【MTG】数学・理論でMTGを考えるスレ【数学】

確率計算をフル活用して構築したい、期待値を元に最適プレイングを考えたいという人たちのために。

具体的に何をするスレなの？

じゃあ、テンプレ作るために土地枚数と土地引く確率
１〜４枚詰みのカード引く確率計算しようぜ

これは大学受験の俺にタイムリーなスレ

4 　　　　3 　　　　2 　　　　1
0 0.399499626 0.315429573 0.221468927 0.116666667
1 0.444820409 0.354178843 0.250847458 0.133333333
2 0.487526531 0.391437756 0.279661017 0.15
3 0.527720529 0.427235535 0.307909605 0.166666667
4 0.565502886 0.461601403 0.33559322 0.183333333
5 0.600972039 0.494564582 0.362711864 0.2
6 0.634224369 0.526154296 0.389265537 0.216666667
7 0.66535421 0.556399766 0.415254237 0.233333333
8 0.694453844 0.585330216 0.440677966 0.25
9 0.721613502 0.612974868 0.465536723 0.266666667
10 0.746921365 0.639362946 0.489830508 0.283333333
11 0.770463564 0.66452367 0.513559322 0.3
12 0.792324177 0.688486265 0.536723164 0.316666667
13 0.812585233 0.711279953 0.559322034 0.333333333
14 0.83132671 0.732933957 0.581355932 0.35
15 0.848626534 0.753477499 0.602824859 0.366666667

受験勉強しながら暇見てやってるのでとりあえず今はn積みで引く確率だけで勘弁。
今回は少なくとも1枚引く確率な。
{60-(積み数)｝Ｃ｛7+(ターン数)｝／60Ｃ｛7+(ターン数)｝を1から引く、で合ってるよな？
頭が残念な人なんで間違ってたら勘弁。

>>4
勉強しろよ

sage忘れｽﾏｿ

つーか見辛いなあおい……
言い忘れたがもちろんマリガンなし、60枚構成。
縦がターン数、横が積み数。
こういうのって本当に合ってるのかどうか気になってドキドキしてしまう……。

十二足獣くんが四肢切断されました。残りは何足でしょう？
（トレイリアのアカデミー・小等部入試試験、筆記試験より）

みたいなスレかと

アドストームが２ターン目までに相手を殺せる確率を知りたい。
体感だと７割超えてる気がする。

まじめに知りたいならサンプルレシピくらい張れと

>>5
見づらい。
有効数字は２桁で十分だろう。それで百分率表示したほうが見やすい。
せっかく合ってるのにもったいないぜ？

ならば最初にやることはスタンダードにおける理想のバーンデッキを作ることな気がする。ボードは極力期待せずに手札とマナカーブを重視して作れば理論づけられるんじゃないか。

>>4

勉強しろ

デッキに山を９枚から20枚まで入れた場合、それぞれの枚数で少なくとも初手に１枚以上山を引く確率を誰か計算してみやがって下さい

>>11
スライならともかくバーンはちょっと無理があるんじゃね？この環境じゃあ。
勝率無視した実験的なデッキでいいなら作れるかもしれないが。
モダンくらいカードプール広くて活躍できそうならともかく。

>>12
ガイシュツですのでご自分で計算してね。
{60-(積み数)｝Ｃ｛7+(ターン数)｝／60Ｃ｛7+(ターン数)｝を1から引く
だから。エクセル使えば一瞬だろ。

09 70.02% 64.03% 56.99%
10 74.14% 68.26% 61.21%
11 77.76% 72.07% 65.09%
12 80.94% 75.49% 68.65%
13 83.72% 78.55% 71.91%
14 86.14% 81.29% 74.90%
15 88.25% 83.73% 77.63%
16 90.08% 85.90% 80.12%
17 91.66% 87.82% 82.37%
18 93.01% 89.52% 84.42%
19 94.18% 91.02% 86.28%
20 95.17% 92.33% 87.95%

とかいいつつ勝手に手が動いてた。別に>>12のためじゃないから勘違いするな。
マリガンも二回までは考慮した。三回目以降が欲しいならご自分で。

自分のデレも計算しとけよｗ

09 1.050
10 1.167
11 1.283
12 1.400
13 1.517
14 1.633
15 1.750
16 1.867
17 1.983
18 2.100
19 2.217
20 2.333

