数学の問題を作らせる問題を出題する

答えが負の整数の組になる、連立方程式に関する問題を作り、解け

はげ

>>1
ねえ、これってあなたの宿題じゃないの？人に作らせておいて、良レスがあったら丸写しして提出すんでしょ？

Ｘ＋Ｙ＝−２
Ｘ＋２Ｙ＝−３

１から連続するｎ個の自然数について、問題を作り、解け。

「ｘ＋ｙ＝３とｘ−ｙ＝６を連立して解きなさい」
という問題を「解くこと」ばかりしてきたのです。
発想の１８０度の転換が必要なのです。
では、
「答えが負の整数の組になる、連立方程式に関する問題を作り、解け」という「問題」だと、
�@ 「負の数」を答えにするための連立方程式を作るために、
　　いくつかの連立方程式を調べる、調査能力
�A実際に連立方程式の問題を作る、数学的発想力

�B最後に、連立方程式を解く、数学的解決力

の３つの能力が磨かれます。
今の数学教育は、「与えられた連立方程式を解くだけ」です

「ｘとｙは正の整数で、その最大公約数が６であるとき、
　ｘとｙの式の因数分解の問題を作り、解け」。

宮城県公立高校入試問題
http://www.tsukue-no-mae.net/exam/highschool/miyagi/public/2003/math/2003-m.htm#2
２． 　方程式50−９ｘ＝５に関して，次の(１)，(２)の問いに答えなさい。
(１) 　この方程式を解きなさい。
(２) 　方程式50−９ｘ＝５を使って解く問題をつくり，文章で書きなさい。


鹿児島県公立高校入試問題
http://www.tsukue-no-mae.net/exam/highschool/kagoshima/public/2003/math/2003-m.htm#2
４． 　連立方程式の１つの方程式がｘ＋ｙ＝12となるような文章題を１題つくれ。また，その文章題を解いて答えを求めよ。なお，計算過程も書くこと。

小学校の算数の問題は、大学の主に教育学部を卒業した先生が作る。
中学校の数学の問題も同じ。
高校の数学の問題は、大学の数学科を主に卒業した先生が、参考書や赤本を参考にして作る。
大学の数学科の学生が、テストで解く問題は、大学の数学科の教授が作る。
では、大学の数学科の教授が「解くべき問題」は、誰がつくるのか？
ＢＳＤ予想を「作った」ように、大学の数学の教授も、数学を発展させることの
出来る問題を「作れるように」なるべきだ。

>>5
>>7
の問題を解ける受験生はいないのか？

age

上げてもレスのない、悲しい書き込み。

「ｘとｙは正の整数で、その最大公約数が６であるとき、
　ｘとｙの式の因数分解の問題を作り、解け」。

>>13
ヒント
�@まず、ｘとｙの入った式の、因数分解できる方程式を考える。
（●ｘー●ｙ）（○ｘ＋○ｙ）＝０（○係数は正にする）

�Aｘとｙは正の整数であることに注目し、（○ｘ＋○ｙ）が０にならないことを確認する

�Bすると（●ｘー●ｙ）＝０となる

あとは、ｘとｙの整数の問題になる



＊この「問題」は、従来の「与えられた問題を解くだけ」の問題よりも
はるかに高い数学的思考力を要求される。

さて、次の問題。
「自然数ｐ，ｑ，ｒについて、整数の問題を作り、解け」

>>15
一番簡単な問題は、
「ｐは２の倍数、ｑは３の倍数、ｒは５の倍数であるとき、
　ｐ・ｑ・ｒを４で割った余りはいくらか？」

問題作る問題なんか、二十年前くらいに流行したわけだが

>>17
ソースは？根拠は？　証拠となる問題は？

age

あげ

はげ

まげ

22GET

23GET

やけにレスが早いな。
興味を持っている証拠か。。。

んなわけ無ぇだろボケ

あげ

find all natural numbers m,n and k satisfying the following equation
５＾m+７^n＝Ｋ＾3

まん

hosyu

hosyu

find all positive odd integers n for which there exist odd integers �]1,�]2....�]n such
that

