種の聴覚トレーニングだから。
だから、あの公式の背景公式と心臓の音の公式を使います。
まず、暗い静かな部屋で布団の上に寝そべって。
リラックス、リラックス、と心の中で唱えて体の力を抜いていく。
そして、意識を心臓に向ける。すると、心臓の音が聞こえるはず。
それを、ただ聞く。無心に聞く。何も考えずに聞く。
時間とかは一切気にしないで聞く。
そうすることによって聴覚が鍛えられる。
これは就寝前にやるのが超お勧めである。
この自立訓練法途中に寝てしまうのもかなりOKだ。
　もう一つ訓練方法がある。モーツァルトのCDをまず流す。
それを一音一音かみ締めるように聞く。これもやはりただ聞く。
でも、聞いている最中に他の作業は一切やってはいけない。
それをやると並列処理の作業となってしまい、ちょっとだけ
ハイレベルなトレーニングになってしまうのでいけない。
サッカーのシュート練習中にオーバーヘッドやるようなもんだからさ。
あと、最近周辺視野鍛えるとかだけってトレーニングが多いよね。
そういうのを推奨している人を見ると、馬鹿かと思う。
ごめんなさい。でもほんとにそう思うんですよ。
周辺視野トレーニングも視覚の初歩のトレーニングなんですけど、
初歩であって最低レベルのトレーニングではないんですよ。
これはシュート練習飛び越えて、ボレーシュートのトレーニングになってる。
いやね、シュート練習が必要無い人もいるのは確かに事実ですよ。
でも、万人がシュート練習必要じゃないと思ったら大きな間違いなんですよ。
シュート練習必要無い人も、ボレーシュートはまだ打っちゃいけないんです。
ボレー(周辺視野)打つためには基礎のシュート(これからやる視覚トレーニング)
を何本も打たないと精度は上がりづらいわけですよ。
だから、沢山基礎をやりまっしょい。俺が今まで書いたのは脳の構造上から
考えてみても、基本中の基本なわけだし。これよりレベルの低いトレーニング
はないわけなんです。同じレベルのトレーニングはまだまだありますけど。
ホントは明日公開する予定だった視覚のトレーニングも今日公開しちゃいます。
さんざん人のこと馬鹿にしておいて、トレーニング方法は後回しということは
ちょっとまずいよな…・。ちなみに、決して周辺視野トレーニングそのものを
馬鹿にしているのではなくて、そういうハイレベルなものだけをやることに反対
しているのです。
以上、意味不明な力説でしたｗ

そろそろ眠くなってまいりましたファントムです。
次は視覚です。高速視点切り替えトレーニングといいます。
これは、見る対象をあらかじめ決めておきます。
たとえば、部屋の中にあるポスターとか本棚とか。
そういうものに目線をどんどん切り替えて、脳に高速に様々な情報を与え続けます。
学生の場合、教室の後ろの席に座っていると仮定してみます。
そうしたら、周りにいる生徒の頭などに次々と視点を切り替えて見ます。
同じ人の頭を何回みてもかまいません。かわいい子の頭を見る回数が
無意識に増えても、それは本能だと思って特に気にしないでください。
　もしかしたら、「歩いているだけでも次々と見る対象はかわるじゃないか！
そんなことがトレーニングになるもんか！」という方がいるかもしれません。
それは間違いです。実際に外を歩いてみるとわかりますが、そんなに視線は
動かさないはずです。見ている対象との距離はどんどん変わりますが、
高速で視点を切り替えているときと比べたら処理できている情報量の違い
がはっきりわかるはずです。
ここで一つ試してほしいことがあります。ある対象を見つめます。
あまりにも長い時間その対象を見ていると、見えているんだけど見えていない
といった状態に陥ると思います。これは、この情報はもう処理し終わったよ！
ってことなんで、もう見えていない状態になるのです。でも、視点切り替え
トレーニングを続けていると、次々に大量の情報が脳で処理されることになる。
と、言うことはだ。これは映像記憶の訓練になっているということなんですよ。
このトレーニングを続けているうちに、ぱっと見ただけでかなり鮮明に映像が
保持できているという変わった現象が起きるようになります。これが映像記憶って
やつの初歩。でも、これだけで映像記憶ができるとか思わないでね。
他の感覚のレベルが十分なレベルに達していないと映像記憶はできない。
しかも、俺は脳の部分でいう「延髄」ってところのトレーニングしか解説して
いない。だから、これだけじゃ映像記憶はマスターできないからね。

ちなみに、このスレ見てる人どれくらいいんのかな〜。
たぶんね、というか絶対ね俺がいくら解説したところで実際にやるやつは
このスレ見た中で10人に1人なんだよな。
これ見てる人が誰もトレーニング実践してくれないと、俺は嘘つきになってしまう。
みんなにやってほしいから、やる気になるような言葉を結構入れてるはずなんだけどな。
これ見てるやつの中で実践してくれるやつはいない？今日ので解説は一段落ついたし。
整理すると

