ルンゲクッタ法

まとめましょう

常微分方程式dy/dx=f(x,y)の初期値問題がyiまで求められたときyi+1を
yi+1=yi+�凉iと置いたときの増分�凉iは
�凉i=(k0+k1+k2+k3)/6
で与えられk0,k1,k2,k3はそれぞれ
k0=h*f(xi,yi)
k1=h*f(xi+h/2,yi+k0/2)
k2=h*f(xi+h/2,yi+k1/2)
k3=h*f(xi+h,yi+k2)
で計算される

ルンゲクッタージル法
計算機のメモリーが少なかったときにメモリーの節約として考えられ
た方式で以下の公式で順次積分値を求めていく
k0=h*f(x,yi)
r1=(k0-2*q0)/2
yi(1)=yi+r1
q1=q0+3*r1-k0/2
k1=h*f(xi+h/2,yi(1))
r2=(1-√1/2)*(k1-q1)
yi(2)=yi(1)+r2
q2=q1+3*r2-(1-√1/2)*k1
k2=h*f(xi+h/2,yi(2))
r3=(1+√1/2)*(k2-q2)
yi(3)=yi(2)+r3
q3=q2+3*r3-(1+√1/2)k2
k3=h*f(xi+h,yi(3))
r4=(k3-2*q3)/6
yi+1=yi(3)+r4
q4=q3+3*r4-k3/2
q0は初期値を０とし以後前の計算ステップで求めたq4を用いる

式自体はどこにも書いてあるけど、なんでだか説明できる？

３は書いてないね。はじめて見ました。２へのいちゃもんです。

＞４
説明できるけどテキストベースじゃ面倒なので省略
続き
ルンゲクッタ−マースン法
ルンゲクッタ法は与えられた関数が素直な場合は問題ないが
解に不連続点を持つ物や関数の形が複雑な物は計算できない
そこでルンゲクッタ法の基本式を次のように変形する
k0=h*(f(xi,yi)/3
k1=h*f(xi+h/3,yi+k0)/3
k2=h*f(xi+h/3,yi+k0/2+k1/2)/3
k3=h*f(xi+h/2,yi+3/8*k0+9/8*k2)/3
k4=h*f(xi+h,yi+3/2*k0-9/2*k2+6*k3)/3
yi+1=yi+(k0+4*k3+k4)/2+O(h^5)
ここで許容誤差をεとした場合絶対誤差ε'は以下の式で計算できる
ε'=(k0-9/2*k2+4*k3-1/2*k4)/5
εとε'との関係は計算刻み幅hと関連し
|ε'|＜εならばyi+1は計算できたことになるが特に
|ε'|＜ε/32ならば刻み幅を２倍にできる
|ε'|≧ε/32ならば同じ幅で計算
|ε'|≧εならば今の計算幅が不適当だったので刻み幅をh=h/2
にして再度ε'を計算し|ε'|＜εの条件が成立するまで繰り返す

ルンゲクッタくらい教えてくれよ。

まぁ簡単な微分方程式を上の説明通りにプログラムすれば解ります

「計算機演習」でやったなー。（かすかな記憶。）

え〜と、結局独立変数が２個出てくるから、
いろいろな組み合わせが無限に出来るじゃないですか？
一般的な重みが1,2,2,1なのは計算が楽だからですか？

経験則みたいな物？（式、計算が楽以外に）なにか理由があるのですか

参考になりそうなページです
http://www.nep.chubu.ac.jp/~nepjava/webtext_univ/numerical/rungekutta/

> 一般的な重みが1,2,2,1なのは計算が楽だからですか？
> 経験則みたいな物？（式、計算が楽以外に）なにか理由があるのですか

すべてテーラー展開で説明できます。

>４次は論文になる位長い計算で文献を参照．
難解で困難で難しい計算を要するのですね。

そうなの？

あげ

高次のルンゲクッタはユニークではない。そして導くのは計算が確かに大変である。
詳しくはこの本で

Numerical Methods for Ordinary Differential Systems:
The Initial Value Problem by J. D. Lambert、September 1991

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└─────────────┴─┴─┴───────┘

英語で読みにくそう

age

100次のルンゲクッタとかも可能なの？

21さんへ
一生をかけて紙と鉛筆で計算すればできるんじゃないの？？

>>22
計算機で求めれば？（ｗ

>>22

じゃあ，おまえやれ！アポーン （藁

クンタキンテ法

新大陸の労働力が少なかったときに労働賃金の節約として考えられ
た方式で以下の公式で解を求めていく
ｆ（ｋｕｎｎｔａ＊ｘ）／４＝ｙ
ｘは任意の変数
ｙは得られた労働力

>>25
”ルーツ”でしたっけ？
１０年ぐらい前テレビでやってたの見たことあります。

フンガクック

ひら〜り。みなさんこんにちは。

★　Gackt 59　★＠ヴィジュアル系板
http://music.2ch.net/test/read.cgi/visual/1011799020/l50
というスレから風に舞ってこちらに来ました。

木の葉は自分の意思では動けません。風に舞って2chを旅をします。
木の葉の旅先をあなたが風になって指定して下さい。

行き先決定の優先基準（木の葉到着から24時間以内）
1：URLリンク貼ってあるレスでもっとも早レスのもの。
2：URLリンクが無いレスしかない場合はその中でもっとも早レスのもの。
注：一度お邪魔したスレには、24時間以上経過しなければ行きません。
　　書き込み不可能なスレも対象外となります。

では風さん、よろしくお願いします。

＃数式がいっぱいです。わからないなりに質問。ルンゲクッタ法って、何の方法ですか？
　フンガクック

半年振りのレスですか。これは凄いところにｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !!!!!
今日はここで一泊していきます。
おやすみなさい。

ageてあげるね

>>28
振られたが再トライしたい
http://life.2ch.net/test/read.cgi/break/1009523149/

風が吹きました。ありがとうございます。
ひらひら〜。

見たよ、雑誌で。

kinen

ひろゆき法

嘘を嘘と見抜けない人間は下等

嘘と嘘を区別しない人間は下等

マガジソに載っていたので来てしまいました。
ところでルンゲクッタ−ギル法ってなんぞや？
ルンゲクッタとどう違うの？
いや、別になんとしても知りたい！ってわけじゃないんで
暇で暇でしょうがないから解説させてくれ！って人が
いたらおながいします。

==2==C==H======================================================

　　　　　　　　　２ちゃんねるのお勧めな話題と
　　　　　ネットでの面白い出来事を配送したいと思ってます。。。
===============================読者数：102115人　発行日：2002/03/12
どもどもひろゆきですー。
いやぁ、DHCの裁判の報告のことなんですが、賢明な２ちゃんねらーなら既におわかりでしょうけど、またまたおいらってば、自分の都合の良い事を都合の良いように報告してしまったですー。。。
しかも今回は、得意の「言葉遊び」を最大限に駆使してしまいましたですー。。。
おいらってば、まだ２５歳の若者なわけですが、今からこんなに卑劣で陰湿な人間じゃ今後どうなってしまうのかちょっぴり不安な今日この頃ですー。。。

よく読んでもらえれば分かると思いますがDHCは、おいらの嘘の報告のように、書き込みの内容の真偽を問わず闇雲に「削除しろ」と言っている訳ではないのですー。。。
「DHC製品は2chに書かれているようなことはおきないから削除しろ」と主張しているのでありますー。
いやぁ、それにしても今度の裁判官はなかなか手強いですよー、、、
これまで「発信元は分からない」を餌に真偽の曖昧な無責任な書き込みを利用者にさせ、多くの企業の誹謗中傷を大衆の目に触れさせて商売にしてきたおいらに「だったら書き込みの内容が真実であることを証明してみろ」と言ってきたのですー。。。
でも言われてみれば確かにその通りかも知れませんねー、、、
真偽の曖昧な無責任な書き込みの削除依頼を傲慢に「偽りであることを証明してみろ」と突っぱねる前に、おいら自身が、真実であることを証明した上で公開するのが当然なのかも知れませんね。。。

