移動距離の疑問

ある地点Ａから２つの宇宙船ＢとＣが同時刻に反対方向を目指して出発したとします。
その時、両宇宙船を糸で括り付けていたとします。（糸はものすごい長さ、とにかく
切れる事のない長さを保持していると仮定してください。）
両宇宙船の臨界速度が高速の８０％と仮定し、最高速度に到達した時に宇宙船Ｂを絶対座標と
考えた時、宇宙船Ｃは宇宙船Ｂに対して高速の１６０％の速さで遠ざかっているように
見えないのでしょうか。
また、両宇宙船を括り付けた糸は仮に宇宙船Ｂ内に糸の束があり、
宇宙船Ｃに糸の結び目を設置した場合は、宇宙船Ｂから高速の１６０％の
スピードで宇宙船Ｃに向かって伸びていっているようには見えないのでしょうか。

相対性理論により、物体の移動スピードは高速を超えないという事は
承知の上です。それにより出発地点Ａからは両宇宙船Ｂ，Ｃが高速の８０％のスピードでＡから
遠ざかっているは確かだと思うのですが、宇宙船Ｂ，Ｃの物理的移動距離の関係がわかりません。

どなたか教えてください。

間違えました
高速＝＞光速

相対性理論によると物体は光速に近づくにつれて、
１．その物体内での時計の進みが遅れる
２．その物体の長さが短くなる
という性質が言われてますです。
長さが短くなるという性質によって、加速しながら光速に近づきつつある糸は徐々に短くなっていくので相対速度は光速を超えないのだと思いますです。
糸の長さが縮んだ分だけ移動距離は短くなるので片方の宇宙船から見た見かけの速度は光速を超えないのだと思いますです。

160%にはなりません。

Bの座標系(Bに固定された慣性系)ではかったときに、
A は B から 0.8c で離れていっている ＜ これはOK。

Bの座標系ではかったときに、
C は A から 0.8c で離れていっている ＜ これはNG。

ただし、

A の座標系ではかったときに、
C は A から 0.8c で離れていっている ＜ これはOK。

なので、これとローレンツ変換から B の座標系で
はかったときに、C が A からどんな速度で離れて
いっているかを計算すればいいわけです。

速度の加法則ってありましたよね。

相対論でもありますよ。
但し線形ではないと言うだけです。

ｃ＝１の単位系で
ｗ＝（ｕ＋ｖ）／（１＋ｕｖ）
です。だからｕ＝ｖ＝０．８のとき
ｗ＝１．６／１．６４≒０．９７５６ｃ

すまねえが、数式なし、なるべく専門用語もなしで、
俺（≒サル）にもわかるように説明してくれねえか？
上の c ってのは光速のことだな？
w ってのは、宇宙船Ｂからみた宇宙船Ｃの相対速度ってことか？
それが光速の97.56％の速度に見えるってことでいいのか？

で、宇宙船Ｂ内で見る糸の速さの件はどうなるんだ？
クサチューは「糸の長さが縮んだ分だけ移動距離は短くなる」と言うが、
そんなら、時計の進みが遅れた分だけ時間の値だって小さくなるんじゃねえのか？
くそぉ、「距離÷時間＝速さ」や「旅人算」ぐらいまでなら俺にだってわかるぞ。べらぼうめ。
「つるかめ算」は苦手で、「ニュートン算」はワケがわかなかったが。
もっともニュートンが分からねえならアインシュタインが分からねえのも当たりめえか。

数式は見やすいから使いたいっす。でも中身わかってるじゃないすか。

>w ってのは、宇宙船Ｂからみた宇宙船Ｃの相対速度ってことか？
>それが光速の97.56％の速度に見えるってことでいいのか？

そのとおりです。糸うんぬんは本質じゃないです。糸が直線的
にのびているのならば、それはＢから見たＣの距離を表して
いるに過ぎません。でＢから見たとき、Ｃは光速の97.56%で
遠ざかるのですから、糸が出ていくスピードもそうなります。

