虚数部をとると物理量になるもの

。。。はなぜないのか。
なぜ実数部分をとると物理量になるのか。

あるよ

>2
なに？

１は、物理を知らない。

なんで、こんな恥ずかしいスレ立てれるんだ？

test

test

4と5も同様。

＞２
なに？

ﾃﾞﾝｷ

>1
例えば崩壊幅、散乱断面積。

それ以前にこの程度の疑問なら
「ちょっとした疑問」スレッドで質問するべきと思われ。

>4,5
お前らのようなただ人を見下すだけの輩が、
この板のレベルを落としている。

10の伝記は？

>>1
高校生なら許すが、学部、院生なら逝ってよし。

量子力学勉強しろタコ

ポスドクです

＞１３
学部でも許してやれよ

てか、量なんだろ？虚数はいってたら単位はどうなる？単位！！！
物理量の単位だよおおおおおおおお
答えろ

>>17
〆MMMヽ　　
//ﾉノﾊ）))） ＜ 実数の場合と同じれす
ﾉ(　´�D｀)|| ﾉ

、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、

すみません高校生なんですが、
純虚数がどう量になるのかわからないんですけど。

滅茶苦茶すぎる。

純虚数じゃなくて虚数部。
a+biのbの部分。（a,bは実数）

>20
実数がどう量になるか教えてくれ。

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━┛┗━┛┗━┛┗━┛┗━┛┗━(ﾟ∀ﾟ)ｷﾀ━

ヒルベルト変換でもしてなさい

　ここですか、愚問を立てた>>1に、無知な奴らが知ったげにレスつけるスレは？

>>15
だからおめーはポスドクどまりなんだよ。

実部をとると物理量になるものの虚部はどのように再利用すべきか

絶対値を取れば波の強度（量子力学では存在確率）になります。

>>28
知りたいもの（実部）が求まれば、虚部なんてどうでも良いんじゃねえか？

さらに一般化して遷移確率

>30
どうでもいいかもしれんが、役に立つかもしれん

は、発電器…電動器…変圧器…

複素帯磁率の虚数部をとると、緩和時間になるのですが・・・。一応物理量ということで。

０°散乱振幅の虚数部をとると全断面積になるのですが・・・。一応物理量ということで。

任意の物理量（実数）を B とする。
Im(iB)=B.

Ｑ：なぜ実数部分をとると物理量になるのか。

Ａ：そう定義したから。

量子力学では
物理量＝エルミート塩山市の固有地＝実数
だから。

マクロな物理量はミクロの集まりだから、全部実数

>>38
なんで物理量がエルミート演算子で表されるのか知ってるか？

>>39
知らん。

>>39
おまえを妖怪しっとるケと命名。

>>40
物理量が実数になるようにそうしたんだよ。

>>42
〆MMMヽ　　
//ﾉノﾊ）))） ＜ あーい
ﾉ(　´�D｀)|| ﾉ

複素数と物理の関係は奥が深いと思いますが。
波動で複素数が登場するのは単に便宜上の問題ですが、量子力学
における複素数の登場はより本質的な気がします。



教科書を鵜呑みにすることしかできない>>4,>>5などはいってよし。
物理をやめて化学か生物に転向することをお勧めします。

みなさま物理量というのが何なのか分かってますか

　物理を知らない馬鹿君たちは、オカ版に行ってくれ

逆を言ってみるテストだな。非常にテクニカルなスレタイトル。

虚数部がこの世界なら意味があるが、
普通、実数部がこの世界だと思ってる。

>38
＞マクロな物理量はミクロの集まりだから、全部実数

んなわきゃない。そんなのは定義の問題だ。

>47
たしかにそういう風に書いたほうがレスつくわな

>>49
そうか？逆にもなってないしますますアホっぽいような

で、物理量ってなに？

http://www2.tok2.com/home/simozono/forum/index.cgi
ここでも虚数と物理量について議論してるみたい。
結局 、物理に虚数が必要なのは理論と実験データのつじつまを
あわせたいがため、でしょう。

何でもかんでも目で見えなきゃ気の済まない厨房が多いな

>5３
なんのこといってるの？

ニュウトンの3法則で直接測れる量
長さ、重さ、時間、電荷、などなど

>>53
目で見えないもの＝＞光と反応しないもの＝＞そんな物有る？

可視光で観測できないものなんていくらでもあるだろ

>>57
可視光で観測なら当たり前、と言うか微妙、、、
それはともかくとして、確か私は光と書いたはずですが。

>>56
光は光と反応しないけど目に見える。

>>59
やん！みるずは光同士の相互作用を定式化したのでは？

ところで>>57さん
>可視光で観測できないもの
とは具体的に何ですか？

電波天文学もしらんのか？バカは氏ね

東西が実数なら南北は虚数。

>>58
だからなに？そもそも53から56のレスが
生まれる過程がよくわからんのだが。

それは別として56の質問に答えるなら、
電荷を持たない中性粒子は光と相互作用しないだろ。

>64
中性粒子でも光と相互作用する場合もある。
偏極があった場合とか。わかりやすい例で言えばスピン。
スピンを持った粒子は電気的に中性でも磁場によって力を受ける。
磁場を媒介するのは光子。
中性子とか、相互作用する。

いやもちろん素粒子な

＞スピンを持った粒子は電気的に中性でも磁場によって力を受ける。

それ、複合粒子の場合じゃないの？

あ、かぶった。

まず、
(1)物理量は実数を用いて表すことができる。
(2)実数を用いて表すことができるものはかならず虚数を用いても表すことができる。
この二つはいいよな。
これを踏まえた上で、
「複素数として表したほうがより`自然な'物理量にはどのようなものがあるか？」
と問うてみたいのだけど、どうよ。
`自然な'というのは、単に二つの物理量から X+iY のように無理に
作ったということではなくはじめから複素数として現れる、あるいは
複素数としておいたほうが理論が簡単になるという意味で。

っていうか、一般に波動の伝播を扱う際に、複素屈折率を定義して
実部を屈折率、虚部を吸収率とみなすのは自然かつ本質的だと思われ。

>>11さんが挙げた断面積、崩壊幅の例もそうだけど。

しかし、屈折率が複素数とは、一体どういうこと?
どこか知らない世界へ行ってしまうということ？

複素屈折率と聞いて、一瞬で理解できるようになれば、
複素屈折率がテクニカルな物じゃないと思えるようになる。

>>71
(ﾟдﾟ)ﾊｧ?