　紙袋スーハー(これ一番重要かも)
触覚→生地を触る
　嗅覚→香辛料の匂いをかぐ
聴覚→心臓とモーツァルト聞く
　視覚→高速視点切り替え
なわけなんだけど、解説長いけど、細かく見ていってや。
わかんないことあったらどんどん質問してよ？
「このトレーニングはこれで代用できますか？」
「これは実はこうじゃないですか？」
とか。
あと、ごめん！今から説明するのは仮説であって、信憑性薄いから。
七○のとこの子供達がやっている親指で「ビー」って本はじくやつあるしょ？
あれって高速視点切り替えの一種になってるんじゃないかなと思った。
知らない人は気にしなくていいし、これはホントに仮説だから。
ちなみに俺は七○信者じゃないかね。むしろ、右脳ばっかり鍛えることしか
やらないから、嫌い。左脳も鍛えろや(ﾟﾛﾟ)コラ!!って感じなんで。

今日はもう寝ます。それじゃ、ちゃんと実践してね〜。

窒息死する人が出たらいやだから紙袋って書いておいた。ビニールでもいいよ。
三十分おきにタイマーセットしてたから、基本的に朝から寝る直前まで。
タイトルとか見てないからわかんないんだ。親に借りたモーツァルトのCDなんで。
俺は30分ぐらい聴いてたかも。長くても45分ぐらいで十分なはず。
香辛料は、さんしょう、こしょう、カレー粉、チーズとか。香辛料以外でも、かぎたい
匂いがあればなんでもいいよ。SRSはよくわからん。指回しのこと？それなら代用
できないよ。

「ドレミ」をノートに書き写したりもできるのかな？もしかしたら、あなたは
聴覚だけを考えたら高レベルなのかもしれない。ちょっと別メニューをやってください。
洋楽でも邦楽でもいいから、まず音楽を聴く。一回聴いて、それを頭の中で再現でき
るように努力してみてください。ギターの音、ドラムの音、ベースの音、歌手の声すべて
を同時に頭の中に再現します。最初はクラシックからのほうがいいかも。
音大出たなら、結構な数のクラシックを聞いたでしょう。自分が聞いたことの無い
クラシックを聴いて、やってみてください。これもできるのであればまた一つ上の
ステップになってしまいます。

時間配分の件忘れてた(汗
三十秒スーハーは朝から寝るまで。お風呂の時は湯船で代用しましょう。
聴覚は、自律訓練法の場合は三十分、CDの場合も三十分もやれば十分。
高速視点切り替えは30分
触覚は20分
嗅覚は20分

ここで一つ伝えたいのは、30分連続して高速視点切り替えをやらなくてもいいのです。
10分を三回とかでもいいし、もっと細かくわけてもいい。

こんなのやってたら、当初の一時間ぐらいのトレーニングタイム越しますよね？
だから、通勤、通学の時やたらキョロキョロして見ててください。その過程にある様々な
ものを。そしたら、いつもと同じ道なのに違う道に見えます。新たな発見満載になること
間違いなしです。(世間の目は気にしないで)

嗅覚も、食事の時にまず一つずつ軽く匂いを味わってから食べてみてください。
笑顔で匂いを嗅いでいれば、周りからも幸せそうに見られるし一石二鳥。

聴覚は、かくかくしかじかで今の段階では普段の生活でトレーニングはできないんです。

栄養面のこと書くの忘れてたー！みなさん、ビタミンEをどんどんとってください。
もやしにふくまれてるよ。もやし嫌いの人はコンビニででもビタミンE買って。

あのですね、しつこくて申し訳ないんですが、ほんとトレーニング続けてよ。
一週間ぐらい続けてやった気になってるやつとかいるけど、そんなのありえないから。
一ヶ月続けたらどれだけ自分が頭良くなったか実感できるはずだから。

本当は一気にトレーニング全部を書きたいんだけど、そのトレーニングをみんなは
確実にやりきれないだろう。つまり、あっさり挫折するわけですよ。
俺は、無理なトレーニングを押し付けるより、まず効果のあるトレーニングをやらせる→
効果を実感させる→やる気を出させる→新しいトレーニングを教える→
全能力UP(つまり速読もマスター)
というプロセスをたどりたいわけなんですよ。

やる気を出せっていうことは色んな本に書いてあるけど、実際は出ないと思う。
だから、まず今まで説明した簡単なトレーニングをやってください。
効果を実感したとたんトレーニングのやる気が出るから。マジで。

続きはもう少し様子を見てから公開したい。
瞑想家氏の方法論は速読をマスターするのに優秀な方法だと思う。
これから俺がやることと、瞑想家氏が提唱してることと根本的には同じことがいくつもあるよ。
彼の方法が合う人は彼の方法でトレーニングを進めていけばいいと思うよ。
俺の場合、周辺視野を鍛えるトレーニングは次の段階でやっていくから、
それに以降するまで俺の過去の書き込みをチェックして、トレーニングしてみて。

モチベーション高い人が数人いるようなので、新トレーニングを公開します。
おそらく、ファントムオリジナルのトレーニングです。同じトレーニングが本に載って
たら指摘してください。これは今までのトレーニングのワンランク上のトレーニングです。
「瞬間視トレーニング」といいます。
あなたは今パソコンの前にいますね。ふと左を見てください。はい！そして目をつぶる！！
見たものをできる限り思い出してみてください。
終了。ええ、これだけです。これの繰り返しなんですよ。オリジナルなんて呼べるかどうか。
でも、これは速読と映像記憶に直結する最大のトレーニングといっても過言では無いです。
できるだけリラックスしてやってね。リラックス法は丹田式呼吸法とかなんでもいいから。
無論、一瞬見るものはなんでもいいよ。見るものより思い出すことのほうが重要だから。
時間配分は、暇なとき常に。電車の中とかで気づいたらどんどんやってみて。