あと初手にくる土地の期待値な。これも別に頼まれてないから。>>12のためじゃないし。

>>13
そこはレガシーだろｊｋ

初手に来る土地の期待値の計算式教えて欲しいです

>>18
紙と鉛筆があれば高卒程度の計算で出来るはずなんだが。
期待値って知ってるか？
取り得る値にそれぞれの確率をかけて合計したものが期待値だった。
つまり
a=入れた枚数
b=1,2,3,…,a(a≦7)
　1,2,3,…,7(a≧7)　
bは初手に来ることのできる欲しいカードの枚数とすると

�@入れたa枚のカードからb枚選ぶ場合の数
�A(60-a)枚の残りの要らないカードから(7-b)枚のカードを選ぶ場合の数
�B60枚から7枚のカードを選ぶ場合の数
の三点を考えてやればいい。これで各bの値に対する確率が求まる。
その確率と対応するbの値の合計が期待値となる。

以下がその計算式。

aCb*(60-a)C(7-b)/60C7
Cはコンビネーションな。念のため。

これが初手にb枚来る確率。
それに各々bをかけて全てを合計してやると期待値になる。
……改めて見ると日本語不自由だな、俺。誰か補足説明頼むわ。

>>13

ちょっとエクセルで計算してみようと思ったけど、エラーが出た。

エクセル初心者だからちょっと教えてくれよ。
これを入力したらいいの？

＝(60-24)C(7+B5)/60C(7+B5)

・B5はターン数

ちょｗｗｗ

エクセルでCって打ってもコンビネーションにならないっす。
コンビネーション関数はCOMBINを使います。

＝1-(COMBIN(60-24,7+B5)/COMBIN(60,7+B5))

でどうよ。といっても俺もエクセルなんかほとんど使えないんだが。

補足。24枚も土地積んでるデッキで「初手に少なくとも一枚の土地が来る確率」を計算してもあまり意味ない。
どうせ9割超えるからなｗｗｗ
それよりも期待値考えた方が色々捗るぜ。

>>19は取り消すわ。別に間違っちゃいないけど煩雑。
色々調べてたらもっと簡単に期待値計算してるサイトがいくつかあった。
適当にggったら出てくる。

一応転載させてもらうと

{6+(ターン数)｝*(入れた枚数)/(デッキ枚数)

があるターンにおける、あるカードの期待値。念のため>>16とも照合したが結果は一致した。
あれ……？てことは当然イコールの式なのか……。ちょっと証明できるか試してくるわ。
俺もまだまだだな。受検が思いやられるわ。

>>21
ありがと！

俺コンビネーションって習ってないからよく分からないんだけど
2枚来る確率とかもコンビネーションで出せるの？

>>24
ちょうど二枚来る確率か？それは>>19の

aCb*(60-a)C(7-b)/60C7

のaに入れた枚数、bに2を入れれば出る。


まだ組み合わせ習ってねーのか。遊びも勉強も頑張れよ。俺みたいにはなるな。

>>25

詳しくアリガトー

まだ習ってないというか、うちの高校ではおしえてないよ。
数学は一年までだし、3年になれば英語の授業が消える驚異の環境。

その代わり特殊な授業が多い感じ。

もしもしですまんが初期手札の土地枚数も計算できるのか

土地23枚の初期2枚ってどんなもんすかね

>>27
土地23枚の初期土地期待値は2.683枚
2枚来る確率は28.56％

これもガイシュツなんで次からはレス読んでな^^

>>28
おーサンクス
ややこしいから文系の俺にはチンチンプンプンだったわ

ありがとねー

近年稀に見るツンデレスレだった

ルーンのほつれとマナ漏出、どっちが強いんだろう？
要求するマナの期待値計算とかって出来ないの？誰かおなしゃす。

基本的にはマナ漏出
マナ漏出は対抗呪文があった時代でも青が濃くないデッキなら対抗呪文よりも優先して入れられてた事もある。極稀だけどね。
でも今のマナ漏出構える前にミラクルが出て来るような環境ならルーンのほつれも


