【数学基礎論】ゲーデル賞の授賞式で数学に基づく音楽が初演される

奇妙な数学基礎論が音楽にされる
クルト・ゲーデルの「不完全性定理」にインスパイアされた作曲が彼の名前を掲げる授賞式で初演される
Philip Ball, 03 July 2014

オーストリア生まれのクルト・ゲーデルは1931年に算術大系が自己無矛盾性を証明できないことを発見して研究者たちに衝撃を与えた。
http://www.nature.com/polopoly_fs/7.18286.1404403664!/image/1.15502.jpg_gen/derivatives/lightbox/1.15502.jpg

今年のゲーデル賞（計算機科学者にとって最大の栄誉）はその名前にふさわしい伴奏が
演じられる。7月9日にコペンハーゲンで開かれる授賞式で、クルト・ゲーデルが作った
論理的公理をエンコードするよう依頼された楽曲が流れる。クルト・ゲーデルは賞の
名前の由来となったオーストリア生まれの数学者だ。

「ヒルベルト・ハートブレイク・ホテル」と題された曲はデンマークの作曲家、ニールス・
マルティンセン（Niels Marthinsen）によるもので、ルンド大学（スウェーデン）の
コンピュータ科学者、トーレ・フシュフェルト（Thore Husfeldt）の考案だ。「芸術と
科学の分裂が大きくなっていることにフラストレーションを感じていたんだと思う」と
フシュフェルトは話した。「それはいくつかの文化を合わせる試みでとても楽しかった」

フシュフェルトによると、コンピュータ科学者になった理由の一つは彼が十代の頃に
『ゲーデル、エッシャー、バッハ』（Godel, Escher, Bach）を読んだことだという。
認知科学者、ダグラス・ホフスタッター（Douglas Hofstadter）の手によるこの本は、
ゲーデルの理論、ヨハン・セバスティアン・バッハ（Johann Sebastian Bach）の音楽
構造、そして19世紀のオランダの画家Ｍ・Ｃ・エッシャー（M.C. Escher）による入り
組んだ幾何学模様のあいだにある相似を描き出したものだ。

マルティンセンはデンマークの作曲家、ペア・ノアゴー（Per Norgard）の学生だった。
ノアゴーは1960年代に数学を用いた作曲を探求し、たとえばフラクタル様の自己相似の
性質を持った音の列を使った作曲をした。

したがってマルティンセンにこの曲を依頼するのは自然な選択だった。「彼はこう話して
いた。『これは完全に狂気じみていて私には時間がないが、とうぜん我々がそれをやら
なくてはいけない』」とフシュフェルトは回想した。「そこから、このパズルはうまく
いった」

ヒルベルト・ハートブレイク・ホテル。トーレ・フシュフェルトとニールス・マルティンセンが
この音楽作業の成果について議論する。（動画）
http://www.youtube.com/watch?v=7W_SJ8rUdIQ

◆論理的出発点

「ヒルベルト・ハートブレイク・ホテル」が基礎としているのは19世紀後半のイタリアの
数学者、ジュゼッペ・ペアノ（Giuseppe Peano）が提唱した自然数の公理系だ。この
公理系は算術および数論を形式的、論理的な基盤の上に築く試みで、その出発点は次の
ようないくつかの自明に思われる主張だ。「すべての自然数 x について、x = x」、
「x = y なら y = x」。

ペアノの公理は記号論理学の記法で表現でき、そこから全ての基本的な算術演算（乗算
など）が導かれる。1900年にドイツの数学者、ダーフィト・ヒルベルト（David Hilbert）は
これらの公理の一貫性の証明が、数学の重用な未解決問題の一つであることに気づいた。
公理が互いに矛盾していたら、数学体系全体（微積分学やゲーム理論などの広い範囲の
分野を含む）が揺らぐことになる。
（>>2以降につづく）

ソース：Nature News（03 July 2014）
Enigmatic foundations of maths put to music
http://www.nature.com/news/enigmatic-foundations-of-maths-put-to-music-1.15502