�]1^2+�]2^2+.......�]n^2＝n＾４

ほしゅ

hosyu

hosyu

数学の入試問題では、次のような問題を出すと
良い。

「問題」
三角形ＡＢＣが、円Ｑに内接している。辺ＡＢを１０
とする。円Ｑの中心点をＯとする。角ＢＯＣの角度を１２０度とする。
点ＡとＢが右回りに移動しているとき、三角形ＡＢＣの
いずれかの辺の長さか、角ＢＡＣの最大値か最小値を
求める問題をつくり、解け。

age

age

まんこ

>>36
円Ｑの半径を１０とする。この時ＡＣの最大値を求めよ。
答え ２０

んなひまあったら近畿大学附属和歌山を潰す方法考えろ

んなひまあったら近畿大学附属和歌山潰す方法考えろ

あげ

44GET

hosyu

ほしゅ

保守

ほしゅ

ほしゅ

ほしゅ

ほしゅ

とう

東京都の教員採用試験で不正がありました。

393 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 13:17:48

次の条件を満たす自然数、ｍ、ｎ、ｋを求めよ。
５＾m+７^n＝Ｋ＾3


394 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 13:31:39
次の式を満たす全ての解を求めよ。

�]＾4＋Ｙ＾4＋Ｚ＾4＝４�]ＹＺ−１


395 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 13:36:03
�]＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾５
この式は、無限に多数の自然数の解を持つことを
証明せよ。


396 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 13:45:46
ａ，ｂ，ｃが次の条件を満たすとき、
（ａ−ｂ）＾３＋（ｂ−ｃ）＾３＋（ｃ−ａ）＾３＝６０

｜ａ−ｂ｜＋｜ｂ−ｃ｜＋｜ｃ−ａ｜の最大値と最小値を求めよ。

55GET

hosyu

>>9
数学を大きく発展させるほどの問題はなかなか作れないだろう。
でも、自分の論文のテーマになるくらいの問題なら、数学者であれば作れる。
数学者じゃなくても大学院生でも作れる奴は作れる。

１とａ−１を考える。
この二つの数と式に関して、
整数の問題を作り、解け。

あげ

６０げっと

it grow　ｕｐ　 the intelligence quotient（Ｄ�TＱ） to make a math problem in english
and solve it

連続した三つの正の偶数について、整数の問題を
作り、解け。

おまんこ

解が一つの二次方程式を作り、解け。
ただし、（�]−ａ）＾２＝０　のような
形をした式を作る場合以外の式を作りなさい。

「二次方程式の係数を求める問題を作り、解け。」


「長方形の相似から、縦の長さを求める問題を作り、解け」


「利益から売価を求める二次方程式の問題を作り、解け」


「２元一次方程式と比に関する問題を作り、解け」

「連続する整数の和に関する問題を作り、解け」


「平方根と素因数に関する融合問題を作り、解け」


「三平方の定理に関する問題を作り、解け。ただし、単純に直角三角形
　の辺の数値を与え、計算するだけの問題以外の問題を作りなさい」

「ａ�]＋ｂＹ＝９と連立する方程式を考え、その両者を連立して解く、整数の問題を作り、解け」

ここまで出題したのは、あくまでも例題です。
「本番」では、同じ問題は出ませんので、受験生は
準備をおこたりなく。

名古屋大学大学院博士課程の研究者の論文です。
http://ir.nul.nagoya-u.ac.jp/dspace/handle/2237/8249?mode=full
数学学習には，教示された問題（例題）に基づいて別の問題（類題）を解く類題解決や，
学習者自身が新しい問題を作り出す作問といった問題解決がある．数学における作問については，
問題を作ることは問題を解くことと同様に重要な活動であることが，
数学者や数学教育者によって指摘されている．