70, 71 とは別人だか・・・。

頼む。>>70, 71は学部で習う電磁気のはずだから、
「ハァ？」とかいう間抜けなレスポンスをつけないでくれ。

オプティクスを扱っている人には、複素屈折率は
基本的な定数のひとつなんだよ。

>>71
複素屈折率の方が基本的量なのであって、
違和感を感じるのはただ単に高校の物理で
屈折率を吸収率から切り離された形で教わるから。

波動を

f(x,t)=A*exp(-i(kx-Et))

と書いて違和感が無い人は複素屈折率も自然に受け入れられるはず。。。

>>75
物理科にいてその程度の式に違和感を覚える奴がいるとは思えんが・・・。

>>76

同意。
ところで >>71は物理科なのか？

物理を知らん連中が物理を語るか？　(ｗ

>>78
それがこの板の特徴だからな。（ｗ

複素ポテンシャルU+ｉＶ＝＞光学定理＝＞Ｖが一部のエネルギ吸収

複素屈折率なんて、全然重要じゃないだろ？

知識として、好奇心が芽生えないというか、だからなんだというか
とにかくテクニカルな物だから、それを真剣に俺は知ってるんだ
と言われても、便利なんでしょうなぁと思うだけ。

重要だと思う感覚の方が不思議だ。

↑関心がないからわからないので取り繕うノータリン

>>75
のように書くから複素になるだけでは？
All実数で済ますこともできるはず。

複素数を導入すると、記述が簡単かつ見通しが良くなるだけでは？

>83
実数を導入するのも記述が簡単かつ見通しが良くなるからだろ。

シュレーヂンガー方程式

>>84
ごまかしちゃ、いかんな。

>>83
だから虚数であること自体には本質的意味など無い、と
みなさんおっしゃってますが何か？

＞複素屈折率がテクニカルな物じゃないと思えるようになる。

つうのはどうよ？

>81とか88とか
漏れは複素屈折率は重要だと思う。
でもその「重要」ってのがテクニカルなものなのか、
もっと本質的なものなのかが、
漏れにはちとわからない。

シュレーヂンガー方程式だって、
ふたつの実数方程式にできないわけではないけど、
やっぱり量子力学は複素数に
なにか本質的なものがある気がするよね。
例えば散乱問題とかで出てくる確率振幅の解析性とか、
複素構造としておもしろい性質持ってるわけだし。

（スカラー）波動という物は、（周波数・方向を決めれば）２つの自由度で記述される物。
例えば、sin成分とcos成分を与えれば全ての波動は記述できる。
つまりこれらが完備系をなしているということ。
完備系の取り方は色々あるが、正負の進行波exp[±kx]ととってもよい。
これを基底とした表現を使うと、正負の進行波が同じ方程式を満たすので、
必要な式の数が減少する。

だから複素数が便利なんじゃない？

減るのは形式上ね。
形式的に一つの方程式で、２つの自由度をいっぺんに記述できる
場合があり、見通しがいい。

内容的には２つの方程式だけどね。

悲惨、、、物理量の話からずれてるぞ。
複素数まで表示したほうが、隠れた情報がわかる。例　電子のスピン

計算が楽。そんだけ。

>>92
何を言ってるんだか。

>>92
　妄想は、オカ版でしてくれ。

うーん。
>92 は見方によったらかなり深い事まで考えてるようにも見えるが、
なにぶん説明が少な過ぎてよくわからん。
「例　電子のスピン」ってのはどういう「例」としてあげたの？。

てか、この板にはこの手のレスが多いね。
最小限の事だけ言って、わからない人をけむに巻こうとしてるのか、
それとも本当に適当に発言してるのかがわからない。
どっちにしろ不親切な事には変わりないが、
まぁ、ここは2chだからねぇ。

計算が楽と言えば、楽なのだが、複素数表示した場合に、式の意味が
わかりやすくなるのも確かかな？と。

>>92は複素数と関係ないだろう。
ストークスパラメータを用いた表示など、複素数を使わない表示も
可能なわけで。

ある基底を用いた場合に、複素数が出てくる。
そして、その基底を用いた場合に方程式が簡単になることがある。
例えばその基底がその方程式の固有解である場合など。
方程式が簡単になり、計算も楽になる。だから複素数を使う。

>>90-91あたりが答えだろう。

シッフを読め。
波動関数を自分自身と干渉する波と定義し、これを弦の
振動の方程式へ導入すれば自然と波動関数や波動方程
式に虚数が出てくる。

結局 '自分自身と干渉' あたりが虚数くさいな

これの理解はメシアではちとなあ

>>99
位相の変化分（直交成分）なのでは？

１−１０１　はぁ？

もう滅茶苦茶　

虚数が出てくる理由は、直交成分間にカップリングがあるということ
なんだろうね。

虚数が出る表示の方が、古典的方程式と対応関係が明確になるということも
事実だろうから、そういった意味では複素数を単なるテクの問題と言いきる
こともできないね。

>>104
　文意が取れないぞ！　分裂病か？

>>105
わからない話が出ると、ヒトを分裂病呼ばわりする、分裂病者。

「直交成分」て。

sin成分とcos成分（の振幅）
exp[-kx]成分とexp[kx成分]（の振幅）
p成分とq成分（の振幅）
振幅と位相

[a,a+]=1ということは、振幅間にcorrelationがあることを示しているね。
これをcouplingと表現するのはおかしい？
[p,q]=iだが、このiはどういうことを表しているかな？ある位相関係が
保たれると言うことかな？

>>104
i^2=-1
で実数部（同相成分）に戻るとこがミソですよね。

>86
ごまかしって…。
物理法則の表現に実数を使おうと虚数を使おうとそれは利便性の問題。
別に実数を使う必要すらないんだからさ。
記号はあくまで記号であって物理法則そのものではないんだよ。

ａｇｅ

馬鹿どもが！

言い過ぎ>>112

ある1ヶ粒子の波動関数ψは

ψ＝φ0+φ1+φ2+･･･

などと適当な波動関数φの和で表す事が出来る。
このφの振幅を ａ とすると波動関数ψは

ψ＝(ａ0)φ0+(ａ1)φ1+(ａ2)φ2+･･･

と書き直せる。
もしこの振幅間にcorrelation [a,a+]=1 があると
仮定すると何が言えますか？>>108

Green関数の虚部はエネルギー状態密度だろうが！！！
ρ(ω)＝?（１／π）�祢m[Gr(ω)]

>>114
だから何？

物理法則の満たすべき斉次方程式の固有解は、境界条件に応じて
決まるよね。
グリーン関数はこの固有解で展開できる。

複素数の解が有用なのは、周期的境界条件が成り立つ場合？

話し飛びすぎで議論になってない。
難しい議論なのだから一言で済ま
したらだれも分からないので、みん
なに分かるようにまずはGreen関
数って何？から話そう。>>104

グリーン関数(の虚部)は観測できるのか、ということが問題なんじゃないですか？

>>97-113の何処からグリーン関数の話に繋がる？

>>117もちろんそれはそれで問題です

結局

物理の方程式の固有解のひとつとして複素解があり、あらゆる解は
この複素解の線形結合として表せる
この固有解に関する性質だけ押さえておけば、どのような問題にも
対応できる

というだけの話かな？　

物理科の人の常識でしょう>>119

ここレベル低いね。残念

>>117
グリーン関数の虚部つまり電子のエネルギー状態密度
は走査トンネル分光(STS)による微分コンダクタンスの測定
で対応する物理量が観測できます。

複素関数の実部と虚部は、その複素関数の線形結合から取り出せる
だから、別々に計算しても、複素関数として計算しても同じこと。

物理の方程式は、複素関数の固有解を有するものが多いから、複素
関数を見る機会が多くて当たり前になっている。

同じこと、というのは言い過ぎか？
複素解の性質を押さえて置けば、あとは与えられた境界条件を満たす
解は線形結合で表されるから、複素解だけ議論しておけば多くのことが
わかる

ってかんじか？

計算、表記が楽そんだけじゃねーの？
っていうか実数のみの計算方法って俺知らないし・・・。

なぜ楽チンになるか？ってことを説明する必要はあると思うけど。

なんで？

物理量が解析的になるという期待がなければ不糞関数持ち込んでも無意味だ。

楽チンになるとアプリオリに決めつけても答えにならぬだろう。
楽チンになるから使うと言うのはよいのだが、何故楽チンになる
だろうね？
たまたまということでもないだろう。

