☆彡●　ｉ　物語　●☆彡

数学板の某スレッド某レスより抜粋の下記につき、
貴君のご批判、ご意見又はアイデアを募集致します。

１．理解している範囲

　数についての次のような公理を納得しており、その理論体系としての
数学を「理解」することによって科学・技術への応用も行できる。

・ペアノの公理
・連続の公理

　但し、「理解」は数の体系における実数までである。

２．理解していない範囲

　複素数の体系が「理解」できない。
　尚、複素数の範囲において、虚数が定義されるが、何ら公理は追加
されない。

３．理解様式

　実数までの数は、モノの個数や分量等、具象物に演繹できるもので
あり、逆に、数とは具象物に見出される共通概念より帰納された抽象
理念といえる。
　つまり数直線に代表される「物理的具象との対応付け」が考えられる
ため、実数は「理解」できる。

　こうした理解様式は最早、数学の如く形式論理で閉じた体系内では
収まりきらないだろう。（むしろ何か物理テーマの解釈論では？）

４．疑問の核心
　複素数は、果たして何らかの物理的具象と対応付けられるのか？
　但し、数がある物理的具象と対応付けられるということは、その数に
ついての定義に加えて数学的展開（公理、演算、関数の適用）もまた、
何らかの物理的具象と対応付けられている必要があるだろう。
　そのような対応付けに関しては、特に下記点を明確にしたい。

�@虚数単位はいかなる物理的具象に対応するのか？
�A実部と虚部はそれぞれいかなる物理的具象に対応するのか？


　Do you have an idea?

あ〜〜〜〜げっ！

２．の「実数はものの量に演繹できる」ってところは、必ずしも同意できないけど、
言いたいことはなんとなくわかるかもしれない。というか、複素数は最初なかなか
とっつきにくいですよね。私も最初からよく理解していたわけではなく、とにかく
計算練習を繰り返して慣れるところから入った記憶があります。
現在はだいたいこう考えています。「複素数は大きさと位相を両方もつ数である」
というとらえかたです。物理で複素数が使われるのは大部分がなんらかの意味で
波動に関係しています。波動は単振動の集まりに分解することができます。
単振動は目に見える変位の大きい場所は運動エネルギーは小さく、運動エネルギー
と位置エネルギーが互いを補うかたちで全エネルギー一定のまま振動を続けます。
このとき質点の変位を実数成分、運動速度を虚数成分として考えれば、
複素平面上の円運動と同一視できるわけです。目に見える振動運動の背後に
円運動があって、エネルギーは変位と運動の間をいったりきたりするが
合計は一定なので、これを半径（実際にはこの二乗）に対応すると考え、
変位がｘ軸なら速度はｙ軸という相補的な関係にあると考えるのです。
この円のｒが複素数の大きさで、＋ｘ軸を基準にして測った角度が
位相θです。このときのｘ軸、ｙ軸への斜影がそれぞれ実部、虚部の実数に対応します。
わかりやすく表現できているとは言いがたいですが、実数→位相を持った実数
という拡張が自然に複素数の構造を生みます。またとくに量子力学に表れる
現象のほとんどすべては位相を持った実数で表現できるので、量子現象は
複素数的な具象であると、おおざっぱには考えることができます。
ただしこの場合には観測される量は実数成分でもなく虚数成分でもなく、
複素数の大きさ、すなわち半径ｒを二乗したものです。単振動の場合の
エネルギーに対応する量ですね。かえってわからなくなっちゃったでしょうか？

あと、数学はもっと専門外なのでわかりませんが、２次方程式の解の公式が
実数の範囲で閉じていないため、ｉ＾２＝−１という数を導入するんですよね。
すると、あらゆるｎ次方程式がその範囲でｎ個の解をもつことが証明される。
公理が追加されないとしたら自然に導入されるということでしょうね。
複素数もいろいろな意味で自然な数なんでしょう。

exp(iπ）＝ -１ になるってのがおもしろいよね。
複素数が２変数のベクトルというだけでなく、iをかける操作が−90°回転させるイメージを
つくるというのが便利なんだろね。　長沼伸一郎の受け売りだけど。

>>3
　抜粋下記。各々にタイトルを付し当座の感想をコメントします。

■§１　記述における便宜性
＞「複素数は大きさと位相を両方もつ数である」
＞実数→位相を持った実数という拡張が自然に複素数の構造を生みます。

　大きさと位相は、いずれも実数の範囲で表現できますね。
　そこで複素数は、ある物理的関係の二つの量（それぞれ実数で表現可）を
一つの量（複素数）で表現する、いわば記述上の便宜手段ということですね。
　つまり一つの量ではなく、二つの量の大きさや位相などの「関係」を含めて
表す、それが複素数ということですね。

