【幾何】プラトン立体とアルキメデス立体の最密充填の問題を解く

Nature vol.460 (7257), (Aug 2009)
Cover Story: プラトン立体を詰め込む：プラトン立体とアルキメデス立体の充填の問題を解く
http://www.natureasia.com/japan/nature/updates/index.php?i=73484 (要無料登録)
http://www.nature.com/nature/journal/v460/n7257/images/cover_nature.jpg

粒子の高密度充填の幾何学的知見に基づくモデルは、液体、ガラス、結晶、粉粒体、生細胞など、
多くの系の構造を説明するのに役立つ。この分野における以前の研究のほとんどは、球状粒子に
注目しているが、このような理想的な形状の場合ですら、問題は非常に難しく、球の最密充填に
関するケプラー予想が証明されたのは、2005年になってからである。18の古典的幾何形状、すな
わちプラトン立体やアルキメデス立体（表紙に示されている）は古代ギリシャ時代から知られている
形だが、それらの最密充填配置については、ほとんどわかっていない。
今回、S TorquatoとY Jiaoは、5つのプラトン立体（四面体、立方体、八面体、十二面体、二十面体）
と13のアルキメデス多面体の既知の最密充填体について報告している。
これらの立体の対称性は、基本的な充填配置を決定するうえで極めて重要であり、中心対称性を
もつプラトン立体とアルキメデス立体の最密充填は、対応する最密（ブラヴェ）格子充填で与えられ
ると予想される（Letter p.876, N&V p.801, www.nature.com/podcast）。


Editor's Summary
Platonic affairs: packing the Platonic and Archimedean solids
http://www.nature.com/nature/journal/v460/n7257/edsumm/e090813-01.html

News and Views
Mathematical physics: A tight squeeze
Nature 460, 801-802 (13 August 2009) | doi:10.1038/460801a
http://www.nature.com/nature/journal/v460/n7257/full/460801a.html

Letter
Nature 460, 876-879 (13 August 2009) | doi:10.1038/nature08239
Dense packings of the Platonic and Archimedean solids
http://www.nature.com/nature/journal/v460/n7257/full/nature08239.html

FIGURE 1. The five Platonic solids and the 13 Archimedean solids.
http://www.nature.com/nature/journal/v460/n7257/images/nature08239-f1.2.jpg

>>1
頭がジンジンします

　 　 　 ｨ";;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ﾞt,
　　 　 彡;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ヽ
　　 　 ｲ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;r''ｿ~ヾ:;;;;;;ﾞi,
　　 　 t;;;;;;;ﾘ~｀ﾞヾ､;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ノ　　　　i,;;;;;;!
　　 　 ﾞi,;;;;t　　　　ヾ-‐''"~´_,,.ィ"ﾞ　　ヾ;;f^!　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　 　　ﾄ.;;;;;》　　＝ニｰ-彡ﾆ''"~´,,...,,.　 ﾚ')l.　＜　おまえは何を言っているんだ
　　 　　tﾞヾ;l　　 __,, .. ,,_　　　,.ﾃ:ro=r''"ﾞ !.f'l. 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　 　 ヽ.ヽ　ｰ=rtσﾌ= ;　 ('"^'=''′　 ﾘﾉ 　
　 　 ,,.. -‐ゝ.>、　｀ﾞﾞﾞﾞ´　,'　　ヽ　　　. : :! /
　~´ : : : : : ｀ヽ:.　　　 ,rf :. .　:.: j ､　. : : ト､.、
　: : : : : : : : : : ヽ、　 /. .ﾞｰ:､_,.r'ﾞ: :ヽ. : :/　ヽ＼、　
　 :f: r: : : : : : : : !丶　 r-､=一=''ﾁ^　 ,/　　 !:: : :｀丶､_
　 : /: : : : : : : : :!　ヽ、　 ﾞ ''' ''¨´　 ／　　 ,i: : : l!: : : : :｀ヽ､
　〃: :j: : : : : : : ﾞi　　 ｀ヽ､..,,__,, :ィ"::　　　,ﾉ:: : : : : : : : : : : :＼
　ﾉ: : : : : : : : : : :丶　　　: : ::::::::: : : :　　 /: : : : : : : : : : : : : : : :＼

