ナビエ・ストークス方程式を使って流体力学

壁面からの無次元距離Y+は一般に以下の式によって
定義されると記載されていました。

Y+ ＝ ρ* Uτ* Y /μ
ただし、
ρ：密度
Y : 壁面からの距離
μ: 分子粘性係数
Uτ：壁面摩擦速度

ここで
Uτ ＝ √(τw / ρ)

ρ：密度
τw : 壁面せん断力

分子粘性と摩擦速度の定義がわかりません。

具体的に直径100mmの円管に速度2m/sで空気が流れている時の
Y+の出し方を教えていただけますか？
単位も含めてご教授願えませんでしょうか？

R.Byron Bird Warren E.Stewart Edwin N. Lightfoot 著　 "Transport Phenomena 2nd edition" の問題の11A.7がわかりません。どなたか教えてください。お願いします。

>>377
p.359のRaにairの物性値を代入、h=2.5cmを代入すれば(T1-T0)=3℃は出るんじゃないの?
金属の薄板を中央に入れた場合は、対流が起こるか考慮する領域がh=2.5cmからh=1.25cmに変化する。
これでRa<1700を解けば、たぶん(T1-T0)=24℃と出るだろう。
これは上端（または下端）から金属薄片までの温度差なので、最終的にはその2倍の24*2=48℃の温度差まで対流が起こらない、と推算できるのだろう。

実際に物性値を確かめて計算したわけではないから、自分で調べれ。
まぁ、48/3=16=2^{4}=2*2^{3}あたりの構造については多分大丈夫だけどな。

沸騰液体はどんな方法でシミュレーションしてるの？

二次元1000×1000のdimensionで、poisson方程式を解きたいんだけど
行列を解く際に係数行列の次元が（1000000×1000000、1000000×1000000)
になってとてもとくのに時間がかかる。
�@並列化が必要ですか？
�A解法はICCGにしたほうがよいですか？
を聞きたいです。

>>380
今はどんな解法で解いているの？

>>381
質問しときながらすいません。
解決しました。
以前はSOR法で大規模疎行列を解いてみましたがICCG法を用いたところメモリも大幅に
減少し並列化向けに作ったところもの凄く早くなりました。
やはり対称行列ならICCGで解いた方がいいですね。
ありがとうございました。

沸騰なんかできんの？

やろうと思えばできるんじゃないか？

age

　

いまさらだが、、
>>382
ICCGよりAMGのほうが早いぞ。
並列化もAMGも実装されているオープンソースのOpenFOAMを使え。

http://www.youtube.com/watch?v=3jGRyuC7fwI&NR=1
↑これって粒子法ですか？
これが粒子法だとすると
空間中の色の着いていないところにも空気の粒子は敷き詰められていて、
それらの粒子が、それぞれ保有する温度によって炎や煙の色に変化させて
リアルな炎の映像に見せてるだけですよね？

粒子法だろうな。
でも普通の？流体コードの流用でもできそうではあるな。

可視化はギミックいっぱいw
まあ、きれいだね。というか黒〜橙〜白の色テーブル使えばケロシン燃焼っぽく見えるわな。
黒〜青〜白で作ればアルコールランプやガスコンロっぽくもできるし。

>>387-388 間って一年以上空いてたのか。
この板には仕事柄たまに来るけど・・・すげぇなぁ

この板の過疎化は本当にすごいですね・・・
悠久の時間の流れを感じます。

>>389
即レスありがとうございますｗ
上で出したような燃焼っぽい映像を作るには、空気中に粒子を敷き詰めて
空間全体の空気の流れを考慮する必要があるのかと考えたのですが
↓下の映像を見る限りでは炎となる粒子しか考慮されていないような気がします。
もしかして空気の流れなんか考慮しなくても炎のエフェクトを表現するツールなんかで
リアルに見せてるだけって事はないですよね？
粒子法を勉強し始めた素人なので質問ばかりですがよろしくお願いします。

http://www.youtube.com/watch?v=JljSUt-ufZI&feature=related

どうだろ？
同じ人があげた他の動画をみるにつけ、いんちきモデルでなくてちゃんと
解いてるように見えるけど・・・具体的な計算モデルの中身はしらんw.

燃えてない領域にも粒子を配置しておかないと対流を作りにくいとおもうので
いちおう数値粒子は置いてるんじゃないかな？重力も必要ね。
この２つがないとすぐ酸欠で消えるハズ。
モデル自体は移動速度と位置に加えてケロシンと酸素の２成分を粒子ごとに記憶させて、
燃焼レート(ケロシン酸素量の時間微分)や経歴に応じて温度や光具合を決めてるんじゃないかな？
温度は燃焼レートには影響するだろうけど光具合にも影響するのかは・・・たぶん
ケロシンやアルコール燃焼だと効かないかな？

やっぱりそうですかぁ。
こんなリアルにエフェクトかけれるツールなんてなかなかないですもんね。
危うくだまされるところでした。

＞モデル自体は移動速度と位置に加えてケロシンと酸素の２成分を粒子ごとに記憶させて、
＞燃焼レート(ケロシン酸素量の時間微分)や経歴に応じて温度や光具合を決めてるんじゃないかな？

