【自主ゼミ】General Relativity - by R. M. Wald

R. M. Wald著 General Relativityの自主ゼミスレです

http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0226870332/qid=1049126098/sr=2-2/ref=sr_2_2/103-7542633-0739839

本文Part I 部分を初めから読んでいくことにしましょう
付録部分は自習（困ったときの質問はもちろんOK）

基本的に練習問題は全部解くこと
ミスプリ、記述の誤り等welcomeです
（あとでWaldさんに送ってあげましょう）

今日（4月1日）の夕方あたりにはじめます
まずはいいだしっぺのぼくがカキコします
あせらず地道にいきましょう

どうぞよろしくおねがいします

>>2
まだ持ってないんですが。

おはよう

>>3
宇宙論や量子重力に関心がる人は持っていてよい本だと思います
わりと定番の部類にはいるのではないでしょうか

まえがきにあるように、この本は二部構成になっていて

□Part I は標準的な項目についての入門偏（←このスレでやる予定範囲）
（多様体、微分幾何学、Einstein方程式、一様等方宇宙、Schwarzchild解）

□Part II はトピックスごとのより進んだ内容（各章ごとに独立）
（特異点、初期値問題、ブラックホール、強重力場での量子効果ほか）

学生（院生）の勉強用と、研究のときの辞典用、両方に使えるように書いたと
Waldさんは言っています

とりあえず>>1にサンプル画像があるので見てみてください

微分幾何学使う一般相対論ですか？
内山龍雄というよりホーキングという感じですか？

期待sage

>>1
どこの書店で売っているの？

>>5
内山さんの本は丁寧に見たことがないのでわからないですが
多少の言葉の違いがありますが、ちゃんとした一般相対論の本で
微分幾何を使っていない本はないのではないでしょうか？

宇宙論関係で読んだことのある人に言わせると
「付録Aが一番難しく、2章、3章までがヤマ（あとは楽）」
ということです（数学臭さが一番の問題点のようです）

スレの予定では、特異点問題やホーキング輻射まではいけないと思います

>>7
ぼくは日本橋の丸善で買いました
東京大阪の大型書店でもなければ、店頭に置いてあるのは期待できないと思います
最近は代引きも使えるネット通販があるのでそちらを利用されてはいかがでしょうか

ペーパーバックの上に紙質にこだわっていないので
この種の本のなかでは安い部類にはいるとおもいますよ

エイプリルフールのネタスレ多過ぎ。

表紙が良いんだよね。マグリッド。相対論はずいぶんご無沙汰して
最新の話題は知らないけど、PartI くらいならなんとかなるかな。
乙 >>1

ちょっとまっててね

Waldもってないけど参加します。シュッツと岩波現代物理ならあるが。
でも結局ROMかな（ｗ

>>8 いくらでしたか？

何か凄く面白そうなのですが、学部三年になる私でも参加できますか？

◆ゼミ用ノート --- 2003.4.1(1)

1. Inroduction
1.1 Introduction

一般相対論(general relativity): Einstein (1915=大正4)
　　空間、時間、重力場の理論

一般相対論は”難解”だ！
　　（理由1）直観に反する時空観(Lorentz収縮、時間短縮など)
　　（理由2）数学 = 微分幾何（differential geometry）

ほかの分野との関連性が希薄”だった”→ほとんど放置
□

1950年代末からの相対論の発展（Wheeler＠PrincetonとBondi＠London）
　・天文学（astronomy）：クェーサ、コンパクトX線源（強重力場が重要な役割）
　　　　　　　　　　　　　　　→1960年代半ば：重力崩壊、特異点、ブラックホール
　・量子重力(quantum gravity)：
　　　　重力の古典論（一般相対論）のより深い理解が不可欠
　　　　BH近傍の重力場での量子的な粒子生成
□

本書のねらい：　「一般相対論を現代的（幾何学的）な視点から論じる」
　　　　　　　　　　（※本質はEinsteinが最初に示したものと変わっていない）

入門書
1)General Relativity from a to B by Robert Geroch
http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0226288641/qid=1049200149/sr=1-1/ref=sr_1_1/103-7542633-0739839?v=glance&s=books

2)Space, Time, and Gravity: The Theory of the Big Bang and Black Holes by Robert M. Wald
http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0226870294/qid=1049200290/sr=1-4/ref=sr_1_4/103-7542633-0739839?v=glance&s=books

これから深夜にかけてレジュメをあげていきますので

>>13
実はちょっと前に買っておいたものなので、店頭の値段はわかりません
有名な本にもかかわらず安い！と思って衝動買いした記憶があります

amazon.co.jpでは5000円しないようですね
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0226870332/qid%3D1049200710/249-9335714-9949114

>>14
特殊相対論を知っていれば問題ないと思います
途中でつらくなったら参考文献をあげてもらえばいいでしょう
（ぼくはそうするつもりですｗ）

>>17
本当ですか?＾＾何とか食らい付いていきたいです。きっと得るものが多いでしょうし

久々の良ｽﾚ誕生の予感です。参加したいと思います。ところでage進行で
いくんですか。

>>18
いっしょにやってきましょう
困ったとき教えてくれそうな人たちも見てくれてるみたいだし

>>19
下げる理由もないのであげていきます


ところで、ちんたらメモを作っていたら、けっこう時間がかかっちゃって
こんな時間になちゃったので、うｐは「今日」の昼間にやらせてください
すいません

さきに１章全部のノートをうｐします
その後に自己引用の形でコメントや疑問をカキコしていきます

ああ、なんと素晴らしいスレだ

>>20
シュッツとどちらが難しいですか？

>>22
シュッツは訳本の上巻しか持っていないのでわかりませんが
たぶんWaldのほうが難しいと思います


では、これから打ちこみますので

◆ゼミ用ノート --- 2003.4.2(1)

1.2 space and Time in Prerelativity Physics and in Special Relativity

相対論を理解するうえでの障害＝時空に関する（素朴な）理解が【間違っている(simply wrong)】


時空(spacetime)：
・連続体(continuum)
・事象(event)＝４つの数で指定される点(t,x,y,z)
　　→cf. Ch2：４次元多様体(manifold)
□

↓さらに付加的構造(因果的構造 causal structure)

事象pを基準にして

１）相対論以前：
　（１）q→pが可能・・・qはpの過去
　（２）p→qが可能・・・qはpの未来
　（３）それ以外　 ・・・「同時」（３次元面）

（※）（１）-（３）は観測者によらない概念

２）特殊相対論：
　前記（３）→３次元ではなくなる
　　（３i） pの未来との境界・・・pの未来のlight cone（３次元面）
　　（３ii）pの過去との境界・・・pの過去の〜
　　（３iii）それ以外・・・４次元集合

◆ゼミ用ノート --- 2003.4.2(2)

>>24のつづき（1.2節）

「同時性」について（相対論以前の（３））：
　　特殊相対論には、絶対的（i.e. 観測者によらない）「同時性」の概念はない

　　相対的：「同時」の３次元面（観測者の運動状態による）
　　↓
　　絶対的：light cone（観測者によらない）

◆ゼミ用ノート --- 2003.4.2(3)

>>25のつづき（1.2節）

慣性運動と座標系：

・慣性運動＝外力が働いていない物体の運動
・慣性観測者の座標系
　　　　a)（３次元）格子点をラベルつけ・・・x,y,z
　　　　b)各格子点に（同期化された）時計・・・t
　　　　　　→事象をt,x,y,zで指定（global inertial coordinates）
□

ある事象について
・観測者O→(t,x,y,z)
・観測者O'→(t',x',y',z')・・・観測者Oに対してx方向に速度v、原点は一致

◆相対論以前(Galilei変換)：
t'=t
x'=x-vt

◆特殊相対論(Lorentz変換)：
t'=(t-vx)/√(1-v^2)
x'=(x-vt)/√(1-v^2)

（※）Lorentz変換ではt=const.とt'=const.が一致しない
　　　→同時性の概念の破綻

◆ゼミ用ノート --- 2003.4.2(4)

1.3 The Spacetime Metric

観測者によらない絶対的概念はなにか？
（＝座標系の選び方によらない座標の関数はなにか？）

・相対論以前：
　　（１）２つの事象の時間間隔Δt
　　（２）２つの事象の空間間隔|Δx| （”同時”の事象であること）

・特殊相対論：
　spacetime interval →計量(metric)
　　I=-(Δt)^2+[(Δx)^2+(Δy)^2+(Δz)^2]
　　↓
　　・Poincare変換(並進4、回転3、Lorentzブースト3)で不変
　　・座標の差分の双一次形
　　・(Δt)^2の前の符号がマイナス（解析上は普通の場合と違いはない）

（※）計量はあとで、テンソルとして再定義される　→eq.[4.2.2]以降

□

・測地線＝慣性観測者の経路


特殊相対論の計量Iに対応する曲率=0
↓
測地線はまっすぐ（flat）

（測地線と曲率テンソルの関係については3.3節）

◆ゼミ用ノート --- 2003.4.2(5)

1.4 General Relativity

　　　　　物理法則＋相対論以前の時空観
書き換え↓
　　　　　物理法則＋相対論的時空観

・Maxwell's theory（電磁気）：　もともと相対論的
・Newton's theory（重力）・・・瞬間的相互作用に基づく
　　→「修正」か？
　　　　↓
　Einstein：（１）等価原理　＋　（２）Machの原理
　　　　　　　→全く新しい理論を構築

□

（１）等価原理：　【あらゆる物体に重力が作用し、全ての物体は重力場の中で”全く同じに落下”する】

Newton理論での表現・・・物体に働く重力は、その「慣性質量」に比例する


運動（自由落下）は物体の性質によらない
　→自由落下する物体はある決まった経路を通る
　→重力場とは、【時空の構造（幾何）】そのものだ！

特殊相対論・・・慣性運動の経路＝計量に対応した測地線
重力場　　　・・・自由落下の経路＝計量に対応した測地線←☆
　↓
重力場＝時空の歪み（flatな計量からのずれ） （→Ch4）

◆ゼミ用ノート --- 2003.4.2(6)

>>28のつづき（1.4節）

（２）Machの原理：　（←やや漠然とした指導原理）

相対論以前＆特殊相対論・・・時空構造（R^4）はあらゆることに先だって与えられる
↓
慣性運動、回転（の基準）・・・他者に関係なし
↓
Riemannなど：
宇宙に存在する物質が慣性系や回転の基準でなければならない
↓
Einstein：
時空の構造は物質の存在に影響を受ける
↓

【一般相対論(general relativity)】-------------------------------------------
・観測者によらない（本質的）時空構造は時空の計量で記述される（特殊相対論と同じ）
・計量はflatである必要はない（特殊相対論と異なる！）

　　　　　　　　　　ストレス-エネルギー-運動量テンソル
（２）Machの原理↓
　　　　　　　　　　メトリックに対応した曲率
（１）等価原理　　↓
　　　　　　　　　　「重力場」
------------------------------------------------------------------------

観測との一致について：
・6.3節
・Theory and Experiment in Gravitational Physics by Clifford M. Will (Author)
　　http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0521439736/qid=1049265167/sr=1-1/ref=sr_1_1/103-7542633-0739839?v=glance&s=books

◆ゼミ用ノート --- 2003.4.2(7)

>>29のつづき（1.4節）

この本の「残りの部分」で、一般相対性理論の帰結について述べる
最初の仕事は、厳密な数学的定式化

2.1　多様体
2.2　ベクトル、テンソル
2.3　計量

3.1　微分演算子（作用素）
3.2　曲率
3.3　測地線


物理は４章から
□

Problem
1.車と車庫の（勘違い）パラドックス


用いるパラメータを以下のように定めます
車の速度 = v
車の全長 = 車庫の奥行き = L
車庫番の座標系 = (t,x)
ドライバーの座標系 = (t',x')

以下の作図を行います
１）直交座標(x,t)を描く
２）t'軸を描く：　t=(1/v)x
３）x'軸を描く：　t=vx
４）車庫の奥の壁の世界線を描く：　x=L
５）車の前の部分の世界線は、以下の２つの事象の点を通る直線：
　　(a)(t=0, x=L√(1-v^2))・・・車庫番にとって車の後ろの部分が車庫に入りきった瞬間の
　　　　　　　　　　　　　　　　　　車の前の部分の位置
　　(b)(t=vL/√(1-v^2), x=L/√(1-v^2))・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　車のドライバーにとって車の後ろの部分が車庫に入りきった
　　　　　　　　　　　　　　　　　　瞬間の車の前の部分の位置

車の前の部分の世界線に沿って進むと、以下のように事象が並びます
(a)「車庫番にとって」車が入りきった瞬間
↓
車庫の奥の壁と交差　＝　激突！
↓
(b)「ドライバーにとって」車が入りきった瞬間

したがって、どの立場から見るかを正しく決めれば
この問題にはパラドックスは存在しないことがわかる
□

ということで、今日の分のノートはここまでです

1 Introduction
1.1 >>15
1.2 >>24-26
1.3 >>27
1.4 >>28-30
problem >>31


ちょっとたってから、コメントをカキコします

>>15
＞「一般相対論を現代的（幾何学的）な視点から論じる」

とありますが、どこが現代的な視点で、なにが古典的視点なんでしょうか？

>>27
＞・Poincare変換(並進4、回転3、Lorentzブースト3)で不変

Lorentzブーストとは何ですか

>>33
詳しくはないので、ぼくがこう思っているという解釈を書かせてもらいます

「幾何学」ですぐに思い浮かぶのは三角形とか平行四角形、円などの問題です
これらの図形は、どういう方向から眺めても（あるいは裏返しても）「同じ」図形です
この「”同じ図形”に対して見る方向を変える」のが、「座標変換」にあたります

ここで、いきなりで申しわけありませんが、３次元ベクトルa↑を考えます
【【【まだ、このベクトルを成分で書いてはいけません（できません）】】】
基底ベクトルをあたえることでそれが可能になります

基底ベクトル：e1↑、e2↑、e3↑の場合は
　　a↑=a1・e1↑+a2・e2↑+a3・e3↑ ・・・(a1, a2, a3)
基底ベクトル：s1↑、s2↑、s3↑の場合は
　　a↑=a'1・s1↑+a'2・s2↑+a'3・s3↑・・・(a'1, a'2, a'3)

この(a1, a2, a3) と(a'1, a'2, a'3)は、具体的な数が違っていても「同じ」ベクトルa↑です

この例にしたがっていえば
・古いやり方だと、成分(a1, a2, a3)で方程式を書く
・新しいやり方だと、a↑をそのまま使って方程式を書く
　（a↑は幾何学的実体そのもの）

・・・と、こういうことじゃないでしょうか
-------------------------------------------------------------
こいういう幾何学的な見方が一番はっきりしてくるのは、2.4節です

この本で使われている「添え字」のa,b,cは、普通の添え字よりも抽象的なもので
これを使った方程式では和のΣ記号は省略されているのではなく本当に【ない】んです

>>34
「Lorentz変換」と読み変えてもらってかまいません
ブーストという言い方をしている文献をいくつか目にしたことがあって
「正しい」用語の使い方であることは間違いないとおもったので

どの程度の頻度で使われているのかはわかりません

>>33,35
多様体とか、1-form, vector といった微分幾何学の言葉で定式化している
ということではないかと思いますけど。

あと、添字の記法に関する注意が xii にありますね。ギリシャ文字の添字で
テンソルの成分を表し、ラテン文字の添字でテンソルそのものを表す。
他の教科書では、時間成分を含めたテンソルの成分をギリシャ文字の添字、
空間成分だけの成分を表すのにはラテン文字で表すことが多い、ようですが
（MTW なんかそうですよね）。
これは、テンソルそのものに関する関係と、テンソルの成分においてしか
成立しない関係をごっちゃにしてしまわないため、だそうです。

1.1 Introduction
　　簡単に歴史的経緯について述べています

>>15のWheelerとBondi、どっちが天文でどっちが量子重力なんでしょう？

1.2 space and Time in Prerelativity Physics and in Special Relativity
　　因果律から相対論以前と特殊相対論の「時空構造」を構成して見せます
　　
>>26のLorentz変換は、少々省略させてもらいました

1.3 The Spacetime Metric
　　幾何学的に本質的なものとして計量を定義しています

1.4 General Relativity
　　一般相対論に到る哲学的筋道を説明しています

>>29で書いたのをもう一度貼っておきます（下のほうの説明には感動しますた）

＞【一般相対論(general relativity)】-------------------------------------------
＞・観測者によらない（本質的）時空構造は時空の計量で記述される（特殊相対論と同じ）
＞・計量はflatである必要はない（特殊相対論と異なる！）
＞
＞　　　　　　　　　　ストレス-エネルギー-運動量テンソル
＞（２）Machの原理↓
＞　　　　　　　　　　メトリックに対応した曲率
＞（１）等価原理　　↓
＞　　　　　　　　　　「重力場」
＞------------------------------------------------------------------------

>>37
＞テンソルの成分を表し、ラテン文字の添字でテンソルそのものを表す。

「ベクトルを表す→と同じようなものだ」と言っていますね
おもしろい

１章は、場合によっては「各自読んでおくように」で省略される部分なので
あまり構成に凝らずに一気に終わらせてしまいましたが、どうでしょう？

やってみて、けっこう打ちこみが大変でした（行数制限とかもあるし…）

これから先は、各人が本を持っているという仮定のもとで、主観にもとづいて
重要だと思った部分をレジュメのスタイルでカキコするという感じになるかと

＞ムムリク君 ◆i/7GhZfbWA
今のところは導入部分ですし、ちょっとあいまいなところも読み進めて
いくうちに分かるでしょうから、１章は「あまり構成に凝らず」ともこ
れでいいように思います。お疲れ様でした。

おはよう

スレゼミ未経験なんで思ったように書いちゃいました
そのままハードコピーして配布できるようなものを目指してみました

この次を続けてやりたいッ！って人がいない場合は数日中にまたぼくが
レジュメのノートをあげます（２章が一番難しいという噂がｗ）

>Machの原理：　（←やや漠然とした指導原理）
をもう少し詳しく説明してほしいのですが。

>>43
素朴ないい方をすれば「マッハの原理」とは、物体が慣性運動や、回転、加速運動を
している場合、「なにを基準にそれを見分けるのか？」ということです

なにか基準になる「他のもの」があって、初めて注目している物の運動状態が
決まるでしょう、ということです


ただし、遠心力や加速のGなどがあれば回転や加速の状態は決まるので
マッハが言っていることは強すぎます（と思います）

本文では「マッハに原理の一部（全部ではない！）」と言っているのはそのあたりの
ことを気にしているからでしょう

マッハの原理は、「物質の存在が時空の構造を決める」ということをいっている
けれども、GRでは、物質の存在だけでは決まらず、境界条件も必要であると
考える点が違う、という意味ではないでしょうか？

>>45
GRでは境界条件が…というのが初耳なのですが
どういうことなんですか？

アインシュタイン方程式が全てじゃないんですか？

アインシュタイン方程式といえど、微分方程式ですから、境界条件は必要です。
例えば真空の場合でも境界条件によって、平坦時空解になったり、ブラックホール解に
なったりします。

ま、最初はマッハ原理みたいな大きな問題はあんまり拘らずに行くのがよいかと

◆ゼミ用ノート---2003.4.5(1)

2. Manifolds and Tensor Fields

【内容】 一般相対論の「数学的」基礎　←manifolds, tensor fields

2.1 n-dim. manifold：　局所的に見ればR^nに似ている集合
2.2 tangent vectors(=directional derivative operators)
2.3 tensors, metric
2.4abstract index notation

-------------------------------------------------------
ちょっとずつ書いていきます

2章の最初の内容説明です
思っていたほどApp. Aの知識は必要なかったように思います

読んでいてちょっと気になったのですが、pの接ベクトルv:f→Rの張るベクトル空間は
v∈V_Pと書かれているのですが、ベクトル＝(1,0)テンソルの空間と区別してT_pとでも
したほうがよいと思うのですが、どうでしょう？

つまり、点pの接空間において（v=v^a∇_a）
（１）　v∈T_p
（２）　v^a∈V_p
と書きわけるべきだと思うのです

>>49
おっしゃりたいことは何となく分かるのですが、(1,0)テンソルとベクトル
を区別しなければならない理由があるのでしょうか？

>>50
多様体の元を実数に結びつけるのはv≡v^a∇_aで、これが「接ベクトル」
その「一部」のv^aが(1,0)テンソル（〜普通に言うところのベクトル）だからです

もちろんv自体もベクトル空間を張っていますが

やや、abstract index notationの精神に反しますが、
f を関数だとして v(f) には縮約すべき添え字がありません


どうでしょうか？

>>51-52
なるほど、確かに一般のベクトル場と言うときにはその微分作用素とし
ての性格を忘れていますね。それがv^aにあたるのだということです
ね？
シュッツの幾何学の本ではベクトルそのものを太字で、成分は添え字
つきで書くという表記をしていますが、この場合は>>51のような区別の
問題はおきませんよね。ベクトルそのものも添え字つきで表してしま
ったがためにおきた混乱じゃないでしょうか？

では今後は、「接ベクトル」と「(1,0)ベクトル」を意識して区別することにします
前者の張るベクトル空間をT_pと書きます（" T "angent）

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>>54
ちょっと勘違いをなさっているように思えるのですが。。。
＞f を関数だとして v(f) には縮約すべき添え字がありません
v(f)はベクトルでなくて実数です。fを入れる前のv( )がベクトルです。
∂/∂x^μのμは添え字ではなくて、ベクトルの名前です。たとえば、
「４つのベクトルe1, e2, e3, e4」といったときの1〜4と同じです。

接ベクトルとベクトルを区別するのはおかしいと思います。
ベクトルを定義するために、接空間のややこしい話をしているのでは
ないでしょうか。

>>56

接ベクトルの性質として
１）線形性
２）ライプニッツ則
がありますが、線形性をになっているのがv^a（これが(1,0)テンソルつまりベクトル）、
ライプニッツ則をになっているのが∇_a、というふうに接ベクトルを分割しているのでは
ないでしょうか

「a」をabstract indexとすれば、v=v^a∇_aと分割（共変微分の定義でもある）したときに
　　v^a　・・・はベクトル
　　∇_a　f・・・はdualベクトル
になっています

ぼくは、「接ベクトルと(1,0)ベクトルの区別」を
-------------------------------------------------------
v：　接ベクトル：　ライプニッツ則、関数を実数に写像
v^a：　(1,0)ベクトル：　dualベクトル(0,1)を実数に写像（定義がサイクリックになっていますが）
-------------------------------------------------------
のように考えています

どうでしょう？

ちなみに、abstract indexって、どの程度の認知度なんでしょう？
相対論をやってる人しか知らないとなると…哀しいです

http://www5b.biglobe.ne.jp/~ryo-kyo/osu.html

http://my.vector.co.jp/servlet/System.FileDownload/download/ftp/0/279026/pack/win95/game/table/pachinko/sikisai.lzh

>>58
＞v=v^a∇_aと分割（共変微分の定義でもある）
aをabstract indexと考えたら、上の式はスカラーになってしまいます。
ここでは
　　v=(v^μ)(∂/∂x^μ)
でしょう。v^μはベクトルの成分で、∂/∂x^μは基底ベクトルです。μは
abstract indexではありません。あえて書けば、(∂/∂x^μ)^aとでもなるでしょう。

60は57へのレスでした。
>>58 使う方の意識の問題でしょう。見かけは単なる成分表示と変わらないので。

>>56,>>57両方にレス
ムムリク君 ◆i/7GhZfbWA がおっしゃっているのは、v(f)にあたるもの
をabstract index notationでどうやって表すのか、ということだと思い
ます（違ってたらゴメンナサイ）。ベクトルをv^aで表すのだとしたら、
函数fにv^aを作用させたときにv^a(f)???ということになってしまい、実
数なのにベクトルみたいな顔をしたものが出てきてしまいます。実数だと
いうことをはっきりさせるためにはv^a ∇_a(f)としなければなりません
が、こうするとv^aというものとv^a ∇_aというものの二つが存在すると
いう錯覚が生まれます。しかし、松葉氏のおっしゃるとおり∇_aは多様体
でベクトルを定義するために必要なものであり、それと離れてv^aなんて
いうものが存在することはありえませんよね。
まあ、こういう算数の話は物理をやる上ではあまり気にしないのがいい、
というのが僕の意見なわけですがｗ　区別しなかったところでどうと
いうことはないのでは・・・。

>>58
とりあえず、僕はWaldの本で初めてお目にかかりましたね・・・。abc
の添え字でテンソルそのものを表して、αβγの添え字でその成分を表す
なんてやり方には。

>>60
「v=v^a∇_a」が、ちょっと先を読んで持ってきた式なので議論がしにくいかもしれません
これは、31ページの微分演算子∇_aの性質４のところの式です
すいません

31ページの「t」を「v」に読みかえればいいので
方向微分＝接ベクトルは、（０，０）の「スカラー量」でよいのではないでしょうか


定義された写像としての働きが異なることについてもいかがでしょう？
　　v→(v^μ)(∂/∂x^μ) ^a
とすると、これは微分として関数に作用できませんし、数に写像することもできませんよ

>>62 >>63
＞v(f)にあたるものをabstract index notationでどうやって表すのか、
v(f)=v^a∇_a f=(v^μ)(∂f/∂x^μ)　です。ムムリク君の言うような、
v(f)=v^a∇_a　ではありません。

＞v^a ∇_aというものの二つが存在するという錯覚が生まれます。
これは、錯覚ではなくて２つ存在するでしょう。
　　v^a=(v^μ)(∂/∂x^μ)^a　　　　　　　・・・ベクトル
　　∇_a f = (∂f/∂x^μ)_a (dx^μ)^a　　・・・1-form
ここで、(∂/∂x^μ)^aがベクトル、(dx^μ)^aが1-form、v^μ、∂f/∂x^μ
は単なる数（成分）。

いずれにしても、ベクトルを定義しようとしているときに、この先に出てくる
共変微分を持ち出すのはマズイでしょう。

＞方向微分＝接ベクトルは、（０，０）の「スカラー量」でよいのでは
＞ないでしょうか
スカラーはないでしょう。ベクトルでしょう。

＞v→(v^μ)(∂/∂x^μ) ^a
＞とすると、これは微分として関数に作用できませんし、
＞数に写像することもできませんよ
上に書いたように、
　　v(f)=(v^μ)(∂/∂x^μ)^a(f)=(v^μ)(∂f/∂x^μ)
です。v^a(f)という書き方では、ベクトルのようで気持ち悪いと感じるのでしょう
が、abstract index notationとv( )という表記を無理に共存させたためです。
共変微分を導入した後では、
　　v(f)=(v^μ)(∂f/∂x^μ)=v^a∇_a f
とスッキリとした表記ができます。

今日は帰ります。では、また。

>>64
＞　　v(f)=(v^μ)(∂/∂x^μ)^a(f)=(v^μ)(∂f/∂x^μ)

これだと、(∂/∂x^μ)^aは、関数を数に写像しています
一方、(∂/∂x^μ)^aは任意の一形式(dw)_bを数に写像します

ひとつのものが、全く違うもの（関数、一形式）を、おなじく実数に写像するというのは
おかしいのではないでしょうか？

あしたあたり、２．１節から続けようとおもいます

>>64
よく読んでくださいね。僕は

＞v^aというものとv^a ∇_aというものの二つが存在すると
いう錯覚が生まれます。

と書いています。v^aと∇_aの間にスペース入れたのがまずかったかな。
あとムムリク君 ◆i/7GhZfbWA は

＞v(f)=v^a∇_a

などとはどこにも書いていませんよ。

僕が誤解されやすい書き方をしたのがいけなかったですかね。ｽﾏｿ。また明日。

横レスすまそ。今、手もとに Wald がない（仕事場にある）ので、あんまり
詳しい記述が追えないんですが、>>60 までは、松葉氏が正しいと思います。
後はまだ読んでいないので勘弁。

v=v^a∇_a　の意味ですが、v^a これの a はベクトルの成分で、∇_a の a は
ベクトルそのものの添字ですよね。だからこれは (1,0) ベクトルそのもの
だと思うけど。基底の添字はベクトルの添字にせざるをえないので、たまたま
その成分の添字もラテン文字になってしまったわけで。

ムムリク君、のんちゃんは「ベクトルの加減は同じ点の上でのみ定義できる」
ということは解ってます？だから、共変微分とか Lie 微分とかを導入する
必要があるわけですが。