相対論的速度の加法則はおもしろいですよ。分母の効果が
微妙なものでね。たとえばｖ＝１（光速）とするとｕの値が
なんであってもｗ＝１になることがすぐ確認できます。
これは、どんな座標系からみても光速が一定であることを
表しますです。

早速すまねえな。でもよ、クサチューの言う「長さが短くなる」と「時間が遅くなる」ってのが
関係してるんだろ？
（１）BC間の糸の長さが縮んだ。→だったらBC間の宇宙空間も縮んだってことになりそうだぞ？
それともクサチューの勇み足か？
（２）時間も遅くなってるなら、速さが160％→97.56％になってるわけだから、
「距離÷時間＝速さ」で、距離の縮まり方の方が時間の縮まり方よりもはるかに大きいってことか？
俺は完全に頓珍漢か？　それともクサチューのせいか？

１６０％という考え方はしない方がいいぞなもし。
「ミンコフスキー計量を持つ線形空間上での座標変換」
であり、速度は二次的な量で、実体を持たぬのじゃ。
この場合も自らをＢの静止系に固定して、余計なことは
考えぬがよろしい。

さてさて、静止系から速度がｖの物体を見るとそれは
時間の刻みが １／√(１−ｖ^2)倍に
進行方向の長さの刻みが ｖ／√(１−ｖ^2)倍になる。
たとえばｖ＝０．６と固定するならば、
時間は１．２５倍、進行方向の長さは０．７５倍になる。
すぐできるので代入して確かめるがよろし。

これは例えば１秒ごとにパルス信号を出す長さ１ｍの立方体を
ｖ＝０．６に加速すると、１．２５秒ごとにパルス信号を出す、
進行方向の長さ０．７５ｍ、垂直な方向の長さは１ｍのまま、
の形に観測されるということ。

時間ののび＆長さのちぢみは時空間に付随する相対論独特の
性質であって、物体に付随する「距離÷時間＝速さ」という
性質とは文脈が別である。また時間は縮むのではなく延びる
ということに注意せよ。

(1)については関係ない。自分をＢに固定して考える限り、
Ｃはあくまで観測対象であり、その間の宇宙空間が縮むなど
ということはないし、糸についても同じである。

Ｃはあくまで観測対象であり、Ｃの速度が変化しても
ＢとＣの間の宇宙空間が縮むなどはありえない。

そうか。って言ってもよくわからんが、
３のクサチューの説明はなんか変じゃねえのか？
とにかく、俺が宇宙船Bにいるとすると、
まず、宇宙船Cは光速の97.56％の速度で離れていってるように見える。
でもって、
（ア）俺から見て宇宙船Cが進行方向に向かって縮んで「見える」わけだな？
（イ）俺から見て宇宙船Cの時間が遅く「見える」？　あいつら何グズグズしてやがんだ、って感じか？
でもCに乗ってる奴らはそうは思ってないわけだ。

(ア)(イ)ともに合ってるっす。
望遠鏡などで観測すると、そう「見える」というはなし。

てことは、高性能の望遠鏡かなんかでCの窓の中を覗くと、
向きによって厚さの違う妙な奴らがスローモーションで動いているわけだ。
アハハ。

うん。赤方偏移(ドップラー効果)で色も変わるけどね。
また観測に用いる光もスピードが同じオーダーでしか
ないわけだから、見え方としては厳密にはもっと変な
歪んだ形になる。

ふーん、おもしれえな。
みんなありがとよ。物理屋はいい奴が多いじゃねえか。気に入った。
ところで、赤く偏移したドンブリってのは柿右衛門にオーダーしたのか？
柿右衛門は相対性理論を応用して赤い茶碗を焼いたのか？
（ボケは無視していいぞ）
（っていうか、たまには誰か突っ込まねえのか？　突っ込むほど面白くねえか？　だろうな・・・）