書き込んだ後に気づいた。この段階で周辺視野も鍛えねばいけない。
周辺視野の鍛え方は色々あるんだけど、何がお勧めってのはないなぁ。
俺のやってることは、常に周辺視野で物をみること。テレビみるときも、
キーボード打ってるときも。パソコンの画面と、キーボード打ってる自分の
手が同時に見える感じって言ったらわかりやすいかな？
本読んでるときも、自分の手も周りの風景も見える。俗に言う速読の目ってやつ。
とはいっても、この状態は味わったことの無い人にとっては特殊だ。
これを手っ取り早く味わえる方法があります。
個人的に訳者が嫌いなんだが、「あなたも10倍早く本が読める」って本の、
96〜98に載ってる高速学習モードってやつ。
これを友達五人に試した結果、全員が速読の目の状態を確認できた。
ただし、数分もしたら元の目に戻ってしまったがｗ
これ繰り返してると常に速読の目になれるから、かなりお勧め。
この本みんなもっていないなら、一応トレーニング教えるけど。
でも、瞑想家氏の周辺視野トレーニングも優秀だと思うから、この部分に限っては
彼のトレーニングを代用してもいいと思うよ。
ちなみに速読の目って表現は微妙に違うかもしれない。人間本来の目
といったほうが正しいのかも。
今回は視覚のトレーニングでした。次回は聴覚あたりをいきたいと思います。

何度も書き込みすいません。
周辺視野で物を見れるようになったら視覚からの脳への情報供給量が格段にUPします。
瞬間視は、視覚情報を瞬間的に与えて、即座に情報を断ち切る
ことによって、情報の処理を早めるためのトレーニングです。
トレーニングの意味書くの忘れてた。
意味わかんないトレーニングなんて誰もやりたくないよね。
説明しづらいんだが、残像ではないんだよね。瞼の裏っていうよりは、頭の上に見える感じ。
わかりにくて悪いね。とりあえず、視野の端で文字が読めるぐらいまで周辺視野鍛えて。

数は適当でよろしい。時間決めちゃうと、それを意識しすぎて失敗しちゃうでしょ？だから、
これも適当でよろしい。気になるなら、メトロノームでも買ってその音に合わせて目線
を動かすといいよ。柱時計の音でも代用できる。特に考えないで見て。

おっと、オリジナルじゃなくなってしまったｗでも、イメージを回転させたりするのは高度
なトレーニングだからまだしなくていいよ。段階踏んでいこうよ。
俺＝瞑想家だと思うのはみんなの勝手だよ。仮に俺が瞑想家氏だとする。
みんなのトレーニングになにか影響はあるのかい？
そんな無駄なこと考える暇があるんなら、トレーニングしたほうが自分のためになるよ。

高速学習モード
椅子に座って、体の力を抜いてください。
大きく息を吸い込み、吐いてください。それから目を閉じます。
体がリラックスしていくのを感じましょう。

大きく息を吸い込み、いったん止めます。ゆっくりそれを吐きながら、数字の３を思い浮かべ
頭の中でリラックスという言葉を繰り返します。これはあなたの体がリラックスしていく合図
です。すべての筋肉がリラックスしていきます。
今度は精神を穏やかにします。
大きく〜(略)〜数字の2を思い浮かべ〜(略)〜という言葉を繰り返します。
もう一度大きく息を吸い込み、いったん止めます。
そしてゆっくりと吐き出します。頭の中で１という声が聞こえます。
そうしたら、一輪の美しい花を思い浮かべてください。これはあなたが意識を集中し、
脳の潜在能力レベル---つまり、より大きな創造力と学習能力が発揮される状態に
到達した合図です。
静かな美しい場所にいる自分を創造してください。そこでは、目に入るもの、聞こえてくるもの
すべてに気持ちが安らぎます。そこで一時間ほどすごしている自分を想像しながら、
少しの間楽な姿勢で休んでください。

休めたと思ったら目をあけてくみて。それが速読の目の状態だから。
全然要約できてないとか、そんなツッコミは勘弁してね。

ワンランク上の聴覚のトレーニングも始めるよ(これもオリジナルのつもり)

音楽を聴く。それを、頭の中で再生する。これだけです。
ポイントは、ヴォーカルの声、ギターの音、ドラムの音、ベースの音も再現すること。
何回も聴いてる歌手の曲は覚えちゃうでしょ？それに楽器の音も再現するだけさ。

簡単だから、無理だと思わずにやってみて。能力開発に一番無駄なことは、
「無理だと思うこと」なんだよね。マイナス思考はゼロでいこう。
このトレーニングやる前に、自己暗示をかけよう。
「このトレーニングを早くも俺(わたし)はできてきている」と、声を大にして10回いおう。

このトレーニングの目的は音の並列処理と、想起です。
多くの人は同時に音や声を聞いてるんだけど、聞こえていない状態だと思う。
周辺視野の見えてるんだけど、見えてない状態に等しいっていったらわかりやすいはず。

今回も、すでにこれと同じトレーニング紹介してるところがあったら教えて。


日記に一時間って…。５分で十分だよ５分で！大まかな流れ書いておけば忘れない
はずだから、適当でいいんだよ。

速読の目ができない理由の一つに、「あの本はうそくさい」って自己暗示かけちゃってる
ことが挙げられるよね。まずは高速リーディングに対して肯定的な自己暗示をかけてよ。
俺はこれができるできるできる！みたいなの。
それ無理なら、別にこれを無理にやる必要はないよ。
一般に普及している周辺視野トレーニングなんでもいいから続けてやってみて。