まるで化学反応そのものですねｗ　粒子法にはそういう使い方もできるなんて
発想がなかったので眼から鱗です。
とても勉強になりました。どうもありがとうございました！

CFL条件がきつくて時間進展の計算に異様に時間がかかるため、
クランク・ニコルソンなどの陰的解法を選択しようと思うんですが、
CFL条件を緩和する方法としては、どういったものがオススメでしょうか？
熱伝導方程式へCN法を適用した文献はかなりあるのですが、
流体となると陰的解法を載せた参考書等があまり見当たりません。
ちなみに、計算の条件としては、Reが1より十分小さく、圧縮性を考慮する
(周囲空気の温度に違いがあるため)球まわりの計算です。

>>394
オーソドックスには非定常のSIMPLE法。
CFL条件がきつくて、陰解法をというのはよく聞くが、実は差分の整合性がとれてないとか、
プログラムミスの非物理的な要因のためだった、といのが結構多いｗ
高精度解法なら時間・空間の整合性を考慮したアルゴリズム等も発表されている。
ちなみにそれ、圧縮性じゃなくてただの物性値の温度依存性じゃないの。

>>395
情報ありがとうございます。

急激な温度勾配がある空間での計算なので、熱エネルギーの
伝達があるため、圧縮性を考慮しないといけません。
球と言っても、粒子(直径数マイクロm)周りの非定常流れの計算を、
0.5〜1秒程度を目安に行いたいのです。ある程度詳細に解析しようとすると
グリッドを細かく取る必要が出てきて、CFL条件が鬼のように厳しくなります。
極低Reなので、圧縮性NSの対流項を切りたい気もします。

あと、こんなページを見つけました
ttp://glossary.cdaj.co.jp/01000050/s02000/000809.html
陰的オイラーやCN法を使用してるCFDソフトみたいです。
流体でも使えるようならCN法を使いたいです(FDMで進めたいため)。
しかしCFDソフトが採用していても、「見かけがそれっぽくなるから」
ってだけで採用されてそうな気もして怖いです…

>>397 商用コードはたいてい陰解法だね。
温度勾配が急激とあるけど、CFLを小さくしないといけないのは対流項の影響なの、
それとも拡散の条件が厳しくて、結果としてCFLも小さくなるってことなの？

>>398
両方厳しいです。特性速度(音速)によるΔtの拘束は0.76[ns]程度、
粘性項のノイマン安定条件による拘束は3.125[ns]になりました。
このステップで1秒位を計算するのはキツイです。
よって陽解法は諦めざるを得ません…

音速のCFLが1を超えた圧縮性計算って、音をちゃんと
解いていないことになると思うけど、大丈夫なの？
音の変動が支配的でないのなら、それでもいいのかな？

>>394
Re<1とはすごいですね。どんな問題なんでしょうか？
ストークス方程式は熱拡散方程式と同じく放物型だから
熱分野の知見はある程度参考になるのでは？

まあ、とりあえずCN法を実装して、どこまでΔt上げれるか試してみては？
適当な前処理も併用するといいかも？

圧縮性でCFL条件を簡単に緩和したいなら
時間ステップを予測子修正子法にすればいけるんじゃないの？

圧縮性NS方程式で陰的解法はあまり見た事が無い
前に見たのは半陰的なルンゲクッタを使った方法だった

参考文献がみつかったら載せてみる

みなさん色々と情報をありがとうございます。
>>400
もちろん音速±流速が特性速度になりますが、今回の場合、
主流がmm/sオーダーの遅さですので、音速を特性速度にしました。
今考えている問題は、言ってみれば希薄気体力学に入る分野の問題です。
温度勾配のある空間にある微小粒子が、冷たい空気の方に移動するというものです。
その際の移動速度(mm/sオーダー)と代表長さ(粒子半径、μmオーダー)
が非常に小さいため、Re<<1となります。
CN法も例のサイトを見ると使えそうなので検討してみます。
>>401
手元の参考書では、古典的なマコーマックの陽解法が
予測子・修正子法として紹介されています。
しかしこれも陽解法の一部であり、CFL条件の緩和度合いは不明です。
音波並みのモードを解像しなくてもいいと思いますが、流れは見たいです。
劇的に時間ステップ幅を伸ばしたいと思っています。

便乗質問だけど、圧縮性のノイマン安定条件ってこうだっけ？
特性対流・・・ (u±c)Δt/Δx < 1
特性拡散・・・ (u±c)Δx/ν < 2

自分は圧縮性のをリーマンの陽解法で結果が出るまでひたすら待つ！を
選んで久しいけどやはりそろそろ限界か・・・と思う今日この頃。

圧縮性で半陰というと音速部分を叩き落として移流部分を丹念に解くやつが多いね。
CIPも広義には半陰解法だね。 |u|+c が |u| だけになるから問題によっては大助り。
音波の粗密の揺らぎが成長して・・という問題だとちっとも成長しないwけど
その場合には観念してdtを小さくとれば普通の陽解法と同じ事だし、
同じコードで計算上のパラメータを一ついじるだけで
計算時間と物理時間の両方を探索できるから・・・やはり陰な方がいいのかなぁ