　そうすると>>1の４．疑問の核心の�@、�Aに対しては、下記の如き回答に
なるのでしょうか。
　�@→虚数単位は何か単一の物理的具象には対応しない。
　　　　ある物理現象の理論的記述の便宜を図るものである。
　�A→実部、虚部は、そうした物理現象において実数で表現できる量。

■§２　量子力学における複素数
＞量子力学に表れる現象のほとんどすべては位相を持った実数で表現でき
るので、量子現象は複素数的な具象である
＞ただしこの場合には観測される量は実数成分でもなく虚数成分でもなく、
複素数の大きさ、すなわち半径ｒを二乗したものです。単振動の場合の
エネルギーに対応する量ですね。

　「観測される量」は実数ですが、量子力学において表現されるところの
「確率の波」は常に大きさと位相をもち、複素数の値であるということですね。

　そうすると>>1の４．疑問の核心の�@、�Aに対しては、どのような回答に
なるのでしょうか？（量子力学へ突入？本題から反れなければＯｋですね？）
　�@→？
　�A→？（※）

※尚、�Aの「実部」と「虚部」は、「大きさ」と「位相」に替えた回答でも一向に
構いません。

＞２　ほんとにしろうとか？

　あと、複素数を導入して解析学を展開すると、
解析関数論（複素関数論）というめちゃくちゃ
きれいな様式になるよね。正則関数は無限回
微分可能で、わずかな断片から解析接続によって
複素平面へ一意的に拡張される。コーシー・リーマン
の定理とか。こういうのを考えると、i^2=-1にする
ために「人為的」に導入された数だとはとても思えん。

>>4 >>6

　感謝！
　主題からは反れますが、
　形式論理についてのレス（審美感等）も歓迎します！

量子力学は複素数を使うからこそエレガントに表現できるんでしょうね。
でも観測にかかる量は実数になり、定常状態では
　（Ｔ−λＩ）φ ＝ ０
というように実数が固有値なるよう、演算子Ｔがエルミートになる必要があるんですね。（物理量と対応するには）
で、よく運動量演算子が
　ｐ　→　-iｈ/２π∂/∂ｘ
のように置き換えてギョっとするけど、虚数iが入ってないとこの演算子はエルミートにならない。
（-i∂/∂ｘ）^2 ＝ -∂^2/∂ｘ^2 はエルミートになるけど。

＞４
わかっていただける自信はないけれど、ひとまず私なりに答えてみます。
�@についての私なりの考えは「決まった具象はない」ということになります。
したがって、「具象に対応をつけるのは自由」ということにもなります。
実際電磁ポテンシャルを求めるために複素関数を使う場合、実軸も虚軸も
実際の空間に対応すると考えます。私は物理における複素数は多くの場合、
実軸成分を「存在成分」、虚軸成分を「運動成分」と考えるとうまく説明
できると思っています。（単振動の例を思い浮かべています）
�Aの答えにもなりますが、実部、虚部のもともとの定義はｚ＝ｘ＋ｙｉ
と複素数をふたつの実数で表現したときのｘとｙです。従って、
ｘを存在成分、ｙを運動成分とみなすことが可能な場合が多いですが、
もともと自由な複素平面が広がっていたところに勝手にｘ軸ｙ軸を設けた
場合の斜影成分に過ぎないと考えることもできます。

私にとっての「複素数的具象」はあくまでも「大きさ」と「位相」
が基本になります。位相は単なる実数ではなく、２πでひとまわりし、
どこを原点に定めてもかまわないという著しい性質を持ちます。
たまたまある位置を位相の原点に決めると、それに直交する単位ベクトル
としてｉが決まると考えるのです。単位円上の質点の運動を考えれば
どこを原点に定めてもよいが、原点における速度ベクトルは必ず
大きさの原点から位相原点に向かう位置ベクトルに直交する方向に
なります。
つまりこの考えに従えば、どの向きを「存在成分」と定めてもよいが、
いちどそれを決めれば自動的に「運動成分」は定まるということになります。
見方によっては「存在」と「運動」が入れ替わったりするわけです。
このように、「ｉの具象との対応は任意」と言っている理由は、
３６０度のうちどこでも任意に原点に決められることに対応しています。
「存在成分」に対して直交する成分が常に背後に隠れていることが本質です。
またこの隠れた成分を円運動の比喩を用いて「運動成分」と呼んでいます。