理想的なプランを教えるのは構わないよ。これは一向にかまわないんだ。
でもね、必ず挫折するから情報を小出しにしていってるのさ。
効果を実感してから理想的なプランに入っても遅くは無いだろ？
効果実感できないままトレーニング続けても三日坊主に終わるからさ(体験済み)
まずは今まで書いてきたトレーニングを続けることから始めてよ。

それはね、脳にいつも以上に栄養が回る状態になっているからだよ。
詳しい説明はめんどいからしないけど、それは一時的なものだから。
それに満足しないで、トレーニング期間中はずっと息止め続けて。
効果実感できたなら、95さんはもう能力開発成功したも同然だよ。
その後は加速的に能力伸びていくから。ほんとに。
トレーニング中断したら元に戻っちゃうから、そのまま突っ走れや！
がんばれ。

　そんなにいくつも見るんだ。俺は二つか三つしかいつも見ないんだけどな。
なるべく楽しんで、そして要点まとめて夢日記書いてみてや。
夢日記つけてると、間違いなく一ヶ月以内に鮮明なカラーの夢になると思う。
俺は他のトレーニングも平行して行っていたからかもしれないんだけど。
　触角トレについては、触っているそれが何かわかってしまってもいい。
でも、ほんとに意識してほしいのはそれがタオルだと感じることじゃなくて、
それの手触りを感じることなのだから、目的意識は見失わないでよ。
今のところ古いジーンズは忘れておいて。
試験に有利になるというのは、ほぼ間違いないね。かなりの集中力がつくでしょう。
塾なんかに行くよりはるかに学力アップすることも間違いない。得点力じゃなくて「学力」ね。

訓練の習慣化が進んでいるはずなので、新トレーニング公開します。

まずはいつもどおりに訓練を行う。
・
・
・
夜になってあなたはもう布団の中です。電気も消しています。
目をつぶって、今日行ったトレーニングのことを思い出します。
におい、おと、見たもの、触れたものの感じを思い出します。

コショウのにおいはこんなにおいだったな〜
視点切り替えでみたものはこんな形でこんな色をしたものがあったな〜
コーデュロイの肌触りはこんな感じだったな〜

など、細かく思い出していきます。
ここ重要です↓
思い出しているときの自分の気持ちの変化を感じ取りましょう。

適当に思い出したりしてるうちに眠ってしまっていいです。
以上、いつものトレーニングをより効果的にする方法でした。

ttp://hayamimi.net/~hayamimi/roudoku/
ttp://ibunko.com/pc/main.htm

ttp://www.aozora.gr.jp/

ttp://human5.2ch.net/test/read.cgi/dame/1129913952/
http://tv8.2ch.net/test/read.cgi/am/1129875572

　

日本人の英語力がいまいち低いわけは �U？
http://academy4.2ch.net/test/read.cgi/english/1127421045/
やさしい理系数学＆ハイレベル理系数学part12
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1117363905/
センター必勝マニュアル
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1126260291/
【新課程】数学の「平面図形」対策スレ
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1131177904/
【体脱】ヘミシンク・ゲートウェイ関連スレFocus3
http://hobby7.2ch.net/test/read.cgi/occult/1132233837/
瞑想家流速読訓練スレ
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/sports/12743/1123167140/
【脳幹鍛錬】ウィンウェンガー頭は3週間で良くなる
http://life7.2ch.net/test/read.cgi/body/1116423309/
みんなで難関大数学を攻略しよう！
http://study.milkcafe.net/test/read.cgi?bbs=rikei&key=1124032692
俺の受験道
http://school5.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1125506902/

高卒無職童貞２９歳と共に東大理三を攻略するスレ４
http://human5.2ch.net/test/read.cgi/dame/1132494181/

私は、英語で英語講座をしろといっているが、
そして、ＮＨＫ講座全体的に、英語量をふやしつつあるようだが、
講座の本筋ではない、参考知識を英語ですることが多い。
それは、基本が日本語であり、英語を混ぜようとすれば、おまけの部分に
なってしまうのであろうが、これが結構難しくなってしまう。
レベルとしては、英語で講座をする、というレベルより一段高い
英語で何かをする、というレベルが、日本語で講座という一番簡単なレベルから
突然、現れる感じがする。
こういうのはどうだろう。私の基準では、講座失格だよね。
こういうことがわかっていないから、今までの講座がだめなのであり、
だからこそ私は批判しているわけだ。

私は英語モードはできていない。英語をcomfortablyに聞くことはできずに
意思的、意図的に集中して音を、意味を、とろうとしなければならない。
だからこそ、聞いている人を代表する発言ができると思うが、
「英語で講座をする」というのは英語モードを作る手段でもあり、
そういうのなしに、日本語モードの講座の中で、いきなり１００％英語モードの
部分をとってつけるのでは、リスナーはついてこれない。

そういう意味では、英会話中級のケン遠山氏の講座は、なかなかいい。
進行そのものの一部を英語で行っている。
また、シニアのための英語塾の馬越さんの講座も非常に自然でいい感じだ。
馬越さんは英語と日本語の両方を操りつつ、一方ピーターさんはすべて英語でありながら、
ゆっくりとわかりやすく話すとともに、馬越さんの日本語にもきちんと反応し、
英語で答えてくれる。

