◆ わからない問題はここに書いてね １２ ◆

113 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：01/09/07 14:35
>>47だけど、誰も教えてくれにゃいにょ？

実直交行列O(n)={X∈GL(n,R)|XX^t=1}がR^{n(n+1)/2}次元多様体って
授業で習ったけど、ユニタリー行列U(n)の場合はどうなるのかなあと思ったんです。



116 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：01/09/07 15:43
>>47


＞また、Cの線形空間による局所座標によって定義された可微分多様体は
＞Rの局所座標系によって定義された可微分多様体になるのでしょうか？

は、多分直感的にはそうだと思うけど。ただ複素多様体って、恐ろしく
難しくて、そういいきって良いかどうか自信がない。

ｎ次元複素多様体なら２ｎ次元実多様体は言えると思うけど、
逆は言えなそう。実数２変数の２つの実関数が微分可能でも、
１複素数変数の１つの複素関数と見なしたとき複素関数として
微分可能とはかぎらないし。

複素ｎ次行列全体はＣ＾（ｎ＾２）のベクトル空間と同型。

ユニタリであるためには、ｎ＾２個の式が成り立たなくてはならないが、
ｎ＾２−ｎ＾２＝０で、そんなはずないから、ｎ＾２個の中に独立でな
いものが混じってるんだろうな。で、たぶん実数Ｃ^同様、
Ｃ^{n(n+1)/2}でいいんじゃないかな。
で、それは多分、Ｒ^n(n+1)と同相

保証は出来ないが。


これ、後でじっくり考えたんですが。かなり直感的類推なんですが

まず、ｎ次実直行行列

成分の数はｎ＾２
直行行列になるための条件の式は、Ａの転置＊Ａ＝単位行列
で、対角成分に対象な成分は同じ式になるから、
１＋２＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２
だから、直行行列の多様体としての次元は
ｎ＾２−ｎ（ｎ＋１）／２＝ｎ（ｎ−１）／２
となりそうだが、私はどこかで勘違いしてるのかな？
ｎ＝２のときは、１次元で、じっさい平面の回転行列は角度θ
をパラメータとして表せるが。もちろん、直行行列としては、
「裏返し」する行列も入れてだが。

複素行列のユニタリの場合、これを実数のベクトル空間と見なす。
つまり、実２＊ｎ＾２の中の部分集合を構成していると見なす。
ユニタリであることによって、成分を拘束する式の個数はやはり、
ｎ（ｎ＋１）／２個

よって、２＊ｎ＾２−ｎ（ｎ＋１）／２＝ｎ（３ｎ−１）／２
が多様体としての次元。

では、ｎ＾２次元複素ベクトル空間と考えると、
これは出来ない。つまり、ユニタリであるために成分を拘束する式が
複素数の正則関数として表されていないから。共役複素数を取るというのは
正則ではない。

で、複素行列について、Ａの転置＊Ａ＝単位行列となる物（なんて言うか知らない）
全体は、実行列の時と同様で、ｎ（ｎ−１）／２次元の複素多様体になりそうだが。

そしてそれは、実ベクトル空間と見なせば、次元あって、
拘束する式の数はｎ（ｎ＋１）／２個だが、実数としてみたら、各式が
実部と虚部の式となってるから、ｎ（ｎ＋１）個の条件式といえる。
よって、２＊ｎ＾２−ｎ（ｎ＋１）＝ｎ（ｎ−１）

で、一般的にいって、ｎ次素多様体ならば、２ｎ実多様体
逆はしらない。


で、良いんでしょうか？言葉の不正確さなどは気にしないでください