ところで冒頭の
＞裁判所にもサンダルで行って、しかも遅刻するという日々になってしまったひろゆきです
というのは、おいらの憧れる「がさつで大胆な男」をアピールしたかったんですよー。。。
おいらのことを知っている人はみんな笑っていると思いますが、、、
本当に「がさつで大胆な男」はこんなことをメルマガで流したりしませんよね。。。

んじゃ！

>>36
ぎるのほうがメモリ食わない。

って、上にかいてあるじゃん。
とにかく、数値的に微分方程式を解く方法です。
ＢＡＳＩＣでも数十行でかけますよ。

マガジソ見てきたひとへ

ルンゲクッタ法なんて、工学じゃ常識です。
知らなかった人は恥だと思ってた方がいいよ。マジで。

マガジンから来てくださった皆様、申し訳ございません。>>40の母です。
息子は幼い頃から・・・（以下略）

>>40
へー、そうなんだ・・・と言ってみる。
ルンゲクッタ法は知ってるんだけどギルとつくのは
言葉しか知らなかったドキュソなもので。
ただ、マガジソ見て来た人全員がルンゲクッタ知らないなんて
思わない方がいいよ。マジで。

あと答えてくださった方、ありがとうございます。
ホント上のほう書いてありますね。スマソ。

>41
残念。マガジソ。
それともネタ？

ルンゲクッタと
軍手食った
は
似てると思うよ

カルビクッパ

そんなこった

問題７
次のルンゲタック方程式を説明しなさい

常微分方程式dy/dx=f(x,y)の初期値問題がyiまで求められたときyi+1を
yi+1=yi+�凉iと置いたときの増分�凉iは
�凉i=(k0+k1+k2+k3)/6
で与えられk0,k1,k2,k3はそれぞれ
k0=h*f(xi,yi)
k1=h*f(xi+h/2,yi+k0/2)
k2=h*f(xi+h/2,yi+k1/2)
k3=h*f(xi+h,yi+k2)
で計算される

すったもんだ

ルンゲ=クッタのp次公式は4次が最高次数。
5次以上は条件式の本数の方が多くなって係数を決定できない。

ところで、多段解法（アダムス）と比べると何が得で何が損なんですかね？
あと、symplectic integrator萌ぇ〜

ルンゲクッタ汁

sage

チンゲ食った

>>1
http://mukun_mmg.tripod.co.jp/mmg/cpp.html
http://mukun_mmg.tripod.co.jp/mmg/bncpp/al031.html

ここでも見れ

相変わらずだな

相変わらずですだ。

（＾＾）

まさかマガジソを読んでるときは、
このスレに助けられるとは夢にも思ってませんでした。

ところで>>2のやつで
>�凉i=(k0+2*(k1+k2)+k3)/6
となっているのも見たのですが、重み何たらってやつですか？
それとも気のせい？超ドキュソ学生でスマソ。

お尋ねしたいことがあるのですが、今電子回路のカオスというテーマで、簡単な電子回路を
ルンゲクッタ法を用いて解くプログラムをC言語でうっているのですが、うまくできません。
回路の方程式は、C1*dvc1/dt=G(vc2-vc1)-g(vc1),　C2*dvc2/dt=G(vc1-vc2)+iL
L*diL/dt=-vc2 で g(vc1)=m0*vc1+1/2(m1-m0)lvc1+Bpl+1/2(m0-m1)lvc1-Bpl
1/c1=9,1/c2=1,1/L=7,G=1/R=0.1〜1.5,m0=-0.5,m1=-0.8,Bp=1　は与えられています。
誰かわかる方おりましたらぜひ教えて頂けないでしょうか。それといまの回路でダブルスクロール
がおこるみたいなのですがその現象をだすC言語プログラムも教えて頂けませんか。
お願いします。

>115
うーん。うまくいかない点を詳しく書かないと
わざわざプログラミングしないと駄目ってことじゃん。
わざわざプログラミングしてまで教えてくれる人は
かなり少ないと思いますよ。

後は、ルンゲクッタのルーチンや Matlab 系の数値環境
といったレディメードのものを使って、何が正しいのが
まず把握するのも良し。

g(vc1) は絶対値記号らしきものがあるが、
スペース等でもう少し清書しないと見にくいです。

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ロン毛食ったで運動方程式解くのってどないしてやるのん？
x と x'=v と x''=v'=f(x) があるとして教えてちょ。

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ﾋﾟｭ.ｰ　（　 ・３・） (　　＾＾ ） ＜これからも僕たちを応援して下さいね（＾＾）。
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たぶん次のようにするのでは？

初期値：x0,v0 時間刻み：dt
ルンゲクッタで使う予測値：x~,v~

一回目：オイラー前進差分使用(やむなし)
v1=v0-dt*f(x0)
x1=x0-dt*v0
二回目：ここからルンゲ-クッタ
v~=v1-dt*f(x1)
x~=x1-dt*v1
v2=v1-dt*(1/2)*[f(x~)+f(x1)]
x2=x1-dt*(1/2)*[v~+v1]
:
:
n回目：
v~=v(n-1)-dt*f[x(n-1)]
x~=x(n-1)-dt*v(n-1)
vn=v(n-1)-dt*(1/2)*{f(x~)+f[x(n-1)]}
xn=x(n-1)-dt*(1/2)*[v~+v(n-1)]
:
:

まちがってたらすまん！

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　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
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>>77

>>77

どんな次数でも計算可能なルンゲクッタのソースプログラム置いてるところある？
dy/dx=y+1みたいな微分方程式のところが多くて見つからない
どうか先輩たち御教授を(´･ω･`)ｼｮﾎﾞｰﾝ

>>59
東大の学生さんですな

つ∀･)ﾆﾔ

(´Д⊂)

記念にしこり

なんだその保守はーーーーーーーー

適応刻み幅法について教えてくださいませんか？
よろしくおねがいします！

>>87
適応刻み幅って、多分Adaptive Steppingの事だよね？（スマン、当方留学生）
多分いろいろやり方はあるんだと思うけど、俺が知ってるのは
あるステップ幅を仮定して、例えば４次のRK式と５次のRK式で同時に計算し、
その差があまりに大きかったらステップ幅を小さくする。
4次と5次であまり差が無くなったら次のステップに進む。
急激な勾配があるところでは４次と５次の差は大きくなるから、ステップ幅は自動的に小さくなる。
つまりStiffな問題に適している。

多分MATLABのソルバーrk23とかrk45はこの方法なんじゃないかな？
MATLABユーザーの方、違ってたら訂正よろしく。

常微分方程式にRunge-Kutta法は有効だが、
偏微分方程式の場合はどうしよう？

例えば関数がf(x,t）の形なら、xについてだけ離散化して
tに関する連立常微分方程式にして、Runge-Kuttaなり何なりの解放を使えば良いのでは？
よくmethod of linesと呼んでいるけど、日本語で何と言うか不明。

Re:>90
例えばu_{t}=u_{xx}(t>0,0<x<1)が与えられて、更に初期値u(x,0)が既知で、
境界値u(0,t),u(1,t)が既知の場合はどのようにRunge-Kutta法を使うのですか？

楕円関数ね〜。誰も興味を示さないのも無理もない。
　　
ヤコビの楕円関数には苦労させられた。解析解が得られても
それを数値計算してグラフ化しなければ役に立たないのだが、
ヤコビの楕円関数なんか碌な数表も無いし、展開式の収束は
悪いし、その頃の計算機は遅いし、で散々だった。
工学者には解析解の有り難味はわからないのだ。

