ここらで一発ゼミスレッド「相対性理論」

といこうではないか。

とりあえずテキストは何を使う？

物理入門コースなんてどうすか？

シュッツ「相対論入門,上下」でどう？

シュッツがよさげ。
他になにがあるよ？
入門コース、テキストシリーズ、基礎物理シリーズ
図解雑学、ランダウリフシッツ、以下略・・・

特殊相対論は、もういいから、一般相対論
やってほしい。

クリストッフェル記号　Γ^{i}_{jk}
共変微分　A^i_{;k}=(∂A^i/∂x^k)+(Γ^{i}_{jk} A^j)

一般相対論だったらDiracはどう？
東京図書やつね

さっさとはじめましょう。
まずは、リーマン幾何学から。
平行移動の説明をどうぞ。

＞９
それと相対論との関係すら解らんおれにでも
解るように教えてくれろ

重力＝空間の歪みが原因
リーマン幾何学＝曲がった空間の幾何学

ゆえにリーマン幾何学が便利

具体的な数式きぼーん。　っつーても俺には分からんだろうけどな　（ｗ

>>12

特殊相対論が分かってる？話はそれからだ（ω

じゃやっぱり特種相対論からやろうよ

●運動学

原理
・相対性原理
・相互作用の伝播速度の有限性
→・光速度不変の普遍性
→・ローレンツ変換
→・ローレンツ収縮、座標時間の遅れ
→・光のドップラー効果

●力学

仮定・静止系ではNewton方程式が厳密に成立
→ローレンツ不変な形の運動方程式
→静止エネルギーの存在
→相対論的質量

●テンソル解析による定式化
・力学の４次元的定式化
・電磁気学の４次元的定式化

てな感じで進みます。

「ここらで一発」シリーズは、「一発」のあとに句点を入れるのが正式です。
ゆえにタイトルを「ここらで一発、ゼミスレッド『量子力学』」に変更いたします。

やっぱりニュートン力学からやっておくれよ（ｗ

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ここらで一発。ゼミスレッド「ニュートソ力学」
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19 名前： ご冗談でしょう？名無しさん 投稿日： 2001/05/05(土) 11:49

といこうではないか。

あれれ？　マイケルソン・モーリーの実験からいくと思ったのに。
ニュートン力学ですか。　一般相対性理論までの道は遠いな。

まずは読み書きからだろう。
2chは日本語理解できないのが多いから。

サイタ、サイタ、サクラガサイタ。
ススメ、ススメ、ヘイタイサンススメ。

エムアールどっとどっとイコールエフ

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ここらで一発。ゼミスレッド「日本語読解・作文」
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22 名前： ご冗談でしょう？名無しさん 投稿日： 2001/05/06(日) 06:45

といこうではないか。

お題：私こうみえても○○なんです。

私こうみえても宇宙人なんです。

１９世紀末、光は波と考えられていた。　波ならそれを伝えるものが必要になる
当時の科学者は宇宙はエーテルに満たされていると考えていた。
もしエーテルがあるなら実験で地球の速度が分かるはずであった。
光の速度はわかっていたから、地球の進行方向と横で速度が変るはずであった
しかし実験によりふたつの光の速度は変らなかった。

具体的に縦と横の光の速度を測った実験の紹介をきぼーん。
現代だったら、精密時計でいくらでも測れそうな気が駿河。

>>26
計算尺でシュミレートしたんだよ。

！！光速度普遍！！
（真空中の）光の速度はいかなる慣性系から見ても変わらない。

！！相対性原理！！
全ての物理法則について、物理法則の形は慣性系によらない。

同時刻の定義
各点各点での局所的な時間は、その位置に置かれている時計の針の位置によって定義する。各点毎に勝手な時計を置いただけでは運動は記述できないので、それらの時計を合わせる方法を考える。
任意の二点a,bに置いてある時計Ca,Cbが合っているかどうかを調べるには、aから発射された光をbで反射させ、それがaに戻ってくる過程を用いる。
ta＝aから光を発射させた時の時計Caの読み
tb＝その光がbに届いた時の時計Cbの読み
t~a＝bで反射された光がaに戻ってきた時の時計Caの読み
２つの時計が合っているとは
tb-ta=t~a-tb
と定義する。

