転がってる車輪がなぜ倒れないのかわかりません。
まだ続いていたのね。
しかし、自分が理解できないからって、何も新しい物理法則を
ヒネリ出すことはないだろ．．．完全に間違ってるし。こーゆー
のが「トンデモ」化の始まりなんだろうなぁ。
ってことだけじゃ、アレなんで、ミンナが知りたい「コマ」な話。
「コマは何故倒れないか」の原因は二つに分けて考えるんだ。
直立して回っている場合と歳差運動している場合。前者はこれ
までに説明してきた「ジャイロ効果」。回転軸をずらすのには
力が必要だから、外力が働かない限り安定だ。後者は回転軸が
傾いているときで、重心に下向きの重力が加わり続けているの
に倒れないから不思議なわけね。簡単に言ってしまうと、回転
しているコマが発する「魔力」の為に鉛直下向きの重力が軸の
水平面内の回転運動の向心力に化けさせられてしまっているの
よ。「魔力」を知りたい人は次レスに進め。理解するのは難し
いぞ。ハリー・ポッターでもダメかもな。
車輪でもコマと同じことができるぞ。回転している車輪の車軸
を両手で軽く支える。強く握らない。で、片方の手を離すんだ。
そーすると、車輪はゴトンと下に落ちる、ことなく残った手を
中心にして水平面内を回り出すぞ。中世ヨーロッパで披露したら
確実に魔女裁判だな。
しかし、自分が理解できないからって、何も新しい物理法則を
ヒネリ出すことはないだろ．．．完全に間違ってるし。こーゆー
のが「トンデモ」化の始まりなんだろうなぁ。
ってことだけじゃ、アレなんで、ミンナが知りたい「コマ」な話。
「コマは何故倒れないか」の原因は二つに分けて考えるんだ。
直立して回っている場合と歳差運動している場合。前者はこれ
までに説明してきた「ジャイロ効果」。回転軸をずらすのには
力が必要だから、外力が働かない限り安定だ。後者は回転軸が
傾いているときで、重心に下向きの重力が加わり続けているの
に倒れないから不思議なわけね。簡単に言ってしまうと、回転
しているコマが発する「魔力」の為に鉛直下向きの重力が軸の
水平面内の回転運動の向心力に化けさせられてしまっているの
よ。「魔力」を知りたい人は次レスに進め。理解するのは難し
いぞ。ハリー・ポッターでもダメかもな。
車輪でもコマと同じことができるぞ。回転している車輪の車軸
を両手で軽く支える。強く握らない。で、片方の手を離すんだ。
そーすると、車輪はゴトンと下に落ちる、ことなく残った手を
中心にして水平面内を回り出すぞ。中世ヨーロッパで披露したら
確実に魔女裁判だな。
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一般に角運動量ベクトルをＬ、力のモーメントのベクトルを
Ｎとすると運動方程式は
(d/dt)Ｌ = Ｎ
ここで多少天下り的だがＮ＝Ａ×Ｌの場合を考えることにする。
Ａはある方向を向いたベクトルで、×はベクトルの外積を表す。
外積なのでこのＮとＬは直交する。Ｌの大きさはＬ・Ｌのルート
であるが、その時間変化は
(d/dt)Ｌ・Ｌ＝２Ｌ・(d/dt)Ｌ＝２Ｌ・Ｎ＝０
となりＬの大きさは時間変化しない。向きは変わるけどね。
成分表示を簡単にするために、Ａベクトルの方向にｚ軸をとる。
各ベクトルの成分をＬ＝(Lx,Ly,Lz)、Ａ＝(0,0,a) と表示すると
運動方程式の各成分は
(d/dt)Lx = - a Ly
(d/dt)Ly = a Lx
(d/dt)Lz = 0
Lx、Lyの式をもう一度時間で微分すると
(d/dt)^2 Lx = - a (d/dt)Ly = - a^2 Lx
(d/dt)^2 Ly = a (d/dt)Lx = - a^2 Ly
これはおなじみの単振動の式だ。x-y平面上の円運動を各軸に射影
すると単振動になるのは知ってるよね。Lzは一定ね。つまり
角運動量ベクトルＬに力のモーメントＡ×Ｌが加わると
ＬはＡ方向の周りに角速度｜Ａ｜で回転する
わけ。
これを歳差運動しているコマのケースに当てはめると、歳差運動の
角運動量が無視できるくらいコマの軸周り角運動量が大きい、すなわち
コマが十分高速で回っているときは角運動量ベクトルＬと回転軸の方向
が同じであると考えてオッケー。回転軸の接地点を原点、重心の位置ベ
クトルをＨ、重力のベクトルをＦとすると、重力による力のモーメントは
Ｈ×Ｆ＝｜Ｈ｜Ｌ／｜Ｌ｜×Ｆ＝−｜Ｈ｜Ｆ／｜Ｌ｜×Ｌ
で、Ｆ＝(0,0,-mg) とすれば、上記のＡ×Ｌで
a = mgH/L
としたことに相当するんだ。H、Lはそれぞれのベクトルの大きさね。
つまり、回転軸は角速度 mgH/L で水平面内を回転するわけで、これが
歳差運動。
説明力は無しか？
Ｎとすると運動方程式は
(d/dt)Ｌ = Ｎ
ここで多少天下り的だがＮ＝Ａ×Ｌの場合を考えることにする。
Ａはある方向を向いたベクトルで、×はベクトルの外積を表す。
外積なのでこのＮとＬは直交する。Ｌの大きさはＬ・Ｌのルート
であるが、その時間変化は
(d/dt)Ｌ・Ｌ＝２Ｌ・(d/dt)Ｌ＝２Ｌ・Ｎ＝０
となりＬの大きさは時間変化しない。向きは変わるけどね。
成分表示を簡単にするために、Ａベクトルの方向にｚ軸をとる。
各ベクトルの成分をＬ＝(Lx,Ly,Lz)、Ａ＝(0,0,a) と表示すると
運動方程式の各成分は
(d/dt)Lx = - a Ly
(d/dt)Ly = a Lx
(d/dt)Lz = 0
Lx、Lyの式をもう一度時間で微分すると
(d/dt)^2 Lx = - a (d/dt)Ly = - a^2 Lx
(d/dt)^2 Ly = a (d/dt)Lx = - a^2 Ly
これはおなじみの単振動の式だ。x-y平面上の円運動を各軸に射影
すると単振動になるのは知ってるよね。Lzは一定ね。つまり
角運動量ベクトルＬに力のモーメントＡ×Ｌが加わると
ＬはＡ方向の周りに角速度｜Ａ｜で回転する
わけ。
これを歳差運動しているコマのケースに当てはめると、歳差運動の
角運動量が無視できるくらいコマの軸周り角運動量が大きい、すなわち
コマが十分高速で回っているときは角運動量ベクトルＬと回転軸の方向
が同じであると考えてオッケー。回転軸の接地点を原点、重心の位置ベ
クトルをＨ、重力のベクトルをＦとすると、重力による力のモーメントは
Ｈ×Ｆ＝｜Ｈ｜Ｌ／｜Ｌ｜×Ｆ＝−｜Ｈ｜Ｆ／｜Ｌ｜×Ｌ
で、Ｆ＝(0,0,-mg) とすれば、上記のＡ×Ｌで
a = mgH/L
としたことに相当するんだ。H、Lはそれぞれのベクトルの大きさね。
つまり、回転軸は角速度 mgH/L で水平面内を回転するわけで、これが
歳差運動。
説明力は無しか？