>>87
Runge-Kutta-Fehlberg　の埋め込み型６段公式なんかが有名だ。
普通のRKは４段だが、これは６段なので5次の収束。
k1　から k6　の全部を使うと5次だが、その一部を使って4次の
式が構成できるので、88の言うように、その差から計算誤差の
推定ができる。
誤差の推定ができれば、刻み幅の修正が可能になる、
という代物だ。

>90
その偏微分方程式をxについてのみ離散化すると、
u_{t}=(u_n+1 - u_n + u_n-1)/(�凅^2）
となり、tについてのn本の連立常微分方程式になる。
境界条件と初期条件が与えられてるから、あとはRunge-Kuttaなり、
他の微分方程式の解法なりが応用できる。
（この例だと線形になってしまってあまり面白くないかも）

俺のつたない説明ではわかりにくいから、こんなサイトを参考にしてください。
http://www.antcrc.utas.edu.au/tpac/education/numerical_methods/node24.html
本だったらこれがわかりやすい。
http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0126241309

↑は>91へのレスです。

Re:>92
ところで、Jacobiの楕円関数の満たす微分方程式って何ですか？

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/sim/953594322/l50
こっちの誤爆ぽ

見直してみると>>94で書いたことは間違いだらけ・・・
質問者はもうどうでもいいかも知れないけど、恥ずかしいから訂正しておきます。

xについてのみ離散化した偏微分方程式は
d u_i(t)/ dt=(u_i+1(t) - u_i(t) + u_i-1(t))/(�凅^2）、i=0,1,2,....,n
これはn本の連立常微分方程式。そして全ての項がtの関数。（だから線形ではない）
u_0とu_nがそれぞれu(0,t)とu(1,t)の境界条件に相当する。
（区間をはみ出してしまうu_n+1とu_-1の扱い方はいろいろあるけど、長いので略）
これを連立常微分方程式として、Runge-Kutta等でt方向に積分すると解ける。

あと、xの離散化の方法によって解の精度と安定性が変わる。
これも長いので略。

t方向に積分するときは別にRunge-KuttaじゃなくてもBDFでもAdams familyでも何でもいい。
とにかく既存のODEソルバーを活用したいときにこのMethod of linesという方法が使える。

ちょっと聞きたいんだけど...

戸川隼人氏の本を読んでいると，
田中正次なる人物が，Runge-Kutta法の大家として紹介されていて，この人考案のRunge-Kutta(の変形バージョン)
がのっているんだけど．

この田中氏は有名人物なんですかね？

もう、だいぶのお年でしょう。
昔、山梨大学でルンゲクッタ法の打切り誤差の
研究をなさっていました。そんな事をしていたのは
当時の日本ではあの方だけだったようです。

>>100

どうも情報サンクスです．

ググってみたかぎりでは、日大で戸川氏の同僚であったようです．で，もう定年になっているみたいですが.

頭の悪さ丸出しの質問なんですが，

高精度のRunge-Kutta法(あるいはその親戚)っていまはどれが主流なんでしょう？
現在関心をもっている系がHamilton系ではないもので，シンプレクティックとか陰的Runge-Kutta
とかのご利益を得ることができないと思うわけです．
#30元連立の非線形常微分方程式です．ちなみに、非線形項は2次

そういった訳でRunge-Kuttaを高精度化したものを使おうかと考えているわけなんですが，
戸川氏の「UNIXワークステーションによる科学技術計算ハンドブック 」をながめていたら
田中氏の公式が載っていました．ただ，発表された年代をみると、20年くらい前だし、もっと
いい方法も発見されているような気もするので、ここに書き込んでみたんですが...

そもそも，Runge-Kuttaを使うということ自体がドキュソなんでしょうかね？

こんにちは。初めまして。議論板から来ました。
この度、この事件をよく知らない人に「正しく」知ってもらうために
この再犯者をひた隠しにするメディアに抗議して
バナーを作りました。

http://www.geocities.jp/in_the_concrete

ここを御覧のサイトもちの皆さん、宜しかったらこれを貼っていただけませんでしょうか。
ごく普通のバナーで、表現も極力ソフトに抑えてありますが、これは
犯罪には全く関心のないような方にこそ、この事件を「正しく」知って頂きたいからです。
資料サイトとしてリンクさせていただいているサイト様も、同じご趣旨です。
どうぞ是非、よろしくお願い致します。

>>101
右辺が連続関数だったら、たいていの問題は解けるようになったと思う。
陰的方法が使えないのなら、98さんの言うBDFや93さんの言うRKFなんか
が良いのじゃあないかなあ。

>>103

どうもたびたびレスサンクスです．

すいません，陰的な方法を試したわけではないんです．ものの本には「陰的なRunge-Kuttaはちと面倒だけどHamilton系に適する。」みたいに書いてありますよね？

だもんで、Hamilton系以外だとご利益ないのかな？と一人合点していただけなもんで。
連立の非線形常微分方程式を解こうとした際、オススメなのは、BDF，RKF，陰的Runge-Kuttaといったところなんでしょうか？

＃試しに普通の4次のRunge-Kuttaで計算してみると変数によって振動の周期がヒジョーに異なっているようなんです。

田中先生の頃はギアのBDF全盛期だった。BDFは式がややこしくて大変だし、
ちょっと古いかなあ。
陰的方法は次数の割に安定性が良いのだが、連立方程式を解くのが面倒だ。
RKFは式がストレートでプログラムがしやすいが、前２者に比べると
安定性にやや難点があるかなあ。
これは私の感覚的印象です。プログラムを自前で書くのなら、一番簡単
なのはRKF。何と言っても世の中に出回っているのを使うのが駱駝。

100さんがおっしゃるとおり、陰的Runge-Kuttaは非常に安定性が良いです。
これは陰的Runge-KuttaがA-stableという性質を持っているためです。

BDFやAdamsといったMulti Step Methodは、以前に計算された値を利用して
次のステップの計算を行うため、効率が良いです。
例えば、y_iを計算するのにy_i-1、y_i-2・・・の値を利用する。
逆にそれがネックとなるケースは、非連続点が頻繁にあるような関数。
前の値を持ち越してしまうために、解が古い値に引きずられてしまう。
このような場合はRunge-KuttaのようなSingle Step Methodを使うべきでしょう。

確かにBDFを自分で書く気にはなれないですね・・・
既存のコードなら、lsode、dassl、daspk等がwww.netlib.orgから
ダウンロードできると思います。

私の分野では今もBDFを使った論文をよく目にするのですが、BDFってもう古いんでしょうか？
この分野が専門では無いのですが、最近の新しい数値解法ってどんなのがあるんでしょうか？

>>105
>>106
どうもたびたびたび...

100さんに加え，88さんまでどうもありがとうございます．

オウムがえしにBDFとかRKFとかいってしまいましたが，当方まったく無知なもので...
>>94であげられている本やwebを見てみます．

わたしも88さんと同様最近の数値解法を教えていただけたらと思います．

>>107
昔はBDFも陰的RKも自分で書いていたのだけれど、齢とったのでシンドく
なって書いていない。最近（数ヶ月前）RKFを書いたけど、やはりシンド
かった。齢のせいで、そんなに大きな問題は解かなくても良くなったので、
MathematicaのNDSolveとかoctaveのlsodeを使って重宝している。
これは安直で実に使い勝手が良い。octaveは最近使い出した「駆け出し」
なので、まだ使い込んでいないので不満だらけだが、NDSolveは大好き。
maximaでRKFの関数を書いたりする邪道もやってみたが、maximaも
使い勝手が悪くて不満だらけだ。結局、現在は、簡単な問題なら
MathematicaのNDSolveで済ませている。

ODEを解く際に、
私が実際に組んだことのあるプログラムは、
4階Runge-Kutta法と、オイラー法である。
こんなもんでもいいのかな？

良いんでないの？

みんな４次とかそれ以上の次数で解きたがるけど、工学上の大抵の
問題はオイラー法や２次程度で充分だったりするんだよなあ。

おいおい。いくらなんでも Euler 法はないだろう。
１次と４次では大違いだ。４乗の違いだ。
１０の４乗は１００００だよ。RKできざみを1/10に
するならEulerでは1/10000にしなければならんのよ。
そうなったら丸めの誤差だってどうなるか判らん。

>>111
まあ、分野による。

H-�Uロケットの軌道予測の一部にオイラー法が使われて
いたなあ。

>>112
大昔のNASAのコードがそのまま残ってんじゃあないの？

>>108さん，どうもありがとうございます．

う〜ん，結局MathematicaとかOctaveの方が効率がよいという結論になってしまうんでしょうか．
学生をやっているとなかなか認められないような気も...

