だいたい君ら数学できんの？
>>561
度外視ってわけじゃないけど。
本当に根源的なものは何か、基礎は何かなんて、
考え出したらきりがないし、人間の認識力ではっきりしたことが言い切れないような問題
については、自分達のやることじゃない、と思ってるんだろう。
だいたい基礎論の中でも数理哲学に近いことをやってるのは一部だと聞いたけど。
公理系について考えるのだって、
その公理系から矛盾のない範囲でいかに豊かな内容が導かれるか
という一種の回り道をして評価する、というのが現在の公理主義の立場じゃなかろうか。
そういう観点からの、公理系の微小変更による実験的考察は、
それこそ数学基礎論で1950年代くらいから十分に行われてきた。
現在大多数の数学者が採用している公理系は、その試練に耐えて信頼を得ているものだから、
それ自体には主流派の関心が集まらなくなっているんだろう。
度外視ってわけじゃないけど。
本当に根源的なものは何か、基礎は何かなんて、
考え出したらきりがないし、人間の認識力ではっきりしたことが言い切れないような問題
については、自分達のやることじゃない、と思ってるんだろう。
だいたい基礎論の中でも数理哲学に近いことをやってるのは一部だと聞いたけど。
公理系について考えるのだって、
その公理系から矛盾のない範囲でいかに豊かな内容が導かれるか
という一種の回り道をして評価する、というのが現在の公理主義の立場じゃなかろうか。
そういう観点からの、公理系の微小変更による実験的考察は、
それこそ数学基礎論で1950年代くらいから十分に行われてきた。
現在大多数の数学者が採用している公理系は、その試練に耐えて信頼を得ているものだから、
それ自体には主流派の関心が集まらなくなっているんだろう。
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（つづき）
現在でも、例えば非可換幾何学の周辺などに端を発して、集合論よりもファンクターを基礎にした数学が
しきりに考察されているけど、これまでの膨大な成果が包含される形で基礎付けられるように、
と言う点に心血を注いでる。
わかりやすく卑近な例で言えば、集合論を基礎におかない新定義による「空間」だって、
これまでと全く同じ位相構造を乗っけることができて、微積分、解析学がそっくりそのまま展開できなくては、
新しく基礎付けても意味がない。
だって、いまさら解析学が信用に足りませんと言ってみたところで、
その上で展開される力学で飛行機も人工衛星も飛んでるんだし・・・・
結局、置き換えるなら、これまでのものを完全に包含するより良いものが要求される。
そんなわけで、現場の数学者は安心して今の土台の上で研究しているんじゃないかな。
長い歴史を振り返ってみても、コーシー以前の解析学や、フーリエ本人がおこなった級数展開など、
今から見ると基礎が相当怪しかったが、その時代の成果（定理）は、本質的でない付帯条件を除いて
本質的な部分は後から理論的に正当化されていたりする。
現在でも、例えば非可換幾何学の周辺などに端を発して、集合論よりもファンクターを基礎にした数学が
しきりに考察されているけど、これまでの膨大な成果が包含される形で基礎付けられるように、
と言う点に心血を注いでる。
わかりやすく卑近な例で言えば、集合論を基礎におかない新定義による「空間」だって、
これまでと全く同じ位相構造を乗っけることができて、微積分、解析学がそっくりそのまま展開できなくては、
新しく基礎付けても意味がない。
だって、いまさら解析学が信用に足りませんと言ってみたところで、
その上で展開される力学で飛行機も人工衛星も飛んでるんだし・・・・
結局、置き換えるなら、これまでのものを完全に包含するより良いものが要求される。
そんなわけで、現場の数学者は安心して今の土台の上で研究しているんじゃないかな。
長い歴史を振り返ってみても、コーシー以前の解析学や、フーリエ本人がおこなった級数展開など、
今から見ると基礎が相当怪しかったが、その時代の成果（定理）は、本質的でない付帯条件を除いて
本質的な部分は後から理論的に正当化されていたりする。
どうでもいいが演説がたいくつ
できるかどうか分からんが
一応数学博士だ。
ブルバキ全盛期と違い今は原理的な問題はあまりもてはやされてないと思うよ。
一応数学博士だ。
ブルバキ全盛期と違い今は原理的な問題はあまりもてはやされてないと思うよ。
576 ：考える名無しさん：03/07/22 00:38
非ユークリッド幾何ってそんなにエロいんですか？
577 ： ：03/07/22 00:39
＞一応数学博士だ
だれもそんなこと聞いてないんですが？
