数学の問題を出すスッドレ

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13以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:34:32.11 ID:kLOPxB220
思うに高校の微積ぐらいまでがアタマの体操的なパズルとして
一番面白かったなあ
14以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:36:31.75 ID:WypmOas20
>>8
サンクス
>>9
難しそうだな
>>11
やってみます
15以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:36:36.28 ID:1l2K8WzB0
>>5
(-1)×1=-1より
(-1)×(-1)+(-1)
=(-1){(-1)+1}
=(-1)×0
=0

マイナス元の定義から(-1)×(-1)=-(-1)=1
16以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:37:46.11 ID:ZuVLlYvk0
(2^n)-1/n^2が整数となる自然数nをすべて求めよ
17以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:37:46.62 ID:ZK9jBgWW0
簡単な計算問題を1つ
∫[0, 2π] dx/(2-sin(x))
18以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:38:41.32 ID:cAqEgsbF0
xに関する方程式ax^2+bx+c=0を解け
19以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:40:48.78 ID:WypmOas20
>>16
問題文がその通りなら1のみ
20以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:41:19.82 ID:ZuVLlYvk0
>>19
それぐらい察せよ
21以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:41:57.20 ID:1l2K8WzB0
実数体Rを構成し、Rの元が分配律を満たすことを示せ
なお、自然数全体Nの存在は仮定する
22以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:41:58.92 ID:WypmOas20
>>20
かっこ適切に使ってくれないとわからないじゃん
23以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:42:34.15 ID:WypmOas20
>>17
2π/√3
24以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:43:06.87 ID:7jObaMwd0
一条君、二宮さん、三島君、四谷さん、五木君
六島君、七河君、八井さん、九崎さん、十田君の10名で頼母子講を行う事にしました

毎日夕方6時に各々1000円を持って集まり、くじ引きを行います
当たりくじを引いた1名が全員分の賭け金、合計10000円を得る事が出来ます
くじ引きにはイカサマ等は一切ありません

ただし、この頼母子講にはもう一つルールがあります
参加者は、頼母子講を自由に抜ける事が出来ます
その場合、自分の代わりに新たに別の参加者を用意しなければなりません
つまり、参加者は常に10名で、儲けたタイミングで頼母子講を辞める事が出来るのです

さて、もし仮に、参加者が全員「儲けた時点(=賞金総額−賭金総額>0)」の時点で頼母子講を辞めていった時
頼母子講を∞回繰り返せる時の期待値はどれくらいになるでしょうか
25以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:43:39.28 ID:WypmOas20
>>18
場合分けがなかなか面倒だな
26以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:43:49.99 ID:ZuVLlYvk0
>>22
だからそれくらい脳内補完してくれよ
27以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:44:02.21 ID:Q67Zo14c0
>>8
すげぇ、ありがとう
28以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:44:58.73 ID:WypmOas20
>>26
((2^n)-1)/(n^2)でいいんか?
29以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:45:16.98 ID:ZuVLlYvk0
>>28
いいよ
30以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:47:11.84 ID:WypmOas20
>>24
何の期待値を聞いてるの?
31以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:52:24.24 ID:ZK9jBgWW0
>>23
正解


次はもう少し難しい問題
任意の素数p>5に対して[2], [3], ... , [p-2] ([a]はaの剰余類)は
[[x][y]]=[1]となる整数(x, y)の組にすべて分けられることを示せ
32以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:54:01.15 ID:WypmOas20
>>31
ごめん大学受験の範囲で頼む
用語がよくわからん
>>29
先週も出されたけど俺には解けない
33以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:54:09.00 ID:8wA1X7Tw0
物理だが



括弧に入る数式を答えよ。尚、空気抵抗及び車の長さは無視して良い

地上からH[m]の高さを速度V「m/s」で水平飛行する航空機からA地点に達した際に投下されたボールを速度v[m/s]で走る車がC地点で受け取る実験を考える

自動車はB地点に止まっており、航空機はA地点に丁度達した時にボールを落下させ、同時に自動車が加減速無しに等速直線運動をしながらC地点にてボールを受け取る

この際AC間の距離は( )で表され、従ってAB間の距離は( )でなければならない
34以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:54:41.97 ID:ZuVLlYvk0
>>32
出したのおれだ
35以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:55:28.50 ID:7jObaMwd0
>>30
頼母子講における「儲け」の期待値
36以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:56:21.36 ID:1l2K8WzB0
>>31
体だから

体になることはgcd(a,p)=1(1≦a≦p-1)でおk
37以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:57:32.41 ID:WypmOas20
>>34
かっこのつけかたが先週と違うからわからなかった
まじなら答え教えてくれ。どんだけ焦らすんだよ
>>35
了解
38以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 21:57:45.52 ID:ZuVLlYvk0
>>31
[[a]^p-1]=1だから
39以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:00:11.06 ID:ZK9jBgWW0
>>32
受験数学か
>>36で正解


フェルマーの最終定理よりx^3+y^3=z^3を満たす整数解x, y, z(xyz≠0)は存在しないが、
もし存在するとするならばx, y, zのうち少なくとも1つは3の倍数であることを示せ
ただしここではフェルマーの最終定理を知らないものとする