ある慣性系Ｓ(x,y,z,t)とＳのx軸方向に速度vで移動する慣性系Ｓ'(x',y',z',t')を考えます。
この時に座標(x,y,z,t)と(x',y',z',t')との変換の法則を導く事が当面の課題となります。
その為に２つの座標系の間で時計あわせの時のように光のやり取りをします。

だれか続きやってくれ。
もう力尽きた。

>>32

早！！

しかし、こんなとこでコソーリ行われていたとは。
君のいってる同時刻は、特殊の範囲？だよな。

０：任意の慣性系に於いて時間は一様であり、また、空間は一様等方である。

座標の変換則
Ｓ(x,y,z,t),Ｓ'(x',y',z',t')を２つの慣性系とする。
Ｓ(x,y,z,t)系から観測してＳ'(x',y',z',t')系はx軸方向にvの速度で移動していて、y,z軸方向については進んでいないとする。また、Ｓ系の時刻t=0でＳ系の原点とＳ'系の原点は一致しているとする。この時に(x,y,z,t)と(x',y',z',t')の間の変換則を求めたい。空間と時間の一様性からこの関係は一次式でなければならない。そうでないとＳ系で等間隔に並んでいる点がＳ'系では等間隔でなくなってしまい、空間の一様性に反する。時間についても同様。故に、Ｓ系の座標Ｓ'系の座標をそれぞれX,X'という列ベクトルで表わすと。
X'=AX (A:ある４×４行列)
と表わせる。

>>33
ごめんなさい。特殊の範囲って？
風間洋一『相対性理論入門講義』の定義を使いました。

>>34

一般相対論と特殊相対論の「特殊」
「一般」でもおんなじような方法で同時刻を定義するのだが。

まずは、ローレンツ変換の導出だね。

もうだめ〜〜ん。
誰か続きをやって。
こんな事やってたら院試落ちるよ〜〜〜。

X'=AX (A:ある４×４行列)　　――――�@

まずＳ'系から眺める。Ｓ'系の時刻t=0に原点(0,0,0)から光をx'軸方向に発射し、点(k',0,0)で反射して（この時の時刻をt'1とする）、反射された光が原点に戻る時間をt'2とおく。このとき時計が合っていれば
t'1-0=t'2-t'1　だから　t'1=(1/2)・t'2　――(1)
となる。
今度はこれをＳ系から眺めてみる。Ｓの座標で(0,0,0,0)に光が発射され(k1,0,0,t1)で反射され(k2,0,0,t2)で反射した光がＳ'系の原点に返ってくるとする。すると当然
k2=vt2
となる。Ｓ系から見ても光速は一定値cをとるので、
k1=t1(c-v)　だから　t1=k1/(c-v)
k1-k2=(t2-t1)(c+v)　だから　t2=2ck1/{(c+2v)(c-v)}
�@の式より
t'=a41x+a42y+a43z+a44t　（aijは行列Aの第ij成分）
となるので、
t'1=a41・k1+a44・t1=k1{a41+a44/(c-v)}
t'2=a41・v・t2+a44・t2=(a41・v+a44)・2ck1/{(c+2v)(c-v)}
これを(1)に代入して整理すると
(c^2-2v^2)a41=-2va44
これでまずa41とa44の関係を得る事が出来た。