>>49
＞pの接ベクトルv:f→Rの張るベクトル空間は v∈V_Pと書かれているのですが、
＞ベクトル＝(1,0)テンソルの空間と区別して

そもそもグローバルに加減が定義されるようなベクトル空間、ではなく、
各点での接ベクトル空間を考えて定式化しよう、というのが一般相対性理論
（微分幾何学）なわけで。
だから、一般相対論では (1)、(2)のように分ける必要がない、というより
分けちゃいけないんじゃないですか？すなわち、(1) しか存在してないのでは？

松葉氏は一般相対論的な考えが常識になっているし（詳しく説明しなくてもわかるだろう、と）、
一方、他のお二方は特殊相対論的な考えから抜け出ていないので、お互いの
コミュニケーションがうまくいっていないように見えるのですけど。

　 ∋8ノノハ.∩
　　 川o・-・）ノ　＜先生！こんなのがありました！
＿_/ / 　 　/ 　　
＼(_ﾉ￣￣￣＼
||ヽ||￣￣￣￣||
　...||￣￣￣￣||
http://saitama.gasuki.com/shinagawa/

>>67
＞よく読んでくださいね。
ゴメン。

>>68
＞v=v^a∇_a　の意味ですが、v^a これの a はベクトルの成分で、
＞∇_a の a はベクトルそのものの添字ですよね。
いや、abstract indexを使った場合には、v^aは成分ではなくてベクトルでしょう。
ややこしいですが、
　　v=(v^μ)(∂/∂x^μ) ^a　と　v(f)=v^a∇_a f
は区別すべきでしょう。∂/∂x^μという表現が誤解を招くなら、
　　(∂/∂x^μ)^a=X_μ^a　（aはabstract index、μは成分orベクトルの名前)
とおいて、
　　v^a=v^μ X_μ^a　
と書いた方が安全かもしれません。

ムムリク君の誤解(?)も
　　「v(f)=v^a∇_a f　だから　v=v^a∇_a　である」
と考えた点にあると思っているのですが、どうでしょう。

>>65
＞ひとつのものが、全く違うもの（関数、一形式）を、おなじく実数に
＞写像するというのはおかしいのではないでしょうか？
写像のさせ方が違うのでかまわないのではないでしょうか。ベクトルは関数を実数
に写像しますが、ベクトルによって実数に写像されるならばそれは関数である、と
はいえないと思います。

>>71
＞ベクトルは関数を実数に写像します
ほんとですか？
＞ベクトルによって実数に写像されるならばそれは関数である、とはいえない
ベクトルによってスカラーに写像されるのは1-形式ですが。

だれが間違っているのか、なんか解らなくなってきた（笑）

このスレは良いテンションだな
ﾌﾋﾋ

何度も言い訳して申し訳ないけど、手もとに Wald がないので、abstract
なんとかは良く解らないんですが・・・、とりあえず問題は２つあると。

第一に、>>49 で述べられているような、「接ベクトル空間」と「ベクトル場」を区別する
という考え方は、一般相対論的には間違いなわけで。正解は、多様体各点における
接ベクトル空間から一つずつベクトルを取ってきて集めた集合が、その多様体上の
ベクトル場を定義する、というのが正しい。グローバルに定義できるベクトル場が、
各点における接ベクトル空間となんか別に存在する、なんて考えてしまってはいけない。

第二に、（論点があまり良く掴めてないんだけれども）ベクトルを関数に作用させた
結果は、ベクトルになるのは間違いない。例えば、
ベクトル v=∂_1 を 関数 f に作用させると、(∂f/∂x^1,0,0,0) という i=t 方向の接
ベクトルが得られるわけでしょ？と、ここまで書いて、なんとなくわかってきた。

　作　用　素　と　縮　約　と　を　混　同　し　て　い　な　い　か　？

何が言いたいかと言うと、例えば (k,l) テンソルを (0,0)テンソル（スカラー）に
作用させた結果は、(k,l) テンソルになる。一方、(k,k)テンソルをスカラーに
作用させた結果は (k,k)テンソルだが、これを「縮約すると」スカラーになるわけ。
すなわち、(k,k)テンソルは関数に対するスカラー値への写像を自然に定義する、と。
これを指して、「ベクトルと1-形式とはスカラーに写像される」と縮めて表現する。

いかがなもんでしょう？＞all

ちょっと補足すると、「作用させる」＝「テンソル積を作る」という意味ね。

スマソ、漏れも変なこと書いていた。
スカラーとベクトルとのテンソル積は f?v^a ですた。
作用させて関数の方向微分を作るのは、
df=dx^i ∂_i f (i=1,2,3,4) だから全然意味が違いますね。
この場合は、dx^i が 1-形式の基底で、 ∂_i f =f,i がその成分。
で、やっぱり論点が良く解らなくなってきた。出直してきますわ。

>>72
＞ほんとですか？
>>74
＞第二に、（論点があまり良く掴めてないんだけれども）

Waldでのベクトルの定義を書いておきます。

Fを多様体Mから実数Rへの写像のcollection（注１）とする。
Mの点pにおける接ベクトルvを次の２つの性質を持つ写像v:F→Rとして定義する。（1）線形性　v(af+bg)=av(f)+bv(g)　a,b∈R, 　f,g∈F
（２）ライプニッツ則　v(fg)=f(p)v(g)+g(p)v(f)

もっと気楽にいえば、x方向の基底ベクトルを∂/∂xという微分演算子として
定義する、ということだと思います。

(注１）ここで、写像のsetでなくてcollectionといっているのは、なにか意味が
あるのでしょうか？

ないです。
何も意味ない。

今日は用事があってこの時間までこのスレに参加できなかったのですが、とりあえず
松葉氏の>>71,>>78が全てだと思います。Waldだけでなく、幾何学の本では多
様体の各点における接ベクトルの定義は

＞Fを多様体Mから実数Rへの写像のcollection（注１）とする。
＞Mの点pにおける接ベクトルvを次の２つの性質を持つ写像v:F→Rとして定義する。（1）線形性　v(af+bg)=av(f)+bv(g)　a,b∈R, 　f,g∈F
＞（２）ライプニッツ則　v(fg)=f(p)v(g)+g(p)v(f)

のようになっているはずです。
しかしabstract indexは慣れるまでちょっと大変かもって思えてきますた。また明日。

お〜い、誰もいないの〜？

ごめん
これからあげます

問題になってるベクトルの問題についてですが…

ぼく自身理解が浅いところも発見しましたけれど、基本的にまだ納得していません

身に覚えのない主張をしたことになっていたりして混乱してきたようなので
本文の読み込みを優先してやっていくことにしましょう

なにしろ、問題の個所は３章なんですから
まだまだ先です

量子重力の時代にWaldか･･･。

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>>84
どんな量子理論でも基準になっているのは古典解だよ

とくに（特異点問題などの）古典重力関係の困難は量子理論に
そのまま引き継がれる（そして解決されるものもある）

>>85
そういうことを素人に任せる人間は理学部、特に物理には少ないと思うよ
理系なら工学部系の板に貼ったほうがいいですよ

冷やかしや荒らしは無視したら？
読んでるだけなんだがこのスレ勉強になるよ。
Wald入手したら乱入します。

オレもWald買って読もうかな。

◆ゼミ用ノート---2003.4.7(1)

2.1 Manifolds　（たとえ話から）

経験：　【時空は４次元連続体】・・・（t,x,y,z）→イベント（∵時空中の一点）

　相対論以前＆特殊相対論…全てのイベントはR^4に”１対１”に対応することができる
　↓
　一般相対論…時空の幾何は（方程式を）解いて決まる
　　　　　　　　　　大域的構造を先に決めてかかるべきでない


たとえ話：　コロンブス、マゼラン以前の冒険者達の地球の表面についての仮説
　　○自分の近くの場所については２つの数で指定できる
　　↓
　　×地球の表面の全ての点を「連続的に」R^2に対応付けられる？


-----------------------------------------------------------
時空の構造を調べるために必要な道具＞＞＞【多様体(manifold)】
　　・含まれるあらゆる点の近傍はR^nに似ている
　　・しかしglobalには異なっていてよい
-----------------------------------------------------------

冒険者たち・・・（どんな構造であれ）「地球」はR^3のなかにある
　　　　　　　　　→R^3にうめこまれた面を調べればよい
　　　　　　　　　　　（わざわざ抽象的な多様体を考えるまでもない？）

一般相対論・・・時空はより高次元にうめこまれているわけではない→多様体が不可欠
　　　　　　　　　　むしろ多様体を考えた方がやりやすい！
　　　　　　　　　　R^3にうめこまれた面に対しても有効！

◆ゼミ用ノート---2003.4.7(2)

>>89の続き（2.1節）

【多様体】について話す前に【位相空間(topological space)】　（多様体は位相空間の一種）


・R^nを位相空間にするために．．．

【open ball】：　R^n中の半径rの開球で、y=(y1, y2, y3, .. ., yn)に中心があるとき
↓　　　　　　　　|x-y|<r　という点xからなる集合
↓
【open set】：　任意のopen ballの合併集合として表現される（R^nの）集合
↓
R^nはトポロジー空間になった（App. A参照）
-------------------------------------------------------------
（※）トポロジー空間（X, T）とは、
（１）「X」：　空間に含まれる点の集合
（２）「T」：　（ある性質を満たす）Xの部分集合の集合　←これが【open set】
　　　　　　・・・（１）（２）が定義された空間を「トポロジー空間（X,　T）」と呼ぶ
--------------------------------------------------------------

おいおい、まだそんなとこやってんのかよ？
オレはいつも教科書なんか後ろから読んでるけどな。

◆ゼミ用ノート---2003.4.7(3)

>>90の続き

【多様体(manifold)】：
　　・R^nのopen subsetの切れ端から成る
　　・それらの切れ端は「なめらかに」縫い合わされている

↓正確な定義

------------------------------------------------------
【 n-dimensional, C^∞,　real manifold M 】：
部分集合｛O_a｝を伴う集合で．．．
（１）p∈Mは、いずれかのO_aに属する
　　（｛O_a｝はM全体を覆い尽くす）
（２）各aについて、上への1-1写像Ψ_a: O_a→U_aが存在する
　　ただしU_aはR^nの部分開集合である
　　（局所的にR^nに似ている）
（３）O_a、O_bがあって、O_a∩O_b≠φならばΨ_b・Ψ_a^{-1}という
　　写像をつくることができる。ただし
　　・Ψ_a[O_a、O_b]、Ψ_b[O_a、O_b]はopen （←位相空間の定義と上記（２）から自明）
　　・Ψ_b・Ψ_a^{-1}はC^∞（すきなだけ微分可能）　（←より正確にはC^wつまり「解析的」）
------------------------------------------------------

補足：
・Ψ_a・・・（数）chart、（物理）coordinate system
・Mの定義について：　（２）（３）を満たすchartを「全て」持たせる（座標変換しても同じ多様体）
　　　　　　　　　　　　　　→多様体（cover｛O_a｝、chart｛Ψ_a｝）は「maximal」と呼ばれる
・C^kmanifold（またはanalytic manifold）・・・（３）を変更（物理では全部C^∞でよい）
・complex manifold・・・R^n→C^n

◆ゼミ用ノート---2003.4.7(4)


>>92の続き


本文：
Ψ_aをhomeomorphicに→多様体M上にトポロジーを定義→【多様体】


より自然な多様体の定義：
・本文（１）〜（３）を満たす位相空間
・Ψ_aはhomeo.
　　　・・・位相空間の用語を本文で使いたくないのでこういう筋道はとらなかった


さらに条件：
（１）Hausdorff・・・空間中の２点を結ぶ線線分は、必ず切断して別の２点を結ぶ線分にできる
（２）paracompact・・・？？？

いっぺんここで区切ります
昼間にまた続きを

>>87
他のはともかく>>84にはきちんと答えられなきゃならないでしょう
ぼくのモティベーションがストリングなのでぼくはそちらから回答

「量子重力の時代」なんていうのは時期尚早だと思うが。

もう21世紀だろ？

◆ゼミ用ノート---2003.4.8(1)
>>93の続き

多様体の例１：　ユークリッド空間R^n
　　　　　　　　　　cover O=R^n
　　　　　　　　　　chart Ψ=恒等写像　（…maximalになるために恒等写像以外も含まなくては？）
多様体の例２：　S^2=｛(x1, x2, x3)∈R^3| x1^2+x2^2+x3^2=1 ｝
　　　　　　　　　　cover Oi^{±}=｛(x1, x2, x3)∈S^2| ±xi>0 ｝ (i=1,2,3)
　　　　　　　　　　chart f1^{±}：　O1^{±}　→　D(disk)　ほか
　　　　　　　　　　　　　　ただし、f1^{+}(x1, x2, x3) = (x2, x3)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→関連問題(problem 1)
-------------------------------------------------------------------------
【積空間】：　M×M' ∋ (p, p')　（dimM=m、dimM'=n）
　　・chart：　Ψ_ab：　O_a×O_b　→　U_a×U_b⊂R^{m+n}
　　　　　　　　　　　　　ただし、Ψ_ab(p, p')=(Ψ_a(p), Ψ_b(p'))
※この本で扱う多様体はほとんどR^m×S^n

【diffeomorphism】：
　　・C^∞：　写像f: M→M'がC^∞という意味は
　　　　　　　　すべてのchartに対して、関数Ψ'_b・ｆ・Ψ_aがC^∞
　　↓
　　・diffeomorphism：　写像fが、（１）C^∞、（２）1-1、（３）上へ、（４）逆もC^無限
　　　　　　　　このとき、MとM'はdifeomorphicであるという
　　　　　　　　difeomorphicな多様体は同じ多様体構造を持つ

ということで、

2.1 Manifolds
>>89>>90>>92>>93>>97

http://www5b.biglobe.ne.jp/~ryo-kyo/osu.html

http://my.vector.co.jp/servlet/System.FileDownload/download/ftp/0/279026/pack/win95/game/table/pachinko/sikisai.lzh

>.90
open ballを定義するために「距離」を定義していますが
不定計量を使って定義されるノルムとは別のものです（？）

数学の本に「距離関数」の公理が載っているはずなので
引用元明記であげてくださる方いらしたらお願いします

>>93
「paracompact」についてですが、AppAを読みきれてないです
かいつまんで説明できる方いらしたらお願いします

１２ページの一番下で、本文では多様体のきちんとした定義を
少々略したといっています
省略しているのは、「open set｛O_a｝の決め方」についての公理
（423ページ（１）〜（３））のように思われます


いくらか写像についての言葉（「上への」など）が出てきますが
あまり気にしなくてもいいようです

ハウスドルフの定義がちょっと正確でない気がする。
パラコンパクトについては局所有限な細分である開ヒフクが取れること。

まああまりトポロジーの詳しい話ははしょってもいいのでは？

ただ時空が連続か否かとか量子化するときは意識すべき問題かもね。

参考【多様体入門・松島。消化某】

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距離とはある性質を満たすノルムで定義されるのでノルムの決め方で
いろんな距離があります。その一つにリーマン計量なんかがある
と思えば良い。抽象的な集合に距離を入れることで近い遠いが定まる。

問題の答え

problem 1(a)

O_1^+∩O_2^+=｛(x1,x2,x3)∈S^2 | x1>0, x2>0｝について考えます

使うchartは
・O_1^+についてのf_1^+( x1>0, x2, x3 )=(x2, x3)
・O_2^+についてのf_2^+( x1, x2>0, x3 )=(x1, x3)

このとき、f_1^+・(f_2^+)^{-1}： (x1, x3)→(x2, x3)は、

x2=√(1-x1^2-x3^2)
x3=x3

↑C^∞　　　　　　　　　□

problem 1(b)
S^2=｛(x,y,z)∈R^3｜x^2+y^2+(z-1)^2=1｝とする

cover:
・O_1=｛(x,y,z)∈S^2｜z≠2｝
・O_2=｛(x,y,z)∈S^2｜z>1｝

chart:
・f_1: O_1→R^2
　　u=x/(1-z)
　　v=y/(1-z)

・(f_1)^{-1}: R^2→O_1
　　x=u/(u^2+v^2+1)
　　y=v/(u^2+v^2+1)
　　z=(u^2+v^2)/(u^2+v^2+1)


・f_2: O_2→D
　　(d1, d2)=(x,y)
・逆は自明　　　　　　□

>>101
どうも

特異点問題について興味があるので
数学的な書き方に慣れておきたいと思っています
重力の量子化でもきっとこの経験が役に立つと思います

>>103
Lorentz計量についてもおなじopen ballを使いますし
ノルムは接空間のベクトルを写像する
距離関数は多様体の２元を写像する
という違いがあるので全く別物と思うのですが

どうでしょう？

だいたいムムリクってなんだよ？

ﾅｲｼｮ

103はテキトーなこと書きましたスマソ。
近々訂正して書きこみなおします。なんせ勉強したのがだいぶ前なので。

そうとう年取ってるというわけやね。

>>109
よろしくおねがいします

もう終わり？

>>112
まだまだやる

にしてもお客が少ない！

ここんとこむちゃ忙しくてなかなかこのｽﾚに参加する時間がなくて
・・・申し訳ない。土日あたりにまた覗きに来ます。

賢そうな人が多いので質問。

今日読んだ本に、それぞれの人が異なる順序で出来事を体験していくことと、
相対論における固有時が関係しているって書いてあったんだけど、これ変だよね。
同じ人物だって、別の慣性系にいるときは、異なる時間系列を得るんだから、
別に人物ごとにひとつずつの時間系列があるわけじゃない。

スレ違いだったら、スマソ。

関連あるカキコを拾ってきますた
↓
↓

12 名前：catastoro 投稿日：03/01/15 00:42 ID:3M0FB3o1
加速系では、場所によって各点の時間の経過も違います。各点の長さも場所によ
って違ってきます。そこから、ある時空点の局所慣性系をみて、というより、
局所慣性系は、それ自身で、ミンコフスキー時空ですから、どういえばいいのか。


13 名前：山崎渉 投稿日：03/01/18 12:23 ID:???
（＾＾）


14 名前：catastoro 投稿日：03/01/25 02:10 ID:JfW+LlVl
マッハによれば、というか、アインシュタインの尊敬するマッハ像によれば、
系の加速と回転を、真剣に考えたのはニュートン以来マッハだけだった。
系の加速と回転は、系自身の性質ではなく、系とそれ以外の物質との関係
である。慣性質量も、遠方の質量によって作られている。周囲の物質がすべ
て消えると、慣性も消えなくてはならない。これが一般相対論の構想だった。
慣性系の定義のトートロジーを強く否定したのは、アインシュタイン自身で
ある。
加速系は、慣性系を、加速系とみるか。
加速系は、自分が慣性系と勘違いしない。その系の中で自分が加速系である
ことを知ることができるのです。回転系もそうです。そういう意味では、
ＧＲは、マッハの原理に従っていません。

>>115
＞同じ人物だって、別の慣性系にいるときは、

この部分が何を言っているのかよくわからないのですが…

ｱｹﾞ

（*´д｀）ﾀﾞﾒﾎﾟ
http://digikei.kir.jp/
http://digikei.kir.jp/img1.html

（＾＾）

(σ・∀・)σ

あげておこう

>>115, >>117
うーん。普通、完成形による同時性のずれって、
人物間でのずれみたいにして説明されるじゃない？
例えば、地球のポールと、ロケットに乗ってるジョンとのでは、
事象の前後関係がかわるっていうふうに。

でもこのずれは、人物の違いじゃなく、歓声系のちがいによる。
だから１１５は、ポールが地球にいたときと、同じポールがロケットに
乗ったときでも、事象の前後関係はかわるといいたいのでは？

ageMacro

これってどうよ？
↓↓↓↓
http://www.dvd01.hamstar.jp

自主ゼミ終わり？

終わりじゃないけど、なんか疲れたので…

トーカーが自分一人なのは予想ついたけど
こまかいＱを出しても全部スルーってのはな…

てか、ムムリクって何よ？

そういうときは、違う教科書をちらっと読んでみると良いかも。
老婆心ながら・・・

って言うか、最近この板、比較的高度なスレが全然進んでないね。
場の理論とか、超弦とか、Gauge理論とか、超対称性とか繰り込みとか。
漏れもここくるの久々だけど。結局、２ch来てるぐらいなら勉強せーって事なんか。

>>130
本気で比較的高度と思ってるの？

>>130
そういう人は、ここには来ません。
比較的硬度な物理板でも新しくどこかに作られてはどうですか？
ＪＢＢＳでも使って。

>>132
http://science.2ch.net/test/read.cgi/sci/1051192226/l50

このゼミは、まだ 、続いていますよね？

私も比較的最近、Waldの本を買いましたが、一人では理解できそうもありません。かといって、学生でもないので、先生に聞くと言うわけにも行きません。
このゼミに期待しています。

やる？

私の場合は質問するばっかり、ということになってしまいそうで、
申し訳ないことになりそうですが、私としては続けてほしいのです。

３章突入？

３章のsect.1で止まってます

問題は全部はやらないのですか？

>>139
やるつもりですがスレカキコでやるのはけっこう苦しいかも

とりあえずTeXを使えるようにはしてみましたが…

TeXですか、、、。

Mathmlというプロトコルは今どうなっているのでしょう？

3.1 は…
共変微分を定義（torsion free 付き）して、
普通微分（の abstruct index notation ）も定義して、
共変微分が一意的かどうか調べて、
Christoffel symbol を導入して、
平行移動を定義して、
metric が共変微分と両立すると
共変微分は一意的に決まることを示した。

>>141
MathML Version 2.0 はすでに Recommendation ですよ。
http://www.w3.org/TR/MathML2/
レンダラがほとんど無いのが難だが。

ごめんなさい
２．１節でとまってました

嫌いな宗教団体のアンケートです。
自分が嫌っている宗教団体に
投票してください。一人一票だけです。
公平を期するために政治、スポーツ、芸能、グルメ、司法
経済、ニュース、宗教（天理、アーレフ、創価、浄土宗、キリスト教
イスラム教、統一教会など公平にするために様々な宗教のスレ）
学生、家族、健康などあらゆる板でアンケートを募集してあります。

http://shizu.0000.jp/enq/enq.cgi?mode=enquete&number=141

自然消滅・・・・

だれか一節でも問題一問でもいいからやってみない？

あと、どっか日持ちのするアップローダにPDFにでもして上げた方がいいな
必死に書いてくれるのはいいけど読みにくくてかなわん
たぶんほとんど誰もまともに読んでないだろ

あげ

やらないか？

やるのか？

うほっ

　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

や　ら　な　い　の　か　？

わかった
ちょっと待ってろ

や　る　の　か　？

日持ちのするアップローダー教えろ
（画像以外あげても顰蹙かわないところ）

シュッツもなかなか良くない？

http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0521277035

や　る　の　か　や　ら　な　い　の　か　？

>>158
くどい
そこまで急かすならお前が続けて見せろ

ムムリク君はどこ行った？

サラリーマン多用体

や　め　た　の　か　？

終　了　な　の　か　？

あれ。いつの間にか終わってる。

　

しばらく
http://science.2ch.net/test/read.cgi/sci/1053710195/
の厄介になってるらしい

>>156
板に直接式を書けばいい。
つーか式は必要最小限にとどめよう。

>>167
それで1人以外誰も当番を受け持たなかったではないか
TeXを知ってしまった身には全角変換はかなりきついぞ

あげておこう

WaldのQuantum Field Theory in Curved Spacetime and Black Hole Thermodynamics
っていい本なの？
ちょっと高めのQuantum Fields in Curved Spaceと比べたらどうなの？
Waldゼミの皆さん。

>>170
ちらっとしか見たことないけどすぐに読める本ではないようだったなぁ
まずはひととおり場の量子論を勉強しておかないと…

Quantum Fields in Curved Spaceは見たことない

ちなみに
Quantum Fields in Curved Space↓
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0521278589/ref=pd_sim_iry/250-4353395-7719430

Wald↓
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0226870278/ref=pd_ir_why_ftr/250-4353395-7719430

値段が2倍違うぞｺﾞﾗｧ

ってなもんで。

曲がった時空だと何か本質的に違った事が起こるの？

ブラックホールの周りでは本質的に違ったことが起こっているはずと
分かりきったことを言ってみる。

>>174
はずって…

そもそもＢＨ近傍の量子論を論じるさいはどういうモデルにもとづいているのだろう？

釣られてしまいますた。

と言うより、重力との相互作用を考えずに、リジットに曲がった古典的時空の元で
場はどう振舞うかというのが上の本の狙いかと。

ってそんなこと言わせないでくださいませ。

自　主　ゼ　ミ　や　め　た　の　か　？

どうやら一般相対論まで入らずに終わったようです。

◎無修正画像をご覧下さい◎無料パスワードをゲットすれば、もっと凄い画像とムービーがご覧頂けます◎
★http://endou.kir.jp/moro/linkv.html★

ﾜﾛﾀ

続けたかったらおまえら進めて見せろよ

別に続けたいと思ってるわけではないが、１はどうしたのかと。

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

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　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

夏休み終わったか？

１は貧苦にあえいでいるらしい

超重力理論を知るために必要な一般相対論の知識っていうと？

ゼミ再開しないかな?