>>127
それは疑問ではないけれどね。

使ってみたらたまたま楽チンだったという以上の理由があんのか？

いや、キミが思い当たらないんだったらいいんだよ。
でも、もっと気の利いたことをいうやつがいるかもね。

exp^ix=cosθ+isinθ

>>132
exp^iθ=cosθ+isinθ
まぁ、誤植だとは思うけど、間違ってるよ！

これはこうやったら簡単に解けるんだよ、っていう説明で納得して
終わりにしてしまう人もいるだろうが、なぜそうやったら解けるか、
どうしてそんな考えが出てきたのか、著者の辿った考察を自分でも
やってみると勉強になるだろう。

複素数を使った解法はポピュラーだが、どうしてそれが有効かと聞
かれると、便利だから以上の答えは出てこないのかな？
漏れは、もう少し気の利いたことを言える人もいるんじゃないかと
思うが。。。。

チョー便利だから

>>134
まずお前が気の利いたこと言えよ

>>136
>>119その他に書いたことぐらいしか、漏れには思いつかぬ。

>>134
何で複素数だといやなのか、実数だったら何でいいのかよく考えて
みる事だな。

自然を簡単に扱おうとする→線形空間→基底系は平面波が好き
進行波を表せるもん。非線型な場合も線形な場合を徐々に崩してくのが好き。

>127
オレもまったくその通りだと思う。

>129
ナゼ？。

確かに複素数、便利だ。
しかしシュレディンガー方程式がでてきてから、
ちょっと様子が変わったのじゃないだろうか？。
シュレディンガー方程式ってのは、
つまり、基礎方程式に虚数単位が入っている。
だから解も複素数になるしかない。
それ以前はそんな基礎方程式はなかった。
そういう意味で複素数ってのがもっと強い意味を、
持つようになった気がする。

キミ達、分散関係って知ってる？

>>140 別に虚数部があるのは量子力学にかぎんない
虚数部が重要なのは波のかさね合わせで表される全て。
株価をフーリエ変換したり、とか…
ところで四元数てのもあるね、良く知らんけど…

>>138
好き嫌いの問題じゃないだろう。

みんなのために答えてあげてください。

好き嫌いの問題では？

>>141
知ってる人もいるよ。いままでのレスを読んでみてよ。
そうでないと、まるで新しい知識を知ったばかりで、
それをひけらかす子供のようだ。

>>142
> 別に虚数部があるのは量子力学にかぎんない
は、何の虚部の話しをしている？。解？方程式？。
ちょっと違う意味で取られた気がする。
「基礎方程式に虚数単位が入っている」方程式は、
シュレディンガー方程式以前にはなかったよね？。
基礎方程式に虚数単位が入ってるってことは、
解は必然的に虚数になる。
それとも電気回路とかその手の方程式のことを、
言っているのだろうか。
4元数については漏れもよく知らん。

>>145
あのー。波動方程式って量子力学よりずっとまえからあるんですけど。
音、とか。

>>146
ちゃんと文章読んでやれよ何の話してんだ？

波動方程式には方程式自体に虚数単位は入ってない。
だから実解のみで問題なく一般解が書ける(sin,cos)。
もちろん複素数でも書けるが実解だけでも閉じてることが大事だと思う。

シュレディンガー方程式には虚数単位が入ってるから、
実解だけでは閉じない。

ということを言いたいのですが。

ちょっと話が進んだかな？
でも量子系の話だから不確定性原理も視野に入れて欲
しいな。

位置と運動量の交換関係を取ったら、純虚数がでてくる。
それでも「便利なだけ」と言い切れるのだろうか。
どうだろう？。

気になって起きてきちゃった。
こういう理解はどう？cosかsinだけで表そうとすると元の波の位相が
違うと周波数が同じでも違った表現になる。たとえて言うなら
水面の波をどこで見るかで別の式を立てなくちゃなんない。
でもexp(inx)（n=0,±1,…）を使うと見る人の位置によらない。
便利だー、てのは？

方程式の解が複素数でも別に解が物理量なわけではない。
物理量なのに複素数になる解は単に表記に便利な基底を選んだというだけ。

みんな話し聞いてる？

古典的な方程式に関しては、複素数解は単に便利な表示を用いたと言える
のだろう。
微分方程式はフーリエ変換やラプラス変換により代数方程式に変換できる
ということも事実。

量子論の方程式は、少し事情が違うね。
量子論の記述する状態が、本質的にベクトルでなければならないということ
を意味しているかな？

単に対称性を尊重した記法が便利なだけでしょ。インスタントンの解析は4元数使った方が便利だしね。

経路積分だったら複素数に頼らずに計算できるね。かなり嫌だけど。

古典論では何度観測しても同一の系。
従って、方程式に制限はつかない。

しかし、量子系には不確定性原理があるから、
観測は1度しかできない。
なぜならば同一な量子系に2度観測すると系が乱れてしまうから。
従って、方程式に制限はつく。

>157
どんな制限がつくの？
シュレディンガー方程式の時間発展と
観測による時間発展は別々の仮定じゃないの？

>153
１５０が話題にしてくれてるのが見えないのくわ！

>>151
>水面の波をどこで見るかで別の式を立てなくちゃなんない。
見る場所で、媒体の性質が異なる場合を想定されているのであれば、
大正解だと思います。
波動の性質と媒体の性質を、同じ複素数の形で扱えますからね。

>>158
不確定性原理＝交換関係はひとつの条件を課しているだろう？
これがあるから、測定の反作用が相補的変数に及ぶんだよ。

>>150が話題にしてくれてるのは知ってました。
書くタイミングがまずかったか、、、

>161
観測が一回しかできないってのは何？
一回でも二回でも同じことだと思うんだが。

というか、交換関係に虚数単位が現れるのは、時空がミンコフスキー空間であること
から来てると思うんだけど。

非相対論でも交換関係に虚数単位が現れますが。

>>165
> 非相対論でも交換関係に虚数単位が現れますが。

時空がミンコフスキー空間かどうかは
相対論的か非相対論的かとは関係ない。

ダメダメ。言い訳しちゃ。

交換関係は、時空がミンコフスキー空間かどうかとは関係ない。
交換関係に時間は入ってないからね。

キミは、時空がミンコフスキー空間だとでも言いたげだが、
ミンコフスキー空間で表現すると便利というだけの話だろう。
ユークリッド空間であっても交換関係が成り立たない理由などない。
実際、非相対論的かつローカルな現象でも量子効果はあるんだからね。

>>167

[�僞,�冲]=h/2π

１６７は氏んだな...

