クルト・ゲーデル

集合図と相容れないんです

答え２が母集合で１＋１が子集合です。
交換法則で
答え１＋１が母集合で２が子集合です。
ってどうなんですか？

>>28ならばおｋ
で、何を言いたいんだ？自明すぎることを言われてもな。

コンピュータになったつもりで計算して下さい。
１＋１＝２
計算出来ます。
２＝１＋１
無理です。

さて、あなたは２が与えれました。それをもとに数式を求めよ。
って冗談言わないで下さいよ。

f(x+1)=2f(x)
計算可能な関数などいくらでもつくれる。
再起関数とか計算可能性ってわかるかい？

失礼
×再起
○再帰

>>35
で、正解は何ですか？

また、０／０の正解は何ですか？

等価です

正解って？すまん、もっかい問いを明確にしてくれ。

0/0（ゼロ割るゼロ）は、0で割ろうとしてるから、普通は定義できない。定義できないから正解はない。割り算ってのは部分関数なんだよ。

関数としては
2=a+b
で、可能性はいくらでもあるわけです

で、
0/0=x
0=0*x

ということですよ？

ゼロに任意の数をかけたものはゼロに等しい
ゼロに等しくないものはゼロに任意の数をかけていない

ちなみに逆命題裏命題は偽です

というわけで
正解が一つしか許されないのならば

１＋１＝２
２＝１＋１←怪しいでしょ？

>>41
ゲーデルの不完全性定理ってのは、「数学は完全かつ無矛盾ではあり得ず、数学によって無矛盾性は証明できない」ってものだから
１＋１＝２ってのは、矛盾してないんだから、ゲーデルの不完全性定理とは関係無いでしょ。
１＋１＝２ってのは、証明が必要な命題ではなく、単なるトートロジー。

>>21
例えばＡとＢを否定したかったら¬Ａ∧¬Ｂでも¬(Ａ∧Ｂ)でも同じで、
()の中全てにかかるよ。

来るとゲー出る

>>21
1+1って命題じゃなくて項だから、それに否定の演算子つけること自体ナンセンスｗ
これそもそも適格な表現ですらないぞｗ

『不完全性定理』をきちんと読みたいです
数学でいくとどのへんの知識が必要ですか？
論理学で軽くやっただけなのでよくわかりません

>>46
岩波文庫のやつ買いなさい

>>46
あなたが、どの程度論理学をやったかわからないので、以下基本の基本から文献を紹介します。


（1）戸田山『論理学をつくる』
（2）学部レベルの集合論の簡単な本（松坂『集合・位相入門』など）
（3）広瀬『ゲーデルの世界』
（4）前原『数学基礎論入門』

こんな順序で読めば、原文もそれなりに読めます。あくまでそれなりに。

他にオススメできる文献としては、
・林『ゲーデル』岩波文庫
・田中『ゲーデルと20世紀の論理学』シリーズ
・鹿島『Ｃ言語による計算の理論』
なども手元にあるとそれなりに参考になるかもしれません。

>>48
（1）は読みました
とりあえず

>（2）学部レベルの集合論の簡単な本（松坂『集合・位相入門』など）

このへん読んでみます

>>3333
>2

>>46
対角線論法とゲーデル数のアイデアの意義だけ解ればOK

超初心者には以下がお勧め
不完全性定理　―数学的体系のあゆみ　野崎 昭弘 著 ちくま学芸文庫
はじめての現代数学 (講談社現代新書) (新書) 瀬山 士郎 (著)

　　　　　　　　　　　　内容
　　 ｜　１,　　２,　 ・　・　・, 　n,　 ・　・　・
＿＿_｜＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
f1(y) ｜f1(１)　f1(２) 　・　・　・　f1(n)　・　・　・
f2(y) ｜f2(１)　f2(２)　 ・　・　・　f2(n)　・　・　・　　　
・　 ｜・　　　・　　 ・　　　　　・
・　 ｜・　　　・　　　 　・　　　・
・　 ｜・　　　・　　　 　　　・　・
fn(y) ｜fn(１)　fn(２)　 ・　・　・　fn(n) ・　・　・
・　 ｜・　　　・　　　　 　　　　・　　・　　
・　 ｜・　　　・　　　　　 　　　・　　　 　・　
・　 ｜・　　　・　　　　　 　　　・　　　　 　　・

