【O(n)】計算量の評価方法について【O(log n)】

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1デフォルトの名無しさん
論文を仕上げるときに欠かせない計算量の考察
ランダウ表記というのがあるそうですが
計算量算出の根拠とかコツとかについて語り合いましょう

関連スレ
O(n)のソートアルゴリズムを発見した
http://toro.2ch.net/test/read.cgi/tech/1212217022/

参考
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6%E3%81%AE%E8%A8%98%E5%8F%B7
2デフォルトの名無しさん:2013/03/21(木) 18:28:13.28
計算量について基本的なことなんですが教えてください。
このページに
http://imoz.jp/algorithms/imos_method.html
>記録には O(C) が,シミュレートには O(T) がかかるので,全体としての計算量は O(C+T) となります
と書いてありますが、ループを並べる場合ってO(max(C, T))ではなくてO(C+T)のように足し算してもいいんでしょうか?
3デフォルトの名無しさん:2013/03/21(木) 19:32:19.42
「データ構造とアルゴリズム総合」のスレでいいじゃん
4デフォルトの名無しさん:2013/03/21(木) 20:27:35.02
アイちゃんまだー チンチン
5デフォルトの名無しさん:2013/03/21(木) 22:57:18.98
このスレッドは天才チンパンジー「アイちゃん」が
言語訓練のために立てたものです。

アイと研究員とのやり取りに利用するスレッドなので、
関係者以外は書きこまないで下さい。

                  京都大学霊長類研究所
6デフォルトの名無しさん:2013/03/22(金) 01:45:09.35
O(定数+定数)=O(定数)

全部読んでないけど、この問題に出てくる C は定数の C じゃなくて、お客さんの数らしいんだよね。
で、C も T も入力時に与えられる変数で定数じゃないみたい。
7デフォルトの名無しさん:2013/03/22(金) 01:45:47.23
蟻本見たらループ回数が変数のループを並べる場合の計算量はO(N+M)みたいな足し算になってたよ

そりゃそう書く事に意味があるからね
8デフォルトの名無しさん:2013/03/22(金) 01:48:26.58
O(C+T)でなくてO(N)でよい
9デフォルトの名無しさん:2013/03/22(金) 01:53:06.06
==> [多変数の場合]

関連の無い2つの変数があるなら
それは1つにはまとめられないよ
10デフォルトの名無しさん:2013/03/22(金) 02:05:41.98
O(n)をO(log n)に出来るアルゴリズムの変更をしたが、
1要素を処理する為の計算量がm倍に増えた

仮にnが10000の時、
計算量が100倍に増えても
速度的には等価ってことであってる?
11デフォルトの名無しさん:2013/03/22(金) 03:34:16.33
何と何が「等価」なのかを聞きたいの?
12デフォルトの名無しさん:2013/03/22(金) 09:17:21.24
O(M+N)でM側が常にゴミ同然ならO(N)でいいだろうが
MとNのどちらが支配的になるかがMとNの大きさによるのであれば
O(M+N)と書くべき
13デフォルトの名無しさん:2013/03/22(金) 09:18:02.09
グラフ探索で頂点の数がM、辺の数がNの時に探索のオーダーをO(M+N)と表すのが有名な例。
14デフォルトの名無しさん:2013/03/22(金) 09:38:08.05
QuickSort の計算量の求め方が判らないんだけど
誰か解説して
15デフォルトの名無しさん:2013/03/22(金) 09:39:37.84
O(M+N)って例えばO( m^2 + n )や O( m + log(n) )という書き方できるの?

MとNが常に同じ次元なら別々に書く意味はそれ程ないと思うけど、別のものを使えるなら、
分けて書かないと意味が違ってくるような気がする。
16デフォルトの名無しさん:2013/03/22(金) 10:02:34.23
もちろんできるよ。
17デフォルトの名無しさん:2013/03/22(金) 10:45:09.98
>>14
厳密な証明じゃないけど、入力(ソートする配列)のサイズを n として、パーティションのステップで n 、結果としてサイズ n/2 の配列が2つできる。2つのサイズ n/2 の配列に対してそれぞれクイックソートするから、合わせると

T(n) = n + 2T(n/2)

= n + 2{ n/2 + 2T(n/4) } = 2n + 4T(n/4)
= 2n + 4{ n/4 + 2T(n/8) } = 3n + 8T(n/8)
...
// 繰り返すと以下のようなパターンが見えてくる
...
= kn + 2^k * T(n / (2^k)) --------- (*)

になる。
T(n/(2^k)) の n / (2^k) が 1 になるとき、n = 2^k <---> k = log n

k = log n を (*) の式に戻してやると

= kn + 2^k * T(n / (2^k))
= n log n + n * T(1)
= O (n log n)
18デフォルトの名無しさん:2013/03/23(土) 17:00:23.30
>>15
できるとは思うが、大抵次元の低い方がゴミになるんじゃないかな
19デフォルトの名無しさん:2013/03/23(土) 17:55:14.51
>>17
= n log n + n * T(1)
= O (n log n)
じゃなくて

