ヒキ板輪読会〜複素関数論〜

―輪読って何？
みんなで読んで、ここわからん。ここどう解釈した？とか話すアレ。別名挫折防止。

テキスト：『岩波講座現代数学への入門　第２巻　複素関数入門』　神保道夫(著)
ヒッキー同士で読み進めていくスレです。

備考：http://life7.2ch.net/test/read.cgi/hikky/1107421013/480

関連スレ
ひきこもりでも数学やるだろ？
http://life7.2ch.net/test/read.cgi/hikky/1107421013/

はい２げっと

テキスト
ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4000068741/qid=1127332375/sr=1-3/ref=sr_1_10_3/249-1123643-9301166

5？

やっぱり俺も図書館いって探してみよ。

>>1
輪読会には直接参加しないけど
たまに顔出して回答できそうなのがあったら
してみるよ。

参加者募集中でっす。
第一回輪読会は、いつになるかは、今んとこ未定でっす。皆さんの本の用意が整い次第近いうちに。
トップバッターは誰かも、まだ未定。
何ページやるのかも未定。
とりあえず、参加者募集中でっす。

ちなみに輪読はまだはじまってません。
まだ手元に本がないから、少なくとも26日（月）以降

いま参加に名乗りあげてるのは二人で、
途中参加おｋ、突っ込みだけの参加もおｋ。

参加者のレベルは：
・ヒキ数学スレ>>477　定番本ろくに読めずに挫折中
・ヒキ数学スレ>>479　クライツィグ、平治、石村園子

輪読のきまりとかは>>1の関連スレの469以降に色々あるけど
まだ固まってない。意見募集中

>6のように御意見番（もしくは先生役）としての参加もお待ちしてます。

■数式の書きかた（案）
基本的に↓を参考にしてください。
難しくないので一度は読んで、極力統一しよう。
　掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
　http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/

でも複雑な数式になると見辛いし書きづらいので、
TeXの知識があるならMimeTeXなどで画像にした方が見やすい。
　複雑な数式っていうのは、たとえば下付文字やΣの多用、行列。
知識がない場合はそのままでok。
　見辛いと思った誰かが直せばいいので。

数学記号の入力の仕方は以下を参考に↓
　ＰＣユーザの為の数学記号検討委員会
　http://simfan.cn1.jp/mathmarks/index.htm

ちょっと調べてみたところ『数式エディタ』というものがあるようですね。

高校数学の基本的な計算問題をTeX形式ファイルで作成するソフト「MathTeX」v2.13
http://www.forest.impress.co.jp/article/2002/07/09/mathtex.html

ってことは初等関数とかは、コレで大丈夫ですね。
テキストには線積分とかインテグラルに○書くやつとか出てくるんですかね？まだ、テキスト未見だからわからんです。

テフかぁ。久しぶりに使いたくなってきた。どっかで落として来ようかな。

偉そうだったらごめん。あとなにか書いておくべきことってあるかな？
質問とかお願いします。

とりあえず見分けつけるためにコテハン入れた。
（でも過剰な馴れ合いは閉鎖的になるから、しないでいよう。）

本は火曜日以降になるっぽい。もう一人の人は月曜日らしい。

ごめん。木曜日以降になるっぽい。

長くなりそうな数式は、てふで文書化して、それを画像にしてどっかにうｐすれば良いのかな

いいとおもう。でも時間がないときは
後からうｐしたりとか臨機応変に輪読優先でいきたいなぁ。

画像とかpdfのうｐはhttp://atwiki.jp/に目をつけてる。
wikiでページ編集・アップロードが自由で、無料、容量制限もないみたい。

早速作ってきたのね。atwiki

なんかはしゃぎすぎでごめん。

実際の輪読題一回はいつ頃になるだろうか？
大学だと半期授業なのかな？それだと十月で丁度いい気もするけど

内容は半期授業−αって感じかなぁ。
東京大学は2年後期・3年前期に基礎をやってて、
>>1の第5・6章(＝終章)は3年後期の内容なんだけど、
目次をみるかぎりだと東大ほど突っ込んでなさそう。
ttp://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/~gakubu/syllabus.html

第1章は簡単だろうから、最短で1日(金)かな？

1日後（金）に第一回をやるってことね。
でも一章丸ごとかぁ。ついてけるか心配だよ、正直ね。ヘタレだもんorz

章が終わった後に多分演習があると思うけど、それはどうしよう？

最短で10月1日（金）に、1章を分割したやつのうちの第一回ができるかな、って意味だった。
時々日本語がおかしくなるorz

>演習
演習は本文で書ききれなかったことをやったりするからやったほうがいいよね。
でも、ここからここまでってやると、最後の問題ほど難しいから負担に偏りができるし、
2や3で割った余りで振り分けるのも、前の問題を利用することが多いから詰まりそうだし・・。

講義とは別の進行で、一個か二個ずつぐらいを交代で解いていくのがいいかなぁ。
あとは回答期限を決めて、駄目なら駄目で考えた過程とか質問を書くことにしたらスムーズに回るかも。

反論よろしくおねがいします

了解。では、とりあえず第一回は１０月１日（を予定）ということで。
ページ数はテキストが手元に届いてから練り直そう。

>演習
後者のほうが良い様に思う。
章終了後、１日程時間を空けて各々が問題を解く。

解けなかった問題は、問題文自体を書き込み、広く意見を求める。
（たぶん↑すると必然的に全問書き込むことになるのさ。だって俺がいるもん・・・orz）

ある程度、演習のめどがついたら、次の章を開始する日を決める。

どうだろうか？

>演習
後者は「問題の振り分けを2の余りとかで行う」のことかな？
それで演習も章の一つみたいに見なして進めると。
たしかに演習と講義が同時進行だと作業が複雑化するかもしれないので、それがいいとおもう。

ああ、すみません。
後者は、「回答期限を決めて、駄目なら駄目で考えた過程とか質問を書く」を指します。

割り当てを決めちゃうと、俺はきっとそこだけしかやらなくなるので、割り当ては止めて、
各自解いてその結果を話し合いましょう

て、ことが言いたかったのです。すみません、読解力と表現力が乏しいのもヘタレな証拠です。

いや、自分でも書きながら解りにくいかなって思ってた。ごめん。
・回答期限を決め、各々が演習問題すべてを解いてみる。
　回答期限の時間になったら、駄目なら駄目で考えた過程とか質問を書いて、皆であれこれ解き合う。
ってことですね。

＞俺はきっとそこだけしかやらなくなるので
俺は↑を想定してなくて、自分も怠惰的にやったかもorz。気づいて良かった。

全員が一通り解いてないと輪読の意味が無いっすね。解らなくとも問題を読んで考えておかないと。
とりあえず叩き台を出せばいいのだから、誰でもいいから一人 解答を発表して、

・正しいかどうか。
・気付いたことはないか。
・解らないなど質問のある人はないか。

を話せばいいように思う。

あとは、進行の仕方ですね。読む時間、考える時間を確保して足並みをそろえないといけないだろうけど
「今日の20:00から開始」とか時間を決めるのか。

＞「今日の20:00から開始」とか時間を決めるのか。
時間は大体決めた方が良いと思ってる。
すぐにレスできるレスは集中的に解決してった方が効率的だと思うから。

俺の意見をまとめてみた↓
・演習問題が近くなったら、都合を考慮しつつ回答期限を決定
・考える（レスも作るか考えておく）
・時間になったら、皆が各問いの感想を一言ずつでもいいから投稿
（俺がズルしそうだからだけど、手間かかる？）
・誰かが回答を晒す（担当制か先着制？）
・いろいろ言い合う
・概ね解決したら、次の章へ進みながら残りの問題も何とかしていく

＞つぎに発表者は担当箇所を読んで前準備して、本を読んでない人にも該当個所がわかるように講義する。
＞指定時間内で本文は見ずに黒板に書きながら口頭で説明。
＞「明らかに」といった言葉は原則使っちゃだめで、ほぼ自明でも行間を埋める。
＞構成は、本に沿ってもいいし全く一新してもいい。口調変えたり、新しい例を出したり。


まあ、寄りあって分からないとこ教えあうとか、こう考えたとかいうくらい
なら別にそこまですることもないので蛇足で言うけど。―というわけでちょっと聞き流してくれ。

これはそこそこ重要な希ガス。
「本文は見ずに」黒板で講義するわけだけど、それはまさに本をテクストとして位置づけて、自分で咀嚼して
消化したものを発表するわけだからね。本文を換骨奪胎とまではいかなくとも新たに自分で生みなおす試みだから。
構成を変える、新しい例をだすというのも、その考えに近い。自分の表現したいもの（考えたもの）は
自分のレトリックで表現しますから。
「構成」も「（自分の）言いたいこと=情報」のメタ情報になりうる。「意味」の一つだってことだな。

該当箇所を読んでない人にもわかるように説明っていうのも相手へのインプットとして正しい形式だとおもう。
自明なことを「明らかに」で省かないっていうのもｲｲね。そりゃなんでもかんでも説明しなきゃいけないとなるのは
無理だけど。一般にこう言われてるからこうみたいなのはね。

うぎゃぁぁ、えげつない長文・・ｽﾏｿ読み飛ばして。

参加者募集中！！

お、俺、ついていけるか心配になってきた。
超低レベルだなDQNだし・・・

俺を助ける人ら募集中

参加者募集！！age

輪読会開始時間はなるべくなら夕方から夜中にかけてがいい。
朝と、昼は寝てるので・・・
まぁ、直さなきゃいけないからそれでもいいのだけどｗ

連投
ヒキ板内の大学スレでも宣伝していいかな？

石村園子はレベル低すぎじゃね？

何で複素関数論なんだ？
複素関数論をやるには微分積分の基礎がわからないと何もならないと思うが。

それとも、微分積分の基礎は習得したことを前提としているのか？

>>34
あ痛ーす！！やっぱ言われてもうた。
ということで俺の代わりに輪読に参加してくれる？
俺はこっそりロムるから。

>>36
無理だわ。テキストが無いし。
開催まで時間あるんだったら学校の図書館から借りてこられるが。

それと、お前も参加しる！
レベルとか気にするな！

>レベルとか気にするな！
じゃあ>>34みたいなこと言うなよｗ

すまそ

>集まる時間について　>>32
他の人の意見もきぼんぬ。
俺の生活時間も、昼起きて朝寝てるけど治してもおｋ。

>>37
>>18-21で10月1日かなって話してたんで一週間は時間あるよ！
あと途中参加も歓迎おｋ。

>>35
テキストには「高校程度の入門から説き起こし，（略）」って書いてあるから
向上心があれば読めるかなって思ってるけど、あまいかなぁ・・ｏｒｚ
微分積分の基礎はどれぐらい必要だろ？
傍らに解析入門おいてやったら大丈夫な気がする？

>>40
どこまでやるかによると思うよ。
複素積分まで行くんなら少なくても高校レベルの積分できないとかなり辛いと思う。
とりあえず計算だけできるようになるのであればその限りではないが。

>>37->>39
励ましアリガトな。・・・ちんぷんかんぷんかも知れんが、とにかくやってみるよ。
バカにしてくれて良いから、わからないとこがあったら聞くので手を貸して欲しい。頼む！

>>41
・・・俺高校逝ってないって言うか、受験してないから、穴がありまくりなんだよなぁ
特に級数のあたり・・・そのあたりの本も借りてこよ。

どなたかテキストを手に入れたら前提知識がどのくらいか、書いてもらえると嬉しい。

せっかく進行してそうなので邪魔する気はないけど・・・

実数の解析(微積分)の知識がなくても複素解析を学習することはできるけど
なるべく実解析を知ってから複素解析の勉強をしたほうがいいと思うよ。
扱う範囲を実数から複素数にするというただそれだけのことで、実解析では成立
しなかった多くの定理が成立して、実数変数では有り得ないような事実が
目の前に広がる。その驚きと感動は複素解析を単体で学ぶことではなかなか
味わえないのではないかと思う。

大変だけど、やっぱり積み重ねって大事なんだ。

>>41
レスありがとう。
たぶん数3Cは大丈夫だと思うけど（ちなみに俺も中卒）
「かなり辛い」「後でやった方が面白い」かあ。
俺は実用よりも輪読そのものに興味があるから、輪読・解析入門編もありかなって気がしてきた。
いまはまだ小平先生の本を挫折したままちゃんと読めてないし・・。

他の参加者の人が本を読んでみて、合いそうだったら
そのまま複素関数入門をって感じかな？
で、俺は同時進行で必死こいて解析入門やる。
どうだろう。

今ちょっと調子が悪いからまた日本語が変になってるかも。
わかりにくかったら直すので指摘してね

おはようさん。ってかずーっと起きてるけど。
俺もそうしようと思ってる。
30講シリーズで、穴埋め・・・できるかな？まぁ、頑張るしかないけど

解析概論とかは？

解析概論とかは？何？

>>48
超有名な数学の本

いや、それは知ってる。高木貞治の解析概論だよね。
解析概論とかはつかわないの？って意味で捉えていいのかな？

本は明日の午前には届くぽい。

>>46
テキストは複素関数入門でおｋ？
ゆっくり解析入門からやってくのも結構惹かれるものがあるけど、どうだろ

解析入門は誰の？小平？杉浦？ラング？松坂？３０講？
杉浦以外だったら借りてこれるよ。

松坂和夫のは確かでっかい奴でカラフルな奴だったと思う。何冊かある奴。
ラングは松坂和夫が訳した奴。未見

いつかは杉浦買いたい。

ごめん。解析「の」入門って書こうとして失敗した。
「複素関数入門でおｋ？」てのは、
たとえば、52さんが道具としての複素関数が目的なら、
解析の入門を輪読するのは無駄のような気もするし、
数学科的なことが目的で、まだ解析の入門が未習だったら、有用な気がする。
でも、輪読は複素関数で、解析は一人でってのも
〆切間近の漫画家みたいに頑張れそうでいいかもしれない。

って感じで、俺はどれも一理ある方法に見えちゃうんで聞いてみた。
もしかしたら52さんもどれでもいい？

俺はヘタレなわけよ。園子ちゃんだもん
いろいろなところを曖昧にして読み進めてきてるから・・・
でも、やっぱ、いつかと言わず、わかりたいわけで。
たまたま数学スレのときはクライツィグ複素関数をやってたから、そう書き込んだんだ。
そしたら、話がふくらんだ。

えーっと、だから、基礎的な分野の輪読なら、どれでも参加したいってのが本音で、
『複素解析』が『解析の入門から』に変わっても俺としては無問題。

他の人には、迷惑だし、バカな奴だと思われるかもしれんけど・・・

仮眠しようと思って寝たら寝過ごしたorz。本は明日になる

真摯なレスをありがとう。
俺は、表現力がないから変な書き方になっちゃって、
こういうとき対人能力のなさが嫌になるんだけど、
あなたに好感を持ってるのは確かなんで
おかしなことを書いてても不安に思わないでほしい。

解析の入門からにしようか？
おれも52さんと境遇が殆どおなじで、曖昧にしてきたから、解析の入門も不安だし・・。
ただそうなったら、複素関数だから参加したいって思ってた人には申し訳ないけど、
まだ具体的にはじまってないから、許して貰えると思ってる・・・

数学板に行けばいいのに
ひきもたくさんいるよ
現役東大院（数理研）の優しいコテもいるよ

数学板でとあるスレ立ててる俺も、実はヒキ。

>>56
たしかに詳しい人が多いから良さそうなんだけど、
荒れるかもしれないって思ったんでヒキ板にした

ヒキ板でいいとｵﾓ。
「ヒッキーがやる」っていうのが趣旨というか、そこに意味があると思うので。
詳しい人が見守ってくれて助言したりしるのはそれはそれでいいけど、
レベルあがって敷居高くなったりしたら困ると思う。

数学板は・・・なんていっていいか、怖いっていうか凄いっていうか、その畏れの対象？みたいな。
だって凄い人ばっかじゃん。
対人能力無いから、教えてくれる人を怒らせちゃったら・・・とか思うとさ。
ヒキ板なら俺みたいに昼夜逆転してて亀レスでも、事情何となくわかってくれるかなって・・・

>>55
＞解析の入門
俺的には嬉しいですけど、他の人もテキストとか用意してるから
迷惑かけるわけには・・・
他の方の意見も聞きたいです。

>>60
怒らないよー
数学わかんねーから教えろスレでも
どこからやろうか？
みたいな
気が向いたら覗いてね。まじめに数学話をしたい（教えたい》人も多いから

>>61
ありがとう。たまにこっそり『くだらねぇ問題』スレで教えてもらってます。
木曜日に外に出るまで「証明の楽しみ」を読んでます。

kingスレでkingに話し掛けるといいよ

kingスレね。覚えておくよ。

明日、図書館に逝ってくるのだけど、何を借りてこれば良いだろうか？
神保の複素関数入門は借りてくるのだけど、もし『解析の入門』からの輪読になった場合、どれを使えば良いだろうか？

小林昭七の「微分積分読本　1変数」とかどうですか
ネットの輪読会とかにちょうどよさそうな感じかと。

kingは簡単なことを難解に解説にして、質問者を余計混乱させることで有名な固定。

>>65
探してみたけど、どうも周辺の図書館には無いみたい。
ごめん・・・

他はどうですか？数冊あげてもらえると助かりますけど

本、昨日は起きてたのに取りに行けなかった。今日こそ行く。
>>65
誰か詳しくて優しい人の意見が欲しいけど、そんな都合よくいないよなぁ。
数学板で評判を読む限りでは、田島一郎っていう人の本が手っ取り早く入門に最適らしい。

あと評判良さそうなのは、ハイラー＆ワナー、杉浦、小平かな
高木先生は古すぎ、小平先生のもやや古いらしい。

田島先生のは、岩波書店の『解析入門』かな？たぶん。
ハイラー＆ワナーは、シュープリンガーの『解析教程』
杉浦先生のは俺には細かすぎます。まず、字が・・・

どれも買わなきゃ手に入らない・・・くそー

>>69
古本屋で買うのはどうかな？
定番の本は誤植の修正とかも古くなるにつれてなくなるから、古本で買った方がいいとおもう。
もちろん年代とか書き込みとか匂いをチェックしないといけないけど・・。
ネット古書店（楽天、四方堂書店）使えば郵便局に行くだけだからヒキでも買えるよ。