英語一辺倒ではきつくても、このように日本語交じりなら負担は軽い。
講座のレベルにもよるが、簡単な英語で難しい英語を説明し番組を進行する。
レベルによっては日本語も否定しない。
英語に慣れる、というのが習得の基本であるのなら、「教える」という視点より、
むしろ慣れることができるような趣向、工夫を考えるのが普通だ。

「読み」「書き」「聞き」「話す」の英語の４技能のうち、日本人は「聞き」「話す」
は特に弱いが、「読み」だけはかなりできると、以前は一般に考えられていたものだ。
筆者も約２０年前ころまではそう考えていたので、あるときアメリカ人の言語学者と
会談した際に、そういうことを述べると、相手はたちまち反論して「日本人はたとえば
Thomas Hardy の小説を楽しんでスラスラ読むことができますか」といった。
そこで私は、旧制の高等学校で Hardy の "Jude The Obscure" をテキストとして
習ったが、１冊の本に１年近くかかったこと思い出した。
また、学生時代だけでなく、卒業後も英語がなかなかスラスラとは読めない。
日本語の本ならナナメ読みしても大体の筋はつかめるが、英語となるとさっぱり駄目なのである。

日本人の「聞き」「書き」能力が低いことは、今さらいうまでもないが、
さしあたりわれわれにとって、より重要なのは、英語の書物・雑誌・新聞が
もっと速く読めることである。ことに英米の大学に留学する日本人の最大の悩みは、
いわゆる「アサインメント」、つまり、数百ページの所ｐもつを一両日中のうちに読んで、
そのリポートを書かされる宿題である。

最近はようやく「速読」の重要性がわが国の英語教育界においても認識され始めた。
従来の訳読法によって訓練され、大学入試という難関によって、短い文を
まるでクロスワードのように熟考するという勉強法に慣らされてきた日本の学生が、どうしたら
スラスラと「より速く読む」ようになるか、というのが、わが国の英語教育の大きな問題である。

ところが、これに対する研究、ならびにその解決法としては、まだほとんど見るべきものが
あらわれていない。

はっきりいって私は、マークシート世代、ゆとり世代、会話重視世代の
前の世代の人は読むのはかなりできたと、なんとなく思い込んでいたが、
実はこの思い込みが、35年前でも、55年前ですら、すでに
思い込みの神話であったことが、この前書きに示されている。
おそらく、このアメリカの言語学者は、日本からの留学生が本を読むことができずに
四苦八苦している姿を数多く見てきているのでこの発言となったのであろう。

さらに最近の学生は、英語力の微妙な低下と、ハングリー精神の喪失、
日本語環境の拡大によって、アメリカの大学でやっていける英語力を獲得できずに、
門前払いされるケースが増えているのではないかと危惧している。
昔は、とにかく日本を遠く離れて、期待を背負って来たわけだから、
悲壮感をもって取り組んで、助けを借りながらも、とにかく卒業することが
できたのだろうが、今ではそのような我慢を強いる環境も減って、
日本人は、英語力がないゆえに簡単に弾き飛ばされているのではないかと思う。

いまさら昔には戻れない。根性論は通用しない。
よって、この日本人の学問における危機的状況を打破するためにも、
日本の訳読法に基礎をおく学習法を１８０度転換すべきときが来ているのだ。
この速読法は今では完全に廃れてしまったようだ。
それは方法論の完成度の問題もあるだろうし、多少の主導権争いも絡んでいるようである。
しかし、根源的な問題はそこにはない。現在の英語教育の基礎である文法シラバスにのった
英文解釈重視の学習法が、そこの浅い英語力しか形成していないことが問題なのである。
会話から入り、やさしい英文にたくさん触れ、そこから難しいものへと
積み上げていく、自然の理にかなった学習法を導入することが、
英語への抵抗感をなくし、８割以下の理解でも、どんどん進んでいける
教育法への転換が今求められている。

英語の学習方法で、「赤ちゃんのように学ぶ」というものがあり、
これを唱えると、必ず発せられるのが、「そんな方法では、普通の学習者は、
時間がぜんぜん足りない。よってナンセンスである。」というものである。
今日の日向さんのサイトでは、それに加えて、あらゆる理論武装で否定的な議論を
展開されておられるが、やはり、タメにする議論の域をでないと思われる。
結局、言語習得は不可思議なものだ、というところに落ち着いているのだ。

日向さんの結論は、「反復訓練こそ言語習得の根本である。」だ。
つまりは、つかみきれない本能的な能力に重きを置くのではなく、
さりとて「知識つめ込み型教育」も否定して、その中間物的に
「反復訓練こそ重要である」ということのようだ。

私は、いろんな工夫や反復訓練もいいが、基本は「赤ちゃんのように」
というのは間違っておらず、一番の基本的な方法であると考える。
「赤ちゃんのように」というのは、要するに「文字のない」「音声」による
言語習得過程ということに尽きると、考える。そして、これこそ根源的言語習得行為であり、
そこに基本を置かなければ、言語は習得できない、とも考えている。
逆にいえば、そこを基本に、先に教えれば、簡単に習得できるということだ。

日本の英語教育の対極に位置する、方法論だ。
文法＞語彙などの知識＞リスニング・会話
という順序で、重要度で、学ぶがゆえに、習得できないのが日本人である。
やっかいなことに、文字があるからこそ、それに頼ってしまう。
日本人に英語を習得させるには、文字を捨てさせることなのだ。
時に欠如は大いなる力になる。それに集中するがゆえに、最大限の結果が得られる。