１はいま会社説明会に通っているらしい

一般相対論くらい中学生の時にマスターしとけよ。

waldくらい小学生のうちに読んどけよあげ

落ちついたら再開するよ
目標は年内

\texがつかえる掲示板も欲しいな

この板ならtexのソース使っても普通に通じるっしょ。

電話帳はあまりにも分厚いのでこれ買おうと思ったら
難解なんですってね。

で、まだ？

age

Waldはむずいので、新しく出たHartleってどう？
新世紀の定番になりそうかな？
てかもうガンガン使われてるのか？

age

しばらく待ってて

age

>>200
全然進んでないじゃんｗ

age

おれがやるかなｗ

>>197
Hartleは学部生用の本として使われていますよ。
Waldの前に読むのがいいかも。電話帳を読めるならそれに越したことはないけどね。

ごめん・・・なぜか、異分野のポスドクになっちゃってます・・・
安くないお給料出てるので、そっちに集中させて下さい

age

Waldを研究室のゼミで使っているところは限られているから、学校ばれるよな

age

電話帳とか読む時間があるのかどうかわからない・・・
キャロルの講義録じゃだめですかね

いや逆に電話帳よんで理解したほうが
最終的にわかるまでかかる時間の
節約になるのでしょうか？

電話帳は語彙レベル高いよ。

再開するか。
3のノート上げるから見る香具師手あげてくれ。
30分で5人越えたら続ける。

213だが一応コテつけとく

残念。
需要は無かったようだに。
1人で読んでることにする。

残念。
需要は無かったようだに。
1人で読んでることにする。

30分でレスつくわけねーだろ

この板は、非常に人が少ない。それを自覚すべき。
自作自演も非常に多い。

ＧＴＲの勉強のＢＥＳＴ−ＰＡＴＨは、自分の学んだ
道筋でしか紹介出来ないけれども、

＜数学的準備１：なくてもいいが⇒即、ディラックでも＞
●テンソル代数／解析の物理学に必要な形式での物理数学：
　フリュ−ゲェ「テンソル解析と連続体力学」

＜数学的準備２：物理の本と併読＞
●微分幾何／位相幾何学／多様体
　和達三樹「微分・位相幾何学」
＋長野正「曲面の数学」
＋松本幸夫「多様体の基礎」
⇒小林昭七「接続の微分幾何とゲージ理論」
＋酒井隆「リーマン幾何学」

●ＳＴＲ
アインシュタイン「相対論の意味」
⇒ランダウ／ジュ−コフ「相対性理論入門 増補新版」＋アベリヤノフ「わかる相対性理論」
⇒テイラー／ホイラー「時空の物理学」
＋ランダウ＝リフシッツ「場の古典論」前半
⇒菅野禮司 「微分形式による特殊相対論」

●ＧＴＲ
ディラック「一般相対性理論」
⇒ランダウ＝リフシッツ「場の古典論」後半
⇒内山龍雄「一般相対性理論」
⇒ミスナー／ソーン／ウィ−ラー「Gravitation」＋佐々木節「一般相対論」
⇒ホーキング／エリス
「The Large Scale Structure of Space-time」

age,up

age,

age

最近wald読み始めた学部4年です。
33ページのはじめの方の微分演算子の差は点pにおける双対ベクトル(タイプ(0,1)のテンソル)
からタイプ(0,2)のテンソルへの写像を定義する、というのはわかるんですが
その次の線型性から（性質1から）微分演算子はタイプ(1,2)のテンソルを定義する
というのがわからないので、どなたか教えてください。

よく見てないけど、(0,1)のテンソルからタイプ(0,2)のテンソルへの写像
は　結局タイプ（1,2）のテンソルに属するでしょ？

テンソルのタイプの意味や双対であることが理解できてる？

理解できてるかは微妙です
テンソルってベクトル空間とその双対空間の幾つかの積空間から
Ｒへの多重線形写像ですよね？
双対空間は考えてるベクトル空間の一次変換の集合に自然にベクトル空間の
性質を入れたやつだと考えてます。
この考え方でいくと
(0,1)のテンソルから、タイプ(0,2)のテンソルへの写像　じゃ無くて
(0,1)のテンソルから、Rへの写像　　　　　　　　　　　じゃないと
テンソルになってなくないですか？(上の添え字の方だけ考えてますけど)

age

釣られた？

>>226
＞双対空間は考えてるベクトル空間の一次変換の集合に自然にベクトル空間の
＞性質を入れたやつだと考えてます。
違うだろ・・・

すいません。かき間違いです
ベクトル空間の一次変換の集合→ベクトル空間からRへの写像の集合
でした

色々考えて以下のような結論に至りました
(微分演算子の差をM_a　双対空間をV＊とかきます)

M_a;ω_b∈V＊→M_aω_b∈T(0,2)
においてM_aω_bは(0,2)のタイプのテンソルだからRへの線型写像
すなわちV×Vの元を決めると上のM_aは
ω_b∈V＊→R
なる写像をdefineし、M_aは線型写像であることからこれも線型写像
すなわち双対空間からRへの線型写像であるからタイプ(1,0)のテンソル
結局M_aはタイプ(1，2)のテンソルをdefineしている

あってますか？

225でないけど、いいんでないの
その本手元にないんだが、テンソル場とテンソルの定義とかは明示してるのかな？

>>232
テンソルの定義は僕が書いたそのまんまです
テンソル場は多様体上の点pにおけるベクトル場Vによる
テンソルを各点に割り当てたものといってます

>>232
テンソルは僕がかいたそのまんまです。いわゆる
T;V*×V*×V*×V×V×V→R
という形の多重線型写像だと書いてあります
テンソル場は多様体上の点pにおけるベクトル空間Vp
によるテンソルを各点pに割り当てたものである
と言葉で書いてあります

すみません2個書いてしまいました・・・

何度もすいません
正確には
>テンソルを各点pに割り当てたもの
ではなくテンソルの各点pへの割り当て。
です

>>231
Waldには興味があったんでその部分読んでみたけど、どうも添え字の使い方で混乱する。
ω_b　がdual vectorなのかそのb 成分（ただの数）なのか、∇_b がe_b方向の方向微分なのか
∇自身を表してるのか判断しづらい。いちいち文脈から判断するのもねえ。

つーわけで不要と思われる場合には添え字をはずして書く。

Mω　が (0,2) タイプはよい。 M(fω) にf の微分がでないのがポイント。
次の
>V×Vの元を決めると上のM_aは ω_b∈V＊→R なる写像をdefineし
は混乱してる気がする。

とにかく、　M は ω（dual vector)を入れてMωにすると(0,2)テンソルになる。
つまりMωはVベクトル二つ受けて数を出すモノ。
だからM 自身は duall vector 一つとvector 二つ受けて数を出すもの。
つまり(1,2)テンソル。で、本当に大切なのは　fω　や fv を入れても、f の微分は
でてこないってことね。

>>237
ラテン文字はそれ自身をあらわしており、ギリシャ文字で書いた場合が成分です。

混乱とは？よく分かりません

>本当に大切なのは　fω　や fv を入れても、f の微分はでてこないってことね
ここではそれじゃなくて係数Ｒに関する線形性を言ってますよね？
237氏が言っている性質はその前で使ってるってことですか？

>>238
>ラテン文字はそれ自身をあらわしており、ギリシャ文字で書いた場合が成分です。

なるほどね。サンクス。よくラテンで空間成分だけ、ギリシャで時間成分まで
加えるって書き方あるけど、そういう使いわけもあるのか。

>混乱とは？よく分かりません

オレには書いてあることが理解できなかった。勘違いかもしれない。

> 237氏が言っている性質はその前で使ってるってことですか？

微分を考えてるからベクトルではなくベクトル場で考える。ベクトル場V(p)と
関数 f(p)に対して D[f(p)V(p)]=f(p) D[V(p)] が成り立つならDはテンソル。
D[f(p) V(p)] = f'(p) V(p) + f(p)D[f(p)] のようにf'(p) が出てくるとテンソルではない。
covariant derivtiveはテンソルにはならない。covariant derivativeの差はテンソルになる。

>>239
>covariant derivativeの差はテンソルになる。
テンソルになりますか？テンソルというのはベクトル空間の積空間から
Rへの線形性を持つ写像のことですよね？
DはRへの写像ではないのでは？だからこそ本文で
「Conseqently (∇~_a-∇_a) defines a tensor of type (1,2) at p 」
とisでなくdefinesを使っているのではないんですか？
わからなくなってきました・・・

∇~_aω_bや∇_aω_bは「点pから動くにつれてω_bが　どのように　変化するかに依る」
がその差を考えれば「点pにおけるω_bの値　だけ　による」
事の証明に関数に対する線形性D[f(p)V(p)]=f(p) D[V(p)]を使ってますよね？
すなわち点pのみが意味を持ちその周りの点は関係なくなって
点pのベクトル空間のみを考えればよく、その意味でD[V(p)] がテンソルになる
という言葉が意味を持つからD[f(p)V(p)]=f(p) D[V(p)] が重要という事ですか？

疑問点がいまいちわからんけど、答かもしれないものを書いてみる。
初等的な例だと、回転RはベクトルvからベクトルRvを出す。でも
dual vector w とvector v を引数にして数 w(Rv)を返す(1,1)tensor
ともみなせる。∇~_a-∇_a　もそういう見方で(1,2)tensorになる。
defines a tensor は「tensorをひとつ定める」

>事の証明に関数に対する線形性D[f(p)V(p)]=f(p) D[V(p)]を使ってますよね？

むしろこれは証明すべき目的。使っているのはcovaiant derivativeの
性質（公理的に与えているもの）。

>>241
>dual vector w とvector v を引数にして数 w(Rv)を返す(1,1)tensorともみなせる
その場合でもR自身がテンソルであるわけではなくvとwというvector とdual vector
に対してw(Rv)という数を返す　対応（写像）をテンソルというのでは？
すなわちvとwに対してw(Rv)を返すような写像をTと書くと
T；(v,w)∈V×V*→w(Rv)∈R(数)
なる「写像」を(1,1)のタイプのテンソルというのであってR自身を(すなわち∇~_a-∇_a)テンソルというのは
違うような気がするというのが僕の質問の意味です。

>むしろこれは証明すべき目的。使っているのはcovaiant derivativeの性質（公理的に与えているもの）。
一番初めに定義として微分演算子がライプニッツルールを満たす事を要求し
二番目にその性質から関数に対する線形性D[f(p)V(p)]=f(p) D[V(p)]を証明し
三番目に上の線形性を用いて微分演算子の差が双対ベクトルにかかった奴がテンソルになっている
という論法の様に思われます。

>に対してw(Rv)という数を返す　対応（写像）をテンソルというのでは？

vector二つから数を返す関数、ベクトルを入れてベクトルを返す変換、状況に合わせて
便利なほうの見方を選ぶ。数学的には同値だから。

>二番目にその性質から関数に対する線形性D[f(p)V(p)]=f(p) D[V(p)]を証明し

ここでのDがさすものは？

>>243
わかったかもです
計量テンソルも似たような事をしてます
例えばgはタイプ(0，2)のテンソルだから
g；Vp×Vp→R
なる写像ですが
添え字の上げ下げを考える時には見方を変えて
g；Vp→Vp＊
すなわちタイプ(1,0)から(0,1)への写像と見るのと同じですね？
ってことはこれの逆ですか？

>ここでのDがさすものは？
すみませんD＝∇~_a-∇_aです

そう、そんな感じ。引数に全部いれると数だけど、一部を残しておくと
dual vectoとかvectorとかそれらのテンソル積になる。
しかしWaldって表現が堅いというか、もろ数学的だね。MTWのGravitationなんかは
表現がもっと柔らかいからたまに比較すると理解を助けると思うよ。

> すみませんD＝∇~_a-∇_aです

ならいいんじゃないかな。∇だけだと f(p) v(p) に作用させると f' がでてくるから線形じゃないけど
∇~-∇　だとf' がキャンセルしてでてこず、線形になる。

微分演算子は線形って先入観があるから、この辺の議論って何が目的なのか
わかりづらいんだよね。線形の概念を係数が定数でない場合に拡張してるわけだけど。

>>245
なるほどありがとうございました
MTW持ってないんですよね〜
ペパーブックで18000円って・・・

たまに比べるくらいなら図書館で十分っしょ。

ついでに、sageのほうがいいとと思うよ。何か意図があるならいいけど。

さっきISBN調べてうちの図書館の蔵書調べたら
ありませんでしたorz

なんで下げのほうがいいの？sage教徒？

あげでよろしこ

>>248
ありゃ、あの３０年間売れつづけてる名著がないとは。
まあ今はWaldが定番らしいし、Wald集中でがんばるのもいいしょ。

でも機会があったら見てみるといいよ。なんと言っても
読んで楽しめるように書かれた教科書というのはめずらしいし。

>>251
わかりました。とりあえずWaldがんばります

一応荒らしも来てないしROM組の人はあげた方がｲｲみたいなのでageますね

46ページの
Namely, by re-scalinng t by an s-dependent factor, we may ensure that g_abT^aT^b
うんたらかんたら
の所はg_abT^aT^bでなくg_abS^aT^bの間違いですかね？

Waldが手元にない人用

γs(t)を滑らかな測地線のone-parametar familyとし
γs(t)で張られる二次元部分多様体をΣで記述する事にして座標系
としてsとtをとることにする。
ベクトル場T^a=(∂/∂t)^aは測地線のfamilyに接しておりT^a∇^aT^b=0
をみたす。またX^a=(∂/∂s)^aはdeviationベクトルという。
測地線γs(t)のaffine parameterizationの変化、t→t'=b(s)t+c(t)
の下でX^aはT^aの倍数の和(？　X^a　changes by addition of a multiple of T^a)
だけ変化するという意味で"ゲージの自由度"がある。
ここでX^aは常にT^aに直行するように選べる(微分演算子は計量から自然に導かれるものとする)。
Namely, by re-scalinng t by an s-dependent factor, we may ensure that g_abT^aT^b
うんたらかんたら

となってます。
加えてX^aはT^aの倍数の和(？　X^a　changes by addition of a multiple of T^a)だけ変化する
という所をなんか具体的に書き下せません教えてくださいませんか？
すみません。

>>253
いいえ、原文のままで正しい。　tに依存しないのは明らかだが、sにも依存しないように
できる、というのが主張。これをsで微分すると0になり、それと(3,3.16）を使うとXTがtに
依存しないことが示せる。

>>254
> 加えてX^aはT^aの倍数の和(？　X^a　changes by addition of a multiple of T^a)だけ変化する
γs(t) はs,t二つの関数。tの代わりにt'を入れるとt'はsの関数でもあるから
(d/ds)γs(t') = dγs/ds + dγs/dt (dt'/ds)になるということ。後者がmultiple of Tになる。

にしてもこの辺のWaldの議論はえらくあっさりしててしかも分かりやすいな。
Gravitaionの方は（比べると）ちょっとごちゃごちゃしてる感じ。
図を沢山載せて直観的な理解も狙ってるからかもしれんが。

>>255
すみませんまた書き間違えてました・・・
>g_abT^aT^bでなくg_abS^aT^bの間違いですかね？
ではなく
g_abT^aT^bでなくg_abX^aT^bの間違いですかね？
のつもりでした。
つまりTTでなくてXTでしょという事です

>>256
dγs/dt (dt'/ds)は
dγs/dt' (dt'/ds)のことですね？

なるほど、これは
Xがt→t'なるパラメータのとり方のもとで
X→X＋(dt'/ds)Tと変わってますね

僕にはもうちょっとくどくても良いですね〜

>>258は自分で書いといて間違ってるような気がしてきました

T∇XT=0（XTがtに依らない）を示す時
T∇XT=(1/2)X∇(TT)が0すなわちTTが定数なること使ってますね？

そう。いずれにせよ原文のままでよいはず。

ん〜しかしなんか納得できませんね。
Namely, by re-scalinng t by an s-dependent factor, we may ensure that g_abT^aT^b
から次をまとめてみると

1，sとtをΣの座標系に選んだからXとTはcoodinate basisの場になっているからXとTは可換
2，1を用いて(3.3.6)と同様の計算、T∇XT=(1/2)X∇(TT)=0によりXTはtに関して定数(測地線に沿って定数)
3，tにsに依存する定数を足してさらにparameterizeする事によりt=0なる点を集めた曲線C(s)が全ての測地線に直交するようにする
4，よってt=0において全てのsに関してXT=0一方これはtに関して定数であるから結局任意のsとtに対してXTは常に0

最後の結論4を見るとやはりTTじゃなくてXTがsに依らない事を示しているような気がします。

もしかしてensure〜ってのは
"これから"〜を使っていいのを保証しますよ　というより
"もう"〜は使っていいのを保証しますよ　って感じで使ってるんでしょうか？

そう。 may に注意。
それと、 reparametrization をして初めて　TT がsに依存しなくなるので、3.は２より前。

実のところ、パラメータとして測地線の長さ自身を取ることに決めてればこの辺は
自動的なんだけどね。Waldがaffine parameterまでにして長さにしないのは、きっとヌルの
場合も念頭においてるからだろうな。えらく注意深い。

わかりました
3.は２より前というよりも
1の前に一回reparametrizationしてますね
2回目が3でもう一回reparametrizationしてて
よく見ると一回目はre-scaling tだからt→b(s)t
2回目はadding a constant だからb(s)t→b(s)t+c(s)
としてますね。

いつもありがとうございます、ホントに助かります。
実はもう一つ聞きたいんですが。
51ページの真ん中からやや下
However, the torsion-free condition implies that the antisymmetrized
derivative of a one-form is independent od derivative operator,
が何をいわんとしてるかよくわかりません。
torsion-free condition は
反対称化されたconnection 1-formの微分は微分演算子に独立なことを示唆する？

今Appendix Bよんでるんですけど
もしかして(B.1.6)そのまんまの事ですか？

だね。torsin-free ならΓの反対称化部分は0になる。

おっと、座標基底なら、てことね。

ありがとうございます
やっぱAppendixの内容使ってるんですね

あとWald読んでる人このスレ見てないのかな？
僕しかいないですね〜

ついでに
ttp://www.physics.ucsb.edu/~phys231A/assignments.html
に幾つかWaldの問題の解答があるみたいです、活用してください。

Wald読み始めました。
なんとか近日中に追いつきます。よろしこ

おぉ〜
がんばってください。
僕は今3章までざ〜っと理解して、AppendixのBまでいってます
これからCかDまでやってもう一回1から3章まで復習するつもりですので
追いつくと思いますよ。

おぉぉ、このスレまだあったのか！
しかもちゃんと続いているとは…

(B.2.11)と(B.2.14)があっさりし過ぎてわかりません
a1からanまでの添え字に関して反対称という条件をどう使うんですか？
(B.2.14)は感覚的にはわかりますが式が書き下せません、教えてください

>>273
スレが出来た頃の方でしょうか？
超良スレになってますよ

どちらもn=2と3で具体的に書き下してみると分かると思う。

完全反対称性の役割は一つの成分ε_{12..n}が決まると
残り全部がきまるということ。具体的に書き下すと自明。
（p<nの場合は、nCpこが独立。）

B2.14では、B2.9でorthnormalを使って反変性分を共変成分で表わす。すると
共変成分が符号を除いて決まるから、right-handedを使って符号を決める。
やってみるとB.2.9の右辺の意味もわかるはず。

しかしεはB2.17を定義にするもんだと思ってたけど、B2.9を出発点にするという
のは面白いな。コンパクトではあるけど、その後の議論をB2.17あたりまで
追わないと定義の動機が読みとりづらい。いかにも数学的というか。
このあたりは付録だけあって情報が凝縮されてる感じ。自分でnを決めて
書き下してみないと理解できないと思う。書き下すと意外と自明なんだけどね。

例えば2次元で考えてみるとεを座標基底で分解したやつを
ε_ab=n!h(x1,x2){dx1_adx2_b-dx1_bdx2_a}
と書いて∇とると
∇_cε_ab=n!∇_ch(x1,x2){dx1_adx2_b-dx1_bdx2_a}
でいいんでしょうか？(関数hにだけ∇がかかっているつもりです↑)

上のように書いてよいとすると
ε^ab=n!h(x1,x2){(∂/x1)^a(∂/x2)^b-(∂/x1)^b(∂/x2)^a}
だから
ε^ab∇_cε_ab=0
はdxμ^a(∂/∂xν)_a=δμνを使って
4h∇_ch=0になってh≠0より∇_ch=0よって∇_cε_ab=0
でいいですかね？

んー、不必要に複雑な気が。おれが記号とか間違えてるのかな？
もっと簡単で、本にあるとおり∇_cε_abは(ε^abも）a,bに関して反対称だから
0=ε^ab∇_cε_ab=ε^12∇_cε_12+ε^21∇_cε_21
=ε^12∇_cε_12+ε^12∇_cε_12=2ε^12∇_cε_12
で、ε^12は0じゃないから∇_cε_12=0 。

同じように考えると、(B.2.9）の左辺の和は実はこけおどしで、
n! ε^1...n ε_1...n でしかない。

なるほどシンプルですね
ε_12などは基底で展開した時の成分ですね？

テンソルの計算をあまりちゃんとやったこと無かったんで
練習かねて完璧に書き下してみたんです。
記号の使い方は430ページの(B.2.1)の下の書き方を参考にしており
dx1などの1やμやνなどは双対空間の一次独立な基底の番号の事です

よくみたら >>276は間違いじゃないかな。右辺には
dxに∇がかかった項もでるはずでしょ。∇_cε_abは
「∇ε」のabc成分だってことはいい？

>>280
はいあそこは凄く考えたので大丈夫です
∇_c自身はテンソルではないけどこのように書くと本文にありましたね
>dxに∇がかかった項もでるはずでしょ
それがよくわからなかったんです

すみません
>テンソルではない
双対ベクトルではない　でした

>∇_c自身はテンソルではないけどこのように書くと本文にありましたね

この答だといまいちはっきりしない感じがする。
∇εがテンソル場（テンソル場εの共変微分だから）
という点がポイント。
>>278 の∇_cε_12　もテンソル場∇εの(1,2,c)成分だから、
共変微分の公式を使うとただの微分の項とΓとのcontraction項ふたつの
計3つの項の和になる。
>>276だとdx1, dx2それぞれに∇_c　がかかってΓがでてくる。

>>283
>∇εの(1,2,c)成分だから
この書き方はややまずいのでは？
cはラテン文字だからindex notationだから成分ではないですよね？

>dx1, dx2それぞれに∇_c　がかかってΓがでてくる
ほほう、では∇_cdx1_a=-Γ^b_cadx1_bから以下のような事がわかりますね
「任意の微分演算子∇を普通の微分∂(∇~)とChristoffel symbols Γ(C)の組で書くときには
∇のかかるテンソルの"成分"は∂によって、"基底"はΓによって完全に役割分担され"微分"される」

しかし276の書き方で正しくやると
∇_cε_ab=n!∇_ch{dx1_adx2_b-dx1_bdx2_a}+n!h∇_c{dx1_adx2_b-dx1_bdx2_a}
となって∇_cε_ab=0が言えなくなりませんか？

ttp://xxx.lanl.gov/abs/gr-qc/9712019の
Full-text pdfの(3.129)は成分にしか∇がかかってません
わけわからなくなりました

>cはラテン文字だからindex notationだから成分ではないですよね？

おっと、Waldの記号に慣れてないもんで。cの代わりにギリシャ文字、γを使えばいいんだね。

>任意の微分演算子∇を

なぜ任意というかわからんけど、とにかくg_abから定義される共変微分ね。

>となって∇_cε_ab=0が言えなくなりませんか？

なるはずなんだが。。　最後まで計算して確かめた？

>>285
見たけど（どうやって見つけたの、あれ？）
別に間違ってない、ごく普通の式。∇Xの成分を
まとめて書いただけ。

>g_abから定義される共変微分ね。
そうでしたg_abから定義される自然な微分でした
>最後まで計算して確かめた？
284の∇_cε_abの∇_chと∇_c{dx1_adx2_b-dx1_bdx2_a} が両方とも0にならなきゃいけませんよね？
一応やってみたんですがならないような・・・

>両方とも0にならなきゃいけませんよね？

あ、そこが違う。この論理展開だと分かりづらいか。
実はεは結局は(B.2.17)。だからhの微分とΓが関係つくわけ。

この(Waldの）論理展開だとやっぱ素直に >>278 （の一般化）を使って進み、
B.2.17までたどり着いたらそれを使って∇ε=0を計算で確認って流れになる。

>あ、そこが違う
まじすか・・・
わからないです

それなら先走らずに>>290のとおり進むのがいいと思う。

それはわかってるんですが、なんか気になってしまって。
手間を取らせて申し訳ありません
>hの微分とΓが関係つくわけ
わかったかもしれません二次で計算してみるとε∇ε=0なる条件は
∇_ch=h{Γ^e_cadx1_e(∂/∂x1)^a+Γ^e_cbdx2_e(∂/∂x2)^b}となりました。
また一次元のときはε^a=fdx1_aと展開すれば
∇_cf=fΓ^e_cadx1_e(∂/∂x1)^a
となりました

(∂/∂x1)^adx1_b=δ^a_b成立しますよね？
↑を使うと∇ε=0になりました

(∂/∂x1)^a はδ^a_1 でdx1_bはδ^1_b　。（座標基底が前提なら）

δ^a_1の_1は何を表しているんでしょうか？

一応僕の書き方を説明しますと
δ^a_bはVからVへの恒等写像であって
(∂/∂x1)^adx1_b=δ^a_bと両辺(∂/∂x1)^bと縮約とると
(∂/∂x1)^a=(∂/∂x1)^aとなるか成立するとしました
ただしdxμ^a(∂/∂xν)_a=δμνを用いています

>>296
あなたが >>294 でかいたx1 の1。x1というのは、座標の一つ目(x,y,zならx)だと思ったけど違うのかな？

記号についていけなくなってきた感じ。

> (∂/∂x1)^adx1_b=δ^a_b
これはなんで成り立つの？　(∂/∂x1)とdx1のテンソル積ならidentityになるとは思えないが。

>記号についていけなくなってきた感じ。
そういう書き方はWaldの中で一度も出てきたことがないのでよくわからないです
僕の記号の使い方の理解ではδ^a_1はタイプ(1,0)のテンソルに見えます
というのは^aはindex notationからタイプ(1,0)のテンソル、また_1はラテン文字ではないのでその名前
すなわちδ^a_1は"名前(番号でも可)が1の(双対じゃない)ベクトル"を示しているように見えます。

>これはなんで成り立つの？
まず>>297の(∂/∂x1)^a=(∂/∂x1)^aとなるか成立するとしました
は(∂/∂x1)^a=(∂/∂x1)^aとなるから成立するとしました
の書き間違いです。
まず(∂/∂x1)^adx1_bは(∂/∂x1)とdx1のテンソル積(のつもりでした)であり
タイプ(1,1)のテンソルです。
タイプ(1,1)のテンソルは見方を変えれば散々教えていただいたとおり
V→Vなる線型変換ですよね？
ここでVの元(∂/∂x1)^cにテンソル(∂/∂x1)^adx1_bを作用させる、すなわちcとbに関して縮約をとると
(∂/∂x1)^adx1_b(∂/∂x1)^bですがWaldではdxはp22の一番上の通り
dxμ(∂/∂xν)=δμνで定義していますから(index notationで書けばdxμ^a(∂/∂xν)_a=δμν)
(∂/∂x1)^adx1_b(∂/∂x1)^bの右二つはdx1_b(∂/∂x1)^b=δ11=1よって
(∂/∂x1)^adx1_b(∂/∂x1)^b=(∂/∂x1)^aとなるので結局
(∂/∂x1)^adx1_b=δ^a_bとしました
というか↑を逆にさかのぼって
(∂/∂x1)^adx1_b=δ^a_bの両辺と(∂/∂x1)^bの縮約とってdx1_b(∂/∂x1)^b=δ11=1
を用いると恒等式になるからそれを証明としました
(3.4.12)を証明する際に↑のような論法を使っているのでそこから考え方を拝借しました。

なんか↑の論法はおかしいような・・・
上の論法使わずに一般的に考えるとidentityじゃなくてprojectionのような気がする・・・

(∂/∂x1)^adx1_bを任意のベクトルv^b=�牌μ(∂/∂x1)^bに作用させると（�狽ﾍμに関する和）
(∂/∂x1)^adx1_bv^b=(∂/∂x1)^adx1_b�牌μ(∂/∂x1)^b=�牌μ(∂/∂x1)^adx1_b(∂/∂x1)^b
（ここでdx1^b(∂/∂xμ)_b=δ1μを用いると）
=v1(∂/∂x1)^a
やっぱprojectionですね

>そういう書き方はWaldの中で一度も出てきたことがないのでよくわからないです

x1が座標の一つ目(x,y,zならx)でないのなら、何を表してる？

>やっぱprojectionですね
そのとおりだけど、前の >>295 を使うとすぐわかる。成分がδ^a_1　δ^1_b　になる。
行列としてみると(1,1)成分だけが１、残りが0だから射影にほかならない。

と書くと、δ^a_1　δ^1_b　は数でなくてidentityにベクトルをいれた(1,0)テンソル云念って
反論がきそうだけど、普通の添え字記号では上の議論は自明なんだよね。Wald記号
でも自明にならないはずはないだんけど。a,bをα、βに置き換えればいいのかな。

>x1が座標の一つ目(x,y,zならx)でないのなら、何を表してる？
僕はギリシャ文字や数字に関しては^や_をはしょってるだけで
たぶん同じ事を言ってるような気がします。

>a,bをα、βに置き換えればいいのかな。
恐らくa,bをμやνに書き換えるんだと思います
そうじゃないと δ^a_1は数ではなくベクトルです。

α、βでも良いと思います

「たぶん」とか「気がする」と書かれると不安だけど、まあいいや。 x1 は座標の
一つ目として話を進めるね。

>>302 は「特定の座標系(x1,x2)とそこでの座標基底{∂/∂x1,∂/∂x2} での
成分を使う」ことを書くべきだった（普通は文脈から分かるのでつい省いてしまう）。
その前提で
δ^a_1　δ^1_b　の成分δ^α_1　δ^1_βは行列の形に書くと
(1,1)だけが1、他は0の行列になる。
だからδ^a_1　δ^1_b　は∂/∂x1　が張る部分空間への射影。

でWald記号と合うかな？

>(1,1)だけが1、他は0の行列になる。
(∂/∂x1)^a =δ^a_1は成分で書くと(縦ベクトルの)(1,0)　
dx1_b=δ^1_bは成分で書くと(横ベクトルの)(1,0)
だからですね。

>でWald記号と合うかな？
オッケーです

>>306
>だからですね。

そういうこと。ちなみにこういう風に特定の（成分が簡単になる）
基底や座標系で議論して、そこから一般的な性質を
だすのもテンソルの議論で一つの定石。

>オッケーです

サンクス。

>一つの定石。
なるほど，そういえばゲージ理論でもゲージ場のプロパゲータを計算する時
偏光ベクトルの完全性を証明する際にもそのようなことをしたことがあります。
なんかいろんなこと考えながら勉強すると時間かかるけど
凄くいろんなことがわかって勉強になりますね〜
でも(∂/∂x1)^adx1_b=δ^a_1δ^1_bがidentityじゃなくてprojection
であるという事を使うと計算が(2次元以上の時)出来なくなりました(∇ε=0ができない)
もうギブアップぽいですorz
せっかく>>284とか>>301とかわかってきたんですけどね〜

ためしにε_ab　に(B2.17)を入れて直接計算したら、確かに0になるけど思ったより
面倒だった。det(g_ab)の微分とΓの関係とか完全反対称テンソルの扱いとかの
細かいテクニック使って何とかってとこ。
こうしてみるとWaldの議論は手際がいいなあ。