できるかどうか分からんって何のこと？
だれもそんなこと聞いてないんですが？
できるかどうか分からんって何のこと？
579 ：考える名無しさん：03/07/22 00:42
＞＞５７６
エロい！！！！
凡庸な非ユークリッド幾何とエロい非ユークリッド幾何があるのだよ
エロい！！！！
凡庸な非ユークリッド幾何とエロい非ユークリッド幾何があるのだよ
580 ：574：03/07/22 00:42
>>575
>>561の問いかけに対して、基礎論やそれを含む広い意味での数学の基礎、というか信用する根拠
について、全く無頓着ではないが、普段はそれほど気にせずに
とりあえず今の土台の上で研究しているのが、平均的な数学サイドの感覚じゃないかな
ということ。
それでいいんじゃないかと考える理由もつけて書いてみた。
長くてスイマセン。
>>561の問いかけに対して、基礎論やそれを含む広い意味での数学の基礎、というか信用する根拠
について、全く無頓着ではないが、普段はそれほど気にせずに
とりあえず今の土台の上で研究しているのが、平均的な数学サイドの感覚じゃないかな
ということ。
それでいいんじゃないかと考える理由もつけて書いてみた。
長くてスイマセン。
つまり、有用な理論なりは先にあって、その基礎付けはどちらかと
言えば後になるって事か。そういう事ならば科学的という感じはする
けど、それだと原理的問題はタブー視するという事でもあるね。
それが悪いと言ってんじゃないけど。
言えば後になるって事か。そういう事ならば科学的という感じはする
けど、それだと原理的問題はタブー視するという事でもあるね。
それが悪いと言ってんじゃないけど。
583 ：574：03/07/22 00:47
>>581
そう思うよ。
一々気にしてない、というか基礎論はほとんど無知(;´Д｀)
ほんの一部分しか知らないけど、なんとかなってる。
専門分野によるけど、ぼくが興味あるのはやっぱり世界の仕組みとか
組成とかで、物理のひとと関心の持ち方は大差ないと思う。
そう思うよ。
一々気にしてない、というか基礎論はほとんど無知(;´Д｀)
ほんの一部分しか知らないけど、なんとかなってる。
専門分野によるけど、ぼくが興味あるのはやっぱり世界の仕組みとか
組成とかで、物理のひとと関心の持ち方は大差ないと思う。
スイマセン、>>572で誤解を招きやすいところがあったので直します。
本質的でない付帯条件を除いて
本質的な部分は後から理論的に正当化されていたりする。
→ 付帯条件を前提に加えるなどの変更を除いて、
本質的な内容は当時の主張（または使用された形）のままで、後から理論的に正当化されている。
本質的でない付帯条件を除いて
本質的な部分は後から理論的に正当化されていたりする。
→ 付帯条件を前提に加えるなどの変更を除いて、
本質的な内容は当時の主張（または使用された形）のままで、後から理論的に正当化されている。
分かってると思うけど、ここの板の人は基本的にその土台の方に
興味があるんだと思うよ。
興味があるんだと思うよ。
>>572
集合論を基礎におかない新定義による「空間」とは何ですか？
集合論を基礎におかない新定義による「空間」とは何ですか？
一般の（非可換）環に対するｽｷｰﾑと思えばいいのですか？
>>583
＞ぼくが興味あるのはやっぱり世界の仕組みとか
＞組成とかで、物理のひとと関心の持ち方は大差ないと思う。
そのままでいけば、哲学に関わらずに過ごせる。
「究極的な解答」を求めるなら哲学にどぞ。
＞ぼくが興味あるのはやっぱり世界の仕組みとか
＞組成とかで、物理のひとと関心の持ち方は大差ないと思う。
そのままでいけば、哲学に関わらずに過ごせる。
「究極的な解答」を求めるなら哲学にどぞ。
>>582
現在の数学は、前世紀の哲学との交流期の基礎に対する反省を踏まえているから、
以前のような「ちょっと怪しい研究」というのは、絶対に認められていない。
土台となる公理系を宣言（通常はわざわざひとつひとつの論文には書かないが）した上で、
純粋な演繹によって導かれたものしか、結果とはみなされない。
公理系の原理的な正当性についてはとりあえず疑念を挟まない、というより、
むしろ正当であろうがなかろうが、それを基点として演繹される関係性の集積こそが、
数学的真実というふうな捉え方だと思う。
その意味で、数学の定理は、有史以来くつがえったことがなかったし、これからもないだろう、
という感じかな。
公理系が修正されるとしても、その上に築かれた成果が否定されるような形にはならないだろう
と確信しているし。（>>572に書いたように）
現在の数学は、前世紀の哲学との交流期の基礎に対する反省を踏まえているから、
