頻繁にフーリエ関連の話をするスレッド

では私からいくぞ！
In[1]:=FourierTransform[1,t,s]
Out[1]=Sqrt[2 Pi] DiracDelta[s]
In[2]:=Simplify[Table[Sum[Exp[2 Pi I (s-1) (t-1)/16]/4,{t,1,16}],{s,1,16}]]
Out[2]={4,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
In[3]:=Chop[Fourier[{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}]]
Out[3]={4.,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}

exit;

■終了■

In[4]:=Simplify[Table[Sum[{2,0,0,0}[[s]] Exp[-2 Pi I (s-1) (t-1)/4],{s,1,4}]/2,{t,1,4}]]
Out[4]={1,1,1,1}
In[5]:=Simplify[Table[Sum[{0,2,0,0}[[s]] Exp[-2 Pi I (s-1) (t-1)/4],{s,1,4}]/2,{t,1,4}]]
Out[5]={1,-I,-1,I}
In[6]:=Simplify[Table[Sum[{0,0,2,0}[[s]] Exp[-2 Pi I (s-1) (t-1)/4],{s,1,4}]/2,{t,1,4}]]
Out[6]={1,-1,1,-1}
In[7]:=Simplify[Table[Sum[{0,0,0,2}[[s]] Exp[-2 Pi I (s-1) (t-1)/4],{s,1,4}]/2,{t,1,4}]]
Out[7]={1,I,-1,-I}
In[8]:=Chop/@{InverseFourier[{2,0,0,0}],InverseFourier[{0,2,0,0}],InverseFourier[{0,0,2,0}],InverseFourier[{0,0,0,2}]}
Out[8]={{1.,1.,1.,1.},{1.,-1. I,-1.,1. I},{1.,-1.,1.,-1.},{1.,1. I,-1.,-1. I}}

3　の現象はまさに
In[9]:=InverseFourierTransform[Sqrt[2 Pi] DiracDelta[s-a],s,t]
Out[9]=Cos[a t]-I sin[a t]
に対応しているのです。

In[10]:=Simplify[Table[Sum[#1[[s]] Exp[-2 Pi I (s-1) (t-1)/5],{s,1,5}]/Sqrt[5],{t,1,5}]]&/@
{{Sqrt[5],0,0,0,0},{0,Sqrt[5],0,0,0},{0,0,Sqrt[5],0,0},{0,0,0,Sqrt[5],0},{0,0,0,0,Sqrt[5]}}
Out[10]={{1,1,1,1,1},{1,-(-1)^(3/5),-(-1)^(1/5),(-1)^(4/5),(-1)^(2/5)},
{1,-(-1)^(1/5),(-1)^(2/5),-(-1)^(3/5),(-1)^(4/5)},
{1,(-1)^(4/5),-(-1)^(3/5),(-1)^(2/5),-(-1)^(1/5)},
{1,(-1)^(2/5),(-1)^(4/5),-(-1)^(1/5),-(-1)^(3/5)}}

4　の訂正
Out[9]=Cos[a t]-I Sin[a t]

5　の入力をするとき出力は予想外のものだった。
In[11]:=ExpToTrig/@{1,(-1)^(2/5),(-1)^(4/5),-(-1)^(1/5),-(-1)^(3/5)}
Out[11]={1,-1/4+Sqrt[5]/4+1/2 I Sqrt[1/2 (5+Sqrt[5])],-1/4-Sqrt[5]/4+1/2 I Sqrt[1/2 (5-Sqrt[5])],
-1/4-Sqrt[5]/4-1/2 I Sqrt[1/2 (5-Sqrt[5])],-1/4+Sqrt[5]/4-1/2 I Sqrt[1/2 (5+Sqrt[5])]}

全然頻繁じゃないな。
もっとｻﾝﾌﾟﾘﾝｸﾞ周期ｱｹﾞﾚ

＞＞8
そうは言っても、式の入力はすぐにはできないのです。

In[12]:=InverseFourierTransform[1,s,t]
Out[12]=Sqrt[2 Pi] DiracDelta[t]
周知の通り、In[1]のときと同じ結果になりました。

