スピノルってイメージできますか？

物理学科２年生です。量子力学の角運動量(SU(2))のところで、
スピノル表現出て来ますよね。あと、特殊相対論ではローレンツ群
(O(3,1))のSL(2,C)スピノル表現とか。ベクトルやテンソルは幾何ベクトルや
応力テンソルから類推しやすいですがスピノルはどうイメージすれば
いいんでしょう。”卵のからざ”の例え話とか”ウェイターのトリック”
の話だけじゃ、よくわかりません。

”卵のからざ” ”ウェイターのトリック”
どっちも聞いたこと無いんですけどどんなの？

スピン1/2は2回回転して元に戻る、
ってのをメビウスの輪でイメージするってのは
聞いたことあるけど・・・。
つまり、メビウスの輪でも1回回転だと裏っかわにいっちゃって、
2回回転しないと表に戻ってこないってことで。
簡潔にはそれでいいんじゃない？

>>2
「卵のからざ」はからざにくっついた卵の黄身を720°回転させると
元に戻るって話だね。
「ウェイターのトリック」ってのは手に乗せたお盆を720°回転させる
と元に戻るって話。ファインマンが言ったやつ。いずれにしても空間に
絡み合っているスピノルの二価性の話っすね。

ファインマンの量子力学のスピン1/2の章をこのスレ見て久々に見返した
けどやっぱり感動的だな。

>2
じゃ、スピン1/3は３回転して元に戻るってこと？
でもスピン1/3はないんですよね。

イメージとは、難しいものだ、おれも色々イメージが浮かぶ！！！！！

スピンは整数か半整数のみ

,

anyon!

spin2は1/2回転で元に戻るんだっけ？

>1
雑誌サイエンスに載ってたな
記事探して味噌。量子力学の特集のとききだったかな。

>>11
spin2はspin1のvectorをクレプシュ=ゴルダンで合成してできる
tensorです。

>>13
じゃあ戻んないの？

卵やお盆よりもベルト２回転させた方がいい気がする。

表現てなんですか。なんで表現しないといけないのでしょうか。

スピンを２年生に教えられる人は2ちゃんにはいないってことだな。
俺も含めて。

>>16
「群と表現」って言葉の意味わかる？

群 G から一般線形群 GL(n;R) への準同型写像のことを G の n 次元表現という
要するに群の元を行列であらわすこと

で良かったっけ

お前ら、何で大学の教員に聞かないんだ？

恥ずかしがりやなんだろ。

わたしはスピノルはモチロンのこと
ベクトル（反変、共変の違い）
３階以上のテンソルすらイメージつかめません。

ちょっと待て、2階のテンソルは分かってるんなら後は同じだろ。
スピノルは分かりにくいような気がするけど。

きっと>>22 は　2階のテンソルを行列でイメージしていると思われ

いや、漏れもそうだけど。

スピノルは考えるんじゃない。感じるんだ。

スピノルは感じるんじゃない。回るんだ。

何言ってるんだからわからん
何がわからんのかわからん
数学的記述くらいしかわからん
こんな先輩は逝ってよしでしょうか

ﾌｧｲﾝﾏﾝ読めばわかるんですか？
読んでみようかな

わからんかったら回るんだ。そうだ、回るんだ。

コマのように

いやむしろフィギュアスケート選手のように華麗に

スピンはめぐる

あんたら、スピンをなめたらアカンほうがええよ！（？談）

結局だれもイメージできない。

Spinor = √Vector or Spinor^2=Vector

て感じ？

スピンって何も回ってないよ

そんなこと気にするな。

スピンは単なる空間内の回転ではない。
空間からはみ出た部分があるのだよ。

ファイバーだね〜

>>37
どういう意味ですか？

>>39
スピノルはクリフォード代数の一部なのです。調べてみて！

>>39,40

クリフォード代数とスピノルは関係ないとはいわんが、
SO(3,1)のスピノルが判っていない >>1 に
クリフォード代数を勧めるのはいかがなものかと思うぞ、
>>40 よ。
「一部」というのもいかがなものかと…　

