虚数は必須か？

では無理数は必須なのか？と考えてみる。
いくら数直線上の点として無理数が存在し、役に立つからといっても、
所詮実用になると、最後の計算は有限の小数点なり分数なり、すなわち
有理数で行う。
人のアタマで行う最後の計算は、つきつめて言えば自然数の範囲の加算
とその逆算（減算）そして九九の演算のみで十分ことたりる。
四則演算を自由に行うため、数の世界を有理数まで拡張したわけだが。

同じことが、虚数についてもいえまいか？
いくらガウス平面上の点として虚数が存在し、役に立つからといっても、
所詮実用になると、最後の計算は実数の範囲で行う。

ここでいう「（数直線やガウス平面の上の）存在」やらは、『3』次元
空間に生きている我々に都合の良い、あくまでイメージ上の世界のこと。
そういう俗世の世界『観』を超えて構築される数学において、そもそも
存在『感』は本質でない。

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>>271
んな屁理屈いってたら負の数は必要かって議論もできちゃうだろ

>>272 既にしてるから、釣りにもなってない。
＞人のアタマで行う最後の計算は、つきつめて言えば自然数の範囲の加算
＞とその逆算（減算）そして九九の演算のみで十分ことたりる。

>>271は、完全な回答にはなっていないだろう。あとはよろしく。

虚数の計算は実数の行列計算で代用できるから虚数なんていらない

複素数そのものも１×２行列なのだが…

i=[ 0 1]
[-1 0]

>>276
２ｘ２行列とみたほうが簡単。行列の積がそのまま使えるからな

複素数で表示されている方程式こそが、世界の本当の姿をあらわす。
物理量が実数になるのは人間が本来は多体系なものから単体を切り出し、
複素数の世界から実数の位相を好んで物理量として拾っているから。

虚数のｉとは回転演算子
これがないと物事は回転しない

>>271 「本質でない」というのは、確かに数学の立場では真だろう。
それはともかく、物理学において数は、観察など何らかの（少なくともイメージ上で）「見える
形」の世界との対応付けが不可欠だろう。
なぜなら、そんな具象に潜む「数理的側面」を抽象化した数学という体系を、道具として利用
する価値は、そこが基本だから。

数直線は長さとして物理的に見えるが、果たしてガウス平面が「物理的に見える」ものだろう
か（もっとも、数直線と同様に幾何学関係かどうかは問題にしない）。
私には、未だ見えないし、「見える」という人を知らない。
「見える」というなら、そんな事象が客観的に「見える」方法を提示してもらいたい。

神はいとも崇高にその姿を現した。
存在と非存在の間に生まれた奇跡的産物

>>282
バカの脳内はお目出度いけどスッキリしない事がよくわかる

数直線なら「見える」が複素平面だと「見えない」という、その線引きがわからん。
どっちも「見えない」ならまだわかるが

単なるニュートンの運動方程式でもexp(iθ)の位相因子が付くのは
実は自然なことなんじゃないのかな。
お互いに独立な交流電気回路間で方程式に位相因子を考えるのは不思議じゃないでしょ。
普通はそんなのいらないけど。
古典力学の3体問題が解けないのは2次方程式を実数だけで解こうとするみたいなこと
なのかなと昔からなんとなく思っているけど、専門じゃないからそこまでだ。

>>284
要は、文字通り「見えるもの」と、その「数」を「対応づけ」られるか、だろ。
自然数で以下のように導入したように。

● 1 （はじめに数"1"あり）
● 1 + ● 1 = ●● 2 （数"2"の定義または導入）
●● 2 + ● 1 = ●●● 3 （数"3"の定義または導入）
（以下、略）

>>286
それだと見える見えないの線引きは、実数と複素数の境界ではなく
０や負の数のところに引かれそうなもんだが。やはり数直線なら
「見える」が複素平面だと「見えない」という線引きがわからん。

数直線には、ものさしとは違って、原点（0）も負jの数もある。

だから、数直線も「見えない」という主張ならまだ理解できるという指摘なのだが。

そもそも数直線には０や負の数もあるから何だというのだろう？
複素平面には虚数単位iもあるぞ？結局、数直線なら「見える」が
複素平面だと「見えない」という線引きの説明になってない。

ガウス平面は、確かに2次元平面としては見える。
つまり我々が知っている2次元平面には、座標などという二つの実数（座標）が対応付け
られ、それらは測ろうと思えばいつでもセットとして現れる。
その実数の「測り方」は、直交座標でも、円座標でも、結局は1対1関係で定まる。
物理的に見えるというのは、こういうことだろ。