>>169
そんなもの成り立つと思ってるのか？
あほちゃうか？

時間が量子力学的変数だと思っている馬鹿一名発見しました。
＞隊長

交換関係が直接関係してるのかどうかは知らんが、

時空（たとえローカルでも）がミンコフスキー空間

⇒ スピノルが基本量

⇒ 虚数単位が必要

とは言える。

非相対論＝光速が無限大の極限だと思っている馬鹿一名発見しました。
＞隊長

それはスピンの起源の話だと思うが。

別に粒子の位置と運動量の話でもOKだろ？

>>171

h／2π じゃなくて単に h　だな。

>>174
バカが錯乱しています＞隊長

>>176
バーカ。
そんな訂正は関係ないよ。

>>175

虚数が本質的に重要（物理的に必要）かどうか？がこのスレのテーマでしょ？
だから、本質的に重要な例をあげたのですが何か？

>>177
バカが錯誤しています＞隊長

スピンといえども、実数だけで表現可能でしょ。

s_z
s_+=s_x+is_y
s_-=s_x-is_y

独立変数として表現してごらんよ。虚数は出てこないよ。

>>180
お前、本気で時間とエネルギーに交換関係が成立すると信じてる
のか？
教科書に書いてあることだから、良く読んで見ろよ。

「虚数の重要性」をそういう意味で捉えたら全部虚数無しで済むと思うんだけど。
（このスレで既出だよね）

「二価性」とか「独立な基底が２つ必要」とか、そういうことを論じてるんじゃないの？

{s_x,s_y,s_z}の代わりに、{s_+,s_-,s_z}を独立変数として理論を
記述することは可能だろ？

>>182

不確定性関係のことを間違って交換関係って書いただけでは？

＞「二価性」とか「独立な基底が２つ必要」とか、そういうことを論じてるんじゃないの？

要するに、状態ベクトルを記述するのには振幅以外に位相が必要で、
幾何的に言えば方向を指定しないといけないと言うことには違いない。

複素数は、ベクトル計算を行うのに便利だとは思うが、絶対に必要か
といわれると、どうだろう？

＞１８４
誰も不可能だとは言っていないと思われ。

＞複素数は、ベクトル計算を行うのに便利だとは思うが、絶対に必要か
といわれると、どうだろう？

ベクトル計算を代数的に、あるいは解析的にって言うのがよいのかな？

>>186
> 複素数は、ベクトル計算を行うのに便利だとは思うが、絶対に必要か
> といわれると、どうだろう？

直交基底をとりさえすれば同様にベクトル計算ができるんだから
「どうだろう？」と尋ねること自体、意味を為さないような気がする。

だけど、分散関係の場合は他の基底を取っちゃうと、計算は可能だけど、
実部ポテンシャル、虚部ポテンシャルそれぞれに物理的解釈を
割り当てられなく（割り当てづらく）なるのでは？

漏れは140だが、
話しの流れにいまひとつついては行けてないのだけれど、
とりあえずひとつ結論を書くと

「ミンコフスキーであることは
不確定性関係に虚数単位が現れることとは関係ない」

でよいっすか？。

スピノルは正直わかんない。
不確定性関係とは関係ないと思うけど、
複素数が必要になるかという点では、
関係あるような気もほのかにする。

> ベクトル計算を代数的に、あるいは解析的に
ってどゆ意味？。正直よくわからん。

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4元数を使ってシュレーディンガー方程式書いた人は居ないのか？
別の記述も使ってみると有り難味がわかるかも？

>>193 H大のK本さんがそんな感じの仕事してますね。

>>193
ディラック方程式は四元数を使った記述と言えなくも無い。普通の四元数ならユークリッド化が必要だけど。

なんかスレのタイトルから話がかなり逸脱しているので問題が散乱しているのですが、
ひとつの問題として、「物理法則を記述したり計算するのに複素数が（煩雑になったり
見通しが悪くなるのを除いて）本質的に必要か？」ということでいいですか？

普通の可換なc数を用いた記述においては1つの複素数から実数2つの組への写像は
常に存在するので2次元の実ベクトル空間をつかうなりすれば、必ず実数の記述、計算
に帰着できます。複素の方程式があれば実部と虚部に分ければいいだけですね。

これは、単にa + i bという複素数を、(a , b)の実数2つの組に言い換えているだけですか
らほとんど自明です。これに関しては一部の人を除いて大方納得しているようですが。

問題は、非可換なq数を扱う場合でこれは古典論で可換な実数であるべき位置と運動量
に対して、交換子積という新たな代数関係を導入して実数内で代数が閉じなくなってしま
っている。実数体の定義を拡大した構造を入れてしまったのでこれはしょうがない。従っ
て、量子化という問題に関しては複素数は避けられないのではないか？というのが今の
問題ですよね？

しかし、一方で経路積分法による量子化が知られており、これを用いれば経路積分自体
の不定性を除けば計算自体はｃ数の演算だけで閉じることができます。よって、前半の
理解に従って（表向きは）一応複素数に頼らない理論の構築・計算が可能になります。

ただ、経路積分の測度の正確な定義や交換関係との対応など深い部分のつながりはよく
わかっていないので本当に不要か？といわれれば私にはわかりません。

最後に一つだけ。確かに数学と物理の結びつきは面白くて神秘的なのですが、あまりそ
れにとらわれすぎるとトンデモな話になってしまいます。複素数は物理学において非常
に有益で利用価値が高いですが、だからといって他の、実数、四元数、八元数などに比
べて別格で神格化されたものではないと個人的には思います。

長文失礼しました。

>>196
1の話題からはもう外れちゃってると思うけど、
言ってる内容には全面的に同意するよ。

答えになってないかもしれないけど、数学的には、
複素ベクトル空間と、実ベクトル空間の差がでるもの
としては、次のような定理があります：
複素ベクトル空間で、オペレーター T が
<x|T|x>=0 を全ての |x>について満たせば、T=0

これは、実ベクトル空間では、一般には成り立たないです。
２次元実ベクトル空間で、簡単に反例がつくれます。

これは、全ての観測が０だとしても、
T≠0
になりうることを意味するので、やばいんじゃないかと。
違うかな？

その簡単な反例をかいてみてちょ。

>>199
２×２行列
T=0 -1
　1 0
が、一例。これで　(x,y)T(x,y)=0　になる。
もちろん、Tが実対称なら、
<x|T|x>=0 ⇒ T=0
が言えるけど。
実対称行列は、代数演算で閉じてないのが気になるところ。

>>200
x,yが複素数でも成立するのでわ？

交換関係に虚数単位が現れるのは、交換関係を満たす座標と運動量が
お互いにフーリエ変数の関係にあるからだよね？

フーリエ変数・・・

>>203

えっと、「ある関数の変数とその関数のフーリエ変換の変数」って書くのが
めんどくさかったので、フーリエ変数と書いてしまいました。ｽﾏｿ

>>201
複素ベクトル空間の内積では≠0です。
内積の複素共役線形性が、証明に効いている。

>>202
え、それって、[Q,P]=i　を満たす作用素の
表現を x,-id/dx　に取ったことによる、
当然の帰結ではないの？

というか、母関数に複素表現を選んだことによる
当然の帰結では。

母関数じゃなくてカーネルだっけ。（ｼﾏｯﾀ

>>206-208
それじゃ、実数だけの表現って選ぶことができんの？
偉そうに評論するだけじゃなくて、例をみせてよ。

[Q,P]=i
の表現はすべて
Q→x,P→-id/dx
とユニタリ同値になるっていうのが、
フォン・ノイマンの定理じゃなかったけ？
結局問題は正準交換関係にあると思うけど…よくワカラン

a=(P+iQ)/Sqrt(2)
a^+=(P-iQ)/Sqrt(2)

なる表現ではダメ？複素数を排除できるのでは？

ただし、a,a^+はエルミートじゃないけどね。
P,Qはエルミート。
演算子の交換関係から虚数を排除すると、固有関数や固有値に虚数が
入る。

虚数を実数*U(1)の位相と思って、
U(1)〜SO(2)を使って実行列で位相を表現することにすれば、
理論から虚数を排除できる。

>>205
あ、ブラの方はダガーにするのか、ｽﾏｿ。
ところで、これって何の話なんでしたっけ？
別に、実ベクトルと複素ベクトルの性質が違ってても今の話の流れと関係ないような・・。

>>213
要するに複素平面を極座標で表しなさいって事ですね。

>>213
その場合、固有方程式はどのように理解したらいいの？

>>213
それをすると、振幅が下に有界になり、位相の定義が難しくなる。
量子光学の有名な課題だ。
９８年のパリティに、大貫先生が解説を書いているね。

おまけに、そのように導入した新しい変数は正準共役な力学変数
とみなせない。
エネルギーが下に有界なために、エネルギーと時間を正準共役な
力学変数とみなせないのと同じ。