>>39､>>41
ここでいろんな情報が得られますよ。ちょっとマニア向け。
ttp://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/

ドラゴンボールＺ
フジ（関東）で毎週月曜１６：３０〜放送中！！

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　　:;;;:::;::;: :::;:;;:::::::..::::::::::::::::;::::::::::::::::::::::::::::::::::::.　　:;　..;::::::;::;: :::;:;;:;:::::;: :::;:;::
と〜けたこおりのな〜かに〜♪恐竜がい〜たら〜たまのりし〜こ〜みたいね〜♪

ｱｹﾞ

（＾＾）

（＾＾）

1

一定の角運動量をもったコマのようなものです

>>48
それはスピンでしょ。
それはそうと、スピノルについての分かりやすい説明が、朝永さんの「スピンはめぐる」に
出ていたなあ。
あれは英訳も出ているくらい、名著だ。

age

スピンはめぐる今度買ってこようかな

>1
時空間が４次元だから起こるんだよ．

どういうこと？５次元や１０次元だったらスピンは存在しないと？

それ以前にスピンってコマみたいなの？

お前ら相対論的量子力学勉強汁

http://homepage.mac.com/hitomi18/

>>55
ディラック方程式で止まってまつ

>>55
非相対論的量子力学でも出てきますが。

>1
もちろん，４次元＝時間1次元+空間座標３次元：特殊相対性理論
を含む形で次元を上げれば，存在するが，スピンは空間座標３次元で
書かれるベクトルじゃなくって，ある意味４元ベクトルでかかれて，
その大きさが０の４元ベクトルの平方根です．その証拠に，電子の
二つがファイマンダイヤグラムで光子につながっている．比喩的だが，
光子のスピンは1：ある意味スカラー，電子のスピンは1/2：スピノール
スピノールの二つの積は，スカラーとして変換する．ファインマンダイアグラムで
で電子二個と光子一個がつながる理由がすこし見えてくるかな．もうひとつ．
角運動量hbar・sの状態数を自由度とみなすとそれは，(2s+1).光子はsが1えあったので
自由度は3．これはベクトルの自由度とおなじ．電子はsが1/2だから，自由度は2．
スピノールはに成分で書かれる量で，スカラーやベクトルとは無限小回転に対して違う．
無限小回転に対してパウリの行列が出てくる．すると，スピノールは本質的に複素量になり，
さらに，無限小変換は無限小角δについて，スピノール場の量ψとψ'の間に
ψ’＝ψ+iδ(unit vector)・[(pauli matrix)/2]ψ
という感じになる．すると，無限小回転δに対して，1/2のファクターのせいで
2π回転しても半分しか回転しない子事になる．ベクトル場なら，それは光子の
時ゆえ，スピンが言わば角運動量でパウリマトリックスだったから，ベクトル場の
角運動量は光子のスピンs．それは電子のスピンのちょうど2倍．よって，上の式で
，δ1/2・2＝δ．δが2πでちゃんと一回転している．これがスピノールの2価性と
複素量である理由．

さらに，無限小変換は無限小角δについて，スピノール場の量ψとψ'の間に
ψ’＝ψ+iδ(unit vector)・[(pauli matrix)/2]ψ
という感じになる．すると，無限小回転δに対して，1/2のファクターのせいで
2π回転しても半分しか回転しない子事になる．ベクトル場なら，それは光子の
時ゆえ，スピンが言わば角運動量でパウリマトリックスだったから，ベクトル場の
角運動量は光子のスピンs．それは電子のスピンのちょうど2倍．よって，上の式で
，δ1/2・2＝δ．δが2πでちゃんと一回転している．これがスピノールの2価性と
複素量である理由．