自信ないよ〜〜。

age

X'=AX (A:ある４×４行列)　　――――�@

Ｓ'系から観測する。今度はＳ'系の(0,0,0,0)から光をy'軸方向に発射する。そして、点(0,l',0,t'1)で光を反射して点(0,0,0,t'2)に戻ってくるとする。このとき時計あわせの式より
t'1-0=t'2-t'1　だから　t'1=(1/2)・t'2　―――(1)
また、
l'=ct'1　―――(2)
これを同じようにＳ系から眺めてみる。Ｓの座標でP1(0,0,0,0)に光が発射されP2(vt1,l1,0,t1)で光を反射し、P3(vt2,l2,0,t2)で反射した光がＳ'系の原点に戻ってくるとする。明らかに
l2=0
となる。Ｓ形から見ても光速はcなので、
(P1とP2の距離)={(vt1)^2+l1^2}^(1/2)=ct1
(P3とP2の距離)={(vt2-vt1)^2+l1^2}^(1/2)=c(t2-t1)
よって
t1=l1/{(c^2-v^2)^(1/2)}
t2=2・t1=2・l1/{(c^2-v^2)^(1/2)}
　　―――(3)
ここで�@の式に点P2と点P3の座標を代入すると
(P2)
0=a11・vt1+a12・l1+a14・t1
l'=a21・vt1+a22・l1+a24・t1
0=a31・vt1+a32・l1+a34・t1
t'1=a41・vt1+a42・l1+a44・t1
(P3)
0=a11・vt2+a14・t2
0=a21・vt2+a24・t2
0=a31・vt2+a34・t2
t'2=a41・vt2+a44・t2

この式と(1)〜(3)の式を使って
a12=a32=a42=0
a11・v+a14=0
a21・v+a24=0
a31・v+a34=0
a21v+a24+(c^2-v^2)^(1/2)・a22=c(a41v+a44)

だれか、間違いがあったら訂正してくれ。

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z'軸方向についても同じ事をすると、
a13=a23=a43=0
a11・v+a14=0
a21・v+a24=0
a31・v+a34=0
a31・v+a34+{(c^2-v^2)^(1/2)}・a33=c(a41・v+a44)

X'=AX (A:ある４×４行列)　　――――�@

x'軸方向での時計合わせで間違っていました・・・。(ｳﾂﾀﾞ･･･)
Ｓ'系から見たときの座標(0,0,0,0),(k',0,0,t'1),(0,0,0,t'2)
Ｓ系から見たときの座標(0,0,0,0),(k,0,0,t1),(vt2,0,0,t2)
距離＝速度×時間　より
k'=ct'1
k'=c(t'2-t'1)
k=ct1
k-vt2=c(t2-t1)
よって
t'1=k'/c
t'2=(1/2)・t'1=k'/(2c)
t1=k/c
t2=2k/(c+v)
�@に座標を代入して
k'=a11・k+a14・t1
0=a21・k+a24・t1
0=a31・k+a34・t1
t'1=a41・k+a44・t1

0=a11・vt2+a14・t2
0=a21・vt2+a24・t2
0=a31・vt2+a34・t2
t'2=a41・vt2+a44・t2

これらの式より
a21=a24=a31=a34=0
a14=-va11
a41・c^2=(-v)・a44
a11=a44

以上の式をまとめると次の結果が得られる。
a12=a13=a21=a23=a24=a31=a32=a34=a42=a43=0
a22=a33
a11=a44=g・a22
a14=-v・g・a22
a41=-v/(c^2)・g・a22
ここで　g=1/{(1-(c/v)^2)^(1/2)}

a22を外に出して行列の形で書くとわかりやすいかもしれません。

X'=AX (A:ある４×４行列)　　――――�@
a22はＳ系とＳ'系の間の速度vのみに依存すると考えられるのでこれをf(v)と置く。すると�@の第二成分は
y'=a22・y=f(v)・y
となる。
ここで、さらにＳ'系のx'軸方向に-vの速度で移動する慣性系Ｓ''(x'',y'',z'',t'')を考える。すると、
y''=f(-v)・y'=f(-v)・f(v)・y
明らかにＳ系とＳ''系は一致しているので
y''=y
であり、結局
f(v)・f(-v)=1　―――(1)

次に、Ｓ'系のy'軸上の長さlの棒を考える。y'軸の座標で下端を0、上端をlとする。この棒をＳ系から眺めると
y=y'/f(v)
より、長さはl/f(v)となる。
同じようにして同じ棒がＳ系のx軸に対して速度-vで移動している時には棒の長さはl/f(-v)となる。空間の等方性からこれらは等しくなければならない。故に
l/f(v)=l/f(-v)　よって　f(v)=f(-v)
(1)に代入して
f(v)^2=1
f(v)=1 or -1
時刻t=0でＳ系とＳ'系が重なる条件を考慮に入れれば
f(v)=1　つまり　a22=1
となる。まとめて書くと、