って書いてたら他のカードと勘違いしてたわ俺死ね

ルーンのほつれは長期戦向けだからな。リークはコンスタントに３だが。
だが平均すると何ターン目に二枚目が撃てるのか分からんな。

計算法は分からん。誰か任せた。気になるわ。

白ウィニーみたいにクリーチャーの配分が重要なデッキとかに最適な数学理論とかって無いのかね

風呂入りながら考えたら多分だけど思いついた。

ほつれは要するに2nのペイコストを要求する訳だから(nは引いたほつれの枚数、ここでは引いたらすぐに使うものと仮定)
単純計算nが1.5を超えればリークに並ぶわけだ。つまりtターンにおける引いたほつれの期待値が1.5を初めて超えるターンが
リークがほつれを超えるターンとなる。
期待値の式を使って
1.5=(7+t)*4/60
⇔22.5=7+t
⇔t=15.5
つまり16ターン目以降になって初めてリークを超えられるという訳だ。
ここでは相手がほつれを使う可能性、ドローやデッキ破壊を使う可能性は考慮していない。
また、一枚目のほつれの要求コストが2であり、一枚目のリークに比べて撃ちづらいことも考慮していない。

が、どうみてもこれは漏出の方に軍配が上がるな。
どんなに贔屓目に見ても二桁のターンが経過しないとリークは超えられない。


……で合ってる？頭の良い方、補足or訂正よろ。

>>34
具体的に何を計算したいのかを数値化できないことには何とも……

速攻系のデッキならやっぱりマナカーブじゃない？

一枚目のほつれはpay2で漏出より弱いが序盤打ち消すならpay2もpay3も変わらない

後半にpay4やpay6させられる点でほつれのが優秀だと俺は思う

デッキだけじゃなくて、現環境のスタンで一番剥いた時に高価なカードが出る確率の高いエキスパンションを計算してみたりとかね

>>38
それだと一枚のズバ抜けて高いカードが存在するパックがあるのになりそうじゃないか
というかやる前からどうせm12だろって気がする

>>37
>>35にも書いてあるがほつれが1.5枚揃うのが大体15ターン目なんだぜ？
単純計算土地が10マナ程度並んでる状況でpay4ぐらい払える気がするんだが……

スタン時代ならともかく、現在使えるフォーマットは小粒のカードばっかりなんだから、正直言ってほつれに出番はない。
序盤の強さを考えてマナ漏出の採用が優先だろ。

突き詰めて行けばデッキリスト後手先手だけで勝率わかりそうだな。
おそらく天和出る確率計算するより面倒だが

ちょっと無理だろうね。少なくとも俺には無理だ。
それはもう選手権会場での勝率を目安にでもする方が簡単に済みそうだけどね。
そういうのは数学よりも統計学の出番だと思われ。

丁度モダンで原野の脈動がいいのか疲弊の休息がいいのかー、みたいな話題あったけど、そういうのって数学的には比較検討できないの？
誰か頭いい人頼みますorz

>34

正しいかどうかわからないですが、
自分にとってのブン回りがわかっているなら、
それに合わせて必要なカードの枚数は計算できるかなと思います。
あくまで計算なので、同じ用途でカウントできるカードがないなど、
その後の事を考えないとダメですが。

43の続き

以前にスタンの感染で3ターンキルを目指したデッキを作ったことがありまして、
その時は計算をしっかりやってみました。

１ターン目　回避の為の呪文爆弾を置く（青or赤）
２ターン目　軽量の感染クリーチャー
３ターン目　１マナパンプ呪文3つ

先手を前提に考えると・・・

土地の枚数は、
3ターンまで順調においていきたいので、
3ターン目までに3枚弾けば良いので
3/(7+2)*60=20

マリガンの判断があるので、
初期手札の内訳として、
（１）呪文爆弾×１
（２）感染クリーチャー×１
（３）土地×２
（４）パンプ呪文×３
が理想だと考えると、

（１）、（２）の1枚が期待値となるようにするには、
1/7*60=8.57・・・　約９枚

（３）の2枚が期待値となるようにするには
2/7*60=17.・・・　→先にやった土地の考察のほうを優先

（２）の3枚が期待値となるようにするには、
3/7*60=25.7・・　約26

考察結果
（１）呪文爆弾・・・9枚
（２）感染クリーチャー・・・9枚
（３）土地・・・20枚
（４）パンプ呪文・・・26枚

そのまま合計すると64枚になるので、うまく出来ず、
調整して、
（１）呪文爆弾・・・8枚
（２）感染クリーチャー・・・8枚
（３）土地・・・20枚
（４）パンプ呪文・・・24枚

でスタートしたデッキを作ったことがあります。

　回した感じだと、約4割は、3ターンキルが出来るハンドで、
実際に2.5割は3ターンキルできました。

812 ：名無しプレイヤー＠手札いっぱい。：2011/12/03(土) 02:31:39.23 ID:NT7qFsDg0
>>810
申し訳ない…
デッキ内容は
島20枚
秘密を掘り下げる者4枚
クリーチャーA4枚
ソーサリーorインスタントB、C、D、E、F、G各4枚
アーティファクトH、I各4枚

