複素関数って何の役に立つの？

複素関数って役に立つの？
こういう漠然とした学問って勉強に対するモチベーション
を維持できないからすっごく迷惑なんだけど！
複素関数がなかったとして何か生活で困ることある？

無い。もうやめていいぞ。

複素関数って、山ほど使うだろ。物理数学の中で一番使うと言ってもいい。

>>3
たとえば？

>>4
工房でつか？(；･∀･)

>>1
社会生活で困ることは無いよ。
現に社会人の多くは複素関数論なんてしらないしね。

最も下らんお答えを致しましょう。
物理の観測量はもちろん実数でないとまずいのですが、導出するための
裏システムを記述するには複素の構造から持って来た方が都合がいいの
です。

1は何の役にも立たないので氏んでください

実数関数の定積分を簡単に求められる場合があります。

1はまず数学板で聞いてこいよ

>>1が複素関数を勉強するモチベーション
を維持できなくても誰も迷惑じゃないんだけど！

つうかここできいてもまともに答えられるやついねぇだろ

複素関数を使わない程度までの物理しか勉強してないからわからんだけだ｡
もっとやってきゃわかる。

「複素数」が役に立つのはアタリマエとして

「複素関数」がよく出てくるのは
>>9が言うように実軸上での定積分を計算するとき。
複素平面上へ積分路をとって考えると見通しがよくなることが多い。

ていうかコレしか使ったことないかも・・・。

>>1
複素関数よりまず言葉遣いを覚えなさい。

複素関数なしで、
　・フーリエ変換
　・ラプラス変換
　・波動/電磁気/量子力学
などの基本的な物理の道具立てをどうするつもりか、逆に聞かせて欲しい。 >>1

　

>>16
>>1の言っているのは複素関数解析のことだと思われ。
どっちでもいいけどな。

さて，

(sin z)^2 + (cos z)^2 = 1

であるから，適切に因子を選ぶと，

(cos z + i sin z)(cos z - i sin z) = 1

と分解される。これらの因子は虚因子ではあるが，いくつかの弧を組み合わ
せたり，弧と弧を乗じたりする際にきわめて注目すべき役割を果たす。

>>1よ、「維持」ってのは既に持っているものを保ち続けるときに使う言葉だ。
お前みたいな、もともとやる気なんてねぇ香具師が、モチベーションに維持
なんて言っちゃいけねぇ

よーするに、>>1は複素関数が理解できず投げ出したくてたまらないんだろ。
でもそのような負け犬的態度はプライドが許さないから、どーにかして
必要ないから敢えてやらないんだという形に取り繕いたいんだよな。
惨めだね>>1

>>1
まず、複素平面の事、ちゃんと理解してんだろうな？
普通のセンスあるやつはあれ見たとき、ああこれは使えるなと思うはずだ。
その延長に当然複素関数というのが出てくる。

しかし、まあ大学で指定される教科書は、わけわからん奴多いから、その授業どおりに進んでいったら、>>1のような疑問がでるのもわからんでない。
大学ではある程度独学ってのをしないと意味ないぞ。本なり、WEBで自分で調べろ。

なもん化学でも使うぞ。物理屋やめなさい。

複素関数とはよく分からんが複素数なら電気電子工学でも使うぞ。

1みたいな人に、自分に才能が無いってことを教えてあげるのに役立つ。

解析力学とかだと簡単にイメージしやすいから
どんどん勉強できるし本を読むたびに新たな発見があって
ほんとに意味がある学問だと思うんだけど
複素関数なんてものは何のどういう場合に使われるのかって
ことが具体的にかかれてなくて、本には複素関数の使用例は
式の変形ばかりでただの数字遊びのように感じてくる。
数学や物理学の面白さってそんなんじゃわからないでしょ？

物理を数学以外の何で式変形する気？

>>25
何が言いたいのかさっぱりわからんが、
少なくとも、量子力学は、やらないんだな？

留数定理を使う場面に遭遇すれば複素関数論の必要性が実感できる
かと思います。
量子力学の散乱問題なんかでよく使います。

>>25
解析力学に首突っ込んでるくらいだったら
複素数使った物理問題もこなしているはずだが。

複素関数っつてもようは関数論のことだろ？
物理で関数扱うのは当たり前やん

>>30
なぜ当たり前といえる？
関数つかわないで写像という方法もあるのに

>>30
いやいやそういう意味じゃなくて、
「物理の勉強にはいっぱい関数がでて来るでしょ？」
ってこと。

>>30→>>31

>>30-33
バカ

複素関数の面白さが味わえないとはひじょーにもったいないと個人的には思うが、
自分には必要ないと思うんだったら、うだうだと言い訳してないでとっととやめれば？>>25