ゲーデル賞受賞研究：Journal of Computer and System Sciences
Ronald Fagin, Amnon Lotem, Moni Naor. Optimal aggregation algorithms for middleware.
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022000003000266

>>1からのつづき

しかし1931年、ゲーデルはペアノ算術の内側でそのような証明を見つけることはできない
ことを示した。ゲーデルは有名な「不完全性」定理の一つの中で、外側の「メタ算術」
公理を追加したときにだけ算術が無矛盾になることを示した。数学が論理的閉包を達成
できないと見られることを示したゲーデルの研究は、数学者と哲学者に衝撃を与えた。

ペアノの公理を音楽にするために、マルティンセンは論理記号をそれぞれ音符に割り当てて
短い音楽フレーズを作った。彼はそのフレーズをゲーデリングと呼んでいる。彼はいくつ
かの異なった「エンコーディング」の短フレーズを使って、彼が「音楽的に満足な言語」と
呼ぶものを作った。同じようにアルファベットや記号列を音符にエンコードすることは、
バッハからロシアの作曲家ドミトリ・ショスタコヴィチ（Dmitri Shostakovich）まで、
多くの作曲家が探求してきたことである。

マルティンセンはこれらのゲーデリングを重ねて「複雑だが理解可能な」声部を作った
――バッハの対位法の折り重なった声部を思わせる。彼によると、その結果が音楽として
成り立つことを保証するよう注意して、「数秘術」に迷わないようにしたという。

この曲の冒頭に、マルティンセンは自由に作曲したソプラノ声楽を置いた。「ソプラノが
ヒルベルトのハートブレイク・ホテルについて歌う。冬の夜にホテルに入ってくる一人の
ハートのない人物が客の一人からハートを受け取る様子と、客の全員が一つずつハートを
持つまで客がハートを移していく様子だ。」と彼は説明する。このシナリオは無限集合の
パラドックスをほのめかしている。ヒルベルトが客室が無限にあるホテルとして概念化
したものだ。そしてエルヴィス・プレスリー（Elvis Presley）の歌「ハートブレイク・
ホテル」にもちなんでいる。

「ヒルベルト・ハートブレイク・ホテル」のレコーディングは存在せず、授賞式での曲の
演奏が世界初になる。

ゲーデル賞（5,000米ドル）は、IBMアルマデン研究センター（カリフォルニア州サンノゼ）の
計算機科学者ロナルド・フェイギン（Ronald Fagin）、イスラエルのアルゴリズム専門家
アムノン・ロテム（Amnon Lotem）、ワイツマン科学研究所（イスラエル、レホヴォト）の
計算幾何学者モニ・ナオル（Moni Naor）の3人に与えられる。3人は音声、動画、画像
などのさまざまな情報源から集まったデータを最適化し階層化するアルゴリズムを考案
した。そのようなアルゴリズムは「ミドルウェア」（他のデバイスとのネットワークと
通信してコンピュータのオペレーティング・システムを補助するソフトウェア）に必要だ。
この賞は国際オートマトン・言語・プログラミング学会（ICALP）で表彰される。

おわり

ゲーデルの「不完全性定理」を引用する人の98%は間違った引用をしている。
そればかりか定理そのものも理解していない。

『ゲーデル、エッシャー、バッハ』は、人工知能の項に入るとつまらなくなる。

>>3
そうそう。
ニュー速とかで、科学と宗教の対立とか、オカルトと科学とかのスレ立つと、必ず「不完全定理から、科学は不完全であることが分かっている」って、ドヤ顔のカキコがあるなｗ
せめて、第一なのか第二なのか明記しろって話だが、多分、その区別も分かってないんだろうな。

ダグラス・ホフスタッターのお父さんは確かノーベル賞受賞者だったような。違ったかな
それで、『ゲーデル、エッシャー、バッハ』以後、何か特筆すべき科学的業績を上げたんだろうか？
基本ラインは、人口知能研究の人なんでしょ？

>>6
マインズ・アイも結構面白かったな。
人工知能とか数学よりは、かなり認知科学寄りの本だが。

現代音楽は意味不明

若いころに『ゲーデル、エッシャー、バッハ』が流行ったのって、いま40代や50代のオッサンだろ

とりあえず音楽は微妙だったよ

計算をする上での数の定義や演算子に不確かさを感じることはあるけども
まずは信じないと進めないよね

>>10
そもそも、ゲーデル当時は、大半の数学者は、数学の無矛盾かつ完全を信じてて、その検証として行われたのが、数学の算術化だったんだぞ。
お前の感性は、当時の第一線級の数学者より優れてるって言いたいのか?