手札は7枚、初手に少なくとも1枚は秘密を掘り下げる者があるとする
マリガンは行わないものとする
相手の妨害はないものとする

こんな感じでどうでしょ？
秘密を掘り下げる者強いんだろうけど、自分で使っててあまり活躍しないので
簡単なモデル下でどのくらいの確率でひっくり返るのか気になったのです。

816 ：名無しプレイヤー＠手札いっぱい。：2011/12/03(土) 05:03:14.07 ID:WTWhpSij0
>>814
そこは「初手に島と秘密を〜が各1枚ずつ以上」と
読み替えてあげるのがやさしさ
複雑な計算になるからmaxとminだけでも計算してみるか…

maxの条件は
初期ハンドにB〜Gがない
（島、虫、A,H,Iのみで構成される7枚）

minの条件は
初期ハンドが島、虫1枚ずつと他5枚がB〜Gで構成される

でおｋ？
それぞれ残りの53枚に対してトップカードが
B〜Gである確立だよな？

817 ：816：2011/12/03(土) 05:11:11.59 ID:WTWhpSij0
なんか自分で書いてておかしい気がするが…複雑な計算になり得なかった
それとも前提条件がおかしいのかな
min35,8%〜max45,3%くらいになるはずだが
全然確立論的な計算方法じゃないんだ


これがなんかしっくりこないんだケド
頭いい人計算方法教えてくれ

>>45
それだと
53枚のライブラリーにソーサリーとインスタントが合わせて24枚(minだと19枚)入っています。
トップをめくったときにソーサリーorインスタントがめくられる確率はいくつですか？
って質問の答えじゃね？

max(またはmin)条件を満たす初手になる確率とかが考慮されてないような。

今来たんでろくすぽ読んでないんだけど、

「秘密と島を1枚引いた時、次のドローがInstant or Soccery(以下I/Sと略記)となるPro.」を求めればいいんですよね？
めくれないカード(以下Othersと略)の合計は秘密１枚と島１枚を差っ引くと34枚だから

(1)初手に1枚もI/SがないPro.は

24/58　*(34 C 5)*(24 C 0)/(58 C 5)=0.025128219

(2)初手に1枚I/SがあるPro.は

23/58　*(34 C 4)*(24 C 1)/(58 C 5)=0.096324839

(3)以下同様に

2枚　0.136719126
3枚　0.089721927
4枚　0.027188463
5枚　0.003038711


(ライブラリートップがI/SとなるPro.)　*　(初手に来るOthersの選び方)*(初手に来るI/Sの選び方)/(初手の選び方の総数)
を上記の計算で用いた。
ここでこれらの事象は互いに独立であるから求めるPro.はこれらの総和。

0.378121284

が答えで、約37.8％でめくれる。


初手に秘密と島が来る確率を考え出すと死ねるからここらでパス。間違ってたら訂正よろ。
別にお前らのためにやったわけじゃ(以下略

×「秘密と島を1枚引いた時、次のドローがInstant or Soccery(以下I/Sと略記)となるPro.」
○「秘密と島を『初手に』1枚ずつ引いた時、次のドローがInstant or Soccery(以下I/Sと略記)となるPro.」

前提が悪いな

マリガンしない条件をつけてしまったのでこれだと、初手に固定された2枚以外の他5枚がなんであろーと場合分けする必要がない

2ターン目に限らず、各ターン変身出来る確率は常に24/58だ

×(1)初手に1枚もI/SがないPro.は
○(1)初手に1枚もI/Sがない『場合、秘密がひっくり返る』Pro.は

×(2)初手に1枚I/SがあるPro.は
○(2)初手に1枚I/Sがある『場合、秘密がひっくり返る』Pro.は

穴だらけ＆連レスすまない。ちょっと受験勉強に戻ってくるんでしばらく外す。

もう戻ってこなくていいよ

>>49
あ、はいこちらが正しいです。どっかで間違えました。ごめんなさい。
もう戻ってこないんで許してくださいさようなら。

カードを信じる気持ちが数字を凌駕するはず

デステニードローを信じるしかない。
今引きラスゴとか超熱い

ドローは創造するもの

ちょうどb枚来る確率は>>19のaCb*(60-a)C(7-b)/60C7だけど
b枚以上の求め方はどうなる？
1-（ちょうど0枚）-（ちょうど1枚）-…で出すしかないのかな？
もっと簡潔なのがあれば頼む