98年 信州大
割と面白い問題だったので
40以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:00:51.28 ID:1l2K8WzB0
お思ったら[2]〜[p-2]かよ
[p-1]じゃないのかよ

[p-1]の逆元はそれ自身だから[2]〜[p-2]の逆元もその中にある、じゃ駄目?
41以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:01:31.90 ID:uF61iYxS0
>>16>>28
n は奇数となる
で,n = 2m-1 とおいて整理すれば
m=1 のときのみ成立(以下ry
42以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:02:44.04 ID:ZuVLlYvk0
>>41
その以下略が大切なんだよ
43以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:05:41.08 ID:Gtw/5gcXP
たまには大学数学の問題も出してくれよ
44以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:07:40.42 ID:uF61iYxS0
>>42
整理すれば  2^(2m-1) = 4m(m-1)+2
左辺は m > 1 だと4の倍数となる
45以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:07:41.94 ID:miSsDhoWP
>>24
求める解は、
9
Σ (10000-1000n)×p×(9/10)^n
n=0
     9
ただし、Σ p×(9/10)^n=1
     n=0

よって、p=1000000000/6513215599となり、期待値は6353.4円
46以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:08:57.01 ID:ZuVLlYvk0
大学数学の問題は理論を理解するための問題で解くひつようがない
47以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:09:50.08 ID:7jObaMwd0
>>45
マジで?
てっきり0だと思ってたわ
48以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:10:30.48 ID:ZuVLlYvk0
>>44
ごめんーじゃなくて+だったは
49以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:12:11.49 ID:ZuVLlYvk0
訂正 簡単に解けて変だと思ったら問題書きまちがえてた
((2^n)+1)/n^2が整数を満たす自然数nを求めよ
50以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:14:38.16 ID:WypmOas20
>>39
余りでいけるかと思ったがうまくできん
51以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:15:31.03 ID:uF61iYxS0
>>43
空間(真空)の z軸と平行な直線上に電気量 +Q,-Q の
点電荷が極近い距離を隔てておいてある
これらの電荷によってできる電場の z 成分が0となる条件を
適当に変数を設定するなどして述べよ
52以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:16:31.53 ID:miSsDhoWP
>>47
ごめんミス、自分が支払ってる分があるから、最大でも儲けは9000円だな
だから

8
Σ (9000-1000n)×p×(9/10)^n
n=0
     8
ただし、Σ p×(9/10)^n=1
     n=0

p=100000000/612579511 より、5691.97円が答え

もちろん抜ければ抜けるほど、まだ残ってる人の負け分期待値は、一人569.197円ずつ増えてゆく
53以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:17:21.60 ID:ok0ZTzDL0
>>43
方程式 x^5=1 を解け
54以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:17:40.13 ID:WypmOas20
>>33
AC^2=H^2+(2HV^2)/g
AB^2=H^2+(V-v)^2×(2H/g)
55以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:18:42.49 ID:dhf0jyU10
>>5
(-1)×(-1)=(-1)×(-1+1-1)
=(-1)×(-1)+(-1)×1+(-1)×(-1)
両辺に-(-1)×(-1)を足して
0=(-1)×(-1)+(-1)×1=(-1)×(-1)+(-1)
両辺に1を足して
1=(-1)×(-1)+(-1)+1=(-1)×(-1)

ただし、-1が1の加法逆元であり、1が乗法単位元であることと分配法則、結合法則を利用した
56以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:21:50.30 ID:WypmOas20
>>39
9の倍数でやったらできた
57以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:21:59.35 ID:pug0vMdc0
>>31
素数p>3の既約剰余類は位数(p-1)の巡回群になり、
その元の中で位数1の元は1のみ、位数2の元は(p-1)のみ
σを位数(p-1)の巡回群の生成元とするとσ^(p-1)=1
したがってa+b=p-1, a≠b, a, b>0なる(a, b)をとれば
x=σ^a, y=σ^b はxy=1となる組をなす
またσは生成元であったからx, yの全部では位数1と2の元以外のすべての元を尽くす

合ってる?
58以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:25:11.94 ID:7jObaMwd0
>>52
うん、俺文系だから全く分からんけど
有限回だったら期待値って0じゃん?だよね?
それが∞回だとそんなに期待値上がるの?不思議
59以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:26:03.76 ID:vrGTF8tFP
有名問題。

平面上に等間隔で平行線を引き、その間隔の半分の長さの針を投げた時、針が平行線と交わる確率は?
60以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:26:10.25 ID:miSsDhoWP
>>58
いいか?
パチンコは、勝つまで続ければ絶対に儲かるんだよ!
61以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2013/06/14(金) 22:28:19.47 ID:7jObaMwd0
>>60
なるほど!
無限ってスゲーのな!
62以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします
なんか>>40は蛇足だったな、むしろ1とp-1まであったら類別できないだろアホか俺


Q(√m)/Qのガロア群を求めよ
ただしmは平方因子をもたない数とする