一見簡単そうなのに分かってなかったんだなあ
いや全く分かってないというよりは、「この配置が最密充填だと証明できない」ってことだろうけど

面心立方格子
六方最密なんとかしか知りません。

立方体は自明だよね

さっぱりわからんｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

そういえば、むしろなんで最密じゃない体心立方格子の結晶があるんだろう
どうやったら面心よりポテンシャル低くなるんだ？

>>7
極端に簡略化しちゃうと、「どう入れれば箱にたくさん入るの？」って事、


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・違ってる？

>>9
オケーだよ

高校の化学で先生が未解決問題だって教えてくれたな。
パッと見明らかなんだがな。素朴に考えると変分法かなにかでやるんだろうが

>>9
「これ以上は絶対に入りません」というのを証明すること。

だ、だれか、ガンダムで、、、

ラミエルたんがいるな

>>14　ホンモノだったら困るけど。動くから。

ちんこちんこ

>>8
よくわからんけど、鉄に磁性があるっつーことは
結晶に異方性があるんでねーの？
なんかいろいろ関係してんだべ。
角度とか。

>>8
他の金属はs軌道しか結合にかかわってないけど、アルカリ金属の一部は
2p軌道が結合にかかわっててあーたらこーたら、らしい。
ちゃんと波動関数解かないとその辺は分からない、もっと言えば直感的な
理解は無理な領域

>>1が何を言っているのかまったく持ってわからん

アツいぜ、最密充填！

この問題って、何十年も前にM.C.エッシャーが解析してなかったか？

「フェルマーの最終定理」の本で、まだ未解決問題として出てたやつ？

有限の空間と、無限の空間で最密充填構造って同じなの？違うの？

なんだ古代ギリシアから幾何学は進歩してなかったのか

最密充填の問題は、場合分けだけして後はコンピュータの力技で証明、みたいな方法が
有効で、コンピュータによる証明は証明か？という命題の典型例として聞いたことがあるけど
実際は、全然、解けてないんだな。

これ、一生懸命証明しても、「じゃあ、非ユークリッド系だったら
どうなる？」ってなると、また１０００年くらい使いまわせる問題
になっちゃうんだよね。

こんなに分かってない問題だったのか
粉流体の挙動を研究してる人を何人か知ってるけど球しかやってないなそういえば

学園祭で電話ボックスに何人詰め込めるかというコンテストをして、
失神者を出してしまって　学園祭が中止になったことがる。

>>25

地図塗り分けじゃぬ？

>>29
Halesのケプラー予想に対する証明

「誤爆じゃね？」ってレスをしてしまいそうなスレ。

八百屋のオヤジはこういうの得意そうだ

レジのおばちゃんに聞け

>>12
「ら らめぇっ、もう入らないよぉっ！ いっぱいなのっっ...！」


ってのを証明すれば良いのですね。

多次元球の最密充填が最も基本的な問題じゃなかったかな

良くわからんけと袋で買ってきたとんがらしの粉を瓶に移す場合
瓶がもう一杯になって溢れかけてるのに袋にもうちょっとだけ粉が残ってる時
瓶底をテーブルにごんごんするともうちょっと入って(ﾟДﾟ)ｳﾏｰって事ですか

数学で有名な佐藤郁郎って人いるよね？

あの人は、この手の分野に詳しそうだけど、難問を解いたという話は
聞かないなぁ．．．日本人は論理的に詰める事は苦手みたいだな？

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/tamen.htm

>>36
大抵の形であれば、そんなかんじで詰めたﾋﾞﾝをﾄﾝﾄﾝとやっていくとやがて最密充填の配置に自動的になるらしいね

>>34
お前の空の行にはまだ何か入りそうだな

一週間マスターベーションしていない俺のアルキペニスは最密充填されているが・・・

>>1
機械で計算するのがてっとり早いよ。
ひたすら計算し続ければよし。

>>1
もっと簡単に言え

>>1
図のＰ６はＡ１の写植ミスじゃないのかなあ？

>>8
古典的には大きい球体（陰イオン）と小さい球体（陽イオン）の充填で
考えられて、2つの球体の大きさが近いと単一半径の球の最密充填の
面心立方構造や六方最密構造になるけど、2つの球体の大きさがかなり違うと
大きい球体（陰イオン）の充填の隙間に小さい球体（陽イオン）が入りこむ
方がもっと充填度が上がることになって体心立方構造になるんじゃなかったかな。