いやさ、恥ずかしい話、先立つものがね・・・orz
小平先生のは用意できるけど・・・高木先生のは図書館に買ってくれってお願いするつもり。

先立つもの＝お金？

あとは笠原晧司先生の「微分積分学」かなぁ。
字が小さいが、地味に名著らしい。

>>
そのとおりです・・・orz
検索したけど、笠原先生のも無い・・・あー、もう！

ちょっと奮発するのはだめ？
古本屋だと1000円弱+送料振り込み手数料400円ぐらいで買えるし
ネット上の講義ノートってのも一つの手だけど

どれを買うの？

個人的には田島先生がいいかな〜と思ってる
小林先生のは数学板であまり評判聞かないから

少し検討してみるよ。
今日借りてくる複素関数が難しそうだったら、田島先生のを買って見ようと思う

おｋ。まぁ駄目だったら駄目で、他の方法考えよう。

借りてきた。読んでみた。・・・やばす。orz

なんでも聞け

>>79
じゃあ解析の入門からかな。

>>80
ありがとう。そう言ってもらえると心強い。

>>81
俺の所為でスレタイと違うことになっちゃっうな。
ホント、ごめん。
今、田島の解析入門を注文しました。

>>82
いや実を言うと俺の方が助かった・・これでよかったかな？

輪読の手順は近日中にまとめて、どこかにうｐます。

田島一郎の解析入門とどいた。とりあえず読んでる。

とりあえずage

えー。ご参考までに。。

『解析概論』輪読
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1122386530/

はじめたばっかりなんですが、人があんまりいないんで
よかったら見にきてください。質問、ダメだし歓迎。
もちろん担当も歓迎です。

>>85
いま本屋に取りに行ってきた。
俺が挫折した小平先生の本よりも、本のサイズが小さいからか
なんか大分あっさりしてるなって思った。
（一筋縄に行きそうって意味じゃないorz）
分量決めよう。

>>86
びっくりした。そこはずっとROMしてて参考にさせてもらってました。
もうすこし何とかなったら、そちらにもお邪魔しに行くとおもいます。
あの、もしよかったら、たまに突っ込みにきてください。

おう。分量決めよう。

（叩き台の案）
小節の最後に細かく入ってる「問い」は、
量がまあまあ少ないし誘導も結構ありそうだから、
講義の一部として扱うのがいいとおもう。（多いかな？）
章の最後の「練習問題」は演習問題として扱って
>>27の案どおりにやってくのがいいとおもう。

一回分は「問い」の後で区切るのがちょうどいいかな？
話もそこで区切っててるしてるみたいだから

>>87
そーですかー。大学初年級の解析をわかりたいっていう
需要は案外多いんですねー。
いずれはあの板で函数論のスレも立てたいって思ってます。
アールフォースを考えています。
ぜひわが研究所にもお越しください。お待ちしております。

　　＃輪読会は一回何ページとか、担当をきっちり決めるより、書きたいやつが
　　　どんどん書いていくほうが進みますよ。ないようかぶったって
　　　両方のせればいいんだし。あれこれ方法を考えるよりともかく
　　　だれかがスタートを切ってみませんか。やってるうちにいろいろと
　　　手は思いつくもんですよ。

とりあえずは小節毎にやっていくということだね。おｋ

俺、わからなかったら正直にわからないというので助けてください。
お願いします。

>>90
たしかМечиславさんは大学の教員さんだったと思うんですけど、いやもうなんか・・・
（解析は小平先生を読んでいたので、山本先生とか松坂先生のスレを読んでました）
>量
そうすね、量は臨機応変にやってくほうがスムーズにいきそうですね。
とりあえず>>91さんとおなじで>>89を土台にってことで、やってきます。

あー、 Мечислав先生の言ったとおりがいいかも・・・
ロムだけになりそうな気もするけど、ここが理解できないんですけどっていう質問ならできるから

>>92
そうだったらいいんですけど、違います＞大学の教員。

あ、重要な注意。
テキスト持ってない人にも参加できるような書き方を
こころがけたほうがよいと思います。

向こうの輪読会で挫折した者です。
皆さんは最後までがんがってくださいね！
　　　∧∧
　　（　 ･ω･）
　 ＿|　⊃／(＿＿_
／　└-(＿＿＿_／
￣￣￣￣￣￣￣
向こう過疎化してるんで雑談でもしにきてくれるとうれしいです。
ねるぽ

えーと、第一回（たぶん1章の§1）は
言い出しっぺの俺からでおｋ？

>>90
＞書きたいやつがどんどん書いていくほうが進みますよ。
うん、それであまり先まで決めずにやろうっていうのはあるんですけど、
かといって1、2個先ぐらいまで決めとかなかったら
俺は締め切りとか取っかかりがないと動かなくなっちゃうのでorz
他の人が同じか解らないけど、挫折防止に輪読会をしたいと思ってるんです。

>>95はそのとおりで、折角2chなんだから閉鎖的とか排他的とかはならないようにしたいなあって思ってます。
あと、もう一つ大事な「決めすぎるとて詰まる」というのは、おれも考えてたことなので慎重に、がんばって最後までやってきたいです。
最後に>>94はすいませんでしたorz

>>97
へへ。僕もテキストもってないけど、書いてあるレス
を読んでコメントしようという魂胆がありますので。。

えー。田島解析入門、僕もアマゾンで注文しました。
はじまるのを楽しみにしております。

今、必死でイプシロンN（デルタ）お勉強中・・・脳みそスポンジ・・・
始まったらいろいろ聞くと思います。

到着しました。
極限、実数の連続性、実一変数実数値関数の微分法と積分法、一様収束性
という内容ですね。これ終えた後に函数論ならそう無理なく勧められると思います。
進み具合によっては、このスレの終わりの方で、スレタイどおりにすることが
できるかも、と思います。

>>97さん。はじめちゃいませんか。

>>97 
始めて貰ってください。
担当できるかどうかわかんないけど、ついていきますから。

・・・始まってないけど質問。
ε>0　て任意だからでかい数字を取っても問題ないはず。
例２でａより小さい数字を取るのは何故？

>>102
>>95

>>102
>>102
えー2レスにわたる回答になってしまいますが。。。

例２というのは
「lim[n→∞]x_n=aでa≠0なら,ある番号mを選べばn>mのときx_nとaを同符号にできる」
ことを示させる問題ですね。(前にも言いましたがテキストを持っていない人にも
どんな問題かがわかるように書いたほうがいいと思います)

a≠0ならa>0かa<0で,まずa>0のときある番号mを選べばn>mのときx_n>0であることを
示そうというわけです。

ここで「任意の正数ε」が登場するわけですが,これは「lim[n→∞]x_n=a」
の定義の中で出てくるεです。
「任意の正数εに対して,ある番号mが存在して,n>mであるすべての番号nに対して
a-ε<x_n<a+εとすることができる」
というのが「lim[n→∞]x_n=a」の定義でした。
これを使って「ある番号mを選べばn>mのときx_n>0である」
ことを示したいわけです。

>>102(つづき)
ご質問にあるように定義の中に出てくる正数εは任意ですけど,
勝手にεを、たとえばおもいっきりでっかくε=１兆とかに決めたときに
いえることは「そのε=１兆に応じてある番号mが存在して,
n>mであるようなすべての番号nに対してa-１兆<x_n<a+１兆とできること」
であって「ある番号mを選べばn>mのときx_n>0である」ことは言えるかどうかは分かりません。
たとえばaが２兆くらいのときなら,εを１兆にしてもa-１兆は正ですから,
「ある番号mを選べばn>mのときx_n>0である」ことは言えますが,
aが１億ならεを１兆にしてしまったらa-１兆は負になってしまい,
「(ε=１兆に応じてn>mならa-ε<x_n<a+εとできるように選んだ)ある番号mを
えらべばn>mのときx_n>0である」は必ずしもいえなくなります。
(nをmよりもはるかに大きくとればx_n>0とできるかもしれませんが)
しかしaが１億ならεを五千万くらいにしておくと「ある番号mを選べばn>mのときx_n>0である」
がいえますよね。
で、正の数aがなんだか分からんのだけど任意に選んでいい正数εをどう選べば
「lim[n→∞]x_n=a」の定義を利用して「ある番号mを選べばn>mのときx_n>0である」ように
できるかなーと、思いをめぐらすと、ああ、εとしてa/2とか5a/6とか
とにかくaより小さい正数にしとけばｲｲ!!(･∀･)と思いつく。。。
と、こういうわけでaより小さい数を取るわけです。(数と数字は区別すべきものです)

テキスト持ってない人間からすると、>>102の後半部分が
どういう文脈に対する疑問なのかは問題文があってもまだわからないよ。
まずそもそも何に対する疑問なのかがわからない。
>>102を読む限りは、問題に対する疑問というよりは解答例か何かに対する
疑問だと思うのだけど。

「例2はこういう問題文で、解答例にはこうあるけど、どうしてここで
○○としてaより小さい数字を取るのは何故？」

とかしないと状況がわからない。
こういうのって書く方からするとかなり面倒だけど、省略するとテキスト
持ってない人は徐々にスレから遠ざかるようになってしまうと思う。

↑括弧内の"どうして"は削除

>>106
ぼくも問題文見るまではどんな疑問なのかサパーリだったんですが、
問題文見たら、「任意にとってもかまわんはずのεなのに、なんで
aより小と限定しとるんだ？？？」という疑問に見えました。
それは
　＞ε>0　て任意だからでかい数字を取っても問題ないはず。
のなかの「問題ないはず」の部分に現れてると思います。
で、「問題ない」のはどういう部分で、
aより小としなければ「問題ある」のはどういう部分なのかを
説明するという回答を書いておいたのです。

あなたのいうことももっともですが、スレの進行につれて
徐々に、もろもろの不都合は各自修正するように、
お互い気をつけていけばいいのではないでしょうか。
何しろこういう輪読は初めての方も多いことでしょうから
いきなりカンペキなマナーを要求するのも酷でしょう。

ああ、みなさん。すみません。
なんか御手数をおかけしているようで。
以後気をつけますので、申し訳ありません。

はい、疑問は>>108で指摘されてるようなことです。

例２
「lim[n→∞]x_n=aでa≠0なら,ある番号mを選べばn>mのときx_nとaを同符号にできる」を証明せよ

証明
∀ε> 0 , ∃ｍ , ∀n>m : a-ε< x_n <a+ε               (1)

（�@）ａ > 0 のとき
ε> 0 は任意だから、ε= a/2 にとっておいたとすれば、n > m のすべての n について
a-a/2 < x_n < a+a/2　　　　∴ 0 < a/2 < x_n < 3a/2
∴
0 <  x_n

と、本文にあります。

>>104-105、そして>>108
詳しい説明ありがとうございます。
でも、まだ、わかんないです・・・
εをaより小さい正数にとると、都合がいいのは分かるんですけど・・・
だからと言って、仮定にある∀ε＞０を限定してａ >ε> 0 にしてしまってもいい理由が分かんないです。
（って、>>108で言われちゃってるけど）

「任意の正数εに対して,ある番号mが存在して,n>mであるすべての番号nに対して 
a-ε<x_n<a+εとすることができる」

任意の正の数εってことは、全ての正の数εってことだから例えεがａより大きくても↑は言えますよね？

例２「lim[n→∞]x_n=aでa≠0なら,ある番号mを選べばn>mのときx_nとaを同符号にできる」のｍが
定義のｍと同じ場合、ε＞ ａ を考えた場合のｍも考えれますよね。
だから、この時、x_nの符号はａと一致するとは言えない。

全ての正の数εで考えてたのに、εの大きさを限定して話を終わらせてます。
それで、おｋな理由が分かんないんです。

>>111
うーむ、分かり辛い説明、すみません。

＞「任意の正数εに対して,ある番号mが存在して,n>mであるすべての番号nに対して
＞a-ε<x_n<a+εとすることができる」

＞任意の正の数εってことは、全ての正の数εってことだから例えεがａより大きくても↑は言えますよね？

言えます。

＞例２「lim[n→∞]x_n=aでa≠0なら,ある番号mを選べばn>mのときx_nとaを同符号にできる」のｍが
＞定義のｍと同じ場合、ε＞ ａ を考えた場合のｍも考えれますよね。

ここが変です。
「lim[n→∞]x_n=aでa≠0なら,ある番号mを選べばn>mのときx_nとaを同符号にできる」は
「任意の正数εに対して,ある番号mが存在して,n>mであるすべての番号nに対して,
a-ε<x_n<a+εでありかつ,a≠0なら,ある番号mを選べばn>mのときx_nとaを同符号にできる」
と言い換えられそうなのですが,そしてそのとおりなのですが,次のようにも言い換えられますよね。
「任意の正数εに対して,ある番号mが存在して,n>mであるすべての番号nに対して,
a-ε<x_n<a+εでありかつ,a≠0なら,ある番号kを選べばn>kのときx_nとaを同符号にできる」
つまり定義の文中にでてくるmと例２に出てくるmは本来無関係なのです。

つまり例２では、都合よく番号kを選べばそれより大なる番号nでxとa_nを同符号にできる
ってことを主張していて,この主張を示すためには,
幸い、定義によってどんな正数εをとってきてもある番号より大きな番号nではいつでも
a-ε<x_nとできるので,じゃあaより小なるεをとっても,ある番号より大きなnで
a-ε<x_nとできるはず。で、それ実行したらある番号より大きなnで0<x_nとなるようにできる
「ある番号」ってのがあるはずだ。

となるわけです。

↑下から2行目
「ある番号」ってのがあるはずだ。→「ある番号」ってのがあるはずだ。とすればよい。

えー、別の説明を試みましょう。

ε>aなるεを与えちゃうと
ある番号より大きな番号nでいつでも
a-ε<x_n<a+ε
とできますが,
ある番号より大きな番号nで
0<x_nとなるとは限らないですね。

でもa>ε>0なるεを与えると
ある番号より大きな番号nでいつでも
a-ε<x_n<a+ε
とできますし
ある番号より大きな番号nでいつでも
0<x_nともできます。

例２の主張はともかく,
ε>0をどんな数でもｲｲから与えたら、ある番号より大きな番号nでいつでも
a-ε<x_n<a+ε
とできるという仮定の下で、
ある番号より大きな番号nでいつでも
0<x_nとなるってことを言いたいだけだから,正なるεは正でさえあれば
どんな値をとってきてもいいのではないでしょうか？

ごめんなさい。理解が追いつかなくて
・・・ホント、ごめんなさい。遅くまでありがとうございます。

>と言い換えられそうなのですが,そしてそのとおりなのですが,次のようにも言い換えられますよね
ｋとｍどっちかでっかいほうより、でっかくｎをとっていけばいい。になりますよね？

>で、それ実行したらある番号より大きなnで0<x_nとなるようにできる 
>「ある番号」ってのがあるはずだ。
でも、ε＞ａでも成り立たないと、証明にならないのではないの？・・・違うのかな・・・orz

>>117
＞ｋとｍどっちかでっかいほうより、でっかくｎをとっていけばいい。になりますよね？
「いい」の意味がよくわかりませんけど、まあそうだといってもいいでしょう。

＞でも、ε＞ａでも成り立たないと、証明にならないのではないの？
「任意の正数εに対してある番号mがあって、mより大なる番号nについては
いつでもa-ε<x_n<a+ε」はε>aでも成り立ってますよね。
例２の問題文は
　　a>0のとき
　　「任意の正数εに対してある番号mがあって、mより大きな番号nについて
　　いつでも0<x_n」となることを示せ
といってるのではないですよ。

>「任意の正数εに対してある番号mがあって、mより大きな番号nについて 
>いつでも0<x_n」となることを示せ 
>といってるのではないですよ。

どうも､このあたりがあやふやみたいです。
輪読が始まるまで、またじっくり考えます。ヒキだから時間はあるので。

ともかく
「lim[n→∞]x_n=a」かつa>0すなわち
「任意の正数εに対して,ある番号mが存在して,n>mであるすべての番号nに対して,
a-ε<x_n<a+ε」…☆かつa>0
が成り立ってるという条件の下で
「ある番号以上で0<x_nがいつでもなりたつ」…★
ってことを言えばいい,即ち

☆かつa>0⇒★

をいえばいいだけですから☆は仮定していいわけです。
で、☆はεが1でも100でも0.001でも成り立つ命題ですから
εがa未満のときでも成り立つわけです。

そうすると
☆かつa>0が成り立つ→εがa未満のときの☆かつa>0
は真なので、もし
εがa未満のときの☆かつa>0→★
がいえたら(実際いえるんですけど)
☆かつa>0⇒★
が真になるでしょう？

うん。その論理は分かると思う。
☆とεがa未満のときの☆が同値（この場合は論理同値か）だから、論理自体は分かってるつもりなんだけど
・・・つもりなのかなぁ

＞☆とεがa未満のときの☆が同値
わかってないと思う

いま輪読の第一回を書いてるけどあと1/2ぐらいがうまくいかない・・。
ちょっと待ってください。今日中にできるようにがんばります

>>122
やっぱりか・・・

テキスト：田島一郎「解析入門」岩波全書
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4000211080/
（一応序章から）
本書は解析学の入門への入門書です。
入門の入門書というのは、従来の本が読者に岸から岸へぴょんとジャンプすることを要求していて、
渡るにはやや度胸のいる入門書だったことを憂慮したためです。
本書は、例や高校でならったことをたくさんつかって大学の数学と比較しながら見ていくことにいたします。
（* 小平先生の解析入門は実数の定義が§1で極限が§2）

さて、第一章のタイトルでもある「微積分」の根幹を成すのは極限の概念です。
（* なんで根幹なのかおれには説明できません）
まずはその根に触れるところからはじめることにして、
高校でどのように定義してきたか、二つの定義を復習したのち、
その問題点と解決策（新たな定義）を述べることを第一回としたいと思います。

（高校の定義はてきとうに読んでおｋ。あとで見返した方がわかりやすい）
★定義1（数列の極限）
　ある数列{x_n}のnを限りなく大きくしていくとき、それが定数aに限りなく近づくならば、それを以下の記号で表す。
　　　　 ・lim[n→∞] x_n = a
　または、・n→∞ のとき x_n→a

　・定義1a　このとき、数列{x_n}が収束するという。
　・定義1b　このとき、定数aを 数列{x_n}の極限値という。

★定義2（関数の極限）
　ある関数f(x)のxが限りなく定数aに近づくとき、それが定数bに限りなく近づくならば、それを以下の記号で表す。
　　　　　・lim[x→a] f(x) = b
　または、・x→a のときf(x)→b

　・定義2a　このとき、f(x)が収束するという。
　・定義2b　このとき、bを x→aのときのf(x)の極限値という。

高校までは以上の定義でやっていくことができました。
「限りなく」という言葉が既知の言葉で定義されてこなかったのに、それを認めていました。
たとえば「x_n→aならば{x_n}^2→a」という問題も「まあそうだなあ」と思えるから良しとできるわけです。

