虚数は必須か？

>>425
完全に置き換え可能なんだから同じようにすればいいだけでは？

>>427
だから行列でどうやって留数取るのよ

2x2行列
E=[[1,0],[0,1]]
I=[[0,-1],[1,0]]
を用いて、複素数a+biに2x2行列aE+bIを対応させる。

i^2=-1⇔I^2=-E

など、四則演算は両者で完全に一致する結果を与える。
その極限操作である微分・積分も同様。

複素数でやっていた操作を上記の対応にもとづいて置き換えるだけ。

2×2の行列の全体は4次元の多様体になるけど、
留数定理における積分路の任意性はどうなる？

>>430
>>429 が2×2の行列全体に見えるのか

>>431
>>429は、どこにも行列の集合に関する話なんてないと思うが。
なぜそんなことを聞く？

>>2,424,429 は位相部分の U(1) を SO(2) に置き換えろと言ってるだけでしょ？
なんで >>430 は「2×2の行列の全体」を持ち出したの？

> >>2,424,429 は位相部分の U(1) を SO(2) に置き換えろと言ってるだけでしょ？

そんなこと全然言ってないだろ……

>なんで >>430 は「2×2の行列の全体」を持ち出したの？

留数定理を考えるなら積分路は必然で、
そのためには複素数体に対応する行列の集合を考えないといけないだろ。

しかし、答えは一つしかないからすぐに返ってくると思ったのに
なんで見当違いのU(1)だSO(2)だの話になるんだ？

>>434
> 複素数体に対応する行列の集合
>>429 に書いてあるが、
{ [[a,-b][b,a]] | a,b ∈ R } は何次元の多様体？

>>435
2次元

>>430 の一行目と二行目の関係がわからん。

留数氏は消えたか？

OK、分かった。

C を複素数体、M を 2×2 の実行列全体とする。z = a+bi ∈ C に対して
写像 φ: C→M (φ(z) = [[a,-b][b,a]] ) を定義してから M を Imφ に制限して、
C のすべての性質を Imφ に導入して万事問題なしとするわけだ。

晴れて複素数は不必要となった。
ならば複素数を一切使わず、Imφ と、そこに含まれる行列のみで定積分

∫1/(x^2+1)dx (積分区間は-∞≦x≦∞)

を求めてみてくれ。
（おれはそんなこと真っ平御免だがな）

>>439　は複素数の有用性を主張したいみたいだが、ちょっとピントがずれてる。

>晴れて複素数は不必要となった。
とあるが、複素数とは例の代数構造を備えた集合のことを言うのであって、同型なものならそれを複素数と呼んでも一向に構わない。
従って「複素数は不必要となった」のではなく「複素数と呼んでもよい対象が、行列環の中に見つかった」と言うべきだ。

>ならば複素数を一切使わず、Imφ と、そこに含まれる行列のみで定積分

を計算することはきわめて簡単。今までa+ibと表現してきたものを対応する行列に書き換えればいいだけ。
しかしそんなことしてもね。せっかく実数と同じ感覚で扱えるような表現をわざわざ放棄する気はないよね。
ということで
>（おれはそんなこと真っ平御免だがな）
という部分にのみ同意。

それはさておき、虚数不要論者は代数構造のもつ有用性がわかっていないと思われる。
虚数同士の演算が有用なんであってそこから一つの数をもってきてそれ自体に何か意味があるのかを問ってみてもしかたない。

目虚数字は月窒か？

ある時間において三つの空間軸で示される点に存在するエネルギーが四元数なわけで
空間が実数と考えているのがそもそも間違い、空間は虚数

ミンコフスキー時空の時間成分を虚数にしてユークリッド的に扱うというのは
以前は盛んにやられていた（最近はあまりないけど）が、空間を虚数にして
考えるというのは聞いたことない

> 空間は虚数
Hamiltonの四元数についての最初の解釈（あるいは物理的応用）がそんな感じだったという話は聞いたことがある。
3次元空間ベクトルの基底を i j k と書くことがあるのはその名残りだそうな。
しかし>>442はいつの時代の人間だ?
今となっては、四元数の3つの虚部の物理的解釈は、3つの方向というより3つの回転軸と見るほうが多いと思うが。

>>444
そのうちこの考え方も古くなるんだろな…

実数も概念なんだから必須といわれると微妙
便利なもの使えばよろしいと思うんだが

数字自体、自然界に存在するものでは無いから、まあそうなんだろうけど、虚数は計算の途中に出てくるだけで気持ち悪いという気持ちもわかる。
何だろう、このモヤモヤ感は。