あげほしゅ

ｐ，ｑ，ｒを自然数とする。
直角三角形ＡＢＣの斜辺をｒとする。
このとき、Ｐ＾２＋ｑ＾２が奇数になるための
条件を求めよ。

「解答」
（１）ｒが奇数のとき、奇数の二乗は奇数になるので、
　　　三平方の定理より、ｐ＾２＋ｑ＾２＝ｒ＾２だから、
　　　ｐ＾２＋ｑ＾２も奇数になる。

（２）ｒが偶数のとき、偶数の二乗は偶数だから、
　　　ｐ＾２＋ｑ＾２＝ｒ＾２より、ｐ＾２＋ｑ＾２は偶数になる。

よって、（答え：ｒが奇数であること）

まんこ

「自然数ｐ、ｑ、ｒについて、整数の問題を作り、解け」


「問題１」
「ｐ、ｑが奇数、ｒが偶数のとき、
　ｐ＾２＋ｑ＾２＋ｒ＾２は奇数・偶数のどちらか？」

「間違った問題の例」
「ｐ、ｑが偶数、ｒは奇数である。ｒは
直角三角形の斜辺で、ｐおよびｑはその他の二辺である。
このとき、ｐ＾２＋ｑ＾２は奇数・偶数のどちらか？」
↑
三平方の定理より、
ｐ＾２＋ｑ＾２＝ｒ＾２であるが、
偶数の二乗は偶数、偶数の和は偶数であるから、
この式は成り立たない。
よって、この問題を創った生徒の点数は０である。

「問題２」
「ｐ、ｑが奇数、ｒが偶数のとき、
ｐｑ＋ｑｒ＋ｒｐは偶数か奇数か？」


「問題３」
「ｐ、ｑが奇数、ｒが偶数のとき、
ｐｑｒは偶数か奇数か？」

「自然数ｐ、ｑ、ｒについて、整数の問題を作り、解け」


「問題」
「ｐ、ｑ、ｒはｐ≦ｑ≦ｒを満たす。また、
　ｐは偶数、ｑは奇数、ｒは偶数である。
このとき、ｐとｑの組み合わせを求めよ」


「ｐｑ＝３、ｑｒ＝４、ｒｐ＝５のとき、
　ｐｑｒは偶数・奇数のいずれか？」

「ｐ、ｑ、ｒは三つの連続した奇数である。
このとき、３ｐ＋５ｑ＋２ｒを２でわると余りはいくらか？」



「ｐ、ｑ、ｒは三つの連続した偶数である。
このとき、１０ｐ＋５ｑ＋３ｒを３で割ったあまりはいくらか？」

「ｐが偶数、ｑが奇数、ｒは偶数で、ｐ≦ｒが成り立っているとき、
（ｐ＋ｑ）＾２と（ｑ＋ｒ）＾２と（ｒ＋ｐ）＾２の大小関係を
　比較せよ。」

「ｐ、ｑ、ｒの自然数の問題」だけで１００ゲットを目指す。

「ｐ、ｑ、ｒは自然数で、ｐ≦ｑ≦ｒを満たす
　連続した三つの奇数である。
このとき、未知数が三つある連立方程式
３ｐ＋２ｑ＝１０
５ｑ＋３ｒ＝１２
を解け」

「ｐ、ｑ、ｒは自然数で、ｐ≦ｑ≦ｒを満たす。
一次関数ｒ＝２ｑ＋１とｒ＝−ｑ＋３の交点をＡ
一次関数ｑ＝３ｐ＋３とｑ＝−２ｐ＋５の交点をＢ
一次関数ｐ＝５ｒ＋２とｐ＝−ｒ＋１の交点をＣ
とする。三角形ＡＢＣが正三角形になるための必要十分条件を求めよ」