ところで，あれから調べてみたのですが，

局所時間刻み法という方法を使った方おられますか？

もともとは，流体系の人たちがよく使っている方法のようで，細かく見たい地点の時間刻みを細かくして，それ以外の地点の時間刻みを荒めにとるといった工夫をしている--と聞いたのですが．

>>114
はい。それは現代は当然のことで、ギアのBDFや
フェールベルグのRKFはそれを自動的にやっています。
MathematicaのNDSolveも内部で自動的にやっていますし、
octaveのlsodeも内部では行っていますが出力データは
指定点のみです。だからlsodeでは出力の刻み幅（のスケジュールを）
あらかじめ指定します。
Mathematicaは微分方程式に限らず、一般のグラフ出力でも
曲線の屈曲の程度に応じて刻み幅を自動的に変えています。

疲れたぜ

クッタクッタにか？

マンゲクッタ

ほい〜〜ん

>6 お前すげーよ

ルンゲクッタ法ってプログラムでかくとどうなるんだ？？

Re:>121 アルゴリズムが分かれば直ぐにプログラムは作れそうだが。

Re:>121
y'=y,y(0)=1を区間[0..1]で区間分割幅0.1で解くプログラムなら、こうなる。
#include<stdio.h>
main(){
int i;
float x=0.,y=1.,r1,r2,r3,r4;
printf("%f %f\n",x,y);
for(i=0;i<10;i++){
r1=y*.1;r2=(y+r1*.5)*.1;r3=(y+r2*.5)*.1;r4=(y+r3)*.1;
x=((float)(i+1))/10.;
y+=(r1+r2+r2+r3+r3+r4)/6.;
printf("%f %f\n",x,y);
}
return 0;
}

今バネ振り子をシミュレーション（プログラムでつくり）したいんだけど、式が

dx/dt=v
dtheta/dt=a
dv/dt=(L+x)*a^2+g*cos(theta)-k/m*x
da/dt=-(2*v*a+g*sin(theta)/(L+x)

をルンゲクッタ法ではどう表現するればいいんですかね？

>>124
>>2

だれもわからないのかぁ

(´・ω・｀)

かいづかいづかいづ

今バネ振り子をシミュレーション（プログラムでつくり）したいんだけど、式が

dx/dt=v
dtheta/dt=a
dv/dt=(L+x)*a^2+g*cos(theta)-k/m*x
da/dt=-(2*v*a+g*sin(theta)/(L+x)

をアダプティブ・ルンゲクッタ法ではどう表現するればいいんですかね？

>>129
ごめん、よく分かんなかったからも一回言って

紹介する。これ↓とかを見たら、なんとなく理解できるかも。
ttp://www.damp.tottori-u.ac.jp/%7Eooshida/edu/ode/
ttp://grape.astron.s.u-tokyo.ac.jp/~makino/kougi/system_suuri4_1998/all/all.html

以下は私のサイトの紹介。
ttp://www.d1.dion.ne.jp/%7Eriver_r/gsim/
ttp://www.d1.dion.ne.jp/%7Eriver_r/bell/

adaptive runge-kuttaの説明ページってありませんかね？
できれば連立方程式で。

不要です。。。

ところで>>2って合ってるの？

ルンゲクッタ法でマクスウェル方程式を解きたいのだがまったくやりかたがわからない。
どうすればいいですか？

基本的な事かも知れませんが、質問です。

(r,θ)の様な極座標で軌道計算したいんですが、r=0の近くでルンゲクッタ使うと
たまにr<0になってしまって困ってます。
とりあえず、r=0の近傍ではd(ln r)/dt=(1/r)dr/dtの関係を使って
r_1=r_0*exp[dt*(1/r_0)dr/dt]のように変形すればr_0>0ならr_1>0も保証できるので
これでごまかしているんですが、(1/r)dr/dtが r->0 で 0/0の形になってゆくので
数値的に非常に不安定です。
他の座標系に変換するのは困難なケースなので何とか極座標表示のまま
対処したいんですが、うまい方法ありますかね?

>>136
素人意見だけどr<0になったらθ-πにしてみるとか・・・なんか違うような気がするけど。

>>137
それも考えたんだけど、よくよく考えるとθはθで同時に時間発展させてる
わけで、r<0になったらπ回す、ってことをはじめから加味してdr/dtなり
dθ/dtの式を立てないとやっぱりだめなんじゃないかなという気がします。

　 　 醴醴醴醴醴ｹ..　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 .ﾞ'..: 『醴醴醴歡
　 　 層醴醴醴歡　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . .(濁醴醴歡
　 　 醴醴醴醴]['.　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 : ｀:ﾞ{[醴醴¶
　 　 層醴醴蠶[l' 　 　 　 　 .､,,..__＿＿＿_、　 　 　 　 　 　 ＿＿＿＿_. ';ﾞ(}醴醴†
　 　 濁醴醴鏖《' 　 　 　 　 'f『ﾟﾟﾟﾟﾟﾟﾟﾟﾟﾟﾟﾟ閂昃'!! 　 　 　 . -忌『『『『門愬ﾀ!i'ﾞ(ｉ層躑
　 　 ..f[醴醴醴』' 　 　 　 _．　 　 　 　 　 ...`:ﾟ'.:　 　 　(Jl}~ﾟ 　 　 　 .'.^'ﾟ(ｌi､.'僧歉
　 　 . ‘體醴醴廴,｡r､':'｀‘｢.... _,ｇg豐齟籬ｇｊlｊl;ilド 　 .:ﾞl:','｡;i,g豐醯踰ｇz.(.(.( i.ｊ|]｢
　 　 . ;ｔqi_ﾟﾟ¶醴†｀　 　 　 } ｉi填閇ﾟﾟﾞﾟﾟﾟﾟﾟ『『摂'''^' . 　 .::､'ﾇ}們ﾟﾞﾟﾟ門門轡埣lﾞ(|遁
　 　 . ﾞ}}' ﾞﾏl'. ¶$. 　 　 　 ｀ .　 . !!!!!!!!!!!''''＾ .. . 　 　 . ｉｌ｡ﾞ(｀ﾞﾞ'ﾟ''''''?ﾍ'''''`｀ ''､ii濬
　 　 ､ !)　.:..ｊg_ﾟ[Ｉｉ;. . 　 　 　 　 　 　 　 　 　_， 　 　 . ｀?)ｊ、 　 　 　 　 . ._,(,(:ｱ
　 　 　 ′､(|『゜.'ﾟli' . 　 　 　 丶､.,,__.,.,__＿ｖ!ﾟ｀ .　 　 　 '''?ﾃliuｖ- ..､...､r!iﾟ(.(0i
　 　 　 　 .,ﾟ''' -. ' 　 　 　 　 　 　 　 .､.;,(ｊＩｊ.....__,._._..,xs,iiu_,..,,Ｉ詬i;｡.､....､... .(iﾞ(Ｉ
　 　 　 　 ｀｀　 　 　 　 　 　 　 　_._,(ii.lＩ}lﾟ(ﾞ'ｦ増嚇ｊg]獅嬲叛lﾟ(}}ＩＩＩD,;';ﾞ;iiＩi;iiﾞ(|
　 　 　 　 　 　 、 　 　 　 　 　 ::.ﾐ浴?ﾟ(. . 　 　 ｀｀'ﾟﾀ'ﾟ''''ﾟ''''.!''.(ｌＩ泪||Ｉ}i.[(ｌ}}Ｉlﾞ(}
　 　 　 　 　 一' . 　 　 　 　 　 :ﾞ(}l}ｼ.､;;､....､,,__.,uu,｡,,,,,gｇggｊ_ｊ,(Ｉ}'ﾟ(勿l.[(','i}ｿＩ.
　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . . 　 ' .(.(.(.()l瘟尸ﾟﾞﾟﾞﾞﾞﾟﾞﾞﾞﾟﾟﾞﾟﾟﾟﾟﾟﾟﾟ層鬱浴)).'';ﾐi.(,(l;ﾐ.
　 　 　 　 　 　 　 . . 　 　 . . ::､.､..:.(,(:､''ﾞﾟ『咐':'･!･ 　 　f負鄂､.:'.(.(>.(,(3iﾞ(}|Ｉ'
　 　 　 　 　 　 　 '､..　 .､:.､'.:､'.'.'.､.(｀' . 　 　 　 : : : : ｰ;;,(,(ｉ','i.(.(.(.(.(ｌＩＩＩＩＩｉＩＩＩlﾟ
　 　 　 　 　 　 　 　 ､...､'.:.'.､.'.､.'.､::､.　 　 　 . ｀'ﾞ(!!i'ill}ﾇミ(iﾞ'''.､::.(.(ｉＩ|}}Ｉ||肝