柿右衛門がドップラー効果を応用したかどうかは知りませんが
車で急いでる時に限って赤信号が多いのは、そのせいだと思います。

ちょっと質問して良いですか？

１１の「長さはｖ／√(１−ｖ^2)倍になる」というのは
宇宙船Ｃの中にある物（例えば棒）を、宇宙船Ｂから見た場合のことですよね。
つまりＢにとって、棒の両端はどちらも速度ｖで遠ざかるから
Ａでは１ｍの棒が、Ｂではｖ／√(１−ｖ^2)ｍに見えるということですね。

では、ＢＣ間の糸の長さはどうなるのでしょうか？
Ｂにとって糸の手前側の端は速度０、反対側の端は速度ｖです。
この場合も、糸の長さはｖ／√(１−ｖ^2)倍となるのでしょうか？
もしそうだとしても、いったい何の（何を基準として）ｖ／√(１−ｖ^2)倍なのでしょうか？

１９の「Ａでは１ｍの棒が、Ｂではｖ／√(１−ｖ^2)ｍに見えるということですね。」は
「Ｃでは１ｍの棒が、Ｂではｖ／√(１−ｖ^2)ｍに見えるということですね。」
の間違いでした。

前半は合ってるっす。後半は混乱があるっす。
>Ｂにとって糸の手前側の端は速度０、反対側の端は速度ｖです。
違うっす。手前側の端という「実体」は存在せずに、
糸が繰り出されていく場所があるにすぎないっす。
出ていく糸はＢの手元においても速度ｖっす。
>この場合も、糸の長さはｖ／√(１−ｖ^2)倍となるのでしょうか？
糸の長さの刻みがそうなり、糸の長さ自身もそうなるっす。
>もしそうだとしても、いったい何の（何を基準として）ｖ／√(１−ｖ^2)倍なのでしょうか？
やっぱりＢから見たＣの進行方向の速度をｖとするっす。

７が速度の加法則、１１がローレンツ変換則
この２つを覚えとけば特殊相対論には困らないね。

一般相対論を考えましょう。

>18
そうか、信号機もドンブリ効果で赤になるのか。
今から出かけるので、確認してみよう。

きのうは参ったぞ。すぐに信号にひっかかる。
たしかに急ごうとすると赤になるな。
でもって青になってダッシュして、ふとバックミラーで後ろを見ると、
後ろの信号は青になってる。
前に目をやるとまた赤になりやがる。
俺をサルだと思って馬鹿にしてやがんのかとも思ったが、
もしかして、これがドンブリ効果か？

そうです。ドンブリ効果です。
ちなみに、それは警視庁（東京の場合）が仕組んだ現象です。
さらに急ぐと、次は切符が赤くなるよ。

問題だしてちょ。

亜光速で遠方まで行って戻ってくると、
地球に残っていた人よりも若いままである
という奴ですね。相対的なはずなのに
なぜ年のとり方が違ってくるのかという奴

行って、帰ってくるほうは引き返すときに加速度運動を必ずしますが
加速度運動＝重力場の中では時計の進みが遅くなるため、今までの時計の
ずれがキャンセルされる。
一般相対性理論を使うと、双子のパラドックスはありません。
（と、本には書いてありました。）

たてておくれ＞２９

ん、テンソルは書きにくい。
一般的な質点の運動方程式でいいと思うけど、どう解けば良いのかわからん。
教えて！

クリストッフェル記号の出てくる奴ですよね。

誰か解け！

Schwarzschildの解から重力場の中の時間の遅れを計算して、加速度運動を
重力場と等価と仮定するのが簡単だと思います。

シュバルツシルトの解は関係ないでしょ。
球対称ブラックホールじゃないんだから。
ちなみに引き返すときに等加速度運動を
すると仮定すると、リンドラー時空という
ものになります。シュバルツシルトよりも
もっと簡単なはずです。