以前のような「ちょっと怪しい研究」というのは、絶対に認められていない。
土台となる公理系を宣言（通常はわざわざひとつひとつの論文には書かないが）した上で、
純粋な演繹によって導かれたものしか、結果とはみなされない。
公理系の原理的な正当性についてはとりあえず疑念を挟まない、というより、
むしろ正当であろうがなかろうが、それを基点として演繹される関係性の集積こそが、
数学的真実というふうな捉え方だと思う。
その意味で、数学の定理は、有史以来くつがえったことがなかったし、これからもないだろう、
という感じかな。
公理系が修正されるとしても、その上に築かれた成果が否定されるような形にはならないだろう
と確信しているし。（>>572に書いたように）
590 ：574：03/07/22 01:09
>>588
経験から得られる知識に関しては自然科学は多くを教えてくれる。
ぼくは数学もある種の実験科学だと思ってる。
経験で得られない知識、真理について考えはじめるとやっぱり哲学的フィールドに入ってくのかな。
経験から得られる知識に関しては自然科学は多くを教えてくれる。
ぼくは数学もある種の実験科学だと思ってる。
経験で得られない知識、真理について考えはじめるとやっぱり哲学的フィールドに入ってくのかな。
>>587
そう。それを念頭において書いてた。僕は専門じゃないけど。
そう。それを念頭において書いてた。僕は専門じゃないけど。
>>591
ｸﾞﾛﾀﾝﾃﾞｨｰｸを超えてゆくのがぼくの夢です。ｻﾝｸｽでした。
ｸﾞﾛﾀﾝﾃﾞｨｰｸを超えてゆくのがぼくの夢です。ｻﾝｸｽでした。
593 ：574：03/07/22 01:21
ちなみに自然科学の基盤について考えた歴史的人物のなかでも、ぼくは
やっぱりカントは偉いと思う派ですね。
「知の欺瞞」については今さら何を言うという感じです。
やっぱりカントは偉いと思う派ですね。
「知の欺瞞」については今さら何を言うという感じです。
>>592
がんばってください。
>>590
＞数学もある種の実験科学だ
研究態度としては、まさにそうだと思う。
ただ演繹によって証明しきらなければ正当な結論とみなされないわけだから、
物理をはじめとする帰納的科学とは違う。
がんばってください。
>>590
＞数学もある種の実験科学だ
研究態度としては、まさにそうだと思う。
ただ演繹によって証明しきらなければ正当な結論とみなされないわけだから、
物理をはじめとする帰納的科学とは違う。
595 ：574：03/07/22 01:43
>>594
命題を立てるには確かに演繹によって証明しなくっちゃ話にならないね。
けれど、物理の命題も帰納的に推測してゆくにせよ、命題として
演繹的に証明する局面も出てくるでしょ。相対性理論が検証されるときの
ように。
命題を立てるには確かに演繹によって証明しなくっちゃ話にならないね。
けれど、物理の命題も帰納的に推測してゆくにせよ、命題として
演繹的に証明する局面も出てくるでしょ。相対性理論が検証されるときの
ように。
>>595
そういう局面もあるだろうけど、
基本的に物理の検証は演繹の鎖にかけ違いがないかではなくて、
現実の世界をいかに正確に記述し、予測できるかを問うものだと思ってる。
数学的に怪しいものでも物理の人は頓着しない。
論文誌の掲載基準でも、完全に演繹されきっていることは必要条件ではない。
そういう局面もあるだろうけど、
基本的に物理の検証は演繹の鎖にかけ違いがないかではなくて、
現実の世界をいかに正確に記述し、予測できるかを問うものだと思ってる。
数学的に怪しいものでも物理の人は頓着しない。
論文誌の掲載基準でも、完全に演繹されきっていることは必要条件ではない。
597 ：考える名無しさん：03/07/22 01:53
>>590
的外れな意見かもしれないけど、
経験なしで、公理系を自在に修正、発見していって
自然科学においてそれを利用していくなんてことが
実際、可能なんでしょうか？
そうやって導出された公理系は
結局宇宙人の言語(比喩)なんじゃないですか？
ユークリッド的公理観を経ることなく、自然数論の公理系が発生するような。
最初に言ったことと同じになるけど
具体的事物を離れて無限に公理のみを修正、発生させ続けられる
哲学的機構が存在するもんなんですかね？
的外れな意見かもしれないけど、
経験なしで、公理系を自在に修正、発見していって
自然科学においてそれを利用していくなんてことが
実際、可能なんでしょうか？
そうやって導出された公理系は
結局宇宙人の言語(比喩)なんじゃないですか？
ユークリッド的公理観を経ることなく、自然数論の公理系が発生するような。
