後裔以外の女性向けゲームスレッドその５

テーラー展開の公式は
f(x+d) = f(x) + d f'(x) + d^2/2 f''(x) + d^3/3! f'''(x) + d^4/4! f''''(x) +

これを利用して
f(x+2d) = f + 2d f' + 2d^2 f'' + (4/3)d^3 f''' + (2/3)d^4 f'''' - …
f(x+d) = f + d f' + d^2/2 f'' + d^3/6 f''' + d^4/24 f'''' + …
f(x) = f
f(x-d) = f - d f' + d^2/2 f'' - d^3/6 f''' + d^4/24 f'''' + …
f(x-2d) = f - 2d f' + 2d^2 f'' - (4/3)d^3 f''' + (2/3)d^4 f'''' - …

さて３点公式は
{f(x+d) - 2 f(x) + f(x-d)} = d^2 f'' + d^4/12 f'''' + d^6/360 f'''''' + …
となる。

f(x-2d)〜f(x+2d) を使って、f''''の係数も消してしまうことを考える。
そのためには
{f(x+2d) - 16 f(x+d) + 30 f(x) - 16 f(x-d) + f(x-2d)}
= - 12 d^2 f'' + (2/3)d^6 f'''''' + …
これは５点公式とよばれ f''についての３点公式よりも精密な近似となる。

同様にしてf(x-3d)〜f(x+3d)を使う７点公式を作れば d^6f/dx^6 までを消すことができ
f(x-4d)〜f(x+4d)を使う９点公式を作れば d^8f/dx^8 までを消すことができる。