世界線に沿って固有時間を積分すればいいわけだね。

それだと一般相対論はいらないんだよね。
なんでこれが一般相対論の例題になってる？

加速度を重力とみなして時間の遅れを計算すると一般相対論を使います。
世界線のミンコフスキー計量による「長さ」が固有時間であると考えると
特殊相対論だけで十分です。ようするにいらない。だって本当の重力源は
ないから。

<PRE>
測地線方程式は
　　 λ　　　　 　 μ　　ν
d^2 x　　　λ　 dx　　dx
――― ＋ Γ　　 ――　――　＝ ０
ds^2　　　 μν ds ds

なおクリストッフェル記号は
　　　　　　　　　　∂ｇ　 　 ∂ｇ　 ∂ｇ
λ　　　 １　λρ　　 ρμ　　 ρν　 μν
Γ　　 ＝ ― ｇ　 （――― ＋ ――― − ――― ）
　μν　　２　　　　　 ν　　　　μ　　　　ρ
　　　　　　　　　　∂ｘ 　∂ｘ　 ∂ｘ
</PRE>

メモ帳にでもコピーすると見れる形になると思う。

ならなかった。空白が自動的に変換されているのでは？

特殊相対論だけでは、双子のパラドックスが出てきます。
つまり、どちらから見ても相手の時計のほうが遅れているように見える
ことです。　この問題を解決するには、一般相対性理論しかありません。

トンデモ系の本を読んで信じ込んでしまった可哀想な人。

悪いんですけど、相対性理論の教科書の初歩を読んでください。

悪いんですけど、相対性理論の教科書の初歩を読んでください。

> どちらから見ても相手の時計のほうが遅れているように見える

「同時性」がずれるのだからあたりまえ。特殊相対論から見ても
パラドックスではない。そんなことも書いてない教科書は「トン
デモ系」。

式書いて示してやればいいんだが、日ごろそんな勉強してないので
本を読んで復習しなおさねばならん。ちと面倒なので待ってくれ。

双子のパラドックス自体を誤解されているようなので、簡単に説明します。
慣性系のみで考えれば良いんだよ、というアプローチもありますが、多分
多くの人が消化不良になり、誤解のもとになると思いますので…

昨夜も同じような内容を書き込みしたのですが、サーバーが受け付けてくれ
なかったようです。　代わりに４３と４４が２重になってしまいました。

２つの慣性系（時間をｔとｔ’）がお互いに相対速度ｖで運動している場合、
相手の時間が相対速度に応じて進み方が変わり、ｔの慣性系からｔ’を見ると
　　ｔ’　＝　√（１ーｖ＾２／ｃ＾２）・ｔ
となります。　一方、ｔ’の慣性系からｔを見ても
　　ｔ　＝　√（１ーｖ＾２／ｃ＾２）・ｔ’
となります。
２つの慣性系がそのままの運動を続ける限り何も矛盾はありません。
つまり、相手の時間を知るためには光のやりとり等の手段に依らざるを得ない
のですが、情報伝達の最大速度はｃであり、思考実験を行ってみてもお互いに
相手の時計が遅れていることを確認することになります。

ところが、２つの系が運動の後ぐるっとまわって再び原点が一致した時、
１つの慣性系になり、２つの時計を直接比較できます。
このとき、どちらの時計が遅れているの、というのが双子のパラドックスです。

宇宙船が地球から飛び立って戻ってきた場合、地球の人はずっと動いていた
宇宙船の人が若いと思います。　一方、宇宙船の人は、相対運動として
地球のほうがずっと動いていたわけで、地球の人のほうが若いと思います。
双子が再会したら、どちらが若いか、これがこの問題です。

特殊相対論では相対速度のみで議論しており、どのような軌跡を描こうとも
慣性系ｔから見たｔ’は
　　ｔ’　＝　∫√（１−ｖ（ｔ）＾２／ｃ＾２）ｄｔ　＜＝　ｔ
となり、慣性系ｔ’から見たｔは、
　　ｔ　＝　∫√（１−ｖ’（ｔ’）＾２／ｃ＾２）ｄｔ’　＜＝　ｔ’
原点が一致してのこの差は矛盾となります。