でも、明確な定義をしなければなりません。
というのはこれからは精密な議論をしていくので、曖昧な句をそのままにしておけないからです。
以下は一見いかめしい定義ですが、ひとつひとつ意味を追っていくとさほど難しくありません。

★★新しい定義
★定義1'　 (1'はいちダッシュ、いちプライムとか呼ぶ)
　数列{x_n}において、
　任意の正の実数εに対して 適当な自然数を返す（適当な自然数を選んで返す）関数N(ε)が定まり、（↓のaは定数）
　「n>N(ε)ならば|x_n-a|<ε」が真であるとき、
　（以下定義1、1a、1bとおなじ）

★定義2'
　aの“近くで”定義された関数f(x)において、
　任意の正の実数εに対して 適当な正の実数を返すεの関数δ(ε)が定まり、
　「0＜|x-a|＜δ(ε)のすべてのεに対して、|f(x)-b|＜εとなる」が真であるとき（aとbは定数）、
　（以下定義2、2a、2bとおなじ）

（* 本文中のmをN(ε)とした。小平先生の本を見たらεの関数というのをわかりやすくて良いと思ったのでぱくった。
　以降の輪読でmがでてくるかもしれないので、注釈です）

以上のように
論理用語と定義済みの修飾句と明らかな言葉だけになって「限りなく」が排除され、
すでに明らかな有限の実数や有限の自然数のみで定義されています。
これで「限りなく」も数学用語の仲間入りを果たしました。

★解説
|x_n-a|は、x_nとaとの差です。
これが任意の正の実数εよりも小さいというのは、
小学生の言い合いみたいにε=0.001よりも小さいし、ε=0.00001よりも小さいし、
ε=1/(10^1000)よりもなによりも小さくなる差で、
日本語になおすと「差が限りなく縮む、限りなく近づく」ということになります。

収束の証明をするときに一番気のいる作業は、εの決定と関数N(ε)かδ(ε)の決定です。
うまく選ぶといっても、どのように決定すればいいのか？
その例をひとつ出して第一回を終わることにします：
　問題★（小平先生の本から。。）
　　lim[n→∞]((n+1)/(n-1))=1であることを示せ
　答え★
　　0に向かってほしい|((n+1)/(n-1))-1|を単純な式変形すると、|2/(n-1)|と同値である。
　　任意の正の実数εを決めるとかならず0<a<εなるaも存在するので
（これはまだやってないけど有理数の稠密性から証明できる）、
　　|2/(n-1)|がそのaよりも小さいなら
　　単純な変形で|2/(n-1)|<a ⇔ 1+2/a<n ⇔ n>1+2/aになる。
　（絶対値を外していいのは、n→∞だからn-1<0⇔n<1なんて無視していいから）
　　ここでいよいよ、N(ε)を1+2/aよりも大きい自然数を返す関数と定めてやると、
　　収束の定義である「n>N(ε)ならば|((n+1)/(n-1))-1|<ε」がなりたつ。
　　なんたって0<a<εだから。
　　証明終わり。

★演習問題
　問題★→のように定義する。{x_n} = 1/n ,　{y_n}=1/(n^2)
　↓のようにするには、それぞれについてnをどの程度に大きくすればいいか。
　|x_n-0|<ε　|y_n-0|<ε （←εを、たとえば0.01とかする）
　目的★二つの数列の収束の速さを調べることができる。
（？なんの意味があるのかよくわからない）
　答え★
　ε=1/(10^m)のとき、{x_n}はn=10^m、{y_n}はn=√(10^m)以上のとき収束するから、
　{y_n}は{x_n}よりも結構なはやさで収束していく。

(*小平先生のではこのあと定義1'を応用しやすく換言した定理について述べていた。
そのあとコーシーの判定法(これは田島先生のは68p))

遅くなってごめんなさい。なんか変に拘って色々見直してたせいです。
集中的に質問する時間は今日の24:00からです。
（もちろんそれまでやそのあとでもおｋ）

でも、いまアクセス規制で書き込み代行の人に書き込んでもらってるので、
もしかしたらできないかもしれません。そうなったらその旨をもういっかい書き込んで貰います。。
>>120の議論はこれから読みます

>>126
>たとえば「x_n→aならば{x_n}^2→a」
は
>たとえば「x_n→aならば{x_n}^2→a^2」
かな。

全般的にすごく丁寧に書いてあって、さらに他の本との比較も
行って良いとこ取りをしているので、非常に読みやすく内容もあるね。
(N(ε)の採用などは特に良いと思う。)

質問は特になしでおｋ？

>>130
良いとこどりというか、まだ良いとこを持ってきただけだね。
＞>たとえば「x_n→aならば{x_n}^2→a^2」かな。
はい。間違いです。

ところで、へんに手を加えると伏線を潰したり内容が重複しちゃうことにきがついた。
それが>>126の「まあそうだなあ」の後に登場する予定だった例のことで、
§1では証明しないし、問題提起も中途半端だって思って消したけど、15Pで証明してました。
いちおう概要を書いておくと↓です。
　lim[n→∞]x_n=0ならば、lim[n→∞](Σ[n,k=1]x_k)/n=0
　となると、「まあそうだなあ」とはいかない。
　なんとか証明しようとしても、今までの定義ではどうしようもないのである。

>>131
＞へんに手を加えると伏線を潰したり内容が重複しちゃうことにきがついた。
その辺が難しいところですね。

lim((n+1)/(n-1)=1の証明だけど
どうして任意の正数εに対して0<a<εなる有理数をとったりするんだろう。

　　任意の正数εに対してN(ε)=2+[2/ε]とおくとn＞N(ε)なる
　　任意の自然数nに対して
　　|(n+1)/(n-1)-1|=2/(n-1)<2/(N(ε)-1)=2/(1+[2/ε])<2/(2/ε)=ε.

でいいのでは？

あと>>131で改めて挙げられた例は重要だと思う。
田島のモクロミは、厳密な証明をその場で与えるよりも
高校風の定義では説明がつかんし、そもそも真偽だってよーわからん
だろうってのを見せたかったことだと思う。
解析概論でもこの例は極限の定義を与えたあと直ちに(四つ目の例)出てきます。

参考にドゾ
　　『解析概論』輪読
　　http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1122386530/30

　　＃↑のスレ火曜日に一ヶ月ぶりに更新しました。

確かに>>127の「答え★」以降に出てくるaとN(ε)の議論は
aをεのまま行っても成立する。
小平さんの教科書持ってないんで前後の流れがわからんけど、
εからわざわざ有理数a(明記されてないけど有理数の稠密性
から云々とあるのでaは有理数だろう。)を抜き出しているのは
自然数N(ε)を導くときに有理数の範囲内で話を収めたかった
のだと思う。定義したての実数にはまだ演算や順序体の構造は
入れてないのではないかな？

有理数周辺の話は既知として実数周辺のルールを一つ一つ
決めていくというスタンスなのだと想像する。

>>132
穴を指摘してもらってすごく嬉しいです。
証明のaは、自信がなくて保留してたのをそのままにしちゃったんですけど、
ついでに問題も忘れるところでしたorz。
俺でもわかるような誤謬があるのかわかんなくて、
あえてaを入れるからには理由があるのかなって思ってたんです。
（↑みたいに率直に書いとけばよかったですね。ごめんなさい。）
理由は>>134さんの意見はメモしといて何ヶ月後かに見ることにします。

＞もうひとつの証明
[]はガウス記号ですよね。
そう単純にできるもんなんだなあ。覚えておきます。
ちなみに、小平先生も演習問題で扱ってました。
>>134
その通りで、小平先生の本はその後に演算の定義をやってます。

ところで次の輪読どうしよう？
やりたい人いますか？

わからない所があればどんどん書き込んでいって
教えあったらいいじゃないかと。識者もいるみたいだし

無理数の定義がわからない。

有理数ではない数ってことでおｋ？？？？？

>>138
テキストでは、第二章で一応の定義が出てきます。
有理数を既知とし、それをもとに無理数を定義し、
有理数と無理数をあわせて実数と呼ぶという
デデキントの方法が紹介されております。

＞ヒキ数学スレの471さん。
次回も担当しませんか？
前回担当から一週間以上あいたりするよりは
同じ人が続けて担当する方がまだいいと思います。

（´-`）.｡oO 向こうの解析概論輪読も「ひとり輪読会｣と化しつつ。。

>>140 おｋです。

面白そうなので参加します
よろしくです

デデキントの方法っていまだにわからない

>>143
まあ第二章に入るのを待ちましょう。
解析概論の付録にやや詳しく無理数論がのってます。
また、無理数論を含め、自然数から順に数を建設していく話は
　　　斉藤正彦「数学の基礎―集合・数・位相｣
　　　http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4000056344/qid=1129845344/sr=1-2/ref=sr_1_10_2/250-4711836-3949817
や、(あっちへ飛んだりこっちへ飛んだりしなくちゃ読めませんが)
　　　松坂和夫「代数系入門｣
　　　http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4000056344/qid=1129845344/sr=1-2/ref=sr_1_10_2/250-4711836-3949817
で扱われています。
前者は付録として公理的集合論にまで立ち入っています。
後者は私が管理人を務める掲示板
　　　†９−man記念数学研究所†
　　　http://jbbs.livedoor.jp/study/4125/
でも読む読んでいく予定です。
(第一章だけ読んでペンディング中だけど
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1082477703)です。
　　＃↑の解析概論スレ、十日ぶりに更新しました。
　　　　向こうのスレでも、ダメだし、質問などお待ちしております。

失礼。
リンク先を間違えて張ってしまいました。
正しくは

　　　斉藤正彦「数学の基礎―集合・数・位相｣
　　　http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4130629093/qid=1129845080/sr=1-2/ref=sr_1_10_2/250-4711836-3949817

あげ

おもすれー

うほほＷＷＷ

閉鎖します。

高校の範囲外の数学をやるのかここは？

>>150
大学初年級の解析学です。

471さんアクセス規制とかですかねえ

とうとうヒキ数学スレのほうはdat落ちしたか。

数学大嫌いだったな
今では脳が溶けてきちゃってるから3桁の足し算引き算も怪しいな

輪読はどうしますか？
最初のほうの人とかまだ見てるのかな？

ここって、複素関数論の勉強をするところなの？

>>157
複素関数論の勉強が目標で、とりあえずその準備として微積の基礎をやろうって感じ

田島一郎「解析入門」読んじゃいませんか？
輪読にするといろいろ大変なので、各自で読んでわからないところを
教えあったり問題の答えあわせとか他のところから問題持ってきて
出し合ったりとかそんな感じで進めていくのはどうでしょう？

まあ前回(第一回)の担当からもうすぐ一ヶ月ですからね。
その間担当立候補が一人も出なかったわけですから
方法を変えてみるのも手でしょう。

しかし今から>>159さんの方法をとるとして、
他のところから問題っていっても、どの話題についての問題なら
適当で、どの話題についての問題なら不適切かっていうのも
難しくないですか？たとえば

　　a>0,b>0,a=b*cos x(-π<ｘ<π)としてa_1=(a+b)/2,b_1=√(a_1b),
　　一般にa_n=(a_(n-1)+b_(n-1))/2,b_n=√(a_nb_(n-1))とすれば
　　2つの数列{a_n},{b_n}は同じ値に収束することを示せ,
　　またその極限値が(b*sin x)/xであることを示せ.

なんてのは今この時点で出してもいい問題なんでしょうか。
進行状況的に。

そうですね。
じゃあ進行速度の基準を決めて、全員がその基準ページまでは
読んでることを前提にしてそのページまでの内容で解ける問題を出すようにしましょうか。
もちろん疑問点などをきいたりするのはどの範囲でもOKってことにして
進める人はどんどん先にテキストを読んでいけばいいと思います。
テキストの問もその基準に合わせて答え合わせしたらいいですかね
（その前までに各自が問をやっておく）

こんな感じでどうですか？

>>161
じゃあ、現時点で一章一節は終わったことにして
一週間で一節ってことにしましょう。今週末までに
全員一章二節まで読むってことにして。
そうすると23週、半年弱で終わります。
今週から初めて、来年四月第二週くらいで終われます。
しんどくなってきたらペースダウンするということで。

あと分かったつもりで読み進んでも、ずいぶん昔に読んだところが
分かってなかったことに気づくこともありますんで、
疑問はさかのぼって、「あれがやっぱりわかりません。
詳しい説明だれかおねがいします｣ってのもアリにしましょう。

質問です。
例１で収束する数列は有界であることを証明していますが、
例えば数列{a_n}の各要素を
a_n=lim[x->n](1/(x-1)^2)
と定義すると、a_1=+∞となって{a_n}が有界じゃなくなってしまうと思うのですが
これはどこがおかしいのですか？

>>163
えー、まず、数列を構成するおのおのの数は「要素｣ではなく「項｣といいます。

a_n=lim[x→n](1/(x-n)^2)と{a_n}を定義するとのことですが
a_1=lim[x→1](1/(x-1)^2)となって、後に関数の極限についての
話が出てくるとは思いますが、このlim[x→1](1/(x-1)^2)
は収束しません。つまりa_1という値は+∞ではなく存在しない
ことになります。したがって厳密にはこの{a_n}は数列ではありません。
2以上の自然数nについてはa_nはすべて定義できますので
b_n=a_(n+1)とあらためて定義しなおすと、数列{b_n}は有界になります。

細かいことだけど
-π<ｘ<π
じゃなくて
-(π/2)<ｘ<(π/2)
でないの？　>>160

>>165
ああそうでした。すみません。
あるいはa>0,b>0ではなく|a|<bとでもするべきでしたね。

それじゃルートの中がマイナスになる可能性が

a_1>0でa_nが単調増加だから大丈夫じゃないかな

そうやな。大丈夫だ

>>164
ありがとうございます。
a_1=lim[x→1](1/(x-1)^2)=+∞
だけど、最後の=は発散することを表してるからそもそもa_1=+∞っていうのがまず間違いで、
更に数列の各項は全て決まった値である必要があるので{a_n}は数列じゃないと理解しました。

あと>>160もやってみました

0≦x<(π/2)だけ考える（cosx=cos|x|だから)
x=0のときa=bで全てのnに対しa_n=b、b_n=bとなりa_n,b_nはbに収束する。
x≠0のときcosx<1だからa<b
a_0=a,b_0=bとする。
0<a_(n-1)<b_(n-1)ならば、
an=(a_(n-1)+b_(n-1))/2 > a_(n-1)
bn=√(a_n b_(n-1)) < √{(b_(n-1)+b_(n-1))/2 * b_(n-1)} = b_(n-1)
(b_n)^2-(a_n)^2 = (a_(n-1) + b_(n-1))/2 * b_(n-1) -(a_(n-1) + b_(n-1))^2/4 = (((b_(n-1))^2 - (a_(n-1))^2))/4>0
∴b_n>a_n
0<a_0 < b_0 だから数学的帰納法によりすべての自然数nで、0 < a_(n-1)< a_n < b_n < b_(n-1)が成り立つ。
a_nは単調増加数列でa_n < bなのでa_nは収束する(p48定理7)。a_nの極限値をαとする。
b_nは単調減少数列でa < b_nなのでb_nは収束する。b_nの極限値をβとする。
(b_n)^2 - (a_n)^2 = (b^2-a^2)/4^nだから
lim[n→∞]((b_n)^2 - (a_n)^2)=lim[n→∞](b_n + a_n)lim[n→∞](b_n - a_n) =(α+β)(β-α) =0
よってα=β
{a_n}と{b_n}は同じ値に収束する

また、0<a_n<b_nだからcos(x_n)=a_n/b_n (0 < x_n < π/2)となるようにx_nを決めると、x_nは一意に決まって、
cos(x_n)=a_n/b_n=√(a_n/b_(n-1))=√((cosx_(n-1) + 1)/2)だから
(cos(x_n))^2=(cos(x_(n-1)) + 1)/2　となる。
cosの半角の公式より
x_n=x_(n-1)/2　が全てのnで成り立つ
∴x_n=x/2^n

a_n/a_(n-1) = (1+ 1/(cos(x_(n-1))))/2=(cos(x_(n-1)) + 1)/(2*cos(x_(n-1)))=(cos(x_n))^2/(cos(x_(n-1)))
lim[n→∞]a_n=(Π[n=1,∞]cos(x/2^n))^2/(Π[n=1,∞]cos(x/2^(n-1)) * a =(Π[n=1,∞]cos(x/2^n))/cosx * a
=(Π[n=1,∞]cos(x/2^n)) * b
Π[n=1,∞]cos(x/2^n)=sin x/xを使うと
lim[n→∞]a_n = (b*sin x)/x
以上より{a_n}と{b_n}は同じ値(b*sin x)/xに収束する

テキスト持ってない人でも大体何やってるかわかれば問題出せると思うので
一応目次を載せておきます。
第１章　極限
§１　イプシロン−デルタ
§２　数列の極限値
§３　関数の極限値
§４　数列と関数との関連
第２章　実数の連続性
§１　切断の考え
§２　上限・下限
§３　いろいろな数列
§４　コーシーの収束条件
§５　実数の非可付番性
第３章　連続関数
§１　連続関数の定義
§２　閉区間における連続関数
§３　指数関数と対数関数
第４章　導関数
§１　微分可能性
§２　平均値の定理
§３　平均値の定理の応用
§４　いろいろな例題
第５章　積分
§１　積分可能性
§２　積分の性質
§３　広義積分
§４　いろいろな例題
第６章　一様収束
§１　級数の収束・発散
§２　べき級数
§３　関数列と一様収束
§４　級数と一様収束

§２の内容です（テキストを持ってない人用）

例１　
収束する数列は有界であることを証明せよ。

例２　
lim[n→∞]x_n=aでa≠0である。このとき、適当な番号mを決めると、
n>mのすべてのnについて、x_nはaと同符号であることを証明せよ。

（問２、３）

定理１　
lim[n→∞]x_n=a , lim[n→∞]y_n=b　のとき、
(i)lim[n→∞](x_n±y_n)=a±b　（複合同順）
(ii)lim[n→∞](x_n y_n)=ab
(iii)lim[n→∞](x_n/y_n)=a/b　（ただし、y_n≠0,b≠0とする）

（問４、５、６、７）

例３　
lim[n→∞]x_n=0ならば、lim[n→∞]((x_1+x_2+･･･+x_n)/n) =0
であることを証明せよ。

例３´　
lim[n→∞]x_n=aならば、lim[n→∞]((x_1+x_2+･･･+x_n)/n) =a

（問８、９）

定義３（高校数学の定義）
数列{x_n}において、番号nを限りなく大きくすると、x_nが限りなく大きくなれば、これを
n→∞　のとき　x_n→+∞;　あるいは lim[n→∞]x_n=+∞
という記号で表す。このとき、数列{x_n}は正の無限大に発散するという。