量子力学から完全に虚数を排除することは難しそうだね。
力学変数から排除すると、状態側にしわ寄せが行く。

196がさくっと無視されているところを見ると経路積分知ってる人って少ないのかな。

あ、219に対するコメントね。

>>217
>>213じゃないけどわかりましぇーん。何で有界になるの？単に書き方変えただけなのに。
解説お願い。

>>222
図書室でも行ってパリティ漁ってきた方が早いのでは…

パリティの「量子化とはなにか」という記事を読みましょう。
動形成分は非負という制限がつくのです。

煽るつもりは無いけど、２１３さんとか他の人が言っている複素数を実数で表現する
ことってそんなに難しいor受け入れ難いですか？

虚数単位を導入する代わりに、I={{0,-1}, {1,0}}という実２ｘ２行列を導入して、すべての
量をこれらのテンソル積として表現しなさいって事だけなんだけど。

例えば、a+ibだったら、{{a,-b},{b,a}}で、複素共役や絶対値に相当するものもすぐに定義
できるし、行列 I は虚数単位と同じ性質なので複素数の関数、定理などは置き換える
だけですべて同じに使えます。量子力学だろうがなんだろうがその上に構築すれば
いい。

単にiを Ｉ に変えただけじゃん、ずるい！と思うかもしれないけど、いわゆる通常の虚数
単位（文字？）を排除できるってこの程度の事なんですよ。あんまり議論しても不毛
だと思います。

2乗して-1になるような実行列は使うな（もしくはSO(2)の表現を制限しろ）といわれれば
無理ですが、そこまでは言ってませんよね？（ｗ

>>224
読みたいけど海外だからなぁ。機会があれば探してみます。

断片的な話からしか察することができないけど、２１３さんはもっと一般的に単純な事実を言っているので
あまり関係ないように思えますが・・。

>>225
ベクトルの成分として表せば実数よ、って言ってるんだろ？
ま、量子力学を表現するにはそれだけの自由度が必要だっていうだけの
話には違いない。

量子力学が計算できるのは、確率振幅。
これは前確率とでも呼べる物で、ベクトル的性質を持つ。
すなわち、その大きさだけではなく方向を指定しなければならない。

そのために、虚数を使わなければならないという理由はない。
しかし、使わなければ恐ろしく煩雑な理論形式になるような気はする。

>>225
複素ｎ次元＝実２ｎ次元だと思っている人がいるみたいだけど
ちょっと違うよ。正確には
複素ｎ次元＝実２ｎ次元かつSO(2)^n不変

>>225

その議論はもうカタがついてるんだよ。（だから誰も反論してない。）
虚数単位が本質的に必要 or 重要な場面が他にないかどうかを探してる。

>>229
正確には実2n次元多様体に可積分な複素構造が入ればn次元複素多様体です。
例で、あげているのはほとんど自明に複素構造が入れられるので間違っちゃ無い
ですが。
225のＩってまさに複素構造そのものなんですが、その意味も込めて例を作ったん
ですがわかりにくかったですか？

>>230
カタがついていないからいつまでも不毛な議論が続いてると思ってました。
虚数単位が必要か？->実表現で全部書き直せば煩雑だけど無しでもいい
虚数単位が重要か？->理論の対称性を尊重した見通しのよい記述のために重要
という結論以上のどういう落としどころに持っていきたいのかよくわからないんですが・・。

もう少しきちんと問題提起していただけませんか？

>>231
> という結論以上のどういう落としどころに持っていきたいのかよくわからないんですが・・。

そのほかに落としどころがあるのか（ないのか）が論点なんだよ。

>>231
実ベクトル空間を複素化するのは一意的に決まるけど、
逆に複素ベクトル空間を実化するのそうではない
というのを問題にしたかっただけなんだけど。
複素で書かれている理論を実で記述しなおすには
こういった問題もついてくると言うのを言いたかった。

>>232
そういうことですか。理解しました。

>>233
おっしゃりたかった事はわかってました。細かくてすみません。
実空間にちゃんと（代数関係など）複素構造込みで一緒に持ってこないといけないということですよね？
２２５の表現ではすべて備わっているので問題ないです。

わかっている人たちとの議論は有用だね。
ツーと言えばカーとわかる。

解決？。225にある表現の仕方って、213他で言われてるのと等価なの？

行列 I を使って虚数単位を表現するのは、
すごくおもしろいんだけど、どうも釈然としない。
虚数単位を行列 I に置き換えろって言ってそれを認めるのであれば、
最初から虚数単位で何の疑問もなかったのでは？。
結局 \psi = \psi_R + I \psi_I として、
\psi_{R,I}は非物理的な量であることには変わらないよね？。

虚数単位だろうが、行列 I だろうが、とにかく物理量を計算するのに、
非物理的な量を経由せざるをえないかどうかってのが、
疑問なんじゃなかろうか。
計算の利便性とかはナシにね。

> 虚数単位だろうが、行列 I だろうが、とにかく物理量を計算するのに、
> 非物理的な量を経由せざるをえないかどうかってのが、
> 疑問なんじゃなかろうか。

そうだよ。
まだレスつけてる人はいるけど（悪いって言ってるわけじゃないよ）、
本質的には「計算の利便性」の議論は終わってると思う。
それ以外に何か理由があるのかないのかが今＆今後の焦点だと思われ。

>>236
iや行列Iは非物理的な量なんですか？
そもそも物理的な量って？

>>238
観測、計測できる量。
観測できない量を適当に物理にするのは�dデモといいます。

じゃ実数でさえ非物理量？
それならそれで首尾一貫してはいるけど

>>240
なにがどうなって「じゃ」なの？

実数そのものを測定できるわけ？

>>239,241
観測、計測できる量って何？ 複素数として観測できる量ってないの？
そもそも観測、計測とは？ 実数にマッピングできるようなものだけが
観測、計測なのかと

観測を実数にマッピングするのは人間に都合のいいモデルでしかない。
観測を複素数にマッピングするのも人間に都合のいいモデルたりうる。
都合がよければ行列Iを使ってマッピングするのもよろしい。
これらに本質的違いを見出せないんだな。
複素数が非物理的で実数は物理的と線引きできるのかと

なら距離とか時間とか電荷とか、好きなのを
適当に純虚数に直しなさい。

>>243
いや、複素数自体が物理量でないと否定したレスでは無かったのだが。。。
たとえば、一般的に波の振幅Aと位相差θなどは
測定できるからA*exp(iθ)の類の量は幾らでも定義できる。
複素誘電率や複素屈折率など。
この類を否定するつもりはない。

物理量は実数です。
虚数は数学概念上の物です。

虚数の物理量はあり得ません。
そうでないと、物理量を表す演算子はエルミートであるという量子力学
の仮定が覆ります。

私は実数以外の観測量を見たことがありませんが。

虚数部は実数だから、虚数部で表される物理量があっても一向差し支え
ありません。

実数も数学概念上の物です。(コーシー列の収束先の集合/〜とかそんな意味で。)
ま、有理数どころか、整数も数学概念上の物だけど.....。

そもそも、何で物理量の観測値が実数に対応するんだ？

物理量の観測値(と呼ばれる物の集合) ＝ 空間Xの上の分布関数
として、X=実数 ？ or X=有理数？

話がちょとずれるかもしんないけど、
例えば三角函数 cos と 双曲線函数 cosh は
実だけで考えると全然違う函数だけど、
複素函数と考えれば、一つの函数の２通りの実化と
とらえることができるよね。
はっきり分かんないけど量子力学にも似たようなことが
あるんじゃないかなと妄想してしまいます。
単に「実で表記することが物理観測量であると
短絡的に言い切ることは出来ない」
と思うのはおかしな考えなのかな。

