高次精度差分法

ポアソン方程式、ヘルムホルツ方程式に対する高次精度の差分法に関する
文献、ＨＰ等をご存知の方、よろしければ教えてもらえないでしょうか。
２次、４次精度は知っているのですが、どうやらそれ以上の精度が必要なんです。

書き忘れましたが、２次元での話です。

むやみに次数を増やしてもいいことないぞ。

＞むやみに次数を増やしてもいいことないぞ。
同感です．

多重格子を使ってみるのも手です．
cipを使うのも一考です．

というか，僕は差分法は嫌いなので，僕なら
有限or境界要素法を使いますね．

はー、そういうものなのですか。
差分法にこだわっているのは、他の方法を理解するだけの時間が
残されていないような状況になっているからなんですけどね。
しかし、いいことないってどういうことでしょう？

流体力学のような楕円型ではない方程式に、
解析性のよさ（高次微分の連続性）を前提とする
高次の差分を適用することは、あまりふさわしくない
もしくはかえって有害です。
最良近似の理論に基づく有限要素法の場合であれば
基底関数の次数をあげることは、近似空間の
単調な増大を意味するので、害はありませんが、
有効性は（解析性が無い場合）限られます。

解くべき偏微分方程式は楕円型です。
また、解くべき内容も、ある電荷分布に対する
静電ポテンシャルであったりします。
ただ、それをできるだけ高い精度で求める必要があるんですよ。

>>1
楕円型で高精度計算したかったら Legendra Tau Method（スペクトル法）
使えば？

>>8
レス、ありがとうございます。
早速探してみましたが、日本の文献って少ないですね。

お腹減ったね。

>>9
日本の文献には期待しない方がいいです。
自分は
Claudio Canuto,M.Yousuff Hussaini,Alfio Quarteroni,Thomas A.Zang,
'Spectral Methods in Fluid Dynamics',Springer-Verlag(1986).
で勉強しました。

Legendra じゃなくて Legendre だし．．．逝ってきます。

そういえば、スペクトル法で２次元定常状態のシュレディンガー方程式の
波動関数と固有値も求められますか？

>>1
Matlab は持ってますか？

ucs.orst.edu/~weidemaj/differ.html

で1次元のシュレディンガー方程式を解くサンプル(schrod.m,lagdif.m,
lagroots.m,poldif.m)があります。同所でダウンロードできる Paper の
「A MATLAB Differentation Matrix Suite」の pp.39-40 に解説有り。
Paper は Matlab を持ってなくてもスペクトル法の勉強になります。

ありがとうございます。ただ、使用言語はfortranなんですよ。
とにかく、早速行って調べてきます。

age

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test

テストは本来書き込むところと同じ板でやれやｳﾞｫｹ

（＾＾）

てすてす

Yes I do.

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> ポアソン方程式、ヘルムホルツ方程式に対する高次精度の差分法
ポアソン方程式（よく知らないけど）とかで、高次精度出すより、
違う式使った方が正確じゃないの。

そのとおり。

よくあるおかしな話。Fokker-Planckの解析解（正規分布）を模範解答にして
差分やモンテカルロで解く。ピッタリ会わせるためにテクを提案するが、メッ
シュ間隔を正規関数で決めたり、インポータンス関数に正規分布を使ってしまう。
模範解答がわかっているからできること。

目的は違うところにあるはずなのに。

http://homepage3.nifty.com//coco-nut/
あんたいやらしいよ

10ヶ月空いた

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>>9

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test

籠女囲め
加護の中の鳥居はいつ五つ出会う
夜明けの番人吊ると神が統べた
後ろの正面誰？

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/que_del_reason.php?qid=1221834057

うっうおっふぉおおあはほぉぉぉぉあおぅぉおんぅうをほぉぉぉぉ

dat落ち救出age

構造格子なCFDだとコンパクトスキームが定番になってますけど、他の流体以外の分野はどんな感じですかね？

ありゃ、この板はスレ少なすぎてdat落ちが起こらないみたいですね^^;
救出の必要はなかったか
というか、意味もなかったか・・・

minmod あげw

コンパクトスキーム勉強したいんだけど
良い参考書とか論文ない？

非構造格子でコンパクトスキームってあるらしいけど、どうやんだろうな
補間しまくりで元のコンパクトスキームの精度って維持できるんだろうか

「コンパクトスキーム」の定義をイマイチ判ってないオイラに説明して、偉い人。

>>48
点iの導関数du/dx_iを求めるとき、単純にuのみを使うんではなく、du/dx自体も
使うのがコンパクトスキーム。テイラー展開して消去してけばすぐ導けるよ。

例えば4次精度の場合、
du/dx_i + α{du/dx_(i+1) + du/dx_(i-1)} = β{u_(i+1)-u_(i-1)} + γ{u_(i+2)-u_(i-2)}
普通の差分・・・α=0、β=2/3、γ=-1/12
コンパクト差分・・・α=1/4、β=3/4、γ=0

見ての通り、後者のほうがステンシル幅が小さい（i-1からi+1）。
その代わりdu/dxが陰的な関係になり、行列を解く必要がある。
が、この行列は三重対角のタイプで解きやすく、結局トータルの計算コストで
見るとコンパクトスキームの方に軍配が上がる、ってのが流行ってる理由らしい。

あ、コンパクトスキームといっても中心差分的に評価する点に変わりはないから、
中心差分の不安定性は別途対処しないと駄目なはず。

ありがとう。

コンパクト法の du/dx_i そのものを陽に展開するとステンシルがほぼ計算領域全体に波及するけど
計算そのものは i=1,,,,,N でのdu/dx を同時に解くわけだから
計算コストと精度のバランスが良い、という理解でいいのかしらん。

>>50
まぁそういうわけです
一見すると誰でも思いつきそうだけど、発想の転換ってやつなのかなぁ

コンパクト法の話だ。学会でちらりと拝見する機会はあるけどなんか便利そうなので関心がある。
>>49
これって多次元(たとえば２次元)の場合、
du/dx_{i,j}=....
はとある行jについてやって
du/dy_{i,j}=....
は独立に列iに対してやればいいの？
でもそれだと、ステンシルが縦と横方向だけに長くなって
{i+1,j+1}とかの斜めがからんでこないのがムズムズするw