定義３´
数列{x_n}において、任意の正の数Kに対して、適当な番号mを決めると、
n>m のすべてのnについて x_n > K
となれば、これを
n→∞　のとき　x_n→+∞;　あるいは lim[n→∞]x_n=+∞
という記号で表す。このとき、数列{x_n}は正の無限大に発散するという。

r>1 ならば、lim[n→∞]r^n=+∞

アルキメデスの公理
hが正の定数ならば、任意の正の数Kに対して、
nh>K
となる自然数nが存在する。

（問１０、１１、１２）

問２
a,bが定数で、任意のε>0に対してa<b+εが成り立つならば、a≦bが
結論されることを背理法を用いて証明せよ。

問３
すべてのnでx_n>p、かつlim[n→∞]x_n=aとする。
(1) a=pのこともあり得ることを例で示せ。
(2) 一般にa≧pであることを背理法で証明せよ。

問４
|x_n y_n - ab|は次のようにも変形できる。
|x_n y_n - ab|=|(x_n-a)(y_n-b)+a＿＿+b＿＿|
この＿＿を埋め、この式を利用して、
lim[n→∞]x_n=a , lim[n→∞]y_n=b　のときlim[n→∞]x_n y_n=abを証明せよ。

問５
lim[n→∞]x_n=aのとき、
(�@)lim[n→∞]cx_n=ca (cは定数)
(�A)lim[n→∞](x_n)^2=a^2
が成り立つ。これらはlim[n→∞]x_n y_n=abの特別の場合ともみなせることを示せ。
また、それぞれを直接に証明してみよ。

問６
式の上で(2)から(4)を導くにはどうするか。
(2)∀ε>0,∃m,∀n>m:|y_n-b|<ε　(y_n≠0,b≠0)
(4)ε<|b|/2にとっておけば、n>mのすべてのnについて|b|/2<|y_n|<3|b|/2

問７
x_n≦a_n≦y_nであって、lim[n→∞]x_n=lim[n→∞]y_n=aであれば、また
lim[n→∞]a_n=aであることを証明せよ。(はさみ打ちの原理)

問８
lim[n→∞]x_n=aならば、
lim[n→∞]{(x_1+2x_2+3x_3+･･･+nx_n)/(1+2+･･･+n)}=aであることを証明せよ。

問９
次のことを示せ。
(1) n→∞のとき、1/n * (1+1/2+1/3+･･･+1/n)→0
(2) x_n>0で、n→∞のとき、x_n→aならば、[n] √(x_1x_2･･･x_n)→a ([n] √はn乗根)

問１０
aが正の定数で、nが自然数ならば、
n→∞のときa/n→0、すなわちlim[n→∞]a/n=0
であることをアルキメデスの公理から導け。

問１１
a>1のとき、次のことを証明せよ。ただし、nは自然数である。
(1)lim[n→∞]((a^n)/n)=+∞
(2)lim[n→∞]((a^n)/n^2)=+∞

問１２
lim[n→∞]x_n=+∞ならば、
lim[n→∞]((x_1+x_2+･･･+x_n)/n)=+∞
であることを証明せよ。

他の参考書で勉強している人や既習の人も範囲とレベルがわかると思うので
問題を出したりしてください。
テキストの問は初学者の人がわかる問を答えればいいかなと思ったんですが
初学者っぽい人って俺以外に今いるのかな･･･

>>164
>>170
意味がよくわかりませんが・・・
∞は数ではない、数ではないものは数列ではない、ということでおｋですか？
>>171
前半部分の帰納法のところがちょっとおかしいような・・・
a_n>0,b_n>0→a_n<b_n→a_nは単調増加,b_nは単調減少
の順にそれぞれを帰納法で証明すればおｋだと思います。
後半部分はお見事。俺には解けませんでした。

>>178
=+∞というのは左辺に必ずlimが来て、その数列なり関数なりが発散することを
あらわしているので、この=というのは普通の等号とはちょっと違うものだと考えました。
＞つまりa_1という値は+∞ではなく存在しないことになります。
ということなのでa_1=+∞っていう書き方もいけないのかなと思って>>170を書いたのですが、
=+∞を「左辺がlimで定義されていてそれが発散して値を持たないことを意味する記号」って
考えているならこの表記は許されるのかな？
＞数ではないものは数列ではない
っていうのは同じように考えました。おｋかと･･･

それから∞に関して、章末の練習問題の５番
「lim[n→∞](x_n - y_n)=0から、lim[n→∞]x_n=lim[n→∞]y_nであるといってよいか。よくなければ、
そのことを示す例をあげよ。」
っていうのの解答も意味がわからないのですがネタバレになっちゃうから
それは練習問題をやるときまで待ったほうがいいですかね･･･

>>171はそうですね。b_n>0が先じゃないと駄目でしたね･･･

>>179
すみません^2というのを見落としてました。
lim[x→1](1/(x-1)^2)は「存在しない｣ではなく+∞です。

しかし>>178さんもおっしゃるように+∞というのは数ではないので
やはりこの+∞をa_1の「値｣とするわけにはいきません。

lim[x→1](1/(x-1)^2)=+∞ですのでa_1=lim[x→1](1/(x-1)^2)とするわけ
にはいかないということです。

>>179
あ、えーと、章末練習問題５番ですけどこれも+∞や-∞ってのが
数ではないってことに関係してます。数ではないものなのですから
そもそも足し算も引き算も(すくなくともいまのところ)ないのです。

>>181
x_n=n,y_n=nとするとlim[n→∞](x_n-y_n)=0,lim[n→∞]x_n=∞,lim[n→∞]y_n=∞
でlim[n→∞]x_n≠lim[n→∞]y_nということですか？
この場合の=は数についての二項関係で∞については定義されていないということでおｋですか？

≠→=であるとはいえない
のほうがいいかも。同じ事かな？

>>182-183
えと。
そんなかんじですかね。
>>181でいおうとしたのは
∞は数ではないので∞と∞の和とか∞と∞の差などを
考えるのは無意味だということですが、
ちょっと同じ文字を使うからややこしいのですが
「∞=∞｣だって数学的にはキチンとは定義されてないのです。
「=｣というのは案外厄介で、単に同じものというよりは
ある集合内で、どういう2つのものが「=｣で結ばれるかは、
話のはじめに規約として定義すべきものなのです。
(たとえば2つの実数が等しいというのはどういうことかわかってるとして
a,b,c,dを実数としたときの2つの複素数
「a+biとc+diが等しいとは、a=cかつb=dである｣
というのは自然に決まっているものではなく、複素数というものを
初めて考えるときに「定義｣するものです)
だから、感覚としてはなんとなく「∞=∞｣とか
「∞=∞+1｣なんてかけそうな感じですが、それはあくまで標語的なものです。
精密には∞と∞あるいは∞と実数の間には「+｣も「=｣も定義されてません。

問１１
a>1のとき、次のことを証明せよ。ただし、nは自然数である。
(1)lim[n→∞]((a^n)/n)=+∞

a=1+e (e>0)
a^n/n=(1+e)^n/n>[1+ne+(n/2)(n-2)e^2]/n=1/n+e+((n-1)e^2)/2
lim[n→∞]a^n/n>lim[n→∞]1/n+e+((n-1)e^2)/2=+∞

>>176
問９
(1) n→∞のとき、1/n * (1+1/2+1/3+･･？/n)→0

(1+1/2+1/3+･･？/n)^2 ≦ 3n

lim n→∞ 1/n * (1+1/2+1/3+･･？/n) ≦ lim n→∞ 1/n * (3n)^(1/2) = 0

>>176
問９
(1) n→∞のとき、1/n * (1+1/2+1/3+･･･+1/n)→0

(1+1/2+1/3+･･･+1/n)^2 ≦ 3n

lim n→∞ 1/n * (1+1/2+1/3+･･･+1/n) ≦ lim n→∞ 1/n * (3n)^(1/2) = 0

>>187

(1+1/2+1/3+･･･+1/n)^2 ≦ 3n

数学的帰納法

>>188

(1+1/2+1/3+･･･+1/n)^2 ≦ 3n

数学的帰納法

(1+1/2+1/3+･･･+1/n)^2
≦ (1+1/2+1/3+･･･+1/n)^2 + 2(1+1/2+1/3+･･･+1/n)(1/(n+1)) + 1/(n+1)^2
≦ 3n + 2(1+1+1+･･･+1)(1/(n+1)) + 1
≦ 3n + 2 + 1
= 3(n+1)

>>188

(1+1/2+1/3+･･･+1/n)^2 ≦ 3n

数学的帰納法

(1+1/2+1/3+･･･+1/(n+1))^2
≦ (1+1/2+1/3+･･･+1/n)^2 + 2(1+1/2+1/3+･･･+1/n)(1/(n+1)) + 1/(n+1)^2
≦ 3n + 2(1+1+1+･･･+1)(1/(n+1)) + 1
≦ 3n + 2 + 1
= 3(n+1)

age

age

>>185
>>187
いいですね
問９は>>173の例３を使ったほうが楽かな？
(1+1/2+1/3+･･･+1/n)^2 ≦ 3nはなかなか思いつかない気がします

>>175
問２
a>bだとすると(a-b)/2>0だからε=(a-b)/2と取ると、
a<b+(a-b)/2=a/2+b/2
a/2を移項してa/2<b/2
これはa>bとしたことに反する
∴a≦b

問３
(1)x_n=1/nとするとすべてのnでx_n>0かつlim[n→∞]x_n=0
∴a=pのこともありえる。
(2)
a<pだと仮定する
p-a>0だからε=p-aとすると
x_nはaに収束するのだから、あるmが存在してすべてのn>mに対して
a-ε<x_n<a+ε
a-(p-a)<x_n<a+(p-a)
x_n<p
これはすべてのnでx_n>pに反する
∴a≧p

人付き合いが極度に苦手な数学専攻者が集まるスレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1080298362/

数学者の性格・人格
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1100098363/

今、たまたまこのスレを見つけて、お手伝いしたいと思いカキコします
掲示板で数学をやるのは初めてなので、書き方にとまどっていますが＾＾；

>>179 >>182
練習問題の５番の意味について

z_n=x_n-y_n　という数列を考えると
z_nが0に収束するならば、x_nとy_nが同じ値に収束するといってよいかという意味です

この問題では　lim[n→∞]x_n=∞　のように数列が発散するとはどこにも書かれていません
ｎを限りなく大きくしていくという意味のlimと、限りなく大きくしていった時の数列x_nが発散するということの意味を混同してるように見受けられます
違ってたら、ごめんなさい

それと気になったのが、x_n=n　という使い方ですが、ｎはナンバー（1,2,3…）で使われてるので　x_n=a とかにおいた方がいいです
x_nは自然数とは限りませんし、第ｎ項のnとかぶって、まぎらわしいですので
一般的にｎは自然数の時に使うことが多いです

練習問題の５番の解答もできますが、書かないほうがいいのかな？
遅レスで進行妨げて、かえって迷惑だったかも、ごめん

勘違いしてました。m(_ _)m
>>182　は成り立たない例をかんがえてたんですね。
x_nとy_nが同じ発散の仕方をする時、極限値が同じとはいえないってことを言ってたのか。
自分はx_nとy_nが収束する値を持つと考えてたから、それで定理1を使えば証明できると考えてました
まず、前提が違ってたのか
このこと考えるとほんとにわからなくなってきた
ここで、やっと>>179の境地にたどりついたのか(ﾉ∀`)

スレ汚しすまん

そうなんです
俺も最初に見たときこれは成り立つと思ったんですが
テキストの解答を見てみると、「よくない。反例:x_n=n,y_n=n+(1/n)」となっていて疑問に思ったわけです。
x_nとy_nがnが大きいときにいくらでも近づくからlim x_n=lim y_n じゃないかと思ったんですが
>>184さんが言ったように∞どうしの等号がきちんとは定義されてないということなので
「nが大きいときにいくらでも近づくから」なんてのは勝手に自分で考えたことなので間違いであるとわかりました。

あと>>182みたいにx_nとy_nが完全に一致する場合ならlim[n→∞]x_n=lim[n→∞]y_nでもいい気もしたんですが
（これができないなら式変形も許されないので）
定義とか基本的なことをわかってないので俺がこれ以上考えても意味がないと思って
∞が出てきたら等号とか考えないことにしてとりあえず進めることにしましたｗ

§３の内容

例４
次のことを証明せよ。
x→1のときx^2→1、すなわちlim[x→1]x^2=1

（問１３，１４）

定理2
aの近くで定義された関数f(x),g(x)について、lim[x→a]f(x)=α,lim[x→a]g(x)=βであるとき、
(�@)lim[x→a](f(x)±g(x))=α±β
(�A)lim[x→a](f(x)g(x))=αβ
(�B)lim[x→a](f(x)/g(x))=α/β （ただし、g(x)≠0,β≠0とする)

（問１５，１６，１７）

問１３
x-1=y,したがってx=y+1とおくと、
x^2-1=(y+1)^2-1=y^2+2y=(x-1)^2+2(x-1)
と変形される。これを利用して、上の例４を証明してみよ。

問１４
ε-δ論法により、次のことを証明せよ。
(1)lim[x→1]2x=2
(2)lim[x→1]x^3=1
(3)lim[x→1]{(x^3-1)/(x-1)}=3
(4)lim[x→1]√x=1

問１５
lim[x→a]g(x)=βでβ≠0である。このとき、適当なδ>0を決めると、
0<|x-a|<δのすべてのxについて、g(x)はβと同符号であることを証明せよ。

問１６
lim[x→a]g(x)=βでg(x)≠0,β≠0のとき、lim[x→a]1/g(x)=1/βであることを証明せよ。


問１７
次のことをε-δ式に定義せよ。
(1)x→aのときf(x)→-∞
(2)x→+∞のときf(x)→α
(3)x→-∞のときf(x)→+∞

ほしゅ

age

§４の内容

（問１８）

(∀x:p(x))の否定=∃x:p(x)~　（←:p(x)~はp(x)の否定で、p(x)の上に線)
(∃x:p(x))の否定=∀x:p(x)~

例５
次の命題は偽であることを示せ。また、これの否定を作り、真の命題と
なるようにせよ。ただし、x,yは実数とする。
どんなxに対しても、適当なyをとれば、x=sinyとなる。

（問１９，２０）

定理３
lim[x→a]f(x)=bという極限値が存在するための必要で十分な条件は、
x_n→a（ただし、x_n≠a）である任意の数列{x_n}に対して
lim[n→∞]f(x_n)=bとなることである。

問１８
xが実数のとき、次の命題の真偽をいえ。
(1)すべてのxについてx^2>0である。
(2)あるxについてx^2>0である。
(3)どんなxをとってもsinx≦1である。
(4)sinx≧1となるようなxが存在する。

問１９
次の命題の否定を作れ。
(1)このクラスのすべての生徒は男である。
(2)このクラスのすべての生徒は、適当な努力をすれば、進級することができる。

問２０
次の命題の真偽を述べ、偽であるものはその否定を作り、真の命題となるようにせよ。ただし、文字はすべて実数とする。
(1)x>1のどんなxをとっても、x^2>1である。
(2)x>0のどんなxをとっても、logx>0である。
(3)どんなxに対しても、適当なyをとればx=2^yとなる。
(4)どんな自然数nに対しても、ある自然数kをとれば、k>nである。
(5)ある自然数kに対しては、どんな自然数nをとっても、k>nである。

練習問題１
１、次の(1),(2),(3)は、すべて
(*)　a≦b
と同値であることを証明せよ。
(1) b≦xのすべてのxについてa≦x
(2) b<xのすべてのxについてa<x
(3) b<xのすべてのxについてa≦x

２、次の(1),(2),(3)は、すべて
(*)　∀ε>0,∃m,∀n>m:|x_n-a|<ε
と同値であることを証明せよ。
(1) ∀ε>0,∃m,∀n≧m:|x_n-a|<ε
(2) ∀ε>0,∃m,∀n>m:|x_n-a|≦ε
(3) ∀ε>0,∃m,∀n≧m:|x_n-a|≦ε

３、収束する数列の極限はただ１つしかありえないことを証明せよ。（極限の一意性）

４、収束する数列の部分列は同じ極限値に収束することを証明せよ。

５、lim[n→∞](x_n-y_n)=0から、lim[n→∞]x_n=lim[n→∞]y_nであるといってよいか、よくなければ、
そのことを示す例をあげよ。

６、0<r<1の実数rとある自然数mがあって、n>mのすべてのnに対して
|x_(n+1)-α|≦r|x_n-α|
であるならば、lim[n→∞]x_n=αであることを証明せよ。

７、x_n>0,lim[n→∞](x_(n+1)/x_n)=pで0<p<1であるならば、lim[n→∞]x_n=0であることを証明せよ。

８、lim[n→∞]x_n=aのとき、次のことを証明せよ。
lim[n→∞]{(nx_1+(n-1)x_2+･･･+2x_(n-1)+x_n)/n^2}=a/2

９、lim[n→∞]x_n=a,lim[n→∞]y_n=bのとき、次のことを証明せよ。
lim[n→∞]{(x_1y_n+x_2y_(n-1)+･･･+x_ny_1)/n}=ab

１０、n→∞のとき、(2^n)/n!→0であることを証明せよ。

第２章　§１　切断の考え
なんらかの方法によって、有理数全体を、次の条件のもとに
A,Bの2組に分けることができたとする。
(�@) 任意の有理数は必ずA,Bいずれか一方のみに属しA,Bはいずれも空ではない。
(�A) Aの各数（有理数）はBの各数（有理数）よりも小である。
このような組分けを有理数の切断といい、(A,B)とかく。

切断においてA組に最大数があるか、B組に最小数があるかということに注目すると
次の４つの場合が考えられる。
(�T)　A組に最大数があり、B組に最小数がない。
(�U)　A組に最大数がなく、B組に最小数がある。
(�V)　A組に最大数がなく、B組に最小数がない。
(�W)　A組に最大数があり、B組に最小数がある。

(�W)は有理数の稠密性より起こりえない。

なんらかの方法によって、実数全体を、次の条件のもとに
A,Bの2組に分けることができたとする。
(�@) 任意の実数は必ずA,Bいずれか一方のみに属しA,Bはいずれも空ではない。
(�A) Aの各数（実数）はBの各数（実数）よりも小である。
このような組分けを実数の切断といい、(A,B)とかく。

実数の切断(A,B)においては、
(�T)　A組に最大数があり、B組に最小数がない。
(�U)　A組に最大数がなく、B組に最小数がある。
のいずれかに限る。
これを実数の連続性という。