x'=g・x-v・g・t
y'=y
z'=z
t'=-v/(c^2)・g・x+g・t
ここで　g=1/{(1-(c/v)^2)^(1/2)}

あるいは
ct'=g{ct-(v/c)x}
x'=g{-(v/c)・(ct)+x}
y'=y
z'=z
となる。これで座標の変換則を導く事が出来た。

ファインマンの1巻の相対論のところみてたら頭こんがらがっちゃったから整理させてください。
地面にいる観測者系をS、Sからみて速さuで運動している系をS'系とした時に1次元で考えて
S系である粒子の点を観測したときその粒子がxにあったとしたとき
S'系ではその粒子がx'=(x-ut)/sqrt(1-u^2/c^2)で観測される。
でいいですか？


って書いてるそばからこんがらがってきた・・・

ブルーバックスの本には光速の８０％でもかなり時間が遅れると説明してましたが
納得出来ません。説明してくれ。

>>46
0.8cをローレンツ変換の式に代入してってのはだめ？

>>45
正しいです。

ニュートン力学では空間と時間は独立していましたが、相対論では時間と空間が相互に関係しています。だから時間も含めた座標で考える方がいいと思います。
観測者がＳ系である事象を観測したら時刻tにxという座標で観測された。
つまり(x,t)という座標が得られた。
もしこれをＳ'系で観測したら(x',t')という座標でその事象が観測される。
この時、(x,t)という値と(x',t')という値の間には

ct'=g{ct-(v/c)x}
x'=g{-(v/c)・(ct)+x}

という関係がある。
ここで、位置だけでなく時間も違うところが味噌ですね。

**皆さんへ。間違いがあったらいつでも指摘してね。**

>ブルーバックスの本には光速の８０％でもかなり時間が遅れると説明してましたが
>納得出来ません。説明してくれ。

今まで座標を(x,t)のようにしていましたが、ここでは座標を(x,ct)のようにします。（結果は同じです）

ct'=g{ct-(v/c)x}
x=g{-(v/c)ct+x}

Ｓ'系の原点に時計を置きます。この時計の指す時間をt'とします。
時計の座標Ｓ'(0,ct')。

ct'=g{ct-(v/c)x}
0=g{-(v/c)ct+x}

この式から
x=(v/c)ct
ct'=g{ct-(v/c)・(v/c)ct}
=gct{1-(v/c)^2}
=ct・{1-(v/c)^2}^(1/2)

{1-(v/c)^2}^(1/2)={1-(0.8c/c)^2}^(1/2)
={1-0.64}^(1/2)
=0.36^(1/2)
=0.6

Ｓ系の観測者にとって１０秒立った時、Ｓ'系に置いてある時計の針はまだ６秒を指している事が解ります。

**皆さんへ。間違いがあったらいつでも指摘してね。**

分かる人がいたら質問に遠慮なく答えてあげてね。

ｎ次元空間におけるリーマンクリストッフェル記号の自由度は
いくらですか？

>>51
ごめんなさい、さっぱり解りません。

深さ１０ｍの便器がある。
大槻教授は長さ２０ｍの巨大ウンコをし、けつを
ふりあげて、光速に十分近くまで加速した。
便器にとってみれば、ウンコはローレンツ収縮を起こし余裕で
便器におさめられる。
逆に、ウンコからみると便器はローレンツ収縮をおこし
便器におさまらないだろう。

ウンコと便器の主張はどちらが正しいか？

Ａ君は道路を猛スピードで疾走していた。
交差点をすぎたところで、警察官にとめられた。
Ａ君は、「スピード違反か・・・」
半分あきらめかけていたが、
以外にも警官は「スピード違反に加えて、信号無視だよ！！」
確かに、Ａ君は青信号をみたはずなのに・・・。

Ａ君の速度を概算せよ。

>>51
(n^2)(n+1)/2でしょう。(torsionなし)