>>246
量子力学の仮定ってアンタ、それは実数の量を「物理量」と呼びましょうという
約束ごとから来てるに過ぎないのでは？ 「複素数も物理量と呼んでいけないの？」
という疑問への何の反論にもなってないよ
実際、非エルミート演算子も量子力学でバンバン使われてて非常に役立ってるんだし

>>246
>私は実数以外の観測量を見たことがありませんが。

すごいね。。。
複素屈折率の虚部である屈折率（実部は吸収率）や
複素インピーダンスの虚部であるリアクタンス成分
（コイルやコンデンサ）は測定できるよ！

>244
不便なので嫌です。
あ、でも時間は別か。

>248
＞そもそも、何で物理量の観測値が実数に対応するんだ？

逆じゃない？
物理量を表現するのに便利な集合の元が実数と名づけられて
古典数学が構築されたからだと思う。

複素誘電率とか複素屈折率をうれしそうに
何度も登場させてる人がいるけど、
そりゃ単なる現象論的な方程式に現われる
便宜的な表記法だろ。

実数もそうだろ、と何度もつっこまれてる。

また話がループしてるよ…

実数とて便宜的な表記法だろ。 と言ってみるテスト。

>>255>>257
距離や時間、質量や電流が実数で
計測されるから、…って…こんなとこから説明させるなよ

そりゃそう定義したからな。
…って…こんなとこから説明させるなよ 。

っていうか、多分、実数と虚数の間に数学的な差異がない以上、
物理においても複素表現をとる本質的な意味はないと思う。
すべて２つの実数の組を使うのと数学的に同値なら。

>>259
物理の観測量が実数であるとの定義は何処を見れば載ってますか？
定義と言うより仮定のような…

>>236
遅レスですが、等価ですよ。(２１３は私じゃないですが。)
exp(iθ)で位相をπ/2にとったのが虚数単位。
SO(2)の2x2行列をsinθ、cosθで表してθをπ/2にしたら行列 I が得られます。
U(1)〜SO(2)の同型を使って同じものを別に表現しただけです。

ちなみに一般の複素数の2x2行列表現は（正の実数）xSO(2)となっています。

で、私は初め単に虚数単位 i を理論から排除できるかということを議論していると
思ったので実表現をとればいいだけと思ったのですが、２３６さんの後半の疑問に
関していえば行列で表そうが関係ないですね。

仮に行列で表しても、物理的観測量を得るにはdetやTrをとって"実化"することが
必要ですし、量子論においては中間状態としての非物理的な状態が必ず必要なの
で（計算過程で）排除できない気がします。

古典論に関しては常に物理的状態なのでたぶん利便性（or 対称性）の問題だけかな。

>>259
あのね、だからね、最初に観測量が実数で
定義されてるからって話をしてんの。わかる？坊や

>>263 わからんから、教えて。

例えば、物理量が有理数ではなく、実数と定義する積極的な理由って何？
微分は差分で置き換えれば良いだけの話だし。

>>265
すまんが、そんなどうでもいいことに興味はない。

分からないなら、分からないと素直に認めれば？

鬱陶しいな。積極的な理由はないんじゃない？
でも、他の数の組み合わせで表したりする時に
その組み合わせが実数になったからって排除する意味ないじゃん。
有理数に留めておくべき積極的理由も
実数にしてはならんという積極的理由もないでしょ？

複素数にしたら自由度増えちゃうし。
で、そんなことにグダグダ拘る理由は？

>261
一般的にそんな仮定はない。
複素数で定義すりゃ複素数になるよ。
>263
悪いが話の流れが意味不明だよ。あんたどの発言者？

数を構成する順番は 自然数→整数→有理数→実数→複素数
とかだったりするわけだが、これらの操作は全て数学の概念上のもの。
このうち、実数が観測量に対応するというのは自明の事とは思えないのだけど。

複素数を使うのが便利であるように、実数を使うのも便利という程度の問題なのか、
あるいは本質的な問題なのか？
例えば、観測量の具体的な値が非有理数で与えられる場合を想像しにくいのだが。
無限回観測して、その期待値が実数とかなら分からなくはないが。

もし観測量が虚数だったら
大小が比較できなくて困ると思う

大小が比較できない物理量があっても困らないと思うが。

発言の量の多さにちょっと驚き。

>262=225
レスどうも。言われてみればそうですね。
U(1) の生成子を \sigma_2 に取れってことだね。
行列 I は{{i,0},{0,-i}}でもいいわけだ。
これだと虚数単位が入っちゃうけど。

なんか話しがループしてるのやら発展してるのやら。
物理量が実数であることは定義じゃない？。
われわれは実験したら実数値しか得られないんだから。
もちろんその得られた実数値に勝手に虚数単位をつけて、
「虚数値が得られた」と言うのは勝手だけど、
あくまで我々が得て、髪に書くのはのはひとつの実数値のわけで。

そして、いま問題にしてるのはそんなことじゃない。

>>263
258→259と来たから263の流れですが何かおかしいですか？
定義したつったのはあなたですよね？

>>270
数学屋さん？

失礼、>>263ではなくて>>269

>>270
自明なことではないですね。原理的には測定結果を区別する量は区別することさえできれば
勝手な集合の元を用いてもかまいません。

ただ、実際の測定の結果とあわせて理論を構築するには実数が便利かつわかりやすいので
それを定義として出発することが多いです。

非有理数が想像しにくいとおっしゃっているのは観測の精度が有限であることや、電気素量
などの基本単位の存在を指摘されていると想像しますが、これも理想的な測定や極限的な
操作（無限界の観測もそうだと思います）を含めて理論が構築できるので有理数を含む実数
で代表させているのではないかと思います。

虚数部にある実数が観測可能である

ということと

虚数の観測量がある

ことを混同している馬鹿がいます。

さて、

力学変数は実数値をとり、エルミート演算子で表される

というのは量子力学のpostulateです。我々が虚部を測定するとき、それを
別の系のオブザーバブルにマッピングして観測しているのです。
決して虚数値が得られる測定があるわけではありません。


直接虚数値という結果が得られるような実験の例があるなら上げてください。
虚数部＝実数を、別のオブザーバブルにマップする物は関係有りません。


ところで、スツルム−リウビル方程式の複素固有値に対応する固有関数は、完備系を
張りますか？

>>243
キミは数学屋でしょう。

＞観測を実数にマッピングするのは人間に都合のいいモデルでしかない。

モデルというだけでなく、それが現実です。
それ以外の測定法が見いだされていない。

>>248

＞そもそも、何で物理量の観測値が実数に対応するんだ？

理由などありません。理由が必要ですか？
それは物理学のpostulateのようなものです。数学にも公理がありますね。
虚数を直接見れる実験はありません。
虚数固有値は、数学的にも観測量としては困難な点があるとも思いますが。
線形作用素のスペクトル分解定理が使えない。

>>251
虚部にある実数を実数として測定する方法はあります。
あなたは複素屈折率や複素インピーダンスを実部虚部に分けずに直接
計れるのですか？
実験で一次的に計っている物に虚数量は存在しますか？
実数量の測定値を分析して複素量を出しているだけでしょう。