T(n)
= n log n + n * T(1)

O ( T(n) )
= O ( n log n + n * T(1) )
= O (n log n)

ではないのですか?
2017:2013/03/23(土) 18:55:05.27
O 記法は、ある定数Cがあって、n がある程度大きいときに常に以下の式が成り立つとき

f(n) < C * g(n) ---------- (*)

f(n) = O(g(n)) と表記する。ってのが定義だから、この場合は T(n) = O(n log n) であってる。

最後端折っちゃったけど、つづき
T(n) = n log n + n * T(1)

T(1) は入力サイズにかかわらず一定なので定数 d とする。

T(n) = n log n + d * n

n がある程度大きくなれば常に d < log n なので

T(n) = n log n + d * n < n log n + n log n = 2 n log n

整理すると

T(n) < 2 n log n

O記法に戻って f(n) を T(n)、C を2、g(n) を n log n と対応させると T(n) = O(n log n)
アルゴリズムイントロダクションみたいな有名な本をちょっと見てみるといいよ。
21デフォルトの名無しさん:2013/03/25(月) 13:47:30.00
>>17 >>20
ありがとうございます

以前なにかの本で読んだときは意味不明だったのですが
懇切丁寧な説明のおかげで多少理解が進みました
きっと前に見た本が糞だったのだと思います

>アルゴリズムイントロダクションみたいな有名な本をちょっと見てみるといいよ。

そうします
22デフォルトの名無しさん:2013/03/25(月) 13:52:27.86
第三版日本語版が出てるらしい。

http://diary.overlasting.net/2013-01-02-2.html
- 第一回 [2013-01-24-1]
-- http://diary.overlasting.net/2013-01-24-1.html
- 第二回 [2013-01-31-1]
-- http://diary.overlasting.net/2013-01-31-1.html
- 第三回 [2013-02-07-1]
-- http://diary.overlasting.net/2013-01-31-1.html
23デフォルトの名無しさん:2013/03/25(月) 14:05:13.78
なんかリンクが可笑しいので訂正。

アルゴリズムイントロダクション 第3版の日本語版が出揃ってた
http://diary.overlasting.net/2013-01-02-2.html
アルゴリズムイントロダクション輪読会 01
http://diary.overlasting.net/2013-01-24-1.html
アルゴリズムイントロダクション輪読会 02
http://diary.overlasting.net/2013-01-31-1.html
アルゴリズムイントロダクション輪読会 03
http://diary.overlasting.net/2013-02-07-1.html
アルゴリズムイントロダクション輪読会 04
http://diary.overlasting.net/2013-02-14-1.html
24デフォルトの名無しさん:2013/03/25(月) 14:06:31.10
NHNってLINE(ハ○ゲ)の会社か
25 忍法帖【Lv=40,xxxPT】(1+0:5) :2013/03/25(月) 16:09:11.43
なかなか良スレだと思うけど
逆に言えばこういうの語られる場所はほとんど無かったわけで
計算量の見積もりとか語りにくい地味な話題なんだろうな
>>3
計算量もわからないのにこのスレいるの?とか話終わらす奴もいるし適当だと思わん
実際計算量見積もりとかまでやりだしたらごちゃごちゃするぜ?
26デフォルトの名無しさん:2013/03/25(月) 16:19:10.51
迷路を解くアルゴリズムで
(出題される迷路は四角形でスタートとゴール以外の通路は全て繋がっていて
解答は一本道のみで浮いたループとかもないものとします)
1.各枝を順に探索して袋小路まで行ったら戻って続き(左手の法則とか)
2.各通路を最小の四角形の部屋に分け三方を壁で囲まれている部屋を全て壁に置き換え(繰り返し)
3.もっと速い何か
のどれが最速かとか計算量で考察出来ますか?
27デフォルトの名無しさん:2013/03/25(月) 19:56:39.91
>>25
> 逆に言えばこういうの語られる場所はほとんど無かったわけで
> 計算量の見積もりとか語りにくい地味な話題なんだろうな

> 実際計算量見積もりとかまでやりだしたらごちゃごちゃするぜ?