二つの独立な物理量によるものさしがあったら、
その二つのものさしで測った量の間にはexp(iδ)の位相因子比の違いがあっていいはずだ。
普通こんな位相因子を気にしなくていいのは、
人間はδがほぼ0と仮定したり、絶対値で代用しているからだろう。
ただ単に測定上のノイズと言って目をそらしているだけかも知れない。

実数じゃない複素数と有理数じゃないp進数のどちらがより気持ち悪いのかな？

気持ち悪いと思うのはたぶん
もっとしっくりした数式が在るはず
死ぬ前に思いつくんだ

「虚数は必須か？」というスレタイに即して改めて考えてみる。

今はともかく昔のＣ言語には複素数型はなかった。
そこでなんとか実数で代用したり自分で複素数型を定義してしのいだりした。

なくても他のもので代用できるという意味では、必須ではないのかもしれない。
しかし、自分で作ろうが形を変えようが虚数は虚数だというなら、
そういうものを定義する必要が生じること自体「虚数は必須」だとも言える。

スレタイの「必須」という語をどう解釈するかによって表面的な答えは変わるが、
何らかの形で複素数が必要とされていること自体は確かだろう。

数学は言葉だ。物理の世界では、数学は自然現象を記述する最強の言語である
言葉はわかりやすく、美しい方が良いに決まっている。
ならば、虚数は有用なツールであることは間違いない
経済学で利用される数学は歪だとよく言われる
それは、実数の世界、つまり半分の世界しか見ないからである。
（経済学でも虚数を使うことはあるだろうが、ほとんど利用されない）

あはははは

　何でも、クォータニオン(クオータニオン？)にも派生するらしい。
虚数って昔、叩かれたよ。というよりも、
０とか、負の数も散々叩かれたという記録が。

ホーキングは、宇宙に始まりがあった事を否定する為に実数を虚数に置き換えた計算で宇宙の歴史を説明したけど、彼自身、この理論が誤りだった事を認めているからね。
彼がロジャー・ペンローズと共著で出した本で告白している。
自らの理論が宇宙の始まりを現実的に表現していないことに彼自身気付いているよ。

目虚数字は月窒か？

直行関係を自然に扱えるからあったほうがいい。

複素解析をやりましょう。虚数のなんたるかがよくわかりますゆえ。

光の伝搬現象なんかも、虚数項だけ取り出すとトンネル効果起こしてたりと意味があるんだけどねえ

複素数導入で　粒子と波が両立する

>>460
それって電気と電子の流れる方向が違うが両立するという詭弁をもってきたのと
同じだろ。
その考えなら将来にオカルトと物理は両立するとかいいだしかねない。

電気と電子の流れる方向が違うが両立する、のどこが詭弁なのかもわからなければ、
それと460のどこが同じなのかもわけわからん

全部行列に代用しちゃうと留数の任意性とかトンネル効果とかが説明付かなくなる気がするんだけどどうなんだろ

前にも同じこと言ってる人がいたけど、代数構造としては同型なのに
なぜ行列だとできない気がするのかわからん

地動説と天動説の見え方が違うが両立する、のどこが詭弁なのかもわからなければ、
それと460のどこが同じなのかもわけわからん

>なぜ行列だとできない気がするのかわからん

分からない？
馬鹿馬鹿しいから出来ないんだよ。

「馬鹿馬鹿しくてやってられない」というのと「説明がつかない」は
同じ「できない」でも意味が違う。
なぜ行列だと「説明がつかない」気がするのかがわからない

最初は素朴に「複素数の代わりに行列を使えばいい」と言っていたからだよ。
複素数の全体と行列の全体は同型ではない。

ごめん。>>463を無視していたことに今気づいたわ。
俺は自分が>>464の言うところの「前にも同じこと言ってる人」だと思ったから
前のことを思い出しながらレスした。

463の言おうとしていることは俺も分からない。

>>469
無能は本屋で立ち読みするていどの知識で我慢しておけ。

>>468
そもそも最初の >>2 からして
> 複素数の全体と行列の全体は同型ではない。
なのは承知の上で >>429 のような制限された行列の空間を考えていたと思うが。
それを >>430 が何か勘違いしたんだろう

突然割り込み→ヒマなかた→16色の奇妙な画像集→http://iiii.no-blog.jp/blog/

虚数がないとシュレーディンガー方程式がなりたたないよ

＞虚数の世界は、人間には認識できないという可能性があるんでないのかな？

くらいの、謙虚さを持てよ。

＞くらいの、謙虚さを持てよ。

虚数だけに。

どういう意味で認識と言っているかによる。
実数の世界だって人間には認識できない、とも言えてしまう。
実数と虚数の間に恣意的に認識できるできないの線を引くのなら
それは単なる言い換えであって何も言ってないのに等しい