複素インピーダンスを測る場合、直接的には電圧や電流値を計っている
のでしょう。
交流を与えて、電圧や電流の位相敏感測定をすれば、複素インピーダンス
を計れるんだろうと思います。
でも、それは一次的には電圧や電流値を測定しているということをお忘れ無く。

例えば、散乱の全断面積を測定すれば、光学定理から0度散乱振幅の虚部を
測定したのと同じだが、
この実験をやったとして、我々は全断面積を測定してるのか散乱振幅の虚部を測定してるのか？
実数主義者は前者だと言うわけだな。

>>274
全く分からん。
物理量が実数で観測されるのは人間がそう定義したから。
それに対するレスがなんで>>263になんの？
>>281
それは現実をどのような数学で表現するかの問題。
実数そのものを測定していることにはならないだろ。

測定機の目盛りに全部 i って書き加えれば虚数を測定してることになるのでしょうか？

>>282
直接測定にかかっているのは、原子線強度とか実数値です。
それのパラメータ依存性から虚数部を計算しているわけです。
一次測定で虚数値が測定値として得られるようなものはありますか？
いったいそれは現実の世界でどう見えるんですか？

どんな実験においても、我々の記録するメーターの読みは常に実数値
でしょう。

>>283
なぜ実数そのものを測定していることにはならないのでしょう？

測定は虚数部を計るものも含めて、様々なバラエティが存在します。
それは疑問がありません。
しかし、そのような測定を分析していくと、素測定とでも呼ばれるような
直交測定から成り立っていることがわかります。
どのような複雑な測定も、被測定系を測定器と相互作用させ、その測定器
を直交測定することから成り立っています。
我々は、その直交測定から得られる実数値を利用しているのです。

そのように考えていくと、測定結果が実数でなければならないという理由は、
我々の認識に依存していることがわかります。

>>280,281
丁寧なご指摘ありがとうございました。
直接観測できる物理量は、私も実数しか知りません。

246氏の
>虚数の物理量はあり得ません。
に反論しようとして、引用を間違えてしまいました。

「物理量」と「観測量・測定量」等の言葉の定義のあいまいさが、
このスレでの議論を一部混乱させているような気がします。

うーん。虚数が神秘的なのはわかるよ。
虚数を測定したいのもわかる。
でもとにかくなにか実験してみてよ。
なにか数字が出てくるでしょ？。実験値だ。実数だ。

その実験値に虚数単位iを付けたければ付ければいい。
その量を2乗して負になるって主張するならそれでもいい。
でも見ているのはなにか。
虚数単位iの前にかかっている実数値だ。
2乗して出てくるのも実数値だ。

このスレでいま問題になっているのはなにか。
”古典力学”でも複素数ってのは扱っている。
例えば何回も出て来てるけど複素屈折率。
しかし古典力学で出てくる複素数ってのは、
「その実部も虚部も測定から決められる」。
そういう意味ではいくら複素数で書いても、それは便宜上の問題で、
結局のところ複素数は、
ふたつの物理量をまとめて書いたって程度でしかない。
複素数の実部も虚部も実験から決定できる。

しかし「量子力学」ではちょっと違うように見える。
量子力学で出てくる複素数には、
「実験で実部と虚部を決めることができないものがある」。
そして、
「そのような複素数の計算を経由してしか、
実験で得られるような物理量を計算できないように見える」。

そのような複素数ってのは、
実験によって実部と虚部を完全に決めることができない、という意味で、
「非物理的」な量だと言っている。
言い換えると、
「量子力学は、非物理的な量の計算を経由してしか、
　物理的な量を計算できないように見える」。
それが古典力学と量子力学の大きな違いに見える。

そして、問題になっているのは、
本当に量子力学では非物理的な量を経由せざるを得ないかってこと。
物理的な量のみの計算で、閉じることはできないかってこと。

結局のところ量子力学においては、そのような非物理的な量を、
複素数として表現している。
その意味で、量子力学における複素数の取扱いと、
古典力学における複素数の取扱いは全然違うように見える。

われながらちょっとがんばって書いてみたよ。
でも反応は、

・なに当たり前のことｸﾄﾞｸﾄﾞ言ってるの？
・なにﾜｹﾜｶﾗﾝこと言ってるの？
・文章長くて読む気せん。

のみっつの内のどれかな気がするなぁ・・・（鬱

なんかどっと疲れた。やすらぎが欲しい。
エロツーショットで待機でもするか・・・。

>>289
なに当たり前のことｸﾄﾞｸﾄﾞ言ってるの？
なにﾜｹﾜｶﾗﾝこと言ってるの？
文章長くて読む気せん。

>>288
>「そのような複素数の計算を経由してしか、
>実験で得られるような物理量を計算できないように見える」。
物理量を得るのに必須の量であれば物理的な量であると言っていい気がしますが？
わざわざワケワカな理由をくっつけて非物理的と言わなくても

>286
＞なぜ実数そのものを測定していることにはならないのでしょう？

我々が観測できるのは系と装置の関係性であって、
実数はその関係を抽象的に表現する道具にすぎないから。
その記号が複素数であっても別に問題はない。

>>291
量子状態＝波動関数＝確率振幅は観測不能で有るという意味で、
非物理的です。
それは実在ではなく、概念です。

>>292
模範的回答でしょう。
波動関数はその種の抽象的概念です。

>>293
実在って何？ 概念って？ そんなきちっと線引きできると思ってるの？
エネルギーは実在？ 概念？ 実数は実在？ 概念？
もしかして素朴実在論者？

誘電関数なんて代表的なものだと思うが・・・・。

>>293
電子の確率振幅は条件が限られるが、実験的に測定できる。
よって電子の波動関数の振幅も測定可能といっていいだろう。
しかし位相は測定できない。

>>295
あなたが全ては概念であると思われるのは自由です。

電子の波動関数は電子そのものと思ってはいけない、
光子の確率振幅は光子そのものと思ってはいけない、

そういうことを言っているだけです。
それは決して直接観測されるものではなく、実在と考えられるものとは
全く違うものです。

>>297
単一粒子の波動関数の振幅と位相は同時確定しないのです。
同一状態にある多数粒子があれば測定は可能ですが。
位相は振幅に置き換えて測定できます。

>>298
だから実在って何よ？

しかし、実数、実数っていうけど、実数だって数学者から見れば、
そうそう自明なものではない。
なんていったって、有理数の完備化した先の果てだからな。
君は毎日、デテキント・カットを観測してるのかね。

>>301
そんなこと物理屋にとってはどうでもいいこと

>>300
形而上学じゃあるまいし、実在の定義が重要ですか？
光子や粒子が存在する、などと使われる場合と同じ程度の意味です。

それでも満足できないので有れば、アインシュタインがＥＰＲ論文で
定義した実在の意味です。

全てが実在である、全てが実在でないというのは、無情報です。
素粒子が実在として存在しようとしまいと、波動関数は実在ではありえない
ことはたしかです。

>>300
こうやって定義にこだわるのは数学屋でしょうね。

物理的な「実在」の定義があるとすれば、アインシュタインの定義が
最も有名でしょう。
定義にこだわるあなたは確認してみてください。
系の任意の力学変数を確率１で予測可能な場合、それは実在の要素であると
定義しているはずです。