>>175
問４
∀ε'>0,∃m_1,∀n>m_1:|x_n-a|<ε'
∀ε'>0,∃m_2,∀n>m_2:|y_n-b|<ε'
m=max{m_1,m_2}とすれば、
∀ε'>0,∃m,∀n>m:|x_n-a|<ε',|y_n-b|<ε'

|x_n y_n - ab|=|(x_n-a)(y_n-b)+a(y_n-b)+b(x_n-a)|
≦|x_n-a||y_n-b|+|a||y_n-b|+|b||x_n-a|　　　　･･･(*)
<ε'^2+|a|ε'+|b|ε'
与えられたε>0に対して、ε'^2+|a|ε'+|b|ε'≦εとなるようにε'が取れればいい。
0<ε'<1とすれば
ε'^2+|a|ε'+|b|ε'<(1+|a|+|b|)ε'
だから、ε<1+|a|+|b|の時は
ε'=ε/(1+|a|+|b|)ととれば
ε'^2+|a|ε'+|b|ε'<εとなる。
ε≧1+|a|+|b|の時は
ε'=1ととれば
ε'^2+|a|ε'+|b|ε'=1+|a|+|b|≦εとなって
全てのεに対して適切なmを取ればn>mのとき|x_n y_n - ab|<εになる
∴lim[n→∞]x_n y_n=ab

(*)のところで|x_n-a|が有界だから|x_n-a|<Kとして
(*)<(K+|a|+|b|)ε'　とやったほうが楽だったかも･･･

>>175
問５
(�@)lim[n→∞]cx_n=ca (cは定数)は
定理１(�A)で、y_n=c,b=cとした場合とみなせる
直接に証明する
∀ε>0,∃m,∀n>m:|x_n-a|<ε
|cx_n-ca|=|c(x_n-a)|<|c|ε
∴lim[n→∞]cx_n=ca

(�A)lim[n→∞](x_n)^2=a^2
定理１(�A)で、y_n=x_n,b=aとした場合とみなせる
直接に証明する
∀ε>0,∃m,∀n>m:|x_n-a|<ε
|x^2-a^2|=|(x_n+a)(x_n-a)|<|x_n+a|ε=(|x_n|+|a|)ε
x_nは収束するから有界であるので全てのnに対して-K<x_n<KとなるようなKが取れるから
(|x_n|+|a|)ε<(K+|a|)ε
∴lim[n→∞](x_n)^2=a^2

>>175
問６
ε<|b|/2とすると
n>mのすべてのnでb-ε<y_n<b+εだから、
b-|b|/2<b-ε<y_n<b+ε<b+|b|/2 が成り立つ。
これより、b>0のとき、
0<b/2<y_n<3b/2
b<0のとき
3b/2<y_n<b/2<0
∴n>mのすべてのnで|b|/2<|y_n|<3|b|/2

問７
∀ε>0,∃m_1,∀n>m_1:|x_n-a|<ε
∀ε>0,∃m_2,∀n>m_2:|y_n-a|<ε
m=max{m_1,m_2}とすると、
n>mの全てのnに対して、
a-ε<x_n≦a_n≦y_n<a+ε
だから、|a_n-a|<εが成り立つ。
∴lim[n→∞]a_n=a

>>176
問８
x_n=a+y_n(n=1,2,3,･･･)とおくと、
lim[n→∞]y_n=0のとき、lim[n→∞]{(y_1+2y_2+3y_3+･･･+ny_n)/(1+2+･･･+n)}=0
を示せばよい。
∀ε>0,∃m,∀n>m:|y_n|<ε
S_n=(y_1+2y_2+3y_3+･･･+ny_n)/(1+2+･･･+n)とする。
S_n=(y_1+2y_2+3y_3+･･･+my_m)/(1+2+･･･+n) + ((m+1)y_(m+1)+･･･+ny_n)/(1+2+･･･+n)
|S_n|≦|(y_1+2y_2+3y_3+･･･+my_m)/(1+2+･･･+n)|+|((m+1)y_(m+1)+･･･+ny_n)/(1+2+･･･+n)|　･･･(*)
(*)の2項目は、
|((m+1)y_(m+1)+･･･+ny_n)/(1+2+･･･+n)|≦(|(m+1)y_(m+1)+･･･+|ny_n|)/(1+2+･･･+n)
<((m+1)+･･･+n)*ε/(1+2+･･･+n)<ε
(*)の一項目の分子は定数なので、
∀ε>0,∃p,∀n>p:|(y_1+2y_2+3y_3+･･･+my_m)/(1+2+･･･+n)|<εとなる
q=max{m,p}とすれば、n>qのすべてのnにたいして
|S_n|<ε+ε=2ε
∴lim[n→∞]{(y_1+2y_2+3y_3+･･･+ny_n)/(1+2+･･･+n)}=0であり、
lim[n→∞]{(x_1+2x_2+3x_3+･･･+nx_n)/(1+2+･･･+n)}=aとなる。

>>176
問９
(2)
n項の相加相乗平均[n]√(x_1x_2･･･x_n)≦(x_1+x_2+･･･+x_n)/nを使う。
x_i>0だから、
n/(x_1+x_2+･･･+x_n)≦1/[n]√(x_1x_2･･･x_n)
y_n=1/x_nとおくと、
n/((1/y_1)+(1/y_2)+･･･+(1/y_n))≦[n]√(y_1y_2･･･y_n)
よってx_i>0の時、
n/((1/x_1)+(1/x_2)+･･･+(1/x_n))≦[n]√(x_1x_2･･･x_n)≦(x_1+x_2+･･･+x_n)/n
が成り立つ。
x_n>0だからa≧0であるのでa>0とa=0のときで場合分けする。
a>0のとき、例３´より
lim[n→∞]((1/x_1)+(1/x_2)+･･･+(1/x_n))/n=1/a
なので、
lim[n→∞]n/((1/x_1)+(1/x_2)+･･･+(1/x_n))=a
また、
lim[n→∞](x_1+x_2+･･･+x_n)/n=a
であるから、はさみうちの原理により、
lim[n→∞][n]√(x_1x_2･･･x_n)=a
a=0のとき、
0≦[n]√(x_1x_2･･･x_n)≦(x_1+x_2+･･･+x_n)/n
lim[n→∞](x_1+x_2+･･･+x_n)/n=0なので
lim[n→∞][n]√(x_1x_2･･･x_n)=0=a
以上により x_n>0で、n→∞のとき、x_n→aならば、[n] √(x_1x_2･･･x_n)→aが示された。

>>176
問１０
hが正の定数なら
∀K>0,∃m,∀n>m:nh>K
1/K>1/nh
ε=1/K>0,a=1/h>0とすると全てのn>mで
ε>a/n
がなりたつ。
よって任意のε>0に対して適当な番号mを決めるとn>mでε>a/nになる。

問１１
(2)a=1+h(h>0)とおく。
(a^n)/(n^2)=(1+h)^n/(n^2)=1/n^2 + h/n + {(n-1)/2n}h^2+{n(n-1)(n-2)/3n^2}h^3+･･･+h^n/n^2
{n(n-1)(n-2)/3n^2}h^3=(n-1)(1-2/n)h^3/3
n>4のとき、
(n-1)(1-2/n)h^3/3>(n-1)(1/2)h^3/3
∴(a^n)/(n^2)>(n-1)h^3/6
n→∞で(n-1)h^3/6→+∞なので、
lim[n→∞]((a^n)/n^2)=+∞

>>176
問１２
∀K>0,∃m,∀n>m:x_n>K
(x_1+x_2+･･･+x_n)/n=(x_1+x_2+･･･+x_m)/n+(x_(m+1)+x_(m+2)+･･･+x_n)/n
　　　　　　　　　　　　 >(x_1+x_2+･･･+x_m)/n+(n-m)K/n
　　　　　　　　　　　　 >(x_1+x_2+･･･+x_m)/n+(1-m/2m)K (n>2mの時)
　　　　　　　　　　　　 > -|x_1+x_2+･･･+x_m|/n + K/2
|x_1+x_2+･･･+x_m|/nは分子が定数であるから
∀K/4>0,∃p,∀n>p:|x_1+x_2+･･･+x_m|/n<K/4ととれる
q=max{2m,p}とすれば、
∀n>qで、
(x_1+x_2+･･･+x_n)/n>-K/4+K/2>K/4
∴lim[n→∞]((x_1+x_2+･･･+x_n)/n)=+∞

>>201
問１３
|x^2-1|=|(x-1)^2+2(x-1)|≦|x-1|^2+2|x-1|<δ^2+2δ
0<δ<1とすると、
δ^2+2δ<δ+2δ=3δ
δ<min{1,ε/3}ととれば
0<|x-1|<δのすべてのxで|x^2-1|<ε

>>201
問１４
(1)0<|x-1|<δのとき
|2x-2|=2|x-1|<2δ
δ<ε/2ととれば
∀ε,∀x(0<|x-1|<δ):|2x-2|<ε

(2)0<|x-1|<δのとき
|x^3-1|=|((x-1)+1)^3-1|=|(x-1)^3+3(x-1)^2+3(x-1)|<δ^3+3δ^2+3δ
0<δ<1のとき
δ^3+3δ^2+3δ<7δ
δ<min{1,ε/7}ととれば
∀ε,∀x(0<|x-1|<δ):|x^3-1|<ε

(3)0<|x-1|<δのとき
x≠1だから
|(x^3-1)/(x-1)-3|=|x^2+x+1-3|=|(x+2)(x-1)|<|x+2|δ<(δ+1+2)δ=δ^2+3δ
0<δ<1とすると
δ^2+3δ<4δ
δ<min{1,ε/4}ととれば
∀ε,∀x(0<|x-1|<δ):|(x^3-1)/(x-1)-3|<ε

(4)0<|x-1|<δ<1のとき(√x>0)
|√x-1|=|(x-1)/(√x+1)|<δ/(√x+1)<δ
δ<min{1,ε}ととれば
∀ε,∀x(0<|x-1|<δ):|√x-1|<ε

§２　上限・下限
実数の公理
次の４つの公理を満たす集合Rを実数体といい、その元（要素）を実数という。
�T　Rにおいては、0による除法を除いては、加減乗除の四則演算が
自由に行える。（これを、Rは体を作るという。）
�U　Rの元は次の大小の順序関係を持つ。
(1)任意の２元a,bの間には、
a>b, a=b, a<b
のうちただ１つの関係だけが成り立つ。
(2)a>b, b>cならば、a>cである。
�V　大小の順序関係と演算とについては、次のことが成り立つ。
(1)a>bならば、a+c>b+cである。
(2)a>b,c>0ならば、ac>bcである。
�W　（実数の連続性―デデキントの公理）Rの切断(A,B)を作ると、
Aの最大数かBの最小数かのいずれか一方だけが存在する。

定義４
実数から成る集合Mがある。
∀x∈M:x≦a
であるような定数aが存在するとき、Mは上に有界であるといい、
aをMの一つの上界という。
∀x∈M:b≦x
であるような定数bが存在するとき、Mは下に有界であるといい、
bをMの一つの下界という。
また、Mが上にも下にも有界ならば、単にMは有界であるという。

（問１，２）

定理４
(�T)上に有界な集合Mの上界には必ず最小数が存在する。
(�U)下に有界な集合Mの下界には必ず最大数が存在する。

（問３）

定義５
上に有界な集合Mの上界の最小数をMの上限といい、supMと表す。
下に有界な集合Mの下界の最大数をMの下限といい、infMと表す。

（問４）

定理５
(�T)上に有界な集合Mには上限supMが存在する。
(�U)下に有界な集合Mには上限infMが存在する。

（問５）

定理６
α=supMであるための必要で十分な条件は、次の(�@),(�A)が
成り立つことである。
(�@) ∀x∈M:x≦α
(�A) ∀α'<α,∃x∈M:α'<x
(infMも同様)

（問６、７）

定理７
上に有界な増加数列は収束する。

（問８）

定理８（区間縮小法の原理）
閉区間の列I_n=[a_n,b_n](n=1,2,3,･･･)において、
(�@)I_1⊃I_2⊃I_3⊃…
(�A)lim[n→∞](b_n-a_n)=0
ならば、これらすべての閉区間に属するただ一点αが存在し、
lim[n→∞]a_n=α=lim[n→∞]b_n
である。

（問９）

問１
(1) aがMの上界でないとはどういうことか。
(2) bがMの下界でないとはどういうことか。

問２
(1) aが集合Mの最大数であるとはどういうことか。
(2) bが集合Mの最小数であるとはどういうことか。

問３
定理４(�U)下に有界な集合Mの下界には必ず最大数が存在する。
の証明をやってみよ。

問４
supM∈Mならば、supM=maxMであることを証明せよ。

問５
m,nが自然数であるとき、次の集合Mの上限、下限を求めよ。
また、それらがMの最大数、最小数となっているかどうかをいえ。
(1) M={(1/m)+(1/n)}
(2) M={((-1)^n)/ n}
(3) M={((-1)^n)(1-1/n)}
(4) M={sin(π/n)/n}

問６
問５の(1)〜(4)について、定理６の(�@),(�A)の性質を確かめよ。

問７
hが任意に与えられた正の定数のとき、
M={nh|nは自然数},N={n|nは自然数}
とする。このとき、
(�@)Mは上に有界でない
(�A)Nは上に有界でない
とすれば、(�@)と(�A)とは同値であることを示せ。

問８
hが正の定数のときx_n=nh(nは自然数)とする。数列{x_n}を考察して、
上の定理７からアルキメデスの公理が導かれることを示せ。

問９
nが自然数のとき、2^n>nであることを証明せよ。

2^n=(1+1)^n=1+n+・・・+1>n

ほしゅ

>>201
問１５
∀ε>0,∃δ>0,∀x(0<|x-β|<δ):|g(x)-β|<ε
β>0のとき、
ε=β/2ととると、0<|x-β|<δで、
-β/2<g(x)-β<β/2
0<β/2<g(x)<3β/2
∴g(x)>0
β<0のとき、
ε=-β/2ととると、0<|x-β|<δで、
β/2<g(x)-β<-β/2
3β/2<g(x)<β/2<0
∴g(x)<0
なので適当なδをとると0<|x-β|<δでβとg(x)は同符合になる。

>>215の問１０で
アルキメデスの公理を
∀K>0,∃m,∀n>m:nh>K
として証明をはじめたけど
アルキメデスの公理は
「hが正の定数ならば、任意の正の数Kに対して、
nh>K　となる自然数nが存在する。」
だから
∀h>0,∀K>0,∃m:mh>K
しか言ってないので
∀n>mとなる全てのnについてnh>Kを先に示さないと駄目だったかも。

h>0にたいして、∀K>0,∃m:mh>K
n>mのとき実数の公理>>220の�V(2)からnh>mh>K
∴∀K>0,∃m,∀n>m:nh>K
という感じでいいのかな

§３　いろいろな数列

（実数の小数展開）

例１
lim[n→∞](1+(1/n))^n (nは自然数)

（問１０，１１）

例２
nが自然数のとき、
lim[n→∞][n]√n=1

（問１２，１３）

例３
次のように帰納的に定義される数列{x_n}の収束性を調べよ。
x_1=1, x_(n+1)=√(2x_n+1)

（問１４）

例４(一章例３´と同じ)
lim[n→∞]x_n=aならば、
lim[n→∞](x_1+x_2+･･･+x_n)/n=a

（問１５）

【問】
問１０
上の不等式({(na+1)/(n+1)}^(n+1)>a^n (a>0,a≠1))を利用して次のことを証明せよ。
a_n=(1+(1/n))^n, b_n=(1+(1/n))^(n+1)の時、
(1) {a_n}は増加数列、{b_n}は減少数列である。
(2) {a_n},{b_n}は共通の極限値に収束する。

問１１
nが自然数のとき、次のことを証明せよ。
(1) lim[n→∞](1-(1/n))^n=1/e
(2) lim[n→∞](1-(1/n^2))^n=1

問１２
x_n=[n]√n≧1なのだから、x_n=1+y_n (y_n≧0)とおいて、lim[n→∞]y_n=0を証明すれば
lim[n→∞]x_n=1が得られる。この方針でもやってみよ。

【問】
問１３
aが正の定数でnが自然数のとき、次のことを証明せよ。
lim[n→∞][n]√a=1

問１４
次のように帰納的に定義される数列{x_n}の収束性を調べよ。
（いろいろな方法で試みよ。)
(1)x_1=1, x_(n+1)=√(x_n+1)
(2)x_1=3, x_(n+1)=1+(1/x_n)
(3)x_1=1, x_(n+1)=(x_n+3)/(x_n+1)
(4)x_1=1, x_(n+1)=2/x_n

問１５
次のことを示せ。
(1) n→∞のとき、(1/n)(1+√2+[3]√3+･･･+[n]√n)→1
(2) n→∞のとき、[n]√(n!)→+∞

>>201
問１６
g(x)≠0,β≠0
∀ε>0,∃δ>0,∀x(0<|x-a|<δ):|g(x)-β|<ε
|(1/g(x))-(1/β)|=|g(x)-β|/(|g(x)||β|)<ε/(||g(x)||β|)
ε=|β|/2ととると、あるδ'にたいして全てのx(0<|x-a|<δ')で|g(x)-β|<|β|/2となるから
そのようなxの範囲で|β|/2<|g(x)|<3|β|/2　が成り立ち、
1/|g(x)| < 2/|β|　となる。
よって全てのx(0<|x-a|<min{δ,δ'})で
|(1/g(x))-(1/β)|<2ε/|β|^2
∴lim[x→a]1/g(x)=1/β

>>228
|x-β|は全部|x-a|の間違い

>>201
問１７
(1) ∀K>0,∃δ>0,∀x(0<|x-a|<δ):f(x)<-K
(2) ∀ε>0,∃δ>0,∀x(δ<x):|f(x)-α|<ε
(3) ∀K>0,∃δ>0,∀x(x<-δ):f(x)>K

>>205
問１８
(1)偽　(2)真　(3)真　(4)真

問１９
(1)このクラスのある生徒は男でない。
(2)このクラスのある生徒はどんな努力をしても進級できない。

問２０
(1)真
(2)x>0のあるxについてlogx≦0である
(3)あるxにたいしては、どんなyをとってもx=2^yにならない
(4)真
(5)どんな自然数kに対しても、ある自然数nをとればk≦nである