上のレスをつくるのに少しくたびれたので、リラックスさせてくださいね。

＞６さんへ
私も複素積分における留数定理は学んだ数学の中でも最も脅威に値する
ものでした。ポテンシャル面を考えれることで、今は納得しています。

＞８さんへ
「ｉをつけないとエルミート演算子にならない」確かにそのとおりですね。
私流に無理やりこじつければ「運動成分を実数として取り出すための演算」
ということになるのでしょう。
それはともかく、エレガントだから使っているというよりは、どう考えても
本質的に複素数的存在としか考えられないから使っているのではないかと、
私は思っています。

なお、上にあるように「存在成分」、「運動成分」の決め方は複素数の
解釈としては任意と考えてもよい量です。わかりやすさのために便宜上
導入した考え方に過ぎません。現実に対応するものはたくさんありますが。
量子力学の波動関数については存在はあくまでも振幅の二乗に比例するので、
「存在確率」と「存在成分」は完全な別物です。各成分の二乗和が
存在確率に比例することになります。こんなところで許してくれますか？

そうした意味では「存在成分」よりは「変位成分」の方がふさわしいかも
しれませんね。「変位成分」と「運動成分」でどうでしょうか。

ネーターの定理では、複素振幅の位相の並進対称性が
電荷保存則に結びつく。となると、変位（もしくは存在）
と運動という視点で位相を捕らえるのは無理があるか。

古典論的にはしろうとさんのイメージは見事だと思います。

　ここで当スレの主旨に立ち返ります。（>>1）
　なお、見通しをよくする観点から、換言、追加する場合がありますことを
ご了承願います。

当スレの主旨：　以下につき討論する。

　　（１）　実数がその演算を含めて、数直線に代表される量概念との
　　　　対応付けにより具象的に理解できるように、複素数もまた何ら
　　　　かの具象として理解できるのかどうか。

　　（２）　但し、理解の条件は、ある具象が複素数の理念（形式論理）と
　　　　対応付け可能であること。次のようなものが基本。
　　　　�@複素数の定義要素（虚数単位、実部、虚部）
　　　　�A複素数の四則演算（体の公理）

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
　この主旨で既出意見を集約したいところですが、貴君にお任せします。
　更なる討論を期待します。

問題提起がたいへん丁寧なのはいいとして、スレをたてた方の意図が見えません。
自分が理解すること（ついでに同じような疑問を抱えている人にこたえつつ）を
目指しているのか、使いこなすことを目指しているのか、ただただ観念的な議論を
求めているのか。上記の議論のたてかたやレスになんら答えや疑問を発していない
ことからみて、最後の「観念的議論」を欲していると仮定して､それでは何が狙いか。
文科系的な学問上であるいは著書の準備のために複素数の知識を得たいのか。
それとも自分自身の心のなかの論理哲学を充実させたいのか、など。
とにかく物理やの一部にとっては複素数はあまりにも日常的であって、哲学的な議論は
はっきり言ってぴんとこないし、それをやりたいなら数学や哲学など他の分野ですべき。
そういったわけで、もう少しご自分のやりたいことをはっきり言ってくれないと、
何を答えていいのかわからない状況になっていると思います。可能な範囲で
ご自身の心に抱くところを今一歩つまびらかにしていただけませんでしょうか？

>>15

野暮いいなさんな。言いたいことをいえばいいんだよ。
論文かいてるわけじゃないんだから。

>>16
なんかここでいいこと書いたら>>1に
こっそり論文のネタにされそー？

>>15

＞何を答えていいのかわからない状況になっていると思います。可能な範囲で
ご自身の心に抱くところを今一歩つまびらかにしていただけませんでしょうか？

　つまびらかになる保証はできませんが、このレスをはじめとしてご批判に応え
たいと思います。

　>>1に示す本題テーマは、「当方の疑問」以外の何でもありません。
　ですから、何よりも「当方としての疑問氷解」を期待しています。
　また、「同じような疑問を抱えている人」に配慮して、疑問提起から氷解までの
過程をここで公開形式に進めることを強く希望します。
　例えば文献の紹介のみでヨシとしたくないものです。
　スレ設立の主旨をご了解いただけましたか？

　ご指摘のように、レスに対する反応が乏しいかもしれません。
　戴いたご批判、ご意見、アイデアが「当方としての疑問氷解」に向かうものと
判断された場合に、それを前進すべくレスを返したいと考えています。

