【数学】「メビウスの帯」の性質をあらわす方程式

【7月18日 AFP】80年前に発見され、どこまでいってもそこから抜け出せない閉塞状況を示す
芸術上のシンボルともなっている「メビウスの帯」の謎を2人の数学者が解いたと発表した。

　オランダの芸術家マウリッツ・コルネリス・エッシャー（Maurits Cornelis Escher）の作品で広く
知られるようになった「メビウスの帯」は、1枚の紙片か柔らかい素材で簡単に作ることができる。
紙片か素材の一方の端を180度ひねって他方の端につけるとできあがり。この簡単な輪の構造
をもつ帯は、両面ではなく片面しか持たないという興味深い性質を持っていることがエッシャー
により指摘され普及した。

　1930年以来、「メビウスの帯」の性質を方程式の形で説明するという難問を、力学専門家は
どうしても解くことができなかった。ロンドン大学ユニバーシティ・カレッジ（University College
London）の非線形力学専門家のGert van der Heijden氏とEugene Starostin氏が、「数学的な
美しさ」をもつこの帯の謎の解法を、15日に発表した論文のなかで明らかにしたという。

　「メビウスの帯」の形状を決定するのはエネルギー密度がそれぞれ異なる場所だという。
「エネルギー密度」とは、蓄積された弾力性エネルギーのことで、「メビウスの帯」を作るときに
ひねりが入ることで帯の中に含まれる。帯がもっとも激しくねじれているところはエネルギー密度が
最大になり、逆に、もっとも平らでねじれがない部分はエネルギー密度も最低になる。

　もし帯の幅が長さに比例して広くなれば、エネルギー密度の存在する場所も移動し、その結果、
形状も変化することを2人の方程式は解明したという。帯の幅が広いほど、はほとんど平らな
「三角地帯」が帯上に形成され、これは紙がくしゃくしゃに丸められた状態と同じだという。

　きわめて難解に思われる解法だが、これは実際的な応用性も持つという。特定の構造物に
力が加わったときどこで裂けるかを予測することが可能になり、薬学における新薬開発モデル
にも貢献するという。

　「メビウスの帯」は1858年に発見したドイツの数学者アウグスト・メビウス（August Ferdinand
Moebius）にちなんでつけられた。もう1人のドイツ人、Johann Benedict Listingも、全く別の経路で
偶然同じ年にこれを発見した。

(c)AFP
http://www.afpbb.com/article/environment-science-it/science-technology/2254991/1789597

The shape of a Möbius strip
Nature Materials
Published online: 15 July 2007 | doi:10.1038/nmat1929
http://www.nature.com/nmat/journal/vaop/ncurrent/abs/nmat1929.html

方程式は美しいのかな

ちょっと！　ﾁｮｯﾄ ﾁｮｯﾄ!
すばらしいみたいで　たいへんだ！　中身はよくわからん。

……

頭悪いから良く分かんないけどさ、なんか神秘的だよね

時々こういう記事が上がるのが楽しみでならない。

>>薬学における新薬開発モデルにも貢献する

ほんとならスゲーな

たとえば、サンクスＫが方針を１８０度転換して、ウナギ弁当の販売を再開したようなものか。

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　（　゜∀゜）ｱﾋｬﾋｬ

>>9

ＡＡうまいね
もらっちゃおっと

リビドー

新薬開発への貢献というのがよく解らない・・・。
薬の分子構造の設計に寄与するということ？

結合のどこが弱いかとか推定できるんじゃないかい

破断面の数学的モデル
たとえば車の衝突時の安全性向上に使える。

つまり何が言いたい？

ま っ た く 理 解 出 来 な い

あーあれね
破談面の安全性だよね

帯を細くしていけばただの円形のヒモに近づいてエネルギー密度は均一に近づくということか
分かったような分からないような

>>17
俺はあへて突っ込まないぞ!!