　¬は否定だから最後につけ加えればよいから、ヨxP(x,n,n)について考えてみよう。これは、
「ゲーデル数がnである一変数 y を含む命題（すなわちfn(y) ）の変数 y に数nを代入した命題
の形式証明のゲーデル数となる x が存在する」という内容を持ち、したがって¬∃xP(x,n,n)は
これの否定、すなわち繰り返しを嫌わずに書けば「ゲーデル数がnである一変数 y を含む命題
の変数yに数nを代入した命題の形式証明のゲーデル数となる x が存在しない」となる。
　ところが、ゲーデル数nを持つ一変数を持つ一変数yを含む命題とは fn(y)のことであり、
fn(y)とはすなわち¬ヨxP(x,y,y)であった。すなわち上の文章を簡単に書けば，「¬∃xP(x,n,n)の形式
証明は存在しない」ということで「¬∃xP(x,n,n)は証明できない」ということになる。ところ
が、この「　」内の命題こそ¬∃xP(x,n,n)に他ならない！
　ついにわれわれは「この命題は証明できない」のきちんとした数学的表現を入手すること
に成功したのである。

（略）
　ここで用いられた論法が一種の対角線論法であることに十分注意を払ってもらいたい。一変数
の命題をすべて一列に並べ、f1(ｙ) ,f2(ｙ) ,・・・とし f1(１) , f1(２) ,・・・f n(ｎ),・・・を考察
するというのはまさしく対角線論法そのものである。カントールによって集合の階層構造を引き出
すために考案された一線論法は，集合論内のパラドックスと絡まりあいながら、ゲーデルによる
決定不能命題の発見という20世紀数最高の結果の一つを生み出すにいたったのである。

（『はじめての現代数学』瀬山士郎著、講談社現代新書p161-163より。早川文庫より復刊）

スマリヤンだけじゃ無理ですか？

http://www.sanynet.ne.jp/~norio-n/NIKKI/45.html
　若干の蛇足。足立恒雄著『たのしむ数学10話』に、ライプニッツが命題に文字を
あてはめた（命題変数を導入した）最初の人であったこと、「それどころか、原始
的概念に素数を割り当て、合成数に積を割り当て、「論証を数の計算に還元する」
という驚くべき構想まで書き残して」いたこと、そしてこの「論証の算術化」とい
う構想の実現は二十世紀のゲーデルをまたなければならなかったことが書かれてい
る。

http://mathematics.web.infoseek.co.jp/column/incomplete.html
　ゲーデルの不完全性定理の証明について簡単に触れたいと思います．

　証明における主なステップは，次の通りです．

1. 数学を形式的に表現することに関して，「各自然数ごとに表現可能」という概念を導入する．
2. 「原始帰納的」と呼ばれる関数が各自然数ごとに表現可能であるという，「表現定理」を証明する．
3. 数学の証明の一部を　「ゲ　ー　デ　ル　数」と呼ばれる数に対応させることで証明をある意味で計算できるようにする．
4. カントールの　対　角　線　論　法　のアイデアを用いて, 「対角化定理」と呼ばれる，論理式における不動点定理のようなものを証明する．
5. 決定不可能な論理式，つまり自分自身もその否定も体系内では証明できないような論理式 U を構成する．（第一　不　完　全　性　定　理）
6. 「体系は無矛盾である」という命題を体系内の論理式として表現する. その論理式を C とおく.
7. 「 C が体系内で証明できるならば U も体系内で証明できる」ということを証明する. このとき, U は体系内では証明できない論理式だから, C もまた体系内では証明できない論理式である. （第　二　不　完　全　性　定　理）