In[13]:=Chop[Fourier/@Table[1.,{m,1,10},{n,1,m}]]
In[14]:=Simplify[Table[Sum[#1[[t]] Exp[2 Pi I (s-1) (t-1)/Length[#1]],{t,1,Length[#1]}]/Sqrt[Length[#1]],{s,1,Length[#1]}]]&/@Table[1,{m,1,10},{n,1,m}]
この二つは同じ結果になるはずだが…
実際にどうなるかは自分の目で確かめよう。

e^(2kπi/7)　(k=1,2,3,4,5,6)は
当然ながらルートと四則演算と有理数の有限個の組み合わせでは表せない。
しかし、7乗根を入れれば有限個で書ける。
ということは、Mathematicaはその部分の式評価を怠っているわけだ。
もっとも、そこまでやるとMathematicaの容量がアップしてしまうが…

（＾＾）

e^(2kπi/17)がルートと四則演算と有理数の有限個の組み合わせで表されることは知っていたかな？

11 についてMathematicaで調べたところ、
cos(2π/7)は
x^7-112x^5+56x^3-7x-1=0の解であり、左辺は1次式と複三次式の積に分解された。
よって3乗根とルートと四則演算と有理数の有限個の組み合わせでe^(2kπi/7)を表せることがわかった。

本当に7乗根がいるのはcos(π/29)からか。
数の組(x_1,x_2,…,x_n)のフーリエ変換は
Σ_{k=1}^{n}x_kexp(2πi(k-1)(l-1)/n)/√n
のl=1,…,nの列で定義される。逆フーリエ変換は
Σ_{k=1}^{n}x_kexp(-2πi(k-1)(l-1)/n)/√n
のl=1,…,nの列で定義される。

私はωtではなく2πft派なのです！

x(t)y(t)のフーリエ変換がX(´･ω･`)*Y(´･ω･`)と勘違いする香具師がいるな
だいたい，ωとfではフーリエ変換対が違うってのが面倒なモト！

＞＞17 の*は畳み込み積分(合成積)ですか？

17の例証：
In[15]:=FourierTransform[Exp[-t^2/2] Exp[-t^2/2],t,s]
Out[15]=Exp[-s^2/4]/Sqrt[2]
In[16]:=FourierTransform[Exp[-t^2/2],t,s] FourierTransform[Exp[-t^2/2],t,s]
Out[16]=Exp[-s^2]

>Quserman
ていうかマジ見づらい、死んでくれ

>>18
マセマテカは使わんのでなんの例証なのか分からんが、x(t)y(t)のフーリエ変換は、
X(´･ω･`)*Y(´･ω･`)/(2π)
でしょ。
フーリエ変換はいろんな定義があるからFourierTransform[]って関数が
どんな定義つかってるか知らないが、>>17で書いた畳み込みでのフーリエ変換対は
X(´･ω･`)＝∫x(t)exp(-j(´･ω･`)t)dt
x(t)=1/(2π)∫X(´･ω･`)exp(j(´･ω･`)t)dω

そもそも，Exp[-s^2]のsって何？なんでsなの？
ｓはラプラス変換じゃないの？マセマテカ，訳分からん．
ちなみにωは角周波数，ω=2πfのfは周波数，tは時間．

>>1みて分かった．
そうか，マセマテカはフーリエ変換，逆変換の両方に
係数1/sqrt(2π)が付く定義使ってるらしい．
それだと，X(ω)やX(f)とはフーリエ変換の定義式が異なるから
フーリエ変換の公式も違ってくる．

＞＞20,＞＞21
FourierTransform[f[t],t,s]は1/√(2π)∫_{-∞}^{∞}f(t)exp(ist)dtで、
FourierTransform[f[t],t,s,FourierParameters->{a,b}]とすると、
√(|b|/(2π)^(1-a))∫_{-∞}^{∞}f(t)exp(ibst)dtなのです。

>>22
ありが�d
すうがく屋向けのフーリエ変換定義なんだな＞ませまてか．

某板の某スレッドで間違えてしまったこと、ここではきちんと書こう。
-π<x<πでx,x=π,-πで0になる関数のフーリエ級数は一様収束しない。(各点収束はする。)
フーリエ級数の部分和の項数をどんなに多くとっても、そのグラフの端に余分な出っ張りが現れる。
これをギッブス現象という。

Integrate[Exp[ist],{t,-Infinity,Infinity}]を入力すると、
積分が収束しないという意味のエラーメッセージが出る。
FourierTransform[1,t,s]の出力は
Sqrt[2 Pi] DiracDelta[s]になる。
Integrate関数を超関数の積分に置き換える方法はないものか？

（＾＾）

フーリエとはあまり関係ないが、
NIntegrate[Exp[-x^2],{x,-100000.,100000.}]
を入力すると、精度が十分でないという意味のエラーメッセージを返す。
(精度良く計算するには、積分区間を分割すれば良い。)