>>59
磁石を一回転させると、元の磁石と異なる状態になるのですか？

>>61そう言うこと言ってると混乱するよ
あとスピノルとスピンは同じじゃ無いはず

>62
ま，物理現象で考えればスピン，数学で議論するときゃスピノールと
おもって差し支えないと思うがどうです？>59,>60で
かなり，簡単な説明で本質をついていると思ってかいてたが･･･．
ちなみに>59では，対角計量が時間と空間の間で，負の値をとるような空間．
と付け加えておきます．
もう少し数学を使っていいなら，特殊相対性理論の時点でスピノールが
出てくるのを導出できますが，それでは物理的直観が効きにくくなるのか？

>>62
ただたんに最近勉強したからかもしれんが
おれはその特殊相対論を使った導出が今のところ一番分かりやすいと思う
物理的イメージうんぬんはまた別の話だけどね

お。久々に来てみたらまともなこと書いてる。>>59,60,63
ただ、分かってる人間からしてみたら

＞スピンは〜その大きさが０

＞光子のスピンは1：ある意味スカラー

っていうのがどういう言う意味なのか分かりませんが。


あと、ある意味平方根ってのはその通りでしょうね。ちょうど複素平面で√z
が2次元回転SO(２)のスピノルになってますから。

ちなみにLorentz群SO（３，１）がスピノルを持ってるのはLorentz計量がどうと言うのではなく、
内部に空間回転のSO(3)を持ってるからです。ですから普通のEulcid計量のSO（４）
でもスピノルはあります。一般に回転群はClifford代数からスピノルを構成できます。

スピノルの存在が回転群の2価表現に関わるため、Dirac、Feynmanは>>1に書いてある
ような”卵のからざ”の例え話とか”ウェイターのトリック” を主張してたわけですな。
Diracはむしろ椅子に紐を絡ませたものを主張してたみたいですが。

ちなみに、平面回転のSO(２)はかなり特殊で、zの1/n乗を考えればスピン1/3が存在してますね。

やはり2次元は面白い。

ちなみに、スピノルのイメージに対する私の意見を書いておきましょうか。

ベクトル、テンソルと言うのはベクトルのn階テンソル積で与えられました。
それはつまり、ベクトル空間のn個の積で、さらにベクトル空間の基底の
取り方によらないものでありました。

スピノルがテンソル（⊃ベクトル）の親戚というのはさらにテンソルの見方を
変えたことによります。すなわち、ここで言うベクトル、テンソル、スピノル
と言う線形空間はある変換群に対する表現である。というものです。
すなわち、

ベクトル→基本表現
テンソル→基本表現のテンソル表現
スピノル→2価表現（スピノル表現）

したがって、ベクトル、テンソル、スピノルというのはある種の数の集まり
と言うのではなく、変換性も込めて見るものなのです。

ただし、スピノル表現を考えれば、そのテンソル表現を与えることで基本表現や
そのテンソル表現を与えることが出来るので、テンソルという言葉は2重で使われて
あまりいい言い方ではないでしょう。

ちなみに、このテンソルに対する昇格は数学からではなく物理屋が物理的対象を
Lorentz群に対する変換性で分類していたことが一番の理由だと思われます。


やはり物理屋はえらい。

>>62
「そういうこと言ってると混乱するよ」っていわれても分からないものは分からないのですが。
59　60　63は、分かっているんですか。

>>67
59 60 63は・・・なんて、呼び捨てにして喧嘩を売ってるような書き方になって誌ましましたが、
そんなつもりはなく、たんなるミスです。59　60　63さんは・・・と書いたつもりでした。

>>67
非相対論的に考えて、電子の波動関数をスピノル（2次元ベクトル表示）
して磁場のもとで振る舞いを見てみましょう。きっと磁場に対する2価性の
影響はないことが分かります。

ちなみに、一回転するとマイナスが付くこととをスピンが逆になることと
思っては駄目ですよ。そこで誤解してそうだけど。波動関数にマイナス
が付いても痛くも痒くもありません。

>>69
＞一回転するとマイナスが付くこととをスピンが逆になることと 思っては駄目ですよ。
そういう誤解はしてません。
＞波動関数にマイナス が付いても痛くも痒くもありません。
しかし、中性子干渉の実験が示すように、マイナスがついた状態は元の状態とは異なりますよね。