そのまま一生終わるまで困らなければあんたにとっては必要なかったってことだし、
困って勉強することになったら、そのときはどう役に立つかが自ずとわかるでしょ

>>35
複素関数論はあまり理解できなくて面白くないけど
理解できたら面白そうなのでやめたくないです。

ところでコーシーの積分定理ってどういう意味があるんですか？
積分値が０になるとなにがすごいんですか？
誰か教えてください。

>>36
これほど「学問に王道なし」というのが当てはまる香具師も珍しいな。
まぁ数学の教科書ばかりじゃなく、物理の教科書も眺めたら？

>>37
特異点を含まない範囲で積分経路を自由に変えられるだろうが。

正則な正規分領域の積分値が「０」
つまり、積分経路に拠らずに「０」
これは、すごいことだよね。少なくとも折れは衝撃を受けた。

ということで、

複素関数の値が、積分経路によらず、
　※積分の領域に含まれる特異点の分布
で値が決まる。( ⇒ 留数計算)

いちいち積分経路のことを考えずに
関数の値が決まるというのは、変な感じがしないか？
まぁ、そのおかげで簡単に積分値を求めることができる訳なのだが。

>>1は岩波のキーポイントでもとりあえず読め。話はそれからだ。

>>39
それはわかるんですが
自分が知りたいのはコーシーの積分定理のすごさじゃなくて
どういう使われ方をするのかということです
自分は頭が悪いのでどういう使われ方をするのかということを実際に
イメージできないと納得できないからです。
もしこれが量子力学でしか使われないようなものだとしたら
今の自分には必要ないかもしれませんが・・・

>>41
お前には必要ない。
このクソスレの削除依頼を出して、二度と理系関連の板には現れない事を約束しろ。

>>42
回線切って首つって市んで下さい

>>41
あなた程度の人間だと、中小企業の事務職、よくて奴隷プログラマーにしかなれないので
複素関数などという高尚な学問を修める必要は全くありません。カンニングでもして乗り切ってください。

>>41
じゃぁ、逆に尋ねるが、Cauchyの積分定理なしに
どうやって計算するのか？
積分経路の変形ができないとしたら、ほとんどの複素関数は積分できなくなると思うが？

積分計算の基礎という役立ち方では納得いかないのか？

>1
電磁気学でいえば，２次元の場合の場の問題なんかで，
等角写像という方法が使われることがしばしばある．それは，
複素平面上で複素函数を考えてやって上手く解く方法がある．また，
それを用いれば媒質中などでの温度分布にも使える．
２次元ポテンシャル問題の多くを解きやすくしている．

それが流体力学なんかの問題に移れば，等角写像を使って流体の
速度ポテンシャルや流線を解いたりする場合もある．それは，
ジューコフスキー変換やシュヴァルツ・クリストッフェル変換などと
呼ばれている代物です．他にも多くの変換があります。２次元の問題なら２変数．
それを複素函数という１つの函数で取り扱えて便利というてんが大きい．
それだけじゃなく，実・虚部は物理的に意味を持っていたいりする．

数学的には，調和函数を用いた周辺の問題に帰着されるが，物理的に意味はある．
この場合なら固体中の温度分布なり静電ポテンシャルなり
流線なり速度ポテンシャルなり音圧なり･･･．また，
定積分に活用できるという点：「積分せずに積分する」での実例は，
例えばロケットに働く空気抵抗の計算の途中で出てきたり，もする．
振動解析などや回路問題，もっと具体的には飛行機の自動操縦に
必要な計算にも複素函数は出てきます．

この場合，２階の連立微分方程式を解くという問題において，それらの解は
実際の解は実解ですが，exp[i(・・・)t]というファクターがかかった解を
持ちその実部が必要な解になったりする．物理的・工学的なモデルを解く
上で問題は数学を用いているのでそれを解くのに複素平面上で考え複素函数
を用いるというわけです．回路の問題ならその複素函数の実部が電流なり
電圧だあっりして，飛行機として知りたいダッチロールの形であれば，
複素函数の実部がローリング角やヨーイング角であったりする．

振動が関わると複素函数が微分方程式の解として顔をだす．量子力学で複素
函数である波動函数が物理的に意味はいまだ分からないが，出てこなきゃい
けない理由はある．それは，偏微分方程式の１つの波動方程式：シュレー
ディンガー方程式からこれを認めれば必然的に，波動函数が複素函数で
ある必要性が出てくる．差し当たり，振動問題や微分方程式，ポテンシャル
問題なんかが物理のモデルの時は複素函数が顔を出してくると思っていると
いいと思う．その意味で，必要であるし，量子力学の場合はその意味以上に
深い意味があるのは頭の隅に入れていても邪魔じゃないでしょう．自然は，
ミクロの世界の法則性から複素函数の必要性を我々に要求しているのです．
それは特殊相対論でも，例外ではありません．