天動説では予測が合わなくなると周転円？を付け加えて
つじつまを合わせた。これはフーリエ級数の理論が
既に知られていたことを意味する。

最終的には何十個って数になったらしいね。＞周転円

観測の基準を地表においたとき、
惑星の運動は周期関数の和で表されるから、
同時刻の惑星の位置が、日が経つにつれていったり来たりするわけだ。
ところで周転円？を付け加えるということは、
すでに地動説が知られていた、ということにはならないか？

ここは mathematica のスレでつか？

by matlab ユーザ

mathmaticaに限らず、
フーリエ変換の計算ができるソフトなら良いことにしよう。
>> 1でも、Mathematicaを使うとは云ってない。
ここはフーリエ関連の話をするところなのだ。

>mathmaticaに限らず、
>フーリエ変換の計算ができるソフトなら良いことにしよう。

アアン？なに勝手に仕切ってんだゴラア！

ラムチョップ食いてえ

十分長い配列{1,0,...,0,1,...}にフーリエ変換を施すと、
それは、音楽データになったりするんだなぁ。

てすと

質問ですが、標本点数がN点のデータをFFTでスペクトルを計算すると、
N個のスペクトルが求まりますが、そのうちM個(M<N)のスペクトルしか
必要がありません。FFTですべて計算してから取り出せばいいのですが、
計算時間を短縮したいので、無駄な計算をなるべくしたくありません。
DFTで計算すれば必要なスペクトルのみを計算できますが、
FFTを使ったり、改良したりして高速に一部のスペクトルのみを
計算する方法はありませんか？
参考文献でもいいのでよろしくお願いします。

0Hzから1/2・fs[Hz]までは不要で、その途中の、A HzからB Hzまでだけを
計算したいということ？

それなら、周波数軸で、A[Hz]だけ左にシフトさせるために、
まず時間波形に指数関数をかけて、複素数にした上で、
2(B-A)[Hz]がサンプリング周波数になるようにしてFFTすれば
無駄がなくなるかも。

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

一部の周波数のみを大きく取り出すような変換があれば話は早いのだが？。

制御理論の話ですけど。
ラウスの安定判別法でｋ行の要素が全て０になった場合、
ｋ-１行から補助多項式をつくり、それを微分して、
その係数をｋ行の要素に置き換え計算を続けますが、
何故そうできるのか分かりません。
誰か教えて下さい。

