場の量子論 Part9

X= （√s）＊{ e^t+e^(-t) }/2 Y=（√s）＊{ e^t-e^(-t) }/2
X^2−Y^2＝S
これが[√ｓ<X<(S+1)/2] 区間で ｛（S+1）/2,(S-1)/2｝しか格子点を通らないことを示す
e^(it)=cost+isint e^t=[cost+isint]/(e^i) e^-t=[cost-isint]/(e^i)
X=(√S)cost/e^i Y=(√S)isint/e^i
つまりe^(2i)=1　　e^i=1
t=arccos[（S+1）ie^i/(2i√S)] t=arcsin[（S-1）e^i/(2i√S)]
つまり(2i√S)を斜辺に持ち（S+1）ie^iと（S-1）e^iを他二辺にもつ直角三角形

｛（S+1）/2-√S｝＞K＞０のあいだで整数Kの数字を変動させて一つもYに整数をあたえないときSは素数
[（S+1）/2-K]^2-S=Y^2
{(S-1)/2}^2-(S+1)K+K^2=Y^2
同様に[（S-1)/2]>Y>0の間でYにいかなる整数の値をとらせてもKが整数にならないのならSは素数
K={ (S+1)±√((S+1)^2-4{(S-1)/2}^2+4Y^2) }/2
((S+1)^2-4{(S-1)/2}^2+4Y^2)=4S+4Y^2
√（S+{(S-1)/2}^2-(S+1)K+K^2）が整数でなければならない
{K-（S+1）/2}が整数
{(S-1)/2}^2-Y^2＝((S+1)-K)K
({(S-1)/2}-Y)*({(S-1)/2}+Y)＝K*((S+1)-K)
YもKも整数なら左辺はKを因数にもつ数値　右辺は({(S-1)/2}-Y)を因数にもつ数値
((S+1)-K)/({(S-1)/2}-Y)は整数で({(S-1)/2}+Y)/Kも整数になる
このときSは素数でない