「ｐ、ｑ、ｒは自然数であり、ｐ≦ｑ≦ｒを満たす連続する三つの
　偶数であるとき、
　２ｐ＾２＋３ｑ＾２＝２＾ｒを満たすｐ、ｑ、ｒをひとつみつけよ」

「ｐ、ｑ、ｒは自然数であり、ｐ≦ｑ≦ｒを満たす連続する三つの
　偶数であるとき、
　　５＾ｐ＋７＾ｑ＝９＾ｒを満たす、ｐ、ｑ、ｒを一つみつけよ」

「ｐ、ｑ、ｒは自然数であリ、ｐ≦ｑ≦ｒを満たす。
また、ｐ、ｑは偶数、ｒは奇数である。
√ｐ×√ｑ×√ｒが最小の正の整数となる数を求めよ」

age

はげ

(´Д`)…

(´Д`)…

hosyu

88GET

原口あずさ

hosyu

ほしゅ

http://www.shinko-keirin.co.jp/j-kadaimath/0411/index.htm
文部科学省の「学習指導要領」にしたがって、
「問題を作る授業」を行った経緯のホームページです。

age

もし、東京都の公立高校の入試問題で、
数学なら、「最後の一番難しい問題」
国語なら、「２００字作文」
英語なら、「英作文」で、
「問題を創らせて解かせる問題」を出題したとしたら、
日比谷高か西高は、
東大に６０人、早稲田１２０人、慶応１００人、上智５０人
筑波８０人、東北３０人、東工大３０人、京都大３０人
合格できるようになる。

「自然数ｐ、ｑ、ｒについて、整数の問題を作り、解け」


「問題１」
「ｐ、ｑが奇数、ｒが偶数のとき、
　ｐ＾２＋ｑ＾２＋ｒ＾２は奇数・偶数のどちらか？」

「間違った問題の例」
「ｐ、ｑが偶数、ｒは奇数である。ｒは
直角三角形の斜辺で、ｐおよびｑはその他の二辺である。
このとき、ｐ＾２＋ｑ＾２は奇数・偶数のどちらか？」
↑
三平方の定理より、
ｐ＾２＋ｑ＾２＝ｒ＾２であるが、
偶数の二乗は偶数、偶数の和は偶数であるから、
この式は成り立たない。
よって、この問題を創った生徒の点数は０である。

「問題２」
「ｐ、ｑが奇数、ｒが偶数のとき、
ｐｑ＋ｑｒ＋ｒｐは偶数か奇数か？」


「問題３」
「ｐ、ｑが奇数、ｒが偶数のとき、
ｐｑｒは偶数か奇数か？」

6 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 13:54:37
「自然数ｐ、ｑ、ｒについて、整数の問題を作り、解け」


「問題」
「ｐ、ｑ、ｒはｐ≦ｑ≦ｒを満たす。また、
　ｐは偶数、ｑは奇数、ｒは偶数である。
このとき、ｐとｑの組み合わせを求めよ」


「ｐｑ＝３、ｑｒ＝４、ｒｐ＝５のとき、
　ｐｑｒは偶数・奇数のいずれか？」



7 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 14:49:10
「ｐ、ｑ、ｒは自然数であり、ｐ≦ｑ≦ｒを満たす連続する三つの
　偶数であるとき、
　２ｐ＾２＋３ｑ＾２＝２＾ｒを満たすｐ、ｑ、ｒをひとつみつけよ」



「ｐ、ｑ、ｒは自然数であり、ｐ≦ｑ≦ｒを満たす連続する三つの
　偶数であるとき、
　　５＾ｐ＋７＾ｑ＝９＾ｒを満たす、ｐ、ｑ、ｒを一つみつけよ」

「ｐ、ｑ、ｒは自然数であリ、ｐ≦ｑ≦ｒを満たす。
また、ｐ、ｑは偶数、ｒは奇数である。
√ｐ×√ｑ×√ｒが最小の正の整数となる数を求めよ」

「ｐ、ｑ、ｒ　are　natural　numbers　ａｎｄ　satisfing　ｐ≦ｑ≦ｒ．
ａｎｄ、ｐ、ｑ are even　numbers and ｒ is odd number.
find the most small positive integral number
satisfing √ｐ×√ｑ×√ｒ」