私の思考は、欠如の賜物である。

訂正で、耳が聞こえない人も言語は習得できるし、
逆に読む能力に秀でる可能性もあるかもしれない。
繰り返すが、集中力が非常に大事。余計なものを見ない、見えない。
これしかない、となれば人間は非常な能力を発揮する。

それでも普通に言語を習得するには、文字は、浮き輪であり手すり。
時に、水を飲んだり、こけたりしながらも、教師が、補助輪代わりに
いつでも支えながら、教えることができれば、すぐに覚えるだろう。

言語は、生活の中では「１度で覚えてしまう」のが基本ではないかと考える。
反復は、習得の基本というより、よりうまく自然になるための過程だと考える。
言語習得というのは、日本人が考えるより、「恐ろしいほど」ずーっと簡単である、
というのが私の結論だ。
モノリンガルの外国の言語学者が考えるよりも、もちろん簡単だろう。

文法とか、資格試験とか、またそういうのだけではなく、
英会話学校なんかでも、日本人は英語を「勉強する」という取り組みをし過ぎである。
同じことを言っているが、「英語を使う」という考え方がない。
つかえる日を夢見てシコシコやっているのか、勉強する自分がループしているのか、
試験対策の本とか、そういうのに取り組みつづける。
だが、生の英語に触れる機会を、作っていかなければ、向上は見込めない。
日本人は勉強しすぎを反省すべきなのだ。
勉強している分のいくらかを、生の英語にあたる時間に振り分けるべきだ。
その橋渡しはそれなりに必要だろうが、生の英語を素材にしているテキストを
利用することからはじめれば、いいだろう。

たとえば、TIMEを読んだり、CNNを見るときに、その内容にはまったく興味もなく、
英語の勉強のために見てやっている、という気持ちになっていませんか？
私としては、そういう人が増えてほしくない、という思いがあります。
またそういう姿勢だけでは、英語すら上達しないと思います。
世界で起こっている出来事に、興味を持ち、理解しようとする姿勢が、
英語上達にも、国際化する世界にすむ国際人にとっても、必要です。

今まで私は、基本的に底辺の英語力の引き上げに視点を置いて発言してきましたが、
今回は、英語ができる人に対する訴えになっています。
そこではハリポタも、多少悪者扱いになってしまっているかもしれません。
でも、英語学習において、わたしがハリポタを大きく評価していることは、
私の書き込みを読めばわかりますよね。

私は、英語は簡単である、と洗脳するつもりです。
簡単であるから、みんなもう一段上のレベルを目指せ、といいたいです。
方法論も示したいと思います。もうすでに、かなり示してはいますが。

だいたいリスニングができない、なんてものはありえないと思っています。
そのことを示せれば、日本の英語学習者をかなり救えると思います。

　生物については、化学と違い受験レベルではないようなので、そのつもりで書きます。
ただ、俺は高校時代にかなり突っ込んで勉強していたので（先生から個人的に本を借りて読んでいたりした。）、
基礎レベルの勉強の仕方が合わないかもしれません。他の人のスレも参考にしてください。（実は俺が立ち上げた）
「生物選択者集まれ」という会議室が参考になるかも。　
　まずは、全体像をつかむ必要があります。チャート式と図表（どこのでもいいと思います）を読み進めていきます。
この時に特に実験のところを重視して読んで下さい。どのような仮説のもとでどのような実験をし
、結果からどのように結論づけたか、そしてどのような意義があったのか。この考え方に慣れていくことが重要です。
１通り全体像がつかめたら、「標準問題精講」（旺文社）をやることを勧めます。内容的には古さを感じなくもないですが、
生物の試験問題に慣れる意味で有効です。記述問題もしっかりと解答をつくってください。答え合わせの時は解答を自分の手で写してください。
生物、ひいては科学の考え方、言い回しが身につきます。ここでも実験を重視する必要があります。ここまできたらいよいよ本格的な問題演習にはいります。
過去問（東大に限らず）、いろいろな問題集の中の考察式の問題にひたすらあたります。
とはいっても１問１問を大事にして下さい。この時に、並行して字数の感覚もつけましょう。
「〜〜とは何か」といった基礎的な問題を自分で作り、字数制限をつけて書いてみるのもいい勉強になります。
最後になりますが、遺伝子の分野は本当に頻出です。かなり突っ込んだ知識があると有利です。
　以上、自分の体験から書いてみました。参考になれば幸いです。

浅野純一３０歳レジうち

▽　模範的英文の書き方
・結論を先頭に書け！（結論→理由１→理由２→理由３→結びの小話、の順）
・シンプルに書け！　（妙な構文使うな！　SVC最強！）
・接続詞はどうしても必要な場合以外つかうな！
・妙なビッグワード（小難しい単語）使うな！

▽　日本語風英語から脱却する方法
論理の構成の仕方がまどろっこしいのは英語的ではない。
前置きが長くて本題に入る前のイントロが馬鹿丁寧なのは
英文法に沿った丁寧表現はとは違う。

随筆的に思いついたものから順番に書いていくのは
まどろっこしくて」「読むのが苦痛な」文章 ということになりがち。

1)結論から入って、2)理由付け、
3)理由付けに対するありがち、想定される反論に対する反論、
4)そして結論をもう一度簡潔に。

みんなで難関大数学を攻略しよう！
http://study.milkcafe.net/test/read.cgi?bbs=rikei&key=1124032692
瞑想家流速読訓練スレ
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/sports/12743/1123167140/
【脳幹鍛錬】ウィンウェンガー頭は3週間で良くなる
http://life7.2ch.net/test/read.cgi/body/1116423309/