>>223
問１
(1)(∀x∈M:x≦a)~=∃x∈M:x>a
(2)(∀x∈M:b≦x)~=∃x∈M:b>x

問２
(1)a∈M,∀x∈M:x≦a
(2)b∈M,∀x∈M:b≦x

問３
Mの下界全体の集合をAとし、その他の数全体の集合をBとすれｂ、
p∈A,q∈B⇒p<q
(A,B)は実数の切断になっており、maxAかminBのいずれか一方が存在する。
minBが存在するとして、minB=βとおくと、
β∈Bだから、βはMの下界でないので、
∃x∈M:β>x
である。
ここで、x<β'<βのβ'をとれば、
β'>x,x∈Mだから
β'もMの下界でないので、β'∈B
β'<β
よりβ=minBに反する。
ゆえにmaxAが存在する。

>>224
問４
supMはMの上界だから、
∀x∈M:x≦supM
であるので
maxM≦supMが成り立つ。
supM∈Mのとき、
maxM<supMとすると
∃x∈M:x>maxMとなりmaxMがMの最大数であることに矛盾する。
よってsupM∈Mならば、maxM=supMである。

>>238はmaxMが存在することを前提にしてるからまずかった
問４
supMはMの上界だから、
∀x∈M:x≦supM
が成り立つ。supM∈MがMの最大値でないなら
β∈M:supM<βとなるようなβが存在する。
よって、β≦supM<βとなり矛盾するから
supM=maxM

質問です。
p89で、
定理１８
　定義域D_1で連続な関数fと定義域D_2で連続な関数gがあり、
　f(D_1)⊂D_2であれば、合成関数g・f(・は小さい白丸)はD_1で連続である。
があげられていて、その証明が以下のように書かれています。
D_1の1点cをとり、lim[x→c]g(f(x))=g(f(c))　 (1)
を証明すればよい。いま、y=f(x),d=f(c)とすれば、f(x)はx=cで連続であるから、
lim[x→c]f(x)=f(c)
∴lim[x→c]y=d　(x→cのときy→d)　 (2)
また、d=f(c)∈f(D_1)⊂D_2でg(y)はy=dで連続であるから、
lim[y→d]g(y)=g(d)　 (3)
この(2),(3)より、
lim[x→c]g(f(x))=lim[x→c]g(y)=lim[y→d]g(y)=g(d)=g(f(c))
これが目標の(1)である。■
この最後の式でlim[x→c]g(y)=lim[y→d]g(y)の等号はなぜ成り立つのでしょうか？
たぶん(2)を使うと思うんですが、x→cのときy→dだからといって
lim[x→c]g(y)=lim[y→d]g(y)としていい理由がわかりません。

>>240
x→cのときy→d。(lim[x→c]y=d)
g(y)はy=dで連続だから
ｙ→dのときg(y)→g(d)。(lim[y→d]g(y)=g(d)

ゆえに
x→cのときg(y)→g(d)
(lim[x→c]g(y)=g(d))
ですね。

g(d)がgの連続性よりlim[y→d]g(y)と一致するから
lim[x→c]g(y)=lim[y→d]g(y)
自体はまちがってないけど、なんだかわかりずらいですね。
連続性を使ってることを強調したいのかな。この解答の筆者は。

>>241
理解できました。
ありがとうございます。

age

§４　コーシーの収束条件

定義６
数列{x_n}のある部分列がaに収束するとき、このaを数列{x_n}の集積値という。

定義６´
aのどんなε-近傍にも、数列{x_n}の項が無限に多く存在するとき、
このaを数列{x_n}の集積値という。

定理９（ワイエルストラスの定理）
有界な数列には少なくとも1つの集積値が存在する。

定理１０
数列{x_n}が収束するための必要で十分な条件は、次の2つが成り立つことである。
(�@) {x_n}が有界である。
(�A) {x_n}の集積値がただ1つである。定義６
数列{x_n}のある部分列がaに収束するとき、このaを数列{x_n}の集積値という。

定理１１（コーシーの収束条件定理）
数列{x_n}が収束するためには、{x_n}が次のコーシーの条件(C)を
満たすことが必要で十分である。
(C) ∀ε>0,∃m,∀p,q>m:|x_p-x_q|<ε

定理１２
数列{x_n}が収束するためには、{x_n}がコーシー列であることが必要で十分である。

例５
数列{x_n}が0<r<1の定数rに対して、
|x_(n+1)-x_n|≦r|x_n-x_(n-1)| (n=2,3,･･･)
を満足すれば、{x_n}は収束することを証明せよ。

定理１３（コーシーの収束条件定理）
lim[x→a]f(x)が存在するためには、f(x)が次のコーシーの条件(C)を満たす
ことが必要で十分である。
(C) ∀ε>0,∃δ>0,∀x_α,x_β(0<|x-a|<δ):|f(x_α)-f(x_β)|<ε

【問】
問１６
次の数列の集積値をいえ。
(C) 1,2,3,4,5,6,･･･
(D) 1,1/2,3,1/4,5,1/6,･･･
(E) 1,2,1,2,3,1,2,3,4,1･･･

問１７
問１６の(D),(E)について定義６⇔定義６´を確かめよ。

問１８
上記(テキストp66)で、lim[n→∞]y_n=aである理由を明確に述べよ。

年明け前ほしゅ

ho

syu

ほしゅ！！

§５　実数の非可付番性

定義７
集合Aの要素と集合Bの要素とを適当に対応させれば1対1の対応がつくとき、
AとBとは対等であるといい、A〜Bと表す。

定義８
自然数全体の集合{1,2,3,･･･,n,･･･}と対等な集合を可付番集合（または可算集合）という。

定理１４
(�T)　可付番集合に有限個の要素をつけ加えるか、あるいはそれから有限個の要素をとり去るか
しても、やはり可付番集合である。
(�U)　可付番集合の部分集合は、それが無限集合であっても、やはり可付番集合である。
(�V)　可付番集合を有限個あるいは可付番個（これをたかだか可付番個という）合わせた集合は、
やはり可付番集合である。

定理１５
有理数全体の集合は可付番集合である。

定理１６
実数全体の集合は可付番集合ではない。（カントール）

【問】
問１９
集合A,Bがいずれも可付番集合ならば、直積A×Bも可付番集合であることを証明せよ。

問２０
「定理１６を証明するには、
A=(0,1]={x|0<x≦1}　が可付番集合でない
ということを証明すれば十分である。」
上のことの理由をいえ。

練習問題２
１、次の集合の上限、下限を求めよ。
M={x|x=nsin(π/n),nは自然数}

２、aは正の無理数である。任意のε>0に対し、
|a-r|<ε
となる有理数rが存在することを、アルキメデスの公理を用いて証明せよ。

３、x_n=(1+(1/n))^n, y_n=1+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+･･･+1/(n!)とすれば、
e=1+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+･･･+1/(n!)+･･･　(lim[n→∞]x_n=lim[n→∞]y_n)
であることを次の手順で証明せよ。
(1) {y_n}の収束を示し、lim[n→∞]y_n=αとすればe≦αである。
(2) 固定されたmに対してlim[n→∞]x_n≧y_m (e≧y_m)である。
(3) これからe≧lim[m→∞]y_m,すなわちe≧αである。

４、次の極限値を求めよ。
(1) lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)
(2) lim[n→∞](1+(1/n^2))^n

５、a_n=(1+(1/n))^n, b_n=(1+(1/n))^(n+1)
とするとき、a_1a_2･･･a_n, b_1b_2･･･b_nを考察し、次のことを示せ。
lim[n→∞]n/[n]√(n!)=e

６、次のように帰納的に定義される数列{x_n}の収束・発散を調べよ。
(1) x_1=2, x_(n+1)=(1/2)(x_n+(2/x_n))
(2) x_1=2, x_(n+1)=2+(1/x_n)

７、(1) 閉区間[a,b]に属する数列{x_n}の集積値はまたこの区間に属することを証明せよ。
(2) 開区間(a,b)に属する数列{x_n}の集積値は必ずしもこの区間には属しないことを例で示せ。

８、数列{x_n},{y_n}がコーシー列ならば、次の数列もコーシー列であることを証明せよ。
(1) {x_n+y_n}
(2) {x_ny_n}
(3) {|x_n|}

９、f(x)が0<|x-a|<δにおいて定義されていて、そこでつねに
|f(x_1)-f(x_2)|<c|x_1-x_2| (cは定数)
が成り立つならば、lim[x→a]f(x)が存在することを証明せよ。

１０、次のことを証明せよ。
(1) 係数が整数である１次方程式の解(根)となるような数全体の集合Aは可付番集合である。
(2) 係数が整数である２次方程式の解(根)となるような数全体の集合Bは可付番集合である。

１１、次の図を参照して、長さの異なる２つの線分AB,CD(いずれも両端を含む)上の
点も１対１の対応がつけられることを証明せよ。
(図は省略)

１２、A={x|0≦x<1}, B={y|0≦y<+∞}とするとき、A〜Bであることを証明せよ。(A,Bを図示して考えよ。)

ｈ

ｏ

ｓ

超保守

第３章　連続関数
§１　連続関数の定義
定義９
cおよびその近くで定義されている関数f(x)において、
lim[x→c]f(x)=f(c)
であるとき、f(x)はx=cで連続（あるいは点cで連続）であるという。

定義１０
区間Iで定義された関数f(x)がIの各点で連続であるとき、
f(x)は区間Iで連続であるという。

定理１７
Dを定義域とする２つの関数f,gがあって、fもgもDで連続であるならば、
(�@)f±g　(�A)fg　(�B)f/g
もDで連続である。ただし、(�B)では、Dでg(x)≠0とする。

定理１８
定義域D_1で連続な関数fと定義域D_2で連続な関数gがあり、
f(D_1)⊂D_2であれば、合成関数g・f(・は小さい白丸)はD_1で連続である。

例１
次のf(x)の連続性を調べよ。
(1)f(x)=sin(1/x) (x≠0) f(x)=0 (x=0)
(2)f(x)=xsin(1/x) (x≠0) f(x)=0 (x=0)

例２
f(x)が点cで連続でf(c)≠0ならば、cの十分近くのxでは
f(x)はf(c)と同符号である。

例３
ある区間Iで連続な２つの関数f(x),g(x)があって、Iの有理数の点xに対して
f(x)=g(x)であるならば、Iのすべての実数xに対してf(x)=g(x)である。
（つまり、Iでf(x)とg(x)は一致する。）

問１
定義１０は、Iの任意の点cでlim[x→c]f(x)=f(c)ということである。
これを∀、∃を用いてε-δ式に述べてみよ。

問２
次のことをε-δ式に述べてみよ。
(1)lim[x→a+0]f(x)=f(a)
(2)lim[x→b-0]f(x)=f(b)

問３
閉区間[0,3]を定義域として、次のf(x)のグラフをかき、その連続性を調べよ。
ただし、[x]はxを越えない最大の整数を表す（ガウスの記号）。
(1)f(x)=[x]
(2)f(x)=x-[x]

問４
次のことを証明せよ。
(1)√xは[0,+∞)で連続である。
(2)sinxはRで連続である。
(3)sin√xは[0,+∞)で連続である。
(4)√(sinx)は[0,π]で連続である。

§２　閉区間における連続関数
定理１９（中間値の定理）
f(x)が閉区間[a,b]で連続で、f(a)≠f(b)ならば、f(x)はこの区間で
f(a)とf(b)との中間の値をすべてとる。

定理１９´
F(x)が閉区間[a,b]で連続で、F(a)とF(b)とが異符号ならば、
F(c)=0となるcがこの区間に存在する。

定理２０（最大・最小値の定理）
f(x)が閉区間[a,b]で連続ならば、f(x)はこの区間で必ず最大値と最小値とをとる。

定義１１
ある区間Iで定義された関数f(x)が次の条件(U)を満たすとき、f(x)はIで一様連続であるという。
(U) ∀ε>0, ∃δ>0, ∀x_1,x_2∈I(|x_1-x_2|<δ):|f(x_1)-f(x_2)|<ε

定理２１（一様連続の定理）
f(x)が閉区間[a,b]で連続ならば、f(x)は[a,b]で一様連続である。

例４
f(x)=1/xは、区間[1,∞)では一様連続であるが、区間
(0,1]では一様連続ではないことを示せ。

例５
f(x)はRで連続で、任意のx,yに対して
f(x+y)=f(x)+f(y)
が成り立つならば、
f(x)=cx (cは定数)
であることを証明せよ。

例６　
楕円に外接する正方形が存在することを中間値の定理を用いて示せ。

例７
半開区間I=(a,b]で連続な関数f(x)が、この区間で一様連続であるための
必要で十分な条件は、
lim[x→a+0]f(x)
が存在することである。これを証明せよ。

例８
f(x)=lim[m→∞]{lim[n→∞]{cos((m!πx)^n)}}　(m,nは自然数)
とすれば、f(x)の値は
xが有理数のときは1,xが無理数のときは0であることを証明せよ。

【問】
問５
F(x)が閉区間[a,b]で連続で、F(a)<0, F(b)>0　の場合に、
A={x|x∈[a,b],F(x)<0}
について、supA=cとすればF(c)=0であることを次のように背理法によって証明せよ。
(1) F(c)>0とすれば不合理である。
(2) F(c)<0とすれば不合理である。

問６
f(x)が区間I（閉区間でなくてもよい）で一様連続ならば、f(x)は
Iにおいて連続である。 これを証明せよ。

問７
f(x)=sin(π/x)は、開区間I=(0,1)で一様連続であるか。

§３　指数関数と対数関数
定義１２
a>0のとき、任意の実数αに対してa^αを次のように定義する。
a=1のとき、a^α=1
a>1のとき、a^α=supA, A={a^r|rは有理数,r≦α}
0<a<1のとき、a^α=infB, B={a^r|rは有理数,r≦α}

定理２２
α,βが実数でα<βならば、
a>1　のときは　a^α<a^β
0<α<1　のときは　a^α>a^β

定理２３
a>0のとき、任意の実数α,βに対して、指数法則
a^α･a^β=a^(α+β)
が成り立つ。

定理２４
a>0のとき、Rを定義域とするF(x)=a^xはRで連続である。

【問】
問８
a>0でnが正の整数のとき、
c^n=a (c>0)となるcが存在することを証明せよ。

問９
有理数全体の集合Qで定義された関数f(x)があるとき、
実数全体の集合Rで定義された連続関数F(x)で、しかも
有理数のxに対してはF(x)=f(x)となるようなF(x)は、存在しても
f(x)に対してただ1通りであることを証明せよ。

問１０
A={2^r|rは有理数,r<√2}　という集合を考え、2^√2=supAと定義する。
supAというからには、Aが上に有界であることを確かめておく必要がある。
(1)a>1のとき、r,sが有理数でr<sならば、a^r<a^sであることを示せ。
(2)これを利用して上のAが上に有界であることを示せ。

問１１
定義１２のように定義すれば、aが有理数の場合、すなわちa=s(有理数)の場合は、
a^α=a^s(=f(s))
となっていることを示せ。

問１２
a>0のとき、lim[n→∞]a^(1/n)=1 (nは自然数) (4)
の逆数を考えれば、
a>0のとき、lim[n→∞]a^(-1/n)=1 (nは自然数) (5)
であることもわかる。
この(4),(5)から(3)を導け。
（lim[h→0](a^h-1)=0 すなわち、lim[h→0]a^h=1　(3))

問１３
a>1として、log[a]xについて次のことを示せ。
(1) log[a]xは増加関数である。
(2) log[a]xは連続関数である。

練習問題３
１、f(x)=2^(1/x) (x≠0)のグラフをかけ。

２、次の関数はx=0で連続であるか。
f(x)= x/(1+2^(1/x)) (x≠0のとき)
　　　0 (x=0のとき)

３、閉区間[a,b]で連続なf(x)のとる値がつねに有理数だけならば、f(x)は[a,b]で
定数関数である。このことを証明せよ。

４、f(x)が区間Iで連続ならば、|f(x)|も区間Iで連続である。このことを証明せよ。

５、閉区間[a,b]でf(x)が連続のとき、[a,b]における|f(x)|の最大値を
||f(x)||で表す。f(x)およびg(x)がともに[a,b]で連続ならば、
||f(x)+g(x)||≦||f(x)||+||g(x)||
である。このことを証明せよ。また、等号はどんな場合に成り立つか。

６、f(x)=(sinx)/x (x≠0)は有界であることを証明せよ。

７、閉区間[a,b]で連続なf(x)について、a≦f(x)≦bならば、f(c)=cとなるcが
[a,b]に存在することを証明せよ。

８、ABを直径とする半円で、ABに平行な弦をひいて面積を2等分したい。
このような弦は必ずあって、中心角は120°と135°の間の角であることを示せ。

９、(0,+∞)でf(x)は連続で、lim[x→+∞]{f(x+1)-f(x)}=lならば、
lim[x→+∞](f(x)/x)=lであることを証明せよ。

１０、f(x)がx=0で連続、かつxの任意の値に対してf(2x)=f(x)のとき、
f(x)はどんな関数であるか。

１１、x,yがどんな値でも次の等式の成り立つ連続関数f(x)はそれぞれ何であるか。
ただし、f(x)は定数関数ではないとし、(2)と(3)ではf(x)の定義域は(0,+∞)とする。
(1) f(x+y)=f(x)f(y)
(2) f(xy)=f(x)+f(y)
(3) f(xy)=f(x)f(y)

１２、実数全体Rで連続な関数fについて、極限値
lim[x→-∞]f(x)=α, lim[x→+∞]f(x)=βがともに存在すれば、
fはRにおいて一様連続であることを証明せよ。

あげ

応援あげ

第４章　導関数
§１　微分可能性
定義１３
cおよびその近くで定義されている関数f(x)について、
lim[x→c](f(x)-f(c))/(x-c)
という極限値が存在するとき、f(x)はx=cで（あるいは点cで)
微分可能であるといい、この極限値をf'(c)と表す。
すなわち、
lim[x→c](f(x)-f(c))/(x-c)=f'(c)
また、このf'(c)をx=c(あるいは点c)におけるf(x)の微分係数という。

例１
f(x)=√x (x≧0)の微分可能性を調べよ。

定理２５
f(x)がある点で微分可能ならば、f(x)はその点で連続である。
したがって、f(x)がある区間で微分可能ならば、f(x)はその区間で連続である。

【問】
問１
lim[x→c+0](f(x)-f(c))/(x-c)=f_+'(c)と
lim[x→c-0](f(x)-f(c))/(x-c)=f_-'(c)を
それぞれε-δ式に述べてみよ。

問２
f_+'(c),f_-'(c)が存在して両者が等しければ、f'(c)も存在して
f_+'(c)=f_-'(c)=f'(c)
であることを証明せよ。

問３
次のf(x)の微分可能性を調べよ。
(1) f(x)=|x|, I=(-∞,+∞)
(2) f(x)=√(1-x^2),I=[-1,+1]

問４
次のf(x)のx=0における微分可能性を調べよ。
f(x)=xsin(1/x) (x≠0)
　　　　　0　　　(x=0)

