＜＜＜数理心理学統一スレ＞＞＞

http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Club/7442/math/index.html

Ｑ．
２つの袋A、Bが用意されてます。
どっちかの袋にはどっちかの袋の２倍の金額が入っているらしいです。

さて、Aの袋をあけると 10000 円入っていました。
で、このままこの 10000 円を持ち帰ってもいいんですが、
Bの袋と交換することもできます。
（もちろんBの金額はまだわからない）

さぁ、取り替えるべきでしょうか？

期待値を考えてみます。
Bに入ってる金額は 20000 円かもしくは 5000 円。
その確率はともに 1/2 だから、Bに取り替えることで得られる金額の期待値は、

20000×1/2 + 5000×1/2 = 12500円

よって、取り替えたほうがいい。
あれ？すると、Ａがいくらであろうと、Ｂの袋に変えたほうがいいということに・・・？

Ａ．
あらかじめ言っておきます。超難問です。素人にはお勧めできません。
まぁ俺も素人ですから、深いところを突っ込まれたらやばいのですけどね。
一応自分が思っているところを書きます。

めんどいので、それぞれの金額を単にＡ、Ｂと書きます。

まず、「Ａが奇数だったら、Ｂはその半分ではありえないので・・・」というのを解消するために、
Ａ、Ｂともにすべてに実数を取り得るとします。

さて、Ａに入っている数字は、−∞ 〜 ∞ まであり得ます。
これらがすべて「等確率」で出てくると仮定します。
この中から１つの数字を選ぶとき、有限の値（たとえば 10000）とかが出てくる確率は "0" です。
「０に近いけど、ちょっとはあるかもしれないじゃないか・・・」？　いえ、そんなことありません。"0" です。
納得できない？
例えば、 10000 の出る確率が p だとすると、20000 の出る確率も p、30000 の出る確率も p になります。
このように、どの数の出る確率も p ならば、すべての確率を足すと、 p が "0" でないならば ∞ に発散してしまいます。
しかし、すべての確率を足すと 1 にならなければならないはずなので、これは矛盾します。
よって p は "0" になります。

にもかかわらず、10000 という有限の値が出てきたと言う事は、
「等確率で出てくる」という仮定が間違っていたことになります。
つまり、たとえば「大きい数字ほどでにくい」などの条件があったと思われます。
すると、Ｂが 20000 である確率と 5000 である確率は異なるため、
先ほどの期待値の計算は間違っていたということになります。

ところでこの問題、数学板でも、Part2 とか行ってたような気がします。
俺はＲＯＭっていたのですが、当時はまったく話しについて行けませんでした。レベル高すぎて。

>>216
そーいう矛盾が起きるから、事象が無限の場合には、加法定理が成立しない
確率概念が用いられるってだけだが、何か？

http://www.murata.elec.waseda.ac.jp/~mura/lecture/stat/note/node7.html

というわけで、まずは、要素が無限の場合の一様分布の累積分布関数の公式を与えてくれ。
ついでに、それを微分してくれたら、>>215の問題を考えてもよい。