　上の証明のステップ６において，「形式的体系が無矛盾である」という命題を表現する論理式の選び方は一通りではありません．

　　　　　　　　　　　　　　　　＿＿＿
　　　　　　　　　　　　　　　｜　　　｜
　　　　　　　　　　　　　　　｜超数学｜
　　　　　　　　　　　　　　　｜＿＿＿｜
　　　　　　　　　算術化　　　　／　　＼↑　　
　　　　　　　（ゲーデル数）↓ ／　　　　＼超数学的考察
　＿＿＿＿＿＿　　　　　＿＿／＿　　　　＿＼　＿＿＿＿＿
｜原始帰納的　｜　　　｜起算術的｜　　｜形式的自然数論を｜
｜関数（述語）｜ーー→｜　体系　｜←→｜含んだ形式的体系｜
｜＿＿＿＿＿＿｜　　　｜＿＿＿＿｜　　｜＿＿＿＿＿＿＿＿｜　
　　　　形式的体系の有限　　　　表現定理
　　　　の立場での記述　　　　　　

　　　　　　　　　　　図5.1全体の構図

　次に不完全性定理の証明の概略を説明しておこう。問題になる公理系は自然数論を実質
的に含む形式的体系でなくてはならない。
　そこでまず第1に、自然数論の形式的体系をみることにする。このような形式的体系、す
なわち自然数論でのさまざまな記号や記号の列や証明図を扱うのが超数学であるが、これ
は直観的数論をもとに記号を扱う一種の算術、いわば超算術的体系ということができる。
　そこで第2に、前章で定義した原始帰納的関数（述語）や一般帰納的関数（述語）がいず
れもこの超算術的体系の中に展開できることをみる。原始帰納的述語は有限の立場にもと
づいていたものであるが、一般帰納的述語は必ずしもそうではない。不完全性定理の証
明には原始帰納的関数（述語）だけが使われる。
　第3に、超数学で扱う対象の算術化、すなわちゲーデル数化によって超算術的体系を考え、
必要な述語の定義をおこなう。
　そして第4に、超算術的体系での帰納的述語が形式的体系の論理式として表現できること
をみる。こうして形式的体系と超数学と超算術的体系との問の対応づけによって、証明
の準備が完了し、前述した決定不可能な論理式を構成し、不完全性定理の証明がおこな
われることになる。全体の構図は図5.1のようになる。『ゲーデルの世界』（海鳴社p114より）

　　　　　　　　　　　＿＿＿
　　　　　　　　　　｜　　　｜
　　　　　　　　　　｜超数学｜
　　　　　　　　　　｜＿＿＿｜
　　　　　　　　　　　／　　＼↓　算術化　３
　　　超数学的考察↑ ／１　　　＼（ゲーデル数）
　　　＿＿＿＿＿＿／＿　　　　＿＼　＿　　　　＿＿＿＿＿＿　
　　｜形式的自然数論を｜　　｜超算術的｜　２｜原始帰納的　｜
　　｜含んだ形式的体系｜←→｜　体系　｜←ー｜関数（述語）｜
　　｜＿＿＿＿＿＿＿＿｜４　｜＿＿＿＿｜　　｜＿＿＿＿＿＿｜　
　　　　　　　　　　　表現定理　　　　形式的体系の有限　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の立場での記述　　　　

　次に不完全性定理の証明の概略を説明しておこう。問題になる公理系は自然数論を実質
的に含む形式的体系でなくてはならない。
　そこでまず第１に、自然数論の形式的体系をみることにする。このような形式的体系、す
なわち自然数論でのさまざまな記号や記号の列や証明図を扱うのが超数学であるが、これ
は直観的数論をもとに記号を扱う一種の算術、いわば超算術的体系ということができる。
　そこで第２に、前章で定義した原始帰納的関数（述語）や一般帰納的関数（述語）がいず
れもこの超算術的体系の中に展開できることをみる。原始帰納的述語は有限の立場にもと
づいていたものであるが、一般帰納的述語は必ずしもそうではない。不完全性定理の証明
に　は　原　始　帰　納　的　関　数　（述　語　）だけが使われる。
　第３に、超数学で扱う対象の算術化、すなわちゲーデル数化によって超算術的体系を考え、
必要な述語の定義をおこなう。
　そして第４に、超算術的体系での帰納的述語が形式的体系の論理式として表現できること
をみる。こうして形式的体系と超数学と超算術的体系との問の対応づけによって、証明
の準備が完了し、前述した決定不可能な論理式を構成し、不完全性定理の証明がおこな
われることになる。
（『ゲーデルの世界』海鳴社p114より。図は番号を振り左右を反転した。）