考えるな感じろ

このサイトが出てないけど、知られてないのかな？

MTG計算機
http://mtgcalc.client.jp/

カードA：４枚
カードB・C：（４枚中）１枚

初手でマリガンなしで揃えれる確率はどの程度でしょうか？
できれば分数でお願いします。

>>59
ちょっとした確率論のお話．ただし対象年齢が書いてる内にわからなくなった
http://ll.la/7+ni

確率論なんてのは同様に確からしいことが前提だからな
カードゲームみたいに偏りが激しい＆一度のゲーム内に試行回数が極端に少ないって条件下で確率なんて期待しないほうがいい
それこそ自分の右手信じたほうがマシ
同じデッキ使って何千回も対戦するなら確率どおりに収束するだろうけどね
土地の枚数期待値は意味あるか

確率論なんて所詮選択の拠り所なだけだ

知ったような口ぶりに思わずﾜﾛﾀ

誰かなんかモンテカルロ法で面白いことやってくれ。

>>64
これ読んでみては？モンテカルロ法をMtGに適用してみたって話らしい。
Monte Carlo Search Applied to Card Selection in Magic: The Gathering
http://www.ieee-cig.org/cig-2009/Proceedings/proceedings/papers/cig2009_002e.pdf

安価ミスった。>>63ね。

結構面白そうなスレだなと思ったのに大して盛り上がってないね。

最近初めて知ったんだけど、エクセルに超幾何分布の確率を返す関数があるんだねｗ
HYPGEOMDIST(a,b,c,d)とかいうやつ。
今までコンビネーション使って計算してたけど、これ最高に楽だわ。
上のほうでコンビネーション使ってる人がいるみたいだから、
俺みたいに知らなかった人も結構いるんだろうけど、一回使ってみるといいと思う。

>>67
これめちゃくちゃ便利だわ
サンクス

EXCELの統計関数はいまいち信用ならんからRとか使った方が良いかも

モンテカルロで面白い結果っつても、手札の質評価だけだったら
離散一様分布みたいなもんだしな

モンテカルロはプレイングの部分をきっちり作れれば、
ソリティアで回させていろんな結果を見るとかも面白そうなんだけどな

それ、もはやプレイングの関数作る所が本質的でモンテカルロがおまけになってる

青黒相手で蔑みリークをかわして聖トラフトを着地できる確率のとかなら、
解析的にやると厳しい割にモンテカルロで簡単に計算できる

そういうシミュレーションでも、相手が実際に蔑みやリークを使ってくるかどうかは結構曖昧にやらざるを得ないのでは？
まあ必ずリーク構えるとかそんな感じの雑な条件でやってみて、実際はそれより低い確率になるとか考えるほかないのかな

あくまで見方の一つとしての数学的見地って奴でしょ
判断の一要素にするべきであって依存するべきものではないんだから
大雑把で問題ないと思うけどな

あまりに大雑把過ぎてもアレだが

今日のリミテッド(土地18枚)
ワンマリ後、土地１枚
土地１枚引けば２枚マナ加速あるし動けるからキープ

７ターン土地引かず唱えたスペル０のサンドバック　orz
確率としてはどの程度だったんだろうか

前提を40枚デッキ・初手6(土地1)・ライブラリー34(土地17)とすると
先攻で7ターン6枚引いた場合：(17/34)*(16/33)*(15/32)*(14/31)*(13/30)*(12/29)≒0.9202%
後攻で7ターン7枚引いた場合：(17/34)*(16/33)*(15/32)*(14/31)*(13/30)*(12/29)*(11/28)≒0.3615%

SRPGなら敵の命中率92%〜36%・必殺率1%はまず警戒するな
自信ないけど多分そのくらい

良スレ

なんか確率で考えるべきお題が欲しい。

マナスクリューとマナフラッドを定義して60枚デッキにn枚の土地を入れた場合にそれぞれが起こる確率Pを調べよう（提案）
さらに土地n枚中にフェッチランドをm枚使用した場合の確率も調べよう（提唱）
さらに発展させて色事故にも迫ってみよう（白目）