モーツァルトの音楽の冗談が冗談に聴こえない

不完全性とは不良設定問題のことか？

そういや「頭の体操」的なのに凝ってた時、講談社かどっかの文庫本でゲーデルの不完全性定理が出てたな。
著者のおっさんが、ゲーデルでゲーが出たわって言ってのを覚えているな。特に意味はないんだけど。

こんなところでノアゴーの名前を目にするとは思いもしなかった。

そういえば、数学を音楽の根幹に初めて取り込んだのが、建築家でもあるクセナキスだったな。
確率統計とか集合論とかランダムウォークまで取り入れて音楽を構成した。

数学と音楽の融合とかやると両方氏ぬだけ
結局音楽は音楽，数学は数学別々にやるのが一番ってなるだけだろ．

全ての有限長の音楽や動画は、デジタル化により何メガバイト、何ギガバイト
のデーターディスクに収まる。すると、そのデジタルデータのビットの列を
０と１に対応させてやると、長大な桁数を持つひとつの二進数に等しい。
二進数はある一つの整数Nである。そのような整数Nは、０から初めて１を
順番に加えていくことで、到達できるし、人類の存在とは無関係に、宇宙の
開闢以前から論理の世界の中で、数学の世界では最初から存在している。
そのような人類とは無関係に超然と存在している整数Nに対して
JASRACが著作権がどうこうしようなどと、おこがましいとは思わんかね？

別に衝撃を受けんでも

Ｓ・・・メタ算術公理 + (メタ算術公理 + (メタ算術公理 + (メタ算術公理 + 論理閉包公理)))
で必要なところ（Ｓ）まで考えればいいということじゃ？　あとは不可知の領域ということで

受賞研究は３種のデータの集まりを階層化して結合し一つのデータの集りにするアルゴリズムということか。（どうやるんだろう）
もしかすると、生物の遺伝子も情報が階層化されてるのかもしれないなぁ

そもそも平均律からして数学に基づいてるってのに、何をいまさら、、、

　　 ｜　１,　　２,　　 ・・・, 　n,　　 ・・・
＿＿_｜＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
f1(y)｜f1(１)　f1(２)　・・・　f1(n)　　・・・
f2(y)｜f2(１)　f2(２)　・・・　f2(n)　　・・・
・　 ｜・　　　・　　 　・　　　・
・　 ｜・　　　・　　　 　・　　・
・　 ｜・　　　・　　　 　　・　・
fn(y)｜fn(１)　fn(２)　・・・　fn(n) 　　・・・
・　 ｜・　　　・　　　　 　　　・　　　 ・　　
・　 ｜・　　　・　　　　　 　　・　　　 　・　
・　 ｜・　　　・　　　　　 　　・　　　　 　・

　¬は否定だから最後につけ加えればよいから、ヨxP(x,n,n)について考えてみよう。
これは、「ゲーデル数がnである一変数 y を含む命題（すなわちfn(y) ）の変数 y に
数nを代入した命題の形式証明のゲーデル数となる x が存在する」という内容を持ち、
したがって¬∃xP(x,n,n)はこれの否定、すなわち繰り返しを嫌わずに書けば「ゲーデル
数がnである一変数 y を含む命題の変数yに数nを代入した命題の形式証明のゲーデル数
となる x が存在しない」となる。
　ところが、ゲーデル数nを持つ一変数を持つ一変数yを含む命題とは fn(y)のことであ
り、fn(y)とはすなわち¬ヨxP(x,y,y)であった。すなわち上の文章を簡単に書けば，「¬
∃xP(x,n,n)の形式証明は存在しない」ということで「¬∃xP(x,n,n)は証明できない」と
いうことになる。ところが、この「　」内の命題こそ¬∃xP(x,n,n)に他ならない！
　ついにわれわれは「この命題は証明できない」のきちんとした数学的表現を入手する
こと に成功したのである。