いや、そういう積極的な意図や目的があって立てられたのならいいと思うよ。

ただ逃げるようにして立てられたのなら、結局同じだろと思ってただけで。
28デフォルトの名無しさん:2013/04/01(月) 21:14:09.47
唐突ですまんが、
nPrの計算量は、O(n!)で表すのか?
29デフォルトの名無しさん:2013/04/01(月) 21:34:18.21
>>28
O(n) でいいんじゃないの?
1) n! を計算するのに O(n) (for 文で 1 から n までを掛け合わせるだけ)
2) (n - r)! を計算するのに O(n) (手順は上と同じ。最大でも r = 0 の時で O(n))

トータルで O(n)

2) の (n - r)! の計算を先にやって覚えておいて、1) を計算するのに残りの n から n - r + 1 までの掛け算だけをやればもうちょっと手数は削減できるかも。結局 O(n) だけど。
30デフォルトの名無しさん:2013/04/01(月) 22:25:38.26
質問は、たぶん nPr の値を計算するのに必要な計算量ではなく、
ある計算をするのに必要な計算回数などが nPr 回と見積もられたら、
ビッグ・オー記法では O(n!) になるのか、という事だと思う。
31デフォルトの名無しさん:2013/04/02(火) 04:21:53.96
O(nPr)=O((n-r)!)
3228:2013/04/02(火) 12:45:51.99
>>29
ありがとうございます。
しかし、先ほどの質問は>>30の言う通り、「ある計算をするアルゴリズムの計算量がnPrとエスティメイトされたとき
ビッグ・オー記法ではO(n!)と表すのですか?それともO(n)ですか?」ということです。

>>31
本来はnPr=n!/(n-r)!ですよね?
33デフォルトの名無しさん:2013/04/02(火) 12:54:06.97
O(nPr)=O(n!-r!)
3428:2013/04/02(火) 12:58:00.61
>>33
それは実際に計算してみると違いますが、O記法ではそうなるということですか?
35デフォルトの名無しさん:2013/04/03(水) 16:50:10.99
nPrは
O(n!)
3628:2013/04/13(土) 11:16:01.44
>>35
カキコするのとても遅れましたが、ありがとうございます。
そう表記するのですね。
37デフォルトの名無しさん:2013/04/13(土) 23:55:40.31
マジレスするとnPr=O(n^r)
38デフォルトの名無しさん:2013/05/12(日) 11:23:49.97
BTreeで検索にかかる計算量を一定以下に見積もるために
(ほぼ)常にバランスを取る方法は色々あるようですが
それぞれの方法は同じ原理に基くものなのでしょうか?
39デフォルトの名無しさん:2013/06/01(土) 17:39:32.93
OとΘの区別もついてない人がいるせいで
無駄な議論が増えていく
40デフォルトの名無しさん:2013/06/13(木) 09:48:20.28
O(オーダー)は計算量の上界、つまり
とある問題を解く場合に「これだけの時間があれば確実に解けます」という計算量を示す。

Ω(オメガ)は計算量の下界、つまり
とある問題を解く場合に、「どんなに頑張ってもこの問題はこれだけの時間がかかります」
という計算量を示す。
41デフォルトの名無しさん:2013/06/20(木) 12:04:09.45
lim[x→a]f(x)=0
lim[x→a]g(x)=0
とする。lim[x→a]f(x)/g(x)=0
となるときf(x)はg(x)の高度の無限小といい
f(x)=o(g(x))と書くんだよな。
lim[x→a]f(x)/g(x)が定数になるときO(g(x))とかく。
ちなみに(a_n)がaに収束する列とするときf(a_n)/g(a_n)については条件を満たさなくていいし
上極限をΩ(g(x))下極限をO(g(x))と定義してO(g(x))をΘ(g(x))で定義する場合もあるんだよな。
もちろんlim[x→a]f(x)/g(x)が収束すればΘ(g(x))=O(g(x))だけどな。
42デフォルトの名無しさん:2013/06/20(木) 15:14:52.70
Θ(g(x))=O(g(x))>Ω(g(x))
ですか?
43デフォルトの名無しさん:2013/06/21(金) 00:58:33.29
>>41
教科書丸写しして楽しい?
44!ninja:2013/11/10(日) 14:23:28.68
結局馬鹿いじりしたがるスレチの馬鹿ばっかりになったか
もういいよ
コミュ障ばっかりだからやめやめ
45デフォルトの名無しさん:2013/11/11(月) 17:55:23.45
おお
こんなスレ立ってたのか
46デフォルトの名無しさん:2013/11/11(月) 22:39:54.14
Oは命より重い
47デフォルトの名無しさん:2013/11/12(火) 07:33:55.61
スモールoの方が好きです
48デフォルトの名無しさん:2014/01/27(月) 14:31:55.81
無限大
49デフォルトの名無しさん:2014/11/09(日) 04:13:27.18 ID:iOEsToOb
Do As Infinity
50デフォルトの名無しさん:2015/02/05(木) 18:48:53.91 ID:Wisgh0P5
Do It Yourself
51デフォルトの名無しさん
When in Rome do as the Romans do.の意味や和訳。 《ローマではローマ人のするようにせよ》 「郷に入っては郷に従う」