>何とかってとこ
そうなんですか。僕にはまだ出来そうにないですね

>>275は(B.2.14)は直交基底使うと(B.2.9)は
�買ﾅ^μ1ν1η^μ2ν2・・・η^μnνnε_μ1・・・μnε_ν1・・・νn　(�狽ﾍ全てのμとνに関する和)
=(n!)(ε_1・・・n)(ε_1・・・n)det(η^μν)=(-1)^s(n!)
で四次元のLorentz多様体を考える時はdet(η^μν)=(-1)^sでright-handed
なる事を使いε_1・・・n=1と決めれば
ε_a1a2・・an=e1_[a1・・en_an] (ただしe1からenはright-handedな直交基底)
なるから

(B.2.14)でいいんでしょうか？(具体的じゃなく一般的な場合をしましたが)

あんまりウォルドの記法に囚われてしまわないようにしたほうがいいと思う。
他の人の論文では他の記法だったりする訳だし、
記法にはおおらかになったほうが後のためだと思います。
式計算の導出を感覚ですませていいというわけではありませんけど。

>>310
いいと思う。まあηはただの対角行列だから行列式持ち出すまでもないけど、
もちだせば対角じゃない場合にもつかえるしね。

>>311 はもっともだけど、Waldの教科書に専念するならその記法で通すのも
いいかもしれない。十分マスターしたと思ったら「おおから」になることを試みる。
ラテン文字とギリシャ文字を使い分けるタイミングをつかめば
かなり便利な記号という気がする。

>>311，312
まずWaldの記号で理解してから他の記号に慣れようと思ってます
初めに勉強する時は記号は統一した方がわかりやすいと思うので

B.3の3行目がわかりにくいです

Wxは次のような意味でxに対して滑らかに変化することが要求される
すなわち、各x∈Mに対してxのopen neighborhood Oがとれる
という趣旨なのはわかりますが、such that in O, W is spanned by C∞ vector fields.
がわかりません。

such that in Oは
Oの中にopen neighborhood Oがあるって事なんでしょうか？
意味不明です

there is X such that Y ってのは、 Y を満たすようなXがある、って数学の言い回しです。

上の場合は Y が in O, W is spanned .... 全体です。
Oの中では W が C∞で張れるようなそういうOがとれる、という言い回しです。

>>316
なるほどサンクスです

もう一つお聞きしたいんですが
smooth specificationってのが上手く訳せないのですが
なんと訳すべきでしょうか？

そんなのあったっけ。何ページの何行目あたり？

435ページのFrobeniusの定理の中です

専門用語でこれっていうのがあるのかもしれないけど、オレはしらないな。
参考までに、おれが意訳するとしたら

「Mの各点xの接空間それぞれの中にm次元部分空間を連続的に指定し、それら
全ての集合をWとする。そのWが積分部分多様体を持つための。。。」

ってことかな。本当は「連続的」じゃなくて「滑らかに」なんだけど、かえって
分からなくなりそう。イマイチではあるが、これ以上はカンペン。

僕の訳は
「各点x∈Mの接空間のm次元部分空間のcollectionである滑らかな仕様の(smooth specification)W
が積分部分多様体を持つための必要十分条件はWがinvoluteなる事
すなわち全てのX~a，Y~a∈Wに対して[Y,Z]^a∈Wなることである」
としました,ん〜だいぶ意味が違ってきますね。

「滑らかな仕様の(smooth specification)W」というのが
日本語としてよくわからないな。
「「滑らかな仕様の」＝「滑らかという性質を持つ」　という意味？

そうです

321さんと結局かわらないことを書くんですが、224さんのために多少説明すると、

smooth specification W というのは、to specify W smoothly を名詞化したものだと思いますよ。学問的な英語はそういう用法が多いので、英語で名詞のところを名詞に訳していると意味がうまく通らないことはよくあると思います。

だから、「〜collectionを滑らかに specify したもの W が ... 」です。
specify は選ぶ、っていう単語の堅苦しくしただけのものです。

あと、単語を辞典で調べるのはもちろんですが、その後はなるべく日本語に訳さないようにして英語のまま理解するようにしたほうがいいと思います。

>>325
>to specify W smoothly を名詞化したもの

うまいいいかたっすね。

>>322-324
英文が a specification, W, of ... 。だからWというのはa specification そのもの。
「選ばれた結果できたもの」と解釈すべきだと思う。

>>325
>「〜collectionを滑らかに specify したもの W が ... 」です。
>specify は選ぶ、っていう単語の堅苦しくしただけのものです
なるほど〜、非常にしっくりきますね
>英語のまま理解するようにしたほうがいいと思います。
将来のためにそうしようとは思ってるんですがなかなか難しいですね

>>326
そうですね、やはり>>321氏と325氏の訳がただしいですね
>>All
なんか人が増えてきましたね
非常にありがたいんですが、誰と話をしているのかわかりにくいので
できれば僕のようにレスの番号だけでも名前欄にふって頂けませんか？

439ページのx^1→x^1+tなる所は
p∈Mなる近傍での座標系ψを取って
ψ(p)=(x1,x2・・・xn)とすればψ(Φ-t(p))=(x1-t,x2・・・xn)となるから
x^1→x^1-tではないんですか？↑の論理のどこが間違っているのでしょうか？

そこの文(The action of ...)だけだと何に対するactionかがはっきりしないので分かりづらいが、
テンソル場に対するactionが(C2.3)になるのは正しい。だから、その意味で言っているのだろう。

つまり点の座標に対する作用ではなく、場に対する作用が形式的に座標変換x1->x1+tと
同じになると言ってるんじゃないかな。

そのようですね
(Φ-t^*T)(p)においてΦ-t^*=Φt_*と書けば
↑は点ｐをΦtで移動させΦt(p)という点でのテンソルＴを考えて
それを元の点ｐに(やや言葉が変ですが)pull backして見ている。
これは結局点ｐでのテンソルＴを座標変換x^1→x^1+tしてそのまま点ｐでの値をみているのと同じだから
Φ-t^*=Φt_*は座標変換x^1→x^1+tに対応すると言ってるという事ですよね？

>Φ-t^*=Φt_*は座標変換x^1→x^1+tに対応すると
すいませんΦ-t^*じゃなくΦ-tです

追加です、この間教えていただいた"定石"はまさに今回の
£vw^a=[v,w]^aを証明する時に使ってる方法ですよね？

そーゆーこと。vの積分曲線群を使って座標系を作ればｖに関係した量の成分が
ごく簡単になり意味も見えやすい。しかもそこで等号を証明しさえすれば任意の
座標系での等号を証明したことになるので便利。

>そーゆーこと
サンクスです
>>rom
comformal transformation を飛ばしてch4に行きますね
（なんかch6や7の話も出ているので）

age

57ページが凄く読みにくいです・・・
抜き出して書いてみると

まず物理的に興味のある量はみんなテンソル量であるから
物理の方程式はテンソル方程式である
"general covariance"という物理法則の形式に適用する重要な原理がある
それは空間の計量は物理法則の中に現れる空間に付随するだけの量にすぎない
(でいいんでしょうか？よく意味がわかりませんが)
といってこれは特別なベクトル場やベクトル場の基底は存在しないという事
だといって
色々あって
下から9行目のHoweverの文は方程式のテンソル的ではないような性質は
extraな幾何学的構造の方程式への"explicitly"な組み込みの失敗による
といっているんでしょうか？
そしてこれは"general covariance"の形式化が上手くいっていないからまずい
といっているんでしょうか？

>方程式のテンソル的ではないような性質は
>extraな幾何学的構造の方程式への"explicitly"な組み込みの失敗による
すぐ下のΓの例を見ると
方程式のテンソル的ではないような性質は
extraな幾何学的構造の方程式への"explicitly"な組み込みをしてないことによる
というように訳すべきですか？
そしてこれがなされると(例えば普通の微分∂を選ぶとテンソルΓが対応する)
方程式がテンソルの性質を持つようになるけどgeneral covarianceの形式化が崩れると？

あまり一文にこだわらない方が良いですよ。
Wald 先生がその一文を書くのに掛けたであろう時間以上
解釈にかけていると何か変です。
もちろん、日本語訳してるぶん大変ですが、それを
考慮にいれてもあまり一文ばかり考えても仕方ないです。

物理の理論には実例で学ばないと納得できないはなしがいくらもあります。
数式の変形を通じて理解をして、それをあとで自分や他の人に
わかりやすいように英語/日本語で表現してるんだと思います。

だから、英文和訳の上手さを問われてるんじゃないので、
だいたい意味が取れたら手を動かして計算をいろいろ
やってみたほうがいいと思います。

>>338
大体の意味がわからない時だけ和訳の質問をしています
さらにcp4では基本方程式のアインシュタイン方程式を導出しているので
そこに至るまでの物理的考察を意味のわからないいまま進むのは
本を読む意味が全く無くなってしまうと僕は思います。
僕にとっては基本の方程式の導出が物理理論において最も興味のあるところですので
cp1、2、3よりもずっと神経質になって意味を拾いたいという事もあります。

なにこの良スレｗ

もう一度57ページをよく読んで流れを書きました
ホントにここは自信がないのでおかしい所を指摘してください。

1，物理の方程式は一般にテンソル方程式である

2，物理法則の形式に"general covariance"なる原理を適用する

3，それは空間の計量は、物理法則の中に現れる空間に付随するだけの量にすぎないという事である

4，特に、物理法則にでてくる空間の構造に付随するだけの量であるベクトルやベクトル場の基底に特別なものは無いという事

5，歴史的に物理法則がテンソルでかかれることやgeneral covarianceに対する議論が多々あったのでこれらのアイデアによる我々とは違う形式化について言及する。

6，多くの取り扱いでは座標系をとって座標基底の成分で方程式をかいている(我々の形式化では既に方程式はテンソルでかかれるというように仮定されている)

7，我々のgeneral covarianceの形式化が破壊されたとする、すなわち特別なベクトル場v^aが存在したとする。

8，(∂/∂x1)^a=v^aなるよう座標系を取る

9，我々は上の座標系で物理の方程式を成分で書き下す(方程式にexplicitlyにv^aを組み込むのではなくその成分(1,0,0)で書く)

10，そうすると(∂/∂x1)^a=v^aとはならないような座標変換において方程式の形が保存しない

11，このような取り扱いでは一般座標変換に対して方程式が保存しない

12，さらに(2.3.8)の様に変換されないからテンソル方程式でもない

13,しかし我々の観点においては、方程式のテンソル的ではないような性質はextraな幾何学的構造の方程式への"explicitly"な組み込みをしてないことによる

14，もしこれがなされれば方程式はテンソルの性質を持つが付加的な空間に付随する量の出現によりgeneral covarianceの形式化は破壊される。

まだ読んでる途中だけどとりあえず、３の訳がおかしい。only は「唯一の」と訳すべき。

空間の性質の中で物理法則に現れうる唯一のものが、空間の計量である。

4.は、間違ってるとは言わないが、誤解を招きやすい日本語になっている。

特にベクトルやベクトル場の基底の中で、どんな物理法則にもでてくる空間の構造のみに付随するものには、特別なものは無いという事

後はだいたいいいかな。14では「テンソルの性質を持つが」　の後にカンマをいれていったん切らないと取り方を間違えるかも。


要するに（あなたも知ってるだろうけど）空間は等方的だから特別の方向というものはない。だから特別のベクトルもない。
空間の性質を反映する唯一ものもが、計量テンソルである、ということを見方を変えたりしながら説明している。

>「唯一の」
ほんとだ・・・
意味がやっと通りましたorz

>要するに
計量テンソルは感覚的に言えば
空間に"ものさし"と"分度器"を決めるものであって空間の
特別な方向を決めるものでいから
計量テンソル=空間の構造のみからきまるようなベクトルやベクトル場の基底の中
には特別なものは存在しないということでしょうか？

>特別な方向を決めるものでいから
ものではないから
です

>>339
>僕にとっては基本の方程式の導出が物理理論において最も興味のあるところですので

Wald 読み終わったら、Weiberg/Feynman などの解説も読んで、
Einstein 方程式には全然別の哲学的解釈、導出もあるんだというのを
勉強しておくことをおすすめしますよ。ぶあつい Gravitation の
何章だかにいろんな導出の一覧が載っていたと思います。

まあ個人の趣味なので以下無視してくださって当然なんですが、

基本方程式は実験結果を説明できるように見いだされたもので、
その「導出」とかいうのはその基本方程式を覚えやすくするために
後付けでなされるものだと思います。
だから哲学的な導出をあんまり勉強しても仕方がないと思います。

一般相対論は Einstein の哲学的な考察から出たというのは
歴史的に事実ですが、他の大抵の理論は上の段落にかいたような
道筋をたどってると思います。

というわけで、テンソルとか学んで、
Einstein 方程式書けたら計算したほうがいいと思うな...

>>344
>計量テンソル=空間の構造のみからきまるようなベクトルやベクトル場の基底の中

こｌこの=の意味がわからない。

>空間に"ものさし"と"分度器"を決めるものであって空間の

角度は長さできまるから(余弦定理）”ものさし”を決めるといいえば十分でっしょ。

>Wald 読み終わったら
ほほう、それは楽しみです。
情報サンクスです
>他の大抵の理論
そうなんですよね僕の趣味としては
まだ古典力学と電磁気学は良いとしても
量子力学(苦手なわけではないですが)は反吐が出るほど嫌いです。
「こんな哲学の無い学問が真理のはずがない(事実をある程度予想しうるとしても)」
と思っています。まだガキなんでｗ

>>347
計量テンソル=空間の構造
ではないんですか？
>十分でっしょ
そっか、そうですね

>>349
＝の右辺がどこまでつづくかが分からなかった。「空間の構造」までね。

それでも

計量テンソル=「空間の構造」　のみからきまるようなベクトルやベクトル場の基底の中

という言い方はちょっとひっかかる。例えばもし計量テンソルが
Killing vector場をもてば、それが特別なベクト場になるからね。

ほんとですね・・・
じゃあこの解釈はまずいですかね
4，のどんな物理法則にもでてくる空間の構造のみに付随するものには
の中の「どんな物理法則にもでてくる空間」がネックなんでしょうか？

なんか58ページの下のほうにそれに関連した事がかいてありますね

どうやら
general covarianceが成立する→isometriesの下での物理法則のspecial covariance
他の言い方をすると
本質的にはgeneral covarianceの原理はisometriesが存在しない場合の
special covarianceのアイデアの形式化とみなせる。
と言ってますから、ここでは
計量テンソルはKilling vector場(isometries)を持たないとしていいんでは？

うーん、57-59を2,3回読んだんだけど、なかなか分かったという気がしない。

どうも例え空間がKillng verctor場を含んでいても、そのベクトル場は物理法則には
現れない、現れるのはあくまでmetricだけ、それがgeneral covarianceだ
といってる気がする。

> 本質的にはgeneral covarianceの原理はisometriesが存在しない場合の
> special covarianceのアイデアの形式化とみなせる。

確かにそう書いてあるけど、ここはisometryは座標変換をあるセットに制限するのに
使っているだけで、isometryがなければ座標変換は一般座標変換に広げざるをえない、
それがgeneral covarianceだ、て意味じゃないかなあ。isometryがkilling vectorに
関係すると言われればそのとおりなんだけど。

ここはこのくらいにしといて、先に進むのがいいと思う。こういう一般的な原理は
実際の例で使ってみないとなかなか分からないから。

>どうも例え
僕も何度も読み直しましたがそのように言っていると思います
たぶんKillng verctor場はgから直接決まる量(gと直接方程式で結んである)
じゃないから物理の方程式には出てこないって事でしょう。
なんかこのセクションは説明が意味不明です
3から4への説明もないし、58ページでは「興味のある対象がテンソル場Tで書かれると仮定し、
general covarianceが成立するとするとTは計量と計量から決まる量のみを含む方程式によって決まる」ですと？これは4とも3とも違いますし、わけが解らないです。

>ここはこのくらいにしといて
338氏のアドバイスもあって進んだらわかるかと思って
進みながら何回も4.1に帰ってきてますが
やっぱりよくわかんないですね(ただし66、67ページは秀逸です、面白い)
もう少し進んでみないとわからないかも

それと質問なんですが75ページで使う(C.2.15)が僕には示せません(難しくないらしいですがorz)どうやるんでしょうか？
しかもなんでThis means that γ_ab and γ_ab+£ηabのところのηはgじゃなくて更に＋じゃなく−なんですか？

>進んだらわかるかと思って進みながら何回も4.1に帰ってきてますが
進んだらわかるかっていうのは10ページとかそういうことじゃないよ。
Wald 読み終わった頃にほかの計算をしていてふと腑に落ちるとか
そういう感じ。何年経ってもそういうことはあります。

たぶん知識を増やすって事ですよね？(更にそれを整理するための時間かな？)
かなり気になるんで、ものすごくちょっと知識が増えたら戻って考えてって
やることもいいかなぁなんて思ってますが。

知識を増やすって事ではないと思いますが、
まあ数年たってからこのスレに書いたことなど思い返してみれば
どういうことかわかると思いますよ。

>知識を増やすって事ではないと
僕の言葉のチョイスがまずかったですかね
なんか自分の中に蓄積されたものからくる物理的なカンみたいなもんだと
思ったんですが。そうじゃないなら僕にはまだわからないですね。

>やっぱりよくわかんないですね(ただし66、67ページは秀逸です、面白い)

実際に物理の方程式を作ってるようだけど、その作り方にgeneral covarianceは
現れていない？　（といいつつおれは斜め読みなんではっきりとはいえんのだが）
67ページの、重力はなくてあるのは地球からの力だけってのは確かにimpressiveだね。

>75ページで使う(C.2.15)が

ｖがgenerateする曲線群を座標の一つとする座標系を使うやり方で
でるんじゃないかな。

>実際に物理の方程式を
僕の理解では使ってませんね、粒子の運動方程式は等価原理、及び空間がflatな場合に
special relativityに一致する、あとは美的センスという3つの手法で形式化し
アインシュタイン方程式は、マッハの原理とニュートンの理論を使って形式化しています
なんかgeneral covariance(68ページの記述では計量と計量から決まる様な量は物理の方程式に出て来うる唯一のspacetime quantities)
はspacetime quantitiesという言葉がnot well definedだという時に一回出てきてますが
not well definedじゃ使えないのでは？なんて思いました。

>ｖがgenerateする曲線群を
記号の使い方で混乱しているのでしばしお待ちを

基本的な質問なんですが441ページは
γ_ab=dg_ab/dλ|λ=0 (g(λ)をλで微分してλ=0とする)
γ'_ab=d(Φλ^*g_ab)/dλ|λ=0 (g(λ)をΦλ^*でcarries alongしたやつをλで微分しλ=0)
という理解でいいんですよね？

そう。つまり(C.2.3)と同じということ。おっと、tの符号には注意。

計量テンソルの成分の摂動に関するパラメータの依存性を()、座標値を{}で書きます、
ただし第一成分のみ,また極限値はすべてλ→0を示しγ、gなどはμν成分を
表現しているとします(書く必要ないので)

γ'{x1}=d(Φλ^*g(λ))/dλ|λ=0=lim[g(λ){x1-λ}-g(0)(x1)]/λ （g{x1-λ}をテイラー展開して2回以上の微分はどうせ落ちるので無視）
=lim[g(λ){x1}-λ∂g(λ){x1}/∂x1-g(0)(x1)]/λ=-∂g(0){x1}/∂x1+lim[g(λ){x1}-g(0){x1}]/λ
=γ{x1}-£g(0){x1}

計量の成分はC∞としましたが

>>rom
もう少し詳しく書くと
γ'{x1}=d(Φλ^*g(λ))/dλ|λ=0=lim[Φλ^*g(λ){x1}-Φ0^*g(0){x1}]/λ
ここでΦλ^*g(λ){x1}=g(λ){x1-λ}、Φ0^*g(0){x1}=g(0){x1}より
=lim[g(λ){x1-λ}-g(0){x1}]/λ

です

いいと思うよ。おれは（同じことだと思うけど）こんな感じに済ましてたけど。

Φλ^*g(λ)　でλは摂動パラメータであると同時に曲線群に沿った点のずらしの
大きさも表す。曲線群をx1に取った座標系でgの成分はg_αβ(λ,x1-λ)。
（最初の引数が摂動サイズ）。λで微分すると最初の引数での偏微分と二つ目の
引数での偏微分の二つの項がでて、第一項がγ{x1]、第2項がリー微分。

といいつつ実を言うと、おれはdiffeomorphismっていまいち慣れないんだけど、これは
一般座標変換とはちがうんだよね？　よくある回転対称性の議論で座標系の回転と物
理系の回転と流儀が二つあるけど、diffeomorphismって後者に当たると思っていいのかな。

>（最初の引数が摂動サイズ）
そうか〜、そう書けばよかったのか。
気づきませんでした、↑のようにかけると自明ですね。
僕は座標はどうやってλの微分の中で考慮されてるか混乱してました。orz
>といいつつ実を言
同じですよ。438ページの一番最後から439ページの初めにかけてその記述があります。
Waldでははじめactiveな観点から導入していますが、passiveな観点と同値だといってます。

> 同じですよ。438ページの一番最後から439ページの初めにかけてその記述があります。

おお、ちゃんと明記されてるね。ご指摘ありがとう。

75ページの(4.4.9)やA_a→A_a+∂_aχなどで符号が逆なのは
便利のためAppCで考えてる奴の逆変換を考えてるって事なのでしょうか？
（vじゃなくて-vを考える）

そうだと思う。「便利のため」以外の理由がみあたらない。

やっぱそうですよね
ありがとうございました

読み始めたけど、なかなか追いつかないです。なにか疑問点があるときはよろしこ。

難しいですからね〜
このスレ見たら大体書いてありますけどね
僕もこんなに進まない本を読んだのは初めてですｗ

すみません80ページの(4.4.34)はどこから出てきたんでしょうか？
なんかいきなり出てますが・・・

　　　　,.、,､,..,､､.,､,､､..,_　　　　　 　／i
　　　;'｀;、､:、. .:、:,　:,.: ::｀ﾞ:.:ﾞ:｀''':,'.´ -‐i
　　　'､;: ...: ,:. :.､.∩.. .:: _;.;;.∩‐'ﾞ ￣ ￣
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　　　　　||　 ||￣￣￣￣￣￣￣||

いきなり出てきますが、それを使ってゲージ変換するとγ=γ_0μ=0 になるのはチェックできるでしょ。日本語の本でも「唐突だが〜としよう。するとうまくいく」というのはよくある。あれです。

>>376
よ〜く眺めたら解りました。
γ'_ab=γ_ab+∂_aξ_b+∂_bξ_a
ただたんに式aは上式の添え字をあげて縮約とって=0
bはaを微分して∂^b∂_bξ^a=0を使ってるだけ
cもdもそうでした
すみませんでした・・・orz

>>rom組
荒れるのｲﾔなんでもうsageます

>>377
なるほど。(4.4.9)（か(4.4.27)の上）式でξが満たすべき条件を書いたわけか。
>>374を見たけど入り組んできてよく分からないなあと思ったところ。サンクス。

ん？376=378氏でしょうか？？
>>rom組
気づいたんでついでにいうと
364の書き方はやや誤解を生じるかもしれませんね(Waldもそうですが)
リー微分をしてから極限とるか、極限とってからリー微分するかで。
さらに75ページの一番下の方の式10と11において、
10では"前のγ"、11では"新しいγ"をあらわしていて初めからダッシュを端折ってあります。
(4.4.40)は(4.4.19)と睨めっこして>>285の152ページあたりをみると理解の助けになりました。

まぁ全部たいした事じゃないですが。

追加
82、83ページも>>285のch6を見ると非常に理解がしやすいです
(というか解説してあるｗ)

すいません↑は僕です、ついでにsage忘れです

質問です
あるベクトル空間に計量を入れること(内積をいれること)と
Vの双対空間というものを考える事は同値でしょうか？
(Waldでは下から上という論法でしたから上から下がいえるかどうか)

質問の仕方がややおかしいかな？
>Vの双対空間というものを考える事
は
ベクトル空間VにたいしてVからRへの線型写像を考える事
としたほうがいいですね
こうすると両方自明かな？

双対空間は自然に入るもの。
計量は、線形写像VxV->R の要素からある性質（g(v,v)>=0とか）
をみたす元を一つ選んで、「内積」という意味を与えること。
と考えると別物だと思う。

>>381
別に下げなくていいですよ
どうせあげますので

>>384
>双対空間は自然に入るもの
ベクトル空間に計量g(,)が入っているとすると
任意のv∈Vにたいして{g(,v)}なる集合が定まる
これはVからRへの線型写像の集合である
ここでg(,v+w)=g(,v)+g(,w)∈{g(,v)}
などから{g(,v)}はベクトル空間になりこれを双対空間と呼ぶ。

一方、ベクトル空間VにたいしてVからRへの線型写像の
存在を認めれば（ここが自然？）、
Wlad本文よりそれら全体はベクトル空間をつくり
それを双対空間と呼ぶ。ここでWald本文にあるように(19ページ下)
任意のvに双対な元v*のがとれる(成分そのまま基底に*付ける)
そうすると自然に(？)vとv*からRへの写像が定まる(成分2乗の和)
これは内積である。

物理学科の僕にはこれが限界です・・
(数学屋さんいないかな？)

>存在を認めれば（ここが自然？）、

そう。存在は確実でしょう。なぜなら>>386の後半にあるように、Vの基底（dimV個のベクトル）
を一セット選べばRへの線形写像（線形関数）がdimV個作れる。それらの一次結合の全体を
作るとそれがV* 。つまり線形関数全体の集合。
基底の選び方を変えるとできるdimV個の線形関数は前とは違うものになるが、
一次結合の全体を取ると空間として同じモノになる。

但し、Vの要素一つに対して、V*の要素一つを対応させる自然な規則は存在しない。
もし計量が入っていれば、それを使って対応をつけられる。それが >>386の前半。

でも p.20 の一行目の"identifying V* with V"の意味がいまいちわからないな。
もしVの要素一つでV*の要素を決めるってことならいいのだけど、どうも集合と
集合の対応づけみたいな書き方って感じ。

まあ私も物理屋なので。。。

>そう。存在は確実でしょう。なぜなら
む〜、そういえばベクトル空間から数を作るためには
基底を選ばなければいけませんからね
（ってことはV→Rなる写像を決める⇔Vの基底を選ぶ？）
>基底の選び方を変えるとできるdimV個の線形
それはまずいでしょう、そうならVからV*への自然なisomorphismが存在する事に
なってませんか？(基底のとり方に依らない)
>但し、Vの要素一つに対して、V*の要
書いてありますね(すっかり忘れてました)。ってことは
計量を入れることと、双対空間を導入する事は同じじゃないって事ですね。
>でも p.20 の一行目の"identifying V* with V"の意
Vの基底の取り方によってV*がいっぱいできるから、一とおりの
isomorphismがないって言ってるんでしょう(V*が一意に決まらない)
でも計量を入れるとV*がVから一意に決まると(一意じゃなくて自然にのほうがいいかな？)

>それはまずいでしょう、そうならVからV*への自然なisomorphismが存在する事に
> なってませんか？(基底のとり方に依らない)

えーと、なってないと思うけど。というか、何を言ってるのかよく分からない。
その「自然な、基底の取り方に依らないisomorphism」を具体的に構成できる？

完全に勘違いしてました、すみませんorz
なってません
388の訂正です
>Vの基底の取り方によってV*がいっぱいできるから、一とおりの
>isomorphismがないって言ってるんでしょう(V*が一意に決まらない)
>でも計量を入れるとV*がVから一意に決まると(一意じゃなくて自然にのほうがいいかな？)
もちろんVの基底の取り方を
どんな風にとってもV*そのものに変わりはありません。
さらにどんな有限次元ベクトル空間も基底を決めると数ベクトル空間
と同型になりますよね(成分を取りだす写像によって)
同型てのはベクトル空間としての構造が同じという事であって
Vの基底v_μをV*の基底v^μ*へ移すという対応によってVとV*は同型になりますが
このような対応はVの基底のとり方を変えるとV*の基底も変わり
基底の取り方に依存するから"(isomorphismとして)自然"ではありませんが
VとV**は基底のとり方に依存しない自然なisomorphismがあったから
(同じ構造であるという"同型"からもう一個進んで)VとV*をidentifyした時のように
計量で基底のとり方に依存しない自然なisomorphismを作れるから（g(,v)）
この対応によってVとV*を同一視するという意味でしょう