最初に言ったことと同じになるけど
具体的事物を離れて無限に公理のみを修正、発生させ続けられる
哲学的機構が存在するもんなんですかね？
1＞おまえはどうなんだよっ！（劇藁
599 ：597：03/07/22 01:59
ヒルベルトの言っていた
｢豊穣の角」ってのがそんな感じなのかな…
って思いましたが。
｢豊穣の角」ってのがそんな感じなのかな…
って思いましたが。
600 ：574：03/07/22 01:59
>>596
考え方によると思うけど、数学的現象も現実の世界の有り様なんだと
ぼくは思う。だから現実の数学的現象を正確に記述しなおかつそれによって
予測出来る知られざる命題を提示できるかという側面が数学にはあると思う。
後半の指摘は確かにそうだ。
考え方によると思うけど、数学的現象も現実の世界の有り様なんだと
ぼくは思う。だから現実の数学的現象を正確に記述しなおかつそれによって
予測出来る知られざる命題を提示できるかという側面が数学にはあると思う。
後半の指摘は確かにそうだ。
なんか数学（者）と基礎論は遠いものみたく書かれてるので
ちょっと割り込み＆補足させてもらうけど、代数学でも解析学でも
基礎論的な部分に関わる内容は学部一年レベルからバシバシ登場しますよ。
ツォルンの補題（＝選択公理）なんて使われまくり
ちょっと割り込み＆補足させてもらうけど、代数学でも解析学でも
基礎論的な部分に関わる内容は学部一年レベルからバシバシ登場しますよ。
ツォルンの補題（＝選択公理）なんて使われまくり
602 ：考える名無しさん：03/07/22 02:10
605 ：574：03/07/22 02:20
あ、603=574です。
ぼくらがたとえば逆関数定理を一々証明して先に進むわけじゃない
からね。
そういう先人の英知の蓄積かな。
やっぱり数学基礎論が果たした役割が甚大なのは間違いない。
ぼくらがたとえば逆関数定理を一々証明して先に進むわけじゃない
からね。
そういう先人の英知の蓄積かな。
やっぱり数学基礎論が果たした役割が甚大なのは間違いない。
606 ：考える名無しさん：03/07/22 02:23
607 ：597：03/07/22 02:26
608 ：574：03/07/22 02:27
>>604
禿しく同意。ブルバキ的なものに一時期数学界が振り回されてた部分は
否定できないと思う。
でもブルバキの構成員、たとえばヴェイユならヴェイユの個々の実績の
豊かさはいつまでも色褪せない。
活きた知識だね。
禿しく同意。ブルバキ的なものに一時期数学界が振り回されてた部分は
否定できないと思う。
でもブルバキの構成員、たとえばヴェイユならヴェイユの個々の実績の
豊かさはいつまでも色褪せない。
活きた知識だね。
＞現場の関心の主流はそこから離れている
そうですね。これ↑をどう書いたらいいのか今迷ってました。
前世紀のはじめ頃、抽象代数学や実解析学、代数幾何学における最先端の問題は
基礎論と深く関わっていました。現在はそれらの結果を初等的なものとして
踏まえたうえで、より深化、細分化された分野で議論がなされているので
基礎論的な意識があまりメインに出てくることはないのではと思います
そうですね。これ↑をどう書いたらいいのか今迷ってました。
前世紀のはじめ頃、抽象代数学や実解析学、代数幾何学における最先端の問題は
基礎論と深く関わっていました。現在はそれらの結果を初等的なものとして
踏まえたうえで、より深化、細分化された分野で議論がなされているので
基礎論的な意識があまりメインに出てくることはないのではと思います
610 ：574：03/07/22 02:37
>>607
失礼。物理でもたとえばこの世界とはまったく異なる時空の物理学の
モデルを考えることは有意義だし、それとして評価されるんです。
しかし、大抵はそういう可能的世界のなかでもこの世界は
実に豊かなものを持っていることが多いと聴きます。
数学も多少それに近いところがあって、一般のn次元空間の幾何より
3次元4次元の幾何のほうが豊かな（そして難しい）ところがあったりする。
不思議なもんです。答になってないような期もしますが。
失礼。物理でもたとえばこの世界とはまったく異なる時空の物理学の
モデルを考えることは有意義だし、それとして評価されるんです。
しかし、大抵はそういう可能的世界のなかでもこの世界は
実に豊かなものを持っていることが多いと聴きます。
数学も多少それに近いところがあって、一般のn次元空間の幾何より
3次元4次元の幾何のほうが豊かな（そして難しい）ところがあったりする。
不思議なもんです。答になってないような期もしますが。