　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

Re:>42
とりあえず、私にはよく分からないが、検索してみたらヒットした。

>>mathmania
うわっ、アンタこんなとこにもいたのか。

　光学系で得られる信号の処理のためフーリエ関数を勉強しようと思うのですが、どういった
書籍が適当でしょうか？。ちなみに予備知識はないに等しいです。

　日本の技術発展のためによろしくおねがいします。

フーリエ変換の式はあるけど
変換元の関数が不明ならどうすりゃいいの？
リアルタイムの波とか。
解析器とかどうやってるんだい？

>>47
質問の意味がよくわかんないけど、
リアルタイムの波？だったら、
それを記録して、ＡＤ変換してパソコンでＦＦＴすりゃいいわけで。

フーリエ変換の式がわかってるんなら
それをフーリエ逆変換して変換元の関数を求めればいいわけで。

「解析器」が何を指してるのかわからんけど、
スペアナ、デジタルオシロ、なんかでは、
ＡＤ変換してＦＦＴ結果を表示してるはず。

つまり・・・
ＦＦＴが無い場合、どういう手順で元関数を導いて
結果を出すのかな〜？という疑問。
ＦＦＴの心臓部だから考えない事にした方がいいのかな・・・

http://life.fam.cx/a001/

？？？
まず、最初に、「何」があるの？
フーリエ変換「前」のものか、フーリエ変換「後」のものか？

その「何」は、数式として存在しているのか、それとも離散化された
数字列として存在しているのか、連続時間のアナログ量として存在しているのか？

そして、その「何」から、何を求めたいのか？
「何」をフーリエ変換した数式を欲しいのか、アナログ量を欲しいのか？
あるいは、逆フーリエ変換の数式かアナログ量か？

>>51
ようするに、>>47は離散フーリエ変換を知らない。
スペアナが
f(t)=sin(wt)
みたいな式をまず導いてからフーリエ変換をしてると思ってる。

>>47
DFTとは離散フーリエ変換のこと。
FFTとはDFTの高速版。

http://homepage.mac.com/yuuka20/

フーリエって何なのか教えてくれ。
固形物理学で頻繁に使うらしいんだよ。
分かりやすく教えて。

>54
波の周波数を見る

ほとんどの「波」を、正弦波と余弦波の組み合わせで表そうぜ、ってこと。
そうすると、その「波」がどんな周波数の波で構成されているのかが、わかっちゃうんだぜ。

連続信号を考える時、
その「波」が周期関数なら、フーリエ級数、ってやつを使うんだべ。
その「波」が非周期関数なら、フーリエ変換、ってやつを使うんだべ。
でも、「超関数」って理論を使っちゃえば、周期関数でもフーリエ変換で扱えるんだべ。
フーリエ変換をフーリエ逆変換すれば、もとの「波」に戻るんだぜ。
フーリエ変換や逆変換は、積分をせっせと計算するんだべ。

限られた時間の長さを持つ離散信号（Ａ／Ｄ変換された有限個の数字列）を考える時、
その「波」が周期関数でも非周期関数でも、離散フーリエ変換、ってやつを使うんだべ。
この場合、「限られた時間の長さ」を周期とする周期関数、として（もともと非周期関数も）
扱うんだべ。離散フーリエ変換を逆変換すれば、もとの離散信号になるんだべ。

ＦＦＴ（＝高速フーリエ変換）は、離散フーリエ変換を速く計算するだけだべ。
ＦＦＴやIFFT（逆高速フーリエ変換）は、コンピュータ使って計算するんだべ。

3のベキジョウなんですけど，何とかFFTしてもらえませんかね？

Re:>57
δ'''(z)に適当な定数を掛けたものになる。(フーリエ変換は場合によって定義が違うから注意。)

>>46
「光とフーリエ変換 現代人の物理」　谷田貝 豊彦　 朝倉書店
「フーリエ変換とその光学への応用」　　ピエール・ミッシェル・ドゥフィユー著 ; 辻内順平訳 共立出版
「光情報処理の基礎」　　谷田貝 豊彦　　丸善

などはいかがでしょう

>59

　ありがとう。

　今日書泉に行って探してみます。

フーリエさんってこれをどういう経緯で思いついたのかねぇ？
枕もとに妖精でも降臨したのかなぁ

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

Re:>61
フーリエは、波動が単振動の重ね合わせで表せると推測し、さらに
円環上の振動において、sin(nx)(n>0),cos(nx)(n>=0)の直交性を見いだしたのが始まりだろう。

Z変換のZってどういう意味？
ドラゴンボールZと同じ意味かな？

>>64
パイオツの乙

ここはなんてシュールなスレなんですか。
シロートの俺は>>56でちょっと感動し、>>64,65でワラタ。
たいへんよかばってん。

近年の株価の変動のデータとってフーリエ変換かけてみたらものすごいこと分かったよ
おまいらもやってみるとイイよ

>>67
どんなこと？

普通にイイ(；´Д｀)！！
http://www.k-514.com/

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

ハッキリ言ってアメリカなどの多民族国家では黒人の方がアジア人よりもずっと立場は上だよ。
貧弱で弱弱しく、アグレッシブさに欠け、醜いアジア人は黒人のストレス解消のいい的。
黒人は有名スポーツ選手、ミュージシャンを多数輩出してるし、アジア人はかなり彼らに見下されている。
(黒人は白人には頭があがらないため日系料理天などの日本人店員相手に威張り散らしてストレス解消する。
また、日本女はすぐヤラせてくれる肉便器としてとおっている。
「○ドルでどうだ？(俺を買え）」と逆売春を持ちかける黒人男性も多い。）
彼らの見ていないところでこそこそ陰口しか叩けない日本人は滑稽。

オレ、パソコンのログインパスワードに”FFT”使ってる
だれもパスワードにFFT使ってるなんて分からないから、絶対おすすめ

>>73
総当りアタックをかけたらバレバレだわ。

パスワードは、6文字以上にすること。

　　　 　∧＿∧　 ∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　（　 ・３・） (　　＾＾ ） ＜これからも僕たちを応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣￣∪￣￣〕
　　＝ ◎――――――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉&ぼるじょあ

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

＞このように脳が周波数を判断して解決方法を察したり、
＞末端細胞に伝達するまでの行動をフーリエ変換と呼ばれています。

ttp://www.ma.ccnw.ne.jp/mario/torigard.htm

強力な電波

時間間引きFFT
http://ea.uuhp.com/~rifkw/fftk.c
なんかうまくいかないんだけど誰かわかる人いたらおしえて〜

すいません、周期関数のフーリエ変換のやり方教えて下さい。
猿にもわかるように。

今のところ”フーリエの冒険"みて勉強してるレベルです。
＃学部２年

>>79
公式通りにやれば猿でもできるんじゃないか？

自分は生物物理化学の研究室に行った者ですが、
フーリエ変換学んでおいてよかったよ。
スペクトルを見るのが研究だったから、
多分、フーリエの知識がなかったら
さっぱりだったと思うよ。