　　　　　　　　　　_,,.．-一=''ー-､.　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 __,,.;-''´;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;｀‐-､._
　　　　　　 r´;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;'ヽ、
　 　　　　（;;;;;;;;;;;;;;;;;;:::::''''''''''''''''::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;i、
　　　　　　`i;;;;;;;;;::'''　　　　　　.....::.;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;i
　　　　　　　''''''/　　　　　　　　.......::::::::;;;;;;;;;;;;;;;l、
　　　　　　　　/　 ,＿_ 、＿＿＿::::::::::;:::;;;;;;;;;;;;;;i
　　　　　　　⊥ _ f ‐._´`i￣￣￣ ::::::: r´ ｀i,;;;;;;,l
　　　　　 r´. l_,.,i t, "~’j　　　　　::　　ヽ,　.ｌ;;;;;;i
　　　　 　'i､　|'~ﾉ ,ヾ-‐´　　　　　　 l ィ´, ﾉ;;;;ｌ、
　　　　　　`-+イ､,・ .)、　　　　　　　`;- ´ ;;;;;;;ｊ　 ＜殺すぞボケ！！
.　　　　　　　`::ﾉ ,=--､ヽ　　　　　　　　　／';、　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　　　`i ､==‐ﾌ　　　　　　　　,／ 　　ヽ--―--、　　　　　　　　 .／|
　　　　　　　 ／`i、"´　　 ノ　　　　.ィ´　　　　_.ィ´　　　,,＞ー-､_..　 .／　　|
　　　　　　／　　ヽ__, ,ィ"´　　 ,.ィ´　　　　,.ィ´ //　　／　　　''　　.／ 　　　.|
　　　　 ／　　 〃´　 >- 、 　／　　　　　／　 //　 /´　　 〃　／ 　 　　　 .|
　　　／　　　 /　 　,ﾉ　,=､ヽ/＼　　　 ,:'´　　 /／ /　　 　　／　　　.　　　　|
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　　　| 　 　 　 　 　 　 　キ 　 　ム 　 　 　 　　 　 　 　 　 |　 　 　 　 　　／
　　　| 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 |　 　 　　　／
　　　| 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 | 　 　　／
　　　| 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　|　　／

...これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。　　　
　　
━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―
　　　　　　　　　
　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　＝〔~∪￣￣〕　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　__∧＿∧_　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）　　　　　　
　|＼⌒⌒⌒＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉　　　　　　　　　　　　　
　　 ~￣￣￣￣　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　 ∧＿∧　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　 (⌒V⌒)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。　　　
　　⊂|　　　　|つ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　 　∧＿∧　 ∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　（　 ・３・） (　　＾＾ ） ＜これからも僕たちを応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣￣∪￣￣〕　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　＝ ◎――――――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉&ぼるじょあ

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４次のルンゲクッタ法って
マクローリン展開において４次の項まで一致するから
４次のルンゲクッタ法って言うんですよね？

>>143
テイラー展開と言ったほうが無難では・・・

ところで、"Numerical Recipes in C"には、
時間について二次以上の方法は使うべきではないと書いてあるよ。
ニセの初期条件の影響がどんどん発展する可能性があるらしい。

ホイ〜ン

【不幸のレス】
　　 このレスを見た人間は十三日以内に死にます。
　　　　　　※あなたに訪れる死を回避する方法が一つだけあります。
　　　　　それはこのコピペを一時間以内に７つ、別のスレに貼り付ける事です
　　　　/＼＿＿_／ヽ　 　ヽ
　　 ／　　　　::::::::::::::::＼　つ
　 . | 　,,-‐‐　 　‐‐-､ .:::|　わ
　　|　 ､_(゜)_,:　 _(゜)_,　:::|ぁぁ
. 　 |　　　　::<　　　 　 .::|あぁ
　　 ＼　 /( [三] )ヽ ::／ああ
　　　／｀ー‐--‐‐―´＼ぁあ

どんな問題をときたくてﾙﾝｹﾞｸｯﾀを使ってるのかな。

>>147
学校の宿題ではないの〜。

ttp://www.ip.media.kyoto-u.ac.jp/edu/lec/hayakawa/index.html
の「RK法の収束について」を見れ。これで一件落着。レポートも書ける罠。

d^2x/dt^2+μ(x^2-1)dx/dt+x=a0+εcos(ωt)
van der Pol振動子というらしいんですが
これをルンゲクッタの四次で、mathematicaで解く
プログラムってわかりますか？

ぜんぜんできないんすよ。

誰かお願いします。

du/dt = f(u)について。例えば拡散方程式。

// 宣言
配列 u, us, du, su;
double a[] = {0.0, 0.5, 0.5, 1.0};
double b[] = {1.0/6.0, 2.0/6.0, 2.0/6.0, 1.0/6.0};

// 1step進めたいときは以下のようにやるんだと思う。
�@全ての空間で、du = su = 0.0;
�Afor(k = 0; k <= 3; k++){
1.全ての空間で、us = u + a[k] * du;
2.境界以外で、du = 時間刻み * f(us); su = su + b[k] * du;
}
�B境界以外で、u = u + su;
�C境界を更新