逆にいえば，自然の法則や自然現象の理想化は数学の問題に帰着する．
というか数学で書き表せる．それを解くには，複素函数の必然性があって、
アル意味，自然という物理的世界はその一部を数学が担っているといっても
過言ではない．自然現象や身の回りの現象は，その複雑性のなかに数学で
書き表せる客観的な側面を持っているので，誰に対しても公平で普遍的であると
思う．

っていうか理論じゃなきゃあんま使わないでしょ。
実験いく気ならしらなくてもいいんじゃない。
理論いったら場の量子論つかうから
そんときになったらありがたみがかなりわかるよ。

>>45
なるほど
コーシーの積分定理が積分値が０になるということは
積分経路の変形ができるという意味だったんですね
ぜんぜん気づきませんでした

>>46->>51
長文ありがとうございました
でもちょっと話が難しくてあまりよく理解できなかったんですが
複素数は実数であらわすことのできないような数学的により高度な
世界を表現できるということがなんとなくわかってきました
（まだあまりわかってませんが・・・）
でもやはり独学ではむずかしいですな・・・リュウ数とか、とくに・・・

＞＞４６−５１
こんなに長く書いてFourier変換がでてこないのが気になったりする。

量子力学は本質的に複素関数の世界。

波に関する現象は本質的に複素関数の世界。

いや、古典的な波と量子的な波は違うぜ
古典的な波では複素数使わなくてもいいもんね

>>57 は「波」がなんなのかわかってないな。

>>1は行列とかにも同じような疑問を持っていそうな気がする。

>54
ある程度，具体的な物理的・工学的例を出してみたので．
「振動が関わると・・・」というところに，あなたのいうFTなんかも
含ませたつもりです．物理・工学で言うFFTなどの周波数解析，なんかも
ありますね．複素函数が何に役立つというか役立つ現象を扱っていると
いってもいいかも．もう少し正確に言えば，物理現象はそのような側面を
持っているということかもしれない．
複素函数が役立つ問題・モデル〜
振動/波動関連の問題・常/偏微分方程式が出てくるモデル・ポテンシャル問題・
（やっぱり）複雑な/簡単な分母に穴のある定積分の計算が必要な問題・
（複素函数が本質的なものでは）量子力学/場の量子論・・・

>1
複素積分の使用の有効性：
●電磁波や量子力学の散乱問題〜ヒルベルト変換〜クラマース・クロー二ッヒの分散公式
実験で虚部の値が分かるのでそれより実部を求める時に用いたりする．この式は，力学法則がはっきりしなしない
モデルの散乱問題の解析に使用でき有効．
●線形システム・回路設計・フィードバックアンプの設計・広帯域帰還増幅器の設計・・フィードバック制御理論
〜ボーデの関係式
●漸近展開・鞍部点法〜積分計算/評価〜（例）一様電界中の電子の運動を記述する１次元シュレーディンガー方程式を
ラプラス変換して解くとその方程式の積分表示の解としてエアリー積分が出てきます．
それを計算する時に複素積分を用いた鞍部点法を用います．

>1
留数ってのは，ゴルフのグリーン上のボールの動きに比喩できます．穴（複素積分の中の関数の特異点：その函数にその特異点をいれたら発散しちゃうてん）
にポールが立っていてその先に旗がついてますね．その旗には文字が書いています．それは，「留数」と呼ばれた（係）数です．そのポールは，芝生の中にあります．ビールを打ってころころと転がって，また打った元の場所に
戻ってきたら，積分０．あるところで止まったら，積分は０でない．ポールの周りを一周して元に戻ってきたら，2πiに周りを一周した旗に書かれた文字「留数」と呼ばれる（係）数を掛けたものが，穴（特異点の周りの周回）複素積分の
値です．旗に文字が書いてあるのは一本だけじゃないし，積分径路の取り方（ボールの転がる道）にもよる．

　 ∧＿∧ 　　 http://yoshiwara.susukino.com/mona/
　（　・∀・）/＜　こんなのみつけたっち♪　
http://www.yoshiwara.susukino.com/moe/hankaku03.html
http://yoshiwara.susukino.com/moe/hankaku10.html
http://www.yoshiwara.susukino.com/moe/hankaku08.html
http://yoshiwara.susukino.com/moe/hankaku09.html
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http://yoshiwara.susukino.com/moe/hankaku05.html
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http://yoshiwara.susukino.com/moe/hankaku02.html
http://www.yoshiwara.susukino.com/moe/hankaku07.html
http://yoshiwara.susukino.com/moe/hankaku04.html

>1
数学的にダイレクトにいえば，ｚ,aを複素数．f(z)を複素函数，z=aで
f(a)が∞になるとします．aがf(z)の特異点です．特異点には，３種類あって
特異点が極の場合の時の留数は，
（z-a）^{m}f(z)をzでm-1階微分してから，それにz=aを代入してから，
(m-1)!で割ってやったものが，留数．