頭悪いんだから無理するなよ

とりあえず2番目の土地n枚フェッチm枚の時、tターン目に土地がl枚場に出ている確率ってのをモンテカルロでやってみた。
けど、全部のパターン書きこむとか量的に無理だわｗ

一例として、土地24枚の場合、4ターン目に4枚出ている確率は約63％だけど、
24枚中4枚をフェッチに変えるとその確率が約1％くらい下がるっぽいとかそんな感じ。

量的に無理ってのはどの部分？
土地の置き方はスライ系を意識してフェッチ優先で良いのではないだろうか

土地の置き方は既に常にフェッチ優先でやってた。

俺が言いたかったのは、すべて書きこむにしてはデータが多くなりすぎるってことね。
土地24枚中フェッチ2枚の2ターン目土地2枚の確率とか全部書いてったら表にしてもそこそこな量になる。
現実にありそうなパターンだけに限るとしても、とても多すぎてここには書き切れないよ。

フェッチのデッキ圧縮効果は無いよりましって感じだな

使えるマナが減る効果と使えるスペルが増える効果で相殺しあう部分とかフェッチ自体のデメリットなんかもあるから
圧縮目的のフェッチが最終的にデッキをうまく回す上で良い方に機能するのかどうかはよくわからんね

フェッチ後置きすればマナの伸びる可能性が僅かに上がるので、
それを考慮したデッキ構築をすれば圧縮効果が有意に出るかもしれない

ただそれに見込まれる圧縮効果に対してペイライフってのはちょっと割に合ってるのかどうなのか

マナフラッドの定義はハンド7枚中土地2or3枚でキープして5ターン目まで土地以外のカードしか引けない状態
とかで良いんだろうか

そのデッキがそれぞれ開始から数ターン間の各ターン目に最低何マナで動きたいかに寄るんじゃないの

と言うか、マナフラッドは土地ばかり余り過ぎてる方で、土地が足りない事故はマナスクリューじゃなかったか

土地n枚のデッキで初手の土地枚数x〜yの範囲になるか手札4枚になるまでマリガンをし、ｔターン目まで土地orスペルしか引かない確率
でどうだ！

あげ

『論理的に考えて強い』カードってのはどんなのがあるんだろう？

>>91
「論理的に」を定義してくれ

出たよ定義厨

勝利に寄与した度合いが高ければ強いと考えるなら
どうやって寄与した度合いを測ったらいいだろうか？

>>94
統計的に勝利とカード使用の相関をとるとか

カード単体の評価方法なら、渡辺雄也の７つの分析みたいに環境を定義しつつ、
公式ハンドブックの真木さんみたいにマナレシオからお得感を割り出せばいいんじゃね

やっぱ膨大なプレイデータから相関見るとかしかないかな
WotCって絶対MOのデータでそういう分析してるよね

シミュレーションの繰り返しで得られるものは多そう
遺伝的アルゴリズムでデッキやプレイングを進化させたりとか

でも完全ランダムだとパターンが多すぎて成長が遅すぎるから
純粋な理論も固める必要があるだろうな

各ターンにプレイできる呪文なんて数種類しかないんだから、
その数種類のプレイする優先順位を決めてしまえば
6ターン目くらいまでは結構機械でもきれいに回せそうな気がする
もしこれでそこそこうまくいくならソリティアシミュレーションが捗るな

構築やプレイングではないけど

45種類あるアンコモンを通常版でコンプするには、何パック買えばいい？
期待値と90％以上になる場合、それぞれお願いします。

・・・レアなら計算できたのですが、3枚セット(ダブりなし)となるとオーバーヒート寸前です

計算しようと思って途中でわからなくなった。
3枚ダブりなしってどうやったらスマートにできる？

ｎ種類のカードをダブりなしのm枚パックで買い集めるとき、n種類全てが
集まるまでに買うパック数の期待値は
1+Binom(n,m)*Σ[j=1 to n-m](-1)^(j-1)*Binom(n-m,j)/(Binom(n,m)-Binom(n-j,m))
ここでBinom(n,r)は二項係数n!/{r!(n-r)!}を表す。
また、ｎ種類のカードをダブりなしのm枚パックで買い集めるとき、kパック目までに
n種類全てが集まる確率は
1-Σ[j=1 to n-m](-1)^(j-1)Binom(n,j)*(Binom(n-j,m))^k/(Binom(n,m))^k

n=45 , m=3　の場合、期待値は64.77パック、全て集まる確率が90％を超えるのは88パック目

ソート情報も考慮したらもっと複雑になるのかな？