９９げっと

100 get

http://www.shinko-keirin.co.jp/j-kadaimath/0004/index.htm
数学の問題を作る授業です。

宮城県公立高校入試問題
http://www.tsukue-no-mae.net/exam/highschool/miyagi/public/2003/math/2003-m.htm#2
２． 　方程式50−９ｘ＝５に関して，次の(１)，(２)の問いに答えなさい。
(１) 　この方程式を解きなさい。
(２) 　方程式50−９ｘ＝５を使って解く問題をつくり，文章で書きなさい。


鹿児島県公立高校入試問題
http://www.tsukue-no-mae.net/exam/highschool/kagoshima/public/2003/math/2003-m.htm#2
４． 　連立方程式の１つの方程式がｘ＋ｙ＝12となるような文章題を１題つくれ。また，その文章題を解いて答えを求めよ。なお，計算過程も書くこと。

agehosyu

「答えの一つが、３以上の偶数、もう一つの答えが、５以上の奇数になる
連立方程式をつくり、解け」

はげ

クンニ

三角形ＡＢＣの辺ＢＣをｍ：ｎに内分する点をＦとし、
三角形ＡＢＣの辺ＡＣをｌ：ｋに内分する点をＨとする。
また、三角形ＡＢＣの辺ＡＢをｓ：ｒに内分する点をＧとする
Ｆが辺ＢＣ上をＢからＣへ動き、Ｈが辺ＡＣ上をＡからＣへ動き、
Ｇが辺ＡＢ上をＡからＢへと動くとき、
三角形ＧＨＦが最大値をとるときの、条件を、ｍ、ｎ、ｋ、ｌ、ｓ、ｒの式で
表せ。

「二次方程式の解の公式に関する問題を作り、解け。
　ただし、単純に数値を代入し、答えを出す問題以外の問題を
　作りなさい」

「二次方程式の二つの解より、未知の係数を求める
　問題を作り、解け」

「次の三つの式を同時に満たす整数、ａ、ｂ、ｃの値を全て求めよ。
ａ＋ｂ＋ｃ＝１２，ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝２９
ａ≧ｂ≧ｃ」


「不等式ａｂ＋１≦ａｂｃ≦ｂｃ＋ｃａ＋ａｂ＋１
を満たす自然数ａ、ｂ、ｃの全ての組を求めよ。
ただし、ａ≧ｂ≧ｃとする」

はげ

111GET

>>108
「二次方程式の解の公式に関する問題」で、
どんな問題が作れるかな？

おまんこ

保守

保守

agehosyu

あげ

hosyu

hosyu

「次の三つの式を同時に満たす整数、ａ、ｂ、ｃの値を全て求めよ。
ａ＋ｂ＋ｃ＝１２，ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝２９
ａ≧ｂ≧ｃ」


「不等式ａｂ＋１≦ａｂｃ≦ｂｃ＋ｃａ＋ａｂ＋１
を満たす自然数ａ、ｂ、ｃの全ての組を求めよ。
ただし、ａ≧ｂ≧ｃとする」

保守

hosyu

保守

保守

ほしゅ

hosyu

答えの一方が１０以下の偶数、もう一方が、５以上の奇数になる
連立方程式をつくり、解け。

東京都の教員さいよう試験でも汚職が見つかって、
校長と副校長が何人かたいほされました。
逮捕者の合計は15人、
校長はひとり100万円、副校長はひとり50万円のわいろを払って、
わいろの合計は1150万円だったそうです。

校長と副校長、それぞれ何人ずつがたいほされたか求めなさい。

age

hosyu

連立方程式の解の一方が１／２，もう一方が√３になる
文章題を考え、立式し、解きなさい。

一次関数
Ｙ＝√３�]＋√５
で表される文章題をつくりなさい。