２次元の場合には複素関数は問題の取り扱いを簡潔にするんで有用だが、３次元になると、
ふつうにベクトル解析したほうがいくない？
ＰＣで数値解析したっていいし。わかんなきゃ、あまり気にしなくてもいいんじゃない？
具体的な問題にあたってるうちに、そのうちわかるさ。

65はバカだと思います

>>53=1
多分あなたの使ってる教科書は良くない。

コーシーの積分定理
↓
積分経路の変形ができる
↓
実数の場合と同じく原始関数が定義でき、その始点と終点の値で積分値が決まる

ってことはちゃんと書いてある？

皆さん丁寧な解説ありがとうございました
複素関数の世界とは実数ではあらわせないような
より高度な世界であると同時に、論理が崩壊？してしまう特異点のような
なものをうまく回避したりして論理をくみ上げるための
柔軟な数学的な基盤であってめっちゃ役に立つもんやということが
わかりました。というかわかったような気がします。
多分今の自分が量子力学のような高度な学問を学ぶのは
まだまだ先のような気がしますがなんかちょっとだけ
複素関数について興味が湧いてきたような気がします
とりあえず明日複素関数についてのもっとわかりやすい参考書（なっとくシリーズのやつ）
でも買って来ようかと思います

>>64
よくみたら書いてあったんですが
そんな風にわかりやすく書いてなかったです
やっぱ掲示板っていいですね

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代数多様体考えるとありがたみが分かる…わきゃない

>>52
実験屋さん的な視点で見ると、抵抗測定で
van der Pauw 法という実験方法があります。

厚みが一定の試料なら、という限定付きですが
任意の位置に４端子付けて、端子間距離を測らなくても
「抵抗率」が求まってしまうというものです。
半導体屋さんがよく使っている方法です。

この方法の証明に複素関数論を使います（>>46 にある通り）。
電磁気と複素関数論のいい演習問題じゃないかと思います。

ちなみに、原論文はこちら

L. J. van der Pauw :
A Method of Measuring Specific Resistivity and Hall effect of Disks of Arbitrary Shape,
Philips Research Reports 13 (1958) 1-9.

使ってはいても、証明までしている実験家は少ないかも知れません。

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たとえば、コーシーリーマンの成り立つ感じは,
f(u,v)=u(x,y)+iv(x,y)

u(x,y)
｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_
｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_ v(x,y)
｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_
｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_
｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_
｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_
｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_
｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_
｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_｜_

u(x,y)→温度勾配
v(x,y)→熱流
とかそんな感じに便利なわけです。

またコーシーの積分定理によって円などの簡単な積分路を選択できて
積分路上の複素数が極座標で簡単に計算できるのです。

フーリエ変換でも留数定理を用いると計算が簡単になる例もたくさんあります。

当サイトでは相対性理論についてはレベルはあまり高くないのですが相対性理論の教材として広く用いられている「双子のパラドックス」を他の書物とは異なる独自の方法で説明しています。

この「双子のパラドックス」についてはここを見てください。
http://www1.kcn.ne.jp/~mituto/mat25.htm

http://www1.kcn.ne.jp/~mituto

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age

ところで虚数を使い始めた由縁ってなんなんだろうね。

ベンリっちゃベンリなもんなんだけど。

複素関数論ほど、不思議で、魅力的で、有用で、あたりまえで、・・な理論はない
と思うよ。ただ、本を読んで簡単に理解できるようなものではない。みんな、本を
読んで、勉強して、問題を解いて、試験を受けて、２chに投稿して、・・してその
魅力が分かるようになったんだよ。

>>79
二次方程式では？

>>81
お、そーいやそうだったような。

元々こーいうことに使うように作られたものでもなかったよーな気がしてたんだ。

三次方程式だとｵﾓﾀ

複素数が便利なものだという認識が広まったのは
三次方程式の解の公式からかもね

その昔、どういう分けか電波が遠くまで届く現象があってその理由を説明
するためにゾンマーフェルトという偉い学者が、複素関数論を駆使して、
理論を作った。そこで留数積分からの寄与が表面波として遠くまで届くこと
を発見した。オレはこれを読んで感動した。
（理論はよく解からなかったけどね）

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/jaz09.html

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ユークリッド２次元平面上で量子力学やるとき
役にたつよ。

流体力学を勉強するとためになるよ。

>>88
別にユークリッド２次元平面上に限定せんでも...

導波管で、Ez,Bzとその時間微分を与えるとEx,Ey,Bx,Byと
その時間微分まで全部一意的に決まる、ということを
最大・最小の定理を使って示したことがある。