少し直せば、一次の陽解法になります。
それを少し直せば、拡散方程式の場合、
ポアソン方程式を解くときの反復法になります。
馬鹿の一つ覚えみたいに、私はこれをよくつかいます。
間違っていたらすみません。

data

懐かしい響き、ルンゲクッタ。

質問で、すみません。
半陰的ルンゲクッタ法のひとつ、ローゼンブロック法の、

Rosenbrock stiff integration routines

の日本語を、ローゼンブロックの硬い積分ルーチン

として、よろしいでしょうか？

ちょｗｗｗｗｗｗｗｗｗふるすぎｗｗｗｗｗｗｗｗっうぇｗｗｗｗｗｗ

てかなんのスレかさっぱり

おい書き込むなよ　書き込むなよ絶対

vipからきますた
vipに帰ります

VIPから来ました。
インテリきどってんじゃねえぞくそがあああ！

光る風の追い越し方を教えてください＞＜

２ちゃんってすごいな・・・
てか２ちゃんでこんなすごい事レスし合ってる人がすごいと思う
世の中いろんな人がいるもんだ
((((((((⊂( ・ω・)⊃ﾌﾞｰﾝ

　　( ^ω^)　･･･
　　 /Ｖ/ ))　ﾓｼﾞﾓｼﾞ
　 　>^<
















　　( ^ω^)　　ﾙﾝｹﾞｸｯﾀ!
　 く/　/ゝ
　　<ω>

2000年1月つったら俺が中1の時じゃねえか
VIPから来ました

記念

フジ実況からきました

>>45はマルさん

チンゲクッタ

記念

記念真紀子

答えは３でFA

すげぇ！！

このスレで1000取りてえｗｗｗ

はいはい記念記念

これはすごい

　　　　　　　　　　　　　　　　,.-ｰ''"~"'i,
　　　　　　　　　　　　　 ／~　　　..:::::::!.,___　　　　　　　 ,,..､-､,
　　　　　　　　　　　　／　　　 .::::::::::::::`::::::~~""''''ｰ-,／~:::::::::.`i,
　　　　　　　　　　 ／　　　　 .:::::::::::::::::::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;:::::::::::::::::::::::　i
　　　　　　　　 　 /　　　　　 .:::::::::::::::::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;::::::::::::::::..　|
　　　　　　　　　,/　　　　　　:::::::::::::::::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;:::::::::::::::::.　i　　　　VIPからきますた
　　　　　　　　 ,l'　　　　　　 ::::::::::::::::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;::::::::::::::::::. | 　　　 記念パピコ
　　　　　　　　 l　　　　　　　::::::::::::::::::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;:::::::::::::::::::: i
　　　　　　　　 i,　　　　　　 ..:::::●:::::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;::::::::::::::::::　!
　　　　　　　 _,,.i　　　　　 ..::::::::::::::::::::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;:::::::::●::　 i'
　　　　　 ／~　 'l,　　　 ..:::::::::::::::::::::::::::|､;;;;;;;;;;;;;;;;;/:::::::::::::::::　,i'　　　　　　　　　　　 ／~＼
　　　　／,.､-ｰ ､;i,　　 .::::::::::::::::::::::::::::::|　 ~"''''"/:::::::::::::::::::　/~＼　　　　　　　　　/　　　 i.,_
　　　/'／　..::::::::|::' .,　 :::::::::::::::::::::::::::::::|'⌒`ヽ,/;::::::::::::::::::　/:::::::.. ＼　　　　　　　,i　　　　.::.. ＼
　　 / i'　 .::::::::::/:::::::`･､., :::::::::::::::::::::::,人,__,／;;;;;::::::::::::::::／;;;;;;:;:::::..　ﾍ　　　　　／　 .::::....::::::::.　`.,
　　,i/（　.::::::::::::i,::::::::::::;;;;;;~;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;:::-''";;;;;;;;;;;;;;;:::::..　 ＼　　／　　.:::::::::::):::::::::..　ﾍ
　　r　'　::::::::::::V,:::::::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;:::::::.　　~"~　　..:::::::::;;;;;|:::::::::::::::.　i,

記念パピコ
ちゅ〜ちゅ〜ちゅぶりらちゅぶりらら〜♪

5年前へレス

>>1
ﾌﾟｷﾞｬﾌﾟｷﾞｬ━━━m9(^Д^≡^Д^)9m━━━━!!!!!!!!

ちんげ食った

記念真紀子 このスレは一体何のスレなんだ？？('A`)

>>155-179

p

(((((((っ･ω･)っ

なんだかわかんないけどまきこちゃん

チン毛喰った。


なんつって＾＾；

http://www.google.com/search?num=50&hl=ja&inlang=ja&ie=Shift_JIS&newwindow=1&q=%82%B3&btnG=Google+%8C%9F%8D%F5&lr=on

Octave詳しい方いらっしゃいますか？
Octaveでlsodeを用いずに２階常微分方程式を解かなければならないのですが、
どうしたらいいかわかる方いますか？

5年前………
すげぇwww
記念カキコ~φ(..)

記念カキコ(`⊇`)

じゃあついでに記念ﾏｷｺ．．．．．．〆(･ω･｀)

このスレはいつ1000に到達するのだろう・・・・・・

前世紀の遺物があると聞いて来ますた

test

test

○ン毛食ったってぇ？

あけおめ。

おーい、そろそろ再開しようよ。

記念ぬるぽ

記念カキコ

にゃ〜ん。

記念まきこ

感動した
記念パピ子

今北産業

てすと
`(\xi, \eta, \zeta)`

おー、ASCIIMathML.js を greasemonkey で読み込むようにしたら
数式がでるじゃおまいか。

VIPから来ました
ここを埋めればいいんですね？

2ちゃん最古のスレをさがそうぜ
http://ex15.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1151557546/l50

kinenn

遺産観光にやってまいりますた

vipから来ました。
記念か帰庫

VIPからきますた。

祈念

誰か
Jameson,A., Schmidt,H., Turkel,E.(1981), AIAA Paper. No.81-1259.
で提案されてる Runge-Kutta 使っている人いない？

Set
U=Un
For k=s,1,-1
U=Un+dt*F(U)
End
Un+1=U.

ここで、
Un 　：n 回目の計算値。n=0 なら初期値を意味する。
Un+1：(n+1) 回目の計算値。

F(U) が t に依存しないという制約はあるものの
s をいじるだけでオーダを変えられる利点はでかい。

ためしにファン･デル･ポール方程式と
ブラジウスの式を解いたのだが簡単に書けた。

あれ？改行が無効になっちまった。

>>221
そうなんだ。シミュレーション板は遺産の宝庫だろうなぁ

　　　

AGE

二ヶ月ぶりに修正

Set
U=Un
For k=s,1,-1
U=Un+dt*F(U)/k
End
Un+1=U.

http://red.ribbon.to/~ubanis/main.html

age

sage

nurupo

http://sports2.2ch.net/test/read.cgi/entrance2/1150543737/62

亀田vsランダエダ

またもや不正疑惑

>>291
ガッ

L/C*vo'(t)+1/C*vo(t)+vo''(t)=1/C*sin(t)-L*sin(t);

これを４次のルンゲクッタ法で解きたいのですが
２間の連立微分方程式にするところからどうしても引っかかります
なんとかご教示ください。

何とか解決しました

はけいがちょっとおかしいですのでもうひとがんばり

あけおめ

>>294
自己解決できたみたいだね。

オメ

>>298
はい　ありがとうございます。　重みを変にいじると簡単におかしくなりますね
重みは　ｋ１から順に1：2：2：1が一番いいですね

しかし過渡項の部分はまだ解析解からずれるのでなんとも・・・・・

すいません係数6で割ってましたｗ

4次のRunge-Kuttaだと思うけど
1:2:2:1は古典的公式だね。

それ以外に3/8公式っていうのもある。

重みはある規則を満たさないとダメなので
勝手には決められないよ。

>>301
わかりましたすいません、テーラー展開に一致しないといけないんですね・・・。

ちょっと質問があります。
連立方程式の解法なんですけど、

ガウスザイデル法よりヤコビ法の方が収束が早い場合がたまに
あるのですが、なぜなのでしょうか…。
係数を乱数生成してシミュしたらほとんどはガウスの方が早い
ですがなんとなく気になったので。

鯖移転したよ

これだけのヒントから解けますでしょうか？
４次のルンゲクッタで、バネ振り子の位置変化についてやっています。
どなたか教えていただけないでしょうか？


t=0.0;　
x=1.0;　
dt=0.1;　
x=x0;　
t=t0;　
v=v0;

　　　　　　　　　　for(i=1; i<=100; i++)
{
x1=x(t)
x2=x(t)+0.5*dt*v1
x3=x(t)+0.5*dt*v2
x4=x(t)+dt*v3
x(t+dt)=x(t)+dt*(v1+2*v2+2*v3+v4)/6

v1=v(t)
v2=v(t)-0.5*dt*(k/m)*x1
v3=v(t)-0.5*dt*(k/m)*x2
v4=v(t)-dt*(k/m)*x3
v(t+dt)=v(t)-dt*(k/m)*(x1+2*x2+2*x3+x4)/6