しかし2次元平面を、ガウス平面やら複素平面やらといいかえて、勝手に絶対値、位相と
いいかえたところで、対応付けられたものとしては「二つの実数のセット」とだけしか見え
ない。
そこには「新たな数」というに値するもの（意味）が見えない。
二つの自然数のセットから分数（有理数）を定義したときは、比の値、などとして同じ土俵
（数直線）上に見えるが。

実軸と虚軸などとイメージ上に逃げるのではなく、この（物理的に見える）世界の土俵に
立って、「単なる二つの実数セット」以上の意味が見出せない限りは、「見えない」のだ。

目に見えるように十分明らかな意味を、この星の人類は誰も与えきれていない。

要するに自然数同様、数直線上に位置づけできるか否か、
言い換えれば全順序集合か否かを恣意的に基準にとってるだけでしょ

例えば、
「自然数や整数、あとは有理数にしてもたかだか可算個なのに、
それを遙かに凌駕する量の実数なんて、明らかな意味を与えられない」
こういう主張に対してはどう反論するの？
全順序集合を基準にとる妥当性は？

>>290
複素数に「二つの実数のセット」以上の意味を勝手に期待して、それが見えないとわめいてるだけでは？
でないなら、「二つの実数のセット」以上の意味って具体的には何？

>>291 全順序集合でなければならない、なんて書いてないがなぁ。
一見、その存在がもっともらしい数直線に対応づけられる実数も、所詮は数学上の
理念だから、この（物理的に見える）世界が実数的かどうか、なんてのはナンセンス。

>>292 「具体的に」それが「見えない」ってんだろが。

>>293
じゃあ『「新たな数」というに値するもの（意味）が見え』る境界線をどこに引くつもりなのさ
実数と有理数？有理数と整数？整数と自然数？

自然数の世界から見れば、
複素数は数直線に載らない（＝全順序でない）っていう「おかしな」性質持つのと同様、
実数には「完備性」っていうおかしな性質が、
有理数には「稠密性」っていうおかしな性質が、
整数には「最小元の非存在」っていうおかしな性質があるわけで

何でそこで複素数を特別視するのかということが問われているのだよ

インド人が発明するまで０は数ではなかった。
マイナスは数ではなかった。
小数は数ではなかった。
分数は数ではなかった。
無理数はピタゴラス学派は数と認めなかった。
しかしこれらはみんな数直線の上にある。
いわば地面の上を探せばみんなある。

ところが虚数はこれと直交する軸にある。だから数直線の上にはない。

いわば、地面の上を探しても見つからなかったが、ふと上を見上げたらそこにあったというかんじかな。

２次元世界から、３次元世界を説明するのは困難。
４次元世界を説明するには１０次元とか１１次元から見れば
超わかりやすい。

虚数は下の次元から上の次元を見上げた時にふっと見えたりするようなものかな。

>>294は「おかしな」という勝手な感覚で表現されても釣りとしか読めん。
「見える」かどうかって、もっと客観的だろう。>>295が書いているように。
問題は「ふと〜」のところ。
目に見えないものを無理やり記号化して論理立てたら、見えたといって満足できる。
それは、本来は数学屋だけに許された満足。
いつしか物理屋・技術屋がマネだして、「見えた」といいきかせ（られ）ては伝統になった。
つまり「正統な」文化人と呼ばれるものの中にも、亜流が存在するわけだ。

>>294は数の成立概念が「正統な」文化人によって、今も脈々と受け継がれていることの
証だが、結局肝心なところでテキトーなイメージの世界に満足しているっぽいのが玉に
傷。>>294が本流か亜流かは知らないけど。

あ、>>297の後半のアンカー2つ（294）は>>295の誤り。スマソ

>「見える」かどうかって、もっと客観的だろう。>>295が書いているように。
>問題は「ふと〜」のところ。
その判断基準のどこが客観的なんだよ、恣意的にしか見えない
なぜ1次元で表せないか（俺は一貫して全順序でないと書いてるけど）を特別視するのかと