と書くべきでしたホントにすみませんでした。

> 基底の取り方に依存するから"(isomorphismとして)自然"ではありませんが

ここまではいいけど、こっから後が文が長くて読みづらい。
「ありません」で「。」をいれて残りを整理したほうがいいと思う。
まあ、だいたい分かったからいいけど。

>整理したほうがいいと
そうですね、その後は、

一方VとV*を(同じ構造であるという"同型"からもう一個進んで)identifyする事が出来るのは、
VとV**には基底のとり方に依存しない自然なisomorphismを作る事が出来たからです。
これと同じようにして、計量を使って基底のとり方に依存しない自然なisomorphism　g(,v)
を作れるから、この対応によってVとV*をidentifyするという意味でしょう。

としたら読みやすいかな？

書き直しありがとう。
VとV*をidentifyしたというのは要素の間に対応づけを作ったという
意味なんだね。それならわかる。

質問です
93ページの真ん中から下の意味が取りにくいんですが

もし�狽ﾆu^aが直交していないとするならば
isotropic observersとhomogeneity　surfaces �� のfamilyがuniqueであると仮定することによって、
u^aに直交するtangent subspaceが�狽ﾌtangent spaceに一致するように出来ないという事は
幾何学的にpreferredなspatial vectorをconstruct出来る、これはisotropyの破壊になっている。

という意味ですか？

>>393
いえいえ、僕は質問させていただいてる方ですので。
それにしてもホントにこのスレは勉強になります、
このスレが無かったら僕はとっくの昔にWald挫折してます。
いつもありがとうございます>>all

>>394
isotropic observersとhomogeneity　surfaces �� のfamilyがuniqueであることを前提とすると
u^aに直交するtangent subspaceが�狽ﾌtangent spaceに一致しない事から
幾何学的にpreferredなspatial vectorをconstruct出来る、これはisotropyに反する。（を破る）

ってとこか。

If notは前の文を否定しているという事でOKですか？

あと次のページでKが定数であるような空間の話が出てますが
Kが定数なのは3-spheres in four-dimentional flat space,
three-dimentional flat space,three-dimentional hyperboloids in flat Lorentz signature space.
の3つだと言ってますが、なんか天下り的な感じです。
それ以外の場合はないってのは何で分かるんでしょうか？
(議論が凄く長くなるのかな？)

追加です
4次元極座標(r,θ,φ,ψ)は(x,y,z,w)と
どういう関係式でつないであるんでしょうか？

> それ以外の場合はないってのは何で分かるんでしょうか？

(5.1.5)を含む段落でEisenhartの定理「同じ曲率の定曲率空間はみなisometric」を挙げている。
これが根拠じゃないのかな？


>>398
人に聞くなんてもったいない、二次元極座標と3次元極座標をじっくり比べると、
4次元に拡張するやり方を思いついて楽しいよ。

新しい座標(w)にcosψ 、元の(x,y,z）にsinψ を掛ければいいわけ
（逆でもいいけど）。後は再帰的。 同じやりかたで5次元でも6次元でも作れる。

しかし読むの速いね。質問の相手するだけではあまりに飛ばし読みになってしまう。
一つの節を読み終えるたら、特に印象に残った議論とか結論とかちょろっと
書いてくれるとうれしいのだが。

例えば、重力波の節なら、電磁波と違って二重極放射はなくて4重極からだとか、
重力波のエネルギーは定義自体が難しくてかなり力をいれて議論してたとか。
本の行間に書きこむメモ程度でいいから。（詳しく書くのは大変だし）

そしたらこちらは（面白そうだと思ったら）本文のチェックにいける。

>>399
isometricの意味がやや微妙だったんですが
ここで言うisometricとはdiffeomorphismがあると？
だから3通り考えておけば他のやつはそれらとdiffeomorphicになるから
それら3つのみ考えればよいという事ですね？

>人に聞くなんてもったいない、二次元極
にらめっこしたらわかりました、確かに楽しいですね。
たとえば4次元の時には3次元の時の式
x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
においてrのすぐ後ろにsinψをかけ新しい座標wはrcosψとすると
x=rsinψsinθcosφ
y=rsinψsinθsinφ
z=rsinψcosθ
w=rcosψ
としてψθφを全部左にずらせばいいんですね。
(θ=π/2で切ってみると3次元の球になりますね)

>しかし読むの速いね。質問の相手するだけではあまりに飛ばし読みになってしまう
読むときは朝から晩までぶっ続けでやってますからね、楽しくてしょうがないのでｗ
じゃあ僕のひとり言コーナーを作りますね
(面白かったとこや、難しかったとこ、また著者が力を入れてるとこなど）

isometryは単なるdiffeomorphismではなく、その上にmetricがiso。
計量の構造まで考えても同じってことだったはず。どうも
isometryだのhomomorphismだのhomeomorphismだのdiffemorphismだの
似て異なるものがぽろぽろでて混乱気味だけど。

>じゃあ僕のひとり言コーナーを作りますね
期待してます。原則として（俺は）レスポンスしないと思うけど
読んではいると思ってください。

isometryの話は438ページの中盤あたりででていますが
M→Mのときの話です。一般にはMとNにそれぞれ計量g,hが定まっている時
diffeomorphism　Φ;M→NによってΦ*g=hとなる時MとNはisometric
だという事でしょうか？

あ

>M→Mのときの話です

438ページ読んでみたら、確かにそうだね。中原先生の微分幾何の本見てみたけど、やっぱりそうなってる。
でも曲面論の本だとisometryは等長*写像*で、異なる二つの曲面の間の写像と書いてるんだな。
まあ

>diffeomorphism　Φ;M→NによってΦ*g=hとなる時MとNはisometric

でいいんじゃないかと思う。それでとりあえずは筋が通るし、曲面論の場合のisometiryの自然な拡張にもなってるし。
M->M に制限しなけりゃならない理由があるのかもしれないが、おれにはちょっと分からない。

じゃ、↑の意味で使っていきます
良いと思うんですけどね。

224の独り言コーナー
・spatial geometryが「compact manifold」である3-spheresの場合には、
これは有限な、しかし境界のない宇宙を記述しているとのこと。なるほどこれを
閉じた宇宙というらしい。(95ページ真ん中から上)
・「massless」なthermal radiationがstress-energyとしてEinstein方程式の右辺に入る例が出てきた、
この本では初め、古典論から相対論への移行で質量→重力=時空の歪みと考えたが
「massless」な対象が時空の歪みに起因する(Einstein方程式の右辺に入ると)と考えるのはこれがはじめて。
質量から来るエネルギーじゃなくても時空は曲がるんだな〜。(96ぺージ)

質問です
98ページの真ん中あたりのHubble's lawの所でRが十分大きい時にはvはcを超えるが、
これは同じspace time eventにおける2つのobjectsの局所的な相対速度
であって大域的ではないから、かまわないとありますが局所的ならよい理由がよくわかりません。
しかも同じspace time eventというのが解りません、R≠0の時は違うspace time eventじゃないんですか？

本文は特にヘンなことは書いてないと思うけど。英語の読み間違いじゃないかな。
since this tenet refers to ...
のところをもう一度読んで見ると分かると思う。this tenetが何をさしているかとかね。
納得いかなかったらこの節を含む文（This does not ...)の訳を書いてみてくれ。

わかったかもです
tenetは"nothing can〜"で、このtenetは同じspace time eventにおける、そしてまたlocallyな話だと
でもHubble's lawはgloballyな話しかも違うspace time eventの話だから↑とは違う話だという事ですね？

>>410
何か読みづらい文だなあ。まあいいや、そういうこと。

>何か読みづらい文だなあ
申し訳ありませんorz
僕の文が読みにくいときはいつでも指摘してください。
いつでも書き直しますので。
とりあえず410は

tenetは「光より速く進むものは存在しない」という事を表現しており、
相対論において、このtenetは2つのobjectsの同じspace time eventでのlocallyに観測される
相対速度についてのものである。
一方で、Hubble's lawで2人のisotropic observersの相対速度が光速を超えうるという事は、上のtenet
と矛盾するものではない。なぜならば2人のisotropic observersは異なるspace time eventに位置しており、
globallyに定義された速度であり、同じspace time eventでもなければlocallyでもないからである。

が訂正版です。ご迷惑をおかけしました。

書き直しありがと。問題ないっす。
まあ、そこまできっちり書かなくても「、。」をつけるべきところにつけて、
あまり極端な省略しなければ大丈夫っす。

はい了解しました。

ここ2,3日忙しくて一切やってませんが、一言コーナーだけ
・big bangは爆発しているわけではない。そうだったのか･･･(99ページ下)
・閉じた宇宙のみが、有限の寿命をもっている。(100ページ下)
・他の本を読んだ事がないのでよくわからないが、redshiftをgeometrical optics approximation
とkilling vectorで論ずる手法はエレガントに見えた(102〜103)

追加
・cosmic microwave backgroundは,宇宙のhomogeneityとisotropyを強く示唆している。
箱の中のガスのような”普通の系”でのhomogeneityとisotropyは,
self-interactとthermalizeの結果として説明しうるが、
Robertson-Walker modelではparticle horizonのため十分にinteractとthermalizeされない。
よってhomogeneityとisotropyを説明するためには、何らかの要請(仮定)が必要。

なんか面白そうな話になってきた。

おっと106ページ中盤です

質問です
108ページの中盤
T∝a⁻¹は(5.3.6)から期待されると言ってますがなぜでしょうか？

何個も質問して申し訳ないんですが、↑の次のパラグラフ(An important ･･･)
が何を言っているのかよくわかりません。
物質と放射の相互作用がthermalizationを急速にしない
→物質は熱的に配分されるという仮定の首尾一貫性が疑わしくなる？？

意味不明です
なんかこのパラグラフは全体的に何を言っているのかよくわかりません
(僕に宇宙論の知識が全くないからなのか)
どういうことを言っているんですか？

now that's a physical question !

和訳はあってますが内容がわからない、ところまで達しましたね。
いずれ内容の分からない問題のほうが先に立って和訳なんか
気にならなくなりますよ :) 短い間に進歩しましたね〜

> 短い間に進歩しましたね〜
そうですか？あんま自覚は無いですが・・・
でもそうならうれしいです。

>>418
まだ式をきちんと追ってないけど、よくある議論じゃないのかな。つまり(5.3.6)から
振動数はaに反比例する。一方黒体輻射スペクトルのピーク振動数はTに
比例する。だから温度もaに反比例が期待される。

>>419
どうも訳がいまいちという感じ。ちょっと硬いが、こんなのでは？

初期宇宙において物質と輻射の相互作用は充分速いタイムスケールで進むのだろうか。
充分とは、局所的な熱平衡に達するために充分かということだが。

>>422
あ〜、エネルギー密度が最大になる時の波長をλmとすると
λm×T=定数って奴ですね？なるほどありがとうございます。

proceedは自動詞ですねorz
他動詞で訳してました。

ずーと考えてるんですが、まだ良くわかりません。

初期宇宙が局所的に熱平衡に達するために十分な急速さのタイムスケールで、
物質と輻射の相互作用が進むかどうか。
というのは、物質と輻射の相互作用の結果として宇宙が熱平衡に向かう
という事を言っているんでしょうか？

また物質は熱的に配分される(thermally distributed)というのは
物質は熱平衡に達するという事でしょうか？

そこんとこだけ読んでわかるわけがないよん。
細かいところは宇宙論の本よまなきゃ。
熱/統計力学の勉強をしたほうがいいのかもしれないし。

ちなみに二つの質問ともそういうことだと思いますよ
ていうか一つ目に関しては熱平衡っていつもそういうもんなんでは。

>そこんとこだけ読んでわかるわけがないよん。 細かいところは宇宙論
なんかこの辺はそんな気がします。

>ていうか一つ目に関しては熱平衡っていつもそういうもんなんでは。
ありがとうございます、そうですね。これはすべきで無い質問でした。

>>425
>というのは、物質と輻射の相互作用の結果として宇宙が熱平衡に向かう
>という事を言っているんでしょうか？

そういうこと。あなたが取り組んでる部分を読むと

本当の初期条件：よくわからん（けどどうせその後熱平衡になるから気にしない）。
初期条件のすぐ後、初期の段階：tI<<tEだったので熱平衡達成。
その後：tI>>tEになったので熱平衡破れる。

という議論のようだ。あ、ここでの平衡は、物質と輻射が同じ温度を保つかどうかってことね。
それと、輻射ぬきで物質が平衡を保つのはムリというのが暗黙の前提のようだ。おれも
よく知らんのであまり自信はないけど、輻射抜きだと相互作用距離のスケールが
短くなりすぎるからもっともという気はする。

まとめが p.109の3行目あたりにあるからそこ先に読んだほうが分かりやすいと思う。

>また物質は熱的に配分される(thermally distributed)というのは
> 物質は熱平衡に達するという事でしょうか？

熱的に分布する、のほうが普通の言い方だと思うけど、ともかくそういうこと。

ついでに書くと、熱平衡というのは微視的に見るとダイナミックで、揺らぎができては周りとの
相互作用でつぶされ、また揺らぎができてはつぶされ、ってことが繰り返されてる。
相互作用が何かの理由で切れると、あるいは揺らぎの成長の速度よりも効きが遅ければ、
揺らぎがつぶされずに成長してある部分は高温、ある部分は冷え切ってるってことも起き得る。
太陽の近くと遠くみたいに。それでtIとtEの比較が大切になる。

なるほど、だんだんわかってきました。以下流れを書きますのでツッコミよろしくお願いします。

1．初期宇宙が局所的に熱平衡に達するために十分な急速さのタイムスケールで、 物質と輻射の相互作用が進むか？

2．相互作用が遅い→宇宙は、熱平衡に達するより膨張する割合が大きい
→平衡ではないから、粗見化するわけにはいかず物質と輻射は初期条件に依存して発展してゆく。
また輻射を介して(相互作用によって)物質は平衡にむかうため、物質が熱的に分布する(熱的にならされる)という事も怪しくなってくる。

3．相互作用が速い→宇宙は、膨張するより熱平衡に達する割合が大きい→平衡が保たれなくなるまで物質と輻射を時間発展させる。

4．膨張のタイムスケール(膨張にかかる時間)→tE〜2τ(Hubble'constantの逆数？)

5．相互作用のタイムスケール(相互作用にかかる時間)→相互作用の断面積(相互作用の反応率)をσと書くと、
ncσはおよそ単位時間当たりの相互作用した回数だから、この逆数で大体相互作用にかかる時間tIとなる。

6．4と5によれば、(高エネルギーでσが急速に0にならない場合)ごく初期宇宙ではtI<<tEであるから3の条件になっている。

7．一方宇宙が発展してくると(τが大)tI>tEとなり相互作用に時間がかかりすぎて、熱平衡が崩れる。

>>429
凄く解りやすいです。ありがとうございます。

>→平衡ではないから、粗見化するわけにはいかず物質と輻射は初期条件に依存して発展してゆく。

粗見化ってことばはおれは知らないけど、coarse graining（粗視化）のことかな？

7では、τ　が大だと不等式の向きが逆になるのでは？

>coarse graining（粗視化）のことかな？
そうです。間違えました、不等号の向きも逆です
すみませんorz

間違いです
不等号の向きは430でよいのでは？

>>433
おっとごめん、その通り。見直したらこっちの勘違いだった。

ところで、p.108の下から二行目で we should recover tI>tEとあるけど、
これは間違いで正しくは tI<<tEじゃないかと思うけど、どう？

そうだと思います。
じゃないと全くrecoverになってないし、
熱平衡にもならないですからね。

一つ質問なんですが
equilibrium abundance of　物質
ってどういう事なんでしょうか？
上手く意味がとれません。
平衡状態にある物質の数量ってことですか？

聞いたことがないな。何ページ？

110ページ第2パラグラフの8行目や、111ページ6行目などに出てきてます。

>>436
>平衡状態にある物質の数量ってことですか？
それでok

>聞いたことがないな。
聞いた事が無いとか言う前にググれ
山のように使用例あるから

>それでok
サンクスです。

>>439
場所と文脈を確認してから調べようと思ったのに何でこんな言われ方を
されなけりゃならんのだ。
たまに知ってる言葉がでてきたくらいで威張るな。

それぐらいで自尊心を傷つけられていては2ちゃんねるは and/or 研究はやっていけませんよ

なんか殺伐としてますね・・・

>>442
人をたたくのだけには熱心だねえ。役に立つことは書けないくせに。

みなさん落ち着かれましたかね？
このスレは和やかに行きましょう>>all

(6.1.2)の導出を以下のように行いました(全て言葉で書いてあったので)。
ツッコミお願いします。

計量テンソルを以下のように一般的に書く。(条件使って、そぎ落としてゆく)
g_ab=�波_μνdx^μ_adx^ν_b
いま、上式とξ^aξ^bの縮約をとれば
ξ^a=(∂/∂t)_a=(∂/∂x0)_aより
ξ^aξ^bg_ab=ξ^aξ_a=�波_μνδ^μ_0δ^ν_0=g_00
ただしdxμ^a(∂/∂xν)_a=δ^μ_νを用いた(22ページ一行目)
さらに計量テンソルとξ^a(∂/∂xλ)^bの縮約をとれば(ただしλは1〜3をとるものとする)
ξ^a(∂/∂xλ)^bg_ab=ξ^a(∂/∂xλ)_a=0=�波_μνδ^μ_0δ^ν_λ=g_0λ
一方、同様にしてg_0λ=0
さらに計量テンソルをkilingベクトルに関してLie微分すると
£g_ab=0
ここで£g_μν=∂g_μν/∂tであるから(そういう風に座標系がとってある)
∂g_μν/∂t=0となり、tに依らない。
よって(6.1.2)の様に書ける。

いいんじゃない。手際はいまいちかな。
ξ=∂/∂x0　からξ・ξ=g_{00} 。
g_{0μ}=ξ・(∂/∂xν) で直交性からこれは0。

宇宙論のところの「ひとりごと」は無いの？

>いいんじゃない。手際はいまいちかな。
>ξ=∂/∂x0　からξ・ξ=g_{00} 。
サンクスです。
成分を取り出す計算に慣れてないので↑のような書き方をしましたが
今回計算してわかりました、g_μν=(∂/∂xμ)^a(∂/∂xν)^bg_ab=(∂/∂xμ)(∂/∂xν)
となるんですね。

宇宙論のひとり言コーナーです
今までとは違って延々事実の羅列という感じで
わかった気には全くなりませんでしたが、いくつか挙げると
(詳しくは宇宙論の専門書を参照しないとわかりません)

・Planck timeのちょっと後、高い温度での場の理論は
場の熱平衡状態が相転移を経験し、宇宙のdynamicsは正の大きなcosmoogical constantを持つ
空っぽの宇宙のそれと同じになるという事を予想している。これが正しいとするならば我々の宇宙は急速に膨張したことになるらしい。
もちろん詳細はよくわからないが、やや楽しそう。(109第3パラグラフ)

・宇宙の歴史において、元素合成が終わって宇宙の温度が大体4000Kくらいまで落ちた時
自由電子と陽子が結合して中性水素原子ができ(recombination)、イオン化している水素原子は凄く少なかった。
故に光子と物質の相互作用の反応率が下がり、光子は物質からdecoupedされる。
よって現在我々の宇宙にはrecombination　timeに最後に相互作用した光子の(big bangに由来する)黒対輻射が満ちている
(宇宙の膨張と共に温度は下がり、現在T〜2.7K)これをcosmic microwave backgroundと呼ぶ。
実際にこれは観測されており、非常に当方的である→上のような宇宙像を支持している→宇宙は等質等方。
よくcosmic microwave backgroundて言ってるのはこういうことだったのか、初めて知った(111ページ第3パラグラフ)

・このような宇宙の描像に依ると1,弱い相互作用をする安定な素粒子の質量2,初期宇宙において熱平衡にあるmasslessな粒子の種類
という2つのものに制限が加わる。(112ページ最後のパラグラフ)

・宇宙が開いていいるか閉じているかについて、幾つかの実験による推論が可能となり
それらは全て宇宙が開いていることを示唆しているが距離の決定が怪しかったり、隠れた質量の可能性(光で観測できないような物質)、
又は現在の物質の殆どの密度はnonbaryonicであると考える事により推論が破綻したりする
→まとめ　現在の宇宙は開いてるっぽいが、でも実はよくわからない。(114〜115ページ)

などです。

> →まとめ　現在の宇宙は開いてるっぽいが、でも実はよくわからない。(114〜115ページ)

今では観測がかなり進んだらしい。
ttp://www.astroarts.co.jp/news/2003/02/28nao621/index-j.shtml

>>447
>今回計算してわかりました、g_μν=(∂/∂xμ)^a(∂/∂xν)^bg_ab=(∂/∂xμ)(∂/∂xν)
>となるんですね。

なる、というより元々g_μν　の定義が∂/∂xμ　と ∂/∂xν 　の内積なのでは。

>>449
なるほど、しかしあくまで素人の意見ですが
今回少し宇宙論を知って思ったことは、
ダークマター(多分448で言った光で観測できない物質)やダークエネルギー(よく知りません)
に救いを求めるのでは、何の解決にもなってないような気がします。
それともダークマターってのは"光に反応しない"ってだけで"性質自体はよくわかっている"
んでしょうか？

>>450
定義ですか？
む〜僕の感覚では、g_μνはg_abを展開した時の係数だから
"定義"というより双対基底の決め方(dxμ^a(∂/∂xν)_a=δ^μ_ν)を
用いてそういう風に"書ける"っていう感じです。
まぁ書き方がただ一通りに決まるので、定義としてもいいのかもしれませんが。

>>451
> に救いを求めるのでは、何の解決にもなってないような気がします。

あなたのいう「解決」が何を求めてるのかは分からないけど、記事を読む限りでは
観測から存在すると言わざるをえない、て感じだね。
Higgsみたく理論上必要だからあるとして探そう、とは逆じゃないかな。
おれも素人だけどね。
ダークマターに関しては、ググればいろいろ出てくるでしょう。jaxaの記事とかあったし。

>Higgsみたく理論上必要だからあるとして探そう、とは逆じゃないかな。
僕がWadを読んだ印象では逆じゃなくてHiggsと同じ様に理論の整合性から必要、
すなわち質量の理論的な見積もりの不一致をなくすためにダークマターを
導入するって感じに見えましたし>>449を見ても"正体不明"のダークマター
と言ってますから、よくわからないけどダークマターというものを認めると
色々な観測から23%あるだろうと考えられるけど、でも直接観測はやっぱり出来てない
という事だと思います。

細かい質問で申し訳ないんですが
120ページの一番下のパラグラフで
ξが一意な時
ξは2-sphereに直交しなければならない⇒全ての回転のisometriesの下でξが不変
を示す事が出来ません。
どのようにすればいいんでしょうか？

論理の向きが逆じゃないか？　本文は不変（と一意）だから直交と読める。

いや違った、(回転対称&一意)⇒不変⇒直交。

逆ですか？
直交⇒(namely=すなわち)不変
の様に見えます・・・
より正確に言えば(回転対称&一意)⇒直交⇔不変
の方が良いでしょうか？

その Namely の前の文は

If static & 回転対称 & unique , then 　直交

だろう？　だからstatic & 回転対称 & unique ⇒直交

それをNamely 以下で詳しく説明しなおしててその際に
　　⇒不変⇒
をはさんでいる。Thus 以下で結論　"orbit spheres ... orthgonal to ξ"。

Namely　、unique⇒不変
という論理が成り立つから
static & 回転対称 & unique ⇒直交
のuniqueの後に⇒不変をはさむという事ですか？
なるほど
そういえば次のHowever〜since
の文の流れから言ってもそうですね。

>Namely　、unique⇒不変

念のため、正確には
時空が回転対称 & ξがunique⇒ξが回転で不変

>>452
Gravitationでは定義だよ。g(eμ,eν)=g_{μν} とすれば
g(a^μeμ, b^νeν)=g(eμ,eν)a^μb^ν=g_{μν}a^μb^ν
で1formの概念なしできれいに計算式がでる。
勿論どっちの論理展開でもいいけど、
定義として採用する本もあるほど自明ってこと。

>念のため、正確には
了解してます。
しかし、まだ出来てないですorz

これは普通の3次元ユークリッド空間で言えば
初めにデカルト座量xyzをとって、3次元のベクトルが
z軸周りの座標系のθ回転に対して
成分が不変であるためには、そのベクトルはx-y面に直交しているz軸方向を
向いてなきゃいけない
というのを多様体と回転のisometryによる言葉で書けばよい
という方針で出来るはずですよね？

>>462
なるほど、多分どちらでやっても同値なんでしょう。
やっぱ手を動かして計算してみると解る事がいっぱいありますね。
情報ありがとうございます。

463の追加
一応僕がやってるのは不変⇒直交の所だけです。

>>464
多分、というよりほとんど明らか、だけどね。

>>463
なんでパッシブな見方をとるのかよく分からないけど、
まあそれでもいいと思う。

>なんでパッシブな見方をとるのかよく分からないけど、
>まあそれでもいいと思う。
ありがとうございます。
passiveな観点を採用しているのは
ξが不変という式を考える時に、φ*ξ=ξは同一の点(例えばp∈M)で
evaluatedされています。
そういうときにはAppCのリー微分を考えた時のように、
passiveな観点のほうがやりやすいだろうな、と推測したからです。

でも色々考えると
リー微分の時には上手く座標系をとったから(パラメータ自身を座標にとった)
passiveな観点が有効だったけど、
座標系を(t,r,θ,φ)にとる前の話ですからpassiveな観点はあまり良くないかも
という気がしてきました。

うん、本の説明はactiveな観点だし、特に理由がなければ合わせた方がよかろ

う〜ん出来ません
2-sphereの部分接空間上のベクトルの中で
全ての回転のisometryに対して不変なのは、
0ベクトルしかないという事を示せばいいんだろうとは
思っているんですが・・・

ヒントくださいorz

幾何だから図で考えないと。
串を通した団子の表面にベクトルを張り付けて
串を軸にして回してみ。
特にある特徴的な場所から生えたベクトルがどうなるか。

回転軸の方向を向いているベクトルだけは変化しない？？

「特徴的な場所」がポイント。二箇所だけあるでしょ、特別な点が。

串が入ってる所と出ている所(北極と南極)ですよね？？

それは分かってる？　じゃ、all rotation のallを忘れてるんでは。
それと、ベクトルじゃなくてベクトル場ね。

後は、vectorは接ベクトルということを忘れずに。

>それは分かってる？　
北極と南極において回転軸の方向を向いているベクトルだけが
不変に保たれる⇒回転軸を変えても同じく
そのベクトルが不変であるためには、それは0ベクトルでなければならない
⇒全ての方向に回転軸を向けてみて↑を繰り返すと
球面上のベクトル場として、全ての回転において不変なベクトル場は
0ベクトルを集めたベクトル場出なければならぬ。

という事でよいのでしょうか？

>>476
完全に忘れてました(するどすぎですｗｗ)
北極南極では回転軸のほうを向けないんですね
とすると>>477はおかしいですね。

おかしいというか、

>北極と南極において回転軸の方向を向いているベクトルだけが
>不変に保たれる

ここの一部をちょろっと直せばいいわけ。

んじゃ出掛けるんで後よろ

477の修正
北極と南極における接ベクトルで不変なベクトルは0ベクトルしか存在しない
そのほかの点では各点で同じ方向(上手くいえないけど)を向いていれば、"この回転に対しては"
このベクトル場は不変となっている。
⇒回転軸を取り替えた時、先の回転と今の回転に対して不変なベクトル場に加えられる制限は以下のようなものである。
先の北極と南極では0ベクトルであるから、今の回転に対して先の北極南極の作る軌跡(円周上)の各点では(同じ方向を向いている為に)0ベクトル出なければならぬ、
同様にして先の回転と今の回転の役割を逆にする、これを繰り返すと
"全ての"回転に対して不変な接ベクトル場は0ベクトル場しか存在し得ない。

長くて申し訳ありません。

ついでに
480が言えると
ベクトル場ξは2-sphereの接ベクトル場sと
sに直交するベクトル場s⊥の直和でかけるが、ξが全ての回転に対して不変なるから
結局ξ=s⊥となる。

>北極と南極における接ベクトルで不変なベクトルは0ベクトルしか存在しない

さらに、回転軸を変えると任意の点が「北極または南極」になりうる。よって全ての回転で不変な
接ベクトル場はいたるところで0。

>同じ方向(上手くいえないけど)

