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どん詰まりなので質問させてもらいます

剛体の運動に関してなんですが
角速度ベクトルωで回転する座標系で基底e_1,e_2,e_3を使ってベクトルを

Σa_ne_n （a_nはスカラー）

で表現した時に微分作用素

d^*/dt(a_ne_n) = d/dt(a_n)e_n

を定義すると

d/dt = d^*/dt + ω× (×は外積)

と表せられると習ったんですけど

座標系を剛体に固定して、座標系の回転＝剛体の回転にするとm_iの質点がある座標r_iに関して

d*/dt(r_i) = 0

が成り立つけど、角運動量Lをωを使って

Σm_ir_i×(ω×r_i)

とするとまずこれにd/dtを作用させると

Σm_id/dt(r_i×(ω×r_i)) = Σm_id/dt(r_i)×(ω×r_i)) + m_i(r_i×d/dt(ω×r_i))

= Σm_iv_i×(v_i) + m_i(r_i×d/dt(ω×r_i)) = Σm_ir_i×(d/dt(ω)×r_i) + m_ir_i×(ω×d/dt(r_i))

= Σm_ir_i×(d/dt(ω)×r_i) + m_ir_i×(ω×v_i)

となって、次にd^*/dt + ω×を、d/dtω = d^*/dtωが成り立つ事を考えて作用させると

Σm_id^*/dt(r_i×(ω×r_i)) + m_iω×(r_i×(ω×r_i))

= Σm_ir_i×(d^*/dt(ω)×r_i) + m_iω×(r_i×(ω×r_i))

=Σm_ir_i×(d/dt(ω)×r_i) + m_iω×(r_i×v_i)

となるけど、そうなると

Σm_ir_i×(d/dt(ω)×r_i) + m_ir_i×(ω×v_i) = Σm_ir_i×(d/dt(ω)×r_i) + m_iω×(r_i×v_i)

より

Σm_ir_i×(ω×v_i) = Σm_iω×(r_i×v_i)

でiを一個しか取らないようにすれば

r×(ω×v) = ω×(r×v)

が成り立っちゃうけどこれってどこがおかしいんですかね…