>>288
長文ごくろうさまです。
レビューみたいなかんじで見させて頂きました。

古典力学であれ量子力学であれ、
波動を扱う点では同じであるはずなので、
もう少し議論したい気もするのですが、
やはりやめておきます。

では、おやすみなさい。

私理系大学です。
虚数って何かわかりませんが・・・・何か？

こんなのはどうか？
電位は実在量と認める？
なら、2次元に住んでる生物が静電場の法則を知ろうとしたとしよう。
長年の研究の結果により、（複素）電位は自分が複素平面の座標を持っていて、
その正則関数で表されることを発見した。
彼は、その時、電位という物理量は（あと座標も）複素数であることを確信した。

物理は、測定可能なパラメータの関係性を議論するものです。
その関係性をできるだけ少ないパラメータでできるだけ広い適用範囲を
もつ関係式＝法則で結ぶものでしょう。
その途中で、直接当該の観測にかからないが原理的には測定可能な
パラメータや、原理的にも観測不可能なパラメータが導入されます。

古典論の場合、概ね原理的には測定可能なパラメータだけで記述でき
るのではないでしょうか？
相対論の場合、統計的にしか測定不能なパラメータが入って来ます。

>>309
>相対論の場合
ではなくて「量子論の場合」の間違いだよね。

>>308
なんで複素電位になんのよ。
それって現実とは別の電磁気？

>>311
いや、2次元の電磁気。一般に静電位はラプラス方程式を満たすので。
複素ポテンシャルって知らない？流体でもいいけど…。

俺は波動関数は実在だと思う、数学的手続きではなくて。

と、言ってみるテスト。

物理学部生はどんな風にして物理現象のなかの虚数
の違和感を乗り越えたんだ？

>>314 Re 付けるこれ最強。

x^2=-1みたいな代数的な関係式って物理にもあるんでしょ？
だったらそういう物理的対象が持ついろいろな性質を記述するのに
虚数を用いるのが自然では？

エネルギーを複素数と仮定する議論は存在する。但し、
それにより演算子のエルミート性は壊れる。但し、虚数
を観測している訳では無い。観測量はあくまで実数でなければ
ならない。

>>314

少なくとも複素数は実数を部分集合として含む。従って、数学的に
複素数で扱ったほうが算法として簡単で、しかも実数として仮定し
た時に同じ結果を与えることが数学的に証明されているならば、
算法の範囲内では複素数を使うことに抵抗は無い。但し、これは
物理量が本質的に複素数パラメータであると言う考え方とは無関係。
量子力学では物理量（あいまいな表現だが）は本質的に複素数で表現
されるが、観測量は実数であると考える。これに関して議論はあっても
おかしくないが、算法で使われる複素数とは厳密に区別しなければ
ならない。

波動関数は実在するかと言われれば、結論としては実在するし、ダイレクト
に観測できる。これは去年ノーベル賞を取ったBECのグループが実測した。
あくまで、他粒子系の波動関数をHF近似で扱ったときの話だが…。この時、
方程式の上では密度が波動関数の絶対値の２乗に対応しているし、実験で
密度分布が分かれば波動関数の絶対値の2乗を観測した、と言う言い方を
しても構わないのではないか。ただしHF近似をもちいた話なので、それは
真実の姿なのか？と言われると何を持って実在とするかは私には分からない。
出来ることは近似と近似の範囲内で行われた理論が有限精度で行われる実験
と矛盾しない結果を与えるのであれば、少なくともその実験の精度内では、
仮定した近似と描像を否定する事は出来ないと言うことだろう。勿論、
数学的に矛盾がある場合と今まで行われた実験と矛盾が生じるのであれば
、どちらか一方が間違っていると結論せざるを得ない。但し、実験が間違って
いなければ…だが。

宇宙論の虚数時間は正しいか？となれば、正しいのであれば、間接的にも
実験で観測されれば、少なくとも否定は出来ない。但し、観測がなければ
否定も肯定も出来ない。それは単に数学だろう。だが、学問は人がつくる
ものだから、コミュニティーに共通して存在する認識がある。この認識が
正しいか間違っているかは別として、それに逆らうのは並大抵の事ではない。

丁寧なレスに感謝します>>317

＞波動関数は実在するかと言われれば、結論としては実在するし、ダイレクト
に観測できる。これは去年ノーベル賞を取ったBECのグループが実測した。

それは特殊な（マクロな）波動関数であって、古典的な性質を持っている
場合に限ります。
一般には波動関数は観測にかかりません。

波動関数は実在とは関係有りません。
あくまで、系に関するある種の情報にすぎません。

>317
＞但し、虚数を観測している訳では無い。

お前は物理現象じゃなくて実数を観測してるんか。

>>320

>>お前は物理現象じゃなくて実数を観測してるんか。

少なくとも私は現象を観測するときに測定器に入ってくる情報は必ず
実数であると考えています。もし、測定器に入ってくる情報の一つを
抜き出して、2乗してマイナスになってくれれば虚数を観測した事に
なるでしょうが、今までにそんな測定値は見たことが無い。但し、
エネルギーが複素数だと仮定すれば、
E=A +i B　（A,Bはそれぞれ実数）
の形になるので、時間依存させればエネルギーの虚数項は時間に関する
減衰項（未来への減衰）か増大項（過去への減衰）になる。過去への減衰
はありえないので、未来への減衰になる。したがって、時間に関してエネルギー
の減衰する様子をプロットできれば、複素数としてのエネルギーを観測したと
いえるのかも知れない（この手の議論はあります）。しかし、ある時刻で測定器に入ってくる
情報（この場合はエネルギー）は実数と言う事です。つまり、ある物理量が
複素数であろうと実数であろうと測定器には必ず実数の形で情報が入ってきます。

それから、現象ではなく実数を観測する云々は意味不明。物理現象を観測する
事は、目で見ようが、CCDカメラで写真を撮ろうが、電圧を測ろうが、全て
実数です。例えば、目で見る場合は、特定の波長が目に入ってきて感覚神経に
作用し、人間がある色や強さを認識します。しかし、その情報は光の波長（実数）
と強度（実数）で決定される。物理現象を観測することは、観測手段が
何であろうと必ず測定器（この場合目）が存在し、測定器から得られた測定値
を元に現象を観測しています。つまり、何も（何一つも）測定値が無い状態は
何も観測していない事に等しいでしょう。観測とは何かを定義する必要はある
とは思います…。これは目で観測するなら、盲目の人と目が見える人でどう現象
を捕らえるのかという議論もしないといけないと思います。

実数→複素数は、単に次元を２倍に増やしただけでしょう。
対象の状態が複素数で表現できたとしても、
測定値は常に実数です。
それは物理学のpostulateでしょう。

>>319
「情報」という単語をつかうのはずるいと思う

と言ってみるテスト。

一度に2つの実数を得られる測定が認められるか否か。
まずは、ここから始めないと虚数の物理量にはたどり着けないな。

>>324
うにゃ?(x,y)の二次元測定はいろんな方法で得られますが
これと虚数の間にどんな関係が？

>>323
「情報」という単語をつかうのはずるくないと思う

と言ってみるテスト。

あげ

>>323
「と言ってみるテスト。」なんて言ってるやつは
うざったいと思う。

↑と言ってみるテスト。

物理現象を、実数で表現しているのでしょ？

「「「「と言ってみるテスト。」なんて言ってるやつはうざったいと思う。」
と言ってみるテスト。」なんていってるやつはうざったいと思う。」
と言ってみるテスト。

>>324
互いに共役な物理量の同時測定は可能です。

>>331
（　´,_ゝ`）ﾌﾟｯ

>>333
（　´,_ゝ`）ﾌﾟｯ

>>334
（　´_ゝ`）ﾌｰﾝ