>>1
なんだそんなことかよｗ

『【世の中】の【現象】は全て【数式】に置き換えることができる。』という
【真理の探究】が【数学】です。m(__)m

P.S
身近な【数学】は【Program】。

>>7
ホントだから凄いよ

>>14
ああーは　破断面のー　すーがく〜てーー??頭痛

メビウスの輪作って帯の中央を切っていくと
鎖みたいにつながった状態になるんだよな。
あれも不思議なんだが。

>>1
そんなこと俺はとっくの昔に知ってたけどな

＞もし帯の幅が長さに比例して広くなれば、

これは、「メビウスの帯」が単純に大きくなって、相対的に素材の厚みが小さくなるという理解でいいのかな？
ちがうのかな？何の長さなのか不明瞭。

＞帯の幅が広いほど、はほとんど平らな「三角地帯」が帯上に形成され、これは紙がくしゃくしゃに丸められた状態と同じだという。

こんどは、長さに比例させないで幅を広げるということか？
そうすると確かに、ななめに折り目のようなのが出来て、
重なる部分は三角形になるね。

紙がくしゃくしゃって、要は折り目が出来るってことだよね？
わかりにくく表現するなあ。

どうでもいいけど、「はほとんど平ら」って字が１つ多くね？

>>9
そのＡＡ見てて思ったこと。

より良い生活を目指して、一生懸命、階段を上っているつもりが、
実は、同じところのぐるぐる回りだったりする、人間の一生とか。。

>>9
上手い！

>>24
それは360度捻ったときだ。

確か一つの輪になるんじゃなかったっけ

メビウスの輪を発見したのがアウグスト・メビウスでよかった。
田吾作とか権左衛門だったらかなりかっこわるいネーミングになっていたな

>>1
>80年前に発見され
ダウト

＞「メビウスの帯」の謎
が80年前に発見されたって事じゃないの？
＞「メビウスの帯」は1858年に発見した
だし

うちの会社のロゴはメビウスの輪だよ。

表裏がない会社という事で社長自慢のロゴだ。

実際には表と裏は全然違うけどね。

把握した

http://www.youtube.com/watch?v=9ColL-zJogg

こういう理解を超えたスレが立つとホントにワクテカするなぁ
で、その方程式はまだネットに上がってないのけ？
俺様の少ない脳みそで、あら探ししてやるんだが

>>9
そのAAこういう時に使うのか
って、他にどこで使えばいいんだよ

えねるぎーを変数にする意図がわからない

>>9
　　　ＧＪ！

分かんない。
誰か説明ヨロ。

ポドリムスの形状の謎が解けたということ。

くらえ！ダイバーダウン！

何のことかさっぱりわからん
マテマテカでメビウス輪作ったことあるが

メビウスはシャレにならない

見ても分からないだろけど、方程式が見たいのう

>>9
そのaaを作ったやつはすごいな。
エッシャーであるけど、aaで表現したのがすごい。
>>1
のすごさは理解できない。ww
数学苦手。
デモだから数学者は尊敬するよ。

いわゆる向き付け不可能な多様体の代表格だな。
そういうのはあんまりやらないから知らないや。基本群がZになることぐらい
しかしらないや。

ねえ。
これを「2ちゃんねらー」が読んでどんなコメント付けられるの？
2ちゃんねらーには芸能人とテレビのニュースだけで十分じゃない？

わかんないんです（＞＜）

２chめびうす平面

　　　　│　　起点　　　　　
　　　　│　　・　　　　　
　　　　│　　　　　　　　
────┼────　　　　　　
　　　　│　　　　　　　　
　　※　│　　　　　　　　
　特異点│　　　　　　　　


　　　　│　　起点　　　　　
　　　　│┏→・　　　　　特異点をまたがないと
　　　　│┃　┃　　　　　ちゃんともとに戻れるのに、　　　　　
────┼┗━┛─　　　　　　
　　　　│　　　　　　　　
　　※　│　　　　　　　　
　特異点│　　　　
　　　　　　　　　　　　