→　回転軸の接平面への射影の方向

>>482
>さらに、回転軸を
なるほど〜シンプルですね

>回転軸の接平面への射影の方向
回転軸の接平面への射影の方向
との成す角が常に一定であるようなベクトル場であれば良いのでは？

そういえばそうだね。でも基準となるベクトルが一本しかないのに
いろいろ作れるというのは不思議な気が。２次元だからかな。。

不思議ですか？
よくわかりませんが
僕の感じでは、基準が一つ"しか"ないから
しばりが弱いって感じがしますけど。

よく考えたら回転軸方向は不変に関しては関係ないね。
回転という変換があるんだから、北極と南極を結ぶ経線の一本にそって
各点の接ベクトルを好きに定義し後は変換でpush-forwardすれば
それで不変ベクトル場のできあがり。(Lie代数とちょっと似てる）
この観点だと北極点や南極点が特別なのは軸と直交する場所だから
じゃなくて、回転の固定点（周りは動くのにそこだけは止まっている）から。

>回転という変換があるんだから、北極と南極を結ぶ経線の一本にそって
>各点の接ベクトルを好きに定義し後は変換でpush-forwardすれば
>それで不変ベクトル場のできあがり。(Lie代数とちょっと似てる）
なるほど(群論や、Lie代数は全く知らんのですが)

>この観点だと北極点や南極点が特別なのは軸と直交する場所だから
>じゃなくて、回転の固定点（周りは動くのにそこだけは止まっている）から。
北極点や南極点が特別なのは、不変なベクトル場の方向として1次元の自由度を持っていて
そのほかの点では不変なベクトル場の方向として2次元の自由度を持っているからだと思ってました。

>北極点や南極点が特別なのは、不変なベクトル場の方向として1次元の自由度を持っていて
すいません、0次元の間違いです

固定点から生えている接ベクトルはpush-forwardでも始点は動かない。
でも始点以外は動くからベクトルとしては必ず変化する（0でない限り）。という理解。

>固定点から生えている接ベクトルはpush-forwardでも始点は動かない。
>でも始点以外は動くからベクトルとしては必ず変化する（0でない限り）。という理解。

固定点から生えている接ベクトルはpush-forwardでも始点は動かない。
でもベクトルとしては必ず変化する(0でない限り)と思います。
始点以外は動くけどベクトル”場”としては変化しないようにもできる(0じゃなくても)
と思います。

つまり北極に0でないベクトルを生やして、かつ回転で不変なベクトル場を作れるということ？

む？
僕の主張は作れないという事です。
意思の疎通が上手くいってませんね
>>489がわかりずらいです、特に”でも始点以外は動くから”の辺が。

北極に生えているベクトルは回転するから違うベクトルになる
⇒不変なる為には0ベクトルでなければならぬ
という主張ですか？

>意思の疎通が上手くいってませんね

そうだね。 こちらも>>490　あたりからそちらが何を言いたいのか
分からなくなった。

お互いの意図を探るため質問し合ってもしょうがないから
この話題はもういいでしょう。本質的なところは終わってるし。

>この話題はもういいでしょう。本質的なところは終わってるし。

そうですね、ホントに助かりました。
ありがとうございました。

質問です
126ページの(6.2.8)の下で
�狽ﾌ計量がr=0で滑らかなること
⇒球面の面積がr→0においてproper radiusの4π倍になる
すなわちr→0においてh→1

の流れがよくわからないのですが、
proper radiusってのは何なんでしょうか？

追加
proper radiusは球面の半径(中心からの距離って意味の)で
例えば(6.1.5)でのrとは違うって事なんでしょうか？

>>496　正しい。正確に言うと
Σ上の、(θ、φ)一定でr座標を0からrまで動かしてできる曲線の固有長。
rは面積を使って定義されてて普通の意味での半径とは異なるし、
曲がった時空では値も異なるから区別する必要がある。

>Σ上の、(θ、φ)一定でr座標を0からrまで動かしてできる曲線の固有長。
すると、43ページの(3.3.7)で積分変数のtをradial coordinateに変えた
lがproper radiusという理解で良いのですか？

そう。何を積分変数にするかはパラメータの取り方に過ぎないので本質的ではないが。
本質は「中心と球面上の一点をまっすぐ結ぶ曲線」のproper length。

>何を積分変数にするかはパラメータの取り方に過ぎないので本質的ではないが。
そうでした。
>本質は「中心と球面上の一点をまっすぐ結ぶ曲線」のproper length。
中心と球面上の一点を結ぶ測地線の長さって事なんですね。

例えば2-sphereの上で円を考えた時には("絵"で理解したいので)
↓のような理解でいいのでしょうか？
ttp://www.42ch.net/UploaderSmall/source/1162816886.bmp
だからr→0で空間の曲がり具合が無視できてきて
proper radius≒radial coordinate
さらに空間が平らになって来てh→0だという事ですか？

h→1です

AGE

ヤフー検索：ｃ点による時空論ーーーよんでね　　

>>501
そう。そうならないと円錐のようになるということ。

>円錐のように
目から鱗です。サンクスです。

質問です。

131ページ中盤Given the existence of upper mass limit〜
からのパラグラフがよくわからないのですが。

(6．2.41)は密度ρがnonnegative及び単調減少
なる事のみを要求して導出してあり(129ページ最後のパラグラフ)
圧力Pに関しては何も言っていないから、もしρ0より低い密度での状態方程式
P=P(ρ)が与えられてもupper mass limitが存在するのは驚くべき事ではない
といっているんでしょうか？
そしてその次で低い密度でPが大きくならない場合
”至るところでρ0より密度が低い”ような星ではupper mass limitが存在する。
といってるのに、ρは単調減少なるからρ0より密度低くなってゆくような星は
質量m0、”ρ≧ρ0なるような”半径r0のコアからできていて、その周りをρ≦ρ0
なるような部分で囲んでいる
といってますが、なんか矛盾しているような気がします・・・

最近過疎ってますね
スレ住人獲得のためにしばらくageましょう
というかこのスレ見てる人２〜３人くらいですかね？

まあそうせかすな。Waldの本を一日読んでるわけにもいかないんで
よく知らない部分だとそれなりに時間がかかる。

>>509
すすみません・・・
せかしてるつもりなかったですorz
住人獲得したいのはホントですが

念のため
503や504はもちろん僕じゃないです

訳を失敗してました、とりあえず
>ρは単調減少なるからρ0より密度低くなってゆくような星は
は
ρは単調減少なるからρ0より密度低くなれないような星は
でした。

また
>圧力Pに関しては何も言っていないから
ではなくて129ページ最後のパラグラフにあるように
状態方程式があると"違うタイプ"のlimitが出てくるということだと思いました。

いまいち分からないことろが残ってるが。。

>upper mass limitが存在するのは驚くべき事ではない

この理由はそれ以下で説明してるのでは。

is　everywhere less than ρ0. ここでいったん切れて、

（一方、） 密度がρ0.　より低くない星の場合は... で議論して
p.132の4行で結論　M is bounded.

そうですよねぇ
やっぱいったん切れてますよね。
それ以外に説明がつきませんよね

なんか密度がρ0より小さい星に対して
状態方程式に対する質量の上限が(状態方程式をもちいて)
"どのよう"に出てくるか一切言っていないので、よくわからないんですよね。
コアをもつような星に関しては(6.2.43)のP0=P(ρ0)で使ってるって事ですよね？
((6.2.43)自身はどうやって導くかよう解らんのですが)

>状態方程式に対する質量の上限が(状態方程式をもちいて)
>"どのよう"に出てくるか一切言っていないので、よくわからないんですよね。

同感。半径を制限する理由があるのかと思ったけど見つからなかった。Pとの関係もよく分からないし。

もしかしたら
"will" existって言ってるって事は解析的には示せてないという事なんでじゃ？
例えば次ページのグラフもパソコンで計算させたものなのでは？(んでBやDがあって上限がある)
なんていう結論に至りました。
どうでしょうか？

Wald 先生はそんなに深く考えて will って書いているとは思えないけど。星の構造はむずかしいんだから、興味があってほんとに理解したかったらもっと詳しい文献漁らないと仕方ないよ。
このあたりは Wald 先生もいろんな本から引用して書いてるだけでしょ？それをうじうじ悩んでも仕方がないです。ここだけよんで理解できたらおかしいです。

勿論次ページのグラフはパソコンかスパコンかしりませんがで計算させたものです。現実は難しいんだから、真空解でもなければ手と鉛筆で解ける訳ないでしょう。

>>516
このwill は普通の仮定法で使うwillだろうね。条件節はIf the equation of the state does not ..

グラフは本文に only a sketch of the qualitative features ... とある
から特定の計算結果というより、色々な計算結果から得られたqualitative featureを
まとめて図にした感じじゃないかな。

しかしすぐパソコンを出すところが若いね。おれみたいな年寄りだと大型計算機を連想する。

報告
(6.2.43)たしかに出ました。
計算が長いですが別に難しい所はありませんでした。

>>517
む〜、綺麗に方程式を解くのは無理でしょうが
いろいろな条件を使って不等式を作るのは、
今の場合可能なのかなと思ったんですけどね。
無理でした

>>518
じゃあ数値計算って事で、あんまり気にせず先に進みます
ありがとうございました(実は進みながら、同時進行してますが)
昔と今では、パソコンの処理能力にそんなに差があるんですかね？
僕自身はアナログな人間なのでよく知らないんですが

224の独り言のコーナー

・全てのsphericaly symmetricな時空は真空でstatic(Birkhoffの定理)
→電磁気学と似ている→monopole radiationは存在しない。
電磁気でmonopole radiationが存在しないのは電荷保存則が効いてるからかな？
ってことは相対論で重力波のmonopole radiationが存在しないのはエネルギー保存則が効いてるから
なのかとか考えてみる。(125ページ6.1節最後)

・星はつりあいの状態でcool downするかgravitational collapseするかの
どっちかになってゆく。(132〜135ページ)
この辺りは宇宙論に似ていて、事実の羅列っぽいけどまだわかりやすい。
つまりcold matter pressureで支えられるupper mass limit を超えるとgravitational collapseする。

・gravitational redshiftによる光子のエネルギーの変化
=ニュートン的な重力ポテンシャルの変化(137ページ中盤からやや下)
なんだこの式は、なんか凄い気がする。
gravitational redshiftは非常に良い精度で、すでに観測されている。

すいません
エネルギー保存則→質量保存
のほうがｲｲですね

>>518
僕の返信おかしいかもと思いましたので一応↓
518氏の主張は、もしかしたら>>516のように考えるのはおかしいということですか？
僕の考えでは、辞書にIf 現在形,〜will〜.は「現在未来の不確実な事柄についての推量」
と書いてあったので、
解析的に示せる→確実にlimitがある
幾つかの数値計算での振る舞いを見る→不確実だがlimitがあるっぽい
という感じで>>516を書きました。

解析的なら確実で、数値計算なら不確実と言う考え方が何か変です。

変ですか？
どこが変なのか、わかりません。
幾つかの仮定を使いロジックのみを用いて不等式を立てた場合
それで無限通りの状況に対して共通の事柄が示せるわけですから
相対論そのものが正しいなら確実としてよいのでは？
一方、数値計算ではあくまでもそのサンプルの数がいくら増えても高々有限
なので確率が上がってゆくだけだから、それを不確実と表現しているのですが・・・
例えば状態方程式じゃない方のタイプのlimit(6.2.41)は解析的(言葉の使い方がおかしいのかな)に
導出してあるため、全ての星の質量に対して確実にlimit(6.2.41)が存在します。
違うんでしょうか？

>>522
>518氏の主張は、もしかしたら>>516のように考えるのはおかしいということですか？

うん。そういいたかった。ここでは不確実な事柄は、条件節でいっていること。
いつもvery stiff でないとはいいきれないから不確実。

もしあなたの推測したような意味なら、そのことをもっときちんと書くと思うな。

ちゃんと調べたら、その通りでした
また早とちりしてもうたorz
直説法って奴で、if節の条件節は事実かどうかわからないけど
もし事実ならlimitが存在だろうという事ですね？
すなわち>>517氏や本文の言うとおり、
星は超高密度なため状態方程式を決めるのが難しい
→普通はvery stiffでは無いと仮定する(でも、もしかしたらそうじゃないかも)
→このような状態方程式を用いた、"いくつかの計算例"では図6.1のようにlimitがある
という事で良いんでしょうか？
でも↑のような意味ならdP/dρ≦定数(very stiffでないための条件)
なる条件を使って解析的にも示せるかも？

>でも↑のような意味ならdP/dρ≦定数(very stiffでないための条件)
>なる条件を使って解析的にも示せるかも？

うん、密度に限度があってvery stiffでない場合には解析的に示せる、といってるように読める。
しかしおれにはやり方が分からない。 orz

ん〜でもあくまでIf〜,will〜の訳は
(どっちか分からんが)very stiffでは無いならば、limitが存在する"だろう"
ですから。存在するって言い切ってるわけではないんでは？
(著者本人が解析的に示す方法を知っているならwillはないと思います)

ん？？wilは著者意思をあらわすものですよね？
まさか単純に未来をあらわしてるわけではないですよね？

解析的に示せるか示せないかは will をつかうかとは関係ないと思います。
確実かどうかでも will をつかうかどうかとは関係ないでしょう。
むしろその場できちんと説明するつもりかそうでないかだと思います。

というか聖書解釈をしてるんじゃないんだから、一単語の読み方を
一週間もやったってしかたないと思いますよ。

読み方というか、状態方程式を用いてlimitが示せるかどうか悩んでいるのはそんなに
くだらない事だとは僕は思いません。もちろん、ここだけやってるわけじゃなくて
本は読み進めているわけですから。

あと、できれば530氏の解釈を一言で言うのではなく
518氏のように、その解釈を論理的に説明してくださると僕は理解しやすいし
適切な反論もしやすいです。

>>531
別に僕は状態方程式から limit が示せるかどうかがくだらないといったつもりはないです。そう読めたならごめんなさい。
will の英文釈義をうじうじするのはくだらないといってます

英文解釈はそこまで論理的にするもんでもないでしょう、日本語の物理の本を読むときに助詞助動詞まで注意を払いますか？慣れない言葉だから昔習った英文法が頼りになるのは事実ですが、あんまり頼りすぎるのもなんでしょう。

まあこうやって横からちゃちゃをいれるのが一番無意味な気がしますね。ごめんなさい。

>英文解釈はそこまで論理的にするもんでもないでしょう、
>日本語の物理の本を読むときに助詞助動詞まで注意を払いますか？
>慣れない言葉だから昔習った英文法が頼りになるのは事実ですが、あんまり頼りすぎるのもなんでしょう。
それは532氏が英語をある程度自由に使えるからですよ
このスレ見れば分かるとおり、僕はまだ適切に英語を理解することが出来ていません。
物理や数学の疑問に取り組む時には
1,疑問点は何か？(すなわち何を答えればよいか？)
2,自分の使ってよい条件は何か？(仮定なども含む)
を適切に認識する事が何よりも初めに重要ですが
もし日本語の本を読むのなら、
細かいニュアンスなども理解できるためこんなに悩まなくてもいいんですが・・・
僕は、これをするために注意を払って条件を拾いますね。
拾えないのが問題なのですが

ちゃちゃ入れないでほしいって言うよりも
せっかく適切に理解できてるなら、教えを請いたいと思っています。
僕には、このスレの質問に答えてくれる方々はみな先生ですから。

>>529
なんでここで著者の意思がでてくるかわからない。客観的事実について述べてるのに。

手元の文法書で仮定法現在のところを見たけど、
>>528　の
> ん〜でもあくまでIf〜,will〜の訳は
> (どっちか分からんが)very stiffでは無いならば、limitが存在する"だろう"

なんてことは書いてなかった。単に原型もwillもどちらも使うという程度。違いがないとも書いてなかったけどね。
あなたが持ってる辞書や文法書ではそう書いてあるの？　なら辞書名か文法書名を
教えてくれない？　ちなみにこっちは美誠社の総解英文法です。

ついでに英語の未来時世(will)のところを見たら
　　日本語では「おそらく」という意味を含むが、英語では「将来そのことが必ず起きる」ことを表す
と書いてあった。仮定法でも条件節が満たされれば同じなのでは？
といっても推測だから、そちらがしっかりした根拠を示せば吹っ飛ぶが。

著者の意思というより、著者の推測を示す時にwillを使う事がありますから
直説法の訳と比較して、著者の推測のwillかなと思いました。
僕の辞書はリーダーズ英和辞典(研究社、松田徳一郎)です
これに
[推測]〜だろう、
This'll be the book he mentioned.彼の言ったのはこの本だろう
It will be snowing in Alaska.アラスカでは今雪だろう
などがあげられています。

直説法の訳は基礎英文法問題精講(旺文社、中原道喜)から
If he is not ill,he will come.[病気かどうか分からないが] 病気でなければくるだろう。

となっています。

http://p-o-n.jp/?mgmno==ATM0YTM&mobiletopid=183&partnerid=000000000000&serviceid=R10000000072

わ、なんだこのいかにも地雷ってアドレスは。

リーダースは手元にないんでちょっと探してみる。とりあえず一言：意思と推測は全然違う。

>意思と推測は全然違う。
すいませんorz

まだちゃんとは解決していませんが
もの凄く気になるので新しい質問もしてよいでしょうか？

138ページ3番目のパラグラフ(In order to〜)で
1.計量がθ→π-θの変換し対して不変
2.もし測地線のinitial positionとtangent vectorが赤道面にあるなら
ずーと赤道面にある

Christoffel symbol計算して測地線の方程式(θの式)出して↑の2を確かめる事は出来たのですが
1→2なるダイレクトなロジックをつなぐ事が出来ません。
どのようにするんでしょうか？
(WaldではChristoffel symbol計算していません、計量はtetradの手法からリーマンテンソルを計算しました)

θ'=π-θとして (t,r,θ,φ)座標系Kと(t,r,θ',φ座標系K'を取る。計量が同じだから接続の成分は
どちらでもまったく同じ。それとKからK'への接続係数の成分の変換則を合わせて考える。

英語だけど、高校の文法書をみたけどはっきりしない。

>If he is not ill,he will come.[病気かどうか分からないが] 病気でなければくるだろう。

この「くるだろう」は本当に推測？　んじゃ逆に「くる」と確定させるには英語を
どうなおせばいいかとか書いてあった？　

接続の成分というのがよくわかりません
接続係数ってのはChristoffel symbolのことですよね？
(変換則も出さないといけませんね、実はWaldではChristoffel symbolの変換則出してないので)

>この「くるだろう」は本当に推測？　んじゃ逆に「くる」と確定させるには英語を
>どうなおせばいいかとか書いてあった？　
推測のwillか未来のwillかは書いてありません(どちらにも取れるんですよね)。
確定させる例なども書いてありません。
(今回の例とは関係ないかもしれませんが、例えば>>539の文章では
If〜、〜must〜.という文で、これは後ろの文章を確定させてるんでは？
関係ないかな)

おっと、「接続の成分」は、接続係数の成分と同じ意味。Christoffel symnbol　のΓ^r_θφ　の類ね。

> (変換則も出さないといけませんね、実はWaldではChristoffel symbolの変換則出してないので)

それはちょっと驚き。普通は接続係数の変換則だして、「テンソルの変換則とは異なる
ことに注意」と書くのがお約束なんだが。Waldは接続係数嫌いなのかと思いたくなる。

>おっと、「接続の成分」は、接続係数の成分と同じ意味。Christoffel symnbol　のΓ^r_θφ　の類ね
ありがとうございます。
計量が同じでも接続の成分は同じにはならないんじゃないですか？
接続の成分の中には計量の偏微分の項がありますから。
(例えばΓ^θ'_φ'φ'=-Γ^θ_φφとなってマイナスが付きます)

接続Cは座標系に関連付けられたテンソル場だけど
テンソルの変換則には従わないといってます(34ページ第2パラグラフThe most important〜)
おそらく58ページとの対応で言えば、Christoffel symbolは何らかの座標系を採用したために出てくる(additional specification)
ものであってテンソルの変換則に従う普通のテンソル(おかしいかな？)とは
違うというコンセプトで説明しているんでしょう。

>計量が同じでも接続の成分は同じにはならないんじゃないですか？

計量が同じなら偏微分しても同じでしょう。

>接続Cは座標系に関連付けられたテンソル場だけど
テンソルの変換則には従わないといってます(34ページ第2パラグラフThe most important〜)

うーん、そこ読んだけど抵抗感じるな。それなりに筋は取ってるだろうけど、他の教科書と
違う言い方をするにはそれだけのメリットがあってほしいが、それがわからない。
デメリットとして、読者が接続の変換側を身につけてないというのがあるわけだ。

ちなみにθで使ったパリティの考えをt,φで使うと、Γのうち添え字に
tかφが奇数個入るものは0になることが計算なしで分かって楽しい。
例えばΓ^θ_rφ=Γ^r_rt=0 って感じ。θに関しては赤道上のことしか
いえないけどね。

>>544
計量は同じでも、偏微分の符号が代わるんじゃないんですか？
(∂/∂θ=-∂/∂θ´)

>>545
>うーん、そこ読んだけど抵抗感じるな。
まぁそうですよね、接続が普通のテンソルじゃなくて
ベクトルで言えば基底みたいなもので、少し違うという事は分かりますけどね。
変換則もそれを支持するものとして採用すべきでしょうに。

>ちなみにθで使った
θで理解できたらやってみます。
めっちゃ便利そうですね

簡単なことでも伝えづらいもんだな。
K'　座標系での計量テンソルの成分は、Kでのものでθをθ'で置き換えたもの（パリティから）。
だからK'系での接続係数は、Kでのものでθをθ'で置き換えただけのもの。

これでも分からなかったら球面上の計量と測地線で実際に計算するとわかるかも

おっと
>>547
×　測地線
○　接続係数

K座標系での計量テンソルの成分をg(r,θ)とすれば
K'座標系での計量テンソルの成分はg'(r',θ')=g(r,θ')=g(r,θ)
だからK座標系での接続係数をΓ(r,θ)とすれば
K'座標系での接続係数はΓ'(r',θ')=Γ(r,θ')という事ですよね？

そういうこと。rの方はダッシュを付ける必要はないと思うけど。

>rの方はダッシュを付ける必要はないと思うけど。
そうですね。
って事は。K'系での接続係数とK系でのそれは値が等しいのではなくて
関数形が同じって意味で
>>540での
>接続の成分はどちらでもまったく同じ。
という事ですか？

ああなるほど。ポイントごとに等しいと言ってると思われたのか。
そう、関数形が同じって意味。

やっぱそうでしたか〜
ありがとうございました
ちょっとタックルしてみます。

ちょいと質問です
>>549のΓ'(r',θ')=Γ(r,θ')と変換則から
Γ'^μ_αβ(r,θ')=Γ^μ_αβ(r,θ')
=(∂x'^μ/∂x^ρ)(∂x^λ/∂x'^α)(∂x^σ/∂x'^β)=Γ^ρ_λσ(r,θ)
を使うって事ですよね？(2回微分はもう落としてありますが)

最後の＝は間違いです

そう。符号だけが変る成分がでる。

最初はtかφでやったほうが分かりやすいかも。

>そう。符号だけが変る成分がでる。
その成分はθ=θ'=π/2のとき0ですよね？
それと41ページの式を使うんですよね？

そのとおり。

測地線の式でθ成分に関係するのはΓ^θ_μν(r,θ)で
θ=π/2の時0にならないのはΓ^θ_θν(r,π/2)　(ν=t,r,φ)
の3通りに絞り込んだのですが(てっきり全部0になってくれるものと思っていましたが)
ここから先に進めません
(tとφのパリティも使うんでしょうか？)

測地線の初期条件も使えばでるはず

θ(τ=0)=π/2
dθ(0)/dτ=0かな???
でいいですか？

ついでに
Γのうち添え字に tかφが奇数個入るものは0になること分かりました
∂/∂tと∂/∂φがキリングベクトルになってて計量はtとφの関数じゃなくて
だからΓもtとφの関数じゃないからθの時みたいに考えると奇数個の時
Γの符合が変わり0になるんですね。
ものすごく便利ですね。

そう、対称性はうまく使えると計算なしで0のところが分かって楽しい。
計算のチェックにも、計算の手間を省くのにも使える。

ただ、いまどきはMathematicaでがーっとやるほうがもっと速かったりするけど。
まあそれでもチェックには欠かせないな。

>>561
> かな???

って、 >>539の2で自分で書いてるでしょ。

そか
dθ(0)/dτ=π/2
か

んん〜？
接ベクトル(T^μ)が赤道面(θ=π/2)にあるって
やっぱよくわかりません
ちゃんと説明しろって言われても出来ないorz

T^θ=π/2ならｲｲから
やっぱ564ですよね？

>>561 で正解。>>563 では???なんてつけるまでもなく当然でしょう（と
オレには思える）と言いたかった。

接ベクトルが赤道面θ=π/2にある⇔T^θ=0
ですか・・・
ちゃんとイメージできませんorz

θが一定の面内にある曲線の接ベクトルのθ成分だよ。どう計算する？

θが一定なのはこれから示すんじゃないんですか？

初期の接ベクトルの話をしてるんじゃないの？

なんだか言葉が通じない感じ。
あなたの理解での「接ベクトルの定義」を説明してくれないか？

570は
とりあえず今の問題の状況の、僕の頭の中の絵です
(条件使ってC全体が赤道面にある事はまだ言ってないので、赤道面にあるのはτ=0のとこだけにしてます)
ttp://www.42ch.net/UploaderSmall/source/1163906834.bmp
"θが一定の面内にある曲線"というと↑の図でC全体が赤道面にあるって感じ
に、僕には聞こえます。すなわちθ(τ)=π/2だからdθ(τ)/dτ=0って言ってるように
聞こえます。それが(τ=0以外の点でθ(τ)=π/2)示すべきことではないのですか？
ということです

572ちょっと待ってください

あとdθ(0)/dτ=0はわかったと思います↓
以下全てτ=0の点で考える
65ページ中盤の言葉で言えば∇_aθはθ=定数の面に垂直なベクトル
で成分は(0,0,1,0)
一方θ=π/2の面上にある接ベクトルの成分をT^μとすると
T^a∇_aθ=0よりT^θ=0となる
一方、曲線Cはτの言葉で書いてあるとすれば
T^μ=dθ(0)/dτであるから、dθ(0)/dτ=0となる。

>>572
曲線の接ベクトルの方ですか？
つまり方向微分の概念からくる接ベクトルですか？
(線型性とライプニッツルールを満たすという一般的な奴じゃなくて)

>>573
へー、この図自分でかいてスキャンしてアップロードしたの？　こんな手があるんだ。

それはともかく、おれに誤解があるかもしれないんで確認しとくと、今の議論は

1)初期条件で接ベクトルがθ=π/2の面に載っていれば、その後も測地線方程式から
ずっと乗ってることになるってことを示そうとしている。

2)あなたは（強調するが）初期条件（τ=0）で
>>568 接ベクトルが赤道面θ=π/2にある⇔T^θ=0
がなぜか分からないといっている。

3)それに対するおれの答えが >>569 。これで分からないとすれば、
接ベクトルの理解がオレとは違うのかなと思ったんで聞いたわけ。

>>575
そう。んじゃ方向微分の定義は？

>>574　は別の突っ込みどこがあるんで（∇_aθはベクトルじゃないとか）後回しね。

携帯のカメラで撮ってPCに送ってアップしてます。
1)2)はokです

方向微分の定義
多様体M上の滑らかな曲線C:R→Mを考え、C(t=0)=p∈Mとする。
いま点pでの近傍で定義された関数f:M→Rに対して
f(C(t))の(t=0での)微分を考える。すなわち
T(C)=df(C(t))/dt=��(dx^μ/dt)(∂f/∂x^μ)
この対応T:f→df(C(t))/dtの事を点pにおけるC方向への方向微分と呼ぶ。

ツッコミお願いします。

>>>574　は別の突っ込みどこがあるんで（∇_aθはベクトルじゃないとか）後回しね。
まじですか〜orz

>>577
定義はok。曲線Ｃがポイントね。接ベクトルが曲面上にあるとは
その曲線が曲面に乗っていること。少なくともパラメータの一次までの近似で。
>>569 で言ったのはこの（接ベクトル定義で必要な）曲線。