　>>1に示す理解様式は当方の勝手なものですが、レスなされる方は、予め
参考にされると幸いです。
　尚、上記「同じような疑問を抱えている人」は、理解様式が同様である人を
想定しています。

>>16

　野暮でも論文でもＯｋ！
　ただ、当方のコトバで要旨をまとめさせていただく場合があります。

>>17

　発表のネタになるほどのアイデアがあればいいですね。
　その場合、公開形式のココには出てこないでしょうけれど。

15を書いたものですが、16のご意見ももっともだなあと思ってみておりました。
おそらく１さんはかなり大人の方とお見受けします。成人の再教育が重要に
なりつつある今日において、年下のものからも素直に（とはいってもただで）
教えを受けようとなさる貴兄の姿勢にはそれなりの敬意を表したいと存じます。

などと、皮肉まじりのことをついつい言ってしまうのは私の性格の悪さゆえ、
あるていどは大目にみていただきたいのですが、私が言いたかったことを
もっと噛み砕いて言うと
「もうちょっとどこをどうわかりたいのか、あるいはどうわからないのかを
詳しく表現してみてくださいよ」ということにつきるのです。
なにか、「ひとにものを問うものの姿勢」として、いかにも大上段から
ふりかぶってものものしく問題提起をするようなポーズでおられたことに
なにか違和感を覚えたからです。無論、理解は人によってまったくちがった
ルートやネットワークがあり、そのうちのどれだけが正しいということを
はっきり決めるのは本質的に難しいことですから、そういう問題提起も
ありだとは思いますが、「もう少しなんとか」と思ったものですから。
レスになっていませんね。ごめんなさい。

>>19

　面白く拝読しました。
　ただ、ご理解戴けたのかどうかは読みとれませんでした。

　>>1は当方にとってカジュアルな疑問であり、幾分気ままな表現に
なりました。
　問題提起の姿勢に対するご批判もあるはずと存じますが、かような
問いかけは慣れないことですので、その点はご容赦願います。

　多くの見識ある方々に、本旨をご理解戴けることを願う次第です。

まあ私が１さんのことを心情を含めて理解しているとは到底いえませんが、
とりあえずこうしたかたちで疑問をもっている人に関心を抱いているのは
確かですね。これだけなかば怒りつつもからんでいるわけですから。
それではまず最初にすこし哲学的な（ややもすれば観念的な）視点から
私の意見を述べさせていただきます。（まあゆっくりやらせてください）
ペアノの公理、連続の公理はどちらも相当に抽象性が高く、ある意味では
かなりわかりにくい公理ではないかと思います。前者は「数学的帰納法」
の裏づけを与えているとも言われていますが、そもそも公理というものは
「誰もがあたりまえと感じられるが説明不可能なことを自明のルールとして
あらかじめ受け入れることに決めた約束事」にあたります。
つまり、客観性をどんどん要素に分割していくと、多くの事象はほかの事象の
組み合わせで説明できるようになりますが、それをつきつめていくとどうしても
証明できない要素、化学で言えば元素にあたるエレメントに到達する。
その論理のエレメントこそが「公理」ですよね。
従って、公理である時点でそれは証明しようがないことであるはずなのです。
ただ、その公理に当てはまるありとあらゆる可能な要素についてその公理が
成立することだけは要請されているわけです。そうでなければ理論が破綻し
ますからね。つまり「公理」は説明不可能だからこそ「公理」である。
この点はよろしいですよね？

>>21

　論理的体系の基礎から講釈とは、誠にありがとうございます。
　貴君のような言語達者な方に本テーマで問題提起されていたらば、
そろそろ本質的議論が進んでいるのではないかのかなぁと、つくづく
惜念にひたりながら拝読しました。
　もっともその場合、当方としてはあげるのが精一杯で、回答になる
ようなことは何ら述べきらないのですが。
　今はこうして当方の疑問スレッドにご丁寧な講釈を賜ることを幸いに
存じます。
　さて、本題。

＞それではまず最初にすこし哲学的な（ややもすれば観念的な）視点から
私の意見を述べさせていただきます。（まあゆっくりやらせてください）

＞「公理」は説明不可能だからこそ「公理」である。
この点はよろしいですよね？

　なるほど、哲学的、観念的ですが、一般的説明といえるでしょう。
　ただ、当方としては「説明不可能だから」というより、「説明しないから」と
説明するところです。（形式主義的公理主義の立場、というか雰囲気です。）
　もっと観念的な表現になると、
　「論理的体系の公理とは、その体系の命題の源」
といったことでしょうが。
　形式論理に帰結すること（論理、数学）をいくら観念的に語っても、>>1　３．
に暗示したように、ここではあまり益がないように感じます。
　しかし>>21は、論理的体系の具体というより、その共通基礎の講釈です
から、ここでなされるべき議論の基礎形成に通じれば幸いと存じます。
　どうぞお進みください。>21
　他の方も、ご意見なり何でもどうぞ。

