あーなるほど

意味の理解った人は「あーなるほど」とレスを入れる事

お前等は少し理解できたかあーなるほど

あなるほど

あ

えー、ちょっと計算の確認をさせてくださいね。

微分方程式の変数分離形とは　導関数　y' が
y だけの関数と、 x　だけの関数の積になっている。　　と、
で、その式は　d y / d x = P (x) Q (y)　　の形である。　うん、
この形式の解き方は、変数を分離して

1 / Q(y) ・　d y / d x = P (x)　　と変形すると　この左辺は
y の関数　∫ 1/ Q (y) d y　を、x　で微分したものになっている。
というのは、合成関数の微分法によって
d / d x ∫ 1 / Q (y) d y = d / d y ( ∫ 1 / Q (y) d y ) d y / d x

= 1 / Q (y) ・　d y / d x　　　となるからなので

1 / Q (y) ・ d y / d x = P (x)　は
d / d x ∫ 1 / Q (y) d y = P (x)　　　　　したがって

∫ 1 / Q (y) d y = ∫ P (x) d x + C 　　　　　　なーるほどっ　!

え、それとですね、みなさんがよく勘違いしていることをひとつ。
( t a n θ ) '　　つまりタンジェントの微分なんですぅ

t a n　θ　＝　s i n　θ　/　c o s　θ　　と覚えているので

タンジェントの微分は　( s i n　θ　/　c o s　θ　) '　であり

つまり　( s i n 　θ ) '　/　( c o s 　θ ) '

そうすると　c o s θ　/　−s i n θ 　と　してしまいます。

じつは　分数の微分の公式を忘れているんですぅ

　( A / B ) '　＝　( A ' B　−　A B' )　/　B ^ 2

でたよね。　すると　タンジェントの微分は　( t a n　θ ) '　

＝( s i n θ　) ' c o s θ　−　s i n θ　( c o s θ ) ' / ( c o s　θ ) ^ 2

＝ c o s　θ・c o s　θ　−　s i n　θ・( − s i n　θ )　/ ( c o s　θ ) ^ 2

＝　( c o s　θ ) ^ 2　＋　( s i n　θ ) ^ 2　/　( c o s　θ ) ^ 2

となり、三平方の定理から

( c o s　θ ) ^ 2　＋　( s i n　θ ) ^ 2　＝　1

なので　( t a n　θ ) '　＝　1　/　( c o s　θ ) ^ 2

となり　( t a n　θ ) '　＝　( s e c　θ ) ^ 2　　と　なります。

あー　なるほど

でたよね→　でしたよね

「し」　が抜けちゃいま　た。

ついでに、おまけとして　

∫　t a n x　d x　　の不定積分を求める計算をしましょう。

これは、置換積分法で計算できるのです。解き方は

まず、∫　t a n x 　d x　＝　∫　s i n x　/　c o s x 　d x

なので　ここで　z　＝　c o s x　　とおきます。

そして　この式の両辺を　x　で微分しますと

d z　/ d x　＝　−　s i n x　　となり

d x　＝　d z　/　−　s i n x　　です。すると

∫　t a n x 　d x　＝　∫　s i n x　/　c o s x 　d x

＝　∫　( s i n x　/　z　)・( d z　/　−　s i n x )　となり

＝　−∫　1　/ z　　d z 　＝　−　l o g　( c o s 　x )　＋　C

( C　は、積分定数 )　　どうです、簡単な計算ですねっ
　

えー、寝る前に　もひとつおまけとして、
y　＝　l o g x　　の不定積分の計算を思い出してみましょう。

∫　l o g x　d x　の不定積分を求める場合、この場合は
部分積分を用いましょう。

部分積分とは、積の微分の公式を移項して公式化したものでしたよねっ

それは、　∫　A ' B　d x ＝　A B　−　∫ A B ' d x　　ですよね。

積の微分公式は　( A B ) '　＝　A ' B　＋　A　B ' だったねっ　!

この両辺を積分して　項を移動させれば　この部分積分の公式が
導かれるんだよっ。

∫( A B ) ' d x　＝　∫{　A ' B　＋　A　B '　}　d x

＝　∫ A ' B d x ＋ ∫ A B ' d x

そして、∫( A B ) ' d x　　は、微分したものを積分したものだから

もとにもどり、　A B　になってしまうよね。　そして項を移動させると

そうすると　この式は

∫　A ' B　d x ＝　A B　−　∫ A B ' d x　　　と、なります。

( 注 )あのー、私の場合、A とかB　を用いてわかりやすくしています。
テキストなんかでは、　u　とか　v　とか書いていますが、ノートに
書くと、まぎらわしいので、自分にとってわかりやすい記号を用いれば
いいと思います。たとえば　○△☆とかね。

では、計算しましょう。

∫　l o g x d x　　あっそのまえに　この場合ひと工夫するのです、

l o g x　＝　1　×　l o g x　　とするのです。　すると

1　は、　x 　の微分　( x ) '　＝　1 　ですよね。

つまり、公式での　A '　　にあたります。　そして　A　＝　x　ですね。

そして、　l o g x　は、公式での　B　にあたります。そして

B '　　つまり　( l o g x ) '　＝　1　/　x　　ですね。

以上を、公式にあてはめてみましょう。

∫　l o g x　＝　∫　1　・　l o g x 　d x

＝　 x ・　l o g x　−　∫　x　・　1　/　x　d x

＝　x ・　l o g x　−　∫ 1　d x

＝　x ・　l o g x　−　x　　＋　C　　( C　は、積分定数　)

はい、解けました。　

では、おやすみ　　　　　　　って、もう深夜の二時かよっ　!

あっ、たいへん　たいへん 対辺

>>6　での　表記に誤解が五回きそうなので　訂正、帝政ロシア。

( c o s　θ ) ^ 2 などの表記　は、　

　c o s ^ 2　θ 　　　の誤りでした。

つまり、コサイン2乗のシータ、サイン2乗のシータ

と　するのが正しいのです。

俺とシータことが・・・

なんちって

何、遣ってんだか。」