オレも、彼の情念の解放に基づくファランジュ
をユートピアとするね。

久しぶりにこのスレ見たが、まだ落ちてなかったのか。
広く知られているが、フーリエ変換は、xで微分するという操作を、ixを掛けるという操作に置き換えてくれる代物だ。

松井証券のメルマガで、株価をフーリエ変換する話をしてる。
http://backno.mag2.com/reader/Back?id=0000025640
個人投資家もここまでやるのね。

age

age

age

あげ

突発的影響があるから、窓関数つかうほうがいいのかもね>>84

会社にいくとき通勤電車から海が見えるんですが、そのときふと疑問に思った
ことがあります。
海の波（3次元）もフーリエ変換で表すことってできるんですか？
大学時代に少しフーリエ変換かじった程度なのでよく知りません。

フーリエさんていくつまで生きたの？

理系全般板の皆さんおはようございます。

Re:>90
水の波は縦波と横波が合わさったものだという。
先ず初めに、波動を表す方法を考えないといけない。(まぁ横波表示でいいかな？)
ここまで出来ればあとは簡単だ。
離散フーリエ変換なり、フーリエ変換なりやってみよう。

>>92さん
どうもありがとうございます。
でも、フーリエ変換習ったのは３年前。
まずは思い出すことから始めてみます。

exp(-at^2)のフーリエ変換を導出して下さい。
お願いします。

昔、フーリエっていうお菓子を買ったことがある。
あれは、研究室でちょっとだけ受けた。
もういっぺん食べたいなぁ。

Re:>94
ReP(a)>0なら普通の関数の範囲で出せる。
u(x)のフーリエ変換は、Fu(z)=∫_{R}exp(-ixz)u(x)dxで与えられることとしよう。(積分区間は実数全体。)
(Mathematicaのデフォルトとは違うので注意。)
∫_{R}exp(-its)exp(-at^2)dt=∫_{R}exp(-at^2-its)dt
=∫_{R}exp(-a(t+is/(2a))^2-s^2/(4a))dt
=∫_{R}exp(-a(t+is/(2a))^2)exp(-s^2/(4a))dt
=(π/a)^(1/2)*exp(-s^2/(4a))

Re:>95 どこに売っている？

>>96さん
ありがとうございました。
しかしどこかのHPで(どこかは忘れた）
このようになっていたのですが…
F(w)=∫[-∞〜∞]exp(-a*t^2)*exp(-jwt)dt
=1/(2*a*√π)*exp(-(k^2)/(4*a))
これは間違いでしょうか？
何度もすいませんm(__)m

Re:>97 kって何？

>>98
kじゃなくてwでした。

Re:>99 第二項から第三項にはどうやって行った？

97で書いてあった通りで途中式は書いてありませんでした。
やっぱり96のやつであってるんでしょうか…

Re:>101
重要公式：
∫_{-∞}^{∞}exp(-x^2)dx=√(π)
これと、変数変換を組み合わせよう。

時間軸でぐちゃぐちゃしたデータにFFTをかけて
きれいな周波数スペクトルになるとマジ感動する

ぐちゃぐちゃな電顕写真をFTして、マスクフィルター掛けて、RFTして、
きれいな画像が出てくると、、、これってもしかして「メイキング」と
思いませんか？

Re:>103
Σ_{n=1}^{∞}(cos(nt)/√(n))のような？

FFTWあげ

保守。もう少しで半年あくところだった。
皆さんに質問、フーリエ級数に使われる正規直交系で、三角関数と指数関数以外のものを数学以外の分野で使うことはありますか？

ベッセル関数とかでいいんだっけ？

Re:>>108 ベッセル関数か。ベッセルのJ関数などという名前が付いている関数？

ベッセル関数は円筒座標系では便利
特にハンケル変換とか。

フーリエ変換の本にときどきでてくるアダマール変換を使っている人いますか？
というか何に使われていますか。フーリエ変換みたいにあちこちで聞かないもので。

質問です。
fftを手計算でやるとどのように式が展開されるのでしょうか。
√だのcosだのは解るんですが、Σ_の意味が解りません。

自己解決しました。1づつ増やして足してるだけだったんですね・・・