転がってる車輪がなぜ倒れないのかわかりません。

続きだ。

z軸周りに角速度wzで回転している慣性モーメントIの球を考える。
角運動量成分はLz＝I wz。この時の角速度とオイラー角の関係は
　(d/dt)ψ＝ wz
とかだな。ここで、時刻t=0で角運動量（0, Ly, 0）を与えるとする。
押す力はz軸に平行でもx軸に平行でもオッケーだ。押す場所を間違えるな。
初期条件（φ、θ、ψ）＝（０，０，０）で方程式を解くと結果はシンプルで
　φ＝０
　tanθ＝−Ly/Lz
　(d/dt)φ＝(d/dt)θ＝０
　wx'＝wy'＝０
　wz'＝（− Ly sinθ＋Lz cosθ）／I＝（Lz／I）（１／cosθ）
と、こんな解が出ちまった。久々に解いたんで間違ってるかもよ。
この解は

　ｚ軸周りにwz(>0)で回転している球の上部をx軸の正の方向に押すと、
　回転軸がy軸の正の方向に角度θだけ傾いて止まる。
　この時の角速度は始めの（１／cosθ）倍になっている。

ナルホド。
押した方向には傾かないで力と直角に傾くなんて、やっぱり魔法だな。

これ以上の詳細は力学の教科書を見てくれ。