☆

やはり、受験当日に「ここまでやった」と思えるかどうかだが最も重要だと思います。そこからすべて始まるでしょう。
そういう勉強をできるようになることは、高い次元になればなるほど難しいと思いますが。

僕がとった方法は、カコモンや模試の問題に置けるひねった問題を必然性（その問題に対して考えられる解法を列挙し、
その中から使用する解法の選択の理由・流れのこと）から追い直すという学習です。
これによって、題意を掴めず大失敗することはほとんどなくなりました。


No.1222

天才になるのは簡単　PART7
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1133888440/

おい調査書もらいに行くのどうするぜ？
http://school5.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1131621098/

・新数学演習
定番
・ピーターの中学生でも分かる大学生にも解けない数学問題集１・２
宿題本。まだレベルがかなり高かった頃の宿題を集めた本。当時の応募者も超ハイレベル！
・数学発想ゼミナール１・２
数オリ出場者ご用達の本。ハンガリーのコンテストの問題が分野別に配列されている。
・数学オリンピック事典
2000年までの各国のコンテストの問題が難易、分野別に配列されている。膨大な量。
・Problem-SolvingStrategies
ドイツ代表のトレーニングに使用された洋書。分野別。
・OLMPIAN
数オリ財団が年に３回発行している小冊子。
日本代表向けの課題、テスト問題や、数オリ出場者向けの通信教育問題がある。


808 名前：名無しさん [2005/11/22(火) 16:34]
雑誌その他
・MJ4
乙会の東大理系数学。乙の中では最もレベルが高いが挙げられた教材の中では一番簡単。
・宿題
大学への数学に毎月１題掲載。数学がやや得意な人向け。
・エレガントな解答を求む
数学セミナーに毎月１題掲載。高校レベルを越えるものが多いが、たまに、受験レベルに降りてきてくれることもある。

、大人からのアドバイス。
新数学演習やその他の問題集で数多く問題をこなし、解法パターンを習得するのと
並行して、もっと難易度の高い問題(大数の学コンや新作問題、宿題等)を
時間をかけて解くことを継続すると本当の実力がつきます。
昔の超難関大（東大、京大、東工大等）受験生はそうして、
実力をつけ合格した人が多いです。

前：名無しさん [2005/03/13(日) 04:43]
【数学参考書の選択について思うこと】
＞問題集なんて定評のあるものなら基本的にどれをやっても大差ない
大学受験用の参考書のほとんどは粗悪品ですから、どれをやっても大差ないということにはなりますが。

新数演は、編集のねらいとして、難易度の高い典型問題の習熟にあるのか、
解法の発想力を鍛えるところにあるのかはっきりしません。
ねらいが後者にあるならば、解法の発想がどこからヒントを得たのか言及がないのは問題といえます。
また、試行錯誤をしないと見つけることができない解法につき、本来ならば、何通りかの指針を示したあと、
この解法が一番適していたものとして紹介すべきところ、
あたかも数学センスで解けるとの言及しているところも、新数演の問題点なわけです。
結局のところ、使用者の多くは、問題のねらいはよく分からなかったけど、一応解答を見たし…
と、いわゆる難問集を解いたみたという自己満足に陥っているだけというのが現状だと思われます。

本来、問題集の選択としては、問題集で得られるべきものと、志望校が求める力との間に
相当因果関係が必要なわけです。
偏差値の高い大学だからといって、受験生は、いたずらに知識水準が高い問題ばかりをやる傾向にありますが、
本当に、知識水準の高い応用問題が入試に出題されているのか、検討する必要があります。
例えば、確かに、過去（90年代前半）の東大入試において、稀有の知識を基にした出題はありましたが、
最近の東大入試で求められる発想力の問題は、『誰でも知っている教科書的な知識』であるのに、
それを再構成するのが非常に困難な問題が出題されるようになってきています。
（2004年東大文理共通第１問は、教科書傍用問題集レベルにすりかえることもできる）
となれば、解答をみる限り教科書的知識で構成されているはずなのに、
一見してどんな解法を取るべきか全く見当もつかない問題を重点的に解く必要があります。

とはいえ、残念ながら、そういった問題集はあまり市販化されていませんし、
基本問題を解く際、東大型の問題に置き換えたなら…というのも無理でしょうから、
せめて、「この問題はこういう事象をきいているんだな」と演繹しつつ、
自分なりの数学の全体図を描くというか、体系化を図るべきでしょう。
（例えば、数列の箇所には、網羅用参考書にどんな問題が載っていたか、列挙できますか）
基本問題は解けて当然とすべきではなく、この基本問題で得られる基本をどう活用しようか、
基本の意義を意識しながら、基礎練習に励むことはとても重要なことです。

つまり、何の意識を持たないまま、難問集と目される問題集をただ解きっぱなしにするよりも、
青チャートといった基本参考書を意識的に学習し、基本知識を自由自在に使える体系化を図るほうが、
東大志望といえども有意義なことと言えるでしょう。

最後に、直前であってもできること
今まで使ってきた参考書の個々の問題に対して、一言ずつエッセンスを確認していくことです。
直前であっても、『既存の知識の再構成』は有効です。