ｱｹﾞ

>>70
中性子干渉ではそういうことは言ってませんし、言えません。
「干渉」という所に誤解の匂いがしてたまりませんが、今考えている状況
（系の空間回転）と、量子力学の基礎の基礎をふまえて、もう一度考えてください。

量子力学の教科書の始めに書いてあることを丁寧に言いますと、

系の状態（あるいは系の量子力学的な”配位”）は、一つの(０でない)ベクトル|α>
で表される。系の可能な状態（”配位”）を表すベクトルを「状態」と呼ぶ。
便宜上、（対応する系はないが）０も状態に含める。このとき、任意に
二つの状態|α>、|β>があったとき
　　　　　　　　　|α>+|β>
は状態である（簡単のため超選択則はないとする）。
さらに任意に複素数cを持ってきたとき、
　　　　　　　　　　c|α>
は状態である。従って、状態全体は線形空間をなす。
　　　　　（内積とか物理量とか完全系は飛ばして）
系の完全系{|n>}を持ってくると、任意に規格化された状態|ψ>は
　　　 1=<ψ|ψ>=Σ|<n|ψ>|^2
と書けるから、|<n|ψ>|^2を状態|ψ>が状態|n>に存在する確率を表すと定義する。
観測されるのはこの確率とそれから構成される期待値であるから、|ψ>を系の状態
とすると、その０でない複素数倍したものも同じ状態を表す。

まあ、ポイントは一番初めに書いたことですか。

やはり、基礎が一番重要です。

ベリー位相
アハラノフ・ボーム効果

>65
光子は，大きさが０のベクトルというのは，重さが０だから大きさは０．
そのベクトルというのは４元ベクトル．なにも無いわけではなく，ベクトルA＝
（A0，A1，A2，A3）とすれば，|A|^{2}＝A0^{2}-Σ_{i=1}^{3}A_{i}^{2}=0
というのが，その心です．まあ，光子はベクトルといったほうがいいと思います．
だから，”ある意味”とつけました．ベクトルは確かに３６０度回転させて元に戻る．
”ある意味”というのは，光子を表す方程式はスカラー方程式ですから．

>>72　に書いていただいたことは
＞中性子干渉ではそういうことは言ってませんし、言えません。
以外は理解しています。上の主張の根拠を書いていただけないので、議論がかみ合
いませんが、２つに分けた中性子ビームの片方に磁場をかけて状態を回転させたと
き、360度回転では、磁場のない時と干渉パターンが異なり、720度回転で元に戻
るというのは実験事実です。これを、「スピン状態を１回転させると、元の状態と
異なる状態になる」と解釈していけない理由を説明していただけるとありがたいの
ですが。

>>74
やはり、>>61の疑問には答えていただけないのですね。

>>74
>”ある意味”というのは，光子を表す方程式はスカラー方程式ですから．
ラグランジアンは必ずローレンツスカラーだから、そんな意味で
光子はスカラーだと言ったらあらゆるものがスカラーになっちゃって
何も言ってないに等しくならんか？

　ｱｹﾞ

>>75
やはりそういうことですか。
干渉問題は一般に次のように記述できます。系の状態を|Ψ>と書いて、これを|Ψ>=|α>+|β>と直和分解
します。このとき、系の時間発展（もしくは相互作用）として、
　　１：　|α>→|α’>、|β>→|β’>
　　２：　|α>→|α’>、|β>→-|β’>
の2通り考えます。この時、この二つの時間発展後の状態は一般に異なります。なぜなら、一般に、
複素数全体の集合をCと書いて、C(|α>+|β>）∩C（|α>-|β>）≠｛０｝であるからですね。
では、|β>と-|β>は同じ状態を表さないのでしょうか？これは量子力学の一般原理とconflictしている
のでしょうか？いいえ違います。|β>と-|β>は今の状況では終状態ではないのです。あくまで
量子力学が言うことは|α>±|β>が互いに異なる状態を表すと言う事しか言っておらず、そのある特殊な
方向への射影がベクトルとして等しくない事を言うにすぎません。|α>±|β>が一般に互いに等しくないのは
何故でしょう？それは相互作用が違うから当たり前です。