>>55
それはクリストッフェル記号Γでは？
たしかにｎ＊(n_C_2+n)=n*(n(n-1)/2+n)=n^2(n+1)/2
になるもんな。

51は曲率テンソルのことと思われ。

>>53
慣性系にいる便器の方が正しいと思われる。

>>49
公式に当てはめると時間が違う、という事ですか。その点は了解。

>>57
ｳﾝﾃｨが等速で運動してればどっちも慣性系になる。
のでその答えは不適。

>>51
どちらも正しい。
観測している時空の点の違いに注意されたし。

>>51
>>56
今調べました。曲率テンソルの独立成分の個数は

n^2(n^2-1)/12

だそうです。

>>61

ありがとうございます。きになってたもので・・・
算数の問題ですよね、これ。

>>59
うーーん、確かにそうだ・・・。

ｳﾝﾃｨが等速直線運動をしていればいつかは必ず便器に衝突する。
Ｓ系（便器）(x,ct)
Ｓ'系（ｳﾝﾃｨ）(x',ct')
t=t'=0でＳ系とＳ'系は一致しているとする。
ct'=g{ct-(v/c)x}
x'=g{-(v/c)ct+x}

便器の位置、底x=10、口x=0
ｳﾝﾃｨの位置、x'=-10からx'=-30

Ｓ'系から観測する。
時刻t'=t'1にｳﾝﾃｨの先が便器の底に衝突したとする。このときのＳ系での座標をt=t1とする。
座標変換の式より便器の底は
ct'1=g{ct1-(v/c)10}
-10=g{-(v/c)ct1+10}

よって
t1=10/v・(1+1/g)
t'1=10/v・(1+1/g)
　　――――――――(1)

時刻t'=t'1の便器の口に位置x'2は
ct'1=g{ct-(v/c)0}
x'2=g{-(v/c)ct+0}

よって
x'2=-vt'1=-10(1+1/g)
という位置にある。
0 <1/g< 1より
-20<x'2<-10

一方、Ｓ系から観測すると、時刻t=t1に於けるｳﾝﾃｨの後ろの方の位置x3は
ct'=g{ct1-(v/c)・x3}
-30=g{-(v/c)ct1+x3}

よって
x3=10-20/g
0 <1/g< 1より
-10<x3<10

vが十分大きい、つまり、1/gが十分0に近い時
x'2=-10
x3=10

答え、どちらも正しい。・・・とおもう。

>>54
ドップラー効果のはなしですか？

>>64

そうです。

>>63

どちらも正しいとすると矛盾しませんか？
「同時」と「距離の測定」について深く考えてみましょう

>>65
>どちらも正しいとすると矛盾しませんか？

ごめんなさい、どうして矛盾するのか解らないのですが・・・。
おかしな所があればぜひ指摘してください。
なにぶん素人なもので・・・。

どっちも正しいで問題ない。
特に矛盾は無いと思う。

>>67
有難う。

！！速度の合成則！！
（速度vと速度uの合成）
Ｓ'系から観測して、x'軸方向に速度uで移動している物体があるとする。この物体のＳ'系での座標を(x',t')とする。（y'軸,z'軸はめんどいから省略した。）この時、
x'=ut'
となっているとする。
これをＳ系から観測してみよう。
Ｓ系から見たこの物体の座標を(x,t)とする。すると、座標の変観測から、
ct'=g{ct-(v/c)x}
x'=g{-(v/c)ct+x}

よって、x',t'を消去して
x(1+(uv/cc))=(u+v)t　故に　x=(u+v)/{1+(uv/cc)}・t
つまり、Ｓ系から見れば物体は(u+v)/{1+(uv/cc)}という速度で移動している事が分かる。ここで、u,vが光速cに対して十分に遅い速度であれば(u+v)という速度になり、古典力学の結果と一致する。では逆に光速に十分近い場合はどうか？
u,vをu=pc,v=qcと置き換えよう。p,qはu,vの光速に対する比である。(0<p,q<1)。速度の合成の式に代入して
(pc+qc)/{1+pq}=(p+q)/(1+pq)・c
ここで、(p+q)/(1+pq)<1が成り立つ。なんとなればpについて変微分して、与えられた範囲で増減表を書けばよい。めんどいので省略します。（御免なさい・・・、書いて欲しかったら言ってください）。
これによって、２つの速度u,vを合成しても光速を超える事が無いという事が分かります。