古文。漢文がわからない！
http://academy4.2ch.net/test/read.cgi/kobun/985363385/

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/

問37：
a , bを正の数とし、xy平面の2点A ( a , 0 )およびB ( 0 , b )を頂点とする正三角形をABC
とする。ただし、Cは第1象限の点とする。
(1)三角形ABCが正方形D = ｛( x , y )│0≦x≦1 , 0≦y≦1｝に含まれるような( a , b )
　の範囲を求めよ。
(2) ( a , b )が（1）の範囲を動くとき、三角形ABCの面積Sが最大となるような( a , b )
　を求めよ。また、そのときのSの値を求めよ。 　　　（東大　1997）

解答：
(1)C( p , q ) とおくと、△ABCは正三角形なのでCはBを中心にAを±60°回転させた所
に位置する。もっともCは第1象限の点なので、もし直線AB下になるとすれば、Cは
A、B、０通る円＝ABを直径とする円　の内部に含まれることになり∠ACB ＞∠AOB = 90°
となり、△ABCは正三角形を形成しない。よってCは直線ABより上にあるから、
ベクトルBCはベクトルBAを＋60°回転させたものであり、数式で書くと
( p , q-b ) = R(＋60°) ( a , -b ) = ( (a + √3・b)/2 , (√3・a - b)/2 )
∴p= (a + √3・b)/2　 , q = (√3・a + b)/2
求める条件は、3頂点が正方形D内に有ることが必要十分であるから
0≦a≦1 かつ 0≦b≦1 かつ 0≦ (a + √3・b)/2≦1 かつ0≦ (√3・a + b)/2≦1
これを図示して解答を得る。（図は略）

解答：
(2)△ABCは一辺AB = √(a＾2 + b＾2)の正三角形であるからS = √3/4 ･(a＾2 + b＾2)　。
点( a , b )が(1)で示した範囲を動くときの√(a＾2 + b＾2)　つまり点( a , b )と原点と
の距離が最大になるようなを求める。点( a , b )が動く範囲はにy = x関し対称なので
y ≧ xの範囲で考えれば十分であるが、これは図より( a , b ) = (√3 - 1 , √3 - 1)の
ときか( a , b ) = ( 2-√3 , 1)のときを考えれば十分である。いずれの場合も
a＾2 + b＾2 = 8 - 4√3を得るので、Sが最大になるのは( a , b ) = (√3 - 1 , √3 - 1)
又は ( 2-√3 , 1)又は( 1 , 2-√3 )の時で、この時S = √3/4 ･(8 - 4√3)　= 2√3 - 3を得る。　（答）

解説：
本問のポイントは正三角形という状態の数式化としてのもっとも初歩的な捉え方
「ベクトルX とベクトルYが正三角形の二辺を形成する
⇔ベクトルY = R(±60°)・ベクトルX 」
を使うことに尽きる。他辺を60°回転してもう一辺に重なるということになれば（「」内の後者の
式）、頂角60°の2等辺三角形ということになり、正三角形であることの必要十分な言い換えであ
ることは明らかであろう。これを使えば2頂点が決まれば、正三角形の3つ目の頂点の位置を求め
られるということである。
尚、（1）の解答でR(θ)はθの回転行列を意味し、ベクトル( p , q-b )　、( a , -b )　など
は縦に書いて欲しい。（列ベクトルで表記すること）

　１．志望校を京大と決めているならば、なるべく早く京大の過去問を熟読・精読し、京大入試と現在のあなたとの具体的な距離を早急に把握した方が良い。

　２．「来年の入試で合格点を取る」ことから逆算し、「今、具体的に何が必要か？（また、何が不必要か？）」を常に自覚する。
この“逆算による具体的課題の設定”は大変重要である。

　３．初歩的な勉強が遅れているとしても、必要以上に教科書的な例題等にこだわらない。当面は学校の定期テストで高得点
をめざす。学校のテストで高成績を維持できれば、教科書的学習は十分であろう。

　４．入試では、難問を含むすべてを中途半端に解くよりも、初級から中級くらいの問題が十二分に(ミスもなく完璧に)解けるこ
との方が重要。従って、京大を目指すとしても、まずは、「京大入試における中級レベルまでを十二分に身に付ける」ことに重点を置いた方が良い。

　５．多くの知識のインプット(正確な記憶)も必要だが、「なぜ、このような結論(解答の展開)になるのか」を常に意識すべし。数
学・理科だけでなく、英語や現代文についても須らくいえることだ。例えば、数学の解答の際には、「なぜ、ここでこのような展
開をしているのか」といったことを、自分自身で十分に自覚すべきだ。英文和訳では、「いかなる英文の構造が、どのような“特
定の”読み方（和訳文）を指示しているのか（導いているか）？」に注意する必要がある。いずれも、“単なる機械的な学習”では不可能なことだ。
　６．あくまで入試問題が解けることが目的なので、「きれいなノート作り」など、勉強の作業自体が目的とならないようにする。
また、“完全主義”に陥らないように。

　７．大学（大学生活）は奥の深いものなので、たとえ希望通りにならなかったとしても悲観することはない。大学進学時に限ら
ず、そもそも人生の選択にAll or Nothingという判断枠組みはナンセンスである。例えば、“京大に進学しなかったがゆえにめぐ
り会えた友人や経験”も、厳然と存在するのだ。

ｻｸだ

http://sakura01.bbspink.com/test/read.cgi/ascii/1137773268/