>少なくともパラメータの一次までの近似で
傾き0の点が赤道にのっかてるんだ！！
ですよね？
だからか〜

そう。（赤道っつーか、赤道面上ね）

うす
>>574のおかしいとこ教えていただいて良いですか？

65ページ中盤の言葉で言えば∇_aθはθ=定数の面に垂直なベクトル
　　∇_aθ はベクトルではない。垂直という概念は今の議論では不要。


一方、曲線Cはτの言葉で書いてあるとすれば
　　機械翻訳？

T^μ=dθ(0)/dτであるから、dθ(0)/dτ=0となる。
　　最初の等式で左辺μ、右辺はθ

>∇_aθ はベクトルではない。垂直という概念は今の議論では不要。
双対ベクトルって事ですか？？

ある面(今の場合、赤道面)を選ぶって事は
それに垂直なベクトルを選ぶ事と同じだから、
どちらで話をしてもいいと思ったのですが。

>機械翻訳？
いえ。適切な言葉が思い浮かばなかったので、無理やり書きました。
パラメータとしてτを採用してあるとする。という趣旨の文のつもりでした。


>最初の等式で左辺μ、右辺はθ
まずいですね、左辺もμじゃなくてθです。

>ある面(今の場合、赤道面)を選ぶって事は
それに垂直なベクトルを選ぶ事と同じだから、
どちらで話をしてもいいと思ったのですが。

でもT^a∇_af=0の証明は↓

Tをf=constなる面上の接ベクトルとした時
fが定数の面上で考えてるって事はｆは定数関数だから
T(f)=0　
(この議論はそういえば15ページの上のほうでしてあります)
一方31ページから
T(ｆ)=T^a∇_af
よりT^a∇_af=0が成り立つ

って考えると。上式使ってdθ(0)/dτ=0を示そうとするのは
なんかトートロジーになっててナンセンスな気がしてきました。

∇_aθ は1-form。dθ に等しい。下添え字からも明らかだと思うが。

そうですね
あんま意識してなかったです。

ベクトルと1-formの違いなんて意識しなくても自然に判断できる、
ような記号体系になってるものなんだけど。できないとすれば
あまりいい記法じゃないのかもね。

そんなことも無いと思いますが。
1-formなる事を強調したい時には太字で書いたりすることもしてましたが
ここでは、あんまりベクトルか双対ベクトルか気にしないで良いかな
って勝手に思ってやっちゃいました。(見た瞬間に判断は出来ますが)
正確に書くべきでした。申し訳ありませんでした。

という事で測地線の方程式(θ成分)の接続の部分は全てdθ/dτでくくれるから。
τ＝0でθ=π/2、dθ/dτ=0ならd^2θ/dτ^2=0となって
θ(τ)=π/2、dθ(τ)/dτ=0
となるんですね。

オリジナル問題です！懸賞問題です。早いもの順で一問１０００円です。早いもの順です。
大学三年レベルですのでそんなに難しくないと思います。

http://web.hc.keio.ac.jp/~fr054016/billsuzu-password.html

みなさまの挑戦をお待ちしています。

>>588
>ここでは、あんまりベクトルか双対ベクトルか気にしないで良いかな

それぞれの幾何学的イメージちゃんと持ってる？　特に1-form。

>τ＝0でθ=π/2、dθ/dτ=0ならd^2θ/dτ^2=0となって
>θ(τ)=π/2、dθ(τ)/dτ=0

まあわかってるんだろうけど、念のため、一行目はτ=0の話ね。
そこから二行目（任意のτ）を出すための測地線方程式の使い方は？

実は1-formの絵が思い浮かばないんですorz
接ベクトルはホントに接しているベクトル↓
ttp://www.42ch.net/UploaderSmall/source/1164023293.bmp
ってかんじです。

>まあわかってるんだろうけど、念のため、一行目はτ=0の話ね。
はい

>そこから二行目（任意のτ）を出すための測地線方程式の使い方は？
とりあえずd^2θ(0)/dτ^2=0を出すために、測地線の式を使っていますが
僕は、｢ある時刻に加速度(d^2θ/dτ^2)が0⇔加速されない、すなわち速度dθ/dτ=0が変わらない
、よってθ=π/2のまま｣ってすましてたんですが。
ちゃんと数式で示すってことですか？

考えました、突っ込みよろしくおねがいします↓
双対ベクトルは、ベクトルと同じ空間に描いてみると(例えば2次元ユークリッド空間にしてみます)
例えばベクトルe^aを成分(1,0)でかいて(縦ベクトル)、
こいつの双対ベクトルω_aの成分を(x,y)と書いてみると
ω_ae^a=x=1だから
双対ベクトルってこの例だと、直線ですか？？

τ=0で加速度が0だとしても、時間がたつにつれ0でなくなることだってありうる。
それが起きない理由くらいは示さないと説得力はない。

気を悪くしたらすまんが、ここんとこのやりとりは妙にレベルが下がってる気がする。
ゲージ理論みたく難しいものを勉強した人が真剣に考えた上での答とは思えない。
手抜きで答えてこっちに説明させようとしてる感じ。

双対ベクトルの文字変える必要ありませんね
すみませんω→eでお願いします

>τ=0で加速度が0だとしても、時間がたつにつれ0でなくなることだってありうる。
>それが起きない理由くらいは示さないと説得力はない。
そういやそうですね

すみません。途中でかきこんでしまいました。

>気を悪くしたらすまんが、ここんとこのやりとりは妙にレベルが下がってる気がする。
dθ(0)/dτ=0の話とかでしょうか？
ん〜初めの数章の数学が抽象的なので、ちゃんと理解できてなくて
言葉遊びみたいになっててイメージがちゃんとつかめてなかったのが
｢そういえば、何でだ？？｣って急に思って(僕はぬけてるとこがあるので)、ちゃんと考え直してるって感じです。
いい加減にしたくなかったので。(ゲージ理論は勉強中です)
手抜きで答えてるって事はありえません。僕のための勉強ですから。
あと気を悪くしてるって事もありません。

>τ=0で加速度が0だとしても、時間がたつにつれ0でなくなることだってありうる。
>それが起きない理由くらいは示さないと説得力はない。
ものすんごい考えました↓

τ=Δτ<<1において、測地線の式
d^2θ(Δτ)/dτ^2=-�買｡^θ_μν(r(Δτ),θ(π/2))(dx^μ(Δτ)/dτ)(dx^ν(Δτ)/dτ)
を考えてみる。
ここでΓはτに陽には依存しないため、τが0→Δτに変化してゆく過程での
Γの変化はr(τ)、θ(τ)を通してのものである。
一方、d^2θ(0)/dτ^2=0からdθ(Δτ)/dτ=0
またdθ(0)/dτ=0よりθ(Δτ)=π/2のままであるから
これを初期条件のように使えば、τ=0の時を考えたのと全く同様にして
d^2θ(Δτ)/dτ^2=0となるのは明らか。
有限のτに関しては、上のような操作を繰り返していると考えればよいから
θ(τ)=π/2、dθ(τ)/dτ=0 d^2θ(τ)/dτ^2=0

でよいでしょうか？

よくわからんが危なそうな議論だ。例えば

>一方、d^2θ(0)/dτ^2=0からdθ(Δτ)/dτ=0

右辺は厳密に0っていえるの？

微小量から有限量へもってくには
誤差のオーダーだして積分すると0になることいわなくちゃ。

解の候補があるから測地線方程式にいれて
満たすかどうかをチェックすれば簡単。それがここでの使い方。

1-formの幾何的イメージは
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/sci/1126706370/
のカキコで見たことがある。本当はMTWの教科書が一番なんだけどね。

>右辺は厳密に0っていえるの？
ホントはΔτの１次のオーダーまでは0です
>それがここでの使い方
そ、そうか･･･それでいいんだorz
確かに解になりますね。またぬけてた。
でも597の方法でもちゃんと考えてみます。せっかくなんで

>>1-formの幾何的イメージは
やっぱ>>592のように書いてありますね
(3次元の話をしていますが)
ただ3x+2y+4z=0のように右辺が0なのがよくわかりませんが
双対ベクトルの定義からすると1のような気がします。

>ホントはΔτの１次のオーダーまでは0です

だろうね。そのへんが
>手抜きで答えてこっちに説明させようとしてる感じ。

いや、そんなつもりは本当に全くないんですが･･･
そこまで正確じゃなくても良いかなと思ってはいましたが。

。。。　この辺でつっこみはやめるけど、
きれいな数学だけじゃなく常微分方程式の数値解法みたいな
のも少しはやったほうがいいよ。精度という考え方が分かる。

ハイ。やった事なかったけどやることにします。
わかっておいて頂きたいのは、僕は出来うる限り自分で答えを導きたいと
思っていることです。なにぶん三流(四流かな)大学のアホ学生なんで602氏からしたら
あまりにも簡単な事で悩んでるため、舐めてるように見えるかもしれませんが
僕自身は本気でがんばっています。
なんとか食いついていきたいと思ってるので、これからもお願いしますm(__)m。

>>597修正版です。おかしい所を指摘してください。

測地線の式の右辺(接続の成分が出てくる�狽ﾌついた項)を
Δτに関して一次のオーダーで展開する事を考える。
(後でΔτ→0として積分するので２次以上のオーダーは落としておく(dτ×∫dτ→0))
また直接計算に入ってこないため、接続の成分の添え字を落としておく。
今Γ(r(0)+dr(0)Δτ/dτ,θ(0)+dθ(0)Δτ/dτ)=
Γ(r(0),θ(0))+{∂Γ(r(0),θ(0))/∂r}dr(0)Δτ/dτ+{∂Γ(r(0),θ(0))/∂θ}dθ(0)Δτ/dτ
(↑見難いかも、⇒ttp://www.42ch.net/UploaderSmall/source/1164088970.bmpの事です。)
ここでdθ(0)/dτ=0より上式最後の項は0となる
また2番目の項において、∂Γ/∂rはΓと同じ成分しか残らない。
なぜならばΓ(r,π-θ)=-Γ(r,θ)なる成分はθ=π/2において0になったが
この式を両辺rで偏微分しても同じ結果が得られる。(アホみたいですが新しい発見でした)
すなわちτ=0の時のように
d^2θ(Δτ)/dτ^2=-�買｡(r(Δτ),θ(π/2))(dx^μ(Δτ)/dτ)(dx^ν(Δτ)/dτ)
=f(多変数関数)dθ(Δτ)/dτ
dθ(Δτ)/dτをくくり出せる。ここでdθ(Δτ)/dτ=dθ(0)/dτ+d^2θ(0)Δτ/dτ^2=0であるから
d^2θ(Δτ)/dτ^2⇒d^2θ(0)/dτ^2+Δd^2θ/dτ^2と書けば
Δd^2θ/dτ^2=0これを0からτまで積分すればd^2θ(τ)/dτ^2=d^2θ(0)/dτ^2=0
となる。


なんか住人増えないのでsageます

せっかく書いたのに悪いが、おれはちょっと見る気はしない。
おれが興味があるのはあくまでWaldの本だからね。

やる気があるなら、自分でプログラム組んで走らせて結果の
合理性で判断するのがいいと思う。

そうですか。
残念ですが仕方ありませんね。

お久しぶりです。今週は計算ばっかやってました〜
一つ意見を頂きたい所があります。

145ページや147ページで衝突パラメータbを固定するのではなくR0を
固定してMに関して一時のオーダーまで計算していますが
著者の言う、R0を固定するのではなくbを固定した場合に数値計算ではなく
例えば6.3.39で∂φ/∂Mを計算して、解析的にMを一次のオーダーまで計算できのでしょうか？？
僕は、どうも出来そうにないと思っているのですが。どうでしょうか？
（被積分関数が発散してしまうので）

訂正
∂φ/∂Mを計算して、解析的にMを一次のオーダーまで計算できのでしょうか
⇒∂Δφ/∂Mを計算して、解析的にMを一次のオーダーまで計算できるのでしょうか

補足

被積分関数が発散してしまうので⇒被積分関数が、上限の値で発散してしまうので

これぐらいなら頑張ればできると思うよ。僕はやってないけど。

ていうか一次までは R0 とめても b とめても同じ結果だというのを、
Wald 先生の書いてるのを信じずにきちんと数式でしめしたのなら、
実質 b とめて計算したことになるでしょ。

そんなこと言わなくても、R0 の変化と、被積分関数の変化をまじめにとりあつかってやればいいはず。

>きちんと数式でしめしたのなら
僕には示せませんでした。>>606は、示せると思いますか？ということです。

>R0 の変化と、被積分関数の変化をまじめにとりあつかってやればいいはず。
まじめに取り扱うというのが、よくわかりませんが。
僕がやってみた限り、被積分関数をf(M,u)とかくと
u→1/R0でf→∞となりますが
∂Δφ/∂M=∫(∂f/∂M)du+f(M,1/R0)×∂(1/R0)/∂M
となって、第2項が発散してしまいます。

たぶん積分領域の端で被積分関数が発散しているときは
その公式つかえないんでしょう。どっかでε-δ論法が破綻すると思う。
f(a)=∫_{-a}^1 1/(x+a)^(1/2) の a 微分をしてもその公式だと駄目でしょ。
f(a)=2(1+a)^{1/2} だから全然真っ当に微分できる訳だけれども。

適切な小さな k をとって積分領域を 1/R0~1/R0+ k と 1/R0+k ~
に分解しないといけないとおもう。手元に解析学の教科書ないけど、
似たような練習問題あると思うよ。

こういう風に被積分関数が発散していたりするときに数値計算とかいっても
仕方がないです。パソコンは有限の量しか扱えないので、
ちゃんと精度良く計算したければ発散をさきに紙の上で処理してからパソコンに載せないといけません。そこがさきに処理できれば今回は手でぜんぶ計算できるはずです。

>f(a)=∫_{-a}^1 1/(x+a)^(1/2)
は1/(x+a)^(1/2)を-aから1まで積分してるって事ですか？

そうです。TeX って使わないですか？この業界では標準ですよ。

すみません使った事ありません。ググって見たらめっちゃ便利そうですね
MathematicaとTeXは使えるようにしたいなぁ。

610の積分をいじってて気がついたんですが、
x+a=tと変数変換すると
f(a)=∫_{0}^1+a 1/t^(1/2)
となって何の問題もなく、609の式を適用できます。
これと同様にしてやれば、∂Δφ/∂Mもいけるかもと思って計算中です。

できました。ちゃんと4/bになりました〜
元の積分の被積分関数の√の中を=tとおくと
積分範囲が1/b^2から0までになって計算できます。
また=tとおいた式でuに関して、とく必要はありませんでした。
610氏の例のおかげで気付きました。ありがとうございました。

本質的でないけど質問です
150ページの3行目の文において
since their tangentsが交点で一致しなければならぬ
とありますが。
tangentsって
接空間って事なんでしょうか？
それとも接ベクトルなんでしょうか？

いま 2次元空間のなかの曲線の接線考えてるんだからどっちでも意味は変わらないでしょう。変わらないからこそ Wald さんも気にせず書いているんだと思いますよ。
ところで僕の持ってる本では3行目じゃないんだけど、版が違うのかな？これはペーパーバックの初版だと思うけど。

な〜るほど。ありがとうございます。
3行目"から"の文章の中ってつもりでした。すみませんでした。

なるほど了解。新版が出てるんなら立ち読みでもしてみるかと思っていました。

ひさびさのひとり言
・Kruskalの座標はstrong fieldでの解析には凄く便利だけど
漸近的にflatな領域での解析は便利でない(154ページ最後)

・Schwarzschildの解は、r=2Mという座標の取り方による特異点の除去の過程
において拡張されたが、どこまで拡張された領域が有効か？？
→我々の宇宙の一部がSchwarzschildの解になっていると信じる理由はないが
非常に重い物体は、実際に重力崩壊する(星の内部はSchwarzschildの解ではない)
また、その外はBirkhoffの定理からSchwarzschildの解であり
時空はFig6.11の様になっており、領域�Vと�Wの全体は星の内部であるから
物理的でないが領域�Uは
「球対称な物体の完全な重力崩壊は”必ず”ブラックホールを生み出す」
という事をあらわしている。
(155ページ最後)

すみません↑は僕です。

質問です
162ページでアイソメトリー σt、χφとそれらに対応するキリングベクトルξ、ψに対して
σt･χφ=χφ･σ⇔[ξ,ψ]=0
というのが、できそうで出来ませんorz
どうすればよいのでしょうか？

追加
式の形からψのξ方向へのLie微分をσt･χφ=χφ･σt
を使って0になる事を言えればいいんだな
とは考えているのですが･･･

僕ならとりあえず 座標 x^μ の点が Killing vector ξ と ψ でどのように微小に動くか座標であからさまに計算しますね。そうすると、
ξで動いてからψで動いたのと、ψでうごいてからξで動いたのが同じというのはすぐ ξとψの Lie 括弧がゼロになることと一致しますよ。

Wald に従って抽象的に最初からやろうとすると難しいかもですが。というか僕もどうやればいいかわかりません。

証明を岩波の｢微分形式の幾何学｣(森田茂之)87ページ
で見つけました。
興味があれば参照してください(書くと長いので)

追加
そういえば
ショウカボウの｢多様体の基礎｣松本幸夫)
にもありました

質問です
166ページの(7.1.21)は(7.1.20)を計算すると出てくるんですか？？
なんか見通しが悪いのですが。

そんなことは書いてないと思いますよ。7.1.20 のあたりでは、spatial section 上の metric 及び dual vector field の話で、それをもとに、
7.1.21 あたりでは時空全体に話を拡大しようとしてるんだと思います。
7.1.21 は天下りにその式で σ を他の slice 上でも定義しようとしてるだけでしょう。

疑問その1
spatial section ってなんですか？

疑問その2
σてなんですか？

あ、7.2.20 と 7.2.21 をみていた... ごめんなさい

>>626
ええっと、がんばって計算するしかないよ。
こういう計算よく出てくるんだけど、
上手い方法僕も教えて欲しいです。
僕はいつもこういうときは tetrad つかってやります。ρ z 面の
connection 1-form ω　を知っているとすると、V^(1/2)(dt-w dφ) と
V^(-1/2) ρ dφ がのこりの tetrad だということをつかって全体の
connection 1-form が決まるので、そこから R を計算します。
頑張って！

やっぱ計算ですか〜
わかりましたorz
なんか(c,3,9)を使えばすぐできるっぽい言い方を
してるような気もするんですけどね。

>なんか(c,3,9)を使えばすぐできるっぽい言い方を
>してるような気もするんですけどね。
それはそうかもしれない。出来たらおしえてね！
最近はめんどっちぃのですぐ Mathematica にやらせてしまうのだった...

色々考えると
キリングベクトルξやψを基底にとっているので
そういうときには(c,3,9)からR_c^tを
R_c^t=R_c^dξ_d=-∇^a∇_aξ_cとして計算できるって事なんですね〜
そこで∇^a∇_aξ_cを計算せにゃならんのですが、
もちろんξの成分は(1,0,0,0)であってますよね？

うん。

最近は年をとったので、頭を使って上手い方法を考えて計算するよりも
下手な方法で無理やり計算したほうが時間がかからなそうなときは
無理やりやっちゃうんだけど、若いうちはなるべく頭使った方がいいね！
がんばれ！そして上手い方法をおしえてくれ！

はい
便利な方法みにつけれそうなんで
ちょっとやってみますね〜

できねぇぇぇーーーーーヽ(｀Д´)ノ!!
でも中間報告です(式の詳細な形は省きます)

(7.1.20)から(7.1.21)をエレガントに導くために、
初めに(7.1.21)の形を見てみると
D^aD_aρ=0だから(3.4.10)を使うと
計量と計量の行列式のみだけで綺麗に表現できている。
(ρも計量の左上のブロックの行列式)
また(7.1.20)において
R^t_t=R^d_bξ^bξ_d=-ξ_b(∇_a∇^aξ^b)
であるが括弧の中を計算してみることにする
T^ab≡∇^aξ^bとして
∇_aT^ab=(∂_aT^ab+Γ^a_adT^db)+Γ^b_adT^ad　(←括弧をつけた所が後で簡単になる)
またT^ab≡∇^aξ^b=∂^aξ^a+Γ^ba_dξ^dから
R^t_t=-�波_μt(∇_a∇^aξ^μ)　　(ただし�狽ﾍμに関する和)
=-�波_μt(∂_aT^aμ+Γ^a_adT^dμ)-�波_μtΓ^μ_adT^ad
=-�波_μt∇_aT^aμ-�波_μtΓ^μ_adΓ^da_t　
ここで(3.4.10)から上式第一項は計量と計量の行列式とクリストッフェルだけでかけているから
第一項を(3.4.9)を用いて
また第二項を
1.計量がブロックに分けられる(すなわち行列式も単なる掛け算)
2.計算に出てくる量はtとφの関数ではない
3.(3.4.9)
という手法でRもΓもちゃんと計算することなくやろうとしてるんですが
上手くいきません。もうちょいがんばってみます(´・ω・`)

がんばって

ちょっと協力を請いたいのですが(どなたでもおｋです)
今の場合αとβをtかφとすれば
�波_γαΓ^γ_μνΓ^μν_β=0　　(ただし�狽ﾍγ、μ、νに関する和)
となりますよね？？(自信ありませんorz)
使ったのは
1.計量がブロックに分けられる(g_tρ=0など)
2.計算に出てくる量はtとφの関数ではない
です。

2chでの自主ゼミでは稀に見るSuccessfulなスレですね。感動しました。

最近書き込んでくださるかたが少なくなってますけどね
きっと僕が不甲斐無いせいですね


ageます

あげ。

今は、ちょいと他の勉強が忙しいので手をつけてません
どなたかこのスレ活用してください。
せっかくの良スレなので

スレ違いなんですけどTeXを使ってみようと思って色々ぐぐってみたら
LaTeX2eや(pLaTeX2eってのが標準という感じなんでしょうか？
んで前者は英語で後者が日本語？
そんでフリーソフトっぽいんですが、あってますか？

そうですよ

>>634
［改訂第4版］ LaTeX2ε美文書作成入門 奥村晴彦　著
あたりが解説本として定番。この人のサイト
ttp://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/texwiki/
も詳しい。

間違えた。上のは >>643 へのレス

ありがとうございます
じゃあpLaTeX2e使ってみます。
あとmathematicaって異常に高いですね
個人で買う感じじゃないんでしょうか？(研究室単位で買うのかな？)

あと一応、いまの僕のやってるのは
群と物理(佐藤光)とQuantum Mechanics(Ballentine)とSchiffの精読と
ゲージ理論の初歩や、あと相対論に関連して多様体入門(松島与三)の主要なとこだけ読み
と、まだやってませんが接続の微分幾何とゲージ理論(小林昭七)
なんかをやっててめっちゃ忙しいので、まだしばらくWald再開できません。
すみません

Mathematicaは数十万だから個人で買うものじゃないね。でも学生版は数万じゃなかったかな。ライセンス上
学生の間しかつかえないけどね。大学によっては教育用システムに入っていて学生なら
だれでも使えるってところもある。
個人で数式処理システムが使いたければ、Maximaというフリーの数式処理システム（おれは
使ってないけどそれなりに定評がある）の本が出てたから見てみたら。

やっぱ個人じゃないんですね
僕の大学の研究室のPCでは使えるようです。
せっかくフリーなんでMaximaをインストールしてみました、
かなりイイですよ〜
もっと速く使えばよかった。サンクスです

>>645の本買って来ました
いいですね

もう基本的なことだけなら、TeX結構使えるかもです

>>ALL
これからは、数式を含むような場合TeXのソースで書くって事でOKですか？

あとMaximaほんとに良いですね
ttp://www.eonet.ne.jp/~kyo-ju/maxima.pdf
と併用すればものすごく役に立つと思います。
みなさんも自宅PCにインストールしてみては？
オススメできます

個人的には全角記号がつかえるときはそれで書いたほうが見やすいと思うんだけど、224さんの TeX の練習のために TeX 式でいくことにしましょう！！！！
はじめて TeX つかったときの感動を思い出してきました。

R_{¥mu¥nu}-1/2 g_{¥mu¥nu} R = T_{¥mu¥nu}

あと maxima って案外良いんですね〜
僕は大学はいってすぐに勇気を出して Mathematica の学生版買ってそれからずっと Mathematica です。当時は買うとTシャツがついてきたんですよね。年がばれるけど。

ありがとうございます。
じゃあコピペして、すぐコンパイルしてdviファイルで見れるようにして書きますね、
以下のように。(例>>638)

\documentclass{jsarticle}
\usepackage{amsmath,amssymb,bm}
\begin{document}
ちょっと協力を請いたいのですが(どなたでもおｋです)
今の場合$\alpha $と$\beta $を$t$か$\varphi $とすれば
\[ \sum_{\gamma \mu \nu} g_{\gamma \alpha} \Gamma ^\gamma _{\mu \nu } \Gamma ^{\mu \nu }_\beta =0 \]
となりますよね？？(自信ありませんorz)
使ったのは
\begin{enumerate}
\item 計量がブロックに分けられる($g_{t\rho }=0$など)
\item 計算に出てくる量は$t$と$\varphi $の関数ではない
\end{enumerate}
です。
\end{document}

他の方も、この方式でよろしいですか？

Mathematica買うって、凄いお金持ちですね〜

いやだから、学生版は数万円だって。けっこう斜め読みだね。

ん？数万って、大学入学したてでは大金だと思いますよ？

あぁ、お金持ちってそういうリアルな意味じゃないですよ〜
誤解を招きましたね、すみません

そういえば皆さんは、相対論WaldやMTWなどを読むのに(他の理論でも)
ガチガチの数学書読まれましたか？
物理数学の本や、本文中の文章だけで理解するものなのかな？

多様体の本読もうとしたけどくじけた。MTW読んだ後見返したら理解できた。

後、個人的な感想としてTexのソースはやっぱよみづらいな。\etaよりηのほうがいい。おれは
texの文書書くときもlyx使ってるし。

こっちも個人的な感想をいわせてもらえば、 ¥eta とかは慣れてて読めるんだけど、
さすがに documentclass とか TeX の枠まで書かれると無駄が多い気がする

手元で TeX でみたいひとは自分で documentclass とかの枠にいれてコンパイルするってことで良いんでは？枠を書いておいたファイルをひとつ作っておけば済む話だし。

あと、数学に関しては、物理の本に書いてあることでなるべく頑張って、あとわからなくなったら専門書を参考にすることにしてる
別に数学自身が知りたい訳じゃないので数学書をはじめからおわりまでがっちり読むこともめったにしないけど、物理屋だからといって数学書を読んではいけないというわけでもないでしょう

659氏はエディタが違うと書き方が異なる場合があるって事ですよね？
だからコピペでコンパイルできないという事ですね？

ということで基本は全角文字で書いて
一応それに加えて式の部分のソースだけ書きますね。

やっぱ数学書も読むこともあるんですね
僕は、3年くらいまでは数学の本を初めから最初まで読んでましたが
最近は興味ないとこは読まなくなってたんですが
やっぱ物理屋として読むのが良いですね。
(数学の本→物理の本はナンセンスで、物理→数学がいい)

いや、lyxというのは普通の数式を含む文章を直接入れて、それをtexコードに変えてくれる、
まあ一種のフロントエンド。Scientific workplaceがあるけど、それから
計算機能を除いたかんじ。 www.lyx.org

なるほど
663氏はTeXのソースを直接書いているんじゃなく
lyxにやらせているんですね

みなさん、お久しぶりです。まだwaldに戻れませんが(早くやりたい(｀Д´))
いきなりですが微分幾何のオススメ本ありますか？
やっぱkobayashi nomizuかなぁ
高いんですよね･･･

あと量子重力が専門の方いらっしゃいますか？
(というかループ量子重力)

kobayashi nomizu は詳しすぎるとおもう
そんなところまで物理では要らない

中原のGeometry, Topology and Physicsがおすすめ
日本語版もある

>(というかループ量子重力)
ループ量子重力が専門の人が日本に何人いるかご存知？
両手で数えられるよん。こんなところで返答したら誰だかバレバレ。

弦理論なら一杯いるよ

今日Kobayashi Nomizuを借りようと思って
図書館にちゃんとあることを調べてから出かけたら
ちょうど今日貸し出されてた

orz

>>666
ありがとうございます
眺めてみたら、バリバリ理論物理に必要な数学集めてますね
かなりｲｲと思いました。でも,たっかいorz
あと最初のうちはそれでいいとしても、自分の研究を始める頃には
数学の本の内容も(物理数学の本じゃなくて)修得してるって感じじゃないんんですか？
なんつーか自分のやろうとすることに必要なのは結果として、ある数学の一部分であっても
それを使って一つの事をやる際には、もっと広いバックグラウンドが必要なんじゃないんでしょうか？
まぁこの辺は好みですかね。