数値計算は計算機の性能が十分ならば、やはり陽解放の方が良いの？

Yes
というか、陰解法も非圧縮も計算時間短縮のための苦肉の策だからねぇ。
陽解法で済む計算なら妥協点が無いという点でも陽が良い。

圧縮性NS系は全部の物理量が時間進展の形をしてるから、
形の上では計算自体は簡単なんだよね。しかし空間刻み幅をかなり
小さく取らないと衝撃波をうまく捕捉できないし、そうなると時間幅が
かなり厳しくなる…ものずごく速い計算機が出来ないかな。

>>405
「計算速度が十分ならば」という仮定には意味がないと思うよ。

しかし今の計算機のトレンドは大規模並列だから、ネットワークバスの問題で
陰的なスキームは段段と厳しくなるんじゃないかと想像・・・。
つーか方程式が楕円型な系って流体に限らず一杯あるよね。
そういう分野の計算はこの先どうなるんだ・・・？？

楕円型(ポアソン方程式とか)ならヤコビ法＋CUDAで瞬殺出来ないかい？

陰解法ってステンシルがアホみたいに大きくなるので一般には大並列には不向きとされるけど
準な陰解法だと陽解法的なサイズ(高々７個とか)だからわりといけそうな気も・・・どうなんだろう？
自分は>>404 みたく双極型を陽解法で放置プレイ派wだから、
格子の配置に制限があるけど並列で大行列の逆行列計算してポアソンやらラプラスを解くのはみかけるけど
手法(というか基本方程式そのもの)が自分のと違うからあまりちゃんと読んだ事ないし。

NSでカビティ問題を解くことについて教えてほしいのだけど。
壁境界付近の流速のとり方について、壁に垂直な流速成分は、
壁ではゼロ、計算範囲の外側（壁の外側)では壁の内側と
同じ値をとると川村の本などにも書かれている。
u(i-1,j)=u(i+1,j)って感じに。

でも別のソースで、u(i-1,j)=-1*u(i+1,j)とマイナスをかけてい
るのを見たんだけど（u(i,j)が壁の場合）、どっちが正しいの？
3次上流差分の場合はマイナスにするのが普通なの？

前者は壁での密度保存を保つために、
後者は壁で強制するu=0が高次差分で悪さしないようにする。
計算部分を風上差分のようにちゃんと処理していればどちらでもあまり
変わらないので気にしないというのも手だ

他にGhost(i-1,*)部分では速度はことごとくゼロと置く流儀もあるね。

>>413
そうなんですか。勉強になりました。
また教えてください。ありがとう。

ストークスの抵抗則を求めるための、球周りの遅い流れの解析解を
何とかして試験関数の係数を決める方法で求めてみたい。
cos(θ)/rとかの集合でVrなどを表した後、選点法で係数を
決めてみたいんだけど、選ぶ点は球の表面でいいでしょうか？
残差の評価も面倒そうだ…

全然関係ないけど、この板って最下位で過疎ってるわけじゃないようだな
http://www.bbsnews.jp/weekly.html

流れ関数・渦度法で、球周りの遅い流れの計算をやってるんだけど(ストークスの抵抗のやつ)、
球表面での粘性応力τrr、τrθは解析解とよく一致するのに、球表面での圧力pが
良く一致しない。球表面上の一点を基準点として、NS式のθ方向の奴を使って、
計算で得られた流れ分布から∂p/∂θを計算してやって、それを積分して
圧力分布を求めてるんだけど、どうも精度が良くない。何とかできませんかね？

30000ステップ程で収束しているcavityコードで
時間積分をさらに延ばして計算したら
値が発散することってある？

Cavityコードが具体的になんなのか知らんけどw
まあ、ありえる。

ポアソン・ソルバだと源泉項に急峻な部分があると、
収斂の程度をあげると・・ボン！と壊れることがあったけどな。＞＜

>>419
そうなんですか。平衡に達すると思ってました。
ところで源泉項と収斂ってなんですか？

右辺の項でしょ＞源泉項
非圧縮の�冪=f(u) みたいな（fは省略w
収斂は何だろ、SORの緩和係数みたいなもんか？
というかヤコビ系の反復って今時あんま使われんような

>>418
そもそも非同次・多次元な一般の方程式で、絶対安定なスキーム
なんて存在しないと思うが。あるなら教えて欲しい。
発散したら、発散の過程を注意深く見ていくしかないよな

>>421
収斂[しゅうれん] = 収束

cavity計算で、境界が凸凹で、ほとんどの壁に
ノイマンを課すとやっぱり収束し難くなる？

>>423
高々(というか嘘八百)のキャビティフローにそんな凝っている意味が分からん．
殆どの壁というのは(嘘八百の)動いている壁のこと？それともその他の壁も含んで？
前者なら数値爆発ばっかりになってしまった記憶もあったようななかったような…．
というか，それだけの説明じゃ何を意味しているか分からんし，コードできているなら自分で試してみたほうが速くない？

>>424
例えばプールの中の水の流れで、
底や壁が階段状になっているところだよ。