法月っていう推理小説家馬鹿丸出しだな。
法月は『ゲーデルの不完全性定理より
推理小説の探偵は犯人に騙されても気づくことは不可能』
って言ってやんの。
で、ギャグかと思ったら本人本気で悩んでやんの。
馬鹿丸出し。
ワロタ。

ゲーデル宇宙ｗ

>>59そういうバカな文系執筆家って時々いるよな。

ゲーデルの不完全性定理のことを間違って引用している馬鹿執筆家って、
ゲーデルの不完全性定理の原論文
（もしくは原論文をちゃんと解説した専門書）を
読まずに勝手な推測でエラそうなこと言ってるんだろうな。
（読まずに、というか、数学の実力無くて読めないんだろうな。）

無限でもない有限でもない虚限て考え方はあるの？

http://www.isis.ne.jp/mnn/senya/senya1312.html

正剛って疑似科学にあっさり引っかかてるようだが。。。。

脳の渦理論
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1236185550


正剛ってのはゲーデルとかを知ったかぶって引用する文系のバカ執筆者の典型じゃねーか？



5 ：考える名無しさん：2009/04/24(金) 21:50:53 0
「ゲーデル再考」って、検索して見たらハオ・ワンの翻訳なのか。
ついでに松岡正剛ってやつの書いた文章を読んだが、こりゃすげぇ。
ここまで何も分かってなくて、自分では分かったつもりになれるってどういうこと？




7 ：考える名無しさん：2009/04/24(金) 22:50:43 O
まぁ、セイゴオさんは「浅く広く」の人だから…


8 ：考える名無しさん：2009/04/24(金) 23:53:58 0
「浅く広く」ってレベルの話じゃないだろ。これ↓だぞ？！

> まったくとんでもない結論だった。「１＋１は２である」という言明
> を矛盾なく立証するのは不可能だと言い出したのだ。

無用塾でゲーデルの議論やってるんだって。
すごくおもしろそう。

無名塾じゃなくて？

中島義道さんの方か、、、

ゲーデルを語り合う前に
皆さんのゲーデル理解（論理学理解）がおぼつかない印象を持ちました。

不完全性定理の自主勉強会サークルだと自覚したうえで
このスレを活用したらどうですか？

数学板の住人達にこのスレを見つけられませんように。

というか、論理学スレが欲しい。

佐々木力『科学論入門』（岩波新書）にある不完全性定理の解説はいいと思うのですが、どうですか。

>>67
【不完全性定理証明の流れ】


１、算術について、原始再帰的関数や原始再帰的述語を定義する。

２、原始再帰的関数/述語ならば形式的証明が存在することを示す。俗にいう表現定理である(原始再帰的⇒証明可能)。

３、形式的体系内の表現(つまり、項や論理式、証明など)をゲーデル数に変換することで、算術的に扱えるようにする。

４、「論理式xは証明できる」という形式的表現Pr(x)を定義するため、様々な関数や述語を形式的に表現する。ここで、表現定理を利用する。ただし、Pr(x)は原始再帰的には表現できないので、表現定理を利用することはできず、すべてのPr(x)が証明できるわけではない。

５、Sb(x,y,z)とZ(n)という関数(これらはともに原始再帰的なので、形式的に表現できる)を用いて、対角化定理を証明する。つまり、
「任意のφについて、φがただひとつの自由変数 x を持つ論理式ならば， A ≡ φ(【A】) となる論理式Aが存在する」

６、対角化定理を使って、G≡¬Pr(【G】)を証明する。

７、【第一不完全性定理】
しかし、Gは証明も反証もできない。なぜならば、Gあるいは¬Gを仮定すると、ともに矛盾を証明してしまう(これを証明するのに際して、G≡¬Pr(【G】)　を用いる)ので、したがってGは証明も反証もできない。

８、【第二不完全性定理】
Con(T)→G　を証明する。Gは証明できないので、したがって、Con(T)は証明できないことが示される(Con(T)が証明できたとすると、Gも証明可能になり矛盾)。
Con(T)≡¬Pr(⊥)