>>74
それはもしかして電磁場A＾μとその漸近自由場におけるon shell条件p＾2=0とごっちゃにしてません？
ちなみに、一般に繰り込み可能性を失いますが、massを持ったベクトル場（Praca場）は作れますよ。
もしくは、電磁場の理論であるAbelian Gauge理論を自発的対称性の破れでmassを持たせた繰り込み可能
なmodel（Kibble模型と言うべきかHiggs模型と言うべきか？）もmassを持ったベクトル場ですね。
ちなみに、スカラー方程式と言うのはKlein-Gordon方程式でしょうか？それならDirac場も満たしてますね。

>>78
次のような理解でよろしいでしょうか。
私の誤解は、２つに分けたビームの片方だけを360度回転させた状態を考えたとこ
ろにあり、状態としては２つのビーム全体を考えなければならない、すなわち式で
いうと
　　|Ψ>=|α>+|β>→|α’>- |β’>
の- |β’>だけを取り出して、360度回転したと解釈するのは誤りで、360度回転
ならば、
　　|Ψ>→ - |α’>- |β’>
であって、これは回転前と同じ状態を表している。

これでいいでしょうか。

>76
いや，イメージは電子を記述する（この言い方は正確じゃないが）方程式は，
スカラー方程式ではないでしょう．それに対するイメージとして，光子を
記述する方程式はスカラーといったわけです．
ま，光子がベクトル，電子がスピノールと言ったほうが良かったですが．

Dirac方程式(iγ_μ∂^μ-m)ψ=0がスカラーでなくて
Maxwell方程式∂^μF_μν=j_ν、ε^μνρσ∂_μF_ρσ=0がスカラーって
わけわからないんだけど

>81
Ｄｉｒａｃ方程式はスカラーじゃないでしょ？
またＤｉｒａｃ方程式はもともとどこから出てきましたのか．
イメージですから．
ま，光子がベクトル，電子がスピノールと言ったほうが良かったですが．
改めて，そういいましょうか．

>>82
イメージがわかんねー。
ディラックスピナーは(iγ∂-m)ψ=0も満たしてるし、
(-□-m^2)ψ=0も満たしてるし、
フォトンはローレンツゲージ選べば□A=0満たしてるし。

どれも同じような式満たしてるのに
一つがスカラー方程式を満たして、他は満たしてないってどういうこと。

>>82=80=...がどういう意味でスカラーと言っているのか全然イメージできん

イメージの解説キボンヌ。

>>50、60、63、74、80
2chで軽々しく適当なことを書いたら叩かれますので気をつけましょう。

>>86
誤爆？

>86
適当な事はいってませんが，光子をある意味スカラーといったのは，
方程式に関連してのことで，
もちろん電子がスピノールでそれに対し光子はベクトルであるが，歴史的には
Ｄｉｒａｃ方程式はφを多成分であらわす事で得られた．それ以前は，
ＫＧ方程式の解は、正確に得られ全てをつくしていた．（もちろん，ヴェクトルポテンシャルはどうかっていわれてもそれは，
本質的に方程式を解くという点でスカラー場と同じ．）
スピノールという概念が発見され，その立場で見直すとorientedで因果律が見たされればスカラーもベクトルもそれから構成できる
という事になった．正確な感じではないが，ＫＧ方程式のルート〜Ｄｉｒａｃ方程式が歴史的な流れで，上の議論と合わせたイメージです．
このイメージは，スカラーがスピノールの積で書けることを言いたいが為に，考えた感があったので，正確ではないといわれるとは思う．
ただ，間違いといいきれは出来ないと思う．
光子はベクトル，電子はスピノールとも以前言ったが，これが間違いないイメージだと思う．

こりゃ、イメージをどう定義するかによるな。

「方程式を解くという点ではスカラー」ってのは単に、Maxwell方程式を特殊なゲージに固定した時に
どのように解の求めるか、とか言うテクニカルな事に対する「イメージ」だろうし。