単一半径の球体とみなせる金属結晶だと体心立方構造をとるのは確か
ポロニウムだけだったと思う（なぜかは知らないが）。

ポロニウムは単純立方格子だし
体心立方格子の単金属なんて結構あるし

ビンに飴玉何個入るか調べるの飽きたから
こんどは氷砂糖何個入るか調べてみたってこと？

金平糖がお薦めだな。あの出っ張りはウィルスに応用出来るよ。

詰めれば入れたはずだ　＞北斗神拳の人

1D20、18以上で攻撃成功

そもそも何が楽しくて、
立体にプラントンだのアルキメデスだのって名前をつけているんだ？

>>51
お前の名前を付けた親は楽しんで付けたわけじゃないだろ。
そういうことだよ

もしも、証明が膨大な量で、読み下すだけでも何年もかかる程に
長大なものがあったら、そういった証明が正しいことを納得するのも
極めて困難になりそうだが。これを読んで正しいと悟ったものは
今だ数名だとか、証明の検証に１００人で分担して検査しているとか、
先祖代々４世代に渡って、証明の検査を実施しつづけている老舗だとか、
そういうことになるのかもしれない。
　証明をTeXの原稿ソースで１ギガバイトとか１テラバイトのものを
渡されて、これを検討してくれと言われたら、一生が潰れる。

原子も単純な球とは言えないし、細胞ならもっといびつな形をしている。
大きさも粒径組成も均一ではない。
これらを全部理論的に扱えないのなら、最密充填を解析的に解く意味はない。

原子の形状ってわかってるの？

要は電子雲だな

電子雲ってのは電子の確率分布を表した模式図でしょ。
あれと、電子顕微鏡で見たときの丸っこい形が一緒という保証はあるの？

決定論的には表現できないというのが、量子力学の立場。
不確定性原理。

決定論的にすべてを解釈できる系というのは、自然界にはほとんど存在しないから、
複雑すぎる解析解が数値解に劣る可能性は高い。

NS方程式の一般解とかなら、実用性は高いと思うけどね。

>>57
形ってのは相互作用する領域の形状だろ。

電子が分布しうる範囲のことでは。

相互作用で決めようとすると、どのぐらいのcut-off potentialにするかで
形状がちがってくる。

>>57
電子顕微鏡で覗いたら、元素は本当に教科書にあるようなまん丸の形なのですか?
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1422823494

>>59
相互作用しちゃったら電子の位置が確定してしまうので、
電子存在確率を表す雲のような球体ではなく、点になって
しまうのではないですか？

>>60
> 分布しうる範囲

それ無限大じゃねーの？　いずれにせよ程度問題だろ。

実寸サイズの立方体作ってそのなかに
溢れる様に水入れればいいだけじゃないの？

日本人にやらせれば　いくらでも詰め込めるよ。
彼らは　毎朝　電車で鍛えてるからね

人間の最密充填ｗ

たんぱん

ソ、ソ、ソクラテスかプラトンか
ニ、ニ、ニーチェかサルトルか
みんな悩んで大きくなった
俺もお前も大物だ

http://1114-i-love-robinson-and.at.webry.info/200904/article_15.html

学園祭で電話ボックスに何人入れるかコンテストやって
電話ボックスを破壊した事あったな。

俺もそうだと思っていたんだよw

さいみつパッキング問題って
フラーレンの人もやってたな

>>65
でも、4月、始めて電車通勤通学をする人間が多くなる季節は、充填率が悪くて、
かなり大変。
地下鉄御堂筋線なんか、ホームへの入場規制を、4月始めにだけしてるね。
ノウハウが必要。

>>3
脳みそ筋肉のおまえには分からんだろ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｵﾚﾓﾜｶﾗﾅｲｹﾄﾞｰ(・△ﾟ)

こういうのって物質が自然に教えてくれそうな気がする
箱と沢山のボールで実験すれば予想しやすそうな