何か分かりにくかったのでもう一度書きます。
速度u,vを合成すると

(u+v)/{1+(uv/cc)}

となります。

期待あげ

ビッグバンスレッド２をみれ。
古き良き時代の物理板の雰囲気がよくわかる。
愉しかったんだよな。
もっとも、過去ログないか。
どっかに保存されていたはずだけど。

期待あげされたので、

相対論的ドップラー効果

まず、音の場合のドップラー効果を考える。
空気の静止系での音波の速度をv_sとし、音源が観測者（＝静止系）に向かってx軸の正方向に速度Vで近付いて来るとする。簡単の為、空気の密度の縦方向の変位Aは正弦波
A=sin(ωt-kx) ---(1) （ωは角振動数、kは波数）
とする。音源の系をS、静止系（＝観測者の系）をS'とし、t=t'=0で両系が重なっているとする。（S'系はS系に対して速度-Vで動いている事に注意する）。S系とS'系の座標は斉次一次変換で結ばれているから観測者にとっても正弦波であり
A=sin(ω't'-k'x')　（ω'はS'系から見た角振動数、k'はS'系から見た波数）
(ω,k),(ω',k')の関係は、ガリレイ変換
t'=t
x'=x+Vt
から、
ω't'-k'x'=ω't-k'(x+Vt)=(ω'-k'V)t-k'x
(1)と比較して
ω=ω'-k'V ---(2)
k=k'
ここで、ω'は角振動数、k'は波数だったので、
k'=ω'/(v_s)
(2)に代入すると
ω=ω'(1-V/v_s)
ω'/ω=1/(1-V/v_s)
観測者が音源に近づいていく場合も殆ど同じようなプロセスで調べられる。
結果は　ω'/ω=1+V/v_s

次に光の場合を考える。
音の場合と比較して次の２点が異なる。
�@ガリレイ変換の変りにローレンツ変換
ct'=g(ct+V/c・x)
x'=g(V/c・ct+x)
を用いる
�A光の速度はどちらの系でも
c=ω/k=ω'/k'
となっている。

音の場合と同じように
A=sin(ωt-kx)=sin(ω't'-k'x')から
ωt-kx=ω't'-k'x'
が成り立たねばならない。よって、�@の式を代入して整理すると
ω=g(ω'-Vk')　---(3)
k=g(k'-V/(cc)・ω')
ここで、(ω/c,k)は(ct,x)と同様のローレンツ変換を受けている。
(3)に対して、�Aより、k'=ω'/cを代入すると
ω=gω'(1-V/c)
ここで、
g=1/{(1-(V/c)^2)^(1/2)}=1/√{(1-V/c)(1+V/c)}
であったことを思い出し、整理すると
ω'/ω={(1+V/c)/(1-V/c)}^(1/2)　―――（光のドップラー効果の式）
となる。この式は音の場合と違って絶対的な「静止系」が存在しない（音の場合は空気の静止系が絶対的な静止系となっている）。

今回は一寸自信ないです。
話をsinの場合だけに限ってるし・・・。
一般の周期関数としてもいいんだけど、sinの方が解りやすいしね。

うお〜〜〜、院試が・・・。
Fibre bundleが・・・、Poisson transformationが・・・。

>>72
http://www20.freeweb.ne.jp/computer/uuuuuu/cgi-bin/read.cgi?bbs=sci&key=939217336
http://www20.freeweb.ne.jp/computer/uuuuuu/cgi-bin/read.cgi?bbs=sci&key=942420296

直接だと行けねえからコピペでな。

>>75
期待しない方がよかったのかもしれませんね・・・
院試がんばってください
(分野こそ違うけど1年後は我が身)

>>76へは直接行けないので、まずは、
http://www20.freeweb.ne.jp/computer/uuuuuu/sci/
ココ↑へ行って、「ビッグバン理論」で検索。
今見たら、33番に第一部、233番に第二部が入っていた。
特殊相対論は第二部の方。
文系で物理初心者だが一生懸命なおでん屋、腰痛餅に対し、
何とか分かりやすく教えてやろうとする心優しい講師陣。
やっぱ名スレだね。
ヴァカもそうだけど、生徒役が熱心に頑張るのを見るのは気分がいい。

http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/3422/chap2.htm
ここを見てください。

>>79=田中洸人

二度と来るな。
死ね