「説明不可能だからというより説明しないから」ですか。
ただもしそうであってほかのもっと基本的な公理から導くことができるとすれば、
それをあらたに公理にすえてもいいはずですよね。というか、
私が言おうとしていることは、私達がふだん十分にわかっていると考えて使いこなして
いる対象でさえ、くわしく突き詰めていくといかにあやふやであいまいなものかという
ことなんですよ。例えば１さんが例としてあげられた「数直線」ですが、
数直線がはたしてどれほの具象性をもった対象でしょうか？数直線とは
直線の各点を数と対応させるものであるとしましょう。それではその直線に
均等にスケールが割り振られているかどうかはどう確かめたらいいのでしょう？
すくなくとも直線のなかにいてそれを確かめるてだてはないように思います。
そもそもそれが本当に直線であるかどうかはどうやってわかりますか？
たとえばそれは本当は曲線かもしれない。私たちの空間から見れば直線に見えても
ひとつ上の次元からみればぐにゃぐにゃに曲がった線かもしれない。
空間自体が曲がっていれば中にいる人にとってはやはりわかりようがないですよね。
このように、ひとつの直線が本当に直線であるかそうでないか。まっすぐかまがっているか。
均等にスケールされているのかそうでないのかなどといった基本的なことですら、
つきつめていけばそれぞれ問題になりそうです。このあたりは数学やさんが
整備しておられるとは思いますが。ただこの例ひとつをとってもわかるように、
われわれは何かを知っている、わかっていると感じ、それを使いこなしている
ときでさえも、よくよく考えてつきつめていくと、意外にもその基盤がいかに
あいまいであやふやなものであるかということに気付かされることがあります。
実数の公理のとりかたはいろいろありますが、例えば「デデキントの切断」
ひとつをとっても、わかったようなわからないような、不思議な公理ですよね。
（実数ひとつとっても私にはいまだに不思議でしかたありません。）
無論私の論法からいえば、説明しようがないから公理なのですが。
確かに公理論から見ればいろいろな選択肢が自由に選べるように見えますが、
すくなくともそのなかのどれかは公理に選ばなければならないわけですよね。
だから、何かをわかっている、と考えていることはつきつめていくと曖昧なのでは
ないか、ということをもういちど認識していただきたいのです。

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はっ・・せっかくやったのに　・・・ここまでなの


シンジ！・・・ばか　無理しちゃって

きみは、スランプ

>>25 本物？もう投げちゃうの？ああ萎えちゃったのか。

age

わたし技術屋だけど、複素数って２個の数をセットにしないと表現できないよう
な量を表現する便宜的な手段だとおもってました。２元ベクトルとおなじこと。
それじゃだめなの？

もっと　age

ちゅどーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーん！！！！！

おっさんうぜー

ちゅどどどどどどーーーーーーーーーーーーーーーーーーーん！！！！！！！

ちゅどーーーーーーーーーーーーーーーーん！！！！

proxy 規制されたら面倒だよ。
もういい加減にしてください。おねがい。

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あげちゅどーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーん！

ちゅどーーーーーん！

　　　　　　　　　　　　　　　　　嵐山ファッキン！！
　+　　 　 　 　 　 　 　　 ＼＼　 奥村ファッキン！！　　 　／／　　　　　　　＋
　　　　+　　　+　　　　　　　＼＼　糞スレファッキン！！／+
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+　　　　　　+　　　　　　+ 　　　　　　　　　+　　　　　＋
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　　　　 　 ／■＼　 　 　 　 ／■＼ 　 　／■＼ 　 ／■＼ +　*　∩/■＼　　　　　+
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□□□□■□□□□□□□□■■□□□□□□■■■■□□□□□□□

ちゅどーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーん

ちゅどーーーーーーーーん！！！！

そして空中分解！

　　わ

連射！！！！！！！！！

ちゅどん

あ

ちゅど〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜＾＾ん！

ちゅどーーーーーーーーーーーーん！！

「酸」と関係ないのになぜ「酸素」？ 　　　　　　
http://nara.cool.ne.jp/mituto　　　　

ちゅどーーーーーーーーーーーーーーーーーーーん！！！