>>299のいう「1次元で表せ」る数、ないし数直線上の点全体の数、という分かったような
あいまいな数を、ハッキリ（数の体系で）いえば、それは実数の集合。
だから、それを包含する数として定義される複素数が、そこ（数直線上）にないのは明白。
よって複素数が1次元で表せないことなんかへ疑義を唱えている「特別視している」ように
は、どこも読めないが。
長さという基本的な物理量で対応づけられる（数直線上の）実数はともかく、ガウス平面と
いうのは2次元平面という数学上のイメージの域を出ていない、という認識が>>281には
あって、だからこそ物理的に見える可能性（含む物理事象における具現化）を求めている
のだろ。
>>299が本流か亜流かは知らないけど、ワカランカなぁ。

>>300
>だから、それを包含する数として定義される複素数が、そこ（数直線上）にないのは明白。
そんなことは誰も疑ってないだろうが

それでは、なぜ「数直線上にあること」を特別視するのか
現実の世界が完備どころか稠密である保証すらないのに
なぜ、あくまで実数や有理数は「（物理的に見える）世界の土俵」に立っていると言え、
複素数は言えないのかという点に関して、全く説明がないと指摘している

加えて、なぜ「長さ」という物理量を基本として特別視するのか
あるいは、基本の物理量と基本でない物理量の区別はどこにあるのか
長さが基本の物理量であるが、複素誘電率や波動関数が基本的でないといえる論拠は何か


複素数というものと実数、有理数等の間に線を引いているものの、
その線引きは極めて恣意的であり、何の根拠もないと指摘しているのだ

＞それでは、なぜ「数直線上にあること」を特別視するのか
「特別視」なんてしてなくて、物理的に見える（数直線の例で分かるように）、としか読めないが。

＞現実の世界が完備どころか稠密である保証すらないのに
承知（同意）。

＞なぜ、あくまで実数や有理数は「（物理的に見える）世界の土俵」に立っていると言え、
＞複素数は言えないのかという点に関して、全く説明がないと指摘している
「複素数も言える」としたら、数直線の如き例を一つでも挙げてもらおうかな。
それこそが、>>281などで求めていることだから。

＞加えて、なぜ「長さ」という物理量を基本として特別視するのか
「特別視」なんてしてなくて、数直線の例では、そこにある数の対応付け（量）は
〈長さ〉という具体的な物理「量」（一般に実数）として「見える」事実を述べただけ。
それで〈長さ〉は「基本」物理量と定められているのも事実で、あえて添えただけ。

＞あるいは、基本の物理量と基本でない物理量の区別はどこにあるのか
それこそ恣意的な区別の問題かもしれんな。

＞長さが基本の物理量であるが、複素誘電率や波動関数が基本的でないといえる論拠は何か
「基本的でないといえる」なんてどこをどう読んでも論じてないなぁ。
流れに投入される釣り針としては面白いが、>>281などで求めている範疇でないね。

＞複素数というものと実数、有理数等の間に線を引いているものの、
＞その線引きは極めて恣意的であり、何の根拠もないと指摘しているのだ
問いはそもそも「客観事実」から来るものなので、恣意的とか根拠とかない。
実数に対して例えば長さ量の如く、観測できる量は、恐らくすべて実数だ。
ならば、観測できるできないを超えてでも、何かしら「物理的に見える」対応付けというものが、
一例でも見つからないのかなぁ、という問い。
実軸・虚軸・ガウス平面などという単なる見かけのイメージを超えた対応付けを>>281などが
求めているのだろ。

>>300
>>長さという基本的な物理量で対応づけられる（数直線上の）実数はともかく

長さという基本的な物理量を認めるのなら、別に直線上だけじゃなくてもいいんじゃない？

例えば、マイナス方向というのは、歩いていく方向を１80度変えるということ。
同様に虚数方向は90度方向を変えて歩きはじめること。2回変えるとマイナス(180度)方向になる。

>>302
つ複素平面

>>292
全ての複素数は2元数であるが全ての2元数が複素数であるというわけではない以上
複素数には「二つの実数のセット」以上の意味がありますよ

>>305
そんな一般的な意味の話ではなくて、今は数直線なら「見える」が複素平面だと「見えない」という
線引きの話なのだから、実数に対する数直線には見えているけど複素数に対するガウス平面には
見えていないという「意味」って具体的に何なのかを聞いている。

>>305
虚数部分と実数部分の２つの実数のセットと捕らえるから判り難くなるような気がする。
本質的には角度（θ）と絶対値（ｒ）で現すべき数なんだと思う。

プラスとマイナスというように、数に「方向性」を加味したのと同様に、あらゆる方向に数
えていい数として複素数が誕生した。

その中でも、２次元の、いわゆる複素数が重宝されるのは、>>223で述べたような理由
で振動という物理現象を記述し易かったからだと思う。