この矛盾は、特殊相対論が慣性系のみを扱い、加速度系を扱えないということ
から由来し、実は矛盾ではなく加速度系である宇宙船の固有時間が計算不可能
ということになります。
実は上の計算にはトリックがあって、宇宙船が行って帰ってくるとき、今までの
慣性系を乗り換えて別の慣性系に移ります。　特殊相対論では（加速度により）
慣性系を乗り移ったとき、固有時間がどうなるか、どう引き継がれるかを
記述していません。

とはいえ、上のように宇宙船が行って帰ってくることはある訳で、その場合
双子の歳はどうなるか、という疑問はあります。
特殊相対論では、地球（＝実験室系）≒　慣性系　の結果のみ考えればいい
というのが正しい答えです。　（多くの教科書がこういうさらっとした
書き方をしていますが、消化不良になっている人が多いのでは？）
宇宙船の固有時間を計算するには、加速度系も取り扱う一般相対性理論が
必要で、ちゃんと計算すると上の地球の結果と同じになります。

そんなことはちゃんとした教科書を読んだことのある人はみな
分かってることでしょう。

> 多くの教科書がこういうさらっとした
> 書き方をしていますが、消化不良になっている人が多いのでは？）

消化不良になっていたのはトンデモ系にだまされてたあなたぐらい
です。

まず、
> 特殊相対論だけでは、双子のパラドックスが出てきます。
などと うそ800 を書いたことについて謝罪すべき。

一般相対性理論の例題として「双子のパラドックス」を議論していたんですよ！

レスをつける時は、前後の文脈をちゃんと読んでからにして下さい。
じゃないと、あなたの理解度が疑われますよ。

前後の文脈によって、
> 特殊相対論だけでは、双子のパラドックスが出てきます。
の真偽がかわるわけないでしょう。おほ。

うそつき! うそつき! うそつき!

あなた、まだ理解してませんね。

上に書いてあるようなことは最初から全部知ってたよ。

問題は
> 特殊相対論だけでは、双子のパラドックスが出てきます。
等と書くと「特殊相対論には双子のパラドックスに見られるような
論理的欠陥があり」、それは一般相対論によって補われなければ
ならない。といういみになるということだ。

ああ、頭の悪い奴とはなすのは疲れる。

だから解ってないじゃない。
ニュートン力学も、特殊相対性理論も、近似的な法則で、使い方、
使う条件をはっきりさせる上において有効なんですよ。

特殊相対性理論を金科玉条のように思ってしまうと大間違いです。

は?

だからさぁ、特殊は「慣性系同士の相対性」が物理的な主張で、そ
れをわきまえずに非慣性系にも拡大適応して「パラドックスだ」と
かいってるのがそもそものまちがいなわけ。(トンデモ本にもよく
ある。) そこまではわかってるのに、
> 特殊相対論だけでは、双子のパラドックスが出てきます。
の誤りに気付かんとはなんと頭の悪い奴。

>特殊相対性理論を金科玉条のように思ってしま
っていたのはあなたのほうだよ。

どこかに、審判いないの。
それとも、単なる、話の行き違い。。

41 のようにかけば 42 のようにかかれてもいたしかたあるまい。

非慣性系萌え〜

いかに相対論を正しく理解していようとも
それを正しく人に伝えることが出来なければ
理解していないのと大差なし。

結局議論の争点は言葉の解釈の相違じゃないでしょうか。
実りのある議論とは言い難いです。

パラドックス（逆説）
衆人の予期に反した、一般に真理と認められるものに反する説。
また、真理に反対しているようであるが、よく吟味すれば真理
である説。「急がば回れ」の類。

自然科学でパラドックスという場合、理論そのものに欠陥がある
のではなく、パラドックスの方が間違ってるのがほとんどであり、
この言葉はそのようなケースに普通使われます。
例：ゼノンのパラドックス
その使い方であれば、41の文章は正しい。　