【対角化定理の証明】
任意の1自由変数論理式φ(x)に対して、φ(Sb(x,17,Z(x)))のゲーデル数をnとする。φ(Sb(x,17,Z(x)))にゲーデル数nを代入すると、(*)より、φ(Sb(n,17,Z(n))) ≡ φ(【φ(Sb(n,17,Z(n)))】) となる。 ここで、φ(Sb(n,17,Z(n)))をAとおくと、A ≡ φ(A)

茂木さんがしきりにその名を挙げているアラン・チューリングが創案した
チューリングマシンは、あらゆる数学の形式体系をその動作に還元できると
いわれた仮想機械です。しかし、万能のようでいて、この機械で決定できない
命題も存在するのです。
そのひとつがいわゆる「停止性問題」で、これは簡単にいえば、ある与えられた
チューリングマシンが停止するかどうかを、別のチューリングマシンで決定する
ことはできない、というものです。そういえばゲーデルの不完全性定理だって、
同じ意味で計算不可能性の問題ですよね。これらについては「自己言及」問題
として、あとでもういちど触れます

http://sofusha.moe-nifty.com/series_02/2010/05/5-455b.html

クルト・ゲーデル（Kurt Gödel, 1906年4月28日-1978年1月14日）は、
オーストリア・ハンガリー二重帝国（現チェコ）のブルノ生まれの
数学者・論理学者である。

1930年には最初の重要な業績である「第一階述語論理の完全性定理」
を発表し、学位を得た。
翌1931年、ゲーデル数の概念を用い、20世紀の数学基礎論、論理学に
とって最も重要な発見とされる「不完全性定理」を発表した。これは
ヒルベルトが数学の無矛盾性を証明するために推進した「ヒルベルト
・プログラム」にからんで研究されたものであるが、「数学は自己の
無矛盾性を証明できない」ことを示した不完全性定理は、正にヒルベルト
学派の主張した有限の立場を忠実に用い、手法としての超数学を具体化して、
皮肉にもそのプログラムが本質的に不可能であることを暗示した。

文系の人にもゲーデルの第一不完全性定理
の大体のイメージが分かるように説明すると、

�@『この文章の正しさは証明できない』

A:�@が正しいとすると、内容が正しいから�@の文章の正しさは当然証明できない。
B:�@が間違っているとすると、内容が間違っているから、
『この文章の正しさは証明できない』が間違っている
＝『この文章の正しさは証明できる』となるが、
この文章が正しいということは、
『証明できないことが正しい』となり矛盾する。

A,Bより結局�@の文は正しいにもかかわらず原理的に絶対証明できない
ことになる。

”この”という表現が自己言及的で問題はあるが、そこは数学的に
上手く回避するとお茶を濁すことにして・・・

これなら文系の人でも分からない？

>>73
それがゲーデルの第一不完全性定理なの？
クレタ人が何とか、とかいう話とどう違うの？

>>74
うそつきのパラドックスは、
クレタ人Ａ：『私は嘘つきである』（※但し嘘つきは常に嘘しか付かないものとする。）といったとすると、
�@Ａの言った内容が正しいなら、内容からＡは嘘つきであるが、
　同時に嘘つきの定義より、
　『私は嘘つきである』の否定が正しい＝『私は正直である』
　ことになり両者は矛盾する。
�A同様にＡの言った内容が間違っているなら、
　Ａは正直に言っているにもかかわらず嘘つきとなる。
この場合は、どっちにしても矛盾してしまいパラドックスとなっている。
数学的にはこれは元の文、『私は嘘つきである』
が論理的には構築できないことを表している。
ゲーデルが偉大なのは、この嘘つきのパラドックスは、
そのままの形では、
『この文章は間違っている』となりパラドックスを生じるが、
上手く変形することによって、
『この文章の正しさは証明できない』
とすることによって、パラドックスを解消して、
証明できないにも関わらず正しい数学的言明に変形したことにある。

この次元での言葉や論理じゃ真理はとらえられないってことでいいんじゃないの

>>75
＞どっちにしても矛盾してしまいパラドックスとなっている。
パラドックスというより、たんに
（※但し嘘つきは常に嘘しか付かないものとする。）
という前提が間違っているだけだろ。

エピメニデスさんて　魔法使いさんなんですって

>>78
だから、それはゲーデルとは関係ないんだよ（多分）。
>>69を読めばよい。
もっとも、不完全性定理がきちんと理解できたことは一度もないが。