（略）

　ここで用いられた論法が一種の対角線論法であることに十分注意を払ってもらいた
い。一変数の命題をすべて一列に並べ、f1(ｙ) ,f2(ｙ) ,・・・とし f1(１) , f1(２) ,・・・f
n(ｎ),・・・を考察するというのはまさしく対角線論法そのものである。カントールに
よって集合の階層構造を引き出すために考案された一線論法は，集合論内のパラドック
スと絡まりあいながら、ゲーデルによる決定不能命題の発見という20世紀数最高の結
果の一つを生み出すにいたったのである。

（以上、『はじめての現代数学』瀬山士郎著、講談社現代新書p161-163より。早川文
庫より復刊）

瀬山氏は対角線論法の後に不完全性定理のもうひとつの肝であるゲーデル数（ゲーデル
による素因数分解を使ったコード化）について説明している。

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1:55 午前
yoji said...


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　上の図はペアノ(Peano)曲線と呼ばれるもので、下の図の左のように、最初の単純な
曲線を半分に
縮小し、向きを変えて４枚貼り合わせます。
次に線で結びます。これを繰り返すとどんどん複雑になって無限に繰り返すと正方形を
埋め尽くします。
自己相似形の繰り返しという意味でフラクタルになっています。

フラクタルの例 ペアノ曲線のつくり方

図の右側のように４枚張り合わせるときに少し隙間を空ける（半分ではなく隙間分
考えて縮小しておく）
と下のようになりフラクタルらしいフラクタル図形になります。

　1+1/2+1/4+1/8+…+1/2^(n-1)…

の収束・発散を調べ、収束するときは和を求めよ。

　　第 ｎ 部分和　Ｓｎ＝１＋1/2＋1/4＋・・・＋1/2ｎ-1＝２(１−(1/2)ｎ)　なので、
　数列 ｛ Ｓｎ ｝ は収束し、ｎ → ∞　のとき、Ｓｎ → ２　である。
　　したがって、無限級数は収束し、その和は、２ である。

　（注意）　Ｓｎ＋1/2ｎ-1　を順次計算して、Ｓｎ＋1/2ｎ-1＝２　を示してもよい。

　上記のことは、次のように図式化すれば、極限の計算を知らなくても納得できるだろう。


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　上記の無限級数は、無限等比級数（幾何級数）といわれる。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/series/series.htm

ライプニッツ
「音楽は無意識的な算数の練習である。その際自分がいま計算していることを精神は知ら
ないでいる。」
http://www.sanynet.ne.jp/~norio-n/ESSAY/TETUGAKU/10.html


ライプニッツは素数を使ったゲーデル数の考案者でもある。
晩年のゲーデルはライプニッツを研究してばかりいて仲間に怒られた。

１次元空間に住まいする知的な高等生物は、
彼らの世界には対角線が存在しないために、
対角線論法を適用できないのであろうか。

「IUTeich理論って何？」．．．「そっくりアニメ」による解説
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/sokkuri-hausu-link-japanese.pdf
宇宙際Teichmuller理論の出発点は、入れ子になっている宇宙の列というイメージにある。このよう
なイメージは、古代に遡るものと思われ、本稿で取り上げる「そっくりハウス」のアニメをはじめ、
世界各地の様々な物語・神話に登場するものである。宇宙際Teichmuller理論（IUTeich）
の場合、それぞれの宇宙は、通常の環論・スキーム論が有効な古典的数論幾何的舞台一式
に対応する。アニメの中では、この宇宙たちは「家」という形で表される。それぞれの
古典的数論幾何的舞台の中にテータ関数があるが、このテータ関数は、 「次の宇宙」と
の間の「フロベニオイド論的」 （＝非スキーム論的！Frobenioids I, II及び´ Etale Thetaを
参照） 「橋渡し役」を果たすのである。アニメでは、このリンク役のテータ関数に対応
するものは、 「小さな家」の中を覗き込む少女の目線である。実際、少女の大きな目は
テータ Θ のような形をしているように見えなくもない（笑） ！ IUTeichでは、
ガロア群や数論的基本群 は、それぞれの宇宙の間を、膨張・圧縮されることなく同型なまま
自由に往来できる「不思議な物質」で出来ている。アニメでは、この「不思議な物質」に対応
するものは、 「小さい家」 ・ 「大きい家」の間をつなぐ「不思議な星たち」である。…
http://youtu.be/4hJTm8pTV5A