いつの間にか６年経過

いつの間にか鯖移転

あげ

http://ip1.imgbbs.jp/read4/bhw55/

盗撮、盗聴情報サイト

日本語でおｋ

2ちゃんねる最古のスレはここですか？

記念カキコ

日本語でおk

VIPからきますた

だれかmatlabでブラジウスの解をルンゲクッタ法で解いている人いませんか？

解いてるよ。
f'''+0.5*f*f''=0
境界条件
f(0)=f'(0)=0
f''(0)=0.33206
でode45で解いてみ？

>>1の頃に生まれた子供は今頃小学校１年生か

2年生だよ

ある日、全知全能の神が現れた

工学者はこう言った
「人工知能の作り方を教えてくれ」
物理学者はこう言った
「究極の理論を教えてくれ」
数学者はこう言った
「素数の一般式を教えてくれ」

最後に、哲学者がこう言った
「おまえはもう死んでいる」
天罰を受けた哲学者は、梅毒にかかり発狂した

>>319
結局、その全知全能の神は無能じゃないかw

>>320
だよなｗ

やっぱり

オタル自重

age

sage

いつのスレだよｗｗｗ

記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込
込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書
書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念
念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記
記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込
込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書
書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念
念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記
記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込
込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書
書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念
念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記
記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込
念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記
書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念
込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書
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込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書
記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込
念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記
書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念
込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書
記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込記念書込

ゲーメスト「著名な誤植」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%82%B9%E3%83%88

ごめん誤爆

　　　　r‐‐i､　 .__,　　　　,r‐┐　 　 　 　 　 i､ 丶　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,ri､
　:"'''''''″ ‘ﾞ,,,,,,,,,．　　　,i´ ,/　　　　　　r‐┘ ー―ｰ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/ .i､
　.r‐---‐ .'｢ｰ¬'i､　　,lﾞ　,lﾞ,,,,._　　　　 .ﾞ‐'''l　.,!''''''''''　　　　　　　　　　　　　 ｖ―''''''""''''-i､　 ＿,,,,,,,,,/　 ﾞl,,,,,,,,,,,,,
　ーｰ',,,,,,,,,,　ﾒi"^゜　 .,lﾞ　.”,,,.　ﾟi､　,,,,,、.[￣｀｀￣"ﾞ″　　l''''''''''''''''''''''''''''''''i､ .lﾞr‐'''"~ﾞﾞﾞ'┐ ﾞ>　ヽ,,　　,,,,iﾞl,,,、　,,.r"
　.,r'"ﾞ,,,,,,,,,＿　ﾞﾟｧ　 ..,i´ .,/゜｀　.l　 lﾞ .lﾞ ｀"ﾞ］　厂￣ﾞ|"ﾞl　 "''''''''''''''''''''''''''''''′　　　　　　 |　 、　　ﾞﾟ┐ﾞﾞl,,,,|゜.y'"
　lﾞ　.l″　　 ﾞ"･"　 .,i´ ,l"　 : 　|_,/゜ j　　 冫 ﾞl　　.,ﾉ　|　　　　　　　　　　 　 　 　 　 _,,r"　,‐　　　.,i´ ゛,_″.ﾞl
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こんなつまんねえスレよくこんなにもったな

>>330-331
お前らに初音ミクが必要なように
このスレの奴らにはルンゲクッタが必要なんだ
許してやってくれ．．．

むむ・・よく分からない

どなたかお願いします。

放物型の偏微分方程式（拡散方程式）
du/dt=d^2x/dx^2 (0<=x<=1)
を、
境界条件 u(0, t)=u(1, t)=0
初期条件 u(x, 0)=sin(pi*x)
にて解きたいとします。

これを、空間離散化した後にオイラー法を用いて以下のようにして解いたのですが、このまま
ルンゲクッタにしようとしてもどうしてもうまくいきません。

文法も見様見真似で試行錯誤して書いたので、
読みづらいとは思うのですがどなたか
助けをいただけないでしょうか？

      #include <stdio.h>
      #include <math.h>
      #define I 8
      #define N 256

      double ic(double t, double x);
      double bc(double t, double x);
      double euler(double u, int n, int i);
      double f(int n, int i);
     
      //mesh
      double dt=1/(double)N;
      double dx=1/(double)I;

      double u[N+1][I+1]; //u[time][space]

   

int main(){
          int n, i;

          //boundary condition
          for(n=0; n<=N; n++){
              u[n][0]=bc(n*dt, 0*dx);
              u[n][I]=bc(n*dt, I*dx);
          }
          //initial condition
          for(i=1; i<=I-1; i++){
              u[0][i]=ic(0*dt, i*dx);
          }

          for(n=0; n<N; n++){
              for(i=1; i<=I-1; i++){
                  u[n+1][i]=euler(u[n][i], n, i);
              }
          }
          //print result
          printf("#n i u[n][i]\n");
          for(n=0; n<=N; n++){
              for(i=0; i<=I; i++){
                  printf("%d %d %f\n", n, i, u[n][i]);
              }
              printf("\n\n");
          }
      }

      double bc(double t, double x){
          return 0;
      }
      double ic(double t, double x){
          return sin(M_PI*x);
      }
      double euler(double u, int n, int i){
          return u+f(n, i)*dt;
      }
      double f(int n, int i){
          return (u[n][i+1]-2*u[n][i]+u[n][i-1])/(dx*dx);
      }

ナニがどう駄目なのかさっぱりだが、オイラー法ではうまくうごいたのかい？

y''(x)=(V(x)-E)y(x) ; V(x)=-1/x　x=0〜130
この常微分方程式をルンゲクッタで解こうとしています(化学的には、静電ポテンシャルの波動関数を計算する式です)。
で、適当な刻み幅hを与えて計算させたのですが、
x=0近くではV(x)の値はxに伴って大きく変わるので、刻み幅hをごく小さく与えました。
すると、丸め誤差の影響が大きく出てとても計算が出来ません。
かといってhを大きく与えるとこれまた誤差が出てきます。

そこで、自動刻み幅調整を現在のプログラムに与えたいのですが、
何かいい方法はありませんか？
手元の参考書には、ルンゲクッタフェールベルグ法について記載されているのですが、
これには「大きすぎたhを小さくするための判定法」しかありませんでした
(一度小さくなったhはそのまま)。
これでは現在の課題に対応できませんので、｢小さすぎるhを大きくさせるための判定法｣を、どなたかご教授お願いいたします。

あとついでに。
fortran90で6段5次ＲＫＦのルーチンを自分で作成してみたのですが、
4段4次ＲＫを使っていた頃よりも何故か遥かに誤差が大きくなりました。
6段5次ＲＫって、誤差が大きくなるものなのでしょうか。


そもそも私がしたいことはx=0〜130の範囲での上記式の積分なのですが、
x=0〜130の範囲での積分計算は積分区間が広大すぎてちっとも計算できません
(化学的に言うと、固有エネルギーＥを見つけることが出来ません)。
そこでＲＫＦによる自動刻み調整が必要だと思ったのですが、うまくいきません。
よろしければ経験者のお言葉を頂戴したく存じます。