　　　　│　　起点　　　　特異点をまたいで戻ってくると、　
┏━━━━━→・　　　　　そこはまったく別の場所。
┃　　　│　　┃　　　　　　
┃───┼──┃──　　　　　　
┃特異点│　　┃　　　　　そしてもう一度特異点をまたげば　
┃　※　│　　┃　　　　　元に戻れる。　
┗━━━━━━┛　　　　　　　　　　　

ち、チラシの裏がなくなった

>>1
>1930年以来、「メビウスの帯」の性質を方程式の形で説明するという難問を、力学専門家は
>どうしても解くことができなかった。

はあ？

何、この与太記事。

射影平面は向き付け不可能で、そっから適当に帯を切り取ったらメビウスの帯になるぞ。

ほう

>>1
ポアンカレ予想解決のニュースもそうだけど
どんな問題だったのかをいつもはっきり書かないんだよな
数学ニュースの記事って
「メビウスの帯の性質を方程式の形で説明する」だけなら、それこそ解明済みの成果もたくさんあるだろ
あと「力学研究者」ってなんか物理学者みたいだな
力学系の方がしっくりくる

私が解読したもの

ゼビウス

メビウスの帯って神話関係の話だとおもてた

人名だったんだね

> 帯の幅が広いほど、はほとんど平らな
> 「三角地帯」が帯上に形成され、これは紙がくしゃくしゃに丸められた状態と同じだという。

日本語にして。

>>51
個人的に今年最高のレスだとオモタ

ノリで貼り付けた部分はどう表現してんだ？

糊しろ

紙はねじれを平面に復元しようとする反発力を持っているので
ねじれる時に人間の手から与えられた運動エネルギーを失わないまま保有している。

金属のバネを伸ばして、左右をガムテープで止めると
バネはエネルギーを持ったままの状態で固定されるよな？

それと同じで、メビウスの輪はエネルギーを持った存在だと言う事になる。



…じゃあ元から「一個の塊から削りだして作る」とどうなるんだ？？？
その場合ねじれに対する抗力は持ってないよな？
上記の式が当てはまらないんじゃないか？ｗｗｗ

>>61
削り出された物体の形状は、削り出した人間が決定する。
>>1の輪は自然にあの形になる。
なぜ自然にあの形になるのか？というのが主題。

実践数学ﾂﾏﾝﾈ

貴重な情報だな
でも難解すぎ

>>24
それを説明できる数式が見てみたいな

スーパーストリング理論もそろそろ発展して欲しい頃合いだったからな。

>>61
＞ねじれる時に人間の手から与えられた運動エネルギーを失わないまま保有している。

紙電池？

クラインのつぼの方程式も応用して簡単に見つかるの？

　↓　シャープのノートパソコン「メビウス」を使っているそうでつ。

おk、まったく理解できん

トポロジーと関係はあるのか？

>>57
文系頭の自分は勝手にこうイメージした。

紙の幅に対して長さが極端に短いと、メビウスの輪を作るためにそれをひねった時
柔らかなひねりにならず、ひねり部分がしっかり折れて潰されてしまう
多分潰れたところ(折れて重なっている部分)の形は三角形になる
そこは完全にくっついているということで、その部分はもはやくしゃくしゃの状態(くっついてる)
と同属の位相？性質を持つ

多分違うんだろうな
難しいな…

>>51
驚くべき証明を得たが
チラシの裏が足りないとな？

そこはメビウスの輪を作る材質に対する性質を仮定してある
それを考慮しないと意味がない

メビウスの輪から　抜け出せなくて〜

>>71トポロジー的にみたらただの輪っかだろう
厚みあるからな
二次元も厚みあるなら存在しない

円周率に足りないのは中心からの重力

方程式ﾏﾀﾞｧ-?（･∀･ ）っ/凵⌒☆ﾁﾝﾁﾝ

なんか普通に話についていってる>>61,62に感動したｗ
で、結局メビウスの輪の何がどうなったんだ？

>>79
>「メビウスの帯」の形状を決定する〜

つまり純粋数学の話しではなくて、「メビウスの輪」状態にした物の
形状を決定する方程式を発見した、ということ。工業的な側面が強い
内容だと思いますよ。

結局日本人が持ってる恐怖ってのは、内部からの侵略。
侵略てことは敵がいることで。
敵は在日韓国人中国人。韓国中国という国が今、日本を侵略している。

でどうやって倒すかってと、クーデターやらテロ？
でもそんなの生活があるし、自分の人生があるし嫌だ。
それじゃあ、政治で憲法やらを変えて外国人や売国奴から
日本を守るしかない。