Dirac方程式の解をKlein-Gordon方程式の解から構成する解き方をしてたら
変わっていただろうに。

解き方としてはまったく電磁場と同じなのだが。

そうか！分かったぞ。
>>50,60,63,74,80,82,87,88さんが言いたいのは、Fermionicな場の積はBosonicになる
と言いたいんだ！

それなら大いに納得できるぞ。運動方程式がいわゆるスカラー方程式（KG方程式）を
満たすようなghostは考慮に入れてないんだな。

>>90

なんでそこにghostが出てくるの？

>>91

なんでそこでghostが出てきたらだめなの？

>>92

ghostって何のこと？

>>93

ghostってのは、もしこの世に居たら、あの世に連れ去っていってしまう怖ーい粒子のこと。

>>90

ただ単に、フェルミオンのことをghostと言ってるのか？

イメージあげ

2CHを批判する掲示板です。といっても，結構雑談ですが・・・。
http://bbs5.cgiboy.com/p/03/00883/

（参考）
「２ｃｈは5，6人以上逮捕された犯罪者が居るので
２ｃｈは全員、犯罪者だと思っていいと思います。
私の友達と私が被害を受けたのは本当の事実なので。」
（ＨＰより抜粋）

http://members.tripod.co.jp/nichkirai/index.htm
この２ちゃんねるを罵倒しているサイトである
２００３年５月２１日午前０時を以て
攻撃開始。
他のスレッド・板にコピペしてくれ。

これは我々２ｃｈねらーに対する挑戦であり
善良な２ｃｈねらーを巻き込ませようとしている悪の芽を摘むことを決定した
間引きをすることにより、２ｃｈの秩序を保つのだ

　　青銅の掟
　・かぶっても喚かない
　・ワンピースネタには必ず反応する

>>95

どーでもいいことだと思うが。

　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

　　　_、_
　（　,_ﾉ` )
　/, 　　つ 渋く100get！
（_（＿,　）
　　しし

>>98

いや、どうでもよくない。イメージあげ。

>>101
何が言いたい。
どうでも良くないというのなら、言ってみなはれ。

つまらんことじゃないんだな。

>>102
「ゴースト」の意味がわからない。>>94の説明でよろしいか？

>>103
まったく間違ったことを言ってはいないが・・・。

スピノルとスピンてのは、やっぱ違うんですかね？

>>105
スピン＝固有角運動量（物理量）
スピノル＝2価表現（もしくは表現ベクトル）

回転群の元で
スピノル＝半整数スピンを持つ表現ベクトル。

>>106
アリガトン、わかりやすい！

>105
まったくおなじです.
数学的に扱う時は、スピノール.物理的に扱う時は、スピン.

http://homepage.mac.com/yuuka20/

>>108
ちょいと、>>108=>>63さんでしょ。変なことを言わない。
数学的に扱う時はスピノール、物理的に扱う時もスピノール。
スピノルって名前をどっちが言い出したのかは知らないけど。

物理屋は特にスピンもスピノルも両方頻繁に使うからこの二つが
同じ名前ですと非常に混乱が起こり、大変です。

数学の方のコンテンツでも二つを一緒くたに使ってるは見たことないですね。

私の知る限り、数学では二価表現と言う言葉は使わず、群の方を2重被服
させてしまって（回転群SO(ｎ)に対しては2重被服したスピノル群Spin(ｎ)）、
その被服群の方の表現という言い方するのかな。と言うのも、我々が言う
2価表現と言うのは局所表現で、普通、Lie群の表現は群全体からの準同型
π：G→GL(V)で定義するからでしょう。

http://homepage.mac.com/yuuka20/

いいい

>110
そうおもって差し支えないから.僕らは.朝永さんもね.

>>113
ほぉー。朝永さんがそうだからいいんだー。

そういえば似たようなことがどっかに書いてたことあったなー。

グラシャウだからどうとか。

イメージあげ