第壱話　　数学、襲来
第弐話　　見知らぬ、難問
第参話　　鳴らない、始業ベル
第四話　　ゼミ、逃げ出した後
第伍話　　０、無限小のむこうに
第六話　　決戦、山形県米沢市
第七話　　公理、人の造りしもの
第八話　　Ａ．ワイルズ、来日
第九話　　ベクトル、始点、重ねて
第拾話　　もぐりダイバー
第拾壱話　静止した質点の平衡
第拾弐話　奇跡の確率は
第拾参話　成績管理用コンピュータ、侵入
第拾四話　数学科、魂の講座
第拾伍話　つっこまれ、沈黙
第拾六話　死に至る病、ケアレスミス
第拾七話　四人目の合格者
第拾八話　回答の選択を
第拾九話　修論の戦い
第弐拾話　増減のかたち　凹凸のかたち
第弐拾壱話　新定理、誕生
第弐拾弐話　せめて、院生らしく
第弐拾参話　並以下だ
第弐拾四話　最後の四捨五入
第弐拾伍話　終わる学期
最終話　　　世界の中心でアイは虚数単位

ﾜﾛｽ保守

エヴァ見たことないんだよなあ

ほすあげ

私が言うのもナンですが、エヴァ見るのと同じ時間数学やったほうが有益かもしらん。

保守

§２　平均値の定理
定理２６
f(x)はある開区間Iで微分可能とする。このとき、
(�@) Iでつねにf'(x)>0ならば、Iでf(x)は増加関数である。
(�A) Iでつねにf'(x)<0ならば、Iでf(x)は減少関数である。
(�B) Iでつねにf'(x)=0ならば、Iでf(x)は定数関数である。

定理２７（平均値の定理）
f(x)は閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能ならば、
(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) (a<c<b)
となるcが存在する。

定理２８（ロルの定理）
f(x)は閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能で、
しかもf(a)=f(b)ならば、
f'(c)=0 (a<c<b)
となるcが存在する。

定理２９
f(x)はある開区間Iで微分可能とする。このとき、
(�@) Iでつねにf'(x)≧0　⇔　Iでf(x)は広義の増加関数
(�A) Iでつねにf'(x)≦0　⇔　Iでf(x)は広義の減少関数

【問】
問５
次のf(x)では、f'(0)>0であるが、x=0のどんな近傍にもf'(α)<0
となるようなαが存在することを示せ。
f(x)=x^2 sin(1/x) + (1/2)x (x≠0)
　　　　　0　　　　(x=0)

問６
直線ABの方程式からg(x)を求め、上のF(x)が前の�Aとなる
ことを確かめよ。

問７
f(x)=x^3はRで増加関数であることを証明せよ。

問８
平均値の定理を用いて上の定理２９を証明せよ。

↑問６はA(a,f(a)),B(b,f(b))で直線ABの方程式をy=g(x)として、F(x)=f(x)-g(x)とすると
�A F(x)=f(x)-f(a)-k(x-a) ただし、k=(f(b)-f(a))/(b-a)
となることを確かめる

結局、輪読はやっているのですか？

>>284
今は輪読という形ではやっていません。
複素関数入門をやるまえに実数の解析を勉強しようということになって
>>125の解析入門をはじめたんですがあまり順調に行かなかったので、
ペースだけ決めて各自勉強するということになっています。
これは４月中旬には終わる予定です。
個人的にはその後にまた複素関数を輪読形式で新たに始められれば
いいと思ってるんですが、人が集まるかどうかということとネット上での輪読というのが
そもそも難しいという問題があるみたいなので何かいい方法を考えないといけないかもしれません。

保守age

地味に見てるよほしゅ

ほしゅ

§３　平均値の定理の応用
例２
x>0のとき、
x>log(1+x)
であることを証明せよ。

定理２６´
f(x)は閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能でかつ
f'(x)>0ならば、f(x)は閉区間[a,b]で増加関数である。

定理３０（コーシーの平均値の定理）
f(x),g(x)は閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能、
かつ(a,b)でg'(x)≠0とすれば、
(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(c)/g'(c) (a<c<b)
となるcが存在する。

定理３１（ロピタルの定理）
f(x),g(x)が開区間(a,b)で微分可能で、
lim[x→a+0]f(x)=0, lim[x→a+0]g(x)=0, g'(x)≠0
のとき、lim[x→a+0](f'(x)/g'(x))が存在すれば、
lim[x→a+0](f(x)/g(x))=lim[x→a+0](f'(x)/g'(x))

例３
次の極限値を求めよ。
(1) lim[x→0]((x-sinx)/x^3)
(2) lim[x→+∞](x^n)/(e^x) (nは自然数)

定義１４
区間Iで定義されたf(x)について、Iの任意のx_1<x_2と0<t<1の
任意のtとに対して、つねに
f((1-t)x_1+tx_2)<(1-t)f(x_1)+tf(x_2)　　　　･･･(1)
が成り立つとき、f(x)はIで凸関数であるという。

定理３２
ある開区間Iでつねにf''(x)>0とする。
(�T) f(x)はIで凸関数である。
(�U) Iの1点cをとれば、Iのすべてのxに対して
f(x)≧f'(c)(x-c)+f(c)
であって、等号の成り立つのはx=cのときに限る。

例４
f(x)=logx (x>0)が上に凸の関数であることを利用して、次の不等式を導け。
(a_1+a_2+･･･+a_n)/n≧[n]√(a_1a_2･･･a_n) (a_i>0)

【問】
問９
x>0のとき、閉区間[0,x]でf(x)=x-log(1+x)に平均値の定理を適用して、前の
例２を直接に証明してみよ。

問１０
f(x)=x-sinxは閉区間[0,π/2]で増加関数であることを証明せよ。

問１１
f(x)がある開区間で微分可能で、その区間の一点cで極大または極小と
なるならば、f'(c)=0でなければならないことを証明せよ。

問１２
f'(x)=0は極大・極小のための十分条件ではないことを例で示せ。

問１３
なぜ定理３０は平均値の定理の拡張とみなせるのか。また、
g(a)≠g(b)という仮定はないが、これは(a,b)でg'(x)≠0ということから
自然に成り立っている。なぜか。

問１４
平均値の定理から、
(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c), (g(b)-g(a))/(b-a)=g'(c) (a<c<b)
これらを辺々割れば定理３０が得られる。
ある学生が定理３０の証明をこのように述べた。これはどこが悪いか。

問１５
定理30を証明するには、
(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=k (定数)
∴{f(b)-f(a)}-k{g(b)-g(a)}=0
とおいて、
F(x)={f(x)-f(a)}-k{g(x)-g(a)}
という関数を考えればよい。
この証明を完結せよ。

問１６
定理３１の証明で、’lim[x→a+0](f'(x)/g'(x))が存在すれば’という
仮定はなぜ必要か。

問１７
次の極限値を求めよ。
(1) lim[x→0](sinx-xcosx)/(sinx-x)
(2) lim[x→+∞](logx)/x^α (α>0)
(3) lim[x→+0](xlogx)
(4) lim[x→π/2](sinx)^tanx

問１８
定義１４(1)から、(1-t)x_1+tx_2=ξ (x_1<ξ<x_2)とおくと
(f(ξ)-f(x_1))/(ξ-x_1)<(f(x_2)-f(ξ))/(x_2-ξ)　　　･･･(2)
を導く計算をやってみよ。また、逆に(2)から(1)に戻れることを
確認せよ。

問１９
次の不等式を導け。
(1) 任意の実数xに対して、e^x≧x+1
(2) x>0のときlogx≦x-1
(3) 0<x<π/2のとき、(2/π)x<sinx<x

ほしゅ

§４　いろいろな例題
例５
次のf(x)はRで微分可能であるが、f'(x)はx=0で不連続であることを示せ。
f(x)=x^2 sin(1/x)　　(x≠0)
　　　0　　　　　　　　　(x=0)

例６
f(x)がある区間Iで微分可能のとき、Iの１点をcとする。
もし、lim[x→c+0]f'(x)が存在すれば、
lim[x→c+0]f'(x)=f'(c)
すなわち、f'(x)は点cで右側連続である。

例７
f(x)は閉区間[a,b]で微分可能でf'(a)≠f'(b)ならば、
f'(x)はこの区間でf'(a)とf'(b)との中間の値をすべてとる。

ほ

ho

第５章　積分
§１　積分可能性
定理３３（ダルブウの定理）
あらゆる分割�凾ﾉ関するs(��)の上限をJ_1,S(��)の下限をJ_2,
すなわち、
sup[�兢s(��)=J_1, inf[�兢S(��)=J_2
とすれば、
lim[|�處→0]s(��)=J_1, lim[|�處→0]S(��)=J_2

定理３４
[a,b]で有界な関数f(x)が、この区間で積分可能であるための
必要で十分な条件は
J_1=J_2
となることである。

定理３４´
[a,b]で有界な関数f(x)が、この区間で積分可能であるための
必要で十分な条件は、分割�凾ﾌ小区間δ_iにおけるf(x)の
振幅をO_iとするとき、
lim[|�處→0]Σ[i]O_iδ_i=0
となることである。

定理３５（連続関数の積分可能性）
閉区間[a,b]で連続な関数f(x)は、この区間で積分可能である。

例１
閉区間[a,b]で単調な関数f(x)は、この区間で積分可能である
ことを証明せよ。

例２
f(x)が[a,b]で有界かつ積分可能のとき、この区間の
内部の1点をcとすれば、f(x)は[a,c],[c,b]でも積分可能で、
∫[x=a,b]f(x)dx=∫[x=a,c]f(x)dx+∫[x=c,b]f(x)dx
である。

【問】
問１
[a,b]において、
f(x)=1 (xが有理数)
　　　0 (xが無理数)
このf(x)は[a,b]で有界であるが、積分可能でないことを示せ。

問２
前の(4)の式
m_i≦m_i1, m_i≦m_i2
の理由を述べよ。

問３
[a,b]の任意の2つの分割を�兩1,�兩2とすれば、
s(�兩1)≦S(�兩2)
であることを示せ。また、これから、
J_1≦J_2
を導け。

問４
1つの凸多角形Fに対して、これをその内部に含むような1つの
正方形Gを考えると、
(Fの周長)<(Gの周長)
であることを、Fが凸4角形である場合について示せ。

問５
f(x)が[a,b]で有界かつ積分可能ならば、|f(x)|も[a,b]で積分可能である
ことを証明せよ。

問６
a<c<bのとき、f(x)が[a,c],[c,b]で有界かつ積分可能ならば、
f(x)は[a,b]でも積分可能で、
∫[x=a,c]f(x)dx+∫[x=c,b]f(x)dx=∫[x=a,b]f(x)dx
となる。これを証明せよ。

問７
f(x)は[a,b]で定義された有界な関数とする。
(1)f(x)が[a,b]の1点cだけで不連続であるならば、f(x)は[a,b]で
積分可能であることを証明せよ。
(2)f(x)が[a,b]の有限個の点だけで不連続であるならば、f(x)は[a,b]で
積分可能であることを証明せよ。

問８
f(x)は[a,b]で有界かつ積分可能のとき、[a,b)ではg(x)=f(x)で、
x=bのときだけg(b)≠f(b)である関数g(x)を考えると、このg(x)も
[a,b]で積分可能で、
∫[x=a,b]g(x)dx=∫[x=a,b]f(x)dx
であることを証明せよ。

ho

ほ

ほしゅん

§２　積分の性質
定理３６（積分の平均値の定理）
f(x)が[a,b]で連続ならば、
∫[x=a,b]f(x)dx=f(c)(b-a)　(a<c<b)
となるcが存在する。

定理３７
f(x)が[a,b]で連続のとき、[a,b]の任意の点をxとして、
F(x)=∫[t=a,x]f(t)dt
とおけば、このF(x)は微分可能で、
F'(x)=f(x)
となる。(f(x)の不定積分F(x)はf(x)の原始関数でもある。)

定理３８
f(x)が[a,b]で連続のとき、f(x)の1つの原始関数をG(x)とする、すなわち、
G'(x)=f(x)　(x∈[a,b])
とすれば、
∫[x=a,b]f(x)dx=G(b)-G(a)
である。

定理３９
f(x)が[a,b]で有界かつ積分可能であれば、
F(x)=∫[x=a,x]f(x)dx　(a≦x≦b)
は[a,b]で連続である。

ほしゅうま

ほ

しゅ

【問】
問９
[a,b]でf(x),g(x)が積分可能ならば、|g(x)|>k>0のような定数kが存在すれば、
f(x)/g(x)も積分可能である。これを証明せよ。

問１０
(V')[a,b]でf(x)が連続でf(x)≧0ならば、
∫[x=a,b]f(x)dx≧0
ここで、∫[x=a,b]f(x)dx=0となるのは、[a,b]でf(x)≡0のときに限る。
したがって、[a,b]でf(x),g(x)が連続でf(x)≧g(x)ならば、
∫[x=a,b]f(x)dx≧∫[x=a,b]g(x)dx
ここで、∫[x=a,b]f(x)dx=∫[x=a,b]g(x)dxとなるのは
[a,b]でf(x)≡g(x)のときに限る。
この(V')を証明せよ。

問１１
f(x)=0　(-1≦x≦0)
　　　1　(0<x≦1)
について、
F(x)=∫[x=-1,x]f(x)dx (-1≦x≦1)
とすれば、F(x)はx=0において微分不能であることを示せ。

問１２
定理３９を証明せよ。

問１３
次のf(x)に対して、
F(x)=∫[x=0,x]f(x)dx　(0≦x≦3)
のグラフをかけ（[x]はガウスの記号）
(1) f(x)=[x]
(2) f(x)=x-[x]

§３　広義積分

有界でない関数の積分
f(x)は[a,b)で連続であるが有界ではない場合。
(�T)∫[x=a,b]f(x)dx=lim[ε→+0]∫[x=a,b-ε]f(x)dx
f(x)は(a,b]で連続であるが有界ではない場合。
(�U)∫[x=a,b]f(x)dx=lim[ε→+0]∫[x=a+ε,b]f(x)dx
(�T)、(�U)の右辺の極限値が存在するならば、それぞれの場合について、
∫[x=a,b]f(x)dxは収束するといい、そうでない場合は発散するという。

例３
α>0のとおき、∫[x=0,1]dx/x^αの収束・発散を調べよ。

定理４０（広義積分の収束判定の十分条件）
(�T) lim[x→b-0](b-x)^α|f(x)|有限確定　(0<α<1)
の定数αが存在すれば、(�T)型の積分∫[x=a,b]f(x)dxは収束する。
(�U) lim[x→a+0](x-a)^α|f(x)|有限確定　(0<α<1)
の定数αが存在すれば、(�U)型の積分∫[x=a,b]f(x)dxは収束する。

例４
∫[x=0,π/2]logsinx dxは収束することを証明せよ。

例５
p>0,q>0のとき、
B(p,q)=∫[x=0,1]x^(p-1)(1-x)^(q-1)dx
は収束することを証明せよ。（２変数の関数B(p,q)はベータ関数と呼ばれる。）

無限区間における積分
(�V)f(x)は[a,+∞)で連続：∫[x=a,+∞]f(x)dx=lim[t→+∞]∫[x=a,t]f(x)dx
(�W)f(x)は(-∞,b]で連続：∫[x=-∞,b]f(x)dx=lim[t→-∞]∫[x=t,b]f(x)dx

例６
α>0のとき、∫[x=1,+∞]dx/x^αの収束・発散を調べよ。

定理４０´（広義積分の収束判定の十分条件）
(�V)lim[x→+∞]x^α|f(x)|=有限確定　(α>1)
の定数αが存在すれば、(�V)型の積分∫[x=a,+∞]f(x)dxは収束する。
(�W)lim[x→-∞]x^α|f(x)|=有限確定　(α>1)
の定数αが存在すれば、(�W)型の積分∫[x=-∞,b]f(x)dxは収束する。
↑(�W)のlimの中は(-x)^α|f(x)|？

例７
∫[x=0,+∞]e^(-x^2)dxは収束することを証明せよ。

例８
s>0のとき、
Γ(s)=∫[x=0,+∞]e^(-x)x^(s-1)dx
は収束することを証明せよ。（Γ(s)はガンマ関数と呼ばれる。）

【問】
問１４
次の積分の収束・発散を調べよ。
(1) ∫[x=0,1]dx/√(1-x)
(2) ∫[x=0,1]dx/√(1-x^2)

問１５
次の積分の収束・発散を調べよ。
(1) ∫[x=0,1]logxdx/√x
(2) ∫[x=1,2]√x dx/logx
(3) ∫[x=0,π/2]sinxdx/x√x
(4) ∫[x=0,π/2]sinxdx/x^3

問１６
次の積分の収束・発散を調べよ。
(1) ∫[x=0,+∞]e^(-x)dx
(2) ∫[x=1,+∞]xdx/√(x^2-1)
(3) ∫[x=-∞,+∞]sinxdx

問１７
[a,+∞)の任意のxに対して、
x^α|f(x)|<M　(α>1)
のような定数M,αが存在するならば、∫[x=a,+∞]f(x)dxは収束、
しかも絶対収束することがわかる。
これを証明せよ。

問１８
∫[x=0,+∞]e^(-x^2)dx=√π/2を用いて、
Γ(1/2)=∫[x=0,+∞]e^(-x)x^(-1/2)dx=√π
を導け。また、これからΓ(3/2),Γ(5/2),Γ(7/2)などを求めよ。

問１９
k>1のとき、次の積分は収束することを示せ。
(1) ∫[x=2,+∞]dx/x(logx)^k
(2) ∫[x=2,+∞]dx/x^k(logx)

§４　いろいろな例題
例９（シュワルツ(Schwarz)の不等式）
f(x),g(x)が[a,b]で連続ならば、
(∫[x=a,b]f(x)g(x)dx)^2≦∫[x=a,b](f(x))^2dx∫[x=a,b](g(x))^2dx
であることを証明せよ。また、ここで等号の成り立つのはどんな場合か。

例１０（平均値の定理の拡張）
f(x),g(x)は[a,b]で連続とする。
(�T) [a,b]でg(x)≧0（またはg(x)≦0)とすれば、
∫[x=a,b]f(x)g(x)dx=f(ξ)∫[x=a,b]g(x)dx　(a<ξ<b)
のξが存在する。
(�U) f(x)は[a,b]で微分可能でf'(x)は連続かつf'(x)≧0
（またはf'(x)≦0)とすれば、
∫[x=a,b]f(x)g(x)dx=f(a)∫[x=a,ξ]g(x)dx+f(b)∫[x=ξ,b]g(x)dx　(a<ξ<b)
のξが存在する。