てことは、外国の工作党に入れるのは馬鹿らしい。
後になって、テロやクーデターやらをしたくないから、政治でおわらせる。
そのための政治。
日本のための党に入れて、早くこの不安を終わらせようってこと。

自衛隊だ！てのは嘘で、新風に入れようぜ。

>>81
>結局日本人が持ってる恐怖ってのは、内部からの侵略。
層化党は恐いね。与党な訳だし。

というかなんであの党がいるの？
いつのまにかって小泉ん時からだけど。（その前もきなくさいが）
層化だけは落としてやるといつもがんばってますが。
うちの選挙区では一応層化はなし。比例区ってやっぱ無茶苦茶だよなぁと。

>>83
層化＝安部の内閣だろ
これは間違いのない事実。

確か1回ひねって2枚におろすと2つのリングになり
2回ひねって2枚におろすとでっかいリングになったような
なつかしい

これってどこがねじれているのかわかるよ。ってこと？

>>81-84
なんですかこの場違いな集団は…

ひょっとして自作自演って奴かな。

ああ メビウスの輪から抜け出せなくて いくつもの罪を繰り返す

びーよんざたーいむ

>>7
一時期流行ってたタンパク質の折りたたみ問題の解法か少なくともそこに応用出来るって事だ。
疑う余地は無いと思うが？

えっとですね･･･

この数式をわかりやすく説明するとですね、

えっと、えっと･･･

わかんねｗ

つまりワープ航法が可能になったということだろ。
やっと文明を持ったと宇宙に認められたんだな。
ファースト・コンタクトは近いぞ。

あ〜メヴィウスの環から、抜け出せなくて、幾つもの罪を繰り返す
平和より自由より正しさより



νガンダムは伊達じゃない！

>>24 >>29 >>30
�@メビウスの輪の帯の中央を切る　　　→　　１個の大きな輪が出来る（捻り2回）

�A上で出来た大きな輪の中央を切る　→　２個の大きな輪が出来る、交差して離れない（捻り2回）

�B上の2個の輪の中央を切る　　　　　　→　2個の交差した輪が、其々2個できる（捻り2回）

�C2回捻りが続くので以下は倍々となるが同じ

ウルトラマンメビウス　ﾁﾝ☆⌒　凵＼（＼・∀・）　まだぁ？

あ、力学系じゃなくて本当に力学の研究者か
間違えた

いんちきじゃないの。

メビウスの輪からー抜け出せなくてー

>>98

>>88

エッシャーの歪んだ空間は三次元で再現可能

http://www.geocities.jp/syu_58jp/tric/29.JPG
http://www.geocities.jp/syu_58jp/tric/32_1.JPG

謎もクソもないと思うんだけど、数学者ってなんでも物事を
複雑に考えたがるんだなあ。

数式で表せるようになることで技術的な可能性が拓ける訳で。
直感的に分かることでも論理でもって言い表すことは数学だけでなく
本来どんな学問分野でも必要。

誰か元論文見て方程式だけ書いてくれや(´・ω・`)

>>88>>98

Ｂ４うざった〜い

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↑これも数式で表せばなんかあるかも

メビウスの宇宙を越えて

TMネットワークスレから来ました

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%93%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%B8%AF
俺の学校の学科でそんな研究してるっぽい。

でも何かに使えんのかねぇ…

>36
これは酷い！

>103
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Moebius_strip
この記事の方程式は、英語版wikipedaにある方程式であってるのかな？
参照に
＞E. L. Starostin & G. H. M. van der Heijden. The shape of a Möbius strip.
＞Nature Materials. Published online: 15 July 2007
ってあるし