は？VIPからに決まってんだろ！

ひとっつも分からん…

VIPから来ますた。
記念☆眞紀子
おちんちんﾝｷﾞｯﾓﾞﾁﾞｲｲﾞっ！

ルンゲクッタってなんですか？

そんなネタになるほど高度なものでもない

＜　　　　　│　　　│彡彡彡　　　＼　　　　　　　　　　　│　　　　　　　　＞
＜　　　　　│　　　/彡彡　　　　　　　＼＿　　　　　　　　│　　　　　　　　＞
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＜　　　　　│　|　　　　　　　　　ﾉ　│　　　　　　　　ヽ　　　│　　　　　　　＞
＜　　　　　　＼┌────────────┐│ヽ　│　　　　　　　＞
＜　　　　　　　│　　ちゅっちゅしよー　　　　　　││/＼/　　　　　　　　＞
＜　　　　　　　│　　　　　　　　　　　　　　　　　　││　│　　　　　　　　　＞
＜　　　　　　　│　　　　　◆2.0Km1unko　　　　││　/　　　　 ＼　　　 ＞
／　／　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼＼　＼　＼
　　　　
　　 ／　ー＼　ちゅっちゅしよーちゅっちゅしよーちゅっちゅしよーちゅっちゅしよ
　／ノ　　(＠)＼　ちゅっちゅしよーちゅっちゅしよーちゅっちゅしよーちゅっちゅし
.｜　(＠) 　 ⌒）＼　ちゅっちゅしよーちゅっちゅしよーちゅっちゅしよーちゅっちゅ
.｜　　 （__ノ￣|　　| 　 ///;ﾄ, 　ちゅっちゅしよーちゅっちゅしよーちゅっちゅしよー
　＼　　　|＿／　 /　////ﾞlﾞl; 　ちゅっちゅしよーちゅっちゅしよーちゅっちゅしよー
　　 ＼　　　　 _ノ 　 l 　 .i .! | 　ちゅっちゅしよーちゅっちゅしよーちゅっちゅしよー

やはりチンゲが来たか

(?.?)

>>65>>72>>141>>196

ががががっ

あけましてるんげくったうございます。
本年は二十段公式でよろしくお願い致します。
平成二十年　元旦

難しい

現存する２ｃｈ最古のスレと聞いて記念カキコしにきました

現存する２ｃｈ最古のスレと聞いて記念カキコしにきました

記念かきこ

VIPから記念真紀子

記念カキコ自重しろ
ちょっとは考えろｶｽ

自重しろと言われたので記念カキコ自重します

VIPからage

VIPPER死ねよ

記念

去年も一昨年も記念かきこされてるなｗ

マン毛食った法？
よくわからんが2ch最古のスレに記念真紀子

なうなうー

記念パピコ

すげー

すげぇｗｗｗ

バカが煽ったせいで今日中に1000いくんじゃねｗ

>>1のころ産まれた子は小学二年生だな

ｖｉｐからきすた
記念

っていうかマジで記念カキコやめて

マンゲクッタってなんだ？

記念一青窈

きｗｗｗｗｗｗｗｗねｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗんｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

なぁ、マンゲクッタってなんだよ

8年間もスレが生きているなんてｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
vipからきますた
記念カキコ

記念パピコ

記念パピコｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

記念… このスレが出来た八年前を思い出して泣けてきた

ねんきものにきねん

記念真紀子

おいオマエラ！自重しろ！








記念

問：　【矛盾】ということわざを上手に説明しろ


答：　「記念カキコやめろ」という書き込み

記念

記念カキコやめれ

記念パピコ

通勤中の俺が記念ﾊﾟﾋﾟｺ

職場から記念真紀子

記念

いやっほーい

記念

記念記念

素晴らしい！39！

記念ぱきこ

記念パピコ

ひゃっほぅ
記念

ログみたら、ＶＩＰは定期的にここに来てるなｗ


記念ぱぴこ

布団から記念

俺が１０才の時にたったのか
記念

俺が小1か記念

おいwwwwwやめろってwwwwwあんまり書き込むと埋まるぞwwwwwwwwww

俺のスレ荒らすな

俺がパソコン覚える前の出来事か・・・
すごいスレだな

むだに埋めたくはないが記念

あの頃は無意味に楽しかった・・・

２ｃｈ最古と聞いてVIPから来ますた

女は時間と金がかかる(girls require time and money)という諺を用い
Girl = Time × Money…(1)とする
時は金なり(Time is Money)という諺によると
Time = Money…(2)
(2)を(1)に代入すると
Girl = Money × Money
ここで、金は諸悪の根源(money is the root of all evil)(諺)だから
Money = √(Evil)
したがって
Girl = √(Evil) × √(Evil) = Evil

女＝悪　(証明終)

お前ら書き込むなよ







VIPから記念まんこｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
ブヒャヒャヒャヒャｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

きねまき

すげぇ…

記念かきこ

なにこの遺跡スレｗｗｗｗ

祝！第10弾発売記念4時間SP 鬼怒川で見つけたお嬢さん タオル一枚男湯入ってみませんか?
スペシャル ウルトラミッションBOXから飛び出すシリーズ史上最も過激なミッションに総勢10名
の美形お嬢さん達は羞恥･赤面のオンパレード！！

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てｓ

羊水が腐っててすみませんでした

キネンパピコ
アヒャヒヤー

きねん

数値解析では初歩から応用まで広くカバーするルンゲ-クッタだが，
VIPのyutoriたちは知らないんだろうな

ルンゲクッタ記念

二度目の記念カキコ

もう一回書いちゃえ

ここの方がモンテカルロスより古いじゃん

⊂ニニニ(　＾ω＾)ニニ⊃サイコキネシスときいてテレポートしてきますた

ルンゲクッタ＞モンテカルロ

ここテストに出ます

記念ｗｗｗｗｗｗ

いいえケフィアです

こっちが最初期のスレでしたか・・・
ルンゲ食った方ですね。分かりました。
ある微分方程式を
f(x,y)+｛∂f(x,y)／∂x＋ｆ（x,y）*∂f(x,y)／∂x*ｈ／2｝ｈ＝Ｒｆ(x,y)h＋ｒf{x＋ah,y＋bf(x,y)h}h
という式に置き換えます。
そして出てきた式の内Ｒ、ｒ、a、bは特定できません。
でもＲに経験則で手ごろな数字を何度か当てはめていくと、ｒ、a、b全ての近似値が出せます。

以下の人は次の質問には答えても答えなくてもかまいません
「ルンゲ食った方はどっち？」

(´、丶)

記念真紀子

{u.u}+{u-u}=(v-v)人(u_u)

パンツ見せていただけますか？

記念真美子

「耳をすませば記念」にカキコ
2000年〜2001年8月までは西暦が4桁表記で、
2001年9月〜2005年3月下旬までは西暦が2桁表記だったんだな
でそれ以降はまた4桁と

それにしても8年って凄いわ
歴史を感じさせるスレだな
2000年1月ってまだ20世紀だし、アメリカ同時多発テロが起きる前でもある
ゆとり世代な俺は当時まだ小4だし
思えばずいぶん年をとったな
あのころに戻りたい・・・

記念真紀子
>>1の時間に俺もいきたい

記念カキコ

記念カキコ

記念

記念

記念カキコ

記念

記念

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ここも記念

↓以下記念禁止

↓以下記念禁止解除

記念

奇面

アッーーーーー！

【昔】現存する最古のスレを探すたび(1)
http://bubble6.2ch.net/test/read.cgi/mukashi/1005738050/

によると

ファンの声(いがには届かぬ涙のおたより）
http://anime3.2ch.net/test/read.cgi/iga/947791773/

(2000/01/14)が最古スレ第1位。
ここは現在第2位。

記念

>>2
日本語でおｋ

最古のスレ

v(＾∀＾)vイエーイ

ひなまつり〜

(　；∀；)ｲｲｽﾚﾀﾞﾞﾅｰ

>>1
乙

記念カキコ

記念

記念

記念

らんげ・かった　めそっど

記念

記念

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らんげ・かった　めそっど

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