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m(d^2x/dt^2)+kx=0のエネルギ保存則を用いた微分方程式の解法についてなんですが、

まず上記の式の両辺に(dx/dt)dtをかけて
m∫[0,t](d^2x/dt^2)(dx/dt)dt+k∫[0,t]x(dx/dt)dt=0
これをdxで積分して
(m/2)(x')^2(t)-(m/2)(x')^2(0)+(k/2)x^2(t)-(k/2)x^2(0)=0
(dx/dt)=vとおくと
(m/2)v^2(t)+(k/2)x^2(t)=(m/2)v^2(0)+(k/2)x^2(0)=E
となりエネルギ保存則の式が出たのですが、ここから最大値を使って
x=x0cosωt+(v0/ω)sinωtを導くには具体的にどうやればいいですか？(ω^2=k/m)
保存則の式からsin,cosが出てくるのは、周期的になるから予想してやってみたら実際にできてx=Csinωtみたいなのが出てくるのでしょうか

上の式で写し間違い、脱字がありましたら指摘だけでなく、導き方についても教えてもらえると幸いです