メビウスの帯を3次元CADでモデルを作ってみれば解るが
帯全体を「均等なねじり」で作ろうとしても、ねじる箇所が
必ずどこかに偏ってしまう。その偏り具合を奴は見切ったんだ。

ジョジョ立ちのポーズで見切ったんだ。

方程式が無かったってことは、計算でグラフィック描画できなかったってこと？

”イデアル”メビウスバンドってことかな

>>111

＞ねじる箇所が必ずどこかに偏ってしまう

三次元空間内で捻り貼り合わせるならその通りだが、四次元空間内なら均一な捻れを保ったまま
貼り合わせる事ができる。

ゼビウスのＭＡＰ構造がああなのもメビウスの帯と関係あるからなのか

あれには裏表が存在しているぞ！

<<メビウス１出撃！>>

これって、メビウスの輪状の構造物があったとき、どう力学的解析するかが
できるようになったって事だよね？

ゼビウス的にいうとですねあのーーーーー
えぇーーーーー
無敵にしないとですね
すべて見れないんですよね
あのねぇーーーーー
小さなプィップィッ
いうのがねーーーーー
あぼーんしちゃう
原因なんですけどね。

《メビウス１応答しろ！》

『>>120、もうすぐイクから待て』

メビウスの輪をキャタピラやタイヤに応用したら
2倍長持ちするものができるな。

>>122
できないと思われ。

>>123
キャタピラなら出来そうだけどね
2倍もつかは別にして

メビウスの輪はもともと表面だけです。
だまされるな
うら表があるのは完全に密閉された器だけ。

霊界通信の馬鹿は無視すること。

プログラムは数学じゃない。
実現の手順を保証しなければいけない工学だ。

《アルファ3より、メビウスリーダー応答願う》

やはりこれからは非線形だな。

トポロジーかなんかの問題で球を折り目なしに裏返すって言うのもあったな

３００年後の数学�UＢの内容だな

フラクタル次元は「形態的統一」といえる。底がない、天井もない。
基準になる尺度がない。つまり部分に分解してみても
そこにまたそれを構成する要素があらわれて、それを繰り返していくと
いつの間にか元に戻ったりしてしまう。
メビウスの帯も同じ理論構成で解が出ると思ってたよ。

>131
メビウスの輪にフラクタル的な階層構造とか自己相似性があるようには思えないが、
何を見てメビウスの輪とフラクタルが繋がるんだ？

これは物理じゃないか？
メビウスの輪の「数学的」性質をあらわす何か凄い位相幾何学上の発見かと期待して開いたのに。

>>133
数学者が解いたからじゃないか？
言われて見りゃ物理な気はする。

これを無限に巾広にしたらどうなるんだ？

りんご

ゴリラ

パンツ

俺のパソの周りの線のぐちゃぐちゃ具合も
目茶からまりもその力学だな、きっと
カーちゃんに掃除の邪魔と言われるな

次はクラインの壺を方程式で解いてくれ

『3』次元空間なのは、なぜ？
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/sci/1189692173/

fox2！

ほんと馬鹿ばっかだなこのスレｗ
早い話がガンダムが作れるようになるってだけなのに。

びーよんどたーいむ

（；´Д｀）ハｱハア 日本の数学者 なにやってんだ？

メビウスの輪から抜け出せなくて、いくつもの罪をくりかえす

ニコニコ動画(RC2)‐(TV) TM NETWORK - BEYOND THE TIME 〜メビウスの宇宙を越えて〜(JustPopUp 19890121)
http://www.nicovideo.jp/watch/sm1112486

弾性体力学が数学に応用されるケースを始めて見たよ
ちょっと感動した

まったく意味が分からないのだが

メビウスの輪っても紙の厚さあるじゃん！

∞

ポリゴンが
三角形を寄せ集めて立体を作る技術、
ってのをサターン発売時に聞いたのを思い出した。

現行ハイポリも同じなんかな？