対角線論法において、ホテルの住人にも例えられるそれぞれの数字は
ヒュームのように一対一対応を守るだけで全体が統制的に展開する。
神を知らない人間が時に神々しいまでに美しいものを生み出すように…

>>20
純正律もピタゴラス律も、2倍とか1.5倍とかの数学的な音程だよね
うなりの有無で音程を決めるなら当然のこと

IUTeich 理論
>p 進の理論では、IUTeich のそれぞれの「宇宙」は、個々の部分商‘pn/pn+1’ の正標数的代数幾何に対応する
p~n/p~n+1
もしかすると、これはつまり互いの宇宙には双対的な関係があるということではないだろうか？　ホログラム宇宙論に繋がるような。。
「小さい家・大きい家」の関係は、ある種のガロア群や数論的基本群で正確に変換＆表現できるとか

>>11
完全とかどうでもいいわけで

証明が無くても、反例は示せる

証明が為されるよりも前から既に命題の真偽はそれが決定可能ならば
決まっている、というのがさらに暗黙に仮定されているようだ。
決定可能であるかどうかはもちろん一般には決定不能なので、
いきなりポンと命題を提出されたときに、それの真偽あるいは真偽の
決定が不能であるかを決定する手順は無い。しかしもしも証明により
真偽が決定できたなら、その瞬間に決定不能ではなくなる。
しかしすると、証明が可能以前に永遠の過去から命題の真偽は決定
しているという信仰とは相容れない気がする。
　証明ができた瞬間に、その情報は光速度で宇宙の中に拡がっていく。
もしかすると、証明ができた瞬間にパラレルワールドが分裂するのかも。

ゲーデル賞受賞者
日本人　1
朝鮮人・・・・ええっと〜

未来は決定済みであり、我々はそれを取り出しているに過ぎない

決定不能な命題であることは、既に決定済みである
決定済みの命題を誰が取り出すかは、決定不能である

私は素晴らしい証明を思いついたが、我々の宇宙は狭すぎて、
書き留めるのには十分ではない。。。。

>>34
人は鏡と文は人なり、文末決定性を覚えなよ

命題の真偽が決定可能ならば、永遠の過去から決定済みである
命題の真偽が決定不能ならば、決定不能な命題が存在することは既に決定済みである
決定済みの命題を、我々は後から取り出しているに過ぎない
決定不能な命題は見かけの問題で、それを完全に取り出すのに遅延があるだけかもしれない

命題は宇宙の開闢以前から存在していました。
そうして、自分の真偽を証明する者が現れるのをただ待っていたのです。
いつかきっと自分の証明してくれる者が現れる、そう信じて、45億年
ひたすら待ちました、誰か私を証明あるいは否定してくれる、
そう信じて長い年月がただ過ぎて行きました。ある惑星に論理命題を
扱うことのできる知性が生まれたとき、命題はついにその時が
こようとしていると期待しました。しかし程なくして、その惑星は
戦争と環境汚染により知性を持った生命体は滅びてしまったのでした。
命題は自問自答しました、私は永久に決定されないまま、ただ存在
するだけで居続けるのだろうか。それでも私はいつかきっと

難しいな　どういうことか
ライブニッッのモナド論からいえば >モナドは生ずるにせよ滅びるにせよ、一挙になされる
ここでモナドを正しい数学上の定理ということで言い換えてもいいとしたら
そのモナドは誰かから発見される前に既に全て存在していたのはモナドの性質からいって当然といえるね。
ゲーデルは素因数分解の一意性（＝モナド性）を利用し、さらにカントールの対角線論法（背理法）によって
人間の論理的理性、すなわちライプニッツの結合法論的な探求には限界があることを証明したんだよね？