例１１
次のことを証明せよ。
(�T) ∫[x=0,+∞]sinxdx/xは収束
(�U) ∫[x=0,+∞]|sinx|dx/xは発散

例１２
(0,+∞)でf'(x)は連続かつf'(x)≦0でlim[x→+∞]f(x)=0ならば、
∫[x=0,+∞]f(x)sinxdxは収束することを証明せよ。

問２０
F(t)=∫[x=a,t](f(x))^2dx∫[x=a,t](g(x))^2dx-(∫[x=a,t]f(x)g(x)dx)^2
F'(t)を調べて、F(b)≧0を証明せよ。

練習問題５
１、f(x),g(x)は[a,b]において有界かつ積分可能のとき、[a,b]の有理数の点xに
ついてはすべてf(x)=g(x)であるならば、
∫[x=a,b]f(x)dx=∫[x=a,b]g(x)dx
であることを証明せよ。

２、f(x)が[a,b]で積分可能かつf(x)≧0ならば、
F(x)=∫[x=a,x]f(x)dx　(a≦x≦b)
は広義の増加関数であることを証明せよ。

３、f(x)は[a,b]で連続で、uは微分可能なxの関数であるとき、
d/dx ∫[t=a,u]f(t)dt=f(u) du/dx
であることを示せ。ただし、a≦u≦bとする。

４、f(x),g(x)は[a,b]で連続とする。例１０の(�U)につき、次のことを証明せよ。
(�@) [a,b]でf'(x)は連続かつf'(x)≦0でf(b)≧0ならば、
∫[x=a,b]f(x)g(x)dx=f(a)∫[x=a,c]g(x)dx　(a≦c≦b)
のcが存在する。
(�A) [a,b]でf'(x)は連続かつf'(x)≧0でf(a)≧0ならば、
∫[x=a,b]f(x)g(x)dx=f(b)∫[x=c,b]g(x)dx　(a≦c≦b)
のcが存在する。

５、シュワルツの不等式を用いて次のことを証明せよ。
(1) ∫[x=0,π/2]√(xsinx)dx<π/2√2
(2) π/4<∫[x=0,1]√(1-x^4)dx<2√2/3

６、f(x)は連続関数とする。
f_1(x)=∫[t=0,x]f(t)dt, f_2(x)=∫[t=0,x]f_1(t)dt, f_3(x)=∫[t=0,x]f_2(t)dt,･･･
とすれば、
f_n(x)=(1/(n-1)!)∫[t=0,x](x-t)^(n-1)f(t)dt
であることを証明せよ。

７、m,nが自然数ならば、
B(m,n)=Γ(m)Γ(n)/Γ(m+n)
であることを証明せよ。

８、0<α<1のとき、次の各積分は収束することを示せ。
(1) ∫[x=0,π/2]cosxdx/x^α
(2) ∫[x=0,π/2]dx/(sinx)^α
(3) ∫[x=0,1]logxdx/x^α

９、∫[x=0,+∞]sinxdx/x^αについて次のことを証明せよ。
(1) 1<α<2ならば、この積分は絶対収束する。
(2) 0<α≦1ならば、この積分は収束するが絶対収束ではない。

１０、f(x)は[a,+∞)で連続で、xが十分大きいとき|f(x)|≦x^p(pはある自然数)
であるならば、
∫[x=a,+∞]e^(-x)f(x)dx
は収束することを証明せよ。

保守

第６章　一様収束
§１　級数の収束・発散
定理４１
a_1+a_2+･･･+a_n+･･･
が収束するならば、
lim[n→∞]a_n=0
である。

定理４１´
lim[n→∞]a_n=0でなければ、a_1+a_2+･･･+a_n+･･･は発散する。

定理４２（比較法）
正項級数
a_1+a_2+･･･+a_n+･･･　(1)
に対して、収束・発散が既知である他の正項級数
b_1+b_2+･･･+b_n+･･･　(2)
をとる。
(�@) (2)が収束でかつa_n≦b_n(n=1,2,･･･)ならば、(1)も収束
(�A) (2)が発散でかつa_n≧b_n(n=1,2,･･･)ならば、(1)も発散

定理４３（比による判定法）
正項級数
a_1+a_2+･･･+a_n+･･･　(1)
において、
lim[n→∞]a_(n+1)/a_n=ρ　(ρ=+∞も含める)
が存在するとき、
(�@) ρ<1ならば、(1)は収束
(�A) ρ>1ならば、(1)は発散

定理４４
交項級数
a_1-a_2+a_3-a_4+･･･, a_n>0 (n=1,2,･･･)　(1)
が次の２条件を満たせば(1)は収束する。
(�@)a_1≧a_2≧a_3≧･･･
(�A)lim[n→∞]a_n=0

定理４５
絶対値級数
|a_1|+|a_2|+|a_3|+･･･+|a_n|+･･･
が収束すれば、もとの級数
a_1+a_2+a_3+･･･+a_n+･･･
も収束する。

【問】
問１
1/xの積分を利用して次式を証明せよ。
log(n+1)<1+(1/2)+(1/3)+･･･+(1/n)<1+logn

問２
定理４３(�A)の証明をやってみよ。

問３
一般調和級数
1+(1/2^α)+(1/3^α)+･･･+(1/n^α)+･･･ (α>0)
について、次のことを示せ。
(1)α≦1のときは発散
(2)α>1のときは収束

問４
次の級数の収束・発散を調べよ。
(1) 1+(1/2)+(1/3^2)+(1/4^3)+･･･
(2) 1+(1/3)+(1/5)+(1/7)+･･･
(3) 1+(1/3^2)+(1/5^2)+(1/7^2)+･･･
(4) 1+(1/√3)+(1/√5)+(1/√7)+･･･

問５
0≦(1/2)(|a_k|+a_k)≦|a_k|, 0≦(1/2)(|a_k|-a_k)≦|a_k|を利用して定理４５を
証明せよ。

問６
次の級数は絶対収束するか。
(1) 1-(1/2^2)+(1/3^2)-(1/4^2)+･･･
(2) 1-(1/√3)+(1/√5)-(1/√7)+･･･

ほ

§２　べき級数

xを変数として、
a_0+a_1x+a_2x^2+･･･+a_nx^n+･･･　(1)
の形の級数をxのべき級数(または整級数)という。

定理４６
x=α(≠0)に対して(1)が収束するならば、|x|<|α|の任意の
xに対して(1)は絶対収束する。

定理４７
x=βに対して(1)が発散するならば、|x|>|β|の任意の
xに対して(1)は発散する。

定理４８
べき級数
a_0+a_1x+a_2x^2+･･･+a_nx^n+･･･　(1)
の収束半径rと、(1)の絶対値級数
|a_0|+|a_1x|+|a_2x^2|+･･･+|a_nx^n|+･･･　(2)
の収束半径r'とは等しい。

定理４９
べき級数
a_0+a_1x+a_2x^2+･･･+a_nx^n+･･･　(1)
において、有限または+∞の極限値lim[n→∞]|a_n/a_(n+1)|が存在すれば、
これが(1)の収束半径rである。
r=lim[n→∞]|a_n/a_(n+1)|

べき級数と関数
テイラーの定理（あるいはマクローリンの定理）
f(x)が0を含むある区間Iで何回でも微分可能であれば、Iに属する任意のxに
対して、次の式が成り立つ。
f(x)=f(0)+(f'(0)/1!)x+(f''(0)/2!)x^2+･･･+(f[n](0)/n!)x^n+R_(n+1)
（f[n]はfのn階微分）
ここでR_(n+1)は次の(�@)または(�A)の形に表せる。
(�@)R_(n+1)=(f[n+1](θ_1x)/(n+1)!)x^(n+1)　(0<θ_1<1)
(�A)R_(n+1)=(f[n+1](θ_2x)/n!)(1-θ_2)^nx^(n+1)　(0<θ_2<1)

【問】
問７
定理４７を証明せよ。

問８
べき級数(1)を発散させるxの値があれば、定理４７により、これを収束させる
xの値についての|x|の集合Aは上に有界で、その上限rが存在する。
しかも、r>0ならば、(1)は
|x|<rのxでは収束、|x|>rのxでは発散　(2)
となっている。
このことを証明せよ。

問９
次のべき級数の収束域を決定せよ。
(1) 1+(x/1!)+(x^2/2!)+･･･+(x^n/n!)+･･･
(2) x-(x^2/2)+(x^3/3)-(x^4/4)+･･･+(-1)^(n-1)x^n/n+･･･
(3) 1+(x/1^2)+(x^2/2^2)+(x^3/3^2)+･･･+(x^n/n^2)+･･･
(4) x+2!x^2+3!x^3+･･･+n!x^n+･･･
(5) 1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+･･･+(-1)^nx^(2n)/(2n)!+･･･

問１０
次のf(x)が(　)内のxに対して展開可能であることを証明せよ。
(1) f(x)=sinx　(-∞<x<+∞)
(2) f(x)=log(1+x)　(-1<x≦1)

§３　関数列と一様収束

定義１５
任意のε>0に対し、変域Iのどんなxをとっても、
n≧N　ならば　|f_n(x)-f(x)|<ε
となるような番号Nが、εにだけ関係しxには無関係に決められるならば、
{f_n(x)}はIにおいてf(x)に一様収束するという。

例１
次の{f_n(x)}は与えられた区間Iで一様収束するか。
(1) f_n(x)=n/(1+nx),　I=[1,+∞)
(2) f_n(x)=sinnx/nx,　I=(0,+∞)

定理５０（一様収束のためのコーシーの条件）
関数列{f_n(x)}が変域Iで一様収束するためには、{f_n(x)}が
次のコーシーの条件(C)を満たすことが必要で十分である。
(C)　∀ε>0, ∃N, ∀x∈I, ∀m,n(m>n≧N):|f_m(x)-f_n(x)|<ε

定理５１（一様収束と連続性）
f_n(x)がI=[a,b]で連続で、{f_n(x)}がIでf(x)に一様収束すれば、
f(x)もIで連続である。

定理５２（一様収束と積分）
f_n(x)がI=[a,b]で連続で、{f_n(x)}がIでf(x)に一様収束すれば、
任意のx∈Iに対して、
lim[n→∞]∫[x=a,x]f_n(x)dx=∫[x=a,x]f(x)dx
であり、この収束もIで一様収束である。

定理５３（一様収束と微分）
f_n(x)がI=[a,b]で微分可能のとき、Iにおいて、
(�@) lim[n→∞]f_n(x)=f(x)
(�A) f_n'(x)は連続
(�B) {f_n'(x)}は一様収束
であるならば、
f(x)もIで微分可能で、lim[n→∞]f_n'(x)=f'(x)
である。

【問】
問１１
I=[0,2]において、f_n(x)=x^(n+1)/(x^n+1)とするとき、関数列{f_n(x)}は
収束するか。収束するならば、その極限関数f(x)はどんな関数か。

問１２
I=[0,1]で、
f_n(x)=1-nx　(0≦x≦1/n)
　　　　0　　　(1/n≦x≦1)
であるとき、lim[n→∞]f_n(x)=f(x)を求めよ。また、この収束はIで一様収束か。

問１３
f_n(x)=1+x+x^2+･･･+x^(n-1)
とするとき、{f_n(x)}はI=(0,1)で一様収束するか。また、I'=(0,0.9)ではどうか。

問１４
定理５０の証明をやってみよ。

問１５
I=[0,1]で、
f_n(x)=2n^2x　(0≦x≦1/2n)
　　　　2n-2n^2x　(1/2n≦x≦1/n)
　　　　0　　(1/n≦x≦1)
であるとき、lim[n→∞]f_n(x)=f(x)を求めよ。また、この場合lim[n→∞]∫[x=0,1]f_n(x)dxと
∫[x=0,1]f(x)dxとは等しいか。

問１６
I=[0,1]でf_n(x)=x^(n+1)/(n+1)であるとき、lim[n→∞]f_n(x)=f(x)を求めよ。
また、Iでlim[n→∞]f_n'(x)とf'(x)とは等しいか。

ほ

しゅ

hos

§４　級数と一様収束
定理５４
級数Σ[k=1,∞]a_k(x)が区間Iで一様収束するためには、次のコーシーの
条件(C)の成り立つことが必要で十分である。
(C) ∀ε>0, ∃N,　∀x∈I, ∀m,n(m>n≧N):|R_(n,m)(x)|=|Σ[k=n+1,m]a_k(x)|<ε

定理５５（一様収束に関するワイエルストラスの定理）
区間Iの任意のxに対して、
|a_k(x)|≦c_k
であって、Σ[k=1,∞]c_kが収束するならば、Σ[k=1,∞]a_k(x)はIで一様収束かつ
絶対収束する。

定理５１´（級数の連続性）
a_k(x)が区間Iで連続で、級数Σ[k=1,∞]a_k(x)がIでS(x)に一様収束するならば、
S(x)=Σ[k=1,∞]a_k(x)もIで連続である。

定理５２´（級数の項別積分）
a_k(x)が区間I=[a,,b]で連続で、そこでΣ[k=1,∞]a_k(x)がS(x)に一様収束する、すなわち、
S(x)=a_1(x)+a_2(x)+･･･+a_n(x)+･･･
が一様収束ならば、Iの任意のxに対して、
∫[x=a,x]S(x)dx=∫[x=a,x]a_1(x)dx+∫[x=a,x]a_2(x)dx+･･･+∫[x=a,x]a_n(x)dx+･･･
となり、この収束もIで一様収束である。

定理５３´（級数の項別微分）
a_k(x)が区間I=[a,b]で微分可能で、Iにおいて、
(�@) S(x)=Σ[k=1,∞]a_k(x)
(�A) a_k'(x)は連続
(�B) Σ[k=1,∞]a_k'(x)は一様収束
であるならば、S(x)もIで微分可能で、
S'(x)=a_1'(x)+a_2'(x)+･･･+a_n'(x)+･･･
となる。

べき級数と一様収束
定理５６
べき級数
Σ[k=0,∞]a_kx^k=a_0+a_1x+a_2x^2+･･･+a_nx^n+･･･
はその収束域内の任意の閉区間で絶対収束かつ一様収束する。

定理５７
べき級数Σ[k=0,∞]a_kx^kの収束半径rと、それを項別微分して得られる
べき級数Σ[k=1,∞]ka_kx^(k-1)の収束半径r'とは等しい。

定理５８
べき級数はその収束域内の任意の閉区間で何回でも項別に微分、積分
することができる。

アーベルの定理
定理５９（アーベルの定理）
べき級数Σ[k=0,∞]a_kx^k=f(x)の収束半径が1で、x=1のときも
このべき級数が収束すれば、
lim[x→1-0]f(x)=Σ[k=0,∞]a_k

定理６０（アーベルの定理）
べき級数Σ[k=0,∞]a_kx^k=f(x)の収束半径がrで、x=rのときも
このべき級数が収束すれば、
lim[x→r-0]f(x)=Σ[k=0,∞]a_kr^k
したがって、f(x)は[0,r]で連続である。

【問】
問１７
Σ[k=1,∞]sinkx/k!はI=(-∞,+∞)で一様収束するか。

問１８
無限等比級数の和の公式から、
1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+･･･　(|x|<1)
である。　これからlog(1+x),1/(1+x)^2の展開式を導け。

問１９
問１８を利用して、次のことを示せ。
1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+･･･=log2

問２０
1-(1/4)+(1/7)-(1/10)+･･･+(-1)^n/(3n+1)+･･･
の和を求めよ。

練習問題６
１、1/xの積分を利用して、lim[n→∞](1+(1/2)+(1/3)+･･･+(1/n)-logn)の
存在することを証明せよ。（この極限値Cをオイラーの定数という。）

２、次の級数は収束するか。
(1) Σ[n=1,∞]1/(1+2^n)
(2) Σ[n=1,∞]1/(1+√n)
(3) Σ[n=1,∞]√n/(n^2+1)

３、次の交項級数は条件収束、絶対収束、発散のいずれであるか。
(1) Σ[n=1,∞](-1)^(n-1)n/(n^2+1)
(2) Σ[n=1,∞]cosnπ/√(n^3+n)
(3) Σ[n=1,∞](-1)^(n-1)n!/n^n

４、次のべき級数の収束半径を求めよ。
(1) Σ[n=0,∞](n+1)x^n
(2) Σ[n=1,∞]x^n/n^n
(3) Σ[n=0,∞]x^n/2^n
(4) Σ[n=0,∞]((n!)^2/(2n)!)x^n

５、次のf_n(x)はそれぞれのIで一様収束するか。
(1) f_n(x)=x-x^n/n　I=[0,1]
(2) f_n(x)=[n]√sinx　I=[0,π]
(3) f_n(x)=nxe^(-nx)　I=[0,1]

６、I=[0,1]でf_n(x)=nxe^(-nx^2)のとき、lim[n→∞]f_n(x)=f(x)を求めよ。また、
lim[n→∞]∫[x=0,1]f_n(x)dxと∫[x=0,1]f(x)dxとを比べてみよ。

７、a_k(x)=x/(1+x)^kであるとき、Σ[k=1,∞]a_k(x)は[0,1]では一様収束でないことを証明せよ。

８、f(x)=Σ[k=1,∞]a_kx^kに対し、Σ[k=0,∞]a_k/(k+1)が収束すれば、
∫[x=0,1]f(x)dx=Σ[k=0,∞]a_k/(k+1)
であることを証明せよ。

９、一般の二項定理より、
1/√(1-x^2)=1+(1/2)x^2+(1・3/2・4)x^4+(1・3・5/2・4・6)x^6+･･･　(-1<x<1)
これからsin^(-1)xの展開式を導け。

１０、∫[x=0,1]sin^(-1)xdx/√(1-x^2)=[(1/2)(sin^(-1)x)^2]_[x=0,1]=π^2/8
左辺の積分記号内のsin^(-1)xに前問の展開式を代入し、項別積分により、
(1/1^2)+(1/3^2)+(1/5^2)+(1/7^2)+･･･=π^2/8
を導け。また、これから次のことも導け。
(1/1^2)+(1/2^2)+(1/3^2)+(1/4^2)+･･･=π^2/6

一応解析入門が終わったことになってるんだけど
複素関数論やりたい人いますか？やりたい人がいたらレスきぼん
解析入門やってなくて複素関数論からって人ももちろんOKです

>>341
テキストに岸･藤本「複素関数論」なんてどうですか？

>>342
個人的には>>1に書いてある神保「複素関数入門」のほうがいいですね。
テキストも買ってしまってあるので･･･
どうしてもってわけではないので、他の人が難しめのテキストが
いいなら買いなおしてもいいです。

age

どうすっかな

texをいれてみた

texって綺麗に出るけど結構めんどいね