ループ量子重力の専門家ってそんなに少ないんですか〜
むしろ燃えますねw
でも助言を下さる方がいてくださったらよかったなぁ
(あと僕なんかは、すでに後輩とかにバレバレですよ。問題ないですけどねw)

>>667
僕も今日借りようと思ったら、数学科の図書室以外には無いし･･･
どしよ(´・ω・`)
せっかく松島読んだので、微分幾何も本格的に手に入れたいんですがね

もひとつ
僕は、弦理論には全く興味ないんですよね〜
実は僕が興味あるのは離散的な時空なので。
あとは量子基礎論ですね

なんかあっちのスレでも返答したけど、結局きみと会話してたのか :p
食わず嫌いはいかんぜ。弦理論も勉強してみてください。
なんてったって10次元では既に重力の量子化ができてるわけだし。
4次元でどうなるかは知らんけど。

>ループ量子重力の専門家ってそんなに少ないんですか〜
>むしろ燃えますねw
ほんとにやる気なら、ちゃんと大学院は
調べて専門の先生がいるところに行かないとだめだよ。
教科書はひとりでよめなくはないけど、
研究はひとりでするもんじゃなくて議論してするもんだから、
相手がいないと話になりませんよ。

直接アメリカでLQGの専門家のいる大学院にいったほうが
いいかもしれないので、
視野をひろくして考えてください。

>なんつーか自分のやろうとすることに必要なのは結果として、ある数学の一部分であっても
>それを使って一つの事をやる際には、もっと広いバックグラウンドが必要なんじゃないんでしょうか？
>まぁこの辺は好みですかね。
それには全く同意するけど、個人的経験をいうと、中原読んでるだけで時間がかかって、
いつのまにか大学院にいる自分を発見して、
そうなると数学のもっと専門の本は自分で買わなくても学科や研究室の図書を借りれば済むようになった気がする

>>670
そうですね。弦も一応やらないとですね
海外ですか･･博士課程になったら親からの援助受けられないので
今の大学以外は正直きついですね。(授業料、奨学金の面でorz　鬱になってきた)
ホントはそうしたほうが良いのは凄くわかります･･･

>>671
つーことでKobayashi Nomizuを「辞書的に参照するため」に借りてきました

まじでKobayashi Nomizu買わないでいいですね
これ消化してたら数学屋になってしまう

>>672
海外は良く調べてみたほうが良いよ。
TAをしないといけなかったりするけど、日本よりは奨学金の出る可能性がぜんぜん高くって、金銭的には日本にいるより逆に楽だったりするから。

>>674
へ〜そんなモンなんですか。
色々情報ありがとうございます
とりあえずマスターの2年間がむしゃらに頑張ってみます。

アメリカの院はべつにマスターとドクターがあんまり別れてなくってこっちでマスターとってから行ってもあんまり関係なかったりするんで、
>とりあえずマスターの2年間がむしゃらに頑張ってみます。
あんまりマスターの二年がんばってみてもしかたがないかもしれない。
善は急げという場合もある。
年度のはじまりが9月だったりするから、調べておくにははやいほうがいいし。
海外に行けというわけじゃないけど、選択肢として。

もうマスターなのなら 2ch できくより周りに相談できる人がいないですか？

頑張っても仕方が無い事なんて、きっと無いと思いますが。
まだ単なる「お勉強」中なんで、海外行って右も左もわからないまま時間を消費
するだけです、特に僕の場合は。ある程度勉強して知識を得て、さらに「具体的に解決したい問題はどんな問題か？」
「それを解決するための困難は何か？」などの問題意識をはっきりさせて「具体的に〜を学びたいから留学する」とならないと、
貪欲さを持たない留学など何の意味も持たないと僕は思ってます。生意気いってすみません
(反発してるんじゃありません。相手をしていただいてありがとうございます)

しかし選択肢をもっとくのはとても大事な事ですね
早い段階で気が変わり(問題がでてきたり)留学したいと思ったときの
ための準備をしておけということですね？

今年の4月からマスターです。
昨日も相談しに行きました。
指導教官じゃないんですが、僕が大学入ってからずっとお世話になってる先生で
人生に迷ったらいつもその方に相談に行きます。

>>675
うん、マスターの2年間はとても大切。人生で一番勉強できる時期かもしれない。しかも2年目は
マスター論文で色々大変だから悩まずに勉強に打ち込めるのは最初の1年。がんばれ！

>>678
はい、僕のお世話になってる先生もいつもそうおっしゃいます
「マスターの2年間で、お前が研究者としてやっていけるかどうか決まる」
とね。めっちゃめちゃ頑張ります。

このスレはホントに良スレだぁ
皆さんありがとうございます。

君の書いたのを読むとなんか留学というのを特別視してるみたいに聞こえるけど、
そんなことないよ。

やりたい問題があるなら、それの専門の先生のしたにつくべきだということで、専門の先生が海外にしかいないんなら海外に行くべきだし、日本のどこかにその専門の先生がいるならその大学に行くべきだといいたいだけです。
どんな分野でも細分化されてて、結局は学生は教官のやってることと近いことやるわけですよ。

「具体的に解決したい問題はどんな問題か？」ってのはLQGじゃないの？

あと、
>あんまりマスターの二年がんばってみてもしかたがないかもしれない。
>頑張っても仕方が無い事なんて、きっと無いと思いますが。
ええっと、がんばってもしかたがない、といったんじゃなくて、勿論がんばるのは重要なんだけど、マスターの二年とか期限を切ってもあんまし仕方がない、
海外にとくに大学変わる場合はさっさと変わったほうがいいから。といいたかったのでした。
「しかたがない」は「二年」にかかると思ってください。わかりにくくてすいません

僕は一度も海外に行った事無いので、海外は特別ですね。
680氏はもしかして留学された事があるとか？？
僕の大まかな問題はLQG(時空の離散化)なんですが、
あまりにも漠然としすぎてると僕自身は思ってます。

僕自身というよりは、つきあっていた女の子が僕を捨てて海外に留学してしまったというか…(遠い目)

> あまりにも漠然としすぎてると僕自身は思ってます。
院もうとりあえず行き先決まってる段階でこんなこというのもなんだけども、
ひとりひとりの教官の専門の広がりより小さいスケールまでやりたいことが
決まっていれば、どの教官につくかはそれをもとに決めるたほうがいい。
日本の大学院の間だと指導委託という制度で、院をうけなおさずに、他の大学のより専門が合った教官の下で研究できるとかいうこともあるぐらいなので。
まあそのためには自分の教官と行き先の教官の仲が良くて、自分も教官と悪くない関係で、とか必要だったりするけど。

時空の離散化というと弦理論でもそういうのもあるし、LQG もあるわけだけど、弦理論ならともかく LQG というと日本では特定の先生につくしかないでしょう。


僕自身はそんなことわからずに院に入ったんだけどね。

あちゃ〜
そうなんですか。傷口にわさび塗りこんですみません

なんか色々あるんですね
とりあえず日本人の専門家探ってみますね

>とりあえず日本人の専門家探ってみますね
まあそれがいいと思いますよ。
あとは場の量子論と一般相対論の勉強ですね！

もひとつ思い出したのは、時空の離散化という意味では、
重力を扱うわけじゃないけど場の理論を扱う上では
時空を超立方体に切って考える格子ゲージ理論も非常に重要。

>>684
うす。waldの量子重力の章をはよ読みたいです

実は格子ゲージ理論もちょっとみてみたいなとおもってます

若い者はいいなあ。どこかで一つに絞らないと論文は書けないけど、修士１年なら
色々勉強することが必要だし、楽しかろう。英語と計算機の練習も忘れないようにね。実践練習が一番。

224氏は卒論はどんなテーマだったの？　
ま、身元がばれるなら書かなくてもいいし、理論だと卒論がないところもあるけど。
　

もし余裕があるなら、４、５日の観光旅行ででもアメリカへ行くといいと思うよ。もし君の英語が
普通の大学生レベルなら、英語練習の必要性を痛感できるから。
全然通じなくても生きて帰って来れるよう綿密に計画立てるのもよい経験になる。英語が
達者な人についていってもらうのが一番だけど。
ま、Wald読んでレポート書いてもらうほうがおれにはありがたいが。

英語の重要性はひしひしと感じてたので、1年生の頃から英語の本
で物理を勉強してたんですがまだまだちゃんと使えないですね(読めないです)。
マスターになったら英語の授業をとろうかな(外人の先生のやつを)
実は学部の時も必要だと思って外人の先生の奴取ってたんですけどね。
PCはホントに便利ですね、このスレでいろいろ教えていただいてから必要性を感じてきました。

僕は卒論ありませんでした。
でも卒業課題があって、何やっても良いって言われたんですが
ゼミはゲージ理論の初歩の初歩だったので、他の人は散乱の計算(γ体操？)させられてますが
僕はせっかく相対論これだけやってるので(ゼミより力入れてるかもwww)
僕の将来やりたいことに直結してる(もちろんゲージ理論もですが初歩しかやってないから自分の納得いくように書けないし)
相対論(まぁwaldの内容ですが)の数学紹介→重力場の方程式を導く所ぐらいまでをまとめて
提出するつもりです。(waldを読んでも情報が足らなくてよくわからなかった部分(特に数学)を解りやすく補足して)
今松島読んで後は小林氏の「接続の微分幾何とゲージ理論」の前半読んで微分幾何の知識を補うつもりです。
これを3月下旬までにやらないといけないので、今脳みそがパンクしそうになってます。

waldのレポートって英語でですか？？？(ビビリながら)

いえ、これまでどおりのメモで結構す。

どうせ発表するなら少しでも自分のやり方での導出を入れるとよい。よくできた教科書でも
「こうやった方が分かりやすいのに」という部分が意外とあるもの。

そうですね、解りました。

皆さん
お久しぶりです。
まだ卒業課題やってて途中なんですけど
このスレの人口増やすために完成したら
卒業課題公開しようかなと思ってるんですが
（数学の説明を丁寧にしてあるのでWaldいきなり読むよりは、だいぶ読みやすいはずです。その分ページ数が多くなりましたが）
参考文献の切り貼りの部分が主だし文章そのままのところばっかなんで（それでも説明加えたり構成変えたりは、できるだけしてますが）
「著作権的に問題あるかなぁ」とか思ってるんですが、どうでしょうか？
問題なければ公開しようと思うんですけど。

公開はありがたいが、著作権みたいなcriticalなことは2chで聞くより自分で調べたほうがよいと思う。
引用であることを明記しても、あまり量が多いとまずいとかあった気がする。

調べてみたら問題ありそうですorz
めんどくさい事になるのはイヤなのでやめときますね
今でも60ページくらい書いてるから、もったいないけど

もっと咀嚼してきちんと自分の言葉で正しいことを
表現出来るようになるまで精進するのじゃ

うれしいような、残念なような。
まあ自分で読解する事が試練だから、頑張って読むか。

申し訳ないです
共変微分、クリストッフェル(テンソル的でない性質)とかリー微分、テンソル場など
僕が始めにWaldを読んだ時に格闘した概念を
かなりわかりやすく記述したんですが（課題の条件は他の4年生が理解できるようにする事）
やっぱまずいかもしれないので･･･
すみません、頑張ってください。

でも中身はかなりの部分が数学なんで、物理系の人は量子重力やゲージ理論をにらんでる人以外には
面白くない内容になってます。

気になったのでp57の再感想

・p57の説明は破綻しているように見える。まずページ中盤ある特別な「ベクトル場」v^a
があった場合の話で、v^aが「特別な理由」が定かでない、これはただ単に、この座標系では
成分が(1,0...,0)のベクトル場にすぎない。しかも自分で「ベクトル場」といっているので
座標変換すれば勝手に成分は変わる。さらに方程式がテンソルで書いてあると、自分で言っているので
座標変換しても方程式は、かわらず成立する。
テンソルで方程式が書いてあるなら、所謂「一般相対性原理」は成立している。
(テンソルは成分と基底が逆変換だから、どの座標系から見ても同じ)
一般相対性原理の定式化が違うのが原因か？

・ページ下段。クリストッフェル記号から作った
Γ^a_bc=�買｡^i_jk(∂/∂x^i)×(dx^j)×(dx^k) （ただし×はテンソル積）　
は「テンソル場ではない」。
なぜかWaldではテンソル場だと定義しているけど・・・

「なぜか」って、本に書いてないの？

僕の見る限りでは、ちゃんとは書いてないと思います。
恐らく理由と思われる箇所はp32からの一連の(∇~_a-∇_a)_p
がタイプ(1,2)のテンソルという証明の所まではいいんですが、
おそらくその後で、∇~_a=∂_aを共変微分だと言っているところがまずいんだと思います。
つまり外微分dは、直積束でない接ベクトル束TMの接続として採用できないのにもかかわらず
採用してしまっているうえに、そのままCからΓに文字が変わっただけでテンソルという性質を引き継ぐ
としているとこがおかしいんだと思います。

自信ないですけど。

久しぶりの224の独り言のコーナー

・7.2節はとてもためになった。構造定数をテンソルで導入するのははじめてみたなぁ
homogeneous cosmological modelにリー群の理論を使って記述して、しかも簡単な場合に対して実際に式(7.2.40)〜(7.2.43)を適用した例がのってて非常に勉強になる。

・7.3節の与えられた解から、違う解を作るgenerating solutionの方法は、そんなに役に立つものなんだろうか？7.4節の摂動は使いがって良さそう。

ちょいと質問です
p192最後のパラグラフにかけてなんですが、future directed timelike curve
を連続性を持つように定義しなおそうとしているわけですよね？
なのになぜ定義は
「future directed timelike curveは、連続曲線λであり
各点p∈λ(t)に対してconvex normal neighborhood Uが存在するようなものとする。
ただしUがconvex normal neighborhood とはt_1<t_2なるλ(t_1),λ(t_1)∈Uに対して
λ(t_1)とλ(t_1)を結ぶ[微分可能]なfuture directed timelike curveがUに含まれる事を表す」
となって微分可能性にまで言及しているのでしょうか？？
僕の定義の訳がどっかおかしいのでしょうか？

俺が読んでるのはまだPART I なのでわかりましぇん。

そうですか
なんか人口減ったかな？
それとも習得してない人が多い分野になったからですかね？

そのあたりの事情はぜんぜん分からないが、少なくとも
リーマン幾何の段階で辛い俺ガイル。

はじめてやる時はきついですね、やっぱ
頑張ってください

ありがとう

3章の、曲率あたりからチラチラ出てくる（（3.2）の8行目等）、
「the failure of successive operation」
というのは、どのように訳せばいいんでしょうか、比喩表現ですかね。

分かり辛いですね、 「failure」 の訳し方で困っています。

>>325
にも書きましたが、英語の抽象名詞を日本語の名詞に訳すと意味が通らなくなることが多々有ります。対応する動詞が日本語で「〜する」なら名詞は「〜すること」と訳したほうが通ることがよくあります。
failure of は「〜できないということ」と訳せばいいです
successive operation は 「順番におこなうこと」です

適切につないだあと日本語としてこなれた表現にするには「こと」は殆どいらなくなります。

まあでも最終的には訳さないで英語のまま理解したほうがいいです

なるほど、訳に関してはよく分かりました、ありがとうございます。
英語のまま理解するというのは有用そうですね、これから意識してやってみます。

224のひとり言コーナー

･8章は全体的に、位相空間の知識を総動員して話をしているが
全体的に抽象的なため、どうもしっくり来ない話が多い
（考える時空はアインシュタイン方程式を満たしている必要は無く、一般的な時空についての話。）
流れとしては時空の接空間を局所的なminkowski時空としたとき光円錐を,この中（接空間に同型なminkowski時空）で定義する。
そして接ベクトルが未来向きであるとか過去向きであるとか定義し、
それの積分曲線を未来向き因果曲線などと定義色々な定理などを証明してゆく。
さらに因果性については8.2節で、時間的な閉曲線など物理的に妥当でない結果をはじくために
色々な考察を行いstably causalityやstrong causalityなどが物理的に妥当であるのがわかってくる。
そして8.3節ではGlobal Hyperbolicityというものを考える。これは考えている時空がCauchy surface �狽�持つということであって
Cauchy surfaceとは�狽ﾌ過去も未来も�狽ﾉ由来しているものである。これはつまり�狽ﾌ未来から伸ばしてきた因果曲線は
「必ず」�狽�通り、過去についても同様である。物理的にはこれは非常にもっともである。
さらにこの節の目的はp208のproposition 8.3.13を証明するために色々導いている。
それにしてもしっくり来ないなぁ･･･9章読んだら戻ってこよう

･9章の9.1節では、とにかく「特異点」をどのように定義すればよいか？という事を説明している。
大まかに言うと特異点は時空の中での「場所」では無い。場所とはつまり時空の点であるということだが
特異点では時空とその計量が定義できないため（ここがミソ）、それを時空の点とみなす事は出来ない。
特異点を時空の境界として定義しようと頑張っている人たちもいるが、今の所満足の行く結果は得られていない。
では「曲率が発散するところ＝特異点」定義すれば上手くいくか（schwarzschild時空でr→0のように）？
しかしこれはまずい、なぜならこれは曲率R_abc^dのbad behaviorではなく、「座標系もしくはtetrad」のbad behavior
であるからである。他にも色々な理由からこれらの定義はまずい（詳細はp214）。
結局最も満足のいく特異な時空の定義は「測地線が完備でない時空」なるものを採用する事になる。

ついでに質問です。
σ_abを対称テンソルとするとσ^abσ_ab≧0
って自明ですか？（式9.2.22の前）アホみたいな質問だったらすみません。
なにか見落としてるかなぁ

すみません自己解決しました
σ_0μ=0だった（前ページ）orz

よってσ^abσ_ab=�波^μμg^νν(σ_μν)^2=��(σ_ij)^2≧0

>なぜならこれは曲率R_abc^dのbad behaviorではなく、「座標系もしくはtetrad」のbad behavior

ここの「これ」というのは何を指すの？　特異点？

Schwarzschildのr=0は特異点の一例ではあるんだよね？

「これ」=「曲率テンソルが発散するというbad behavior」です

>Schwarzschildのr=0は特異点の一例ではあるんだよね？
そうです、しかし一般的に「曲率が発散する点=特異点」と定義すると
上手くいかないということらしいので特異点の定義としては別のものをとるということです。
しかし曲率の発散という事実も特異点のclassifyに使えます。
前述のように特異点とは測地線が、それ以上のばせなくなる点ですが
タイプ1,曲率テンソルから作ったスカラーR,R_abR^abなどや、その共変微分などによって
polynominal expressions（多項式って事だと思いますが）によって作ったスカラーが、その測地線に沿って発散する。
タイプ2,そのような曲率の発散は無いが、その測地線に沿って平行移動されたtetradによる曲率およびその共変微分の「成分」が発散する。
タイプ3,なにも発散しない。
のように３っつのタイプに分けています。

補足
Schwarzschild時空のr=0の点は、
（僕の理解では）Schwarzschild時空の「中」の点ではありません。
特異点は時空の「外」にあります。

>なぜならこれは曲率R_abc^dのbad behaviorではなく、「座標系もしくはtetrad」のbad behavior
>「これ」=「曲率テンソルが発散するというbad behavior」です

妙な感じ。前者はSchwarzschildのr=2Mの見かけの特異性の説明でよく使われる表現だし、
後者は座標系に関係なくなりたつbehaviorのはず。

もっと正確に書くと
曲率テンソルの発散には2通りあって、一つは「座標系もしくはtetrad」のbad behavior で
二つめはスカラーRなどが発散する（スカラーRを考えているのは座標系によらないものを考えるため）
というものだけど、一つ目は曲率テンソルR_abc^dそのものの特異性じゃない、こういうことがでてくるから
特異点の定義として「曲率テンソルが発散する点」と定義するのはまずい
（さらにスカラーRなどが「無限遠点のみ」で発散するような状況も考えられるが、これを「時空の特異性」とみなすには無理がある。）
という事です。

疑問の答えになっているでしょうか？

追加
さらに曲率テンソルがbad behaviorしなくても特異性を持つ時空の例も挙げてあります
よって上の３つを考慮すると「特異点=曲率テンソルが発散する点」
なる定義を「一般の特異点の性質」として採用するわけにはいかないというという事です

わかりました。あんがと。
「曲率テンソルの発散」というのが成分の発散か（座標系に依存）、
曲率テンソル自身の発散（座標系とは独立の概念）かはっきりしなくて
ひっかかってたみたい。

特異点というと凄そうだけど、２次元リーマン多様体、つまり曲面なら
尖ってるところがあればそれで特異点だよね。時空のはそういうのとは
本質的に違うの？

そういう数学の言葉をご存知なら、自分で高次元の場合を調べてみたらいいんでない？ 2次元は特に簡単なんですよ。

>>722
んー、そうなんだけどね。面白そうというだけで自分で使いそうもないことまで調べてる余裕がない。
知ってる人がすぐ答えてくれればありがたいなということ。

ちなみに今は測地線が本当の最小曲線になるか否かの判定条件を探している。
何冊か教科書を見たらJacobi場のconjugate pointというのがあったけど、必要条件しか
与えないみたい。
もし他の条件をご存知でしたらキーワードだけでも教えてもらえるととっても助かります。

アトポス死ねアトポス死ねアトポス死ね
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最近他の事やってて全然手を付けてません(peskin やら代数学やら位相幾何
やら)しばしお待ちを。もうしわけないです

若いモンはいいのお。

どんだけ年上なんですかｗｗ
いいですよ。こんな事できるのは今くらいですからね
でも今身に着けたものが後々効いてくると信じてやってます。

そういえばさっき前のレス見返してたんですが
>>539から>>609までの僕の発言アホ丸出しですね
>>559で
>θ=π/2の時0にならないのはΓ^θ_θν(r,π/2)　(ν=t,r,φ)
て書いてて
>θ(τ=0)=π/2 、dθ(0)/dτ=0
もあるんだから、測地線の方程式から明らかに
d^2θ(0)/dτ^2=0なのに一体何を考えているのかｗｗ
これはイラつきますねｗ申し訳ありませんでした。
疲れてたのかなぁ

アトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ね
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アトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ね
アトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ね
アトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ね
アトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ね
アトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ね
アトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ね

>>224
修士論文で何やるか決まった？

>>730
僕がやりたいのは時空の量子化なんで
大まかに言えば、修士論文は量子重力になるかなぁと思ってます。

>>all
再開まであと一ヶ月程お待ちを。
まぁWaldの後ろの方に乗ってる事項の数学を
バリバリやってるって感じなんで、再開したら速度早いと思います。

そりゃまた、難しい分野を。俺なんかWheeler-DeWittでいきなり挫けたっけ。。

何年か前の数理科学の特集に小玉先生が書いた「現状」だと、HawkingのもVilenkinのも
行き詰ってInflation宇宙論に道を譲った形になった、だったような。
最近のいいレビューペーパーでもあったらおせーてね。

まぁまだ全然勉強してないから恐れるものがないですからね
どうしてもむずかったら量子力学基礎論に方向転換するかもｗｗｗ

>>733
　量子力学基礎論・・・。量子情報なんかの最近はやりなところに行くのなら
まだわかるが、文字通りの「量子力学基礎論」なら、量子重力なみに泥沼だよ。

しかし理論物理なんて殆ど泥沼でしょう
それを言い始めたら理論物理を専攻すること自体が
泥沼になると思いますよ。
だめなら物理全然関係ない企業にでも就職するって
もう腹くくってますしね。

研究を続けるかどうかの見極めは多分、博士過程に上がるかどうかって選択時になされるだろうね。
そこまではがんばってやってください。量子重力となると、周りよりも２倍がんばるって気持ちがいると思うな。

修士まででは、まだ自分に才能があるかないかの判断はつきにくいと思いますから
博士課程は間違いなく行きます。何しろ、まだ自分の研究を開始もしてなくて
まだ勉強してるだけの段階ですから。
(この時点で僕のようなアホには、理論物理は無理と思われるかもしれませんが)

頑張ります。

すみません。「量子力学基礎論」とは何ですか？　もしかして観測理論のこと？

数学専攻で、最近物理の勉強を始めた素人です。

>>738
観測問題も含まれます
詳しくはググるのがいいかと思われます

　現代科学の嘘を見破る
　現代科学は本当のことは何も解明していない。なぜ、磁石が反発したり、引
っ付いたりするのか判らないのである。磁石の両端をＮ、Ｓ極として、同極は
反発力が、異極は引力が働くと規定しているだけである。磁気力は目に見えな
い。ただ、磁石の周りに置いた鉄粉によって磁気力線が見えるのである。
　重力の本体も判らない。ニュートンが万有引力説を出し、アインシュタイン
が時空歪み説を出した。時空が何も無い空間であれば何が歪むと言うのか。量
子力学では現象は確率の波によって起きるとしているが、それでは因果律が成
り立たない。原因と結果がどのように結び付くか説明出来ない。見えないもの
をその様に想像しているだけで、幽霊の話をするのと同じである。
　幻肢痛と言う現象がある。手を切断してその無い手の部分が痛むのである。
あるツボに鍼を刺してこの痛みを取り除く事が出来る。身体には経絡があって
そこに気が流れており、それが放電すると痛みとなるのである。だから、過剰
になった気を鍼を通して空中に放電させる事によって痛みが治まる。痛みにつ
いても科学では判らない。麻酔薬は毒によって気の流れを阻害させているだけ
である。
　ボウフラは汚水から湧くのであって、決して卵から孵化するのでない。玄米
から湧く蛾の幼虫も孵化するのでない。胚芽が虫に変化するのである。この事
も科学では説明出来ない。
　猿から人間に進化したと言うが、急激に進化出来ないから、その中間の形態
の動物が存在する筈である。しかし、それは存在しない。何時になったら猿は
突然変異して人間となるのか。猿の頭の毛は体毛であり人間の頭の毛は髪の毛
である。まったく別のものである。
　ＵＦＯは空間に存在している気（電波の媒体）の反発力を利用して運行して
いる。この気を制御しているものが神の意志であり、それによって、森羅万象
が動いているのである。

>>>>「量子力学基礎論」とは何ですか？　

>>観測問題も含まれます
>>詳しくはググるのがいいかと思われます

有難うございます。一応それだけで足ります。
グーグルやウィキペディアでは見つかりませんでしたが。

ありゃ？そうすか

もうしばしといいつつ時間かかってすみません>>all
もうしばしお待ちをorz

一年かかりましたが来週から物理に戻ります。
長かった〜

一年間数学やってたんだっけ？

3月までは卒業課題やってて4月からは数学だけです。
そのあいだ物理は殆どといっていいほどやってませんね。

数学って言うと、やっぱファイバー束、関数解析、リー群とか？

それらは当然ですね。指数定理とか、あんましっくり来なかったけどツイスターの入門とか
非可換幾何の入門の入門とかですかね

そういえばこのスレはストリングやってる人が多いみたいなので聞きたいんですけど
Elements of Noncommutative Geometry
by　Jose Gracia Bondia、Joseph C. Varilly、 Hector Figueroa
読もうと思ってるんですが、良い本ですか？

もうWaldなんて初等的なもの卒業しましたって感じだね。そういう質問は超弦スレの方がいいのでは。

そこまででもないですよ。物理は全くやってないですしね。
ストリングのスレで聞いてみますね

超弦理論スレできいていたのは君だったのか

僕ですｗ
836氏あたりですかね？
ループのスレでもよかったんですが過疎ってますからね

まあ日本は LQG やってるひとほとんどいないからね
非可換幾何なら日本人の先生でやってるひとも数学、物理にぽつぽつといるので悪くないかも知れない

なんといっても一人では勉強/研究できないからね

>なんといっても一人では勉強/研究できないからね
決め付けすぎだと思います。生意気ですが僕はその考えには全く賛同できませんね。
効率が上がるのは事実だと思いますが。

じゃあ
「なんといっても一人では勉強/研究の効率が上がらないからね」
に訂正させてください。若くて生意気で結構

自分の所属する研究室で楽しくやってますか？
それがうまく回ってないと勿体ないからね。
うまく回ってれば、2ch でどの本がいいかとか聞くまでもないと思うので。

僕にとっては研究室の状況と2chで本を聞くのは
関連性があんま無いですよ
2chは凄くたくさんの人間が見るから自分の読む本を
オススメの本からさらに選別できるからいいんですよね。
大学一年生の時、古典力学の洋書を聞いて以来
とりあえず評判聞いてみることにしているわけです。
もちろん先生や先輩に聞く事もありますが、
やはり聞く人数が多いに越した事はないですから。
えてして有益な情報を得る事が出来ますよ。

このWaldスレだってそうですしね