ただ一つライプニッツが間違っていたことがあったとしたら
＞主語はすべての述語を包摂しすべての述語は主語に内属する
ということだろうね。量子論で絶対的位置（主語）は存在しないことがはっきりしたのだからさ。

決定不能な命題は、数学的な意味を持たない
『ベクトルとはベクトル空間の元である』は、数学的な意味があるが
『ベクトル空間とはベクトル空間の元である』は、数学的な意味がない
決定不能な命題は、ただの幻覚ではないか

数学的対象の無い知覚である幻覚
数学的対象の誤った知覚である錯覚
ゲーデル文はこれらの区別が無い
区別が無いから無意味なんでしょうな

遺伝子のランダム生成はゲーデル文でしょうな
数学的対象かどうかは問題ではなく、自然環境に適応的かが問題
自然環境という掴みどころの無い対象なので、錯覚なのか幻覚なのか、何を知覚しているのか分からない
ゲーデル文はこういうのに向いてる

論理の形式的操作をする機械は数学的意味などというものは感知しないだろ

証明に必要なコスト（資源）という概念が欠けている気がする。
たとえば、将棋の完全ゲームはフォンノイマンの定理によれば
「存在する」はずである。しかしその完全ゲームの手順を具体的に
構成してみせないかぎりは、たとえば先手必勝であるか後手必勝であるか、
または必ず引き分けになるのかはわからないであろう。
では、完全ゲームの手順を書き下せるか、であるが記述に必要な記録量、
また記述を行なうために探索を行なうための論理処理量（演算量）は
莫大なものになる。将棋のゲームがどういうものであるか（板、コマの
動かしかた、ルールなど）の記述量はそれほど大きくないのに、
完全なゲーム手順の決定を行なうための資源の量は膨大で、おそらく
物理的には不可能なのではないか？　
あるいは囲碁の完全手順を示すことを考えて見ても良い。

ヒルベルトあっかんべー高利貸し

数学的対象という捉えどころの無さから、証明コストの計算に目がいくわけですね
遺伝情報の捉えどころの無さから、遺伝子数の増減にかかるコスト計算に目がいくのと似た状況です
遺伝子数の増減の仕方は、指数関数的増減で複利計算そのものやしな
でもそれは数学ではなく、数学コストの計算ですね
コスト計算のほうが実用的で工学的なんでしょうけど

数学的対象の知覚として、錯覚や幻覚を問うのは最早、形而上の問いなのかな
物事の理解には常に遅延があることは分かるが
それでもコストより事実を知りたい

自分でも理解できない専門用語を並べ立て、悦に浸る愚民が集うスレはここですか？

自分でも理解できない専門用語を機械生成し、以下にヒトを騙し抜くかを競う、チューリングテストだよ
勝ち残れば数学ゾンビ

[素]落合信彦　ノビー・ザ・グレート　３
[32]無名草子さん [] 2014/02/04(火) 00:18:07.44AAS
だいたいたねえ、オマイラみたいなナイーヴなメンタリティーじゃ、
このグローヴァルワールドでブラッフは通じないし、灼熱のワイルドターキーをオレのオークラのパッドで
モサドとかＣＩＡとかトンスルランドのメルツェデスとかジャグワーのトゥインターボって、お前もヤキがまわったな！

自然数は果たして本当に存在するかであるが、
もちろん無限集合は列挙で示すことはできない。
自然数は形式的に定義された論理上のものであって、
論理に「矛盾が無いなら」ば数学ではそのような
体系は存在するのだという立場をとるならばたしかに存在するのだろう。
しかしｘの次が存在しないようなｘ（最大の数）が存在する
というような公理を設けたらどうなるのだろう。
　自然数に限らず、何かの体系を形式論理的に定義したとする。
しかし一般にはそのような体系が矛盾を含んで居ないことが
証明できないのだとすると、やっているうちに矛盾に遭遇する
かもしれない。

普段使っている整数で、プラスの数を２つ足したら、マイナスになって
びっくりした。