＞５９
その通りだと思います。
僕は生物やなのでこういった話はよくわかんないですけどね、
いくらわかっているって主張しても相手に真意を伝えられるように
説明できないってことはわかってないってことでしょ。
どっちみち揚げ足取りに熱中して論点を見失うのは見苦しい。

よくわからねえが、
たしかに、揚げ足取りやさつま揚げや厚揚げばかり喰ってちゃいかんな。
コンブも喰わねえとな。
その点、俺の先生は偉いぞ。
サル相手にシュワルツネッガー方程式までもってきたからな。

41は
> この問題を解決するには、一般相対性理論しかありません。
とまで書いているのだから、その解釈でも問題を生じる。

53 は、
＞＞特殊相対論だけでは、双子のパラドックスがでて来ます。
＞等と書くと「特殊相対論には双子のパラドックスに見られるような
＞論理的欠陥があり」、それは一般相対論によって補われなければ
＞ならない、といういみになる
などと うそ 800 を書いたことについて謝罪すべき。

そもそも、53 さんの解釈では「双子のパラドックスなど無い」のですか、
それとも「双子のパラドックスは別の理論の論理的欠陥による」のですか ?

なんか「国立大独立法人化 #3」みたい。

時間の遅れの計算は特殊相対論の範疇です。
一般相対論はエネルギーが時空の計量をゆがめることを表します。
計量のゆがみ、曲率の存在を計算に必要としない場合は
一般相対論はいりません。

測地線方程式なんかが使われることがあるのは、
力の効果をまともに計算することをさけて、
計量の変化に押し付けようという理由によるもので、
まったくの邪道です。

＞1
だいたい皆さんの話でいいと思いますが、ワケワカラン人に。

1さんみたいな疑問は当然起きるわけで、その時に逆に考える。
つまり、そういう明らかに光速を越える状況において、
光速を越えない様にするにはどうすれば良いか。
それが、相対性理論の出発点なのです。
そして、その結果として、時間が遅れたり長さが縮んだりするのですね。

きみ 41 よんだ? よんでないでしょ。

うそ 800 とアラビア数字で書くとなんか間抜けな感じがする。

「双子のパラドックス」を特殊相対性理論ではうまくパラドックス
では無いことを説明できない、ということは確かですよね。
（ロケットの側の計算をしちゃいかん、という以外には）

一般相対性理論を使うとパラドックスではないと証明できますが、
詳細は内山龍雄の本「相対性理論」（岩波全書）を参照下さい。

以上！

なんで〜？
世界線上で始点から終点まで固有時間を積分したら
明らかに違ってるじゃん。

地球の人よりも、動いていたロケットの人が若いのはあたりまえ。
これは「双子のパラドックス」ではありません。

「双子のパラドックス」の意味については、４７をみてね。

>この矛盾は、特殊相対論が慣性系のみを扱い、加速度系を扱えないということ
>から由来し、実は矛盾ではなく加速度系である宇宙船の固有時間が計算不可能
>ということになります。

↑これ間違ってると思う。世界線だけ見てたら計算はできる。

そうじゃなくて、行きにロケットから地球を見ると自分より
時間の進みが遅れているように見えるのに、折り返してから
見ると、地球の方が進んでいるように見える。折り返すときに
地球の時間がものすごく進むように、ロケットからは見える
はずだが、それが特殊相対論では定量的に計算できないのでは？
という話しだと思います。

座標の線形変換を考えるだけで、それも計算できちゃいそうな
気がするんだけど。。。

世界線でみる、と言うことは地球の慣性系を基準に見ることですね。
慣性系を乗り移って飛ぶところは、その慣性系の軸に平行な線を地球の
慣性件の軸に伸ばし、次の慣性系の軸に平行な線が交わるところまで
飛ばせばいい。　計算上はそうですが、本質的には地球から見ている
ということです。